Program nauczania (Niemcy)

Matematyka — klasa 2 liceum i technikum

Matematyka w klasie 10: Zakończenie szkoły średniej I stopnia — potęgi i pierwiastki, twierdzenie Pitagorasa, koło oraz obliczenia brył jako powtórzenie przed egzaminem Mittlerer Schulabschluss. Do każdego tematu dostępne są gotowe szablony zadań do wydrukowania.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczy się w klasie 10 z matematyki?

Klasa 10 kończy szkołę średnią I stopnia (Sekundarstufe I). Utrwala się tu działania na potęgach i pierwiastkach, stosuje twierdzenie Pitagorasa na płaszczyźnie i w przestrzeni oraz oblicza okręgi i koła, a także objętość i pole powierzchni brył — jest to materiał wymagany do egzaminów kończących szkołę średnią (Mittlerer Schulabschluss).

Ważna uwaga dotycząca standardów edukacyjnych: Standardy edukacyjne KMK opisują wiedzę i umiejętności osiągane na koniec szkoły średniej I stopnia lub przy uzyskiwaniu świadectwa dojrzałości (Allgemeine Hochschulreife) — a nie rok po roku. Przyporządkowanie materiału do konkretnej klasy to nasza decyzja, oparta na ramowych planach nauczania krajów związkowych (począwszy od Nadrenii Północnej-Westfalii).

Aktualny stan strony: Zadania dla tej klasy są gotowe w postaci czysto obliczeniowej (treść zadania i wzór); zadania z rysunkami oraz osadzone w kontekście praktycznym zostaną dodane wkrótce.

Zakres programowy

KMKS1.ZO (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Liczba i działania

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Zahl und Operation

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation
KMKS1.ZO.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystują niosące znaczenie wyobrażenia liczb wymiernych, w szczególności liczb naturalnych, całkowitych i ułamkowych, odpowiednio do potrzeby ich zastosowania

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.2 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystują pojęcia liczb rzeczywistych niosące określone znaczenie (np. ciągłość prostej liczbowej)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von reellen Zahlen (z. B. Vollständigkeit der Zahlengerade)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 2 (kolumna MSA)

Szacowanie pierwiastków kwadratowych w pamięci (u nas w klasie 9-10)
KMKS1.ZO.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystują pojęciowe wyobrażenia działań na liczbach wymiernych (np. metod krokowych, pamięciowo-pisemnych)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von Operationen rationaler Zahlen (z. B. schrittweiser, halbschriftlicher Verfahren)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.4 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

badają liczby pod kątem ich czynników, w prostych przypadkach bez użycia cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): untersuchen Zahlen nach ihren Faktoren, in einfachen Fällen ohne digitale Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 4 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

przedstawiają liczby odpowiednio do sytuacji, np. między innymi w postaci potęg dziesiątki

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): stellen Zahlen der Situation angemessen dar, z.B. unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 5 (obie kolumny)

Przedstawianie liczb w notacji naukowej (u nas w klasie 9-10)
KMKS1.ZO.6 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykonują obliczenia na liczbach naturalnych, całkowitych i wymiernych występujących w życiu codziennym, zarówno w pamięci, jak i w celu kontroli, oraz wyjaśniają znaczenie działań arytmetycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): rechnen mit natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, sowohl zur Kontrolle als auch im Kopf und erklären die Bedeutung der Rechenoperationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.8 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

opisują potrzebę rozszerzania zbiorów liczbowych z ℕ do ℤ i ℚ oraz z ℚ do ℝ na przykładach

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): beschreiben die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen von ℕ nach ℤ und ℚ sowie von ℚ nach ℝ an Beispielen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.9 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyjaśniają na przykładach różne wyobrażenia pojęcia ułamka (w szczególności części jednej lub wielu całości, części względne)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): erläutern an Beispielen die verschiedenen Vorstellungen zum Bruchbegriff (insbesondere Teile eines oder mehrerer Ganzer, relative Anteile)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 9 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.10 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosują prawa działań (np. przemienność, łączność, rozdzielność), również do ułatwiania sobie obliczeń

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen Rechengesetze (z. B. Kommutativ-, Assoziativ -, Distributivgesetz), auch zum vorteilhaften Rechnen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 10 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.11 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystują szacowanie do orientacji i do kontroli

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen Überschlagsrechnungen zur Orientierung und zur Kontrolle

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.12 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

zaokrąglają liczby w sposób sensowny, odpowiednio do sytuacji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): runden Zahlen dem Sachverhalt entsprechend sinnvoll

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 12 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.13 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

sprawdzają i interpretują wyniki, również w sytuacjach praktycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): prüfen und interpretieren Ergebnisse, auch in Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 13 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.14 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyjaśniają na przykładach związek między operacjami arytmetycznymi a działaniami do nich odwrotnymi i wykorzystują te zależności

