Matematica — classe 5ª

Nel campo numerico fino a 100, i bambini eseguono addizioni in cui la somma delle unità supera 10, per esempio 18 + 14. Possono rappresentare il procedimento, ad esempio con la retta dei numeri: da 18 si avanza prima di 2 fino a 20, poi si aggiungono ancora 12, quindi 32. Il programma scolastico descrive questo passaggio per l'intero campo numerico fino a 100, un traguardo che si estende su più anni scolastici.

Un errore tipico: si addizionano le unità, ma il decino non viene riportato. In 18 + 14, 8 + 4 dà effettivamente 12, e alcuni bambini scrivono il 2, dimenticano l'1 e calcolano 1 + 1 = 2 per le decine. Il risultato diventa allora 22 invece di 32. Il motivo è che le 12 unità contengono anche un decino, che deve essere reso visibile. Se non viene annotato, il decino va perso.

Nella scheda di lavoro, questo passaggio si riflette in esercizi come:

• Addizione nel campo numerico fino a 100 con passaggio della decina
• Completare fino alla decina e proseguire il calcolo
• Addizione fino a 100 con passaggio della decina: scegliere il risultato
• Addizione fino a 100: verificare il risultato, trovare l'errore

Il bambino può determinare l'area di una figura contando quanti quadrati unitari, per esempio quadretti o metri quadrati, la ricoprono. Con questo confronta le aree di rettangoli e di figure composte, per esempio ricoprendo con quadrati due rettangoli di dimensioni diverse.

Tipicamente i bambini sommano le lunghezze dei lati oppure contano solo i quadretti sul bordo, invece di ricoprire tutta la superficie. Il bordo di una figura (il suo perimetro) e la sua area vengono confusi, anche se si tratta di due grandezze diverse. Per questo una figura lunga e stretta può sembrare più grande, pur coprendo meno quadretti.

Sulle schede di lavoro di questo livello compaiono, tra l'altro, i seguenti tipi di esercizi:

• Area di un rettangolo: Quanti quadretti lo ricoprono?
• Area nella griglia: Quanti quadrati ricoprono la figura?
• Area di una figura composta da due rettangoli
• Area con piastrelle: Quante piastrelle da due servono, oppure quante piastrelle mancano ancora?
• Area ricoprendo: Scegliere la risposta giusta oppure distinguere vero e falso.
• Area di due figure: Di quanto è più grande una delle due?
• Area e un lato: Quanto è lungo l'altro lato?
• Disegna un rettangolo con l'area indicata.
• Superficie: Correggere un risultato altrui.

Le unità didattiche del piano di studi valgono per più anni scolastici. In questa 5ª classe, i compiti riguardano soprattutto la divisione nel campo numerico fino a 100. Il bambino comprende la divisione come operazione inversa della moltiplicazione: se 4 · 7 = 28 è vero, allora è vero anche 28 : 7 = 4. Può spiegare il collegamento con l'addizione, ad esempio 28 = 7 + 7 + 7 + 7, e leggere e usare il segno ":" così come la parola "diviso". In questo processo utilizza anche le relazioni tra la tavola pitagorica e la tavola delle decine, per esempio che 6 · 10 = 60 dà anche 60 : 6 = 10.

Un errore tipico è scambiare i due numeri. Nel caso di 28 : 7 si calcola allora, ad esempio, 7 : 28 oppure si considera come divisore il numero sbagliato. Questo succede spesso quando la divisione viene trattata solo come risultato memorizzato e non come operazione inversa della moltiplicazione. È quindi utile pensare, in ogni esercizio di divisione, anche al corrispondente esercizio di moltiplicazione.

Nelle schede di lavoro su questo argomento compaiono, tra l'altro, questi tipi di esercizi:

• Divisione con la tavola pitagorica (fino a 100): determinare i risultati direttamente dalla tavola pitagorica.
• Per quale numero è stato diviso (tabella di divisione): ricavare il divisore da una tabella.
• Divisore mancante: scegli il numero: trovare il numero mancante in un'operazione di divisione.
• Diviso con la tavola pitagorica: scegli il risultato: scegliere la risposta giusta tra diverse alternative.
• Divisione: verificare e trovare gli errori: controllare un calcolo dato.
• Divisione con un numero superfluo: riconoscere quale dato non serve per risolvere il problema.
• Distribuire in parti uguali, Dividere in parti uguali, Divisione: quanti pacchetti si ottengono, Divisione: quanti in una fila, Divisione: quale suddivisione dà di più a persona?: applicare le divisioni a situazioni concrete.

Per ogni argomento sono disponibili schede di lavoro stampabili con soluzioni.

Il bambino conosce i prodotti della tabellina piccola, cioè tutte le moltiplicazioni con fattori da 1 a 10 fino a 10 · 10 = 100. Il piano di studi cita inoltre i prodotti con i fattori 2, 5 e 10, così come la scomposizione di un prodotto in fattori, per esempio 36 = 6 · 6 = 4 · 9.

È importante anche che il bambino usi le relazioni tra i prodotti, invece di memorizzare ogni risultato singolarmente. Così 6 · 8 è maggiore di 5 · 8 di 8, e 8 · 3 dà lo stesso risultato di 3 · 8. In un campo di punti riconosce che 6 · 4 è il doppio di 3 · 4.

Un errore tipico si verifica quando un prodotto viene richiamato solo dalla memoria. Se il ricordo è incerto, spesso si prende un risultato vicino, per esempio 42 invece di 48 per 6 · 8, perché si confonde con l'operazione 6 · 7. Chi non usa le relazioni tra i prodotti non ha modo di ricavare da sé il risultato corretto.

Esercizi su questo argomento:

• Tabellina (fino a 100)
• Fattore mancante (tabellina piccola) e Fattore mancante: scegli il numero
• Tabellina: scegli il risultato
• Moltiplicazione: quanti punti nel campo di punti
• Moltiplicazione: quale prodotto è maggiore, di quanto?
• Moltiplicazione: verificare e trovare errori
• Moltiplicazione come addizione: quante volte preso
• Moltiplicazione: gruppi uguali in totale
• Moltiplicazione con un numero superfluo

Il bambino impara a scrivere le possibilità in modo ordinato, non a caso, così da non dimenticare nulla né contare due volte la stessa. I punti del programma descrivono un periodo di più anni scolastici. Gli esempi vanno dalla formazione di coppie, a numeri formati dalle cifre 1, 2, 3, fino a sequenze di lettere come ADEN. In quinta classe, i modelli di esercizio mostrano soprattutto coppie e insiemi tratti da una piccola selezione.

Spesso le possibilità vengono semplicemente scritte man mano che vengono in mente. Così manca una combinazione, oppure ne compare una due volte. Nelle coppie l'ordine non conta: "Anna e Ben" è la stessa coppia di "Ben e Anna" e va contata una sola volta. Utile è un piano: prima scrivere tutte le possibilità con la prima parte, poi con la parte successiva.

Esercizi tipici sono:

• Quante coppie diverse: vero o falso. Si verifica un numero dato.
• Quante coppie diverse: scegliere la risposta giusta.
• Combinazioni: quanti insiemi diversi ci sono? Oppure quanti insiemi con tre tipi?
• Scrivi tutte le combinazioni: l'elenco deve essere completo e senza doppioni.
• Combinazioni: quante coppie restano, oppure quante coppie in più con un pezzo in più?
• Numero di coppie noto: quante coppie ci sono nell'altro insieme?

Il vostro bambino impara a moltiplicare per 10 numeri inferiori a 20, per esempio 7 · 10 = 70 oppure 13 · 10 = 130. In questo modo utilizza il collegamento con la tabellina dell'1 e del 10 piccola: 7 · 1 fa 7, e 7 · 10 sono quindi 7 decine, cioè 70. Proprio questa relazione tra la tabellina piccola e la moltiplicazione per 10 è indicata nel Piano di studi 21.

Un errore tipico con i numeri a due cifre consiste nell'aggiungere lo zero davanti invece che dietro, per cui 13 · 10 viene scritto come 103. A volte lo zero viene anche omesso del tutto (13 · 10 = 13). Alla base c'è di solito il fatto che lo zero è stato imparato come semplice aggiunta, senza che sia chiaro che ogni cifra si sposta di un posto verso sinistra.

Nelle schede di lavoro di questa classe trovate, tra l'altro, quanto segue:

• Moltiplicare per 10: esercizi di base su numeri inferiori a 20.
• Moltiplicare per 10: un dato superfluo: esercizi con un'informazione in più che non serve per il calcolo.
• Decine: quante decine intere ci stanno?: qui emerge l'inverso, per esempio 70 : 10 = 7.
• Dieci per dieci, cioè due posti più avanti: qui si considera 10 · 10 = 100.
• Moltiplicare per 10: scegliere il risultato giusto, vero o falso e una catena di modifiche: esercizi in cui si verificano i risultati o si eseguono più moltiplicazioni una dopo l'altra.

Il bambino legge i numeri da una tabella o da un istogramma, risponde alle domande su di essi, calcola i propri risultati e verifica se la risposta corrisponde ai dati. I piani di studio non indicano un intervallo numerico fisso. I loro esempi lavorano con dati di vita quotidiana, come i tragitti casa-scuola, gli animali domestici o le distanze percorse di corsa.

Gli errori tipici nascono durante la lettura attenta. Il bambino legge il valore dalla riga o dalla colonna sbagliata, perché non considera l'etichetta insieme al numero. Alla domanda «Quanti in più?» spesso viene indicato solo il valore maggiore, invece di calcolare la differenza. Con «più della cifra indicata» a volte viene conteggiata anche la colonna che si trova esattamente su quella cifra, anche se non sta sopra di essa.

Gli esercizi di questa classe si presentano per esempio così:

• Quanti in più secondo la tabella: confrontare due valori e indicare la differenza.
• Differenza tra due righe: scegliere la risposta corretta oppure decidere se un'affermazione è vera o falsa.
• La distanza tra il più grande e il più piccolo: trovare il valore più grande e quello più piccolo e sottrarli.
• Istogramma: quanti in più: leggere le colonne sulla griglia e confrontarle.
• Quanti gruppi stanno sopra la cifra indicata: contare i valori che superano un limite.
• Quale categoria ne ha di più: trovare il valore più grande e indicare la categoria corrispondente.

Suo figlio può determinare il perimetro di un rettangolo sommando tutti e quattro i lati. Per farlo sfrutta il fatto che i lati opposti sono uguali. Conoscendo il perimetro e un lato, può inoltre calcolare la lunghezza del lato mancante. Vi rientra anche il disegno di un rettangolo con un perimetro dato.

Un errore tipico è confondere perimetro e area: invece di percorrere il bordo, vengono contati i quadretti all'interno. Un altro errore frequente è sommare solo lunghezza e larghezza dimenticando i lati opposti. Il valore risulta così troppo piccolo, perché sono stati considerati solo due dei quattro lati. È utile, durante il conteggio, percorrere con il dito tutti i lati intorno alla figura.

In classe suo figlio incontrerà i seguenti tipi di esercizi:

• Perimetro di un rettangolo
• Lato mancante di un rettangolo dal perimetro
• Perimetro: quale figura ha il perimetro maggiore?
• Perimetro di un rettangolo su carta a quadretti
• Perimetro del rettangolo: vero o falso
• Disegna un rettangolo con il perimetro indicato
• Perimetro del rettangolo: scegli il risultato corretto

Il vostro bambino impara a interpretare le cifre di un numero fino a 1'000 in base alla loro posizione. La cifra più a destra indica le unità, quella centrale le decine e quella a sinistra le centinaia. Per il numero 257 questo significa: 2 centinaia, 5 decine e 7 unità. Il programma scolastico mostra questo con il materiale: 2 piastre delle centinaia, 5 barrette delle decine e 7 cubetti delle unità danno insieme 257.

Un errore tipico si verifica quando le cifre vengono lette solo come singoli numeri, senza considerare il loro valore posizionale. In questo caso 257 viene letto come 2, 5 e 7, senza che sia chiaro cosa rappresenti ogni cifra. Spesso si dimentica anche lo zero al centro: 307 viene allora scritto o letto come 37. Lo zero indica che in quella posizione non ci sono decine. Viene facilmente trascurato, perché a prima vista sembra non avere alcun valore.

