Matematica — classe 4ª

Il Suo bambino impara a determinare l'area di una figura piana come numero di quadrati unitari: ricopre la superficie con quadrati di uguale grandezza oppure la ricopre mentalmente e conta i quadrati. Il programma prevede inoltre di misurare o stimare superfici con tali unità, nonché di calcolare l'area e il perimetro di quadrati e rettangoli e di semplici figure composte. Il punto del programma non indica un intervallo numerico, per questo qui non ne indichiamo alcuno.

Spesso si contano soltanto i quadrati lungo il bordo, si trascurano i quadrati incompleti oppure si confondono area e perimetro. Il motivo: l'area è un numero di unità all'interno della figura, mentre il perimetro è la lunghezza del contorno. Chi conta le lunghezze dei lati invece delle superfici misura il perimetro e non l'area.

Nelle schede di lavoro di questo ambito, le attività di copertura si presentano più o meno così:

• Quante caselle ricoprono il rettangolo: il bambino conta i quadrati unitari.
• Area di una figura composta da due rettangoli: il bambino scompone la figura e addiziona le aree parziali.
• Quante piastrelle mancano ancora: il bambino completa una superficie parzialmente coperta.
• Area mediante copertura: giusto o sbagliato: il bambino verifica se una copertura ricopre correttamente la superficie.
• Area e un lato: quanto è lungo l'altro: il bambino determina la lunghezza dell'altro lato a partire dall'area e da un lato.

Il bambino lavora con punti temporali e intervalli di tempo in semplici situazioni quotidiane. Legge l'ora sull'orologio, scopre quando qualcosa è iniziato e calcola quanto tempo è durato. I punti del curriculum relativi all'ora con mezz'ora e quarti d'ora, così come con ore e minuti, si estendono su più anni scolastici. Per la 4ª classe, l'attenzione è rivolta soprattutto all'uso di punti temporali e intervalli di tempo.

Un errore tipico si verifica quando si calcola oltre l'ora piena. Da 10:50 più 20 minuti si scrive poi 10:70, anche se si intende 11:10. Dietro questo errore c'è spesso il ragionamento nel sistema decimale: un'ora ha 60 minuti, non 100. Analogamente, 1 ora e 30 minuti viene talvolta letto come 1,30 ore, anche se si intendono 1,5 ore ovvero 90 minuti.

Esercizi di questo tipo si presentano ad esempio così:

• A che ora è iniziato?
• Calcolare la durata
• Quanti minuti sono passati?
• Di quanto un'attività è durata più di un'altra
• Convertire ore in minuti
• Piano della giornata: ordina gli orari

Ci sono anche esercizi a scelta multipla come Ore in minuti: scegliere la risposta corretta e Ore in minuti: vero o falso. Su questo argomento sono disponibili esercizi di esempio per schede stampabili con soluzioni.

Die Lehrplanpunkte verlangen, einfache kombinatorische Abzählaufgaben darzustellen und zu lösen. Sie nennen dafür keinen Zahlenraum. Die Aufgaben dieser Klasse arbeiten mit kleinen Mengen, bei denen man alle Möglichkeiten noch vollständig aufschreiben kann. Wichtig ist, dass das Kind die Anzahl begründen kann und nicht nur eine Zahl nennt.

Ein typischer Fehler: Kinder vergessen Möglichkeiten, weil sie nicht in einer festen Reihenfolge vorgehen. Wer zum Beispiel jede Hose mit jedem Hemd kombinieren soll, übersieht bei der zweiten Hose leicht ein Hemd, oder zählt eine Kombination doppelt, weil nicht klar ist, ob es auf die Reihenfolge ankommt. Ohne Ordnung fällt nicht auf, dass etwas fehlt.

Typische Aufgaben in diesem Bereich sind:

• Wie viele verschiedene Paare: richtig oder falsch, bzw. die richtige Antwort wählen
• Wie viele verschiedene Kombinationen sind möglich und Wie viele Kombinationen aus drei Sorten
• Schreibe alle Kombinationen auf: das Auflisten ist das Hilfsmittel, mit dem man vollständig zählt
• Wie viele Paare bleiben, wenn ein Teil kaputtgeht und Wie viele Paare mehr nach einem zusätzlichen Teil
• Bekannte Paarzahl: wie viele in der anderen Menge

Als eigene Anregung, nicht als Vorgabe: Hilfreich ist, die Liste nach einem festen Muster zu ordnen, etwa zuerst alle Möglichkeiten mit dem ersten Teil, dann mit dem zweiten. So lässt sich am Ende prüfen, ob nichts fehlt. Der Lehrplanpunkt zur Wahrscheinlichkeit gilt für die Stufe insgesamt und wird in den Aufgaben dieser Klasse nicht eigens geübt.

In der 4. Klasse arbeiten Kinder mit Wertetabellen, in denen eine Rechenregel auf Zahlen angewendet wird. Zu jeder Zahl aus der oberen Zeile gehört eine Zahl aus der unteren Zeile. Das Kind erkennt die Regel an den vorgegebenen Paaren und trägt die fehlenden Werte ein. Besonders wichtig ist dabei der direkt proportionale Zusammenhang, etwa wenn jede Zahl immer mit demselben Faktor vervielfacht wird, zum Beispiel bei Preisen oder Mengen.

Ein typischer Fehler ist, die Regel aus einem einzigen Zahlenpaar zu raten. Bei 3 → 12 passt sowohl „plus 9“ als auch „mal 4“. Erst ein zweites Paar, etwa 5 → 20, zeigt, dass nur „mal 4“ stimmt. Häufig wird außerdem addiert, wo multipliziert werden müsste. Deshalb lohnt es sich, die gefundene Regel an allen gegebenen Zeilen zu prüfen, bevor die Lücken gefüllt werden.

Diese Aufgaben begegnen dir auf den Arbeitsblättern in folgenden Formen:

• Completa la tabella secondo la regola della moltiplicazione: La regola è data, i valori mancanti vanno calcolati.
• Tabella dei valori: trova la regola: Dalle coppie date si ricava la regola di calcolo.
• Quale numero è entrato nella macchina? Dal risultato si risale al numero di partenza.
• Scegli cosa esce dalla macchina: Per un numero di partenza si cerca il risultato corrispondente.
• Programma di calcolo e Una tabella che sottrae: Tabelle con una sequenza di calcolo fissa.
• Correggi l'errore nella tabella: Si cerca una riga sbagliata e la si corregge.