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 14 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.15 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosują obliczenia procentowe i odsetkowe w sposób oparty na wyobrażeniach (np. paski procentowe) oraz prawidłowy rzeczowo

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): verwenden Prozent - und Zinsrechnung vorstellungsbasiert (z. B. Prozentstreifen) und sachgerecht

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 15 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.17 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyjaśniają potęgi i pierwiastki oraz obliczają proste potęgi i pierwiastki

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): erläutern Potenzen und Wurzeln und berechnen einfache Potenzen und Wurzeln

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)

Obliczanie potęg z ułamkami i liczbami całkowitymi (u nas w klasie 9-10) · Pewne obliczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych (u nas w klasie 9-10) · Wyznaczanie brakujących wykładników za pomocą praw działań na potęgach (u nas w klasie 9-10)
KMKS1.ZO.19 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

dobierają, opisują i oceniają sposoby postępowania i procedury, u podstaw których leżą algorytmy lub rachunki, oraz wykonują je (np. pisemne operacje rachunkowe, a także przy pierwiastkach i potęgach)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen und führen diese aus (z. B. schriftliche Rechenoperationen sowie bei Wurzeln und Potenzen)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 19 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.20 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

implementują procedurę algorytmiczną (np. metodę Herona do wyznaczania pierwiastków kwadratowych, metodę połowienia przedziałów) za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): implementieren ein algorithmisches Verfahren (z. B. Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln, Intervallschachtelung) mit digitalen Mathematikwerkzeugen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 20 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.21 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosują systematyczne zasady zliczania w konkretnych sytuacjach (np. liczba uścisków dłoni, gdy każdy wita się z każdą osobą)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): führen in konkreten Situationen systematische Zählprinzipien aus (z. B. Anzahl Händeschütteln, wenn man jeder Person die Hand gibt)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 21 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.22 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

kontynuują ciągi liczbowe, również z wykorzystaniem zmiennych jako liczby ogólnej

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): führen Zahlenfolgen fort, auch unter Verwendung von Variablen als allgemeine Zahl

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 22 (kolumna MSA)
KMKS1.GM (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wielkości i mierzenie

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Größen und Messen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen
KMKS1.GM.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystują podstawową zasadę pomiaru jako porównywanie ze (standardowymi) jednostkami, np. przy wyznaczaniu długości, pól powierzchni i objętości, również w sytuacjach praktycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen das Grundprinzip des Messens als Vergleichen mit (Standard-) Einheiten, z. B. bei der Bestimmung von Längen, Flächeninhalten und Volumina, auch in Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.GM.2 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wybierają jednostki wielkości odpowiednio do sytuacji (w szczególności dla czasu, masy, pieniędzy, długości, pola powierzchni, objętości i kątów) i w razie potrzeby je zamieniają

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel) und wandeln sie ggf. um

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 2 (obie kolumny)
KMKS1.GM.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

szacują wielkości za pomocą wyobrażeń o odpowiednich reprezentantach (np. typowy obiekt dla wielkości standardowej) i wykorzystują to również do sprawdzania wiarygodności

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten (z. B. typisches Objekt für eine Standardgröße) und nutzen dies auch zur Plausibilitätsprüfung

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.GM.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

obliczają pole i obwód prostokąta, trójkąta i koła oraz figur z nich złożonych, również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und Kreis sowie daraus zusammengesetzten Figuren, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)

Obliczanie obwodu i pola koła (u nas w klasie 9-10)
KMKS1.GM.7 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

obliczają objętość i pole powierzchni graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli oraz brył z nich złożonych, również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 7 (kolumna MSA)

Objętość i pole powierzchni graniastosłupów trójkątnych (u nas w klasie 9-10) · Objętość i pole powierzchni ostrosłupów prawidłowych czworokątnych (u nas w klasie 9-10) · Obliczanie objętości walca, stożka i kuli (u nas w klasie 9-10)
KMKS1.GM.8 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

dokonują w swoim otoczeniu celowych pomiarów, również za pomocą mediów cyfrowych (jako źródła informacji lub przyrządu pomiarowego), odczytują dane pomiarowe z materiałów źródłowych, wykonują na ich podstawie obliczenia i oceniają wyniki oraz wybraną drogę w odniesieniu do sytuacji rzeczywistej

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor, auch mit Hilfe digitaler Medien (als Informationsquelle oder Messinstrument), entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial, führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in Bezug auf die Sachsituation

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 8 (obie kolumny)
KMKS1.GM.10 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

obliczają długości odcinków i miary kątów, również z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa, związków trygonometrycznych i zależności podobieństwa, także za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung des Satzes von Pythagoras, von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (u nas w klasie 9-10)
KMKS1.SF (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Struktury i zależność funkcyjna

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Strukturen und funktionaler Zusammenhang