In questa classe, gli esercizi riguardano numeri di tre cifre. I fogli di lavoro con soluzioni contengono, per esempio:

• Comporre il numero a partire da centinaia, decine e unità
• Scomporre il numero in centinaia e resto
• Leggere il numero dai blocchi
• Quante decine piene ha il numero? Quante unità in totale?
• Valutare come vere o false affermazioni sui valori posizionali

Il bambino calcola con centinaia intere come 200, 300 o 700. Le aggiunge a un numero o le toglie da esso, annota il procedimento di calcolo e verifica se il risultato è corretto. I piani di studio non indicano un campo numerico specifico. I modelli di esercizi su questo tema lavorano con centinaia intere.

Un errore tipico: il bambino calcola 470 + 100 e scrive 480. Tratta la centinaia come una decina e modifica solo la cifra delle decine. È utile osservare consapevolmente la cifra delle centinaia: Una centinaia in più significa che la cifra delle centinaia aumenta di uno.

Nell'esercitazione compaiono queste forme di esercizio:

• Salto di centinaia intere: partendo dal valore iniziale, saltare avanti o indietro di centinaia intere.
• Salto di centinaia intere: due salti di seguito: eseguire due salti uno dopo l'altro e annotare il risultato.
• Sottrarre centinaia intere: togliere centinaia intere da un numero.
• Quante centinaia si sono aggiunte: determinare, dal valore iniziale e da quello finale, quante centinaia sono state aggiunte.
• Quanto manca perché entrambi i lati siano uguali: completare finché entrambi i lati non sono uguali.
• Salto di centinaia intere: scegliere il risultato corretto e Centinaia intere: trova l'errore: confrontare i risultati e verificare se sono corretti.

In der 5. Klasse geht es vor allem darum, dass Ihr Kind ein Ganzes in zwei oder vier gleich grosse Teile zerlegt und Hälften und Viertel erkennt und benennt. Typische Darstellungen sind Quadrate, Rechtecke und Kreise, die gefaltet oder angemalt werden, sowie Mengen von Gegenständen. Die Lehrplanpunkte zu diesem Thema verteilen sich über mehrere Schuljahre. Was für diese Klasse konkret gefragt ist, zeigen die Aufgabenvorlagen.

Ein häufiger Fehler: Das Kind teilt eine Figur in vier Teile, die nicht gleich gross sind, und zählt trotzdem ein Viertel ab. Der Grund ist, dass es auf die Anzahl der Teile achtet und nicht darauf, ob sie gleich gross sind. Ein anderer typischer Fehler entsteht bei den Nennern: Weil 4 grösser ist als 2, meint das Kind, ein Viertel sei mehr als eine Hälfte. Bei Mengen wird manchmal ein einzelner Gegenstand als „ein Viertel“ betrachtet, statt als Teil der ganzen Menge.

Aufgaben zu diesem Thema sehen zum Beispiel so aus:

• Teil eines Ganzen (Hälfte und Viertel): Das Kind bestimmt, welcher Anteil einer gefalteten oder angemalten Figur dargestellt ist.
• Wie viele sind es insgesamt, wenn ein Teil … ist? Ausgehend von einem Anteil wird die Gesamtmenge bestimmt.
• Bruchteil einer Menge: Wie viele sind ein Teil? Das Kind berechnet einen Anteil einer Menge.
• Wähle, wie viele der Bruchteil der Menge ist: Das Kind wählt aus Antwortmöglichkeiten die richtige Anzahl.
• Teil einer Menge: finde den Fehler: Das Kind erkennt, wo eine falsche Aufteilung vorliegt.
• Erfinde Mengen für die gleiche Aufteilung: Das Kind sucht verschiedene Mengen, die sich gleich aufteilen lassen.
• Wie viele Teile bleiben ungefärbt: richtig oder falsch: Das Kind prüft Aussagen zu Anteilen einer Figur.

Die Lehrplanpunkte nennen zusätzlich Zahlenfolgen wie ½, ¼, ⅛ sowie Brüche mit weiteren Nennern wie 3, 5, 6, 8 und 10. Diese gehören zum gesamten Lehrplanbereich und werden in den Aufgabenvorlagen dieser Klasse nicht eigens aufgeführt.

Nel Piano di studio 21 (Lehrplan 21) per questo ambito si legge: i bambini sanno annotare i procedimenti di calcolo quando addizionano e sottraggono, sanno addizionare e sottrarre per iscritto e sanno verificare i loro risultati. I compiti di questo ambito lavorano con numeri fino a 1000. Il bambino scrive i numeri uno sotto l'altro e calcola cifra per cifra, da destra verso sinistra.

Un errore tipico nella sottrazione scritta: il bambino, in una colonna, sottrae la cifra più piccola da quella più grande, anche quando in alto c'è la cifra più piccola. Di solito dietro c'è il fatto che i valori posizionali escono di vista durante il calcolo, per esempio quando dalle decine o dalle centinaia si "prende in prestito" qualcosa. Nell'addizione va spesso perso il riporto, cioè la cifra delle decine o delle centinaia che appartiene alla colonna successiva.

Sulle schede di lavoro i bambini esercitano questi aspetti con compiti come:

• Addiziona per iscritto numeri di tre cifre e Addizione scritta passo dopo passo, anche con tre numeri
• Sottrazione scritta fino a 1000
• Sottrazione scritta: correggere gli errori, in cui bisogna trovare e correggere un procedimento sbagliato
• Addendo mancante nell'addizione scritta, in cui bisogna trovare un numero
• Sottrazione scritta: scegliere il risultato e Addizione scritta a tre cifre: scegli il risultato, in cui va selezionato il risultato corretto tra più soluzioni

Per ogni scheda di lavoro sono disponibili le soluzioni, con cui potete controllare i risultati del vostro bambino.

Il vostro bambino determina gli spigoli, gli angoli e le facce laterali nei prismi e nelle piramidi. Nel piano di studio compaiono a questo proposito i termini punto, vertice, spigolo e faccia laterale. Il piano di studio non indica un intervallo numerico per quest'ambito, quindi gli esercizi si riferiscono ai solidi stessi e non a numeri grandi.

Un errore tipico: in un'immagine vengono contati solo gli spigoli visibili davanti, mentre mancano quelli nascosti sul retro. Nelle piramidi si trascura spesso che la punta è un unico vertice e che gli spigoli della base si aggiungono a quelli laterali.

In questa classe i fogli di lavoro stampano questi tipi di esercizi:

• Sull'immagine: contare vertici, spigoli o facce di un solido raffigurato.
• Scegliere o determinare il numero: nel caso del prisma e della piramide, indicare il numero corretto di vertici, spigoli o facce.
• Base dal numero di spigoli: dal numero di spigoli scoprire quale base appartiene al prisma o alla piramide.

Il bambino dispone somme di denaro con monete e banconote e fa calcoli con esse. Il piano di studio descrive a questo proposito diversi ambiti numerici: disporre, addizionare e sottrarre importi fino a 20 franchi; disporre importi interi in franchi fino a 100 franchi con monete e banconote e formare e calcolare importi con franchi e centesimi, ad esempio 25 Fr. 60 Rp. + 14 Fr. 30 Rp. Queste indicazioni valgono per il livello nel complesso. Quali numeri compaiono concretamente in quinta classe lo mostrano gli esempi di esercizi di questo ambito.

Un errore tipico nasce nel calcolo con franchi e centesimi. Il bambino addiziona separatamente la parte in franchi e la parte in centesimi e dimentica che 100 centesimi fanno un franco. Quindi con 60 Rp. + 50 Rp. si ottiene 1 Fr. 10 Rp. e non 1 Fr. 100 Rp. Lo stesso vale per il resto: chi non chiarisce prima quale importo è stato dato e quale prezzo è stato pagato, calcola facilmente nella direzione sbagliata. L'esercizio „Resto: trova l'errore“ esercita proprio questi punti.

Esercizi tipici nell'ambito del denaro sono:

• Denaro nell'immagine: quanto è? Il bambino somma le monete e le banconote raffigurate.
• Monete: con quali monete pagare? Il bambino cerca monete e banconote adatte per un importo.
• Fare la spesa: quanto costano più pezzi? Il bambino calcola il prezzo di più oggetti uguali.
• Fare la spesa: il denaro basta? e Denaro: quanto manca ancora per l'acquisto confrontano denaro e prezzo.
• Acquisto e resto e Resto: scegli l'importo giusto esercitano il calcolo del resto da restituire.

Il bambino risolve un breve problema narrativo con addizione o sottrazione. Riconosce cosa succede nel racconto, sceglie l'operazione adatta e interpreta di nuovo il risultato nel contesto, per esempio „18 bambini“ invece di solo „18“. I punti del programma citano come esempio numeri fino a 20, come 12 + 8 nel cortile della scuola. Questa indicazione numerica vale per il ciclo nel suo complesso e non specificamente per la 5ª classe. I modelli di esercizio di questa classe non prevedono un intervallo numerico.

Tipicamente un bambino sceglie l'operazione in base a singole parole chiave, invece di capire il racconto, oppure calcola con tutti i numeri del testo. Il programma richiede quindi esplicitamente che il bambino distingua le informazioni essenziali da quelle non essenziali. In „Un libro è spesso 5 cm, ha 75 pagine ed è gratuito“ è decisiva solo la domanda sul prezzo. Alla domanda „Quanti c'erano all'inizio?“ molti bambini calcolano erroneamente con la sottrazione, anche se si cerca la quantità iniziale e quindi bisogna addizionare.

Un esercizio su questo tema è ad esempio il seguente:

• Semplice problema: quanti ne rimangono
• Problema pratico: quanti ce n'erano all'inizio
• Scegliere l'operazione: sottrazione (tolti) oppure addizione (insieme)
• Problema con numero superfluo: quanti ne rimangono
• Problema pratico: scegli il risultato corretto

La moltiplicazione nei problemi narrativi è menzionata anch'essa nel programma, ma nei modelli di esercizio per questo argomento non è prevista come forma autonoma.

Le figure piane sono forme piatte come cerchio, triangolo, rettangolo e quadrato. Il bambino impara a dare un nome a queste figure e a distinguerle tra loro. I punti del programma non indicano un intervallo numerico e descrivono le competenze da sviluppare nell'arco di più anni scolastici. Ciò che in questa classe viene esercitato concretamente è mostrato dai modelli di esercizio. I punti comprendono anche il ricalcare e il disegnare queste figure; qui, però, in primo piano c'è soprattutto il riconoscimento.

Tipicamente, un bambino non riconosce una figura in una posizione insolita: un triangolo o un rettangolo ruotato sembra allora una forma diversa. Anche le figure sovrapposte sono difficili. Quando due triangoli si trovano uno dentro l'altro, spesso viene contato solo quello ben visibile, mentre quello nascosto non viene considerato. Inoltre, i nomi delle figure a volte vengono scambiati oppure derivati dalla memoria anziché dalla forma.

Negli esercizi questo si manifesta così:

• Come si chiama la figura disegnata? Il bambino determina il nome di una figura raffigurata.
• Come si chiama questa figura ruotata? La figura è ruotata e deve comunque essere riconosciuta.
• Figure nell'immagine: quanti triangoli? Il bambino conta i triangoli in un'immagine con figure sovrapposte.
• Figure piane: vero o falso Il bambino verifica se le affermazioni sulle figure sono corrette o errate.
• Come si chiama questa figura? Scegli Il bambino sceglie il nome giusto tra più possibilità.
• Figure piane: correggere il nome della figura Il bambino trova i nomi sbagliati e li corregge.

Il Piano di studio Lehrplan 21 indica per questo argomento l'obiettivo di saper leggere e scrivere i numeri naturali fino a 100 e fino a 1'000. In quinta classe, gli esercizi riguardano soprattutto la conversione tra numero scritto in parole e scrittura con le cifre, per esempio con trecentocinque e 305.

Un errore tipico riguarda lo zero in mezzo. Chi sente „dreihundertfünf“ scrive spesso 35, perché nella parola non compare nessuno zero e la posizione delle decine resta vuota. Anche l'ordine delle cifre a volte si confonde, se si trascrivono semplicemente le parole numeriche una dopo l'altra senza prestare attenzione alle centinaia, alle decine e alle unità.

