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Programma scolastico (Stati Uniti)

Matematica — classe 10ª

Matematica per il 10° anno secondo i Common Core State Standards, solitamente Geometria: similitudine, trigonometria dei triangoli rettangoli, i teoremi dei seni e del coseno, cerchi, geometria analitica, volume e area della superficie, e probabilità condizionata. Ogni argomento include schede didattiche stampabili.

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Cosa imparano gli studenti in matematica al 10° anno?

Nel 10° anno gli studenti utilizzano la similitudine e la trigonometria dei triangoli rettangoli, applicano i teoremi dei seni e del coseno e lavorano con angoli alla circonferenza e al centro, tangenti e corde. Nel piano cartesiano calcolano distanze, dividono segmenti e determinano aree. Calcolano il volume e l'area superficiale di cilindri, coni e sfere, creano modelli basati sulla densità e contano gli esiti per calcolare probabilità condizionate e composte.

Informazioni sugli standard: gli standard Common Core per la scuola superiore sono organizzati per categoria concettuale (Numero e Quantità, Algebra, Funzioni, Geometria, Statistica e Probabilità), non per anno scolastico. L'assegnazione di un argomento a un anno specifico è una nostra decisione, che segue la sequenza comune dei corsi Algebra I, Geometria, Algebra II e Precalcolo. Gli standard contrassegnati da (+) vanno oltre il nucleo di base per la preparazione all'università e al lavoro.

Stato della pagina: gli argomenti di questo anno scolastico sono disponibili come esercizi semplici (istruzioni e formule); i problemi con figure e i problemi testuali verranno aggiunti successivamente.

Ambito del programma

  1. Punto del programma HSA-SSE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Vedere la struttura nelle espressioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  2. Punto del programma HSA-SSE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare la struttura delle espressioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  3. Punto del programma HSA-SSE.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere espressioni in forme equivalenti per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  4. Punto del programma HSA-SSE.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare espressioni che rappresentano una quantità in termini del suo contesto.★ a. Interpretare parti di un'espressione, come termini, fattori e coefficienti. b. Interpretare espressioni complicate considerando una o più delle loro parti come una singola entità. Per esempio, interpretare P(1+r)n come il prodotto di P e di un fattore non dipendente da P.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  5. Punto del programma HSA-SSE.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Utilizzo delle formule dei prodotti notevoli (da noi in classe 9-11) · Scomposizione di polinomi con raccoglimento parziale e cubi (da noi in classe 9-11)

  6. Punto del programma HSA-APR · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Aritmetica con polinomi ed espressioni razionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  7. Punto del programma HSA-APR.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Eseguire operazioni aritmetiche sui polinomi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  8. Punto del programma HSA-APR.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere che i polinomi formano un sistema analogo a quello dei numeri interi, ossia che sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione; addizionare, sottrarre e moltiplicare polinomi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  9. Punto del programma HSA-CED · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  10. Punto del programma HSA-CED.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni che descrivono numeri o relazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  11. Punto del programma HSA-CED.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni e disequazioni in una variabile e utilizzarle per risolvere problemi. Includere equazioni derivanti da funzioni lineari e quadratiche, e semplici funzioni razionali ed esponenziali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  12. Punto del programma HSA-CED.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni in due o più variabili per rappresentare relazioni tra grandezze; rappresentare graficamente equazioni su assi coordinati con etichette e scale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  13. Punto del programma HSA-CED.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare vincoli mediante equazioni o disequazioni, e mediante sistemi di equazioni e/o disequazioni, e interpretare le soluzioni come opzioni praticabili o non praticabili in un contesto di modellizzazione. Per esempio, rappresentare disequazioni che descrivono vincoli nutrizionali e di costo su combinazioni di alimenti diversi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  14. Punto del programma HSA-CED.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riorganizzare formule per evidenziare una grandezza di interesse, utilizzando lo stesso ragionamento impiegato nella risoluzione delle equazioni. Per esempio, riorganizzare la legge di Ohm V = IR per evidenziare la resistenza R.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  15. Punto del programma HSA-REI · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ragionamento con equazioni e disequazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  16. Punto del programma HSA-REI.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la risoluzione di equazioni come un processo di ragionamento e spiegare il ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  17. Punto del programma HSA-REI.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere sistemi di equazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  18. Punto del programma HSA-REI.D · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare e risolvere equazioni e disequazioni graficamente

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  19. Punto del programma HSA-REI.C.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare che, dato un sistema di due equazioni in due variabili, sostituire un'equazione con la somma di tale equazione e di un multiplo dell'altra produce un sistema con le stesse soluzioni.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  20. Punto del programma HSA-REI.D.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare perché le coordinate x dei punti in cui i grafici delle equazioni y = f(x) e y = g(x) si intersecano sono le soluzioni dell'equazione f(x) = g(x); trovare le soluzioni approssimativamente, ad es. utilizzando la tecnologia per rappresentare graficamente le funzioni, creare tabelle di valori o trovare approssimazioni successive. Includere casi in cui f(x) e/o g(x) sono funzioni lineari, polinomiali, razionali, con valore assoluto, esponenziali e logaritmiche.★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  21. Punto del programma HSF-IF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare funzioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  22. Punto del programma HSF-IF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare funzioni che si presentano nelle applicazioni in termini del contesto

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  23. Punto del programma HSF-IF.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Analizzare funzioni utilizzando diverse rappresentazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  24. Punto del programma HSF-IF.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Per una funzione che modella una relazione tra due grandezze, interpretare le caratteristiche chiave di grafici e tabelle in termini delle grandezze, e tracciare grafici che mostrino le caratteristiche chiave data una descrizione verbale della relazione. Le caratteristiche chiave includono: intercette; intervalli in cui la funzione è crescente, decrescente, positiva o negativa; massimi e minimi relativi; simmetrie; comportamento all'infinito; e periodicità .★

    nostra traduzione · testo originale (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  25. Punto del programma HSF-IF.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Mettere in relazione il dominio di una funzione con il suo grafico e, ove applicabile, con la relazione quantitativa che descrive. Per esempio, se la funzione h(n) fornisce il numero di ore-persona necessarie per assemblare n motori in una fabbrica, allora gli interi positivi sarebbero un dominio appropriato per la funzione. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  26. Punto del programma HSF-IF.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione (presentata simbolicamente o come tabella) in un intervallo specificato. Stimare il tasso di variazione da un grafico. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Calcolo del tasso medio di variazione (da noi in classe 9-11)

  27. Punto del programma HSF-IF.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare graficamente funzioni espresse simbolicamente e mostrare le caratteristiche fondamentali del grafico, a mano nei casi semplici e utilizzando la tecnologia per i casi più complessi. ★ a. Rappresentare graficamente funzioni lineari e quadratiche e mostrare intercette, massimi e minimi. b. Rappresentare graficamente funzioni radice quadrata, radice cubica e definite a tratti, incluse le funzioni a gradino e le funzioni valore assoluto. c. Rappresentare graficamente funzioni polinomiali, identificando gli zeri quando sono disponibili opportune fattorizzazioni e mostrando il comportamento all'infinito. d. (+) Rappresentare graficamente funzioni razionali, identificando gli zeri e gli asintoti quando sono disponibili opportune fattorizzazioni e mostrando il comportamento all'infinito. e. Rappresentare graficamente funzioni esponenziali e logaritmiche, mostrando intercette e comportamento all'infinito, e funzioni trigonometriche, mostrando periodo, linea mediana e ampiezza.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  28. Punto del programma HSF-IF.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere una funzione definita da un'espressione in forme diverse ma equivalenti per rivelare e spiegare diverse proprietà della funzione. a. Utilizzare il processo di scomposizione in fattori e di completamento del quadrato in una funzione quadratica per mostrare gli zeri, i valori estremi e la simmetria del grafico, e interpretarli rispetto a un contesto. b. Utilizzare le proprietà degli esponenti per interpretare espressioni di funzioni esponenziali. Ad esempio, individuare il tasso percentuale di variazione in funzioni come y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, e classificarle come rappresentanti una crescita o un decadimento esponenziale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Trovare il vertice e utilizzare la forma del vertice (da noi in classe 9-11)

  29. Punto del programma HSF-IF.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Confrontare le proprietà di due funzioni ciascuna rappresentata in modo diverso (algebricamente, graficamente, numericamente in tabelle o mediante descrizioni verbali). Ad esempio, dato il grafico di una funzione quadratica e l'espressione algebrica di un'altra, dire quale ha il massimo maggiore.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  30. Punto del programma HSF-BF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire funzioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  31. Punto del programma HSF-BF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire una funzione che modelli una relazione tra due grandezze

    nostra traduzione · testo originale (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  32. Punto del programma HSF-BF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire nuove funzioni a partire da funzioni esistenti

    nostra traduzione · testo originale (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  33. Punto del programma HSF-BF.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Scrivere le equazioni di rette e rette parallele (da noi in classe 9-11) · Combinare le funzioni mediante composizione (da noi in classe 9-11)

  34. Punto del programma HSF-BF.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Identificare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k) per valori specifici di k (sia positivi sia negativi); trovare il valore di k dati i grafici. Sperimentare con diversi casi e illustrare una spiegazione degli effetti sul grafico mediante l'uso della tecnologia. Includere il riconoscimento di funzioni pari e dispari a partire dai loro grafici e dalle loro espressioni algebriche.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Traslazione dei grafici di funzioni (da noi in classe 9-11)

  35. Punto del programma HSF-BF.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trovare funzioni inverse. a. Risolvere un'equazione della forma f(x) = c per una funzione semplice f che ha un'inversa e scrivere un'espressione per l'inversa. Per esempio, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) per x ≠ 1. b. (+) Verificare mediante composizione che una funzione è l'inversa di un'altra. c. (+) Leggere i valori di una funzione inversa da un grafico o da una tabella, dato che la funzione ha un'inversa. d. (+) Produrre una funzione invertibile da una funzione non invertibile restringendo il dominio.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Trovare l'inversa di una funzione lineare (da noi in classe 9-11)

  36. Punto del programma HSF-LE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Modelli lineari, quadratici ed esponenziali★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  37. Punto del programma HSF-LE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire e confrontare modelli lineari, quadratici ed esponenziali e risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  38. Punto del programma HSG-CO · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Congruenza

    nostra traduzione · testo originale (EN): Congruence

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Congruence (HSG-CO)

