Matematyka — klasa 4

Twoje dziecko uczy się określać wielkość figury płaskiej jako liczbę jednostkowych kwadratów: układa powierzchnię z jednakowych kwadratów albo wyobraża sobie, że ją nimi pokrywa, i liczy kwadraty. Podstawa programowa wymaga ponadto mierzenia lub szacowania powierzchni za pomocą takich jednostek oraz obliczania pola i obwodu kwadratów, prostokątów i prostych figur złożonych. Punkt podstawy programowej nie podaje zakresu liczbowego, dlatego my też go tutaj nie podajemy.

Często liczy się tylko kwadraty przy brzegu, przeoczając niepełne kwadraty albo myląc pole z obwodem. Powód: pole to liczba jednostek wewnątrz figury, natomiast obwód to długość jej brzegu. Kto liczy długości boków zamiast pól, mierzy obwód, a nie pole powierzchni.

W kartach pracy tego działu zadania z układaniem wyglądają mniej więcej tak:

• Ile kratek pokrywa prostokąt: dziecko liczy jednostkowe kwadraty.
• Pole figury złożonej z dwóch prostokątów: dziecko dzieli figurę i dodaje pola części.
• Ile płytek jeszcze brakuje: dziecko uzupełnia częściowo pokrytą powierzchnię.
• Pole przez układanie: prawda czy fałsz: dziecko sprawdza, czy dane ułożenie poprawnie pokrywa powierzchnię.
• Pole i jeden bok: jak długi jest drugi: dziecko wyznacza drugą długość boku na podstawie pola i jednego boku.

Dziecko pracuje w prostych sytuacjach z życia codziennego z momentami czasowymi i odcinkami czasu. Odczytuje godziny na zegarze, ustala, kiedy coś się zaczęło, i oblicza, jak długo coś trwało. Wymagania programowe dotyczące godzin z połówkami i ćwierćgodzinami oraz godzin i minut obejmują kilka lat szkolnych. W klasie 4. najważniejsze jest posługiwanie się momentami czasowymi i odcinkami czasu.

Typowy błąd pojawia się przy obliczeniach przechodzących przez pełną godzinę. Z 10:50 plus 20 minut zapisuje się wtedy 10:70, choć chodzi o 11:10. Za tym często stoi myślenie w systemie dziesiątkowym: godzina ma 60 minut, a nie 100. Podobnie 1 godzina 30 minut bywa odczytywana jako 1,30 godziny, choć chodzi o 1,5 godziny, czyli 90 minut.

Takie zadania wyglądają na przykład tak:

• O której godzinie to się zaczęło?
• Obliczanie czasu trwania
• Ile minut upłynęło?
• O ile dłużej trwało jedno niż drugie
• Zamiana godzin na minuty
• Plan dnia: uporządkuj godziny

Są też zadania do zaznaczenia, na przykład Zamiana godzin na minuty: wybierz poprawną odpowiedź i Zamiana godzin na minuty: prawda czy fałsz. Do tego tematu dostępne są przykładowe zadania na arkusze do wydruku z rozwiązaniami.

Die Lehrplanpunkte verlangen, einfache kombinatorische Abzählaufgaben darzustellen und zu lösen. Sie nennen dafür keinen Zahlenraum. Die Aufgaben dieser Klasse arbeiten mit kleinen Mengen, bei denen man alle Möglichkeiten noch vollständig aufschreiben kann. Wichtig ist, dass das Kind die Anzahl begründen kann und nicht nur eine Zahl nennt.

Ein typischer Fehler: Kinder vergessen Möglichkeiten, weil sie nicht in einer festen Reihenfolge vorgehen. Wer zum Beispiel jede Hose mit jedem Hemd kombinieren soll, übersieht bei der zweiten Hose leicht ein Hemd, oder zählt eine Kombination doppelt, weil nicht klar ist, ob es auf die Reihenfolge ankommt. Ohne Ordnung fällt nicht auf, dass etwas fehlt.

Typische Aufgaben in diesem Bereich sind:

• Wie viele verschiedene Paare: richtig oder falsch, bzw. die richtige Antwort wählen
• Wie viele verschiedene Kombinationen sind möglich und Wie viele Kombinationen aus drei Sorten
• Schreibe alle Kombinationen auf: das Auflisten ist das Hilfsmittel, mit dem man vollständig zählt
• Wie viele Paare bleiben, wenn ein Teil kaputtgeht und Wie viele Paare mehr nach einem zusätzlichen Teil
• Bekannte Paarzahl: wie viele in der anderen Menge

Als eigene Anregung, nicht als Vorgabe: Hilfreich ist, die Liste nach einem festen Muster zu ordnen, etwa zuerst alle Möglichkeiten mit dem ersten Teil, dann mit dem zweiten. So lässt sich am Ende prüfen, ob nichts fehlt. Der Lehrplanpunkt zur Wahrscheinlichkeit gilt für die Stufe insgesamt und wird in den Aufgaben dieser Klasse nicht eigens geübt.

W 4. klasie dzieci pracują z tabelami wartości, w których reguła obliczeniowa jest stosowana do liczb. Każdej liczbie z górnego wiersza odpowiada liczba w dolnym wierszu. Dziecko rozpoznaje regułę na podstawie podanych par i wpisuje brakujące wartości. Szczególnie ważna jest tu zależność wprost proporcjonalna, na przykład gdy każda liczba zawsze mnożona jest przez ten sam czynnik, jak przy cenach lub ilościach.

Typowym błędem jest zgadywanie reguły na podstawie jednej pary liczb. Przy 3 → 12 pasuje zarówno „plus 9”, jak i „razy 4”. Dopiero druga para, na przykład 5 → 20, pokazuje, że prawdziwe jest tylko „razy 4”. Często dodaje się tam, gdzie trzeba mnożyć. Dlatego warto sprawdzić znalezioną regułę na wszystkich podanych wierszach, zanim uzupełni się luki.

Te zadania pojawiają się na kartach pracy w następujących formach:

• Uzupełnij tabelę według reguły mnożenia: Reguła jest podana, brakujące wartości trzeba obliczyć.
• Tabela wartości: znajdź regułę: Z podanych par wyprowadza się regułę obliczeniową.
• Jaka liczba weszła do maszyny? Z wyniku wnioskuje się o liczbie wejściowej.
• Wybierz, co wyjdzie z maszyny: Dla liczby wejściowej szuka się pasującego wyniku.
• Program obliczeniowy i Tabela, która odejmuje: Tabele z ustalonym przebiegiem obliczeń.
• Popraw błąd w tabeli: Szuka się błędnego wiersza i go poprawia.

