Wiskunde — klas 5

Het kind stelt eenvoudige telopdrachten voor en lost ze op. Het ordent de combinaties zo, dat je ziet of ze allemaal erbij zijn, bijvoorbeeld als lijst of tabel. Het leerplan noemt daarvoor het punt VS3.1.2 uit de basisschool. Een concrete getalsgrootte geeft het niet aan. Het punt U1.4.1 vraagt bovendien om gegevens te ordenen en weer te geven, wat erbij past: de gevonden combinaties overzichtelijk vastleggen.

Typische fout: Wie combinaties zonder vaste volgorde opschrijft, telt een mogelijkheid dubbel of mist er een. Als bijvoorbeeld een broodsoort met een beleg wordt gecombineerd, verliest men snel het overzicht over welke paren al zijn gevormd. Helpt een vaste ordening, bijvoorbeeld eerst alle paren met de eerste soort en dan met de tweede, dan gebeurt dat minder vaak.

Typische opdrachten in dit domein zijn:

• Hoeveel verschillende paren: juist of onjuist
• Hoeveel verschillende combinaties zijn mogelijk
• Schrijf alle combinaties op
• Hoeveel combinaties uit drie soorten
• Hoeveel paren blijven over als een deel kapotgaat
• Hoeveel paren meer na een extra deel
• Bekend aantal paren: hoeveel in de andere verzameling
• Hoeveel verschillende paren: kies het juiste antwoord

De werkbladen bij deze opdrachten bevatten oplossingen. Kansen worden in de hier beschikbare opdrachten niet afzonderlijk geoefend.

Het kind kan gegevens uit een tabel of een diagram aflezen en daarmee eenvoudige vergelijkingen maken. De gegevens komen uit het dagelijks leven, en de weergaven zijn tabellen, kolomdiagrammen en staafdiagrammen. De leerplandoelen waarop deze tekst is gebaseerd, noemen hiervoor geen concreet getallenbereik.

Typisch is dat bij het vergelijken van twee rijen of staven de verkeerde plek wordt afgelezen, bijvoorbeeld omdat men zoekt naar de naam in plaats van naar de getalswaarde, of omdat men de staafhoogte op het oog beoordeelt in plaats van aan de waarde op de as. Bij vragen naar het verschil wordt bovendien vaak de volgorde van de aftrekking verwisseld. Wie de vraag maar half leest, rekent dan "hoeveel minder" in plaats van "hoeveel meer". Een nauwkeurig lezen van de vraag helpt hier meestal meer dan snel rekenen.

In de praktijk zien opdrachten over dit onderwerp er zo uit:

• Hoeveel meer volgens de tabel: twee rijen vergelijken en het verschil aangeven.
• Verschil tussen twee rijen: ofwel het juiste antwoord kiezen, ofwel een bewering als waar of onwaar beoordelen.
• De afstand tussen het grootste en het kleinste: de grootste en de kleinste waarde vinden en het verschil berekenen.
• Kolomdiagram: hoeveel meer: dezelfde vergelijkingsvraag, dit keer bij het diagram.
• Welke categorie heeft het meest: de hoogste waarde herkennen en de categorie benoemen.
• Hoeveel groepen liggen boven het opgegeven getal: staven of rijen tellen waarvan de waarde groter is dan een gegeven getal.

Het leerplan beschrijft de omgang met gegevens over een langere periode, waaronder ook het herkennen van manipulaties in statistische weergaven. De opdrachten van deze klassenstap laten daarover nog niets zien; ze beperken zich tot het aflezen en vergelijken.

Het kind leert de omtrek van een rechthoek berekenen. De omtrek is de lengte van de rand, dus de som van alle vier zijden: tweemaal de lengte en tweemaal de breedte. De leerplandoelen noemen geen bepaald getallenbereik, daarom staat hier het principe centraal en niet concrete getallen.

Een typische fout is dat alleen lengte en breedte worden opgeteld en de andere twee zijden worden vergeten. Een andere veelvoorkomende fout is het vermenigvuldigen van de zijden. Dat gebeurt omdat vermenigvuldigen bij de oppervlakte hoort, terwijl de omtrek een weg langs de rand is. Op ruitjespapier tellen kinderen vaak de vakjes binnenin in plaats van de vakjes langs de rand.

De opdrachten in deze klas zien er bijvoorbeeld zo uit:

• Omtrek van een rechthoek: De zijden worden opgeteld.
• Ontbrekende zijde van een rechthoek: Uit een gegeven omtrek wordt de onbekende zijde berekend.
• Welke figuur heeft de grotere omtrek: Twee figuren worden vergeleken.
• Omtrek van een rechthoek op ruitjespapier: De lengte van de rand wordt afgeteld.
• Klopt deze omtrek: Een gegeven oplossing wordt gecontroleerd.
• Teken een rechthoek met de gegeven omtrek: Een passende rechthoek wordt geconstrueerd.
• Kies de juiste omtrek: Uit meerdere gegevens wordt de juiste gekozen.

Het kind kan bij opgaven met twee rekenstappen, zoals 3 + 4 · 2 of 5 · 6 − 7, eerst de juiste stap uitrekenen en daarna de tweede. De leerplanpunt noemt rekenbewerkingen met natuurlijke getallen en niet-negatieve decimale getallen. De opgaven in dit onderdeel voor deze klas werken echter met gehele getallen in situaties uit de dagelijkse praktijk. De rekenvolgorde zelf wordt in het leerplanpunt niet uitdrukkelijk genoemd, maar wel in de opgaven geoefend.

Een typische fout is de opgave gewoon van links naar rechts uit te rekenen. Uit 3 + 4 · 2 wordt dan 14 in plaats van 11, omdat het kind eerst de 3 en de 4 optelt. De reden ligt vaak erin dat het kind niet ziet welke stap eerst bedoeld is, of dat de opgave alleen als rij getallen en niet als situatie wordt gelezen.

In de praktijk ziet een opgave er bijvoorbeeld zo uit: Vier kisten bevatten elk zes appels, daarbij komen vijf losse appels. Het kind rekent eerst uit hoeveel appels er in de kisten zitten, en daarna hoeveel het er in totaal zijn. De sjablonen van dit onderdeel omvatten onder andere:

• Volgorde van de rekenbewerkingen (twee stappen)
• Eerst hoeveel er in één zit, dan hoeveel het er in totaal zijn
• Zoveel groepen van elk zoveel, dan viel een deel weg
• Twee soorten groepen, één som
• Hoeveel blijven er over, als iedereen even veel krijgt
• Rekenvolgorde: het juiste resultaat kiezen
• Rekenvolgorde: juist of onjuist

Uw kind kan bij eenvoudige kansexperimenten vergelijken welke uitkomst waarschijnlijker is, bijvoorbeeld wanneer blind een knikker uit een zakje wordt getrokken. De leerplandoelen beschrijven dit vergelijken kwalitatief, dus zonder getallen uit te rekenen. In het leerplan wordt daarnaast het bepalen van kansen genoemd, dat op een intuïtief begrip voortbouwt. De opdrachten in deze klas laten echter vooral het vergelijken zien.

Vaak wordt alleen het aantal kleuren bekeken: een zakje met één rode en één blauwe knikker lijkt "eerlijk", terwijl er bij drie rode en één blauwe knikker duidelijk meer rood is. Ook wordt vaak alleen het aantal rode knikkers vergeleken, zonder op het totaal te letten. Twee rode knikkers onder twee knikkers geven een heel andere kans dan twee rode knikkers onder tien. De reden is dat het ertoe doet hoeveel knikkers er in totaal zijn.

Opdrachten bij dit onderwerp hebben de vorm die de sjablonen van dit domein laten zien:

• Welke kans is groter? Uw kind kiest tussen twee gebeurtenissen.
• Vul het zakje: Uw kind legt knikkers zo in het zakje dat een kans groter, kleiner of gelijk is.
• Verbeter de vergelijking van de kansen: Een onjuiste bewering wordt gecorrigeerd.
• Heeft het figuur de kansen goed vergeleken? De redenering van een figuur wordt gecontroleerd.
• Wat pak je het liefst? en Een zakje met knikkers: wat is waarschijnlijker? Uw kind beslist welke uitkomst het meest waarschijnlijk is.

