Programma scolastico (Germania)

Matematica — classe 10ª

Matematica per la classe 10: conclusione della scuola secondaria di primo grado — potenze e radici, teorema di Pitagora, calcolo del cerchio e dei solidi come ripasso prima del diploma di scuola secondaria. Per ogni argomento sono disponibili schede di esercizi pronte da stampare.

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Cosa si impara in classe 10 in matematica?

La classe 10 conclude la scuola secondaria di primo grado. Si consolidano i calcoli con potenze e radici, si applica il teorema di Pitagora nel piano e nello spazio e si calcolano cerchi nonché volume e superficie dei solidi — questi sono gli argomenti d'esame per il diploma intermedio.

Nota importante sugli standard educativi: Gli standard educativi della KMK descrivono ciò che viene raggiunto al termine della scuola secondaria di primo grado o con la maturità (Allgemeine Hochschulreife) — non anno per anno. L'assegnazione alle classi è una nostra scelta basata sui programmi didattici dei Länder (a partire dalla Renania Settentrionale-Vestfalia).

Stato della pagina: Gli esercizi di questa classe sono completati come puri esercizi di calcolo (testo dell'esercizio e formula); seguiranno gli esercizi con figure e problemi applicati.

Ambito del programma

KMKS1.ZO (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Numero e operazione

nostra traduzione · testo originale (DE): Zahl und Operation

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation
KMKS1.ZO.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano rappresentazioni significative dei numeri razionali, in particolare dei numeri naturali, interi e frazionari, in base alle necessità d'uso

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano rappresentazioni significative dei numeri reali (ad es. completezza della retta numerica)

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von reellen Zahlen (z. B. Vollständigkeit der Zahlengerade)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 2 (kolumna MSA)

Stimare le radici quadrate a mente (da noi in classe 9-10)
KMKS1.ZO.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano rappresentazioni dotate di significato delle operazioni con numeri razionali (ad es. procedimenti passo dopo passo, procedimenti per iscritto semplificati)

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen sinntragende Vorstellungen von Operationen rationaler Zahlen (z. B. schrittweiser, halbschriftlicher Verfahren)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.4 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

esaminano i numeri in base ai loro fattori, in casi semplici senza strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): untersuchen Zahlen nach ihren Faktoren, in einfachen Fällen ohne digitale Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 4 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.5 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

rappresentano i numeri in modo adeguato alla situazione, ad es. tra l'altro nella notazione esponenziale con potenze di dieci

nostra traduzione · testo originale (DE): stellen Zahlen der Situation angemessen dar, z.B. unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 5 (obie kolumny)

Rappresentare i numeri in notazione scientifica (da noi in classe 9-10)
KMKS1.ZO.6 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

eseguono calcoli con numeri naturali, interi e razionali che ricorrono nella vita quotidiana, sia a mente sia come verifica, e spiegano il significato delle operazioni aritmetiche

nostra traduzione · testo originale (DE): rechnen mit natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, sowohl zur Kontrolle als auch im Kopf und erklären die Bedeutung der Rechenoperationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.8 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

descrivono la necessità di estensioni degli insiemi numerici da ℕ a ℤ e ℚ nonché da ℚ a ℝ tramite esempi

nostra traduzione · testo originale (DE): beschreiben die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen von ℕ nach ℤ und ℚ sowie von ℚ nach ℝ an Beispielen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.9 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

spiegano con esempi i diversi significati del concetto di frazione (in particolare parti di uno o più interi, quote relative)

nostra traduzione · testo originale (DE): erläutern an Beispielen die verschiedenen Vorstellungen zum Bruchbegriff (insbesondere Teile eines oder mehrerer Ganzer, relative Anteile)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 9 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.10 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano le proprietà delle operazioni (ad es. proprietà commutativa, associativa, distributiva), anche per il calcolo facilitato

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen Rechengesetze (z. B. Kommutativ-, Assoziativ -, Distributivgesetz), auch zum vorteilhaften Rechnen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 10 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.11 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano calcoli approssimati per orientarsi e per il controllo

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen Überschlagsrechnungen zur Orientierung und zur Kontrolle

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.12 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

arrotondano i numeri in modo sensato rispetto alla situazione

nostra traduzione · testo originale (DE): runden Zahlen dem Sachverhalt entsprechend sinnvoll

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 12 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.13 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

verificano e interpretano i risultati, anche in situazioni problematiche concrete

nostra traduzione · testo originale (DE): prüfen und interpretieren Ergebnisse, auch in Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 13 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.14 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

spiegano con esempi la relazione tra le operazioni aritmetiche e le loro operazioni inverse e utilizzano tali relazioni

nostra traduzione · testo originale (DE): erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 14 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.15 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano il calcolo percentuale e dell'interesse basandosi su modelli visivi (ad es. strisce percentuali) e in modo corretto

nostra traduzione · testo originale (DE): verwenden Prozent - und Zinsrechnung vorstellungsbasiert (z. B. Prozentstreifen) und sachgerecht

