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Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 10.º curso

Matemáticas de 10.º grado según los Estándares Estatales del Tronco Común (Common Core), generalmente Geometría: semejanza, trigonometría de triángulos rectángulos, las leyes de los senos y cosenos, círculos, geometría analítica, volumen y área superficial, y probabilidad condicional. Cada tema incluye hojas de trabajo imprimibles.

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¿Qué aprenden los estudiantes en matemáticas de 10.º grado?

En 10.º grado, los estudiantes utilizan la semejanza y la trigonometría de triángulos rectángulos, aplican las leyes de los senos y cosenos y trabajan con ángulos inscritos y centrales, tangentes y cuerdas. En el plano cartesiano hallan distancias, dividen segmentos y calculan áreas. Calculan el volumen y el área superficial de cilindros, conos y esferas, modelan con densidad y cuentan resultados para calcular probabilidades condicionales y compuestas.

Sobre los estándares: los estándares de Common Core para la escuela secundaria están organizados por categoría conceptual (Número y cantidad, Álgebra, Funciones, Geometría, Estadística y probabilidad), no por grado. La asignación de un tema a un grado es decisión nuestra, siguiendo la secuencia común de cursos de Álgebra I, Geometría, Álgebra II y Precálculo. Los estándares marcados con (+) van más allá del núcleo de preparación universitaria y profesional.

Estado de la página: los temas de este grado están listos como ejercicios simples (instrucciones y fórmulas); próximamente se añadirán problemas con diagramas y problemas verbales.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo HSA-SSE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ver la estructura en las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  2. Punto del currículo HSA-SSE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar la estructura de las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  3. Punto del currículo HSA-SSE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  4. Punto del currículo HSA-SSE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto.★ a. Interpretar partes de una expresión, tales como términos, factores y coeficientes. b. Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1+r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  5. Punto del currículo HSA-SSE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2).

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Uso de fórmulas de productos notables (en nuestro curso 9-11) · Factorización de polinomios por agrupación y cubos (en nuestro curso 9-11)

  6. Punto del currículo HSA-APR · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aritmética con polinomios y expresiones racionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  7. Punto del currículo HSA-APR.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar operaciones aritméticas con polinomios

    nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  8. Punto del currículo HSA-APR.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  9. Punto del currículo HSA-CED · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones★

    nuestra traducción · texto original (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  10. Punto del currículo HSA-CED.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones que describan números o relaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  11. Punto del currículo HSA-CED.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones y desigualdades en una variable y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surgen de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  12. Punto del currículo HSA-CED.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones con dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  13. Punto del currículo HSA-CED.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  14. Punto del currículo HSA-CED.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reorganizar fórmulas para destacar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que al resolver ecuaciones. Por ejemplo, reorganizar la ley de Ohm V = IR para destacar la resistencia R.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  15. Punto del currículo HSA-REI · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

    nuestra traducción · texto original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  16. Punto del currículo HSA-REI.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  17. Punto del currículo HSA-REI.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  18. Punto del currículo HSA-REI.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  19. Punto del currículo HSA-REI.C.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones con dos variables, reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  20. Punto del currículo HSA-REI.D.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se intersecan las gráficas de las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, p. ej., usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o hallar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.★

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  21. Punto del currículo HSF-IF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  22. Punto del currículo HSF-IF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  23. Punto del currículo HSF-IF.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Analizar funciones utilizando diferentes representaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  24. Punto del currículo HSF-IF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y trazar gráficas que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: intersecciones; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento en los extremos; y periodicidad .★

    nuestra traducción · texto original (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  25. Punto del currículo HSF-IF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se necesitan para ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio adecuado para la función. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  26. Punto del currículo HSF-IF.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Hallar la tasa de cambio promedio (en nuestro curso 9-11)

  27. Punto del currículo HSF-IF.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos simples y utilizando tecnología para casos más complicados. ★ a. Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar las intersecciones, los máximos y los mínimos. b. Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y definidas por partes, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de valor absoluto. c. Graficar funciones polinómicas, identificando los ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. d. (+) Graficar funciones racionales, identificando los ceros y las asíntotas cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando las intersecciones y el comportamiento en los extremos, y funciones trigonométricas, mostrando el período, la línea media y la amplitud.

    nuestra traducción · texto original (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  28. Punto del currículo HSF-IF.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a. Usar el proceso de factorización y de completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar los ceros, los valores extremos y la simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto. b. Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones tales como y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, y clasificarlas según representen crecimiento o decaimiento exponencial.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Hallar el vértice y usar la forma de vértice (en nuestro curso 9-11)

  29. Punto del currículo HSF-IF.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada la gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica de otra, indicar cuál tiene el máximo mayor.

    nuestra traducción · texto original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  30. Punto del currículo HSF-BF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construcción de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  31. Punto del currículo HSF-BF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir una función que modele una relación entre dos cantidades

    nuestra traducción · texto original (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  32. Punto del currículo HSF-BF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes

    nuestra traducción · texto original (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  33. Punto del currículo HSF-BF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Escribir ecuaciones de rectas y rectas paralelas (en nuestro curso 9-11) · Combinación de funciones mediante composición (en nuestro curso 9-11)

  34. Punto del currículo HSF-BF.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Traslación de gráficas de funciones (en nuestro curso 9-11)

  35. Punto del currículo HSF-BF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Hallar la inversa de una función lineal (en nuestro curso 9-11)

  36. Punto del currículo HSF-LE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales★

    nuestra traducción · texto original (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  37. Punto del currículo HSF-LE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  38. Punto del currículo HSG-CO · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Congruencia

    nuestra traducción · texto original (EN): Congruence

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Congruence (HSG-CO)

  39. Punto del currículo HSG-CO.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Experimentar con transformaciones en el plano

    nuestra traducción · texto original (EN): Experiment with transformations in the plane

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster A

  40. Punto del currículo HSG-CO.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la congruencia en términos de movimientos rígidos

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand congruence in terms of rigid motions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster B

  41. Punto del currículo HSG-CO.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas geométricos

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove geometric theorems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster C

  42. Punto del currículo HSG-CO.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar construcciones geométricas

    nuestra traducción · texto original (EN): Make geometric constructions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster D

  43. Punto del currículo HSG-CO.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Conocer definiciones precisas de ángulo, círculo, recta perpendicular, recta paralela y segmento de recta, basadas en las nociones no definidas de punto, recta, distancia a lo largo de una recta y distancia alrededor de un arco circular.

    nuestra traducción · texto original (EN): Know precise definitions of angle, circle, perpendicular line, parallel line, and line segment, based on the undefined notions of point, line, distance along a line, and distance around a circular arc.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.1

  44. Punto del currículo HSG-CO.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar transformaciones en el plano usando, p. ej., transparencias y software de geometría; describir transformaciones como funciones que toman puntos en el plano como entradas y dan otros puntos como salidas. Comparar transformaciones que conservan la distancia y el ángulo con aquellas que no lo hacen (p. ej., traslación frente a estiramiento horizontal).

