Wiskunde — klas 5

In groep 7 leren leerlingen lengtematen passend bij de situatie te kiezen en om te rekenen tussen zowel opeenvolgende als verder van elkaar gelegen eenheden. Ze wisselen doelgericht tussen kleinere en grotere eenheden en drukken lengtes uit in één enkele, geschikte maateenheid.

Een veelvoorkomende fout ontstaat door de verschillende omrekenfactoren: terwijl bij kleinere lengtes zoals millimeter, centimeter en decimeter de factor 10 wordt gebruikt, is de omrekenstap tussen meter en kilometer 1000. Veel kinderen halen daarbij ook de rekenrichting door elkaar en vermenigvuldigen, terwijl er eigenlijk door de omrekenfactor gedeeld zou moeten worden om naar een grotere eenheid te gaan.

In de oefeningen werken de kinderen aan concrete opgavetypen: bij Omrekenen naar een kleinere lengtemaat worden waarden vermenigvuldigd, terwijl bij Omrekenen naar een grotere lengtemaat het omgekeerde wordt gevraagd. Het opgavetype Lengte in één eenheid aangeven oefent tenslotte het volledig herschrijven van samengestelde maten of onhandige eenheden naar een vooraf aangegeven doeleenheid.

In groep 7 leren kinderen de basis van het cartesische coördinatenstelsel kennen. Ze oriënteren zich op de assen en bepalen de precieze ligging van afzonderlijke punten, wat de basis vormt voor het latere weergeven van geometrische figuren.

Hierbij worden de twee assen bijzonder vaak verwisseld: veel kinderen lezen eerst de verticale in plaats van de horizontale waarde af. Daardoor wordt bijvoorbeeld het punt (2|5) per ongeluk als (5|2) genoteerd.

In de oefeningen bij het werkblad Coördinaten van een punt aflezen is een coördinatenrooster met gegeven punten afgebeeld. De kinderen lezen voor elk punt de waarden op de assen af en schrijven het gevonden getallenpaar op.

In groep 7 (België: 5de leerjaar) leren leerlingen maateenheden voor oppervlakte en inhoud passend bij de situatie te bepalen en om te rekenen. Ze rekenen oppervlaktematen zoals vierkante centimeter, vierkante meter, are en hectare om naar aangrenzende grotere of kleinere eenheden en rekenen eveneens inhoudsmaten stapsgewijs om naar kleinere eenheden.

De meest voorkomende bron van fouten zijn de verschillende omrekenfactoren. Terwijl bij lengtematen meestal de factor 10 geldt, verandert de stapgrootte bij oppervlaktematen naar 100 en bij inhoudsmaten naar 1.000. Kinderen zijn vaak geneigd om uit gewoonte slechts een enkele nul toe te voegen of weg te strepen, in plaats van het juiste aantal nullen te gebruiken voor de stappen bij oppervlakte of inhoud.

In de oefenopgaven komen de kinderen concrete omrekeningen tegen, zoals het bepalen van vierkante meters uit gegeven are-waarden of het omrekenen van hectare naar are. Andere opgaven vragen om oppervlaktematen om te schrijven naar een grotere of kleinere oppervlakte-eenheid, of om een gegeven inhoudsmaat om te zetten naar een kleinere volume-eenheid.

In groep 7 (leerjaar 5) leren kinderen hoe ze uit meerdere waarden een gemiddelde kunnen berekenen. Hiervoor gebruiken ze de basisbewerkingen: eerst tellen ze de gegeven waarden bij elkaar op en delen ze het totaal vervolgens door het aantal gegevens. De begingegevens halen ze uit kant-en-klare lijsten of lezen ze direct af uit staafdiagrammen.

Een veelvoorkomende fout treedt op bij de tweede rekenstap: vaak delen kinderen uit gewoonte door twee in plaats van door het werkelijke aantal termen, of ze vergeten de deling na het optellen helemaal. Bij het aflezen uit staafdiagrammen komt het bovendien voor dat tussenstappen op de asverdeling onnauwkeurig worden afgelezen, waardoor er verkeerde waarden worden opgeteld.

