Mathématiques — 4e année

Votre enfant apprend à décrire la taille d'une figure plane comme un nombre de carreaux unitaires : il recouvre la surface avec des carrés de même taille ou la recouvre mentalement, puis compte les carrés. Le programme demande aussi de mesurer ou d'estimer des surfaces avec de telles unités, ainsi que de calculer l'aire et le périmètre de carrés, de rectangles et de figures composées simples. Le point du programme ne précise aucune plage de nombres, c'est pourquoi nous n'en donnons pas ici.

On compte souvent seulement les carrés du bord, on oublie les carreaux entamés ou on confond aire et périmètre. La raison : l'aire est un nombre d'unités à l'intérieur de la figure, alors que le périmètre est la longueur du contour. Celui qui compte les longueurs des côtés au lieu des surfaces mesure le périmètre et non l'aire.

Dans les fiches de ce domaine, les tâches de recouvrement se présentent par exemple ainsi :

• Combien de carreaux recouvrent le rectangle : l'enfant compte les carreaux unitaires.
• Aire d'une figure formée de deux rectangles : l'enfant décompose la figure et additionne les aires partielles.
• Combien de carreaux manquent encore : l'enfant complète une surface partiellement recouverte.
• Aire par recouvrement : juste ou faux : l'enfant vérifie si un recouvrement couvre correctement la surface.
• Aire et un côté : quelle est la longueur de l'autre : l'enfant détermine l'autre longueur de côté à partir de l'aire et d'un côté.

L'enfant travaille, dans des situations concrètes simples, avec des moments et des durées. Il lit l'heure sur une horloge, retrouve à quel moment quelque chose a commencé et calcule combien de temps cela a duré. Les objectifs du programme concernant les heures avec les demi-heures et les quarts d'heure, ainsi que les heures et les minutes, s'étendent sur plusieurs années scolaires. Pour la 4e année, il s'agit surtout de travailler avec les moments et les durées.

Une erreur typique apparaît lorsqu'on calcule en passant par l'heure pleine. Avec 10 h 50 plus 20 minutes, on écrit alors 10 h 70, alors que c'est 11 h 10 qui est visé. Cette confusion vient souvent d'une pensée basée sur le système décimal : une heure compte 60 minutes, et non 100. De même, 1 heure 30 minutes est parfois lu comme 1,30 heure, alors qu'il s'agit de 1,5 heure, soit 90 minutes.

De tels exercices se présentent par exemple ainsi :

• À quelle heure cela a-t-il commencé ?
• Calculer une durée
• Combien de minutes se sont écoulées ?
• De combien de temps l'un a-t-il duré de plus que l'autre
• Convertir des heures en minutes
• Programme de la journée : ranger les heures

Il existe aussi des exercices à cocher, comme Heures en minutes : choisir la bonne réponse et Heures en minutes : vrai ou faux. Pour ce thème, il existe des exemples d'exercices pour des fiches imprimables avec corrigés.

Les plans d'études demandent de présenter et de résoudre des problèmes de dénombrement combinatoire simples. Ils ne précisent pas de plage numérique pour cela. Les tâches de cette classe travaillent avec de petits ensembles, pour lesquels on peut encore écrire complètement toutes les possibilités. L'essentiel est que l'enfant puisse justifier le nombre et ne se contente pas de donner un chiffre.

Une erreur typique : les enfants oublient des possibilités parce qu'ils ne procèdent pas dans un ordre fixe. Celui qui doit associer chaque pantalon à chaque chemise oublie facilement une chemise avec le deuxième pantalon, ou compte deux fois une combinaison parce qu'il n'est pas clair si l'ordre compte. Sans ordre, on ne remarque pas qu'il manque quelque chose.

Les tâches typiques dans ce domaine sont :

• Combien de paires différentes : vrai ou faux, ou choisir la bonne réponse
• Combien de combinaisons différentes sont possibles et Combien de combinaisons avec trois sortes
• Écris toutes les combinaisons : l'énumération est l'outil qui permet de compter de façon complète
• Combien de paires restent si une partie est cassée et Combien de paires en plus après une partie supplémentaire
• Nombre de paires connu : combien dans l'autre ensemble

Comme suggestion personnelle, et non comme consigne : il est utile d'ordonner la liste selon un motif fixe, par exemple d'abord toutes les possibilités avec la première partie, puis avec la deuxième. On peut ainsi vérifier à la fin que rien ne manque. Le point du plan d'études concernant les probabilités vaut pour le niveau dans son ensemble et n'est pas expressément travaillé dans les tâches de cette classe.

En 4^e année, les enfants travaillent avec des tableaux de valeurs, dans lesquels une règle de calcul est appliquée à des nombres. À chaque nombre de la ligne du haut correspond un nombre de la ligne du bas. L'enfant reconnaît la règle à partir des couples donnés et complète les valeurs manquantes. La relation directement proportionnelle est particulièrement importante ici, par exemple lorsque chaque nombre est toujours multiplié par le même facteur, comme pour les prix ou les quantités.

Une erreur typique consiste à deviner la règle à partir d'un seul couple de nombres. Pour 3 → 12, « plus 9 » et « fois 4 » conviennent tous les deux. Ce n'est qu'un deuxième couple, par exemple 5 → 20, qui montre que seule la règle « fois 4 » est juste. Souvent, on additionne alors qu'il faudrait multiplier. Il vaut donc la peine de vérifier la règle trouvée sur toutes les lignes données avant de remplir les cases vides.

Sur les fiches d'exercices, tu rencontres ces tâches sous les formes suivantes :

• Remplis le tableau selon la règle de multiplication : La règle est donnée, les valeurs manquantes sont à calculer.
• Tableau de valeurs : trouver la règle : La règle de calcul se déduit à partir des couples donnés.
• Quel nombre est entré dans la machine ? On remonte du résultat au nombre d'entrée.
• Choisis ce qui sort de la machine : Pour un nombre d'entrée, on cherche le résultat correspondant.
• Programme de calcul et Un tableau qui soustrait : Tableaux avec un enchaînement de calculs fixe.
• Corrige l'erreur dans le tableau : On cherche une ligne fausse et on la corrige.