  39. Punto del programma HSG-CO.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sperimentare le trasformazioni nel piano

    nostra traduzione · testo originale (EN): Experiment with transformations in the plane

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster A

  40. Punto del programma HSG-CO.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la congruenza in termini di movimenti rigidi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand congruence in terms of rigid motions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster B

  41. Punto del programma HSG-CO.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare teoremi geometrici

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove geometric theorems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster C

  42. Punto del programma HSG-CO.D · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Eseguire costruzioni geometriche

    nostra traduzione · testo originale (EN): Make geometric constructions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster D

  43. Punto del programma HSG-CO.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Conoscere definizioni precise di angolo, cerchio, retta perpendicolare, retta parallela e segmento, basate sulle nozioni non definite di punto, retta, distanza lungo una retta e distanza lungo un arco circolare.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Know precise definitions of angle, circle, perpendicular line, parallel line, and line segment, based on the undefined notions of point, line, distance along a line, and distance around a circular arc.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.1

  44. Punto del programma HSG-CO.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare trasformazioni nel piano utilizzando, ad es., lucidi e software di geometria; descrivere trasformazioni come funzioni che prendono punti del piano come input e danno altri punti come output. Confrontare trasformazioni che conservano distanza e angolo con quelle che non lo fanno (ad es., traslazione rispetto a dilatazione orizzontale).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent transformations in the plane using, e.g., transparencies and geometry software; describe transformations as functions that take points in the plane as inputs and give other points as outputs. Compare transformations that preserve distance and angle to those that do not (e.g., translation versus horizontal stretch).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.2

  45. Punto del programma HSG-CO.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dato un rettangolo, un parallelogramma, un trapezio o un poligono regolare, descrivere le rotazioni e le riflessioni che lo portano su se stesso.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Given a rectangle, parallelogram, trapezoid, or regular polygon, describe the rotations and reflections that carry it onto itself.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.3

  46. Punto del programma HSG-CO.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sviluppare definizioni di rotazioni, riflessioni e traslazioni in termini di angoli, cerchi, rette perpendicolari, rette parallele e segmenti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Develop definitions of rotations, reflections, and translations in terms of angles, circles, perpendicular lines, parallel lines, and line segments.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.4

  47. Punto del programma HSG-CO.A.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Data una figura geometrica e una rotazione, riflessione o traslazione, disegnare la figura trasformata utilizzando, ad es., carta millimetrata, carta da lucido o software di geometria. Specificare una sequenza di trasformazioni che porti una data figura su un'altra.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Given a geometric figure and a rotation, reflection, or translation, draw the transformed figure using, e.g., graph paper, tracing paper, or geometry software. Specify a sequence of transformations that will carry a given figure onto another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.5

  48. Punto del programma HSG-CO.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare descrizioni geometriche di movimenti rigidi per trasformare figure e per prevedere l'effetto di un dato movimento rigido su una data figura; date due figure, utilizzare la definizione di congruenza in termini di movimenti rigidi per decidere se sono congruenti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use geometric descriptions of rigid motions to transform figures and to predict the effect of a given rigid motion on a given figure; given two figures, use the definition of congruence in terms of rigid motions to decide if they are congruent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.6

  49. Punto del programma HSG-CO.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la definizione di congruenza in termini di movimenti rigidi per mostrare che due triangoli sono congruenti se e solo se le coppie corrispondenti di lati e le coppie corrispondenti di angoli sono congruenti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the definition of congruence in terms of rigid motions to show that two triangles are congruent if and only if corresponding pairs of sides and corresponding pairs of angles are congruent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.7

  50. Punto del programma HSG-CO.B.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare come i criteri di congruenza dei triangoli (ALA, LAL e LLL) derivino dalla definizione di congruenza in termini di movimenti rigidi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain how the criteria for triangle congruence (ASA, SAS, and SSS) follow from the definition of congruence in terms of rigid motions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.8

  51. Punto del programma HSG-CO.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare teoremi su rette e angoli. I teoremi includono: gli angoli opposti al vertice sono congruenti; quando una trasversale interseca rette parallele, gli angoli alterni interni sono congruenti e gli angoli corrispondenti sono congruenti; i punti sull'asse di un segmento sono esattamente quelli equidistanti dagli estremi del segmento.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove theorems about lines and angles. Theorems include: vertical angles are congruent; when a transversal crosses parallel lines, alternate interior angles are congruent and corresponding angles are congruent; points on a perpendicular bisector of a line segment are exactly those equidistant from the segment’s endpoints.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.9

  52. Punto del programma HSG-CO.C.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare teoremi sui triangoli. I teoremi includono: la somma delle misure degli angoli interni di un triangolo è 180°; gli angoli alla base dei triangoli isosceli sono congruenti; il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed è lungo la metà; le mediane di un triangolo si incontrano in un punto.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: measures of interior angles of a triangle sum to 180°; base angles of isosceles triangles are congruent; the segment joining midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half the length; the medians of a triangle meet at a point.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.10

  53. Punto del programma HSG-CO.C.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare teoremi sui parallelogrammi. I teoremi includono: i lati opposti sono congruenti, gli angoli opposti sono congruenti, le diagonali di un parallelogramma si dividono reciprocamente a metà e, viceversa, i rettangoli sono parallelogrammi con diagonali congruenti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove theorems about parallelograms. Theorems include: opposite sides are congruent, opposite angles are congruent, the diagonals of a parallelogram bisect each other, and conversely, rectangles are parallelograms with congruent diagonals.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.11

  54. Punto del programma HSG-CO.D.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Eseguire costruzioni geometriche formali con una varietà di strumenti e metodi (compasso e riga, spago, dispositivi riflettenti, piegatura della carta, software di geometria dinamica, ecc.). Copiare un segmento; copiare un angolo; dividere a metà un segmento; dividere a metà un angolo; costruire rette perpendicolari, compreso l'asse di un segmento; e costruire una retta parallela a una data retta passante per un punto non appartenente alla retta.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Make formal geometric constructions with a variety of tools and methods (compass and straightedge, string, reflective devices, paper folding, dynamic geometric software, etc.). Copying a segment; copying an angle; bisecting a segment; bisecting an angle; constructing perpendicular lines, including the perpendicular bisector of a line segment; and constructing a line parallel to a given line through a point not on the line.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.12

  55. Punto del programma HSG-CO.D.13 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire un triangolo equilatero, un quadrato e un esagono regolare inscritti in una circonferenza.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Construct an equilateral triangle, a square, and a regular hexagon inscribed in a circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.13

  56. Punto del programma HSG-SRT · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Similitudine, triangoli rettangoli e trigonometria

    nostra traduzione · testo originale (EN): Similarity, Right Triangles, and Trigonometry

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Similarity, Right Triangles, and Trigonometry (HSG-SRT)

  57. Punto del programma HSG-SRT.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la similitudine in termini di trasformazioni di similitudine

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand similarity in terms of similarity transformations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster A

  58. Punto del programma HSG-SRT.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare teoremi relativi alla similitudine

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove theorems involving similarity

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster B

  59. Punto del programma HSG-SRT.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Definire i rapporti trigonometrici e risolvere problemi relativi ai triangoli rettangoli

    nostra traduzione · testo originale (EN): Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster C

  60. Punto del programma HSG-SRT.D · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Applicare la trigonometria ai triangoli qualunque

    nostra traduzione · testo originale (EN): Apply trigonometry to general triangles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster D

  61. Punto del programma HSG-SRT.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Verificare sperimentalmente le proprietà delle omotetie date da un centro e da un fattore di scala: a. Un'omotetia trasforma una retta non passante per il centro dell'omotetia in una retta parallela, e lascia invariata una retta passante per il centro. b. L'omotetia di un segmento è più lunga o più corta nel rapporto dato dal fattore di scala.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Verify experimentally the properties of dilations given by a center and a scale factor: a. A dilation takes a line not passing through the center of the dilation to a parallel line, and leaves a line passing through the center unchanged. b. The dilation of a line segment is longer or shorter in the ratio given by the scale factor.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.1

    Calcolare l'area di figure simili (da noi in classe 10)

  62. Punto del programma HSG-SRT.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Date due figure, utilizzare la definizione di similitudine in termini di trasformazioni di similitudine per decidere se sono simili; spiegare, utilizzando le trasformazioni di similitudine, il significato di similitudine per i triangoli come uguaglianza di tutte le coppie corrispondenti di angoli e proporzionalità di tutte le coppie corrispondenti di lati.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Given two figures, use the definition of similarity in terms of similarity transformations to decide if the y are similar; explain using similarity transformations the meaning of similarity for triangles as the equality of all corresponding pairs of angles and the proportionality of all corresponding pairs of sides.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.2

  63. Punto del programma HSG-SRT.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le proprietà delle trasformazioni di similitudine per stabilire il criterio AA affinché due triangoli siano simili.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the properties of similarity transformations to establish the AA criterion for two triangles to be similar.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.3

  64. Punto del programma HSG-SRT.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare teoremi sui triangoli. I teoremi includono: una retta parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due proporzionalmente, e viceversa; il teorema di Pitagora dimostrato usando la similitudine tra triangoli.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: a line parallel to one side of a triangle divides the other two proportionally, and conversely; the Pythagorean Theorem proved using triangle similarity.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.4

  65. Punto del programma HSG-SRT.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare i criteri di congruenza e similitudine dei triangoli per risolvere problemi e per dimostrare relazioni in figure geometriche.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use congruence and similarity criteria for triangles to solve problems and to prove relationships in geometric figures.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.5

    Usare il teorema di Talete per trovare le lunghezze (da noi in classe 10)

  66. Punto del programma HSG-SRT.C.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere che, per similitudine, i rapporti tra i lati nei triangoli rettangoli sono proprietà degli angoli del triangolo, portando alle definizioni dei rapporti trigonometrici per angoli acuti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that by similarity, side ratios in right triangles are properties of the angles in the triangle, leading to definitions of trigonometric ratios for acute angles.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.6

  67. Punto del programma HSG-SRT.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare e utilizzare la relazione tra il seno e il coseno di angoli complementari.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain and use the relationship between the sine and cosine of complementary angles.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.7

