Mathématiques — 6e année

Les objectifs du programme de CM2 (Année 6) pour cette compétence demandent aux élèves de trouver des paires de nombres qui vérifient une équation à deux inconnues, par exemple deux nombres dont la somme est un total donné, et de dénombrer les combinaisons possibles de deux variables. Les objectifs ne précisent pas de plage de nombres pour l'Année 6 : la taille des nombres est donc fixée par chaque fiche d'exercices. Les formes plus avancées de cette compétence, notamment la règle du produit pour le dénombrement et les grilles ou diagrammes de Venn pour les ensembles, sont désignées par les cycles 3 et 4 (Key Stage 3 et Key Stage 4) dans le programme, elles dépassent donc cette année.

L'erreur typique consiste à écrire les paires au hasard. Un élève peut lister (2, 5) puis écrire plus tard (5, 2), et les compter comme deux combinaisons alors que la tâche les considère comme le même ensemble. Il peut aussi s'arrêter trop tôt, faute d'un ordre permettant de vérifier la liste, et oublier certaines paires sans s'en apercevoir.

Sur les fiches, cette compétence apparaît dans plusieurs modèles :

• List all the combinations : écrire toutes les paires dans un ordre qui facilite la vérification.
• How many different pairs: true or false et How many different pairs: choose the correct answer : décider si un nombre annoncé est exact, ou choisir le bon total parmi plusieurs propositions.
• Combinations: how many different sets can you make?, Combinations: how many pairs are left after one breaks? et Combinations: how many more pairs after adding one? : compter comment l'ensemble des paires change lorsqu'un élément est retiré ou ajouté.
• Known number of pairs: how many in the other set : utiliser un nombre connu de paires pour déterminer combien appartiennent à l'autre ensemble.

Le domaine propose aussi une tâche qui dénombre des ensembles formés à partir de trois types d'éléments. Cela va un pas au-delà des objectifs à deux variables de l'Année 6.

En CM2 (année 6), votre enfant calcule le périmètre d'un rectangle, c'est-à-dire la longueur totale de son contour extérieur. Il additionne les quatre côtés, ou additionne la longueur et la largeur puis multiplie le résultat par deux. Les repères du programme pour cette compétence ne donnent pas de plage de nombres pour ce niveau ; cette description n'en indique donc aucune : les grandeurs figureront dans la fiche d'exercices qui vous est remise. Le mesurage du périmètre de formes simples et de figures rectilignes en centimètres et en mètres est abordé aux niveaux CE2 et CM1, et cette année s'appuie sur ce travail. En CM2, on demande aussi aux enfants de reconnaître que des figures de même aire peuvent avoir des périmètres différents, et inversement.

Une erreur fréquente dans les questions de côté manquant consiste à oublier que les côtés opposés d'un rectangle sont égaux. L'enfant peut soustraire un seul côté du périmètre au lieu de répartir la longueur restante entre les deux paires de côtés égaux. Autre confusion courante : celle entre périmètre et aire. Multiplier la longueur par la largeur donne la surface à l'intérieur de la figure, et non la distance qui en fait le tour.

Les exercices sur cette compétence comprennent :

• Périmètre d'un rectangle, trouver la distance totale du contour d'un rectangle donné.
• Côté manquant d'un rectangle à partir de son périmètre, raisonner à rebours à partir d'un total connu.
• Périmètre : quelle figure a le plus grand périmètre ?, comparer les périmètres de deux figures.
• Périmètre d'un rectangle sur un quadrillage, compter ou calculer le contour d'un rectangle tracé sur papier quadrillé.
• Périmètre d'un rectangle : vrai ou faux, vérifier si un périmètre énoncé est correct.
• Tracer un rectangle de périmètre donné, construire un rectangle qui respecte un total indiqué.
• Périmètre d'un rectangle : choisir le bon résultat, sélectionner la bonne réponse parmi plusieurs propositions.

À la fin de la 6e année, les enfants tracent et translatent des figures simples dans le plan de coordonnées. Ils travaillent avec des points situés dans les quatre quadrants, de sorte que certaines coordonnées sont négatives. Le point du programme qui couvre cela, Y6.GPD.2, fixe le travail requis pour cette année.

Une erreur fréquente consiste à modifier la mauvaise coordonnée. Un enfant à qui l'on demande de déplacer un point vers la droite peut modifier la valeur de y au lieu de celle de x, ou écrire les coordonnées dans le mauvais ordre, car la valeur de x vient toujours en premier. Une autre erreur courante apparaît lorsqu'un point franchit zéro : déplacer un point de 3 unités vers la gauche à partir de x = 1 doit donner x = -2, mais les enfants écrivent souvent 4 ou 2 parce qu'ils additionnent ou soustraient sans tenir compte du signe.

Les exercices de ce domaine sont des fiches imprimables construites à partir des modèles suivants :

• Translater un point : choisir la coordonnée, ainsi que les modèles associés Translater un point vers la droite et vers le haut et Translater un point vers la gauche et vers le bas, où l'enfant détermine où arrive le point.

Ce domaine propose aussi des modèles de rotation et d'homothétie : Rotation de 90° : choisir la coordonnée, Faire tourner un point de 90° autour de l'origine, Faire tourner un point de 180° autour de l'origine, Homothétie d'un point : vrai ou faux et Homothétie depuis l'origine. Le programme place les propriétés des rotations (KS3.GM.8) et l'agrandissement par un facteur d'échelle sur quadrillage (KS3.GM.9) au Key Stage 3 ; en 6e année, ces exercices sont donc plus adaptés comme activités d'approfondissement que comme contenu obligatoire.

À ce stade, le programme demande à l'enfant d'exprimer algébriquement des problèmes à nombre manquant. Concrètement, cela signifie lire une question comme « un nombre plus 5 fait 12 » et l'écrire sous la forme x + 5 = 12. Le point du programme donné pour cette compétence n'indique aucune plage de nombres, la présente description n'en propose donc pas. Les modèles de tâches ne fixent pas non plus de plage : vérifiez les nombres de chaque fiche d'exercices que vous utilisez.

Une erreur fréquente consiste à utiliser la mauvaise opération inverse, ce qui arrive habituellement avec la soustraction et la division. Dans x − 7 = 12, un enfant peut soustraire 7 à 12 pour obtenir 5, au lieu d'ajouter 7 pour obtenir 19. Dans x ÷ 4 = 6, un enfant peut diviser 6 par 4 au lieu de multiplier 6 par 4. Cela se produit parce que l'enfant traite les nombres de la page comme un calcul à effectuer immédiatement, plutôt que comme une affirmation sur l'inconnue. Encouragez-le à se demander : « Qu'a-t-on fait à x, et comment puis-je défaire cette opération ? »

Les fiches imprimables du domaine comprennent ces modèles d'équations :

• x ÷ a = b
• a × x = b
• x − a = b
• x + a = b
• x + a = b, avec la même modification appliquée des deux côtés
• a · x = b, en vérifiant si un nombre donné est une solution
• x − a = b, en choisissant la bonne solution parmi plusieurs propositions

À ce stade, les élèves additionnent et soustraient des fractions dont les dénominateurs sont différents, comme 1/2 + 1/4 ou 3/5 − 1/10. Le programme comprend aussi les nombres mixtes, comme 2 1/3 + 1 1/4. Ce travail s'appuie sur l'année 5, où les élèves ont additionné et soustrait des fractions de même dénominateur, ou de dénominateurs multiples d'un même nombre. En année 6, ils utilisent des fractions équivalentes pour remplacer une ou les deux fractions par des fractions de même taille, puis ils additionnent ou soustraient les numérateurs.

Une erreur courante consiste à additionner directement les numérateurs et les dénominateurs, ce qui fait que 1/2 + 1/3 devient 2/5. L'élève traite alors chaque fraction comme deux nombres entiers distincts. Le dénominateur indique la taille de chaque part, et des parts de tailles différentes ne peuvent être combinées qu'après avoir été réécrites. La soustraction pose souvent problème de la même manière.

Les fiches imprimées de ce domaine permettent de s'entraîner sous plusieurs formes :

• Additionner des fractions de dénominateurs différents et Soustraire des fractions de dénominateurs différents : calculs directs.
• Fractions de dénominateurs différents : numérateur après réécriture : trouver le numérateur manquant lorsqu'une fraction est réécrite avec un dénominateur commun.
• Soustraire des fractions différentes : le numérateur : déterminer le numérateur du résultat.
• Additionner des fractions différentes : problème : appliquer la même méthode à une situation concrète.
• Choisir la somme et Soustraire des fractions différentes : choisir le résultat : sélectionner la bonne réponse parmi plusieurs propositions.
• Vrai ou faux, pour l'addition comme pour la soustraction : juger si une réponse donnée est correcte, ce qui est un bon moyen de repérer l'erreur consistant à additionner directement les numérateurs et les dénominateurs.

D'ici la fin de l'année 6, votre enfant doit savoir calculer, estimer et comparer le volume de cubes et de pavés droits en utilisant les unités standard, notamment le centimètre cube (cm³) et le mètre cube (m³). Le programme demande aussi d'étendre cette notion à d'autres unités, avec mm³ et km³ donnés en exemples. Le programme ne fixe pas de plage de nombres pour cela, et cette page n'en propose donc pas. Le travail de l'année 5 avec des cubes de 1 cm³ précède cette étape, et construire des pavés droits avec des cubes est un bon moyen de comprendre pourquoi le volume se compte en cubes.

L'erreur typique consiste à multiplier seulement deux des trois mesures, ou à additionner les trois longueurs. Ces deux calculs donnent une longueur ou une aire, et non un nombre de cubes. Les enfants mélangent aussi les unités : si une arête est en centimètres et une autre en mètres, les multiplier directement donne un résultat dénué de sens. Rappelez à votre enfant que le volume compte les cubes qui remplissent un espace, donc que toutes les arêtes doivent être exprimées dans la même unité avant de multiplier.

Les fiches imprimables pour cette compétence comprennent :

• Volume à partir de cubes unités : compter ou construire avec des cubes.
• Volume d'un cube et Volume d'un parallélépipède rectangle : calculer à partir de mesures données.
• Volume d'un pavé droit : l'arête manquante : remonter d'un volume connu pour trouver une mesure.
• Volume : arêtes k fois plus longues : observer comment le volume change lorsque chaque arête est multipliée par le même nombre.
• Volume d'un pavé droit : comparer deux boîtes et Volume d'un pavé droit : choisir le bon résultat : comparer des boîtes et sélectionner les bonnes réponses.
• Volume d'un pavé droit : vrai ou faux et Volume d'un pavé droit : problème (boîte) : vérifier des affirmations et appliquer l'idée à une vraie boîte.
• Volume d'un solide formé de deux prismes : combiner les volumes de deux prismes pour trouver un total.