Votre enfant peut lire, dans un tableau ou un diagramme en colonnes, le nombre qui correspond à une catégorie, et calculer avec ces valeurs. Les points du plan d'études mentionnent la lecture de données issues de différentes représentations ainsi que l'interprétation de diagrammes en colonnes et en barres et de pictogrammes. Ces points décrivent la matière pour tout le cycle, et pas seulement pour la 4e année. Le plan d'études ne mentionne pas de domaine numérique propre à ce thème ; les exercices travaillent avec les nombres qui figurent dans le tableau ou le diagramme concerné.

Une erreur typique : l'enfant lit correctement un nombre, mais sur la mauvaise ligne ou depuis la mauvaise colonne. Dans un exercice du type « combien de plus selon le tableau », on calcule alors avec les valeurs de deux catégories qui n'étaient pas demandées. La difficulté tient donc souvent moins au calcul qu'à l'association : quel nombre correspond à quelle catégorie ? Un doigt qui suit la ligne pas à pas peut aider. Il s'agit d'un conseil de notre part et non d'une exigence du plan d'études.

Les exercices sur ce thème prennent, dans cette classe, les formes suivantes :

• Combien de plus selon le tableau
• Diagramme en colonnes : combien de plus
• Quelle catégorie en a le plus
• L'écart entre la plus grande et la plus petite valeur
• Combien de groupes dépassent le nombre donné
• Différence entre deux lignes : choisir la bonne réponse ou décider si c'est vrai ou faux

Les exercices demandent surtout de comparer des valeurs au sein d'une même représentation. Le plan d'études mentionne aussi la reconnaissance de manipulations dans les représentations statistiques, mais ce point n'est pas expressément prévu dans les formes d'exercices proposées ici.

En 4^e année, l'enfant réalise des expériences aléatoires simples et les répète. Il consigne les résultats sous forme de fréquences absolues, c'est-à-dire le nombre de fois où quelque chose s'est produit, et compare à partir de là les chances des événements. Cette comparaison est qualitative, c'est-à-dire : plus grand, plus petit ou égal. Des probabilités exactes exprimées en nombres ne sont pas exigées à ce stade. Pour ce point d'apprentissage, le programme ne prévoit en outre aucune plage numérique spécifique.

Une erreur typique consiste à ne regarder que le nombre d'une couleur et non la proportion par rapport à toutes les billes. Si le sac A contient 3 billes rouges et 5 billes bleues, et le sac B 2 billes rouges et 2 billes bleues, l'enfant a souvent l'impression que le sac A offre davantage de chances d'obtenir du rouge, parce qu'il y a plus de billes rouges. On oublie alors que, dans le sac B, la plus grande partie des billes est rouge. Une autre erreur fréquente consiste à considérer un seul résultat comme certain. Les essais répétés aident à repérer de telles distorsions.

Les tâches typiques sur les fiches de travail disponibles sont :

• « Quelle chance est plus grande ? Choisis … » : l'enfant choisit entre deux événements.
• « Remplis le sac : chance plus grande, plus petite ou égale » : l'enfant ajoute des billes de sorte qu'une chance donnée devienne plus grande, plus petite ou égale.
• « Corrige la comparaison des chances » : l'enfant repère une comparaison erronée et la corrige.
• « Le personnage a-t-il bien comparé les chances ? » : l'enfant examine l'affirmation d'un personnage et justifie sa réponse.
• « Que tires-tu le plus probablement ? » : l'enfant choisit le résultat ayant la plus grande chance.
• « Un sac de billes : que est-il le plus probable ? » : l'enfant compare la probabilité de différents tirages dans un sac.

L'élève apprend à décider si un événement est certain, possible ou impossible. Pour cela, il réalise des expériences de hasard simples, comme lancer une pièce, lancer un dé ou tirer dans un sac, et dit quel résultat est le plus probable. Le programme n'exige pas de probabilités exactes pour cela, mais une description qualitative et une comparaison, donc sans valeurs numériques. Les points du programme pour ce domaine ne mentionnent pas non plus de plage numérique précise.

On confond souvent ce que signifie possible. Un enfant considère par exemple qu'une boule rouge tirée d'un sac ne contenant que des boules bleues est « possible », parce qu'on pourrait simplement « avoir de la malchance ». En réalité, impossible signifie que cela ne peut jamais arriver. Possible signifie que cela peut arriver, sans que ce soit obligatoire. La fréquence à laquelle un cas possible se produit effectivement est une question différente.

En classe, les enfants rencontrent ce classement dans les types d'exercices qui figurent aussi sur les fiches de travail :

• Remplis le sac : placer des boules de manière à rendre un événement certain, possible ou impossible.
• Certain, possible ou impossible : attribuer des énoncés à la catégorie correspondante.
• Vrai ou faux : vérifier un classement donné.
• Corrige : rectifier un classement erroné.
• Choisis : sélectionner le classement adapté parmi plusieurs possibilités données.

Le programme décrit en outre, pour l'école primaire, la répétition d'expériences de hasard simples et la présentation des résultats sous forme de fréquences absolues, par exemple dans un tableau de pointage. Les exercices des fiches mentionnées ici montrent avant tout le classement lui-même.

Selon le programme, l'élève doit noter des grandeurs avec une ou plusieurs unités, interpréter des indications de mesure et effectuer des conversions. Les unités d'aire citées sont le km², l'ha, l'a, le m², le dm², le cm² et le mm². Les points du programme ne mentionnent pas de domaine numérique propre à ces conversions ; la difficulté dépend donc des nombres utilisés dans les exercices.

