Programme scolaire (Allemagne)

Mathématiques — 10e année

Mathématiques en classe de 10e : fin du premier cycle du secondaire — puissances et racines, théorème de Pythagore, cercle et calcul de solides comme révision avant le diplôme de fin d'études moyennes. Pour chaque thème, des fiches d'exercices prêtes à imprimer sont disponibles.

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Qu'apprend-on en mathématiques en classe de 10e ?

La classe de 10e marque la fin du premier cycle de l'enseignement secondaire. On y consolide le calcul avec les puissances et les racines, on applique le théorème de Pythagore dans le plan et dans l'espace, et on calcule des cercles ainsi que le volume et l'aire de solides — c'est le programme des examens du diplôme de fin d'études secondaires (Mittlerer Schulabschluss).

Remarque importante concernant les standards éducatifs : Les standards éducatifs de la KMK décrivent ce qui doit être acquis à la fin du premier cycle de l'enseignement secondaire ou lors de l'accès aux études supérieures (Allgemeine Hochschulreife), et non année par année. La répartition par niveau de classe relève de notre propre choix, fondé sur les programmes-cadres des Länder (en premier lieu la Rhénanie-du-Nord-Westphalie).

État de la page : Les exercices de cette classe sont prêts sous forme de purs exercices de calcul (énoncé et formule) ; les exercices accompagnés de figures et de contextes pratiques suivront.

Programme officiel

KMKS1.ZO (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Nombres et calculs

notre traduction · texte original (DE): Zahl und Operation

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation
KMKS1.ZO.1 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent des représentations porteuses de sens des nombres rationnels, en particulier des nombres naturels, entiers et fractionnaires, en fonction du besoin d'utilisation

notre traduction · texte original (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.2 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent des représentations signifiantes des nombres réels (p. ex. complétude de la droite numérique)

notre traduction · texte original (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von reellen Zahlen (z. B. Vollständigkeit der Zahlengerade)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 2 (kolumna MSA)

Estimer des racines carrées de tête (chez nous en classe 9-10)
KMKS1.ZO.3 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent des représentations porteuses de sens des opérations sur les nombres rationnels (p. ex. de procédés pas à pas, semi-écrits)

notre traduction · texte original (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von Operationen rationaler Zahlen (z. B. schrittweiser, halbschriftlicher Verfahren)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.4 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

examinent les nombres selon leurs facteurs, dans des cas simples sans outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): untersuchen Zahlen nach ihren Faktoren, in einfachen Fällen ohne digitale Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 4 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.5 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

représentent des nombres de manière adaptée à la situation, par ex. notamment sous forme de puissances de dix

notre traduction · texte original (DE): stellen Zahlen der Situation angemessen dar, z.B. unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 5 (obie kolumny)

Représenter des nombres en notation scientifique (chez nous en classe 9-10)
KMKS1.ZO.6 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

calculent avec des nombres naturels, entiers et rationnels qui apparaissent dans la vie quotidienne, aussi bien pour vérifier que mentalement, et expliquent le sens des opérations de calcul

notre traduction · texte original (DE): rechnen mit natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, sowohl zur Kontrolle als auch im Kopf und erklären die Bedeutung der Rechenoperationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.8 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

décrivent la nécessité des extensions des ensembles de nombres de ℕ vers ℤ et ℚ ainsi que de ℚ vers ℝ à l'aide d'exemples

notre traduction · texte original (DE): beschreiben die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen von ℕ nach ℤ und ℚ sowie von ℚ nach ℝ an Beispielen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.9 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

expliquent à l’aide d’exemples les différentes représentations de la notion de fraction (notamment parties d'un ou de plusieurs touts, proportions relatives)

notre traduction · texte original (DE): erläutern an Beispielen die verschiedenen Vorstellungen zum Bruchbegriff (insbesondere Teile eines oder mehrerer Ganzer, relative Anteile)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 9 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.10 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent les propriétés des opérations (par ex. commutativité, associativité, distributivité), y compris pour le calcul réfléchi

notre traduction · texte original (DE): nutzen Rechengesetze (z. B. Kommutativ-, Assoziativ -, Distributivgesetz), auch zum vorteilhaften Rechnen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 10 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.11 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent le calcul approché pour s’orienter et pour vérifier

notre traduction · texte original (DE): nutzen Überschlagsrechnungen zur Orientierung und zur Kontrolle

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.12 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

arrondissent des nombres de manière judicieuse en fonction du contexte

notre traduction · texte original (DE): runden Zahlen dem Sachverhalt entsprechend sinnvoll

