Mathématiques — 5e année

Dans l'espace numérique jusqu'à 100, les enfants effectuent des additions dont la somme des unités dépasse 10, par exemple 18 + 14. Ils peuvent représenter leur démarche, par exemple avec la ligne numérique : de 18, on avance d'abord de 2 jusqu'à 20, puis on ajoute encore 12, ce qui donne 32. Le programme scolaire décrit cette étape pour tout l'espace numérique jusqu'à 100, un niveau qui s'étend sur plusieurs années scolaires.

Une erreur typique : on additionne les unités, mais on ne reporte pas la dizaine. Pour 18 + 14, 8 + 4 donne bien 12, et certains enfants écrivent le 2, oublient le 1 et calculent 1 + 1 = 2 pour les dizaines. Le résultat devient alors 22 au lieu de 32. La raison est que les 12 unités contiennent aussi une dizaine, qui doit être rendue visible. Si on ne la retient pas, elle se perd.

Sur la fiche de travail, cette étape apparaît dans des exercices tels que :

• Addition dans l'espace numérique jusqu'à 100 avec passage à la dizaine
• Compléter jusqu'à la dizaine et poursuivre le calcul
• Addition jusqu'à 100 avec passage à la dizaine : choisir le résultat
• Addition jusqu'à 100 : vérifier le résultat, trouver l'erreur

L'enfant peut déterminer l'aire d'une figure en comptant combien de carrés unitaires, par exemple des carreaux ou des mètres carrés, la recouvrent. Il compare ainsi les aires de rectangles et de figures composées, par exemple en recouvrant deux rectangles de tailles différentes avec des carrés. Les plans d'études ne précisent pas de domaine numérique, c'est pourquoi aucun n'est indiqué ici.

Il est typique que les enfants additionnent les longueurs des côtés ou ne comptent que les carreaux du bord, au lieu de recouvrir toute la surface. Le contour d'une figure (son périmètre) et son aire sont alors confondus, alors qu'il s'agit de deux grandeurs différentes. C'est pourquoi une figure longue et étroite peut sembler plus grande, bien qu'elle recouvre moins de carreaux.

Les fiches de travail de ce niveau comprennent notamment les types d'exercices suivants :

• Aire d'un rectangle : combien de carreaux le recouvrent ?
• Aire sur quadrillage : combien de carrés recouvrent la figure ?
• Aire d'une figure formée de deux rectangles
• Aire avec des dalles : combien de dalles de deux carreaux faut-il, ou combien de dalles manquent encore ?
• Aire par recouvrement : choisir la bonne réponse ou distinguer le vrai du faux.
• Aire de deux figures : de combien l'une est-elle plus grande ?
• Aire et un côté : quelle est la longueur de l'autre côté ?
• Dessine un rectangle ayant l'aire donnée.
• Aire : corriger un résultat erroné.

Les points du programme s'appliquent sur plusieurs années scolaires. Dans cette classe de 5e année, les exercices portent avant tout sur la division dans l'espace numérique jusqu'à 100. L'enfant comprend la division comme l'inverse de la multiplication : si 4 · 7 = 28 est vrai, alors 28 : 7 = 4 est vrai aussi. Il peut expliquer le lien avec l'addition, par exemple 28 = 7 + 7 + 7 + 7, et lire et utiliser le signe « : » ainsi que le mot « divisé par ». Pour cela, il utilise aussi les relations entre la table de multiplication de base et la table des dizaines, par exemple que 6 · 10 = 60 donne aussi 60 : 6 = 10.

Une erreur typique consiste à inverser les deux nombres. Pour 28 : 7, on calcule alors par exemple 7 : 28 ou l'on prend le mauvais nombre comme diviseur. Cela arrive souvent lorsque la division n'est traitée que comme un résultat appris par cœur et non comme une opération inverse de la multiplication. Il est donc utile de penser, pour chaque exercice de division, à la multiplication correspondante.

Les fiches d'exercices sur ce thème comprennent notamment les types d'exercices suivants :

• Division dans la table de multiplication (jusqu'à 100) : déterminer directement les résultats à partir de la table de multiplication.
• Par quel nombre a-t-on divisé (tableau de division) : déduire le diviseur à partir d'un tableau.
• Diviseur manquant : choisis le nombre : trouver le nombre manquant dans une division.
• Divisé dans la table de multiplication : choisis le résultat : sélectionner la bonne réponse parmi plusieurs propositions.
• Division : vérifier et trouver l'erreur : contrôler un calcul donné.
• Division avec un nombre superflu : reconnaître quelle donnée n'est pas nécessaire pour l'exercice.
• Répartir également, partager en parts égales, Division : combien de paquets obtient-on, Division : combien par rangée, Division : quelle répartition donne le plus par personne ?: appliquer les divisions à des situations concrètes.

Pour chaque thème, il existe des fiches imprimables avec solutions.

L'enfant connaît les produits du petit one, c'est-à-dire toutes les multiplications avec des facteurs de 1 à 10 jusqu'à 10 · 10 = 100. Le plan d'études mentionne en plus les produits avec les facteurs 2, 5 et 10, ainsi que la décomposition d'un produit en facteurs, par exemple 36 = 6 · 6 = 4 · 9.

Il est aussi important que l'enfant utilise les relations entre les produits, au lieu de mémoriser chaque résultat séparément. Ainsi, 6 · 8 est supérieur de 8 à 5 · 8, et 8 · 3 donne le même résultat que 3 · 8. Dans une trame à points, il reconnaît que 6 · 4 est le double de 3 · 4.

Une erreur typique survient lorsqu'un produit n'est rappelé que de mémoire. Si le souvenir est incertain, on prend souvent un résultat voisin, par exemple 42 au lieu de 48 pour 6 · 8, parce que l'on confond avec le calcul 6 · 7. Celui qui n'utilise pas les relations entre les produits n'a aucun moyen de retrouver lui-même le bon résultat.

Exercices sur ce thème :

• Table de multiplication (jusqu'à 100)
• Facteur manquant (petit one) et Facteur manquant : choisis le nombre
• Table de multiplication : choisis le résultat
• Multiplication : combien de points dans la trame à points
• Multiplication : quel produit est plus grand, de combien ?
• Multiplication : vérifier et trouver les erreurs
• Multiplication comme addition : combien de fois pris
• Multiplication : groupes de même taille au total
• Multiplication avec un nombre superflu

L'élève apprend à écrire les possibilités non pas au hasard, mais de manière ordonnée, afin de ne rien oublier ni compter deux fois. Les objectifs du programme couvrent une période de plusieurs années scolaires. Les exemples vont des formations de paires aux nombres formés avec les chiffres 1, 2, 3, jusqu'aux suites de lettres comme ADEN. En 5e année, les modèles de tâches présentent surtout des paires et des ensembles à partir d'un petit choix.

Souvent, les possibilités sont simplement écrites au fur et à mesure qu'elles viennent à l'esprit. Il manque alors une combinaison, ou bien la même apparaît deux fois. Pour les paires, l'ordre n'a pas d'importance : « Anna et Ben » est la même paire que « Ben et Anna » et ne se compte qu'une seule fois. Un plan est utile : écrire d'abord toutes les possibilités avec la première partie, puis avec la suivante.

Les tâches typiques sont :

• Combien de paires différentes : vrai ou faux. Un nombre donné est vérifié.
• Combien de paires différentes : choisir la bonne réponse.
• Combinaisons : combien d'ensembles différents existe-t-il ? Ou combien d'ensembles avec trois sortes ?
• Écris toutes les combinaisons : la liste doit être complète et sans doublons.
• Combinaisons : combien de paires restent, ou combien de paires de plus avec un morceau ?
• Nombre de paires connu : combien de paires existe-t-il dans l'autre ensemble ?

Votre enfant apprend à multiplier des nombres inférieurs à 20 par 10, par exemple 7 · 10 = 70 ou 13 · 10 = 130. Il s'appuie pour cela sur le lien avec la table de multiplication de base : 7 · 1 fait 7, et 7 · 10 correspond donc à 7 dizaines, soit 70. C'est précisément ce lien entre la table de base et la table des dizaines que le plan d'études Lehrplan 21 nomme.

Une erreur typique avec les nombres à deux chiffres consiste à ajouter le zéro devant au lieu de derrière, ce qui conduit à écrire 13 · 10 sous la forme 103. Parfois, le zéro est tout simplement omis (13 · 10 = 13). Cela s'explique généralement par le fait que le zéro a été appris comme un simple ajout, sans que l'on comprenne que chaque chiffre se décale d'une place vers la gauche.

Dans les fiches de travail de cette classe, vous trouverez notamment :

• Multiplier par 10 : exercices de base sur les nombres inférieurs à 20.
• Multiplier par 10 : une donnée superflue : exercices comportant une information supplémentaire qui n'est pas nécessaire au calcul.
• Dizaines : combien de dizaines entières peut-on y trouver ? : on y voit l'opération inverse, par exemple 70 : 10 = 7.
• Dix fois dix, soit deux rangs plus loin : on y étudie 10 · 10 = 100.
• Multiplier par 10 : choisir le bon résultat, vrai ou faux et une chaîne de modifications : exercices dans lesquels les résultats sont vérifiés ou plusieurs multiplications sont effectuées l'une après l'autre.

En 5e année, l'enfant prélève des nombres dans des tableaux et des diagrammes en colonnes et les utilise pour répondre à des questions. Il compare deux lignes ou deux colonnes, détermine la différence, compte combien de valeurs sont supérieures à un nombre donné, et trouve la catégorie dont la valeur est la plus grande. Les points du plan d'études ne prévoient pas de niveau numérique propre à cette classe pour cela. Leurs exemples viennent de la vie quotidienne, par exemple les trajets scolaires ou les animaux domestiques.

Une erreur typique : l'enfant lit la mauvaise ligne ou la mauvaise colonne, surtout lorsque le tableau contient beaucoup de nombres. À la question « Combien de plus ? », il n'indique parfois qu'une seule des deux valeurs ou calcule dans le mauvais sens. Dans les diagrammes en colonnes, l'échelle est souvent mal lue lorsqu'une colonne se termine entre deux traits. Pour les affirmations « vrai ou faux », une affirmation est souvent acceptée sans être vérifiée à l'aide des nombres.

Sur la fiche de travail, l'enfant rencontre surtout ces types d'exercices :

• Tableau : combien de plus selon le tableau ?
• Tableau : écart entre la plus grande et la plus petite valeur
• Tableau : combien de groupes sont au-dessus du nombre ?
• Tableau : quelle catégorie en a le plus ?
• Diagramme en colonnes : combien de plus ?
• Différence entre deux lignes : choisir la bonne réponse
• Différence entre deux lignes : vrai ou faux

Votre enfant peut déterminer le périmètre d'un rectangle en additionnant ses quatre côtés. Il utilise pour cela le fait que les côtés opposés ont la même longueur. À partir du périmètre et d'un côté connu, il peut aussi calculer la longueur du côté manquant. Le tracé d'un rectangle ayant un périmètre donné fait également partie de ces compétences.

Une erreur typique consiste à confondre périmètre et aire : au lieu de parcourir le contour, on compte les carreaux à l'intérieur. Une autre erreur fréquente est d'additionner seulement la longueur et la largeur en oubliant les côtés opposés. La valeur obtenue est alors trop petite, car seuls deux des quatre côtés ont été pris en compte. Il est utile de suivre du doigt les côtés une fois tout autour de la figure en comptant.

En classe, votre enfant rencontrera à ce sujet les types d'exercices suivants :

• Périmètre d'un rectangle
• Côté manquant d'un rectangle à partir du périmètre
• Périmètre : quelle figure a le plus grand périmètre ?
• Périmètre d'un rectangle sur papier quadrillé
• Périmètre du rectangle : vrai ou faux
• Dessine un rectangle ayant le périmètre indiqué
• Périmètre du rectangle : choisir le bon résultat

Votre enfant apprend à interpréter les chiffres d'un nombre allant jusqu'à 1'000 selon leur position. Le chiffre le plus à droite représente les unités, celui du milieu les dizaines, et celui de gauche les centaines. Pour le nombre 257, cela signifie : 2 centaines, 5 dizaines et 7 unités. Le programme scolaire illustre cela avec du matériel : 2 plaques de centaines, 5 barres de dizaines et 7 cubes d'unités donnent ensemble 257.

