Mathématiques — 5e année

L'enfant représente des tâches simples de dénombrement et les résout. Il ordonne les combinaisons de façon à voir si toutes sont présentes, par exemple sous forme de liste ou de tableau. Le programme d'études mentionne pour cela le point VS3.1.2 de l'école primaire. Il n'indique pas de plage de nombres précise. Le point U1.4.1 exige en outre de classer et de représenter des données, ce qui convient pour noter les combinaisons trouvées de manière claire.

Erreur typique : celui qui écrit des combinaisons sans ordre fixe compte une possibilité deux fois ou en oublie une. Si, par exemple, une sorte de pain est associée à une garniture, on perd vite le fil des paires déjà formées. Un ordre fixe, par exemple d'abord toutes les paires avec la première sorte, puis avec la deuxième, rend cette erreur moins fréquente.

Les tâches typiques dans ce domaine sont :

• Combien de paires différentes : vrai ou faux
• Combien de combinaisons différentes sont possibles
• Écris toutes les combinaisons
• Combien de combinaisons avec trois sortes
• Combien de paires restent si une partie se casse
• Combien de paires de plus après une pièce supplémentaire
• Nombre de paires connu : combien dans l'autre ensemble
• Combien de paires différentes : choisis la bonne réponse

Les fiches de travail consacrées à ces tâches contiennent des solutions. Les probabilités ne sont pas expressément travaillées dans les tâches disponibles ici.

L'enfant peut relever des informations dans un tableau ou un diagramme et effectuer ainsi de simples comparaisons. Les données proviennent du quotidien, et les représentations sont des tableaux, des diagrammes en colonnes et des diagrammes en barres. Les points du programme scolaire sur lesquels repose ce texte ne mentionnent pas de plage numérique concrète pour cela.

Il arrive souvent, lors de la comparaison de deux lignes ou de deux barres, que l'on lise au mauvais endroit, par exemple parce qu'on cherche le nom plutôt que la valeur numérique, ou parce qu'on juge la hauteur d'une barre à vue d'œil au lieu de la lire sur la valeur de l'axe. Pour les questions portant sur la différence, on confond aussi souvent l'ordre de la soustraction. Celui qui ne lit la question qu'à moitié calcule alors « combien de moins » au lieu de « combien de plus ». Une lecture attentive de la question aide ici généralement davantage qu'un calcul rapide.

En pratique, les exercices sur ce thème se présentent ainsi :

• Combien de plus d'après le tableau : comparer deux lignes et indiquer la différence.
• Différence entre deux lignes : soit choisir la bonne réponse, soit évaluer une affirmation comme vraie ou fausse.
• L'écart entre le plus grand et le plus petit : trouver la plus grande et la plus petite valeur et calculer la différence.
• Diagramme en colonnes : combien de plus : la même question de comparaison, cette fois sur le diagramme.
• Quelle catégorie en a le plus : reconnaître la valeur la plus élevée et nommer la catégorie.
• Combien de groupes se situent au-dessus du nombre indiqué : compter les barres ou les lignes dont la valeur est supérieure à un nombre donné.

Le programme scolaire décrit le traitement des données sur une période plus longue, y compris la reconnaissance de manipulations dans les représentations statistiques. Les exercices de ce niveau scolaire n'en montrent encore rien ; ils se limitent à la lecture et à la comparaison.

L'enfant apprend à calculer le périmètre d'un rectangle. Le périmètre est la longueur du bord, c'est-à-dire la somme des quatre côtés : deux fois la longueur et deux fois la largeur. Les points du plan d'études ne mentionnent pas de plage numérique précise, c'est pourquoi c'est le principe qui prime ici et non des nombres concrets.

Une erreur typique consiste à n'additionner que la longueur et la largeur en oubliant les deux autres côtés. Une autre erreur fréquente est de multiplier les côtés. Cela arrive parce que la multiplication relève de l'aire, alors que le périmètre est un chemin le long du bord. Sur papier quadrillé, les enfants comptent souvent les carreaux à l'intérieur au lieu de compter les carreaux le long du bord.

Les exercices de cette classe ressemblent par exemple à ceci :

• Périmètre d'un rectangle : on additionne les côtés.
• Côté manquant d'un rectangle : à partir d'un périmètre donné, on calcule le côté inconnu.
• Quelle figure a le plus grand périmètre : on compare deux figures.
• Périmètre d'un rectangle sur papier quadrillé : on compte la longueur du bord.
• Ce périmètre est-il correct : une solution donnée est vérifiée.
• Dessine un rectangle de périmètre donné : un rectangle convenable est construit.
• Choisis le bon périmètre : parmi plusieurs indications, on sélectionne la bonne.

L'enfant peut, pour les tâches à deux étapes de calcul, comme 3 + 4 · 2 ou 5 · 6 − 7, d'abord effectuer la bonne étape puis la seconde. Le point du programme cite les opérations avec des nombres naturels et des nombres décimaux non négatifs. Les tâches de ce domaine pour cette classe travaillent toutefois avec des nombres entiers dans des situations concrètes. L'ordre des opérations lui-même n'est pas explicitement mentionné dans le point du programme, mais il est travaillé à travers les tâches.

Une erreur typique consiste à simplement calculer la tâche de gauche à droite. Avec 3 + 4 · 2, on obtient alors 14 au lieu de 11, parce que l'enfant additionne d'abord le 3 et le 4. La raison tient souvent au fait que l'enfant ne reconnaît pas quelle étape est visée en premier, ou que la tâche n'est lue que comme une suite de nombres et non comme une situation.

En pratique, une tâche peut par exemple ressembler à ceci : quatre caisses contiennent chacune six pommes, et il y a en plus cinq pommes isolées. L'enfant calcule d'abord combien de pommes se trouvent dans les caisses, puis combien il y en a au total. Les modèles de ce domaine comprennent notamment :

• Ordre des opérations (deux étapes)
• D'abord combien dans un groupe, puis combien au total
• Tant de groupes de tant chacun, puis une partie disparaît
• Deux sortes de groupes, une somme
• Combien restent lorsque chacun reçoit la même quantité
• Ordre des opérations : choisir le bon résultat
• Ordre des opérations : vrai ou faux

Votre enfant peut comparer, lors d'expériences aléatoires simples, quel résultat a le plus de chances de se produire, par exemple lorsqu'on tire les yeux fermés une bille d'un sac. Les points du programme décrivent cette comparaison de façon qualitative, c'est-à-dire sans calculer de nombres. Le programme mentionne en outre la détermination de probabilités, qui s'appuie sur une compréhension intuitive. Les exercices de cette classe mettent cependant surtout l'accent sur la comparaison.

On ne considère souvent que le nombre de couleurs : un sac contenant une bille rouge et une bille bleue paraît « équitable », même s'il y a clairement plus de rouge avec trois billes rouges et une bille bleue. De même, on compare souvent le nombre de billes rouges seul, sans faire attention au nombre total. Deux billes rouges parmi deux billes ne représentent pas du tout la même chance que deux billes rouges parmi dix. La raison en est qu'il importe de savoir combien de billes il y a au total.

Les exercices sur ce thème ont la forme que montrent les modèles de ce domaine :

• Quelle chance est plus grande ? Votre enfant choisit entre deux événements.
• Remplis le sac : Votre enfant place des billes dans le sac de façon à ce qu'une chance soit plus grande, plus petite ou égale.
• Améliore la comparaison des chances : Une affirmation fausse est corrigée.
• Le personnage a-t-il bien comparé les chances ? On vérifie le raisonnement d'un personnage.
• Quelle bille tires-tu le plus probablement ? et Un sac de billes : que est-il le plus probable ? Votre enfant décide quel résultat est le plus probable.