Une erreur fréquente vient de ce que 1 m = 10 dm : les enfants appliquent alors le facteur 10 aussi aux surfaces et écrivent 1 m² = 10 dm². Or la bonne égalité est 1 m² = 100 dm². Une surface de 1 m sur 1 m peut être recouverte de 10 sur 10 carrés de 1 dm de côté. De même, 1 ha = 100 a et 1 a = 100 m².

Les exercices proposés dans cette rubrique sont :

• Convertir dans une unité plus grande
• Convertir dans une unité plus petite
• Convertir des hectares en ares
• Convertir des ares en mètres carrés

Il existe en outre le modèle « Convertir dans une unité de volume plus petite ». Les points du programme cités ne mentionnent toutefois que des unités d'aire.

En 4e année, l'enfant écrit des longueurs à une ou plusieurs unités et convertit entre les unités mm, cm, dm, m et km. Une longueur peut s'écrire par exemple 2 m 5 cm (à plusieurs unités) ou 2,05 m (à une seule unité). Pour cela, l'enfant a besoin des relations entre les unités, par exemple que 1 m égale 100 cm. Le programme commence déjà plus tôt à construire les représentations nécessaires ; pour la 4e année, ce sont surtout les conversions et les écritures travaillées dans ce domaine qui comptent.

Une erreur typique concerne le sens de la conversion. Lorsqu'on passe à une unité plus petite, le nombre devient plus grand : 3 m font 300 cm, et non 0,3 cm. Pour les indications à plusieurs unités, la virgule est souvent mal placée, par exemple lorsque 2 m 5 cm sont écrits 2,5 m alors qu'il s'agit de 2,05 m. La cause est généralement que les échelons de 10 et de 100 entre les unités ne sont pas associés à une représentation concrète.

Sur les fiches de travail de ce domaine, trois types d'exercices apparaissent : Convertir dans une unité de longueur plus petite (p. ex. 4 dm en cm), Convertir dans une unité de longueur plus grande (p. ex. 750 m en km) et Indiquer une longueur dans une unité (p. ex. écrire une longueur à plusieurs unités sous la forme d'un seul nombre avec une unité). Comme aide, on peut dessiner une bande d'échelons avec mm, cm, dm, m et km et montrer à chaque fois combien d'échelons on franchit. Il s'agit d'une suggestion pour l'entraînement et non d'une partie des exigences du programme.

L'enfant peut déterminer l'aire d'un rectangle en multipliant la longueur par la largeur. Il doit aussi pouvoir expliquer pourquoi cette formule est juste, par exemple en recouvrant un rectangle de carrés unités et en comptant. Le programme ne précise pas de plage de nombres particulière pour ce point ; les nombres concrets figurent sur les fiches d'exercices.

Pour les aires de rectangles, on additionne souvent au lieu de multiplier, ou l'on confond l'aire avec le périmètre, parce que les deux se calculent avec les mêmes côtés. Pour le côté manquant, beaucoup d'enfants ont du mal à comprendre que le côté cherché, multiplié par le côté connu, doit donner exactement l'aire donnée. Les unités de mesure mélangées, par exemple des mètres et des centimètres dans un même exercice, conduisent aussi souvent à des résultats faux.

Sur les fiches de travail, l'enfant rencontre trois types d'exercices :

• Aire d'un rectangle : la longueur et la largeur sont données, on calcule l'aire.
• Côté manquant d'un rectangle : l'aire et un côté sont donnés, on cherche l'autre côté.
• Aire d'un rectangle dans la vie quotidienne : par exemple la surface d'un sol de pièce ou d'un parterre de jardin, dans un contexte concret.

À la maison, il peut être utile de mesurer ensemble des rectangles du quotidien et d'estimer leur aire avant de calculer. Il s'agit d'une suggestion personnelle et non d'une exigence du programme.

Votre enfant travaille en 4e année avec des instants et des durées : il détermine combien de minutes séparent deux heures ou combien de temps quelque chose a duré, et convertit des minutes et secondes en secondes. Les programmes ne mentionnent pas de plage numérique pour cela. Le point relatif à la lecture de l'heure avec heures et minutes concerne une tranche de niveaux plus large, et pas seulement cette classe. Les modèles d'exercices de cette classe montrent surtout le calcul avec des durées.

Une erreur typique : les minutes et les secondes sont écrites comme des nombres décimaux. Ainsi, 2 minutes 15 secondes deviennent le nombre 215 au lieu de 135 secondes, parce que le calcul se fait par dizaines au lieu de par 60. Il en va de même pour les durées qui franchissent l'heure pleine : celui qui calcule de 10 h 50 à 11 h 15 comme dans le système décimal arrive facilement à un résultat faux. La base reste toujours la même : une minute compte 60 secondes, une heure compte 60 minutes.

Sur les fiches de travail, on trouve à cet effet trois modèles d'exercices, chacun avec des solutions pour vérifier :

• Minutes et secondes en secondes : p. ex. convertir 3 minutes 20 secondes en secondes (200 secondes).
• Combien de minutes se sont écoulées ? p. ex. de 14 h 20 à 14 h 50, il s'est écoulé 30 minutes.
• Combien de temps cela a-t-il duré ? L'heure de début et l'heure de fin sont données, on cherche la durée.

Votre enfant apprend à modéliser des situations concrètes variées : il lit un énoncé tiré du quotidien, repère les informations importantes et établit le calcul adapté. Cela comprend aussi reconnaître des relations directement proportionnelles, par exemple le fait que si la quantité double, le prix double aussi, les présenter dans un tableau et les utiliser pour des calculs. L'espace numérique de ce domaine va jusqu'au million, et la division écrite par un diviseur à deux chiffres en fait partie. Le programme lui-même ne mentionne pas d'espace numérique propre à ce niveau, c'est pourquoi je décris seulement, pour cette classe, ce que montrent les fiches d'exercices disponibles.