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent transformations in the plane using, e.g., transparencies and geometry software; describe transformations as functions that take points in the plane as inputs and give other points as outputs. Compare transformations that preserve distance and angle to those that do not (e.g., translation versus horizontal stretch).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.2

  45. Punto del currículo HSG-CO.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Dado un rectángulo, paralelogramo, trapecio o polígono regular, describe las rotaciones y reflexiones que lo llevan sobre sí mismo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Given a rectangle, parallelogram, trapezoid, or regular polygon, describe the rotations and reflections that carry it onto itself.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.3

  46. Punto del currículo HSG-CO.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Desarrollar definiciones de rotaciones, reflexiones y traslaciones en términos de ángulos, círculos, rectas perpendiculares, rectas paralelas y segmentos de recta.

    nuestra traducción · texto original (EN): Develop definitions of rotations, reflections, and translations in terms of angles, circles, perpendicular lines, parallel lines, and line segments.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.4

  47. Punto del currículo HSG-CO.A.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Dada una figura geométrica y una rotación, reflexión o traslación, dibujar la figura transformada usando, p. ej., papel cuadriculado, papel de calco o software de geometría. Especificar una secuencia de transformaciones que lleve una figura dada sobre otra.

    nuestra traducción · texto original (EN): Given a geometric figure and a rotation, reflection, or translation, draw the transformed figure using, e.g., graph paper, tracing paper, or geometry software. Specify a sequence of transformations that will carry a given figure onto another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.5

  48. Punto del currículo HSG-CO.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar descripciones geométricas de movimientos rígidos para transformar figuras y para predecir el efecto de un movimiento rígido dado sobre una figura dada; dadas dos figuras, usar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para decidir si son congruentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use geometric descriptions of rigid motions to transform figures and to predict the effect of a given rigid motion on a given figure; given two figures, use the definition of congruence in terms of rigid motions to decide if they are congruent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.6

  49. Punto del currículo HSG-CO.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para demostrar que dos triángulos son congruentes si y solo si los pares correspondientes de lados y los pares correspondientes de ángulos son congruentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the definition of congruence in terms of rigid motions to show that two triangles are congruent if and only if corresponding pairs of sides and corresponding pairs of angles are congruent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.7

  50. Punto del currículo HSG-CO.B.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar cómo los criterios de congruencia de triángulos (ALA, LAL y LLL) se derivan de la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain how the criteria for triangle congruence (ASA, SAS, and SSS) follow from the definition of congruence in terms of rigid motions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.8

  51. Punto del currículo HSG-CO.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre rectas y ángulos. Los teoremas incluyen: los ángulos opuestos por el vértice son congruentes; cuando una transversal corta rectas paralelas, los ángulos alternos internos son congruentes y los ángulos correspondientes son congruentes; los puntos de una mediatriz de un segmento de recta son exactamente aquellos equidistantes de los extremos del segmento.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems about lines and angles. Theorems include: vertical angles are congruent; when a transversal crosses parallel lines, alternate interior angles are congruent and corresponding angles are congruent; points on a perpendicular bisector of a line segment are exactly those equidistant from the segment’s endpoints.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.9

  52. Punto del currículo HSG-CO.C.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre triángulos. Los teoremas incluyen: las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°; los ángulos de la base de los triángulos isósceles son congruentes; el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud; las medianas de un triángulo concurren en un punto.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: measures of interior angles of a triangle sum to 180°; base angles of isosceles triangles are congruent; the segment joining midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half the length; the medians of a triangle meet at a point.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.10

  53. Punto del currículo HSG-CO.C.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre paralelogramos. Los teoremas incluyen: los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes, las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente, y a la inversa, los rectángulos son paralelogramos con diagonales congruentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems about parallelograms. Theorems include: opposite sides are congruent, opposite angles are congruent, the diagonals of a parallelogram bisect each other, and conversely, rectangles are parallelograms with congruent diagonals.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.11

  54. Punto del currículo HSG-CO.D.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar construcciones geométricas formales con una variedad de herramientas y métodos (compás y regla, cuerda, dispositivos reflectantes, plegado de papel, software de geometría dinámica, etc.). Copiar un segmento; copiar un ángulo; bisecar un segmento; bisecar un ángulo; construir rectas perpendiculares, incluida la mediatriz de un segmento; y construir una recta paralela a una recta dada a través de un punto que no está en la recta.

    nuestra traducción · texto original (EN): Make formal geometric constructions with a variety of tools and methods (compass and straightedge, string, reflective devices, paper folding, dynamic geometric software, etc.). Copying a segment; copying an angle; bisecting a segment; bisecting an angle; constructing perpendicular lines, including the perpendicular bisector of a line segment; and constructing a line parallel to a given line through a point not on the line.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.12

  55. Punto del currículo HSG-CO.D.13 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono regular inscritos en una circunferencia.

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct an equilateral triangle, a square, and a regular hexagon inscribed in a circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.13

  56. Punto del currículo HSG-SRT · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Semejanza, triángulos rectángulos y trigonometría

    nuestra traducción · texto original (EN): Similarity, Right Triangles, and Trigonometry

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Similarity, Right Triangles, and Trigonometry (HSG-SRT)

  57. Punto del currículo HSG-SRT.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la semejanza en términos de transformaciones de semejanza

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand similarity in terms of similarity transformations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster A

  58. Punto del currículo HSG-SRT.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre la semejanza

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems involving similarity

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster B

  59. Punto del currículo HSG-SRT.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Definir razones trigonométricas y resolver problemas que involucran triángulos rectángulos

    nuestra traducción · texto original (EN): Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster C

  60. Punto del currículo HSG-SRT.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplicar la trigonometría a triángulos generales

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply trigonometry to general triangles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster D

  61. Punto del currículo HSG-SRT.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Verificar experimentalmente las propiedades de las homotecias dadas por un centro y un factor de escala: a. Una homotecia transforma una recta que no pasa por el centro de la homotecia en una recta paralela, y deja invariable una recta que pasa por el centro. b. La homotecia de un segmento de recta es más larga o más corta en la razón dada por el factor de escala.

    nuestra traducción · texto original (EN): Verify experimentally the properties of dilations given by a center and a scale factor: a. A dilation takes a line not passing through the center of the dilation to a parallel line, and leaves a line passing through the center unchanged. b. The dilation of a line segment is longer or shorter in the ratio given by the scale factor.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.1

    Hallar el área de figuras semejantes (en nuestro curso 10)

  62. Punto del currículo HSG-SRT.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Dadas dos figuras, usar la definición de semejanza en términos de transformaciones de semejanza para decidir si son semejantes; explicar utilizando transformaciones de semejanza el significado de la semejanza para triángulos como la igualdad de todos los pares de ángulos correspondientes y la proporcionalidad de todos los pares de lados correspondientes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Given two figures, use the definition of similarity in terms of similarity transformations to decide if the y are similar; explain using similarity transformations the meaning of similarity for triangles as the equality of all corresponding pairs of angles and the proportionality of all corresponding pairs of sides.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.2

  63. Punto del currículo HSG-SRT.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar las propiedades de las transformaciones de semejanza para establecer el criterio AA para que dos triángulos sean semejantes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the properties of similarity transformations to establish the AA criterion for two triangles to be similar.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.3

  64. Punto del currículo HSG-SRT.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre triángulos. Los teoremas incluyen: una recta paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos proporcionalmente, y viceversa; el teorema de Pitágoras demostrado mediante la semejanza de triángulos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: a line parallel to one side of a triangle divides the other two proportionally, and conversely; the Pythagorean Theorem proved using triangle similarity.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.4