En fin de CM2, votre enfant doit savoir utiliser, lire, écrire et convertir les unités de longueur usuelles. Cela signifie passer d'une unité plus petite à une unité plus grande, et inversement. Le programme attend que ce travail porte sur des nombres décimaux comportant jusqu'à trois chiffres après la virgule : une longueur comme 2,375 kilomètres fait donc partie du travail, et pas seulement les nombres entiers.

Une erreur fréquente consiste à se tromper de sens. Les enfants s'attendent souvent à ce qu'une unité plus grande donne un nombre plus grand, ou bien ils multiplient alors qu'ils devraient diviser ; ainsi, 3 mètres deviennent 0,3 centimètre au lieu de 300. La virgule semble se déplacer de façon imprévisible, si bien que la réponse peut paraître plausible tout en étant fausse d'un facteur dix ou mille. Une vérification utile consiste à se demander si la réponse est cohérente : un mètre est plus long qu'un centimètre, donc le nombre de centimètres doit toujours être le plus grand.

Sur les fiches imprimées, cette compétence apparaît sous plusieurs formes :

• Convertir en une unité de longueur plus petite et Convertir en une unité de longueur plus grande, les deux sens décrits par le programme.
• Unités de longueur : choisir la valeur convertie, où l'enfant sélectionne la mesure convertie correcte.
• Écrire une longueur dans une unité et Une longueur dans une unité : vrai ou faux, qui vérifient qu'une longueur a bien été écrite dans une autre unité.
• Unités de longueur : comparer et Additionner des longueurs données dans deux unités, qui utilisent des longueurs converties pour comparer ou combiner des mesures.

En CM2 (Year 6), votre enfant apprend à calculer la moyenne et à l'interpréter comme une moyenne arithmétique. La moyenne est le total d'un ensemble de valeurs, réparti équitablement entre le nombre de valeurs. Les programmes pour cette compétence ne donnent pas de plage numérique précise, c'est pourquoi cette page n'en mentionne aucune. Décrire, comparer et interpréter la dispersion et les valeurs aberrantes dans des données fait partie des exigences plus larges en statistiques du cycle 3 (Key Stage 3), qui suit la classe de Year 6.

Une erreur fréquente consiste à diviser le total par le mauvais nombre, comme la plus grande valeur, le total lui-même, ou un effectif qui oublie un élément. Les enfants peuvent aussi confondre la moyenne avec la médiane ou le mode, qui sont des façons différentes de décrire un ensemble de valeurs. En lisant un diagramme en barres, un enfant peut aussi oublier qu'une barre indiquant 3 représente trois valeurs, ce qui modifie le total.

Les exercices sur cette compétence sont imprimés à partir des modèles suivants :

• La moyenne dans la vie quotidienne : utiliser la moyenne pour donner du sens à une situation réelle.
• Trouver la moyenne : calculer la moyenne d'un ensemble donné de valeurs.
• Moyenne à partir d'un diagramme en barres : lire des valeurs sur un diagramme en barres, puis calculer leur moyenne.
• Moyenne : choisir le résultat : choisir la bonne moyenne parmi plusieurs propositions.
• Moyenne à partir d'un diagramme en barres : choisir la valeur : choisir la valeur qui donne une moyenne indiquée lorsqu'on la lit sur un diagramme en barres.

En 6e, les élèves appliquent la formule de l'aire d'un rectangle (en multipliant la longueur par la largeur) à l'aide d'unités usuelles telles que le centimètre carré (cm²) et le mètre carré (m²). Ils travaillent également en sens inverse : en s'appuyant sur les propriétés des rectangles et les opérations réciproques, ils divisent l'aire totale par la longueur d'un côté connu pour trouver le côté manquant.

Une erreur fréquente survient lors du calcul d'une dimension inconnue : les enfants soustraient souvent la mesure du côté connu de l'aire totale au lieu de la diviser, confondant ainsi la relation multiplicative de l'aire avec des mesures additives. Une autre confusion courante consiste à mélanger aire et périmètre, en additionnant à tort les longueurs des côtés extérieurs lorsqu'il leur est demandé de déterminer la surface intérieure.

Les exercices des fiches s'appuient sur trois formats concrets : des calculs directs dans Aire d'un rectangle, un raisonnement algébrique où l'aire et une dimension sont données dans Côté manquant d'un rectangle, et des problèmes appliqués dans L'aire d'un rectangle dans la vie quotidienne portant sur des surfaces réelles comme des parcelles de jardin ou des sols.

À ce stade, l'enfant utilise des formules simples. Étant donnée une règle écrite avec des lettres, comme une expression telle que 3a + 2, il remplace chaque lettre par le nombre qui lui est donné et calcule le résultat. Le point du programme ne précise pas de plage de nombres, aussi n'en est-il indiqué aucune ici.

Une erreur fréquente consiste à lire un nombre et une lettre écrits côte à côte comme deux éléments séparés. Avec a = 5, un enfant peut écrire 35 ou 8 pour 3a au lieu de 3 × 5 = 15. Comprendre ce que signifie la règle écrite, plutôt que le calcul lui-même, est souvent l'endroit où se produit l'erreur.

Dans ce domaine, les exercices portant sur cette compétence se présentent sous ces formes :

• Valeur d'une formule pour des nombres donnés : remplacer des valeurs données dans une formule et calculer le résultat.
• Valeur d'une expression avec une lettre : déterminer le nombre que donne une expression pour une valeur donnée de la lettre.
• Valeur d'une expression avec une lettre : choisir le résultat : choisir la bonne réponse parmi plusieurs propositions.
• Valeur d'une expression avec une lettre : vrai ou faux : décider si une valeur donnée pour une expression est correcte.
• Expression avec une lettre : comparer deux expressions : comparer deux expressions qui contiennent une lettre.
• Expressions : combien de fois plus grand, sans calculer : estimer combien de fois une expression est plus grande qu'une autre, sans calculer leurs valeurs.

Dans le cadre du point du programme de CM2 sur les suites numériques linéaires, votre enfant apprend à générer et décrire des suites dans lesquelles on ajoute chaque fois la même quantité. Par exemple, à partir de 3, 7, 11, 15, il peut voir que le pas est 4, énoncer la règle (« ajouter 4 à chaque fois ») et écrire les quelques termes suivants. Le point du programme ne fixe pas de plage de nombres pour cela, c'est pourquoi cette page n'en nomme aucune.

Une erreur fréquente consiste à ne vérifier que les deux premiers nombres pour trouver le pas, puis à supposer qu'il se répète sans tester les autres. Un enfant peut voir 5 et 8 et conclure que le pas est 3, alors que la paire suivante ne correspond pas. Une autre erreur courante concerne les questions « quel est le rang du terme » : l'enfant compte à partir de zéro au lieu de considérer le premier nombre comme le terme 1, la réponse est alors décalée d'une unité.

Les exercices sur cette compétence sont imprimés sous forme de fiches de travail à partir des modèles de la circonscription. Il s'agit notamment de « Suite : ajouter le même pas », « Repérer la règle et poursuivre la suite », « Suite à pas constant : le premier terme », « Suite à pas constant : quel est le rang du terme ? », « Suite à pas constant : choisir le terme » et « Suite à pas constant : vrai ou faux ». La circonscription imprime aussi « Suite : multiplier par le même nombre » et une fiche de suites visuelles demandant combien de carreaux comporte la figure n. Les fiches de multiplication vont un peu au-delà de l'idée de pas constant du point du programme. Le point du programme de cycle 3 sur la génération de termes à partir de règles terme à terme ou position-terme relève du cycle 4 et ne fait pas partie des attendus de CM2.

En CM2 (Year 6), la compétence attendue est d'interpréter des graphiques en lignes et de s'en servir pour résoudre des problèmes. La formulation du programme pour ce niveau ne fixe pas de plage de nombres ; l'accent est donc mis sur la compréhension de ce que représente chaque axe et sur la lecture précise des valeurs sur la ligne. Les élèves s'appuient aussi sur l'attendu de CM1, qui consiste à résoudre des problèmes de comparaison, de somme et de différence à partir des informations d'un graphique en lignes.

Une erreur fréquente consiste à considérer le graphique comme l'image d'une histoire plutôt que comme une relation entre deux grandeurs. Un enfant peut lire la hauteur de la ligne à la fin du graphique alors que la question porte sur un moment précis, ou interpréter une portion horizontale comme si quelque chose se passait encore. Sur un graphique de trajet, une portion horizontale signifie que la distance n'a pas changé ; un enfant qui pense que la ligne « va quelque part » donnera donc une mauvaise réponse à « quelle distance ? » ou « combien de temps ? ».

Les fiches imprimables pour cette compétence sont des graphiques de trajet, avec ces modèles d'exercices :

• Graphique de trajet : quelle distance au total ?
• Graphique de trajet : combien de temps a duré l'arrêt ?
• Graphique de trajet : vitesse dans la première partie
• Graphique distance-temps : vrai ou faux
• Vitesse à partir d'un graphique de distance : choisir le résultat

Les deux premiers exercices demandent à l'élève de lire des valeurs sur le graphique. Les trois autres vont plus loin, avec la vitesse et un raisonnement de type vrai ou faux portant sur le même type de graphique. Les notions relatives aux graphiques distance-temps et à la cinématique relèvent des niveaux ultérieurs (collège et lycée) ; il faut donc considérer les exercices fondés sur la vitesse comme un travail d'approfondissement et non comme une exigence du CM2.

En CM2 (année 6), les élèves arrondissent les nombres décimaux au dixième près (une décimale) et au centième près (deux décimales). Les étapes précédentes du programme construisent cette compétence à partir de l'arrondi aux nombres entiers et à une décimale. Le programme demande aussi aux élèves de CM2 de résoudre des problèmes dont la réponse doit être arrondie à une précision donnée. Les tâches imprimées de CM2 dans ce domaine portent sur les nombres ; cette partie devrait donc être travaillée à l'aide de problèmes rédigés par vous-même.

L'erreur la plus courante consiste à tronquer le nombre à la position demandée au lieu de regarder le chiffre qui suit. Par exemple, 6,87 arrondi au dixième près vaut 6,9, mais un élève qui s'arrête au chiffre des dixièmes peut écrire 6,8. L'arrondi au centième peut aussi poser problème lorsqu'une retenue est nécessaire : 4,996 arrondi au centième près vaut 5,00, mais un élève peut écrire 4,99 parce qu'il n'a pas reporté la retenue à travers les 9.

En pratique, une tâche d'arrondi de CM2 dans ce domaine correspond à l'un des quatre modèles imprimés suivants :

• Arrondir au dixième près : arrondir des nombres décimaux à une décimale.
• Arrondir au centième près : arrondir des nombres décimaux à deux décimales.
• Arrondir au dixième : choisir le résultat : l'élève choisit la valeur arrondie correcte parmi plusieurs propositions.
• Arrondir au dixième : vrai ou faux : l'élève détermine si une valeur arrondie donnée est correcte.