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 15 (obie kolumny)
KMKS1.ZO.17 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

spiegano potenze e radici e calcolano semplici potenze e radici

nostra traduzione · testo originale (DE): erläutern Potenzen und Wurzeln und berechnen einfache Potenzen und Wurzeln

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)

Calcolare potenze con frazioni e numeri interi (da noi in classe 9-10) · Calcolare radici quadrate e cubiche con sicurezza (da noi in classe 9-10) · Determinare gli esponenti mancanti con le proprietà delle potenze (da noi in classe 9-10)
KMKS1.ZO.19 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

scelgono, descrivono e valutano procedimenti e metodi basati su algoritmi o calcoli ed eseguono questi ultimi (ad es. operazioni di calcolo scritto nonché con radici e potenze)

nostra traduzione · testo originale (DE): wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen und führen diese aus (z. B. schriftliche Rechenoperationen sowie bei Wurzeln und Potenzen)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 19 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.20 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

implementano una procedura algoritmica (ad es. il metodo di Erone per la determinazione delle radici quadrate, il metodo di bisezione/inscatolamento di intervalli) con strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): implementieren ein algorithmisches Verfahren (z. B. Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln, Intervallschachtelung) mit digitalen Mathematikwerkzeugen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 20 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.21 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applicano principi di conteggio sistematico in situazioni concrete (ad es. numero di strette di mano quando si stringe la mano a ogni persona)

nostra traduzione · testo originale (DE): führen in konkreten Situationen systematische Zählprinzipien aus (z. B. Anzahl Händeschütteln, wenn man jeder Person die Hand gibt)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 21 (kolumna MSA)
KMKS1.ZO.22 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

proseguono sequenze numeriche, anche utilizzando variabili come numero generico

nostra traduzione · testo originale (DE): führen Zahlenfolgen fort, auch unter Verwendung von Variablen als allgemeine Zahl

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Zahl und Operation, Spiegelstrich 22 (kolumna MSA)
KMKS1.GM (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Grandezze e misure

nostra traduzione · testo originale (DE): Größen und Messen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen
KMKS1.GM.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano il principio fondamentale della misurazione come confronto con unità (standard), ad es. nella determinazione di lunghezze, aree e volumi, anche in situazioni reali

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen das Grundprinzip des Messens als Vergleichen mit (Standard-) Einheiten, z. B. bei der Bestimmung von Längen, Flächeninhalten und Volumina, auch in Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.GM.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

scelgono unità di misura delle grandezze in modo adeguato alla situazione (in particolare per tempo, massa, denaro, lunghezza, superficie, volume e angoli) e all'occorrenza le convertono

nostra traduzione · testo originale (DE): wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel) und wandeln sie ggf. um

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 2 (obie kolumny)
KMKS1.GM.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

stimano grandezze con l'aiuto di rappresentazioni mentali di rappresentanti adeguati (ad es. oggetto tipico per una grandezza standard) e utilizzano questo anche per la verifica di plausibilità

nostra traduzione · testo originale (DE): schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten (z. B. typisches Objekt für eine Standardgröße) und nutzen dies auch zur Plausibilitätsprüfung

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.GM.5 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcolano area e perimetro di rettangolo, triangolo e cerchio nonché di figure da essi composte, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und Kreis sowie daraus zusammengesetzten Figuren, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)

Calcolare la circonferenza e l'area dei cerchi (da noi in classe 9-10)
KMKS1.GM.7 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcolano volume e area della superficie di prisma, piramide, cilindro, cono e sfera, nonché di solidi da essi composti, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 7 (kolumna MSA)

Volume e superficie dei prismi a base triangolare (da noi in classe 9-10) · Volume e superficie delle piramidi a base quadrata (da noi in classe 9-10) · Calcolare il volume di cilindro, cono e sfera (da noi in classe 9-10)
KMKS1.GM.8 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

effettuano misurazioni mirate nel loro ambiente, anche con l'aiuto di media digitali (come fonte di informazione o strumento di misura), ricavano dati di misura da materiale di riferimento, eseguono calcoli con essi e valutano i risultati nonché il percorso scelto in relazione alla situazione concreta

nostra traduzione · testo originale (DE): nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor, auch mit Hilfe digitaler Medien (als Informationsquelle oder Messinstrument), entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial, führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in Bezug auf die Sachsituation

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 8 (obie kolumny)
KMKS1.GM.10 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcolano lunghezze di segmenti e ampiezze di angoli, anche utilizzando il teorema di Pitagora, relazioni trigonometriche e relazioni di similitudine, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung des Satzes von Pythagoras, von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Größen und Messen, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)