L'enfant lit des tableaux et des pictogrammes tirés de son quotidien et en extrait des informations : combien d'éléments il y a au total, quelle valeur manque dans une ligne, ou si une affirmation sur le total est exacte. Les points du programme sur lesquels repose ce texte décrivent la collecte et la présentation de données sous forme de listes de pointages, de tableaux, de diagrammes en colonnes et en barres ainsi que de pictogrammes, sur plusieurs années scolaires. Ils ne nomment pas de plage numérique précise ; le niveau de cette classe se reconnaît donc surtout dans les exercices eux-mêmes.

Dans les pictogrammes, l'erreur typique consiste à ne compter que les images alors qu'une image représente plusieurs unités. Si un symbole vaut cinq unités et que trois symboles sont représentés, la valeur est 15, et non 3. Pour la ligne manquante, on utilise souvent mal la somme connue : on additionne les autres valeurs au lieu de les soustraire du total. Pour les affirmations vraies ou fausses, il est utile de recalculer réellement le tableau plutôt que de décider au jugé.

Les fiches de ce domaine demandent de lire et de compléter ; dessiner soi-même des diagrammes ne fait pas partie des formes d'exercices imprimées. Les exercices typiques sont :

• Combien au total dans le tableau : additionner toutes les entrées.
• Pictogramme : une image représente plusieurs unités : calculer la valeur à partir du nombre d'images et de la valeur d'une image.
• La ligne manquante lorsque la somme est connue : déterminer la valeur manquante à partir du total et des autres lignes.
• Total issu du tableau : choisir la bonne réponse et Total issu du tableau : vrai ou faux : vérifier des affirmations sur le total.

Le programme scolaire décrit, pour ce niveau, que les opérations avec des nombres naturels et des nombres décimaux non négatifs doivent être effectuées et interprétées, ainsi que les calculs d'estimation. Ce point vaut pour plusieurs années scolaires et ne mentionne pas de plage de nombres propre à la première année. Concrètement, on s'exerce dans cette classe à additionner et soustraire des nombres à virgule, c'est-à-dire des calculs comme 2,5 + 0,75 ou 5 − 0,8.

Une erreur typique survient lorsque les nombres ne sont pas écrits avec les virgules alignées les unes sous les autres, mais de sorte que les derniers chiffres soient placés en colonne. Les dixièmes sont alors calculés avec les centièmes, et le résultat est faux. Lors de la soustraction, il manque souvent l'idée qu'on peut écrire 5 sous la forme 5,0 avant de soustraire 0,8.

Les exercices des fiches de travail de cette classe sont par exemple :

• Additionner des nombres décimaux : effectuer par écrit la somme de deux nombres à virgule.
• Soustraire des nombres décimaux : retrancher un nombre à virgule d'un autre.
• Additionner des masses avec des nombres décimaux : additionner des poids ou des longueurs comme 1,25 kg et 0,4 kg, puis interpréter le résultat dans un contexte concret.

Une estimation, qui consiste à arrondir grossièrement au préalable, aide à vérifier le résultat. Elle fait partie des exigences selon le point du programme, mais n'est pas mentionnée comme un type d'exercice distinct sur les fiches de travail.

Dans cette classe, les enfants calculent avec des nombres décimaux non négatifs comme 3,5 ou 0,42 et interprètent ce que signifie le calcul. Le point du programme ne donne pas de plage de nombres fixe pour cela. Concrètement, les types d'exercices montrent ce qui est demandé : multiplier des nombres décimaux par 10, 100 et 1000, diviser par 10, 100 et 1000, ainsi que multiplier par 0,1, 0,01 et 0,001.

Une erreur typique est la règle « Pour multiplier par 10, on ajoute un zéro », appliquée aux nombres décimaux. Pour 4,5 · 10, cela donne 4,50 au lieu de 45. Le bon raisonnement : chaque chiffre se décale d'un rang vers la gauche, le 4 vers le rang des dizaines et le 5 vers le rang des unités. De même, beaucoup d'enfants confondent « multiplier par 0,1 » avec « multiplier par 10 », alors que cela revient à diviser par 10. Une estimation sert de contrôle : 0,38 · 100 donne 38, et non 3,8 ni 380.

Un exercice ressemble par exemple à ceci : 7,25 · 100 ou 96,4 : 10. Pour les exercices avec 0,1, 0,01 et 0,001, le résultat devient plus petit. Les fiches imprimables contiennent des solutions, afin que les parents puissent vérifier les résultats. Comme idée d'exercice personnelle, on peut, pour chaque calcul, estimer d'abord si le nombre doit devenir plus grand ou plus petit.

Votre enfant apprend à décrire les propriétés d'un pavé droit, à justifier la formule du volume et à l'appliquer. Le plan d'études ne donne pas de plage numérique concrète, c'est pourquoi aucune n'est indiquée ici. L'essentiel est la compréhension sous-jacente : un pavé droit peut être rempli de couches de cubes unitaires ; longueur multipliée par largeur donne le nombre de cubes dans une couche, et la hauteur donne le nombre de couches.

Une erreur fréquente consiste à additionner les trois longueurs d'arêtes ou à ne multiplier que deux d'entre elles. Derrière cela se cache souvent une confusion avec l'aire de la surface, qui mesure la surface extérieure, ou l'enfant a oublié les couches en comptant. Les unités mélangées, par exemple des centimètres et des millimètres dans un même exercice, conduisent aussi facilement à des résultats faux.

Les exercices de ce domaine ressemblent généralement à ceci :

• Volume d'un pavé droit : les longueurs des arêtes sont données, l'enfant calcule le volume.
• Volume à partir de cubes unitaires : l'enfant compte les cubes par couches ou multiplie le nombre de couches par le nombre de cubes par couche.
• Volume d'un solide composé de deux pavés droits : le solide est décomposé en deux pavés droits dont on additionne les volumes.

Votre enfant apprend à convertir des longueurs entre unités et à écrire une longueur à la fois en une seule unité (2,4 m) et en plusieurs unités (2 m 40 cm). Les objectifs du programme nomment pour cela les unités de longueur mm, cm, dm, m et km. Le programme ne précise pas de plage de nombres propre à cette partie.

Une erreur typique survient lorsqu'on passe de l'écriture décimale à l'écriture en plusieurs unités. Si 3,5 m est écrit « 3 m 5 cm », l'enfant lit le chiffre après la virgule comme un nombre entier de la plus petite unité. La bonne réponse est 3 m 50 cm, car 0,5 m correspond à 50 cm. On confond aussi souvent le sens de la conversion : lorsqu'on convertit dans une unité plus petite, la valeur numérique devient plus grande (2 m = 200 cm) ; lorsqu'on convertit dans une unité plus grande, elle devient plus petite.

Ces exercices se présentent sous trois formes :

• Convertir dans une unité de longueur plus petite, p. ex. 4 m en cm
• Convertir dans une unité de longueur plus grande, p. ex. 750 m en km
• Exprimer une longueur dans une seule unité, p. ex. 2 m 40 cm comme 2,4 m

Les programmes de l'école primaire demandent par ailleurs d'estimer des longueurs. Une représentation comme « une porte de salle mesure environ 2 m de haut » permet de vérifier si un nombre converti est plausible. Les exercices types sont disponibles sous forme de fiches imprimables avec corrigés.

