Programa escolar (Alemania)

Matemáticas — 10.º curso

Matemáticas en 10.º curso: final de la Educación Secundaria — potencias y raíces, teorema de Pitágoras, cálculo de círculos y cuerpos geométricos como repaso previo al título de graduado en secundaria. Para cada tema se ofrecen fichas de ejercicios listas para imprimir.

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¿Qué se aprende en 10.º curso en Matemáticas?

El 10.º curso concluye la educación secundaria obligatoria (Sekundarstufe I). Se consolida el cálculo con potencias y raíces, se aplica el teorema de Pitágoras en el plano y en el espacio, y se calculan círculos, así como el volumen y la superficie de cuerpos geométricos: este es el temario de las pruebas para el título de secundaria media (Mittlerer Schulabschluss).

Aviso importante sobre los estándares educativos: Los estándares educativos de la KMK describen lo que se alcanza al final de la Sekundarstufe I o en la Allgemeine Hochschulreife (acceso a la universidad), no año tras año. La asignación a cada curso es una decisión nuestra basada en los planes de estudios marco de los estados federados (comenzando por Renania del Norte-Westfalia).

Estado de la página: Los ejercicios de este curso están listos como ejercicios de cálculo puro (enunciado y fórmula); los ejercicios con ilustraciones y en contextos contextualizados se añadirán próximamente.

Alcance del currículo

KMKS1.ZO (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Número y operaciones

nuestra traducción · texto original (DE): Zahl und Operation

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation
KMKS1.ZO.1 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan representaciones significativas de los números racionales, en particular de los números naturales, enteros y fraccionarios, según la necesidad de uso

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.2 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan representaciones significativas de los números reales (p. ej., la completitud de la recta numérica)

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von reellen Zahlen (z. B. Vollständigkeit der Zahlengerade)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 2 (kolumna MSA)

Estimar raíces cuadradas mentalmente (en nuestro curso 9-10)
KMKS1.ZO.3 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan representaciones significativas de las operaciones con números racionales (p. ej., procedimientos paso a paso, semicerrados o intermedios)

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von Operationen rationaler Zahlen (z. B. schrittweiser, halbschriftlicher Verfahren)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.4 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

analizan números según sus factores, en casos sencillos sin herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): untersuchen Zahlen nach ihren Faktoren, in einfachen Fällen ohne digitale Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 4 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.5 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

representan números de manera adecuada a la situación, p. ej., entre otras cosas, en notación de potencias de diez

nuestra traducción · texto original (DE): stellen Zahlen der Situation angemessen dar, z.B. unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 5 (obie kolumny)

Representar números en notación científica (en nuestro curso 9-10)
KMKS1.ZO.6 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

calculan con números naturales, enteros y racionales que se presentan en la vida cotidiana, tanto para la comprobación como mentalmente, y explican el significado de las operaciones aritméticas

nuestra traducción · texto original (DE): rechnen mit natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, sowohl zur Kontrolle als auch im Kopf und erklären die Bedeutung der Rechenoperationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.8 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

describen la necesidad de las ampliaciones de los conjuntos numéricos de ℕ a ℤ y ℚ, así como de ℚ a ℝ, a partir de ejemplos

nuestra traducción · texto original (DE): beschreiben die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen von ℕ nach ℤ und ℚ sowie von ℚ nach ℝ an Beispielen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.9 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

explican con ejemplos los diferentes significados del concepto de fracción (en particular, partes de un todo o de varios todos, partes relativas)

nuestra traducción · texto original (DE): erläutern an Beispielen die verschiedenen Vorstellungen zum Bruchbegriff (insbesondere Teile eines oder mehrerer Ganzer, relative Anteile)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 9 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.10 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan propiedades de las operaciones (p. ej., propiedad conmutativa, asociativa, distributiva), también para el cálculo ventajoso

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen Rechengesetze (z. B. Kommutativ-, Assoziativ -, Distributivgesetz), auch zum vorteilhaften Rechnen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 10 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.11 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan cálculos aproximados para la orientación y para el control

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen Überschlagsrechnungen zur Orientierung und zur Kontrolle

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.12 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

redondean números de manera adecuada según la situación planteada

nuestra traducción · texto original (DE): runden Zahlen dem Sachverhalt entsprechend sinnvoll

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 12 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.13 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

comprueban e interpretan resultados, también en situaciones contextualizadas

nuestra traducción · texto original (DE): prüfen und interpretieren Ergebnisse, auch in Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 13 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.14 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

explican con ejemplos la relación entre las operaciones de cálculo y sus operaciones inversas y utilizan estas relaciones

nuestra traducción · texto original (DE): erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 14 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.15 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan el cálculo de porcentajes y de intereses de forma conceptual (p. ej., tiras de porcentajes) y adecuada

nuestra traducción · texto original (DE): verwenden Prozent - und Zinsrechnung vorstellungsbasiert (z. B. Prozentstreifen) und sachgerecht