Il est typique que, dans les problèmes en plusieurs étapes, les enfants s'arrêtent après le premier résultat ou n'utilisent pas un résultat intermédiaire à l'étape suivante. Il arrive aussi souvent qu'on ne remarque pas la question posée : on demande par exemple le montant total et non le prix par pièce. Dans les exercices avec « au maximum », on arrondit souvent comme dans la vie courante, alors que seules les séries complètes comptent. Un reste de 3 est alors transformé en une série supplémentaire, alors qu'il n'est pas du tout complet.

Sur les fiches de travail de cette classe, vous trouverez pour cela deux types d'exercices :

• Problème en plusieurs étapes (regrouper) : plusieurs calculs mènent à une seule réponse.
• Combien de séries au maximum à partir du stock : une division où seules les unités complètes comptent.

Conseil pour l'entraînement : demandez à votre enfant de noter les résultats intermédiaires et de relire la question à voix haute à la fin. Des corrigés sont disponibles pour les fiches de travail.

L'élève additionne et soustrait par écrit des nombres entiers à plusieurs chiffres, c'est-à-dire disposés les uns sous les autres en colonnes. Pour la 4e année, le plan d'études mentionne l'espace numérique jusqu'à 1 000 000. Le point du plan d'études pour le niveau précédent (VS3) exige le calcul écrit dans l'espace numérique jusqu'à 1000.

Les erreurs typiques surviennent généralement parce que les valeurs positionnelles ne sont pas respectées :

• Chiffres non alignés : Les nombres sont écrits de façon décalée, si bien que les unités se retrouvent par exemple sous les dizaines. Le résultat a alors un ordre de grandeur faux.
• Retenue oubliée : Pour 5 678 + 3 547, la retenue de dizaines n'est pas reportée dans la colonne suivante, ou n'y est pas ajoutée.
• Soustraire le plus petit nombre du plus grand : Pour 52 − 27, on calcule 5 − 2 et 7 − 2, ce qui donne 35. Lorsque le minuende contient des zéros, par exemple 4 002 − 1 967, l'emprunt sur plusieurs rangs est souvent sauté.

Les fiches de travail sur ce thème proposent les modèles Addition écrite et Soustraction écrite. L'élève y calcule des exercices disposés en colonnes ; les solutions servent à l'autocontrôle. Le point du plan d'études mentionne en outre l'estimation des résultats par arrondi et calcul approché. Un contrôle simple consiste donc à se demander : le résultat correspond-il à peu près aux nombres arrondis ?

Le périmètre est la longueur du contour d'une figure. Selon le programme scolaire, il s'agit de mesurer ou d'estimer le périmètre de figures planes et de calculer le périmètre de carrés et de rectangles. Les points du programme n'indiquent pas de plage numérique propre à ce sujet et renvoient à une section plus large de l'école primaire. Pour la 4e année, ce sont donc surtout les exercices effectivement proposés dans ce domaine qui comptent.

Une erreur typique lorsqu'il manque un côté est que l'enfant additionne les côtés connus au lieu de les soustraire du périmètre total. Pour le périmètre d'un polygone, un côté est souvent oublié, surtout lorsque la figure a plus de quatre côtés.

Sur la fiche d'exercices, l'enfant rencontre deux types de tâches :

• Périmètre d'un polygone : toutes les longueurs des côtés sont données, on cherche la somme.
• Côté manquant à partir du périmètre : le périmètre et tous les côtés sauf un sont donnés, on calcule le côté manquant.

Des solutions existent pour les fiches d'exercices, afin que les parents puissent suivre les démarches de calcul.

Votre enfant travaille avec des montants d'argent comme 3,50 € ou 12,05 €. Il écrit alors des grandeurs à plusieurs unités, donc en euros et en centimes, et sait lire et convertir des mesures, par exemple 2,50 € = 250 ct. Le domaine numérique des mathématiques en 4e année va jusqu'au million. Les points du programme ne mentionnent pas de domaine numérique propre aux calculs d'argent.

Une erreur fréquente concerne la virgule : un montant comme 3,5 € est lu comme « 3 euros et 5 centimes » au lieu de 3 euros et 50 centimes. Les sommes et les restes ne sont alors plus justes. C'est similaire pour la comparaison de prix : un enfant compare le prix total de deux paquets de quantités différentes sans vérifier combien on obtient dans chaque cas.

Les tâches typiques dans ce domaine sont :

• Quelle offre est la plus avantageuse ? Deux offres pour la même marchandise sont comparées, par exemple pour 1, 2 ou 5 pièces. Un tableau des prix montre comment le prix augmente avec la quantité (proportionnalité directe).
• Combien d'argent reste-t-il ? On soustrait les achats du montant de départ et on calcule la monnaie rendue.

Pour ces deux types de tâches, il existe des fiches de travail imprimables avec solutions.

Le programme de l'école primaire fixe comme objectif le domaine numérique jusqu'à 1 000 000 : lire, écrire, représenter, décomposer, comparer, ordonner et arrondir des nombres. Les modèles d'exercices de 4e année travaillent surtout la comparaison de grands nombres et la pensée en valeurs de position, c'est-à-dire la question de la valeur qu'un chiffre a selon sa position.

Une erreur typique apparaît avec les zéros. Lorsqu'un nombre contient des zéros au milieu, ceux-ci sont facilement oubliés à l'écriture ou à la lecture. De 300 005 on fait alors 3005, et de 400 000 on fait 40 000, parce que l'enfant n'occupe pas correctement le rang des centaines de milliers. Lors des comparaisons, on ne regarde souvent que le premier chiffre, alors que le nombre de chiffres est déterminant. Il est utile de lire les chiffres à l'aide d'un tableau de valeurs de position ou en regroupant les chiffres par tranches de trois séparées par des espaces.

Un exercice sur ce thème ressemble par exemple à ceci : des nombres sont comparés à l'aide des signes <, > ou = (modèle « Comparer de grands nombres »). Dans « Combien de fois plus grand ? Valeurs de position », on demande combien de fois un nombre est contenu dans un autre, par exemple Combien de fois 400 000 est-il plus grand que 4 000 ? Les fiches de travail correspondant à ces modèles peuvent être imprimées, et les solutions sont incluses.