La moyenne est la valeur moyenne de plusieurs nombres : on additionne toutes les valeurs et on divise la somme par le nombre de valeurs. Les points du programme décrivent une période plus longue et ne mentionnent aucune plage de nombres précise. Les exercices de ce domaine montrent toutefois ce qui est en jeu dans cette classe : l'enfant doit calculer des moyennes et comprendre ce qu'elles expriment.

Une erreur typique consiste à diviser par un mauvais nombre, par exemple lorsqu'une valeur est oubliée au moment du comptage. De même, les enfants confondent souvent la moyenne avec l'une des valeurs présentes ou avec la valeur médiane d'une série ordonnée. Dans le cas des diagrammes en colonnes, il faut en outre lire correctement les valeurs avant de pouvoir calculer.

Les exercices adaptés à ce domaine sont :

• Calculer la moyenne : additionner plusieurs nombres et diviser la somme par leur nombre.
• Moyenne à partir d'un diagramme en colonnes : lire les valeurs sur les colonnes et en déterminer la moyenne.
• La moyenne dans la vie quotidienne : travailler avec des valeurs issues de la vie de tous les jours et expliquer le résultat en mots.

Dans cette classe, l'enfant calcule l'aire d'un rectangle en multipliant la longueur par la largeur. Il peut aussi procéder dans l'autre sens : si l'aire et un côté sont donnés, il détermine l'autre côté. Les points du programme décrivent une partie plus longue de la scolarité et ne nomment pas de plage numérique pour cette classe. Ce sont donc les exercices des fiches de travail qui montrent les nombres concrets qui apparaissent.

Les erreurs typiques ont généralement deux causes :

• Le périmètre et l'aire sont confondus. L'enfant additionne les côtés alors que l'aire est demandée, ou multiplie alors que c'est le périmètre qui est recherché.
• Le calcul du côté manquant est faux. L'enfant multiplie l'aire par le côté connu alors qu'il devrait diviser. Le contrôle est utile : le côté connu multiplié par le côté trouvé doit redonner l'aire.

Les exercices du type Aire d'un rectangle demandent le calcul direct. Aire d'un rectangle dans la vie quotidienne reprend le même calcul dans des situations concrètes, par exemple avec une pièce ou une plate-bande de jardin. Pour Côté manquant d'un rectangle, l'aire et un côté sont donnés et l'autre côté est recherché. Toutes les fiches contiennent des solutions. Comme aide personnelle, l'enfant peut dessiner un rectangle sur du papier quadrillé et compter les carreaux ; il s'agit d'une suggestion de soutien et non d'une consigne obligatoire.

L'enfant apprend à substituer une valeur numérique à la lettre dans un terme ou une formule, puis à calculer la valeur obtenue. Le programme demande pour cela d'établir et d'interpréter des termes, des équations et des formules simples. Il ne mentionne pas de plage de nombres ; cette page décrit donc seulement ce que montrent les modèles d'exercices de ce domaine.

L'erreur typique consiste à ne pas lire un nombre placé directement à côté d'une lettre comme une multiplication. Avec 3 · a et a = 4, on calcule alors 3 + 4 ou on écrit « 34 ». Dans les formules, on oublie aussi parfois l'ordre des opérations, par exemple en calculant de gauche à droite alors que la multiplication passe avant l'addition et la soustraction.

Les modèles d'exercices de ce domaine sont :

• Valeur d'un terme avec variable : on remplace la lettre par un nombre donné, puis on calcule le terme.
• Valeur d'une formule : avec des valeurs données, on calcule une formule, par exemple pour une aire ou un périmètre.
• Combien de fois plus grand ? Sans calculer : l'enfant compare deux grandeurs sans les calculer entièrement.

Le plan d'études exige d'interpréter, de représenter et de comparer des nombres naturels. Les chiffres romains sont l'une de plusieurs formes de représentation des nombres naturels. L'élève apprend ainsi à lire un nombre écrit en lettres romaines comme un nombre, et inversement à écrire un nombre sous cette forme. Ce thème traite des nombres romains jusqu'à 3000. Le plan d'études lui-même ne mentionne toutefois aucune plage numérique pour la notation romaine.

Une erreur typique survient avec la règle de la soustraction. Lorsqu'un chiffre plus petit précède un chiffre plus grand, on soustrait : IV signifie 4, et non 6. Celui qui additionne simplement les symboles lit IV comme 6, IX comme 11 ou XL comme 60. Lors de l'écriture, c'est l'erreur inverse qui se produit : le nombre 40 est noté XXXX au lieu de XL, parce que la forme abrégée n'est pas connue.

Un exercice sur ce thème ressemble en général à ceci :

• Lire un nombre romain : Un nombre romain donné, par exemple MCMXC, doit être indiqué sous forme de nombre naturel.
• Écrire un nombre en chiffres romains : Un nombre naturel donné doit être écrit en chiffres romains.

Ces deux types d'exercices existent sous forme de fiches imprimables avec solutions. Cela permet de vérifier si les cas de soustraction ont été correctement lus et écrits.

Le programme scolaire indique que les fractions non négatives doivent être interprétées, représentées et comparées. Les exercices sur ce thème s'entraînent surtout à convertir entre fractions impropres et nombres mixtes, et ce dans les deux sens.

Une erreur typique survient avec les nombres mixtes. On obtient alors 5/4 à partir de 2 3/4, parce que l'on additionne 2 et 3 et que l'on reprend le dénominateur 4. C'est juste : 2 entiers font 8 quarts, auxquels s'ajoutent 3 quarts, soit 11/4. Inversement, 11/4 est parfois écrit 2 4/3, parce que le numérateur et le dénominateur sont permutés. C'est juste : 11 divisé par 4 donne 2 avec un reste de 3, soit 2 3/4.

Sur les fiches d'exercices imprimables, on rencontre surtout ces types d'exercices :

• Convertir une fraction impropre en nombre mixte, par exemple 7/3 = 2 1/3
• Convertir un nombre mixte en fraction, par exemple 3 2/5 = 17/5

En guise d'aide personnelle, et non comme partie des modèles d'exercices, on peut illustrer les nombres à l'aide d'un dessin, par exemple avec des rectangles divisés en parts de même taille.

Le point du programme exige d'effectuer et d'interpréter des opérations avec des nombres décimaux non négatifs, ainsi que de faire des estimations (calculs approchés). Il ne définit pas de plage de nombres propre. Dans cette classe, l'arrondi est travaillé concrètement sur deux rangs : au dixième et au centième.

Une erreur typique survient lors de la retenue. L'enfant regarde bien le chiffre à droite du rang recherché, mais modifie ensuite à tort le rang qui le précède. Arrondi au dixième, 2,96 donne 3,0 et non 2,6. On oublie aussi souvent que, après l'arrondi, le nombre reste un résultat avec le nombre de décimales souhaité ; ainsi 4,5 arrondi au centième s'écrit 4,50.

Une tâche se présente par exemple ainsi :

• Arrondir au dixième : 3,47 devient 3,5.
• Arrondir au centième : 0,826 devient 0,83.

Pour s'entraîner, les fiches d'exercices imprimables avec corrigés conviennent bien. Le résultat arrondi peut en outre être vérifié par un bref calcul d'estimation, par exemple en se demandant si la réponse est proche du nombre de départ.