Het kind leest tabellen en pictogramdiagrammen die uit de eigen omgeving komen, en haalt er informatie uit: hoeveel items er in totaal zijn, welke waarde in een rij ontbreekt, of een uitspraak over het totaal klopt. De leerplandoelen waarop deze tekst is gebaseerd, beschrijven over meerdere schooljaren heen het verzamelen en weergeven van gegevens in strepenlijsten, tabellen, kolom- en staafdiagrammen en pictogrammen. Een bepaald getallenbereik wordt niet genoemd; het niveau van deze klas blijkt daarom vooral uit de opgaven zelf.

Typisch bij pictogramdiagrammen is dat alleen de plaatjes worden geteld, terwijl één plaatje voor meerdere eenheden staat. Als een symbool bijvoorbeeld vijf stuks betekent en er drie symbolen zijn afgebeeld, is de waarde 15, niet 3. Bij de ontbrekende rij wordt vaak de bekende som verkeerd gebruikt: de overige waarden worden opgeteld in plaats van van het totaal afgetrokken. Bij uitspraken die juist of onjuist zijn, helpt het om de tabel echt na te rekenen, in plaats van op gevoel te beslissen.

De opgaven in dit onderdeel vragen om lezen en aanvullen; zelf diagrammen tekenen hoort niet bij de gedrukte opgavevormen. Typische opgaven zijn:

• Hoeveel in totaal in de tabel: alle items bij elkaar optellen.
• Pictogramdiagram: één plaatje staat voor meerdere: de waarde berekenen uit het aantal plaatjes en de waarde van één plaatje.
• De ontbrekende rij bij bekende som: de ontbrekende waarde bepalen uit het totaal en de overige rijen.
• Totaal uit de tabel: het juiste antwoord kiezen en Totaal uit de tabel: juist of onjuist: uitspraken over het totaal controleren.

Het leerplan beschrijft voor dit leerjaarsniveau dat er bewerkingen met natuurlijke getallen en met niet-negatieve kommagetallen uitgevoerd en geïnterpreteerd moeten worden, daarnaast schattende berekeningen. Dit punt geldt voor meerdere schooljaren en noemt geen eigen getallenbereik voor de eerste klas. Concreet wordt in deze klas geoefend met optellen en aftrekken van kommagetallen, dus sommen als 2,5 + 0,75 of 5 − 0,8.

Een typische fout ontstaat wanneer de getallen niet met de komma's onder elkaar worden geschreven, maar zo dat de laatste cijfers onder elkaar staan. Dan worden tienden met honderdsten verrekend, en het resultaat klopt niet. Bij het aftrekken ontbreekt vaak het inzicht dat je 5 als 5,0 kunt schrijven voordat je 0,8 aftrekt.

Opdrachten op de werkbladen van deze klas zijn bijvoorbeeld:

• Kommagetallen optellen: twee kommagetallen schriftelijk bij elkaar optellen.
• Kommagetallen aftrekken: een kommagetal van een ander aftrekken.
• Massa's met kommagetallen optellen: gewichten of lengten zoals 1,25 kg en 0,4 kg bij elkaar optellen en het resultaat in de context van het verhaal interpreteren.

Een schatting, waarbij je vooraf grof afrondt, helpt om het resultaat te controleren. Ze hoort volgens het leerplanpunt bij de eisen, maar wordt op de werkbladen niet als eigen opdrachtsoort vermeld.

In deze klas rekenen kinderen met niet-negatieve kommagetallen zoals 3,5 of 0,42 en duiden daarbij aan wat de berekening betekent. Het leerplandoel noemt daarvoor geen vast getallenbereik. Concreet laten de opdrachttypes zien wat wordt verlangd: kommagetallen vermenigvuldigen met 10, 100 en 1000, delen door 10, 100 en 1000, en vermenigvuldigen met 0,1, 0,01 en 0,001.

Een typische fout is de regel "Bij keer 10 hang je een nul eraan", die wordt overgenomen naar kommagetallen. Bij 4,5 · 10 levert dat 4,50 op in plaats van 45. Juist is: elk cijfer schuift één plaats naar links, de 4 naar de tientallen en de 5 naar de eenheden. Ook verwarren veel kinderen "vermenigvuldigen met 0,1" met "keer 10", terwijl het hetzelfde is als delen door 10. Een schatting helpt als controle: 0,38 · 100 is 38, niet 3,8 en niet 380.

Een opdracht ziet er bijvoorbeeld zo uit: 7,25 · 100 of 96,4 : 10. Bij opdrachten met 0,1, 0,01 en 0,001 wordt het resultaat kleiner. De printbare werkbladen bevatten oplossingen, zodat ouders de resultaten kunnen nakijken. Als eigen oefenidee kan men bij elke opdracht eerst schatten of het getal groter of kleiner moet worden.

Uw kind leert de eigenschappen van balken te beschrijven en de formule voor het volume te onderbouwen en toe te passen. Het leerplandoel noemt geen concreet getallenbereik, daarom wordt hier ook geen bereik opgegeven. Belangrijk is het begrip erachter: een balk kan worden opgevuld met lagen van eenheidsblokjes, en lengte keer breedte geeft het aantal blokjes in één laag, hoogte geeft het aantal lagen.

Een veelvoorkomende fout is de drie ribben op te tellen of slechts twee ervan te vermenigvuldigen. Daarachter zit vaak een verwarring met de oppervlakte, die de buitenkant meet, of het kind is de lagen vergeten te tellen. Ook gemengde eenheden, bijvoorbeeld centimeters en millimeters in één opgave, leiden gemakkelijk tot verkeerde uitkomsten.

Opgaven in dit onderwerp zien er meestal zo uit:

• Volume van een balk: De ribben zijn gegeven, het kind berekent de inhoud.
• Volume met eenheidsblokjes: Het kind telt blokjes in lagen of vermenigvuldigt het aantal lagen met het aantal blokjes per laag.
• Volume van een lichaam uit twee balken: Het lichaam wordt in twee balken verdeeld, waarvan de volumes worden opgeteld.

Uw kind leert lengtes omrekenen tussen eenheden en een lengte zowel enkelvoudig (2,4 m) als samengesteld (2 m 40 cm) noteren. De leerplanonderdelen noemen hiervoor de lengte-eenheden mm, cm, dm, m en km. Voor dit onderdeel geeft het leerplan geen eigen getallenbereik aan.

Een typische fout ontstaat bij het wisselen tussen decimale schrijfwijze en samengestelde schrijfwijze. Wordt 3,5 m geschreven als “3 m 5 cm”, dan leest het kind het cijfer na de komma als een geheel getal van de kleinere eenheid. Juist is 3 m 50 cm, want 0,5 m is 50 cm. Vaak wordt daarnaast de richting verwisseld: bij het omrekenen naar een kleinere eenheid wordt het getal groter (2 m = 200 cm), bij het omrekenen naar een grotere eenheid wordt het getal kleiner.

Dergelijke opgaven komen in drie vormen voor:

• Omrekenen naar een kleinere lengte-eenheid, bijv. 4 m in cm
• Omrekenen naar een grotere lengte-eenheid, bijv. 750 m in km
• Lengte in één eenheid weergeven, bijv. 2 m 40 cm als 2,4 m

De leerplannen voor de basisschool vragen daarnaast om lengtes te schatten. Een voorstelling als “een kamerdeur is ongeveer 2 m hoog” helpt om te controleren of een omgerekend getal plausibel is. De voorbeeldopgaven zijn er als afdrukbare werkbladen met oplossingen.

Het gemiddelde is het gemiddelde van meerdere getallen: je telt alle waarden op en deelt de som door het aantal waarden. De leerplandoelen beschrijven een langere periode en noemen geen bepaald getallenbereik. De opdrachten van dit onderdeel laten echter zien waar het in deze klas om gaat: het kind moet gemiddelden berekenen en begrijpen wat ze zeggen.