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang
KMKS1.SF.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosują zmienne w zależności od kontekstu jako stałą liczbę, jako dowolną liczbę z zakresu liczbowego i jako wielkość zmienną w określonym zakresie oraz potrafią podać przykłady różnego użycia zmiennych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): verwenden Variablen je nach Kontext als eine feste Zahl, als eine beliebige Zahl aus einem Zahlbereich und als Veränderliche in einem bestimmten Bereich und können Beispiele für die unterschiedliche Verwendung von Variablen nennen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.SF.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

tworzą wyrażenia, aby opisywać ogólne zależności w kontekście praktycznym, przekształcają je i interpretują

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): stellen Terme auf, um allgemeine Zusammenhänge im Sachkontext zu beschreiben, formen sie um und interpretieren sie

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 3 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.4 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosują rachunek procentowy w procesach wzrostu (na przykład w rachunku odsetkowym), również z wykorzystaniem narzędzi cyfrowych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen die Prozentrechnung bei Wachstumsprozessen (beispielsweise bei der Zinsrechnung), auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 4 (obie kolumny)
KMKS1.SF.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystują skale odpowiednio do sytuacji przy odczytywaniu i sporządzaniu rysunków

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen situationsgerecht

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 5 (obie kolumny)
KMKS1.SF.7 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

rozpoznają i stosują zależności funkcyjne oraz przedstawiają je w różnych reprezentacjach (słownie, tabelarycznie, graficznie, algebraicznie) i potrafią przechodzić między tymi formami przedstawienia, również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): erkennen und verwenden funktionale Zusammenhänge und stellen diese in verschiedenen Repräsentationen dar (sprachlich, tabellarisch, grafisch, algebraisch) und können zwischen diesen Darstellungsformen wechseln, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 7 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.9 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

analizują, interpretują i porównują różne zależności funkcyjne (funkcje liniowe, proporcjonalne i odwrotnie proporcjonalne oraz kwadratowe), również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche funktionale Zusammenhänge (lineare, proportionale und antiproportionale sowie quadratische Funktionen), auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 9 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.10 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

rozwiązują problemy osadzone w realiach związane z przyporządkowaniami liniowymi, proporcjonalnymi i odwrotnie proporcjonalnymi, w razie potrzeby także za pomocą reguły trzech, także za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen, ggf. auch mit Hilfe des Dreisatzes, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 10 (obie kolumny)
KMKS1.SF.12 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

rozwiązują równania liniowe i kwadratowe oraz układy równań liniowych numerycznie (systematyczne próby), algebraicznie (przekształcanie) i graficznie (za pomocą wykresów funkcji), również z wykorzystaniem cyfrowych narzędzi matematycznych, oraz porównują efektywność różnych metod rozwiązywania w odniesieniu do danego pytania lub problemu

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): lösen lineare und quadratische Gleichungen sowie lineare Gleichungssysteme numerisch (systematisches Probieren), algebraisch (Umformen) und grafisch (mit Hilfe von Funktionsgraphen), auch unter Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge, und vergleichen die Eff ektivität verschiedener Lösungsverfahren im Hinblick auf die jeweilige Fragestellung oder das Problem

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 12 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.13 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

badają kwestie rozwiązywalności i liczby rozwiązań równań liniowych i kwadratowych oraz układów równań liniowych i formułują w tym zakresie stwierdzenia

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): untersuchen Fragen der Lösbarkeit und der Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 13 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.15 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

określają cechy charakterystyczne funkcji we wzorze funkcji, na wykresie i w tabeli wartości i ustalają powiązania między tymi reprezentacjami

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen im Funktionsterm, Graph und der Wertetabelle und stellen Beziehungen zwischen den Darstellungen her

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 15 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.17 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosują w szczególności funkcje liniowe i kwadratowe oraz funkcje wykładnicze postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑏𝑥 przy opisie i rozwiązywaniu problemów, również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑏𝑥 bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.18 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosują funkcję sinus w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ∙ 𝑥) do opisu procesów okresowych za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): verwenden die Sinusfunktion in der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ∙ 𝑥) zur Beschreibung periodischer Vorgänge mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 18 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.20 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

opisują zmiany wielkości za pomocą funkcji (także zmiany nieliniowe), również z wykorzystaniem cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen (auch nicht lineare Veränderungen), auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 20 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.22 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

podają dla danych funkcji sytuacje rzeczywiste, które można opisać za pomocą tej funkcji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 22 (kolumna MSA)
KMKS1.RF (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Przestrzeń i kształt

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Raum und Form

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form
KMKS1.RF.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

nazywają i opisują obiekty geometryczne i relacje w otoczeniu za pomocą modeli matematycznych (punkty, kąty, odcinki, proste, figury płaskie, bryły) oraz ich powiązania