Les formats « choisir le résultat » et « vrai ou faux » sont utiles pour repérer l'erreur de troncature, car une mauvaise réponse comme 6,8 à la place de 6,9 est proposée parmi les choix.

En classe de 6e (CM2 et 6e selon le système), le programme demande aux élèves de repérer les multiples communs et les nombres premiers. L'énoncé qui nomme directement le plus petit commun multiple figure dans les repères du cycle 4 (années du secondaire), de sorte que la plage numérique n'est pas précisée pour ce niveau dans les repères que nous utilisons. Les tâches imprimées indiquent ce qui est attendu ici : trouver le plus petit nombre qui apparaît dans les multiples de deux nombres donnés.

Une erreur fréquente consiste à s'arrêter au premier multiple commun repéré, ou à choisir un nombre commun qui n'est pas le plus petit. Par exemple, un élève pourrait écrire 24 comme plus petit commun multiple de 4 et 6, alors que 12 est le plus petit. Certains élèves confondent aussi avec le plus grand commun diviseur, ou multiplient simplement les deux nombres. Ces erreurs proviennent généralement d'une recherche de correspondance sans vérifier s'il s'agit du plus petit nombre.

Les tâches sur cette compétence comprennent :

• Problème sur le PPCM : de nouveau ensemble, où deux événements répétitifs sont étudiés pour trouver quand ils coïncident à nouveau ;
• Trouver le plus petit commun multiple, la tâche centrale consistant à nommer le plus petit multiple commun ;
• PGCD et PPCM : trouver l'autre nombre, où une valeur est donnée et l'élève calcule la valeur manquante ;
• PPCM : choisir le plus petit commun multiple, où l'on sélectionne la bonne réponse parmi plusieurs multiples communs ;
• PPCM : vrai ou faux, où l'on vérifie si un nombre donné est le plus petit commun multiple.

En CM2 (année 6), les élèves multiplient des nombres à un chiffre comportant jusqu'à deux décimales, comme 3,45 ou 0,6, par des nombres entiers, par exemple 3,45 × 4 ou 0,6 × 7. Le travail sur les nombres négatifs et les fractions fait partie du niveau plus large mais ne fait pas partie de cette compétence.

Une erreur fréquente consiste à travailler sur les chiffres comme si la virgule n'existait pas, puis à placer la virgule au hasard à la fin. Pour 0,6 × 7, un élève peut calculer 6 × 7 = 42 et écrire 42, ou écrire 0,42, au lieu de 4,2. L'erreur vient d'une perte de repère sur la valeur des chiffres : la réponse doit tenir compte du fait que 0,6 correspond à six dixièmes, donc le résultat est aussi une quantité exprimée en dixièmes.

Dans ce domaine, les fiches imprimables pour cette compétence sont :

• Multiplier des décimaux : calculs directs d'un décimal multiplié par un nombre entier.
• Multiplier une longueur par un nombre de morceaux : un problème concret, comme trouver la longueur totale de plusieurs morceaux de corde égaux.
• Multiplier des décimaux : le produit est-il plus grand ? : les élèves décident si le résultat est plus grand que le nombre de départ.
• Multiplier des décimaux : choisir le résultat : les élèves choisissent la bonne réponse parmi plusieurs propositions.
• Multiplier des décimaux : vrai ou faux : les élèves jugent si une affirmation donnée sur un produit est correcte.

À la fin de l'année 6, les élèves doivent être capables d'identifier la valeur de chaque chiffre dans des nombres donnés avec trois décimales, et de multiplier et diviser des nombres par 10, 100 et 1000 avec des résultats donnés avec trois décimales. Concrètement, cela signifie travailler avec des nombres comme 4,725 ou 0,09. Déplacer un chiffre d'une place vers la gauche dans le tableau de numération multiplie sa valeur par 10, et le déplacer d'une place vers la droite la divise par 10. Cela s'appuie sur des acquis antérieurs : en année 4, les élèves étudient l'effet de la division d'un nombre à un ou deux chiffres par 10 et 100, et en année 5, ils multiplient et divisent des nombres entiers et décimaux par 10, 100 et 1000.

L'erreur habituelle consiste à traiter les décimaux comme des nombres entiers et à s'appuyer sur des automatismes tels que « ajouter un zéro » ou « déplacer la virgule » sans réfléchir à la numération. Un élève peut écrire 2,4 × 10 sous la forme 2,40, ce qui ne modifie pas la valeur, ou écrire 3,4 ÷ 10 sous la forme 34 ou 3,04. Une vérification utile consiste à esquisser un tableau de numération, à déplacer les chiffres, puis à vérifier si le résultat a du sens.

Les exercices de cette compétence sont construits à partir des modèles suivants :

• Multiplier par 10, 100 ou 1000 et Diviser par 10, 100 ou 1000 : fiches de calcul simples.
• Multiplier par 0,1, 0,01 ou 0,001 : les mêmes décalages écrits avec des multiplicateurs décimaux, où multiplier par 0,1 revient à diviser par 10.
• Multiplier par 10, 100, 1000 : par quel nombre a-t-on multiplié ? : l'élève reçoit le nombre de départ et le nombre d'arrivée et détermine le multiplicateur.
• Multiplier par 10, 100, 1000 : choisir le résultat et Diviser par 10, 100, 1000 : choisir le résultat : l'élève choisit la bonne réponse parmi plusieurs propositions, ce qui permet de repérer efficacement les erreurs courantes.

En classe de CM2 (Année 6), les élèves approfondissent leurs connaissances des tables de multiplication pour trouver les diviseurs communs de deux nombres entiers. Les élèves listent systématiquement les paires de diviseurs de chaque nombre, puis les comparent afin d'identifier le plus grand commun diviseur, c'est-à-dire le plus grand nombre entier qui divise les deux nombres sans laisser de reste.

Une difficulté fréquente consiste à confondre diviseurs et multiples, ce qui conduit les enfants à lister de plus grands nombres issus de la multiplication plutôt que de plus petits diviseurs. Les élèves retiennent aussi souvent le premier diviseur commun qu'ils repèrent, souvent 2 lorsqu'ils travaillent avec des nombres pairs, au lieu de vérifier toutes les paires de diviseurs pour s'assurer d'avoir trouvé le plus grand.

Les exercices d'entraînement présentent généralement cette compétence sous deux formes :

• Trouver le plus grand commun diviseur : questions numériques directes dans lesquelles les enfants comparent deux nombres et indiquent leur plus grand diviseur commun.
• Partager en lots identiques : problèmes concrets dans lesquels les enfants déterminent le plus grand nombre de lots égaux que l'on peut constituer à partir de différents groupes d'objets, sans rien laisser en reste.

À ce stade, les élèves travaillent avec des nombres entiers de part et d'autre de zéro. En CM1, ils apprennent à compter à rebours en passant par zéro pour inclure les nombres négatifs. En CM2, ils comptent en avant et en arrière avec des nombres entiers positifs et négatifs, y compris en passant par zéro, et interprètent des nombres négatifs dans un contexte. En 6e, la même idée est étendue à la description de positions sur le repère complet, dans les quatre quadrants. Les repères du programme ne fixent pas de plage de nombres précise ; la plage retenue ici est donc celle des nombres entiers de part et d'autre de zéro, tels qu'ils apparaissent sur une droite numérique.

Une erreur courante consiste à ordonner les nombres négatifs selon la taille de leurs chiffres. Un élève peut décider que -7 est plus grand que -3 parce que 7 est plus grand que 3. Ce même raisonnement peut conduire à donner l'opposé de -6 comme étant -6, parce que le signe moins est conservé au lieu de passer de l'autre côté de zéro. Ces deux erreurs viennent du fait de traiter le signe moins comme un simple ornement plutôt que comme une position. Sur une droite numérique, -7 se trouve plus à gauche que -3, donc il est plus petit.

Un exercice sur cette compétence demande généralement à l'élève de lire ou de placer un nombre entier sur une droite numérique, puis d'utiliser cette position pour trouver un opposé, une distance à zéro ou un milieu. Les modèles disponibles dans ce domaine comprennent :

• Lire un nombre entier sur une droite numérique
• Trouver le nombre opposé
• Distance à zéro sur une droite numérique, et Distance à zéro : vrai ou faux
• Le nombre entier situé à mi-chemin entre deux nombres entiers, et Milieu sur la droite numérique : choisir le nombre
• Symétrier un point sur la droite numérique, et Symétrie sur la droite numérique : choisir le nombre
• Droite numérique par pas de 2 : lire le nombre entier

Symétriser un point par rapport à zéro donne son opposé ; les modèles de symétrie sont donc directement liés au travail sur les opposés. Les points du repère à quatre quadrants relèvent du thème distinct des coordonnées de ce domaine, et non de ces modèles de droite numérique.

En CM2 (Année 6), les élèves résolvent des problèmes portant sur deux grandeurs dont les tailles relatives restent les mêmes, où une valeur manquante peut être trouvée à l'aide de faits de multiplication et de division sur les nombres entiers. Par exemple, si 3 sacs contiennent 12 pommes, un enfant peut calculer que 6 sacs contiennent 24 pommes, car 6 est 2 fois 3, donc le nombre de pommes doit aussi être doublé. Les notions plus larges de rapport et de proportionnalité, y compris les graphiques et l'algèbre, sont abordées plus tard au collège.

Une erreur fréquente consiste à additionner au lieu de multiplier. Avec les mêmes sacs, un enfant peut raisonner ainsi : 6 est 3 de plus que 3, donc le nombre de pommes doit aussi augmenter de 3, ce qui donne 15. Les deux grandeurs sont liées par la multiplication, donc la variation de l'une doit être accompagnée d'une multiplication de l'autre. Une bonne habitude consiste à calculer d'abord la valeur pour un sac (12 ÷ 3 = 4), puis à multiplier par le nombre de sacs nécessaire.

Les activités de ce domaine qui entraînent cette compétence comprennent :

• Proportion : valeur manquante, où il faut trouver une valeur dans un couple de grandeurs liées.
• Problème de proportionnalité : appliquer à un autre nombre d'objets, comme trouver la quantité ou le prix pour un nombre différent d'objets.
• Proportion : le troisième terme manquant, où un terme d'une proportion est manquant et les autres sont donnés.
• Proportionnalité directe : compléter le tableau, où les cases vides d'un tableau de valeurs liées sont complétées.
• Proportion : choisir le terme manquant, où l'enfant sélectionne la bonne valeur manquante parmi plusieurs propositions.
• Proportion : vrai ou faux, où l'enfant décide si une affirmation sur les grandeurs est correcte.