Selon le programme scolaire, les enfants doivent effectuer et interpréter des opérations avec des nombres naturels et des nombres décimaux non négatifs, ainsi que réaliser des calculs d'estimation. Pour la multiplication, cela signifie : votre enfant calcule avec des nombres décimaux, comprend la signification du résultat et vérifie à l'aide d'un calcul approximatif si la valeur est plausible. Le programme ne précise pas de plage de nombres particulière ; nous décrivons donc simplement ce que montrent les exercices des fiches de travail.

Une erreur typique : l'enfant calcule comme s'il n'y avait pas de virgule et place la virgule au mauvais endroit à la fin. Des résultats comme 0,1 au lieu de 10 pour 2,5 fois 4 apparaissent souvent, parce que les chiffres après la virgule ne sont pas pris en compte. L'estimation aide ici : 2,5 fois 4 est environ égal à 2 fois 4, soit à peu près 8. Un résultat de 0,1 ou de 100 saute alors immédiatement aux yeux.

Dans le volume de niveau fondamental de la 1re année, on trouve à ce sujet deux types d'exercices sur les fiches de travail imprimables :

• Multiplier des nombres décimaux : Deux nombres avec une virgule sont multipliés l'un par l'autre, et le résultat est vérifié à l'aide d'un calcul d'estimation.
• Multiplier une longueur par un nombre : Un ruban mesure 2,5 m de long, et il en faut 4. La longueur totale est de 2,5 m fois 4 = 10 m. On voit ici comment interpréter le résultat : l'unité est conservée et se rapporte à l'objet.

Votre enfant apprend à traduire une description en langage courant en une expression de calcul avec des lettres. Un exemple : « 4 de plus que le triple d'un nombre x » devient 3 · x + 4. Le programme demande pour cela de établir et d'interpréter des termes simples, des équations et des formules. Le point du programme ne mentionne pas de plage de nombres.

Il est typique que l'ordre des mots soit repris directement dans le calcul. On inverse alors des nombres, par exemple 4 · x + 3 au lieu de 3 · x + 4, ou bien le facteur « le triple » est oublié et seul x + 4 est écrit. La raison : la phrase décrit un sens, et l'ordre des mots ne correspond pas toujours à l'ordre des étapes de calcul.

Dans ce domaine des mathématiques, il existe deux formes d'exercices pour cette compétence :

• Établir un terme : … de plus que le multiple. Votre enfant écrit, pour une description à une variable, le terme correspondant.
• Établir un terme à deux variables. Deux lettres apparaissent ici, par exemple pour deux grandeurs différentes, et le terme les relie.

Pour vérifier, il est utile de substituer un nombre aux lettres et de contrôler si le terme reproduit bien la description.

L'enfant peut déterminer le périmètre d'un polygone en additionnant toutes les longueurs des côtés. Le programme scolaire demande en outre de calculer le périmètre de carrés et de rectangles. Ce point figure dans le programme de l'école primaire autrichienne, et les exercices de cette page présentent la partie qui est travaillée en 1^re année de Mittelschule ou d'AHS. Le programme ne mentionne pas de plage numérique précise pour ce point.

Une erreur typique survient avec le côté manquant : beaucoup d'enfants additionnent les côtés connus et le périmètre, au lieu de soustraire les côtés connus du périmètre. Il arrive aussi souvent qu'un côté soit oublié lors de l'addition, surtout pour les figures ayant plus de quatre sommets, car tous les côtés ne se ressemblent pas.

Le modèle Périmètre d'un polygone demande d'additionner toutes les longueurs des côtés d'une figure. Le modèle Côté manquant à partir du périmètre donne le périmètre et tous les côtés sauf un ; l'enfant calcule d'abord la somme des côtés connus, puis soustrait cette somme du périmètre. Les fiches de travail de cette page sont imprimables et contiennent des solutions pour la vérification.

L'enfant travaille avec des figures géométriques simples dans le plan. Il s'agit ici concrètement du cercle : lorsque le rayon est donné, l'enfant détermine le diamètre, et lorsque le diamètre est donné, il détermine le rayon. Les points du plan d'études ne mentionnent pas de plage de nombres pour cela, c'est pourquoi ce texte décrit uniquement les types d'exercices qui apparaissent dans ce domaine.

Les enfants confondent souvent les deux notions ou oublient le facteur 2. Le rayon va du centre jusqu'au bord, le diamètre passe par le centre et va d'un bord à l'autre. Le diamètre est donc deux fois plus long que le rayon. Lorsqu'un enfant reprend simplement le rayon comme diamètre ou divise par deux alors qu'il devrait multiplier par deux, cette confusion est généralement la cause.

Les exercices typiques des fiches de travail sont :

• Diamètre à partir du rayon : Le rayon est donné, on cherche le diamètre.
• Rayon à partir du diamètre : Le diamètre est donné, on cherche le rayon.

Les deux types d'exercices existent sous forme de fiches imprimables avec corrigés, afin que vous puissiez vérifier le calcul avec l'enfant ensemble.

L'enfant traduit des situations du quotidien impliquant de l'argent en calculs. Il écrit des montants en euros et centimes (par exemple 2 € 35 ct ou 2,35 €) et interprète correctement les indications de prix. Si un tableau montre qu'avec le double d'articles le prix est aussi doublé, l'enfant peut reconnaître cette relation de proportionnalité directe et l'utiliser pour ses calculs. Les points du programme ne précisent pas de plage de nombres pour cette classe. C'est pourquoi nous décrivons ici uniquement ce que montrent les modèles de tâches.

Une erreur typique apparaît lors de la lecture des nombres décimaux. De nombreux enfants lisent 2,5 € comme « 2 euros 5 centimes » au lieu de « 2 euros 50 centimes ». Dans ce cas, 0,8 € semble plus grand que 0,75 €, car 8 est plus grand que 75. Une deuxième erreur fréquente : deux offres avec des quantités différentes (par exemple 500 g et 1 kg) sont comparées directement, sans convertir les unités de mesure. Les deux erreurs sont liées à la manipulation des nombres décimaux et aux conversions d'unités.

Dans la pratique, les tâches se présentent ainsi :

• Quelle offre est la plus avantageuse ? L'enfant compare deux prix et justifie sa décision par un calcul.
• Combien d'argent reste-t-il ? L'enfant soustrait les dépenses du montant de départ et peut ainsi vérifier si la monnaie rendue est correcte.

Comme aide personnelle, et non comme exigence du programme, on peut, lors d'une comparaison, commencer par rapporter les deux prix à la même quantité, par exemple à 1 kg.

Le programme de l'école primaire allemande prévoit que les nombres jusqu'à 1 000 000 soient lus, écrits, représentés, décomposés, comparés, ordonnés et arrondis. Ce domaine s'étend sur plusieurs années scolaires. En 5e année, selon les modèles de tâches de ce domaine, ce sont surtout la comparaison de grands nombres et la compréhension des valeurs de position qui sont au centre de l'attention.

Une erreur typique consiste à lire les nombres chiffre par chiffre, au lieu de les lire par tranches de trois chiffres comme « 482 905 » (482 mille 905). À l'écriture, on oublie des zéros, si bien que « deux millions trois cents » devient un nombre comme 2 300. Lors de la comparaison, certains enfants ne regardent que le dernier ou le premier chiffre. Il faut en réalité d'abord compter le nombre de chiffres, puis considérer le chiffre le plus à gauche où les nombres diffèrent. La cause se trouve généralement dans le fait que la signification d'un chiffre selon sa position n'est pas encore solidement ancrée.