  65. Punto del currículo HSG-SRT.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas y para demostrar relaciones en figuras geométricas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use congruence and similarity criteria for triangles to solve problems and to prove relationships in geometric figures.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.5

    Uso del teorema de Tales para hallar longitudes (en nuestro curso 10)

  66. Punto del currículo HSG-SRT.C.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que, por semejanza, las razones entre los lados en triángulos rectángulos son propiedades de los ángulos en el triángulo, lo que lleva a las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that by similarity, side ratios in right triangles are properties of the angles in the triangle, leading to definitions of trigonometric ratios for acute angles.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.6

  67. Punto del currículo HSG-SRT.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar y utilizar la relación entre el seno y el coseno de ángulos complementarios.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain and use the relationship between the sine and cosine of complementary angles.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.7

  68. Punto del currículo HSG-SRT.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos en problemas aplicados. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Use trigonometric ratios and the Pythagorean Theorem to solve right triangles in applied problems. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.8

    Hallar los lados faltantes de triángulos rectángulos (en nuestro curso 10)

  69. Punto del currículo HSG-SRT.D.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Deducir la fórmula A = 1/2 ab sen(C) para el área de un triángulo trazando una línea auxiliar desde un vértice perpendicular al lado opuesto.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Derive the formula A = 1/2 ab sin(C) for the area of a triangle by drawing an auxiliary line from a vertex perpendicular to the opposite side.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.9

  70. Punto del currículo HSG-SRT.D.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Demostrar las leyes de los senos y cosenos y usarlas para resolver problemas.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Prove the Laws of Sines and Cosines and use them to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.10

  71. Punto del currículo HSG-SRT.D.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Comprender y aplicar la ley de los senos y la ley de los cosenos para hallar medidas desconocidas en triángulos rectángulos y no rectángulos (p. ej., problemas de agrimensura, fuerzas resultantes).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand and apply the Law of Sines and the Law of Cosines to find unkno wn measurements in right and non-right triangles (e.g., surveying problems, resultant forces).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.11

    Uso de las leyes de los senos y cosenos (en nuestro curso 10)

  72. Punto del currículo HSG-C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Círculos

    nuestra traducción · texto original (EN): Circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Circles (HSG-C)

  73. Punto del currículo HSG-C.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender y aplicar teoremas sobre círculos

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand and apply theorems about circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster A

  74. Punto del currículo HSG-C.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar longitudes de arco y áreas de sectores circulares

    nuestra traducción · texto original (EN): Find arc lengths and areas of sectors of circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster B

  75. Punto del currículo HSG-C.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar que todos los círculos son semejantes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove that all circles are similar.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.1

  76. Punto del currículo HSG-C.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar y describir relaciones entre ángulos inscritos, radios y cuerdas. Incluir la relación entre ángulos centrales, inscritos y circunscritos; los ángulos inscritos sobre un diámetro son ángulos rectos; el radio de una circunferencia es perpendicular a la tangente donde el radio interseca la circunferencia.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify and describe relationships among inscribed angles, radii, and chords. Include the relationship between central, inscribed, and circumscribed angles; inscribed angles on a diameter are right angles; the radius of a circle is perpendicular to the tangent where the radius intersects the circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.2

    Cálculo de ángulos centrales e inscritos en circunferencias (en nuestro curso 10) · Cálculo de longitudes de cuerdas y segmentos tangentes (en nuestro curso 10)

  77. Punto del currículo HSG-C.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir las circunferencias inscrita y circunscrita de un triángulo, y demostrar propiedades de los ángulos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia.

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct the inscribed and circumscribed circles of a triangle, and prove properties of angles for a quadrilateral inscribed in a circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.3

  78. Punto del currículo HSG-C.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Construir una recta tangente desde un punto exterior a una circunferencia dada a la circunferencia.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Construct a tangent line from a point outside a given circle to the circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.4

  79. Punto del currículo HSG-C.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Deducir, utilizando la semejanza, el hecho de que la longitud del arco interceptado por un ángulo es proporcional al radio, y definir la medida en radianes del ángulo como la constante de proporcionalidad; deducir la fórmula para el área de un sector.

    nuestra traducción · texto original (EN): Derive using similarity the fact that the length of the arc intercepted by an angle is proportional to the radius, and define the radian measure of the angle as the constant of proportionality; derive the formula for the area of a sector.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.B.5

  80. Punto del currículo HSG-GPE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Expresar propiedades geométricas con ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  81. Punto del currículo HSG-GPE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Traducir entre la descripción geométrica y la ecuación de una sección cónica

    nuestra traducción · texto original (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  82. Punto del currículo HSG-GPE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar coordenadas para demostrar algebraicamente teoremas geométricos sencillos

    nuestra traducción · texto original (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster B

  83. Punto del currículo HSG-GPE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Deducir la ecuación de una circunferencia de centro y radio dados utilizando el teorema de Pitágoras; completar el cuadrado para hallar el centro y el radio de una circunferencia dada por una ecuación.

    nuestra traducción · texto original (EN): Derive the equation of a circle of given center and radius using the Pythagorean Theorem; complete the square to find the center and radius of a circle given by an equation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.1

  84. Punto del currículo HSG-GPE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Deducir la ecuación de una parábola dados un foco y una directriz.

    nuestra traducción · texto original (EN): Derive the equation of a parabola given a focus and directrix.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.2

  85. Punto del currículo HSG-GPE.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar coordenadas para demostrar teoremas geométricos sencillos algebraicamente. Por ejemplo, demostrar o refutar que una figura definida por cuatro puntos dados en el plano de coordenadas es un rectángulo; demostrar o refutar que el punto (1, √3) se encuentra en la circunferencia con centro en el origen y que contiene el punto (0, 2).

    nuestra traducción · texto original (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically. For example, prove or disprove that a figure defined by four given points in the coordinate plane is a rectangle; prove or disprove that the point (1, √3) lies on the circle centered at the origin and containing the point (0, 2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.4

  86. Punto del currículo HSG-GPE.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar los criterios de la pendiente para rectas paralelas y perpendiculares y usarlos para resolver problemas geométricos (por ejemplo, hallar la ecuación de una recta paralela o perpendicular a una recta dada que pasa por un punto dado).