  68. Punto del programma HSG-SRT.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare i rapporti trigonometrici e il teorema di Pitagora per risolvere triangoli rettangoli in problemi applicati. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use trigonometric ratios and the Pythagorean Theorem to solve right triangles in applied problems. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.8

    Trovare i lati mancanti dei triangoli rettangoli (da noi in classe 10)

  69. Punto del programma HSG-SRT.D.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Ricavare la formula A = 1/2 ab sin(C) per l'area di un triangolo tracciando una linea ausiliaria da un vertice perpendicolare al lato opposto.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Derive the formula A = 1/2 ab sin(C) for the area of a triangle by drawing an auxiliary line from a vertex perpendicular to the opposite side.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.9

  70. Punto del programma HSG-SRT.D.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Dimostrare i teoremi dei seni e del coseno e utilizzarli per risolvere problemi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Prove the Laws of Sines and Cosines and use them to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.10

  71. Punto del programma HSG-SRT.D.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Comprendere e applicare il teorema dei seni e il teorema del coseno per determinare misure incognite in triangoli rettangoli e non rettangoli (ad es. problemi di rilevamento, forze risultanti).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand and apply the Law of Sines and the Law of Cosines to find unkno wn measurements in right and non-right triangles (e.g., surveying problems, resultant forces).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.11

    Utilizzo del teorema dei seni e del coseno (da noi in classe 10)

  72. Punto del programma HSG-C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Cerchi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Circles (HSG-C)

  73. Punto del programma HSG-C.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere e applicare teoremi sui cerchi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand and apply theorems about circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster A

  74. Punto del programma HSG-C.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Calcolare lunghezze di archi e aree di settori circolari

    nostra traduzione · testo originale (EN): Find arc lengths and areas of sectors of circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster B

  75. Punto del programma HSG-C.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare che tutti i cerchi sono simili.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove that all circles are similar.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.1

  76. Punto del programma HSG-C.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Identificare e descrivere le relazioni tra angoli inscritti, raggi e corde. Includere la relazione tra angoli al centro, inscritti e circoscritti; gli angoli inscritti su un diametro sono angoli retti; il raggio di una circonferenza è perpendicolare alla tangente nel punto in cui il raggio interseca la circonferenza.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Identify and describe relationships among inscribed angles, radii, and chords. Include the relationship between central, inscribed, and circumscribed angles; inscribed angles on a diameter are right angles; the radius of a circle is perpendicular to the tangent where the radius intersects the circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.2

    Trovare gli angoli al centro e alla circonferenza nei cerchi (da noi in classe 10) · Determinare le lunghezze di corde e segmenti di tangente (da noi in classe 10)

  77. Punto del programma HSG-C.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire le circonferenze inscritta e circoscritta a un triangolo, e dimostrare le proprietà degli angoli di un quadrilatero inscritto in una circonferenza.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Construct the inscribed and circumscribed circles of a triangle, and prove properties of angles for a quadrilateral inscribed in a circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.3

  78. Punto del programma HSG-C.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Costruire una retta tangente da un punto esterno a una data circonferenza alla circonferenza.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Construct a tangent line from a point outside a given circle to the circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.4

  79. Punto del programma HSG-C.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ricavare usando la similitudine il fatto che la lunghezza dell'arco intercettato da un angolo è proporzionale al raggio, e definire la misura in radianti dell'angolo come la costante di proporzionalità; ricavare la formula per l'area di un settore circolare.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Derive using similarity the fact that the length of the arc intercepted by an angle is proportional to the radius, and define the radian measure of the angle as the constant of proportionality; derive the formula for the area of a sector.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.B.5

  80. Punto del programma HSG-GPE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Esprimere proprietà geometriche con equazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  81. Punto del programma HSG-GPE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Tradurre tra la descrizione geometrica e l'equazione di una sezione conica

    nostra traduzione · testo originale (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  82. Punto del programma HSG-GPE.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le coordinate per dimostrare algebricamente semplici teoremi geometrici

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster B

  83. Punto del programma HSG-GPE.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ricavare l'equazione di una circonferenza di centro e raggio dati utilizzando il teorema di Pitagora; completare il quadrato per trovare il centro e il raggio di una circonferenza data da un'equazione.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Derive the equation of a circle of given center and radius using the Pythagorean Theorem; complete the square to find the center and radius of a circle given by an equation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.1

  84. Punto del programma HSG-GPE.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ricavare l'equazione di una parabola dati un fuoco e una direttrice.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Derive the equation of a parabola given a focus and directrix.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.2

  85. Punto del programma HSG-GPE.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le coordinate per dimostrare algebricamente semplici teoremi geometrici. Ad esempio, dimostrare o confutare che una figura definita da quattro punti dati nel piano cartesiano sia un rettangolo; dimostrare o confutare che il punto (1, √3) appartenga alla circonferenza centrata nell'origine e contenente il punto (0, 2).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically. For example, prove or disprove that a figure defined by four given points in the coordinate plane is a rectangle; prove or disprove that the point (1, √3) lies on the circle centered at the origin and containing the point (0, 2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.4

  86. Punto del programma HSG-GPE.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare i criteri relativi ai coefficienti angolari per rette parallele e perpendicolari e utilizzarli per risolvere problemi geometrici (ad es., trovare l'equazione di una retta parallela o perpendicolare a una retta data passante per un punto dato).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove the slope criteria for parallel and perpendicular lines and use them to solve geometric problems (e.g., find the equation of a line parallel or perpendicular to a given line that passes through a given point).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.5

  87. Punto del programma HSG-GPE.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trovare il punto su un segmento orientato tra due punti dati che divide il segmento in un dato rapporto.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Find the point on a directed line segment between two given points that partitions the segment in a given ratio.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.6

    Divisione di un segmento in un dato rapporto (da noi in classe 10)

  88. Punto del programma HSG-GPE.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Usare le coordinate per calcolare perimetri di poligoni e aree di triangoli e rettangoli, ad es., utilizzando la formula della distanza. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use coordinates to compute perimeters of polygons and areas of triangles and rectangles, e.g., using the distance formula. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.7

    Calcolo dell'area di un triangolo con le coordinate (da noi in classe 10) · Calcolare la distanza tra due punti con il teorema di Pitagora (da noi in classe 8)

  89. Punto del programma HSG-GMD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Misura geometrica e dimensione

    nostra traduzione · testo originale (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  90. Punto del programma HSG-GMD.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare le formule del volume e utilizzarle per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  91. Punto del programma HSG-GMD.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Visualizzare le relazioni tra oggetti bidimensionali e tridimensionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Visualize relationships between two-dimensional and three-dimensional objects

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster B

  92. Punto del programma HSG-GMD.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Fornire un'argomentazione informale per le formule della circonferenza di un cerchio, dell'area di un cerchio, del volume di un cilindro, di una piramide e di un cono. Utilizzare argomentazioni basate sulla scomposizione, il principio di Cavalieri e argomentazioni informali sui limiti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Give an informal argument for the formulas for the circumference of a circle, area of a circle, volume of a cylinder, pyramid, and cone. Use dissection arguments, Cavalieri’s principle, and informal limit arguments.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.1

  93. Punto del programma HSG-GMD.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le formule del volume per cilindri, piramidi, coni e sfere per risolvere problemi. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use volume formulas for cylinders, pyramids, cones, and spheres to solve problems. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.3

    Calcolare il volume di cilindri, coni e sfere (da noi in classe 8) · Area della superficie di cilindri, coni e sfere (da noi in classe 10)

  94. Punto del programma HSG-GMD.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Identificare le forme delle sezioni trasversali bidimensionali di oggetti tridimensionali, e identificare oggetti tridimensionali generati da rotazioni di oggetti bidimensionali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Identify the shapes of two-dimensional cross-sections of three-dimensional objects, and identify three-dimensional objects generated by rotations of two-dimensional objects.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.B.4

  95. Punto del programma HSG-MG · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Modellizzazione con la geometria

    nostra traduzione · testo originale (EN): Modeling with Geometry

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Modeling with Geometry (HSG-MG)

  96. Punto del programma HSG-MG.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Applicare concetti geometrici in situazioni di modellizzazione

    nostra traduzione · testo originale (EN): Apply geometric concepts in modeling situations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, cluster A

  97. Punto del programma HSG-MG.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le figure geometriche, le loro misure e le loro proprietà per descrivere oggetti (ad es., modellare un tronco d'albero o un torso umano come un cilindro). ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use geometric shapes, their measures, and their properties to describe objects (e.g., modeling a tree trunk or a human torso as a cylinder). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.1

  98. Punto del programma HSG-MG.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Applicare concetti di densità basati su area e volume in situazioni di modellizzazione (ad es., persone per miglio quadrato, BTU per piede cubico). ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Apply concepts of density based on area and volume in modeling situations (e.g., persons per square mile, BTUs per cubic foot). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.2

    Calcolare la massa usando densità e volume (da noi in classe 10)

  99. Punto del programma HSG-MG.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Applicare metodi geometrici per risolvere problemi di progettazione (ad es., progettare un oggetto o una struttura per soddisfare vincoli fisici o minimizzare i costi; lavorare con sistemi di griglie tipografiche basati su rapporti). ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Apply geometric methods to solve design problems (e.g., designing an object or structure to satisfy physical constraints or minimize cost; working with typographic grid systems based on ratios). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.3

  100. Punto del programma HSS-ID · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare dati categorici e quantitativi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  101. Punto del programma HSS-ID.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sintetizzare, rappresentare e interpretare dati relativi a una singola variabile di conteggio o di misura

    nostra traduzione · testo originale (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  102. Punto del programma HSS-ID.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sintetizzare, rappresentare e interpretare dati su due variabili categoriche e quantitative

    nostra traduzione · testo originale (EN): Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  103. Punto del programma HSS-ID.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sintetizzare dati categorici per due categorie in tabelle di frequenza a doppia entrata. Interpretare le frequenze relative nel contesto dei dati (comprese le frequenze relative congiunte, marginali e condizionate). Riconoscere possibili associazioni e tendenze nei dati.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

    Calcolare la probabilità condizionata da una tabella (da noi in classe 9-10)

  104. Punto del programma HSS-CP · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Probabilità condizionata e le regole della probabilità

    nostra traduzione · testo originale (EN): Conditional Probability and the Rules of Probability