Suo figlio può leggere da una tabella o da un istogramma a colonne il numero che corrisponde a una categoria e fare calcoli con questi valori. I punti del piano di studi parlano della lettura di dati da diverse forme di rappresentazione, nonché dell'interpretazione di diagrammi a colonne e a barre e di pittogrammi. Questi punti descrivono il programma per l'intero ciclo, non solo per la 4a classe. Per questo argomento i punti del piano di studi non indicano un intervallo numerico specifico; gli esercizi lavorano con i numeri presenti nella rispettiva tabella o nel diagramma.

Un errore tipico: il bambino legge correttamente un numero, ma dalla riga sbagliata o dalla colonna sbagliata. In un esercizio come «Quanti in più secondo la tabella» si fanno allora calcoli con i valori di due categorie che non erano richieste. La difficoltà sta quindi spesso meno nel calcolo che nell'attribuzione: quale numero appartiene a quale categoria? Un dito che scorre riga per riga può aiutare. Questo è un suggerimento nostro e non una prescrizione del piano di studi.

Gli esercizi su questo argomento, in questa classe, hanno le seguenti forme:

• Quanti in più secondo la tabella
• Istogramma a colonne: quanti in più
• Quale categoria ne ha di più
• La distanza tra il valore più grande e quello più piccolo
• Quante gruppi stanno sopra il numero indicato
• Differenza tra due righe: scegliere la risposta giusta oppure decidere se è vero o falso

Gli esercizi richiedono soprattutto confronti all'interno di una stessa rappresentazione. Il riconoscimento delle manipolazioni nelle rappresentazioni statistiche è anch'esso previsto dal piano di studi, ma non è specificamente incluso nelle forme di esercizio qui proposte.

In der 4. Klasse führt das Kind einfache Zufallsversuche durch und wiederholt sie. Es hält die Ergebnisse als absolute Häufigkeiten fest, also als Anzahl, wie oft etwas eingetreten ist, und vergleicht daraus die Chancen der Ereignisse. Dieser Vergleich ist qualitativ gemeint, das heißt: größer, kleiner oder gleich. Genaue Wahrscheinlichkeiten als Zahlen werden dafür nicht verlangt. Für diesen Lernpunkt nennt der Lehrplan außerdem keinen eigenen Zahlenbereich.

Ein typischer Fehler ist, nur auf die Anzahl einer Farbe zu schauen und nicht auf den Anteil an allen Kugeln. Wenn Beutel A 3 rote und 5 blaue Kugeln enthält und Beutel B 2 rote und 2 blaue, hat das Kind oft den Eindruck, Beutel A biete mehr Chancen auf Rot, weil dort mehr rote Kugeln liegen. Übersehen wird dabei, dass in Beutel B der größere Teil der Kugeln rot ist. Ein weiterer häufiger Fehler ist, ein einzelnes Ergebnis als sicher zu nehmen. Wiederholte Versuche helfen, solche Verzerrungen zu erkennen.

Typische Aufgaben auf den vorhandenen Arbeitsblättern sind:

• „Welche Chance ist größer? Wähle …“: Das Kind entscheidet zwischen zwei Ereignissen.
• „Fülle den Beutel: größere, kleinere oder gleiche Chance“: Das Kind ergänzt Kugeln so, dass eine vorgegebene Chance größer, kleiner oder gleich wird.
• „Verbessere den Vergleich der Chancen“: Das Kind findet und korrigiert einen fehlerhaften Vergleich.
• „Hat die Figur die Chancen richtig verglichen?“: Das Kind prüft die Aussage einer Figur und begründet seine Antwort.
• „Was ziehst du am ehesten“: Das Kind wählt das Ergebnis mit der größten Chance.
• „Ein Beutel mit Kugeln: was ist wahrscheinlicher“: Das Kind vergleicht die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ziehungen aus einem Beutel.

Il bambino impara a stabilire se un evento è certo, possibile o impossibile. A questo scopo esegue semplici esperimenti casuali, come lanciare una moneta, tirare un dado o estrarre da un sacchetto, e dice quale risultato è più probabile. Il curricolo non richiede probabilità esatte per questo, ma una descrizione qualitativa e un confronto, quindi senza valori numerici. Per quest'ambito, i punti del curricolo non indicano un intervallo numerico specifico.

Spesso si confonde il significato di possibile. Un bambino, per esempio, ritiene “possibile” estrarre una pallina rossa da un sacchetto che contiene solo palline blu, perché si potrebbe semplicemente “avere sfortuna”. Il punto è questo: impossibile significa che non può mai accadere. Possibile significa che può accadere, ma non è obbligatorio. Quanto spesso un caso possibile si verifica effettivamente è un'altra questione.

In classe i bambini incontrano questa classificazione nelle forme di esercizio che compaiono anche sulle schede di lavoro:

• Riempi il sacchetto: inserire le palline in modo che un evento diventi certo, possibile o impossibile.
• Certo, possibile o impossibile: attribuire le affermazioni alla categoria corretta.
• Vero o falso: verificare una classificazione data.
• Correggi: correggere una classificazione errata.
• Scegli: selezionare la classificazione corretta tra le possibilità proposte.

Il curricolo della scuola primaria prevede inoltre di ripetere semplici esperimenti casuali e di rappresentare i risultati come frequenze assolute, per esempio in un foglio di conteggio con tratti. Gli esercizi delle schede qui citati mostrano soprattutto la classificazione in sé.

Secondo il piano di studi, il bambino deve scrivere le grandezze con uno o più nomi, interpretare le indicazioni di misura ed eseguire conversioni. Sono indicate le unità di superficie km², ha, a, m², dm², cm² e mm². I punti del programma non prevedono un proprio campo numerico per queste conversioni, quindi la difficoltà dipende dai numeri presenti negli esercizi.

Un errore frequente nasce dal fatto che 1 m = 10 dm: i bambini trasferiscono il fattore 10 anche alle superfici e scrivono 1 m² = 10 dm². Corretto è 1 m² = 100 dm². Una superficie di 1 m per 1 m si può ricoprire con 10 × 10 quadrati di 1 dm di lato. Allo stesso modo valgono 1 ha = 100 a e 1 a = 100 m².