Applicare il teorema di Pitagora (da noi in classe 9-10)
KMKS1.SF (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Strutture e relazione funzionale

nostra traduzione · testo originale (DE): Strukturen und funktionaler Zusammenhang

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang
KMKS1.SF.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano le variabili a seconda del contesto come un numero fisso, come un numero qualsiasi di un insieme numerico e come variabile in un determinato intervallo e sanno indicare esempi del diverso utilizzo delle variabili

nostra traduzione · testo originale (DE): verwenden Variablen je nach Kontext als eine feste Zahl, als eine beliebige Zahl aus einem Zahlbereich und als Veränderliche in einem bestimmten Bereich und können Beispiele für die unterschiedliche Verwendung von Variablen nennen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.SF.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

formulano espressioni per descrivere relazioni generali nel contesto reale, le trasformano e le interpretano

nostra traduzione · testo originale (DE): stellen Terme auf, um allgemeine Zusammenhänge im Sachkontext zu beschreiben, formen sie um und interpretieren sie

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 3 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.4 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano il calcolo percentuale nei processi di crescita (ad esempio nel calcolo dell'interesse), anche mediante l'uso di strumenti digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen die Prozentrechnung bei Wachstumsprozessen (beispielsweise bei der Zinsrechnung), auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 4 (obie kolumny)
KMKS1.SF.5 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano le scale nella lettura e nella realizzazione di disegni in modo adeguato alla situazione

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen situationsgerecht

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 5 (obie kolumny)
KMKS1.SF.7 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riconoscono e utilizzano relazioni funzionali e le rappresentano in diverse rappresentazioni (linguistica, tabellare, grafica, algebrica) e possono passare da una all'altra di queste forme di rappresentazione, anche con l'aiuto di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): erkennen und verwenden funktionale Zusammenhänge und stellen diese in verschiedenen Repräsentationen dar (sprachlich, tabellarisch, grafisch, algebraisch) und können zwischen diesen Darstellungsformen wechseln, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 7 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.9 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

analizzano, interpretano e confrontano diverse relazioni funzionali (funzioni lineari, proporzionali e inversamente proporzionali nonché quadratiche), anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche funktionale Zusammenhänge (lineare, proportionale und antiproportionale sowie quadratische Funktionen), auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 9 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.10 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

risolvono problemi legati alla realtà in relazione a corrispondenze lineari, proporzionali e inversamente proporzionali, eventualmente anche con l'aiuto della regola del tre, anche con l'aiuto di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen, ggf. auch mit Hilfe des Dreisatzes, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 10 (obie kolumny)
KMKS1.SF.12 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

risolvono equazioni lineari e quadratiche nonché sistemi di equazioni lineari numericamente (tentativi sistematici), algebricamente (trasformazione) e graficamente (con l'aiuto di grafici di funzioni), anche mediante l'uso di strumenti matematici digitali, e confrontano l'efficacia di diversi metodi di risoluzione in relazione al rispettivo quesito o problema

nostra traduzione · testo originale (DE): lösen lineare und quadratische Gleichungen sowie lineare Gleichungssysteme numerisch (systematisches Probieren), algebraisch (Umformen) und grafisch (mit Hilfe von Funktionsgraphen), auch unter Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge, und vergleichen die Eff ektivität verschiedener Lösungsverfahren im Hinblick auf die jeweilige Fragestellung oder das Problem

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 12 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.13 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

esaminano questioni relative alla risolubilità e alla molteplicità delle soluzioni di equazioni lineari e quadratiche nonché di sistemi di equazioni lineari e formulano affermazioni al riguardo

nostra traduzione · testo originale (DE): untersuchen Fragen der Lösbarkeit und der Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 13 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.15 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

determinano caratteristiche distintive di funzioni nell'espressione analitica, nel grafico e nella tabella dei valori e stabiliscono relazioni tra le rappresentazioni

nostra traduzione · testo originale (DE): bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen im Funktionsterm, Graph und der Wertetabelle und stellen Beziehungen zwischen den Darstellungen her

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 15 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.17 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applicano in particolare funzioni lineari e quadratiche nonché funzioni esponenziali della forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑏𝑥 nella descrizione e trattazione di problemi, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑏𝑥 bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.18 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano la funzione seno nella forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ∙ 𝑥) per descrivere processi periodici con l'ausilio di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): verwenden die Sinusfunktion in der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ∙ 𝑥) zur Beschreibung periodischer Vorgänge mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 18 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.20 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

descrivono variazioni di grandezze mediante funzioni (anche variazioni non lineari), anche utilizzando strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen (auch nicht lineare Veränderungen), auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 20 (kolumna MSA)
KMKS1.SF.22 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

indicano per funzioni date situazioni reali che possono essere descritte con l'aiuto di questa funzione

nostra traduzione · testo originale (DE): geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang, Spiegelstrich 22 (kolumna MSA)
KMKS1.RF (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Spazio e figure