Une erreur typique survient lorsque les chiffres sont lus isolément, sans tenir compte de leur valeur de position. On lit alors 257 comme 2, 5 et 7, sans savoir ce que représente chaque chiffre. Le zéro du milieu est souvent oublié : 307 est alors écrit ou lu comme 37. Le zéro indique qu'il n'y a aucune dizaine à cette position. Il est facilement négligé, car il semble à première vue n'avoir aucune valeur.

Dans cette classe, les exercices portent sur des nombres à trois chiffres. Les fiches de travail avec solutions contiennent par exemple :

• Composer un nombre à partir de centaines, de dizaines et d'unités
• Décomposer un nombre en centaines et reste
• Lire le nombre à partir des blocs
• Combien de dizaines entières le nombre contient-il ? Combien d'unités au total ?
• Évaluer si des affirmations sur les valeurs de position sont vraies ou fausses

L'enfant calcule avec des centaines entières comme 200, 300 ou 700. Il les ajoute à un nombre ou les en retire, note le calcul et vérifie si le résultat est juste. Les plans d'études ne mentionnent aucun espace numérique particulier. Les modèles d'exercices sur ce thème travaillent avec des centaines entières.

Une erreur typique : l'enfant calcule 470 + 100 et écrit 480. Il traite la centaine comme une dizaine et ne modifie que le chiffre des dizaines. Il est utile de regarder consciemment le chiffre des centaines : Une centaine de plus signifie que le chiffre des centaines augmente d'un.

Dans l'entraînement, on rencontre ces formes d'exercices :

• Saut de centaines entières : à partir de la valeur de départ, sauter de centaines entières vers l'avant ou vers l'arrière.
• Saut de centaines entières : deux sauts successifs : effectuer deux sauts l'un après l'autre et noter le résultat.
• Soustraire des centaines entières : retirer des centaines entières d'un nombre.
• Combien de centaines sont venues s'ajouter : déterminer, à partir de la valeur initiale et de la valeur finale, combien de centaines sont venues s'ajouter.
• Combien manque-t-il pour que les deux côtés soient égaux : compléter jusqu'à ce que les deux côtés soient de même grandeur.
• Saut de centaines entières : choisir le bon résultat et Centaines entières : trouve l'erreur : comparer les résultats et vérifier s'ils sont justes.

En 5e année, il s'agit surtout pour votre enfant de partager un tout en deux ou quatre parts de même taille, puis de reconnaître et de nommer les moitiés et les quarts. Les représentations typiques sont des carrés, des rectangles et des cercles qui sont pliés ou coloriés, ainsi que des ensembles d'objets. Les points du plan d'études concernant ce thème se répartissent sur plusieurs années scolaires. Ce qui est concrètement attendu pour cette classe apparaît dans les modèles de tâches.

Une erreur fréquente : l'enfant partage une figure en quatre parts qui ne sont pas de même taille, et compte tout de même un quart. La raison en est qu'il fait attention au nombre de parts et non au fait qu'elles soient de même taille. Une autre erreur typique concerne les dénominateurs : comme 4 est plus grand que 2, l'enfant pense qu'un quart est plus qu'une moitié. Pour les ensembles, il arrive parfois qu'un seul objet soit considéré comme « un quart », au lieu d'être vu comme une partie de l'ensemble entier.

Les tâches sur ce thème se présentent par exemple ainsi :

• Partie d'un tout (moitié et quart) : L'enfant détermine quelle fraction d'une figure pliée ou coloriée est représentée.
• Combien y en a-t-il au total si une partie représente … ? À partir d'une fraction, on détermine la quantité totale.
• Fraction d'un ensemble : Combien y en a-t-il dans une partie ? L'enfant calcule une fraction d'un ensemble.
• Choisis combien représente la fraction de l'ensemble : L'enfant choisit le bon nombre parmi des réponses possibles.
• Partie d'un ensemble : trouve l'erreur : L'enfant repère où un partage incorrect a été effectué.
• Invente des ensembles pour le même partage : L'enfant cherche différents ensembles qui peuvent être partagés de la même manière.
• Combien de parts restent non coloriées : vrai ou faux : L'enfant vérifie des affirmations sur les fractions d'une figure.

Les points du plan d'études mentionnent en outre des suites de fractions telles que ½, ¼, ⅛ ainsi que des fractions avec d'autres dénominateurs comme 3, 5, 6, 8 et 10. Celles-ci font partie de l'ensemble du domaine du plan d'études et ne sont pas explicitement listées dans les modèles de tâches de cette classe.

Dans le Lehrplan 21, il est indiqué pour ce domaine : les enfants peuvent noter leurs démarches lorsqu'ils additionnent et soustraient, additionner et soustraire par écrit, et vérifier leurs résultats. Les exercices de ce domaine travaillent avec des nombres jusqu'à 1000. Votre enfant écrit les nombres les uns sous les autres et calcule chiffre par chiffre, de droite à gauche.

Une erreur typique lors de la soustraction écrite : votre enfant soustrait, dans une colonne, le plus petit chiffre du plus grand, même lorsque le plus petit se trouve en haut. Cela vient généralement de ce que les valeurs de position se perdent de vue pendant le calcul, par exemple lorsqu'on « emprunte » quelque chose aux dizaines ou aux centaines. Lors de l'addition, la retenue, c'est-à-dire le chiffre des dizaines ou des centaines qui doit passer dans la colonne suivante, se perd souvent.

Sur les fiches de travail, les enfants s'entraînent avec des exercices tels que :

• Additionner des nombres à trois chiffres par écrit et Addition écrite pas à pas, aussi avec trois nombres
• Soustraction écrite jusqu'à 1000
• Soustraction écrite : corriger les erreurs, où il faut trouver et corriger une démarche de calcul fausse
• Terme manquant dans une addition écrite, où il faut chercher un nombre
• Soustraction écrite : choisir le résultat et Addition écrite à trois chiffres : choisis le résultat, où il faut sélectionner le bon résultat parmi plusieurs solutions

Chaque fiche de travail est accompagnée de solutions qui vous permettent de contrôler les résultats de votre enfant.

Votre enfant détermine, pour les prismes et les pyramides, les sommets, les arêtes et les faces latérales. Le plan d'études utilise pour cela les termes point, sommet, arête et face latérale. Le plan d'études ne donne pas de plage numérique pour ce domaine, donc les exercices portent sur les solides eux-mêmes et non sur de grands nombres.

Une erreur typique : sur une image, on ne compte que les arêtes visibles à l'avant, et les arêtes cachées à l'arrière manquent. Pour les pyramides, on oublie souvent que le sommet n'est qu'un seul point et que les arêtes de la base s'ajoutent aux arêtes latérales.

Dans cette classe, les fiches de travail impriment ces types d'exercices :

• Sur l'image : compter les sommets, les arêtes ou les faces d'un solide représenté.
• Choisir ou déterminer le nombre : pour un prisme et une pyramide, indiquer le nombre correct de sommets, d'arêtes ou de faces.
• Base à partir du nombre d'arêtes : à partir du nombre d'arêtes, trouver quelle base appartient au prisme ou à la pyramide.

L'enfant pose des montants d'argent avec des pièces et des billets et calcule avec eux. Le plan d'études décrit à cet effet plusieurs domaines numériques : poser des montants jusqu'à 20 francs, additionner et soustraire, poser des montants entiers en francs jusqu'à 100 francs avec des pièces et des billets, et former et calculer des montants avec francs et centimes, par exemple 25 fr. 60 ct. + 14 fr. 30 ct. Ces indications valent pour le degré dans son ensemble. Les nombres concrets qui apparaissent en 5e année sont présentés dans les exemples d'exercices de ce domaine.

Une erreur typique survient lors du calcul avec francs et centimes. L'enfant additionne séparément les francs et les centimes et oublie que 100 centimes font un franc. Ainsi, pour 60 ct. + 50 ct., on obtient 1 fr. 10 ct. et non 1 fr. 100 ct. Il en va de même pour la monnaie rendue : celui qui ne clarifie pas d'abord quel montant a été donné et quel prix a été payé calcule facilement dans le mauvais sens. L'exercice « Monnaie rendue : trouve l'erreur » entraîne précisément ces passages délicats.

Les exercices typiques dans le domaine de l'argent sont :

• De l'argent en image : combien y a-t-il ? L'enfant additionne les pièces et les billets représentés.
• Pièces : avec quelles pièces payer ? L'enfant cherche les pièces et billets convenant à un montant.
• Achats : combien coûtent plusieurs objets ? L'enfant calcule le prix de plusieurs objets identiques.
• Achats : l'argent suffit-il ? et Argent : combien manque-t-il encore pour l'achat comparent l'argent et le prix.
• Achat et monnaie rendue et Monnaie rendue : choisis le bon montant entraînent le calcul de la monnaie à rendre.

L'enfant résout une courte histoire de calcul avec une addition ou une soustraction. Il comprend ce qui se passe dans l'histoire, choisit l'opération adaptée et interprète à nouveau le résultat dans le contexte, par exemple « 18 enfants » au lieu de seulement « 18 ». Les points du programme d'études donnent comme exemple les nombres jusqu'à 20, par exemple 12 + 8 dans la cour de récréation. Cette indication numérique vaut pour le cycle dans son ensemble et non spécifiquement pour la 5e année. Les modèles d'exercices de cette classe ne fixent pas de plage numérique.

Il est typique qu'un enfant choisisse l'opération d'après quelques mots-clés isolés au lieu de comprendre l'histoire, ou qu'il calcule avec tous les nombres du texte. Le programme exige donc explicitement que l'enfant distingue les informations essentielles des informations superflues. Pour « Un livre a 5 cm d'épaisseur, compte 75 pages et est gratuit », seule la question du prix est décisive. Pour la question « Combien y en avait-il au début ? », beaucoup d'enfants calculent à tort avec la soustraction, alors que c'est la quantité initiale qui est cherchée et qu'il faut donc additionner.

Un exercice sur ce thème ressemble par exemple à ceci :

• Problème simple : combien il en reste
• Problème concret : combien y en avait-il au début
• Choisir l'opération : soustraction (on enlève) ou addition (on réunit)
• Problème avec un nombre superflu : combien il en reste
• Problème concret : choisis le bon résultat

La multiplication dans les histoires de calcul est également mentionnée dans le programme d'études, mais elle n'est pas prévue comme forme propre dans les modèles d'exercices pour ce thème.

Les figures planes sont des formes plates comme le cercle, le triangle, le rectangle et le carré. L'enfant apprend à nommer ces figures et à les distinguer les unes des autres. Les points du programme ne précisent pas de plage de nombres et décrivent la compétence sur plusieurs années scolaires. Ce qui est concrètement travaillé dans cette classe apparaît dans les modèles d'exercices. Les points incluent aussi le recopiage et le dessin de ces figures ; ici, c'est toutefois surtout la reconnaissance qui est au premier plan.

Il est typique qu'un enfant ne reconnaisse pas une figure dans une position inhabituelle : un triangle ou un rectangle tourné semble alors être une autre forme. Les figures qui se chevauchent sont également difficiles. Lorsque deux triangles sont imbriqués l'un dans l'autre, on ne compte souvent que celui qui est bien visible, et le triangle caché est oublié. De plus, les noms des figures sont parfois confondus ou déduits de la mémoire plutôt que de la forme.

Dans les exercices, cela se manifeste ainsi :

• Comment s'appelle la figure dessinée ? L'enfant détermine le nom d'une figure représentée.
• Comment s'appelle cette figure tournée ? La figure est tournée et doit néanmoins être reconnue.
• Figures dans l'image : combien de triangles ? L'enfant compte les triangles dans une image avec des figures qui se chevauchent.
• Figures planes : vrai ou faux L'enfant vérifie si des affirmations sur les figures sont vraies ou fausses.
• Comment s'appelle cette figure ? Choisis L'enfant choisit le nom approprié parmi plusieurs possibilités.
• Figures planes : corriger le nom de la figure L'enfant repère les noms incorrects et les corrige.

Le Plan d'études 21 vise, pour ce thème, la capacité à lire et écrire des nombres naturels jusqu'à 100 et jusqu'à 1'000. En 5e année, les exercices portent surtout sur la conversion entre le nom du nombre en toutes lettres et l'écriture en chiffres, par exemple pour trois cent cinq et 305.

Une erreur typique concerne le zéro au milieu. Celui qui entend « trois cent cinq » écrit souvent 35, parce qu'il n'y a pas de zéro dans le mot et que la place des dizaines reste vide. L'ordre des chiffres se brouille aussi parfois lorsqu'on recopie les nombres en toutes lettres mot après mot, sans faire attention aux centaines, aux dizaines et aux unités.