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 12 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.13 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

examinent et interprètent des résultats, y compris dans des situations concrètes

notre traduction · texte original (DE): prüfen und interpretieren Ergebnisse, auch in Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 13 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.14 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

expliquent à l'aide d'exemples le lien entre les opérations de calcul et leurs opérations inverses et utilisent ces liens

notre traduction · texte original (DE): erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 14 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.15 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent le calcul de pourcentages et d'intérêts de manière concrète et représentative (p. ex. bandes de pourcentages) et appropriée

notre traduction · texte original (DE): verwenden Prozent - und Zinsrechnung vorstellungsbasiert (z. B. Prozentstreifen) und sachgerecht

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 15 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.17 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

expliquent les puissances et les racines et calculent des puissances et des racines simples

notre traduction · texte original (DE): erläutern Potenzen und Wurzeln und berechnen einfache Potenzen und Wurzeln

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)

Calculer des puissances avec des fractions et des nombres entiers (chez nous en classe 9-10) · Calculer les racines carrées et cubiques en toute confiance (chez nous en classe 9-10) · Déterminer des exposants manquants à l'aide des règles sur les puissances (chez nous en classe 9-10)
KMKS1.ZO.19 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

choisissent, décrivent et évaluent des démarches et des procédés fondés sur des algorithmes ou des calculs et les exécutent (par exemple les opérations de calcul posé ainsi que pour les racines et les puissances)

notre traduction · texte original (DE): wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen und führen diese aus (z. B. schriftliche Rechenoperationen sowie bei Wurzeln und Potenzen)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 19 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.20 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

implémentent un procédé algorithmique (par ex. méthode de Héron pour déterminer des racines carrées, dichotomie) à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): implementieren ein algorithmisches Verfahren (z. B. Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln, Intervallschachtelung) mit digitalen Mathematikwerkzeugen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 20 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.21 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

appliquent des principes de dénombrement systématique dans des situations concrètes (p. ex. nombre de poignées de main lorsque l'on serre la main de chaque personne)

notre traduction · texte original (DE): führen in konkreten Situationen systematische Zählprinzipien aus (z. B. Anzahl Händeschütteln, wenn man jeder Person die Hand gibt)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 21 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.22 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

poursuivent des suites de nombres, y compris en utilisant des variables comme nombre général

notre traduction · texte original (DE): führen Zahlenfolgen fort, auch unter Verwendung von Variablen als allgemeine Zahl

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 22 (kolumna MSA)
KMKS1.GM (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Grandeurs et mesures

notre traduction · texte original (DE): Größen und Messen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen
KMKS1.GM.1 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent le principe fondamental de la mesure comme comparaison avec des unités (standards), par ex. lors de la détermination de longueurs, d'aires et de volumes, également dans des situations concrètes

notre traduction · texte original (DE): nutzen das Grundprinzip des Messens als Vergleichen mit (Standard-) Einheiten, z. B. bei der Bestimmung von Längen, Flächeninhalten und Volumina, auch in Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.GM.2 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

choisissent de manière adaptée à la situation les unités de grandeurs (notamment pour le temps, la masse, la monnaie, la longueur, l'aire, le volume et l'angle) et les convertissent le cas échéant

notre traduction · texte original (DE): wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel) und wandeln sie ggf. um

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 2 (obie kolumny)
KMKS1.GM.3 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

estiment des grandeurs à l'aide de représentations de référents appropriés (p. ex. objet typique pour une grandeur standard) et utilisent également cela pour vérifier la plausibilité

notre traduction · texte original (DE): schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten (z. B. typisches Objekt für eine Standardgröße) und nutzen dies auch zur Plausibilitätsprüfung

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.GM.5 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

calculent l'aire et le périmètre du rectangle, du triangle et du cercle ainsi que de figures composées à partir de ceux-ci, également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und Kreis sowie daraus zusammengesetzten Figuren, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)

Calculer le périmètre et l'aire des cercles (chez nous en classe 9-10)
KMKS1.GM.7 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

calculent le volume et l'aire de la surface du prisme, de la pyramide, du cylindre, du cône et de la sphère ainsi que de solides composés de ceux-ci, également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 7 (kolumna MSA)

Volume et aire des prismes triangulaires (chez nous en classe 9-10) · Volume et aire des pyramides à base carrée (chez nous en classe 9-10) · Calculer le volume du cylindre, du cône et de la sphère (chez nous en classe 9-10)
KMKS1.GM.8 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

effectuent de manière ciblée des mesures dans leur environnement, également à l'aide de médias numériques (comme source d'information ou instrument de mesure), prélèvent des indications de mesure dans des documents sources, réalisent des calculs avec celles-ci et évaluent les résultats ainsi que la démarche choisie par rapport à la situation concrète

notre traduction · texte original (DE): nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor, auch mit Hilfe digitaler Medien (als Informationsquelle oder Messinstrument), entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial, führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in Bezug auf die Sachsituation

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 8 (obie kolumny)
KMKS1.GM.10 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

calculent des longueurs de segments et des mesures d'angles, également en utilisant le théorème de Pythagore, des relations trigonométriques et des relations de similitude, également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung des Satzes von Pythagoras, von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)