Dziecko potrafi odczytać z tabeli lub wykresu słupkowego liczbę przypisaną do danej kategorii i wykonywać na tych wartościach obliczenia. Punkty programowe wymieniają odczytywanie danych z różnych form prezentacji oraz interpretowanie wykresów słupkowych i kolumnowych oraz piktogramów. Te punkty opisują materiał dla całego etapu, a nie tylko dla klasy 4. Program nie podaje dla tego tematu odrębnego zakresu liczbowego; zadania operują liczbami, które znajdują się w danej tabeli lub na wykresie.

Typowy błąd: dziecko poprawnie odczytuje liczbę, ale z niewłaściwego wiersza lub z niewłaściwego słupka. Przy zadaniu typu „Ile więcej według tabeli” liczy się wtedy wartości dwóch kategorii, o które nie było pytania. Trudność często leży więc mniej w rachowaniu, a bardziej w przyporządkowaniu: która liczba należy do której kategorii? Pomocny może być palec, który przesuwa się wiersz po wierszu. To nasza wskazówka, a nie wymóg programu nauczania.

Zadania na ten temat w tej klasie występują w następujących formach:

• Ile więcej według tabeli
• Wykres słupkowy: ile więcej
• Która kategoria ma najwięcej
• Odległość między największą a najmniejszą wartością
• Ile grup znajduje się powyżej podanej liczby
• Różnica dwóch wierszy: wybór poprawnej odpowiedzi albo decyzja prawda či fałsz

Zadania wymagają przede wszystkim porównań w obrębie jednej prezentacji. Program nauczania wymienia także rozpoznawanie manipulacji w prezentacjach statystycznych, ale w oferowanych tu formach zadań nie jest to osobno przewidziane.

W 4. klasie dziecko przeprowadza proste doświadczenia losowe i powtarza je. Zapisuje wyniki jako częstości bezwzględne, czyli liczbę tego, ile razy coś wystąpiło, i na tej podstawie porównuje szanse zdarzeń. To porównanie ma charakter jakościowy, to znaczy: większa, mniejsza lub równa. Podawanie dokładnych prawdopodobieństw w postaci liczb nie jest wymagane. Dla tego punktu nauczania program nauczania nie podaje też odrębnego zakresu liczbowego.

Typowym błędem jest patrzenie tylko na liczbę kul jednego koloru, a nie na ich udział we wszystkich kulach. Jeśli worek A zawiera 3 czerwone i 5 niebieskich kul, a worek B 2 czerwone i 2 niebieskie, dziecko często uważa, że worek A daje większe szanse na czerwoną, ponieważ jest w nim więcej czerwonych kul. Pomija się przy tym, że w worku B większą część kul stanowią czerwone. Innym częstym błędem jest traktowanie pojedynczego wyniku jako pewnego. Powtarzane doświadczenia pomagają dostrzec takie zniekształcenia.

Typowe zadania na dostępnych kartach pracy to:

• „Która szansa jest większa? Wybierz …“: Dziecko wybiera między dwoma zdarzeniami.
• „Uzupełnij worek: większa, mniejsza lub taka sama szansa“: Dziecko dodaje kule tak, aby dana szansa stała się większa, mniejsza lub równa.
• „Popraw porównanie szans“: Dziecko znajduje błędne porównanie i je poprawia.
• „Czy postać poprawnie porównała szanse?“: Dziecko sprawdza wypowiedź postaci i uzasadnia swoją odpowiedź.
• „Co wyciągniesz najprawdopodobniej“: Dziecko wybiera wynik o największej szansie.
• „Worek z kulami: co jest bardziej prawdopodobne“: Dziecko porównuje prawdopodobieństwo różnych wylosowań z worka.

Das Kind lernt, bei Ereignissen zu entscheiden, ob sie sicher, möglich oder unmöglich sind. Dazu gehört, einfache Zufallsexperimente wie Münzwurf, Würfeln oder Ziehen aus einem Beutel durchzuführen und zu sagen, welches Ergebnis eher zu erwarten ist. Der Lehrplan verlangt dafür keine genauen Wahrscheinlichkeiten, sondern eine qualitative Beschreibung und einen Vergleich, also ohne Zahlenwerte. Einen bestimmten Zahlenraum nennen die Lehrplanpunkte für diesen Bereich nicht.

Häufig wird verwechselt, was möglich bedeutet. Ein Kind hält etwa eine rote Kugel aus einem Beutel mit nur blauen Kugeln für „möglich“, weil man ja „einfach Pech haben“ könnte. Richtig ist: unmöglich heißt, dass es niemals passieren kann. Möglich heißt, dass es passieren kann, aber nicht muss. Wie oft ein möglicher Fall tatsächlich eintritt, ist eine andere Frage.

Im Unterricht begegnen die Kinder dieser Einordnung in den Aufgabenformen, die auch auf den Arbeitsblättern stehen:

• Fülle den Beutel: Kugeln so einlegen, dass ein Ereignis sicher, möglich oder unmöglich wird.
• Sicher, möglich oder unmöglich: Aussagen der passenden Kategorie zuordnen.
• Richtig oder falsch: eine vorgegebene Einordnung prüfen.
• Verbessere: eine falsche Einordnung korrigieren.
• Wähle: die passende Einordnung aus vorgegebenen Möglichkeiten auswählen.

Der Lehrplan beschreibt für die Volksschule außerdem, einfache Zufallsexperimente zu wiederholen und die Ergebnisse als absolute Häufigkeiten darzustellen, etwa in einer Strichliste. Die hier genannten Arbeitsblatt-Aufgaben zeigen vor allem das Einordnen selbst.

Zgodnie z planem nauczania dziecko ma zapisywać wielkości z jednostką jedno- i wielonazwową, interpretować oznaczenia miar oraz wykonywać przeliczenia. Wymienione są jednostki pola: km², ha, a, m², dm², cm² i mm². Punkty planu nauczania nie podają dla tych przeliczeń osobnego zakresu liczbowego, dlatego trudność zależy od liczb występujących w zadaniach.