Dans la fiche « Comparer de grands nombres », l'enfant place les signes <, > ou = entre deux nombres, par exemple 482 905 et 489 210. Dans « Combien de fois plus grand ? Valeurs de position », on détermine combien de fois un nombre est plus grand qu'un autre, par exemple 3 000 par rapport à 300 (dix fois plus grand). Toutes les tâches existent sous forme de fiches imprimables avec solutions.

Votre enfant apprend à mettre en équation un problème concret comportant une variable, à résoudre cette équation et à rapporter le résultat à la situation. Les plans d'études décrivent cela de manière générale pour les expressions, les équations et les formules dans différentes situations. Ils ne mentionnent pas explicitement de domaine numérique précis pour ce niveau.

Une erreur typique consiste à traduire les mots en opérations. Pour « 5 de moins que le nombre », on écrit souvent 5 − x au lieu de x − 5. Dans les problèmes où l'on cherche la quantité de départ, les variations mentionnées sont parfois calculées dans le mauvais sens : ce qui a été ajouté est additionné, alors qu'il faudrait le retrancher pour revenir en arrière. La raison en est généralement que la grandeur recherchée n'a pas été posée comme variable, mais que l'on calcule directement avec des nombres.

Les modèles d'exercices de ce domaine ont deux formes :

• Quel était le nombre ? Le texte décrit un nombre recherché, par exemple à travers un calcul effectué avec lui. L'enfant pose le nombre comme x, établit l'équation et la résout.
• Combien y en avait-il au départ ? Le texte décrit ce qui s'est passé et donne l'état final. La quantité de départ est l'inconnue qui figure dans l'équation.

Les fiches d'exercices contiennent des solutions qui vous permettent de comparer les résultats. Une étape utile consiste à reporter la solution calculée dans le texte de départ et à vérifier si elle correspond à l'histoire. Les plans d'études mentionnent aussi les fractions, les proportionnalités et les pourcentages ; les modèles disponibles ici ne proposent pas d'exemples propres à ces notions.

Votre enfant peut calculer des expressions avec des parenthèses. Il faut d'abord calculer la partie entre parenthèses, puis insérer le résultat dans le reste de l'expression. Le programme scolaire mentionne pour cela les nombres naturels et les nombres décimaux non négatifs. Il ne prévoit pas de domaine numérique propre aux expressions avec parenthèses. Les points du programme décrivent par ailleurs une période plus longue de la scolarité et pas seulement cette classe.

Une erreur typique consiste à ne pas remarquer la parenthèse et à calculer l'expression simplement de gauche à droite. Pour 3 · (4 + 2), cela donne 3 · 4 + 2 = 14, alors que le résultat correct est 3 · 6 = 18. L'erreur vient du fait que la parenthèse est perçue comme une simple écriture et non comme une consigne de calculer d'abord ce qu'elle contient. Une estimation rapide aide : si le résultat est nettement plus petit que prévu, la parenthèse a probablement été ignorée.

Les exercices sur ce thème se présentent sous la forme d'une expression comportant une parenthèse, à calculer. Le modèle correspondant s'intitule « Calculer une expression avec parenthèses ». Par exemple :

• (7 + 5) · 3
• 20 − (6 + 4)
• (2,5 + 1,5) · 2

Les fiches d'exercices avec solutions permettent de vérifier soi-même les résultats.

Lors de l'estimation, les nombres d'un calcul sont arrondis à des valeurs simples afin de déterminer mentalement le résultat approximatif. Ce résultat sert de contrôle : si le calcul exact s'en écarte fortement, il est utile de le vérifier. Les plans d'études de l'école primaire rattachent l'estimation aux espaces numériques 1000 et 1 000 000. Pour cette classe, le plan d'études précise : effectuer des calculs d'estimation avec des nombres naturels et des nombres décimaux non négatifs.

Une erreur typique apparaît avec les nombres décimaux : au lieu d'arrondir à l'entier le plus proche, on supprime simplement les chiffres après la virgule. Ainsi, 4,8 est compté comme 4, alors que 5 est le nombre le plus proche. Avec plusieurs termes, ces écarts s'additionnent et l'estimation s'éloigne nettement du résultat. Il est utile de se poser la question pour chaque nombre : est-il plus proche de l'entier inférieur ou de l'entier supérieur ?

Sur les fiches d'exercices consacrées à ce thème, on rencontre la forme d'exercice Estimer une somme. Par exemple, pour 3,8 + 6,4 + 2,9, on calcule d'abord avec des entiers arrondis (4 + 6 + 3 = 13), puis on effectue le calcul exact (13,1). Les solutions de la fiche aident à comparer l'estimation et le résultat exact.

Votre enfant apprend à étendre des fractions : le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre. La fraction a ensuite un dénominateur plus grand, mais elle a la même valeur. Le programme scolaire formule, pour le domaine des nombres, un objectif pour l'ensemble du niveau, à savoir interpréter, représenter et comparer les nombres naturels ainsi que les nombres décimaux et fractionnaires non négatifs. Cette proposition de fiches de travail présente surtout, pour la 1re année, l'extension de fractions.

Une erreur typique consiste à ne multiplier que le dénominateur ou que le numérateur, par exemple 1/2 = 1/4 au lieu de 2/4. Il est tout aussi fréquent d'ajouter le même nombre au lieu de le multiplier, par exemple 1/2 = 2/3. Derrière cela se cache souvent l'idée que le numérateur et le dénominateur seraient deux nombres séparés, et non un rapport partie-tout. Un dessin est utile : lorsqu'un cercle ou une bande est découpé en parts de même taille, il est facile de vérifier que la proportion est restée la même.

Un exercice ressemble par exemple à ceci : « Étends 3/5 par 2 » ou « Complète : 3/4 = ?/12 ». Les fiches de travail sur le thème étendre des fractions proposent de tels exemples, et les solutions vous aident à vérifier les réponses.

L'enfant apprend à classer les angles selon leur grandeur. On distingue surtout ces types :

• aigu : plus petit qu'un angle droit
• droit : exactement aussi grand qu'un coin d'un carré
• obtus : plus grand qu'un angle droit, mais plus petit qu'un angle plat

Le programme rattache ce thème au travail avec des objets géométriques simples dans le plan. Il ne mentionne pas de plage numérique précise à cet endroit.

Une erreur typique consiste à croire que la longueur des côtés détermine la grandeur de l'angle. Un angle aux côtés longs peut être aigu, et un angle aux côtés courts peut être obtus. Seule compte l'ouverture entre les deux côtés. Une deuxième erreur survient avec les angles légèrement supérieurs à 90° : on les nomme facilement droits, car l'écart est difficile à repérer à l'œil.

Un exercice adapté se trouve dans l'offre de fiches de travail sous le titre Déterminer le type d'angle. L'enfant voit plusieurs angles et attribue à chacun le type correspondant. On voit ainsi s'il regarde l'ouverture et non la longueur des côtés.

Le plan d'études demande d'interpréter, de représenter et de comparer les nombres naturels ainsi que les nombres décimaux et fractionnaires non négatifs. Il décrit une période pluriannuelle et ne précise pas de plage numérique propre à la 1^re année. Pour cette classe, les modèles de tâches disponibles montrent concrètement ce qui est travaillé : écrire sous forme de fraction le quotient de deux nombres naturels.

Une erreur fréquente consiste à inverser le dividende et le diviseur, c'est-à-dire à écrire 3 : 4 comme 4/3. Cela vient souvent du fait que l'ordre des nombres autour du signe de division n'est pas transposé consciemment à la fraction. Cette règle peut aider :

• Le nombre avant les deux-points devient le numérateur (en haut).
• Le nombre après les deux-points devient le dénominateur (en bas).