D'ici la fin de l'année 6, les élèves doivent savoir résoudre des problèmes qui impliquent de calculer un pourcentage d'une quantité, par exemple 15 % de 360, et utiliser les pourcentages pour comparer des quantités. Cela s'appuie sur le travail de l'année 5 sur le sens du pour cent, c'est-à-dire des parties pour cent, donc 15 % signifie 15 sur chaque 100. Les élèves doivent également retenir des équivalences simples entre fractions, décimaux et pourcentages, comme 25 % = 1/4 = 0,25.

Une erreur typique consiste à traiter le pourcentage comme un nombre entier ordinaire et à travailler directement avec lui. Pour 15 % de 360, un élève peut diviser 360 par 15 ou multiplier 360 par 15, au lieu de chercher 15 centièmes de 360. Une autre confusion courante concerne la forme décimale, où 15 % est lu comme 1,5 ou 0,015 au lieu de 0,15. Ces erreurs viennent généralement du fait que l'élève ne voit pas encore le pourcentage comme une partie pour cent.

Les fiches imprimables pour cette compétence comprennent :

• Trouver le pourcentage d'un nombre
• Pourcentage d'une quantité : le pourcentage écrit comme une fraction sur 100
• Pourcentage d'une quantité : problème à énoncé
• Pourcentage d'un nombre : comparer deux résultats
• Pourcentage d'un nombre : choisir la bonne réponse
• Pourcentage d'un nombre : inverser le pourcentage et le nombre, ce qui montre que 15 % de 360 et 360 % de 15 donnent tous deux 54
• Pourcentage d'un nombre : vrai ou faux

Le domaine propose aussi des tâches « Un pourcentage supérieur à 100 » et « Un pourcentage inférieur à 1 ». Le travail avec des pourcentages supérieurs à 100 % figure dans les points ultérieurs du Key Stage 3 ; il faut donc considérer ces tâches comme un approfondissement plutôt que comme une attente de l'année 6.

Les élèves apprennent à utiliser les propriétés géométriques fondamentales selon lesquelles la somme des angles intérieurs de n'importe quel triangle est égale à 180° et celle de n'importe quel quadrilatère est égale à 360°. À l'aide de l'addition et de la soustraction, les élèves additionnent les mesures d'angles connues et soustraient cette somme de 180° ou de 360° pour calculer le dernier angle restant.

Une erreur fréquente se produit lorsque les enfants confondent les deux totaux, essayant à tort de soustraire les angles d'une figure à quatre côtés de 180° au lieu de 360°. Des erreurs de calcul sont également courantes lors de l'addition de trois nombres à deux chiffres avant de les soustraire de 360°, en particulier lors des retenues avec des zéros.

Les exercices d'entraînement portent directement sur le calcul de valeurs manquantes à partir de figures géométriques annotées. Les fiches d'exercices proposent soit Le troisième angle d'un triangle, en fournissant deux mesures connues en degrés pour trouver le dernier angle, soit Le quatrième angle d'un quadrilatère, en fournissant trois angles connus pour déterminer le quatrième.

À ce stade, l'enfant doit savoir représenter et nommer les parties d'un cercle, notamment le rayon et le diamètre, et savoir que le diamètre est égal à deux fois le rayon. Concrètement, cela signifie dessiner un cercle, marquer son centre, et étiqueter une ligne allant du centre au bord comme le rayon, ainsi qu'une ligne traversant le cercle en passant par le centre comme le diamètre. Le point du programme ne fixe pas de plage de nombres pour ce niveau ; les nombres dépendent donc de la fiche d'exercices utilisée.

Une erreur fréquente consiste à confondre les deux longueurs, ou à considérer le rayon comme la distance totale d'un bord à l'autre du cercle. L'enfant peut aussi diviser par deux alors qu'il devrait multiplier par deux, ou multiplier alors qu'il devrait diviser. Cela vient généralement du fait que l'enfant se souvient que les deux longueurs sont liées, sans savoir laquelle est la plus grande. Se rappeler que le diamètre traverse tout le cercle, et qu'il est donc le plus long des deux, aide à garder le bon sens de calcul.

Les fiches imprimables pour cette compétence utilisent les formats suivants :

• Diamètre à partir du rayon : l'enfant double un rayon donné pour trouver le diamètre.
• Rayon à partir du diamètre : l'enfant divise par deux un diamètre donné pour trouver le rayon.
• Rayon à partir du diamètre : choisir le résultat : l'enfant choisit le bon rayon parmi plusieurs propositions.
• Rayon et diamètre : vrai ou faux : l'enfant décide si des affirmations sur le rayon et le diamètre sont correctes, par exemple si le diamètre est égal à deux fois le rayon.

À la fin de la année 6, un élève doit savoir lire, écrire, ordonner et comparer des nombres entiers allant jusqu'à 10 000 000 et déterminer la valeur de chaque chiffre. Par exemple, dans 4 760 302, l'élève doit pouvoir dire que le 7 représente sept cent mille, et ranger 4 760 302, 4 706 302 et 4 760 032 du plus petit au plus grand. Le programme attend aussi que les élèves utilisent ces nombres dans des problèmes numériques et concrets.

Une erreur courante consiste à oublier des zéros à l'intérieur d'un nombre. Un élève à qui l'on demande d'écrire « trois millions quatre cent huit » peut écrire 3 408 au lieu de 3 000 408. Les zéros occupent des rangs vides. Lorsqu'on les omet, les autres chiffres se décalent à de mauvaises positions, et le nombre devient bien trop petit. Les élèves font souvent la même erreur en lisant à voix haute de grands nombres.

En pratique, les exercices sur cette compétence amènent l'élève à travailler avec les chiffres et leurs rangs. Les modèles d'exercices pour ce domaine comprennent :

• Nombres à plusieurs chiffres : comparer, pour déterminer lequel de deux nombres ou plus est le plus grand.
• Valeur d'un chiffre : choisir la réponse, pour trouver ce que représente un chiffre donné.
• Construire un nombre à partir de ses rangs (zéros à l'intérieur), pour écrire un nombre qui contient des zéros.
• Écriture décomposée : la partie manquante, pour trouver la partie d'un nombre qui manque dans son écriture décomposée.
• Numération : combien de fois plus grand et Numération : choisir combien de fois plus grand, pour comparer la valeur d'un chiffre avec celle d'un autre dans le même nombre.

En CM2 (année 6), les élèves doivent effectuer des calculs mentaux, y compris avec des opérations mixtes et de grands nombres. Le programme ne fixe pas de limite numérique pour cela, aucune taille précise de nombre n'est donc avancée ici. Les notions vues en CE2 (année 4) et en CM1 (année 5) fournissent les outils nécessaires : multiplier et diviser de tête à l'aide de faits connus et de la numération de position, utiliser la règle de commutativité de la multiplication (ainsi 4 × 25 est la même chose que 25 × 4), reconnaître les couples de diviseurs, et décomposer un nombre grâce à la distributivité.

Une erreur typique consiste à appliquer la règle de commutativité là où elle ne fonctionne pas. Échanger les nombres ne change pas le résultat en addition et en multiplication, mais cela ne fonctionne ni en soustraction ni en division : 36 ÷ 4 n'est pas égal à 4 ÷ 36. Lorsqu'on décompose un nombre, une seconde erreur fréquente consiste à calculer correctement les parties, puis à oublier de les additionner à nouveau.

Les exercices de cette compétence proviennent de ces modèles imprimables :

• Multiplier malin : choisir une méthode efficace pour une multiplication.
• Additionner malin : choisir une méthode efficace pour une addition.
• Calcul mental : multiplier par un nombre proche de 100 : utiliser un nombre rond voisin et corriger le résultat.
• Multiplication astucieuse : vrai ou faux : vérifier si un raccourci donne le bon résultat.
• Addition astucieuse : centaines entières : choisir la réponse : choisir le bon total parmi des additions de centaines entières.

D'ici la fin de la CM2 (Year 6), votre enfant sait arrondir n'importe quel nombre entier à un degré de précision requis. Les repères du programme pour cette compétence remontent aussi aux années précédentes. À la fin du CM1 (Year 5), les élèves arrondissent les nombres jusqu'à 1 000 000 à la dizaine, à la centaine, au millier, à la dizaine de milliers et à la centaine de milliers près. À la fin du CE2 (Year 4), ils arrondissent les nombres à la dizaine, à la centaine ou au millier près.

Une erreur courante consiste à arrondir par défaut en supprimant simplement les chiffres situés après le rang choisi. Par exemple, 4 582 arrondi au millier près donne 5 000, et non 4 000, car le chiffre des centaines est 5 ou plus. Les enfants ignorent souvent ce chiffre, parce qu'ils considèrent l'arrondi comme une troncature plutôt que comme une comparaison du nombre avec le repère d'arrondi le plus proche.

Les fiches imprimables de CM2 (Year 6) dans ce domaine comprennent :

• Arrondir au millier près et Arrondir à la dizaine de milliers près, où votre enfant arrondit un nombre donné au rang indiqué.
• Arrondir des nombres à plusieurs chiffres à la centaine près, qui utilisent des nombres plus longs.
• Arrondir au millier près : le plus petit nombre, qui demande le plus petit nombre entier qui s'arrondit à une valeur donnée. Par exemple, le plus petit nombre qui s'arrondit à 7 000 au millier près est 6 500.
• Arrondir au millier près : choisir le résultat et Arrondir au millier près : vrai ou faux, qui vérifient si votre enfant sait reconnaître un arrondi correct.

À ce stade, un enfant peut prendre un problème à énoncé comportant un nombre manquant et l'écrire sous forme d'équation, en utilisant une lettre comme n ou x pour l'inconnue. Le point du programme pour cette compétence est d'exprimer algébriquement des problèmes de nombres manquants. Il ne fixe pas de plage de nombres pour ce niveau, c'est pourquoi cette page n'en donne pas.

Une erreur fréquente consiste à construire l'équation à partir des nombres qui apparaissent dans l'histoire plutôt qu'à partir de ce que les mots décrivent. Un enfant peut voir « 12 » et « 5 » et écrire 12 + 5, alors que l'énoncé dit en réalité qu'un nombre a été diminué de 5 pour donner 12, soit n − 5 = 12. Relire l'équation terminée en mots est un bon moyen de vérifier.

Les tâches imprimées de ce domaine pour cette compétence sont :

• Équation à partir du contexte : quel était le nombre : l'enfant écrit une équation pour l'histoire et s'en sert pour trouver le nombre manquant.
• Équation pour la quantité de départ : problème à énoncé : l'inconnue est ce avec quoi l'histoire commence, et l'enfant écrit une équation pour cette quantité de départ.
• Équation avec une inconnue : choisir la réponse : l'enfant choisit l'équation ou la réponse qui convient au problème.
• Équation avec une inconnue : vrai ou faux : l'enfant décide si une équation donnée correspond aux énoncés du problème.