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): benennen und beschreiben geometrische Objekte und Beziehungen in der Umwelt mit Hilfe mathematischer Modelle (Punkte, Winkel, Strecken, Geraden, Flächen, Körper) und ihre Zusammenhänge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.RF.2 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

rozwijają wyobrażenia w przestrzeni dwu- i trójwymiarowej i operują w myśli (np. przesuwają, obracają, odbijają symetrycznie) zawartymi w niej obiektami (punktami, odcinkami, figurami płaskimi i bryłami)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): entwickeln Vorstellungen im zwei und dreidimensionalen Raum und operieren (z.B. verschieben, drehen, spiegeln) gedanklich mit den darin enthaltenen Objekten (Punkten, Strecken, Flächen und Körpern)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 2 (obie kolumny)
KMKS1.RF.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

przedstawiają płaskie figury geometryczne (np. trójkąty, czworokąty) i elementarne przekształcenia geometryczne (np. przesunięcia, obroty, symetrie, jednokładności) w płaskim kartezjańskim układzie współrzędnych, również przy użyciu cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): stellen ebene geometrische Figuren (z. B. Dreiecke, Vierecke) und elementare geometrische Abbildungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen, zentrische Streckungen) im ebenen kartesischen Koordinatensystem dar, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.RF.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykonują siatki, rzuty ukośne i modele wybranych brył (np. graniastosłup, ostrosłup) - również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych - i rozpoznają bryły na podstawie ich odpowiednich przedstawień

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): fertigen Netze, Schrägbilder und Modelle von ausgewählten Körpern (z. B. Prisma, Pyramide) an - auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge - und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)
KMKS1.RF.6 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

analizują i klasyfikują obiekty geometryczne na płaszczyźnie (w szczególności kąty, trójkąty, czworokąty) i w przestrzeni (w szczególności graniastosłupy, ostrosłupy, walce, stożki, kulę)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene (insbesondere Winkel, Dreiecke, Vierecke) und des Raumes (insbesondere Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.RF.8 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

rozpoznają, opisują i uzasadniają właściwości i relacje obiektów geometrycznych (np. symetria, idea przystawania, podobieństwo, relacje położenia) oraz wykorzystują je w ramach rozwiązywania problemów do analizy sytuacji praktycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): erkennen, beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (z. B. Symmetrie, Idee der Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.RF.10 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosują twierdzenia geometrii płaskiej (w szczególności twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie Talesa, zależności podobieństwa i obliczenia, również przy użyciu cyfrowych narzędzi matematycznych, zależności trygonometryczne) w konstrukcjach, obliczeniach, uzasadnieniach i dowodach, również przy użyciu cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): wenden Sätze der ebenen Geometrie (insbesondere den Satz des Pythagoras, den Satz des Thales, Ähnlichkeitsbeziehungen und Berechnungen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge, trigonometrische Beziehungen) bei Konstruktionen, Berechnungen, Begründungen und Beweisen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (u nas w klasie 9-10)
KMKS1.RF.11 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

rysują i konstruują figury geometryczne przy użyciu odpowiednich mediów, takich jak cyrkiel, ekierka lub cyfrowe narzędzia matematyczne

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Medien wie Zirkel, Geodreieck oder digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.RF.12 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

badają zagadnienia rozwiązywalności i wielości rozwiązań zadań konstrukcyjnych oraz formułują stwierdzenia w tym zakresie

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 12 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Dane i prawdopodobieństwo

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Daten und Zufall

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall
KMKS1.DZ.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

analizują przedstawienia graficzne i tabele badań statystycznych, również przy pomocy arkusza kalkulacyjnego lub narzędzi stochastycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): werten grafische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, auch mit Hilfe von Tabellenkalkulation oder Stochastiktools

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystują symulacje, aby rozstrzygać pytania stochastyczne

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen Simulationen, um stochastische Fragen zu entscheiden

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 3 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

planują badania statystyczne, również z uwzględnieniem aspektów doboru próby i narzędzia badawczego

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): planen statistische Erhebungen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.6 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

zbierają systematycznie dane (np. wartości pomiarowe, dane z ankiet lub z internetu), porządkują je w tabelach i przedstawiają graficznie, również z wykorzystaniem odpowiednich narzędzi, takich jak arkusz kalkulacyjny lub narzędzia stochastyczne

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): sammeln systematisch Daten (z. B. Messwerte, Daten aus Befragungen oder Internet), organisieren sie in Tabellen und stellen sie grafisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel wie Tabellenkalkulation oder Stochastiktools

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.8 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyznaczają i interpretują parametry (np. minimum, maksimum, średnia arytmetyczna, mediana, rozstęp), średnia arytmetyczna, mediana, rozstęp, kwartyle)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): ermitteln und interpretieren Kenngrößen (z. B. Minimum, Maximum, arithmetisches Mittel, Median, Spannweite), arithmetisches Mittel, Median, Spannweite, Quartile)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.10 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

tworzą i interpretują diagramy (np. diagram słupkowy lub paskowy, histogramy, diagram kołowy, diagram liniowy, wykres pudełkowy), również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych, i uzasadniają wybraną formę prezentacji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): erstellen und interpretieren Diagramme (z. B. Säulen - oder Balkendiagramm, Histogramme, Kreisdiagramm, Liniendiagramm, Boxplot), auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge und begründen die gewählte Darstellungsform