Le schede di lavoro di questa classe contengono esercizi come:

• Scrivi il numero in cifre.
• Leggi il numero in parole.
• Zero in mezzo: correggi la scrittura del numero.
• Parole numeriche: correggi gli errori, scegli la scrittura in cifre oppure decidi se è vero o falso.

Il Piano di studio 21 richiede che lunghezze, pesi, volumi e capacità vengano stimati e confrontati con grandezze di riferimento adeguate. Include anche la conversione in unità vicine, per esempio 2'000 g = 2 kg. Questi obiettivi valgono per l'intero ciclo e non solo per la 5a classe. In questa classe, le schede di lavoro mostrano soprattutto come si calcola con il denaro nella vita quotidiana: i numeri vengono arrotondati alla decina più vicina, e così si ottiene rapidamente una somma o una differenza approssimativa.

Un errore tipico: i bambini arrotondano solo un numero oppure arrotondano tutti i numeri nella stessa direzione, per esempio sempre per difetto. In questo modo la stima risulta chiaramente troppo bassa. Spesso non è chiaro nemmeno se 45 venga arrotondato a 40 o a 50. È utile chiedersi se la stima si avvicina al risultato esatto, e non se è esattamente corretta.

Un esercizio, per esempio, si presenta così: Una bici costa 48 Fr., un casco 23 Fr. Quanto paghiamo più o meno in totale? Il bambino arrotonda 48 a 50 e 23 a 20 e ottiene circa 70 Fr. Le schede di lavoro contengono esercizi adatti a questo scopo:

• Stimare i costi arrotondando per eccesso
• Stimare la somma: arrotondare alla decina più vicina
• Stimare la differenza: arrotondare alla decina più vicina
• Quanto paghiamo più o meno in totale
• Stimare: il risultato rientra?
• Trovare prezzi adatti alla stima

I bambini imparano a determinare l'ora su un quadrante e su un display digitale. Il piano di studi indica come obiettivo determinare l'ora a mezz'ora. Questi punti del piano descrivono un livello che si estende su più anni scolastici. Ciò che in quinta si esercita concretamente è mostrato dai tipi di esercizi di questa pagina.

Capitano spesso due errori. Primo, i bambini contano i numeri sul quadrante invece dei minuti: se la lancetta dei minuti è sul 3, sono 15 minuti, non 3. Secondo, la parola «halb» (mezzo) è insidiosa. «Halb sechs» significa le 5.30, non le 6.30. Chi prende l'espressione alla lettera legge male l'ora.

Sulle schede di lavoro di questa pagina compaiono, tra gli altri, i seguenti tipi di esercizi:

• Leggere l'orologio: vero o falso
• Orologio: correggere errori di lettura
• Leggere l'orologio
• Orologio: quanti minuti mancano all'ora piena?
• Orologio: quale mostra l'orario precedente?
• Leggere l'orologio: quale ora mostra il quadrante

Suo figlio o sua figlia può misurare e confrontare il contenuto di recipienti con un bicchiere. In questo modo utilizza le misure di capacità litro (l) e decilitro (dl) e si orienta sulla grandezza di riferimento 1 l. Il piano di studi non indica un intervallo numerico specifico per le misure di capacità. I compiti di questa classe lavorano con litri e bottiglie da mezzo litro.

Un errore tipico è giudicare i recipienti in base all'altezza o alla forma. Un bicchiere alto e stretto sembra più grande di uno basso e largo, anche se contiene meno. Un secondo errore riguarda il conteggio: chi conta quattro bottiglie da mezzo litro come quattro litri non tiene conto che due mezzi litri insieme fanno un litro. Anche il rapporto tra decilitro e litro può essere confuso, perché 10 dl equivalgono a 1 l.

Un compito su questo argomento potrebbe presentarsi così:

• Brocca graduata: Quanta acqua c'è nella brocca? Il compito chiede i millilitri, sebbene nell'estratto del piano di studi siano indicati litri e decilitri.
• Capacità, quanto manca per riempire? Un recipiente è parzialmente pieno e il bambino calcola la quantità mancante.
• Capacità, quanti litri con le bottiglie da mezzo litro? Il bambino calcola con bottiglie di uguale grandezza.
• Capacità, vero o falso? Il bambino verifica affermazioni sul contenuto.
• Capacità, quante bottiglie riempie il succo? Il bambino determina quante volte si può riempire una bottiglia.
• Capacità, scegliere il numero giusto di bottiglie: Il bambino decide quale numero di bottiglie è adatto.
• Capacità, quanto di più contiene un recipiente? Il bambino confronta due recipienti.

I punti del piano di studio richiedono di contare avanti e indietro a passi uguali. Descrivono questo aspetto su più livelli: a passi di 2 fino a 20, a passi di 1, 2, 5 e 10 fino a 100 e a passi di 1, 2, 10 e 100 fino a 1000. Gli esercizi di questa classe mostrano il lavoro con passi uguali, senza che sia fissato un determinato intervallo numerico.

Un errore tipico nasce quando si contano i passi. Se un bambino conta da 4 a 16 a passi di 2, spesso conta anche il 4 come primo passo. Così arriva a 7 passi invece di 6. Un secondo errore frequente si verifica nel passaggio oltre una decina: con passi di 5 a partire da 47, spesso si continua con 52, poi 62 invece di 57.

Negli esercizi di questa classe compaiono le seguenti forme:

• Continua a contare con lo stesso passo: una serie viene proseguita con lo stesso passo.
• Conta all'indietro a passi uguali: la serie viene proseguita in ordine decrescente.
• Contare avanti: quante volte bisogna contare?: il bambino stabilisce quanti passi portano da un numero a un altro.
• Contare a passi: scegliere il numero successivo: tra più possibilità si sceglie il numero successivo corretto.
• Quante volte si addiziona: scegli il numero: i passi vengono pensati come addizioni ripetute.
• Contare a passi: correggere il numero sbagliato: una serie con un errore viene riconosciuta e corretta.

In der 5. Klasse multipliziert das Kind zweistellige Zahlen mit 2, zum Beispiel 37 · 2 oder 58 · 2. Dafür darf es eigene Rechenwege notieren oder im Kopf rechnen. Der Lehrplan beschreibt die Fähigkeit, Zahlen zu multiplizieren, für die Stufe insgesamt mit grösseren Zahlen. Diese Seite beschreibt nur den Teil, den die Aufgaben dieser Klasse abdecken.

Un errore tipico si verifica quando, raddoppiando le unità, si ottiene una decina. Nel caso di 37 · 2, 7 · 2 = 14. Si scrive il 4, ma si dimentica la decina e non la si somma alle decine. Così si ottiene 64 invece di 74. È utile addizionare consapevolmente la decina alla posizione delle decine.

Sulla scheda di lavoro su questo argomento compaiono, tra l'altro, questi tipi di esercizi:

• Numero a due cifre per 2: Il bambino svolge da sé il calcolo.
• Moltiplicare per 2: vero o falso: Il bambino verifica se un risultato indicato è corretto.
• Moltiplicare per 2: scegliere il risultato giusto: Il bambino sceglie la soluzione corretta tra più risposte.
• Raddoppiare: quale numero, raddoppiato, dà questo risultato?: Il bambino calcola al contrario e cerca il numero che, raddoppiato, dà il risultato indicato.
• Raddoppiare: di quanto è maggiore dopo aver raddoppiato entrambi?: Il bambino raddoppia due numeri e confronta di quanto è maggiore il risultato.

Il bambino sa confrontare oggetti secondo una grandezza, soprattutto secondo la lunghezza e il peso, e sa descrivere la differenza a parole: „B è più lungo di A“, „C è il più lungo“. Per questo si usano le forme comparative più lungo, il più lungo, più grande, il più grande. Quale campo numerico valga in questo ambito non è indicato nelle informazioni su quest'area.

Un errore tipico è stimare invece di confrontare. Uno spago piegato o aggrovigliato spesso sembra più corto di uno dritto, anche se ha la stessa lunghezza. Il bambino giudica allora in base all'aspetto e non in base al confronto. Spesso, alla domanda „Di quanto è più lungo?“, viene indicata la lunghezza di un solo oggetto invece della differenza tra i due.

Gli esercizi di questo ambito hanno la seguente forma:

• Confrontare lunghezze: quale è la più lunga?
• Confrontare lunghezze: di quanto è più lungo il nastro?
• Di quanto è più lungo: vero o falso
• Di quanto è più lungo: scegliere la risposta giusta
• Masse: ordinare dal più leggero

I confronti di superfici e volumi sono previsti dal piano di studi, ma non compaiono negli esercizi stampati di questo ambito. Come spunto per casa, potete mettere alcuni oggetti uno accanto all'altro e chiedere insieme quale sia il più lungo e di quanto sia più lungo del successivo.

Il bambino impara a collegare le operazioni di base e le equazioni con segnaposto a una storia, un'immagine o un'azione. Il curricolo cita come esempio 5 · 8, che si può rappresentare come cinque case con otto mattoncini ciascuna, e 28 + _ = 50, che si può capire come un autobus con 50 posti a sedere, di cui 28 occupati. Il curricolo non indica in questo punto un intervallo numerico specifico per la classe quinta; gli esempi mostrano soltanto il tipo di compiti.

Un errore tipico è che la storia e il calcolo non corrispondono. Il bambino scrive, ad esempio, per "cinque case con otto mattoncini ciascuna" il calcolo 5 + 8, perché somma i numeri invece di riflettere su ciò che accade nella storia. Nelle equazioni con segnaposto manca spesso la spiegazione di che cosa significhi il simbolo _ nella storia. L'errore sta di solito nel fatto che l'operazione viene scelta in base ai numeri e non in base a ciò che succede.

In classe questa competenza compare in compiti come:

• Inventa un problema con il risultato dato
• Inventa un problema con questi numeri
• Quale risposta corrisponde al problema inventato?
• Questa risposta è giusta per il problema? e Correggi la risposta sotto il problema

Le schede stampabili su questo tema contengono compiti di questo tipo con le soluzioni, così come genitori potete confrontare la storia del bambino con il calcolo.

Il vostro bambino impara a classificare affermazioni sul caso. Un evento è certo se si verifica sempre, impossibile se non può mai verificarsi, e possibile se può verificarsi ma non deve necessariamente farlo. Il Piano di studio 21 cita a questo proposito i termini (im)probabile, (im)possibile e certo. Non indica alcun intervallo numerico; si tratta di capire e usare correttamente le parole.

Un errore tipico è giudicare secondo la sensazione anziché secondo la situazione. Se qualcosa capita spesso, i bambini lo ritengono rapidamente certo. Oppure considerano impossibile una possibilità rara. Un esempio: in un sacchetto con solo palline rosse, una pallina blu è impossibile. In un sacchetto con molte palline di colori diversi, invece, un colore raro è solo possibile, non impossibile.

Gli esercizi di questo ambito lavorano con i seguenti modelli:

• Riempi il sacchetto: certo, possibile o impossibile – disporre le palline in un sacchetto in modo che una determinata estrazione sia certa, possibile o impossibile.
• Certo, possibile o impossibile – attribuire gli eventi ai termini corrispondenti.
• Correggi: certo, possibile o impossibile – trovare una classificazione errata e correggerla.
• Certo, possibile o impossibile? Vero o falso – verificare affermazioni su eventi.
• Certo, possibile o impossibile? Scegli – scegliere la classificazione corretta tra le possibilità proposte.

I modelli utilizzano i termini certo, possibile e impossibile. I termini probabile e improbabile, anch'essi citati nel Piano di studio, non compaiono in questi modelli.

Il bambino impara a comprendere le lunghezze espresse in due unità, per esempio 2 m 40 cm oppure 3 cm 5 mm. Il curriculum descrive per l'intero ciclo che le lunghezze fino a 1 m vengono stimate, misurate e addizionate (ad es. 15 cm + 35 cm). In questa classe le schede di lavoro mostrano soprattutto che le lunghezze vengono riconosciute in diverse forme di scrittura, confrontate e addizionate o sottratte.