Esercizi adatti presenti nell'offerta di quest'area sono:

• Convertire in un'unità di superficie più grande
• Convertire in un'unità di superficie più piccola
• Convertire ettari in are
• Convertire are in metri quadrati

Inoltre esiste il modello «Convertire in un'unità di volume più piccola». I punti del programma citati, però, riguardano solo unità di superficie.

In der 4. Klasse schreibt das Kind Längen ein- und mehrnamig an und rechnet zwischen den Einheiten mm, cm, dm, m und km um. Eine Länge kann etwa als 2 m 5 cm (mehrnamig) oder als 2,05 m (einnamig) angegeben werden. Dafür braucht das Kind die Beziehungen zwischen den Einheiten, zum Beispiel dass 1 m gleich 100 cm ist. Der Lehrplan beginnt die dafür nötigen Vorstellungen schon früher; für die 4. Klasse zählen vor allem die Umrechnungen und Schreibweisen, die dieser Bereich übt.

Ein typischer Fehler liegt in der Richtung der Umrechnung. Beim Wechsel in eine kleinere Einheit wird die Zahl größer: 3 m sind 300 cm, nicht 0,3 cm. Bei mehrnamigen Angaben wird das Komma oft falsch gesetzt, etwa wenn 2 m 5 cm als 2,5 m geschrieben werden, obwohl es 2,05 m sind. Die Ursache ist meist, dass die Stufen 10 und 100 zwischen den Einheiten nicht mit einer Vorstellung verbunden sind.

Auf den Arbeitsblättern dieses Bereichs kommen drei Aufgabenarten vor: In eine kleinere Längeneinheit umrechnen (z. B. 4 dm in cm), In eine größere Längeneinheit umrechnen (z. B. 750 m in km) und Länge in einer Einheit angeben (z. B. eine mehrnamige Länge als einzelne Zahl mit einer Einheit schreiben). Als Hilfe kann man sich eine Stufenleiste mit mm, cm, dm, m und km zeichnen und jeweils zeigen, wie viele Stufen man springt. Das ist ein Vorschlag zum Üben und kein Teil der Lehrplanvorgabe.

Il bambino sa determinare l'area di un rettangolo moltiplicando lunghezza e larghezza. Deve inoltre saper spiegare perché la formula è corretta, per esempio disponendo un rettangolo con quadrati unitari e contandoli. Il programma non indica per questo punto un intervallo numerico preciso: i numeri concreti sono quelli riportati nelle schede di esercizi.

Nei rettangoli spesso si addiziona invece di moltiplicare, oppure il perimetro viene confuso con l'area, perché entrambi si calcolano con le stesse lati. Per molti bambini è difficile capire, nel caso del lato mancante, che il lato cercato insieme a quello noto deve dare esattamente l'area data. Anche le unità di misura miste, per esempio metri e centimetri nello stesso problema, portano spesso a risultati sbagliati.

Sulle schede il bambino incontra tre tipi di esercizi:

• Area di un rettangolo: sono date lunghezza e larghezza, si calcola l'area.
• Lato mancante di un rettangolo: sono dati l'area e un lato, si cerca l'altro lato.
• Area di un rettangolo nella vita quotidiana: per esempio la superficie del pavimento di una stanza o di un'aiuola, con un contesto concreto.

A casa può essere utile misurare insieme rettangoli di uso quotidiano e stimarne l'area prima di calcolarla. Si tratta di una proposta personale e non di un'indicazione del programma.

Ihr Kind arbeitet in der 4. Klasse mit Zeitpunkten und Zeitspannen: Es ermittelt, wie viele Minuten zwischen zwei Uhrzeiten liegen oder wie lange etwas gedauert hat, und rechnet Minuten und Sekunden in Sekunden um. Die Lehrplanpunkte nennen dafür keinen Zahlenraum. Der Punkt zum Ablesen von Uhrzeiten mit Stunden und Minuten gilt für einen größeren Stufenbereich, nicht nur für diese Klasse. Die Aufgabenvorlagen dieser Klasse zeigen vor allem das Rechnen mit Zeitspannen.

Ein typischer Fehler: Minuten und Sekunden werden wie Dezimalzahlen zusammengeschrieben. So wird aus 2 Minuten 15 Sekunden die Zahl 215 statt 135 Sekunden, weil mit Zehnern statt mit 60 gerechnet wird. Ähnlich ist es bei Zeitspannen über die volle Stunde: Wer von 10:50 Uhr bis 11:15 Uhr wie im Zehnersystem rechnet, kommt leicht auf ein falsches Ergebnis. Die Grundlage ist immer dieselbe: Eine Minute hat 60 Sekunden, eine Stunde hat 60 Minuten.

Auf den Arbeitsblättern erscheinen dafür drei Aufgabenvorlagen, jeweils mit Lösungen zum Kontrollieren:

• Minuti e secondi in secondi: ad es. convertire 3 minuti 20 secondi in secondi (200 secondi).
• Quanti minuti sono trascorsi? ad es. dalle 14:20 alle 14:50 sono trascorsi 30 minuti.
• Quanto è durata? Sono dati l'orario di inizio e quello di fine; si cerca la durata.

Ihr Kind lernt, vielfältige Sachsituationen zu modellieren: Es liest eine Alltagsgeschichte, erkennt die wichtigen Angaben und stellt die passende Rechnung auf. Dazu gehört auch, direkt proportionale Zusammenhänge zu erkennen, etwa dass sich bei doppelter Menge auch der Preis verdoppelt, sie tabellarisch darzustellen und für Berechnungen zu nutzen. Der Zahlenraum dieses Themenbereichs reicht bis zur Million, und die schriftliche Division mit zweistelligem Divisor gehört dazu. Der Lehrplan selbst nennt hier keinen eigenen Zahlenraum, deshalb beschreibe ich für diese Klasse nur, was die vorliegenden Aufgabenvorlagen zeigen.

Typisch ist, dass Kinder bei mehrschrittigen Aufgaben nach dem ersten Ergebnis aufhören oder eine Zwischenzahl im nächsten Schritt nicht weiterverwenden. Häufig wird auch die Frage übersehen: Gefragt ist etwa der Gesamtbetrag und nicht der Preis pro Stück. Bei Aufgaben mit „höchstens“ wird oft wie im Alltag aufgerundet, obwohl nur vollständige Sätze zählen. Ein Rest von 3 wird dann zu einem weiteren Satz gemacht, obwohl er gar nicht vollständig ist.

