Matematyka — klasa 5

W zakresie liczbowym do 100 dzieci wykonują dodawania, w których suma jedności przekracza 10, na przykład 18 + 14. Mogą przedstawić swój sposób rozwiązania, na przykład na osi liczbowej: od 18 idą najpierw 2 do przodu do 20, a potem jeszcze 12, czyli wynik to 32. Podstawa programowa opisuje ten krok dla całego zakresu liczbowego do 100, czyli etap, który obejmuje kilka lat szkolnych.

Typowy błąd: dodaje się jedności, ale nie przenosi się dziesiątki. Przy 18 + 14 działanie 8 + 4 daje wprawdzie 12, i niektóre dzieci zapisują 2, zapominają o 1 i liczą 1 + 1 = 2 przy dziesiątkach. Wynik brzmi wtedy 22 zamiast 32. Powodem jest to, że 12 jedności zawiera także jedną dziesiątkę, którą trzeba uwidocznić. Jeśli się jej nie zapisze, zostaje zgubiona.

W karcie pracy ten krok pojawia się w zadaniach takich jak:

• Dodawanie w zakresie liczbowym do 100 z przekroczeniem dziesiątki
• Uzupełnianie do dziesiątki i dalsze liczenie
• Dodawanie do 100 z przekroczeniem dziesiątki: wybór wyniku
• Dodawanie do 100: sprawdzanie wyniku, szukanie błędu

Dziecko potrafi określić pole figury, licząc, ile jednostkowych kwadratów, na przykład kratek lub metrów kwadratowych, ją pokrywa. Porównuje w ten sposób pola prostokątów i figur złożonych, na przykład pokrywając dwa prostokąty o różnej wielkości kwadratami. Punkty programu nauczania nie podają zakresu liczbowego, dlatego żaden nie jest tutaj wymieniony.

Typowe jest, że dzieci dodają długości boków lub liczą tylko kratki przy brzegu, zamiast pokryć całą powierzchnię. Brzeg figury (jej obwód) i jej pole są przy tym mylone, mimo że to dwie różne wielkości. Dlatego długa, wąska figura może wydawać się większa, choć pokrywa mniej kratek.

Na kartach pracy na tym etapie pojawiają się m.in. następujące typy zadań:

• Pole prostokąta: Ile kratek go pokrywa?
• Pole na siatce: Ile kwadratów pokrywa figurę?
• Pole figury złożonej z dwóch prostokątów
• Pole z płytkami: Ile dwukratkowych płytek jest potrzebnych, a ile jeszcze brakuje?
• Pole przez pokrywanie: Wybierz właściwą odpowiedź lub rozstrzygnij, co jest prawdziwe, a co fałszywe.
• Pole dwóch figur: O ile jedna jest większa?
• Pole i jeden bok: Jak długi jest drugi bok?
• Narysuj prostokąt o podanym polu.
• Pole powierzchni: Popraw cudzy wynik.

Punkty podstawy programowej obowiązują przez kilka lat szkolnych. W tej klasie 5 zadania dotyczą przede wszystkim dzielenia w zakresie do 100. Dziecko rozumie dzielenie jako odwrotność mnożenia: jeśli 4 · 7 = 28, to także 28 : 7 = 4. Potrafi wyjaśnić związek z dodawaniem, na przykład 28 = 7 + 7 + 7 + 7, oraz czytać i używać znaku ":" i słowa "przez". Przy tym wykorzystuje także zależności między małym a dużym układem mnożenia, na przykład że 6 · 10 = 60 daje także 60 : 6 = 10.

Typowym błędem jest zamienianie obu liczb miejscami. Przy 28 : 7 liczy się wtedy np. 7 : 28 albo bierze się złą liczbę jako dzielnik. Dzieje się tak często wtedy, gdy dzielenie traktuje się tylko jako wynik zapamiętany na pamięć, a nie jako zadanie odwrotne do mnożenia. Dlatego warto przy każdym zadaniu z dzieleniem myśleć o odpowiadającym mu zadaniu z mnożenia.

Na kartach pracy do tego tematu pojawiają się m.in. następujące typy zadań:

• Dzielenie w tabliczce mnożenia (do 100): wyznaczanie wyników bezpośrednio z tabliczki mnożenia.
• Przez jaką liczbę dzielono (tabela dzielenia): odczytywanie dzielnika z tabeli.
• Brakujący dzielnik: wybierz liczbę: znajdowanie brakującej liczby w zadaniu z dzieleniem.
• Dzielenie w tabliczce mnożenia: wybierz wynik: wybieranie poprawnej odpowiedzi spośród kilku.
• Dzielenie: sprawdź i znajdź błąd: kontrola podanego rachunku.
• Dzielenie z jedną zbędną liczbą: rozpoznawanie, która informacja nie jest potrzebna do zadania.
• Równomierne rozdzielanie, Dzielenie na równe części, Dzielenie: ile paczek powstanie, Dzielenie: ile w jednym rzędzie, Dzielenie: który podział daje więcej na osobę?: stosowanie dzielenia w sytuacjach z życia.

Do każdego tematu dostępne są karty pracy do wydrukowania z rozwiązaniami.

Dziecko zna iloczyny małego mnożenia, czyli wszystkie mnożenia z czynnikami od 1 do 10, aż do 10 · 10 = 100. Program nauczania dodatkowo wymienia iloczyny z czynnikami 2, 5 i 10 oraz rozkładanie iloczynu na czynniki, na przykład 36 = 6 · 6 = 4 · 9.

Ważne jest także, aby dziecko wykorzystywało zależności między iloczynami, zamiast uczyć się na pamięć każdego wyniku osobno. Na przykład 6 · 8 jest o 8 większe niż 5 · 8, a 8 · 3 daje to samo co 3 · 8. Na polu punktów dziecko zauważa, że 6 · 4 jest podwojeniem 3 · 4.

Typowy błąd pojawia się, gdy iloczyn jest przywoływany wyłącznie z pamięci. Jeśli pamięć jest niepewna, często podaje się sąsiedni wynik, na przykład 42 zamiast 48 dla 6 · 8, ponieważ myli się to zadanie z 6 · 7. Kto nie wykorzystuje zależności między iloczynami, nie ma sposobu, aby samodzielnie wyprowadzić właściwy wynik.

Zadania do tego tematu:

• Mnożenie (do 100)
• Brakujący czynnik (małe mnożenie) i Brakujący czynnik: wybierz liczbę
• Mnożenie: wybierz wynik
• Mnożenie: ile punktów na polu punktów
• Mnożenie: który iloczyn jest większy, o ile?
• Mnożenie: sprawdź i znajdź błąd
• Mnożenie jako dodawanie: ile razy wzięte
• Mnożenie: równe grupy razem
• Mnożenie z jedną zbędną liczbą

Dziecko uczy się zapisywać możliwości nie przypadkowo, lecz w uporządkowany sposób, aby nic nie zostało pominięte ani nie zostało policzone dwukrotnie. Punkty programu nauczania obejmują okres kilku lat szkolnych. Przykłady sięgają od tworzenia par, przez liczby z cyfr 1, 2, 3, aż po ciągi liter, takie jak ADEN. W 5. klasie szablony zadań pokazują przede wszystkim pary i zestawy z niewielkiego wyboru.

Często możliwości zapisuje się po prostu tak, jak przychodzą do głowy. Wtedy brakuje jednej kombinacji albo ta sama pojawia się dwa razy. W przypadku par kolejność nie ma znaczenia: „Anna i Ben” to ta sama para co „Ben i Anna” i liczy się ją tylko raz. Pomocny jest plan: najpierw zapisać wszystkie możliwości z pierwszą częścią, a potem z następną.

Typowe zadania to:

• Ile różnych par: prawda czy fałsz. Sprawdza się podaną liczbę.
• Ile różnych par: wybierz poprawną odpowiedź.
• Kombinacje: ile różnych zestawów istnieje? Albo ile zestawów z trzech rodzajów?
• Zapisz wszystkie kombinacje: lista musi być kompletna i bez powtórzeń.
• Kombinacje: ile par zostaje, albo ile par więcej z jedną sztuką?
• Znana liczba par: ile par jest w drugim zbiorze?

Twoje dziecko uczy się mnożyć liczby poniżej 20 przez 10, na przykład 7 · 10 = 70 lub 13 · 10 = 130. Wykorzystuje przy tym związek z małym mnożeniem: 7 · 1 to 7, a 7 · 10 to zatem 7 dziesiątek, czyli 70. Dokładnie ten związek między małym a dziesiątkowym mnożeniem wskazuje plan nauczania Lehrplan 21.

Typowym błędem przy liczbach dwucyfrowych jest dopisanie zera z przodu zamiast z tyłu, przez co 13 · 10 zapisuje się jako 103. Czasem zero jest po prostu pomijane (13 · 10 = 13). Zwykle wynika to z tego, że zero zostało wyuczone jako zwykły dodatek, bez zrozumienia, że każda cyfra przesuwa się o jedno miejsce w lewo.

W arkuszach tej klasy znajdziesz między innymi:

• Mnożenie przez 10: podstawowe zadania dotyczące liczb poniżej 20.
• Mnożenie przez 10: zbędna informacja: zadania z dodatkową informacją, która nie jest potrzebna do obliczenia.
• Dziesiątki: ile pełnych dziesiątek się mieści?: tutaj widoczne jest odwrócenie działania, na przykład 70 : 10 = 7.
• Dziesięć razy dziesięć, czyli o dwa miejsca dalej: tutaj rozpatrywane jest 10 · 10 = 100.
• Mnożenie przez 10: wybierz poprawny wynik, prawda czy fałsz oraz łańcuch zmian: zadania, w których sprawdza się wyniki lub wykonuje kilka mnożeń jedno po drugim.

W klasie 5 dziecko odczytuje liczby z tabel i słupkowych diagramów i wykorzystuje je do odpowiadania na pytania. Porównuje dwa wiersze lub słupki, określa różnicę, liczy, ile wartości przekracza daną liczbę, oraz znajduje kategorię o największej wartości. Punkty programu nauczania nie podają dla tej klasy osobnego zakresu liczbowego. Jego przykłady pochodzą z życia codziennego, na przykład z drogi do szkoły lub ze zwierząt domowych.

Typowy błąd: dziecko odczytuje niewłaściwy wiersz lub słupek, zwłaszcza gdy tabela zawiera wiele liczb. Przy pytaniu „Ile więcej?” czasem podaje tylko jedną z dwóch wartości albo liczy w złym kierunku. W diagramach słupkowych skala jest często źle odczytywana, gdy słupek kończy się między dwiema kreskami. Przy stwierdzeniach „prawda czy fałsz” często przyjmuje się zdanie bez sprawdzenia go na liczbach.

Na karcie pracy dziecko spotyka przede wszystkim następujące typy zadań:

• Tabela: ile więcej według tabeli?
• Tabela: odległość między największą a najmniejszą wartością
• Tabela: ile grup przekracza daną liczbę?
• Tabela: która kategoria ma najwięcej?
• Diagram słupkowy: ile więcej?
• Różnica dwóch wierszy: wybierz poprawną odpowiedź
• Różnica dwóch wierszy: prawda czy fałsz

Ihr Kind kann den Umfang eines Rechtecks bestimmen, indem es alle vier Seiten zusammenzählt. Dabei nutzt es, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Aus dem Umfang und einer bekannten Seite kann es außerdem die fehlende Seitenlänge berechnen. Auch das Zeichnen eines Rechtecks mit einem vorgegebenen Umfang gehört dazu.

Ein typischer Fehler ist die Verwechslung von Umfang und Fläche: Statt den Rand entlangzugehen, werden die Kästchen im Innern gezählt. Ein weiterer häufiger Fehler ist, nur Länge und Breite zu addieren und die gegenüberliegenden Seiten zu vergessen. Der Wert wird dann zu klein, weil nur zwei der vier Seiten berücksichtigt wurden. Hilfreich ist es, die Seiten beim Zählen einmal ganz um die Figur herum mit dem Finger nachzufahren.

Im Unterricht begegnen Ihrem Kind dazu folgende Aufgabentypen:

• Obwód prostokąta
• Brakujący bok prostokąta z obwodu
• Obwód: która figura ma większy obwód?
• Obwód prostokąta na papierze w kratkę
• Obwód prostokąta: prawda czy fałsz
• Narysuj prostokąt o podanym obwodzie
• Obwód prostokąta: wybierz poprawny wynik

Twoje dziecko uczy się odczytywać cyfry liczby do 1'000 zgodnie z ich miejscem. Cyfra najbardziej po prawej oznacza jedności, środkowa dziesiątki, a cyfra po lewej setki. Dla liczby 257 oznacza to: 2 setki, 5 dziesiątek i 7 jedności. Program nauczania pokazuje to na materiale: 2 płytki setkowe, 5 pałeczek dziesiątkowych i 7 kostek jedności razem dają 257.

Typowy błąd pojawia się wtedy, gdy cyfry czyta się tylko jako pojedyncze liczby, bez uwzględnienia ich wartości miejscowej. Wtedy 257 odczytuje się jako 2, 5 i 7, nie wiedząc, co oznacza każda cyfra. Często zapomina się także o zerze w środku: 307 zapisuje się lub czyta jako 37. Zero pokazuje, że na tym miejscu nie ma dziesiątek. Łatwo je przeoczyć, ponieważ na pierwszy rzut oka wydaje się nie mieć żadnej wartości.