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove the slope criteria for parallel and perpendicular lines and use them to solve geometric problems (e.g., find the equation of a line parallel or perpendicular to a given line that passes through a given point).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.5

  87. Punto del currículo HSG-GPE.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar el punto en un segmento de recta dirigido entre dos puntos dados que divide el segmento en una razón dada.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find the point on a directed line segment between two given points that partitions the segment in a given ratio.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.6

    Dividir un segmento de recta en una razón dada (en nuestro curso 10)

  88. Punto del currículo HSG-GPE.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar coordenadas para calcular perímetros de polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, p. ej., usando la fórmula de la distancia. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Use coordinates to compute perimeters of polygons and areas of triangles and rectangles, e.g., using the distance formula. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.7

    Hallar el área de un triángulo usando coordenadas (en nuestro curso 10) · Hallar la distancia entre dos puntos usando Pitágoras (en nuestro curso 8)

  89. Punto del currículo HSG-GMD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Medición geométrica y dimensión

    nuestra traducción · texto original (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  90. Punto del currículo HSG-GMD.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar las fórmulas de volumen y usarlas para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  91. Punto del currículo HSG-GMD.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Visualizar relaciones entre objetos bidimensionales y tridimensionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Visualize relationships between two-dimensional and three-dimensional objects

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster B

  92. Punto del currículo HSG-GMD.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Dar un argumento informal para las fórmulas de la circunferencia de un círculo, área de un círculo, volumen de un cilindro, pirámide y cono. Usar argumentos de disección, el principio de Cavalieri y argumentos informales de límites.

    nuestra traducción · texto original (EN): Give an informal argument for the formulas for the circumference of a circle, area of a circle, volume of a cylinder, pyramid, and cone. Use dissection arguments, Cavalieri’s principle, and informal limit arguments.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.1

  93. Punto del currículo HSG-GMD.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Use volume formulas for cylinders, pyramids, cones, and spheres to solve problems. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.3

    Cálculo del volumen de cilindros, conos y esferas (en nuestro curso 8) · Área superficial de cilindros, conos y esferas (en nuestro curso 10)

  94. Punto del currículo HSG-GMD.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar las formas de las secciones transversales bidimensionales de objetos tridimensionales e identificar objetos tridimensionales generados por rotaciones de objetos bidimensionales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify the shapes of two-dimensional cross-sections of three-dimensional objects, and identify three-dimensional objects generated by rotations of two-dimensional objects.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.B.4

  95. Punto del currículo HSG-MG · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelado con geometría

    nuestra traducción · texto original (EN): Modeling with Geometry

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Modeling with Geometry (HSG-MG)

  96. Punto del currículo HSG-MG.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplicar conceptos geométricos en situaciones de modelización

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply geometric concepts in modeling situations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, cluster A

  97. Punto del currículo HSG-MG.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar figuras geométricas, sus medidas y sus propiedades para describir objetos (p. ej., modelar el tronco de un árbol o el torso humano como un cilindro). ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Use geometric shapes, their measures, and their properties to describe objects (e.g., modeling a tree trunk or a human torso as a cylinder). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.1

  98. Punto del currículo HSG-MG.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplicar conceptos de densidad basados en el área y el volumen en situaciones de modelado (por ejemplo, personas por milla cuadrada, BTU por pie cúbico). ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply concepts of density based on area and volume in modeling situations (e.g., persons per square mile, BTUs per cubic foot). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.2

    Cómo hallar la masa a partir de la densidad y el volumen (en nuestro curso 10)

  99. Punto del currículo HSG-MG.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplicar métodos geométricos para resolver problemas de diseño (p. ej., diseñar un objeto o estructura para satisfacer restricciones físicas o minimizar costos; trabajar con sistemas de cuadrículas tipográficas basados en razones). ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply geometric methods to solve design problems (e.g., designing an object or structure to satisfy physical constraints or minimize cost; working with typographic grid systems based on ratios). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.3

  100. Punto del currículo HSS-ID · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de datos categóricos y cuantitativos

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  101. Punto del currículo HSS-ID.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir, representar e interpretar datos sobre una sola variable de conteo o medición

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  102. Punto del currículo HSS-ID.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  103. Punto del currículo HSS-ID.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencias de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluidas frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

    Cálculo de la probabilidad condicional a partir de una tabla (en nuestro curso 9-10)

  104. Punto del currículo HSS-CP · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Probabilidad condicional y las reglas de probabilidad

    nuestra traducción · texto original (EN): Conditional Probability and the Rules of Probability

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Conditional Probability and the Rules of Probability (HSS-CP)

  105. Punto del currículo HSS-CP.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la independencia y la probabilidad condicional y utilizarlas para interpretar datos

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand independence and conditional probability and use them to interpret data

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster A

  106. Punto del currículo HSS-CP.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar las reglas de probabilidad para calcular probabilidades de eventos compuestos en un modelo de probabilidad uniforme

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the rules of probability to compute probabilities of compound events in a uniform probability model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster B

  107. Punto del currículo HSS-CP.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Describir eventos como subconjuntos de un espacio muestral (el conjunto de resultados) utilizando características (o categorías) de los resultados, o como uniones, intersecciones o complementos de otros eventos (“o”, “y”, “no”).

    nuestra traducción · texto original (EN): Describe events as subsets of a sample space (the set of outcomes) using characteristics (or categories) of the outcomes, or as unions, intersections, or complements of other events (“or,” “and,” “not”).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.1

    Hallar la probabilidad de la unión de eventos (en nuestro curso 10)

  108. Punto del currículo HSS-CP.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que A y B ocurran juntos es el producto de sus probabilidades, y usar esta caracterización para determinar si son independientes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that two events A and B are independent if the probability of A and B occurring together is the product of their probabilities, and use this characterization to determine if they are independent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.2

  109. Punto del currículo HSS-CP.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la probabilidad condicional de A dado B como P(A y B)/P(B), e interpretar la independencia de A y B como que la probabilidad condicional de A dado B es la misma que la probabilidad de A, y la probabilidad condicional de B dado A es la misma que la probabilidad de B.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand the conditional probability of A given B as P(A and B)/P(B), and interpret independence of A and B as saying that the conditional probability of A given B is the same as the probability of A, and the conditional probability of B given A is the same as the probability of B.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.3

  110. Punto del currículo HSS-CP.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir e interpretar tablas de frecuencia de doble entrada de datos cuando dos categorías se asocian con cada objeto que se clasifica. Usar la tabla de doble entrada como un espacio muestral para decidir si los eventos son independientes y para aproximar probabilidades condicionales. Por ejemplo, recolectar datos de una muestra aleatoria de estudiantes de su escuela sobre su materia preferida entre matemáticas, ciencias e inglés. Estimar la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar de su escuela prefiera ciencias dado que el estudiante está en décimo grado. Hacer lo mismo para otras materias y comparar los resultados.

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct and interpret two-way frequency tables of data when two categories are associated with each object being classified. Use the two-way table as a sample space to decide if events are independent and to approximate conditional probabilities. For example, collect data from a random sample of students in your school on their favorite subject among math, science, and English. Estimate the probability that a randomly selected student from your school will favor science given that the student is in tenth grade. Do the same for other subjects and compare the results.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.4

    Cálculo de la probabilidad condicional a partir de una tabla (en nuestro curso 9-10)

  111. Punto del currículo HSS-CP.A.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reconocer y explicar los conceptos de probabilidad condicional e independencia en el lenguaje cotidiano y en situaciones cotidianas. Por ejemplo, comparar la probabilidad de tener cáncer de pulmón si se es fumador con la probabilidad de ser fumador si se tiene cáncer de pulmón.

    nuestra traducción · texto original (EN): Recognize and explain the concepts of conditional probability and independence in everyday language and everyday situations. For example, compare the chance of having lung cancer if you are a smoker with the chance of being a smoker if you have lung cancer.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.5

  112. Punto del currículo HSS-CP.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar la probabilidad condicional de A dado B como la fracción de los resultados de B que también pertenecen a A, e interpretar la respuesta en términos del modelo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find the conditional probability of A given B as the fraction of B’s outcomes that also belong to A, and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.6

    Cálculo de la probabilidad condicional a partir de una tabla (en nuestro curso 9-10)

  113. Punto del currículo HSS-CP.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplica la regla de la suma, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B), e interpreta la respuesta en términos del modelo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply the Addition Rule, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.7