È tipica la confusione con i numeri decimali: 1 m 5 cm viene letto come 1,5 m, sebbene siano 1,05 m. Nell'addizione si verifica spesso un errore nel riporto. Con 1 m 60 cm + 1 m 50 cm si ottengono 110 cm, cioè 1 m 10 cm in più, in totale 3 m 10 cm. Molti bambini scrivono invece 2 m 110 cm.

Compiti tipici sulle schede di lavoro sono:

• Addizionare lunghezze in diverse forme di scrittura
• Lunghezze in due forme di scrittura: scegliere il risultato
• Due indicazioni di lunghezza insieme: giusto o sbagliato?
• Lunghezze in due forme di scrittura: di quanto è più lungo?
• Metri: quanti metri interi?

Il bambino sa indicare i numeri vicini di un numero dato e sa contare in avanti e all'indietro a partire da un numero qualsiasi. I punti del programma su cui si basa questo argomento indicano il campo numerico fino a 20 e fino a 100. Descrivono quindi un percorso di apprendimento che si estende su più anni scolastici. Per la 5ª classe, i modelli di esercizi mostrano concretamente che cosa viene esercitato.

Un errore tipico: il bambino, alla domanda "di 1 in meno", indica il numero che è di 1 in più, perché nel contare inverte la direzione. Spesso aiuta una retta dei numeri: il predecessore si trova a sinistra del numero, il successore a destra.

Esercizi tipici sono "Quale numero è di 1 in meno?" e "Quale numero è di 1 in più?". Si aggiungono esercizi in cui si sommano il successore e il predecessore, ad esempio per il 7: 6 + 8 = 14. Altri esercizi richiedono di scegliere la risposta giusta oppure di decidere se un'affermazione è "vera o falsa". I modelli non indicano un campo numerico. Quali numeri compaiono lo mostra la rispettiva scheda di lavoro.

Nel Piano di studio 21 il chilometro è citato come grandezza di riferimento: il bambino deve saper orientarsi su 1 km e nominare e usare le unità di lunghezza km, dm e mm. Il punto del piano non fissa alcun intervallo numerico per il chilometro. In quinta classe, i modelli di compito mostrano concretamente cosa si esercita: convertire chilometri e metri in metri, per esempio scrivere 2 km 300 m come 2300 m.

In questo contesto si verifica spesso un errore tipico: il bambino scrive 2 km come 200 m. Usa allora il numero 100, che conosce da centimetri e decimetri, invece di 1000. Anche quando nella conversione compare un numero con la virgola o con degli zeri, le cifre si spostano facilmente. Aiuta rendersi consapevoli che 1 km è composto da 1000 m.

Un esercizio su questo tema può presentarsi così:

• Convertire chilometri e metri in metri: Scrivi la lunghezza solo in metri.
• Da chilometri a metri, scegliere la risposta giusta: Tra più indicazioni va scelta quella corretta.
• Da chilometri a metri, vero o falso: Viene data una conversione che va valutata.
• Chilometri: quanti chilometri interi? Determina quanti chilometri interi sono contenuti in una lunghezza.
• Chilometri: quanto manca al chilometro intero? Determina quanti metri mancano ancora al chilometro intero successivo.

Come spunto personale, non parte delle indicazioni: un percorso scolastico noto, lungo circa un chilometro, può aiutare a immaginare la grandezza di 1 km.

Il bambino denomina i solidi cubo, parallelepipedo, sfera, cilindro e piramide e li riconosce nell'ambiente e nelle immagini. Comprende e utilizza i termini punto, vertice, spigolo e faccia laterale e sa formulare relazioni, ad esempio che le facce laterali di un parallelepipedo sono rettangoli. Poiché qui si tratta di forme e non di numeri, non c'è alcun intervallo numerico da indicare.

Spesso si confondono sfera e cerchio: su un'immagine una sfera appare come un cerchio, ma il cerchio è piatto, mentre la sfera è un solido. Un parallelepipedo viene spesso chiamato anche cubo, sebbene non tutti i suoi spigoli siano uguali. Il motivo è di solito che si considera solo la forma del contorno e non caratteristiche come vertici, spigoli e facce laterali.

Compiti tipici a riguardo sono:

• Come si chiama questo solido? Il bambino denomina un solido mostrato.
• Che solido è questo? Vero o falso Il bambino verifica se un nome corrisponde al solido.
• Che solido è questo? Scegli Il bambino sceglie il nome corretto tra più possibilità.
• Correggere il nome del solido Il bambino corregge un nome sbagliato.
• Trovare un oggetto con la forma del solido Il bambino cerca un oggetto che ha la forma del solido.

Il bambino impara a registrare e a valutare in modo chiaro i numeri ricavati da conteggi e sondaggi: annota le quantità in liste a tratti o in tabelle e sa rappresentarle graficamente. I punti del programma descrivono questo processo nell'arco di più anni scolastici e non indicano un intervallo numerico fisso. In quinta classe, nelle schede di lavoro, prevalgono soprattutto esercizi in cui si determina il totale a partire da tabelle e pittogrammi.

Un errore tipico si verifica con i pittogrammi: un'immagine vale per più unità, per esempio per cinque bambini. Chi conta semplicemente le immagini ottiene un totale sbagliato, perché tratta ogni immagine come un'unità singola. Nelle tabelle spesso si dimentica una riga, oppure, se manca una riga, si sommano semplicemente tutti i valori invece di sottrarre dal totale noto le altre righe.

Le schede di lavoro su questo argomento comprendono, tra l'altro, questi tipi di esercizi:

• Tabella: quanti in totale? Il bambino somma i valori di una tabella.
• Pittogramma: un'immagine vale per più unità Il bambino converte le immagini in quantità.
• La riga mancante con somma nota Il bambino completa una riga il cui valore risulta dal totale.
• Totale dalla tabella: scegliere la risposta giusta Tra più indicazioni si seleziona il totale corretto.
• Totale dalla tabella: vero o falso Il bambino verifica se un totale dato è corretto.

Tutte le schede di lavoro sono stampabili e corredate di soluzioni, così che i genitori possono controllare da soli le risposte.

In der 5. Klasse rechnen Kinder Flächeneinheiten zwischen benachbarten Einheiten um, etwa Hektar in Ar, Ar in Quadratmeter oder Quadratmeter in Quadratdezimeter. Beim Volumen geht es in dieser Klasse vor allem um die Umrechnung in eine kleinere Einheit, zum Beispiel von Kubikdezimeter in Kubikzentimeter. Dazu gehören auch das Vergleichen von Grössen, etwa welche von zwei Angaben grösser ist, und das Einschätzen mithilfe bekannter Referenzgrössen wie 1 dm² oder 1 cm³.

Ein typischer Fehler entsteht, wenn Kinder die Umrechnungszahl von der Länge übernehmen. Weil 1 dm = 10 cm gilt, rechnen sie auch 1 dm² = 10 cm², obwohl es 100 cm² sind. Beim Volumen passiert dasselbe: Statt 1 dm³ = 1000 cm³ wird oft 100 gerechnet. Der Grund ist, dass sich bei Flächen und Volumen die Längen in beiden bzw. allen drei Richtungen verändern. Hilfreich ist es, die Einheit als Quadrat oder Würfel vorzustellen.

Auf den Arbeitsblättern zeigt sich das in Aufgaben wie »In eine größere Flächeneinheit umrechnen«, »In eine kleinere Flächeneinheit umrechnen«, »Hektar in Ar umrechnen«, »Ar in Quadratmeter umrechnen« und »In eine kleinere Volumeneinheit umrechnen«. Ergänzend gibt es »Flächeneinheiten: Größen vergleichen«, »Flächeneinheiten: wähle die Umrechnung« und »Flächeneinheiten: richtig oder falsch«. Die Lösungen liegen bei. Als Hilfe zu Hause können Sie Ihr Kind fragen, warum eine Umrechnung 100 und nicht 10 ergibt.

In quinta classe i bambini calcolano con frazioni che hanno denominatori diversi, ad esempio ½ + ¼. Per farlo, le frazioni vengono prima portate allo stesso denominatore, cioè ampliate, e poi i numeratori vengono sommati o sottratti. Il curricolo descrive questo ambito nell'arco di più anni scolastici e cita i denominatori 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 e 100. Richiede inoltre di rappresentare somme e differenze con modelli adatti, come il modello del cerchio o del rettangolo.

Un errore tipico è sommare semplicemente numeratori e denominatori: così ½ + ¼ viene scritto erroneamente come 2/6. Un secondo errore frequente: il bambino rende uguali i denominatori, ma dimentica di ampliare il numeratore con lo stesso numero. Per questo conviene controllare consapevolmente entrambe le parti dell'ampliamento durante la verifica dei calcoli.

Esercizi adatti si trovano nelle schede di lavoro, ad esempio alla voce:

• Addizione di frazioni con denominatori diversi
• Sottrazione di frazioni con denominatori diversi
• Addizione di frazioni con denominatori diversi: problema di contesto
• Frazioni con denominatori diversi: ampliare il numeratore dopo aver reso uguali i denominatori
• Frazioni con denominatori diversi: vero o falso

Il bambino sa addizionare e sottrarre numeri decimali, per esempio 30.8 + 5.6. Il Piano di studio 21 indica numeri con fino a cinque cifre in totale (30.8 ne ha tre). Questa indicazione vale per l'intero ciclo e non solo per la 5a classe. Il bambino può calcolare a mente oppure annotare per iscritto procedimenti personali, come scomporre il numero in più addendi o mostrare il calcolo sulla retta dei numeri. Il piano chiede anche di rappresentare questi procedimenti, confrontarli con quelli degli altri e ripercorrerli.

Spesso l'errore sta nell'allineamento: le cifre vengono scritte a partire da destra, invece di allineare le posizioni in corrispondenza della virgola. Nel caso di 4.5 + 0.38, il 5 (decimi) finisce sopra l'8 (centesimi), invece che sopra il 3 (anch'esso decimi). Nella sottrazione aiuta spesso riempire le posizioni mancanti con uno zero, per esempio scrivere 2.3 come 2.30. Si tratta di un suggerimento per l'esercizio e non di una prescrizione del Piano di studio.

Nei fogli di lavoro di questa area si trovano i seguenti tipi di esercizi:

• Addizionare numeri decimali e sottrarre numeri decimali: calcoli da svolgere
• Addizionare grandezze con numeri decimali: sommare indicazioni di lunghezza o peso
• addendo mancante e sottraendo mancante: trovare il numero mancante in un'uguaglianza
• vero o falso e scegli il risultato: verificare risultati già dati o scegliere quello corretto

Il Piano di studio menziona inoltre che le operazioni fondamentali possono essere eseguite con la calcolatrice. Per questo punto non esiste un modello di esercizio dedicato in quest'area.

Il bambino sa calcolare il volume di parallelepipedi. Ne fanno parte anche la costruzione di parallelepipedi a partire da un numero dato di cubi e la suddivisione di parallelepipedi in un determinato numero di parallelepipedi più piccoli. Il programma didattico non indica per questo punto un intervallo numerico preciso.

Un errore tipico è che i bambini moltiplicano solo due spigoli oppure sommano le lunghezze degli spigoli. Ciò accade facilmente perché sono abituati dal calcolo di aree e perimetri a lavorare con due grandezze. Spesso anche l'unità di misura risulta sbagliata: invece di cm³ i bambini scrivono semplicemente cm oppure confondono il volume con la superficie.

Le schede di lavoro su questo argomento sono stampabili e hanno le soluzioni. Compiti tipici sono:

• Volume da cubi unitari: contare i cubi prima di calcolare con una formula.
• Volume di un cubo e Volume di un parallelepipedo: calcolo diretto con spigoli dati.
• Volume parallelepipedo: spigolo mancante: dedurre uno spigolo sconosciuto a partire dal volume.
• Volume: spigoli k volte più lunghi: studiare come cambia il volume se, ad esempio, tutti gli spigoli vengono raddoppiati.
• Volume parallelepipedo: confrontare due scatole e Problema contestualizzato (scatola): applicare il volume in un contesto quotidiano.
• Volume di un parallelepipedo: vero o falso e scegli il risultato: verificare affermazioni o selezionare la soluzione corretta.
• Volume di un corpo composto da due parallelepipedi: un corpo composto viene suddiviso in parallelepipedi parziali.