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.11 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

reflektują z pomocą wiedzy matematycznej nad posługiwaniem się danymi i ich prezentacją w mediach, na przykład w odniesieniu do intencji i możliwych skutków prezentacji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): reflektieren mit Hilfe der mathematischen Kenntnisse den Umgang mit und die Darstellung von Daten in Medien, etwa in Bezug auf die Absicht und mögliche Wirkungen der Darstellung

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.13 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

opisują zjawiska losowe i interpretują stwierdzenia dotyczące prawdopodobieństwa i ich przedstawienia w mediach

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): beschreiben Zufallserscheinungen und interpretieren Wahrschein lichkeitsaussagen und ihre Darstellungen in Medien

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 13 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.15 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wykorzystują i interpretują podczas przeprowadzania doświadczeń losowych występujące częstości względne jako wartości szacunkowe prawdopodobieństw, które stają się lepsze wraz ze wzrostem liczebności próby

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Nutzen und deuten bei der Durchführung von Zufallsexperimenten die auftretenden relativen Häufigkeiten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten, die bei wachsendem Stichprobenumfang besser werden

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 15 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.17 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyznaczają prawdopodobieństwa w jedno- lub wieloetapowych doświadczeniach losowych, również z pomocą odpowiednich wizualizacji (np. drzewo stochastyczne, tabela czteropolowa), bez pomocy i z pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten, auch mit Hilfe entsprechender Visualisierungen (z. B. Baumdiagramm, Vierfeldertafel), ohne und mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.18 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystują wizualizacje, aby przy prostych, bliskich życiu codziennemu modelowaniach rozpoznawać prawdopodobieństwa warunkowe, bez pomocy i z pomocą mediów cyfrowych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): nutzen Visualisierungen, um bei einfachen, alltagsnahen Modellierungen bedingte Wahrscheinlichkeiten zu erkennen, ohne und mit Hilfe digitaler Medien

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 18 (kolumna MSA)

Umiejętności krok po kroku

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Młodzież korzysta z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczać brakujące boki w trójkącie prostokątnym i sprawdzać, czy trójkąty są prostokątne.

Punkt podstawy KMKS1.GM.10 (numeracja redakcyjna) obliczają długości odcinków i miary kątów, również z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa, związków trygonometrycznych i zależności podobieństwa, także za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy KMKS1.RF.10 (numeracja redakcyjna) stosują twierdzenia geometrii płaskiej (w szczególności twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie Talesa, zależności podobieństwa i obliczenia, również przy użyciu cyfrowych narzędzi matematycznych, zależności trygonometryczne) w konstrukcjach, obliczeniach, uzasadnieniach i dowodach, również przy użyciu cyfrowych narzędzi matematycznych (nasze tłumaczenie)

W klasie 10 uczniowie celowo stosują zależność a² + b² = c². Podnoszą podane długości boków do kwadratu, dodają je lub odejmują oraz wyciągają pierwiastek kwadratowy, aby wyznaczyć przeciwprostokątną albo jedną z przyprostokątnych. Ponadto na podstawie podanych długości boków sprawdzają rachunkowo, czy trójkąt rzeczywiście ma kąt prosty.

Częste błędy pojawiają się podczas przekształcania wzoru, gdy szukana jest przyprostokątna. Uczniowie z przyzwyczajenia dodają wtedy kwadraty dwóch znanych liczb, zamiast odjąć kwadrat przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej. Kolejną typową pułapką jest zapomnienie o ostatnim kroku: obliczenia kończą się przedwcześnie na wartości podniesionej do kwadratu, bez wyciągnięcia końcowego pierwiastka.

W zadaniach takich jak Obliczanie przeciwprostokątnej lub Obliczanie przyprostokątnej uczniowie wyznaczają brakującą wielkość na podstawie dwóch znanych długości boków. Format zadań Czy trójkąt jest prostokątny? wymaga podstawienia trzech podanych długości do równania i sprawdzenia równości, natomiast formaty takie jak Przeciwprostokątna — wybierz odpowiedź ćwiczą szybkie rozpoznawanie i przyporządkowywanie szukanego boku.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Czy trójkąt jest prostokątny? · Oblicz przeciwprostokątną · Oblicz przyprostokątną · Przeciwprostokątna — wybierz odpowiedź

Obliczanie potęg z ułamkami i liczbami całkowitymi

Uczniowie obliczają dokładne wartości potęg o podstawach będących liczbami całkowitymi oraz ułamkami.

Punkt podstawy KMKS1.ZO.17 (numeracja redakcyjna) wyjaśniają potęgi i pierwiastki oraz obliczają proste potęgi i pierwiastki (nasze tłumaczenie)

W 10. klasie uczniowie obliczają potęgi, których podstawą jest liczba całkowita lub ułamek. W ramach ukierunkowanej powtórki przed egzaminem końcowym pewnie wyznaczają wartość liczbową takich wyrażeń i utrwalają umiejętność posługiwania się liczbami wymiernymi.