    Hallar la probabilidad de la unión de eventos (en nuestro curso 10)

  114. Punto del currículo HSS-CP.B.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Aplicar la regla general de la multiplicación en un modelo de probabilidad uniforme, P(A y B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), e interpretar la respuesta en términos del modelo.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Apply the general Multiplication Rule in a uniform probability model, P(A and B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.8

    Uso de la probabilidad total y la fórmula de Bayes (en nuestro curso 10)

  115. Punto del currículo HSS-CP.B.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Usar permutaciones y combinaciones para calcular probabilidades de eventos compuestos y resolver problemas.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.9

    Hallar permutaciones y contar ordenaciones (en nuestro curso 10) · Cálculo de probabilidades usando combinaciones (en nuestro curso 10)

  116. Punto del currículo HSS-MD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Uso de la probabilidad para tomar decisiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  117. Punto del currículo HSS-MD.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar la probabilidad para evaluar los resultados de decisiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  118. Punto del currículo HSS-MD.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Usar probabilidades para tomar decisiones justas (por ejemplo, hacer un sorteo, usar un generador de números aleatorios).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  119. Punto del currículo HSS-MD.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Analizar decisiones y estrategias utilizando conceptos de probabilidad (por ejemplo, pruebas de productos, pruebas médicas, retirar al portero de hockey al final de un partido).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Competencias paso a paso

Hallar permutaciones y contar ordenaciones

Los estudiantes aprenden a usar las reglas de la multiplicación y las permutaciones para calcular el número de posibles arreglos ordenados y resultados en situaciones cotidianas.

Punto del currículo HSS-CP.B.9 (+) Usar permutaciones y combinaciones para calcular probabilidades de eventos compuestos y resolver problemas. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a determinar el número total de ordenaciones para un conjunto de elementos o personas utilizando las reglas de conteo basadas en la multiplicación y las permutaciones. En este curso, los estudiantes calculan de cuántas maneras se pueden ocupar distintas posiciones cuando el orden importa y cada elección reduce las opciones disponibles para la siguiente selección.

Un error común es confundir cuándo sumar y cuándo multiplicar las posibilidades a lo largo de pasos consecutivos. Los estudiantes también suelen olvidar considerar primero las restricciones; por ejemplo, al formar números pares o impares sin dígitos repetidos, pueden elegir los primeros dígitos antes de asegurar el dígito final requerido, lo que conduce a recuentos incorrectos.

Las tareas de práctica sobre esta habilidad piden a los estudiantes que resuelvan problemas concretos de ordenación, tales como:

  • Calcular de cuántas maneras se puede colocar un grupo de estudiantes en una fila de uno en uno.
  • Hallar el número de resultados posibles al otorgar premios de primer, segundo y tercer lugar a un grupo de concursantes.
  • Determinar cuántos números pares o impares únicos de varios dígitos se pueden crear a partir de un conjunto dado de dígitos sin repetición.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Permutaciones — fila · Variaciones — reparto de premios · Números impares con una cifra una vez · Números pares con una cifra una vez

Área superficial de cilindros, conos y esferas

Los estudiantes aprenden a calcular el área superficial total de sólidos curvos en 3D —cilindros, conos y esferas— y a analizar los desarrollos planos utilizados para construirlos.

Punto del currículo HSG-GMD.A.3 Usar fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas. ★ (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a calcular el área total exterior de cuerpos curvos tridimensionales, incluidos cilindros, conos y esferas. Aplican fórmulas geométricas que combinan bases circulares con superficies laterales curvas y analizan desarrollos planos bidimensionales para comprender cómo las figuras planas se pliegan en conos tridimensionales.

Un error común es confundir la altura vertical de un cono con su generatriz, lo que conduce a cálculos incorrectos del área lateral. Los estudiantes también olvidan con frecuencia sumar las bases circulares al área lateral, como omitir los círculos superior e inferior de un cilindro o tener dificultades para relacionar la circunferencia de la base de un cono con la longitud de arco de su cara lateral desplegada.

Las actividades de las hojas de trabajo proporcionan diagramas de cuerpos geométricos con dimensiones indicadas, como radios, alturas o generatrices. Los ejercicios típicos piden a los estudiantes calcular el área superficial de un cilindro, el área superficial de un cono o el área superficial de una esfera, así como calcular el ángulo central del desarrollo plano de un cono a partir de sus dimensiones circulares.

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Tipos de ejercicios: Área de la esfera · Área total del cilindro · Ángulo del desarrollo del cono · Área total del cono

Cálculo del volumen de cilindros, conos y esferas

Los estudiantes aprenden a usar fórmulas para calcular los volúmenes de cilindros, conos y esferas en problemas geométricos y del mundo real.

Punto del currículo 8.G.C.9 Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas del mundo real y matemáticos. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSG-GMD.A.3 Usar fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas. ★ (nuestra traducción)

En la geometría de décimo grado, los estudiantes aplican fórmulas geométricas específicas para calcular el volumen de sólidos tridimensionales curvos: cilindros, conos y esferas. Identifican dimensiones clave a partir de diagramas o descripciones—como el radio, el diámetro y la altura perpendicular—y evalúan las fórmulas para determinar la capacidad total.

Un error frecuente consiste en confundir el radio con el diámetro. A menudo, los estudiantes sustituyen directamente un diámetro dado en la fórmula sin dividirlo primero entre dos. Otro error común es aplicar el exponente incorrecto u omitir coeficientes fraccionarios, como elevar al cuadrado el radio en lugar de elevarlo al cubo en el cálculo de una esfera, u olvidar multiplicar por 1/3 al trabajar con un cono.

Las actividades de las hojas de trabajo se centran directamente en tres formatos: Volumen de un cilindro, Volumen de un cono y Volumen de una esfera. Un problema típico presenta una figura con dimensiones dadas, como un cilindro con un radio de 4 unidades y una altura de 10 unidades, y pide a los estudiantes que calculen el volumen ya sea en términos de pi o redondeado a un número determinado de decimales.

Factorización de polinomios por agrupación y cubos

Los estudiantes aprenden a reescribir expresiones polinómicas factorizando monomios comunes, agrupando términos y aplicando patrones de suma y diferencia de cubos.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

En 10.º grado, los estudiantes utilizan la estructura de las expresiones polinómicas para identificar formas de reescribirlas en forma factorizada. Al trabajar con expresiones de múltiples términos y potencias superiores, los estudiantes reconocen cuándo los términos comparten un factor algebraico, cuándo una expresión de cuatro términos se puede dividir en pares y cómo identificar la estructura específica de una suma o diferencia de dos cubos perfectos.

Un obstáculo frecuente es el manejo de los signos negativos. Al factorizar por agrupación, los estudiantes a menudo olvidan distribuir el signo negativo cuando extraen un factor negativo del segundo par de términos, lo que da lugar a binomios que no coinciden. Con la suma y la diferencia de cubos, los estudiantes suelen confundir los signos dentro de los factores lineales y cuadráticos, especialmente el signo del término central en el trinomio resultante.