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Conditional Probability and the Rules of Probability (HSS-CP)

  105. Punto del programma HSS-CP.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere l'indipendenza e la probabilità condizionata e utilizzarle per interpretare i dati

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand independence and conditional probability and use them to interpret data

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster A

  106. Punto del programma HSS-CP.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le regole della probabilità per calcolare le probabilità di eventi composti in un modello di probabilità uniforme

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the rules of probability to compute probabilities of compound events in a uniform probability model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster B

  107. Punto del programma HSS-CP.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Descrivere eventi come sottoinsiemi di uno spazio campionario (l'insieme degli esiti) utilizzando caratteristiche (o categorie) degli esiti, o come unioni, intersezioni o complementi di altri eventi (“o”, “e”, “non”).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Describe events as subsets of a sample space (the set of outcomes) using characteristics (or categories) of the outcomes, or as unions, intersections, or complements of other events (“or,” “and,” “not”).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.1

    Calcolo della probabilità dell'unione di eventi (da noi in classe 10)

  108. Punto del programma HSS-CP.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere che due eventi A e B sono indipendenti se la probabilità che A e B si verifichino insieme è il prodotto delle loro probabilità, e utilizzare questa caratterizzazione per determinare se sono indipendenti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that two events A and B are independent if the probability of A and B occurring together is the product of their probabilities, and use this characterization to determine if they are independent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.2

  109. Punto del programma HSS-CP.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la probabilità condizionata di A dato B come P(A e B)/P(B), e interpretare l'indipendenza di A e B nel senso che la probabilità condizionata di A dato B è uguale alla probabilità di A, e la probabilità condizionata di B dato A è uguale alla probabilità di B.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand the conditional probability of A given B as P(A and B)/P(B), and interpret independence of A and B as saying that the conditional probability of A given B is the same as the probability of A, and the conditional probability of B given A is the same as the probability of B.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.3

  110. Punto del programma HSS-CP.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire e interpretare tabelle di frequenza a doppia entrata di dati quando a ciascun oggetto classificato sono associate due categorie. Utilizzare la tabella a doppia entrata come spazio campionario per decidere se gli eventi sono indipendenti e per approssimare probabilità condizionate. Ad esempio, raccogliere dati da un campione casuale di studenti della propria scuola sulla loro materia preferita tra matematica, scienze e inglese. Stimare la probabilità che uno studente della propria scuola selezionato casualmente preferisca le scienze dato che frequenta il decimo anno. Fare lo stesso per altre materie e confrontare i risultati.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Construct and interpret two-way frequency tables of data when two categories are associated with each object being classified. Use the two-way table as a sample space to decide if events are independent and to approximate conditional probabilities. For example, collect data from a random sample of students in your school on their favorite subject among math, science, and English. Estimate the probability that a randomly selected student from your school will favor science given that the student is in tenth grade. Do the same for other subjects and compare the results.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.4

    Calcolare la probabilità condizionata da una tabella (da noi in classe 9-10)

  111. Punto del programma HSS-CP.A.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riconoscere e spiegare i concetti di probabilità condizionata e indipendenza nel linguaggio quotidiano e in situazioni quotidiane. Ad esempio, confrontare la probabilità di avere un cancro al polmone se si è fumatori con la probabilità di essere fumatori se si ha un cancro al polmone.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Recognize and explain the concepts of conditional probability and independence in everyday language and everyday situations. For example, compare the chance of having lung cancer if you are a smoker with the chance of being a smoker if you have lung cancer.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.5

  112. Punto del programma HSS-CP.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trovare la probabilità condizionata di A dato B come la frazione degli esiti di B che appartengono anche ad A, e interpretare la risposta in termini del modello.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Find the conditional probability of A given B as the fraction of B’s outcomes that also belong to A, and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.6

    Calcolare la probabilità condizionata da una tabella (da noi in classe 9-10)

  113. Punto del programma HSS-CP.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Applicare la regola dell'addizione, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A e B), e interpretare la risposta in termini del modello.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Apply the Addition Rule, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.7

    Calcolo della probabilità dell'unione di eventi (da noi in classe 10)

  114. Punto del programma HSS-CP.B.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Applicare la regola generale della moltiplicazione in un modello di probabilità uniforme, P(A e B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), e interpretare la risposta in termini del modello.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Apply the general Multiplication Rule in a uniform probability model, P(A and B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.8

    Utilizzo della probabilità totale e della formula di Bayes (da noi in classe 10)

  115. Punto del programma HSS-CP.B.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Utilizzare permutazioni e combinazioni per calcolare le probabilità di eventi composti e risolvere problemi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.9

    Trovare le permutazioni e contare le disposizioni (da noi in classe 10) · Calcolo delle probabilità con le combinazioni (da noi in classe 10)

  116. Punto del programma HSS-MD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la probabilità per prendere decisioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  117. Punto del programma HSS-MD.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la probabilità per valutare gli esiti delle decisioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  118. Punto del programma HSS-MD.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Utilizzare le probabilità per prendere decisioni eque (ad es., estrazione a sorte, utilizzo di un generatore di numeri casuali).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  119. Punto del programma HSS-MD.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Analizzare decisioni e strategie utilizzando concetti di probabilità (ad es., test di prodotto, test medici, togliere il portiere nell'hockey alla fine di una partita).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Competenze passo dopo passo

Trovare le permutazioni e contare le disposizioni

Gli studenti imparano a utilizzare le regole della moltiplicazione e le permutazioni per calcolare il numero di possibili disposizioni ordinate ed esiti per scenari quotidiani.

Punto del programma HSS-CP.B.9 (+) Utilizzare permutazioni e combinazioni per calcolare le probabilità di eventi composti e risolvere problemi. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a determinare il numero totale di disposizioni ordinate per un insieme di elementi o persone utilizzando le regole di moltiplicazione del calcolo combinatorio e le permutazioni. In questo anno scolastico, gli studenti calcolano in quanti modi è possibile occupare posizioni distinte quando l'ordine è importante e ogni scelta riduce le opzioni disponibili per la selezione successiva.

Un errore comune è confondere quando sommare e quando moltiplicare le possibilità nei passaggi consecutivi. Gli studenti spesso dimenticano anche di considerare prima i vincoli; ad esempio, quando compongono numeri pari o dispari senza cifre ripetute, potrebbero scegliere le cifre iniziali prima di fissare la cifra finale richiesta, ottenendo conteggi errati.

Gli esercizi pratici su questa competenza chiedono agli studenti di risolvere problemi concreti di disposizione, come ad esempio:

  • Calcolare in quanti modi un gruppo di studenti può disporsi in fila indiana.
  • Trovare il numero di possibili esiti nell'assegnazione del primo, secondo e terzo premio a un gruppo di concorrenti.
  • Determinare quanti numeri univoci pari o dispari a più cifre possono essere creati utilizzando un determinato insieme di cifre senza ripetizioni.
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Tipi di esercizi: Permutazioni — fila · Disposizioni — premi · Numeri dispari con una cifra una sola volta · Numeri pari con una cifra una sola volta

Area della superficie di cilindri, coni e sfere

Gli studenti imparano a calcolare l'area della superficie totale dei solidi 3D curvi—cilindri, coni e sfere—e ad analizzare gli sviluppi piani utilizzati per costruirli.

Punto del programma HSG-GMD.A.3 Utilizzare le formule del volume per cilindri, piramidi, coni e sfere per risolvere problemi. ★ (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a calcolare l'area della superficie totale di solidi curvilinei tridimensionali, tra cui cilindri, coni e sfere. Applicano formule geometriche che combinano basi circolari con superfici laterali curve e analizzano gli sviluppi piani bidimensionali per comprendere come le figure piane si pieghino per formare coni tridimensionali.

Un errore comune consiste nel confondere l'altezza di un cono con il suo apotema, portando a calcoli errati dell'area laterale. Gli studenti dimenticano inoltre frequentemente di aggiungere le basi circolari all'area laterale, ad esempio omettendo i cerchi di base di un cilindro o faticando a collegare la circonferenza della base di un cono con la lunghezza dell'arco del suo settore circolare sviluppato.

Le schede didattiche forniscono rappresentazioni di solidi con dimensioni indicate come raggi, altezze o apotemi. Gli esercizi tipici chiedono agli studenti di trovare l'area della superficie di un cilindro, l'area della superficie di un cono o l'area della superficie di una sfera, oltre a calcolare l'angolo al centro dello sviluppo di un cono a partire dalle sue dimensioni circolari.

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Tipi di esercizi: Area della sfera · Area totale del cilindro · Angolo dello sviluppo del cono · Area totale del cono

Calcolare il volume di cilindri, coni e sfere

Gli studenti imparano a utilizzare le formule per calcolare i volumi di cilindri, coni e sfere in problemi geometrici e del mondo reale.

Punto del programma 8.G.C.9 Conoscere le formule per i volumi di coni, cilindri e sfere e usarle per risolvere problemi del mondo reale e matematici. (nostra traduzione)
Punto del programma HSG-GMD.A.3 Utilizzare le formule del volume per cilindri, piramidi, coni e sfere per risolvere problemi. ★ (nostra traduzione)

Nella geometria della scuola secondaria di secondo grado, gli studenti applicano formule geometriche specifiche per calcolare il volume di solidi tridimensionali a superficie curva: cilindri, coni e sfere. Identificano le dimensioni chiave a partire da diagrammi o descrizioni — come il raggio, il diametro e l'altezza perpendicolare — e utilizzano le formule per determinare la capacità totale.

Un errore frequente consiste nel confondere il raggio con il diametro. Gli studenti spesso sostituiscono direttamente il diametro fornito nella formula senza prima dividerlo per due. Un altro errore comune è applicare l'esponente errato o omettere i coefficienti frazionari, come elevare il raggio al quadrato invece che al cubo nel calcolo relativo a una sfera, oppure dimenticare di moltiplicare per 1/3 quando si lavora con un cono.

Le attività delle schede didattiche si concentrano direttamente su tre tipologie: Volume di un cilindro, Volume di un cono e Volume di una sfera. Un problema tipico presenta una figura con dimensioni assegnate, come un cilindro avente un raggio di 4 unità e un'altezza di 10 unità, e richiede agli studenti di calcolare il volume in funzione di pi greco oppure arrotondato a un numero specificato di cifre decimali.