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 15 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.17 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

explican potencias y raíces y calculan potencias y raíces sencillas

nuestra traducción · texto original (DE): erläutern Potenzen und Wurzeln und berechnen einfache Potenzen und Wurzeln

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)

Calcular potencias con fracciones y números enteros (en nuestro curso 9-10) · Calcular raíces cuadradas y cúbicas con seguridad (en nuestro curso 9-10) · Determinar exponentes faltantes con las leyes de las potencias (en nuestro curso 9-10)
KMKS1.ZO.19 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

seleccionan, describen y evalúan procedimientos y métodos basados en algoritmos o cálculos y los ejecutan (p. ej., operaciones de cálculo por escrito, así como en raíces y potencias)

nuestra traducción · texto original (DE): wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen und führen diese aus (z. B. schriftliche Rechenoperationen sowie bei Wurzeln und Potenzen)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 19 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.20 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

implementan un procedimiento algorítmico (p. ej., el método de Herón para la determinación de raíces cuadradas, encaje de intervalos) con herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): implementieren ein algorithmisches Verfahren (z. B. Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln, Intervallschachtelung) mit digitalen Mathematikwerkzeugen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 20 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.21 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

aplican principios de conteo sistemático en situaciones concretas (p. ej., número de apretones de manos al dar la mano a cada persona)

nuestra traducción · texto original (DE): führen in konkreten Situationen systematische Zählprinzipien aus (z. B. Anzahl Händeschütteln, wenn man jeder Person die Hand gibt)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 21 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.22 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

continúan sucesiones numéricas, también utilizando variables como número general

nuestra traducción · texto original (DE): führen Zahlenfolgen fort, auch unter Verwendung von Variablen als allgemeine Zahl

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 22 (kolumna MSA)
KMKS1.GM (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Magnitudes y medida

nuestra traducción · texto original (DE): Größen und Messen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen
KMKS1.GM.1 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan el principio fundamental de la medición como comparación con unidades (estándar), p. ej., en la determinación de longitudes, áreas y volúmenes, también en situaciones contextualizadas

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen das Grundprinzip des Messens als Vergleichen mit (Standard-) Einheiten, z. B. bei der Bestimmung von Längen, Flächeninhalten und Volumina, auch in Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.GM.2 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

seleccionan unidades de magnitudes de forma adecuada a la situación (en particular para tiempo, masa, dinero, longitud, superficie, volumen y ángulo) y, en su caso, las convierten

nuestra traducción · texto original (DE): wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel) und wandeln sie ggf. um

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 2 (obie kolumny)
KMKS1.GM.3 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

estiman magnitudes con ayuda de representaciones sobre referentes adecuados (p. ej., objeto típico para una magnitud estándar) y lo utilizan también para comprobar la plausibilidad

nuestra traducción · texto original (DE): schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten (z. B. typisches Objekt für eine Standardgröße) und nutzen dies auch zur Plausibilitätsprüfung

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.GM.5 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

calculan el área y el perímetro del rectángulo, triángulo y círculo, así como de figuras compuestas a partir de estos, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und Kreis sowie daraus zusammengesetzten Figuren, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)

Calcular el perímetro y el área de círculos (en nuestro curso 9-10)
KMKS1.GM.7 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

calculan el volumen y el área de la superficie de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, así como de cuerpos compuestos a partir de ellos, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 7 (kolumna MSA)

Volumen y área superficial de prismas triangulares (en nuestro curso 9-10) · Volumen y superficie de pirámides cuadrangulares (en nuestro curso 9-10) · Calcular el volumen del cilindro, el cono y la esfera (en nuestro curso 9-10)
KMKS1.GM.8 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

realizan mediciones específicas en su entorno, también con ayuda de medios digitales (como fuente de información o instrumento de medición), extraen datos de medida de material de consulta, realizan cálculos con ellos y valoran los resultados, así como el procedimiento elegido, en relación con la situación contextual

nuestra traducción · texto original (DE): nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor, auch mit Hilfe digitaler Medien (als Informationsquelle oder Messinstrument), entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial, führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in Bezug auf die Sachsituation

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 8 (obie kolumny)
KMKS1.GM.10 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

calculan longitudes de segmentos y medidas de ángulos, también mediante el uso del teorema de Pitágoras, de relaciones trigonométricas y de relaciones de semejanza, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung des Satzes von Pythagoras, von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)