Typowym błędem w przypadku ułamków jest podnoszenie do potęgi wyłącznie licznika, podczas gdy mianownik pozostaje bez zmian. Ponadto w przypadku liczb całkowitych uczniowie często mylą potęgowanie z mnożeniem i błędnie mnożą podstawę przez wykładnik (na przykład 2 razy 4 zamiast 2 do potęgi 4).

W praktyce uczniowie rozwiązują zadania typu Oblicz potęgę ułamka lub Oblicz potęgę liczby całkowitej, w których wynik końcowy należy zapisać w postaci liczby lub ułamka nieskracalnego. W zadaniach o schemacie Wartość potęgi — wybierz odpowiedź wskazują poprawny wynik w formacie pytań wielokrotnego wyboru.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Oblicz potęgę liczby całkowitej · Oblicz potęgę ułamka · Wartość potęgi — wybierz odpowiedź

Obliczanie objętości walca, stożka i kuli

Młodzież oblicza objętość walców, stożków i kul za pomocą odpowiednich wzorów w ramach przygotowań do egzaminu Mittlerer Schulabschluss.

Punkt podstawy KMKS1.GM.7 (numeracja redakcyjna) obliczają objętość i pole powierzchni graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli oraz brył z nich złożonych, również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych (nasze tłumaczenie)

W klasie 10 uczniowie sprawnie stosują wzory do obliczania brył, aby wyznaczyć objętość brył obrotowych. Wykorzystują przy tym potęgi podczas obliczeń z użyciem promienia i mnożą przez liczbę Pi, aby ustalić dokładne lub zaokrąglone w praktyczny sposób objętości.

Typowe błędy wynikają przede wszystkim z mylenia elementów wzoru: uczniowie często podstawiają podaną średnicę bezpośrednio zamiast promienia. W przypadku stożka nierzadko zapomina się o współczynniku ułamkowym jedna trzecia, natomiast przy obliczeniach dotyczących kuli trzecia potęga (r³) bywa wielokrotnie mylona z kwadratem (r²).

Na kartach pracy młodzież rozwiązuje zadania z konkretnymi danymi geometrycznymi dla poszczególnych brył:

Objętość walca: obliczanie objętości na podstawie podanego pola podstawy lub promienia oraz wysokości bryły.
Objętość stożka: wyznaczanie objętości z uwzględnieniem promienia i wysokości wraz z odpowiednim współczynnikiem ze wzoru.
Objętość kuli: ustalanie objętości wyłącznie na podstawie promienia lub średnicy.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Objętość kuli · Objętość stożka · Objętość walca

Pewne obliczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych

W klasie 10 młodzież uczy się pewnie wyznaczać pierwiastki kwadratowe i sześcienne oraz rozumieć je jako operację odwrotną do kwadratów i sześcianów liczb.

Punkt podstawy KMKS1.ZO.17 (numeracja redakcyjna) wyjaśniają potęgi i pierwiastki oraz obliczają proste potęgi i pierwiastki (nasze tłumaczenie)

W 10. klasie młodzież utrwala działania na potęgach i pierwiastkach w ramach przygotowań do egzaminu kończącego szkołę średnią I stopnia. Uczniowie uczą się precyzyjnie wyznaczać pierwiastki kwadratowe i sześcienne, szukając liczby, której druga lub trzecia potęga daje wartość wyjściową.

Typowym błędem jest mylenie pierwiastkowania z dzieleniem przez 2 lub 3: często na przykład jako pierwiastek kwadratowy z 16 zapisuje się wynik 8, a jako pierwiastek sześcienny z 27 liczbę 9, zamiast wyznaczyć szukane podstawy – odpowiednio 4 lub 3.

W praktyce tę umiejętność utrwalają dwa typy zadań:

Obliczanie pierwiastka kwadratowego: wyznaczanie wartości ze znanych kwadratów liczb.
Obliczanie pierwiastka sześciennego: znajdowanie liczby, która pomnożona trzykrotnie przez samą siebie daje daną liczbę podpierwiastkową.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Oblicz pierwiastek kwadratowy · Oblicz pierwiastek sześcienny

Obliczanie obwodu i pola koła

Młodzież pewnie oblicza obwód i pole powierzchni kół na podstawie promienia lub średnicy za pomocą liczby Pi.

Punkt podstawy KMKS1.GM.5 (numeracja redakcyjna) obliczają pole i obwód prostokąta, trójkąta i koła oraz figur z nich złożonych, również za pomocą cyfrowych narzędzi matematycznych (nasze tłumaczenie)

W 10. klasie uczniowie utrwalają umiejętność wykonywania obliczeń dotyczących figur kołowych w ramach przygotowań do egzaminu Mittlerer Schulabschluss. Używają liczby π (Pi), aby na podstawie danego promienia lub średnicy wyznaczyć obwód oraz pole powierzchni.