In quinta classe i bambini convertono lunghezze tra unità di misura vicine: metro, centimetro e millimetro. Scrivono una lunghezza in un'altra unità, per esempio 1 m = 100 cm, e addizionano lunghezze espresse in due unità, come 3 cm 5 mm + 2 cm 7 mm. I piani di studio non indicano un limite numerico fisso, ma esempi come questi.

Spesso manca il legame decimale tra le unità: 1 cm ha 10 mm, 1 m ha 100 cm. Tipicamente si calcola con il numero sbagliato, per esempio 4 m = 40 cm. Nell'addizione 3 cm 5 mm + 2 cm 7 mm le unità vengono spesso sommate separatamente, così si ottiene 5 cm 12 mm, invece di trasformare i 10 mm in 1 cm. Alla base c'è spesso il fatto che le unità di misura vengono lette come numeri a sé stanti, senza che se ne veda il rapporto reciproco.

I fogli di lavoro su questo ambito contengono i seguenti tipi di esercizi:

• Convertire in un'unità di lunghezza più grande o più piccola
• Addizionare lunghezze in due unità
• Scegliere il valore convertito
• Confrontare unità di lunghezza
• Indicare una lunghezza in un'unità
• Lunghezza in un'unità: vero o falso

I piani di studio menzionano inoltre la stima delle lunghezze e il rapporto dei prefissi chilo, deci, centi e milli con le potenze di dieci. Questi contenuti fanno parte dell'obiettivo di apprendimento, ma non vengono esercitati specificamente nei tipi di esercizi di questo ambito.

In der 5. Klasse lernt das Kind, den Mittelwert (arithmetisches Mittel) eines Datensatzes zu bestimmen: Alle Werte werden zusammengezählt und die Summe wird durch die Anzahl der Werte geteilt. In denselben Datensätzen werden auch Maximum und Minimum bestimmt. Der Lehrplan legt für den Mittelwert keinen bestimmten Zahlenbereich fest. Welche Zahlen konkret vorkommen, zeigen die Beispielaufgaben dieses Themas.

I punti del programma didattico descrivono una fase che comprende diversi anni scolastici. Per la 5ª classe si può quindi capire soprattutto dai modelli di esercizio che cosa è richiesto. I bambini calcolano l'area di quadrati e rettangoli. I punti del programma non indicano un intervallo numerico specifico, perciò qui descriviamo solo l'attività: moltiplicare le lunghezze dei lati e indicare l'area in unità quadrate.

Un errore frequente è confondere perimetro e area. Chi addiziona tutti i lati misura il contorno e non la superficie. Anche con il lato mancante succede spesso qualcosa di simile: il lato noto viene addizionato all'area oppure moltiplicato per essa, invece di chiedersi per quale numero moltiplicare il lato noto per ottenere l'area data. È utile contare l'area in una griglia e vedere così perché la moltiplicazione è quella giusta.

Esercizi tipici in questo ambito sono:

• Calcolare l'area di un rettangolo
• Confrontare due superfici
• Area di un rettangolo nella vita quotidiana, ad esempio di un tavolo o di un foglio di carta
• Valutare se affermazioni sull'area sono vere o false
• Calcolare figure con un angolo ritagliato
• Lato mancante di un rettangolo: prima scegliere quale lato è incognito, poi calcolare
• Determinare il lato mancante di un rettangolo a partire dall'area
• Studiare come cambia l'area se un lato diventa k volte più lungo
• Determinare il lato di un quadrato a partire dalla sua area

In terza elementare il bambino lavora con indicazioni di tempo in ore, minuti e secondi e calcola con queste grandezze. Ne fa parte anche convertire un tempo nell'unità vicina, per esempio 2 min 30 s in secondi. Il piano di studi non indica per questo livello un intervallo numerico preciso, quindi i numeri dipendono dalle schede di lavoro.

Un errore tipico nasce dal sistema decimale, che il bambino conosce già dal calcolo con franchi e metri. Così 2 min 30 s viene talvolta scritto come 2,30 min, oppure si calcola come se un minuto avesse 100 secondi. Con gli orari si trascura spesso che un'ora ha 60 minuti: chi, da 10:50 a 11:10, sottrae separatamente le ore e i minuti ottiene un risultato sbagliato.

Tipici esercizi in questo ambito sono:

• Problema di durata: Quanto tempo è durata l'attività?
• Minuti e secondi in secondi: Convertire, per esempio 3 min 15 s in secondi.
• Orario: Quanti minuti sono trascorsi tra due orari?
• Confrontare durate: Quale intervallo di tempo è più lungo?
• Scegliere l'intervallo di tempo: Quanti minuti sono trascorsi? Si sceglie la risposta giusta.
• Minuti e secondi, vero o falso: L'indicazione è corretta?

Il vostro bambino impara a riconoscere la regola di una sequenza numerica e a determinare i termini successivi. Al centro ci sono le sequenze in cui si aggiunge sempre lo stesso numero o si moltiplica sempre per lo stesso numero, nonché le sequenze con passo fisso, in cui si chiede il primo termine, un termine determinato o un termine scelto. Vi rientrano anche i modelli con figure: si descrive quanti quadrati ha la figura n. Il piano di studi menziona inoltre sequenze non lineari come 1, 4, 9, 16 oppure 1, 3, 6, 10, 15. Queste non compaiono nei modelli di esercizio di questa classe.

Tipicamente, nelle sequenze con la moltiplicazione, i bambini addizionano invece di moltiplicare. Nella sequenza 3, 6, 12, 24 scrivono ad esempio 3, 6, 9, 12 e non si accorgono che il numero raddoppia. Un secondo errore frequente nasce con la domanda sul quale termine si tratta: se per il primo termine si conta partendo da 0 oppure da 1, la risposta risulta spostata di uno. Nei modelli con figure si considera spesso solo il numero di elementi nuovi aggiunti oppure solo l'ultima figura, invece di determinare il numero totale per la figura n.

Compiti tipici sono:

• Riconoscere la regola e continuare la sequenza: La regola si ricava dai primi termini e la sequenza viene proseguita.
• Sequenza: aggiungere sempre lo stesso numero e Sequenza: moltiplicare sempre per lo stesso numero: La regola è data oppure va trovata.
• Sequenza con passo fisso: Si chiede il primo termine, il termine di posto indicato o un termine scelto.
• Sequenza con passo fisso: vero o falso: Il bambino verifica se una sequenza data rispetta la regola.
• Modelli con figure: quanti quadrati nella figura n: Il bambino descrive con dei numeri la quantità di quadrati di una figura.

Il bambino può riconoscere, in un problema di calcolo raccontato, quale operazione fondamentale è intesa e impostare il calcolo con un segnaposto. Gli esempi del piano di studio lavorano con importi di denaro come 36 Fr., 23 Fr. e 125 Fr. Vi rientra anche l'operazione inversa: se di 36 Fr. sono stati risparmiati 23 Fr., ci si chiede quanto manca ancora e si calcola 36 Fr. meno 23 Fr.

Un errore tipico si verifica quando il bambino sceglie dal testo solo i numeri e sceglie l'operazione a sensazione, per esempio sommando 36 Fr. e 23 Fr., anche se la domanda riguarda l'importo mancante. Un secondo errore: il bambino calcola un'espressione ma non sa dire che cosa significhi il numero. Con 125 Fr. + 4 Fr. + 4 Fr. + 4 Fr. − 34 Fr., il risultato è l'importo dei risparmi, e proprio questa interpretazione fa parte del compito. È utile verificare il risultato sul testo.

Nella scheda di lavoro questa competenza si manifesta nelle seguenti tipologie di esercizi:

• Problema multi-step (riassumere): più passaggi di una storia vengono collegati in un'unica espressione.
• Scorta e porzioni: quante porzioni al massimo: il bambino determina quante porzioni complete si possono ricavare da una scorta.
• Scorta e porzioni: scegli il numero: il bambino sceglie, tra le indicazioni date, il numero adeguato.
• Problema su tre giorni, scegli il risultato: tra più soluzioni si sceglie il risultato corretto.
• Problema su tre giorni, vero o falso: il bambino verifica affermazioni sulla storia e motiva la sua decisione con un calcolo.

Il bambino calcola con frazioni che hanno lo stesso denominatore, per esempio 2/5 + 1/5 = 3/5 oppure 4/6 - 1/6 = 3/6. Il denominatore resta invariato perché tutte le parti sono uguali; si calcolano solo i numeratori. Il piano di studi indica per quest'ambito il modello rettangolare e denominatori come 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 e 100. Questa indicazione vale però per un periodo più lungo e non solo per la 5a classe. Gli esercizi di questa classe mostrano soprattutto addizioni e sottrazioni con lo stesso denominatore, anche quando la somma è maggiore di 1.

Spesso i bambini sommano anche i denominatori, per esempio 1/4 + 1/4 = 2/8 invece di 2/4. Trattano allora numeratore e denominatore allo stesso modo, anche se il denominatore indica soltanto in quante parti uguali è diviso l'intero. Diventa difficile anche quando si toglie dall'intero, per esempio 1 - 3/5: il bambino deve riconoscere l'intero come 5/5 per poter proseguire con il calcolo.

Nella scheda di lavoro su questo argomento compaiono, tra l'altro, questi tipi di esercizi:

• Addizionare e sottrarre frazioni con lo stesso denominatore
• Frazioni con lo stesso denominatore: somma maggiore di 1
• Frazioni con lo stesso denominatore: numeratore mancante
• Frazioni: quanto manca all'intero?
• Sottrarre frazioni: togliere dall'intero
• Frazioni con lo stesso denominatore: confrontare le somme

Le soluzioni sono sempre riportate, così potete ripassare gli esercizi con vostro figlio.

In der 5. Klasse runden die Kinder Dezimalzahlen auf eine vorgegebene Stelle, auf Zehntel und auf Hundertstel. So wird 1.745 auf Zehntel zu 1.7, weil die Ziffer nach der Zehntelstelle eine 4 ist und deshalb abgerundet wird. Der Lehrplan-Punkt gilt für die ganze Stufe und nennt auch das Runden ganzer Zahlen. Für die 5. Klasse zeigen die Aufgaben dieses Bereichs das Runden von Dezimalzahlen auf Zehntel und Hundertstel.

Typisch ist, dass die Kinder die Stellen einfach abschneiden, statt zu runden. Aus 1.78 wird dann auf Zehntel 1.7 statt 1.8, obwohl die 8 nach der Zehntelstelle über das Aufrunden entscheidet. Schwierig wird es auch beim Übertrag: 1.96 ergibt auf Zehntel 2.0. Viele Kinder vergessen dabei, dass die 9 die Zehntel erhöht und dadurch eine Einerstelle entsteht.

Die Aufgaben auf den Arbeitsblättern kommen in vier Formen vor:

• Auf Zehntel runden: Dezimalzahlen werden auf eine Nachkommastelle gerundet.
• Auf Hundertstel runden: Dezimalzahlen werden auf zwei Nachkommastellen gerundet.
• Auf Zehntel runden: wähle das Ergebnis: Aus mehreren Antworten wird die richtige ausgewählt.
• Auf Zehntel runden: richtig oder falsch: Eine vorgegebene Rundung wird als richtig oder falsch beurteilt.

Il punto del piano di studio descrive figure con un perimetro dato. Come esempio cita triangoli costruiti con 5, 6 o 7 fiammiferi. I compiti di questo argomento in quinta classe si concentrano sulle lunghezze dei lati: il bambino verifica se tre lunghezze formano un triangolo e cerca possibili lunghezze per un lato mancante.

È tipico che i bambini pensino che ogni combinazione di tre lunghezze formi un triangolo. Con lunghezze come 2 cm, 3 cm e 6 cm non è possibile: i due lati corti insieme non arrivano fino al lato lungo, la figura non si chiude. Il motivo sta di solito nel fatto che nella mente c'è solo la lunghezza totale e non il fatto che i due lati corti insieme devono essere più lunghi del lato più lungo.

I compiti su questo tema hanno i seguenti titoli:

• Disuguaglianza triangolare: vero o falso – Si decide se tre lunghezze date formano un triangolo.
• Il terzo lato più lungo possibile – Dati due lati, si cerca la lunghezza massima ammissibile per il terzo lato.
• Disuguaglianza triangolare: quante lunghezze per il terzo lato – Si conta quante lunghezze sono possibili per il terzo lato.
• Terzo lato del triangolo: scegli il numero – Il compito chiede di determinare il numero corrispondente per il terzo lato.