Les fiches de travail de cette classe contiennent à ce sujet des exercices tels que :

• Écris le nombre en chiffres.
• Lis le nombre en toutes lettres.
• Zéro au milieu : corrige l'écriture du nombre.
• Noms de nombres : corriger les erreurs, choisir l'écriture en chiffres ou décider si c'est vrai ou faux.

Le Plan d'études 21 exige que les longueurs, les poids, les volumes et les contenances soient estimés et comparés avec des grandeurs de référence appropriées. Il mentionne aussi la conversion vers des unités voisines, par exemple 2'000 g = 2 kg. Ces objectifs valent pour tout le cycle et pas seulement pour la 5e année. Dans cette classe, les fiches de travail montrent surtout comment calculer avec de l'argent au quotidien : les nombres sont arrondis à la dizaine la plus proche, ce qui donne rapidement une somme ou une différence approximative.

Une erreur typique : les enfants n'arrondissent qu'un seul nombre ou arrondissent tous les nombres dans le même sens, par exemple toujours vers le bas. L'estimation est alors nettement trop basse. Il n'est souvent pas clair non plus si 45 est arrondi à 40 ou à 50. Il est utile de se demander si l'estimation se situe près du résultat exact, et non si elle est exactement juste.

Un exercice ressemble par exemple à ceci : Un vélo coûte 48 fr., un casque 23 fr. Combien payons-nous environ ensemble ? L'enfant arrondit 48 à 50 et 23 à 20 et obtient environ 70 fr. Les fiches de travail contiennent des exercices correspondants :

• Estimer les coûts en arrondissant
• Estimer une somme : arrondir à la dizaine la plus proche
• Estimer une différence : arrondir à la dizaine la plus proche
• Combien payons-nous environ ensemble
• Estimer : le résultat convient-il
• Trouver des prix correspondant à l'estimation

Les enfants apprennent à déterminer l'heure sur un cadran et sur un affichage numérique. Le plan d'études fixe comme objectif de déterminer l'heure à la demi-heure près. Ces points du plan d'études décrivent un niveau qui s'étend sur plusieurs années scolaires. Ce qui est concrètement exercé en 5e, les types d'exercices de cette page le montrent.

Deux erreurs surviennent souvent. Premièrement, les enfants comptent les chiffres du cadran au lieu des minutes : si la petite aiguille pointe sur le 3, cela fait 15 minutes, et non 3. Deuxièmement, le mot « demie » est trompeur. « Cinq heures et demie » se dit 5 h 30 et non 6 h 30. Celui qui prend l'expression au pied de la lettre lit mal l'heure.

Les fiches de travail de cette page proposent notamment les types d'exercices suivants :

• Lire l'heure : vrai ou faux
• Heure : corriger les erreurs de lecture
• Lire l'heure sur la montre
• Heure : combien de minutes jusqu'à l'heure pleine ?
• Heure : quelle horloge indique l'heure la plus ancienne ?
• Lire l'heure : quelle heure indique le cadran ?

Votre enfant peut mesurer et comparer le contenu de récipients à l'aide d'un gobelet. Pour cela, il utilise les mesures de capacité litre (l) et décilitre (dl) et prend comme grandeur de référence 1 l. Le plan d'études ne prévoit pas de plage numérique propre aux mesures de capacité. Les exercices de cette classe travaillent avec des litres et des bouteilles d'un demi-litre.

Une erreur typique consiste à juger les récipients d'après leur hauteur ou leur forme. Un verre haut et étroit paraît plus grand qu'un verre bas et large, même s'il contient moins. Une deuxième erreur concerne le comptage : celui qui compte quatre bouteilles d'un demi-litre comme quatre litres ne voit pas que deux demi-litres font ensemble un litre. De même, le rapport entre décilitre et litre peut être confondu, car 10 dl font 1 l.

Un exercice sur ce thème ressemble par exemple à ceci :

• Pichet gradué : Combien d'eau y a-t-il dans le pichet ? L'exercice demande des millilitres, alors que l'extrait du plan d'études mentionne les litres et les décilitres.
• Capacité, combien manque-t-il pour remplir ? Un récipient est partiellement rempli, et l'enfant calcule la quantité restante.
• Capacité, combien de litres avec des bouteilles d'un demi-litre ? L'enfant calcule avec des bouteilles de même taille.
• Capacité, vrai ou faux ? L'enfant vérifie des affirmations sur des contenus.
• Capacité, combien de bouteilles le jus remplit-il ? L'enfant détermine combien de fois une bouteille peut être remplie.
• Capacité, choisir le bon nombre de bouteilles : L'enfant décide quel nombre de bouteilles convient.
• Capacité, combien un récipient contient-il de plus ? L'enfant compare deux récipients.

Les points du programme scolaire demandent de compter par pas égaux en avant et en arrière. Ils les décrivent sur plusieurs niveaux : par pas de 2 jusqu'à 20, par pas de 1, 2, 5 et 10 jusqu'à 100, et par pas de 1, 2, 10 et 100 jusqu'à 1000. Les modèles de tâches de cette classe montrent le travail avec des pas égaux, sans qu'un espace numérique précis soit fixé.

Une erreur typique survient lors du comptage des pas. Lorsqu'un enfant compte de 4 à 16 par pas de 2, il compte souvent 4 comme premier pas. Il arrive alors à 7 pas au lieu de 6. Une deuxième erreur fréquente apparaît lors du passage d'une dizaine : avec des pas de 5 à partir de 47, on obtient souvent 52, puis 62 au lieu de 57.

Les tâches de cette classe prennent les formes suivantes :

• Continuer à compter avec le même pas : une suite est prolongée du même pas.
• Compter en arrière par pas égaux : la suite est prolongée en décroissant.
• Compter jusqu'à : combien de pas faut-il ? : l'enfant détermine combien de pas mènent d'un nombre à un autre.
• Compter par pas : choisir le nombre suivant : parmi plusieurs possibilités, on choisit le bon nombre suivant.
• Combien de fois ajouter : choisir le nombre : les pas sont pensés comme des additions répétées.
• Compter par pas : corriger le mauvais nombre : une suite comportant une erreur est repérée et corrigée.

En 5e année, l'enfant multiplie des nombres à deux chiffres par 2, par exemple 37 · 2 ou 58 · 2. Pour cela, il peut noter ses propres méthodes de calcul ou calculer de tête. Le plan d'études décrit la compétence de multiplier des nombres, pour l'ensemble du cycle, avec des nombres plus grands. Cette page ne décrit que la partie que couvrent les exercices de cette classe.

Une erreur typique survient lorsque, en doublant les unités, on obtient une dizaine. Pour 37 · 2, on obtient 7 · 2 = 14. On écrit le 4, mais on oublie la dizaine et on ne l'ajoute pas aux dizaines. Ainsi on obtient 64 au lieu de 74. Il est utile d'ajouter consciemment la dizaine à la colonne des dizaines.

Sur la fiche d'exercices consacrée à ce thème, on trouve notamment ces types d'exercices :

• Nombre à deux chiffres multiplié par 2 : L'enfant effectue lui-même le calcul.
• Multiplier par 2 : vrai ou faux : L'enfant vérifie si un résultat donné est correct.
• Multiplier par 2 : choisir le bon résultat : L'enfant choisit la bonne solution parmi plusieurs réponses.
• Doubler : quel nombre, doublé, donne ce résultat ? L'enfant calcule à rebours et cherche le nombre qui, doublé, donne un résultat donné.
• Doubler : de combien augmentent deux nombres doublés ? L'enfant double deux nombres et compare de combien le résultat est plus grand.

L'enfant peut comparer des objets selon une grandeur, surtout selon la longueur et le poids, et décrire la différence avec des mots : « B est plus long que A », « C est le plus long ». Pour cela, on utilise les formes comparatives plus long, le plus long, plus grand, le plus grand. La plage numérique qui s'applique n'est pas précisée dans les indications concernant ce domaine.

Une erreur typique consiste à estimer au lieu de comparer. Une ficelle courbée ou pelotonnée paraît souvent plus courte qu'une ficelle droite, alors qu'elle a la même longueur. L'enfant juge alors d'après l'apparence et non d'après la comparaison. Souvent, pour « De combien est-il plus long ? », on indique aussi la longueur d'un seul objet au lieu de la différence entre les deux.

Les exercices de ce domaine ont la forme suivante :

• Comparer des longueurs : laquelle est la plus longue ?
• Comparer des longueurs : de combien le ruban est-il plus long ?
• De combien plus long : vrai ou faux
• De combien plus long : choisir la bonne réponse
• Masses : ranger du plus léger au plus lourd

Les comparaisons de surfaces et de volumes figurent au programme, mais n'apparaissent pas dans les exercices imprimés de ce domaine. Comme suggestion à la maison, vous pouvez poser des objets côte à côte et demander ensemble lequel est le plus long et de combien il est plus long que le suivant.

L'enfant apprend à relier les opérations de base et les équations à un espace vide (inconnue) à une histoire, une image ou une action. Le programme donne comme exemple 5 · 8, qui peut être représenté par cinq maisons ayant chacune huit cubes, et 28 + _ = 50, qui peut se comprendre comme un bus de 50 places dont 28 sont occupées. Le programme ne mentionne pas ici de domaine numérique propre à la classe de 5e ; les exemples montrent seulement le type de tâches.

Une erreur typique est que l'histoire et le calcul ne correspondent pas. Face à « cinq maisons ayant chacune huit cubes », l'enfant écrit par exemple le calcul 5 + 8, parce qu'il additionne simplement les nombres au lieu de réfléchir à ce qui se passe dans l'histoire. Pour les équations avec un espace vide, il manque souvent l'explication de ce que signifie le signe _ dans l'histoire. L'erreur vient le plus souvent du fait que l'opération est choisie d'après les nombres et non d'après ce qui se passe.

En classe, cette compétence apparaît dans des tâches comme :

• Invente un problème dont le résultat est donné
• Invente un problème avec ces nombres
• Quelle réponse correspond au problème inventé ?
• Cette réponse correspond-elle au problème ? et Corrige la réponse sous le problème

Les fiches imprimables sur ce thème contiennent de tels exercices avec des solutions, afin que vous, en tant que parents, puissiez comparer l'histoire de l'enfant avec le calcul.

Votre enfant apprend à classer des énoncés sur le hasard. Un événement est certain s'il se produit toujours, impossible s'il ne peut jamais se produire, et possible s'il peut se produire sans devoir se produire. Le plan d'études Lehrplan 21 mentionne à ce sujet les notions (im)probable, (im)possible et certain. Il ne donne pas de plage numérique ; il s'agit de comprendre et d'utiliser correctement ces mots.

Une erreur typique consiste à juger d'après son impression plutôt que d'après la situation. Lorsqu'un événement arrive souvent, les enfants le tiennent vite pour certain. Ou bien ils considèrent une possibilité rare comme impossible. Par exemple, dans un sac ne contenant que des billes rouges, une bille bleue est impossible. En revanche, dans un sac contenant beaucoup de billes de couleurs différentes, une couleur rare n'est que possible, et non impossible.

Les exercices de ce domaine travaillent avec les modèles suivants :

• Remplis le sac : certain, possible ou impossible – placer des billes dans un sac de manière à ce qu'un tirage donné soit certain, possible ou impossible.
• Certain, possible ou impossible – associer des événements aux notions correspondantes.
• Corrige : certain, possible ou impossible – repérer une classification erronée et la corriger.
• Certain, possible ou impossible ? Vrai ou faux – vérifier des énoncés sur des événements.
• Certain, possible ou impossible ? Choisis – sélectionner la classification appropriée parmi des possibilités données.

Les modèles utilisent les notions certain, possible et impossible. Les notions probable et improbable, également mentionnées dans le plan d'études, n'apparaissent pas dans ces modèles.

L'enfant apprend à comprendre des longueurs exprimées en deux unités, par exemple 2 m 40 cm ou 3 cm 5 mm. Le programme décrit pour tout le niveau que des longueurs allant jusqu'à 1 m sont estimées, mesurées et additionnées (par ex. 15 cm + 35 cm). Dans cette classe, les fiches de travail montrent surtout que des longueurs écrites de différentes manières sont reconnues, comparées, puis additionnées ou soustraites.

La confusion avec les nombres décimaux est typique : 1 m 5 cm est lu comme 1,5 m, alors qu'il s'agit de 1,05 m. Lors de l'addition, une erreur de retenue se produit souvent. Pour 1 m 60 cm + 1 m 50 cm, il y a 110 cm, soit 1 m 10 cm de plus, au total 3 m 10 cm. Beaucoup d'enfants écrivent à la place 2 m 110 cm.