En CM2, les modèles de cette compétence demandent à l'enfant de nommer des quadrilatères en observant leurs propriétés plutôt que leur apparence. Les repères du programme à la base de cette compétence commencent en CE2 et se poursuivent jusqu'au CM2. Le travail de CM2 pratiqué ici consiste à nommer des quadrilatères et à décider si une affirmation à leur sujet est vraie. Pour les côtés parallèles, la plage de valeurs est 0, 1 ou 2 paires.

Une erreur fréquente consiste à traiter les noms comme des boîtes séparées. Un enfant peut affirmer qu'un carré n'est pas un rectangle, ou qu'une figure tournée sur le côté est une autre figure. Cela arrive généralement parce que l'enfant a appris les noms à partir d'une seule image type, comme un carré posé à plat sur la page, et n'a pas encore vérifié les propriétés qui définissent chaque nom. Des noms comme carré et rectangle se recoupent, si bien qu'une figure peut appartenir à plusieurs familles.

Un exercice sur cette compétence donne généralement une figure ou une affirmation et demande à l'enfant de trancher. Les modèles de cet domaine comprennent :

• Quadrilatères : un carré est-il aussi un rectangle, qui vérifie si l'enfant peut voir qu'une famille peut être incluse dans une autre.
• Comment s'appelle ce quadrilatère ?, où l'enfant nomme la figure à partir de ses propriétés.
• Paires de côtés parallèles : vrai ou faux, où l'enfant vérifie une affirmation sur les côtés parallèles.
• Quadrilatères : combien de paires de côtés parallèles ?, où l'enfant compte les paires et répond par 0, 1 ou 2.

La compétence consiste à diviser un nombre de quatre chiffres au maximum par un nombre entier à deux chiffres, à l'aide de la méthode écrite de la division posée. Les repères du programme demandent aussi la division en ligne lorsqu'elle est adaptée, ainsi que l'interprétation reste selon le contexte : sous la forme d'un nombre entier restant, d'une fraction ou par arrondi.

L'erreur habituelle se produit au moment de l'estimation. Avec un diviseur à deux chiffres, un enfant doit déterminer combien de fois le diviseur entre dans une partie du nombre, ce qui est plus difficile qu'avec un diviseur à un chiffre. Les résultats fréquents sont :

• choisir un chiffre trop grand, de sorte que la soustraction donne un résultat négatif ;
• choisir un chiffre trop petit, de sorte que le reste est égal au diviseur ou plus grand que lui ;
• abaisser le mauvais chiffre, ou oublier le zéro dans le quotient lorsque le diviseur ne entre pas dans le chiffre traité.

Parmi les tâches de ce domaine qui permettent de travailler cette compétence, on trouve Division longue par un nombre à deux chiffres, Diviser par un nombre à deux chiffres : choisir le dividende, Diviser par un nombre à deux chiffres : le dividende manquant et Division longue : combien de fois ça rentre ? Cette dernière vise directement l'étape d'estimation. Estimer un quotient : choisir le résultat permet à un enfant de vérifier si une réponse est plausible avant d'effectuer le calcul complet.

En CM2 (année 6), votre enfant utilise ce qu'il sait de l'ordre des opérations pour calculer avec les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication et division. Ce qui se trouve entre parenthèses est calculé en premier, et le reste du calcul suit l'ordre habituel. Les repères du programme pour cette compétence ne fixent pas de plage de nombres, cette description n'en donne donc pas.

Une erreur fréquente consiste à calculer strictement de gauche à droite en ignorant la structure de l'expression. Par exemple, pour 2 + 3 × 4, un enfant peut additionner d'abord et obtenir 20, alors que la multiplication doit être faite en premier pour donner 14. Les parenthèses peuvent être ignorées de la même façon, de sorte que (2 + 3) × 4 peut être calculé comme 2 + 12. L'enfant suit alors l'ordre dans lequel les symboles sont écrits, et non l'ordre dont le calcul a besoin.

L'entraînement sur cette compétence comprend trois types d'exercices :

• Calculer une expression avec parenthèses : votre enfant calcule la valeur d'un seul calcul.
• Ordre des opérations avec parenthèses : choisir le résultat : votre enfant choisit la bonne réponse parmi plusieurs propositions, ce qui montre s'il a appliqué l'ordre des opérations.
• Ordre des opérations avec parenthèses : vrai ou faux : votre enfant décide si un énoncé écrit est correct, ce qui suppose de effectuer le calcul soigneusement plutôt que de deviner.

La notation plus complète de la priorité des opérations, incluant les puissances, les racines et les inverses, est présentée pour le cycle 4 (collège). Ces exercices de CM2 ne les incluent pas.

En CM2, les élèves utilisent l'estimation pour vérifier les résultats de calculs. Ils arrondissent les nombres d'un calcul, déterminent un résultat approché et le comparent avec le résultat obtenu. Ils décident aussi quelle précision est nécessaire pour le problème qu'ils résolvent. Les tâches imprimées de ce domaine travaillent sur l'arrondi à la centaine la plus proche.

Une erreur fréquente consiste à arrondir à la mauvaise centaine. Par exemple, un enfant peut arrondir 351 à 300 au lieu de 400. Cela arrive généralement lorsque les enfants suppriment des chiffres ou ne regardent que le chiffre des dizaines, au lieu de vérifier à quelle centaine le nombre est le plus proche. Une autre erreur consiste à accepter un résultat exact sans vérifier rapidement que sa valeur est raisonnable.

Les tâches d'estimation de ce domaine comprennent :

• Estimer une somme : l'enfant arrondit chaque nombre et additionne les nombres arrondis pour obtenir une estimation.
• Estimer une somme : choisir l'estimation : l'enfant choisit, parmi plusieurs propositions, l'estimation la plus proche du résultat exact.
• Estimer : choisir l'arrondi à la centaine : l'enfant choisit la valeur arrondie correcte de chaque nombre, ce qui entraîne l'étape de l'arrondi elle-même.

En CM2 (Année 6), le programme demande aux élèves de résoudre des problèmes numériques et pratiques faisant intervenir l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, y compris des problèmes à plusieurs étapes présentés dans un contexte. L'exigence essentielle est que l'élève décide quelles opérations et quelles méthodes utiliser, et qu'il sache dire pourquoi. Les repères du programme sur lesquels repose cette compétence proviennent aussi des années précédentes et décrivent l'ensemble du cycle plutôt que la seule année en cours. Ils ne donnent pas de plage de nombres précise pour le CM2, c'est pourquoi cette page n'en indique aucune.

Une difficulté fréquente consiste à choisir une opération à partir d'un seul mot de la question, ou à se lancer dans un calcul avant d'avoir compris ce que demande la question. Un problème en deux étapes peut alors ne donner lieu qu'à une seule étape, ou bien la mauvaise opération est utilisée pour la première étape. Lire d'abord la situation, puis énoncer à quoi sert chaque étape, est l'habitude que vise la formulation du programme.

Les exercices portant sur cette compétence utilisent les modèles imprimables disponibles dans cette rubrique :

• Problème en deux étapes (regrouper) : un contexte dans lequel l'élève doit passer par deux étapes pour regrouper des quantités.
• Stock et lots : le plus grand nombre de lots : l'élève calcule combien de lots complets peuvent être constitués à partir d'un stock donné.
• Stock et lots : choisir le nombre de lots : l'élève sélectionne le nombre de lots qui convient à la situation.
• Problème sur trois jours, choisir le résultat : l'élève résout un problème réparti sur trois jours et choisit le résultat correct.
• Problème sur trois jours, vrai ou faux : l'élève vérifie si une affirmation concernant la situation est correcte.

Le point de l'année 6 demande aux enfants de comparer et de ranger des fractions, y compris des fractions supérieures à 1, comme 7/4 ou 2 1/3. S'appuyant sur le point de l'année 5, la même compétence couvre des fractions dont les dénominateurs sont des multiples d'un même nombre. Le rangement sur une droite graduée avec des nombres négatifs relève d'une étape ultérieure du secondaire.

L'erreur habituelle consiste à considérer qu'un plus grand dénominateur donne une plus grande fraction. Un enfant peut affirmer que 1/8 est plus grand que 1/4 parce que 8 est plus grand que 4, ou choisir 5/8 plutôt que 3/4 parce que ses deux nombres semblent plus grands. Le dénominateur indique en combien de parts égales le tout est découpé. Plus il y a de parts, plus chaque part est petite : il faut donc comparer les fractions selon la taille des parts, et non selon la valeur des chiffres.

Les exercices de cette compétence proviennent de ces modèles :

• Fractions de dénominateurs différents : comparer, avec des couples comme 3/4 et 5/8, où l'enfant doit d'abord rendre les dénominateurs identiques avant de décider laquelle est la plus grande.
• Fractions de même numérateur : comparer, avec des couples comme 3/5 et 3/8, où le nombre de parts est identique et où l'enfant raisonne sur la taille des parts.
• Fractions : comparer à un demi, où l'enfant décide si une fraction est supérieure ou inférieure à 1/2.

Les modèles de fractions équivalentes (trouver le numérateur manquant, choisir le numérateur manquant, et vrai ou faux) soutiennent ce travail, car réécrire des fractions avec un dénominateur commun est la méthode utilisée pour de nombreuses comparaisons. Ces modèles impriment des couples à comparer. Les modèles listés n'impriment pas d'ensembles de trois fractions ou plus à ranger, et ils ne désignent pas spécifiquement les fractions supérieures à 1.

En Année 6, un enfant utilise une échelle écrite sous forme de rapport pour passer d'une longueur sur une carte à la distance réelle qu'elle représente. Les exercices imprimés donnent généralement une distance sur la carte en centimètres et demandent la distance réelle en kilomètres, ou l'inverse.

L'erreur habituelle consiste à multiplier la distance sur la carte par le nombre de l'échelle et à s'arrêter là, de sorte que la réponse est en centimètres alors que la question demande des kilomètres. Le rapport lui-même n'a pas d'unité, donc la conversion de centimètres en kilomètres est une étape distincte que les enfants oublient souvent ou effectuent dans le mauvais sens. Certains divisent alors qu'ils devraient multiplier, ou inversent le rapport.

Un exercice type utilise l'un des modèles de ce domaine : trouver la distance sur la carte en centimètres, trouver la distance réelle en kilomètres, choisir la distance correcte en kilomètres, ou travailler avec à la fois une distance sur la carte et une distance réelle. D'autres modèles demandent à l'enfant de trouver l'échelle, de dire si une affirmation sur une échelle est vraie ou fausse, ou de réécrire une échelle sous forme de rapport avec des unités. Les repères du programme pour cette compétence couvrent aussi les dessins à l'échelle et les figures semblables, mais les modèles de Année 6 présentés ici ne portent que sur le travail avec les cartes, et c'est donc la seule chose que cette description affirme.