Appliquer le théorème de Pythagore (chez nous en classe 9-10)
KMKS1.SF (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Structures et relation fonctionnelle

notre traduction · texte original (DE): Strukturen und funktionaler Zusammenhang

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang
KMKS1.SF.1 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent les variables, selon le contexte, comme un nombre fixe, comme un nombre quelconque d'un ensemble de nombres et comme une variable dans un domaine déterminé et peuvent citer des exemples des différentes utilisations des variables

notre traduction · texte original (DE): verwenden Variablen je nach Kontext als eine feste Zahl, als eine beliebige Zahl aus einem Zahlbereich und als Veränderliche in einem bestimmten Bereich und können Beispiele für die unterschiedliche Verwendung von Variablen nennen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.SF.3 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

établissent des expressions pour décrire des relations générales dans un contexte concret, les transforment et les interprètent

notre traduction · texte original (DE): stellen Terme auf, um allgemeine Zusammenhänge im Sachkontext zu beschreiben, formen sie um und interpretieren sie

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 3 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.4 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent le calcul de pourcentages dans des processus de croissance (par exemple dans le calcul des intérêts), également en utilisant des outils numériques

notre traduction · texte original (DE): nutzen die Prozentrechnung bei Wachstumsprozessen (beispielsweise bei der Zinsrechnung), auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 4 (obie kolumny)
KMKS1.SF.5 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent les échelles de manière adaptée à la situation lors de la lecture et de la réalisation de dessins

notre traduction · texte original (DE): nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen situationsgerecht

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 5 (obie kolumny)
KMKS1.SF.7 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

reconnaissent et utilisent des relations fonctionnelles et les représentent sous différentes représentations (verbale, tabulaire, graphique, algébrique) et peuvent passer d'une de ces formes de représentation à l'autre, également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): erkennen und verwenden funktionale Zusammenhänge und stellen diese in verschiedenen Repräsentationen dar (sprachlich, tabellarisch, grafisch, algebraisch) und können zwischen diesen Darstellungsformen wechseln, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 7 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.9 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

analysent, interprètent et comparent différentes relations fonctionnelles (fonctions linéaires, proportionnelles et inversement proportionnelles ainsi que quadratiques), également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche funktionale Zusammenhänge (lineare, proportionale und antiproportionale sowie quadratische Funktionen), auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 9 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.10 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

résolvent des problèmes proches de la réalité en lien avec des correspondances linéaires, proportionnelles et inversement proportionnelles, le cas échéant également à l'aide de la règle de trois, également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen, ggf. auch mit Hilfe des Dreisatzes, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 10 (obie kolumny)
KMKS1.SF.12 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

résolvent des équations linéaires et quadratiques ainsi que des systèmes d'équations linéaires numériquement (tâtonnement systématique), algébriquement (transformation) et graphiquement (à l'aide de graphes de fonctions), également en utilisant des outils mathématiques numériques, et comparent l'efficacité de différentes méthodes de résolution au regard de la question posée ou du problème

notre traduction · texte original (DE): lösen lineare und quadratische Gleichungen sowie lineare Gleichungssysteme numerisch (systematisches Probieren), algebraisch (Umformen) und grafisch (mit Hilfe von Funktionsgraphen), auch unter Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge, und vergleichen die Eff ektivität verschiedener Lösungsverfahren im Hinblick auf die jeweilige Fragestellung oder das Problem

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 12 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.13 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

étudient les questions de résolubilité et de pluralité des solutions d'équations linéaires et quadratiques ainsi que de systèmes d'équations linéaires et formulent des énoncés à ce sujet

notre traduction · texte original (DE): untersuchen Fragen der Lösbarkeit und der Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 13 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.15 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

déterminent les caractéristiques de fonctions dans l'expression algébrique, le graphique et le tableau de valeurs et établissent des relations entre les représentations

notre traduction · texte original (DE): bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen im Funktionsterm, Graph und der Wertetabelle und stellen Beziehungen zwischen den Darstellungen her