W tej klasie zadania dotyczą liczb trzycyfrowych. Karty pracy z rozwiązaniami zawierają na przykład:

• Składanie liczby z setek, dziesiątek i jedności
• Rozkładanie liczby na setki i resztę
• Odczytywanie liczby z klocków
• Ile pełnych dziesiątek ma ta liczba? Ile jedności w sumie?
• Ocenianie stwierdzeń o wartości miejscowej jako prawdziwych lub fałszywych

Dziecko liczy pełnymi setkami, takimi jak 200, 300 lub 700. Dodaje je do liczby lub odejmuje od niej, zapisuje tok obliczeń i sprawdza, czy wynik jest poprawny. Plany nauczania nie wskazują konkretnego zakresu liczbowego. Szablony zadań dotyczących tego tematu operują pełnymi setkami.

Typowy błąd: dziecko oblicza 470 + 100 i zapisuje 480. Traktuje setkę jak dziesiątkę i zmienia tylko cyfrę dziesiątek. Pomocne jest świadome przyjrzenie się cyfrze setek: Jedna setka więcej oznacza, że cyfra setek rośnie o jeden.

W ćwiczeniach pojawiają się następujące formy zadań:

• Skok o pełne setki: od liczby startowej przeskoczyć w przód lub w tył o pełne setki.
• Skok o pełne setki: dwa skoki po kolei: wykonać dwa skoki jeden po drugim i zapisać wynik.
• Odejmowanie pełnych setek: odjąć od liczby pełne setki.
• Ile setek doszło: na podstawie wartości początkowej i końcowej ustalić, ile setek doszło.
• Ile brakuje, aby obie strony były równe: uzupełniać, aż obie strony będą jednakowe.
• Skok o pełne setki: wybierz poprawny wynik oraz Pełne setki: znajdź błąd: porównywać wyniki i sprawdzać, czy są poprawne.

W 5. klasie chodzi przede wszystkim o to, aby Twoje dziecko podzieliło całość na dwie lub cztery równe części oraz rozpoznawało i nazywało połowy i ćwiartki. Typowe przedstawienia to kwadraty, prostokąty i koła, które są składane lub zamalowywane, a także zbiory przedmiotów. Punkty programu nauczania dotyczące tego tematu rozłożone są na kilka lat szkolnych. To, czego konkretnie wymaga się w tej klasie, pokazują szablony zadań.

Częsty błąd: dziecko dzieli figurę na cztery części, które nie są równej wielkości, i mimo to odlicza jedną ćwiartkę. Dzieje się tak, ponieważ zwraca uwagę na liczbę części, a nie na to, czy są one równe. Inny typowy błąd pojawia się przy mianownikach: skoro 4 jest większe niż 2, dziecko uważa, że ćwiartka to więcej niż połowa. Przy zbiorach czasem pojedynczy przedmiot uznawany jest za „jedną ćwiartkę”, zamiast za część całego zbioru.

Zadania na ten temat wyglądają na przykład tak:

• Część całości (połowa i ćwiartka): Dziecko określa, jaka część złożonej lub zamalowanej figury jest przedstawiona.
• Ile ich jest w sumie, jeśli część stanowi …? Na podstawie danej części wyznacza się całkowitą liczbę.
• Ułamek zbioru: Ile stanowi część? Dziecko oblicza ułamek zbioru.
• Wybierz, ile wynosi ułamek zbioru: Dziecko wybiera z podanych możliwości właściwą liczbę.
• Część zbioru: znajdź błąd: Dziecko rozpoznaje, gdzie występuje nieprawidłowy podział.
• Wymyśl zbiory o takim samym podziale: Dziecko szuka różnych zbiorów, które można podzielić w ten sam sposób.
• Ile części pozostaje niezamalowanych: prawda czy fałsz: Dziecko sprawdza stwierdzenia dotyczące części figury.

Punkty programu nauczania wymieniają dodatkowo ciągi liczb, takie jak ½, ¼, ⅛, oraz ułamki o innych mianownikach, np. 3, 5, 6, 8 i 10. Należą one do całego zakresu programu i nie są osobno wymienione w szablonach zadań tej klasy.

W planie nauczania Lehrplan 21 dla tego obszaru zapisano: dzieci potrafią przy dodawaniu i odejmowaniu zapisywać swoje sposoby rachowania, dodawać i odejmować pisemnie oraz sprawdzać swoje wyniki. Zadania w tym obszarze operują liczbami do 1000. Dziecko zapisuje liczby jedna pod drugą i liczy cyfra po cyfrze, od prawej do lewej.

Typowy błąd przy pisemnym odejmowaniu: dziecko odejmuje w jednej kolumnie mniejszą cyfrę od większej, mimo że u góry stoi mniejsza. Zwykle wynika to z tego, że podczas rachunku gubi się wartości miejsc, na przykład gdy z dziesiątek lub setek coś „pożycza”. Przy dodawaniu często ginie przeniesienie, czyli cyfra dziesiątek lub setek, która powinna trafić do następnej kolumny.

Na kartach pracy dzieci ćwiczą takie zadania jak:

• Dodawaj liczby trzycyfrowe pisemnie oraz Pisemne dodawanie krok po kroku, także z trzema liczbami
• Pisemne odejmowanie do 1000
• Pisemne odejmowanie: popraw błędy, w którym trzeba znaleźć błędny sposób rachowania i go poprawić
• Brakujący składnik przy pisemnym dodawaniu, w którym szuka się jednej liczby
• Pisemne odejmowanie: wybierz wynik oraz Pisemne dodawanie, trzycyfrowe: wybierz wynik, w których wybiera się poprawny wynik spośród kilku rozwiązań

Do każdej karty pracy dostępne są rozwiązania, dzięki którym można sprawdzić wyniki dziecka.

Twoje dziecko określa wierzchołki, krawędzie i ściany boczne w przypadku graniastosłupów i ostrosłupów. W podstawie programowej pojawiają się w tym zakresie pojęcia: punkt, wierzchołek, krawędź i ściana boczna. Podstawa programowa nie podaje dla tego działu zakresu liczbowego, dlatego zadania dotyczą samych brył, a nie dużych liczb.

Typowy błąd: na rysunku liczy się tylko krawędzie widoczne z przodu, a brakuje krawędzi zasłoniętych z tyłu. W ostrosłupach często przeocza się, że szczyt to tylko jeden wierzchołek, a krawędzie podstawy liczą się dodatkowo do krawędzi bocznych.

W tej klasie karty pracy drukują następujące typy zadań:

• Na rysunku: policzyć wierzchołki, krawędzie lub ściany przedstawionej bryły.
• Wybrać lub określić liczbę: przy graniastosłupie i ostrosłupie podać odpowiednią liczbę wierzchołków, krawędzi lub ścian.
• Podstawa na podstawie liczby krawędzi: na podstawie liczby krawędzi ustalić, jaka podstawa należy do graniastosłupa lub ostrosłupa.

Dziecko układa kwoty pieniędzy z monet i banknotów i wykonuje na nich obliczenia. Plan nauczania opisuje w tym zakresie kilka zakresów liczbowych: układanie, dodawanie i odejmowanie kwot do 20 franków, układanie pełnych kwot franków do 100 franków z monet i banknotów oraz tworzenie i obliczanie kwot z frankami i rappenami, na przykład 25 Fr. 60 Rp. + 14 Fr. 30 Rp. Te informacje dotyczą całego etapu. Jakie liczby konkretnie pojawiają się w 5. klasie, pokazują przykładowe zadania z tego obszaru.

Typowy błąd pojawia się przy działaniach z frankami i rappenami. Dziecko dodaje osobno części franków i części rappenów i zapomina, że 100 rappenów to jeden frank. Przy 60 Rp. + 50 Rp. wynik to więc 1 Fr. 10 Rp., a nie 1 Fr. 100 Rp. Podobnie jest z resztą: kto najpierw nie ustali, jaka kwota została dana i jaka cena została zapłacona, łatwo liczy w złym kierunku. Zadanie „Reszta: znajdź błąd” ćwiczy właśnie te miejsca.

Typowe zadania z zakresu pieniędzy to:

• Pieniądze na obrazku: ile to jest? Dziecko liczy razem przedstawione na obrazku monety i banknoty.
• Monety: jakimi monetami zapłacić? Dziecko szuka odpowiednich monet i banknotów na daną kwotę.
• Zakupy: ile kosztuje kilka sztuk? Dziecko oblicza cenę kilku takich samych przedmiotów.
• Zakupy: czy pieniędzy wystarczy? oraz Pieniądze: ile jeszcze brakuje do zakupu porównują pieniądze i cenę.
• Zakupy i reszta oraz Reszta: wybierz właściwą kwotę ćwiczą wyliczanie reszty.

Dziecko rozwiązuje krótką historyjkę matematyczną z dodawaniem lub odejmowaniem. Rozpoznaje, co dzieje się w historyjce, wybiera odpowiednie działanie i interpretuje wynik ponownie w kontekście sytuacji, na przykład „18 dzieci” zamiast tylko „18”. Punkty programu nauczania podają jako przykład liczby do 20, na przykład 12 + 8 na placu zabaw. Ta informacja o zakresie liczbowym dotyczy całego etapu, a nie szczególnie klasy 5. Szablony zadań dla tej klasy nie określają zakresu liczbowego.

Typowe jest to, że dziecko wybiera działanie na podstawie pojedynczych słów kluczowych, zamiast zrozumieć historyjkę, lub że oblicza wszystkie liczby w tekście. Program nauczania wyraźnie wymaga zatem, aby dziecko odróżniało informacje istotne od nieistotnych. W zdaniu „Książka ma 5 cm grubości, 75 stron i jest za darmo” decydujące jest tylko pytanie o cenę. Przy pytaniu „Ile było na początku?” wiele dzieci błędnie liczy odejmowaniem, mimo że szukana jest liczba początkowa, a więc trzeba dodawać.

Przykładowe zadanie na ten temat wygląda na przykład tak:

• Proste zadanie tekstowe: ile zostanie
• Zadanie z kontekstem: ile było na początku
• Wybór działania: odejmowanie (zabrano) lub dodawanie (razem)
• Zadanie tekstowe z liczbą zbędną: ile zostanie
• Zadanie z kontekstem: Wybierz właściwy wynik

Mnożenie w historyjkach matematycznych również jest wymienione w programie nauczania, ale w szablonach zadań dla tego tematu nie jest przewidziane jako osobna forma.

Figury płaskie to płaskie kształty, takie jak koło, trójkąt, prostokąt i kwadrat. Dziecko uczy się nazywać te figury i odróżniać je od siebie. Punkty programowe nie podają żadnego zakresu liczbowego i opisują umiejętności rozwijane przez kilka lat szkolnych. To, co konkretnie ćwiczy się w tej klasie, pokazują szablony zadań. Punkty obejmują także odrysowywanie i rysowanie tych figur; tutaj jednak przede wszystkim chodzi o rozpoznawanie.

Typowe jest to, że dziecko nie rozpoznaje figury w nietypowym położeniu: obrócony trójkąt lub prostokąt wygląda wtedy jak inny kształt. Trudne są także figury nakładające się. Gdy dwa trójkąty leżą jeden na drugim, często liczony jest tylko ten dobrze widoczny, a ukryty zostaje pominięty. Ponadto nazwy figur bywają mylone lub wyprowadzane z pamięci, a nie z kształtu.

W zadaniach wygląda to tak:

• Jak nazywa się narysowana figura? Dziecko określa nazwę przedstawionej figury.
• Jak nazywa się ta obrócona figura? Figura jest obrócona i mimo to musi zostać rozpoznana.
• Figury na obrazku: ile trójkątów? Dziecko liczy trójkąty na obrazku z nakładającymi się figurami.
• Figury płaskie: prawda czy fałsz Dziecko sprawdza, czy wypowiedzi o figurach są prawdziwe, czy fałszywe.
• Jak nazywa się ta figura? Wybierz Dziecko wybiera pasującą nazwę spośród kilku możliwości.
• Figury płaskie: poprawianie nazwy figury Dziecko znajduje błędne nazwy i je poprawia.

Lehrplan 21 wymaga dla tego tematu, aby uczniowie potrafili czytać i zapisywać liczby naturalne do 100 oraz do 1'000. W 5. klasie zadania koncentrują się przede wszystkim na zamianie między nazwą liczby słownie a zapisem cyfrowym, na przykład przy trzystach pięciu i 305.

Typowy błąd dotyczy zera w środku liczby. Kto słyszy „trzysta pięć”, często zapisuje 35, ponieważ w słowie nie występuje zero i miejsce dziesiątek pozostaje puste. Czasem też kolejność cyfr się myli, gdy zapisuje się nazwy liczb po kolei, nie zwracając uwagi na setki, dziesiątki i jedności.

Karty pracy w tej klasie zawierają na ten temat zadania, takie jak:

• Zapisz liczbę cyframi.
• Przeczytaj liczbę słownie.
• Zero w środku: popraw zapis liczby.
• Nazwy liczb: popraw błędy, wybierz zapis cyframi lub zdecyduj, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Plan nauczania Lehrplan 21 wymaga, aby długości, masy, objętości i pojemności były szacowane i porównywane z odpowiednimi wielkościami porównawczymi. Obejmuje także zamianę na sąsiednie jednostki, na przykład 2'000 g = 2 kg. Te cele obowiązują w całym cyklu, a nie tylko w 5. klasie. W tej klasie karty pracy pokazują przede wszystkim, jak w życiu codziennym liczyć z pieniędzmi: liczby zaokrągla się do najbliższej dziesiątki, dzięki czemu szybko otrzymuje się przybliżoną sumę lub różnicę.