Auf den Arbeitsblättern dieser Klasse finden Sie dafür zwei Aufgabenarten:

• Mehrschrittige Textaufgabe (Zusammenfassen): mehrere Rechenschritte führen zu einer einzigen Antwort.
• Wie viele Sätze höchstens aus dem Vorrat: eine Division, bei der nur vollständige Einheiten zählen.

Tipp zum Üben: Lassen Sie Ihr Kind die Zwischenergebnisse aufschreiben und die Frage am Ende noch einmal laut lesen. Zu den Arbeitsblättern gibt es Lösungen.

Das Kind addiert und subtrahiert mehrstellige ganze Zahlen schriftlich, also untereinander geschrieben in Spalten. Für Klasse 4 nennt der Lehrplan den Zahlenraum bis 1 000 000. Der Lehrplanpunkt für die Stufe davor (VS3) verlangt das schriftliche Rechnen im Zahlenraum bis 1000.

Typische Fehler entstehen meist, weil die Stellenwerte nicht beachtet werden:

• Stellen nicht untereinander: Die Zahlen werden versetzt geschrieben, sodass zum Beispiel Einer unter Zehner stehen. Das Ergebnis hat dann eine falsche Größenordnung.
• Übertrag vergessen: Bei 5 678 + 3 547 wird der Zehnerübertrag nicht in die nächste Spalte geschrieben oder dort nicht mitaddiert.
• Kleinere Zahl von der größeren abziehen: Bei 52 − 27 wird 5 − 2 und 7 − 2 gerechnet, also 35. Bei Nullen im Minuenden, etwa 4 002 − 1 967, wird das Entbündeln über mehrere Stellen oft übersprungen.

Auf den Arbeitsblättern zu diesem Thema finden sich die Vorlagen Schriftlich addieren und Schriftlich subtrahieren. Dort rechnet das Kind Aufgaben untereinander in Spalten, die Lösungen dienen zur Selbstkontrolle. Der Lehrplanpunkt nennt außerdem das Abschätzen von Ergebnissen durch Runden und Überschlag. Eine einfache Kontrolle ist deshalb die Frage: Passt das Ergebnis ungefähr zu den gerundeten Zahlen?

Der Umfang ist die Länge des Randes einer Figur. Laut Lehrplan gehört dazu, den Umfang ebener Figuren zu messen oder abzuschätzen, und den Umfang von Quadraten und Rechtecken zu berechnen. Die Lehrplanpunkte nennen dafür kein eigenes Zahlenbereich und beziehen sich auf einen größeren Abschnitt der Volksschule. Für die 4. Klasse zählen daher vor allem die Aufgaben, die in diesem Bereich tatsächlich gedruckt werden.

Ein typischer Fehler bei der fehlenden Seite ist, dass das Kind die bekannten Seiten addiert, statt sie vom Gesamtumfang abzuziehen. Beim Umfang eines Vielecks wird oft eine Seite übersehen, besonders wenn die Figur mehr als vier Seiten hat.

Im Arbeitsblatt begegnen dem Kind zwei Aufgabentypen:

• Umfang eines Vielecks: Alle Seitenlängen sind angegeben, gesucht ist die Summe.
• Fehlende Seite aus dem Umfang: Der Umfang und alle bis auf eine Seite sind gegeben, die fehlende Seite wird berechnet.

Zu den Arbeitsblättern gibt es Lösungen, sodass Eltern die Rechenwege nachvollziehen können.

Il Suo bambino lavora con importi di denaro come 3,50 € o 12,05 €. In questo modo scrive le grandezze con più unità, cioè in euro e centesimi, e sa leggere e convertire correttamente le misure, per esempio 2,50 € = 250 ct. L'intervallo numerico dell'insegnamento della matematica in quarta classe arriva fino al milione. I punti del programma non indicano un intervallo numerico specifico per i calcoli con il denaro.

Spesso si commette un errore con la virgola: un importo come 3,5 € viene letto come „3 euro e 5 centesimi“ invece che come 3 euro e 50 centesimi. In questo modo somme e resti non tornano. Succede lo stesso nel confronto dei prezzi: un bambino confronta il prezzo totale di due confezioni di quantità diverse senza verificare quanto si ottiene in ciascuna.

Gli esercizi tipici in questo ambito sono:

• Quale offerta è più conveniente? Si confrontano due offerte per la stessa merce, per esempio per 1, 2 o 5 pezzi. Una tabella con i prezzi mostra come il prezzo cresce con la quantità (proporzionalità diretta).
• Quanto denaro rimane? Dall'importo iniziale si sottraggono gli acquisti e si calcola il resto.

Per entrambi i tipi di esercizio sono disponibili schede di lavoro stampabili con soluzioni.

Der Lehrplan der Volksschule nennt als Ziel den Zahlenraum bis 1 000 000: Zahlen lesen, schreiben, darstellen, zerlegen, vergleichen, ordnen und runden. Die Aufgabenvorlagen der 4. Klasse üben davon vor allem das Vergleichen großer Zahlen und das Denken in Stellenwerten, also die Frage, welchen Wert eine Ziffer je nach Position hat.

Ein typischer Fehler entsteht bei den Nullen. Wenn eine Zahl in der Mitte Nullen enthält, werden diese beim Schreiben oder Lesen leicht vergessen. Aus 300 005 wird dann 3005, und aus 400 000 wird 40 000, weil das Kind die Stelle der Hunderttausender nicht richtig besetzt. Beim Vergleichen wird oft nur die erste Ziffer angesehen, obwohl die Stellenzahl entscheidet. Hilfreich ist, Ziffern mit Stellenwerttafel oder Leerzeichen als Dreiergruppen zu lesen.

Eine Aufgabe zu diesem Thema sieht zum Beispiel so aus: Zahlen werden mit den Zeichen <, > oder = verglichen (Vorlage „Große Zahlen vergleichen“). Bei „Wie viel Mal so groß? Stellenwerte“ wird gefragt, wie oft eine Zahl in einer anderen steckt, etwa Wie viel Mal so groß ist 400 000 wie 4 000? Die Arbeitsblätter zu diesen Vorlagen gibt es zum Ausdrucken, Lösungen sind dabei.