Les exercices typiques des fiches de travail sont :

• Additionner des longueurs écrites de différentes manières
• Longueurs en deux écritures : choisir le résultat
• Deux indications de longueur ensemble : vrai ou faux
• Longueurs en deux écritures : combien de plus ?
• Mètres : combien de mètres entiers ?

L'enfant sait indiquer les nombres voisins d'un nombre donné et compter en avant et en arrière à partir de n'importe quel nombre. Les points du programme sur lesquels ce thème s'appuie mentionnent l'espace numérique jusqu'à 20 et jusqu'à 100. Ils décrivent ainsi un parcours d'apprentissage sur plusieurs années scolaires. Pour la 5e année, les modèles d'exercices montrent concrètement ce qui est travaillé.

Une erreur typique : l'enfant donne, pour « 1 de moins », le nombre qui est 1 de plus, parce que le sens du comptage est inversé. Une droite numérique aide souvent : le prédécesseur se trouve à gauche du nombre, le successeur à droite.

Les exercices types sont « Quel nombre est 1 de moins ? » et « Quel nombre est 1 de plus ? ». S'y ajoutent des exercices où l'on additionne le successeur et le prédécesseur, par exemple pour le 7 : 6 + 8 = 14. D'autres exercices demandent de choisir la bonne réponse ou de décider si une affirmation est « vraie ou fausse ». Les modèles ne précisent pas d'espace numérique. Les nombres utilisés apparaissent sur la fiche de travail correspondante.

Dans le Plan d'études Lehrplan 21, le kilomètre est cité comme grandeur de référence : l'élève doit pouvoir se repérer par rapport à 1 km et nommer et utiliser les unités de longueur km, dm et mm. Ce point du plan d'études ne fixe pas de plage numérique pour le kilomètre. En 5e année, les modèles de tâches montrent ce qui est concrètement travaillé : convertir des kilomètres et des mètres en mètres, par exemple écrire 2 km 300 m sous la forme 2300 m.

Une erreur typique survient souvent : l'élève écrit 2 km sous la forme 200 m. Il calcule alors avec le nombre 100, qu'il connaît à partir des centimètres et des décimètres, au lieu de 1000. Même lorsque la conversion comporte un nombre avec une virgule ou des zéros, les chiffres sont facilement décalés. Il est utile de se rendre compte que 1 km correspond à 1000 m.

Une tâche sur ce thème se présente par exemple ainsi :

• Convertir des kilomètres et des mètres en mètres : écris la longueur uniquement en mètres.
• Kilomètres en mètres, choisir la bonne réponse : parmi plusieurs indications, il faut choisir la bonne.
• Kilomètres en mètres, vrai ou faux : une conversion est donnée et doit être évaluée.
• Kilomètres : combien de kilomètres entiers ? Détermine combien de kilomètres entiers sont contenus dans une longueur.
• Kilomètres : combien manque-t-il pour atteindre le kilomètre entier ? Détermine combien de mètres manquent encore pour atteindre le kilomètre entier suivant.

Suggestion personnelle, qui ne fait pas partie des consignes : un trajet scolaire connu, d'environ un kilomètre de long, peut aider à se représenter la taille de 1 km.

L'enfant nomme les solides cube, pavé droit, boule, cylindre et pyramide, et les reconnaît dans son environnement et sur des images. Il comprend et utilise les termes point, sommet, arête et face, et peut formuler des relations, par exemple que les faces d'un pavé droit sont des rectangles. Comme il s'agit ici de formes et non de nombres, il n'y a pas de domaine numérique à indiquer.

La boule et le cercle sont souvent confondus : sur une image, une boule ressemble à un cercle, mais le cercle est plat, alors que la boule est un solide. Un pavé droit est aussi souvent appelé cube, alors que toutes ses arêtes n'ont pas la même longueur. La raison en est généralement que seule la forme du contour est observée, et non les caractéristiques comme les sommets, les arêtes et les faces.

Les tâches typiques à ce sujet sont :

• Comment s'appelle ce solide ? L'enfant nomme un solide montré.
• De quel solide s'agit-il ? Vrai ou faux L'enfant vérifie si un nom correspond au solide.
• De quel solide s'agit-il ? Choisis L'enfant choisit le nom correct parmi plusieurs possibilités.
• Corriger le nom du solide L'enfant corrige un nom incorrect.
• Trouver un objet de la forme du solide L'enfant cherche un objet qui a la forme du solide.

L'enfant apprend à noter et à exploiter de manière claire les nombres issus de comptages et d'enquêtes : il consigne les effectifs dans des tableaux de pointage ou des tableaux et peut les représenter graphiquement. Les points du plan d'études décrivent cela sur plusieurs années scolaires et ne mentionnent pas de plage numérique fixe. En 5e année, les fiches d'exercices privilégient surtout les tâches où l'on détermine le nombre total à partir de tableaux et de pictogrammes.

Une erreur typique survient avec les pictogrammes : une image y représente plusieurs unités, par exemple cinq enfants. Celui qui compte simplement les images obtient un total faux, car il traite chaque image comme une unité unique. Dans les tableaux, on oublie souvent une ligne, ou, lorsqu'une ligne manque, on additionne simplement toutes les valeurs au lieu de soustraire des sommes connues les autres lignes.

Les fiches de travail sur ce thème comprennent notamment ces types d'exercices :

• Tableau : combien au total ? L'enfant additionne les valeurs d'un tableau.
• Pictogramme : une image représente plusieurs unités L'enfant convertit les images en effectifs.
• La ligne manquante lorsque la somme est connue L'enfant complète une ligne dont la valeur découle du total.
• Total à partir du tableau : choisir la bonne réponse Parmi plusieurs indications, on sélectionne le total correspondant.
• Total à partir du tableau : vrai ou faux L'enfant vérifie si un total donné est exact.

Toutes les fiches sont imprimables et accompagnées de solutions, afin que les parents puissent eux-mêmes contrôler les réponses.

En 5e année, les élèves convertissent des unités d'aire entre unités voisines, par exemple des hectares en ares, des ares en mètres carrés ou des mètres carrés en décimètres carrés. Pour le volume, il s'agit surtout à ce niveau de convertir vers une unité plus petite, par exemple des décimètres cubes en centimètres cubes. Cela comprend aussi la comparaison de grandeurs, par exemple déterminer laquelle de deux indications est la plus grande, et l'estimation à l'aide de grandeurs de référence connues comme 1 dm² ou 1 cm³.

Une erreur typique survient lorsque les élèves reprennent le facteur de conversion des longueurs. Comme 1 dm = 10 cm, ils calculent aussi 1 dm² = 10 cm², alors qu'il s'agit de 100 cm². Pour le volume, le même phénomène se produit : au lieu de 1 dm³ = 1000 cm³, on calcule souvent 100. La raison est que, pour les aires et les volumes, les longueurs changent dans deux, respectivement trois directions. Il est utile de se représenter l'unité comme un carré ou un cube.

Sur les fiches d'exercices, cela apparaît dans des tâches telles que « Convertir en une unité d'aire plus grande », « Convertir en une unité d'aire plus petite », « Convertir des hectares en ares », « Convertir des ares en mètres carrés » et « Convertir en une unité de volume plus petite ». En complément, il existe « Unités d'aire : comparer des grandeurs », « Unités d'aire : choisir la conversion » et « Unités d'aire : vrai ou faux ». Les solutions sont jointes. Pour aider à la maison, vous pouvez demander à votre enfant pourquoi une conversion donne 100 et non 10.

En 5e année, les enfants calculent avec des fractions dont les dénominateurs sont différents, par exemple ½ + ¼. Pour cela, les fractions sont d'abord ramenées à un dénominateur commun, c'est-à-dire étendues, puis les numérateurs sont additionnés ou soustraits. Le programme scolaire décrit ce domaine sur plusieurs années scolaires et mentionne les dénominateurs 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 et 100. Il exige en outre de représenter les sommes et les différences à l'aide de modèles adaptés, comme le modèle du cercle ou du rectangle.

Une erreur typique consiste à additionner séparément les numérateurs et les dénominateurs : ½ + ¼ serait alors écrit à tort 2/6. Une deuxième erreur fréquente : l'enfant rend les dénominateurs identiques, mais oublie d'étendre le numérateur par le même nombre. Il est donc utile, lors de la vérification des calculs, de contrôler consciemment les deux parties de l'extension.

Vous trouverez des exercices adaptés sur les fiches de travail, par exemple sous :

• Additionner des fractions de dénominateurs différents
• Soustraire des fractions de dénominateurs différents
• Additionner des fractions de dénominateurs différents : problème concret
• Fractions de dénominateurs différents : numérateur après la mise au même dénominateur
• Fractions de dénominateurs différents : vrai ou faux

L'élève sait additionner et soustraire des nombres décimaux, par exemple 30.8 + 5.6. Le plan d'études Lehrplan 21 vise pour cela des nombres comportant au maximum cinq chiffres au total (30.8 en a trois). Cette indication vaut pour tout le cycle et non uniquement pour la 5e année. L'élève peut calculer de tête ou noter par écrit ses propres procédures de calcul, par exemple décomposer le nombre en plusieurs termes ou montrer la démarche sur la droite numérique. Le plan d'études demande aussi de présenter ces procédures, de les comparer avec celles des autres et de les comprendre.

Une erreur fréquente concerne l'alignement : les chiffres sont écrits en partant de la droite, au lieu d'aligner les positions sur la virgule. Pour 4.5 + 0.38, le 5 (dixièmes) se retrouve alors au-dessus du 8 (centièmes), au lieu d'être au-dessus du 3 (également des dixièmes). Lors d'une soustraction, il est souvent utile de compléter les positions manquantes par un zéro, par exemple écrire 2.3 sous la forme 2.30. Il s'agit d'un conseil d'entraînement et non d'une exigence du plan d'études.

Les fiches de travail de ce domaine proposent les types d'exercices suivants :

• Additionner des nombres décimaux et soustraire des nombres décimaux : calculs à effectuer
• Additionner des masses avec des nombres décimaux : additionner des longueurs ou des poids
• terme manquant et soustrahend manquant : trouver le nombre manquant dans une égalité
• vrai ou faux et choisis le résultat : vérifier des résultats donnés ou choisir le bon

Le plan d'études mentionne aussi que les opérations de base peuvent être effectuées à la calculatrice. Il n'existe pas de modèle d'exercice spécifique pour ce point dans ce domaine.

L'enfant sait calculer le volume de pavés droits. Cela comprend aussi de construire des pavés droits à partir d'un nombre donné de cubes et de décomposer des pavés droits en un nombre déterminé de petits pavés droits. Le programme scolaire ne fixe pas de plage de nombres précise pour ce point.

Une erreur typique consiste à ne multiplier que deux arêtes ou à additionner les longueurs des arêtes. Cela s'explique parce que les élèves sont habitués, en calcul d'aires et de périmètres, à travailler avec deux grandeurs. Souvent, l'unité est alors fausse : au lieu de cm³, les enfants écrivent simplement cm ou confondent le volume avec la surface.

Les fiches d'exercices sur ce thème sont imprimables et comportent des solutions. Les exercices typiques sont :

• Volume à partir de cubes unitaires : compter les cubes avant de calculer avec une formule.
• Volume d'un cube et volume d'un pavé droit : calcul direct avec des arêtes données.
• Volume d'un pavé droit : arête manquante : déduire une arête inconnue à partir du volume.
• Volume : arêtes k fois plus longues : étudier comment le volume change lorsque toutes les arêtes sont doublées, par exemple.
• Volume d'un pavé droit : comparer deux boîtes et Problème concret (boîte) : utiliser le volume dans un contexte de la vie quotidienne.
• Volume d'un pavé droit : vrai ou faux et choisis le résultat : vérifier des affirmations ou choisir la solution correcte.
• Volume d'un corps formé de deux pavés droits : un corps composé est découpé en pavés partiels.

En 5e année, les élèves convertissent des longueurs entre unités voisines : mètre, centimètre et millimètre. Ils écrivent une longueur dans une autre unité, par exemple 1 m = 100 cm, et additionnent des longueurs exprimées en deux unités, par exemple 3 cm 5 mm + 2 cm 7 mm. Les objectifs du plan d'études ne fixent pas de limite numérique précise, mais donnent des exemples de ce type.