Częsty błąd wynika z tego, że 1 m = 10 dm: dzieci przenoszą współczynnik 10 także na pola i zapisują 1 m² = 10 dm². Poprawnie jest 1 m² = 100 dm². Powierzchnię o wymiarach 1 m na 1 m można wypełnić 10 na 10 kwadratami o boku 1 dm. Podobnie 1 ha = 100 a oraz 1 a = 100 m².

Odpowiednie zadania w ofercie tego działu to:

• Przeliczanie na większą jednostkę pola
• Przeliczanie na mniejszą jednostkę pola
• Przeliczanie hektarów na ary
• Przeliczanie arów na metry kwadratowe

Ponadto dostępny jest szablon „Przeliczanie na mniejszą jednostkę objętości”. Przytoczone punkty planu nauczania podają jednak wyłącznie jednostki pola.

W 4. klasie dziecko zapisuje długości jedno- i wielomianowo oraz zamienia jednostki mm, cm, dm, m i km. Długość można podać na przykład jako 2 m 5 cm (wielomianowo) lub jako 2,05 m (jednomianowo). Do tego dziecko potrzebuje zależności między jednostkami, na przykład tego, że 1 m to 100 cm. Program nauczania zaczyna budować potrzebne wyobrażenia już wcześniej; w 4. klasie liczą się przede wszystkim zamiany i zapisy, które ten dział ćwiczy.

Typowy błąd dotyczy kierunku zamiany. Przy przejściu na mniejszą jednostkę liczba rośnie: 3 m to 300 cm, a nie 0,3 cm. Przy zapisach wielomianowych przecinek często ustawia się źle, na przykład gdy 2 m 5 cm zapisuje się jako 2,5 m, chociaż to 2,05 m. Przyczyną jest zwykle to, że progi 10 i 100 między jednostkami nie są połączone z żadnym wyobrażeniem.

Na kartach pracy w tym dziale występują trzy rodzaje zadań: Zamiana na mniejszą jednostkę długości (np. 4 dm na cm), Zamiana na większą jednostkę długości (np. 750 m na km) oraz Podanie długości w jednej jednostce (np. zapis długości wielomianowej jako pojedynczej liczby z jedną jednostką). Pomocą może być rysunek listwy schodków z mm, cm, dm, m i km, na której pokazuje się, ile schodków przeskakuje się przy każdej zamianie. To propozycja do ćwiczenia, a nie część wymagań programu nauczania.

Dziecko potrafi obliczyć pole prostokąta, mnożąc długość przez szerokość. Powinno też umieć uzasadnić, dlaczego ten wzór jest prawdziwy, na przykład układając prostokąt z kwadratów jednostkowych i licząc je. Podstawa programowa nie podaje dla tego zagadnienia konkretnego zakresu liczb; konkretne liczby pokazują karty pracy.

Przy polach prostokątów często dodaje się zamiast mnożyć albo myli się obwód z polem, ponieważ w obu obliczeniach używa się tych samych boków. Przy brakującym boku wielu dzieciom trudno zrozumieć, że szukany bok razem ze znanym bokiem musi dać podaną powierzchnię. Także mieszane jednostki miar, na przykład metry i centymetry w jednym zadaniu, prowadzą często do błędnych wyników.

Na kartach pracy dziecko spotka trzy rodzaje zadań:

• Pole prostokąta: dane są długość i szerokość, należy obliczyć pole.
• Brakujący bok prostokąta: dane są pole i jeden bok, szukany jest drugi bok.
• Pole prostokąta w życiu codziennym: na przykład wielkość podłogi pokoju lub grządki, z kontekstem praktycznym.

W domu może pomóc wspólne mierzenie prostokątnych przedmiotów z otoczenia i szacowanie ich pola, zanim zaczniemy liczyć. To jest własna propozycja, a nie wymóg podstawy programowej.

Twoje dziecko w klasie 4 pracuje z momentami czasu i odcinkami czasu: ustala, ile minut upłynęło między dwiema godzinami albo jak długo coś trwało, i zamienia minuty oraz sekundy na sekundy. Podstawy programowe nie podają dla tego żadnego zakresu liczbowego. Punkt dotyczący odczytywania godzin z godzinami i minutami obowiązuje w większym zakresie etapu, nie tylko w tej klasie. Szablony zadań dla tej klasy pokazują przede wszystkim obliczenia z odcinkami czasu.

Typowy błąd: minuty i sekundy zapisuje się tak, jakby były liczbami dziesiętnymi. Wtedy z 2 minut 15 sekund powstaje liczba 215 zamiast 135 sekund, ponieważ liczy się w dziesiątkach zamiast w sześćdziesiątkach. Podobnie jest w przypadku odcinków czasu przechodzących przez pełną godzinę: kto liczy jak w systemie dziesiętnym od 10:50 do 11:15, łatwo otrzyma błędny wynik. Podstawa jest zawsze ta sama: minuta ma 60 sekund, a godzina ma 60 minut.

Na kartach pracy pojawiają się trzy szablony zadań, każdy z rozwiązaniami do sprawdzenia:

• Minuty i sekundy na sekundy: np. zamiana 3 minut 20 sekund na sekundy (200 sekund).
• Ile minut upłynęło? np. od 14:20 do 14:50 upłynęło 30 minut.
• Jak długo to trwało? Dane są godzina rozpoczęcia i zakończenia, szukany jest czas trwania.

Państwa dziecko uczy się modelować różnorodne sytuacje z życia: czyta historyjkę z życia codziennego, rozpoznaje ważne informacje i układa odpowiednie działanie. Należy do tego także rozpoznawanie zależności wprost proporcjonalnych, na przykład tego, że przy dwukrotnie większej ilości cena również się podwaja, przedstawianie ich w tabeli oraz wykorzystywanie do obliczeń. Zakres liczbowy tego działu sięga do miliona, a pisemne dzielenie przez dwucyfrowy dzielnik również wchodzi w jego zakres. Sama podstawa programowa nie podaje tu własnego zakresu liczbowego, dlatego opisuję dla tej klasy wyłącznie to, co pokazują dostępne wzory zadań.

Typowe jest to, że dzieci przy zadaniach wieloetapowych kończą po pierwszym wyniku albo nie wykorzystują wyniku pośredniego w kolejnym kroku. Często przeoczane jest też pytanie: na przykład pytamy o łączną kwotę, a nie o cenę za sztukę. W zadaniach z określeniem „najwyżej” często zaokrągla się w górę, jak w życiu codziennym, mimo że liczą się tylko pełne komplety. Reszta 3 jest wtedy traktowana jako kolejny komplet, mimo że w ogóle nie jest pełny.