nostra traduzione · testo originale (DE): Raum und Form

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form
KMKS1.RF.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

denominano e descrivono oggetti geometrici e relazioni nell'ambiente con l'aiuto di modelli matematici (punti, angoli, segmenti, rette, superfici, solidi) e le loro correlazioni

nostra traduzione · testo originale (DE): benennen und beschreiben geometrische Objekte und Beziehungen in der Umwelt mit Hilfe mathematischer Modelle (Punkte, Winkel, Strecken, Geraden, Flächen, Körper) und ihre Zusammenhänge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.RF.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

sviluppano rappresentazioni nello spazio bidimensionale e tridimensionale e operano (ad es. traslare, ruotare, riflettere) mentalmente con gli oggetti in esso contenuti (punti, segmenti, superfici e solidi)

nostra traduzione · testo originale (DE): entwickeln Vorstellungen im zwei und dreidimensionalen Raum und operieren (z.B. verschieben, drehen, spiegeln) gedanklich mit den darin enthaltenen Objekten (Punkten, Strecken, Flächen und Körpern)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 2 (obie kolumny)
KMKS1.RF.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

rappresentano figure geometriche piane (ad es. triangoli, quadrilateri) e trasformazioni geometriche elementari (ad es. traslazioni, rotazioni, riflessioni, omotetie) nel sistema di coordinate cartesiane piane, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): stellen ebene geometrische Figuren (z. B. Dreiecke, Vierecke) und elementare geometrische Abbildungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen, zentrische Streckungen) im ebenen kartesischen Koordinatensystem dar, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 3 (obie kolumny)
KMKS1.RF.5 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

realizzano sviluppi piani, disegni assonometrici e modelli di solidi selezionati (ad es. prisma, piramide) - anche con l'aiuto di strumenti matematici digitali - e riconoscono i solidi dalle loro corrispondenti rappresentazioni

nostra traduzione · testo originale (DE): fertigen Netze, Schrägbilder und Modelle von ausgewählten Körpern (z. B. Prisma, Pyramide) an - auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge - und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)
KMKS1.RF.6 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

analizzano e classificano oggetti geometrici del piano (in particolare angoli, triangoli, quadrilateri) e dello spazio (in particolare prismi, piramidi, cilindri, coni, sfera)

nostra traduzione · testo originale (DE): analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene (insbesondere Winkel, Dreiecke, Vierecke) und des Raumes (insbesondere Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.RF.8 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riconoscono, descrivono e motivano proprietà e relazioni di oggetti geometrici (ad es. simmetria, idea di congruenza, similitudine, relazioni di posizione) e le utilizzano nell'ambito della risoluzione di problemi per l'analisi di situazioni concrete

nostra traduzione · testo originale (DE): erkennen, beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (z. B. Symmetrie, Idee der Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachsituationen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.RF.10 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applicano teoremi della geometria piana (in particolare il teorema di Pitagora, il teorema di Talete, relazioni di similitudine e calcoli, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali, relazioni trigonometriche) in costruzioni, calcoli, giustificazioni e dimostrazioni, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): wenden Sätze der ebenen Geometrie (insbesondere den Satz des Pythagoras, den Satz des Thales, Ähnlichkeitsbeziehungen und Berechnungen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge, trigonometrische Beziehungen) bei Konstruktionen, Berechnungen, Begründungen und Beweisen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)

Applicare il teorema di Pitagora (da noi in classe 9-10)
KMKS1.RF.11 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

disegnano e costruiscono figure geometriche utilizzando mezzi adeguati come compasso, squadra o strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Medien wie Zirkel, Geodreieck oder digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.RF.12 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

esaminano questioni relative alla risolubilità e alla molteplicità delle soluzioni di problemi di costruzione e formulano affermazioni al riguardo

nostra traduzione · testo originale (DE): untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Raum und Form, Spiegelstrich 12 (kolumna MSA)
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Dati e previsioni

nostra traduzione · testo originale (DE): Daten und Zufall

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall
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analizzano rappresentazioni grafiche e tabelle di rilevazioni statistiche, anche con l'aiuto di fogli di calcolo o strumenti di stocastica

nostra traduzione · testo originale (DE): werten grafische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, auch mit Hilfe von Tabellenkalkulation oder Stochastiktools

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 1 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano simulazioni per decidere questioni stocastiche

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen Simulationen, um stochastische Fragen zu entscheiden

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 3 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.5 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

pianificano indagini statistiche, anche sotto gli aspetti della selezione del campione e dello strumento di rilevazione

nostra traduzione · testo originale (DE): planen statistische Erhebungen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 5 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.6 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

raccolgono sistematicamente dati (ad es. valori di misura, dati provenienti da sondaggi o da Internet), li organizzano in tabelle e li rappresentano graficamente, anche utilizzando strumenti adeguati come fogli di calcolo o strumenti di stocastica

nostra traduzione · testo originale (DE): sammeln systematisch Daten (z. B. Messwerte, Daten aus Befragungen oder Internet), organisieren sie in Tabellen und stellen sie grafisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel wie Tabellenkalkulation oder Stochastiktools