Le plan d'études prévoit que les opérations arithmétiques dans l'espace numérique jusqu'à 1000 soient réalisées de manière flexible et semi-écrite, et que les résultats soient estimés par arrondi et calcul approché. Cette exigence vaut pour l'ensemble du niveau et pas seulement pour la 4e année. Pour cette classe, ce sont surtout les modèles d'exercices travaillés dans ce domaine qui sont déterminants : l'enfant reconnaît quand une addition ou une multiplication peut être simplifiée par une transformation astucieuse.

Une erreur typique survient lorsqu'un nombre est arrondi et que la correction est oubliée. Pour 398 + 57, certains enfants calculent 400 + 57 = 457 et ne retranchent pas ensuite les deux unités en trop ; le résultat correct est 455. Des erreurs similaires apparaissent dans les multiplications : pour 7 · 18 = 7 · 10 + 7 · 8, la seconde partie n'est parfois pas multipliée par 7 mais seulement ajoutée (7 · 10 + 8). La cause tient généralement au fait que l'enfant modifie le nombre sans garder la trace de ce qu'il a modifié.

En pratique, un tel exercice ressemble par exemple à ceci : l'enfant transforme des calculs comme 99 + 143 ou 25 · 16 pour les rendre plus faciles, effectue ensuite le calcul et compare le résultat à une estimation grossière. Des exemples d'exercices avec solutions sont disponibles sous forme de fiches imprimables pour les modèles suivants :

• Additionner astucieusement : sommes dont les nombres se complètent pour donner des valeurs rondes ou peuvent être facilement arrondis.
• Multiplier astucieusement : produits qui peuvent être décomposés en produits partiels plus simples.

Le programme scolaire décrit l'arrondi des nombres dans l'espace numérique jusqu'à 1 000 000. En CM1, les exercices sur ce thème portent concrètement sur l'arrondi aux milliers et l'arrondi aux dizaines de milliers. L'arrondi sert aussi à l'estimation : on arrondit les nombres au préalable pour évaluer le résultat approximatif d'un calcul posé.

Une erreur fréquente consiste à regarder le chiffre situé à la position d'arrondi elle-même ou à prendre le mauvais voisin. Le plus important est toujours le chiffre immédiatement à droite de la position d'arrondi : s'il vaut 5 ou plus, on arrondit par excès ; s'il vaut 4 ou moins, on arrondit par défaut. Celui qui arrondit toujours par défaut ou se contente de supprimer les derniers chiffres obtient un résultat faux pour de nombreux nombres.

Voici par exemple un exercice :

• Arrondir aux milliers : 36 849 devient 37 000, car le chiffre des centaines est 8. Pour 36 449, le chiffre des centaines est 4, donc on arrondit par défaut à 36 000.
• Arrondir aux dizaines de milliers : 384 620 devient 380 000, car le chiffre des milliers est 4. Pour 385 000, le chiffre des milliers est 5, donc on arrondit par excès à 390 000.

Les fiches de travail contiennent à ce sujet des exercices types avec corrigés, grâce auxquels les enfants peuvent s'entraîner à arrondir.

Dans l'espace numérique jusqu'à 1 000 000, l'enfant divise par écrit un nombre à plusieurs chiffres par un nombre à deux chiffres, par exemple 4 872 : 24. Il estime d'abord combien de fois le diviseur entre dans les premiers chiffres, puis poursuit le calcul pas à pas jusqu'à ce qu'il reste un reste.

Il est typique que le premier chiffre du résultat soit mal estimé, parce que le diviseur a été jugé trop grand ou trop petit. Le reste ne correspond alors plus au calcul. Souvent, on oublie aussi un chiffre du nombre de départ, c'est-à-dire qu'on ne le fait pas descendre, ou bien on obtient un reste plus grand que le diviseur.

Des exercices adaptés sont les tâches de la fiche de travail « Diviser par écrit par un nombre à deux chiffres » : l'enfant résout plusieurs divisions de ce type par écrit, et les fiches contiennent des solutions pour vérifier. Comme complément, on peut s'entraîner à l'estimation pour contrôler, en arrondissant les nombres et en comparant le résultat approximatif avec le résultat exact.

En estimant, l'enfant arrondit les nombres de façon à pouvoir calculer facilement et obtient ainsi un résultat approximatif. Le plan d'études mentionne l'arrondi et le calcul d'estimation comme moyens d'évaluer des résultats. Pour les calculs écrits, cela est exigé dans l'espace numérique jusqu'à 1 000 000, c'est-à-dire exactement dans le domaine traité dans cette classe (point du plan d'études VS4.2.1). Pour les calculs semi-écrits dans l'espace numérique 1000, la même stratégie s'applique (VS3.2.1).

Une erreur typique : les nombres sont tronqués au lieu d'être arrondis. Ainsi, 48 972 arrondi aux dizaines de milliers donne 40 000 au lieu de 50 000. L'estimation tombe alors nettement trop bas. Il est tout aussi important qu'une estimation ne soit pas le résultat exact. Elle sert à vérifier si le résultat exact est plausible.

En pratique, l'enfant travaille sur des tâches comme « estimer une somme » : il arrondit les différents termes à un rang approprié, additionne les nombres arrondis, puis compare ce résultat à la somme exacte. Les fiches de travail sur ce thème contiennent des exercices d'exemple avec solutions, avec lesquels vous pouvez vous entraîner ensemble.

En 4e année, les enfants travaillent avec des plans et des cartes. Ils agrandissent et réduisent des figures planes, surtout à l'aide de quadrillages, et apprennent à lire et à réaliser des plans simples (VS4.4.3). L'échelle relie alors une distance sur le plan à la distance correspondante dans la réalité. Les repères du programme ne mentionnent pas de domaine numérique propre à cette compétence.