Typowy błąd: dzieci zaokrąglają tylko jedną liczbę albo wszystkie liczby w tym samym kierunku, na przykład zawsze w dół. Wtedy szacunek wypada wyraźnie za nisko. Często nie jest też jasne, czy 45 zaokrągla się do 40, czy do 50. Pomocne jest pytanie, czy szacunek jest bliski dokładnego wyniku, a nie czy jest dokładnie poprawny.

Przykładowe zadanie brzmi na przykład tak: Rower kosztuje 48 fr., kask 23 fr. Ile zapłacimy razem w przybliżeniu? Dziecko zaokrągla 48 do 50, a 23 do 20 i otrzymuje około 70 fr. Karty pracy zawierają do tego odpowiednie zadania:

• Szacowanie kosztów przez zaokrąglanie w górę
• Szacowanie sumy: zaokrąglenie do najbliższej dziesiątki
• Szacowanie różnicy: zaokrąglenie do najbliższej dziesiątki
• Ile zapłacimy razem w przybliżeniu
• Szacowanie: czy wynik się mieści
• Znajdowanie cen pasujących do szacunku

Dzieci uczą się określać godzinę na tarczy zegara i na wyświetlaczu cyfrowym. Program nauczania jako cel podaje określanie godziny co pół godziny. Te punkty programu opisują etap, który rozciąga się na kilka lat szkolnych. To, co konkretnie ćwiczy się w klasie 5, pokazują typy zadań na tej stronie.

Często popełniane są dwa błędy. Po pierwsze, dzieci liczą cyfry na tarczy zamiast minut: jeśli wskazówka minutowa stoi na 3, to jest 15 minut, a nie 3. Po drugie, słowo «halb» (pół) bywa podstępne. «Halb sechs» oznacza 5.30, a nie 6.30. Kto weźmie to powiedzenie dosłownie, odczyta źle godzinę.

Na kartach pracy na tej stronie pojawiają się m.in. następujące typy zadań:

• Odczytywanie godziny: prawda czy fałsz
• Zegar: poprawianie błędów w odczycie
• Odczytaj zegar
• Zegar: ile minut do pełnej godziny?
• Zegar: który pokazuje wcześniejszą godzinę?
• Odczytywanie godziny: jaka godzina jest na tarczy zegara

Twoje dziecko potrafi zmierzyć i porównać zawartość naczyń za pomocą kubka. Przy tym używa miar pojemności litr (l) i decylitr (dl) oraz odnosi się do wielkości odniesienia 1 l. Program nauczania nie podaje dla miar pojemności osobnego zakresu liczbowego. Zadania w tej klasie operują litrami i butelkami półlitrowymi.

Typowym błędem jest ocenianie naczyń według wysokości lub kształtu. Wysoka, wąska szklanka wydaje się większa niż niska, szeroka, nawet jeśli mieści mniej. Drugi błąd dotyczy liczenia: kto liczy cztery butelki półlitrowe jako cztery litry, nie zauważa, że dwa półlitry razem dają jeden litr. Podobnie można pomylić zależność między decylitrem a litrem, ponieważ 10 dl to 1 l.

Zadanie na ten temat może wyglądać na przykład tak:

• Dzbanek z miarką: Ile wody jest w dzbanku? Zadanie pyta o mililitry, mimo że w fragmencie programu nauczania podano litry i decylitry.
• Pojemność, ile brakuje do napełnienia? Naczynie jest częściowo napełnione, a dziecko oblicza, ile jeszcze brakuje.
• Pojemność, ile litrów z butelek półlitrowych? Dziecko liczy, używając butelek tej samej wielkości.
• Pojemność, prawda czy fałsz? Dziecko sprawdza stwierdzenia dotyczące zawartości.
• Pojemność, ile butelek napełni sok? Dziecko ustala, ile razy można napełnić butelkę.
• Pojemność, wybór właściwej liczby butelek: Dziecko decyduje, jaka liczba butelek jest odpowiednia.
• Pojemność, o ile więcej mieści naczynie? Dziecko porównuje dwa naczynia.

Podstawy programowe wymagają liczenia w równych krokach w przód i w tył. Opisują to na kilku etapach: w krokach po 2 do 20, w krokach po 1, 2, 5 i 10 do 100 oraz w krokach po 1, 2, 10 i 100 do 1000. Zadania z szablonów tej klasy pokazują pracę z równymi krokami, bez określania konkretnego zakresu liczbowego.

Typowy błąd pojawia się przy liczeniu kroków. Gdy dziecko liczy od 4 w krokach po 2 do 16, często liczy 4 jako pierwszy krok. Wtedy wychodzi mu 7 kroków zamiast 6. Drugi częsty błąd pojawia się przy przejściu przez dziesiątkę: przy krokach po 5, zaczynając od 47, często po 47 następuje 52, a następnie 62 zamiast 57.

W zadaniach tej klasy występują następujące formy:

• Licz dalej w tym samym kroku: Ciąg jest kontynuowany o ten sam krok.
• Licz w równych krokach wstecz: Ciąg jest kontynuowany malejąco.
• Liczenie dalej: ile razy trzeba policzyć?: Dziecko określa, ile kroków prowadzi od jednej liczby do drugiej.
• Liczenie w krokach: wybierz następną liczbę: Spośród kilku możliwości wybiera się właściwą następną liczbę.
• Ile razy dodano: wybierz liczbę: Kroki traktuje się jako wielokrotne dodawanie.
• Liczenie w krokach: popraw błędną liczbę: Ciąg zawierający błąd zostaje rozpoznany i poprawiony.

W 5. klasie dziecko mnoży liczby dwucyfrowe przez 2, na przykład 37 · 2 lub 58 · 2. Może przy tym zapisywać własne sposoby rachunku albo liczyć w pamięci. Podstawa programowa opisuje umiejętność mnożenia liczb dla całego etapu, z większymi liczbami. Ta strona opisuje tylko tę część, którą obejmują zadania tej klasy.

Typowy błąd pojawia się wtedy, gdy przy podwajaniu cyfr jedności powstaje dziesiątka. Przy 37 · 2 wynik 7 · 2 = 14. Zapisuje się 4, ale dziesiątka zostaje zapomniana i nie zostaje dodana do dziesiątek. W ten sposób powstaje 64 zamiast 74. Pomocne jest świadome dodawanie tej dziesiątki do cyfry dziesiątek.

Na karcie pracy do tego tematu występują m.in. takie typy zadań:

• Liczba dwucyfrowa razy 2: Dziecko samo wykonuje obliczenie.
• Mnożenie przez 2: prawda czy fałsz: Dziecko sprawdza, czy podany wynik jest poprawny.
• Mnożenie przez 2: wybierz właściwy wynik: Dziecko wybiera właściwe rozwiązanie spośród kilku.
• Podwajanie: jaka liczba po podwojeniu daje tę wartość?: Dziecko liczy wstecz i szuka liczby, której podwojenie daje podany wynik.
• Podwajanie: o ile więcej po podwojeniu obu liczb?: Dziecko podwaja dwie liczby i porównuje, o ile więcej wynosi wynik.

Dziecko potrafi porównywać przedmioty według wielkości, przede wszystkim według długości i ciężaru, oraz opisywać różnicę słowami: „B jest dłuższe niż A”, „C jest najdłuższe”. Do tego używa się stopniowania: dłuższy, najdłuższy, większy, największy. Jaki zakres liczbowy obowiązuje w tym przypadku, nie zostało określone w informacjach o tym obszarze.

Typowym błędem jest szacowanie zamiast porównywania. Zgięty lub zwinięty w kłębek sznurek często wydaje się krótszy niż prosty, mimo że ma tę samą długość. Dziecko ocenia wtedy według wyglądu, a nie według porównania. Często też przy pytaniu „O ile dłuższe?” podaje się długość jednego z przedmiotów zamiast różnicy między nimi.

Zadania w tym obszarze mają następującą formę:

• Porównywanie długości: które jest najdłuższe?
• Porównywanie długości: o ile dłuższa jest wstążka?
• O ile dłuższe: prawda czy fałsz
• O ile dłuższe: wybierz poprawną odpowiedź
• Masa: uporządkuj od najlżejszego

Porównania powierzchni i objętości występują w programie nauczania, ale w drukowanych zadaniach tego obszaru się nie pojawiają. Jako inspirację do pracy w domu można układać przedmioty obok siebie i razem pytać, który jest najdłuższy i o ile jest dłuższy od następnego.

Dziecko uczy się łączyć podstawowe działania i równania z symbolem zastępczym z historyjką, obrazkiem lub sytuacją. Program nauczania podaje jako przykład 5 · 8, które można przedstawić jako pięć domów, w każdym po osiem klocków, oraz 28 + _ = 50, które można zrozumieć jako autobus z 50 miejscami, z których 28 jest zajętych. Program nauczania nie podaje w tym miejscu osobnego zakresu liczbowego dla klasy 5; przykłady pokazują jedynie rodzaj zadań.

Typowym błędem jest brak zgodności między historyjką a rachunkiem. Dziecko na przykład do „pięciu domów, w każdym po osiem klocków” zapisuje rachunek 5 + 8, ponieważ dodaje liczby, zamiast zastanowić się, co dzieje się w historyjce. W równaniach z symbolem zastępczym często brakuje wyjaśnienia, co znak _ oznacza w historyjce. Błąd polega zwykle na tym, że działanie wybiera się według liczb, a nie według tego, co się dzieje.

Na lekcjach ta umiejętność pojawia się w zadaniach takich jak:

• Wymyśl zadanie o podanym wyniku
• Wymyśl zadanie do tych liczb
• Która odpowiedź pasuje do wymyślonego zadania?
• Czy ta odpowiedź pasuje do zadania? oraz Popraw odpowiedź pod zadaniem

Materiały do druku na ten temat zawierają takie zadania z rozwiązaniami, dzięki czemu jako rodzice mogą Państwo porównać historyjkę dziecka z rachunkiem.

Twoje dziecko uczy się klasyfikować stwierdzenia dotyczące przypadku. Zdarzenie jest pewne, jeśli zawsze zachodzi, niemożliwe, jeśli nigdy nie może zajść, oraz możliwe, jeśli może zajść, ale nie musi. Plan nauczania Lehrplan 21 wymienia w tym zakresie pojęcia (mało) prawdopodobne, (nie)możliwe i pewne. Nie podaje przy tym żadnego zakresu liczbowego; chodzi o zrozumienie i poprawne używanie tych słów.

Typowym błędem jest ocenianie na podstawie odczucia zamiast na podstawie sytuacji. Jeśli coś zdarza się często, dzieci szybko uznają to za pewne. Albo uznają rzadką możliwość za niemożliwą. Przykład: w worku zawierającym wyłącznie czerwone kulki wylosowanie niebieskiej kulki jest niemożliwe. Natomiast w worku z wieloma kulkami w różnych kolorach rzadki kolor jest tylko możliwy, a nie niemożliwy.

Zadania w tym dziale opierają się na następujących szablonach:

• Napełnij worek: pewne, możliwe lub niemożliwe – włóż kulki do worka tak, aby określone losowanie było pewne, możliwe lub niemożliwe.
• Pewne, możliwe czy niemożliwe – przyporządkuj zdarzenia do odpowiednich pojęć.
• Popraw: pewne, możliwe lub niemożliwe – znajdź błędną klasyfikację i ją popraw.
• Pewne, możliwe czy niemożliwe? Prawda czy fałsz – sprawdź stwierdzenia dotyczące zdarzeń.
• Pewne, możliwe czy niemożliwe? Wybierz – wybierz odpowiednią klasyfikację spośród podanych możliwości.

Szablony wykorzystują pojęcia pewne, możliwe i niemożliwe. Pojęcia wymienione również w planie nauczania, czyli prawdopodobne i mało prawdopodobne, nie występują w tych szablonach.

Dziecko uczy się rozumieć długości podane w dwóch jednostkach, na przykład 2 m 40 cm lub 3 cm 5 mm. Program nauczania opisuje dla całego etapu, że długości do 1 m są szacowane, mierzone i dodawane (np. 15 cm + 35 cm). W tej klasie karty pracy przede wszystkim pokazują, że długości zapisane w różnych formach są rozpoznawane, porównywane oraz dodawane lub odejmowane.

Typowe jest pomylenie z liczbami dziesiętnymi: 1 m 5 cm bywa odczytywane jako 1,5 m, chociaż to 1,05 m. Przy dodawaniu często pojawia się błąd przy przeniesieniu. Przy 1 m 60 cm + 1 m 50 cm wynik to 110 cm, czyli 1 m 10 cm więcej, razem 3 m 10 cm. Wiele dzieci zapisuje zamiast tego 2 m 110 cm.

Typowe zadania na kartach pracy to:

• Dodawanie długości zapisanych w różnych formach
• Długości w dwóch zapisach: wybór wyniku
• Dwie podane długości razem: prawda czy fałsz
• Długości w dwóch zapisach: o ile dłuższe?
• Metry: ile pełnych metrów?