Il piano di studio prevede che le operazioni aritmetiche nello spazio numerico fino a 1000 siano eseguite in modo flessibile con calcolo mezzo scritto (halbschriftlich), e che i risultati vengano stimati mediante arrotondamento e calcolo approssimativo. Questa indicazione vale per l'intero ciclo scolastico e non solo per la 4ª classe. Per questa classe sono soprattutto determinanti i modelli di esercizio che si esercitano in quest'ambito: il bambino riconosce quando un'addizione o una moltiplicazione può essere semplificata con una trasformazione intelligente.

Un errore tipico si verifica quando un numero viene arrotondato e si dimentica la correzione. Con 398 + 57 alcuni bambini calcolano 400 + 57 = 457 e non tolgono poi i due in più; il risultato corretto è 455. Nelle moltiplicazioni accade qualcosa di simile: con 7 · 18 = 7 · 10 + 7 · 8, la seconda parte a volte non viene moltiplicata per 7, ma soltanto addizionata (7 · 10 + 8). La causa è di solito che il bambino modifica il numero ma perde di vista ciò che ha modificato.

In pratica un esercizio di questo tipo appare più o meno così: il bambino trasforma calcoli come 99 + 143 o 25 · 16 in modo da renderli più facili, calcola poi e confronta il risultato con una stima approssimativa. Esercizi di esempio adeguati con soluzioni sono disponibili come schede stampabili per i seguenti modelli:

• Addizionare con intelligenza: somme in cui i numeri si completano a valori tondi oppure possono essere facilmente arrotondati.
• Moltiplicare con intelligenza: prodotti che possono essere scomposti in prodotti parziali più semplici.

Il piano di studi descrive l'arrotondamento dei numeri nell'intervallo fino a 1 000 000. In quarta classe, gli esercizi su questo argomento mostrano concretamente l'arrotondamento alle migliaia e l'arrotondamento alle decine di migliaia. L'arrotondamento aiuta anche nella stima: si arrotondano i numeri in anticipo per stimare il risultato approssimato di un calcolo scritto.

Un errore tipico è guardare la cifra della posizione di arrotondamento stessa oppure prendere la posizione vicina sbagliata. Decisiva è sempre la cifra immediatamente a destra della posizione di arrotondamento: se è 5 o più, si arrotonda per eccesso; se è 4 o meno, si arrotonda per difetto. Chi arrotonda sempre per difetto o si limita a cancellare le ultime cifre ottiene un risultato sbagliato per molti numeri.

Un esercizio, ad esempio, si presenta così:

• Arrotondare alle migliaia: 36 849 diventa 37 000, perché la cifra delle centinaia è 8. Per 36 449 la cifra delle centinaia è 4, quindi si arrotonda per difetto a 36 000.
• Arrotondare alle decine di migliaia: 384 620 diventa 380 000, perché la cifra delle migliaia è 4. Per 385 000 la cifra delle migliaia è 5, quindi si arrotonda per eccesso a 390 000.

Le schede di lavoro contengono esercizi di esempio con soluzioni, con cui i bambini possono esercitarsi nell'arrotondamento.

Nell'intervallo dei numeri fino a 1 000 000 il bambino esegue per iscritto la divisione di un numero a più cifre per un numero a due cifre, per esempio 4 872 : 24. Prima stima quante volte il divisore entra nelle cifre iniziali, poi procede passo dopo passo finché resta un resto.

Tipicamente la prima cifra del risultato viene stimata in modo errato, perché il divisore viene valutato troppo grande o troppo piccolo. Allora il resto non corrisponde più al calcolo. Spesso inoltre si dimentica una cifra del numero di partenza, cioè non la si fa scendere, oppure si ottiene un resto più grande del divisore.

Esercizi adatti sono le attività della scheda „Dividere per iscritto per un numero a due cifre“: il bambino risolve per iscritto diverse divisioni di questo tipo, e le schede contengono le soluzioni per la verifica. Come integrazione, per controllare i risultati si può esercitare una stima approssimativa, arrotondando i numeri e confrontando il risultato approssimato con quello preciso.

Nel calcolo approssimato il bambino arrotonda i numeri in modo da poter calcolare facilmente e ottiene così un risultato approssimativo. Il piano di studi indica a questo scopo l'arrotondamento e il calcolo approssimato come mezzi per stimare i risultati. Per i calcoli scritti questo è richiesto nell'intervallo numerico fino a 1 000 000, quindi proprio nell'ambito con cui lavora questa classe (punto del piano di studi VS4.2.1). Per i calcoli semiscritti nell'intervallo numerico 1000 vale la stessa strategia (VS3.2.1).

Un errore tipico: i numeri vengono troncati invece che arrotondati. Così, ad esempio, 48 972 arrotondato alle decine di migliaia diventa 40 000 invece di 50 000. In questo modo il calcolo approssimato risulta chiaramente troppo basso. Altrettanto importante è che un calcolo approssimato non è il risultato esatto. Serve a verificare se il risultato esatto è plausibile.

Nella pratica il bambino svolge esercizi come „stimare una somma“: arrotonda i singoli addendi a una cifra adeguata, somma i numeri arrotondati e poi confronta il risultato con la somma esatta. I fogli di lavoro su questo argomento contengono esercizi di esempio con soluzioni, con cui potete esercitarvi insieme.

In der 4. Klasse arbeiten Kinder mit Plänen und Karten. Sie verkleinern und vergrößern ebene Figuren, vor allem mithilfe von Rastern, und sie lernen, einfache Pläne zu lesen und anzufertigen (VS4.4.3). Der Maßstab verbindet dabei eine Strecke auf dem Plan mit der entsprechenden Strecke in der Wirklichkeit. Die Lehrplanstellen nennen für diese Fähigkeit keinen eigenen Zahlenraum.