In la 5ª classe il bambino esercita l'addizione e la sottrazione scritte di numeri interi a più cifre. In questo modo scrive i numeri uno sotto l'altro, in modo che le unità stiano sotto le unità, le decine sotto le decine e così via, e calcola colonna per colonna. Il piano di studi non indica per questa abilità un intervallo numerico fisso. È importante che il bambino sappia annotare il proprio procedimento di calcolo e verificare il risultato.

Gli errori più frequenti hanno di solito una causa chiara:

• Sottrarre attraverso gli zeri: Nelle operazioni come 4003 − 1278 il bambino sottrae semplicemente 8 da 0 oppure lascia lo 0 invariato. Manca un'unità per il cambio: bisogna prenderla dalla cifra successiva diversa da 0.
• Dimenticare il riporto: Se la somma di una colonna è maggiore di 9, la cifra delle decine non viene riportata nella colonna successiva.
• Cifre non allineate correttamente: Se i numeri non sono allineati, unità e decine vengono confuse.

Esercizi tipici in questo ambito sono Addizione scritta e Sottrazione scritta, inoltre Sottrazione scritta: cambio attraverso gli zeri, quando si vuole esercitare il cambio attraverso gli zeri. Esercizi come Addizione scritta: scegli il risultato oppure vero o falso aiutano a controllare i risultati e a riconoscere gli errori.

In quinta classe i bambini arrotondano i numeri naturali alla decina più vicina e alla centinaia più vicina. Per farlo guardano la cifra a destra della posizione a cui si arrotonda. Se è 5 o più, si arrotonda per eccesso, altrimenti per difetto. Così 47 arrotondato alla decina diventa 50, e 43 diventa 40.

Un errore tipico: con i numeri a tre cifre il bambino guarda la cifra sbagliata. Con 149 arrotondato alla centinaia si considera l'ultima cifra 9 invece della cifra delle decine 4. Così si ottiene 200, mentre il risultato corretto è 100. Anche i numeri in cui la cifra è esattamente 5 vengono spesso arrotondati in modo incerto.

Nelle schede di lavoro di questa classe ci sono i seguenti tipi di esercizi:

• Arrotondare alla decina più vicina
• Arrotondare alla centinaia più vicina
• Arrotondare alla decina: scegli il risultato
• Arrotondare alla centinaia: scegli il risultato
• Arrotondare alla decina: vero o falso

In questo anno scolastico il bambino calcola con relazioni proporzionali della vita quotidiana, soprattutto con importi di denaro. Un esempio: 100 g di formaggio costano 5.40 Fr., 200 g costano 10.80 Fr. Se in una tabella o in un esercizio manca un valore, il bambino lo determina con l'aiuto del rapporto e completa l'informazione. In questo modo riconosce prima di tutto che una relazione è proporzionale e poi continua a calcolare.

Un errore tipico è il pensiero additivo: se la quantità raddoppia, il bambino addiziona semplicemente un numero invece di moltiplicare. Con 100 g a 5.40 Fr. e 200 g a 10.80 Fr. potrebbe allora scrivere 300 g a 16.20 Fr. solo perché somma più volte 5.40 Fr., senza considerare il rapporto. Un secondo errore nasce nell'impostare l'equazione: le grandezze non stanno nei posti giusti, e così grammi e franchi si confondono.

In classe il bambino incontra esercizi come questi, che nel materiale compaiono con le soluzioni:

• Equazione di proporzione: valore mancante

• Equazione di proporzione: terzo termine mancante

• Equazione di proporzione: scegli il termine mancante

• Equazione di proporzione: vero o falso

• Proporzione in un problema pratico: convertire per un altro numero di pezzi

• Corrispondenza proporzionale: completa la tabella

Suo figlio può calcolare il perimetro di un poligono sommando tutte le lunghezze dei lati. Ne fa parte anche trovare, a partire dal perimetro dato e dagli altri lati, il lato mancante. Quali numeri compaiono lo mostrano gli esempi sulle schede di lavoro; i punti del programma non indicano per questo un intervallo numerico fisso.

Il programma descrive inoltre la formazione di figure con un perimetro dato, ad esempio triangoli con 5, 6 o 7 fiammiferi. Per questa attività non esiste in quest'area un modello di esercizio dedicato.

Spesso i bambini confondono perimetro e area. Qui però si chiede il percorso intorno alla figura, non la superficie all'interno. Nel caso del lato mancante si addiziona spesso invece di sottrarre: chi somma tutti i lati noti deve sottrarre questa somma dal perimetro per ottenere l'ultimo lato. Spesso manca poi un lato nella somma.

Esercizi adatti a questo ambito sono:

• Perimetro di un poligono: Suo figlio addiziona tutti i lati e ottiene il perimetro.
• Perimetro di un poligono: scegli il risultato: Tra più soluzioni viene selezionata quella corretta.
• Perimetro di un poligono: problema pratico (recinzione): Il perimetro viene interpretato come lunghezza di una recinzione intorno a un terreno.
• Lato mancante dal perimetro e Lato mancante dal perimetro: scegli il lato: Il lato cercato viene calcolato oppure individuato tra le risposte proposte.
• Perimetro di un poligono regolare: calcola il lato: Tutti i lati hanno la stessa lunghezza, quindi il perimetro viene diviso per il numero dei lati.

Nel programma didattico si legge che i bambini comprendono e utilizzano i termini diametro, raggio e centro. Il raggio è il segmento che va dal centro fino al bordo del cerchio. Il diametro attraversa il cerchio da un bordo al bordo opposto passando per il centro, ed è quindi due volte più lungo del raggio. Il punto del programma non indica un intervallo numerico preciso. Quali numeri compaiono lo mostrano gli esercizi di esempio.

Un errore tipico è confondere raggio e diametro. Spesso il raggio viene semplicemente riportato come diametro, oppure nella conversione non si raddoppia o non si dimezza. I termini suonano simili, e poiché entrambi i segmenti partono dal centro, è facile che si confondano.

Sulle schede di lavoro il tema compare in questi tipi di esercizio:

• Diametro dal raggio: è dato il raggio, si cerca il diametro.
• Raggio dal diametro: è dato il diametro, si cerca il raggio.
• Raggio e diametro: vero o falso: si valutano affermazioni su raggio e diametro.
• Raggio dal diametro: scegli il risultato: tra più risposte si sceglie quella corretta.

Il bambino sa leggere e scrivere numeri interi fino a 1 milione, confrontarli e ordinarli. Il programma prevede anche il conteggio in avanti e all'indietro con passi adeguati, ad esempio da 320'000 con passi di 20'000, nonché la posizione approssimativa di un numero come 72'000 su una retta numerica. L'intervallo numerico fino a 1 milione è formulato nel programma per il livello e non solo per la 5a classe. Ciò che questa classe esercita concretamente è mostrato dai tipi di esercizi qui sotto.

Un errore tipico si verifica con numeri che hanno zeri al centro. Nel parlato questi zeri spesso vengono omessi, perciò per esempio 50'602 viene scritto come 5602: lo zero della posizione delle migliaia viene trascurato e tutte le cifre successive scivolano di una posizione verso sinistra. Un secondo errore riguarda il valore di una cifra. In 72'000 il 7 non vale 7, ma 70'000. È la posizione a determinare il valore, non la sola cifra.

Nella scheda di lavoro questa abilità si manifesta nei seguenti tipi di esercizi:

• Numeri grandi: confrontare – due o più numeri grandi vengono confrontati tra loro.
• Valori posizionali: quante volte più grande – il bambino determina quante volte più grande è il valore di una posizione rispetto a un'altra.
• Scomposizione posizionale: l'addendo mancante – un numero viene scomposto in valori posizionali e una parte mancante viene completata, ad esempio 72'000 + ? = 72'409.
• Numero dai valori posizionali (zeri al centro) – dai valori posizionali si scrive il numero, senza dimenticare gli zeri al centro.
• Valore di una cifra: scegliere la risposta – il bambino sceglie il valore corretto di una cifra evidenziata tra più risposte.
• Valore posizionale: scegliere quante volte più grande – il bambino sceglie di quante volte più grande è un valore posizionale.

Suo figlio impara a trasformare i calcoli in modo che diventino più facili. Il Piano di studio 21 descrive questo obiettivo nell'arco di più anni scolastici. Vi rientrano l'addizione e la sottrazione mentali con numeri come 402 + 90, la trasformazione di prodotti mediante raddoppiamento e dimezzamento (8 · 26 = 4 · 52 = 2 · 104) e il riraggruppamento di somme (136 + 58 + 42 = 136 + (58 + 42)). I risultati vengono inoltre verificati mediante semplificazione, scomposizione od operazioni inverse. In quinta classe le schede di lavoro mostrano soprattutto i tipi di esercizi elencati qui sotto.

Un errore tipico nel raddoppiare e dimezzare: il bambino modifica solo uno dei due fattori. Da 8 · 26 si ottiene quindi 16 · 26 invece di 16 · 13, perché il prodotto non resta in equilibrio. Con calcoli che coinvolgono numeri vicini a 100 succede qualcosa di simile: per 99 · 7 si calcola a volte 100 · 7 = 700 e si dimentica poi di sottrarre di nuovo il 7.

Gli esercizi hanno per esempio i seguenti titoli:

• Moltiplicare con astuzia
• Addizionare con astuzia
• Calcolare con astuzia: per un numero vicino a 100
• Moltiplicare con astuzia: vero o falso
• Addizione con astuzia di centinaia intere: scegli la risposta

Le schede di lavoro contengono le soluzioni, così potete ripercorre insieme il procedimento di calcolo di vostro figlio.

Il bambino può indicare un risultato approssimato prima del calcolo esatto e così verificare se un risultato preciso può essere corretto. Per questo i numeri vengono arrotondati in modo che si possano sommare facilmente a mente. Le schede di lavoro della 5ª classe mostrano questo soprattutto con somme in cui si arrotonda alle centinaia.

Tipicamente i bambini arrotondano solo uno dei due numeri oppure non tengono conto del valore posizionale quando arrotondano, per esempio arrotondando 362 a 300 invece che a 400. Inoltre una stima viene talvolta considerata il risultato esatto. Una stima approssimata è un valore di riferimento e non un risultato esatto.

Gli esercizi si chiamano, per esempio, Summe überschlagen: il bambino arrotonda gli addendi e scrive il risultato stimato. In Summe überschlagen: Überschlag auswählen sceglie tra più valori stimati quello appropriato, e in Schätzen: wähle die Rundung auf Hunderter decide a quale numero arrotondare.

Il programma didattico descrive la stima approssimata su più anni scolastici, anche con numeri decimali e con prodotti e quozienti. Gli esercizi di quest'area per la 5ª classe coprono solo le somme sopra indicate con arrotondamento alle centinaia.

Il vostro bambino impara a confrontare due frazioni in cui sia il numeratore sia il denominatore sono diversi, ad esempio 2/3 e 3/5. Il programma didattico indica per questo i denominatori 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 10; per ordinare le frazioni si aggiungono 20, 50 e 100. Queste indicazioni descrivono l'intera sezione del programma su più anni e non solo la 5ª classe. Utili a questo scopo sono rappresentazioni come il modello del cerchio o del rettangolo e la retta dei numeri.

Un errore tipico: il bambino deduce che la frazione con il denominatore maggiore sia la frazione maggiore. Così 1/8 sembra più grande di 1/4, perché 8 è maggiore di 4. Alla base c'è l'idea di confrontare separatamente numeratore e denominatore. Una frazione però indica quante parti si hanno di un intero. Più parti ha un intero, più piccola è ciascuna parte.

In 5ª classe ci sono schede di lavoro con soluzioni su questo argomento, ad esempio:

• Confrontare frazioni con denominatori diversi: si confrontano due frazioni con numeratore e denominatore diversi.
• Confrontare frazioni con un mezzo: una frazione viene confrontata con ½, ad esempio per capire se è maggiore o minore.
• Confrontare frazioni con lo stesso numeratore: qui aiuta capire che, a parità di numeratore, la frazione con il denominatore più piccolo è la maggiore.