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 6 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.8 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

determinano e interpretano indici statistici (ad es. minimo, massimo, media aritmetica, mediana, campo di variazione), media aritmetica, mediana, campo di variazione, quartili)

nostra traduzione · testo originale (DE): ermitteln und interpretieren Kenngrößen (z. B. Minimum, Maximum, arithmetisches Mittel, Median, Spannweite), arithmetisches Mittel, Median, Spannweite, Quartile)

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 8 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.10 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

creano e interpretano diagrammi (ad es. diagramma a colonne o a barre, istogrammi, diagramma circolare, diagramma a linee, boxplot), anche con l'aiuto di strumenti matematici digitali e motivano la forma di rappresentazione scelta

nostra traduzione · testo originale (DE): erstellen und interpretieren Diagramme (z. B. Säulen - oder Balkendiagramm, Histogramme, Kreisdiagramm, Liniendiagramm, Boxplot), auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge und begründen die gewählte Darstellungsform

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 10 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.11 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riflettono, con l'aiuto delle conoscenze matematiche, sull'uso e sulla rappresentazione di dati nei media, ad esempio in relazione all'intenzione e ai possibili effetti della rappresentazione

nostra traduzione · testo originale (DE): reflektieren mit Hilfe der mathematischen Kenntnisse den Umgang mit und die Darstellung von Daten in Medien, etwa in Bezug auf die Absicht und mögliche Wirkungen der Darstellung

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 11 (obie kolumny)
KMKS1.DZ.13 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

descrivono fenomeni casuali e interpretano affermazioni probabilistiche e le loro rappresentazioni nei media

nostra traduzione · testo originale (DE): beschreiben Zufallserscheinungen und interpretieren Wahrschein lichkeitsaussagen und ihre Darstellungen in Medien

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 13 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.15 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzano e interpretano, nello svolgimento di esperimenti casuali, le frequenze relative riscontrate come stime di probabilità, che migliorano all'aumentare dell'ampiezza del campione

nostra traduzione · testo originale (DE): Nutzen und deuten bei der Durchführung von Zufallsexperimenten die auftretenden relativen Häufigkeiten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten, die bei wachsendem Stichprobenumfang besser werden

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 15 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.17 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

determinano probabilità in esperimenti aleatori a uno o più stadi, anche con l'aiuto di opportune visualizzazioni (ad es. diagramma ad albero, tabella a doppia entrata), senza e con l'aiuto di strumenti matematici digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten, auch mit Hilfe entsprechender Visualisierungen (z. B. Baumdiagramm, Vierfeldertafel), ohne und mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 17 (kolumna MSA)
KMKS1.DZ.18 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizzano visualizzazioni per riconoscere probabilità condizionate in semplici modellizzazioni vicine alla vita quotidiana, senza e con l'ausilio di media digitali

nostra traduzione · testo originale (DE): nutzen Visualisierungen, um bei einfachen, alltagsnahen Modellierungen bedingte Wahrscheinlichkeiten zu erkennen, ohne und mit Hilfe digitaler Medien

KMK Bildungsstandards Mathematik ESA/MSA (23.06.2022), Leitidee Daten und Zufall, Spiegelstrich 18 (kolumna MSA)

Competenze passo dopo passo

Applicare il teorema di Pitagora

Gli studenti utilizzano il teorema di Pitagora per calcolare i lati mancanti in un triangolo rettangolo e verificare se un triangolo è rettangolo.

Punto del programma KMKS1.GM.10 (numerazione interna) calcolano lunghezze di segmenti e ampiezze di angoli, anche utilizzando il teorema di Pitagora, relazioni trigonometriche e relazioni di similitudine, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali (nostra traduzione)
Punto del programma KMKS1.RF.10 (numerazione interna) applicano teoremi della geometria piana (in particolare il teorema di Pitagora, il teorema di Talete, relazioni di similitudine e calcoli, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali, relazioni trigonometriche) in costruzioni, calcoli, giustificazioni e dimostrazioni, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali (nostra traduzione)

Nel decimo anno gli studenti applicano in modo mirato la relazione a² + b² = c². Elevano al quadrato le lunghezze dei lati noti, le sommano o le sottraggono ed estraggono la radice quadrata per determinare l'ipotenusa o uno dei due cateti. Inoltre, verificano attraverso il calcolo se un triangolo possiede effettivamente un angolo retto a partire dalle misure dei lati fornite.