Een typische fout is delen door het verkeerde aantal, bijvoorbeeld wanneer een waarde bij het tellen over het hoofd wordt gezien. Ook verwarren kinderen het gemiddelde vaak met een van de voorkomende waarden of met de middelste waarde van een geordende rij. Bij kolomdiagrammen komt daar nog bij dat de waarden eerst correct moeten worden afgelezen voordat er gerekend kan worden.

Passende opdrachten binnen dit onderdeel zijn:

• Het gemiddelde berekenen: Meerdere getallen optellen en de som delen door het aantal.
• Gemiddelde uit een kolomdiagram: De waarden van de kolommen aflezen en daaruit het gemiddelde bepalen.
• Het gemiddelde in het dagelijks leven: Met waarden uit het dagelijks leven werken en het resultaat in woorden uitleggen.

In dieser Klasse rechnet das Kind den Flächeninhalt eines Rechtecks aus, indem es Länge und Breite multipliziert. Es kann auch umgekehrt vorgehen: Ist die Fläche und eine Seite gegeben, bestimmt es die andere Seite. Die Lehrplanpunkte beschreiben einen längeren Abschnitt der Schulzeit und nennen keinen Zahlenraum für diese Klasse. Welche Zahlen konkret vorkommen, zeigen deshalb die Aufgaben der Arbeitsblätter.

Typische Fehler haben meist zwei Ursachen:

• Umfang und Flächeninhalt werden verwechselt. Das Kind addiert die Seiten, obwohl nach der Fläche gefragt ist, oder multipliziert, obwohl der Umfang gesucht ist.
• Bei der fehlenden Seite wird falsch gerechnet. Das Kind multipliziert die Fläche mit der bekannten Seite, obwohl es teilen müsste. Hilfreich ist die Kontrolle: Die bekannte Seite mal die gefundene Seite muss wieder die Fläche ergeben.

Die Aufgaben im Typ Flächeninhalt eines Rechtecks verlangen die direkte Berechnung. Flächeninhalt eines Rechtecks im Alltag stellt dieselbe Rechnung in Sachsituationen, etwa bei einem Zimmer oder einem Gartenbeet. Bei Fehlende Rechteckseite sind die Fläche und eine Seite vorgegeben und die andere Seite ist gesucht. Alle Arbeitsblätter enthalten Lösungen. Als eigene Hilfe kann das Kind ein Rechteck auf kariertem Papier zeichnen und die Kästchen zählen; das ist ein Vorschlag zur Unterstützung und keine verpflichtende Vorgabe.

Het kind leert om in een term of formule voor de letter een getal in te vullen en de uitkomst te berekenen. Het leerplandoel vraagt daarvoor om eenvoudige termen, vergelijkingen en formules op te stellen en te interpreteren. Een getallenbereik noemt het niet, daarom beschrijft deze pagina alleen wat de opdrachtsjablonen van dit onderdeel laten zien.

Typisch is de fout dat een getal direct naast een letter niet als vermenigvuldiging wordt gelezen. Bij 3 · a met a = 4 wordt dan 3 + 4 uitgerekend of „34“ geschreven. Bij formules wordt bovendien soms de volgorde van de bewerkingen overgeslagen, bijvoorbeeld wanneer men van links naar rechts rekent, terwijl puntrekenen voor strepenrekenen komt.

De opdrachtsjablonen van dit onderdeel zijn:

• Waarde van een term met variabele: Voor de letter wordt een gegeven getal ingevuld, en de term wordt uitgerekend.
• Waarde van een formule: Met gegeven waarden wordt een formule berekend, bijvoorbeeld voor een oppervlakte of een omtrek.
• Hoeveel keer zo groot? Zonder te rekenen: Het kind vergelijkt twee grootheden zonder ze volledig uit te rekenen.

De leerplandoelstelling vereist dat natuurlijke getallen geïnterpreteerd, weergegeven en vergeleken worden. Romeinse cijfers zijn een van meerdere schrijfwijzen voor natuurlijke getallen. Het kind leert zo een getal in Romeinse letters als getal te lezen en omgekeerd een getal in deze schrijfwijze op te schrijven. Dit onderwerp behandelt Romeinse getallen tot 3000. De leerplandoelstelling zelf noemt echter geen getallenbereik voor de Romeinse schrijfwijze.

Een typische fout ontstaat bij de aftrekregel. Staat een kleiner cijfer vóór een groter, dan wordt afgetrokken: IV betekent 4, niet 6. Wie de tekens gewoon bij elkaar optelt, leest IV als 6, IX als 11 of XL als 60. Bij het schrijven gebeurt de omgekeerde fout: het getal 40 wordt genoteerd als XXXX in plaats van als XL, omdat de korte vorm niet bekend is.

Een opdracht bij dit onderwerp ziet er meestal zo uit:

• Romeins getal lezen: Een gegeven Romeins getal, bijvoorbeeld MCMXC, wordt als natuurlijk getal aangegeven.
• Getal Romeins schrijven: Een gegeven natuurlijk getal wordt in Romeinse cijfers opgeschreven.

Beide opdrachten bestaan als afdrukbare werkbladen met oplossingen. Zo kan worden nagegaan of de aftrekgevallen correct zijn gelezen en geschreven.

In de leerplannen staat dat niet-negatieve breuken geïnterpreteerd, voorgesteld en vergeleken moeten worden. De oefeningen over dit onderwerp oefenen dat vooral door het omzetten tussen onechte breuken en gemengde getallen, en wel in beide richtingen.

Een typische fout ontstaat bij gemengde getallen. Van 2 3/4 wordt dan 5/4, omdat 2 en 3 worden opgeteld en de noemer 4 wordt overgenomen. Juist is: 2 gehele zijn 8 vierden, daar komen 3 vierden bij, dus 11/4. Omgekeerd wordt 11/4 soms als 2 4/3 geschreven, omdat teller en noemer worden omgedraaid. Juist is: 11 gedeeld door 4 geeft 2 rest 3, dus 2 3/4.

Op de afdrukbare werkbladen komen hiervoor vooral deze soorten opgaven voor:

• Een onechte breuk omzetten in een gemengd getal, bijvoorbeeld 7/3 = 2 1/3
• Een gemengd getal omzetten in een breuk, bijvoorbeeld 3 2/5 = 17/5

Als eigen hulpmiddel, niet als onderdeel van de opgavensjablonen, kan men de getallen met een tekening verduidelijken, bijvoorbeeld met rechthoeken die in gelijke delen zijn verdeeld.

Het leerplanonderdeel vereist dat leerlingen bewerkingen met niet-negatieve decimale getallen uitvoeren en interpreteren, en schattingen maken. Het noemt geen eigen getallenbereik. In deze klas wordt het afronden concreet geoefend op twee posities: op tienden en op honderdsten.

Een typische fout ontstaat bij het overdragen. Het kind kijkt weliswaar correct naar het cijfer rechts van de gezochte positie, maar past dan de positie ervoor verkeerd aan. Bij 2,96 afgerond op tienden ontstaat 3,0, niet 2,6. Vaak wordt ook vergeten dat het getal na het afronden nog steeds een resultaat is met het gewenste aantal decimalen, dus 4,5 afgerond op honderdsten wordt geschreven als 4,50.

Een opdracht ziet er bijvoorbeeld zo uit:

• Afronden op tienden: 3,47 wordt 3,5.
• Afronden op honderdsten: 0,826 wordt 0,83.

Om te oefenen zijn de afdrukbare werkbladen met oplossingen geschikt. Het afgeronde resultaat kun je bovendien controleren met een korte schatting, bijvoorbeeld door na te gaan of het antwoord dicht bij het oorspronkelijke getal ligt.

Laut Lehrplan sollen Kinder Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen und mit nichtnegativen Dezimalzahlen durchführen und deuten sowie Überschlagsrechnungen durchführen. Für die Multiplikation heißt das: Ihr Kind rechnet mit Dezimalzahlen, versteht, was das Ergebnis bedeutet, und prüft mit einer groben Rechnung, ob der Wert plausibel ist. Der Lehrplan nennt hier keinen eigenen Zahlenbereich, deshalb beschreiben wir nur, was die Aufgaben auf den Arbeitsblättern zeigen.