In oefeningen zoals Het gemiddelde berekenen oefenen kinderen de zuivere rekenprocedure met reeksen getallen. Het opgavenformat Gemiddelde uit een staafdiagram combineert het aflezen van grafische gegevens met de daaropvolgende berekening. Opgaven uit Het gemiddelde in het dagelijks leven laten ten slotte zien hoe deze waarde wordt toegepast in herkenbare situaties, zoals temperatuurmetingen, sportuitslagen of rapportcijfers.

Kinderen leren in dit onderdeel de afstand te bepalen tussen twee punten die op een gezamenlijke horizontale of verticale lijn liggen. Doordat een van de twee coördinaten identiek is, blijft de berekening beperkt tot een eenvoudige aftrekking: de kinderen trekken de kleinste waarde van de verschillende coördinaat af van de grootste of tellen de eenheden direct in het assenstelsel.

Typische fouten ontstaan vooral wanneer kinderen de assen verwisselen of twijfelen over welke waarden moeten worden vergeleken. Soms worden per ongeluk de twee identieke coördinaten van elkaar afgetrokken, wat ten onrechte leidt tot een afstand van nul, of worden de waarden opgeteld in plaats van afgetrokken.

In de opgaven over de afstand tussen punten met een gelijke coördinaat zijn meestal twee getallenparen zoals (2, 3) en (2, 7) gegeven, soms met een tekening in een rooster. De opdracht bestaat erin de onveranderde as te herkennen en de afstand te bepalen via het verschil van de tweede coördinaat – hier 7 min 3 is 4 lengte-eenheden.

In groep 7 leren kinderen de oppervlakte van rechthoeken te bepalen door de lengte en de breedte met elkaar te vermenigvuldigen. Bovendien leren ze deze rekenstap trefzeker om te keren: als de oppervlakte samen met één zijdelengte bekend is, berekenen ze de ontbrekende zijde met behulp van deling.

Een typisch struikelblok is de verwarring tussen oppervlakte en omtrek. Kinderen tellen dan vaak de zijden bij elkaar op in plaats van ze te vermenigvuldigen, of kiezen de verkeerde maateenheid (zoals centimeter in plaats van vierkante centimeter). Bij het zoeken naar een ontbrekende zijde wordt bovendien vaak ten onrechte afgetrokken in plaats van gedeeld.

In de praktijk komen de kinderen daarbij drie soorten opgaven tegen:

• Oppervlakte van een rechthoek: Zuivere rekenopgaven om de oppervlakte te bepalen aan de hand van twee zijdelengten.
• Oppervlakte van een rechthoek in het dagelijks leven: Contextopgaven met een praktische toepassing, zoals het berekenen van kamervloeren of tuinoppervlakten.
• Ontbrekende zijde van een rechthoek: Omkeeropgaven waarbij vanuit de totale oppervlakte en één bekende zijde de tweede zijde moet worden berekend.

In groep 7 onderzoeken kinderen getallen op hun delers en factoren, en wel uit het hoofd of op papier zonder digitale hulpmiddelen. In plaats van elk getal bewerkelijk met een staartdeling te delen, gebruiken ze vaste criteria: ze kijken gericht naar het laatste cijfer (voor 2, 5 en 10), de laatste twee cijfers (voor 4) of berekenen de som van de cijfers (voor 3 en 9).

Een typisch struikelblok is het door elkaar halen van deze regels. Vaak proberen kinderen de som-van-de-cijfers-regel toe te passen op de 4, of controleren ze bij de 4 alleen het laatste cijfer in plaats van de laatste twee. Ook optelfouten bij het snel optellen van de cijfers leiden vaak tot verkeerde resultaten.

Typische opdrachtvormen versterken deze aanpak: bij de vorm Deelbaarheidsregel toepassen controleren de kinderen gegeven getallen en vullen ze ja-nee-beslissingen in tabellen in. Bij het sjabloon Ontbrekend cijfer voor deelbaarheid vinden vullen ze onvolledige getallen zoals 3_4 gericht zo aan dat het getal deelbaar wordt door een bepaald opgegeven getal.

In groep 7 (BE: het 5e leerjaar) leren leerlingen de omtrek van veelhoeken kennen als de totale lengte van de buitenste contour. Ze tellen hiervoor de afzonderlijke zijdelengten van de gegeven figuur bij elkaar op. Ze leren ook om deze berekening om te keren: als de totale omtrek bekend is, trekken ze de gegeven zijdelengten hiervan af om de lengte van een enkele, nog onbekende zijde exact te berekenen.