Aplicar el teorema de Pitágoras (en nuestro curso 9-10)
KMKS1.SF (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Estructuras y relación funcional

nuestra traducción · texto original (DE): Strukturen und funktionaler Zusammenhang

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang
KMKS1.SF.1 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan variables según el contexto como un número fijo, como un número cualquiera de un conjunto numérico y como variable en un rango determinado y pueden mencionar ejemplos de los diferentes usos de las variables

nuestra traducción · texto original (DE): verwenden Variablen je nach Kontext als eine feste Zahl, als eine beliebige Zahl aus einem Zahlbereich und als Veränderliche in einem bestimmten Bereich und können Beispiele für die unterschiedliche Verwendung von Variablen nennen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.SF.3 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

plantean expresiones para describir relaciones generales en el contexto de la situación, las transforman y las interpretan

nuestra traducción · texto original (DE): stellen Terme auf, um allgemeine Zusammenhänge im Sachkontext zu beschreiben, formen sie um und interpretieren sie

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 3 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.4 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan el cálculo porcentual en procesos de crecimiento (por ejemplo, en el cálculo de intereses), también mediante el uso de herramientas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen die Prozentrechnung bei Wachstumsprozessen (beispielsweise bei der Zinsrechnung), auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 4 (obie kolumny)
KMKS1.SF.5 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan escalas al leer y realizar dibujos de manera adecuada a la situación

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen situationsgerecht

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 5 (obie kolumny)
KMKS1.SF.7 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

reconocen y utilizan relaciones funcionales y las representan en diferentes representaciones (verbal, tabular, gráfica, algebraica) y pueden cambiar entre estas formas de representación, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): erkennen und verwenden funktionale Zusammenhänge und stellen diese in verschiedenen Repräsentationen dar (sprachlich, tabellarisch, grafisch, algebraisch) und können zwischen diesen Darstellungsformen wechseln, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 7 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.9 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

analizan, interpretan y comparan diferentes relaciones funcionales (funciones lineales, proporcionales y antiproporcionales, así como cuadráticas), también con la ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche funktionale Zusammenhänge (lineare, proportionale und antiproportionale sowie quadratische Funktionen), auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 9 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.10 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

resuelven problemas cercanos a la realidad en relación con relaciones lineales, proporcionales e inversamente proporcionales, en su caso, también con ayuda de la regla de tres, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen, ggf. auch mit Hilfe des Dreisatzes, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 10 (obie kolumny)
KMKS1.SF.12 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

resuelven ecuaciones lineales y cuadráticas, así como sistemas de ecuaciones lineales, numéricamente (tanteo sistemático), algebraicamente (transformación) y gráficamente (con ayuda de gráficas de funciones), también mediante el uso de herramientas matemáticas digitales, y comparan la efectividad de diferentes procedimientos de resolución con respecto a la respectiva pregunta o problema

nuestra traducción · texto original (DE): lösen lineare und quadratische Gleichungen sowie lineare Gleichungssysteme numerisch (systematisches Probieren), algebraisch (Umformen) und grafisch (mit Hilfe von Funktionsgraphen), auch unter Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge, und vergleichen die Eff ektivität verschiedener Lösungsverfahren im Hinblick auf die jeweilige Fragestellung oder das Problem

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 12 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.13 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

investigan cuestiones de resolubilidad y diversidad de soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas, así como de sistemas de ecuaciones lineales, y formulan enunciados al respecto

nuestra traducción · texto original (DE): untersuchen Fragen der Lösbarkeit und der Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 13 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.15 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

determinan características distintivas de funciones en la expresión analítica, la gráfica y la tabla de valores y establecen relaciones entre las representaciones

nuestra traducción · texto original (DE): bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen im Funktionsterm, Graph und der Wertetabelle und stellen Beziehungen zwischen den Darstellungen her

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 15 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.17 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

aplican, en particular, funciones lineales y cuadráticas, así como funciones exponenciales de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑏𝑥 en la descripción y resolución de problemas, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑏𝑥 bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.18 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan la función seno en la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ∙ 𝑥) para describir procesos periódicos con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): verwenden die Sinusfunktion in der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ∙ 𝑥) zur Beschreibung periodischer Vorgänge mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 18 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.20 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

describen cambios de magnitudes mediante funciones (también cambios no lineales), también utilizando herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen (auch nicht lineare Veränderungen), auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 20 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.22 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

indican, para funciones dadas, situaciones contextualizadas que pueden describirse con ayuda de esta función