Les autres repères du programme concernant les figures semblables et les rectangles dessinés à l'échelle décrivent une période plus longue. Pour cette classe, on ne peut en déduire que la partie montrée par les exemples d'exercices. Il est typique que l'enfant mesure correctement la longueur sur la carte, mais n'adapte pas l'unité lors de la conversion. Il obtient alors par exemple des centimètres, alors que l'on demande des mètres ou des kilomètres. Une deuxième erreur fréquente concerne le sens du calcul : certains enfants divisent par l'échelle là où ils devraient multiplier, ou inversement. Cela provient du fait que l'échelle n'est lue que comme un nombre et non comme un rapport entre la carte et la réalité.

Un type d'exercice sur ce thème est distance sur la carte et dans la réalité. Les fiches de travail présentent à ce sujet des exemples d'exercices avec solutions, par exemple :

• Une distance sur la carte est mesurée, puis la distance réelle est calculée à l'aide de l'échelle indiquée.
• Une distance réelle est donnée, et l'on cherche la longueur correspondante sur la carte.
• Le résultat est converti dans une unité appropriée, par exemple de centimètres en mètres ou en kilomètres.

L'enfant peut déterminer une fraction d'une quantité ou d'une grandeur. Le programme scolaire cite notamment pour cela les dénominateurs 2, 4 et 8. Cela comprend aussi la lecture et l'écriture de la notation fractionnaire. Le programme ne précise pas plus loin quelles grandeurs numériques interviennent à ce stade.

Une erreur typique : l'enfant divise seulement par le dénominateur et oublie le numérateur. Pour trois quarts de 20, il calcule 20 : 4 = 5 et s'arrête là, alors que cela ne représente qu'un quart. L'exercice comporte deux étapes, et la seconde est facilement négligée.

En classe, cette compétence apparaît sous la forme de l'exercice « Calculer une fraction d'un nombre ». Les fiches de travail de ce domaine contiennent des exemples d'exercices avec corrigés à imprimer, afin de pouvoir suivre les démarches de calcul et vérifier les résultats à la maison. Un conseil pour la maison : l'enfant peut énoncer les étapes à voix haute, en divisant d'abord par le dénominateur, puis en multipliant par le numérateur.

Le programme de 4e année exige d'écrire des grandeurs avec une ou plusieurs unités et d'effectuer des conversions. Les exercices de ce domaine proposent surtout des conversions vers une unité de masse plus petite, par exemple de kilogrammes en grammes ou de tonnes en kilogrammes. Le programme ne prévoit pas de domaine numérique propre aux masses ; en 4e année, les nombres de ce domaine mathématique vont jusqu'au million.

L'erreur typique concerne le sens de l'opération : comme il faut une unité plus petite pour décrire le même poids, le nombre devient plus grand. Celui qui divise par 1000 à la place transforme 3 kg en 0,003 g. Il est utile de se représenter qu'un kilogramme contient mille grammes. Pour 3 kg, il faut donc trois fois mille grammes.

Un exercice typique ressemble à ceci :

• Convertis 4 kg en grammes. (Solution : 4000 g)
• Convertis 2 t en kilogrammes. (Solution : 2000 kg)

Idée complémentaire, non prescrite par le programme : les enfants peuvent aussi se demander si 2500 g sont plus ou moins que 2 kg.

L'enfant lit et écrit des fractions à dénominateurs petits, notamment 2, 4 et 8, par exemple 1/4 ou 5/8. La fraction représente alors une part d'un tout. Les exercices de cet domaine en CM1 (4e année) travaillent surtout la fraction d'une quantité : a/b d'un tout.

Une confusion typique consiste à inverser le numérateur et le dénominateur. Pour 3/4 de 20, l'enfant divise alors 20 par 3 au lieu de par 4, parce qu'il prend les nombres de la fraction séparément. Or le dénominateur indique en combien de parts égales le tout est partagé, et le numérateur combien de ces parts sont concernées.

Un exercice typique est par exemple : Sur 24 bonbons, 3/8 sont rouges. Combien sont rouges ? L'enfant calcule en deux étapes : 24 : 8 = 3 (un huitième des bonbons), puis 3 · 3 = 9 bonbons rouges. C'est ainsi que l'on détermine des fractions de quantités.

En 4e année, les enfants doivent lire, écrire, représenter, ordonner et arrondir les nombres jusqu'à 1 000 000. Sur la droite numérique, cela signifie : ils placent un nombre comme un point et, à l'inverse, lisent le nombre correspondant à un point marqué. Jusqu'à la fin de la 3e année, les nombres jusqu'à 1000 ont été décomposés, comparés et arrondis ; le domaine numérique plus grand s'ajoute en 4e année.

Une erreur typique survient lorsque les enfants comptent les traits au lieu de prendre en compte la valeur des sauts. Si plusieurs traits se trouvent entre deux nombres étiquetés, chaque saut a une valeur différente de 1. Celui qui continue simplement à compter arrive alors à un mauvais nombre. Cela arrive particulièrement souvent lorsqu'on franchit une dizaine, par exemple en passant de 47 à 50 puis plus loin, car la dizaine est oubliée comme étape intermédiaire.

Un exercice sur le thème « le saut de dizaine sur la droite numérique » pourrait par exemple ressembler à ceci :

• La flèche part de 47. Où arrive-t-elle après un saut de +5 ? (Solution : 52, avec l'étape intermédiaire 50.)
• Quel nombre se trouve exactement entre 60 et 70, si la droite numérique est graduée par dizaines ?

Les fiches de travail sur ce thème sont imprimables et contiennent des solutions, afin que vous puissiez utiliser les exercices directement à la maison ou en classe.

En classe de CE2, l'enfant apprend à noter des quantités dans des unités normalisées et à effectuer des conversions. Les exercices de ce domaine demandent de passer à une plus petite unité de volume : par exemple, combien de millilitres font 3 ℓ. L'enfant doit alors comprendre qu'un litre est composé de mille millilitres et que le nombre devient donc plus grand.