Een veelvoorkomende fout ontstaat wanneer kinderen bij hoekige of complexe figuren afzonderlijke deelsegmenten over het hoofd zien of juist dubbel tellen. Bij opdrachten met een gezochte deellengte wordt soms ook geprobeerd om de afmeting op de tekening met een liniaal op te meten, in plaats van gebruik te maken van het rekenkundige verband tussen de bekende zijden en de totale omtrek.

Typische opdrachtvormen vallen uiteen in twee varianten:

• Omtrek van een veelhoek: Op een afgebeelde meetkundige figuur staan alle zijdematen aangegeven; de kinderen tellen de waarden bij elkaar op voor de totale uitkomst.
• Ontbrekende zijde berekenen uit de omtrek: De totale omtrek is gegeven, maar bij de figuur is één zijde gemarkeerd met een vraagteken. De kinderen trekken de som van de bekende zijden af van de omtrek om de ontbrekende maat te bepalen.

In groep 7 breiden de kinderen het cijferend rekenen uit naar het delen door tweecijferige delers. Ze bepalen stap voor stap hoe vaak de deler in de desbetreffende cijfers van het begingetal past, vermenigvuldigen terug, berekenen de tussenrest door middel van aftrekken en halen het volgende cijfer naar beneden.

Typische fouten ontstaan vooral bij het schatten van de tussenstappen: doordat tweecijferige getallen niet meer direct in de tafels van vermenigvuldiging voorkomen, schatten kinderen gemakkelijk verkeerd in hoe vaak het getal erin past. Is het geschatte cijfer te klein, dan blijft de rest groter dan de deler; is het te groot, dan kan het tussenproduct niet worden afgetrokken. Daarnaast wordt af en toe vergeten een nul in de uitkomst te noteren wanneer het naar beneden gehaalde getal kleiner is dan de deler.

In de praktijk gebruiken de kinderen werkbladen voor het type opgave Cijferend delen door een tweecijferig getal. Daarin maken ze voorbereide sommen waarbij getallen van meerdere cijfers worden gedeeld door waarden zoals 12, 25 of 48 en de afzonderlijke rekenstappen netjes onder elkaar in rekenhokjes worden genoteerd.

In groep 7 verdiepen kinderen de basisrekenregels en leren ze gericht uitdrukkingen met haakjes op te lossen. Ze begrijpen daarbij dat bewerkingen binnen de haakjes altijd eerst moeten worden uitgevoerd, voordat verdere rekenstappen en rekenregels van toepassing zijn.

Een typische fout ontstaat wanneer kinderen puur van links naar rechts rekenen en de haakjes simpelweg over het hoofd zien. Vaak wordt ook de voorrangsregel verward, zodat bijvoorbeeld een vermenigvuldiging buiten de haakjes voorbarig wordt uitgevoerd, nog voordat de uitdrukking tussen de haakjes volledig is berekend.

In de praktijk komen de kinderen opgaven tegen zoals in het werkblad Uitdrukking met haakjes berekenen. Daarbij lossen ze rekenuitdrukkingen op zoals (24 + 16) : 8 of 50 − (6 · 7), door de tussenuitkomst van de haakjes netjes te noteren en de uitdrukking vervolgens volledig uit te rekenen.

In leerjaar 5 gebruiken leerlingen schattend rekenen om voorafgaand aan de berekening een globaal beeld te krijgen of om de gevonden uitkomst achteraf op aannemelijkheid te controleren. Ze ronden hiervoor de afzonderlijke termen af op geschikte plaatswaarden, zodat de som snel en eenvoudig uit het hoofd kan worden berekend.

Vaak proberen kinderen uit gewoonte de opgave toch exact uit te rekenen in plaats van te schatten. Een andere veelvoorkomende fout is het inconsistent of verkeerd afronden van de getallen: als er op de verkeerde positie naar beneden of naar boven wordt afgerond, wijkt de schatting te veel af en verliest deze zijn nut als controlemiddel.

In de opdrachten bij het sjabloon Som schatten maken de kinderen optelopgaven met getallen van meerdere cijfers. Ze noteren afgeronde vervangende waarden voor de termen en bepalen zo een geschatte som, waarmee de ordegrootte van het uiteindelijke antwoord bij benadering wordt vastgesteld.