Ein typischer Fehler: Das Kind rechnet, als gäbe es kein Komma, und setzt das Komma am Ende an die falsche Stelle. Ergebnisse wie 0,1 statt 10 bei 2,5 mal 4 entstehen oft, weil die Stellen nach dem Komma nicht mitgezählt werden. Der Überschlag hilft dabei: 2,5 mal 4 liegt ungefähr bei 2 mal 4, also bei etwa 8. Ein Ergebnis von 0,1 oder 100 fällt dann sofort auf.

Im Grundstufenband der 1. Klasse finden sich dazu zwei Aufgabentypen auf den druckbaren Arbeitsblättern:

• Dezimalzahlen multiplizieren: Zwei Zahlen mit Komma werden miteinander multipliziert, und das Ergebnis wird mit einer Überschlagsrechnung geprüft.
• Eine Länge mit einer Anzahl multiplizieren: Ein Band ist 2,5 m lang, und es werden 4 Bänder gebraucht. Die Gesamtlänge ist 2,5 m mal 4 = 10 m. Hier zeigt sich, wie das Ergebnis gedeutet wird: Die Einheit bleibt erhalten und bezieht sich auf die Sache.

Uw kind leert een taalkundige beschrijving omzetten in een rekenuitdrukking met letters. Een voorbeeld: „4 meer dan het drievoud van een getal x“ wordt 3 · x + 4. Het leerplan vraagt daarvoor om eenvoudige termen, vergelijkingen en formules op te stellen en te interpreteren. Een getallenbereik noemt het leerplanpunt daarbij niet.

Typisch is dat de woordvolgorde zonder meer in de berekening wordt overgenomen. Dan worden getallen verwisseld, bijvoorbeeld 4 · x + 3 in plaats van 3 · x + 4, of de factor „het drievoud“ wordt vergeten en er wordt alleen x + 4 geschreven. De reden: de zin beschrijft een betekenis, en de volgorde van de woorden komt niet altijd overeen met de volgorde van de rekenstappen.

In dit wiskundegebied zijn er bij deze vaardigheid twee soorten opdrachten:

• Term opstellen: ... meer dan het veelvoud. Uw kind schrijft bij een beschrijving met één variabele de passende term.
• Term met twee variabelen opstellen. Hier komen twee letters voor, bijvoorbeeld voor twee verschillende grootheden, en de term verbindt die met elkaar.

Bij het controleren helpt het om voor de letters een getal in te vullen en na te gaan of de term de beschrijving weergeeft.

Het kind kan de omtrek van een veelhoek bepalen door alle zijden op te tellen. Het leerplan vraagt bovendien om de omtrek van vierkanten en rechthoeken te berekenen. Dit punt staat in het leerplan van de basisschool; de opdrachten op deze pagina tonen het deel dat in het 1e jaar van de Mittelschule bzw. AHS wordt gedrukt. Een concreet getallenbereik wordt voor dit punt in het leerplan niet genoemd.

Een typische fout ontstaat bij de ontbrekende zijde: veel kinderen tellen de bekende zijden en de omtrek bij elkaar op, in plaats van de bekende zijden van de omtrek af te trekken. Vaak wordt ook een zijde vergeten bij het optellen, vooral bij figuren met meer dan vier hoeken, omdat niet alle zijden er hetzelfde uitzien.

De sjabloon Omtrek van een veelhoek vraagt om alle zijdelengten van een figuur op te tellen. De sjabloon Ontbrekende zijde uit de omtrek geeft de omtrek en alle zijden behalve één; het kind telt eerst de bekende zijden op en trekt deze som van de omtrek af. De werkbladen op deze themapagina zijn printbaar en bevatten oplossingen ter controle.

Het kind werkt met eenvoudige geometrische figuren in het vlak. Hier gaat het concreet over de cirkel: als de straal gegeven is, bepaalt het kind de diameter, en als de diameter gegeven is, bepaalt het de straal. De leerplandoelen noemen daarvoor geen getallenbereik, daarom beschrijft deze tekst alleen de soorten opdrachten die in dit gebied voorkomen.

Kinderen verwisselen de twee begrippen vaak of vergeten de factor 2. De straal loopt van het middelpunt tot de rand, de diameter gaat door het middelpunt van rand tot rand. De diameter is dus twee keer zo lang als de straal. Als een kind de straal zomaar als diameter overneemt of bij het omrekenen halveert waar het moet verdubbelen, zit meestal precies deze verwisseling eronder.

Typische opdrachten in de werkbladen zijn:

• Diameter uit de straal: De straal is gegeven, gevraagd is de diameter.
• Straal uit de diameter: De diameter is gegeven, gevraagd is de straal.

Beide soorten opdrachten bestaan als afdrukbare werkbladen met oplossingen, zodat u de berekening samen met het kind kunt controleren.

Het kind vertaalt alledaagse situaties met geld naar berekeningen. Het schrijft bedragen in euro's en centen (bijvoorbeeld 2 € 35 ct of 2,35 €) en interpreteert prijsaanduidingen correct. Laat een tabel zien dat bij een dubbel aantal artikelen ook de prijs dubbel is, dan kan het kind dit recht evenredige verband herkennen en gebruiken voor berekeningen. De leerplandoelen noemen geen getallenbereik voor deze klas. Daarom beschrijven we hier alleen wat de opdrachtsjablonen laten zien.

Een typische fout ontstaat bij het lezen van decimale getallen. Veel kinderen lezen 2,5 € als „2 euro 5 cent” in plaats van als „2 euro 50 cent”. Dan lijkt 0,8 € groter dan 0,75 €, omdat 8 groter is dan 75. Een tweede veelvoorkomende fout: twee aanbiedingen met verschillende hoeveelheden (bijvoorbeeld 500 g en 1 kg) worden direct met elkaar vergeleken zonder de maateenheden om te rekenen. Beide fouten hangen samen met het omgaan met decimale getallen en maatomrekeningen.

In de praktijk zien de opdrachten er zo uit:

• Welke aanbieding is voordeliger? Het kind vergelijkt twee prijzen en onderbouwt zijn keuze met een berekening.
• Hoeveel geld blijft er over? Het kind trekt de uitgaven af van het startbedrag en kan zo ook controleren of het wisselgeld klopt.

Als eigen hulpmiddel, niet als leerplaneis, kan men bij het vergelijken eerst beide prijzen betrekken op dezelfde hoeveelheid, bijvoorbeeld op 1 kg.

Im Lehrplan der Volksschule steht, dass Zahlen bis 1 000 000 gelesen, geschrieben, dargestellt, zerlegt, verglichen, geordnet und gerundet werden. Dieser Bereich erstreckt sich über mehrere Schuljahre. In der 5. Klasse stehen laut den Aufgabenvorlagen dieses Bereichs vor allem das Vergleichen großer Zahlen und das Verständnis der Stellenwaarden im Mittelpunkt.

Ein typischer Fehler ist, dass Zahlen Ziffer für Ziffer gelesen werden, statt in Dreiergruppen wie „482 905“ (482 Tausend 905). Beim Schreiben werden Nullen vergessen, sodass aus „zwei Millionen dreihundert“ eine Zahl wie 2 300 wird. Beim Vergleichen schauen manche Kinder nur auf die letzte oder die erste Ziffer. Richtig ist: Zuerst zählt die Anzahl der Stellen, dann die Ziffer ganz links, bei der sich die Zahlen unterscheiden. Die Ursache liegt meist darin, dass die Bedeutung einer Ziffer je nach Stelle noch nicht sicher verankert ist.

Im Arbeitsblatt „Große Zahlen vergleichen“ setzt das Kind die Zeichen <, > oder = zwischen zwei Zahlen, etwa 482 905 und 489 210. Bei „Wie viel Mal so groß? Stellenwerte“ wird ermittelt, wie oft eine Zahl größer ist als eine andere, zum Beispiel 3 000 gegenüber 300 (zehnmal so groß). Alle Aufgaben gibt es als druckbare Arbeitsblätter mit Lösungen.