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 15 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.17 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

appliquent en particulier les fonctions linéaires et quadratiques ainsi que les fonctions exponentielles de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑏𝑥 dans la description et le traitement de problèmes, également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑏𝑥 bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.18 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent la fonction sinus sous la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ∙ 𝑥) pour décrire des phénomènes périodiques à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): verwenden die Sinusfunktion in der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ∙ 𝑥) zur Beschreibung periodischer Vorgänge mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 18 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.20 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

décrivent des variations de grandeurs au moyen de fonctions (également des variations non linéaires), également en utilisant des outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen (auch nicht lineare Veränderungen), auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 20 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.22 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

donnent, pour des fonctions données, des situations concrètes qui peuvent être décrites à l'aide de cette fonction

notre traduction · texte original (DE): geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 22 (kolumna MSA)
KMKS1.RF (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Espace et formes

notre traduction · texte original (DE): Raum und Form

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form
KMKS1.RF.1 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

nomment et décrivent des objets géométriques et des relations dans l'environnement à l'aide de modèles mathématiques (points, angles, segments, droites, surfaces, solides) et leurs liens

notre traduction · texte original (DE): benennen und beschreiben geometrische Objekte und Beziehungen in der Umwelt mit Hilfe mathematischer Modelle (Punkte, Winkel, Strecken, Geraden, Flächen, Körper) und ihre Zusammenhänge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.RF.2 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

développent des représentations dans l'espace à deux et trois dimensions et opèrent mentalement (p. ex. déplacer, faire pivoter, refléter) avec les objets qui y sont contenus (points, segments, surfaces et solides)

notre traduction · texte original (DE): entwickeln Vorstellungen im zwei und dreidimensionalen Raum und operieren (z.B. verschieben, drehen, spiegeln) gedanklich mit den darin enthaltenen Objekten (Punkten, Strecken, Flächen und Körpern)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 2 (obie kolumny)
KMKS1.RF.3 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

représentent des figures géométriques planes (p. ex. triangles, quadrilatères) et des transformations géométriques élémentaires (p. ex. translations, rotations, symétries, homothéties) dans un repère cartésien plan, également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): stellen ebene geometrische Figuren (z. B. Dreiecke, Vierecke) und elementare geometrische Abbildungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen, zentrische Streckungen) im ebenen kartesischen Koordinatensystem dar, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.RF.5 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

réalisent des patrons, des perspectives cavalières et des modèles de solides sélectionnés (par ex. prisme, pyramide) - également à l'aide d'outils mathématiques numériques - et reconnaissent des solides à partir de leurs représentations correspondantes

notre traduction · texte original (DE): fertigen Netze, Schrägbilder und Modelle von ausgewählten Körpern (z. B. Prisma, Pyramide) an - auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge - und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)
KMKS1.RF.6 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

analysent et classent des objets géométriques du plan (en particulier les angles, les triangles, les quadrilatères) et de l'espace (en particulier les prismes, les pyramides, les cylindres, les cônes, la sphère)

notre traduction · texte original (DE): analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene (insbesondere Winkel, Dreiecke, Vierecke) und des Raumes (insbesondere Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.RF.8 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

reconnaissent, décrivent et justifient les propriétés et les relations d'objets géométriques (par ex. symétrie, idée de congruence, similitude, relations de position) et les utilisent dans le cadre de la résolution de problèmes pour l'analyse de situations concrètes

notre traduction · texte original (DE): erkennen, beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (z. B. Symmetrie, Idee der Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.RF.10 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

appliquent les théorèmes de géométrie plane (notamment le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, les relations de similitude et calculs, également à l'aide d'outils mathématiques numériques, les relations trigonométriques) lors de constructions, de calculs, de justifications et de démonstrations, également à l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): wenden Sätze der ebenen Geometrie (insbesondere den Satz des Pythagoras, den Satz des Thales, Ähnlichkeitsbeziehungen und Berechnungen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge, trigonometrische Beziehungen) bei Konstruktionen, Berechnungen, Begründungen und Beweisen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)

Appliquer le théorème de Pythagore (chez nous en classe 9-10)
KMKS1.RF.11 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

tracent et construisent des figures géométriques en utilisant des supports appropriés tels que le compas, l'équerre géométrique ou des outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Medien wie Zirkel, Geodreieck oder digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.RF.12 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

examinent les questions de résolubilité et de pluralité des solutions de problèmes de construction et formulent des énoncés à ce sujet

notre traduction · texte original (DE): untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 12 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Données et hasard

notre traduction · texte original (DE): Daten und Zufall

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall
KMKS1.DZ.1 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

exploitent des représentations graphiques et des tableaux d'enquêtes statistiques, également à l'aide d'un tableur ou d'outils de stochastique

notre traduction · texte original (DE): werten grafische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, auch mit Hilfe von Tabellenkalkulation oder Stochastiktools

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.3 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent des simulations pour trancher des questions stochastiques

notre traduction · texte original (DE): nutzen Simulationen, um stochastische Fragen zu entscheiden

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 3 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.5 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

planifient des enquêtes statistiques, également sous les aspects du choix de l'échantillon et de l'instrument d'enquête

notre traduction · texte original (DE): planen statistische Erhebungen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.6 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

collectent systématiquement des données (p. ex. valeurs mesurées, données issues d'enquêtes ou d'Internet), les organisent dans des tableaux et les représentent graphiquement, également en utilisant des outils appropriés tels qu'un tableur ou des outils de stochastique

notre traduction · texte original (DE): sammeln systematisch Daten (z. B. Messwerte, Daten aus Befragungen oder Internet), organisieren sie in Tabellen und stellen sie grafisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel wie Tabellenkalkulation oder Stochastiktools