nuestra traducción · texto original (DE): geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 22 (kolumna MSA)
KMKS1.RF (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Espacio y forma

nuestra traducción · texto original (DE): Raum und Form

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form
KMKS1.RF.1 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

nombran y describen objetos geométricos y relaciones en el entorno con ayuda de modelos matemáticos (puntos, ángulos, segmentos, rectas, superficies, cuerpos) y sus interrelaciones

nuestra traducción · texto original (DE): benennen und beschreiben geometrische Objekte und Beziehungen in der Umwelt mit Hilfe mathematischer Modelle (Punkte, Winkel, Strecken, Geraden, Flächen, Körper) und ihre Zusammenhänge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.RF.2 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

desarrollan representaciones en el espacio bidimensional y tridimensional y operan mentalmente (p. ej., trasladar, girar, reflejar) con los objetos contenidos en él (puntos, segmentos, superficies y cuerpos)

nuestra traducción · texto original (DE): entwickeln Vorstellungen im zwei und dreidimensionalen Raum und operieren (z.B. verschieben, drehen, spiegeln) gedanklich mit den darin enthaltenen Objekten (Punkten, Strecken, Flächen und Körpern)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 2 (obie kolumny)
KMKS1.RF.3 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

representan figuras geométricas planas (p. ej., triángulos, cuadriláteros) y transformaciones geométricas elementales (p. ej., traslaciones, giros, reflexiones, homotecias) en el sistema de coordenadas cartesianas en el plano, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): stellen ebene geometrische Figuren (z. B. Dreiecke, Vierecke) und elementare geometrische Abbildungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen, zentrische Streckungen) im ebenen kartesischen Koordinatensystem dar, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.RF.5 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

elaboran desarrollos planos, representaciones en perspectiva y modelos de cuerpos geométricos seleccionados (p. ej., prisma, pirámide) - también con ayuda de herramientas matemáticas digitales - y reconocen cuerpos geométricos a partir de sus correspondientes representaciones

nuestra traducción · texto original (DE): fertigen Netze, Schrägbilder und Modelle von ausgewählten Körpern (z. B. Prisma, Pyramide) an - auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge - und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)
KMKS1.RF.6 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

analizan y clasifican objetos geométricos del plano (en particular ángulos, triángulos, cuadriláteros) y del espacio (en particular prismas, pirámides, cilindros, conos, esfera)

nuestra traducción · texto original (DE): analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene (insbesondere Winkel, Dreiecke, Vierecke) und des Raumes (insbesondere Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.RF.8 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

reconocen, describen y justifican propiedades y relaciones de objetos geométricos (p. ej., simetría, idea de congruencia, semejanza, relaciones de posición) y las utilizan en el marco de la resolución de problemas para el análisis de situaciones contextualizadas

nuestra traducción · texto original (DE): erkennen, beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (z. B. Symmetrie, Idee der Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.RF.10 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

aplican teoremas de la geometría plana (en particular el teorema de Pitágoras, el teorema de Tales, relaciones de semejanza y cálculos, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales, relaciones trigonométricas) en construcciones, cálculos, justificaciones y demostraciones, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): wenden Sätze der ebenen Geometrie (insbesondere den Satz des Pythagoras, den Satz des Thales, Ähnlichkeitsbeziehungen und Berechnungen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge, trigonometrische Beziehungen) bei Konstruktionen, Berechnungen, Begründungen und Beweisen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)

Aplicar el teorema de Pitágoras (en nuestro curso 9-10)
KMKS1.RF.11 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

dibujan y construyen figuras geométricas utilizando medios adecuados como compás, escuadra o herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Medien wie Zirkel, Geodreieck oder digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.RF.12 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

investigan cuestiones de resolubilidad y diversidad de soluciones de tareas de construcción y formulan afirmaciones al respecto

nuestra traducción · texto original (DE): untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 12 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Datos y azar

nuestra traducción · texto original (DE): Daten und Zufall

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall
KMKS1.DZ.1 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

analizan representaciones gráficas y tablas de estudios estadísticos, también con ayuda de hojas de cálculo o herramientas estocásticas

nuestra traducción · texto original (DE): werten grafische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, auch mit Hilfe von Tabellenkalkulation oder Stochastiktools

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.3 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan simulaciones para decidir cuestiones estocásticas

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen Simulationen, um stochastische Fragen zu entscheiden