Gli errori più frequenti si verificano nella formula inversa quando si cerca un cateto. Gli studenti tendono allora per abitudine a sommare i quadrati dei due valori noti, anziché sottrarre il quadrato del cateto da quello dell'ipotenusa. Un altro tipico ostacolo consiste nel dimenticare l'ultimo passaggio: il calcolo si interrompe prima del tempo al valore quadratico, senza estrarre la radice finale.

In esercizi come Calcolare l'ipotenusa o Calcolare un cateto, gli studenti determinano la misura mancante a partire dalle lunghezze di due lati noti. Il formato di esercizio Il triangolo è rettangolo? richiede di inserire tre lunghezze assegnate nell'equazione e verificare l'uguaglianza, mentre formati come Ipotenusa — scegli la risposta allenano il rapido riconoscimento e l'attribuzione del lato cercato.

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Tipi di esercizi: Calcola l'ipotenusa · Calcola un cateto · Il triangolo è rettangolo? · Ipotenusa — scegli la risposta

Calcolare potenze con frazioni e numeri interi

Gli studenti calcolano i valori esatti di potenze con numeri interi e frazioni come base.

Punto del programma KMKS1.ZO.17 (numerazione interna) spiegano potenze e radici e calcolano semplici potenze e radici (nostra traduzione)

Al decimo anno gli studenti calcolano potenze la cui base è un numero intero o una frazione. Come ripasso mirato prima dell'esame conclusivo del ciclo intermedio, determinano con sicurezza il valore numerico di tali espressioni e consolidano la padronanza dei numeri razionali.

Un errore tipico con le frazioni consiste nell'applicare erroneamente l'esponente solo al numeratore, lasciando invariato il denominatore. Con i numeri interi, inoltre, gli studenti confondono spesso l'elevamento a potenza con la moltiplicazione e calcolano per errore la base per l'esponente (ad esempio 2 per 4 invece di 2 alla quarta).

Nella pratica, gli studenti svolgono esercizi come Calcola la potenza di una frazione o Calcola la potenza di un numero intero, in cui il risultato finale deve essere indicato come numero o come frazione ridotta ai minimi termini. Negli esercizi sul modello Valore di una potenza — scegli la risposta individuano il risultato corretto in formato a scelta multipla.

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Tipi di esercizi: Calcola la potenza di un intero · Calcola la potenza di una frazione · Valore di una potenza — scegli la risposta

Calcolare il volume di cilindro, cono e sfera

Gli studenti calcolano il volume di cilindri, coni e sfere utilizzando formule appropriate in preparazione al diploma di scuola secondaria.

Punto del programma KMKS1.GM.7 (numerazione interna) calcolano volume e area della superficie di prisma, piramide, cilindro, cono e sfera, nonché di solidi da essi composti, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali (nostra traduzione)

In decima classe, gli studenti applicano con sicurezza le formule di calcolo dei solidi per determinare il volume dei corpi rotondi. Utilizzano le potenze nei calcoli con il raggio e moltiplicano per il pi greco per ottenere volumi esatti o arrotondati per scopi pratici.

Gli errori tipici derivano soprattutto dalla confusione tra i componenti delle formule: spesso gli studenti inseriscono direttamente il diametro fornito al posto del raggio. Nel caso del cono si dimentica spesso la frazione un terzo, mentre nel calcolo della sfera si confonde ripetutamente la terza potenza (r³) con il quadrato (r²).

Nelle schede didattiche, gli studenti lavorano con dati geometrici concreti relativi ai singoli solidi:

Volume di un cilindro: calcolo del volume a partire dall'area di base o dal raggio e dall'altezza del solido.
Volume di un cono: determinazione del volume considerando il raggio e l'altezza con il relativo fattore della formula.
Volume di una sfera: calcolo del volume basato unicamente sul raggio o sul diametro.

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Tipi di esercizi: Volume del cilindro · Volume del cono · Volume della sfera

Calcolare radici quadrate e cubiche con sicurezza

In classe 10, i ragazzi imparano a determinare con sicurezza le radici quadrate e cubiche e a comprenderle come operazione inversa dei numeri quadrati e cubici.

Punto del programma KMKS1.ZO.17 (numerazione interna) spiegano potenze e radici e calcolano semplici potenze e radici (nostra traduzione)

In decima classe, gli studenti consolidano il calcolo con potenze e radici in preparazione al diploma di scuola secondaria. Imparano a calcolare con precisione radici quadrate e radici cubiche, cercando in modo mirato il numero la cui seconda o terza potenza dà il valore di partenza.

Un errore tipico è confondere l'estrazione di radice con la divisione per 2 o per 3: spesso, ad esempio, per la radice quadrata di 16 viene indicato il risultato 8 oppure per la radice cubica di 27 il numero 9, invece di ricavare le basi cercate, rispettivamente 4 e 3.