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.8 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

déterminent et interprètent des indicateurs (par ex. minimum, maximum, moyenne arithmétique, médiane, étendue), moyenne arithmétique, médiane, étendue, quartiles)

notre traduction · texte original (DE): ermitteln und interpretieren Kenngrößen (z. B. Minimum, Maximum, arithmetisches Mittel, Median, Spannweite), arithmetisches Mittel, Median, Spannweite, Quartile)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.10 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

construisent et interprètent des diagrammes (p. ex. diagramme en colonnes ou à barres, histogrammes, diagramme circulaire, diagramme en ligne, boîte à moustaches), également à l'aide d'outils mathématiques numériques, et justifient la forme de représentation choisie

notre traduction · texte original (DE): erstellen und interpretieren Diagramme (z. B. Säulen - oder Balkendiagramm, Histogramme, Kreisdiagramm, Liniendiagramm, Boxplot), auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge und begründen die gewählte Darstellungsform

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.11 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

réfléchissent, à l'aide des connaissances mathématiques, au traitement et à la représentation de données dans les médias, par exemple en ce qui concerne l'intention et les effets possibles de la représentation

notre traduction · texte original (DE): reflektieren mit Hilfe der mathematischen Kenntnisse den Umgang mit und die Darstellung von Daten in Medien, etwa in Bezug auf die Absicht und mögliche Wirkungen der Darstellung

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.13 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

décrivent des phénomènes aléatoires et interprètent des énoncés probabilistes et leurs représentations dans les médias

notre traduction · texte original (DE): beschreiben Zufallserscheinungen und interpretieren Wahrschein lichkeitsaussagen und ihre Darstellungen in Medien

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 13 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.15 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Utilisent et interprètent, lors de la réalisation d'expériences aléatoires, les fréquences relatives observées comme des estimations de probabilités qui s'améliorent lorsque la taille de l'échantillon augmente

notre traduction · texte original (DE): Nutzen und deuten bei der Durchführung von Zufallsexperimenten die auftretenden relativen Häufigkeiten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten, die bei wachsendem Stichprobenumfang besser werden

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 15 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.17 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

déterminent des probabilités lors d'expériences aléatoires à une ou plusieurs étapes, également à l'aide de visualisations correspondantes (p. ex. diagramme en arbre, tableau à double entrée), sans et avec l'aide d'outils mathématiques numériques

notre traduction · texte original (DE): bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten, auch mit Hilfe entsprechender Visualisierungen (z. B. Baumdiagramm, Vierfeldertafel), ohne und mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.18 (numérotation interne) · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

utilisent des visualisations pour reconnaître des probabilités conditionnelles dans des modélisations simples et proches du quotidien, sans et avec l'aide de médias numériques

notre traduction · texte original (DE): nutzen Visualisierungen, um bei einfachen, alltagsnahen Modellierungen bedingte Wahrscheinlichkeiten zu erkennen, ohne und mit Hilfe digitaler Medien

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 18 (kolumna MSA)

Compétences étape par étape

Appliquer le théorème de Pythagore

Les jeunes utilisent le théorème de Pythagore pour calculer les côtés manquants dans un triangle rectangle et pour vérifier si des triangles sont rectangles.

Point du programme KMKS1.GM.10 (numérotation interne) calculent des longueurs de segments et des mesures d'angles, également en utilisant le théorème de Pythagore, des relations trigonométriques et des relations de similitude, également à l'aide d'outils mathématiques numériques (notre traduction)
Point du programme KMKS1.RF.10 (numérotation interne) appliquent les théorèmes de géométrie plane (notamment le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, les relations de similitude et calculs, également à l'aide d'outils mathématiques numériques, les relations trigonométriques) lors de constructions, de calculs, de justifications et de démonstrations, également à l'aide d'outils mathématiques numériques (notre traduction)

En 10e année, les élèves appliquent de manière ciblée la relation a² + b² = c². Ils élèvent au carré les longueurs données des côtés, les additionnent ou les soustraient et extraient la racine carrée pour déterminer soit l'hypoténuse, soit l'un des deux côtés de l'angle droit. De plus, ils vérifient par le calcul, à partir des mesures données, si un triangle possède effectivement un angle droit.

Des erreurs fréquentes surviennent lors de la transformation de la formule lorsqu'un côté de l'angle droit est recherché. Par habitude, les élèves additionnent alors les carrés des deux nombres connus, au lieu de soustraire le carré du côté de l'angle droit du carré de l'hypoténuse. Un autre piège classique consiste à oublier la dernière étape : le calcul s'arrête prématurément à la valeur au carré, sans extraire la racine finale.