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 3 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.5 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

planifican estudios estadísticos, también bajo los aspectos de selección de la muestra e instrumento de recogida de datos

nuestra traducción · texto original (DE): planen statistische Erhebungen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.6 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

recopilan sistemáticamente datos (p. ej., valores de medición, datos de encuestas o de Internet), los organizan en tablas y los representan gráficamente, también utilizando herramientas adecuadas como hojas de cálculo o herramientas estocásticas

nuestra traducción · texto original (DE): sammeln systematisch Daten (z. B. Messwerte, Daten aus Befragungen oder Internet), organisieren sie in Tabellen und stellen sie grafisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel wie Tabellenkalkulation oder Stochastiktools

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.8 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

determinan e interpretan parámetros estadísticos (p. ej., mínimo, máximo, media aritmética, mediana, rango), media aritmética, mediana, rango, cuartiles)

nuestra traducción · texto original (DE): ermitteln und interpretieren Kenngrößen (z. B. Minimum, Maximum, arithmetisches Mittel, Median, Spannweite), arithmetisches Mittel, Median, Spannweite, Quartile)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.10 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

elaboran e interpretan diagramas (p. ej., diagrama de columnas o de barras, histogramas, diagrama de sectores, diagrama de líneas, diagrama de caja), también con ayuda de herramientas matemáticas digitales y justifican la forma de representación elegida

nuestra traducción · texto original (DE): erstellen und interpretieren Diagramme (z. B. Säulen - oder Balkendiagramm, Histogramme, Kreisdiagramm, Liniendiagramm, Boxplot), auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge und begründen die gewählte Darstellungsform

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.11 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

reflexionan, con ayuda de los conocimientos matemáticos, sobre el tratamiento y la representación de datos en los medios, por ejemplo, en relación con la intención y los posibles efectos de la representación

nuestra traducción · texto original (DE): reflektieren mit Hilfe der mathematischen Kenntnisse den Umgang mit und die Darstellung von Daten in Medien, etwa in Bezug auf die Absicht und mögliche Wirkungen der Darstellung

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.13 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

describen fenómenos aleatorios e interpretan enunciados de probabilidad y sus representaciones en los medios

nuestra traducción · texto original (DE): beschreiben Zufallserscheinungen und interpretieren Wahrschein lichkeitsaussagen und ihre Darstellungen in Medien

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 13 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.15 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Utilizan e interpretan en la realización de experimentos aleatorios las frecuencias relativas obtenidas como estimaciones de probabilidades, que mejoran a medida que aumenta el tamaño de la muestra

nuestra traducción · texto original (DE): Nutzen und deuten bei der Durchführung von Zufallsexperimenten die auftretenden relativen Häufigkeiten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten, die bei wachsendem Stichprobenumfang besser werden

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 15 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.17 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

determinan probabilidades en experimentos aleatorios de una o varias etapas, también con ayuda de las visualizaciones correspondientes (p. ej., diagrama de árbol, tabla de contingencia), sin y con ayuda de herramientas matemáticas digitales

nuestra traducción · texto original (DE): bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten, auch mit Hilfe entsprechender Visualisierungen (z. B. Baumdiagramm, Vierfeldertafel), ohne und mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.18 (numeración propia) · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

utilizan visualizaciones para reconocer probabilidades condicionadas en modelizaciones sencillas y cercanas a la vida cotidiana, sin y con ayuda de medios digitales

nuestra traducción · texto original (DE): nutzen Visualisierungen, um bei einfachen, alltagsnahen Modellierungen bedingte Wahrscheinlichkeiten zu erkennen, ohne und mit Hilfe digitaler Medien

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 18 (kolumna MSA)

Competencias paso a paso

Aplicar el teorema de Pitágoras

Los jóvenes utilizan el teorema de Pitágoras para calcular los lados que faltan en un triángulo rectángulo y para comprobar si los triángulos son rectángulos.

Punto del currículo KMKS1.GM.10 (numeración propia) calculan longitudes de segmentos y medidas de ángulos, también mediante el uso del teorema de Pitágoras, de relaciones trigonométricas y de relaciones de semejanza, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales (nuestra traducción)
Punto del currículo KMKS1.RF.10 (numeración propia) aplican teoremas de la geometría plana (en particular el teorema de Pitágoras, el teorema de Tales, relaciones de semejanza y cálculos, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales, relaciones trigonométricas) en construcciones, cálculos, justificaciones y demostraciones, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales (nuestra traducción)

En 10.º curso, los estudiantes aplican de forma específica la relación a² + b² = c². Elevan al cuadrado las longitudes de los lados conocidos, las suman o restan y calculan la raíz cuadrada para determinar la hipotenusa o uno de los dos catetos. Además, comprueban mediante cálculos a partir de las medidas de los lados si un triángulo tiene realmente un ángulo recto.