Une tâche typique est par exemple : Écris 5 : 8 sous forme de fraction. La solution est 5/8. De tels exercices se trouvent sous le modèle « Écrire un quotient sous forme de fraction » dans les fiches de travail imprimables, chacune avec ses solutions.

Votre enfant peut écrire un nombre décimal sous forme de fraction, par exemple 0,75 = 75/100. Cela fait partie du point du programme consistant à interpréter, représenter et comparer des nombres décimaux et fractionnaires non négatifs. Le programme décrit ce point pour un niveau scolaire entier. Pour cette classe, ce qui compte est ce que montrent les exercices : les nombres décimaux sont convertis en fractions.

Une erreur typique consiste à simplement reprendre les chiffres en ignorant la valeur de position. On écrit alors par exemple 0,5 sous la forme 1/5 ou 0,25 sous la forme 25/10. La raison : l'enfant se fonde sur les chiffres au lieu de se fonder sur le dernier rang après la virgule.

• Une décimale après la virgule correspond au dénominateur 10 (0,5 = 5/10).
• Deux décimales correspondent au dénominateur 100 (0,25 = 25/100).
• Trois décimales correspondent au dénominateur 1000 (0,125 = 125/1000).

Sur les fiches imprimables intitulées « Écrire un nombre décimal sous forme de fraction », on donne des nombres décimaux qui doivent être écrits sous forme de fraction. Les fiches contiennent des solutions pour l'autocorrection. À la maison, il est utile de compter ensemble combien de chiffres se trouvent après la virgule avant de fixer le dénominateur.

Le programme de mathématiques prévoit que les élèves interprètent, représentent et comparent des nombres décimaux et des fractions non négatifs. La conversion d'une fraction en nombre décimal en fait partie : une fraction comme ½ et le nombre décimal 0,5 désignent la même quantité. L'extrait du programme ne mentionne pas de plage numérique précise, c'est pourquoi aucune n'est indiquée ici.

Une erreur typique survient lorsque les chiffres du dénominateur sont simplement repris comme décimales. Ainsi, ¼ devient alors 0,4 au lieu de 0,25, parce qu'on recopie seulement le 4 sans réfléchir à la partie du tout qui est désignée. Il est utile de se poser la question : le nombre décimal a-t-il la même valeur que la fraction ?

Sur les fiches d'exercices imprimables, cette compétence apparaît dans le modèle Écrire une fraction sous forme décimale. Des fractions sont proposées, que l'enfant doit transcrire en écriture décimale. Chaque exercice est accompagné d'une solution, qui permet de vérifier le résultat.

Le programme scolaire exige que les élèves interprètent, représentent et comparent des nombres décimaux et des fractions non négatifs. Ce point du programme vaut pour l'ensemble du cycle et pas seulement pour la 1re année. Le nombre de chiffres à atteindre précisément dans cette classe ne peut pas être déduit des indications disponibles. Comparer suppose que votre enfant comprenne ce que signifient les chiffres après la virgule et sache déterminer lequel de deux nombres est le plus grand.

Une erreur typique consiste à traiter les décimales comme des nombres entiers. On obtient alors que 0,45 paraît plus grand que 0,5, parce que 45 est plus grand que 5. L'erreur vient de ce que l'enfant ne tient pas compte de la valeur de position : le 5 dans 0,5 représente cinq dixièmes, alors que 45 dans 0,45 représente quatre dixièmes et cinq centièmes.

Dans les fiches d'exercices sur ce thème figure la tâche Comparer des nombres décimaux. Votre enfant y place, entre deux nombres décimaux, le signe approprié (<, > ou =). Astuce pratique personnelle, qui ne fait pas partie du programme : on peut ajouter autant de chiffres après la virgule aux deux nombres (0,50 et 0,45), afin que les chiffres se trouvent directement côte à côte pour être comparés.

L'élève doit effectuer des opérations avec des nombres décimaux non négatifs, les interpréter et faire des estimations. Le point du plan d'études U1.1.2 concerne une période de plusieurs années et ne mentionne aucune plage numérique concrète. Ce qui est effectivement proposé en 1re année est illustré par le modèle de tâche « Diviser des nombres décimaux ».

Une erreur typique consiste à traiter la virgule lors d'une division comme pour les nombres entiers. La position de la virgule dans le résultat est alors fausse, et l'on obtient un nombre d'un mauvais ordre de grandeur. L'estimation aide ici : celui qui estime 12,6 : 3 (12 : 3 vaut environ 4) remarque tout de suite si 0,42 ou 42 apparaît.

Les fiches d'exercices imprimables comportent des tâches liées à ce modèle, chacune accompagnée de solutions. Un exemple illustratif serait une division dont le résultat contient une virgule. L'élève peut procéder ainsi :

• Estimer d'abord, à peu près, la grandeur que le résultat devrait avoir.
• Calculer précisément la tâche.
• Comparer le résultat à l'estimation et vérifier la position de la virgule.

Le programme scolaire indique que les enfants doivent décrire les propriétés des pavés droits et justifier et appliquer les formules de l'aire de surface et du volume. Cela comprend le fait qu'un pavé droit possède six faces, égales deux à deux, et que l'aire de surface se comprend comme la somme de ces faces. Le programme ne mentionne pas de plage de nombres précise pour ce passage ; ce sont les exercices qui montrent quels nombres apparaissent en classe.

Souvent, les enfants partent de deux erreurs différentes. Soit ils ne comptent que certaines faces, par exemple seulement le dessous et le dessus, soit ils multiplient la longueur par la largeur sans tenir compte des autres faces. Une autre erreur typique est la confusion avec le volume : l'aire de surface s'exprime en unités carrées, le volume en unités cubiques. Il est utile de dessiner réellement les faces ou d'observer un patron du pavé droit.

Un exercice typique est la fiche « Aire de surface d'un pavé droit ». On y donne la longueur, la largeur et la hauteur d'un pavé droit, et l'enfant calcule l'aire de surface. Les fiches sont imprimables et contiennent des solutions, afin que les parents puissent bien suivre les résultats.

L'enfant écrit une mesure exprimée avec deux unités, par exemple 2 m 5 cm, sous la forme d'un nombre décimal dans une seule unité, ici 2,05 m. Il lit correctement la mesure : il reconnaît quelle partie est exprimée en mètres et quelle partie en centimètres. Le programme scolaire ne prévoit pas de plage numérique particulière pour ce point.

Une erreur typique consiste à écrire 2 m 5 cm sous la forme 2,5 m. La raison tient à la valeur de position : un centimètre est la centième partie d'un mètre, donc 5 cm = 0,05 m. Les centimètres occupent donc deux chiffres après la virgule, et le chiffre 5 se place à la deuxième position, et non à la première.

Les exercices de ce domaine portent le titre « Exprimer une longueur sous forme de nombre décimal ». Il existe des fiches imprimables avec corrigés, par exemple :

• Écris 3 m 40 cm sous la forme d'un nombre décimal en mètres. (Solution : 3,40 m)
• Écris 1 m 8 cm sous la forme d'un nombre décimal en mètres. (Solution : 1,08 m)

Les programmes scolaires indiquent pour les grandeurs de quantité les unités litre (ℓ) et millilitre (mℓ). Votre enfant doit comprendre les indications de mesure, écrire les grandeurs avec une ou plusieurs unités et effectuer des conversions. Les points du programme ne mentionnent pas de plage numérique propre à cela ; nous décrivons donc ici seulement ce qui est travaillé dans cette classe : la conversion vers une unité de volume plus petite.