En CM2 (Année 5), les élèves identifient et écrivent des fractions équivalentes, représentées visuellement, y compris les dixièmes et les centièmes. En Année 6, ils utilisent des facteurs communs pour simplifier des fractions, en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre afin que la fraction conserve sa valeur. Les repères du programme pour cette compétence ne fixent pas de plage de nombres pour l'Année 6 : la taille des nombres dépend donc de la fiche d'exercices. Exprimer une quantité comme fraction d'une autre est un repère du cycle 4 (Key Stage 3), il vient donc plus tard.

Une erreur fréquente consiste à soustraire le même nombre au numérateur et au dénominateur au lieu de diviser. Par exemple, un élève pourrait transformer 6/8 en 4/6 en retranchant 2 à chaque nombre, alors que diviser les deux par 2 donne 3/4. Cela arrive parce que l'élève traite les deux nombres comme une différence, ce qui ne conserve pas l'égalité de la fraction. Une autre erreur consiste à diviser par un petit facteur commun puis à s'arrêter trop tôt : ainsi, 12/18 devient 6/9 alors qu'il peut encore être simplifié en 2/3.

Les modèles d'exercices imprimés pour cette compétence comprennent :

• Simplifier la fraction : l'élève réduit une fraction donnée à l'aide d'un facteur commun.
• Simplifier des fractions : par quel nombre a-t-on divisé ? : l'élève détermine le nombre par lequel le numérateur et le dénominateur ont été divisés.
• Simplifier des fractions : le dénominateur manquant, choisir le dénominateur manquant et choisir le nouveau numérateur : l'élève complète une fraction équivalente, en montrant que la fraction simplifiée et la fraction d'origine ont la même valeur.

En CM2, votre enfant apprend à multiplier deux fractions simples, c'est-à-dire des fractions inférieures à un, comme 1/4 ou 3/5. Par exemple, 1/4 × 1/2 = 1/8. Votre enfant apprend aussi à écrire le résultat sous sa forme la plus simple, donc 2/3 × 3/4 = 6/12 devient 1/2.

Une erreur fréquente consiste à traiter la multiplication comme une addition. Un enfant pourrait additionner les dénominateurs, en écrivant 1/4 × 1/2 comme 1/6, ou multiplier les numérateurs puis laisser un résultat comme 6/12 sans le simplifier. L'addition de fractions exige un dénominateur commun, si bien que l'habitude prise en addition se transfère souvent. Simplifier est une étape à part entière, et elle est facile à oublier.

Les fiches imprimables pour cette compétence comprennent les types d'exercices suivants :

• Multiplier des fractions : des couples de fractions simples à multiplier puis à simplifier.
• Multiplier des fractions : aire d'un rectangle : calculer l'aire d'un rectangle dont les côtés sont des fractions, ce qui relie la multiplication à une représentation visuelle.
• Multiplier des fractions : choisir le résultat : choisir le bon produit parmi plusieurs propositions, ce qui aide votre enfant à vérifier ses réponses.
• Multiplier des fractions : choisir le dénominateur : trouver le dénominateur qui donne un produit correct, ce qui encourage à réfléchir à la façon dont les dénominateurs se combinent.

En CM2 (Année 6), les élèves doivent diviser des fractions inférieures à l'unité (où le numérateur est plus petit que le dénominateur) par des nombres entiers, par exemple 1/3 ÷ 2 = 1/6. Une image aide : un tiers d'une barre coupé en deux parts égales donne des morceaux qui sont des sixièmes.

Une erreur fréquente consiste à multiplier au lieu de diviser, de sorte que 1/3 ÷ 2 devient 2/3. Une vérification rapide permet de la repérer. Partager quelque chose en morceaux plus petits doit donner une quantité plus petite : la réponse doit donc toujours être inférieure à la fraction de départ.

Les fiches d'exercices pour cette compétence comprennent :

• Diviser une fraction unitaire par un nombre entier, la tâche principale.
• Fraction divisée par un entier : choisir le dénominateur, où l'élève choisit le dénominateur correct pour le résultat.

La rubrique propose aussi des exercices de division par une fraction unitaire, comme le problème en contexte « combien de fois ? » et « choisir le résultat ». Ces exercices divisent par une fraction et non par un nombre entier, ce que le point du programme pour cette compétence n'exige pas ; considérez-les donc comme un entraînement supplémentaire plutôt que comme un travail attendu.

Pendant les années 3 et 4, les repères du programme pour cette compétence demandent aux enfants de trouver des fractions unitaires et non unitaires d'un ensemble d'objets dont les dénominateurs sont petits, et de calculer des quantités dont le résultat est un nombre entier. En année 6, le programme demande aux enfants de résoudre des problèmes de partage inégal et de regroupement en utilisant leurs connaissances sur les fractions et les multiples. Les modèles de cette rubrique ne fixent pas de plage de nombres au-delà de ce qu'indiquent les repères du programme.

Une erreur fréquente consiste à utiliser le mauvais nombre de la fraction. Pour trois quarts de 20, un enfant pourrait diviser 20 par 3 au lieu de 4, ou diviser correctement par 4 pour obtenir 5 puis s'arrêter, en oubliant de prendre trois de ces parts. La cause en est que le nombre du bas indique en combien de parts égales la quantité est partagée, et que le nombre du haut indique combien de ces parts il faut garder. Confondre les deux peut donner un résultat qui semble raisonnable ; il est donc utile de demander à votre enfant ce que signifie chaque nombre de la fraction.

Les exercices sur cette compétence sont des fiches imprimables construites à partir de ces modèles :

• Trouver une fraction d'un nombre : la tâche principale, qui consiste à calculer une fraction d'un nombre entier donné.
• Fraction d'un nombre : calculer : calculer la fraction et écrire la réponse.
• Fraction d'un nombre : retrouver le tout à partir d'une partie : remonter d'une fraction d'un nombre jusqu'au nombre entier.
• Fraction d'un nombre : comparer deux parties : trouver deux fractions d'un même nombre et les comparer.
• Fraction d'un nombre : ce qui reste après avoir pris une partie : trouver une fraction puis calculer ce qui reste.
• Fraction d'un nombre : choisir le résultat et Fraction d'un nombre : choisir le tout : sélectionner la bonne réponse ou le bon nombre entier parmi plusieurs propositions.

En CM2, les élèves apprennent à relier une fraction à une division. Le nombre du haut est partagé par le nombre du bas, donc 3/8 signifie 3 ÷ 8. Grâce à cela, ils peuvent trouver l'écriture décimale d'une fraction simple, par exemple en découvrant que 3/8 vaut 0,375.

Une erreur courante consiste à inverser les deux nombres et à calculer 8 ÷ 3 au lieu de 3 ÷ 8. Cela arrive souvent lorsqu'une phrase de division est réécrite sous forme de fraction, car l'ordre des nombres est facile à inverser. Vérifier quel nombre est partagé avant de calculer permet d'éviter cette erreur.

Des exercices sur cette compétence sont disponibles sous forme de modèles imprimables :

• Écrire une division sous forme de fraction : les élèves réécrivent une phrase de division sous forme de fraction.
• Fraction comme division : quotient sous forme de nombre mixte : les élèves effectuent une division et expriment le résultat sous forme de nombre mixte, par exemple 7 partagé entre 3 donne 2 1/3.
• Fraction comme division : vrai ou faux : les élèves décident si une affirmation reliant une fraction et une division est correcte.
• Division sous forme de fraction : choisir le numérateur : les élèves choisissent le bon nombre du haut pour une division donnée.

En CM2 (Année 6), votre enfant utilise les multiples communs pour réécrire des fractions afin qu'elles aient le même dénominateur (le nombre du bas). Les repères du programme pour cette compétence ne fixent pas de plage précise de nombres, c'est pourquoi cette page n'en nomme aucune. Les fiches de travail de votre enfant indiquent avec quels dénominateurs il travaille.

Une erreur fréquente consiste à additionner les numérateurs et les dénominateurs lors de l'addition de fractions. Par exemple, 1/2 + 1/3 devient 2/5, ce qui est faux. Une autre erreur courante est de changer le dénominateur sans changer aussi le numérateur, si bien que 1/3 devient 1/6 au lieu de 2/6. Ces erreurs surviennent lorsque l'enfant considère le dénominateur comme une simple étiquette plutôt que comme la taille des parts.

Les modèles de cette rubrique travaillent les étapes une à une :

• Dénominateur commun : trouver le plus petit. Votre enfant calcule le plus petit multiple commun des dénominateurs donnés.
• Dénominateur commun : choisir le plus petit. Votre enfant choisit le plus petit dénominateur commun parmi une liste de propositions.
• Dénominateur commun : choisir le numérateur. Une fois le dénominateur commun fixé, votre enfant choisit le numérateur correspondant pour la fraction réécrite.

La notion associée du programme de CM1 (Année 5) porte sur l'addition et la soustraction de fractions dont les dénominateurs sont multiples d'un même nombre. Les modèles de l'Année 6 ci-dessus se concentrent sur la recherche et le choix du dénominateur commun.

D'ici la fin de la classe de CM2, le programme demande aux élèves de relier les fractions à la division et de calculer l'écriture décimale d'une fraction simple, comme 3/8, qui vaut 0,375. Ils doivent aussi retenir les équivalences entre fractions simples, écritures décimales et pourcentages, et les utiliser dans différents contextes.

Une erreur fréquente consiste à diviser dans le mauvais sens. Pour 3/8, un élève peut calculer 8 ÷ 3 et obtenir 2,67 au lieu de 3 ÷ 8 = 0,375. Un rappel utile : la barre de fraction signifie « numérateur divisé par dénominateur ». Une vérification pratique consiste à se demander si une fraction inférieure à un donne bien un nombre décimal inférieur à un.

Les exercices de cette compétence proviennent de trois modèles :

• Écrire une fraction sous forme décimale, où l'élève convertit lui-même la fraction.
• Fraction en décimal : choisir le décimal, où l'élève choisit le bon nombre décimal parmi plusieurs propositions.
• Fraction en décimal : vrai ou faux, où l'élève décide si une fraction et un nombre décimal donnés correspondent. Cette version est utile pour repérer l'erreur de division inversée.

À ce stade, les élèves doivent reconnaître des angles qui se rejoignent en un point, qui sont alignés sur une droite ou qui sont opposés par le sommet, et trouver l'angle manquant dans chaque cas. Le programme donne les totaux à retenir : 360° pour un tour complet et 180° pour une droite. Il ne fixe pas de plage de valeurs pour l'angle inconnu : ce sont donc les nombres de chaque fiche qui sont choisis par la tâche.

Une erreur fréquente consiste à choisir le mauvais total. Un enfant peut voir une droite mais soustraire de 360°, ou considérer une paire d'angles sur une droite comme formant un tour complet. Une autre erreur courante consiste à ne soustraire qu'un seul des angles connus, ou à retrancher l'angle inconnu d'un seul angle donné au lieu de le retrancher du tout. Ces deux erreurs viennent généralement du fait de ne pas avoir d'abord déterminé à quel ensemble complet appartiennent les angles.