Scomposizione di polinomi con raccoglimento parziale e cubi

Gli studenti imparano a riscrivere le espressioni polinomiali raccogliendo a fattor comune i monomi, raggruppando i termini e applicando le formule per la somma e la differenza di cubi.

Punto del programma HSA-SSE.A.2 Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2). (nostra traduzione)

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, gli studenti utilizzano la struttura delle espressioni polinomiali per individuare come riscriverle in forma fattorizzata. Lavorando con espressioni a più termini e potenze superiori, gli studenti riconoscono quando i termini condividono un fattore algebrico, quando un'espressione a quattro termini può essere suddivisa in coppie e come individuare la struttura specifica di una somma o differenza di due cubi perfetti.

Un ostacolo frequente è la gestione dei segni negativi. Nel raccoglimento a fattor parziale, gli studenti dimenticano spesso di distribuire il segno negativo quando raccolgono un fattore negativo dalla seconda coppia di termini, ottenendo binomi non corrispondenti. Con la somma e la differenza di cubi, gli studenti confondono spesso i segni all'interno dei fattori lineari e quadratici, in particolare il segno del termine intermedio nel trinomio risultante.

Le attività delle schede didattiche si concentrano su tre strutture distinte:

  • Raccoglimento a fattor comune di un monomio: identificare ed estrarre il massimo fattore comune numerico e letterale da ogni termine di un'espressione.
  • Raccoglimento a fattor parziale: suddividere un polinomio di quattro termini in due coppie per estrarre i fattori comuni e rivelare un fattore binomiale condiviso.
  • Somma e differenza di cubi: identificare espressioni formate da due termini cubici e riscriverle nei rispettivi fattori lineari e quadratici.
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Tipi di esercizi: Raccoglimento di un monomio · Scomposizione per raggruppamento · Somma e differenza di cubi

Utilizzo del teorema dei seni e del coseno

Gli studenti determinano lati, angoli e aree mancanti nei triangoli non rettangoli utilizzando il teorema dei seni, il teorema del coseno e le formule dell'area con il seno.

Punto del programma HSG-SRT.D.11 (+) Comprendere e applicare il teorema dei seni e il teorema del coseno per determinare misure incognite in triangoli rettangoli e non rettangoli (ad es. problemi di rilevamento, forze risultanti). (nostra traduzione)

A questo livello, gli studenti estendono la trigonometria del triangolo oltre i triangoli rettangoli a qualsiasi triangolo generico. Utilizzano il teorema dei seni e il teorema del coseno per calcolare lunghezze dei lati e ampiezze degli angoli incognite, e usano la formula del seno per calcolare l'area totale di un triangolo quando sono noti due lati e l'angolo compreso.

Un frequente ostacolo consiste nello scegliere la regola errata per le informazioni fornite. Ad esempio, gli studenti tentano spesso di utilizzare il teorema dei seni su un triangolo in cui sono note solo le tre lunghezze dei lati oppure due lati e l'angolo compreso, il che non fornisce una coppia lato-angolo completa. Un altro errore comune si verifica durante i calcoli algebrici del teorema del coseno, in cui gli studenti sottraggono erroneamente i termini prima di moltiplicare per il coseno dell'angolo.

Gli esercizi pratici si dividono in tre formati principali: compiti sul Teorema dei seni in cui gli studenti calcolano una misura mancante date le coppie angolo-lato, problemi sul Teorema del coseno incentrati su configurazioni lato-angolo-lato o lato-lato-lato, e problemi sull'Area di un triangolo con il seno in cui gli studenti calcolano l'area utilizzando le lunghezze di due lati e il seno dell'angolo compreso tra essi.

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Tipi di esercizi: Area del triangolo con il seno · Teorema dei seni · Teorema del coseno

Calcolare la distanza tra due punti con il teorema di Pitagora

Gli studenti imparano a determinare la distanza in linea retta tra due punti su una griglia di coordinate considerando il segmento come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Punto del programma 8.G.B.8 Applicare il teorema di Pitagora per trovare la distanza tra due punti in un sistema di coordinate. (nostra traduzione)
Punto del programma HSG-GPE.B.7 Usare le coordinate per calcolare perimetri di poligoni e aree di triangoli e rettangoli, ad es., utilizzando la formula della distanza. ★ (nostra traduzione)

Gli studenti usano le coordinate su una griglia per calcolare la distanza in linea retta tra due punti. Trovando la differenza orizzontale tra le coordinate x e la differenza verticale tra le coordinate y, individuano le lunghezze dei due cateti di un triangolo rettangolo. Applicano quindi il teorema di Pitagora—elevando al quadrato entrambe le lunghezze, sommandole ed estraendo la radice quadrata—per trovare la distanza incognita.

Un errore frequente riguarda la sottrazione di coordinate negative durante il calcolo delle lunghezze dei cateti. Ad esempio, uno studente che determina la distanza orizzontale tra -3 e 4 potrebbe calcolare 4 - 3 = 1 invece di 4 - (-3) = 7. Un'altra svista comune consiste nel calcolare la somma dei quadrati dei cateti dimenticando però il passaggio finale dell'estrazione della radice quadrata, lasciando la risposta come c2 anziché c.

Gli esercizi pratici si presentano generalmente in due formati:

  • Distanza tra punti con Pitagora: gli studenti osservano due punti tracciati su una griglia di coordinate, disegnano o visualizzano i cateti orizzontale e verticale di un triangolo rettangolo e usano il teorema per determinare la lunghezza del segmento congiungente.
  • Distanza tra due punti: agli studenti vengono fornite due coppie di coordinate numeriche senza un triangolo disegnato, richiedendo loro di calcolare algebricamente le lunghezze dei cateti e ricavare la distanza.

Determinare termini e somme di successioni geometriche

Gli studenti imparano a identificare la ragione di una successione geometrica, a trovare un termine specifico utilizzando una formula e a calcolare la somma totale di un dato numero di termini.

Punto del programma HSA-SSE.B.4 Ricavare la formula per la somma di una serie geometrica finita (quando la ragione non è 1) e utilizzare la formula per risolvere problemi. Ad esempio, calcolare le rate del mutuo.★ (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-BF.A.2 Scrivere successioni aritmetiche e geometriche sia ricorsivamente sia con una formula esplicita, utilizzarle per modellizzare situazioni e passare da una forma all'altra. ★ (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-LE.A.2 Costruire funzioni lineari ed esponenziali, comprese le successioni aritmetiche e geometriche, dato un grafico, una descrizione di una relazione o due coppie input-output (inclusa la loro lettura da una tabella). (nostra traduzione)

Gli studenti imparano ad analizzare le successioni in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il termine precedente per una ragione costante (dove la ragione è diversa da 1). Scrivono formule esplicite per trovare qualsiasi specifico n-esimo termine senza dover calcolare ogni singolo valore intermedio. Inoltre, utilizzano la formula per la serie geometrica finita per calcolare la somma totale di un determinato numero di termini.

Un errore comune riguarda l'ordine delle operazioni durante il calcolo dell'n-esimo termine. Gli studenti spesso moltiplicano il termine iniziale per la ragione prima di applicare l'esponente, invece di calcolare prima la potenza. Si crea confusione anche con le potenze nella formula, come l'uso di un esponente pari a n invece di n − 1, o una gestione errata dei segni quando si sottrae una ragione negativa al denominatore della formula della somma.

Le attività pratiche si dividono generalmente in due formati:

  • Successione geometrica — n-esimo termine: Dati i primi numeri di una successione o uno scenario del mondo reale, gli studenti individuano il termine iniziale e la ragione, scrivono la formula e ricavano un termine specifico, come l'8° o il 12° termine.
  • Successione geometrica — somma dei termini: Gli studenti determinano la somma di un determinato numero di termini sostituendo il primo termine, la ragione e il numero di termini direttamente nella formula della serie finita.
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Tipi di esercizi: Progressione geometrica — somma · Progressione geometrica — termine n-esimo

Utilizzo della probabilità totale e della formula di Bayes

Gli studenti imparano a calcolare la probabilità complessiva di un evento attraverso più fasi e a determinare le probabilità condizionate inverse utilizzando modelli a due urne.

Punto del programma HSS-CP.B.8 (+) Applicare la regola generale della moltiplicazione in un modello di probabilità uniforme, P(A e B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), e interpretare la risposta in termini del modello. (nostra traduzione)

A questo livello, gli studenti applicano la regola generale della moltiplicazione per trovare la probabilità di eventi composti. Lavorando con esperimenti a più fasi, calcolano la probabilità totale di un esito che può verificarsi attraverso percorsi diversi e utilizzano la formula di Bayes per determinare le probabilità condizionate a ritroso, individuando quale percorso iniziale sia stato seguito dopo aver osservato l'esito finale.

Un errore comune consiste nel confondere la condizione con l'esito, trattando la probabilità di estrarre un oggetto specifico da un'urna, P(pallina | urna), come identica alla probabilità che sia stata scelta una specifica urna, P(urna | pallina). Inoltre, gli studenti dimenticano spesso di moltiplicare per la probabilità di selezionare il contenitore stesso, concentrandosi solo sul rapporto delle palline colorate al suo interno.

Gli esercizi pratici si concentrano su esperimenti con due urne. Ad esempio, a uno studente vengono assegnate due urne contenenti diverse composizioni di biglie colorate, come rosse e verdi. In un esercizio sulla probabilità totale, determina la probabilità complessiva di estrarre una biglia rossa dopo aver scelto casualmente un'urna. In un esercizio sulla formula di Bayes, viene indicato che è stata estratta una biglia rossa e occorre calcolare la probabilità che provenga dalla prima urna.

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Tipi di esercizi: Formula di Bayes — due urne · Probabilità totale — due urne

Utilizzo delle formule dei prodotti notevoli

Gli studenti imparano a utilizzare schemi algebrici per sviluppare il quadrato di un binomio e il prodotto di una somma per una differenza senza moltiplicare termine a termine.

Punto del programma HSA-SSE.A.2 Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2). (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a identificare la struttura di base delle espressioni algebriche per riscriverle e svilupparle rapidamente. Invece di moltiplicare i termini singolarmente, applicano schemi standard abbreviati per sviluppare i prodotti di binomi che coinvolgono addizioni e sottrazioni.