Las actividades de las hojas de trabajo se centran en tres estructuras distintas:

  • Factor común monomio: identificar y extraer el máximo factor común numérico y variable de cada término de una expresión.
  • Factorización por agrupación: dividir un polinomio de cuatro términos en dos pares para extraer factores comunes y revelar un factor binómico compartido.
  • Suma y diferencia de cubos: identificar expresiones formadas por dos términos cúbicos y reescribirlas en sus correspondientes factores lineal y cuadrático.
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Tipos de ejercicios: Sacar factor común un monomio · Factorización por agrupación · Suma y diferencia de cubos

Uso de las leyes de los senos y cosenos

Los estudiantes encuentran lados, ángulos y áreas faltantes en triángulos no rectángulos utilizando la ley de los senos, la ley de los cosenos y las fórmulas del área con el seno.

Punto del currículo HSG-SRT.D.11 (+) Comprender y aplicar la ley de los senos y la ley de los cosenos para hallar medidas desconocidas en triángulos rectángulos y no rectángulos (p. ej., problemas de agrimensura, fuerzas resultantes). (nuestra traducción)

En este nivel, los estudiantes extienden la trigonometría de triángulos más allá de los triángulos rectángulos a cualquier triángulo general. Utilizan la ley de los senos y la ley de los cosenos para calcular longitudes de lados y medidas de ángulos desconocidas, y usan la razón del seno para calcular el área total de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Un obstáculo frecuente es seleccionar la regla incorrecta para la información proporcionada. Por ejemplo, los estudiantes a menudo intentan usar la ley de los senos en un triángulo donde solo se conocen las longitudes de los tres lados o dos lados y el ángulo comprendido, lo cual no proporciona un par lado-ángulo completo. Otro error común ocurre durante el álgebra de la ley de los cosenos, donde los estudiantes restan términos por error antes de multiplicar por el coseno del ángulo.

Los ejercicios de práctica se dividen en tres formatos principales: tareas de la Ley de los senos donde los estudiantes resuelven una medida faltante a partir de pares ángulo-lado, problemas de la Ley de los cosenos centrados en configuraciones lado-ángulo-lado o lado-lado-lado, y problemas de Área de un triángulo con el seno donde los estudiantes calculan el área utilizando dos longitudes de lado y el seno del ángulo entre ellos.

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Tipos de ejercicios: Área del triángulo con el seno · Teorema del coseno · Teorema del seno

Hallar la distancia entre dos puntos usando Pitágoras

Los estudiantes aprenden a encontrar la distancia en línea recta entre dos puntos en una cuadrícula de coordenadas tratando el segmento como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Punto del currículo 8.G.B.8 Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSG-GPE.B.7 Usar coordenadas para calcular perímetros de polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, p. ej., usando la fórmula de la distancia. ★ (nuestra traducción)

Los estudiantes utilizan las coordenadas en una cuadrícula para calcular la distancia en línea recta entre dos puntos. Al hallar la diferencia horizontal entre las coordenadas x y la diferencia vertical entre las coordenadas y, identifican las longitudes de los dos catetos de un triángulo rectángulo. Luego aplican el teorema de Pitágoras —elevando al cuadrado ambas longitudes, sumándolas y calculando la raíz cuadrada— para encontrar la distancia desconocida.

Un error frecuente consiste en restar coordenadas negativas al calcular las longitudes de los catetos. Por ejemplo, un estudiante que busca la distancia horizontal entre -3 y 4 podría calcular 4 - 3 = 1 en lugar de 4 - (-3) = 7. Otro descuido común es calcular la suma de los catetos al cuadrado pero olvidar el paso final de calcular la raíz cuadrada, dejando la respuesta como c2 en lugar de c.

Las tareas de práctica suelen presentarse en dos formatos:

  • Distancia entre puntos con Pitágoras: Los estudiantes observan dos puntos representados en una cuadrícula de coordenadas, dibujan o visualizan los catetos horizontal y vertical de un triángulo rectángulo y utilizan el teorema para determinar la longitud del segmento que los une.
  • Distancia entre dos puntos: Se proporcionan a los estudiantes dos pares de coordenadas en forma de números sin un triángulo dibujado, lo que les exige calcular algebraicamente las longitudes de los catetos y hallar la distancia.

Cálculo de términos y sumas de sucesiones geométricas

Los estudiantes aprenden a identificar la razón común en una sucesión geométrica, hallar cualquier término específico mediante una fórmula y calcular la suma total de un número determinado de términos.

Punto del currículo HSA-SSE.B.4 Deducir la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-BF.A.2 Escribir sucesiones aritméticas y geométricas tanto de forma recursiva como con una fórmula explícita, utilizarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas. ★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-LE.A.2 Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a analizar sucesiones en las que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una razón común constante (donde la razón no es 1). Escriben fórmulas explícitas para hallar cualquier enésimo término específico sin tener que calcular todos los valores intermedios. Además, utilizan la fórmula de la serie geométrica finita para calcular la suma total de un número determinado de términos.

Un error común ocurre con el orden de las operaciones al calcular el enésimo término. Los estudiantes suelen multiplicar el término inicial por la razón común antes de aplicar el exponente, en lugar de calcular la potencia primero. También se genera confusión con las potencias en la fórmula, como usar un exponente de n en lugar de n − 1, o gestionar de manera incorrecta los signos al restar una razón negativa en el denominador de la fórmula de la suma.

Las tareas de práctica se dividen generalmente en dos formatos:

  • Sucesión geométrica — enésimo término: Dados los primeros números de una sucesión o una situación del mundo real, los estudiantes identifican el término inicial y la razón común, escriben la fórmula y hallan un término específico, como el 8.º o el 12.º término.
  • Sucesión geométrica — suma de términos: Los estudiantes determinan la suma de un número designado de términos sustituyendo el primer término, la razón común y el número de términos directamente en la fórmula de la serie finita.
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Tipos de ejercicios: Progresión geométrica — suma · Progresión geométrica — término n-ésimo

Uso de la probabilidad total y la fórmula de Bayes

Los estudiantes aprenden a calcular las probabilidades globales de un evento a lo largo de múltiples etapas y a hallar probabilidades condicionales inversas utilizando modelos de dos urnas.

Punto del currículo HSS-CP.B.8 (+) Aplicar la regla general de la multiplicación en un modelo de probabilidad uniforme, P(A y B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), e interpretar la respuesta en términos del modelo. (nuestra traducción)

En este nivel, los estudiantes aplican la regla general de la multiplicación para calcular la probabilidad de sucesos compuestos. Al trabajar con experimentos de varias etapas, calculan la probabilidad total de un resultado que puede producirse a través de diferentes caminos y utilizan la fórmula de Bayes para determinar probabilidades condicionadas a la inversa, deduciendo qué camino inicial se tomó tras observar el resultado final.

Un error común es confundir la condición con el resultado, considerando que la probabilidad de extraer un elemento específico de una urna, P(bola | urna), es idéntica a la probabilidad de haber elegido una urna específica, P(urna | bola). Los estudiantes también suelen olvidar multiplicar por la probabilidad de seleccionar el primer recipiente en sí, centrándose únicamente en la proporción de bolas de colores que contiene.

Las tareas de práctica se centran en experimentos con dos urnas. Por ejemplo, al estudiante se le presentan dos urnas que contienen diferentes mezclas de canicas de colores, como rojas y verdes. En una tarea de probabilidad total, determinan la probabilidad global de extraer una canica roja tras elegir una urna al azar. En una tarea sobre la fórmula de Bayes, se les indica que se extrajo una canica roja y deben calcular la probabilidad de que proceda de la primera urna.