Dziecko potrafi podać liczby sąsiednie danej liczby oraz liczyć w przód i w tył od dowolnej liczby. Punkty programu nauczania, na których opiera się ten temat, wskazują zakres liczbowy do 20 i do 100. Opisują zatem ścieżkę nauki obejmującą kilka lat szkolnych. W przypadku 5. klasy szablony zadań pokazują, co konkretnie się ćwiczy.

Typowy błąd: dziecko przy „o 1 mniej” podaje liczbę, która jest o 1 większa, bo podczas liczenia zamienia kierunek. Często pomaga oś liczbowa: poprzednik leży na lewo od liczby, następnik na prawo.

Typowe zadania to „Jaka liczba jest o 1 mniejsza?” i „Jaka liczba jest o 1 większa?”. Do tego dochodzą zadania, w których dodaje się następnik i poprzednik, na przykład przy liczbie 7: 6 + 8 = 14. Inne zadania wymagają wybrania prawidłowej odpowiedzi lub rozstrzygnięcia, czy stwierdzenie jest „prawdziwe czy fałszywe”. Szablony nie podają zakresu liczbowego. Jakie liczby się pojawiają, pokazuje odpowiedni arkusz roboczy.

W Lehrplan 21 jako wielkość odniesienia podano kilometr: dziecko ma umieć wyobrazić sobie 1 km i nazywać oraz stosować jednostki długości km, dm i mm. Punkt programu nie określa zakresu liczbowego dla kilometra. W 5. klasie szablony zadań pokazują, co konkretnie się ćwiczy: zamianę kilometrów i metrów na metry, na przykład zapis 2 km 300 m jako 2300 m.

Często pojawia się przy tym typowy błąd: dziecko zapisuje 2 km jako 200 m. Wtedy liczy z liczbą 100, którą zna z centymetrów i decymetrów, zamiast z liczbą 1000. Nawet gdy przy zamianie występuje liczba z przecinkiem lub zerami, cyfry łatwo przesunąć. Pomaga uświadomienie sobie, że 1 km to 1000 m.

Zadanie na ten temat może wyglądać na przykład tak:

• Zamiana kilometrów i metrów na metry: Zapisz długość wyłącznie w metrach.
• Kilometry na metry, wybierz poprawną odpowiedź: Spośród kilku podanych wartości trzeba wybrać właściwą.
• Kilometry na metry, prawda czy fałsz: Podana jest zamiana, którą trzeba ocenić.
• Kilometry: ile pełnych kilometrów? Określ, ile pełnych kilometrów mieści się w danej długości.
• Kilometry: ile brakuje do pełnego kilometra? Określ, ile metrów brakuje jeszcze do następnego pełnego kilometra.

Jako własna propozycja, nie jest to część wymagań: znana droga do szkoły o długości około jednego kilometra może pomóc wyobrazić sobie wielkość 1 km.

Dziecko nazywa bryły: sześcian, prostopadłościan, kula, walec i ostrosłup oraz rozpoznaje je w otoczeniu i na obrazkach. Rozumie i używa pojęć punkt, wierzchołek, krawędź i ściana boczna oraz potrafi formułować zależności, na przykład że ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami. Ponieważ chodzi tu o kształty, a nie o liczby, nie ma zakresu liczbowego, który trzeba by podać.

Często myli się kulę z kołem: kula na obrazku wygląda jak koło, ale koło jest figurą płaską, a kula jest bryłą. Prostopadłościan często nazywa się także sześcianem, choć nie wszystkie krawędzie są równej długości. Powodem jest zwykle to, że bierze się pod uwagę tylko kształt zarysu, a nie cechy takie jak wierzchołki, krawędzie i ściany.

Typowe zadania to:

• Jak nazywa się ta bryła? Dziecko nazywa pokazaną bryłę.
• Jaka to bryła? Prawda czy fałsz Dziecko sprawdza, czy nazwa pasuje do bryły.
• Jaka to bryła? Wybierz Dziecko wybiera pasującą nazwę spośród kilku możliwości.
• Popraw nazwę bryły Dziecko poprawia błędną nazwę.
• Znajdź przedmiot o kształcie bryły Dziecko szuka przedmiotu, który ma kształt danej bryły.

Dziecko uczy się przejrzyście zapisywać i analizować liczby z przeliczeń i ankiet: notuje liczebności w kreskowych zestawieniach lub tabelach i potrafi przedstawić je graficznie. Podstawy programowe opisują to na przestrzeni kilku lat szkolnych i nie podają dla tego stałego zakresu liczbowego. W klasie 5 w kartach pracy dominują przede wszystkim zadania, w których z tabel i diagramów obrazkowych wyznacza się łączną liczbę.

Typowy błąd pojawia się przy diagramach obrazkowych: jeden obrazek oznacza tam kilka jednostek, na przykład pięcioro dzieci. Kto po prostu policzy obrazki, otrzymuje błędną sumę, ponieważ traktuje każdy obrazek jak pojedynczą jednostkę. W tabelach często pomija się jeden wiersz, a gdy brakuje wiersza, po prostu dodaje się wszystkie wartości zamiast odjąć pozostałe wiersze od znanej sumy.

Karty pracy do tego tematu zawierają m.in. następujące rodzaje zadań:

• Tabela: ile razem? Dziecko dodaje wartości z tabeli.
• Diagram obrazkowy: jeden obrazek oznacza kilka Dziecko przelicza obrazki na liczby.
• Brakujący wiersz przy znanej sumie Dziecko uzupełnia wiersz, którego wartość wynika z łącznej liczby.
• Łączna liczba z tabeli: wybierz poprawną odpowiedź Z kilku podanych wartości wybiera się pasującą łączną liczbę.
• Łączna liczba z tabeli: prawda czy fałsz Dziecko sprawdza, czy podana łączna liczba jest poprawna.

Wszystkie karty pracy można wydrukować, a do każdej dołączono rozwiązania, dzięki czemu rodzice mogą samodzielnie sprawdzić odpowiedzi.

W 5. klasie dzieci przeliczają jednostki pola między sąsiednimi jednostkami, na przykład hektary na ary, ary na metry kwadratowe albo metry kwadratowe na decymetry kwadratowe. W przypadku objętości w tej klasie chodzi przede wszystkim o przeliczanie na mniejszą jednostkę, na przykład z decymetrów sześciennych na centymetry sześcienne. Obejmuje to także porównywanie wielkości, na przykład które z dwóch podanych wartości jest większa, oraz szacowanie przy użyciu znanych wielkości odniesienia, takich jak 1 dm² lub 1 cm³.

Typowy błąd pojawia się, gdy dzieci przenoszą współczynnik przeliczeniowy z długości. Ponieważ 1 dm = 10 cm, liczą także, że 1 dm² = 10 cm², chociaż jest to 100 cm². W przypadku objętości dzieje się to samo: zamiast 1 dm³ = 1000 cm³ często liczy się, że to 100. Powód jest taki, że przy polach i objętościach długości zmieniają się w dwóch, odpowiednio we wszystkich trzech kierunkach. Pomocne jest wyobrażenie sobie jednostki jako kwadratu lub sześcianu.

Na kartach pracy widać to w zadaniach takich jak »Przeliczanie na większą jednostkę pola«, »Przeliczanie na mniejszą jednostkę pola«, »Przeliczanie hektarów na ary«, »Przeliczanie arów na metry kwadratowe« oraz »Przeliczanie na mniejszą jednostkę objętości«. Uzupełniająco są »Jednostki pola: porównywanie wielkości«, »Jednostki pola: wybierz przeliczenie« i »Jednostki pola: prawda czy fałsz«. Rozwiązania są dołączone. Jako pomoc w domu można zapytać dziecko, dlaczego przeliczenie daje 100, a nie 10.

W klasie 5 dzieci wykonują działania na ułamkach o różnych mianownikach, na przykład ½ + ¼. Najpierw sprowadza się ułamki do wspólnego mianownika, czyli rozszerza się je, a potem dodaje lub odejmuje liczniki. Program nauczania opisuje ten zakres w ciągu kilku lat szkolnych i wymienia mianowniki 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 i 100. Wymaga też, aby sumy i różnice przedstawiać za pomocą odpowiednich modeli, na przykład modelu koła lub prostokąta.

Typowym błędem jest dodawanie liczników i mianowników osobno: wtedy ½ + ¼ fałszywie zapisuje się jako 2/6. Drugim częstym błędem jest to, że dziecko sprowadza mianowniki do wspólnego, ale zapomina rozszerzyć licznik tą samą liczbą. Dlatego warto podczas sprawdzania obliczeń świadomie kontrolować obie części rozszerzenia.

Odpowiednie zadania znajdą Państwo na kartach pracy, na przykład pod hasłami:

• Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
• Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
• Dodawanie ułamków o różnych mianownikach: zadanie tekstowe
• Ułamki o różnych mianownikach: licznik po sprowadzeniu do wspólnego mianownika
• Ułamki o różnych mianownikach: prawda czy fałsz

Dziecko potrafi dodawać i odejmować liczby dziesiętne, na przykład 30.8 + 5.6. Plan nauczania Lehrplan 21 podaje dla tego celu liczby o łącznie do pięciu cyfrach (30.8 ma ich trzy). Ta informacja dotyczy całego etapu, a nie tylko klasy 5. Dziecko może liczyć w pamięci lub zapisywać własne sposoby rachowania, na przykład rozkładając liczbę na kilka składników albo pokazując tok obliczeń na osi liczbowej. Plan nauczania wymaga także, aby takie sposoby przedstawiać, porównywać z innymi i rozumieć.

Częsty błąd dotyczy ustawienia cyfr: zapisuje się je od prawej strony jedna pod drugą, zamiast ustawiać cyfry według przecinka. Przy 4.5 + 0.38 wtedy 5 (dziesiąte) znajduje się nad 8 (setne), zamiast nad 3 (również dziesiąte). Przy odejmowaniu pomaga często uzupełnienie brakujących miejsc zerem, na przykład zapis 2.3 jako 2.30. To wskazówka do ćwiczeń, a nie wymóg planu nauczania.

W kartach pracy tego działu występują następujące typy zadań:

• Dodawanie liczb dziesiętnych i odejmowanie liczb dziesiętnych: działania do obliczenia
• Dodawanie wielkości z liczbami dziesiętnymi: sumowanie podanych długości lub mas
• brakujący składnik i brakujący odjemnik: znajdowanie brakującej liczby w równaniu
• prawda czy fałsz i wybierz wynik: sprawdzanie gotowych wyników lub wybór właściwego

Plan nauczania wspomina ponadto, że działania podstawowe można wykonywać za pomocą kalkulatora. Dla tego punktu w tym dziale nie ma osobnego szablonu zadania.

Dziecko potrafi obliczać objętość prostopadłościanów. Obejmuje to także budowanie prostopadłościanów z określonej liczby sześcianów oraz dzielenie prostopadłościanów na określoną liczbę mniejszych prostopadłościanów. Program nauczania nie podaje dla tego punktu konkretnego zakresu liczbowego.

Typowym błędem jest mnożenie tylko dwóch krawędzi albo dodawanie długości krawędzi. Wynika to z tego, że dzieci przyzwyczajone są do obliczeń pola i obwodu, gdzie operuje się dwiema wielkościami. Często błędna bywa także jednostka: zamiast cm³ dzieci piszą po prostu cm lub mylą objętość z polem powierzchni.

Karty pracy do tego tematu można wydrukować i mają rozwiązania. Typowe zadania to:

• Objętość z sześcianów jednostkowych: policzenie sześcianów przed zastosowaniem wzoru.
• Objętość sześcianu i objętość prostopadłościanu: bezpośrednie obliczenia przy danych krawędziach.
• Objętość prostopadłościanu: brakująca krawędź: wyznaczenie nieznanej krawędzi na podstawie objętości.
• Objętość: krawędzie k razy dłuższe: badanie, jak zmienia się objętość, gdy wszystkie krawędzie np. zostaną podwojone.
• Objętość prostopadłościanu: porównanie dwóch pudełek oraz Zadanie z kontekstem (pudełko): zastosowanie objętości w sytuacjach z życia codziennego.
• Objętość prostopadłościanu: prawda czy fałsz oraz wybierz wynik: sprawdzanie stwierdzeń lub wybór właściwego rozwiązania.
• Objętość bryły złożonej z dwóch prostopadłościanów: złożona bryła zostaje podzielona na prostopadłościany składowe.

W klasie 5 dzieci przeliczają długości między sąsiednimi jednostkami miary: metrami, centymetrami i milimetrami. Zapisują długość w innej jednostce, na przykład 1 m = 100 cm, i dodają długości podane w dwóch jednostkach, na przykład 3 cm 5 mm + 2 cm 7 mm. Punkty programu nauczania nie podają stałej granicy liczbowej, lecz przykłady takie jak te.

Często brakuje zależności dziesiątkowej między jednostkami: 1 cm ma 10 mm, 1 m ma 100 cm. Typowe jest liczenie z niewłaściwą liczbą, na przykład 4 m = 40 cm. Przy dodawaniu 3 cm 5 mm + 2 cm 7 mm jednostki często dodaje się osobno, więc powstaje 5 cm 12 mm, zamiast zamienić 10 mm na 1 cm. Za tym często stoi to, że jednostki miary czyta się jak osobne liczby, nie widząc ich wzajemnego związku.