Dans des exercices d'entraînement tels que Calculer l'hypoténuse ou Calculer un côté de l'angle droit, les apprenants déterminent la mesure manquante à partir de deux longueurs de côtés connues. Le format d'exercice Le triangle est-il rectangle ? invite à introduire trois longueurs données dans l'égalité pour tester l'équivalence, tandis que des formats comme Hypoténuse — choisis la réponse entraînent à reconnaître et à associer rapidement le côté recherché.

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Types d’exercices: Calcule l'hypoténuse · Calcule un côté de l'angle droit · Hypoténuse — choisis la réponse · Le triangle est-il rectangle ?

Calculer des puissances avec des fractions et des nombres entiers

Les élèves calculent les valeurs exactes de puissances ayant des nombres entiers ainsi que des fractions comme base.

Point du programme KMKS1.ZO.17 (numérotation interne) expliquent les puissances et les racines et calculent des puissances et des racines simples (notre traduction)

En classe de 10e, les jeunes calculent des puissances dont la base est soit un nombre entier, soit une fraction. Dans le cadre de révisions ciblées avant l'examen de fin d'études secondaires, ils déterminent de manière fiable la valeur numérique de telles expressions et consolident la manipulation des nombres rationnels.

Une erreur classique avec les fractions consiste à n'appliquer l'exposant que par mégarde au numérateur, tandis que le dénominateur reste inchangé. De plus, avec les nombres entiers, les apprenants confondent souvent l'exponentiation avec la multiplication et calculent par erreur la base multipliée par l'exposant (par exemple 2 fois 4 au lieu de 2 puissance 4).

Dans la pratique, les élèves travaillent sur des modèles tels que Calculer la puissance d'une fraction ou Calculer la puissance d'un nombre entier, pour lesquels le résultat final doit être exprimé sous forme de nombre ou de fraction irréductible. Dans les exercices du type Valeur d'une puissance — choisis la réponse, ils trouvent le résultat correct sous forme de questionnaire à choix multiples.

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Types d’exercices: Calcule la puissance d'un entier · Calcule la puissance d'une fraction · Valeur d’une puissance — choisis la réponse

Calculer le volume du cylindre, du cône et de la sphère

Les adolescents calculent le volume de cylindres, de cônes et de sphères à l'aide de formules appropriées en préparation au diplôme de fin d'études secondaires moyennes.

Point du programme KMKS1.GM.7 (numérotation interne) calculent le volume et l'aire de la surface du prisme, de la pyramide, du cylindre, du cône et de la sphère ainsi que de solides composés de ceux-ci, également à l'aide d'outils mathématiques numériques (notre traduction)

En 10e année, les élèves appliquent avec assurance les formules de calcul des solides afin de déterminer le volume des corps ronds. Ils utilisent des puissances pour les calculs avec le rayon et multiplient par le nombre pi pour obtenir des volumes exacts ou arrondis de manière réaliste.

Les erreurs typiques proviennent principalement de confusions entre les éléments des formules : souvent, les élèves utilisent directement le diamètre donné au lieu du rayon. Pour le cône, le facteur fractionnaire un tiers est fréquemment oublié, tandis que pour le calcul de la sphère, la puissance trois (r³) est régulièrement confondue avec le carré (r²).

Sur les fiches d'exercices, les élèves travaillent à partir de données géométriques concrètes pour chaque solide :

Volume d'un cylindre : calcul du volume à partir de l'aire de la base ou du rayon et de la hauteur du solide.
Volume d'un cône : détermination du volume en faisant intervenir le rayon et la hauteur avec le facteur de formule correspondant.
Volume d'une sphère : calcul du volume uniquement sur la base du rayon ou du diamètre.

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Types d’exercices: Volume d'un cylindre · Volume d'un cône · Volume d'une boule

Calculer les racines carrées et cubiques en toute confiance

Les adolescents apprennent en classe de 10e à déterminer de manière sûre les racines carrées et cubiques et à les comprendre comme l'inverse des carrés et des cubes.

Point du programme KMKS1.ZO.17 (numérotation interne) expliquent les puissances et les racines et calculent des puissances et des racines simples (notre traduction)

En classe de 10e, les élèves consolident le calcul avec les puissances et les racines en préparation du certificat de fin d'études secondaires. Ils apprennent à déterminer exactement les racines carrées et les racines cubiques en recherchant précisément le nombre dont la deuxième ou la troisième puissance donne la valeur de départ.

Une erreur fréquente consiste à confondre l'extraction d'une racine avec la division par 2 ou par 3 : il arrive souvent d'obtenir 8 comme résultat pour la racine carrée de 16, ou 9 pour la racine cubique de 27, au lieu de déterminer les bases recherchées, respectivement 4 et 3.