Die übrigen Lehrplanstellen zu ähnlichen Figuren und maßstäblich gezeichneten Rechtecken beschreiben einen größeren Zeitraum. Für diese Klasse lässt sich daraus nur der Teil ableiten, den die Beispielaufgaben zeigen. Typisch ist, dass das Kind die Kartenlänge richtig misst, die Einheit beim Umrechnen aber nicht anpasst. Es erhält dann etwa Zentimeter, obwohl nach Metern oder Kilometern gefragt ist. Ein zweiter häufiger Fehler betrifft die Rechenrichtung: Manche Kinder teilen durch den Maßstab, wo sie multiplizieren müssten, oder umgekehrt. Beides entsteht, wenn der Maßstab nur als Zahl gelesen wird und nicht als Verhältnis zwischen Karte und Wirklichkeit.

Ein Aufgabentyp zu diesem Thema ist Entfernung auf der Karte und in Wirklichkeit. Die Arbeitsblätter zeigen dazu Beispielaufgaben mit Lösungen, zum Beispiel:

• Eine Strecke auf der Karte wird gemessen, die reale Entfernung mit dem angegebenen Maßstab berechnet.
• Eine reale Entfernung ist gegeben, gesucht ist die Länge auf der Karte.
• Das Ergebnis wird in eine passende Einheit umgewandelt, etwa von Zentimetern in Meter oder Kilometer.

Il bambino può ricavare una frazione di una quantità o di una grandezza. Il curricolo cita in particolare i denominatori 2, 4 e 8. Vi rientra anche saper leggere e scrivere la notazione frazionaria. Quali valori numerici compaiano in questo contesto, il curricolo non lo specifica più nel dettaglio in questo punto.

Un errore tipico: il bambino divide solo per il denominatore e dimentica il numeratore. Per tre quarti di 20 calcola 20 : 4 = 5 e si ferma lì, anche se quello sarebbe solo un quarto. Il problema ha due passaggi, e il secondo viene facilmente trascurato.

In classe questa competenza compare come compito „Calcolare una frazione di un numero“. Le schede di lavoro su questo argomento contengono esercizi di esempio con soluzioni da stampare, così a casa si possono ripercorrere i procedimenti di calcolo e verificare i risultati. Un suggerimento per casa: il bambino può dire ad alta voce i passaggi, prima dividere per il denominatore e poi moltiplicare per il numeratore.

Il piano di studio per la 4ª classe prevede di scrivere le grandezze con una o più unità di misura e di eseguire conversioni. I compiti di questo ambito propongono soprattutto conversioni in un'unità di massa più piccola, per esempio da chilogrammi a grammi o da tonnellate a chilogrammi. Il piano di studio non indica un intervallo numerico specifico per le masse; i numeri di questo ambito della matematica arrivano, in 4ª classe, fino al milione.

Un errore tipico riguarda la direzione: poiché serve un'unità più piccola per descrivere lo stesso peso, il numero diventa più grande. Chi invece divide per 1000 trasforma 3 kg nel valore 0,003 g. Può essere utile immaginare che un chilogrammo sia formato da mille grammi. Per 3 kg servono quindi tre volte mille grammi.

Un compito tipico si presenta così:

• Converti 4 kg in grammi. (Soluzione: 4000 g)
• Converti 2 t in chilogrammi. (Soluzione: 2000 kg)

Come spunto personale, non come indicazione del piano di studio: i bambini possono anche chiedersi se 2500 g siano più o meno di 2 kg.

Il bambino legge e scrive frazioni con denominatori piccoli, in particolare 2, 4 e 8, ad esempio 1/4 o 5/8. La frazione rappresenta una parte di un intero. Gli esercizi di questo ambito in quarta elementare esercitano soprattutto la frazione di un insieme: a/b di un intero.

Tipicamente il bambino scambia numeratore e denominatore. Nel caso di 3/4 di 20, divide 20 per 3 invece che per 4, perché prende i numeri della frazione uno alla volta. Il denominatore però indica in quante parti uguali si divide l'intero, e il numeratore quante di queste parti sono considerate.

Un esercizio tipico è, ad esempio: Su 24 caramelle, 3/8 sono rosse. Quante sono rosse? Il bambino procede in due passaggi: 24 : 8 = 3 (un ottavo delle caramelle), poi 3 · 3 = 9 caramelle rosse. Così si determinano le frazioni di un insieme.

In der 4. Klasse sollen Kinder Zahlen bis 1 000 000 lesen, schreiben, darstellen, ordnen und runden. Am Zahlenstrahl heißt das: Sie zeichnen eine Zahl als Punkt ein und lesen umgekehrt von einem markierten Punkt die Zahl ab. Bis Ende der 3. Klasse wurden die Zahlen bis 1000 zerlegt, verglichen und gerundet; der größere Zahlenraum kommt in der 4. Klasse dazu.

Ein typischer Fehler entsteht, wenn Kinder die Striche zählen statt den Wert der Schritte zu beachten. Sind zwischen zwei beschrifteten Zahlen mehrere Striche, hat jeder Schritt einen anderen Wert als 1. Wer dann einfach weiterzählt, landet bei einer falschen Zahl. Beim Springen über einen Zehner, etwa von 47 über 50 weiter, passiert das besonders oft, weil der Zehner als Zwischenstation übersehen wird.

Eine Aufgabe zum Thema „Zehnersprung am Zahlenstrahl“ könnte zum Beispiel so aussehen:

• Der Pfeil startet bei 47. Wohin kommt er nach einem Sprung von +5? (Lösung: 52, mit Zwischenstation 50.)
• Welche Zahl liegt genau zwischen 60 und 70, wenn der Zahlenstrahl in Zehnerschritten beschriftet ist?

Die Arbeitsblätter zu diesem Thema sind druckbar und enthalten Lösungen, so dass Sie die Aufgaben direkt zu Hause oder im Unterricht verwenden können.

In der 4. Klasse lernt das Kind, Mengen in genormten Einheiten anzugeben und Umrechnungen durchzuführen. Die Aufgaben in diesem Bereich verlangen den Schritt zu einer kleineren Volumeneinheit: zum Beispiel, wie viele Milliliter 3 ℓ ergeben. Das Kind soll dabei verstehen, dass ein Liter aus tausend Millilitern besteht und die Zahl deshalb größer wird.