Une erreur typique vient de l'attente qu'une unité plus petite donne aussi un nombre plus petit. Celui qui convertit 2 ℓ en millilitres écrit parfois 2 mℓ ou calcule avec 100 au lieu de 1000, parce que cela vient de la conversion de centimètres et de mètres. Le bon résultat est : 1 ℓ = 1000 mℓ, donc le nombre devient plus grand lors du passage à l'unité plus petite, à savoir 2 ℓ = 2000 mℓ.

Un exercice de ce type peut être par exemple : « Combien de millilitres font 3 ℓ ? » ou « Écris 2500 mℓ en litres et millilitres. » Vous trouverez de tels exercices dans la rubrique « Convertir dans une unité de volume plus petite » sur les fiches de travail imprimables avec solutions. Une image utile (une suggestion propre, qui ne fait pas partie des exigences du programme) : une brique de lait contient environ 1 ℓ, donc 1000 mℓ.

L'enfant apprend à multiplier par écrit deux nombres à plusieurs chiffres. Le programme de l'école primaire autrichienne vise la multiplication par un multiplicateur à un chiffre et à deux chiffres dans l'espace numérique jusqu'à 1 000 000, les résultats devant être estimés par arrondi et calcul approximatif. Le programme pour le Mittelschule et l'AHS mentionne les opérations avec des nombres naturels et des nombres décimaux non négatifs, également accompagnées de calculs approximatifs.

Une erreur typique survient avec le multiplicateur à deux chiffres : le deuxième produit partiel n'est pas décalé d'un rang vers la gauche. Par exemple, pour 24 · 13, on calcule correctement 24 · 3 = 72, mais on écrit ensuite 24 · 1 = 24 directement en dessous au lieu de 240. La somme donne alors 96 au lieu de 312. Une estimation rapide aide à repérer ce type d'erreur : 24 · 13 vaut environ 25 · 12 = 300.

Sur les fiches d'exercices imprimables consacrées au thème « Multiplier par écrit des nombres à plusieurs chiffres », les enfants s'entraînent à cette méthode avec des nombres à plusieurs chiffres. Les corrigés sont fournis, afin que les parents puissent vérifier les calculs avec leur enfant.

Votre enfant peut lire et comparer des valeurs dans un diagramme en colonnes et dans un tableau : quelle colonne est la plus haute ? Quelles valeurs sont égales ? Quelle est la différence ? Le programme demande de lire des données présentées sous différentes formes. Pour ce thème, la consigne ne mentionne pas de plage numérique particulière.

Une erreur typique consiste à juger les colonnes uniquement sur leur hauteur et à ne pas remarquer l'échelle au bord du graphique. Lorsqu'une unité correspond à plusieurs carreaux ou que l'échelle ne commence pas à zéro, des colonnes de même hauteur peuvent représenter des valeurs différentes, et l'apparence trompe. Cette erreur vient du fait qu'une colonne ressemble facilement à une quantité, alors que seule l'échelle détermine la valeur. Comme suggestion personnelle pour s'entraîner : avant chaque réponse, l'enfant dit à voix haute ce que l'échelle indique pour cette colonne.

Un exercice sur ce thème consiste généralement à comparer des colonnes d'un diagramme. L'enfant lit d'abord la valeur de chaque colonne, puis répond à des questions comme :

• Quelle colonne est la plus haute ?
• Quelles colonnes indiquent la même valeur ?
• De combien l'une des valeurs est-elle plus grande que l'autre ?

Le programme mentionne aussi les fréquences relatives et la reconnaissance des manipulations dans les représentations. Les exemples d'exercices pour cette classe ne montrent toutefois que la comparaison de colonnes ; les exercices allant au-delà ne figurent pas dans les tâches proposées ici.

En 1^re année de la Mittelschule ou de l'AHS, l'élève apprend à interpréter, représenter et comparer des nombres décimaux positifs ou nuls. Le point du programme ne précise pas de nombre fixe de chiffres après la virgule. Pour cette classe, les exercices de ce domaine portent surtout sur la lecture du chiffre des centièmes : dans 3,47, le 4 se trouve au rang des dixièmes et le 7 au rang des centièmes.

Une erreur fréquente apparaît lorsque l'élève traite les chiffres après la virgule comme des nombres entiers. Il lit alors, par exemple dans 0,38, le 3 comme un centième parce qu'il est placé en premier, ou détermine le rang uniquement d'après le nombre de chiffres. Il arrive aussi que 0,25 semble plus grand que 0,4, parce que 25 est supérieur à 4. La raison : la valeur d'un chiffre dépend de sa position après la virgule, et non du chiffre lui-même.

Un exercice sur ce thème se présente ainsi : on montre à l'élève un nombre décimal, et il doit nommer le chiffre au rang des centièmes. Les fiches de travail de ce domaine contiennent pour cela le modèle « Lire le chiffre des centièmes », avec des solutions pour vérifier. Une aide possible à la maison (proposition personnelle, et non un point du programme) : écrire les rangs de gauche à droite (dixièmes, centièmes, etc.) et placer chaque chiffre individuellement sous son étiquette.

Votre enfant apprend à décrire, pour deux segments dans le plan, s'ils sont parallèles ou perpendiculaires l'un à l'autre. Le programme scolaire ne donne aucune plage numérique pour cela ; ce qui compte, c'est la position des segments les uns par rapport aux autres. Le tracé d'angles droits à l'aide de l'équerre fait également partie de ce même point du programme.

On juge souvent uniquement à l'œil : un segment incliné sur la feuille paraît alors « un peu différent », alors qu'il peut être parallèle à un autre. Les termes parallèle et perpendiculaire sont aussi facilement confondus. Il est utile de compter les carreaux du quadrillage pour le segment : combien de carreaux parcourt-il horizontalement, combien verticalement ? Il s'agit d'une aide d'apprentissage de notre part et non d'un point distinct du programme.

Dans l'exercice « Parallèle ou perpendiculaire ? », l'enfant voit des segments sur un quadrillage et décide pour chaque paire s'ils sont parallèles ou perpendiculaires. Les fiches de travail sont imprimables, et une solution est disponible pour chaque exercice afin de comparer.

Le plan d'études demande de travailler avec des objets géométriques simples dans le plan. Mesurer des angles avec le rapporteur fait partie de ce domaine. Le plan d'études ne donne pas de plage numérique précise pour cela, c'est pourquoi on décrit seulement ici ce que montrent les exercices de cette classe.

Une erreur fréquente consiste à lire la mauvaise échelle. Le rapporteur possède deux graduations d'angle en sens opposés, et les deux commencent à 0. Si la marque zéro ne se trouve pas exactement sur un côté de l'angle, le résultat est faux. Souvent, l'angle est alors bien tracé, mais le nombre est lu sur la mauvaise échelle, et le résultat s'écarte nettement.

Dans les fiches de travail, l'exercice Lire un angle avec le rapporteur montre comment l'enfant place le rapporteur au sommet et lit la valeur en degrés. Un contrôle utile consiste à estimer d'abord si l'angle est aigu, droit ou obtus, puis à comparer le résultat à cette estimation.