Dans cet espace consacré au CM2, les modèles imprimables pour cette compétence comprennent :

• Troisième angle dans un tour complet : choisir la mesure
• Partie manquante d'un angle : trois angles dans un tour complet
• Partie manquante d'un angle : choisir la mesure
• Trouver la partie manquante d'un angle

Les deux premiers modèles portent sur des angles qui se partagent un tour complet. Les deux autres couvrent plus généralement les tâches de partie manquante. Le travail sur les angles alternes-internes et correspondants avec des droites parallèles figure dans les repères du cycle 4 (collège) ; ce n'est donc pas une notion que ces modèles de CM2 sont conçus pour travailler.

En CM2 (Year 6), les élèves utilisent les méthodes écrites de division pour diviser des nombres décimaux, dont le quotient peut comporter jusqu'à deux décimales. Un exemple type consiste à partager 7,50 £ équitablement entre 3 personnes, ou à diviser 4,8 par 2, puis à déterminer le montant exact en plaçant correctement la virgule.

Une erreur fréquente consiste à effectuer la division comme si la virgule n'existait pas, puis à la placer mal dans le résultat. Par exemple, un élève peut calculer correctement 48 ÷ 2, puis écrire 2,4 sous la forme 24 ou 0,24. Une autre erreur courante est de supposer que diviser rend toujours un nombre plus petit, si bien que l'élève ne remarque pas qu'un résultat est manifestement absurde.

Les fiches imprimées pour cette compétence comprennent :

• Diviser des décimaux, pour un entraînement général aux méthodes écrites.
• Diviser des décimaux : par un nombre entier, la forme essentielle de la compétence.
• Diviser des décimaux : déplacer la virgule dans les deux nombres, qui montre une façon de transformer la division en une division par un nombre entier. C'est une méthode utilisée par les modèles, et non la seule approche acceptable.
• Diviser des décimaux : le quotient est-il plus grand ?, choisir le résultat et vrai ou faux, qui demandent à l'élève d'évaluer si un résultat est cohérent avant ou après le calcul.

Le point plus large du programme pour ce cycle (KS3.N.4) couvre les quatre opérations avec les décimaux, les fractions et les nombres négatifs. En CM2, les modèles présentés ici ne couvrent que la division de décimaux positifs.

Les élèves de CM2 utilisent les nombres négatifs dans des contextes concrets, par exemple les températures en dessous de zéro, et trouvent la distance entre deux nombres entiers sur une droite numérique, y compris lorsque l'intervalle passe par zéro. Le programme ne précise pas de plage de nombres, donc cette page n'en fixe pas. Les tâches imprimées utilisent des nombres entiers (entiers positifs et négatifs) sur une droite numérique qui traverse zéro.

Une erreur fréquente consiste à traiter le nombre négatif comme s'il était positif. Un élève qui voit -3 à 4 et calcule 4 - 3 = 1 a ignoré le zéro au milieu. La distance est de 3 pas jusqu'à zéro plus 4 pas jusqu'à 4, soit 7. Certains élèves comptent aussi le zéro deux fois ou l'oublient ; il est donc utile de compter les sauts un par un et de vérifier le total.

Les tâches imprimées dans ce domaine travaillent la compétence de ces façons :

• Distance entre nombres entiers : trouver l'écart entre deux nombres entiers, dont un ou les deux sont négatifs.
• L'entier situé à quelques unités à gauche : partir d'un nombre donné et se déplacer d'un nombre fixé d'unités vers la gauche, ce qui peut conduire l'élève au-delà de zéro.
• Deux nombres à la même distance : trouver, de l'autre côté de zéro, un nombre situé à la même distance d'un nombre donné.
• Distance sur une droite numérique : choisir la distance : choisir la bonne distance parmi un ensemble de propositions.
• Vrai ou faux : distance sur la droite numérique : décider si une distance énoncée est correcte.

Une erreur courante consiste à traiter un écart de part et d'autre de zéro comme si les deux nombres étaient du même côté de zéro. Un enfant à qui l'on demande l'écart entre -3 et 4 peut calculer 4 - 3 et répondre 1. En réalité, l'écart est de 7 : 3 pas jusqu'à zéro, puis 4 pas vers le haut. Les enfants peuvent aussi penser que -7 est plus grand que -2 parce que 7 est plus grand que 2. Tracer une droite numérique avec zéro bien repéré aide les enfants à voir les deux déplacements.

Les modèles imprimables pour cette compétence comprennent :

• Points négatifs dans un jeu : l'enfant calcule le total d'un joueur après la perte de points, de sorte que le total passe sous zéro.
• Un score inférieur à zéro : choisir le nouveau score : l'enfant choisit le bon nouveau score après une variation qui le fait passer sous zéro.
• Un score inférieur à zéro : vrai ou faux : l'enfant décide si des affirmations sur les scores inférieurs à zéro sont correctes.

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre composé en possède plus de deux. Le programme fixe l'évaluation de CM2 (année 5) pour les nombres jusqu'à 100, où les enfants établissent si un nombre est premier et retrouvent les nombres premiers jusqu'à 19. En 6e (année 6), l'objectif est d'identifier les nombres premiers, ainsi que les diviseurs communs et les multiples communs.

Une erreur courante consiste à juger un nombre selon sa parité. Un enfant peut considérer 9 ou 21 comme premiers parce qu'ils sont impairs, alors que 9 = 3 × 3 et 21 = 3 × 7. Une autre erreur consiste à oublier que 1 n'est ni premier ni composé. Diviser un nombre par de petits nombres et vérifier si le résultat tombe juste est un moyen fiable d'éviter ces erreurs.

Les exercices de 6e imprimés pour cette compétence sont :

• Premier ou composé ?, où votre enfant classe des nombres en groupes de nombres premiers et de nombres composés.
• Nombre composé : le plus petit diviseur, où votre enfant trouve le plus petit diviseur d'un nombre composé, autre que 1.
• Nombres premiers : choisir le nombre premier, où votre enfant choisit le nombre premier dans une liste.
• Nombre composé : vrai ou faux, où votre enfant décide si les affirmations sur les nombres composés sont correctes.

En fin de CM2 (Year 6), les élèves doivent résoudre des problèmes impliquant la conversion d'unités et utiliser la notation décimale avec jusqu'à trois chiffres après la virgule, lorsque cela est pertinent. Pour cette compétence, cela consiste à prendre une longueur exprimée en deux unités, comme 2 mètres 45 centimètres, et à l'écrire sous la forme d'un seul nombre décimal dans la plus grande unité : 2,45 m. Lorsque la situation l'exige, la même idée va jusqu'à trois chiffres après la virgule, par exemple 1 m 5 mm = 1,005 m. Cela prolonge le travail de CM1 (Year 5) sur l'utilisation des décimaux dans les problèmes de mesures.

L'erreur typique consiste à traiter les chiffres placés après les unités comme un nombre entier et à les écrire directement après la virgule. Un élève qui écrit 3 m 5 cm sous la forme 3,5 m a lu le 5 comme cinq dixièmes de mètre. Or 5 cm correspondent à 5 centièmes de mètre, donc la bonne réponse est 3,05 m. L'élève doit comprendre que chaque unité plus petite occupe une position décimale précise, et non simplement qu'elle se trouve après la virgule.

La fiche imprimable associée à cette compétence est Écrire une longueur sous forme décimale, qui demande aux élèves de convertir une longueur exprimée en deux unités en un seul nombre décimal. Deux modèles liés, Mesurer dans la plus grande unité : choisir le décimal et Mesurer dans la plus grande unité : vrai ou faux, permettent aux élèves de s'entraîner à vérifier quel nombre décimal correspond à une mesure, ou si une égalité proposée est correcte, comme décider si 4 m 20 cm = 4,2 m est vrai ou faux.

En CM2 (Année 6), votre enfant prend un rapport écrit sous forme de deux nombres, comme 12:18, et le réécrit avec les plus petits nombres entiers qui conservent la même comparaison, ici 2:3. Pour cela, il divise les deux termes par un même nombre. Les repères du programme pour cette compétence n'indiquent pas de plage de nombres, c'est pourquoi cette page n'en mentionne aucune.

Une erreur fréquente consiste à diviser par un diviseur commun qui n'est pas le plus grand. Par exemple, diviser 12:18 par 2 donne 6:9, qui n'est toujours pas sous sa forme la plus simple, car les deux nombres peuvent encore être divisés par 3. Une autre erreur consiste à écrire un rapport entre deux unités différentes, comme 4 cm : 1 m, sans avoir d'abord converti les grandeurs dans la même unité. Le rapport ne compare équitablement les tailles qu'une fois les deux grandeurs exprimées dans la même unité.

Quatre fiches imprimées de cette partie permettent de travailler la compétence :

• Écrire le rapport sous sa forme la plus simple, où l'enfant simplifie directement un rapport donné.
• Simplifier des rapports : unités différentes, où l'enfant convertit les grandeurs dans une même unité avant de simplifier.
• Simplifier des rapports : vrai ou faux, où l'enfant vérifie si une simplification proposée est correcte.
• Simplifier un rapport : choisir le diviseur, où l'enfant décide par quel nombre diviser les deux termes.

Le programme plus large du cycle 4 (Key Stage 3) demande la notation des rapports, y compris la réduction à la forme la plus simple, ainsi que la compréhension d'une relation multiplicative comme rapport ou comme fraction. Ces notions dépassent ce que couvrent les fiches de CM2 ci-dessus, c'est pourquoi cette page ne les présente pas comme des exigences de CM2.

En CM2, votre enfant convertit des masses entre les unités usuelles, principalement le gramme et le kilogramme, en passant d'une unité plus petite à une unité plus grande, puis inversement. Les nombres décimaux vont jusqu'à trois chiffres après la virgule. Comme 1 kg vaut 1000 g, 1 g vaut 0,001 kg. Ainsi, 2,345 kg font 2345 g, et 750 g font 0,75 kg.

Une erreur courante consiste à déplacer la virgule d'un mauvais nombre de rangs, souvent en multipliant par 10 ou 100 au lieu de 1000. Un enfant pourrait écrire 2,5 kg comme 25 g, ou 0,75 kg comme 75 g. Cela arrive généralement parce que l'enfant traite les kilogrammes et les grammes comme des unités qu'il a déjà converties, ou parce qu'il ne sait pas dans quel sens la virgule se déplace. Vérifier si la réponse est cohérente, par exemple qu'un sac de 2 kg doit peser bien plus de 1000 g, aide à repérer ces erreurs.