Uw kind leert uit een contextopgave een vergelijking met één variabele op te stellen, die op te lossen en de uitkomst te betrekken op de situatie. De leerplandoelen beschrijven dat algemeen voor termen, vergelijkingen en formules in verschillende situaties. Een concreet getallenbereik noemen ze voor deze leerjaargroep niet uitdrukkelijk.

Een typische fout zit in het vertalen van woorden naar rekentekens. Bij „5 minder dan het getal” wordt vaak 5 − x geschreven in plaats van x − 5. Bij opgaven waarin de beginhoeveelheid gevraagd wordt, worden de genoemde veranderingen soms gewoon in de verkeerde richting gerekend: wat erbij kwam, wordt opgeteld, terwijl het teruggerekend moet worden. De reden is meestal dat de gezochte grootheid niet als variabele is ingevoerd, maar direct met getallen wordt gerekend.

De opdrachtsjablonen van dit onderwerp hebben twee vormen:

• Welk getal was het? De tekst beschrijft een gezocht getal, bijvoorbeeld via een berekening waarin het voorkomt. Het kind stelt het getal als x voor, stelt de vergelijking op en lost die op.
• Hoeveel waren het aan het begin? De tekst beschrijft wat er gebeurd is en noemt de eindstand. De beginhoeveelheid is de onbekende die in de vergelijking staat.

De werkbladen bevatten oplossingen waarmee u de resultaten kunt vergelijken. Een nuttige stap is de berekende oplossing in de uitgangstekst in te vullen en te controleren of ze bij het verhaal past. De leerplandoelen noemen ook breuken, evenredigheden en procenten; de hier beschikbare sjablonen tonen daarvoor geen eigen voorbeelden.

Uw kind kan termen met haakjes berekenen. Daarbij wordt eerst het deel tussen de haakjes uitgerekend en daarna wordt het resultaat in de rest van de term ingevuld. Het leerplan noemt daarvoor natuurlijke getallen en niet-negatieve decimale getallen. Een eigen getallenbereik voor termen met haakjes noemt het niet. De leerplandoelen beschrijven bovendien een langer stuk van de schooltijd en niet alleen deze klas.

Een typische fout is dat de haakjes over het hoofd worden gezien en de term gewoon van links naar rechts wordt uitgerekend. Bij 3 · (4 + 2) levert dat 3 · 4 + 2 = 14 op, maar juist is 3 · 6 = 18. De fout ontstaat omdat de haakjes alleen als schrijfwijze worden gezien en niet als opdracht om eerst te rekenen. Een korte schatting helpt: is het resultaat duidelijk kleiner dan verwacht, dan zijn de haakjes waarschijnlijk overgeslagen.

Opdrachten over dit onderwerp zien er zo uit dat een term met haakjes gegeven is en berekend moet worden. De sjabloon daarvoor heet „Term met haakjes berekenen“. Bijvoorbeeld:

• (7 + 5) · 3
• 20 − (6 + 4)
• (2,5 + 1,5) · 2

Met de werkbladen met oplossingen kan uw kind de resultaten zelf controleren.

Bij het schatten worden de getallen van een berekening afgerond op eenvoudige waarden, zodat je het ongeveer resultaat in je hoofd kunt bepalen. Dit resultaat dient als controle: wijkt de exacte berekening sterk ervan af, dan is het de moeite waard om na te rekenen. De leerplannen van de basisschool koppelen het schatten aan de getalruimten 1000 en 1 000 000. Voor deze klas noemt het leerplan concreet: schattingsberekeningen uitvoeren met natuurlijke getallen en niet-negatieve decimale getallen.

Een typische fout treedt op bij decimale getallen: in plaats van af te ronden naar het dichtstbijzijnde gehele getal, worden de cijfers achter de komma gewoon weggelaten. Zo wordt 4,8 als 4 geteld, terwijl 5 het dichterbij gelegen getal is. Bij meerdere termen tellen zulke afwijkingen op, en de schatting zit dan duidelijk ernaast. Nuttig is de vraag bij elk getal: ligt het dichter bij het gehele getal eronder of bij het gehele getal erboven?

Op de werkbladen over dit onderwerp komt de opdrachtvorm som schatten voor. Bijvoorbeeld wordt bij 3,8 + 6,4 + 2,9 eerst met afgeronde gehele getallen gerekend (4 + 6 + 3 = 13) en daarna de exacte berekening uitgevoerd (13,1). De oplossingen op het blad helpen om schatting en exact resultaat met elkaar te vergelijken.

Uw kind leert breuken uitbreiden: teller en noemer worden met hetzelfde getal vermenigvuldigd. De breuk heeft daarna een grotere noemer, maar heeft dezelfde waarde. Het leerplan formuleert voor het domein getallen een doel voor de hele fase, namelijk natuurlijke getallen en niet-negatieve decimale getallen en breuken te interpreteren, weer te geven en te vergelijken. Dit werkbladaanbod laat voor klas 1 vooral het uitbreiden van breuken zien.

Een typische fout is alleen de noemer of alleen de teller te vermenigvuldigen, bijvoorbeeld 1/2 = 1/4 in plaats van 2/4. Even vaak wordt hetzelfde getal opgeteld in plaats van vermenigvuldigd, bijvoorbeeld 1/2 = 2/3. Daarachter zit vaak het idee dat teller en noemer twee afzonderlijke getallen zijn en geen deel-van-het-geheel-verhouding. Een tekening helpt: wanneer een cirkel of een strook in gelijke delen wordt verdeeld, is het gemakkelijk te controleren of het aandeel gelijk is gebleven.

Een opdracht ziet er bijvoorbeeld zo uit: „Breid 3/5 uit met 2“ of „Vul aan: 3/4 = ?/12“. Op de werkbladen over het uitbreiden van breuken staan dergelijke voorbeeldopgaven, en de oplossingen helpen u bij het controleren.

Het kind leert hoeken naar hun grootte in te delen. Daarbij worden vooral deze soorten onderscheiden:

• scherp: kleiner dan een rechte hoek
• recht: precies zo groot als een hoek van een vierkant
• stomp: groter dan een rechte hoek, maar kleiner dan een gestrekte hoek

Het leerplan kent dit onderwerp toe aan het werken met eenvoudige geometrische objecten in het vlak. Een concreet getallenbereik noemt het op dit punt niet.

Een veelgemaakte fout is de lengte van de benen voor de grootte van de hoek te houden. Een hoek met lange benen kan scherp zijn, en een hoek met korte benen kan stomp zijn. Alleen de opening tussen de twee benen is doorslaggevend. Een tweede fout ontstaat bij hoeken die net boven 90° liggen: die worden gemakkelijk recht genoemd, omdat het verschil met het oog moeilijk te zien is.

Een geschikte opdracht is te vinden in het werkbladenaanbod onder de titel De hoeksoort bepalen. Het kind ziet meerdere hoeken en kent aan elke hoek de passende soort toe. Zo blijkt of het op de opening let en niet op de lengte van de benen.

Het leerplandoel vraagt om natuurlijke getallen en niet-negatieve decimale getallen en breuken te interpreteren, weer te geven en te vergelijken. Het beschrijft een periode van meerdere jaren en noemt geen eigen getalbereik voor de 1e klas. Voor deze klas laten de beschikbare opdrachtsjablonen zien wat concreet geoefend wordt: een quotiënt van twee natuurlijke getallen als breuk schrijven.

Een veelvoorkomende fout is dat deeltal en deler worden verwisseld, dus 3 : 4 wordt als 4/3 geschreven. Vaak komt dat doordat de volgorde van het deelteken niet bewust naar de breuk wordt overgenomen. Nuttig is deze regel:

• Het getal vóór de dubbele punt wordt de teller (boven).
• Het getal na de dubbele punt wordt de noemer (onder).