Los errores frecuentes surgen al despejar la fórmula cuando se busca un cateto. Por costumbre, los estudiantes suman los cuadrados de los dos números conocidos en lugar de restar el cuadrado del cateto al cuadrado de la hipotenusa. Otro obstáculo habitual es olvidar el último paso: el cálculo termina antes de tiempo con el valor al cuadrado, sin extraer la raíz cuadrada final.

En ejercicios prácticos como Calcular la hipotenusa o Calcular un cateto, los estudiantes determinan la medida que falta a partir de dos longitudes de lado conocidas. El formato de ejercicio ¿El triángulo es rectángulo? invita a sustituir tres longitudes dadas en la ecuación y comprobar la igualdad, mientras que formatos como Hipotenusa: elige la respuesta entrenan el reconocimiento rápido y la identificación del lado buscado.

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Tipos de ejercicios: Calcula la hipotenusa · Calcula un cateto · Hipotenusa — elige la respuesta · ¿Es rectángulo el triángulo?

Calcular potencias con fracciones y números enteros

Los estudiantes calculan los valores exactos de potencias con números enteros y fracciones como base.

Punto del currículo KMKS1.ZO.17 (numeración propia) explican potencias y raíces y calculan potencias y raíces sencillas (nuestra traducción)

En 10.º grado, los estudiantes calculan potencias cuya base es un número entero o una fracción. A modo de repaso específico antes de los exámenes finales de secundaria, determinan con fiabilidad el valor numérico de tales expresiones y consolidan el manejo de los números racionales.

Un error típico al trabajar con fracciones consiste en aplicar por descuido el exponente solo al numerador, dejando el denominador sin cambios. En el caso de los números enteros, los estudiantes también suelen confundir la potenciación con la multiplicación y calculan erróneamente la base multiplicada por el exponente (por ejemplo, 2 por 4 en lugar de 2 elevado a 4).

En la práctica, los estudiantes trabajan con actividades como Calcular la potencia de una fracción o Calcular la potencia de un número entero, en las que el resultado final debe escribirse como un número o una fracción irreducible. En ejercicios del tipo Valor de una potencia — elige la respuesta, determinan el resultado correcto en formato de opción múltiple.

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Tipos de ejercicios: Calcula la potencia de un entero · Calcula la potencia de una fracción · Valor de una potencia — elige la respuesta

Calcular el volumen del cilindro, el cono y la esfera

Los jóvenes calculan el volumen de cilindros, conos y esferas utilizando las fórmulas adecuadas como preparación para el título de educación secundaria.

Punto del currículo KMKS1.GM.7 (numeración propia) calculan el volumen y el área de la superficie de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, así como de cuerpos compuestos a partir de ellos, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales (nuestra traducción)

En 10.º curso, los alumnos aplican con seguridad las fórmulas de cálculo de cuerpos geométricos para determinar el volumen de cuerpos redondos. Para ello, utilizan potencias al operar con el radio y multiplican por el número pi con el fin de obtener volúmenes exactos o redondeados de forma práctica.

Los errores típicos surgen sobre todo por la confusión de los elementos de las fórmulas: con frecuencia, los estudiantes introducen directamente el diámetro dado en lugar del radio. En el caso del cono, a menudo se olvida la fracción de un tercio, mientras que en el cálculo de la esfera se confunde reiteradamente la tercera potencia (r³) con el cuadrado (r²).

En las hojas de ejercicios, los alumnos trabajan con datos geométricos concretos de cada uno de los cuerpos:

Volumen de un cilindro: cálculo del volumen a partir del área de la base o del radio y la altura del cuerpo.
Volumen de un cono: determinación del volumen a partir del radio y la altura utilizando el factor correspondiente de la fórmula.
Volumen de una esfera: cálculo del volumen únicamente a partir del radio o del diámetro.

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Tipos de ejercicios: Volumen de la esfera · Volumen del cilindro · Volumen del cono

Calcular raíces cuadradas y cúbicas con seguridad

En 10.º curso, los jóvenes aprenden a determinar con seguridad raíces cuadradas y cúbicas y a comprenderlas como la operación inversa de los cuadrados y cubos.

Punto del currículo KMKS1.ZO.17 (numeración propia) explican potencias y raíces y calculan potencias y raíces sencillas (nuestra traducción)

En 10.º curso, los estudiantes consolidan el cálculo con potencias y raíces como preparación para el título de educación secundaria. Aprenden a determinar con exactitud raíces cuadradas y raíces cúbicas, buscando específicamente el número cuya segunda o tercera potencia da como resultado el valor inicial.