Le lien décimal entre les unités manque souvent : 1 cm contient 10 mm, 1 m contient 100 cm. Il est typique de calculer avec le mauvais nombre, par exemple 4 m = 40 cm. Lors de l'addition 3 cm 5 mm + 2 cm 7 mm, les unités sont souvent additionnées séparément, ce qui donne 5 cm 12 mm, au lieu de convertir les 10 mm en 1 cm. Cela vient souvent du fait que les unités de mesure sont lues comme des nombres indépendants, sans que leur relation mutuelle soit perçue.

Les fiches de travail de ce domaine comprennent les types d'exercices suivants :

• Convertir dans une unité de longueur plus grande ou plus petite
• Additionner des longueurs exprimées en deux unités
• Choisir la valeur convertie
• Comparer des unités de longueur
• Indiquer une longueur dans une unité
• Longueur dans une unité : vrai ou faux

Le plan d'études mentionne en outre l'estimation de longueurs et le rapport des préfixes kilo, déci, centi et milli aux puissances de dix. Ces contenus font partie de l'objectif d'apprentissage, mais ne sont pas exercés spécifiquement dans les types d'exercices de ce domaine.

En classe de 5e, l'enfant apprend à déterminer la moyenne (moyenne arithmétique) d'une série de données : on additionne toutes les valeurs, puis on divise la somme par le nombre de valeurs. Dans ces mêmes séries de données, on détermine aussi le maximum et le minimum. Le programme ne fixe pas de plage de nombres particulière pour la moyenne. Les nombres concrets qui apparaissent sont montrés par les exercices d'exemple de ce thème.

Une erreur typique consiste à diviser la somme par un nombre incorrect, par exemple par le nombre de valeurs différentes au lieu du nombre total d'entrées lorsque certaines valeurs se répètent. Il arrive aussi qu'une valeur soit oubliée lors de l'addition. Souvent, la moyenne est aussi confondue avec le maximum, le minimum ou la valeur du milieu de la série triée. Lorsqu'on travaille avec un diagramme en colonnes, une mauvaise lecture de la hauteur d'une colonne peut déjà conduire à un résultat faux.

En classe, l'enfant rencontre les types d'exercices suivants, pour lesquels il existe des fiches de travail imprimables avec corrigés :

• Calculer la moyenne : à partir d'une série de nombres, on détermine la moyenne.
• La moyenne dans la vie quotidienne : une moyenne est calculée à partir d'une situation de la vie courante et interprétée dans son contexte.
• Moyenne à partir d'un diagramme en colonnes : les valeurs sont lues sur les colonnes, puis la moyenne est déterminée.
• Moyenne : choisir le résultat : à partir de réponses proposées, on choisit le résultat correct.
• Moyenne à partir du diagramme : choisis la valeur : dans le diagramme, on choisit la valeur qui correspond à la moyenne.

Les points du programme scolaire décrivent un niveau qui couvre plusieurs années scolaires. Pour la 5e année, c'est donc surtout à partir des modèles de tâches que l'on peut voir ce qui est attendu. Les élèves calculent l'aire de carrés et de rectangles. Les points du programme ne mentionnent pas de plage numérique précise ; nous décrivons donc ici uniquement l'activité : multiplier les longueurs des côtés et donner l'aire en unités carrées.

Une erreur fréquente consiste à confondre périmètre et aire. Celui qui additionne tous les côtés mesure le contour et non la surface. Pour le côté manquant, il se passe souvent quelque chose de similaire : on additionne le côté connu à la surface ou on le multiplie par elle, au lieu de chercher par quel nombre multiplier le côté connu pour obtenir la surface donnée. Il est utile de compter la surface dans un quadrillage pour voir pourquoi la multiplication convient.

Les tâches typiques dans ce domaine sont :

• Calculer l'aire d'un rectangle
• Comparer deux surfaces
• Aire d'un rectangle dans la vie quotidienne, par exemple pour une table ou une feuille de papier
• Juger si des affirmations sur l'aire sont vraies ou fausses
• Calculer des figures dont un coin a été découpé
• Côté de rectangle manquant : d'abord choisir le côté recherché, puis calculer
• Déterminer le côté manquant d'un rectangle à partir de son aire
• Étudier comment l'aire change lorsqu'un côté devient k fois plus long
• Déterminer le côté d'un carré à partir de son aire

En 5^e année, l'élève travaille avec des durées en heures, minutes et secondes et effectue des calculs avec ces grandeurs. Il s'agit notamment de convertir des durées dans l'unité voisine, par exemple 2 min 30 s en secondes. Le plan d'études ne mentionne pas de plage de nombres concrète pour ce niveau ; les nombres dépendent donc des fiches de travail.

Une erreur typique provient du système décimal, que l'élève connaît déjà grâce aux calculs avec les francs et les mètres. Ainsi, 2 min 30 s est parfois écrit 2,30 min, ou l'on calcule comme si une minute comptait 100 secondes. Pour les heures, on oublie souvent qu'une heure a 60 minutes : celui qui soustrait séparément les heures et les minutes entre 10:50 et 11:10 obtient un résultat faux.

Les tâches typiques dans ce domaine sont :

• Problème de durée : Combien de temps cela a-t-il pris ?
• Minutes et secondes en secondes : Convertir, par exemple 3 min 15 s en secondes.
• Heure : Combien de minutes se sont écoulées entre deux heures ?
• Comparer des durées : Quelle période est la plus longue ?
• Choisir une période : Combien de minutes se sont écoulées ? On choisit la réponse correcte.
• Minutes et secondes, vrai ou faux : L'indication est-elle correcte ?

Votre enfant apprend à reconnaître la règle d'une suite de nombres et à déterminer les termes suivants. L'accent est mis sur les suites où l'on ajoute toujours le même nombre ou multiplie toujours par le même nombre, ainsi que sur les suites à pas fixe, pour lesquelles on demande le premier terme, un terme donné ou un terme choisi. Les motifs de figures en font aussi partie : il s'agit de décrire combien de carrés comporte la figure n. Le plan d'études mentionne en outre des suites non linéaires comme 1, 4, 9, 16 ou 1, 3, 6, 10, 15. Celles-ci ne figurent pas dans les modèles d'exercices de cette classe.

Il est typique que les enfants additionnent au lieu de multiplier dans les suites avec multiplication. Pour 3, 6, 12, 24, ils écrivent alors par exemple 3, 6, 9, 12 et ne remarquent pas que le nombre double. Une deuxième erreur fréquente apparaît lorsqu'on demande à quel rang se trouve un terme : si le premier terme est compté comme 0 ou comme 1, la réponse est décalée d'une unité. Pour les motifs de figures, on ne considère souvent que le nombre de nouveaux éléments ajoutés ou seulement la dernière figure, au lieu de déterminer le nombre total de carrés de la figure n.

Les exercices typiques sont :

• Reconnaître la règle et poursuivre la suite : La règle est trouvée à partir des premiers termes, puis la suite est prolongée.
• Suite : toujours ajouter la même quantité et Suite : toujours multiplier par le même nombre : La règle est donnée ou doit être trouvée.
• Suite à pas fixe : On demande le premier terme, le rang d'un terme ou un terme choisi.
• Suite à pas fixe : vrai ou faux : L'enfant vérifie si une suite donnée respecte la règle.
• Motifs de figures : combien de carrés dans la figure n : L'enfant décrit, avec des nombres, le nombre de carrés d'une figure.

L'enfant peut reconnaître, dans un problème raconté, quelle opération de base est visée, et poser le calcul avec un espace à compléter. Les exemples du plan d'études travaillent avec des montants d'argent comme 36 fr., 23 fr. et 125 fr. Cela inclut aussi l'opération inverse : si 23 fr. sur 36 fr. sont déjà économisés, on demande combien il manque encore et on calcule 36 fr. moins 23 fr.

Une erreur typique se produit lorsque l'enfant prend seulement les nombres du texte et choisit l'opération au hasard, par exemple en additionnant 36 fr. et 23 fr. alors que la question porte sur le montant manquant. Deuxième erreur : l'enfant calcule une expression, mais ne sait pas dire ce que signifie le nombre obtenu. Pour 125 fr. + 4 fr. + 4 fr. + 4 fr. − 34 fr., le résultat est le montant des économies, et c'est précisément cette interprétation qui fait partie de la tâche. Il est utile de vérifier le résultat à partir du texte.

Sur la fiche de travail, cette compétence apparaît dans les types de tâches suivants :

• Problème en plusieurs étapes (regrouper) : plusieurs étapes d'une histoire sont réunies dans une seule expression.
• Provision et paquets : combien de paquets au maximum : l'enfant détermine combien de paquets complets peuvent être formés avec une provision.
• Provision et paquets : choisis le nombre : l'enfant choisit, parmi des propositions, le nombre approprié.
• Problème en trois jours : choisis le résultat : parmi plusieurs solutions, l'enfant choisit le bon résultat.
• Problème en trois jours : vrai ou faux : l'enfant vérifie des affirmations sur l'histoire et justifie sa décision par un calcul.

L'enfant calcule avec des fractions qui ont le même dénominateur, par exemple 2/5 + 1/5 = 3/5 ou 4/6 - 1/6 = 3/6. Le dénominateur reste le même, car toutes les parts ont la même taille ; seuls les numérateurs sont calculés. Le plan d'études mentionne pour ce domaine le modèle rectangulaire et des dénominateurs comme 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 et 100. Cette indication vaut toutefois pour un cycle plus long et pas seulement pour la 5e année. Les exercices de cette classe montrent surtout l'addition et la soustraction avec le même dénominateur, même lorsque la somme est supérieure à 1.

Souvent, les enfants additionnent en plus les dénominateurs, par exemple 1/4 + 1/4 = 2/8 au lieu de 2/4. Ils traitent alors le numérateur et le dénominateur de la même manière, alors que le dénominateur indique seulement en combien de parts égales le tout est divisé. Cela devient aussi difficile lorsqu'il faut soustraire du tout, par exemple 1 - 3/5 : l'enfant doit reconnaître le tout comme 5/5 pour pouvoir poursuivre le calcul.

La fiche de travail sur ce thème propose notamment ces types d'exercices :

• Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur
• Fractions de même dénominateur : somme supérieure à 1
• Fractions de même dénominateur : numérateur manquant
• Fractions : combien manque-t-il pour obtenir le tout ?
• Soustraire des fractions : retirer du tout
• Fractions de même dénominateur : comparer des sommes

Les solutions sont indiquées à chaque fois, afin que vous puissiez bien revoir les exercices avec votre enfant.

En 5^e année, les élèves arrondissent des nombres décimaux à un rang donné, aux dixièmes et aux centièmes. Ainsi, 1,745 arrondi aux dixièmes donne 1,7, car le chiffre après le rang des dixièmes est un 4 et on arrondit donc par défaut. Le point du programme vaut pour tout le niveau et mentionne aussi l'arrondi des nombres entiers. Pour la 5^e année, les exercices de ce domaine portent sur l'arrondi de nombres décimaux aux dixièmes et aux centièmes.

Il est typique que les élèves tronquent simplement les chiffres au lieu d'arrondir. Ainsi, 1,78 arrondi aux dixièmes devient 1,7 au lieu de 1,8, alors que c'est le 8 après le rang des dixièmes qui décide de l'arrondi par excès. La retenue pose aussi problème : 1,96 arrondi aux dixièmes donne 2,0. Beaucoup d'élèves oublient alors que le 9 augmente les dixièmes, ce qui crée un chiffre des unités.

Les exercices des fiches de travail se présentent sous quatre formes :

• Arrondir aux dixièmes : des nombres décimaux sont arrondis à une décimale.
• Arrondir aux centièmes : des nombres décimaux sont arrondis à deux décimales.
• Arrondir aux dixièmes : choisir le résultat : parmi plusieurs réponses, on choisit la bonne.
• Arrondir aux dixièmes : vrai ou faux : un arrondi donné est jugé vrai ou faux.

Le point du plan d'études décrit des figures ayant un périmètre donné. Il cite comme exemple des triangles formés avec 5, 6 ou 7 allumettes. Les exercices de ce thème en 5e année se concentrent sur les longueurs des côtés : l'enfant vérifie si trois longueurs forment un triangle et cherche des longueurs possibles pour un côté manquant.

Il est typique que les enfants pensent que toute combinaison de trois longueurs donne un triangle. Avec des longueurs comme 2 cm, 3 cm et 6 cm, ce n'est pas possible : les deux petits côtés ne suffisent pas ensemble à atteindre le grand côté, la figure ne se referme pas. La raison tient le plus souvent au fait que seule la longueur totale est présente à l'esprit, et non le fait que les deux petits côtés réunis doivent être plus longs que le plus grand côté.