Un errore comune si verifica nello sviluppo del quadrato di una somma o di una differenza. Gli studenti scrivono frequentemente (x + 4)^2 come x^2 + 16, distribuendo erroneamente l'esponente a ciascun termine e omettendo il termine intermedio che deriva dal moltiplicare i due termini tra loro e raddoppiare il risultato.

Gli esercizi si concentrano direttamente su due forme standard:

  • Prodotto di una somma per una differenza: riconoscere termini corrispondenti con segni opposti, come (x + 4)(x - 4), e riscriverli direttamente come una differenza di quadrati.
  • Quadrato di una somma o di una differenza: sviluppare espressioni come (x + 3)^2 o (x - 5)^2 in espressioni complete a tre termini.
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Tipi di esercizi: Prodotto di una somma per una differenza · Quadrato di una somma o differenza

Scrivere le equazioni di rette e rette parallele

Gli studenti imparano a scrivere l'equazione di una retta passante per due punti dati o passante per un punto specifico e parallela a un'altra retta.

Punto del programma HSF-BF.A.1 Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a scrivere un'equazione lineare in forma esplicita che descrive la relazione tra i valori di due coordinate. In questo livello scolastico, determinano il coefficiente angolare e l'intercetta per definire una retta, utilizzando due punti dati oppure un singolo punto associato a una retta esistente ad essa parallela.

Un errore frequente si verifica nella gestione delle rette parallele: a volte gli studenti confondono le relazioni di parallelismo e perpendicolarità, invertendo erroneamente o cambiando di segno il coefficiente angolare anziché mantenerlo identico. Un altro errore comune consiste nell'invertire l'ordine delle coordinate durante il calcolo del coefficiente angolare, posizionando accidentalmente la variazione di x sopra la variazione di y o confondendo i segni positivi e negativi durante la sottrazione.

Gli esercizi delle schede didattiche assumono solitamente una di queste due forme:

  • Funzione lineare per due punti: agli studenti vengono fornite due coppie di coordinate e devono calcolare il coefficiente angolare e determinare l'equazione.
  • Retta parallela passante per un punto: gli studenti ricavano il coefficiente angolare dall'equazione di una retta data e lo utilizzano insieme a un nuovo punto di coordinate per scrivere l'equazione della retta parallela.
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Tipi di esercizi: Funzione lineare per due punti · Retta parallela per un punto

Trovare il vertice e utilizzare la forma del vertice

Gli studenti imparano a riscrivere le equazioni quadratiche nella forma del vertice per identificare il vertice, l'asse di simmetria e i valori massimi o minimi di una parabola.

Punto del programma HSF-IF.C.8 Scrivere una funzione definita da un'espressione in forme diverse ma equivalenti per rivelare e spiegare diverse proprietà della funzione. a. Utilizzare il processo di scomposizione in fattori e di completamento del quadrato in una funzione quadratica per mostrare gli zeri, i valori estremi e la simmetria del grafico, e interpretarli rispetto a un contesto. b. Utilizzare le proprietà degli esponenti per interpretare espressioni di funzioni esponenziali. Ad esempio, individuare il tasso percentuale di variazione in funzioni come y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, e classificarle come rappresentanti una crescita o un decadimento esponenziale. (nostra traduzione)

Gli studenti lavorano con le equazioni di secondo grado per rivelare le caratteristiche geometriche fondamentali delle parabole. Attraverso il completamento del quadrato, trasformano le espressioni quadratiche dalla forma standard alla forma del vertice per identificare l'asse di simmetria del grafico e i suoi valori estremi, nello specifico se la parabola raggiunge un punto di massimo o di minimo nel suo vertice.

Un errore frequente riguarda i segni quando si ricava la coordinata orizzontale dalla forma del vertice, y = a(x - h)^2 + k. Gli studenti spesso prendono alla lettera il segno all'interno delle parentesi, indicando erroneamente il vertice di y = (x + 4)^2 + 1 come (4, 1) anziché (-4, 1), poiché dimenticano che la formula standard prevede una sottrazione per la traslazione orizzontale.

Nella pratica, gli studenti svolgono compiti allineati con Forma del vertice di una funzione quadratica e Vertice di una parabola. Questi esercizi richiedono di convertire le espressioni quadratiche standard nella forma del vertice mediante passaggi algebrici, leggere le coordinate del punto di svolta direttamente dall'equazione riscritta e indicare se tale punto rappresenta un valore massimo o minimo.

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Tipi di esercizi: Vertice di una parabola · Forma canonica della funzione quadratica

Trovare i lati mancanti dei triangoli rettangoli

Gli studenti imparano a utilizzare i rapporti trigonometrici per trovare la lunghezza incognita di un cateto opposto o adiacente a un dato angolo in un triangolo rettangolo.

Punto del programma HSG-SRT.C.8 Utilizzare i rapporti trigonometrici e il teorema di Pitagora per risolvere triangoli rettangoli in problemi applicati. ★ (nostra traduzione)

In questa fase, gli studenti utilizzano i rapporti trigonometrici fondamentali per calcolare la lunghezza di un lato sconosciuto in un triangolo rettangolo. Data la misura di un angolo acuto e la lunghezza di un lato, individuano il rapporto trigonometrico appropriato — seno, coseno o tangente — per determinare la lunghezza di un cateto sconosciuto.

Un frequente ostacolo consiste nel confondere i lati rispetto all'angolo di riferimento. Gli studenti confondono spesso il cateto opposto (il lato di fronte all'angolo) con il cateto adiacente (il lato accanto all'angolo, compreso tra quest'ultimo e l'angolo retto). Ciò porta a impostare il rapporto al contrario o a scegliere una funzione trigonometrica del tutto errata.

Le attività della scheda forniscono il diagramma di un triangolo rettangolo con le relative indicazioni e si concentrano su due tipologie concrete di problemi:

  • Cateto opposto a un angolo: utilizzare l'angolo dato e un altro lato per calcolare la lunghezza del lato situato direttamente di fronte a tale angolo.
  • Cateto adiacente a un angolo: utilizzare l'angolo dato e un altro lato per trovare la lunghezza del cateto adiacente all'angolo.
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Tipi di esercizi: Cateto adiacente · Cateto opposto

Trovare gli angoli al centro e alla circonferenza nei cerchi

Gli studenti imparano a calcolare le ampiezze degli angoli mancanti nelle circonferenze utilizzando la regola secondo cui un angolo al centro ha un'ampiezza doppia rispetto a quella di un angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.

Punto del programma HSG-C.A.2 Identificare e descrivere le relazioni tra angoli inscritti, raggi e corde. Includere la relazione tra angoli al centro, inscritti e circoscritti; gli angoli inscritti su un diametro sono angoli retti; il raggio di una circonferenza è perpendicolare alla tangente nel punto in cui il raggio interseca la circonferenza. (nostra traduzione)

In geometria, gli studenti del secondo anno delle superiori esplorano la relazione tra gli angoli di una circonferenza che insistono sullo stesso arco. Imparano che un angolo al centro, che ha il vertice al centro della circonferenza, è sempre il doppio di un angolo alla circonferenza, che ha invece il vertice sulla circonferenza stessa. Utilizzando questa relazione, gli studenti calcolano gli angoli incogniti raddoppiando o dimezzando semplicemente i valori.

Un errore comune si verifica quando gli studenti confondono quale angolo sia il più ampio. Poiché entrambi gli angoli condividono gli stessi identici estremi sulla circonferenza, gli studenti spesso presumono che siano uguali, oppure raddoppiano per sbaglio l'angolo al centro invece di dividerlo per due. Visualizzare che l'angolo alla circonferenza si trova più arretrato, sul bordo della circonferenza, li aiuta a ricordare che deve essere l'angolo più acuto.

Gli esercizi pratici forniscono diagrammi di circonferenze con dati basati su due tipologie: trovare un angolo al centro a partire dall'angolo alla circonferenza (ad esempio, moltiplicando per 2 un angolo alla circonferenza di 35 gradi per ottenere 70 gradi) e trovare un angolo alla circonferenza a partire dall'angolo al centro (come dividere per 2 un angolo al centro di 110 gradi per ottenere 55 gradi).

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Tipi di esercizi: Angolo al centro dall'angolo alla circonferenza · Angolo alla circonferenza dall'angolo al centro

Determinare le lunghezze di corde e segmenti di tangente

Gli studenti imparano a calcolare le lunghezze delle corde e dei segmenti tangenti nelle circonferenze utilizzando le proprietà dei raggi, delle tangenti e dei triangoli rettangoli.

Punto del programma HSG-C.A.2 Identificare e descrivere le relazioni tra angoli inscritti, raggi e corde. Includere la relazione tra angoli al centro, inscritti e circoscritti; gli angoli inscritti su un diametro sono angoli retti; il raggio di una circonferenza è perpendicolare alla tangente nel punto in cui il raggio interseca la circonferenza. (nostra traduzione)

In geometria, gli studenti applicano le proprietà della circonferenza per calcolare lunghezze sconosciute. Utilizzano la regola secondo cui il raggio di una circonferenza è perpendicolare alla retta tangente nel punto di contatto, nonché le relazioni geometriche che collegano i raggi alle corde. Combinando questi teoremi geometrici con le proprietà dei triangoli rettangoli, gli studenti calcolano le misure mancanti direttamente a partire dalle figure geometriche.

Un errore comune consiste nell'individuare in modo errato l'angolo retto nei problemi con le tangenti. Gli studenti spesso presumono che l'angolo retto si trovi in un punto esterno anziché nel punto in cui il raggio incontra la retta tangente, il che li porta a identificare erroneamente l'ipotenusa. Nel risolvere problemi con le corde, gli studenti dimenticano frequentemente anche che una retta perpendicolare condotta dal centro divide la corda in due parti uguali, portandoli a indicare la misura di metà segmento anziché l'intera lunghezza della corda.