Ampliare una frazione significa moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso numero. La frazione allora ha un aspetto diverso, ma ha lo stesso valore, ad esempio 1/2 è uguale a 2/4. Il Piano di studio Lehrplan 21 descrive l'ampliamento di frazioni con i denominatori 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 e 100 con il modello del rettangolo. Gli esercizi di questa classe lavorano con frazioni di questo tipo.

Un errore tipico: il bambino moltiplica solo il denominatore, ad esempio 1/2 diventa 1/4, oppure calcola in modo diverso numeratore e denominatore, ad esempio 1/2 diventa 2/3, perché aumenta entrambi i numeri di 1. Il motivo sta nel fatto che la frazione viene vista come due numeri separati invece che come un'unica quota. Con il modello del rettangolo questo diventa chiaro: se un rettangolo viene diviso in 2 metà e ciascuna metà viene nuovamente dimezzata, si ottengono 4 parti di uguale grandezza. Di queste, 2 sono colorate, quindi 2/4. L'area non cambia, viene solo suddivisa in pezzi più piccoli.

I fogli di lavoro di questa classe contengono i seguenti tipi di esercizi, ciascuno con soluzioni:

• Ampliare frazioni: portare una frazione a un denominatore maggiore dato, ad esempio 3/4 = 6/8.
• Ampliare frazioni: denominatore mancante: in un'uguaglianza come 3/4 = ?/8, trovare il denominatore mancante.
• Ampliare frazioni: per quale numero si è ampliato? leggere da due frazioni con quale numero è stato ampliato.
• Ampliare frazioni: vero o falso verificare se un ampliamento dato è corretto e indicare l'errore.
• Ampliare frazioni: scegli il fattore scegliere, tra più numeri, il numero corretto per l'ampliamento.

Il bambino classifica gli angoli in base alla loro apertura: riconosce un angolo acuto, uno ottuso e un angolo retto e li denomina correttamente. L'angolo retto di 90° serve come confronto e viene contrassegnato con un piccolo quadrato. Le indicazioni del piano di studi per questo ambito non citano un intervallo numerico, perciò questo testo descrive soltanto ciò che mostrano gli esercizi.

Una confusione tipica è quella tra acuto e ottuso, perché il bambino valuta la lunghezza dei bracci invece dell'apertura compresa tra di essi. Con la squadra graduata si aggiunge una seconda fonte di errore: la scala ha due serie di numeri, e chi legge quella sbagliata ottiene 180° meno il valore corretto. Negli angoli adiacenti si calcola spesso con 90° invece di 180°, perché l'angolo retto è più presente nella mente.

Le indicazioni del piano di studi non nominano esplicitamente gli angoli complementari e adiacenti, ma gli esercizi di questo ambito li trattano:

• Determinare il tipo di angolo: Il bambino classifica un angolo mostrato come acuto, retto o ottuso.
• Angoli complementari: Due angoli insieme danno 90°; si calcola l'angolo mancante.
• Angoli adiacenti: Due angoli insieme danno 180°; si calcola o si sceglie l'altro angolo.
• Angoli opposti al vertice: Gli angoli opposti sono uguali; si sceglie la misura corrispondente.

Un divisore divide un numero esattamente, cioè senza resto. I bambini imparano a indicare tutti i divisori di un numero naturale, ad esempio per 16 i numeri 1, 2, 4, 8 e 16. Ciò comprende l'uso sicuro dei termini divisore e multiplo. Il curricolo cita come esempio che i numeri quadrati hanno un numero dispari di divisori. Le regole di divisibilità, ad esempio per 3, 4, 6, 8, 9, 25 e 50, sono indicate nel curricolo come approfondimento.

Un errore tipico è dimenticare l'1 o il numero stesso. Chi per 16 annota solo 2, 4 e 8 non considera che ogni numero è divisibile per 1 e per se stesso. Spesso si confondono anche divisori e multipli: chi scrive 12, 24, 36 come divisori di 12 ha in realtà annotato dei multipli invece dei divisori. Un procedimento utile (proposta propria, non un obiettivo del curricolo) è verificare i divisori a coppie, ad esempio 1 con 16, 2 con 8, 4 con 4, invece di tirare a indovinare.

Gli esercizi stampati in questo ambito sono:

• Indicare tutti i divisori di un numero: scrivere tutti i divisori di un numero dato.
• Divisori: quanti ce ne sono?: determinare il numero di divisori di un numero.
• Divisori di un numero: scegli il numero: scegliere, tra le possibilità date, il numero corretto di divisori.
• Divisori: il numero più piccolo con k divisori: trovare il numero più piccolo che ha esattamente k divisori.
• Il numero più piccolo con k divisori: vero o falso: verificare se un'affermazione data sul numero più piccolo è corretta.

Per i multipli non esiste in questo ambito un modello di esercizio specifico.

In der 5. Klasse übt Ihr Kind vor allem, eine einstellige Zahl mit einer Zehnerzahl zu multiplizieren, etwa 3 · 40 oder 7 · 60. Der Lehrplan beschreibt für diesen Bereich ein grösseres Zahlenfeld (bis 4 Wertziffern, zum Beispiel 45 · 240). Die Aufgaben dieser Klasse zeigen aber den Einstieg mit einstelligen Zahlen mal Zehnerzahlen.

Ein typischer Fehler ist, die Null am Ende zu vergessen. Bei 3 · 40 rechnet das Kind 3 · 4 = 12 und schreibt 12 statt 120. Die Null steht für die Zehner und wird leicht übersehen. Eine mögliche Hilfe ist, zuerst die Aufgabe ohne Null zu rechnen (3 · 4 = 12) und dann die Null anzuhängen, weil 40 aus 4 Zehnern besteht.

Sulle schede di lavoro ci sono tre tipi di esercizi, con soluzioni:

• Moltiplicare per decine: Il bambino calcola da solo, per esempio 5 · 30.
• Per decine: vero o falso: Il bambino verifica calcoli dati come 3 · 40 = 12 e decide se sono corretti.
• Per decine: scegli il risultato: Tra più possibilità, il bambino sceglie il risultato corretto.

Das Kind lernt, eine Länge, die in zwei Einheiten angegeben ist, als eine einzige Dezimalzahl zu schreiben: Aus 2 m 35 cm wird 2,35 m. Der Lehrplan 21 verlangt, Grössen in zweifach benannten Einheiten zu schreiben und in benachbarte Masseinheiten umzuwandeln. Die Aufgaben dieser Klasse drehen sich dabei um Längen. Der Lehrplanpunkt selbst nennt keinen Zahlenbereich, deshalb wird hier auch keiner angegeben.

Ein typischer Fehler: Die Zentimeterzahl wird als ganze Zahl hinter das Komma gesetzt, ohne auf die Stellen zu achten. Aus 2 m 5 cm wird dann 2,5 m statt 2,05 m. Der Grund: 5 cm sind 5 Hundertstel Meter, deshalb muss die Zehntelstelle mit einer Null besetzt werden. Hilfreich ist es, sich die Länge als Anzahl Zentimeter vorzustellen, bevor man sie in Metern schreibt.

In den Arbeitsblättern dieses Bereichs gibt es die Vorlage Länge als Dezimalzahl angeben: Das Kind erhält Längen in zwei Einheiten und schreibt sie als Dezimalzahl in einer Einheit. Die Lösungen liegen bei, sodass Sie die Antworten direkt kontrollieren können. Als eigene Idee, nicht als Lehrplanvorgabe: Zuhause kann man mit einem Massband Gegenstände messen und die Länge einmal als „Meter und Zentimeter“ und einmal als Dezimalzahl in Metern aufschreiben lassen.

Nell'ambito della massa, il bambino converte tra le unità vicine chilogrammo (kg) e grammo (g). Il piano di studi riporta come esempio: 2000 g sono 2 kg. I numeri con cui si calcola non vengono ulteriormente delimitati nel punto del piano di studi. I punti del piano di studi menzionano inoltre t e mg; i compiti in questo ambito, però, ruotano attorno a chilogrammi e grammi.

Un errore tipico nasce quando il bambino pensa la conversione a partire dal centimetro e calcola con 100. Allora da 3 kg si ottiene erroneamente 300 g invece di 3000 g. È utile ricordare che un chilogrammo ha mille grammi e che il grammo è l'unità più piccola.

I compiti in questo ambito sono tra l'altro:

• Convertire in un'unità di massa più piccola, ad esempio da chilogrammi a grammi
• Convertire in un'unità di massa più grande, ad esempio da grammi a chilogrammi
• Massa in chilogrammi: scegli il numero decimale, in cui si seleziona il numero decimale corrispondente a un peso in kg
• Massa in chilogrammi: vero o falso, in cui le indicazioni in kg vengono verificate sulla correttezza
• Convertire unità di massa: scegli il risultato, in cui si sceglie la soluzione corretta tra più risultati
• Unità di massa: confrontare e indicare la massa in un'unità, che approfondiscono la comprensione delle unità

Il Piano di studio 21 descrive per tutto il ciclo che i numeri fino a 1 milione devono essere contati in avanti e all'indietro con passi adeguati e ordinati sulla retta dei numeri. In quinta classe, gli esercizi mostrano soprattutto il salto di una decina sulla retta dei numeri: il bambino vede dove si trova un numero e da lì salta dieci unità avanti o indietro.

Un errore tipico è che il bambino, nel salto di una decina, conta solo di uno in uno, procedendo tacca per tacca, invece di fare un salto di dieci. Spesso anche la posizione viene letta in modo errato, perché non ogni tacca è etichettata e il bambino deve determinare da sé il valore di una tacca.

Durante le lezioni e sulle schede di lavoro compaiono questi tipi di esercizi:

• Salto di una decina sulla retta dei numeri: partendo da un numero contrassegnato, si determina il numero che si trova dieci posizioni più a sinistra o a destra.
• Salto di una decina: scegli il numero: tra più indicazioni si seleziona il numero corretto dopo un salto di una decina.
• Salto di una decina: vero o falso: un calcolo o una soluzione dati vengono valutati come corretti o errati.

Il Lehrplan 21 indica come obiettivo per la matematica la moltiplicazione di numeri fino a 4 cifre, ad esempio 45 · 240. Questa indicazione vale per l'intero ciclo e non solo per la 5ª classe. Ciò che in questa classe viene concretamente esercitato è mostrato dai modelli di esercizio: un numero a più cifre viene moltiplicato per un numero a una cifra in forma scritta, ad esempio 327 · 4.

Un errore tipico: il bambino calcola da destra a sinistra, cifra per cifra, e dimentica il riporto oppure non lo somma alla cifra successiva. Per 47 · 6 si ottiene 6 · 7 = 42. Si scrive il 2 e si ricorda il 4. Poi vale 6 · 4 = 24, e con il riporto sono 28. Spesso però il 4 viene dimenticato e si ottiene 24. L'errore nasce perché bisogna tenere a mente contemporaneamente la tabellina e il riporto. Anche le cifre spostate, perché i numeri non sono scritti in colonne ordinate, portano spesso a risultati sbagliati.

I modelli di esercizio di questo ambito coprono diverse forme:

• Moltiplicare in forma scritta per un numero a una cifra: semplici calcoli in colonna.
• Moltiplicazione scritta nel problema di contesto: la moltiplicazione è nascosta in una breve storia e deve essere prima riconosciuta.
• Moltiplicazione scritta: il fattore mancante: manca un fattore, ad esempio ? · 6 = 258.
• Moltiplicazione scritta: scegli il fattore mancante: tra diverse proposte si sceglie il fattore adatto.
• Moltiplicazione scritta: scegli il risultato: tra diverse soluzioni si sceglie il risultato corretto.

Il bambino può calcolare, a partire da un dato che vale per più unità, il valore per una sola unità, per esempio il prezzo al chilogrammo. Il piano di studi cita a questo scopo esempi come 300 g di formaggio a 20 Fr./kg oppure un consumo di carburante di 6 l ogni 100 km. Questi esempi appartengono a tutto il ciclo di studi. Quali numeri e quali compiti compaiono esattamente in quinta classe lo mostrano i tipi di esercizio delle schede di lavoro.