Een typische opdracht luidt bijvoorbeeld: Schrijf 5 : 8 als breuk. De oplossing is 5/8. Dergelijke opdrachten vind je als sjabloon „Quotiënt als breuk schrijven” op de afdrukbare werkbladen, telkens met oplossingen.

Uw kind kan een decimaal getal als breuk weergeven, bijvoorbeeld 0,75 = 75/100. Dat hoort bij het leerdoel om niet-negatieve decimale getallen en breuken te interpreteren, weer te geven en te vergelijken. Het curriculum beschrijft dit punt voor een hele leerfase. Voor deze klas telt wat de opdrachten laten zien: decimale getallen worden omgezet in breuken.

Een typische fout is dat de cijfers gewoon worden overgenomen en de positiewaarde wordt overgeslagen. Dan wordt bijvoorbeeld 0,5 geschreven als 1/5 of 0,25 als 25/10. De reden: het kind let op de cijfers in plaats van op de laatste positie na de komma.

• Eén positie na de komma betekent noemer 10 (0,5 = 5/10).
• Twee posities betekenen noemer 100 (0,25 = 25/100).
• Drie posities betekenen noemer 1000 (0,125 = 125/1000).

Op de afdrukbare werkbladen over „Een decimaal getal als breuk schrijven“ worden decimale getallen gegeven die als breuk genoteerd moeten worden. De bladen bevatten oplossingen voor zelfcontrole. Thuis helpt het om samen te tellen hoeveel cijfers er na de komma staan, voordat de noemer wordt vastgesteld.

In het leerplan voor wiskunde staat dat leerlingen niet-negatieve decimale getallen en breuken moeten kunnen interpreteren, weergeven en vergelijken. Het omzetten van een breuk naar een decimaal getal hoort daarbij: een breuk zoals ½ en het decimale getal 0,5 geven dezelfde hoeveelheid aan. Het leerplanfragment noemt geen exact getallenbereik, daarom wordt hier ook geen bereik opgegeven.

Een typische fout ontstaat wanneer de cijfers van de noemer gewoon als decimalen worden overgenomen. Van ¼ wordt dan 0,4 in plaats van 0,25, omdat alleen de 4 wordt overgeschreven en er niet wordt nagedacht over welk deel van het geheel bedoeld is. Nuttig is de vraag: heeft het decimale getal dezelfde waarde als de breuk?

Op de afdrukbare werkbladen komt deze vaardigheid voor in de sjabloon Breuk als decimaal getal schrijven. Daarbij worden breuken gegeven die het kind in de decimale schrijfwijze moet omzetten. Bij elke opgave is er een oplossing waarmee het resultaat kan worden gecontroleerd.

Der Lehrplan verlangt, dass Leerlingen nietnegatieve decimale getallen en breuken interpreteren, voorstellen en vergelijken. Dit leerplandoel geldt voor de hele onderbouw en niet alleen voor het eerste leerjaar. Welk aantal cijfers na de komma in deze klas concreet bereikt moet worden, valt uit de beschikbare gegevens niet af te lezen. Vergelijken houdt in dat uw kind begrijpt wat de cijfers na de komma betekenen, en kan bepalen welke van twee getallen groter is.

Een typische fout is dat men cijfers na de komma behandelt als gehele getallen. Dan lijkt 0,45 groter dan 0,5, omdat 45 groter is dan 5. De fout ontstaat doordat het kind de positiewaarde niet meeneemt: de 5 in 0,5 staat voor vijf tienden, de 45 in 0,45 voor vier tienden en vijf honderdsten.

In de werkbladen bij dit onderwerp komt de opdracht Decimale getallen vergelijken voor. Daarbij zet uw kind tussen twee decimale getallen het juiste teken (<, > of =). Als praktische tip, die niet tot het leerplan behoort, kan men aan beide getallen evenveel cijfers na de komma toevoegen (0,50 en 0,45), zodat de cijfers direct naast elkaar vergeleken kunnen worden.

Het kind moet bewerkingen met niet-negatieve decimale getallen uitvoeren en interpreteren, en schattingsberekeningen maken. Leerplanpunt U1.1.2 geldt voor een meerjarige periode en noemt geen concreet getallenbereik. Wat in klas 1 daadwerkelijk wordt afgedrukt, blijkt uit de opdrachtsjabloon „Dezimalzahlen dividieren“.

Een typische fout is dat het kind de komma bij delen behandelt zoals bij hele getallen. Dan wordt de positie van de komma in het resultaat verkeerd gezet en ontstaat een getal met de verkeerde grootteorde. Hier helpt de schatting: wie bij 12,6 : 3 schat (12 : 3 is ongeveer 4), merkt meteen als 0,42 of 42 als uitkomst verschijnt.

Op de afdrukbare werkbladen zijn er opdrachten bij deze sjabloon, telkens met oplossingen. Een voorbeeld ter verduidelijking zou een deelsom met een komma in het resultaat zijn. Het kind kan dan als volgt te werk gaan:

• Vooraf schatten hoe groot het resultaat ongeveer zou moeten zijn.
• De opgave precies uitrekenen.
• Het resultaat met de schatting vergelijken en de kommaplaats controleren.

In het leerplan staat dat kinderen de eigenschappen van balken (rechthoekige blokken) moeten beschrijven en formules voor oppervlakte en inhoud moeten onderbouwen en toepassen. Daarbij hoort dat een balk zes vlakken heeft die paarsgewijs gelijk zijn, en dat men de oppervlakte opvat als de som van deze vlakken. Een concreet getallenbereik wordt in het leerplan voor deze stof niet genoemd; de opdrachten laten zien welke getallen in de les voorkomen.

Kinderen gaan hierbij vaak uit van twee verschillende fouten. Ofwel worden alleen enkele vlakken geteld, bijvoorbeeld alleen de bodem en het deksel, ofwel worden lengte en breedte vermenigvuldigd zonder de overige vlakken mee te nemen. Een andere typische fout is de verwarring met de inhoud: de oppervlakte wordt in vierkante eenheden opgegeven, de inhoud in kubieke eenheden. Het helpt om de vlakken werkelijk te tekenen of een uitslag van de balk te bekijken.

Een typische opdracht is het werkblad „Oppervlakte van een balk“. Daarbij worden lengte, breedte en hoogte van een balk gegeven, en het kind berekent de oppervlakte. De bladen zijn printbaar en bevatten oplossingen, zodat ouders de resultaten goed kunnen nagaan.

Het kind schrijft een maatangabe met twee eenheden, bijvoorbeeld 2 m 5 cm, in één enkele eenheid als decimaal getal, hier 2,05 m. Daarbij leest het de maatangabe correct: het herkent welk deel in meters en welk deel in centimeters is aangegeven. Het leerplan noemt voor dit punt geen eigen getalbereik.

Een typische fout is 2 m 5 cm als 2,5 m te schrijven. De reden ligt in de positiewaarde: een centimeter is het honderdste deel van een meter, dus 5 cm = 0,05 m. De centimeters hebben daarom twee cijfers na de komma nodig, en het cijfer 5 staat op de tweede plaats na de komma, niet op de eerste.

De opgaven van dit onderdeel dragen de titel „Lengte als decimaal getal aangeven“. Er zijn afdrukbare werkbladen met oplossingen, bijvoorbeeld:

• Schrijf 3 m 40 cm als decimaal getal in meters. (Oplossing: 3,40 m)
• Schrijf 1 m 8 cm als decimaal getal in meters. (Oplossing: 1,08 m)

De leerplannen noemen voor hoeveelheden de eenheden liter (ℓ) en milliliter (mℓ). Uw kind moet maatangaven begrijpen, eenheden met één of meerdere naamdelen opschrijven en omrekeningen uitvoeren. De leerplanpunten noemen daarvoor geen eigen getallenbereik, daarom beschrijven we hier alleen wat in deze klas wordt geoefend: omrekenen naar een kleinere volume-eenheid.