Gli esercizi pratici si concentrano su due tipologie principali:

  • Lunghezza di un segmento di tangente: gli studenti osservano una circonferenza con un raggio e una retta tangente esterna, utilizzando il raggio assegnato e la distanza dal centro per determinare la lunghezza del segmento di tangente.
  • Lunghezza di una corda: gli studenti lavorano su una figura che mostra una circonferenza con una corda, utilizzando il raggio e la distanza perpendicolare dal centro della circonferenza per determinare la lunghezza totale della corda.
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Tipi di esercizi: Lunghezza di una corda · Segmento di tangente

Calcolare la probabilità condizionata da una tabella

Gli studenti imparano a determinare la probabilità di un evento data un'altra condizione utilizzando i dati di una tabella, esprimendo la risposta sotto forma di frazione e spiegandone il significato.

Punto del programma HSS-CP.A.4 Costruire e interpretare tabelle di frequenza a doppia entrata di dati quando a ciascun oggetto classificato sono associate due categorie. Utilizzare la tabella a doppia entrata come spazio campionario per decidere se gli eventi sono indipendenti e per approssimare probabilità condizionate. Ad esempio, raccogliere dati da un campione casuale di studenti della propria scuola sulla loro materia preferita tra matematica, scienze e inglese. Stimare la probabilità che uno studente della propria scuola selezionato casualmente preferisca le scienze dato che frequenta il decimo anno. Fare lo stesso per altre materie e confrontare i risultati. (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-CP.B.6 Trovare la probabilità condizionata di A dato B come la frazione degli esiti di B che appartengono anche ad A, e interpretare la risposta in termini del modello. (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-ID.B.5 Sintetizzare dati categorici per due categorie in tabelle di frequenza a doppia entrata. Interpretare le frequenze relative nel contesto dei dati (comprese le frequenze relative congiunte, marginali e condizionate). Riconoscere possibili associazioni e tendenze nei dati. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a calcolare la probabilità condizionata di un evento A dato che si è verificato un altro evento B. Utilizzano i dati per identificare il sottoinsieme di esiti che soddisfano la condizione B, pongono tale conteggio come denominatore e trovano la frazione di quegli esiti specifici che appartengono anche ad A. Gli studenti interpretano quindi ciò che questa frazione rappresenta nel contesto del problema.

Un errore frequente consiste nel dividere per la popolazione totale anziché per la condizione ristretta. Quando viene richiesta la probabilità di A dato B, gli studenti prendono spesso il totale complessivo dall'intero insieme di dati invece di concentrarsi sulla riga o sulla colonna che rappresenta unicamente la condizione B.

Le attività delle schede didattiche presentano tabelle di frequenza a doppia entrata che categorizzano i risultati di sondaggi o dati sperimentali. Gli studenti leggono la tabella per individuare la condizione assegnata, identificare la categoria di intersezione e scrivere la probabilità condizionata risultante come frazione semplificata.

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Calcolo della probabilità dell'unione di eventi

Gli studenti imparano a usare la regola dell'addizione per calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi, tenendo conto degli eventuali esiti che condividono.

Punto del programma HSS-CP.A.1 Descrivere eventi come sottoinsiemi di uno spazio campionario (l'insieme degli esiti) utilizzando caratteristiche (o categorie) degli esiti, o come unioni, intersezioni o complementi di altri eventi (“o”, “e”, “non”). (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-CP.B.7 Applicare la regola dell'addizione, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A e B), e interpretare la risposta in termini del modello. (nostra traduzione)

A questo livello, gli studenti calcolano la probabilità che l'evento A, l'evento B o entrambi si verifichino all'interno di uno spazio campionario. Applicano la regola della somma, rappresentata come P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A e B), interpretando gli esiti descritti con «o», «e» e «non». Gli studenti lavorano con probabilità espresse sotto forma di frazioni, numeri decimali o percentuali per modellizzare situazioni reali.

L'errore più comune consiste nel dimenticare di sottrarre l'intersezione, P(A e B). Quando due eventi possono verificarsi contemporaneamente, sommare semplicemente le loro singole probabilità conta due volte gli esiti condivisi, il che porta spesso a una risposta errata o a una probabilità maggiore di 1.

Le attività basate sul modello Probabilità dell'unione di eventi propongono in genere agli studenti uno scenario, come l'estrazione di una carta con caratteristiche specifiche o la selezione di una persona da determinate categorie di un sondaggio. Gli studenti individuano la probabilità di ciascun evento separato, determinano la probabilità della sovrapposizione in cui entrambe le condizioni sono soddisfatte e applicano la formula per trovare la probabilità combinata.

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Calcolo delle probabilità con le combinazioni

Gli studenti imparano a utilizzare le permutazioni e le combinazioni per calcolare la probabilità esatta di eventi composti, come l'estrazione di elementi da un gruppo senza reinserimento.

Punto del programma HSS-CP.B.9 (+) Utilizzare permutazioni e combinazioni per calcolare le probabilità di eventi composti e risolvere problemi. (nostra traduzione)

Al secondo anno delle scuole superiori, gli studenti imparano a usare le permutazioni e le combinazioni per calcolare la probabilità di eventi composti. Invece di provare a scrivere a mano ogni possibile risultato, applicano metodi di calcolo combinatorio per determinare sia il numero totale di esiti favorevoli sia il totale dei possibili esiti quando si selezionano gruppi di elementi.

Un ostacolo comune consiste nel confondersi sull'importanza dell'ordine di selezione. Quando si sceglie un gruppo in cui l'ordine non ha importanza, gli studenti usano spesso per errore le permutazioni invece delle combinazioni. Un altro errore frequente nelle selezioni in più fasi è dimenticare che ogni estrazione modifica l'insieme di partenza, trattando le estrazioni come eventi indipendenti anziché tenere conto degli elementi rimossi dal totale.

I problemi di esercitazione presentano tipicamente scenari come l'estrazione senza reinserimento di palline colorate da un'urna o da un sacchetto. Ad esempio, dato un determinato numero di palline rosse e blu, a uno studente potrebbe essere richiesto di calcolare la probabilità di estrarre esattamente due palline rosse e una blu in un campione di tre, utilizzando le combinazioni per valutare sia i sottoinsiemi favorevoli sia lo spazio campionario complessivo.

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Traslazione dei grafici di funzioni

Gli studenti imparano in che modo aggiungere o sottrarre numeri trasla un grafico verso l'alto, verso il basso, a sinistra o a destra, e come identificare questi spostamenti tra equazioni e grafici.

Punto del programma HSF-BF.B.3 Identificare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k) per valori specifici di k (sia positivi sia negativi); trovare il valore di k dati i grafici. Sperimentare con diversi casi e illustrare una spiegazione degli effetti sul grafico mediante l'uso della tecnologia. Includere il riconoscimento di funzioni pari e dispari a partire dai loro grafici e dalle loro espressioni algebriche. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a collegare le modifiche algebriche in una funzione alle traslazioni fisiche del suo grafico sul piano cartesiano. Nello specifico, esaminano come la sostituzione di f(x) con f(x) + k o f(x + k) sposti la curva verticalmente o orizzontalmente, utilizzando sia valori positivi che negativi di k. Dati un grafico originale e la sua immagine traslata, individuano inoltre il valore specifico di k che ha causato la traslazione.

Un frequente ostacolo è la direzione delle traslazioni orizzontali. Poiché l'addizione è associata alla direzione positiva su una retta numerica, gli studenti spesso presumono che f(x + 4) sposti il grafico di quattro unità verso destra. In realtà, sommare all'interno dell'argomento sposta il grafico verso sinistra, mentre sottrarre lo sposta verso destra. Gli studenti confondono spesso anche queste modifiche orizzontali all'interno delle parentesi con le traslazioni verticali sommate all'esterno della funzione.

Le attività delle schede didattiche basate su Traslare un grafico presentano agli studenti una curva tracciata e chiedono loro di tracciare il grafico risultante da una trasformazione oppure di identificare la traslazione a partire da un'immagine. Gli studenti possono prendere una determinata funzione, applicare una regola come f(x) − 3 o f(x + 2) e tracciare i punti traslati, oppure determinare il valore numerico di k misurando la distanza tra punti caratteristici su due grafici visualizzati.

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Calcolo del tasso medio di variazione

Gli studenti imparano a calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione in un intervallo utilizzando formule, tabelle e grafici.

Punto del programma HSF-IF.B.6 Calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione (presentata simbolicamente o come tabella) in un intervallo specificato. Stimare il tasso di variazione da un grafico. ★ (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a misurare quanto varia l'output di una funzione rispetto al suo input in un determinato intervallo. Calcolano questo tasso utilizzando funzioni presentate sotto forma di equazioni algebriche o tabelle di valori, e lo stimano leggendo le coordinate da un grafico. Oltre a calcolare il valore numerico, gli studenti imparano a interpretare il significato di tale tasso in scenari reali.

Un errore comune consiste nell'invertire il calcolo ponendo la variazione dell'input sopra la variazione dell'output, confondendo la variabile indipendente con quella dipendente. Spesso gli studenti sottraggono anche i valori in direzioni discordi—ad esempio sottraendo il primo input dal secondo, ma sottraendo il secondo output dal primo—il che porta a un segno errato.

Negli esercizi pratici sul Tasso medio di variazione, gli studenti ricevono in genere l'espressione di una funzione, una tabella di dati o una curva tracciata su un grafico insieme a un intervallo specificato. Individuano o calcolano i valori della funzione a entrambi gli estremi dell'intervallo, impostano il rapporto tra la variazione verticale e la variazione orizzontale, e calcolano o stimano il tasso medio su tale intervallo.

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Combinare le funzioni mediante composizione

Gli studenti imparano a valutare e scrivere funzioni composte utilizzando l'output di una funzione come input per un'altra.

Punto del programma HSF-BF.A.1 Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a comporre funzioni prendendo l'output di una funzione interna e inserendolo direttamente come input in una funzione esterna. A questo livello, gli studenti scrivono regole di composizione come f(g(x)) e le applicano a contesti in cui le grandezze sono collegate attraverso passaggi successivi, come trovare la temperatura atmosferica a un determinato istante quando la temperatura dipende dall'altitudine e l'altitudine dipende dal tempo.

Un ostacolo frequente consiste nel confondere la composizione con la moltiplicazione. Invece di sostituire la variabile nella funzione esterna con l'intera espressione interna, gli studenti spesso moltiplicano tra loro le due formule. Un altro errore comune è invertire l'ordine delle operazioni, applicando prima la funzione esterna invece di procedere dall'interno verso l'esterno.