Les exercices correspondants portent les titres suivants :

• Inégalité triangulaire : vrai ou faux – On décide si trois longueurs données forment un triangle.
• La plus grande troisième côté possible – Pour deux côtés donnés, on cherche la plus grande longueur admissible pour le troisième côté.
• Inégalité triangulaire : combien de longueurs pour le troisième côté – On compte combien de longueurs sont possibles pour le troisième côté.
• Troisième côté du triangle : choisis le nombre – L'exercice demande de déterminer le nombre convenable pour le troisième côté.

En 5e année, l'élève s'entraîne à l'addition et à la soustraction écrites de nombres entiers à plusieurs chiffres. Il écrit alors les nombres les uns sous les autres, de sorte que les unités soient sous les unités, les dizaines sous les dizaines, et ainsi de suite, et il calcule colonne par colonne. Le plan d'études ne fixe pas de plage de nombres précise pour cette compétence. L'essentiel est que l'élève puisse noter sa démarche de calcul et vérifier le résultat.

Les erreurs fréquentes ont généralement une cause claire :

• Soustraire en passant par des zéros : Dans des calculs comme 4003 − 1278, l'élève soustrait simplement 8 de 0 ou laisse le 0 tel quel. Il lui manque une unité à déboursurer : il faut la prendre à la position suivante qui n'est pas un 0.
• Oublier la retenue : Si la somme d'une colonne est supérieure à 9, la dizaine n'est pas reportée dans la colonne suivante.
• Chiffres mal alignés : Si les nombres sont décalés, les unités et les dizaines se trouvent mélangées.

Les exercices typiques de ce domaine sont Addition écrite et Soustraction écrite, ainsi que Soustraction écrite : déboursurer à travers des zéros, lorsqu'on veut s'entraîner au déboursage à travers des zéros. Des exercices comme Addition écrite : choisis le résultat ou vrai ou faux aident à vérifier les résultats et à repérer les erreurs.

En 5e année, les enfants arrondissent les nombres naturels à la dizaine la plus proche et à la centaine la plus proche. Pour cela, ils regardent le chiffre situé à droite du rang auquel on arrondit. Si ce chiffre est 5 ou plus, on arrondit par excès, sinon par défaut. Ainsi, 47 arrondi à la dizaine donne 50, et 43 devient 40.

Une erreur typique : avec les nombres à trois chiffres, l'enfant regarde le mauvais chiffre. Pour 149 arrondi à la centaine, il considère le dernier chiffre 9 au lieu du chiffre des dizaines 4. On obtient alors 200, alors que la bonne réponse est 100. Les nombres dont le chiffre est exactement 5 sont aussi souvent arrondis de façon incertaine.

Les fiches de travail de cette classe comportent les types d'exercices suivants :

• Arrondir à la dizaine la plus proche
• Arrondir à la centaine la plus proche
• Arrondir à la dizaine : choisir le résultat
• Arrondir à la centaine : choisir le résultat
• Arrondir à la dizaine : vrai ou faux

Cette année scolaire, l'enfant calcule avec des relations proportionnelles tirées de la vie quotidienne, surtout avec des montants d'argent. Par exemple : 100 g de fromage coûtent 5.40 fr., 200 g coûtent 10.80 fr. Lorsqu'une valeur manque dans un tableau ou un exercice, l'enfant la détermine à l'aide du rapport et complète l'indication. Il reconnaît d'abord qu'une relation est proportionnelle, puis poursuit le calcul.

Une erreur typique est la pensée additive : si la quantité double, l'enfant ajoute simplement un nombre au lieu de multiplier. Pour 100 g à 5.40 fr. et 200 g à 10.80 fr., il écrit alors peut-être 300 g à 16.20 fr. simplement parce qu'il additionne 5.40 fr. plusieurs fois, sans tenir compte du rapport. Une seconde erreur apparaît lors de la mise en place de l'équation : les grandeurs ne sont pas placées aux bons endroits, de sorte que les grammes et les francs se mélangent.

En classe, l'enfant rencontre des exercices comme ceux-ci, qui figurent dans le matériel avec des solutions :

• Équation de rapport : valeur manquante

• Équation de rapport : troisième terme manquant

• Équation de rapport : choisir le terme manquant

• Équation de rapport : vrai ou faux

• Proportion dans un problème concret : convertir pour un autre nombre de pièces

• Correspondance proportionnelle : compléter le tableau

Votre enfant peut calculer le périmètre d'un polygone en additionnant toutes les longueurs des côtés. Cela comprend aussi de trouver, à partir du périmètre donné et des autres côtés, le côté manquant. Les nombres qui apparaissent sont montrés dans les exemples des fiches de travail ; les points du programme ne donnent pas de plage de nombres fixe pour cela.

Le programme décrit en outre la construction de figures d'un périmètre donné, par exemple des triangles avec 5, 6 ou 7 allumettes. Il n'existe pas de modèle d'exercice spécifique à cette activité dans ce domaine.

Les enfants confondent souvent périmètre et aire. Or on demande le tour de la figure, et non la surface à l'intérieur. Pour le côté manquant, on additionne souvent au lieu de soustraire : celui qui additionne tous les côtés connus doit soustraire cette somme du périmètre pour obtenir le dernier côté. Il arrive alors souvent qu'un côté manque dans la somme.

Les exercices adaptés à ce domaine sont :

• Périmètre d'un polygone : Votre enfant additionne tous les côtés et obtient le périmètre.
• Périmètre d'un polygone : choisis le résultat : La bonne réponse est sélectionnée parmi plusieurs solutions.
• Périmètre d'un polygone : problème concret (clôture) : Le périmètre est interprété comme la longueur d'une clôture autour d'un terrain.
• Côté manquant à partir du périmètre et Côté manquant à partir du périmètre : choisis le côté : Le côté recherché est calculé ou trouvé parmi les réponses proposées.
• Périmètre d'un polygone régulier : calcule le côté : Tous les côtés ont la même longueur ; le périmètre est donc divisé par le nombre de côtés.

Le programme scolaire indique que les élèves comprennent et utilisent les notions de diamètre, de rayon et de centre. Le rayon est la distance entre le centre et le bord du cercle. Le diamètre relie un point du bord à le bord opposé en passant par le centre et il est donc deux fois plus long que le rayon. Le point du programme ne précise pas de plage de nombres particulière. Les exemples d'exercices montrent quels nombres apparaissent.

Une erreur typique consiste à confondre rayon et diamètre. Souvent, le rayon est simplement repris comme diamètre, ou bien lors de la conversion on ne double pas ou l'on ne divise pas par deux. Les termes se ressemblent, et comme les deux segments partent du centre, ils sont facilement confondus.

Sur les fiches de travail, le thème apparaît dans ces types d'exercices :

• Diamètre à partir du rayon : le rayon est donné, on cherche le diamètre.
• Rayon à partir du diamètre : le diamètre est donné, on cherche le rayon.
• Rayon et diamètre : vrai ou faux : des affirmations sur le rayon et le diamètre sont jugées.
• Rayon à partir du diamètre : choisis le résultat : parmi plusieurs réponses, on choisit la bonne.

L'enfant peut lire et écrire des nombres entiers jusqu'à 1 million, les comparer et les ranger dans l'ordre. Le programme mentionne aussi le comptage en avançant et en reculant par des pas adaptés, par exemple de 320'000 par pas de 20'000, ainsi que la position approximative d'un nombre comme 72'000 sur une droite numérique. L'espace numérique jusqu'à 1 million est formulé dans le programme pour le niveau et non pas seulement pour la 5e année. Ce que cette classe travaille concrètement, les types d'exercices ci-dessous le montrent.

Une erreur typique se produit avec les nombres comportant des zéros au milieu. À l'oral, ces zéros disparaissent souvent, c'est pourquoi 50'602 est écrit 5602 : le zéro à la place des milliers est oublié, et tous les chiffres suivants glissent d'un rang vers la gauche. Une deuxième erreur concerne la valeur d'un chiffre. Dans 72'000, le 7 ne vaut pas 7, mais 70'000. C'est le rang qui détermine la valeur, et non le chiffre seul.

Dans la fiche de travail, cette compétence apparaît dans les types d'exercices suivants :

• Grands nombres : comparer – deux ou plusieurs grands nombres sont comparés entre eux.
• Valeurs de position : combien de fois plus grand – l'enfant détermine combien de fois plus grande est la valeur d'un rang par rapport à un autre.
• Décomposition selon les rangs : le terme manquant – un nombre est décomposé selon les rangs, et une partie manquante est complétée, par exemple 72'000 + ? = 72'409.
• Nombre à partir des rangs (zéros au milieu) – à partir des valeurs de position, le nombre est écrit, sans oublier les zéros au milieu.
• Valeur d'un chiffre : choisir la réponse – l'enfant choisit la bonne valeur d'un chiffre marqué parmi plusieurs réponses.
• Valeur de position : choisir combien de fois plus grand – l'enfant choisit combien de fois plus grande est une valeur de position.

Votre enfant apprend à transformer les calculs pour les rendre plus faciles. Le plan d'études Lehrplan 21 décrit cet objectif sur plusieurs années scolaires. Il comprend l'addition et la soustraction de tête avec des nombres comme 402 + 90, la transformation de produits par doublement et moitié (8 · 26 = 4 · 52 = 2 · 104) et le regroupement différent des sommes (136 + 58 + 42 = 136 + (58 + 42)). Les résultats sont en outre vérifiés par la simplification, la décomposition ou les opérations inverses. En 5e année, les fiches d'exercices présentent surtout les types de tâches mentionnés ci-dessous.

Une erreur typique lors du doublement et de la moitié : l'enfant ne modifie qu'un seul des deux facteurs. Ainsi, 8 · 26 devient 16 · 26 au lieu de 16 · 13, parce que le produit n'reste pas équilibré. Pour les calculs avec des nombres proches de 100, il se produit quelque chose de semblable : pour 99 · 7, on calcule parfois 100 · 7 = 700 et on oublie ensuite de retrancher les 7.

Les tâches portent par exemple les titres suivants :

• Multiplier astucieusement
• Additionner astucieusement
• Calculer astucieusement : multiplier un nombre proche de 100
• Multiplier astucieusement : vrai ou faux
• Addition astucieuse de centaines entières : choisis la réponse

Les fiches contiennent des solutions, afin que vous puissiez suivre ensemble le raisonnement de votre enfant.

L'enfant peut, avant de calculer précisément, donner un résultat approximatif et vérifier ainsi si un résultat exact peut être juste. Pour cela, les nombres sont arrondis de manière à pouvoir être additionnés facilement de tête. Les fiches de travail de la 5e année montrent cela surtout pour des sommes où l'on arrondit aux centaines.

Il est typique que les enfants n'arrondissent qu'un seul des deux nombres ou ne tiennent pas compte de la valeur de position en arrondissant, par exemple en arrondissant 362 à 300 au lieu de 400. Il arrive aussi qu'une estimation soit prise pour le résultat exact. Une estimation est une valeur indicative et non un résultat exact.

Les exercices s'intitulent par exemple Estimer la somme : l'enfant arrondit les termes et écrit le résultat estimé. Avec Estimer la somme : choisir l'estimation, il choisit parmi plusieurs valeurs estimées celle qui convient, et avec Estimer : choisir l'arrondi aux centaines, il décide à quel nombre arrondir.

Le plan d'études décrit l'estimation sur plusieurs années scolaires, y compris pour les nombres décimaux ainsi que pour les produits et les quotients. Les exercices de ce domaine ne couvrent pour la 5e année que les sommes avec arrondi aux centaines mentionnées ci-dessus.

Votre enfant apprend à comparer deux fractions dont le numérateur et le dénominateur sont tous deux différents, par exemple 2/3 et 3/5. Le plan d'études cite pour cela les dénominateurs 2, 3, 4, 5, 6, 8 et 10 ; pour ordonner des fractions, s'ajoutent 20, 50 et 100. Ces indications décrivent l'ensemble de la section du plan d'études sur plusieurs années et pas seulement la 5e année. Des représentations comme le modèle du cercle ou du rectangle et la droite numérique sont utiles pour cela.

Une erreur typique : l'enfant conclut du dénominateur plus grand à la fraction plus grande. Ainsi, 1/8 paraît plus grand que 1/4, parce que 8 est plus grand que 4. Derrière cela se cache l'idée de comparer séparément le numérateur et le dénominateur. Or une fraction indique combien de parts on a d'un tout. Plus un tout est divisé en parts nombreuses, plus chaque part est petite.