Une erreur typique consiste à calculer avec 10 ou 100 au lieu de 1000, parce que l'enfant transfère au système de l'unité le calcul dans le système décimal. Avec les nombres décimaux, s'ajoute le déplacement de la virgule : à partir de 1,5 ℓ, on obtient alors à tort 15 mℓ au lieu de 1500 mℓ. Ce qui aide ici, c'est de se représenter la quantité : 1,5 litre, c'est plus qu'une brique d'un litre et cela doit donner nettement plus de 1000 mℓ.

Un exercice sur ce thème peut par exemple ressembler à ceci : « Combien de millilitres font 2 ℓ ? » ou « Convertis 0,5 ℓ en mℓ. » Le modèle de ce domaine est « Convertir dans une plus petite unité de volume ». À la maison, on peut utiliser comme aide une brique de lait d'un litre et un petit verre doseur pour rendre visibles les rapports de grandeur.

L'enfant peut multiplier par écrit en colonnes des nombres à plusieurs chiffres. Le programme officiel prévoit pour cela la multiplication écrite par un multiplicateur à un ou deux chiffres dans l'espace numérique jusqu'à 1 000 000. Cette indication décrit l'ensemble de la section du programme et non uniquement la classe de CM1 (4^e année). Pour cette classe, les fiches de travail montrent quels exercices apparaissent effectivement. Cela inclut aussi d'estimer le résultat par l'arrondi et le calcul approché.

Une erreur typique survient avec les valeurs de position. Lorsque l'enfant multiplie par le chiffre des dizaines, le produit partiel doit être décalé d'un rang vers la gauche, sinon l'ordre de grandeur est faux. De même, la retenue manque parfois ou elle est oubliée lors de l'addition des produits partiels. Les différentes étapes de calcul sont alors souvent correctes, mais le résultat global ne l'est pas. Une estimation rapide avant le calcul aide à repérer les grosses erreurs.

Sur les fiches de travail, le modèle « Multiplier par écrit des nombres à plusieurs chiffres » convient à cet usage. Les opérations sont disposées les unes sous les autres en colonnes, par exemple 348 × 6 ou 245 × 13. Un déroulement judicieux est le suivant :

• d'abord estimer grossièrement, par exemple 350 × 6 ≈ 2 100,
• puis calculer précisément en colonnes,
• enfin comparer avec les solutions.

L'élève reconnaît, dans des situations concrètes, quand deux grandeurs sont directement proportionnelles, par exemple le nombre d'objets et leur prix. Il représente ce lien dans un tableau et s'en sert pour faire des calculs. Une étape centrale consiste à déterminer la valeur pour une unité : si 4 cahiers coûtent 8 euros, un cahier coûte 2 euros.

Le point du programme ne précise pas de domaine numérique propre. Dans l'ensemble du domaine mathématiques de la 4e année, il s'agit des nombres jusqu'au million.

Une erreur typique : l'élève poursuit le calcul avec la quantité totale au lieu de diviser d'abord par le nombre d'unités, ou il multiplie là où il devrait diviser. Souvent, il s'en tient aussi à la quantité donnée et n'arrive pas à la valeur pour un. La tâche demande deux étapes, et il n'est pas toujours clair quelle opération est nécessaire dans la première.

Des exercices adaptés se trouvent dans les fiches de travail consacrées à ce thème, qui sont disponibles avec des corrigés à imprimer. On y trouve des tâches de la forme « Combien vaut un ? ». L'élève voit une indication pour plusieurs unités et en déduit la valeur d'une seule unité.

En 4^e année, l'élève travaille avec des moments et des durées et applique des grandeurs dans des problèmes concrets. Dans le calcul de calendrier, cela signifie déterminer, à partir de deux dates, le temps qui les sépare. Le programme ne prévoit pas de plage numérique propre à ce point. Nous décrivons donc ici seulement ce que les exercices de cette classe demandent réellement : le nombre de jours entre deux dates.

Des erreurs surviennent souvent lorsqu'une durée dépasse la fin d'un mois. Les mois n'ont pas tous le même nombre de jours (28, 29, 30 ou 31), et l'élève calcule alors souvent comme si chaque mois avait le même nombre de jours. La confusion naît aussi lorsqu'il n'est pas clair si le jour de début ou le jour de fin est compté. Un conseil issu de la pratique (et non du programme) : faites suivre le calendrier du doigt à l'élève, au lieu de calculer seulement de tête.

Un exercice typique est : Combien de jours cela fait-il ? Par exemple : combien de jours y a-t-il entre le 3 et le 15 mars ? Vous trouverez de tels exercices sous forme de fiche de travail avec corrigé dans la rubrique Mathématiques de 4^e année.

L'enfant apprend à décrire la position de segments dans le plan. Deux segments sont parallèles lorsqu'ils ont la même direction et ne se rencontrent jamais. Ils sont perpendiculaires lorsqu'ils forment un angle droit. Cela inclut aussi le fait de tracer des angles droits avec l'équerre. Le programme mentionne en outre les carrés et les rectangles. Il décrit ce contenu pour une tranche de plusieurs années, et pas seulement pour le CM1. Il n'y a pas de plages de nombres ici, car il s'agit de position et de forme.

Une erreur typique : on juge les segments à vue d'œil. Sur une feuille quadrillée, des segments obliques semblent vite horizontaux ou verticaux, ou un angle presque droit est considéré comme un angle droit. Il est utile de compter les carreaux : un segment vertical avance d'un carreau vers la droite, puis d'un carreau vers le haut. Des segments parallèles ont les mêmes déplacements dans les deux directions.

Les fiches de travail de ce domaine comportent l'exercice « Parallèles ou perpendiculaires ? ». L'enfant y détermine, pour des segments sur quadrillage, quelle position ils occupent, et justifie sa réponse. Pour vérifier, il peut mesurer ou retracer avec l'équerre.