In groep 7 leren leerlingen het principe van de schaal, zoals 1 : 100 of 1 : 25 000, toe te passen. Ze berekenen aan de hand van een gegeven lengte op papier de werkelijke afstand in de realiteit of bepalen de getekende lengte voor een reële afstand. Daarbij combineren ze cijferend vermenigvuldigen en delen direct met het omrekenen van lengtematen van centimeters via meters tot kilometers.

Typische fouten ontstaan meestal bij het omrekenen van eenheden: de kinderen vermenigvuldigen weliswaar correct met het schaalgetal, maar laten het eindresultaat vervolgens staan als een onhandige centimeterwaarde of maken bij het omrekenen naar meters en kilometers een fout met een macht van tien. Bovendien wordt af en toe de rekenrichting verwisseld, waardoor er voor een lengte op de kaart ten onrechte wordt vermenigvuldigd in plaats van gedeeld.

Bij de opgaven uit het werkblad Afstand op de kaart en in werkelijkheid ligt het zwaartepunt op overzichtelijke tekst- en tabelopgaven. Een klassieke opgave luidt bijvoorbeeld: een wandelroute is op een kaart met een schaal van 1 : 50 000 precies 6 cm lang – bereken met hoeveel kilometer deze route in werkelijkheid overeenkomt.

In groep 7 leren kinderen om meetkundige hoeken te analyseren en in te delen op basis van hun grootte. Ze delen hoeken systematisch in: van de scherpe hoek (kleiner dan 90 graden) via de rechte hoek (precies 90 graden) tot stompe, gestrekte (180 graden) en inspringende hoeken.

Er ontstaan vaak problemen wanneer hoeken op een ongebruikelijke manier gedraaid zijn en de benen schuin in de ruimte liggen. Een typische fout is ook het over het hoofd zien van de gemarkeerde hoekboog: als de markering aan de buitenkant in plaats van de binnenkant ligt, verwarren kinderen een inspringende hoek gemakkelijk met een scherpe hoek.

In de oefenopgaven van het werkblad De hoeksoort bepalen zien de kinderen getekende hoeken. Ze analyseren de beenopening – vaak in directe vergelijking met een rechte controlehoek – en koppelen de juiste benaming van de hoek aan de tekening.

In groep 7 leren kinderen om gehele getallen in eenvoudige gevallen zonder digitale hulpmiddelen te onderzoeken op hun factoren. Ze bepalen daarbij alle natuurlijke getallen waardoor een gegeven getal zonder rest kan worden gedeeld.

Vaak worden hierbij de uiterste delers over het hoofd gezien – oftewel de 1 en het getal zelf. Ook gaan er delers verloren als kinderen kriskras getallen raden, in plaats van ze systematisch als delersparen vanaf de 1 opwaarts na te gaan.

In de oefeningen bij het sjabloon Alle delers van een getal noteren staat een getal zoals 24 of 36 centraal. De opdracht bestaat erin om de volledige lijst met delers op te schrijven, meestal geordend als een rij van het kleinste naar het grootste getal.

In de vijfde klas onderzoeken kinderen getallen op hun factoren en ontbinden ze deze stapsgewijs in priemfactoren. Dit gebeurt in eenvoudige gevallen uit het hoofd of op papier, geheel zonder digitale hulpmiddelen. De kinderen ontdekken daarbij uit welke multiplicatieve bouwstenen – de priemgetallen zoals 2, 3 of 5 – een bepaald getal is opgebouwd.

Een typische fout is te vroeg stoppen: kinderen ontbinden een getal zoals 24 bijvoorbeeld in 4 · 6 en vergeten dat de factoren 4 en 6 zelf nog verder kunnen worden opgesplitst in priemgetallen. Af en toe halen kinderen ook de bewerkingen door elkaar en tellen ze factoren bij elkaar op in plaats van ze te vermenigvuldigen.

In de oefenbladen voor priemfactorontbinding maken de leerlingen opdrachten waarin ze gegeven getallen stapsgewijs ontbinden – vaak met vertakkingen zoals een factorboom – en het eindresultaat als een zuivere vermenigvuldiging zoals 2 · 2 · 2 · 3 noteren.