En pratique, deux types d'exercices permettent de consolider cette compétence :

Calculer une racine carrée : Déterminer la valeur à partir de carrés parfaits connus.
Calculer une racine cubique : Trouver le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne le radicande de départ.

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Types d’exercices: Calcule la racine carrée · Calcule la racine cubique

Calculer le périmètre et l'aire des cercles

Les jeunes calculent avec assurance le périmètre et l'aire de cercles à l'aide du nombre Pi, à partir du rayon ou du diamètre.

Point du programme KMKS1.GM.5 (numérotation interne) calculent l'aire et le périmètre du rectangle, du triangle et du cercle ainsi que de figures composées à partir de ceux-ci, également à l'aide d'outils mathématiques numériques (notre traduction)

En classe de 10e, les élèves consolident les calculs relatifs aux figures circulaires afin de se préparer au diplôme de fin d'études secondaires. Ils utilisent le nombre π (pi) pour déterminer le périmètre ainsi que l'aire à partir d'un rayon ou d'un diamètre donné.

Une erreur fréquente provient de la confusion entre le rayon et le diamètre ou de l'inversion des formules : le rayon est souvent simplement doublé au lieu d'être élevé au carré lors du calcul de l'aire, ou la formule avec le carré est employée par erreur pour calculer le périmètre.

En pratique, les élèves utilisent des exercices tirés des modèles Périmètre d'un cercle et Aire d'un cercle. Une dimension y est donnée pour calculer la valeur recherchée, qui est ensuite généralement arrondie à une ou deux décimales.

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Types d’exercices: Aire d'un disque · Périmètre d'un cercle

Volume et aire des prismes triangulaires

Les élèves calculent avec assurance le volume et l'aire totale de prismes droits à base triangulaire à titre de révision avant le diplôme de fin d'études secondaires.

En 10e année, les élèves consolident leur maîtrise des solides géométriques et calculent le volume ainsi que l'aire totale de prismes droits à base triangulaire. Pour cela, ils déterminent d'abord l'aire du triangle de base et la multiplient par la hauteur du solide pour obtenir le volume, ou calculent pour l'aire totale les deux bases triangulaires ainsi que les trois faces latérales rectangulaires.

Une erreur courante réside dans la confusion entre les différentes hauteurs : la hauteur du triangle de base est fréquemment confondue avec la hauteur de l'ensemble du prisme. De plus, lors du calcul de l'aire totale, il arrive souvent d'oublier de compter deux fois l'aire du triangle ou de ne pas additionner correctement les trois rectangles de la surface latérale.

Les exercices types issus des modèles Volume d'un prisme à base triangulaire et Aire totale d'un prisme à base triangulaire fournissent des dimensions telles que la longueur des côtés du triangle de base et la hauteur du solide. Les apprenants introduisent ces valeurs dans les formules géométriques correspondantes et déterminent ainsi pas à pas la mesure recherchée.

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Types d’exercices: Volume d'un prisme à base triangulaire · Aire totale d'un prisme à base triangulaire

Volume et aire des pyramides à base carrée

Les adolescents apprennent à calculer avec assurance le volume et l'aire de pyramides à base carrée à l'aide des formules appropriées.

En 10e année, les élèves calculent le volume et le patron de pyramides à base carrée. Ils appliquent les formules de l'aire de base, de l'aire latérale et du volume, et utilisent si nécessaire le théorème de Pythagore pour déterminer, à partir d'arêtes données, les longueurs manquantes telles que la hauteur de la pyramide ou la hauteur des faces latérales triangulaires.

Un piège classique réside dans la confusion entre les deux hauteurs distinctes : la hauteur de la pyramide, verticale à l'intérieur du solide, et la hauteur latérale sur les triangles extérieurs. Utiliser par erreur la hauteur de la pyramide pour l'aire du triangle ou oublier le facteur un tiers pour le volume conduit inévitablement à des erreurs de calcul.

Les exercices types s'articulent autour des thématiques Volume d'une pyramide à base carrée et Aire totale d'une pyramide à base carrée. Le plus souvent, l'arête de la base ainsi qu'une hauteur sont données, à partir desquelles les élèves déterminent pas à pas les aires recherchées ou le volume.

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Types d’exercices: Aire totale d'une pyramide · Volume d'une pyramide

Comprendre les puissances à exposants négatifs

Les jeunes apprennent à réécrire les puissances à exposant négatif sous forme de fractions et à calculer leurs valeurs avec assurance.

En classe de 10e, les élèves consolident leur maîtrise des puissances et des racines avant le diplôme de fin d'études secondaires. Ils apprennent à concevoir les puissances à exposant négatif comme des inverses et à les convertir en fractions à exposant positif – par exemple, 2^-3 devient la fraction 1/(2^3), soit 1/8.