L'enfant distingue les lignes tracées selon la manière dont elles sont délimitées. Un segment a deux extrémités. Une demi-droite n'a qu'un point de départ et se prolonge indéfiniment dans une seule direction. Une droite n'a ni début ni fin et se prolonge indéfiniment dans les deux directions. Les points du programme scolaire décrivent une période de plusieurs années scolaires. Cette page ne décrit que la partie travaillée en 1^re année à l'aide des modèles d'exercices.

Une erreur typique consiste à confondre demi-droite et segment, parce que les deux ont un début visible. La droite aussi est souvent décrite comme un « segment particulièrement long ». Cela tient au fait que, sur papier, chaque ligne n'est qu'un extrait. La distinction n'apparaît qu'à travers les pointes de flèche et la question de savoir si la ligne se termine et où :

• Deux extrémités, pas de flèches : segment.
• Un point de départ, une flèche à l'autre extrémité : demi-droite.
• Des flèches aux deux extrémités : droite.

Le modèle d'exercice correspondant s'intitule « Segment, demi-droite ou droite ? ». L'enfant y associe des dessins à l'une de ces trois appellations et justifie son choix à l'aide des extrémités et des flèches. Le point du programme comprend en outre le tracé d'angles droits, de carrés et de rectangles à l'aide de l'équerre. Les exercices disponibles sur ce thème ne portent toutefois que sur l'association. Il n'existe pas ici de modèle distinct consacré au tracé à l'équerre.

Le programme scolaire décrit les figures symétriques par rapport à un axe sur plusieurs années scolaires : les enfants doivent les reconnaître, les construire et utiliser leurs propriétés. Dans cette classe, les fiches de travail portent surtout sur une partie de cela, à savoir la symétrie de points isolés par rapport à une droite.

L'enfant trace, pour un point donné et une droite donnée (l'axe de symétrie), le point image. Le point image se trouve de l'autre côté de la droite, à la même distance de celle-ci et perpendiculairement au point de départ. Pour ces exercices, le programme ne prévoit pas de plage de nombres spécifique.

Erreurs typiques et leurs causes :

• Le point image se trouve du même côté que le point de départ. Cela arrive lorsque le point est seulement déplacé au lieu d'être symétrisé.
• La distance est mesurée en biais ou à l'œil au lieu de perpendiculairement à la droite. Le point image se retrouve alors trop loin ou trop près de l'axe.

Un exercice du modèle « Symétrie d'un point par rapport à une droite » donne une droite et un point ; l'enfant complète le point image. Pour vérifier, on peut plier la feuille le long de la droite : si le point et son image se superposent, la solution est correcte. Cette astuce est une suggestion et ne fait pas partie de la consigne.

L'enfant examine des figures planes et des solides, décrit leurs propriétés et les compare, parfois de manière ludique, par exemple avec des objets symétriques de la vie quotidienne. Les points du programme n'indiquent pas de plage numérique pour cela, car il s'agit de propriétés et non de grandeurs. Les caractéristiques typiques sont :

• Prisme : deux bases parallèles de même taille, les autres faces sont des rectangles (par exemple un prisme triangulaire ou un pavé droit).
• Pyramide : une base et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet.
• Cylindre : deux disques de même taille en haut et en bas et une surface latérale courbe.
• Cône : un disque comme base et un sommet, sans arêtes.
• Sphère : ronde, sans sommets, arêtes ni faces planes.

Une erreur fréquente survient lorsque les enfants ne regardent que le sommet ou la forme d'une seule partie. Un cône est alors confondu avec une pyramide, parce que les deux ont un sommet, ou un cylindre couché est pris pour un cône. Un pavé droit n'est souvent pas reconnu comme un prisme, parce que les enfants ne pensent qu'aux prismes triangulaires. Il est utile de compter et de nommer les faces, plutôt que de décider selon la première impression.

Un exercice sur ce thème est par exemple la fiche « Quel est ce solide ? ». L'enfant détermine un solide représenté à partir de ses faces, de ses arêtes et de ses sommets, puis le nomme. Les points du programme décrivent aussi le calcul de l'aire totale et du volume des prismes droits ainsi que du volume des pyramides. De tels calculs ne sont pas proposés dans les exercices de ce domaine ; ici, l'accent est mis sur la reconnaissance et la description.

L'élève peut mesurer ou estimer l'aire de figures planes à l'aide d'unités d'aire et calculer l'aire de carrés et de rectangles. Pour des figures simples composées de rectangles, il décompose la figure en rectangles partiels, calcule leurs aires et les additionne. Le programme scolaire ne donne pas de plage de nombres pour ce point.

Il manque souvent une longueur de côté qui n'est pas indiquée directement. L'élève calcule alors avec une longueur totale au lieu de la longueur restante, qui résulte de la différence. Une autre erreur typique consiste à confondre aires et périmètres ou à écrire l'unité cm au lieu de cm².

Dans les fiches de travail de cette classe, on trouve surtout l'exercice aire d'une figure en forme de L. Une démarche possible est la suivante :

• déterminer les longueurs de côté manquantes à partir des mesures données,
• décomposer la figure en deux rectangles,
• calculer les deux aires et les additionner,
• donner le résultat avec la bonne unité.

Les solutions figurent sur les fiches de travail avec.

Dans le domaine des modèles de corps, l'enfant apprend à examiner, associer et construire des patrons de corps simples. Il s'agit de formes et de dispositions, et non de nombres. Le point du programme U1.3.3 sur les pavés (justifier les propriétés, la surface et le volume) est un objectif qui s'étend sur tout le cycle. Sur cette page, pour la classe de 5e, seul le patron du cube est travaillé parmi les patrons.

Une erreur typique : l'enfant compte seulement s'il y a six carrés et considère toute figure de ce type comme un patron de cube. Lors du pliage, des faces se chevauchent alors, ou une face du cube reste ouverte. Voici deux exemples qui ne sont pas des patrons de cube : un rectangle formé de deux rangées de trois carrés, où tous les carrés sont exactement superposés, ou quatre carrés en une rangée avec deux carrés côte à côte sur un côté. Souvent, l'enfant se fie à l'apparence (« ça ressemble à un cube ») au lieu de se demander si chaque face du cube apparaît exactement une fois.

Un exercice se présente ainsi : la figure formée de carrés est montrée, et l'enfant décide par « Oui » ou « Non » si elle est un patron de cube, puis justifie sa réponse. Le modèle correspondant est « Est-ce un patron de cube ? ». Idée personnelle pour s'entraîner (non obligatoire) : dessiner la figure sur du carton, la découper et la plier pour vérifier la décision.

L'enfant apprend à résoudre des équations simples : un nombre dans un calcul est inconnu, et l'enfant le trouve en parcourant le calcul à rebours. Le plan d'études n'indique aucune plage de nombres, c'est pourquoi aucune n'est précisée ici.

Une erreur typique consiste à utiliser pour la résolution la même opération que dans l'énoncé. Celui qui, pour « plus 3 », calcule à nouveau « plus 3 » obtient un résultat faux. Souvent, les étapes sont aussi annulées dans le mauvais ordre. La raison : les enfants calculent généralement en avançant, et la question du nombre de départ exige d'inverser le sens et de résoudre d'abord la dernière étape.

Pour ce domaine, il existe le modèle d'exercice Nombre pensé. Un exemple : « Je pense à un nombre, je le double et j'ajoute 3. Le résultat est 17. Quel nombre ai-je pensé ? » L'enfant parcourt les étapes à rebours :

• 17 − 3 = 14 (l'addition est annulée)
• 14 : 2 = 7 (le doublement est annulé)