In groep 7 onderzoeken kinderen in eenvoudige gevallen getallen zonder digitale hulpmiddelen op hun factoren. Ze bepalen welke delers een gegeven getal heeft en stellen vast of het getal alleen deelbaar is door 1 en zichzelf of dat er nog andere factoren bestaan.

Een typische fout komt vaak voor bij oneven getallen zoals 9, 15 of 21: kinderen bestempelen deze vaak voorbarig als priemgetallen, omdat ze oneven zijn en niet door 2 kunnen worden gedeeld. Daarbij wordt over het hoofd gezien dat er factoren zoals 3 of 5 in deze getallen verborgen zitten.

Bij opdrachten met het format Priemgetal of samengesteld getal? is er een reeks getallen gegeven. De kinderen controleren de deelbaarheid systematisch uit het hoofd of met behulp van tussenstappen en delen elk getal in bij de juiste categorie.

In groep 7 leren kinderen massa-eenheden op de juiste manier om te rekenen door ze naar een kleinere eenheid om te zetten. Ze gebruiken daarbij het vaste omrekengetal 1000 om bijvoorbeeld van ton (t) naar kilogram (kg), van kilogram naar gram (g) of van gram naar milligram (mg) te gaan.

Een veelvoorkomende fout ontstaat door verwarring met andere grootheden, zoals lengtematen. Kinderen rekenen dan ten onrechte met een factor 100 in plaats van 1000 of vergeten bij het vermenigvuldigen een van de drie nullen, waardoor 3 kg per ongeluk 300 g in plaats van 3000 g wordt.

Typische opgaven uit het werkblad Omrekenen naar een kleinere massa-eenheid vragen om het bepalen van de nieuwe getalswaarde voor een gegeven eenheid, bijvoorbeeld het omrekenen van 7 t naar kilogram of van 15 g naar milligram.

In groep 7 leren kinderen om inhoudsmaten passend bij de situatie om te rekenen. Ze richten zich erop een grotere begineenheid om te zetten naar een kleinere eenheid door het juiste omrekengetal te gebruiken en de maat dienovereenkomstig te vermenigvuldigen.

Veelgemaakte fouten ontstaan door het verwisselen van de omrekengetallen: terwijl kinderen bij lengtematen of geld vaak gewend zijn aan omrekenfactoren zoals 10 of 100, geldt bij veel inhoudsmaten de factor 1000 (zoals van liters naar milliliters). Daardoor worden er bij het vermenigvuldigen gemakkelijk te veel of te weinig nullen genoteerd.

In de oefeningen bij het werkblad Omrekenen naar een kleinere inhoudsmaat staan concrete omrekenopgaven: het kind leest een maat zoals 3 l af en bepaalt de overeenkomstige waarde in de kleinere eenheid, hier 3000 ml.

In groep 7 (leerjaar 5) versterken de kinderen het cijferend vermenigvuldigen met getallen van meerdere cijfers. Daarbij vermenigvuldigen ze stap voor stap de afzonderlijke cijfers van de factoren met elkaar, noteren ze de tussenresultaten netjes op de juiste plaatswaarde onder elkaar en tellen ze deze vervolgens bij elkaar op.

Typische fouten ontstaan vooral wanneer tussenresultaten niet precies onder de juiste positie worden genoteerd. Als de plaatswaarde verschuift – bijvoorbeeld omdat een nul als tijdelijke aanduiding voor tientallen of honderdtallen over het hoofd wordt gezien –, is het eindresultaat ondanks correcte individuele berekeningen toch fout. Ook niet-genoteerde of vergeten onthoudgetallen leiden vaak tot rekenfouten.

Typische opgaven uit het werkblad Getallen van meerdere cijfers cijferend vermenigvuldigen tonen vermenigvuldigingen zoals 342 · 56 op ruitjespapier. De kinderen voeren de deelvermenigvuldigingen overzichtelijk in regels uit en tellen deze tenslotte onder de streep bij elkaar op.

In groep 7 (BE: 5de leerjaar) versterken de kinderen de methode van de staartdeling met een deler van één cijfer. Ze verdelen de berekening in tussenstappen, delen positie voor positie van links naar rechts, vermenigvuldigen terug en trekken af, totdat alle cijfers zijn verwerkt en er aan het einde een rest overblijft die kleiner is dan de deler.