Un error típico es confundir la extracción de la raíz con la división entre 2 o entre 3: a menudo se anota, por ejemplo, 8 como resultado de la raíz cuadrada de 16 o 9 para la raíz cúbica de 27, en lugar de hallar las bases buscadas, 4 o 3 respectivamente.

En la práctica, dos tipos de ejercicios refuerzan esta habilidad:

Calcular la raíz cuadrada: determinar el valor a partir de cuadrados perfectos conocidos.
Calcular la raíz cúbica: hallar el número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da como resultado el radicando dado.

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Tipos de ejercicios: Calcula la raíz cuadrada · Calcula la raíz cúbica

Calcular el perímetro y el área de círculos

Los jóvenes calculan con seguridad el perímetro y el área de círculos a partir del radio o el diámetro utilizando el número pi.

Punto del currículo KMKS1.GM.5 (numeración propia) calculan el área y el perímetro del rectángulo, triángulo y círculo, así como de figuras compuestas a partir de estos, también con ayuda de herramientas matemáticas digitales (nuestra traducción)

En 10.º curso, los estudiantes afianzan el cálculo con figuras circulares como preparación para el graduado de secundaria. Utilizan el número π (Pi) para determinar tanto el perímetro como el área a partir de un radio o diámetro dado.

Un error típico se produce al confundir el radio con el diámetro o al intercambiar los métodos de cálculo: con frecuencia, al calcular el área, el radio simplemente se duplica en lugar de elevarse al cuadrado, o bien se emplea por error la fórmula con el término al cuadrado para calcular el perímetro.

En la práctica, los alumnos resuelven ejercicios de las plantillas Perímetro de un círculo y Área de un círculo. En ellos se parte de una medida dada para calcular el valor buscado, que normalmente se redondea a una o dos cifras decimales.

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Tipos de ejercicios: Longitud de la circunferencia · Área del círculo

Volumen y área superficial de prismas triangulares

Los jóvenes calculan con seguridad el volumen y el área de la superficie de prismas triangulares rectos como repaso antes del título de educación secundaria.

En 10.º curso, los estudiantes consolidan el manejo de cuerpos geométricos y calculan el volumen y las áreas de prismas rectos de base triangular. Para ello, primero determinan el área del triángulo de la base y la multiplican por la altura del cuerpo para obtener el volumen, o calculan el área total sumando las dos bases triangulares con las tres caras laterales rectangulares.

Un error típico reside en confundir las diferentes alturas: a menudo se confunde la altura del triángulo de la base con la altura de todo el prisma. Al calcular el área total, además, se suele olvidar duplicar el área del triángulo, o no se suman correctamente los tres rectángulos de la superficie lateral.

Los tipos de ejercicios característicos de las plantillas Volumen de un prisma triangular y Área de un prisma triangular proporcionan medidas como las longitudes de los lados del triángulo de la base y la altura del cuerpo. Los alumnos introducen estos valores en las fórmulas geométricas correspondientes y calculan así, paso a paso, la medida buscada.

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Tipos de ejercicios: Volumen de un prisma triangular · Área total de un prisma triangular

Volumen y superficie de pirámides cuadrangulares

Los jóvenes aprenden a calcular con seguridad el volumen y el área de la superficie de pirámides cuadradas utilizando las fórmulas adecuadas.

En 10.º curso, los alumnos calculan el volumen y el desarrollo plano de pirámides cuadrangulares. Aplican las fórmulas del área de la base, el área lateral y el volumen, y utilizan si es necesario el teorema de Pitágoras para determinar, a partir de las aristas dadas, las medidas que faltan, como la altura de la pirámide o la altura de los triángulos de las caras laterales.

Un error habitual es la confusión entre las dos alturas diferentes: la altura de la pirámide vertical en el interior y la altura lateral en los triángulos exteriores. Si por error se utiliza la altura de la pirámide para calcular el área de los triángulos o se olvida el factor de un tercio en el volumen, se producen errores de cálculo.

Los ejercicios típicos se centran en los formatos Volumen de una pirámide cuadrangular y Área total de una pirámide cuadrangular. Por lo general, se proporcionan la arista de la base y una altura, a partir de las cuales los estudiantes determinan paso a paso las áreas buscadas o la capacidad.

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Tipos de ejercicios: Volumen de una pirámide · Área total de una pirámide

Comprender las potencias con exponentes negativos

Los jóvenes aprenden a reescribir potencias con exponentes negativos como fracciones y a calcular sus valores con seguridad.

En 10.º curso, los estudiantes afianzan el manejo de las potencias y las raíces antes de concluir la educación secundaria. Aprenden a comprender las potencias con exponentes negativos como inversos y a transformarlas en fracciones con exponentes positivos; por ejemplo, 2^-3 se convierte en la fracción 1/(2^3) y, por tanto, en 1/8.