Les exercices sur cette compétence comprennent :

• Convertir en une unité de masse plus petite et Convertir en une unité de masse plus grande, qui permettent de s'entraîner dans chaque sens.
• Écrire une masse dans une autre unité, qui demande d'écrire la même masse dans une autre unité.
• Unités de masse : comparer, qui demande laquelle de deux masses est la plus lourde lorsqu'elles sont données dans des unités différentes.
• Masse en kilogrammes : choisir la bonne décimale et Masse en kilogrammes : vrai ou faux, qui se concentrent sur la lecture et la vérification des décimales du kilogramme.
• Conversion d'unités de masse : choisir le résultat, qui propose des réponses parmi lesquelles choisir.

D'ici la fin du CM2, votre enfant doit savoir multiplier un nombre de up to quatre chiffres par un nombre entier à deux chiffres, en utilisant la méthode écrite posée de la multiplication en colonnes. Par exemple, 3 486 × 27 se calcule en multipliant 3 486 par 7, puis par 20, et en additionnant les deux résultats. Cela s'appuie sur le CM1, lorsque les enfants ont d'abord utilisé une méthode écrite pour multiplier des nombres allant jusqu'à quatre chiffres par des nombres d'un ou deux chiffres, y compris la multiplication posée pour des nombres à deux chiffres.

Une erreur fréquente concerne la deuxième ligne. Lorsqu'ils multiplient par le chiffre des dizaines, les enfants écrivent souvent le produit partiel en commençant sous la colonne des unités, comme s'ils multipliaient par un seul chiffre. Cela revient à considérer le chiffre des dizaines comme ne valant que sa valeur faciale, et non dix fois cette valeur, ce qui rend le total final faux. La deuxième ligne doit être décalée d'un rang vers la gauche, ce qui revient à placer un zéro à la fin de celle-ci. Les retenues sur plusieurs colonnes peuvent aussi provoquer des erreurs, surtout lorsque les nombres sont grands.

Sur la page thématique de mathématiques, vous trouverez les modèles d'exercices suivants pour cette compétence :

• Multiplier des nombres à plusieurs chiffres (en colonnes) : des multiplications directes posées en colonnes que votre enfant doit effectuer entièrement.
• Multiplication posée : le produit partiel manquant : une ligne du calcul est laissée vide ; votre enfant trouve ce qui doit y figurer et voit comment les lignes se combinent pour donner le total.
• Multiplier par un nombre à deux chiffres : choisir : votre enfant sélectionne la bonne réponse ou la bonne méthode parmi plusieurs propositions.
• Multiplication posée : choisir le produit partiel : votre enfant choisit le bon produit partiel parmi plusieurs réponses, ce qui aide à vérifier le décalage de la valeur de position.

En CM2, votre enfant lit la valeur de chaque barre sur l'échelle et compare les barres entre elles. Par exemple, il peut constater qu'une barre indique 14 et une autre 9, puis calculer que la première est supérieure de 5. Les nombres proviennent du graphique présent sur chaque fiche d'exercices.

Une erreur fréquente consiste à mal lire l'échelle. Si chaque petit trait de l'axe vaut plus que 1, un enfant peut compter les traits comme s'ils valaient chacun 1, et toutes les valeurs sont alors fausses. Dans les questions « combien de plus », les enfants font aussi souvent la soustraction dans le mauvais ordre ou donnent la valeur d'une seule barre au lieu de la différence entre deux barres.

Les exercices de ce domaine utilisent trois modèles :

• Diagramme en barres : comparer les barres, où votre enfant compare les hauteurs des barres pour dire laquelle est la plus grande ou de combien.
• Diagramme en barres : combien de plus, vrai ou faux, où votre enfant vérifie si une affirmation sur la différence entre deux barres est vraie ou fausse.
• Lire un diagramme en barres : choisir le total, où votre enfant calcule le total des valeurs représentées.

Les programmes de CM2 incluent aussi l'interprétation des diagrammes circulaires et des graphiques linéaires. Les modèles de ce domaine ne couvrent pas encore ces notions ; il faudra donc chercher d'autres ressources pour s'y entraîner.

En CM2, les élèves apprennent à calculer l'aire d'un parallélogramme. La méthode consiste à multiplier la longueur de la base par la hauteur perpendiculaire, c'est-à-dire la distance verticale entre la base et le côté opposé. Les repères du programme pour cette année ne donnent pas de plage de nombres : les grandeurs manipulées par les élèves sont donc celles fixées dans les exercices. L'établissement de la formule de l'aire du parallélogramme relève d'une étape ultérieure et ne fait pas partie des attendus de cette année.

L'erreur la plus fréquente consiste à multiplier la base par le côté oblique au lieu de la hauteur. Le côté oblique est plus long que la hauteur, de sorte que le résultat obtenu est trop grand. Les élèves peuvent aussi multiplier une base exprimée en décimètres par une hauteur exprimée en centimètres sans convertir d'abord l'une des deux mesures, ce qui donne un résultat faux.

Les exercices portant sur cette compétence sont des fiches imprimables, parmi lesquelles :

• Aire d'un parallélogramme : calculer l'aire à partir d'une base et d'une hauteur.
• Aire d'un parallélogramme : choisir le résultat : sélectionner la bonne aire parmi les propositions données.
• Aire d'un parallélogramme : quelle valeur n'est pas nécessaire ? : repérer la mesure qui n'influence pas l'aire, comme le côté oblique.
• Aire d'un parallélogramme en dm et en cm : choisir le résultat et Aire d'un parallélogramme : base en dm, hauteur en cm : travailler avec des longueurs données dans différentes unités.
• Aire d'un parallélogramme : hauteur à partir de l'aire : remonter à partir d'une aire et d'une base données pour trouver la hauteur manquante.

En CM2 (année 6), les élèves calculent l'aire de triangles. Le point du programme pour cette compétence n'indique pas de plage de nombres, c'est pourquoi cette page n'en donne pas. La méthode consiste à multiplier la base par la hauteur perpendiculaire, puis à diviser le résultat par deux. La démonstration de la formule et son application aux trapèzes et aux prismes relèvent de niveaux ultérieurs, et ne font donc pas partie de cette année.

L'erreur la plus fréquente consiste à utiliser le côté oblique du triangle à la place de la hauteur perpendiculaire, ou à multiplier les mesures et à oublier de diviser par deux. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit se rencontrent à angle droit, ils peuvent donc servir de base et de hauteur. Les élèves qui oublient de diviser par deux obtiennent souvent une réponse exactement égale au double de l'aire correcte.

Les exercices d'entraînement pour cette compétence comprennent :

• Triangle rectangle à partir de ses côtés de l'angle droit : calculer l'aire lorsque les deux côtés qui forment l'angle droit sont donnés.
• Choisir le bon résultat : sélectionner la bonne aire parmi plusieurs réponses possibles.
• Vrai ou faux : décider si une affirmation sur l'aire d'un triangle est correcte.
• L'aire d'un terrain triangulaire : appliquer le même calcul à un problème concret portant sur un morceau de terrain triangulaire.
• Aire d'un triangle : une tâche de calcul générale.

En CM2 (Année 6), un enfant lit et écrit des nombres décimaux à trois décimales, comme 4,236 ou 0,075, et identifie la valeur de chaque chiffre. Dans 4,236, le 4 représente quatre unités, le 2 représente deux dixièmes, le 3 représente trois centièmes et le 6 représente six millièmes. Les enfants multiplient et divisent aussi des nombres par 10, 100 et 1000 et donnent des réponses allant jusqu'à trois décimales, par exemple 0,047 × 100 = 4,7. Les dixièmes et les centièmes sont introduits les années précédentes, et les millièmes sont introduits en CM1.

Une erreur fréquente consiste à mal placer un chiffre parce qu'un zéro a été oublié. Dans 0,07, le 7 représente sept centièmes, et non sept dixièmes, car le zéro occupe la place des dixièmes. Un enfant qui lit seulement les chiffres après la virgule peut dire « sept dixièmes » ou écrire 0,7 à la place. De même, dans 3,046, le 4 représente quatre centièmes, mais un enfant qui compte les rangs approximativement peut le nommer quatre dixièmes. Nommer chaque colonne en s'éloignant de la virgule (dixièmes, centièmes, millièmes) aide à éviter cette erreur.

Les fiches imprimables pour cette compétence utilisent les modèles suivants :

• Trouver le chiffre de la place des centièmes
• Valeur de position d'un décimal : choisir le chiffre des millièmes
• Valeur de position d'un décimal : valeur d'un chiffre
• Décimal : choisir la valeur d'un chiffre
• Valeur de position d'un décimal : écriture développée

Dans la tâche d'écriture développée, 0,375 s'écrit 0,3 + 0,07 + 0,005, ce qui montre comment chaque chiffre contribue à la valeur totale. Les tâches sur les chiffres et leurs valeurs demandent à l'enfant de repérer un chiffre ou sa valeur dans un nombre décimal donné, si bien que la même vérification de colonne est pratiquée à chaque fois.

En CM2 (année 6), les élèves dépassent le premier quadrant positif et apprennent à décrire la position de points sur le repère complet, dans les quatre quadrants. Ils déterminent où se situe un point en lisant des valeurs positives et négatives sur l'axe horizontal x et sur l'axe vertical y.

Une erreur fréquente consiste à inverser l'ordre du couple en lisant l'axe vertical avant l'axe horizontal, en écrivant (2, -4) au lieu de (-4, 2). Les élèves confondent aussi souvent les signes positif et négatif lorsqu'ils repèrent des points situés à gauche ou en dessous de l'origine centrale.

Les fiches d'exercices présentent un repère complet à quatre quadrants, avec des points marqués aux intersections des lignes du quadrillage. Dans l'activité Lire les coordonnées d'un point, les élèves tracent un trajet depuis un point marqué jusqu'à chaque axe numéroté et écrivent entre parenthèses la paire de coordonnées correcte.

En mathématiques de CM2, cette compétence consiste à reconnaître, décrire et construire des solides simples, notamment en réalisant des patrons. Un patron est un dessin à plat qui se plie pour former un solide. Pour savoir si un patron fonctionnera, votre enfant doit imaginer quelles faces se rejoignent et quelles faces se trouvent face à face.

Une erreur fréquente consiste à juger un patron selon qu'il ressemble à peu près à une boîte. Six carrés disposés en bon nombre de rangées peuvent quand même se plier de façon que deux carrés tombent sur la même face et qu'une autre face reste vide. La disposition des carrés compte davantage que leur nombre.

L'exercice imprimable de ce domaine s'intitule « Patron d'un cube : est-ce un patron ? » Votre enfant voit un dessin à plat et décide s'il se plie en cube, puis répond par oui ou par non en expliquant pourquoi. Pour vérifier à la maison, vous pouvez découper le patron, le plier et compter les faces. Il s'agit d'une suggestion d'entraînement, et non d'une exigence supplémentaire.