Na kartach pracy w tej klasie znajdą Państwo dwa rodzaje zadań:

• Wieloetapowe zadanie tekstowe (łączenie wyników): kilka kroków obliczeniowych prowadzi do jednej odpowiedzi.
• Ile najwyżej kompletów z zapasu: dzielenie, w którym liczą się tylko pełne jednostki.

Wskazówka do ćwiczenia: Proszę pozwolić dziecku zapisać wyniki pośrednie i na koniec ponownie na głos przeczytać pytanie. Do kart pracy są dostępne rozwiązania.

Dziecko dodaje i odejmuje wielocyfrowe liczby całkowite pisemnie, czyli zapisane jedna pod drugą w kolumnach. Dla klasy 4 program nauczania podaje zakres liczbowy do 1 000 000. Punkt programu dla poprzedniego etapu (VS3) wymaga pisemnego liczenia w zakresie do 1000.

Typowe błędy powstają zwykle dlatego, że nie uwzględnia się wartości pozycyjnej cyfr:

• Cyfry nie stoją jedna pod drugą: Liczby są zapisane przesunięte, tak że na przykład jedności stoją pod dziesiątkami. Wynik ma wtedy błędny rząd wielkości.
• Zapomniane przeniesienie: Przy 5 678 + 3 547 dziesiątkowe przeniesienie nie zostaje zapisane w następnej kolumnie albo nie zostaje tam dodane.
• Odejmowanie mniejszej cyfry od większej: Przy 52 − 27 liczy się 5 − 2 i 7 − 2, czyli 35. Gdy w odjemnej są zera, na przykład 4 002 − 1 967, pożyczanie z kilku pozycji jest często pomijane.

Na kartach pracy do tego tematu znajdują się szablony Dodawanie pisemne i Odejmowanie pisemne. Tam dziecko rozwiązuje zadania zapisane jedno pod drugim w kolumnach, a rozwiązania służą do samodzielnej kontroli. Punkt programu wymienia także szacowanie wyników przez zaokrąglanie i przybliżanie. Prostą kontrolą jest więc pytanie: Czy wynik mniej więcej zgadza się z zaokrąglonymi liczbami?

Obwód to długość brzegu figury. Zgodnie z podstawą programową obejmuje to mierzenie lub szacowanie obwodu figur płaskich oraz obliczanie obwodu kwadratów i prostokątów. Punkty podstawy programowej nie podają dla tego zagadnienia osobnego zakresu liczbowego i odnoszą się do większego działu szkoły podstawowej. Dla klasy 4. najważniejsze są więc zadania, które faktycznie pojawiają się w tym obszarze.

Typowym błędem przy brakującym boku jest to, że dziecko dodaje znane boki zamiast odjąć je od obwodu całkowitego. Przy obwodzie wielokąta często pomija się jeden bok, zwłaszcza gdy figura ma więcej niż cztery boki.

Na karcie pracy dziecko spotyka dwa typy zadań:

• Obwód wielokąta: Podane są wszystkie długości boków, szukana jest suma.
• Brakujący bok z obwodu: Dany jest obwód i wszystkie boki poza jednym, brakujący bok należy obliczyć.

Do kart pracy dołączone są rozwiązania, dzięki czemu rodzice mogą prześledzić tok rozumowania.

Twoje dziecko pracuje z kwotami pieniędzy, na przykład 3,50 € lub 12,05 €. Zapisuje wtedy wielkości wielomianowe, czyli w euro i centach, i potrafi poprawnie odczytywać i przeliczać wielkości, na przykład 2,50 € = 250 ct. Zakres liczbowy na lekcjach matematyki w klasie 4 sięga do miliona. Podstawy programowe same nie podają osobnego zakresu liczbowego dla rachunków pieniężnych.

Często pojawia się błąd przy przecinku: kwota 3,5 € zostaje odczytana jako „3 euro i 5 centów” zamiast 3 euro i 50 centów. Wtedy sumy i reszty nie zgadzają się. Podobnie jest przy porównywaniu cen: dziecko porównuje cenę całkowitą dwóch opakowań o różnej ilości, nie sprawdzając, ile dostaje się w każdym z nich.

Typowe zadania w tym obszarze to:

• Która oferta jest korzystniejsza? Porównuje się dwie oferty na ten sam towar, na przykład na 1, 2 lub 5 sztuk. Tabela z cenami pokazuje, jak cena rośnie wraz z ilością (wprost proporcjonalność).
• Ile pieniędzy zostaje? Od kwoty początkowej odejmuje się wartość zakupów i oblicza się resztę.

Do obu typów zadań dostępne są arkusze do wydruku z rozwiązaniami.

Program nauczania szkoły podstawowej wskazuje jako cel zakres liczbowy do 1 000 000: czytanie liczb, zapisywanie, przedstawianie, rozkładanie, porównywanie, porządkowanie i zaokrąglanie. Szablony zadań w 4. klasie ćwiczą przede wszystkim porównywanie dużych liczb oraz myślenie o wartościach pozycyjnych, czyli pytanie, jaką wartość ma cyfra w zależności od jej pozycji.

Typowy błąd pojawia się przy zerach. Gdy liczba zawiera zera w środku, łatwo je pominąć podczas pisania lub czytania. Z 300 005 robi się wtedy 3005, a z 400 000 robi się 40 000, ponieważ dziecko nie zapełnia prawidłowo pozycji setek tysięcy. Przy porównywaniu często patrzy się tylko na pierwszą cyfrę, choć o wyniku decyduje liczba cyfr. Pomocne jest czytanie cyfr z tabelą wartości pozycyjnych lub z odstępami jako grupami po trzy cyfry.

Zadanie na ten temat może wyglądać na przykład tak: liczby porównuje się za pomocą znaków <, > lub = (szablon „Porównywanie dużych liczb”). W zadaniu „Ile razy większa? Wartości pozycyjne” pyta się, ile razy jedna liczba mieści się w drugiej, na przykład Ile razy większa jest 400 000 od 4 000? Karty pracy do tych szablonów można wydrukować, a rozwiązania są do nich dołączone.

Der Lehrplan sieht vor, dass Rechenoperationen im Zahlenraum bis 1000 halbschriftlich flexibel durchgeführt werden sollen und dass Ergebnisse durch Runden und Überschlagsrechnen abgeschätzt werden. Diese Vorgabe gilt für den gesamten Stufenbereich und nicht nur für die 4. Klasse. Für diese Klasse sind vor allem die Aufgabenvorlagen maßgeblich, die in diesem Bereich geübt werden: Das Kind erkennt, wann sich eine Addition oder Multiplikation durch geschicktes Umformen vereinfachen lässt.