En 5e année, il existe pour cela des fiches d'exercices avec corrigés, par exemple :

• Comparer des fractions avec des dénominateurs différents : deux fractions ayant des numérateurs et des dénominateurs différents sont comparées entre elles.
• Comparer des fractions à un demi : une fraction est comparée à ½, par exemple pour voir si elle est plus grande ou plus petite.
• Comparer des fractions de même numérateur : ici, il suffit de comprendre que, pour un même numérateur, la fraction au dénominateur le plus petit est la plus grande.

Étendre une fraction signifie multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. La fraction change alors d'apparence, mais garde la même valeur ; par exemple, 1/2 est égal à 2/4. Le plan d'études Lehrplan 21 décrit l'extension de fractions de dénominateurs 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 et 100 à l'aide du modèle rectangulaire. Les exercices de cette classe travaillent avec de telles fractions.

Une erreur typique : l'enfant multiplie seulement le dénominateur, par exemple 1/2 devient 1/4, ou il traite différemment le numérateur et le dénominateur, par exemple 1/2 devient 2/3, parce qu'il augmente les deux nombres de 1. La raison est que la fraction est vue comme deux nombres séparés plutôt que comme une seule part. Le modèle rectangulaire rend cela clair : si un rectangle est partagé en 2 moitiés et que chaque moitié est à nouveau coupée en deux, on obtient 4 parts de même taille. Parmi elles, 2 sont coloriées, soit 2/4. L'aire ne change pas, elle est seulement découpée en morceaux plus petits.

Les fiches de travail de cette classe contiennent les types d'exercices suivants, chacun avec des solutions :

• Étendre des fractions : amener une fraction à un dénominateur plus grand donné, par exemple 3/4 = 6/8.
• Étendre des fractions : dénominateur manquant : dans une égalité comme 3/4 = ?/8, trouver le dénominateur manquant.
• Étendre des fractions : par quel nombre a-t-on étendu ? lire, à partir de deux fractions, le nombre par lequel l'extension a été faite.
• Étendre des fractions : vrai ou faux vérifier si une extension donnée est correcte et nommer l'erreur.
• Étendre des fractions : choisir le facteur choisir, parmi plusieurs nombres, le bon nombre d'extension.

L'enfant classe les angles selon leur ouverture : il reconnaît un angle aigu, un angle obtus et un angle droit, et les nomme correctement. L'angle droit de 90° sert ici de comparaison et est marqué par un petit carré. Les indications du programme pour ce domaine ne mentionnent aucune plage de nombres, c'est pourquoi ce texte décrit uniquement ce que montrent les exercices.

La confusion entre aigu et obtus est typique, car l'enfant juge la longueur des branches au lieu de l'ouverture entre elles. Avec le rapporteur s'ajoute une deuxième source d'erreur : l'échelle comporte deux séries de nombres, et celui qui lit la mauvaise obtient 180° moins la valeur correcte. Pour les angles supplémentaires, on calcule aussi souvent avec 90° au lieu de 180°, parce que l'angle droit est plus présent à l'esprit.

Les indications du programme ne mentionnent pas explicitement les angles complémentaires et les angles adjacents, mais les exercices de ce domaine les abordent :

• Déterminer le type d'angle : L'enfant classe un angle présenté comme aigu, droit ou obtus.
• Angles complémentaires : Deux angles font ensemble 90° ; l'angle manquant est calculé.
• Angles supplémentaires : Deux angles font ensemble 180° ; l'autre angle est calculé ou choisi.
• Angles opposés par le sommet : Les angles opposés sont égaux ; la mesure correspondante est choisie.

Un diviseur divise un nombre sans reste. Les élèves apprennent à donner tous les diviseurs d'un nombre entier naturel, par exemple pour 16 les nombres 1, 2, 4, 8 et 16. Cela implique d'utiliser correctement les notions de diviseur et de multiple. Le programme cite comme exemple que les carrés parfaits ont un nombre impair de diviseurs. Les règles de divisibilité, par exemple pour 3, 4, 6, 8, 9, 25 et 50, sont signalées dans le programme comme un approfondissement.

Une erreur typique consiste à oublier le 1 ou le nombre lui-même. Celui qui n'écrit pour 16 que 2, 4 et 8 ne voit pas que tout nombre est divisible par 1 et par lui-même. On confond aussi souvent diviseurs et multiples : celui qui écrit 12, 24, 36 comme diviseurs de 12 a noté des multiples au lieu de diviseurs. Une démarche utile (proposition personnelle, et non un objectif du programme) consiste à vérifier les diviseurs par paires, par exemple 1 avec 16, 2 avec 8, 4 avec 4, plutôt que de deviner.

Les exercices imprimés dans ce domaine sont :

• Donner tous les diviseurs d'un nombre : écrire tous les diviseurs d'un nombre donné.
• Diviseurs : combien y en a-t-il ? : déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre.
• Diviseurs d'un nombre : choisis le bon nombre : choisir, parmi plusieurs propositions, le nombre correct de diviseurs.
• Diviseurs : plus petit nombre ayant k diviseurs : trouver le plus petit nombre qui possède exactement k diviseurs.
• Plus petit nombre ayant k diviseurs : vrai ou faux : vérifier si une affirmation donnée au sujet du plus petit nombre est exacte.

Il n'existe pas de modèle d'exercice propre aux multiples dans ce domaine.

En 5e année, votre enfant s'exerce surtout à multiplier un nombre à un chiffre par un multiple de dix, par exemple 3 · 40 ou 7 · 60. Le plan d'études décrit pour ce domaine un champ numérique plus grand (jusqu'à 4 chiffres significatifs, par exemple 45 · 240). Les exercices de cette classe montrent toutefois l'introduction avec des nombres à un chiffre multipliés par des multiples de dix.

Une erreur typique consiste à oublier le zéro à la fin. Pour 3 · 40, l'enfant calcule 3 · 4 = 12 et écrit 12 au lieu de 120. Le zéro représente les dizaines et est facilement négligé. Une aide possible consiste à calculer d'abord l'opération sans le zéro (3 · 4 = 12), puis à ajouter le zéro, car 40 est composé de 4 dizaines.

Les fiches d'exercices proposent à ce sujet trois formes d'exercices avec solutions :

• Multiplier par des multiples de dix : L'enfant calcule lui-même, par exemple 5 · 30.
• Multiplication par des multiples de dix : vrai ou faux : L'enfant vérifie des calculs donnés comme 3 · 40 = 12 et décide s'ils sont justes.
• Multiplication par des multiples de dix : choisis le résultat : À partir de plusieurs propositions, l'enfant choisit le bon résultat.

L'élève apprend à écrire une longueur exprimée en deux unités comme un seul nombre décimal : à partir de 2 m 35 cm, on obtient 2,35 m. Le Plan d'études 21 demande d'écrire les grandeurs dans des unités doublement nommées et de les convertir dans les unités voisines. Les tâches de cette classe portent donc sur des longueurs. Le point du plan d'études lui-même ne mentionne aucune plage de nombres, c'est pourquoi aucune n'est indiquée ici.

Une erreur typique : le nombre de centimètres est placé derrière la virgule comme un nombre entier, sans prêter attention aux rangs. À partir de 2 m 5 cm, on obtient alors 2,5 m au lieu de 2,05 m. La raison : 5 cm font 5 centièmes de mètre, donc le chiffre des dixièmes doit être occupé par un zéro. Il est utile de se représenter la longueur comme un nombre de centimètres avant de l'écrire en mètres.

Dans les fiches de travail de ce domaine, il existe le modèle Indiquer une longueur sous forme de nombre décimal : l'enfant reçoit des longueurs exprimées en deux unités et les écrit sous forme de nombre décimal dans une seule unité. Les solutions sont jointes, afin que vous puissiez vérifier directement les réponses. Comme idée personnelle, et non comme consigne du plan d'études : à la maison, on peut mesurer des objets avec un mètre ruban et faire écrire la longueur une fois en « mètres et centimètres », puis une fois sous forme de nombre décimal en mètres.

Dans le domaine de la masse, l'enfant convertit entre les unités voisines kilogramme (kg) et gramme (g). Le programme scolaire donne comme exemple : 2000 g font 2 kg. Les nombres utilisés pour les calculs ne sont pas davantage précisés dans ce point du programme. Les points du programme mentionnent en plus la tonne (t) et le milligramme (mg) ; mais les exercices de ce domaine portent surtout sur le kilogramme et le gramme.

Une erreur typique survient lorsque l'enfant pense la conversion à partir du centimètre et calcule avec 100. Alors 3 kg deviennent à tort 300 g au lieu de 3000 g. Il est utile de retenir qu'un kilogramme contient mille grammes et que le gramme est l'unité la plus petite.

Les exercices de ce domaine sont notamment les suivants :

• Convertir dans une unité de masse plus petite, par exemple des kilogrammes en grammes
• Convertir dans une unité de masse plus grande, par exemple des grammes en kilogrammes
• Masse en kilogrammes : choisir le nombre décimal, où il faut sélectionner le nombre décimal correspondant à un poids en kg
• Masse en kilogrammes : vrai ou faux, où les indications en kg sont vérifiées quant à leur exactitude
• Convertir des unités de masse : choisir le résultat, où il faut choisir la bonne solution parmi plusieurs
• Unités de masse : comparer et Indiquer la masse dans une unité, qui approfondissent la compréhension des unités

Le Plan d'études 21 décrit pour l'ensemble du degré que les nombres jusqu'à 1 million sont comptés en avançant et en reculant par pas adaptés et sont ordonnés sur la droite numérique. En 5e année, les exercices portent avant tout sur le saut de dizaine sur la droite numérique : l'enfant voit où se situe un nombre et saute de là de dix unités vers l'avant ou vers l'arrière.

Une erreur typique consiste à ce que l'enfant, lors du saut de dizaine, ne compte que de 1 en 1, c'est-à-dire qu'il avance trait par trait, au lieu de faire un saut de dix. Souvent, la position est aussi mal lue, car tous les traits ne sont pas étiquetés et l'enfant doit lui-même déterminer la valeur d'un trait.

En classe et sur les fiches d'exercices, on rencontre ces types d'exercices :

• Saut de dizaine sur la droite numérique : à partir d'un nombre marqué, on détermine le nombre situé dix unités plus à gauche ou plus à droite.
• Saut de dizaine : choisis le nombre : parmi plusieurs indications, on sélectionne le bon nombre après un saut de dizaine.
• Saut de dizaine : vrai ou faux : un calcul ou une solution donnée est jugé(e) vrai(e) ou faux (fausse).

Le Lehrplan 21 indique comme objectif, pour les mathématiques, de multiplier des nombres allant jusqu'à 4 chiffres, par exemple 45 · 240. Cette indication vaut pour l'ensemble du cycle et non seulement pour la 5e année. Ce qui est concrètement travaillé dans cette classe apparaît dans les modèles d'exercices : un nombre à plusieurs chiffres est multiplié par un nombre à un chiffre par écrit, par exemple 327 · 4.

Une erreur typique : l'enfant calcule de droite à gauche, chiffre par chiffre, et oublie la retenue ou ne l'ajoute pas au chiffre suivant. Pour 47 · 6, on obtient 6 · 7 = 42. On écrit le 2 et on retient le 4. Ensuite, 6 · 4 = 24, et avec la retenue cela fait 28. Mais souvent le 4 est oublié, et le résultat donné est 24. L'erreur vient du fait qu'il faut retenir en même temps la table de multiplication et la retenue dans sa tête. Des chiffres décalés, parce que les nombres ne sont pas bien alignés en colonnes, conduisent aussi souvent à des résultats faux.

Les modèles d'exercices de ce domaine couvrent différentes formes :

• Multiplier par écrit par un nombre à un chiffre : de simples calculs en colonnes.
• Multiplication par écrit dans un problème : la multiplication se cache dans une courte histoire et doit d'abord être reconnue.
• Multiplication par écrit : le facteur manquant : un facteur manque, par exemple ? · 6 = 258.
• Multiplication par écrit : choisis le facteur manquant : parmi plusieurs propositions, il faut sélectionner le facteur qui convient.
• Multiplication par écrit : choisis le résultat : parmi plusieurs solutions, il faut choisir le résultat correct.

L'enfant peut calculer, à partir d'une indication valable pour plusieurs unités, la valeur pour une seule unité, par exemple le prix par kilogramme. Le plan d'études donne pour cela des exemples comme 300 g de fromage à 20 Fr./kg ou une consommation de carburant de 6 l pour 100 km. Ces exemples font partie de tout le degré. Les nombres et les tâches exacts qui apparaissent en 5e année sont présentés par les types d'exercices des fiches de travail.