Een typische fout ontstaat doordat men verwacht dat een kleinere eenheid ook een kleiner getal oplevert. Wie 2 ℓ in milliliter omrekent, schrijft soms 2 mℓ of rekent met 100 in plaats van 1000, omdat dat bekend is van het omrekenen van centimeters en meters. Juist is: 1 ℓ = 1000 mℓ. Het getal wordt dus groter bij de overgang naar de kleinere eenheid, namelijk 2 ℓ = 2000 mℓ.

Een opdracht hierbij ziet er bijvoorbeeld zo uit: “Hoeveel milliliter zijn 3 ℓ?” of “Schrijf 2500 mℓ als liter en milliliter.” Zulke opdrachten vindt u in het onderdeel “Omrekenen naar een kleinere volume-eenheid” op de afdrukbare werkbladen met oplossingen. Een nuttige voorstelling (een eigen suggestie, geen onderdeel van de leerplandoelen): een melkpak bevat ongeveer 1 ℓ, dus 1000 mℓ.

Het kind leert twee getallen met meerdere cijfers schriftelijk te vermenigvuldigen. Het leerplan van de basisschool noemt als doel het vermenigvuldigen met een eencijferige en een tweecijferige vermenigvuldiger binnen het getallengebied tot 1 000 000, waarbij resultaten door af te ronden en te schatten benaderd moeten worden. Het leerplan voor de middelbare school en AHS vermeldt bewerkingen met natuurlijke getallen en niet-negatieve decimale getallen, eveneens met schattingsberekeningen.

Een typische fout ontstaat bij de tweecijferige vermenigvuldiger: het tweede deelproduct wordt niet één plaats naar links verschoven. Bij 24 · 13 wordt bijvoorbeeld 24 · 3 = 72 correct berekend, maar daarna wordt 24 · 1 = 24 direct eronder geschreven in plaats van 240. De som wordt dan 96 in plaats van 312. Een korte schatting helpt om dergelijke fouten op te merken: 24 · 13 is ongeveer 25 · 12 = 300.

Op de afdrukbare werkbladen over het onderwerp „Meercijferige getallen schriftelijk vermenigvuldigen“ oefenen kinderen deze werkwijze met meercijferige getallen. De oplossingen zijn bijgevoegd, zodat ouders de berekeningen samen met het kind kunnen nakijken.

Uw kind kan waarden aflezen en vergelijken uit een staafdiagram en uit een tabel: Welke staaf is het hoogst? Welke waarden zijn gelijk? Hoe groot is het verschil? Het leerplan vraagt om gegevens uit verschillende weergaven af te lezen. Een eigen getallenbereik noemt het leerdoel voor dit onderwerp niet.

Een typische fout is dat het kind de staven alleen naar hun hoogte beoordeelt en de schaal aan de rand over het hoofd ziet. Wanneer één eenheid meerdere vakjes omvat of de schaal niet bij nul begint, tonen even hoge staven verschillende waarden, en het oog misleidt. De fout ontstaat doordat een staaf er gemakkelijk uitziet als een hoeveelheid, terwijl alleen de schaal de waarde bepaalt. Als eigen suggestie om te oefenen: het kind zegt hardop voor elk antwoord wat de schaal bij de staaf aangeeft.

Een opdracht bij dit onderwerp bestaat meestal uit het vergelijken van staven in een diagram. Daarbij leest het kind eerst de waarde van elke staaf af en beantwoordt dan vragen zoals:

• Welke staaf is het hoogst?
• Welke staven tonen dezelfde waarde?
• Hoeveel groter is de ene waarde dan de andere?

Het leerplan noemt daarnaast relatieve frequenties en het herkennen van manipulaties in weergaven. De opdrachtvoorbeelden voor deze klas tonen echter alleen het vergelijken van staven; verdergaande oefeningen zijn in de hier aangeboden opdrachten niet opgenomen.

In de 1e klas van de middelbare school (Mittelschule) of het AHS (het Oostenrijkse academische secundair onderwijs) leert het kind niet-negatieve decimale getallen te interpreteren, weer te geven en te vergelijken. Het leerplandoel noemt daarvoor geen vast aantal decimalen. De opgaven bij dit onderdeel laten voor deze klas vooral het aflezen van de honderdstencijfer zien: bij 3,47 staat de 4 op de tiendenplaats en de 7 op de honderdsteplaats.

Een typische fout ontstaat wanneer het kind de cijfers na de komma behandelt als hele getallen. Dan wordt bijvoorbeeld in 0,38 de 3 als honderdsten gelezen, omdat die vooraan staat, of de plaats wordt alleen bepaald op basis van het aantal cijfers. Vaak lijkt ook 0,25 groter te zijn dan 0,4, omdat 25 groter is dan 4. De reden: de waarde van een cijfer hangt af van zijn positie na de komma, niet van het cijfer zelf.

Een opdracht over dit onderwerp ziet er zo uit: het kind krijgt een decimaal getal te zien en moet het cijfer op de honderdsteplaats benoemen. De werkbladen van dit onderdeel bevatten daarvoor het sjabloon „Hundertstelziffer ablesen“ (Het honderdstencijfer aflezen), met oplossingen om te controleren. Een mogelijke hulp thuis (eigen suggestie, geen leerplandoel): de plaatsen van links naar rechts labelen met tienden, honderdsten enzovoort en de cijfers één voor één onder het label schrijven.

Uw kind leert bij twee lijnstukken in het vlak beschrijven of ze evenwijdig lopen of loodrecht op elkaar staan. Het leerplan noemt hiervoor geen getallenbereik; beslissend is de ligging van de lijnstukken ten opzichte van elkaar. Bij hetzelfde leerplanonderdeel hoort ook het tekenen van rechte hoeken met de geodriehoek.

Vaak wordt alleen op het zicht geoordeeld: een lijnstuk dat schuin op het blad ligt, geldt dan als „op de een of andere manier anders”, hoewel het evenwijdig kan zijn aan een ander. Ook de begrippen evenwijdig en loodrecht worden gemakkelijk door elkaar gehaald. Nuttig is het lijnstuk af te tellen op het rooster: hoeveel vakjes gaat het horizontaal, hoeveel verticaal? Dat is een leerhulp van ons en geen eigen leerplanonderdeel.

In de opdracht „Evenwijdig of loodrecht?” ziet het kind lijnstukken op een rooster en beslist het bij elk paar of het evenwijdig of loodrecht is. De werkbladen zijn printbaar, en bij elke opdracht is er een oplossing ter vergelijking.

Het leerplandoel vraagt om met eenvoudige geometrische objecten in het vlak te werken. Hoeken meten met de geodriehoek hoort bij dit gebied. Het leerplan noemt daarvoor geen concreet getallenbereik, daarom wordt hier alleen beschreven wat de opgaven van deze klas laten zien.

Een veelvoorkomende fout is het aflezen van de verkeerde schaal. De geodriehoek heeft twee tegengesteld lopende hoekschalen, en beide beginnen bij 0. Ligt de nulstreep niet precies op een been van de hoek, klopt het resultaat niet. Dan wordt de hoek vaak wel goed getekend, maar het getal op de verkeerde schaal afgelezen, en het resultaat wijkt sterk af.

In de werkbladen laat de opgave Hoeken aflezen met de geodriehoek zien hoe het kind de geodriehoek op het hoekpunt legt en het aantal graden afleest. Een nuttige controle is om vooraf te schatten of de hoek scherp, recht of stomp is, en het resultaat daarmee te vergelijken.

Das Kind unterscheidet gezeichnete Linien danach, wie sie begrenzt sind. Eine Strecke hat zwei Endpunkte. Ein Strahl hat nur einen Startpunkt und läuft in eine Richtung unbegrenzt weiter. Eine Gerade hat keinen Anfang und kein Ende und läuft in beide Richtungen unbegrenzt weiter. Die Lehrplanpunkte beschreiben einen Zeitraum von mehreren Schuljahren. Diese Seite beschreibt nur den Teil, der in der 1. Klasse anhand der Aufgabenvorlagen geübt wird.