Karty pracy do tego zakresu zawierają następujące typy zadań:

• Przeliczanie na większą lub mniejszą jednostkę długości
• Dodawanie długości podanych w dwóch jednostkach
• Wybieranie przeliczonej wartości
• Porównywanie jednostek długości
• Podawanie długości w jednej jednostce
• Długość w jednej jednostce: prawda czy fałsz

Punkty programu nauczania wymieniają dodatkowo szacowanie długości oraz związek przedrostków kilo, deci, centi i mili z potęgami dziesięciu. Te treści należą do celu nauczania, ale nie są osobno ćwiczone w typach zadań tego zakresu.

W klasie 5 dziecko uczy się wyznaczać średnią arytmetyczną (wartość średnią) zbioru danych: wszystkie wartości są sumowane, a suma dzielona przez liczbę wartości. W tych samych zbiorach danych wyznacza się także maksimum i minimum. Program nauczania nie określa dla średniej konkretnego zakresu liczb. Jakie liczby występują w praktyce, pokazują przykładowe zadania w tym temacie.

Typowym błędem jest dzielenie sumy przez niewłaściwą liczbę, na przykład przez liczbę różnych wartości zamiast przez liczbę wszystkich danych, gdy wartości się powtarzają. Zdarza się też, że przy dodawaniu pominięta zostaje jedna wartość. Często średnią myli się z maksimum, minimum lub wartością środkową uporządkowanego ciągu. Podczas pracy z wykresem słupkowym już błędny odczyt wysokości słupka może prowadzić do złego wyniku.

Na lekcjach dziecko spotyka się z następującymi typami zadań, do których dostępne są wydrukowane karty pracy z rozwiązaniami:

• Obliczanie średniej: Z ciągu liczb wyznaczana jest średnia arytmetyczna.
• Średnia w codziennym życiu: Średnia obliczana jest na podstawie sytuacji z życia codziennego i interpretowana w jej kontekście.
• Średnia z wykresu słupkowego: Wartości odczytywane są z słupków, a następnie wyznaczana jest z nich średnia.
• Średnia: wybór wyniku: Spośród podanych odpowiedzi wybierany jest pasujący wynik.
• Średnia z wykresu: wybierz wartość: Na wykresie wybierana jest wartość odpowiadająca średniej.

Lehrplanpunkte beschreiben eine Stufe, die mehrere Schuljahre umfasst. Für die 5. Klasse lässt sich deshalb vor allem aus den Aufgabenvorlagen ablesen, was gefordert ist. Die Kinder berechnen den Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken. Die Lehrplanpunkte nennen keinen bestimmten Zahlenraum, daher beschreiben wir hier nur die Tätigkeit: Seitenlängen multiplizieren und den Flächeninhalt in Quadrateinheiten angeben.

Ein häufiger Fehler ist, Umfang und Flächeninhalt zu verwechseln. Wer alle Seiten addiert, misst den Rand und nicht die Fläche. Bei der fehlenden Seite passiert oft Ähnliches: Die bekannte Seite wird zur Fläche addiert oder mit ihr multipliziert, statt zu überlegen, mit welcher Zahl die bekannte Seite multipliziert die gegebene Fläche ergibt. Hilfreich ist, die Fläche in einem Raster abzuzählen und so zu sehen, warum die Multiplikation passt.

Typische Aufgaben in diesem Bereich sind:

• Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen
• Zwei Flächen vergleichen
• Flächeninhalt eines Rechtecks im Alltag, zum Beispiel bei einem Tisch oder einem Blatt Papier
• Aussagen zum Flächeninhalt als richtig oder falsch beurteilen
• Figuren mit einer ausgeschnittenen Ecke berechnen
• Fehlende Rechteckseite: zuerst wählen, welche Seite gesucht ist, dann berechnen
• Fehlende Rechteckseite aus dem Flächeninhalt bestimmen
• Untersuchen, wie sich der Flächeninhalt ändert, wenn eine Seite k-mal so lang wird
• Die Seite eines Quadrats aus seiner Fläche bestimmen

W klasie 5 dziecko pracuje z odcinkami czasu w godzinach, minutach i sekundach oraz wykonuje obliczenia z tymi wielkościami. Obejmuje to zamianę czasu na sąsiednią jednostkę, na przykład 2 min 30 s na sekundy. Plan nauczania nie podaje dla tego etapu konkretnego zakresu liczb, dlatego liczby zależą od kart pracy.

Typowy błąd wynika z systemu dziesiętnego, który dziecko zna już z działań na złotych i metrach. Dlatego 2 min 30 s bywa zapisywane jako 2,30 min albo liczone tak, jakby minuta miała 100 sekund. Przy godzinach często pomija się, że godzina ma 60 minut: kto od 10:50 do 11:10 odejmuje osobno godziny i osobno minuty, otrzymuje błędny wynik.

Typowe zadania w tym obszarze to:

• Zadanie tekstowe o czasie trwania: Jak długo to trwało?
• Minuty i sekundy na sekundy: Zamiana, na przykład 3 min 15 s na sekundy.
• Godzina: Ile minut minęło między dwiema godzinami?
• Porównywanie czasów trwania: Który przedział czasu jest dłuższy?
• Wybór przedziału czasu: Ile minut minęło? Wybierana jest pasująca odpowiedź.
• Minuty i sekundy prawda czy fałsz: Czy podana informacja jest poprawna?

Twoje dziecko uczy się rozpoznawać regułę w ciągu liczbowym i wyznaczać kolejne wyrazy. Najważniejsze są ciągi, w których zawsze dodaje się tę samą liczbę lub mnoży przez tę samą liczbę, a także ciągi o stałym kroku, w których pyta się o pierwszy wyraz, określony wyraz lub wybrany wyraz. Należą do nich także wzory figur: opisuje się, ile kwadratów ma figura n. Program nauczania wymienia ponadto ciągi nieliniowe, takie jak 1, 4, 9, 16 albo 1, 3, 6, 10, 15. Nie występują one w szablonach zadań tej klasy.

Typowe jest to, że dzieci w ciągach z mnożeniem dodają zamiast mnożyć. Przy ciągu 3, 6, 12, 24 piszą wtedy na przykład 3, 6, 9, 12 i nie zauważają, że liczba się podwaja. Drugi częsty błąd pojawia się przy pytaniu o numer wyrazu: jeśli pierwszy wyraz liczy się jako 0 albo jako 1, odpowiedź jest przesunięta o jeden. Przy wzorach figur często bierze się pod uwagę tylko nowo dochodzącą liczbę albo tylko ostatnią figurę, zamiast wyznaczyć łączną liczbę kwadratów w figurze n.

Typowe zadania to:

• Rozpoznać regułę i kontynuować ciąg: Regułę odkrywa się na podstawie pierwszych wyrazów i ciąg się przedłuża.
• Ciąg: zawsze dodawać tyle samo oraz Ciąg: zawsze mnożyć przez tę samą liczbę: Reguła jest podana lub trzeba ją znaleźć.
• Ciąg o stałym kroku: Pyta się wtedy o pierwszy wyraz, o numer wyrazu lub o wybrany wyraz.
• Ciąg o stałym kroku: prawda czy fałsz: Dziecko sprawdza, czy podany ciąg odpowiada regule.
• Wzory figur: ile kwadratów w figurze n: Dziecko opisuje liczbę kwadratów w figurze za pomocą liczb.

Dziecko potrafi przy zadaniu tekstowym rozpoznać, o które działanie podstawowe chodzi, i zapisać rachunek z symbolem zastępczym. Przykłady z planu nauczania operują kwotami pieniędzy, takimi jak 36 Fr., 23 Fr. i 125 Fr. Należy do tego również działanie odwrotne: jeśli z 36 Fr. zaoszczędzono 23 Fr., pytamy, ile jeszcze brakuje, i liczymy 36 Fr. minus 23 Fr.

Typowy błąd pojawia się wtedy, gdy dziecko wybiera z tekstu tylko liczby i dobiera działanie na wyczucie, np. dodaje 36 Fr. i 23 Fr., mimo że pytanie dotyczy brakującej kwoty. Drugi błąd: dziecko oblicza wyrażenie, ale nie potrafi powiedzieć, co oznacza ten wynik. Przy 125 Fr. + 4 Fr. + 4 Fr. + 4 Fr. − 34 Fr. wynik jest kwotą oszczędności i właśnie takie zinterpretowanie należy do zadania. Pomocne jest sprawdzenie wyniku na podstawie tekstu.

W karcie pracy ta umiejętność pojawia się w następujących typach zadań:

• Wieloetapowe zadanie tekstowe (łączenie): kilka kroków z historyjki zostaje połączonych w jedno wyrażenie.
• Zapas i porcje: ile co najwyżej porcji: dziecko ustala, ile pełnych porcji można otrzymać z zapasu.
• Zapas i porcje: wybierz liczbę: dziecko wybiera z podanych możliwości odpowiednią liczbę.
• Zadanie tekstowe, trzy dni: wybierz wynik: spośród kilku rozwiązań wybiera się właściwy wynik.
• Zadanie tekstowe, trzy dni: prawda czy fałsz: dziecko sprawdza stwierdzenia dotyczące historyjki i uzasadnia swoją decyzję rachunkiem.

Dziecko liczy na ułamkach o tym samym mianowniku, na przykład 2/5 + 1/5 = 3/5 lub 4/6 - 1/6 = 3/6. Mianownik pozostaje taki sam, ponieważ wszystkie części są jednakowej wielkości; dodaje się i odejmuje tylko liczniki. Program nauczania podaje dla tego obszaru model prostokąta oraz mianowniki takie jak 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 i 100. Ta informacja dotyczy jednak dłuższego etapu nauki, a nie tylko klasy 5. Zadania w tej klasie pokazują przede wszystkim dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku, także wtedy, gdy suma jest większa od 1.

Dzieci często dodatkowo dodają mianowniki, na przykład 1/4 + 1/4 = 2/8 zamiast 2/4. Wtedy traktują licznik i mianownik tak samo, mimo że mianownik mówi tylko, na ile jednakowych części podzielono całość. Trudno jest także wtedy, gdy trzeba odjąć ułamek od całości, na przykład 1 - 3/5: dziecko musi rozpoznać całość jako 5/5, aby móc dalej liczyć.

Na karcie pracy do tego tematu znajdują się między innymi następujące typy zadań:

• Dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku
• Ułamki o tym samym mianowniku: suma większa od 1
• Ułamki o tym samym mianowniku: brakujący licznik
• Ułamki: ile brakuje do całości?
• Odejmowanie ułamków: odejmowanie od całości
• Ułamki o tym samym mianowniku: porównywanie sum

Rozwiązania są podane przy każdym zadaniu, dzięki czemu można wspólnie z dzieckiem dobrze przejść przez zadania.

W klasie 5. dzieci zaokrąglają liczby dziesiętne do wskazanego miejsca, do dziesiątych i do setnych. Tak więc 1.745 zaokrąglone do dziesiątych to 1.7, ponieważ cyfra po miejscu dziesiątych to 4 i dlatego liczbę zaokrągla się w dół. Punkt programu nauczania dotyczy całego etapu i obejmuje także zaokrąglanie liczb całkowitych. W klasie 5. zadania w tym dziale pokazują zaokrąglanie liczb dziesiętnych do dziesiątych i setnych.

Typowe jest to, że dzieci po prostu odcinają miejsca zamiast zaokrąglać. Z 1.78 po zaokrągleniu do dziesiątych wychodzi wtedy 1.7 zamiast 1.8, chociaż o zaokrągleniu w górę decyduje 8 po miejscu dziesiątych. Trudne jest też przeniesienie: 1.96 zaokrąglone do dziesiątych daje 2.0. Wiele dzieci zapomina wtedy, że 9 podnosi dziesiątki i w ten sposób powstaje cyfra jedności.

Zadania na kartach pracy występują w czterech formach:

• Zaokrąglanie do dziesiątych: liczby dziesiętne zaokrągla się do jednego miejsca po przecinku.
• Zaokrąglanie do setnych: liczby dziesiętne zaokrągla się do dwóch miejsc po przecinku.
• Zaokrąglanie do dziesiątych: wybierz wynik: spośród kilku odpowiedzi wybiera się poprawną.
• Zaokrąglanie do dziesiątych: prawda czy fałsz: wskazane zaokrąglenie ocenia się jako poprawne lub błędne.

Punkt programu nauczania opisuje figury o zadanym obwodzie. Jako przykład podaje trójkąty ułożone z 5, 6 lub 7 zapałek. Zadania w tym temacie w klasie 5 koncentrują się na długościach boków: dziecko sprawdza, czy trzy długości tworzą trójkąt, i szuka możliwych długości brakującego boku.

Typowe jest, że dzieci uważają, iż każda kombinacja trzech długości daje trójkąt. Przy długościach takich jak 2 cm, 3 cm i 6 cm tak nie jest: dwa krótsze boki razem nie sięgają do najdłuższego boku, figura się nie zamyka. Przyczyna leży zwykle w tym, że w głowie jest tylko suma długości, a nie to, że dwa krótsze boki razem muszą być dłuższe niż najdłuższy bok.