L'enfant apprend à distinguer trois objets rectilignes dans le plan. Les points du programme ne précisent pas de plage numérique, car il s'agit ici de figures et de leur position, et non de nombres. Il est attendu de décrire les relations de position de segments dans le plan.

Une erreur typique consiste à confondre une demi-droite avec un segment, parce que les deux commencent en un point. De même, une droite est souvent appelée segment, parce qu'on ne voit sur la feuille qu'un morceau de celle-ci. La raison : un dessin est toujours limité, alors que les notions décrivent la manière dont l'objet se prolonge au-delà du bord de la feuille.

• Segment : a deux extrémités fixes et une longueur déterminée.
• Demi-droite : a un point d'origine et se prolonge indéfiniment dans une seule direction.
• Droite : n'a pas d'extrémité et se prolonge indéfiniment dans les deux directions.

Le modèle de tâche Segment, demi-droite ou droite ? demande quel de ces objets est représenté. L'enfant doit alors choisir une désignation et la justifier. Les tâches disponibles sur ce thème ne montrent pas si, dans cette classe, le tracé d'angles droits, de carrés et de rectangles à l'équerre est également prévu. Cette description se limite donc à la distinction des trois objets.

En 4^e année, votre enfant reflète des points isolés par rapport à une droite. Le point image se trouve de l'autre côté de la droite, sur la même perpendiculaire à la droite et à la même distance que le point de départ. Si l'on relie les points réfléchis, on obtient une figure qui correspond à la figure de départ.

Le programme décrit de manière générale que les figures planes sont étudiées, décrites et comparées, en particulier les objets symétriques, et que les figures symétriques par rapport à un axe sont reconnues et construites. Pour la 4^e année, les exercices de ce domaine portent surtout sur la symétrie de points par rapport à une droite.

Une erreur typique : le point image est placé du même côté de la droite que le point de départ, ou il se trouve bien de l'autre côté, mais à une distance différente. Cela arrive souvent lorsqu'on dessine à vue d'œil au lieu de compter combien le point est éloigné de la droite.

Un exercice typique montre une droite et quelques points à côté. Votre enfant dessine, pour chaque point, le point image et relie les points pour former une figure. L'exercice s'intitule dans l'offre Symétrie d'un point par rapport à une droite, les solutions sont fournies.

L'enfant reconnaît les solides géométriques à leurs propriétés et sait les décrire et les comparer. Cela comprend le fait qu'un solide ait des faces planes ou rondes, qu'il possède des coins, des arêtes ou une pointe, et s'il est symétrique. Pour ce thème, le plan d'études ne précise aucun espace numérique, car il s'agit de formes et non de calcul.

On confond souvent des solides d'apparence semblable, par exemple le cône et la pyramide, parce que les deux ont une pointe, ou le cylindre et le prisme, parce que les deux ont une base et une face supérieure identiques. L'enfant ne retient alors souvent qu'un seul critère, par exemple la pointe ou la base, au lieu de vérifier toutes les propriétés. Il est utile de se poser la question suivante : quelles faces sont planes, lesquelles sont rondes, et combien de coins le solide possède-t-il ?

Un exercice typique est le modèle « Quel est ce solide ? », dans lequel l'enfant détermine un solide à partir d'une description ou d'une illustration. Les fiches de travail imprimables avec solutions se prêtent à l'entraînement. Le plan d'études demande en outre de travailler avec les solides de manière ludique et méthodique, en particulier avec des objets symétriques. Le point du plan d'études concernant les surfaces et les volumes des prismes et des pyramides concerne l'ensemble du domaine et n'est pas travaillé dans les exercices présentés ici.

L'enfant apprend à décomposer une figure plane composée de rectangles en parties plus simples. Il calcule l'aire de chaque rectangle partiel et additionne les résultats. Le programme exige de calculer l'aire de carrés et de rectangles ainsi que de figures simples composées de ceux-ci. Les points du programme U1.3.2 et U3.3.1 décrivent la matière sur une période plus longue. La plage numérique concrète rencontrée en 4e année est illustrée par les exemples d'exercices.

Il est typique que les enfants confondent le périmètre avec l'aire : ils additionnent les longueurs des côtés alors que la question porte sur l'aire. De même, il arrive souvent qu'en décomposant la figure, une partie soit oubliée ou comptée deux fois. La figure ressemble à une seule surface, mais le calcul demande deux étapes distinctes : d'abord calculer chaque surface partielle, puis additionner les résultats.

Un exercice sur ce thème se trouve dans la fiche de travail « Aire d'une figure en L ». Il y est donné une figure en forme de L avec ses dimensions. L'enfant la décompose en rectangles, calcule chaque aire et indique l'aire totale. Les solutions de la fiche aident à comprendre les étapes du calcul.

Un patron (développement) est la forme à plat d'un solide : on découpe les arêtes d'un cube et on le déplie. L'enfant apprend à se représenter comment une figure plane se replie pour former un solide. Le plan d'études prévoit, pour l'école primaire dans son ensemble, que des modèles simples de solides et leurs patrons soient étudiés, mis en correspondance et réalisés. Pour la 4e année, le modèle de tâche de ce domaine montre surtout l'examen : une figure dessinée est-elle un patron de cube ?

Une erreur typique : l'enfant compte six carrés et considère donc la figure comme un patron. Ce qui compte pourtant, c'est de savoir si, lors du pliage, chacune des six faces est recouverte exactement une fois. Si deux carrés se retrouvent sur la même face en se repliant, une autre face reste vide, même si le nombre de carrés est correct. Celui qui regarde seulement l'apparence de la figure au lieu de penser au pliage remarque facilement cette différence.

En pratique, il s'agit de tâches du type « Est-ce un patron de cube ? » : une figure composée de carrés est représentée, et l'enfant décide, avec une brève justification, si elle peut être pliée en cube. Comme aide, on peut découper la figure et la plier réellement. Le point du plan d'études sur les pavés avec les formules pour la surface et le volume (U1.3.3) dépasse la 4e année et n'est pas décrit ici comme exigence de cette classe.