Ein typischer Fehler entsteht, wenn eine Zahl gerundet und die Korrektur vergessen wird. Bei 398 + 57 rechnen manche Kinder 400 + 57 = 457 und ziehen die zwei zu viel nicht wieder ab; richtig ist 455. Bei Multiplikationen passiert Ähnliches: Bei 7 · 18 = 7 · 10 + 7 · 8 wird der zweite Teil manchmal nicht mit 7 multipliziert, sondern nur addiert (7 · 10 + 8). Die Ursache liegt meist darin, dass das Kind die Zahl verändert, aber den Überblick darüber verliert, was es verändert hat.

In der Praxis sieht eine solche Aufgabe etwa so aus: Das Kind formt Rechnungen wie 99 + 143 oder 25 · 16 so um, dass sie leichter werden, rechnet danach und vergleicht das Ergebnis mit einer groben Schätzung. Passende Beispielaufgaben mit Lösungen gibt es als druckbare Arbeitsblätter zu folgenden Vorlagen:

• Geschickt addieren: Summen, bei denen sich Zahlen zu runden Werten ergänzen oder sich leicht runden lassen.
• Geschickt multiplizieren: Produkte, die sich in einfachere Teilprodukte zerlegen lassen.

Podstawa programowa opisuje zaokrąglanie liczb w zakresie do 1 000 000. W klasie 4 zadania z tego tematu pokazują konkretnie zaokrąglanie do tysięcy oraz zaokrąglanie do dziesiątek tysięcy. Zaokrąglanie pomaga też przy szacowaniu: liczby zaokrągla się wcześniej, aby oszacować przybliżony wynik pisemnego działania.

Typowym błędem jest patrzenie na cyfrę na miejscu zaokrąglania albo wzięcie niewłaściwego sąsiedniego miejsca. Zawsze decydująca jest cyfra znajdująca się bezpośrednio na prawo od miejsca zaokrąglania: jeśli jest to 5 lub więcej, zaokrąglamy w górę; jeśli 4 lub mniej, zaokrąglamy w dół. Kto zawsze zaokrągla w dół albo tylko skreśla ostatnie cyfry, przy wielu liczbach dostanie błędny wynik.

Przykładowe zadanie wygląda na przykład tak:

• Zaokrąglanie do tysięcy: 36 849 staje się 37 000, ponieważ cyfra setek to 8. Dla 36 449 cyfra setek to 4, więc zaokrąglamy w dół do 36 000.
• Zaokrąglanie do dziesiątek tysięcy: 384 620 staje się 380 000, ponieważ cyfra tysięcy to 4. Dla 385 000 cyfra tysięcy to 5, więc zaokrąglamy w górę do 390 000.

Karty pracy zawierają przykładowe zadania z rozwiązaniami, dzięki którym dzieci mogą ćwiczyć zaokrąglanie.

W zakresie do 1 000 000 dziecko dzieli wielocyfrową liczbę pisemnie przez liczbę dwucyfrową, na przykład 4 872 : 24. Najpierw szacuje, ile razy dzielnik mieści się w pierwszych cyfrach, a potem liczy krok po kroku, aż pozostanie reszta.

Typowe jest to, że pierwsza cyfra wyniku zostaje źle oszacowana, ponieważ dzielnik oceniono jako zbyt duży lub zbyt mały. Wtedy reszta nie pasuje już do obliczenia. Często zdarza się też, że zapomina się o jednej cyfrze liczby wyjściowej, czyli nie znosi się jej w dół, albo powstaje reszta większa od dzielnika.

Odpowiednie ćwiczenia to zadania z karty pracy „Pisemne dzielenie przez liczbę dwucyfrową”: dziecko rozwiązuje pisemnie kilka dzieleń tego rodzaju, a karty pracy zawierają rozwiązania do sprawdzenia. Jako dodatkowe ćwiczenie do kontrolowania wyników można przećwiczyć szacowanie, zaokrąglając liczby i porównując wynik przybliżony z dokładnym.

Podczas szacowania dziecko zaokrągla liczby tak, aby łatwo było je obliczyć, i w ten sposób otrzymuje wynik przybliżony. Plan nauczania wymienia zaokrąglanie i szacowanie wyniku jako środki do oceny wyników. W pisemnych obliczeniach wymaga się tego w zakresie liczbowym do 1 000 000, czyli dokładnie w tym obszarze, nad którym pracuje ta klasa (punkt planu nauczania VS4.2.1). Dla obliczeń pół-pisemnych w zakresie liczbowym do 1000 obowiązuje ta sama strategia (VS3.2.1).

Typowy błąd: liczby są obcinane zamiast zaokrąglane. Tak na przykład 48 972 zaokrąglone do dziesiątek tysięcy daje 40 000 zamiast 50 000. W rezultacie szacunek wypada zbyt nisko. Równie ważne jest to, że szacowanie nie jest dokładnym wynikiem. Służy ono do sprawdzenia, czy dokładny wynik jest prawdopodobny.

W praktyce dziecko rozwiązuje zadania typu „oszacuj sumę”: zaokrągla poszczególne składniki do odpowiedniej pozycji, dodaje zaokrąglone liczby i następnie porównuje wynik z dokładną sumą. Karty pracy do tego tematu zawierają przykładowe zadania z rozwiązaniami, dzięki którym można ćwiczyć razem.

In der 4. Klasse arbeiten Kinder mit Plänen und Karten. Sie verkleinern und vergrößern ebene Figuren, vor allem mithilfe von Rastern, und sie lernen, einfache Pläne zu lesen und anzufertigen (VS4.4.3). Der Maßstab verbindet dabei eine Strecke auf dem Plan mit der entsprechenden Strecke in der Wirklichkeit. Die Lehrplanstellen nennen für diese Fähigkeit keinen eigenen Zahlenraum.