Zadania na ten temat noszą następujące tytuły:

• Nierówność trójkąta: prawda czy fałsz – Rozstrzyga się, czy trzy podane długości tworzą trójkąt.
• Najdłuższy możliwy trzeci bok – Dla dwóch danych boków szuka się największej dopuszczalnej długości trzeciego boku.
• Nierówność trójkąta: ile długości dla trzeciego boku – Liczy się, ile możliwych długości może mieć trzeci bok.
• Trzeci bok trójkąta: wybierz liczbę – Zadanie wymaga określenia odpowiedniej liczby dla trzeciego boku.

W klasie 5 dziecko ćwiczy pisemne dodawanie i odejmowanie wielocyfrowych liczb całkowitych. Zapisuje przy tym liczby jedna pod drugą tak, aby jedności stały pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami i tak dalej, i liczy kolumna po kolumnie. Program nauczania nie podaje dla tej umiejętności stałego zakresu liczbowego. Ważne jest, aby dziecko potrafiło zapisać tok swojego rozwiązania i sprawdzić wynik.

Częste błędy zwykle mają wyraźną przyczynę:

• Odejmowanie przez zera: W zadaniach takich jak 4003 − 1278 dziecko odejmuje 8 od 0 albo zostawia 0 bez zmian. Brakuje jednostki do rozmienienia: trzeba ją pożyczyć z najbliższej pozycji, na której nie stoi 0.
• Zapomniane przeniesienie: Jeśli suma w kolumnie jest większa niż 9, cyfra dziesiątek nie zostaje przeniesiona do następnej kolumny.
• Cyfry nie stoją równo pod sobą: Gdy liczby się przesuwają, jedności i dziesiątki zostają pomieszane.

Typowe zadania w tym obszarze to Dodawanie pisemne i Odejmowanie pisemne, a także Odejmowanie pisemne: rozmienianie przez zera, gdy ma być ćwiczone rozmienianie przez zera. Zadania takie jak Dodawanie pisemne: wybierz wynik lub prawda czy fałsz pomagają sprawdzać wyniki i wykrywać błędy.

W klasie 5 dzieci zaokrąglają liczby naturalne do najbliższej dziesiątki i do najbliższej setki. W tym celu patrzą na cyfrę po prawej stronie od pozycji, do której zaokrąglają. Jeśli jest ona 5 lub większa, zaokrąglają w górę, w przeciwnym razie w dół. Tak więc 47 zaokrąglone do dziesiątek to 50, a 43 staje się 40.

Typowy błąd: przy liczbach trzycyfrowych dziecko patrzy na niewłaściwą cyfrę. Przy zaokrąglaniu 149 do setek bierze pod uwagę ostatnią cyfrę 9 zamiast cyfry dziesiątek 4. Wtedy powstaje 200, a poprawny wynik to 100. Także liczby, w których dana cyfra jest dokładnie równa 5, często są zaokrąglane niepewnie.

W kartach pracy tej klasy są do tego następujące typy zadań:

• Zaokrąglanie do najbliższej dziesiątki
• Zaokrąglanie do najbliższej setki
• Zaokrąglanie do dziesiątek: wybierz wynik
• Zaokrąglanie do setek: wybierz wynik
• Zaokrąglanie do dziesiątek: prawda czy fałsz

W tym roku szkolnym dziecko oblicza zależności proporcjonalne z życia codziennego, zwłaszcza z kwotami pieniędzy. Przykład: 100 g sera kosztuje 5.40 Fr., 200 g kosztuje 10.80 Fr. Jeśli w tabeli lub zadaniu brakuje jakiejś wartości, dziecko wyznacza ją za pomocą proporcji i uzupełnia dane. Najpierw rozpoznaje, że zależność jest proporcjonalna, a potem dalej liczy.

Typowym błędem jest myślenie addytywne: gdy ilość się podwaja, dziecko po prostu dodaje jakąś liczbę zamiast mnożyć. Przy 100 g za 5.40 Fr. i 200 g za 10.80 Fr. może wtedy zapisać 300 g za 16.20 Fr., tylko dlatego, że dodaje 5.40 Fr. kilka razy, nie zważając na proporcję. Drugi błąd pojawia się przy układaniu równania: wielkości nie stoją na właściwych miejscach, przez co gramy i franki się mieszają.

Na lekcjach dziecko spotyka zadania takie jak poniższe, które w materiale występują wraz z rozwiązaniami:

• Równanie proporcji: brakująca wartość

• Równanie proporcji: brakujący trzeci wyraz

• Równanie proporcji: wybierz brakujący wyraz

• Równanie proporcji: prawda czy fałsz

• Proporcja w zadaniu z treścią: przeliczenie na inną liczbę sztuk

• Przyporządkowanie proporcjonalne: uzupełnij tabelę

Twoje dziecko potrafi obliczyć obwód wielokąta, dodając wszystkie długości boków. Obejmuje to także wyznaczanie brakującego boku na podstawie danego obwodu i pozostałych boków. Jakie liczby się pojawiają, pokazują przykładowe zadania na kartach pracy; punkty programu nauczania nie podają dla tego zakresu stałego zakresu liczb.

Program nauczania opisuje ponadto tworzenie figur o danym obwodzie, na przykład trójkątów z 5, 6 lub 7 zapałkami. Dla tej czynności w tym obszarze nie ma osobnego szablonu zadania.

Dzieci często mylą obwód z polem powierzchni. Pytamy jednak o drogę dookoła figury, a nie o powierzchnię wewnątrz niej. Przy brakującym boku często dodaje się zamiast odejmować: kto zsumuje wszystkie znane boki, musi odjąć tę sumę od obwodu, aby otrzymać ostatni bok. Często wtedy w sumie brakuje też jednego boku.

Odpowiednie zadania z tego zakresu to:

• Obwód wielokąta: Dziecko dodaje wszystkie boki i otrzymuje obwód.
• Obwód wielokąta: wybierz wynik: Spośród kilku rozwiązań wybiera się poprawne.
• Obwód wielokąta: zadanie z kontekstem (ogrodzenie): Obwód interpretuje się jako długość ogrodzenia wokół działki.
• Brakujący bok z obwodu oraz Brakujący bok z obwodu: wybierz bok: Szukany bok oblicza się lub wybiera spośród odpowiedzi do zaznaczenia.
• Obwód wielokąta foremnego: oblicz bok: Wszystkie boki są jednakowej długości, dlatego obwód dzieli się przez liczbę boków.

W podstawie programowej jest napisane, że dzieci rozumieją i używają pojęć: średnica, promień i środek. Promień to odcinek od środka do brzegu koła. Średnica prowadzi od jednego brzegu przez środek do przeciwległego brzegu i dlatego jest dwa razy dłuższa niż promień. Punkt podstawy programowej nie podaje konkretnego zakresu liczb. Jakie liczby się pojawiają, pokazują przykładowe zadania.

Typowym błędem jest mylenie promienia ze średnicą. Często promień przyjmuje się po prostu jako średnicę albo przy przeliczaniu nie podwaja się lub nie dzieli na pół. Pojęcia brzmią podobnie, a oba odcinki zaczynają się w środku, dlatego łatwo je pomylić.

Na kartach pracy temat pojawia się w tych typach zadań:

• Średnica z promienia: Dany jest promień, szukana jest średnica.
• Promień ze średnicy: Dana jest średnica, szukany jest promień.
• Promień i średnica: prawda czy fałsz: Ocenia się stwierdzenia dotyczące promienia i średnicy.
• Promień ze średnicy: wybierz wynik: Spośród kilku odpowiedzi wybiera się właściwą.

Dziecko potrafi czytać i zapisywać liczby całkowite do 1 miliona, porównywać je i porządkować. Program nauczania wymienia także liczenie w przód i w tył w odpowiednich krokach, na przykład od 320'000 co 20'000, oraz przybliżone położenie liczby, np. 72'000, na osi liczbowej. Zakres liczb do 1 miliona jest sformułowany w programie nauczania dla tego etapu, a nie tylko dla 5. klasy. To, co ta klasa konkretnie ćwiczy, pokazują poniższe typy zadań.

Typowy błąd pojawia się przy liczbach z zerami w środku. Podczas mówienia te zera często się pomija, dlatego np. 50'602 zapisuje się jako 5602: zero na miejscu tysięcy zostaje przeoczone, a wszystkie kolejne cyfry przesuwają się o jedno miejsce w lewo. Drugi błąd dotyczy wartości cyfry. W 72'000 cyfra 7 nie ma wartości 7, lecz 70'000. O wartości decyduje miejsce, a nie sama cyfra.

Na karcie pracy ta umiejętność pojawia się w następujących typach zadań:

• Duże liczby: porównywanie – porównuje się ze sobą dwie lub więcej dużych liczb.
• Wartości miejsc: ile razy większe – dziecko określa, ile razy większa jest wartość jednego miejsca od wartości innego miejsca.
• Rozkład na wartości miejsc: brakujący składnik – liczba zostaje rozłożona na wartości miejsc i brakującą część trzeba uzupełnić, na przykład 72'000 + ? = 72'409.
• Liczba z wartości miejsc (zera w środku) – z wartości miejsc zapisuje się liczbę, przy czym nie wolno zapomnieć o zerach w środku.
• Wartość cyfry: wybierz odpowiedź – dziecko wybiera poprawną wartość zaznaczonej cyfry spośród kilku odpowiedzi.
• Wartość miejsca: wybierz, ile razy większa – dziecko wybiera, ile razy większa jest wartość danego miejsca.

Twoje dziecko uczy się przekształcać działania tak, aby stawały się łatwiejsze. Plan nauczania Lehrplan 21 opisuje ten cel na przestrzeni kilku lat szkolnych. Należą do niego dodawanie i odejmowanie w pamięci z liczbami takimi jak 402 + 90, przekształcanie iloczynów przez podwajanie i połowienie (8 · 26 = 4 · 52 = 2 · 104) oraz zmienianie nawiasów w sumach (136 + 58 + 42 = 136 + (58 + 42)). Wyniki sprawdza się także przez upraszczanie, rozkładanie na części lub działania odwrotne. W 5. klasie karty pracy przedstawiają przede wszystkim typy zadań wymienione poniżej.

Typowy błąd przy podwajaniu i połowieniu: dziecko zmienia tylko jeden z dwóch czynników. Z 8 · 26 powstaje wtedy 16 · 26 zamiast 16 · 13, ponieważ iloczyn przestaje być zrównoważony. Podobnie jest przy rachunkach z liczbami bliskimi 100: przy 99 · 7 czasem liczy się 100 · 7 = 700 i zapomina się potem odjąć 7.

Zadania noszą na przykład następujące tytuły:

• Sprytne mnożenie
• Sprytne dodawanie
• Sprytne liczenie: mnożenie liczby bliskiej 100
• Sprytne mnożenie: prawda czy fałsz
• Sprytne dodawanie: pełne setki: wybierz odpowiedź

Karty pracy zawierają rozwiązania, dzięki czemu mogą Państwo wspólnie prześledzić tok rozumowania dziecka.

Dziecko może przed dokładnym obliczeniem podać przybliżony wynik i w ten sposób sprawdzić, czy dokładny wynik może być prawidłowy. W tym celu liczby zaokrągla się tak, aby można je było łatwo dodać w pamięci. Arkusze ćwiczeń dla klasy 5 pokazują to przede wszystkim przy sumach, w których zaokrągla się do setek.

Typowe jest to, że dzieci zaokrąglają tylko jedną z dwóch liczb albo nie zwracają uwagi na rząd pozycyjny przy zaokrąglaniu, na przykład zaokrąglają 362 do 300 zamiast do 400. Czasem też szacunek uważa się za dokładny wynik. Szacowanie jest wartością orientacyjną, a nie dokładnym wynikiem.

Zadania nazywają się na przykład Summe überschlagen: dziecko zaokrągla składniki i zapisuje szacunkowy wynik. Przy Summe überschlagen: Überschlag auswählen wybiera spośród kilku wartości szacunkowych tę właściwą, a przy Schätzen: wähle die Rundung auf Hunderter decyduje, do której liczby zaokrąglić.

Program nauczania opisuje szacowanie na przestrzeni kilku lat szkolnych, również przy liczbach dziesiętnych oraz przy iloczynach i ilorazach. Zadania w tym dziale obejmują w klasie 5 jedynie wyżej wymienione sumy z zaokrągleniem do setek.

Twoje dziecko uczy się porównywać dwa ułamki, w których zarówno licznik, jak i mianownik są różne, na przykład 2/3 i 3/5. Program nauczania wymienia dla tego celu mianowniki 2, 3, 4, 5, 6, 8 i 10; do porządkowania ułamków dochodzą 20, 50 i 100. Te dane opisują cały fragment programu nauczania obejmujący kilka lat, a nie tylko klasę 5. Pomocne są przy tym przedstawienia takie jak model kołowy lub prostokątny oraz oś liczbowa.

Typowy błąd: dziecko wnioskuje, że im większy mianownik, tym większy ułamek. Tak 1/8 wydaje się większe od 1/4, ponieważ 8 jest większe od 4. Stoi za tym wyobrażenie, że licznik i mianownik porównuje się osobno. Ułamek mówi jednak, ile części z jednej całości się posiada. Im więcej części ma całość, tym mniejsza jest każda pojedyncza część.

W klasie 5 są do tego karty pracy z rozwiązaniami, na przykład:

• Porównywanie ułamków o różnych mianownikach: Porównuje się dwa ułamki o różnych licznikach i mianownikach.
• Porównywanie ułamków z jedną drugą: Ułamek porównuje się z ½, na przykład po to, by ustalić, czy jest większy, czy mniejszy.
• Porównywanie ułamków o tym samym liczniku: Pomaga tu spostrzeżenie, że przy tym samym liczniku większy jest ułamek o mniejszym mianowniku.