Nella pratica, due tipologie di esercizi consolidano questa competenza:

Calcolare la radice quadrata: determinare il valore a partire da quadrati perfetti noti.
Calcolare la radice cubica: trovare il numero che, moltiplicato tre volte per se stesso, dà il radicando assegnato.

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Tipi di esercizi: Calcola la radice cubica · Calcola la radice quadrata

Calcolare la circonferenza e l'area dei cerchi

Gli studenti calcolano con sicurezza la circonferenza e l'area dei cerchi a partire dal raggio o dal diametro, utilizzando il pi greco.

Punto del programma KMKS1.GM.5 (numerazione interna) calcolano area e perimetro di rettangolo, triangolo e cerchio nonché di figure da essi composte, anche con l'ausilio di strumenti matematici digitali (nostra traduzione)

Nel decimo anno di scuola gli studenti consolidano il calcolo con le figure circolari in preparazione al diploma intermedio. Utilizzano la costante π (pi greco) per determinare la circonferenza e l'area a partire da un dato raggio o diametro.

Un errore tipico deriva dal confondere raggio e diametro o dall'invertire i procedimenti di calcolo: spesso, nel calcolo dell'area, il raggio viene semplicemente raddoppiato anziché elevato al quadrato, oppure per la circonferenza viene erroneamente utilizzata la formula con il termine al quadrato.

Nella pratica, i ragazzi svolgono esercizi tratti dalle schede Circonferenza di un cerchio e Area di un cerchio. In questi problemi viene fornita una misura, a partire dalla quale si calcola il valore richiesto, che solitamente viene poi arrotondato a una o due cifre decimali.

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Tipi di esercizi: Area del cerchio · Lunghezza della circonferenza

Volume e superficie dei prismi a base triangolare

I ragazzi calcolano con sicurezza il volume e l'area della superficie dei prismi retti a base triangolare come ripasso prima del Mittlerer Schulabschluss.

Nel 10° anno scolastico, gli studenti consolidano la padronanza dei solidi geometrici e calcolano il volume e la superficie di prismi retti a base triangolare. A tale scopo, determinano innanzitutto l'area del triangolo di base e la moltiplicano per l'altezza del solido per calcolare il volume, oppure calcolano per la superficie totale le due basi triangolari insieme alle tre facce laterali rettangolari.

Un errore tipico consiste nel confondere le diverse altezze: spesso l'altezza del triangolo di base viene scambiata con l'altezza dell'intero prisma. Nel calcolo della superficie totale, inoltre, si dimentica frequentemente di considerare due volte l'area del triangolo, oppure non vengono sommati correttamente tutti e tre i rettangoli della superficie laterale.

I formati tipici degli esercizi tratti dai modelli Volume di un prisma a base triangolare e Area della superficie di un prisma a base triangolare forniscono misure come le lunghezze dei lati del triangolo di base e l'altezza del solido. Gli studenti inseriscono questi valori nelle formule geometriche appropriate e ricavano così, passo dopo passo, la misura cercata.

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Tipi di esercizi: Volume del prisma triangolare · Area della superficie del prisma triangolare

Volume e superficie delle piramidi a base quadrata

Gli studenti imparano a calcolare con sicurezza il volume e l'area della superficie delle piramidi a base quadrata utilizzando le formule appropriate.

Nel 10° anno di corso, gli studenti calcolano il volume e lo sviluppo piano delle piramidi a base quadrata. Applicano le formule per l'area di base, la superficie laterale e il volume e utilizzano, se necessario, il teorema di Pitagora per determinare, a partire dagli spigoli noti, segmenti mancanti come l'altezza del solido o l'altezza dei triangoli delle facce laterali.

Un tipico ostacolo è la confusione tra le due diverse altezze: l'altezza del solido perpendicolare all'interno della piramide e l'altezza laterale sui triangoli esterni. Se per l'area del triangolo si inserisce per errore l'altezza del solido o se per il volume si dimentica il fattore un terzo, si verificano errori di calcolo.

I tipici esercizi si concentrano sui formati Volume di una piramide a base quadrata e Superficie totale di una piramide a base quadrata. Di solito vengono forniti lo spigolo di base e un'altezza, a partire dai quali gli studenti calcolano passo dopo passo le aree o la capacità richieste.

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Tipi di esercizi: Area della superficie della piramide · Volume della piramide

Comprendere le potenze con esponenti negativi

I ragazzi imparano a riscrivere le potenze con esponenti negativi sotto forma di frazioni e a calcolarne i valori con sicurezza.

Nel 10° anno scolastico, gli studenti consolidano l'uso di potenze e radici in vista del conseguimento della licenza media superiore. Imparano a comprendere le potenze con esponenti negativi come reciproci e a convertirle in frazioni con esponenti positivi – ad esempio, da 2^-3 si ottiene la frazione 1/(2^3) e quindi 1/8.