Sono tipici due errori:

• La divisione viene invertita. Con 3 pezzi per 6 Fr., il bambino calcola 3 : 6 invece di 6 : 3, perché non riflette su quale valore viene cercato.
• Manca l'unità. La risposta »2« senza »Fr. al pezzo« resta poco chiara, e quando si confrontano confezioni si guarda spesso al prezzo totale invece che al prezzo per unità.

Sulle schede di lavoro ci sono a questo proposito quattro tipi di esercizio: Valore per uno come problema pratico, in cui si tratta di quanto costa o pesa uno; Prezzo unitario con la domanda dove qualcosa costa meno; Valore per una unità con la scelta del risultato corretto; e Valore per una unità come esercizio »vero o falso«, in cui si verificano delle affermazioni. Le soluzioni sono allegate, così potete ripercorrere insieme i calcoli.

Il bambino sa dividere numeri naturali per un numero di una sola cifra, ad esempio 231 : 7. Il piano di studi descrive questa competenza per più anni scolastici insieme. In quinta classe si esercita soprattutto con operazioni di divisione scritte. Il bambino può calcolare mentalmente o scrivere i propri procedimenti. Se il numero non divide esattamente, resta un resto.

Un errore tipico riguarda lo zero nel risultato. Per 408 : 4 il risultato è 102. Molti bambini scrivono 12, perché quando abbassano la cifra successiva saltano lo 0, anche se 0 : 4 = 0 occupa una posizione nel risultato. Un secondo errore si verifica quando il resto non è più piccolo del divisore. In quel caso l'ultima divisione parziale non è ancora conclusa:

• Lo zero nel risultato viene dimenticato.
• Il resto è maggiore o uguale al divisore.

Tipici esercizi in questo ambito sono:

• Dividere per iscritto per un numero di una sola cifra: svolgere passo per passo esercizi come 231 : 7.
• Zero nel risultato: trovare o scegliere esercizi in cui nel risultato compare uno zero.
• Il dividendo mancante: manca il numero che viene diviso e va trovato.
• Scegli il dividendo: tra più numeri si sceglie quello giusto da dividere.
• Divisione scritta in un problema: la divisione è nascosta in un testo e va riconosciuta per prima.

Le schede di lavoro su questo argomento sono stampabili e contengono le soluzioni.

Il bambino impara a trovare, in un insieme di dati, cioè in una serie di valori come risultati di misurazioni o risultati di un sondaggio, il valore più grande (massimo) e il valore più piccolo (minimo), e a valutare i dati secondo questi criteri. Il piano di studio non indica un intervallo numerico preciso, quindi non dovete aspettarvi un determinato campo di numeri, ma piuttosto comprendere il procedimento.

Un errore tipico consiste nel prendere semplicemente il primo o l'ultimo numero dell'elenco, invece di confrontare tutti i valori. Questo accade perché gli elenchi raramente sono ordinati e l'occhio si ferma sul primo numero. Nel caso dell'ampiezza, cioè della differenza tra massimo e minimo, si aggiunge un ulteriore errore: il bambino indica solo il valore più grande oppure calcola la differenza nella direzione sbagliata.

Nelle schede di lavoro di questo argomento il compito compare come „Determinare l'ampiezza“. Tipicamente si tratta di un elenco breve, ad esempio le temperature registrate in più giorni. Il bambino cerca prima il valore più grande e quello più piccolo, e poi calcola la differenza. Le soluzioni della scheda vi aiutano a ripercorrere il procedimento di calcolo.

Suo figlio deve saper leggere e scrivere numeri decimali e frazioni. Il punto del piano di studio non indica un intervallo numerico specifico per questo. Tuttavia, gli esercizi di questo ambito lavorano con numeri decimali fino al posto dei millesimi. Il bambino nomina ogni cifra dopo la virgola e riconosce il suo valore posizionale: in 0.45 il 4 significa quattro decimi e il 5 significa cinque centesimi.

Un errore frequente nasce quando le cifre dopo la virgola vengono trattate come un numero intero. In questo caso lo zero, che funge da segnaposto, va perso: da 2.07 si ottiene 2.7, anche se sette centesimi valgono solo 0.07. Un errore affine si manifesta nel confronto: 0.5 sembra più piccolo di 0.45, perché 45 è maggiore di 5. Entrambi gli errori derivano dal fatto che le cifre non vengono pensate come decimi, centesimi e così via.

Gli esercizi nelle schede di lavoro di questo ambito si presentano, ad esempio, così:

• Leggere la cifra dei centesimi: Il bambino individua la cifra al posto dei centesimi di un numero decimale.
• Valore posizionale nei numeri decimali, valore di una cifra: Il bambino determina quale valore ha una singola cifra nel numero.
• Valore posizionale nei numeri decimali, scomposizione: Il bambino scompone un numero decimale nei suoi valori posizionali.
• Valore posizionale nei numeri decimali, scegliere la cifra dei millesimi: Il bambino seleziona la cifra al posto dei millesimi.
• Numero decimale, scegliere il valore della cifra: Il bambino sceglie, tra le alternative date, il valore corretto di una cifra.

Secondo il Piano di studio 21, il Suo bambino deve saper calcolare con le indicazioni di tempo e convertire le grandezze in unità di misura adiacenti. Il punto del piano non indica un intervallo numerico specifico. In questo ambito si tratta concretamente della conversione di settimane in giorni: una settimana ha 7 giorni, quindi 3 settimane corrispondono a 21 giorni.

Un errore tipico è che il bambino tratta la settimana come un numero normale e addiziona il numero di settimane a 7, invece di moltiplicare per 7. Da 3 settimane si ottengono allora 10 giorni invece di 21. Ciò accade perché l'unità „settimana“ non viene intesa come un gruppo di 7 giorni.

Le schede stampabili di questo ambito contengono tre tipi di esercizi:

• Settimane e giorni: quanti giorni sono – convertire un'indicazione in settimane in giorni.
• Settimane e giorni: scegli il numero di giorni – selezionare il numero di giorni corrispondente a un'indicazione in settimane.
• Settimane e giorni: vero o falso – verificare affermazioni come „4 settimane sono 28 giorni“.

Mesi e anni non compaiono nei modelli di esercizi qui elencati.

Il piano di studio richiede soprattutto il sicuro utilizzo dei termini e dei simboli specifici della disciplina. Non indica alcun intervallo numerico, perché qui si tratta di concetti e non di calcoli. Per disegnare e misurare si utilizza la squadra da geometria. Nelle schede di lavoro di questo ambito compare inoltre la semiretta.

Spesso un segmento viene confuso con una retta. Un segmento ha due estremi e termina in essi, mentre una retta si estende illimitatamente in entrambe le direzioni. Un bambino che non ha ancora interiorizzato questa differenza può rispondere in modo errato alle affermazioni sugli estremi. Quando si contano i segmenti su una retta, capita facilmente di contare solo i tratti immediatamente adiacenti, mentre i segmenti che attraversano più tratti vengono trascurati.

Gli esercizi di questo ambito sono schede di lavoro stampabili con soluzioni, tra cui:

• Segmento, semiretta o retta? Il bambino associa le figure al termine corretto.
• Estremi di una figura: vero o falso Il bambino verifica affermazioni sugli estremi.
• Segmenti su una retta: scegli il numero Il bambino sceglie il numero corretto tra le risposte proposte.
• Segmenti su una retta: quanti? Il bambino conta autonomamente i segmenti.

Il vostro bambino impara a riflettere figure rispetto a un asse e a disegnare l'immagine speculare. Ne fa parte anche riflettere singoli punti e linee con la squadra rispetto a un asse. I punti del piano curriculare non indicano un intervallo numerico. Sono formulati per un periodo più lungo. In quinta classe gli esercizi mostrano soprattutto punti con coordinate che vengono riflessi rispetto a una retta.

Un errore tipico è che l'immagine speculare si trovi sullo stesso lato dell'asse dell'originale. Un altro errore: l'immagine si trova sì dall'altra parte, ma a una distanza diversa dall'asse. Spesso la figura viene spostata a occhio, invece di collocare ogni punto alla stessa distanza dall'altro lato dell'asse. È utile contare le distanze dall'asse o misurarle di nuovo con la squadra.

Tipici esercizi in questo ambito sono:

• Riflettere un punto rispetto a una retta: Un punto viene riflesso rispetto a una retta data.
• Riflessione rispetto a una perpendicolare: scegli la coordinata: Tra più indicazioni si sceglie la coordinata corretta del punto riflesso.
• Simmetria assiale: riflessione rispetto a una retta verticale: Una figura viene riflessa rispetto a un asse verticale.
• Simmetria assiale: vero o falso: Si decide se una figura è simmetrica rispetto a un asse.
• Simmetria assiale: quante assi di simmetria: Si determina il numero di assi di simmetria di una figura.
• Simmetria assiale: asse di una coppia di punti: Dati due punti, si cerca l'asse rispetto al quale essi si corrispondono come immagini speculari.

Il bambino sa riconoscere e nominare i corpi cubo, parallelepipedo, sfera, cilindro e piramide, quando compaiono nell'ambiente circostante o nelle immagini. Il piano di studio non indica un intervallo numerico per questo: si tratta di forma e nome.

Un possibile ostacolo è che i corpi vengano denominati solo in base alla prima impressione. Un parallelepipedo, per esempio, viene facilmente scambiato per un cubo, perché entrambi sembrano avere spigoli. Una possibile causa è non fare attenzione al fatto che tutte le facce abbiano la stessa grandezza. Questa è un'osservazione tratta dalla pratica e non un requisito del piano di studio.

Nell'ambito della matematica della 5a classe ci sono al riguardo tre tipi di esercizi per schede di lavoro con soluzioni:

• Quale corpo è questo? Scegli il nome: Al corpo viene associato un nome.
• Quale corpo è questo?: Il corpo viene nominato autonomamente.
• Spigoli di un corpo: vero o falso: Vengono verificate affermazioni sugli spigoli di un corpo.

Il bambino decide, data una figura disegnata composta da sei quadrati uguali, se con essa si può costruire un cubo piegandola. Verifica questo mentalmente oppure piegando. Il programma scolastico descrive anche il disegno di sviluppi e la rappresentazione di prismi e piramidi. Le schede di questo ambito mostrano per questa classe soprattutto il controllo degli sviluppi del cubo.

Un errore tipico: il bambino conta solo i sei quadrati e considera ogni forma connessa uno sviluppo. Piegando, però, due quadrati finiscono sulla stessa faccia del cubo, mentre una faccia rimane scoperta. La figura sembra giusta, ma non si chiude.

Un esercizio su questo tema si intitola ad esempio „È uno sviluppo del cubo?“. Sulla scheda ci sono più figure e il bambino decide per ciascuna se sia uno sviluppo del cubo. È utile una motivazione. Come suggerimento per casa: disegnare la figura su carta, ritagliarla e piegarla. Così si vede subito se tutte e sei le facce formano un cubo.

Il piano di studi richiede che i bambini si orientino su grandezze di riferimento come 1 kB e che comprendano e utilizzino i prefissi Mega, Giga e Tera. In questa classe, gli esercizi mostrano soprattutto cosa viene chiesto in concreto: convertire gigabyte in megabyte, convertire megabyte in gigabyte e confrontare tra loro quantità di dati. Il piano di studi non indica per quest'ambito un intervallo numerico specifico; i numeri derivano dagli esercizi stessi.

Un errore tipico: il bambino non ricorda che un gigabyte è più grande di un megabyte. Per questo, dopo la conversione, il numero viene talvolta modificato nella direzione sbagliata. Chi vuole sapere quanti GB corrispondono a una certa quantità di MB deve ricordare che il numero, nell'unità più grande, risulta più piccolo. Aiuta chiedersi prima di calcolare se il risultato dovrebbe diventare più grande o più piccolo.

Nella scheda di lavoro, l'esercizio appare più o meno così:

• Convertire gigabyte in megabyte: il dato è indicato in GB, si cerca il valore in MB.
• Megabyte in gigabyte: tra diversi risultati si sceglie quello corretto.
• Confrontare quantità di dati: quale quantità è più grande o più piccola?
• Scegliere il valore convertito: tra diverse offerte si sceglie il valore adeguato.