Rozszerzenie ułamka oznacza pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Ułamek wygląda wtedy inaczej, ale ma tę samą wartość, na przykład 1/2 jest równe 2/4. Plan nauczania Lehrplan 21 opisuje rozszerzanie ułamków o mianownikach 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 50 i 100 na modelu prostokąta. Ćwiczenia w tej klasie pracują właśnie z takimi ułamkami.

Typowy błąd: uczeń mnoży tylko mianownik, na przykład 1/2 zamienia w 1/4, albo mnoży licznik i mianownik przez różne liczby, na przykład 1/2 zamienia w 2/3, bo zwiększa oba o 1. Przyczyna leży w tym, że ułamek widziany jest jako dwie oddzielne liczby, a nie jako jeden udział. Na modelu prostokąta staje się to jasne: gdy prostokąt podzielimy na 2 połowy i każdą połowę ponownie przepołowimy, otrzymujemy 4 równe części. Z nich 2 są zaznaczone, czyli 2/4. Pole pozostaje niezmienione, jest tylko podzielone na mniejsze kawałki.

Karty pracy w tej klasie zawierają następujące typy zadań, każdy z rozwiązaniami:

• Rozszerzanie ułamków: doprowadzenie ułamka do podanego większego mianownika, na przykład 3/4 = 6/8.
• Rozszerzanie ułamków: brakujący mianownik: w równaniu takim jak 3/4 = ?/8 znalezienie brakującego mianownika.
• Rozszerzanie ułamków: przez jaką liczbę? odczytanie z dwóch ułamków, przez jaką liczbę dokonano rozszerzenia.
• Rozszerzanie ułamków: prawda czy fałsz sprawdzenie, czy podane rozszerzenie jest poprawne, i nazwanie błędu.
• Rozszerzanie ułamków: wybierz czynnik wybór właściwej liczby rozszerzającej spośród kilku liczb.

Dziecko klasyfikuje kąty według ich rozwarcia: rozpoznaje kąt ostry, rozwarty i prosty oraz poprawnie je nazywa. Kąt prosty o mierze 90° służy przy tym jako wzorzec porównawczy i oznacza się go małym kwadratem. Wytyczne programowe dla tego obszaru nie podają zakresu liczbowego, dlatego ten tekst opisuje wyłącznie to, co pokazują zadania.

Typowym błędem jest pomylenie kąta ostrego z rozwartym, ponieważ dziecko ocenia długość ramion zamiast rozwarcia między nimi. Przy kątomierzu pojawia się drugie źródło błędów: skala ma dwa rzędy liczb i kto odczyta niewłaściwy, otrzymuje 180° minus poprawna wartość. Przy kątach przyległych często liczy się też z 90° zamiast 180°, ponieważ kąt prosty jest w głowie bardziej obecny.

Wytyczne programowe nie wymieniają wprost kątów dopełniających i przyległych, jednak zadania z tego obszaru je wykorzystują:

• Określanie rodzaju kąta: Dziecko klasyfikuje pokazany kąt jako ostry, prosty lub rozwarty.
• Kąty dopełniające: Dwa kąty razem dają 90°; brakujący kąt oblicza się.
• Kąty przyległe: Dwa kąty razem dają 180°; drugi kąt oblicza się lub wybiera.
• Kąty wierzchołkowe: Kąty leżące naprzeciwko siebie są równe; wybiera się odpowiedni rozmiar.

Dzielnik dzieli liczbę bez reszty. Dzieci uczą się podawać wszystkie dzielniki liczby naturalnej, na przykład dla 16 są to liczby 1, 2, 4, 8 i 16. Wiąże się z tym pewne używanie pojęć dzielnik i wielokrotność. Podstawa programowa podaje jako przykład, że liczby kwadratowe mają nieparzystą liczbę dzielników. Reguły podzielności, na przykład dla 3, 4, 6, 8, 9, 25 i 50, są w podstawie programowej oznaczone jako rozszerzenie.

Typowym błędem jest zapomnienie o liczbie 1 lub o samej liczbie. Kto dla 16 zapisze tylko 2, 4 i 8, nie zauważa, że każda liczba dzieli się przez 1 i przez siebie samą. Często myli się też dzielniki z wielokrotnościami: kto do 12 zapisze liczby 12, 24, 36, zapisał wielokrotności zamiast dzielników. Pomocne podejście (własna propozycja, nie cel podstawy programowej) to sprawdzanie dzielników parami, na przykład 1 z 16, 2 z 8, 4 z 4, zamiast zgadywania.

Drukowane zadania w tym dziale to:

• Podaj wszystkie dzielniki liczby: zapisz wszystkie dzielniki podanej liczby.
• Dzielniki: ile ich jest?: ustal liczbę dzielników danej liczby.
• Dzielniki liczby: wybierz liczbę: spośród podanych możliwości wybierz właściwą liczbę dzielników.
• Dzielniki: najmniejsza liczba o k dzielnikach: znajdź najmniejszą liczbę, która ma dokładnie k dzielników.
• Najmniejsza liczba o k dzielnikach: prawda czy fałsz: sprawdź, czy podane stwierdzenie o najmniejszej liczbie jest prawdziwe.

Dla wielokrotności w tym dziale nie ma osobnego szablonu zadań.

W klasie 5. Wasz dziecko ćwiczy przede wszystkim mnożenie liczby jednocyfrowej przez liczbę dziesiątek, na przykład 3 · 40 albo 7 · 60. Program nauczania opisuje dla tego obszaru szerszy zakres liczb (do 4 cyfr znaczących, na przykład 45 · 240). Zadania w tej klasie pokazują jednak dopiero początek, czyli liczby jednocyfrowe razy liczby dziesiątek.

Typowym błędem jest zapominanie o zerze na końcu. Przy 3 · 40 dziecko liczy 3 · 4 = 12 i zapisuje 12 zamiast 120. Zero oznacza dziesiątki i łatwo je przeoczyć. Pomocne może być najpierw obliczenie zadania bez zera (3 · 4 = 12), a potem dopisanie zera, ponieważ 40 składa się z 4 dziesiątek.

Na kartach pracy znajdują się w tym zakresie trzy formy zadań z rozwiązaniami:

• Mnożenie przez liczby dziesiątek: Dziecko oblicza samodzielnie, na przykład 5 · 30.
• Mnożenie przez liczby dziesiątek: prawda czy fałsz: Dziecko sprawdza podane działania, na przykład 3 · 40 = 12, i decyduje, czy są poprawne.
• Mnożenie przez liczby dziesiątek: wybierz wynik: Spośród kilku podanych odpowiedzi dziecko wybiera właściwy wynik.

Dziecko uczy się zapisywać długość podaną w dwóch jednostkach jako jedną liczbę dziesiętną: z 2 m 35 cm powstaje 2,35 m. Plan nauczania Lehrplan 21 wymaga, aby wielkości zapisywać w dwóch nazwanych jednostkach i przeliczać na sąsiednie jednostki miar. Zadania w tej klasie dotyczą długości. Sam punkt planu nie podaje zakresu liczbowego, dlatego i tutaj żaden nie jest podany.

Typowy błąd: liczbę centymetrów wpisuje się jako liczbę całkowitą za przecinkiem, nie zwracając uwagi na pozycje cyfr. Z 2 m 5 cm powstaje wtedy 2,5 m zamiast 2,05 m. Powód: 5 cm to 5 setnych metra, dlatego miejsce dziesiątych trzeba wypełnić zerem. Pomocne jest wyobrażenie sobie długości jako liczby centymetrów, zanim zapisze się ją w metrach.

W kartach pracy tego działu znajduje się szablon Długość jako liczba dziesiętna: dziecko otrzymuje długości podane w dwóch jednostkach i zapisuje je jako liczbę dziesiętną w jednej jednostce. Rozwiązania są dołączone, dzięki czemu może Pan/Pani od razu sprawdzić odpowiedzi. Jako własny pomysł, a nie wymóg planu nauczania: w domu można zmierzyć przedmioty taśmą mierniczą i poprosić dziecko, aby zapisało długość raz jako „metry i centymetry”, a raz jako liczbę dziesiętną w metrach.

W zakresie masy dziecko przelicza między sąsiednimi jednostkami kilogram (kg) i gram (g). Podstawa programowa podaje jako przykład: 2000 g to 2 kg. Liczby, z którymi się liczy, nie są w punkcie programu dalej zawężone. Punkty podstawy programowej wymieniają dodatkowo t i mg; zadania w tym obszarze dotyczą jednak kilogramów i gramów.

Typowy błąd pojawia się wtedy, gdy dziecko myśli o przeliczaniu od centymetra i mnoży przez 100. Wtedy z 3 kg błędnie wychodzi 300 g zamiast 3000 g. Pomocne jest zapamiętanie, że kilogram ma tysiąc gramów, a gram jest mniejszą jednostką.

Zadania w tym obszarze to m.in.:

• Przeliczanie na mniejszą jednostkę masy, na przykład z kilogramów na gramy
• Przeliczanie na większą jednostkę masy, na przykład z gramów na kilogramy
• Masa w kilogramach: wybierz liczbę dziesiętną, w którym wybiera się odpowiednią liczbę dziesiętną dla ciężaru w kg
• Masa w kilogramach: prawda czy fałsz, w którym sprawdza się poprawność podanych wartości w kg
• Przeliczanie jednostek masy: wybierz wynik, w którym spośród kilku rozwiązań wybiera się poprawne
• Jednostki masy: porównywanie oraz Podawanie masy w jednej jednostce, które pogłębiają zrozumienie jednostek

Plan nauczania Lehrplan 21 opisuje dla całego etapu, że liczby do 1 miliona liczy się w przód i w tył w odpowiednich krokach oraz porządkuje na osi liczbowej. W 5. klasie zadania dotyczące tego przede wszystkim pokazują skok o dziesięć na osi liczbowej: dziecko widzi, gdzie leży liczba, i z tego miejsca przeskakuje o dziesięć jednostek w przód lub w tył.

Typowym błędem jest to, że dziecko przy skoku o dziesięć liczy tylko o 1, czyli idzie kreska po kresce, zamiast wykonać skok o dziesięć. Często także błędnie odczytuje położenie, ponieważ nie każda kreska jest podpisana i dziecko musi samo ustalić wartość jednej kreski.

Na lekcjach i w kartach pracy pojawiają się następujące typy zadań:

• Skok o dziesięć na osi liczbowej: Wychodząc od zaznaczonej liczby, należy wyznaczyć liczbę leżącą dziesięć miejsc dalej w lewo lub w prawo.
• Skok o dziesięć: wybierz liczbę: Spośród kilku podanych możliwości wybiera się poprawną liczbę po skoku o dziesięć.
• Skok o dziesięć: prawda czy fałsz: Podane działanie lub rozwiązanie ocenia się jako poprawne lub błędne.

Plan nauczania Lehrplan 21 dla matematyki stawia za cel mnożenie liczb o maksymalnie 4 cyfrach, na przykład 45 · 240. Ta informacja dotyczy całego etapu, a nie tylko klasy 5. To, co w tej klasie jest konkretnie ćwiczone, pokazują szablony zadań: liczba wielocyfrowa jest mnożona pisemnie przez liczbę jednocyfrową, na przykład 327 · 4.

Typowy błąd: dziecko liczy od prawej do lewej, cyfra po cyfrze, i zapomina o przeniesieniu albo nie dodaje go do następnej cyfry. Przy 47 · 6 wynik 6 · 7 = 42. Zapisuje się 2 i zapamiętuje 4. Następnie 6 · 4 = 24, a z przeniesieniem wychodzi 28. Często jednak zapomina się o 4 i wychodzi 24. Błąd powstaje dlatego, że trzeba jednocześnie pamiętać o tabliczce mnożenia i o przeniesieniu. Również przesunięte cyfry, gdy nie stoją równo jedna pod drugą, często prowadzą do błędnych wyników.

Szablony zadań w tym obszarze obejmują różne formy:

• Pisemne mnożenie przez liczbę jednocyfrową: czyste działania w kolumnach.
• Pisemne mnożenie w zadaniu tekstowym: mnożenie ukryte jest w krótkiej historyjce i najpierw trzeba je rozpoznać.
• Pisemne mnożenie: brakujący czynnik: brakuje jednego czynnika, na przykład ? · 6 = 258.
• Pisemne mnożenie: wybierz brakujący czynnik: spośród kilku propozycji wybiera się pasujący czynnik.
• Pisemne mnożenie: wybierz wynik: spośród kilku rozwiązań wybiera się poprawny wynik.

Dziecko potrafi obliczyć z danej, która dotyczy kilku jednostek, wartość dla jednej jednostki, na przykład cenę za kilogram. Program nauczania podaje na to przykłady, takie jak 300 g sera za 20 Fr./kg czy zużycie paliwa 6 l na 100 km. Te przykłady należą do całego etapu. Jakie liczby i zadania pojawiają się dokładnie w klasie 5, pokazują typy zadań z kart pracy.