Die übrigen Lehrplanstellen zu ähnlichen Figuren und maßstäblich gezeichneten Rechtecken beschreiben einen größeren Zeitraum. Für diese Klasse lässt sich daraus nur der Teil ableiten, den die Beispielaufgaben zeigen. Typisch ist, dass das Kind die Kartenlänge richtig misst, die Einheit beim Umrechnen aber nicht anpasst. Es erhält dann etwa Zentimeter, obwohl nach Metern oder Kilometern gefragt ist. Ein zweiter häufiger Fehler betrifft die Rechenrichtung: Manche Kinder teilen durch den Maßstab, wo sie multiplizieren müssten, oder umgekehrt. Beides entsteht, wenn der Maßstab nur als Zahl gelesen wird und nicht als Verhältnis zwischen Karte und Wirklichkeit.

Ein Aufgabentyp zu diesem Thema ist Entfernung auf der Karte und in Wirklichkeit. Die Arbeitsblätter zeigen dazu Beispielaufgaben mit Lösungen, zum Beispiel:

• Eine Strecke auf der Karte wird gemessen, die reale Entfernung mit dem angegebenen Maßstab berechnet.
• Eine reale Entfernung ist gegeben, gesucht ist die Länge auf der Karte.
• Das Ergebnis wird in eine passende Einheit umgewandelt, etwa von Zentimetern in Meter oder Kilometer.

Dziecko potrafi wyznaczyć ułamek danej wielkości lub liczby. Program nauczania wymienia w tym kontekście szczególnie mianowniki 2, 4 i 8. Obejmuje to także odczytywanie i zapisywanie zapisu ułamkowego. Jakie wielkości liczbowe się przy tym pojawiają, program w tym miejscu nie precyzuje.

Typowy błąd: dziecko dzieli tylko przez mianownik i zapomina o liczniku. Przy obliczaniu trzech czwartych z 20 liczy 20 : 4 = 5 i na tym poprzestaje, choć to byłaby tylko jedna czwarta. Zadanie ma dwa kroki, a drugi łatwo przeoczyć.

Na lekcjach ta umiejętność pojawia się jako zadanie „Obliczanie ułamka danej liczby”. Karty pracy do tego działu zawierają przykładowe zadania z rozwiązaniami do wydrukowania, dzięki czemu w domu można prześledzić sposób rozwiązania i sprawdzić wyniki. Wskazówka do domu: dziecko może wypowiadać kroki na głos – najpierw dzielić przez mianownik, a potem mnożyć przez licznik.

Plan nauczania dla 4. klasy wymaga, aby zapisywać wielkości jedno- i wielonazwowo oraz wykonywać przeliczenia. Zadania w tym zakresie dotyczą przede wszystkim przeliczeń na mniejszą jednostkę masy, na przykład kilogramów na gramy lub ton na kilogramy. Plan nauczania nie podaje osobnego zakresu liczbowego dla mas; liczby w tym dziale matematyki w 4. klasie sięgają do miliona.

Typowy błąd dotyczy kierunku: ponieważ do opisania tej samej masy potrzebna jest mniejsza jednostka, liczba staje się większa. Kto zamiast tego dzieli przez 1000, zamieni 3 kg na 0,003 g. Pomocne jest wyobrażenie, że jeden kilogram składa się z tysiąca gramów. Przy 3 kg potrzebujemy zatem trzykrotnie po tysiąc gramów.

Typowe zadanie wygląda tak:

• Zamień 4 kg na gramy. (Rozwiązanie: 4000 g)
• Zamień 2 t na kilogramy. (Rozwiązanie: 2000 kg)

Jako własna propozycja, nie jako wymóg planu nauczania: Dzieci mogą też zastanowić się, czy 2500 g to więcej, czy mniej niż 2 kg.

Dziecko czyta i zapisuje ułamki o małych mianownikach, zwłaszcza 2, 4 i 8, na przykład 1/4 lub 5/8. Ułamek oznacza wtedy część całości. Zadania z tego zakresu w klasie 4 ćwiczą przede wszystkim ułamek z liczby: a/b z całości.

Typowe jest mylenie licznika z mianownikiem. Przy obliczaniu 3/4 z 20 dziecko dzieli 20 przez 3 zamiast przez 4, ponieważ bierze liczby z ułamka osobno. Mianownik mówi jednak, na ile równych części dzielimy całość, a licznik – ile z tych części mamy na myśli.

Typowe zadanie brzmi na przykład: Z 24 cukierków 3/8 są czerwone. Ile jest czerwonych? Dziecko liczy w dwóch krokach: 24 : 8 = 3 (jedna ósma cukierków), potem 3 · 3 = 9 czerwonych cukierków. W ten sposób wyznacza się ułamki z liczby.

W 4. klasie dzieci mają czytać, zapisywać, przedstawiać, porządkować i zaokrąglać liczby do 1 000 000. Na osi liczbowej oznacza to: zaznaczają liczbę jako punkt i odwrotnie, z zaznaczonego punktu odczytują liczbę. Do końca 3. klasy liczby do 1000 były rozkładane, porównywane i zaokrąglane; większy zakres liczbowy dochodzi w 4. klasie.

Typowy błąd pojawia się wtedy, gdy dzieci liczą kreski zamiast zwracać uwagę na wartość kroków. Jeśli między dwiema opisanymi liczbami jest kilka kresek, każdy krok ma wartość inną niż 1. Kto wtedy po prostu liczy dalej, trafia na błędną liczbę. Szczególnie często dzieje się tak przy przeskakiwaniu przez dziesiątkę, na przykład z 47 dalej przez 50, ponieważ dziesiątka jest przeoczana jako przystanek pośredni.

Zadanie na temat „skoku przez dziesiątkę na osi liczbowej” mogłoby wyglądać na przykład tak:

• Strzałka startuje z 47. Dokąd dotrze po skoku o +5? (Rozwiązanie: 52, z przystankiem pośrednim 50.)
• Która liczba leży dokładnie między 60 a 70, jeśli oś liczbowa jest opisana co dziesięć?

Karty pracy do tego tematu nadają się do wydruku i zawierają rozwiązania, dzięki czemu zadania można używać bezpośrednio w domu lub na lekcji.

W klasie 4 dziecko uczy się zapisywać ilości w jednostkach standardowych i wykonywać przeliczenia. Zadania w tym dziale wymagają przejścia do mniejszej jednostki objętości: na przykład ile mililitrów to 3 ℓ. Dziecko powinno zrozumieć, że litr składa się z tysiąca mililitrów, dlatego liczba się zwiększa.