Une erreur fréquente consiste à confondre le signe moins de l'exposant avec le signe du résultat final. De nombreux apprenants supposent à tort qu'un exposant négatif conduit automatiquement à un nombre négatif (par exemple 2^-3 = -8), ou ils multiplient par erreur la base et l'exposant pour obtenir -6. Il faut de la pratique pour bien assimiler qu'un signe négatif situé en haut indique simplement l'inverse.

Les exercices types du modèle Puissance à exposant négatif demandent de réécrire étape par étape des expressions comportant des exposants négatifs, comme 5^-2 ou 10^-3, sous forme de fractions unitaires, puis de calculer leur valeur exacte sous forme de fraction ou de nombre décimal.

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Déterminer des exposants manquants à l'aide des règles sur les puissances

Les adolescents appliquent de manière ciblée les règles de calcul des puissances afin de déterminer correctement les exposants manquants dans des expressions de calcul, en vue de la préparation au diplôme de fin d'études secondaires.

Point du programme KMKS1.ZO.17 (numérotation interne) expliquent les puissances et les racines et calculent des puissances et des racines simples (notre traduction)

Pour se préparer au diplôme de fin d'études secondaires, les élèves de 10e consolident leur maîtrise des puissances. Ils utilisent les règles fondamentales de calcul des puissances lors de la multiplication, de la division et de l'élévation à une puissance afin d'analyser les relations entre les bases et les exposants et de déterminer des exposants inconnus par le calcul.

Un écueil classique consiste à confondre les opérations portant sur les exposants avec celles portant sur les bases. Souvent, lors de la multiplication de puissances de même base, les exposants sont eux aussi multipliés entre eux au lieu d'être additionnés, ou bien les règles de signes sont appliquées de manière incorrecte lors des divisions.

Dans des types d'exercices tels que Exposant manquant — Règles de calcul des puissances, les apprenants travaillent sur des équations incomplètes. Ils déterminent le nombre manquant à l'exposant de sorte que les deux membres de l'équation aient la même valeur, par exemple en simplifiant des puissances de même base.

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Estimer des racines carrées de tête

Les adolescents apprennent à situer la valeur de racines carrées non parfaites entre deux nombres entiers consécutifs et à l'estimer de manière judicieuse.

Point du programme KMKS1.ZO.2 (numérotation interne) utilisent des représentations signifiantes des nombres réels (p. ex. complétude de la droite numérique) (notre traduction)

En classe de 10e, les élèves déterminent l'ordre de grandeur approximatif de racines carrées dont le radicande n'est pas un carré parfait. Ils utilisent des carrés parfaits connus comme points de repère pour encadrer la valeur : pour la racine de 50, ils reconnaissent par exemple que le résultat doit être compris entre 7 et 8, car 50 se situe entre les carrés parfaits 49 et 64.

Une erreur fréquente consiste à confondre le calcul d'une racine carrée avec la division d'un nombre par deux. On suppose ainsi souvent à tort que la racine de 50 est égale à 25. De plus, certains jeunes ont des difficultés à évaluer duquel des deux nombres voisins le résultat est le plus proche – dans le cas de 50, bien plus proche de 7 que de 8.

Dans les fiches d'exercices associées au modèle Estimer une racine, les élèves inscrivent généralement ces valeurs approchées sous la forme d'un encadrement ou placent la position estimée sur une droite graduée. Cela consolide la compréhension fondamentale des nombres réels avant l'examen de fin de premier cycle secondaire, le tout sans calculatrice.

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Représenter des nombres en notation scientifique

Les adolescents apprennent à représenter et à convertir de très grands et de très petits nombres de manière claire en notation scientifique.

Point du programme KMKS1.ZO.5 (numérotation interne) représentent des nombres de manière adaptée à la situation, par ex. notamment sous forme de puissances de dix (notre traduction)

À la fin de la classe de 10e, les élèves représentent les nombres de manière adaptée à la situation en les écrivant en notation scientifique à l'aide de puissances de dix. Ils convertissent des nombres ordinaires sous la forme d'un nombre compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de dix, et reconvertissent également ces écritures en nombres décimaux usuels.

Les erreurs typiques apparaissent surtout lors de la détermination de l'exposant : on se contente souvent de compter le nombre de zéros au lieu de déterminer le nombre réel de rangs de déplacement de la virgule. De plus, pour les très petits nombres inférieurs à 1, le signe négatif de la puissance est souvent oublié ou confondu avec le signe du nombre lui-même.

En pratique, les exercices portant sur le modèle Notation scientifique demandent de réécrire des nombres tels que des montants en millions ou de minuscules nombres décimaux sous la forme appropriée avec des puissances de dix, ou encore d'écrire ces puissances de dix sous la forme de nombres décimaux complets.

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Modèles d'exercices à imprimer

Tous les types d’exercices, regroupés par compétence. Un clic ouvre le générateur avec le type déjà choisi.

Puissance d'exposant négatif