Ein typischer Fehler ist, mit 10 oder 100 statt mit 1000 zu rechnen, weil das Kind das Rechnen im Zehnersystem auf die Einheit überträgt. Bei Dezimalzahlen kommt das Verschieben des Kommas hinzu: Aus 1,5 ℓ wird dann fälschlicherweise 15 mℓ statt 1500 mℓ. Hier hilft es, sich die Menge vorzustellen: 1,5 Liter sind mehr als eine Liter-Packung und müssen deutlich mehr als 1000 mℓ ergeben.

Eine Aufgabe zu diesem Thema sieht zum Beispiel so aus: „Wie viele Milliliter sind 2 ℓ?“ oder „Rechne 0,5 ℓ in mℓ um.“ Die Vorlage in diesem Bereich lautet „In eine kleinere Volumeneinheit umrechnen“. Zu Hause kann man als Hilfe eine Liter-Milchpackung und einen kleinen Messbecher nutzen, um die Größenverhältnisse anschaulich zu machen.

Das Kind kann mehrstellige Zahlen in Spalten schriftlich multiplizieren. Der Lehrplan nennt dafür die schriftliche Multiplikation mit ein- und zweistelligem Multiplikator im Zahlenraum bis 1 000 000. Diese Angabe beschreibt den gesamten Lehrplanabschnitt und nicht allein die 4. Klasse. Für diese Klasse zeigen die Arbeitsblätter, welche Aufgaben tatsächlich vorkommen. Dazu gehört auch, das Ergebnis durch Runden und Überschlagen abzuschätzen.

Ein typischer Fehler entsteht bei den Stellenwerten. Wenn das Kind mit der Zehnerziffer multipliziert, muss das Teilergebnis um eine Stelle nach links verschoben werden, sonst stimmt die Größenordnung nicht. Ebenso fehlt manchmal der Übertrag oder er wird beim Addieren der Teilprodukte übersehen. Die einzelnen Rechenschritte sind dann oft richtig, das Gesamtergebnis aber nicht. Ein kurzer Überschlag vor dem Rechnen hilft dabei, grobe Fehler zu bemerken.

Auf den Arbeitsblättern passt dazu die Vorlage „Mehrstellige Zahlen schriftlich multiplizieren“. Die Aufgaben stehen untereinander in Spalten, zum Beispiel 348 × 6 oder 245 × 13. Ein sinnvoller Ablauf ist:

• zuerst grob überschlagen, etwa 350 × 6 ≈ 2 100,
• dann genau in Spalten rechnen,
• zum Schluss mit den Lösungen vergleichen.

Il bambino riconosce nelle situazioni concrete quando due grandezze sono direttamente proporzionali, ad esempio il numero e il prezzo. Rappresenta questa relazione in una tabella e la usa per i calcoli. Un passo centrale è determinare il valore per una unità: se 4 quaderni costano 8 euro, un quaderno costa 2 euro.

Il punto del programma non indica un intervallo numerico proprio. Nel complesso, l'ambito matematico della 4ª classe riguarda i numeri fino al milione.

Un errore tipico: il bambino prosegue il calcolo con la quantità totale invece di dividere prima per il numero, oppure moltiplica dove dovrebbe dividere. Spesso si ferma anche alla quantità data e non arriva al valore per uno. Il compito richiede due passaggi, e non è sempre chiaro quale operazione serva nel primo passaggio.

Esercizi adatti si trovano nelle schede di lavoro su questo tema, che sono disponibili con le soluzioni da stampare. Lì ci sono compiti della forma „Quanto costa per uno?“. Il bambino vede un dato riferito a più unità e ricava da esso il valore per una unità.

In der 4. Klasse arbeitet das Kind mit Zeitpunkten und Zeitspannen und wendet dabei Größen in Sachaufgaben an. Beim Kalenderrechnen bedeutet das, aus zwei Datumsangaben die Zeit zu bestimmen, die dazwischen liegt. Der Lehrplan nennt für diesen Punkt keinen eigenen Zahlenraum. Deshalb beschreiben wir hier nur, was die Aufgaben dieser Klasse tatsächlich verlangen: die Anzahl der Tage zwischen zwei Daten.

Häufig entstehen Fehler, wenn eine Zeitspanne über das Ende eines Monats geht. Monate haben unterschiedlich viele Tage (28, 29, 30 oder 31), und das Kind rechnet dann oft, als hätte jeder Monat gleich viele Tage. Verwirrung entsteht auch, wenn unklar ist, ob der Anfangstag oder der Endtag mitgezählt wird. Ein Tipp aus der Praxis (nicht aus dem Lehrplan): Lassen Sie das Kind den Kalender mit dem Finger verfolgen, statt nur im Kopf zu rechnen.

Eine typische Aufgabe lautet: Wie viele Tage sind das? Zum Beispiel: Wie viele Tage liegen zwischen dem 3. und dem 15. März? Solche Aufgaben finden Sie als Arbeitsblatt mit Lösung im Bereich Mathematik der 4. Klasse.

Das Kind lernt, die Lage von Strecken in der Ebene zu beschreiben. Zwei Strecken sind parallel, wenn sie gleich gerichtet sind und nie zusammentreffen. Sie sind senkrecht, wenn sie einen rechten Winkel bilden. Dazu gehört auch, rechte Winkel mit dem Geodreieck zu zeichnen. Der Lehrplan nennt außerdem Quadrate und Rechtecke. Er beschreibt diesen Inhalt für einen mehrjährigen Abschnitt, nicht nur für die 4. Klasse. Zahlenbereiche gibt es hier keine, weil es um Lage und Form geht.

Ein typischer Fehler: Strecken werden nach dem Augenmaß beurteilt. Auf einem karierten Blatt wirken schräge Strecken schnell wie waagrechte oder senkrechte, oder ein Winkel, der fast ein rechter ist, wird als rechter Winkel angesehen. Hilfreich ist, die Kästchen zu zählen: Eine senkrechte Strecke geht um ein Kästchen nach rechts und dann um ein Kästchen nach oben. Parallele Strecken haben in beiden Richtungen dieselben Schritte.

Die Arbeitsblätter dieses Bereichs enthalten die Aufgabe „Parallel oder senkrecht?“. Dort entscheidet das Kind bei Strecken im Raster, welche Lage vorliegt, und begründet die Antwort. Zur Kontrolle kann es mit dem Geodreieck nachmessen oder nachzeichnen.