Typowym błędem jest liczenie z 10 lub 100 zamiast z 1000, ponieważ dziecko przenosi rachunki dziesiątkowe na tę jednostkę. Przy liczbach dziesiętnych dochodzi jeszcze przesuwanie przecinka: z 1,5 ℓ błędnie wychodzi wtedy 15 mℓ zamiast 1500 mℓ. Pomaga tu wyobrażenie sobie tej ilości: 1,5 litra to więcej niż jedno litrowe opakowanie, więc wynik musi być wyraźnie większy niż 1000 mℓ.

Przykładowe zadanie w tym temacie wygląda tak: „Ile mililitrów to 2 ℓ?” albo „Zamień 0,5 ℓ na mℓ.” Szablon w tym dziale to „Przeliczanie na mniejszą jednostkę objętości”. W domu można jako pomoc wykorzystać litrowe opakowanie mleka i mały miarkę, aby pokazać wyraźnie proporcje wielkości.

Dziecko potrafi pisemnie mnożyć liczby wielocyfrowe w kolumnach. Podstawa programowa wymienia w tym celu pisemne mnożenie przez jednocyfrowy i dwucyfrowy mnożnik w zakresie liczbowym do 1 000 000. To określenie opisuje cały fragment podstawy programowej, a nie wyłącznie klasę 4. Dla tej klasy karty pracy pokazują, jakie zadania rzeczywiście występują. Należy do tego także szacowanie wyniku przez zaokrąglanie i przybliżanie.

Typowy błąd pojawia się przy wartościach miejsc. Gdy dziecko mnoży przez cyfrę dziesiątek, wynik częściowy trzeba przesunąć o jedno miejsce w lewo, inaczej nie zgadza się rząd wielkości. Podobnie czasem brakuje przeniesienia albo zostaje ono przeoczone przy dodawaniu iloczynów częściowych. Poszczególne kroki bywają wtedy poprawne, ale wynik końcowy już nie. Krótkie oszacowanie przed obliczeniami pomaga zauważyć grube błędy.

Do tego na kartach pracy pasuje szablon „Mnożenie pisemne liczb wielocyfrowych”. Zadania zapisane są jedno pod drugim w kolumnach, na przykład 348 × 6 lub 245 × 13. Sensowny przebieg wygląda następująco:

• najpierw szacujemy wynik, np. 350 × 6 ≈ 2 100,
• następnie liczymy dokładnie w kolumnach,
• na koniec porównujemy wynik z rozwiązaniami.

Dziecko rozpoznaje w sytuacjach z życia codziennego, kiedy dwie wielkości są wprost proporcjonalne, na przykład liczba i cena. Przedstawia tę zależność w tabeli i wykorzystuje ją do obliczeń. Ważnym krokiem jest wyznaczenie wartości dla jednej jednostki: jeśli 4 zeszyty kosztują 8 euro, to jeden zeszyt kosztuje 2 euro.

Punkt programu nauczania nie podaje osobnego zakresu liczbowego. W matematyce w klasie 4. ogólnie chodzi o liczby do miliona.

Typowy błąd: dziecko liczy dalej z całkowitą ilością zamiast najpierw dzielić przez liczbę jednostek albo mnoży tam, gdzie powinno dzielić. Często zatrzymuje się też na podanej ilości i nie dochodzi do wartości dla jednej jednostki. Zadanie wymaga dwóch kroków i nie zawsze jest jasne, które działanie jest potrzebne w pierwszym kroku.

Odpowiednie ćwiczenia znajdują się w kartach pracy do tego tematu, które są dostępne z rozwiązaniami do wydrukowania. Są tam zadania w postaci „Ile wynosi za jeden?”. Dziecko widzi podaną wartość dla kilku jednostek i na jej podstawie wyznacza wartość dla jednej jednostki.

W klasie 4 dziecko pracuje z momentami w czasie i odcinkami czasu oraz stosuje wielkości w zadaniach tekstowych. Przy rachunku kalendarzowym oznacza to wyznaczenie czasu, który upłynął między dwiema datami. Podstawa programowa nie podaje dla tego zagadnienia odrębnego zakresu liczbowego. Dlatego opisujemy tutaj jedynie to, czego faktycznie wymagają zadania na tym etapie: liczbę dni między dwiema datami.

Błędy pojawiają się często wtedy, gdy odcinek czasu przechodzi przez koniec miesiąca. Miesiące mają różną liczbę dni (28, 29, 30 lub 31), a dziecko często liczy tak, jakby każdy miesiąc miał tyle samo dni. Zamieszanie powstaje też, gdy niejasne jest, czy liczymy dzień początkowy, czy dzień końcowy. Wskazówka z praktyki (nie z podstawy programowej): pozwól dziecku przesuwać palcem po kalendarzu zamiast liczyć wyłącznie w myślach.

Typowe zadanie brzmi: Ile dni minęło? Na przykład: Ile dni jest między 3. a 15. marca? Takie zadania znajdziesz jako kartę pracy z rozwiązaniem w dziale matematyki dla klasy 4.

Dziecko uczy się opisywać położenie odcinków na płaszczyźnie. Dwa odcinki są równoległe, gdy mają ten sam kierunek i nigdy się nie spotykają. Są prostopadłe, gdy tworzą kąt prosty. Obejmuje to również rysowanie kątów prostych za pomocą ekierki. Program nauczania wymienia ponadto kwadraty i prostokąty. Opisuje tę treść dla kilkuletniego etapu, a nie tylko dla klasy 4. Zakresów liczbowych tu nie ma, ponieważ chodzi o położenie i kształt.

Typowy błąd: odcinki ocenia się na oko. Na papierze w kratkę ukośne odcinki łatwo wyglądają na poziome lub pionowe, a kąt, który jest prawie prosty, uznaje się za prosty. Pomaga liczenie kratek: odcinek prostopadły przesuwa się o jedną kratkę w prawo, a potem o jedną kratkę w górę. Odcinki równoległe mają w obu kierunkach te same kroki.

Karty pracy w tym dziale zawierają zadanie „Równoległe czy prostopadłe?”. Dziecko decyduje, jakie położenie mają odcinki na siatce, i uzasadnia odpowiedź. Do sprawdzenia może zmierzyć lub odrysować odcinki ekierką.

Dziecko uczy się rozróżniać trzy proste obiekty na płaszczyźnie. Podstawa programowa nie podaje dla tego zakresu liczbowego, ponieważ chodzi tu o figury i ich położenie, a nie o liczby. Wymagane jest opisywanie wzajemnego położenia odcinków na płaszczyźnie.