Ein typischer Fehler ist, Strahl und Strecke zu verwechseln, weil beide einen sichtbaren Anfang haben. Auch die Gerade wird oft als „besonders lange Strecke“ bezeichnet. Das liegt daran, dass auf Papier jede Linie nur ein Ausschnitt ist. Die Unterscheidung wird erst über die Pfeilspitzen und die Frage sichtbar, ob und wo die Linie endet:

• Zwei Endpunkte, keine Pfeile: Strecke.
• Ein Startpunkt, ein Pfeil am anderen Ende: Strahl.
• Pfeile an beiden Enden: Gerade.

Die passende Aufgabenvorlage dazu heißt „Strecke, Strahl oder Gerade?“. Dabei ordnet das Kind Zeichnungen einer dieser drei Bezeichnungen zu und begründet die Wahl mit Endpunkten und Pfeilen. Der Lehrplanpunkt umfasst außerdem das Zeichnen rechter Winkel, Quadrate und Rechtecke mit dem Geodreieck. Die vorliegenden Aufgaben zu diesem Thema zeigen jedoch nur das Zuordnen. Eine eigene Vorlage zum Zeichnen mit dem Geodreieck gibt es hier nicht.

Het leerplan beschrijft assenspiegelige figuren over meerdere schooljaren heen: kinderen moeten ze herkennen, construeren en hun eigenschappen gebruiken. In deze klas tonen de werkbladen vooral één deel daarvan, namelijk het spiegelen van afzonderlijke punten in een rechte lijn.

Het kind tekent bij een punt en een gegeven rechte lijn (de symmetrieas) het beeldpunt in. Het beeldpunt ligt aan de andere kant van de rechte lijn, op dezelfde afstand ervan en loodrecht tegenover het uitgangspunt. Voor deze opdrachten noemt het leerplan geen eigen getallenbereik.

Typische fouten en hun oorzaken:

• Het beeldpunt ligt aan dezelfde kant als het uitgangspunt. Dat gebeurt wanneer het punt alleen verschoven in plaats van gespiegeld wordt.
• De afstand wordt schuin of op het oog gemeten in plaats van loodrecht op de rechte lijn. Daardoor ligt het beeldpunt te ver weg of te dicht bij de as.

Een opdracht uit de sjabloon „Punt in een rechte lijn spiegelen“ geeft een rechte lijn en een punt vooraf; het kind vult het beeldpunt aan. Ter controle kan men het blad langs de rechte lijn vouwen: liggen punt en beeldpunt op elkaar, dan klopt de oplossing. Deze tip is een suggestie en geen onderdeel van de opdracht.

Het kind onderzoekt vlakke figuren en lichamen, beschrijft hun eigenschappen en vergelijkt ze, ook spelenderwijs, bijvoorbeeld met symmetrische voorwerpen uit het dagelijks leven. De leerplandoelen noemen daarvoor geen getallenbereik, omdat het om eigenschappen en niet om grootheden gaat. Typische kenmerken zijn:

• Prisma: twee even grote, evenwijdige grondvlakken, de overige vlakken zijn rechthoeken (bijvoorbeeld een driehoekig prisma of een balk).
• Piramide: een grondvlak en driehoekige vlakken die in een punt samenkomen.
• Cilinder: twee even grote cirkelvlakken boven en onder en een gebogen manteloppervlak.
• Kegel: een cirkelvormig grondvlak en een punt, zonder ribben.
• Bol: rond, zonder hoekpunten, ribben en vlakke vlakken.

Een veelvoorkomende fout ontstaat wanneer kinderen alleen letten op de punt of op de vorm van één onderdeel. Een kegel wordt dan verward met een piramide, omdat beide een punt hebben, of een liggende cilinder wordt voor een kegel gehouden. Ook een balk wordt vaak niet als prisma herkend, omdat kinderen dan alleen aan driehoekige prisma's denken. Het helpt om de vlakken te tellen en te benoemen, in plaats van op basis van de eerste indruk te beslissen.

Een opdracht bij dit onderwerp is bijvoorbeeld het werkblad „Welk lichaam is dat?“. Het kind bepaalt een afgebeeld lichaam aan de hand van zijn vlakken, ribben en punten en noemt de naam ervan. De leerplandoelen beschrijven ook het berekenen van oppervlakte en inhoud van rechte prisma's, evenals de inhoud van piramides. Dergelijke berekeningen worden in de opdrachten van dit onderdeel niet aangeboden; hier staat het herkennen en beschrijven centraal.

Het kind kan de oppervlakte van vlakke figuren met eenheidsoppervlakten meten of schatten en de oppervlakte van vierkanten en rechthoeken berekenen. Bij eenvoudige figuren die uit rechthoeken zijn samengesteld, verdeelt het kind de figuur in deelrechthoeken, berekent hun oppervlakten en telt die op. Het leerplan geeft voor dit onderwerp geen getallenbereik aan.

Vaak ontbreekt een zijlengte die niet direct is opgegeven. Het kind rekent dan met een totale lengte in plaats van met de restlengte die uit het verschil volgt. Een andere typische fout is oppervlakten met omtrekken verwarren of de eenheid cm schrijven in plaats van cm².

In de werkbladen van deze klas komt vooral de opdracht Oppervlakte van een L-figuur voor. Een mogelijke aanpak is:

• ontbrekende zijlengten bepalen uit de gegeven maten,
• de figuur in twee rechthoeken verdelen,
• de twee oppervlakten berekenen en optellen,
• het resultaat met de juiste eenheid opschrijven.

De oplossingen staan op de werkbladen mee vermeld.

Binnen het onderwerp lichaamsmodellen leert het kind netten van eenvoudige lichamen te onderzoeken, toe te wijzen en te maken. Het gaat om vormen en opstellingen, niet om getallen. Leerplandoel U1.3.3 over balken (eigenschappen, oppervlakte en inhoud onderbouwen) is een doel voor de hele trap. Op deze pagina wordt voor klas 5 bij netten alleen het kubusnet geoefend.

Een typische fout: Het kind telt alleen of er zes vierkanten zijn en houdt elke zo'n figuur voor een kubusnet. Bij het vouwen overlappen dan vlakken, of er blijft een zijde van de kubus open. Twee voorbeelden die geen kubusnet zijn: een rechthoek van twee rijen met elk drie vierkanten, waarbij alle vierkanten precies boven elkaar liggen, of vier vierkanten in een rij met twee naast elkaar liggende vierkanten aan één kant. Vaak kijkt het kind naar het uiterlijk („ziet eruit als een kubus”) in plaats van naar de vraag of elk kubusvlak precies één keer voorkomt.

Een opdracht ziet er zo uit: De figuur van vierkanten wordt getoond, en het kind beslist met „Ja” of „Nee” of het een kubusnet is en geeft een verklaring voor het antwoord. Het sjabloon daarvoor luidt „Is dit een kubusnet?”. Als eigen idee om te oefenen (niet verplicht): De figuur op karton tekenen, uitknippen en vouwen om de beslissing te controleren.

Het kind leert eenvoudige vergelijkingen oplossen: een getal in een berekening is onbekend, en het kind vindt het door de berekening achterwaarts na te lopen. Het leerplandoel noemt geen getallenbereik, daarom wordt hier ook geen bereik opgegeven.

Een typische fout is dat men bij het oplossen dezelfde bewerking gebruikt als in de opgave. Wie bij „plus 3” opnieuw plus rekent, komt op een verkeerd getal uit. Vaak worden ook de stappen in de verkeerde volgorde ongedaan gemaakt. De reden: kinderen rekenen meestal vooruit, en de vraag naar het beginGetal vraagt om de richting om te keren en de laatste stap eerst op te lossen.

Voor dit onderwerp bestaat de opdrachtsjabloon Gedachte getal. Een voorbeeld: „Ik denk aan een getal, verdubbel het en tel er 3 bij op. Het resultaat is 17. Welk getal heb ik gedacht?” Het kind loopt de stappen achterwaarts na:

• 17 − 3 = 14 (de optelling wordt ongedaan gemaakt)
• 14 : 2 = 7 (de verdubbeling wordt ongedaan gemaakt)