Typische fouten ontstaan vooral wanneer een tussenberekening kleiner is dan de deler: hierbij wordt gemakkelijk vergeten een nul in de uitkomst te noteren voordat het volgende cijfer naar beneden wordt gehaald. Ook komt het voor dat er rekenfouten worden gemaakt bij de aftrekstappen of dat de overgebleven rest aan het einde niet als zodanig wordt aangegeven.

In opdrachten bij het werkblad Staartdeling met een getal van één cijfer maken de kinderen typische rekenopgaven waarin een meercijferig getal wordt gedeeld door een cijfer van 2 tot en met 9. Ze noteren de tussenstappen netjes onder elkaar in het rekenrooster en schrijven de oplossing op met de toevoeging R voor de rest.

In groep 7 analyseren de kinderen grafische weergaven van statistische gegevens. Ze verwerken gegevens in de vorm van staafdiagrammen, koppelen de juiste categorieën aan de afzonderlijke staven en vergelijken de weergegeven waarden direct met elkaar.

Er ontstaan vaak problemen wanneer de verticale as niet in stappen van één is ingedeeld. Als een waarde tussen twee rasterlijnen ligt of als de stappen per vijf of tien lopen, wordt de schaalverdeling vaak over het hoofd gezien en wordt in plaats daarvan gewoon het aantal maatstreepjes geteld.

In de opgaven bij het werkblad Staven in een diagram vergelijken bekijken de kinderen een gegeven diagram, lezen ze concrete waarden af en beantwoorden ze bijbehorende vragen: ze bepalen welke staaf de grootste of kleinste waarde weergeeft, of berekenen het precieze verschil tussen twee uitkomsten.

In groep 7 (leerjaar 5) leren kinderen om uit een reeks verzamelde getallen de mediaan te bepalen. Hiervoor ordenen ze de waarden eerst op grootte van klein naar groot en bepalen vervolgens het getal dat precies in het midden van deze geordende reeks staat.

Een veelvoorkomende fout ontstaat wanneer kinderen vergeten de waarden vooraf te sorteren en in plaats daarvan direct het middelste getal uit de ongeordende beginlijst aflezen. Bij een even aantal waarden wordt bovendien vaak over het hoofd gezien dat het midden tussen de twee centrale getallen ligt.

In de opdrachten bij het werkblad De mediaan bepalen krijgen de kinderen ongeordende gegevensreeksen, zoals cijfers, meetwaarden of aantallen. Het is hun taak om de getallen geordend op te schrijven en de exacte mediaan te markeren.

In groep 7 leren kinderen om gegevensreeksen op een elementaire manier te analyseren. Ze bepalen hiervoor in een reeks getallen de kleinste waarde (minimum) en de grootste waarde (maximum) en berekenen de spreidingsbreedte door het minimum van het maximum af te trekken.

Een veelvoorkomende fout treedt op wanneer de getallen ongeordend worden aangeboden: in lange lijsten zien kinderen gemakkelijk de daadwerkelijke laagste of hoogste waarde over het hoofd. Vaak wordt de spreidingsbreedte ook ten onrechte alleen als een bereik genoteerd (zoals van 3 tot 12), in plaats van het verschil tussen de twee getallen daadwerkelijk uit te rekenen.

In de opdrachten bij het sjabloon De spreidingsbreedte bepalen werken de kinderen meestal met gegeven gegevensreeksen. Ze zoeken gericht de twee uiterste waarden op en berekenen de spreidingsbreedte als het uiteindelijke verschil.

In groep 7 leren de kinderen hoe de oppervlakte van een driehoek wordt bepaald. Ze maken hierbij gebruik van het verband met de rechthoek en berekenen de oppervlakte door een basis te vermenigvuldigen met de bijbehorende hoogte en de tussenuitkomst vervolgens te halveren.

Een veelvoorkomende fout is het overslaan van de laatste rekenstap: vaak wordt alleen basis keer hoogte berekend en vergeet men te delen door twee. Een andere bron van fouten is het verwarren van de hoogte met een schuine zijde van de driehoek, in plaats van de loodrechte afstand tot de basislijn te gebruiken.

Typische opgaven uit het werkblad Oppervlakte van een driehoek tonen driehoeken met gegeven lengtes of op ruitjespapier. De kinderen bepalen de basis en de hoogte, stellen de juiste rekenformule op en berekenen het eindresultaat in de juiste oppervlaktemaat.