Typowym błędem jest mylenie półprostej z odcinkiem, ponieważ oba zaczynają się w punkcie. Podobnie prostą często nazywa się odcinkiem, bo na kartce widać tylko jej fragment. Powód jest taki: rysunek jest zawsze ograniczony, a pojęcia opisują jednak to, jak obiekt biegnie dalej poza krawędź kartki.

• Odcinek: ma dwa stałe końce i określoną długość.
• Półprosta: ma punkt początkowy i biegnie w jednym kierunku bez końca.
• Prosta: nie ma końca i biegnie w obu kierunkach bez końca.

Szablon zadania Odcinek, półprosta czy prosta? pyta, który z tych obiektów przedstawiono. Dziecko musi wybrać nazwę i uzasadnić swój wybór. Dostępne zadania na ten temat nie pokazują, czy w tej klasie przewidziano także rysowanie kątów prostych, kwadratów i prostokątów za pomocą ekierki. Dlatego ten opis ogranicza się do rozróżniania trzech obiektów.

W klasie 4. Państwa dziecko odbija pojedyncze punkty względem prostej. Punkt obrazu leży po drugiej stronie prostej, na tej samej prostopadłej do prostej i w tej samej odległości co punkt wyjściowy. Jeśli połączy się odbite punkty, powstaje figura pasująca do figury wyjściowej.

Podstawa programowa opisuje ogólnie, że figury płaskie są badane, opisywane i porównywane, zwłaszcza obiekty symetryczne, oraz że rozpoznaje się i konstruuje figury symetryczne względem osi. Zadania w tym dziale dla klasy 4. dotyczą przede wszystkim odbijania punktów względem prostej.

Typowy błąd: punkt obrazu zostaje umieszczony po tej samej stronie prostej co punkt wyjściowy albo leży wprawdzie po drugiej stronie, ale w innej odległości. Dzieje się tak często wtedy, gdy rysuje się „na oko” i nie liczy się, jak daleko punkt znajduje się od prostej.

Typowe zadanie pokazuje prostą i kilka punktów obok niej. Dziecko rysuje do każdego punktu jego obraz i łączy punkty w figurę. Zadanie w ofercie nosi tytuł Odbicie punktu względem prostej, a rozwiązania są dołączone.

Dziecko rozpoznaje figury przestrzenne po ich cechach i potrafi je opisywać oraz porównywać. Obejmuje to to, czy bryła ma ściany płaskie czy okrągłe, czy ma wierzchołki, krawędzie lub szczyt oraz czy jest symetryczna. Program nauczania nie podaje dla tego tematu zakresu liczbowego, ponieważ chodzi o kształty, a nie o rachunki.

Bryły o podobnym wyglądzie są często mylone, na przykład stożek i ostrosłup, ponieważ oba mają szczyt, albo walec i graniastosłup, ponieważ oba mają jednakowo wyglądające podstawy i pokrywy. Dziecko często zwraca wtedy uwagę tylko na jedną cechę, na przykład na szczyt lub podstawę, zamiast sprawdzić wszystkie właściwości. Pomocne jest zadanie pytania: Które ściany są płaskie, które okrągłe i ile wierzchołków ma bryła?

Typowym zadaniem jest szablon „Jaka to bryła?”, w którym dziecko określa bryłę na podstawie opisu lub ilustracji. Pliki do druku z rozwiązaniami nadają się do ćwiczeń. Program nauczania wymaga ponadto, aby z bryłami pracować w sposób zabawowy i przemyślany, zwłaszcza z przedmiotami symetrycznymi. Punkt programu dotyczący pól powierzchni i objętości graniastosłupów oraz ostrosłupów obowiązuje w całym dziale i nie jest ćwiczony w prezentowanych tu zadaniach.

Dziecko uczy się rozkładać figurę płaską złożoną z prostokątów na prostsze części. Oblicza pole powierzchni każdego prostokąta składowego i dodaje wyniki. Podstawa programowa wymaga obliczania pola kwadratów i prostokątów oraz prostych figur złożonych z nich. Punkty podstawy programowej U1.3.2 i U3.3.1 opisują materiał w dłuższym okresie. Zakres liczbowy, który konkretnie pojawia się w klasie 4, pokazują przykładowe zadania.

Typowe jest to, że dzieci mylą obwód z polem powierzchni: dodają długości boków, choć pytanie dotyczy pola. Równie często zdarza się, że przy rozkładaniu figury pominięty zostaje jakiś fragment albo zostaje policzony dwukrotnie. Figura wygląda jak jedna powierzchnia, a obliczenie wymaga jednak dwóch osobnych kroków: najpierw obliczenia pola każdej części, potem dodania wyników.

Zadanie na ten temat znajduje się w karcie pracy „Pole powierzchni figury w kształcie litery L”. Podano tam figurę w kształcie litery L z wymiarami. Dziecko dzieli ją na prostokąty, oblicza pole każdego z nich i podaje pole całkowite. Rozwiązania na karcie pracy pomagają prześledzić kolejne etapy obliczeń.

Siatka to płaska postać bryły: tnie się krawędzie sześcianu i rozkłada go na płasko. Dziecko uczy się wyobrażać sobie, jak płaska figura wygląda po złożeniu. Program nauczania dla szkoły podstawowej ogólnie wskazuje, że proste modele brył i siatki mają być badane, przyporządkowywane i tworzone. W przykładowym zadaniu dla klasy 4. z tego obszaru chodzi przede wszystkim o badanie: czy narysowana figura jest siatką sześcianu?

Typowy błąd: dziecko liczy sześć kwadratów i uznaje figurę za siatkę. Decydujące jest jednak to, czy przy składaniu każda z sześciu ścian zostaje zajęta dokładnie raz. Jeśli dwa kwadraty po złożeniu lądują na tej samej ścianie, w innym miejscu brakuje ściany, nawet jeśli liczba się zgadza. Kto patrzy tylko na wygląd figury zamiast na składanie, łatwo przeoczy tę różnicę.

W praktyce chodzi o zadania typu „Czy to jest siatka sześcianu?”: pokazana jest figura z kwadratów, a dziecko rozstrzyga z krótkim uzasadnieniem, czy da się ją złożyć w sześcian. Pomocą może być wycięcie figury i faktyczne jej złożenie. Punkt programu dotyczący prostopadłościanów ze wzorami na pole powierzchni i objętość (U1.3.3) wykracza poza klasę 4. i nie jest tu opisany jako wymaganie tej klasy.