Il bambino impara a distinguere tre oggetti rettilinei nel piano. I piani di studio non indicano un intervallo numerico, perché qui si tratta di figure e della loro posizione, non di numeri. Si richiede di descrivere le relazioni di posizione tra segmenti nel piano.

Un errore tipico è confondere una semiretta con un segmento, perché entrambi iniziano in un punto. Allo stesso modo, una retta viene spesso chiamata segmento, perché sul foglio si vede solo un tratto di essa. Il motivo: un disegno è sempre limitato, mentre i termini descrivono come l'oggetto prosegue oltre il bordo del foglio.

• Segmento: ha due estremi fissi e una lunghezza determinata.
• Semiretta: ha un punto di partenza e prosegue illimitatamente in una direzione.
• Retta: non ha estremi e prosegue illimitatamente in entrambe le direzioni.

Il modello di attività Segmento, semiretta o retta? chiede quale di questi oggetti sia rappresentato. Il bambino deve scegliere una denominazione e motivarla. Se in questa classe sia previsto anche disegnare angoli retti, quadrati e rettangoli con la squadra, le attività disponibili su questo argomento non lo mostrano. Questa descrizione si limita quindi a distinguere i tre oggetti.

In der 4. Klasse spiegelt Ihr Kind einzelne Punkte an einer Geraden. Der Bildpunkt liegt auf der anderen Seite der Geraden, auf derselben Senkrechten zur Geraden und im gleichen Abstand wie der Ausgangspunkt. Verbindet man die gespiegelten Punkte, entsteht eine Figur, die zur Ausgangsfigur passt.

Der Lehrplan beschreibt insgesamt, dass ebene Figuren untersucht, beschrieben und verglichen werden, besonders symmetrische Objekte, und dass achsensymmetrische Figuren erkannt und konstruiert werden. Die Aufgaben dieses Bereichs zeigen für die 4. Klasse vor allem das Spiegeln von Punkten an einer Geraden.

Ein typischer Fehler: Der Bildpunkt wird auf dieselbe Seite der Geraden gesetzt wie der Ausgangspunkt, oder er liegt zwar auf der anderen Seite, aber in einem anderen Abstand. Das passiert oft, wenn nach Augenmaß gezeichnet wird und nicht abgezählt wird, wie weit der Punkt von der Geraden entfernt ist.

Eine typische Aufgabe zeigt eine Gerade und einige Punkte daneben. Ihr Kind zeichnet zu jedem Punkt den Bildpunkt ein und verbindet die Punkte zu einer Figur. Die Aufgabe heißt im Angebot Punkt an einer Geraden spiegeln, Lösungen liegen bei.

Il bambino riconosce i corpi geometrici dalle loro proprietà e sa descriverli e confrontarli. Ciò comprende se un corpo ha superfici piane o rotonde, se possiede vertici, spigoli o una punta e se è simmetrico. Per questo argomento il piano di studi non indica alcuno spazio numerico, perché si tratta di forme e non di calcolo.

Spesso si confondono corpi dall'aspetto simile, ad esempio cono e piramide, perché entrambi hanno una punta, oppure cilindro e prisma, perché entrambi hanno basi e superfici di copertura dall'aspetto uguale. Il bambino allora spesso si concentra su un solo tratto, per esempio sulla punta o sulla base, invece di verificare tutte le proprietà. È utile porsi la domanda: quali superfici sono piane, quali rotonde e quanti vertici ha il corpo?

Un compito tipico è il modello „Quale corpo è questo?“, in cui il bambino determina un corpo sulla base di una descrizione o di un'illustrazione. Le schede di lavoro stampabili con soluzioni sono adatte per esercitarsi. Il piano di studi richiede inoltre di lavorare con i corpi in modo ludico e pianificato, in particolare con oggetti simmetrici. Il punto del piano di studi relativo alle superfici e ai volumi di prismi e piramidi vale per l'intero ambito e non viene esercitato nei compiti qui presentati.

Il bambino impara a scomporre una figura piana composta da rettangoli in parti più semplici. Calcola l'area di ciascun rettangolo parziale e somma i risultati. Il curricolo richiede di calcolare l'area di quadrati e rettangoli, nonché di semplici figure composte da essi. I punti del curricolo U1.3.2 e U3.3.1 descrivono l'argomento su un periodo più lungo. Quale intervallo numerico compaia concretamente in quarta classe lo mostrano gli esempi di esercizi.

È tipico che i bambini confondano il perimetro con l'area: sommano le lunghezze dei lati, anche se viene chiesta l'area. Altrettanto spesso capita che, nella scomposizione, una parte venga dimenticata o contata due volte. La figura sembra un'unica superficie, ma il calcolo richiede due passaggi separati: prima calcolare ogni superficie parziale, poi sommare i risultati.

Un esercizio su questo tema si trova nella scheda di lavoro „Area di una figura a L“. Lì è indicata una figura a forma di L con le relative misure. Il bambino la scompone in rettangoli, calcola ciascuna area e indica la superficie totale. Le soluzioni della scheda aiutano a ripercorrere i passaggi del calcolo.

Un reticolato è la forma piana di un corpo: si tagliano gli spigoli di un cubo e lo si apre distendendolo. Il bambino impara a immaginare come appare una figura piana quando viene piegata. Il piano di studi prevede, per la scuola primaria nel complesso, che si esplorino, si abbinino e si costruiscano semplici modelli di corpi e reticolati. Per la 4ª classe, il modello di compito di questo ambito mostra soprattutto l'esplorazione: una figura disegnata è un reticolato di cubo?

Un errore tipico: il bambino conta sei quadrati e per questo ritiene che la figura sia un reticolato. Però ciò che conta è se, piegando, ciascuno dei sei lati viene coperto esattamente una volta. Se due quadrati, piegando, finiscono sullo stesso lato, in un altro punto manca un lato, anche se il numero è giusto. Chi guarda soltanto all'aspetto della figura invece che al piegamento trascura facilmente questa differenza.

In pratica si tratta di compiti come "È un reticolato di cubo?": viene mostrata una figura composta da quadrati e il bambino decide, con una breve motivazione, se essa può essere piegata a formare un cubo. Come aiuto si può ritagliare la figura e piegarla davvero. Il punto del piano di studi sui parallelepipedi con formule per superficie e volume (U1.3.3) va oltre la 4ª classe e qui non è descritto come requisito di questa classe.