Un error típico consiste en confundir el signo menos del exponente con el signo del resultado final. Muchos alumnos asumen erróneamente que un exponente negativo da lugar de forma automática a un número negativo (como 2^-3 = -8), o multiplican incorrectamente la base y el exponente obteniendo -6. Requiere práctica interiorizar que un signo negativo arriba simplemente indica el valor inverso.

Los ejercicios típicos de la plantilla Potencia con exponente negativo requieren reescribir paso a paso términos con exponentes negativos como 5^-2 o 10^-3 en fracciones unitarias y, a continuación, calcular su valor exacto como fracción o número decimal.

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Determinar exponentes faltantes con las leyes de las potencias

Los jóvenes aplican de manera específica las leyes de las potencias para determinar correctamente los exponentes faltantes en expresiones de cálculo como preparación para el Mittlerer Schulabschluss.

Punto del currículo KMKS1.ZO.17 (numeración propia) explican potencias y raíces y calculan potencias y raíces sencillas (nuestra traducción)

Como preparación para el título de educación secundaria, los jóvenes de 10.º curso consolidan el manejo de las potencias. Utilizan las leyes básicas de las potencias al multiplicar, dividir y elevar a una potencia para analizar las relaciones entre bases y exponentes, y hallar exponentes desconocidos mediante el cálculo.

Un obstáculo habitual radica en confundir las operaciones aritméticas de los exponentes con las de las bases. Con frecuencia, al multiplicar potencias con la misma base, los exponentes también se multiplican entre sí en lugar de sumarse, o bien se aplican incorrectamente las reglas de los signos en las divisiones.

En formatos de ejercicios como Exponente faltante — Leyes de las potencias, los estudiantes trabajan con ecuaciones incompletas. Determinan el número buscado en el exponente para que ambos lados den el mismo valor, por ejemplo, al simplificar potencias con la misma base.

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Estimar raíces cuadradas mentalmente

Los jóvenes aprenden a situar el valor de raíces cuadradas no exactas entre dos números enteros consecutivos y a estimarlo de manera razonable.

Punto del currículo KMKS1.ZO.2 (numeración propia) utilizan representaciones significativas de los números reales (p. ej., la completitud de la recta numérica) (nuestra traducción)

En 10.º curso, los alumnos determinan el valor aproximado de raíces cuadradas cuyo radicando no es un cuadrado perfecto. Utilizan cuadrados perfectos conocidos como puntos de referencia para acotar el valor: para la raíz cuadrada de 50, por ejemplo, reconocen que el resultado debe situarse entre 7 y 8, ya que 50 se encuentra entre los cuadrados 49 y 64.

Un error típico es confundir el cálculo de la raíz cuadrada con dividir un número por la mitad. Con frecuencia se asume erróneamente que la raíz de 50 es 25. Además, a algunos jóvenes les resulta difícil estimar a cuál de los dos números vecinos se aproxima más el resultado; en el caso de 50, claramente mucho más cerca del 7 que del 8.

En las hojas de ejercicios de la plantilla Estimar raíces, los jóvenes suelen registrar estos valores aproximados en forma de cadena de desigualdades o marcar la posición estimada en una recta numérica. Esto afianza la comprensión numérica fundamental en el manejo de números reales antes de la obtención del graduado escolar, incluso sin necesidad de calculadora.

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Representar números en notación científica

Los jóvenes aprenden a representar y convertir números muy grandes y muy pequeños de forma clara en la notación científica con potencias de diez.

Punto del currículo KMKS1.ZO.5 (numeración propia) representan números de manera adecuada a la situación, p. ej., entre otras cosas, en notación de potencias de diez (nuestra traducción)

Al finalizar el 10.º curso, los alumnos representan números de forma adecuada a la situación, traduciéndolos a la notación científica con potencias de diez. Convierten números ordinarios a la representación formada por un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de diez y vuelven a transformar estas formas en números decimales habituales.

Los errores típicos ocurren principalmente al determinar el exponente: con frecuencia solo se cuenta la cantidad de ceros en lugar de determinar las posiciones reales del desplazamiento de la coma. En números muy pequeños menores que 1, además, a menudo se olvida el signo negativo de la potencia o se confunde con el signo del propio número.

Los ejercicios de la plantilla Notación científica requieren en la práctica que números como cifras de millones o fracciones decimales diminutas se reescriban en la forma adecuada con potencias de diez, o que las potencias de diez se vuelvan a escribir como números completos.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Potencia de exponente negativo