Deux erreurs sont typiques :

• La division est inversée. Pour 3 pièces pour 6 Fr., l'enfant calcule 3 : 6 au lieu de 6 : 3, parce qu'il ne réfléchit pas à ce qu'on cherche.
• L'unité manque. La réponse « 2 » sans « Fr. la pièce » reste floue, et lorsqu'on compare des emballages, on regarde souvent le prix total au lieu du prix par unité.

Les fiches de travail proposent à ce sujet quatre types d'exercices : Valeur pour un sous forme de problème concret, où il s'agit de savoir combien coûte ou pèse une unité ; Prix unitaire avec la question de savoir où quelque chose est moins cher ; Valeur pour une unité avec le choix du résultat correct ; et Valeur pour une unité sous forme de tâche « vrai ou faux », où l'on vérifie des affirmations. Les solutions sont jointes, afin que vous puissiez reconstituer les calculs ensemble.

L'élève peut diviser des nombres naturels par un nombre à un chiffre, par exemple 231 : 7. Le plan d'études décrit cette compétence pour plusieurs années scolaires ensemble. En 5e année, elle est surtout entraînée avec des divisions posées par écrit. L'élève peut alors calculer de tête ou écrire ses propres démarches de calcul. Si le nombre ne tombe pas juste, il reste un reste.

Une erreur typique concerne le zéro dans le résultat. Pour 408 : 4, le résultat est 102. Beaucoup d'enfants écrivent 12, parce qu'en faisant descendre le chiffre suivant, ils sautent le 0, alors que 0 : 4 = 0 occupe bien un rang dans le résultat. Une deuxième erreur apparaît lorsque le reste n'est pas plus petit que le diviseur. Alors la dernière opération partielle n'est pas encore terminée :

• Le zéro est oublié dans le résultat.
• Le reste est plus grand ou égal au diviseur.

Les exercices typiques dans ce domaine sont :

• Diviser par écrit par un nombre à un chiffre : calculer pas à pas des exercices comme 231 : 7.
• Zéro dans le résultat : trouver ou choisir des exercices dont le résultat contient un zéro.
• Le dividende manquant : le nombre qui est divisé manque et doit être trouvé.
• Choisir le dividende : parmi plusieurs nombres, on choisit le nombre approprié à diviser.
• Division par écrit dans un problème concret : la division est cachée dans un texte et doit d'abord être reconnue.

Les fiches de travail sur ce thème sont imprimables et contiennent des solutions.

L'élève apprend à trouver, dans un jeu de données, c'est-à-dire une série de valeurs comme des résultats de mesures ou les réponses à un sondage, la plus grande valeur (maximum) et la plus petite valeur (minimum), et à exploiter les données selon ces critères. Le plan d'études ne mentionne pas de plage numérique fixe ; vous ne devez donc pas attendre un domaine de nombres précis, mais plutôt comprendre la démarche.

Une erreur typique consiste à prendre simplement le premier ou le dernier nombre de la liste, au lieu de comparer toutes les valeurs. Cela arrive parce que les listes sont rarement triées et que l'œil s'arrête sur le premier nombre. Avec l'étendue, la différence entre le maximum et le minimum, une autre erreur s'ajoute : l'élève indique seulement la plus grande valeur ou calcule la différence dans le mauvais sens.

Dans les fiches de travail de ce thème, la tâche apparaît sous la forme « Déterminer l'étendue ». Il s'agit typiquement d'une courte liste, par exemple les températures relevées sur plusieurs jours. L'élève cherche d'abord la plus grande et la plus petite valeur, puis calcule la différence. Les solutions de la fiche vous aident à suivre la démarche de calcul.

Votre enfant doit savoir lire et écrire des nombres décimaux et des fractions. Le point du programme ne prévoit pas de plage de nombres propre à cela. Les exercices de ce domaine travaillent toutefois avec des nombres décimaux jusqu'au rang des millièmes. Votre enfant nomme alors chaque chiffre situé après la virgule et reconnaît sa valeur positionnelle : dans 0.45, le 4 représente quatre dixièmes et le 5 cinq centièmes.

Une erreur fréquente apparaît lorsque les chiffres après la virgule sont traités comme un nombre entier. Le zéro, qui sert de marqueur de position, disparaît alors : 2.07 devient 2.7, alors que sept centièmes valent seulement 0.07. Une erreur voisine apparaît lors des comparaisons : 0.5 semble plus petit que 0.45, parce que 45 est plus grand que 5. Ces deux erreurs viennent du fait que les chiffres ne sont pas pensés comme des dixièmes, des centièmes, etc.

Les exercices des fiches de travail de ce domaine ressemblent par exemple à ceci :

• Lire le chiffre des centièmes : Votre enfant détermine le chiffre situé au rang des centièmes d'un nombre décimal.
• Valeur positionnelle des nombres décimaux, valeur d'un chiffre : Votre enfant détermine la valeur qu'un chiffre isolé possède dans le nombre.
• Valeur positionnelle des nombres décimaux, décomposition : Votre enfant décompose un nombre décimal en ses valeurs positionnelles.
• Valeur positionnelle des nombres décimaux, choisir le chiffre des millièmes : Votre enfant choisit le chiffre situé au rang des millièmes.
• Nombre décimal, choisir la valeur du chiffre : Votre enfant choisit, parmi les propositions, la valeur correcte d'un chiffre.

Selon le Plan d'études 21, votre enfant doit savoir calculer avec des durées et convertir des grandeurs dans les unités voisines. Le point du plan d'études ne donne pas de plage de nombres à ce sujet. Dans ce domaine, il s'agit concrètement de convertir des semaines en jours : une semaine compte 7 jours, donc 3 semaines font 21 jours.

Une erreur typique consiste à traiter la semaine comme un nombre ordinaire et à ajouter 7 au nombre de semaines, au lieu de multiplier par 7. Avec 3 semaines, on obtient alors 10 jours au lieu de 21. Cela arrive parce que l'unité « semaine » n'est pas comprise comme un groupe de 7 jours.

Les fiches d'exercices imprimables de ce domaine contiennent trois types de tâches :

• Semaines et jours : combien de jours cela fait-il – convertir une durée en semaines en jours.
• Semaines et jours : choisis le nombre de jours – sélectionner le nombre de jours correspondant à une durée en semaines.
• Semaines et jours : vrai ou faux – vérifier des affirmations comme « 4 semaines font 28 jours ».

Les mois et les années n'apparaissent pas dans les modèles d'exercices présentés ici.

Le plan d'études demande avant tout l'usage sûr des termes et des symboles spécialisés. Il ne mentionne aucune plage de nombres, car il s'agit ici de notions et non de calcul. Pour dessiner et mesurer, on utilise l'équerre graduée (géodreieck). Sur les fiches de cette partie, la demi-droite apparaît en plus.

On confond souvent un segment avec une droite. Un segment a deux extrémités et s'arrête à chacune d'elles, alors qu'une droite se prolonge indéfiniment dans les deux sens. Un enfant qui n'a pas encore bien intégré cette différence peut se tromper lorsqu'il doit répondre à des affirmations sur les extrémités. Lorsqu'on compte les segments sur une droite, on ne compte souvent que les portions directement voisines, et les segments qui couvrent plusieurs portions sont facilement oubliés.

Les exercices de cette partie sont des fiches imprimables avec solutions, notamment :

• Segment, demi-droite ou droite ? L'enfant associe des figures au terme correspondant.
• Extrémités d'une figure : vrai ou faux L'enfant vérifie des affirmations sur les extrémités.
• Segments sur une droite : choisis le nombre L'enfant choisit le bon nombre parmi des réponses proposées.
• Segments sur une droite : combien ? L'enfant compte lui-même les segments.

Votre enfant apprend à refléter des figures par rapport à un axe et à dessiner l'image miroir. Cela comprend aussi la symétrie de points isolés et de droites à l'aide d'une équerre graduée, par rapport à un axe. Les points du programme ne donnent pas de plage numérique. Ils sont formulés pour une période plus longue. En 5e, les exercices portent surtout sur des points avec des coordonnées, réfléchis par rapport à une droite.

Une erreur typique consiste à placer l'image miroir du même côté de l'axe que l'original. Autre erreur : l'image se trouve bien de l'autre côté, mais à une distance différente de l'axe. Souvent, la figure est déplacée à vue d'œil, au lieu de placer chaque point à la même distance de l'autre côté de l'axe. Il est utile de compter les distances à l'axe ou de les mesurer avec l'équerre graduée.

Les exercices typiques dans ce domaine sont :

• Refléter un point par rapport à une droite : Un point est reflété par rapport à une droite donnée.
• Symétrie par rapport à une perpendiculaire : choisir la coordonnée : Parmi plusieurs indications, on choisit la bonne coordonnée du point symétrique.
• Symétrie axiale : réflexion par rapport à une droite verticale : Une figure est reflétée par rapport à un axe vertical.
• Symétrie axiale : vrai ou faux : Il faut décider si une figure est symétrique par rapport à un axe.
• Symétrie axiale : combien d'axes de symétrie : On détermine le nombre d'axes de symétrie d'une figure.
• Symétrie axiale : axe d'une paire de points : Pour deux points, on cherche l'axe par rapport auquel ils se correspondent en image miroir.

L'enfant sait reconnaître et nommer les solides cube, pavé droit, sphère, cylindre et pyramide lorsqu'ils apparaissent dans son environnement ou sur des images. Le plan d'études ne précise aucune plage de nombres pour cela : il s'agit de la forme et du nom.

Un piège possible consiste à nommer les solides uniquement d'après la première impression. Un pavé droit, par exemple, est facilement pris pour un cube, parce que les deux paraissent anguleux. Une cause possible est que l'on ne vérifie pas si toutes les faces ont la même grandeur. Il s'agit d'une observation tirée de la pratique et non d'une exigence du plan d'études.

En mathématiques de 5e année, il existe à ce sujet trois types d'exercices pour des fiches de travail avec solutions :

• Quel est ce solide ? Choisis le nom : Le solide est associé à un nom.
• Quel est ce solide ?: Le solide doit être nommé lui-même.
• Arêtes d'un solide : vrai ou faux : Des affirmations sur les arêtes d'un solide sont vérifiées.

L'enfant décide, à partir d'une figure dessinée composée de six carrés de même taille, si l'on peut en plier un cube. Il vérifie cela mentalement ou en pliant. Le programme scolaire décrit également le dessin de patrons et la représentation de prismes et de pyramides. Les fiches de travail de ce domaine montrent pour cette classe surtout la vérification de patrons de cubes.

Une erreur typique : l'enfant compte seulement les six carrés et considère chaque forme d'un seul tenant comme un patron. Lors du pliage, deux carrés tombent alors sur la même face du cube, tandis qu'une face reste ouverte. La figure paraît juste, mais elle ne se referme pas correctement.

Un exercice à ce sujet s'intitule par exemple « Est-ce un patron de cube ? ». Sur la fiche de travail figurent plusieurs figures, et l'enfant décide pour chacune s'il s'agit d'un patron de cube. Une justification est utile. Suggestion pour la maison : dessiner la figure sur papier, la découper et la plier. On voit alors rapidement si les six faces forment un cube.

Le plan d'études exige que les enfants se repèrent à des grandeurs de référence comme 1 ko et comprennent et utilisent les préfixes méga, giga et téra. Dans cette classe, les exercices montrent surtout ce qui est concrètement demandé : convertir des gigaoctets en mégaoctets, convertir des mégaoctets en gigaoctets et comparer des quantités de données entre elles. Le plan d'études ne fixe pas de plage de nombres propre à ce domaine ; les nombres découlent des exercices eux-mêmes.

Une erreur typique : l'enfant ne retient pas qu'un gigaoctet est plus grand qu'un mégaoctet. Le nombre est donc parfois modifié dans le mauvais sens après la conversion. Celui qui veut savoir combien de Go correspond à une certaine quantité de Mo doit se rappeler que le nombre exprimé dans l'unité plus grande est plus petit. Il est utile de se demander, avant de calculer, si le résultat devrait être plus grand ou plus petit.

Sur la fiche de travail, l'exercice ressemble par exemple à ceci :

• Convertir des gigaoctets en mégaoctets : l'énoncé est donné en Go, on cherche la valeur en Mo.
• Mégaoctets en gigaoctets : parmi plusieurs résultats, on choisit le bon.
• Comparer des quantités de données : quelle quantité est plus grande ou plus petite ?
• Choisir la valeur convertie : parmi plusieurs offres, on choisit la valeur appropriée.