Un errore tipico consiste nel confondere il segno meno all'esponente con il segno del risultato finale. Molti studenti presumono erroneamente che un esponente negativo porti automaticamente a un numero negativo (ad esempio 2^-3 = -8), oppure moltiplicano per sbaglio la base e l'esponente ottenendo -6. Richiede esercizio interiorizzare che un segno negativo in alto indica semplicemente il reciproco.

I tipici esercizi della scheda Potenza con esponente negativo richiedono di riscrivere passo dopo passo espressioni con esponenti negativi come 5^-2 o 10^-3 sotto forma di frazioni unitarie e poi di calcolarle esattamente come frazione o numero decimale.

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Determinare gli esponenti mancanti con le proprietà delle potenze

I ragazzi applicano in modo mirato le proprietà delle potenze per determinare correttamente gli esponenti mancanti nelle espressioni di calcolo in preparazione al Mittlerer Schulabschluss.

Punto del programma KMKS1.ZO.17 (numerazione interna) spiegano potenze e radici e calcolano semplici potenze e radici (nostra traduzione)

In preparazione al diploma di scuola secondaria, gli studenti del decimo anno consolidano la padronanza delle potenze. Utilizzano le proprietà fondamentali delle potenze durante la moltiplicazione, la divisione e l'elevamento a potenza per analizzare le relazioni tra basi ed esponenti e ricavare esponenti incogniti attraverso il calcolo.

Un errore frequente consiste nel confondere le operazioni sugli esponenti con quelle sulle basi. Spesso, nella moltiplicazione di potenze con la stessa base, gli esponenti vengono moltiplicati tra loro anziché sommati, oppure le regole dei segni vengono applicate in modo errato nelle divisioni.

Nei formati di esercizi come Esponente mancante — Proprietà delle potenze, gli studenti lavorano con equazioni incomplete. Determinano il numero incognito all'esponente affinché entrambi i membri abbiano lo stesso valore, ad esempio semplificando potenze con la stessa base.

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Stimare le radici quadrate a mente

Gli studenti imparano a collocare il valore delle radici quadrate non perfette tra due numeri interi consecutivi e a stimarlo in modo ragionevole.

Punto del programma KMKS1.ZO.2 (numerazione interna) utilizzano rappresentazioni significative dei numeri reali (ad es. completezza della retta numerica) (nostra traduzione)

Nel 10º anno di scuola, gli studenti determinano la grandezza approssimativa delle radici quadrate il cui radicando non è un quadrato perfetto. Utilizzano quadrati perfetti noti come punti di riferimento per delimitare il valore: per la radice quadrata di 50, ad esempio, riconoscono che il risultato deve essere compreso tra 7 e 8, poiché 50 si trova tra i quadrati perfetti 49 e 64.

Un errore tipico è confondere l'estrazione di radice con il dimezzamento di un numero. Spesso si presume erroneamente che la radice quadrata di 50 sia 25. Inoltre, per alcuni ragazzi è difficile valutare a quale dei due numeri vicini il risultato sia più prossimo: nel caso di 50, quindi, molto più vicino a 7 che a 8.

Nelle schede di esercizi relative al modello Stimare la radice, i ragazzi inseriscono solitamente questi valori approssimati sotto forma di catena di disuguaglianze o segnano la posizione stimata su una retta dei numeri. Ciò consolida la comprensione numerica fondamentale nella gestione dei numeri reali prima del conseguimento del diploma intermedio, anche senza l'uso della calcolatrice.

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Rappresentare i numeri in notazione scientifica

I ragazzi imparano a rappresentare e convertire in modo chiaro numeri molto grandi e molto piccoli nella notazione scientifica con potenze di dieci.

Punto del programma KMKS1.ZO.5 (numerazione interna) rappresentano i numeri in modo adeguato alla situazione, ad es. tra l'altro nella notazione esponenziale con potenze di dieci (nostra traduzione)

Al termine della classe decima, gli studenti rappresentano i numeri in modo adeguato alla situazione, convertendoli nella notazione scientifica con potenze di dieci. Trasformano i numeri ordinari nella rappresentazione con un numero compreso tra 1 e 10 moltiplicato per una potenza di dieci e riconvertono queste forme in normali numeri decimali.

Gli errori tipici si verificano soprattutto nel determinare l'esponente: spesso viene semplicemente contato il numero di zeri, anziché determinare l'effettivo spostamento della virgola. Con numeri molto piccoli minori di 1, inoltre, viene spesso dimenticato il segno negativo della potenza oppure confuso con il segno del numero stesso.

Gli esercizi relativi al modello Notazione scientifica richiedono, nella pratica, di riscrivere numeri come valori nell'ordine dei milioni o piccolissimi numeri decimali nella forma appropriata con potenze di dieci, oppure di riscrivere per esteso le potenze di dieci sotto forma di numeri completi.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Potenza con esponente negativo