Typowy błąd wynika z pomylenia promienia ze średnicą lub zamiany sposobów obliczeń: często przy obliczaniu pola promień jest jedynie podwajany zamiast podnoszony do kwadratu, albo przy obliczaniu obwodu błędnie stosuje się wzór z podnoszeniem do kwadratu.

W praktyce młodzież rozwiązuje zadania z szablonów Obwód koła i Pole koła. Podana jest w nich jedna wielkość, na podstawie której oblicza się szukaną wartość, a następnie zazwyczaj zaokrągla wynik do jednego lub dwóch miejsc po przecinku.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Długość okręgu · Pole koła

Objętość i pole powierzchni graniastosłupów trójkątnych

Uczniowie pewnie obliczają objętość i pole powierzchni graniastosłupów prostych trójkątnych w ramach powtórzenia przed egzaminem Mittlerer Schulabschluss.

W klasie 10 uczniowie utrwalają umiejętności pracy z bryłami geometrycznymi i obliczają objętość oraz pole powierzchni graniastosłupów prostych o podstawie trójkątnej. W tym celu najpierw wyznaczają pole trójkąta podstawy i mnożą je przez wysokość bryły, aby obliczyć objętość, lub obliczają pole powierzchni całkowitej, sumując obie trójkątne podstawy wraz z trzema prostokątnymi ścianami bocznymi.

Typowy błąd polega na myleniu różnych wysokości: często wysokość trójkąta podstawy jest mylona z wysokością całego graniastosłupa. W przypadku pola powierzchni całkowitej często zapomina się również o podwojeniu pola trójkąta podstawy albo nie sumuje się poprawnie wszystkich trzech prostokątów powierzchni bocznej.

Typowe formaty zadań z szablonów Objętość graniastosłupa trójkątnego oraz Pole powierzchni graniastosłupa trójkątnego podają wymiary, takie jak długości boków trójkąta podstawy oraz wysokość bryły. Uczniowie podstawiają te wartości do odpowiednich wzorów geometrycznych i krok po kroku wyznaczają szukaną wielkość.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Objętość graniastosłupa trójkątnego · Pole powierzchni graniastosłupa trójkątnego

Objętość i pole powierzchni ostrosłupów prawidłowych czworokątnych

Młodzież uczy się pewnie obliczać objętość i pole powierzchni ostrosłupów o podstawie kwadratowej za pomocą odpowiednich wzorów.

W klasie 10 uczniowie obliczają objętość oraz siatkę ostrosłupów o podstawie kwadratowej. Stosują wzory na pole podstawy, pole powierzchni bocznej i objętość, a w razie potrzeby korzystają z twierdzenia Pitagorasa, aby na podstawie danych krawędzi wyznaczyć brakujące odcinki, takie jak wysokość bryły czy wysokość trójkąta ściany bocznej.

Typową pułapką jest mylenie dwóch różnych wysokości: pionowej wysokości bryły wewnątrz ostrosłupa oraz wysokości ściany bocznej na zewnętrznych trójkątach. Zastosowanie wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej przy obliczaniu pola trójkąta lub pominięcie współczynnika jedna trzecia we wzorze na objętość prowadzi do błędów rachunkowych.

Typowe zadania ćwiczeniowe skupiają się wokół zagadnień takich jak Objętość ostrosłupa o podstawie kwadratowej oraz Pole powierzchni ostrosłupa o podstawie kwadratowej. Zazwyczaj podana jest w nich krawędź podstawy oraz jedna z wysokości, na podstawie których uczniowie krok po kroku wyznaczają poszukiwane pola powierzchni lub objętość.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Objętość ostrosłupa · Pole powierzchni ostrosłupa

Zrozumienie potęg o ujemnych wykładnikach

Młodzież uczy się zapisywać potęgi o ujemnych wykładnikach w postaci ułamków i pewnie obliczać ich wartości.

W 10. klasie młodzież utrwala posługiwanie się potęgami i pierwiastkami przed egzaminem kończącym szkołę średnią pierwszego stopnia. Uczy się przy tym rozumieć potęgi o ujemnych wykładnikach jako odwrotności i przekształcać je w ułamki z dodatnimi wykładnikami – na przykład 2^-3 zamienia się w ułamek 1/(2^3), a tym samym w 1/8.

Typowym błędem jest mylenie znaku minus w wykładniku ze znakiem wyniku końcowego. Wielu uczniów błędnie zakłada, że ujemny wykładnik automatycznie prowadzi do liczby ujemnej (na przykład 2^-3 = -8), albo błędnie mnoży podstawę i wykładnik, uzyskując -6. Przyswojenie sobie faktu, że minus na górze oznacza jedynie odwrotność, wymaga ćwiczeń.