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Tipos de ejercicios: Probabilidad total — dos urnas · Teorema de Bayes — dos urnas

Uso de fórmulas de productos notables

Los estudiantes aprenden a usar patrones algebraicos para desarrollar el cuadrado de un binomio y el producto de una suma y una diferencia sin multiplicar término a término.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a identificar la estructura subyacente de las expresiones algebraicas para reescribirlas y desarrollarlas rápidamente. En lugar de multiplicar los términos uno a uno, aplican patrones abreviados estándar para desarrollar productos de binomios que involucran sumas y restas.

Un error común ocurre al desarrollar el cuadrado de una suma o de una diferencia. Con frecuencia, los estudiantes escriben (x + 4)^2 como x^2 + 16, distribuyendo por error el exponente a cada término y omitiendo el término intermedio que surge de multiplicar ambos términos y duplicar el resultado.

Las actividades prácticas se centran directamente en dos formatos estándar:

  • Producto de una suma por una diferencia: reconocer términos iguales con signos opuestos, como (x + 4)(x - 4), y reescribirlos directamente como una diferencia de cuadrados.
  • Cuadrado de una suma o de una diferencia: desarrollar expresiones como (x + 3)^2 o (x - 5)^2 en expresiones completas de tres términos.
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Tipos de ejercicios: Cuadrado de una suma o diferencia · Suma por diferencia

Escribir ecuaciones de rectas y rectas paralelas

Los estudiantes aprenden a escribir la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados o que pasa por un punto específico paralela a otra recta.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a escribir una ecuación lineal explícita que describe la relación entre dos valores de coordenadas. En este curso, determinan la pendiente y la intersección para definir una recta, utilizando dos puntos de coordenadas dados o un solo punto junto con una recta existente paralela a ella.

Un error frecuente ocurre al trabajar con rectas paralelas: a veces los estudiantes confunden las relaciones paralelas y perpendiculares, invirtiendo o cambiando de signo la pendiente por error en lugar de mantenerla idéntica. Otro error común es invertir el orden de las coordenadas al calcular la pendiente, colocando accidentalmente el cambio en x sobre el cambio en y o confundiendo los signos positivos y negativos durante la resta.

Las actividades de las hojas de trabajo suelen adoptar una de dos formas:

  • Función lineal a través de dos puntos: Los estudiantes reciben dos pares de coordenadas y deben hallar la pendiente y resolver la ecuación.
  • Recta paralela que pasa por un punto: Los estudiantes identifican la pendiente a partir de la ecuación de una recta dada y la usan junto con un nuevo punto de coordenadas para escribir la ecuación de la recta paralela.
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Tipos de ejercicios: Función lineal por dos puntos · Recta paralela por un punto

Hallar el vértice y usar la forma de vértice

Los estudiantes aprenden a reescribir ecuaciones cuadráticas en la forma de vértice para identificar el vértice, el eje de simetría y los valores máximos o mínimos de una parábola.

Punto del currículo HSF-IF.C.8 Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a. Usar el proceso de factorización y de completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar los ceros, los valores extremos y la simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto. b. Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones tales como y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, y clasificarlas según representen crecimiento o decaimiento exponencial. (nuestra traducción)

Los estudiantes trabajan con ecuaciones cuadráticas para revelar características geométricas clave de las parábolas. Al completar el cuadrado, transforman expresiones cuadráticas estándar a la forma de vértice para identificar el eje de simetría de la gráfica y sus valores extremos, en concreto si la parábola alcanza un punto máximo o mínimo en su vértice.

Un error frecuente se relaciona con los signos al extraer la coordenada horizontal a partir de la forma de vértice, y = a(x - h)^2 + k. Los estudiantes suelen interpretar el signo dentro del paréntesis de forma literal, identificando por error el vértice de y = (x + 4)^2 + 1 como (4, 1) en lugar de (-4, 1), porque olvidan que la fórmula estándar emplea una resta para el desplazamiento horizontal.

En la práctica, los estudiantes realizan tareas alineadas con Forma de vértice de una función cuadrática y Vértice de una parábola. Estos ejercicios les piden convertir expresiones cuadráticas estándar a la forma de vértice mediante pasos algebraicos, leer las coordenadas del punto de retorno directamente a partir de la ecuación reescrita e indicar si dicho punto representa un valor máximo o mínimo.

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Tipos de ejercicios: Vértice de una parábola · Forma canónica de la función cuadrática

Hallar los lados faltantes de triángulos rectángulos

Los estudiantes aprenden a utilizar razones trigonométricas para hallar la longitud desconocida de un cateto opuesto o adyacente a un ángulo dado en un triángulo rectángulo.

Punto del currículo HSG-SRT.C.8 Usar las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos en problemas aplicados. ★ (nuestra traducción)

En esta etapa, los estudiantes utilizan razones trigonométricas básicas para calcular la longitud de un lado desconocido en un triángulo rectángulo. A partir de la medida de un ángulo agudo y la longitud de un lado, identifican la razón trigonométrica adecuada (seno, coseno o tangente) para hallar la longitud de un cateto desconocido.

Un obstáculo frecuente es confundir los lados con respecto al ángulo de referencia. Los estudiantes a menudo confunden el cateto opuesto (el lado situado enfrente del ángulo) con el cateto adyacente (el lado contiguo al ángulo, entre este y el ángulo recto). Esto hace que planteen la razón de forma invertida o que elijan una función trigonométrica completamente incorrecta.

Las actividades de las fichas de trabajo proporcionan el diagrama de un triángulo rectángulo con sus elementos identificados y se centran en dos tipos de problemas concretos:

  • Cateto opuesto a un ángulo: utilizar el ángulo dado y otro lado para calcular la longitud del lado situado directamente enfrente de dicho ángulo.
  • Cateto adyacente a un ángulo: utilizar el ángulo dado y otro lado para hallar la longitud del cateto contiguo al ángulo.
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Tipos de ejercicios: Cateto contiguo · Cateto opuesto

Cálculo de ángulos centrales e inscritos en circunferencias

Los estudiantes aprenden a encontrar las medidas de ángulos faltantes en círculos utilizando la regla de que un ángulo central es el doble de la medida de un ángulo inscrito que intercepta el mismo arco.

Punto del currículo HSG-C.A.2 Identificar y describir relaciones entre ángulos inscritos, radios y cuerdas. Incluir la relación entre ángulos centrales, inscritos y circunscritos; los ángulos inscritos sobre un diámetro son ángulos rectos; el radio de una circunferencia es perpendicular a la tangente donde el radio interseca la circunferencia. (nuestra traducción)

En la geometría de 10.º grado, los estudiantes exploran la relación entre los ángulos dentro de una circunferencia que abarcan el mismo arco. Aprenden que un ángulo central, cuyo vértice está en el centro de la circunferencia, siempre mide el doble que un ángulo inscrito, cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia misma. A partir de esta relación, los estudiantes calculan ángulos desconocidos simplemente duplicando o dividiendo entre dos.

Un error común ocurre cuando los estudiantes confunden cuál de los ángulos es mayor. Debido a que ambos ángulos comparten exactamente los mismos extremos en la circunferencia, los estudiantes a menudo asumen que son iguales o, por equivocación, duplican el ángulo central en lugar de dividirlo entre dos. Visualizar que el ángulo inscrito se sitúa más atrás, sobre el borde de la circunferencia, les ayuda a recordar que debe ser el ángulo más estrecho.