Typowe są dwa błędy:

• Dzielenie zostaje odwrócone. Przy 3 sztukach za 6 Fr. dziecko liczy 3 : 6 zamiast 6 : 3, ponieważ nie zastanawia się, czego szukamy.
• Brakuje jednostki. Odpowiedź »2« bez »Fr. za sztukę« pozostaje niejasna, a przy porównywaniu opakowań często patrzy się na cenę całkowitą zamiast na cenę za jednostkę.

Na kartach pracy są do tego cztery typy zadań: Wartość za jeden jako zadanie z życia codziennego, w którym chodzi o to, ile kosztuje lub waży jedna sztuka; Cena za sztukę z pytaniem, gdzie coś jest tańsze; Wartość za jedną jednostkę z wyborem poprawnego wyniku; oraz Wartość za jedną jednostkę jako zadanie »prawda czy fałsz«, w którym sprawdza się stwierdzenia. Rozwiązania są dołączone, dzięki czemu mogą Państwo wspólnie prześledzić obliczenia.

Dziecko potrafi dzielić liczby naturalne przez liczbę jednocyfrową, na przykład 231 : 7. Program nauczania opisuje tę umiejętność łącznie dla kilku klas. W 5. klasie ćwiczy się ją przede wszystkim na pisemnych zadaniach z dzielenia. Dziecko może przy tym liczyć w pamięci lub zapisywać własne sposoby obliczeń. Jeśli liczba nie dzieli się bez reszty, pozostaje reszta.

Typowy błąd dotyczy zera w wyniku. Przy 408 : 4 wynik to 102. Wiele dzieci zapisuje 12, ponieważ przy znoszeniu kolejnej cyfry pomijają 0, mimo że 0 : 4 = 0 zajmuje miejsce w wyniku. Drugi błąd pojawia się wtedy, gdy reszta nie jest mniejsza od dzielnika. Wtedy ostatnie działanie cząstkowe nie jest jeszcze zakończone:

• Zero w wyniku zostaje pominięte.
• Reszta jest większa lub równa dzielnikowi.

Typowe zadania w tym obszarze to:

• Pisemne dzielenie przez liczbę jednocyfrową: obliczanie zadań takich jak 231 : 7 krok po kroku.
• Zero w wyniku: znajdowanie lub wybieranie zadań, w których w wyniku występuje zero.
• Brakująca dzielna: liczba, która ma zostać podzielona, jest niewiadomą i trzeba ją znaleźć.
• Wybierz dzielną: z kilku liczb wybiera się tę, którą należy podzielić.
• Pisemne dzielenie w zadaniu tekstowym: dzielenie ukryte w treści zadania trzeba najpierw rozpoznać.

Karty pracy do tego tematu można wydrukować i zawierają rozwiązania.

Dziecko uczy się, jak w zbiorze danych, czyli w ciągu wartości, takich jak wyniki pomiarów lub wyniki ankiety, znaleźć największą wartość (maksimum) i najmniejszą wartość (minimum) oraz jak analizować dane według takich kryteriów. Punkt programu nauczania nie podaje stałego zakresu liczbowego, dlatego nie należy oczekiwać konkretnej przestrzeni liczbowej, lecz raczej zrozumienia sposobu postępowania.

Typowym błędem jest po prostu wzięcie pierwszej lub ostatniej liczby z listy zamiast porównania wszystkich wartości. Dzieje się tak, ponieważ listy rzadko są uporządkowane, a wzrok zatrzymuje się na pierwszej liczbie. Przy rozstępie, czyli różnicy między maksimum a minimum, dochodzi kolejny błąd: dziecko podaje tylko największą wartość lub liczy różnicę w złym kierunku.

Na kartach pracy w tym temacie zadanie pojawia się jako „Wyznacz rozstęp”. Typowy jest krótki zestaw, na przykład temperatury w kilku dniach. Dziecko najpierw szuka największej i najmniejszej wartości, a następnie oblicza różnicę. Rozwiązania na karcie pracy pomogą Ci prześledzić tok obliczeń.

Państwa dziecko powinno umieć czytać i zapisywać liczby dziesiętne oraz ułamki. Punkt programu nauczania nie podaje dla tego zakresu osobnej przestrzeni liczbowej. Zadania w tym obszarze operują jednak liczbami dziesiętnymi do miejsca tysięcznych. Przy tym dziecko nazywa każdą cyfrę po przecinku i rozpoznaje jej wartość pozycyjną: w liczbie 0.45 cyfra 4 oznacza cztery dziesiąte, a cyfra 5 oznacza pięć setnych.

Częsty błąd pojawia się wtedy, gdy cyfry po przecinku traktuje się jak liczbę całkowitą. Wtedy zero jako znak zastępczy ginie: z 2.07 robi się 2.7, mimo że siedem setnych to tylko 0.07. Pokrewny błąd widać przy porównywaniu: 0.5 wydaje się mniejsze niż 0.45, ponieważ 45 jest większe od 5. Oba błędy biorą się stąd, że cyfry nie są rozumiane jako dziesiąte, setne itd.

Zadania na kartach pracy w tym obszarze wyglądają na przykład tak:

• Odczytywanie cyfry setnych: Dziecko określa cyfrę na miejscu setnych w liczbie dziesiętnej.
• Wartość pozycyjna w liczbach dziesiętnych, wartość cyfry: Dziecko określa, jaką wartość ma pojedyncza cyfra w liczbie.
• Wartość pozycyjna w liczbach dziesiętnych, rozkład: Dziecko rozkłada liczbę dziesiętną na jej wartości pozycyjne.
• Wartość pozycyjna w liczbach dziesiętnych, wybór cyfry tysięcznych: Dziecko wybiera cyfrę na miejscu tysięcznych.
• Liczba dziesiętna, wybór wartości cyfry: Dziecko wybiera z podanych możliwości odpowiednią wartość cyfry.

Zgodnie z planem nauczania Lehrplan 21 Państwa dziecko ma umieć wykonywać obliczenia z podaniem czasu oraz zamieniać wielkości na sąsiednie jednostki miar. Punkt planu nie podaje przy tym żadnego zakresu liczbowego. W tym obszarze chodzi konkretnie o przeliczanie tygodni na dni: jeden tydzień ma 7 dni, więc 3 tygodnie to 21 dni.

Typowym błędem jest to, że dziecko traktuje tydzień jak zwykłą liczbę i dodaje liczbę tygodni do 7, zamiast mnożyć ją przez 7. Z 3 tygodni wychodzi wtedy 10 dni zamiast 21. Dzieje się tak, ponieważ jednostka „tydzień” nie jest rozumiana jako grupa 7 dni.

Arkusze do druku z tego obszaru zawierają trzy typy zadań:

• Tygodnie i dni: ile to dni – przeliczenie podanej liczby tygodni na dni.
• Tygodnie i dni: wybierz liczbę dni – wybór odpowiedniej liczby dni do podanej liczby tygodni.
• Tygodnie i dni: prawda czy fałsz – sprawdzanie stwierdzeń typu „4 tygodnie to 28 dni”.

Miesiące i lata nie występują w opisanych tutaj szablonach zadań.

Podstawa programowa wymaga przede wszystkim pewnego posługiwania się pojęciami i oznaczeniami matematycznymi. Nie podaje zakresu liczbowego, ponieważ chodzi tu o pojęcia, a nie o rachunki. Do rysowania i mierzenia używa się ekierki. Na kartach pracy w tym dziale pojawia się dodatkowo półprosta.

Odcinek często myli się z prostą. Odcinek ma dwa końce i na nich się kończy, natomiast prosta biegnie w obie strony bez końca. Dziecko, które nie utrwaliło jeszcze tej różnicy, może błędnie oceniać zdania dotyczące końców. Przy liczeniu odcinków na prostej łatwo policzyć tylko odcinki leżące bezpośrednio obok siebie, a pominąć odcinki obejmujące kilka sąsiednich fragmentów.

Zadania w tym dziale to wydrukowane karty pracy z rozwiązaniami, w tym:

• Odcinek, półprosta czy prosta? Dziecko przyporządkowuje figury do odpowiedniego pojęcia.
• Końce figury: prawda czy fałsz Dziecko sprawdza zdania dotyczące końców.
• Odcinki na prostej: wybierz liczbę Dziecko wybiera właściwą liczbę spośród podanych odpowiedzi.
• Odcinki na prostej: ile? Dziecko samodzielnie liczy odcinki.

Twoje dziecko uczy się odbijać figury względem osi i szkicować ich odbicie. Należy do tego również odbijanie pojedynczych punktów i linii za pomocą ekierki z podziałką względem osi. Punkty podstawy programowej nie podają zakresu liczbowego. Są sformułowane na dłuższy okres. W klasie 5 zadania pokazują przede wszystkim punkty o współrzędnych, które odbija się względem prostej.

Typowym błędem jest to, że odbicie leży po tej samej stronie osi co oryginał. Innym błędem jest sytuacja, w której obraz leży wprawdzie po drugiej stronie, ale w innej odległości od osi. Często figurę przesuwa się „na oko”, zamiast umieścić każdy punkt w takiej samej odległości po drugiej stronie osi. Pomocne jest policzenie odległości od osi lub sprawdzenie ich ekierką z podziałką.

Typowe zadania w tym obszarze to:

• Odbicie punktu względem prostej: Punkt zostaje odbity względem danej prostej.
• Odbicie względem prostej pionowej: wybierz współrzędną: Spośród kilku podanych wartości wybiera się poprawną współrzędną punktu odbitego.
• Symetria osiowa: odbicie względem pionowej prostej: Figura zostaje odbita względem pionowej osi.
• Symetria osiowa: prawda czy fałsz: Należy zdecydować, czy figura jest symetryczna osiowo.
• Symetria osiowa: ile osi symetrii: Określa się liczbę osi symetrii figury.
• Symetria osiowa: oś pary punktów: Dla dwóch punktów szuka się osi, względem której są one wzajemnie symetryczne.

Dziecko potrafi rozpoznać i nazwać bryły: sześcian, prostopadłościan, kulę, walec i ostrosłup, gdy występują w otoczeniu lub na obrazkach. Punkt programu nauczania nie podaje dla tego żadnego zakresu liczbowego; chodzi o kształt i nazwę.

Możliwą pułapką jest nazywanie brył wyłącznie na podstawie pierwszego wrażenia. Na przykład prostopadłościan łatwo wziąć za sześcian, ponieważ oba wyglądają na kanciaste. Możliwą przyczyną jest to, że nie zwraca się uwagi na to, czy wszystkie ściany mają tę samą wielkość. To obserwacja z praktyki, a nie wymóg programu nauczania.

W zakresie matematyki w klasie 5 istnieją w tym temacie trzy typy zadań na karty pracy z rozwiązaniami:

• Jaka to bryła? Wybierz nazwę: Bryła zostaje przyporządkowana do nazwy.
• Jaka to bryła?: Bryła jest nazywana samodzielnie.
• Krawędzie bryły: prawda czy fałsz: Sprawdzane są stwierdzenia dotyczące krawędzi bryły.

Dziecko rozstrzyga, czy narysowana figura złożona z sześciu jednakowych kwadratów daje się złożyć w sześcian. Sprawdza to w wyobraźni albo przez składanie. Program nauczania opisuje także rysowanie siatek oraz przedstawianie graniastosłupów i ostrosłupów. Karty pracy z tego działu pokazują w tej klasie przede wszystkim sprawdzanie siatek sześcianu.

Typowy błąd: dziecko liczy tylko sześć kwadratów i uznaje każdy spójny kształt za siatkę. Podczas składania dwa kwadraty trafiają wtedy na tę samą ścianę sześcianu, a jedna ściana pozostaje pusta. Figura wygląda poprawnie, ale nie da się jej złożyć.

Przykładowe zadanie brzmi na przykład „Czy to jest siatka sześcianu?”. Na karcie pracy znajduje się kilka figur, a dziecko rozstrzyga przy każdej, czy jest siatką sześcianu. Pomocne jest uzasadnienie. Propozycja do domu: narysować figurę na papierze, wyciąć ją i złożyć. Wtedy szybko widać, czy wszystkie sześć ścian tworzy sześcian.

Plan nauczania wymaga, aby dzieci orientowały się w wielkościach referencyjnych, takich jak 1 kB, oraz rozumiały i stosowały przedrostki mega, giga i tera. Na tym poziomie zadania pokazują przede wszystkim, czego konkretnie się od nich oczekuje: przeliczania gigabajtów na megabajty, przeliczania megabajtów na gigabajty oraz porównywania ilości danych. Plan nauczania nie podaje dla tego obszaru osobnego zakresu liczbowego; liczby wynikają z samych zadań.

Typowy błąd: dziecko nie pamięta, że gigabajt jest większy niż megabajt. Dlatego po przeliczeniu liczba bywa czasem zmieniana w złym kierunku. Kto chce wiedzieć, ile GB odpowiada określonej liczbie MB, musi pamiętać, że liczba w większej jednostce będzie mniejsza. Pomocne jest, aby przed obliczeniami zastanowić się, czy wynik powinien być większy, czy mniejszy.

W karcie pracy zadanie wygląda na przykład tak:

• Przeliczanie gigabajtów na megabajty: dane podane są w GB, szukana jest wartość w MB.
• Megabajty na gigabajty: spośród kilku wyników wybierany jest poprawny.
• Porównywanie ilości danych: która ilość jest większa, a która mniejsza?
• Wybór przeliczonej wartości: spośród kilku ofert wybierana jest odpowiednia wartość.