Typowe zadania z szablonu Potęga o wykładniku ujemnym wymagają stopniowego przekształcania wyrażeń z ujemnymi wykładnikami, takich jak 5^-2 lub 10^-3, na ułamki o liczniku 1, a następnie ich dokładnego obliczenia w postaci ułamka zwykłego lub dziesiętnego.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie brakujących wykładników za pomocą praw działań na potęgach

Młodzież celowo stosuje prawa działań na potęgach, aby poprawnie wyznaczyć brakujące wykładniki w wyrażeniach arytmetycznych w ramach przygotowania do Mittlerer Schulabschluss.

Punkt podstawy KMKS1.ZO.17 (numeracja redakcyjna) wyjaśniają potęgi i pierwiastki oraz obliczają proste potęgi i pierwiastki (nasze tłumaczenie)

W ramach przygotowań do egzaminu końcowego uczniowie 10. klasy utrwalają umiejętności operowania potęgami. Wykorzystują podstawowe prawa działań na potęgach podczas mnożenia, dzielenia i potęgowania, aby analizować zależności między podstawami a wykładnikami oraz obliczeniowo wyznaczać niewiadome wykładniki.

Typową trudnością jest mylenie działań na wykładnikach z działaniami na podstawach. Często przy mnożeniu potęg o takich samych podstawach wykładniki są mnożone zamiast dodawane, albo reguły znaków przy dzieleniu są stosowane niepoprawnie.

W formatach zadań, takich jak Brakujący wykładnik — prawa działań na potęgach, uczniowie rozwiązują niepełne równania. Wyznaczają szukaną liczbę w wykładniku, tak aby obie strony miały tę samą wartość, na przykład podczas upraszczania potęg o tej samej podstawie.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szacowanie pierwiastków kwadratowych w pamięci

Młodzież uczy się umieszczać wartość pierwiastków kwadratowych niebędących liczbami całkowitymi między dwiema sąsiednimi liczbami całkowitymi i sensownie ją szacować.

Punkt podstawy KMKS1.ZO.2 (numeracja redakcyjna) wykorzystują pojęcia liczb rzeczywistych niosące określone znaczenie (np. ciągłość prostej liczbowej) (nasze tłumaczenie)

W 10. klasie uczniowie określają przybliżoną wartość pierwiastków kwadratowych, których liczba podpierwiastkowa nie jest kwadratem liczby całkowitej. Wykorzystują znane kwadraty liczb jako punkty odniesienia, aby oszacować tę wartość: na przykład w przypadku pierwiastka z 50 zauważają, że wynik musi znajdować się między 7 a 8, ponieważ 50 leży między kwadratami 49 i 64.

Typowym błędem jest mylenie pierwiastkowania z dzieleniem liczby na pół. Często błędnie zakłada się, że pierwiastek z 50 wynosi około 25. Ponadto niektórym uczniom trudno jest ocenić, do której z dwóch sąsiednich liczb wynikowi jest bliżej – w przypadku 50 znacznie bliżej 7 niż 8.

Na kartach pracy do szablonu Szacowanie pierwiastka uczniowie najczęściej zapisują takie wartości przybliżone w postaci podwójnej nierówności lub zaznaczają oszacowaną pozycję na osi liczbowej. Utrwala to fundamentalne wyczucie liczb w pracy z liczbami rzeczywistymi przed egzaminami końcowymi, zupełnie bez użycia kalkulatora.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Przedstawianie liczb w notacji naukowej

Młodzież uczy się przejrzyście przedstawiać i przekształcać bardzo duże oraz bardzo małe liczby w notacji wykładniczej.

Punkt podstawy KMKS1.ZO.5 (numeracja redakcyjna) przedstawiają liczby odpowiednio do sytuacji, np. między innymi w postaci potęg dziesiątki (nasze tłumaczenie)

Pod koniec 10. klasy uczniowie przedstawiają liczby odpowiednio do sytuacji, przekształcając je do notacji wykładniczej z potęgami dziesiątki. Zapisują zwykłe liczby w postaci liczby z przedziału od 1 do 10 pomnożonej przez potęgę dziesiątki i przekształcają te formy z powrotem na standardowe liczby dziesiętne.

Typowe błędy pojawiają się przede wszystkim przy wyznaczaniu wykładnika: często liczy się jedynie liczbę zer, zamiast ustalić rzeczywistą liczbę miejsc przesunięcia przecinka. W przypadku bardzo małych liczb mniejszych od 1 często zapomina się ponadto o znaku minus przy potędze lub myli się go ze znakiem samej liczby.

Zadania z szablonu Notacja naukowa wymagają w praktyce zapisywania liczb, takich jak kwoty rzędu milionów czy bardzo małe ułamki dziesiętne, w odpowiedniej postaci z potęgami dziesiątki lub rozpisywania potęg dziesiątki z powrotem jako pełne liczby.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Potęga o wykładniku ujemnym