L'esercitazione con il modello Composizione di funzioni presenta due definizioni di funzione distinte e chiede agli studenti di scrivere una regola semplificata per la funzione composta o di calcolare il valore numerico finale per uno specifico input.

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Trovare l'inversa di una funzione lineare

Gli studenti imparano a scrivere la regola inversa di una funzione lineare invertendo le sue operazioni algebriche e ricavando il nuovo output.

Punto del programma HSF-BF.B.4 Trovare funzioni inverse. a. Risolvere un'equazione della forma f(x) = c per una funzione semplice f che ha un'inversa e scrivere un'espressione per l'inversa. Per esempio, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) per x ≠ 1. b. (+) Verificare mediante composizione che una funzione è l'inversa di un'altra. c. (+) Leggere i valori di una funzione inversa da un grafico o da una tabella, dato che la funzione ha un'inversa. d. (+) Produrre una funzione invertibile da una funzione non invertibile restringendo il dominio. (nostra traduzione)

A questo livello, gli studenti lavorano con equazioni lineari per determinare le loro funzioni inverse. Data una regola lineare come f(x) = ax + b, gli studenti risolvono l'equazione rispetto alla variabile di input annullando sistematicamente ciascuna operazione, ottenendo una nuova formula che associa i valori di output ai rispettivi input originali.

Un errore comune consiste nel confondere la notazione dell'inversa f-1(x) con un esponente negativo. Spesso gli studenti scrivono per errore il reciproco 1/f(x) invece di trovare la funzione inversa. Un altro problema frequente è invertire l'ordine delle operazioni in modo scorretto, ad esempio dividendo per il coefficiente angolare prima di aver sottratto il termine noto.

Le attività di esercitazione basate sul modello Inversa di una funzione lineare presentano agli studenti una singola equazione lineare — che spesso coinvolge numeri interi o frazioni semplici — e chiedono di scrivere l'espressione algebrica della sua inversa.

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Calcolare l'area di figure simili

Gli studenti imparano come i fattori di scala della lunghezza dei lati influenzano lo spazio bidimensionale e calcolano l'area incognita di una figura simile.

Punto del programma HSG-SRT.A.1 Verificare sperimentalmente le proprietà delle omotetie date da un centro e da un fattore di scala: a. Un'omotetia trasforma una retta non passante per il centro dell'omotetia in una retta parallela, e lascia invariata una retta passante per il centro. b. L'omotetia di un segmento è più lunga o più corta nel rapporto dato dal fattore di scala. (nostra traduzione)

Gli studenti utilizzano le proprietà delle omotetie per determinare come la variazione delle dimensioni di una figura ne modifichi le misure. Quando una figura viene ingrandita o ridotta di un fattore di scala, le lunghezze dei segmenti variano in modo proporzionale e gli studenti applicano questa relazione per calcolare l'area incognita di una figura simile.

Un errore comune consiste nel trattare l'area come il perimetro o la lunghezza dei lati. Quando due figure hanno un fattore di scala pari a 3, gli studenti spesso moltiplicano direttamente l'area originale per 3. Dimenticano che l'area è bidimensionale e varia secondo il quadrato del fattore di scala, il che significa che in realtà aumenta di un fattore pari a 9.

In pratica, esercizi come Area di una figura simile presentano due poligoni simili con una coppia di lati corrispondenti e l'area di una delle figure. Gli studenti individuano il rapporto tra i lati corrispondenti, ne calcolano il quadrato e lo utilizzano per determinare l'area mancante.

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Usare il teorema di Talete per trovare le lunghezze

Gli studenti imparano a utilizzare il teorema di Talete e la similitudine tra triangoli per impostare proporzioni e calcolare le lunghezze dei lati mancanti nelle figure geometriche.

Punto del programma HSG-SRT.B.5 Utilizzare i criteri di congruenza e similitudine dei triangoli per risolvere problemi e per dimostrare relazioni in figure geometriche. (nostra traduzione)

Nella geometria della scuola secondaria di secondo grado, gli studenti applicano i criteri di similitudine ai triangoli intersecati da rette parallele. Utilizzando il teorema di Talete, riconoscono che rette parallele intercettano su rette trasversali segmenti proporzionali. Gli studenti impostano rapporti confrontando le lunghezze dei lati corrispondenti e risolvono proporzioni algebriche mediante moltiplicazioni e divisioni per determinare le lunghezze dei segmenti incogniti.

Un errore comune si verifica quando gli studenti confrontano i segmenti paralleli con i segmenti laterali. Invece di impostare un rapporto tra il lato del triangolo piccolo e l'intero lato del triangolo più grande, gli studenti spesso associano una base parallela solo al segmento inferiore di un lato. Ciò accade perché considerano ogni segmento visivamente separato come un lato indipendente di triangoli simili, anziché tenere conto della lunghezza dell'intero lato.

Gli esercizi delle schede didattiche basati sul modello Teorema di Talete presentano figure geometriche come un triangolo intersecato da una retta parallela alla sua base. Date le lunghezze di tre segmenti espresse come numeri interi o decimali, gli studenti scrivono una proporzione che mette in relazione le parti corrispondenti e ricavano il valore incognito indicato da una variabile.

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Divisione di un segmento in un dato rapporto

Gli studenti imparano a trovare le coordinate di un punto su un segmento orientato che divide il segmento in un dato rapporto.

Punto del programma HSG-GPE.B.6 Trovare il punto su un segmento orientato tra due punti dati che divide il segmento in un dato rapporto. (nostra traduzione)

Nella geometria analitica del 10° anno, gli studenti imparano a individuare un punto specifico lungo un segmento orientato tra due estremi noti. Date le coordinate degli estremi sul piano cartesiano, determinano le coordinate esatte x e y che dividono il segmento secondo un rapporto specificato.

Un errore comune si verifica quando gli studenti confondono un rapporto parte-a-parte con una frazione parte-al-tutto. Ad esempio, quando viene chiesto di dividere un segmento in un rapporto di 1:3, gli studenti spesso calcolano un terzo delle distanze orizzontale e verticale invece di un quarto. Un altro errore frequente consiste nell'eseguire il calcolo nella direzione errata, misurando a partire dal secondo estremo anziché dal punto di partenza stabilito del segmento orientato.

Gli esercizi pratici basati sul modello Divisione di un segmento secondo un rapporto presentano due punti con le relative coordinate e un rapporto prestabilito, come la divisione del segmento orientato AB dal punto A al punto B in un rapporto di 2:1. Gli studenti calcolano lo spostamento orizzontale e verticale, applicano la frazione appropriata e determinano le coordinate del punto risultante.

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Calcolo dell'area di un triangolo con le coordinate

Gli studenti imparano a calcolare l'area di un triangolo sul piano cartesiano utilizzando le coordinate dei vertici per determinare le lunghezze dei lati e le altezze.

Punto del programma HSG-GPE.B.7 Usare le coordinate per calcolare perimetri di poligoni e aree di triangoli e rettangoli, ad es., utilizzando la formula della distanza. ★ (nostra traduzione)

Gli studenti utilizzano le coordinate dei tre vertici di un triangolo su un piano cartesiano per calcolarne l'area. Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, applicano la formula della distanza per trovare le lunghezze di basi e altezze perpendicolari, oppure racchiudono la figura obliqua all'interno di un rettangolo circoscritto e sottraggono l'area dei triangoli rettangoli circostanti.

Un errore comune si verifica quando un triangolo non ha lati orizzontali o verticali. Gli studenti spesso considerano un lato qualsiasi come altezza senza verificare che formi un angolo retto con la base scelta. Sono frequenti anche gli errori di segno quando si sottraggono valori di coordinate negativi durante il calcolo delle distanze.

Gli esercizi delle schede didattiche basati sul modello Area di un triangolo dalle coordinate presentano tre vertici, tracciati su una griglia o scritti come coppie di coordinate. Gli studenti individuano o ricavano le misure necessarie e determinano l'area totale in unità quadrate.

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Calcolare la massa usando densità e volume

Gli studenti imparano a calcolare la massa di un blocco solido determinandone il volume e moltiplicandolo per la densità fornita.

Punto del programma HSG-MG.A.2 Applicare concetti di densità basati su area e volume in situazioni di modellizzazione (ad es., persone per miglio quadrato, BTU per piede cubico). ★ (nostra traduzione)

Nella geometria del decimo anno, gli studenti collegano la misurazione geometrica tridimensionale a oggetti del mondo reale. A questo livello, gli studenti ricavano il volume di un blocco rettangolare solido dalle sue dimensioni date e moltiplicano tale volume per una densità fornita per determinare la massa totale del blocco.

Un errore comune consiste nel fare confusione sulla relazione algebrica tra massa, volume e densità. Poiché la densità è definita mediante una divisione (massa divisa per il volume), spesso gli studenti dividono erroneamente il volume per la densità—o la densità per il volume—anziché moltiplicare il volume per la densità per isolare la massa.

In pratica, compiti come massa di un blocco dalla densità forniscono la lunghezza, la larghezza e l'altezza di un blocco insieme alla densità del materiale. Gli studenti calcolano il volume del blocco e poi moltiplicano tale volume per la densità per trovare la massa finale.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Trovare le permutazioni e contare le disposizioni

Area della superficie di cilindri, coni e sfere

Scomposizione di polinomi con raccoglimento parziale e cubi

Utilizzo del teorema dei seni e del coseno

Determinare termini e somme di successioni geometriche

Utilizzo della probabilità totale e della formula di Bayes

Utilizzo delle formule dei prodotti notevoli

Scrivere le equazioni di rette e rette parallele

Trovare il vertice e utilizzare la forma del vertice

Trovare i lati mancanti dei triangoli rettangoli

Trovare gli angoli al centro e alla circonferenza nei cerchi

Determinare le lunghezze di corde e segmenti di tangente

Calcolare la probabilità condizionata da una tabella

Calcolo della probabilità dell'unione di eventi

Calcolo delle probabilità con le combinazioni

Traslazione dei grafici di funzioni

Calcolo del tasso medio di variazione

Combinare le funzioni mediante composizione

Trovare l'inversa di una funzione lineare

Calcolare l'area di figure simili

Usare il teorema di Talete per trovare le lunghezze

Divisione di un segmento in un dato rapporto

Calcolo dell'area di un triangolo con le coordinate

Calcolare la massa usando densità e volume

Altri tipi di esercizi

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