Las actividades de práctica ofrecen diagramas rotulados con base en dos formatos: hallar un ángulo central a partir del ángulo inscrito (por ejemplo, tomar un ángulo inscrito de 35 grados y multiplicarlo por 2 para obtener 70 grados) y hallar un ángulo inscrito a partir del ángulo central (como dividir un ángulo central de 110 grados entre 2 para obtener 55 grados).

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Tipos de ejercicios: Ángulo central a partir del inscrito · Ángulo inscrito a partir del central

Cálculo de longitudes de cuerdas y segmentos tangentes

Los estudiantes aprenden a calcular las longitudes de cuerdas y segmentos tangentes en círculos utilizando propiedades de radios, tangentes y triángulos rectángulos.

Punto del currículo HSG-C.A.2 Identificar y describir relaciones entre ángulos inscritos, radios y cuerdas. Incluir la relación entre ángulos centrales, inscritos y circunscritos; los ángulos inscritos sobre un diámetro son ángulos rectos; el radio de una circunferencia es perpendicular a la tangente donde el radio interseca la circunferencia. (nuestra traducción)

En la geometría de décimo grado, los estudiantes aplican las propiedades del círculo para calcular longitudes de lados desconocidas. Utilizan la regla de que el radio de un círculo es perpendicular a una recta tangente en el punto de contacto, así como las relaciones geométricas que conectan los radios con las cuerdas. Al combinar estos teoremas geométricos con las relaciones de los triángulos rectángulos, los estudiantes calculan las longitudes faltantes directamente a partir de diagramas geométricos.

Un error común consiste en identificar incorrectamente el ángulo recto en los problemas de tangentes. Los estudiantes a menudo asumen que el ángulo recto se encuentra en un punto externo en lugar de donde el radio se encuentra con la recta tangente, lo que hace que identifiquen erróneamente la hipotenusa. Al resolver problemas de cuerdas, los estudiantes también suelen olvidar que una línea perpendicular trazada desde el centro divide la cuerda en dos mitades iguales, lo que los lleva a indicar la mitad del segmento en lugar de la longitud total de la cuerda.

Las tareas de práctica se centran en dos formatos principales:

  • Longitud de un segmento tangente: Los estudiantes observan un círculo con un radio y una recta tangente externa, utilizando el radio dado y la distancia desde el centro para hallar la longitud del segmento tangente.
  • Longitud de una cuerda: Los estudiantes trabajan a partir de un diagrama que muestra un círculo con una cuerda, utilizando el radio y la distancia perpendicular desde el centro del círculo para determinar la longitud total de la cuerda.
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Tipos de ejercicios: Longitud de una cuerda · Segmento tangente

Cálculo de la probabilidad condicional a partir de una tabla

Los estudiantes aprenden a hallar la probabilidad de un evento dada otra condición utilizando datos de una tabla, expresando la respuesta como una fracción y explicando su significado.

Punto del currículo HSS-CP.A.4 Construir e interpretar tablas de frecuencia de doble entrada de datos cuando dos categorías se asocian con cada objeto que se clasifica. Usar la tabla de doble entrada como un espacio muestral para decidir si los eventos son independientes y para aproximar probabilidades condicionales. Por ejemplo, recolectar datos de una muestra aleatoria de estudiantes de su escuela sobre su materia preferida entre matemáticas, ciencias e inglés. Estimar la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar de su escuela prefiera ciencias dado que el estudiante está en décimo grado. Hacer lo mismo para otras materias y comparar los resultados. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-CP.B.6 Hallar la probabilidad condicional de A dado B como la fracción de los resultados de B que también pertenecen a A, e interpretar la respuesta en términos del modelo. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-ID.B.5 Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencias de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluidas frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a calcular la probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido otro evento B. Utilizan datos para identificar el subconjunto de resultados que cumplen con la condición B, convierten ese recuento en su denominador y hallan la fracción de esos resultados específicos que también pertenecen a A. Luego, los estudiantes interpretan lo que representa esta fracción en el contexto del problema.

Un error frecuente es dividir entre la población total en lugar de la condición restringida. Cuando se les pide la probabilidad de A dado B, los estudiantes a menudo toman el gran total de todo el conjunto de datos en lugar de centrar su atención en la fila o columna que representa únicamente la condición B.

Las actividades de las fichas de trabajo presentan tablas de frecuencia de doble entrada que clasifican los resultados de encuestas o datos experimentales. Los estudiantes leen la tabla para ubicar la condición dada, identifican la categoría superpuesta y escriben la probabilidad condicional resultante como una fracción simplificada.

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Hallar la probabilidad de la unión de eventos

Los estudiantes aprenden a utilizar la regla de la suma para calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos eventos, teniendo en cuenta los resultados que comparten.

Punto del currículo HSS-CP.A.1 Describir eventos como subconjuntos de un espacio muestral (el conjunto de resultados) utilizando características (o categorías) de los resultados, o como uniones, intersecciones o complementos de otros eventos (“o”, “y”, “no”). (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-CP.B.7 Aplica la regla de la suma, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B), e interpreta la respuesta en términos del modelo. (nuestra traducción)

En este nivel, los estudiantes calculan la probabilidad de que ocurra el evento A, el evento B o ambos dentro de un espacio muestral. Aplican la regla de la suma, representada como P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B), interpretando resultados descritos con "o", "y" y "no". Los estudiantes trabajan con probabilidades expresadas como fracciones, decimales o porcentajes para modelar situaciones del mundo real.

El error más común es olvidar restar la intersección, P(A y B). Cuando dos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo, simplemente sumar sus probabilidades individuales cuenta dos veces los resultados compartidos, lo que con frecuencia da lugar a una respuesta incorrecta o a una probabilidad mayor que 1.

Las tareas basadas en la plantilla Probabilidad de la unión de eventos suelen presentar a los estudiantes un escenario, como extraer una carta con características específicas o seleccionar a una persona a partir de categorías de una encuesta. Los estudiantes identifican la probabilidad de cada evento por separado, determinan la probabilidad del solapamiento donde se cumplen ambas condiciones y aplican la fórmula para hallar la probabilidad combinada.

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Cálculo de probabilidades usando combinaciones

Los estudiantes aprenden a usar permutaciones y combinaciones para calcular la probabilidad exacta de eventos compuestos, como elegir elementos de un grupo sin reemplazo.

Punto del currículo HSS-CP.B.9 (+) Usar permutaciones y combinaciones para calcular probabilidades de eventos compuestos y resolver problemas. (nuestra traducción)

En 10.º grado, los estudiantes aprenden a utilizar permutaciones y combinaciones para calcular probabilidades de eventos compuestos. En lugar de intentar escribir a mano cada resultado posible, aplican métodos de conteo combinatorio para determinar tanto el número total de resultados favorables como el total de resultados posibles al seleccionar grupos de elementos.

Un obstáculo común es confundirse sobre si el orden de selección importa. Al elegir un grupo en el que el orden es irrelevante, los estudiantes a menudo cometen el error de usar permutaciones en lugar de combinaciones. Otro error frecuente en selecciones de varios pasos es olvidar que cada extracción modifica el conjunto disponible, tratando las extracciones como eventos independientes en lugar de tener en cuenta los elementos retirados del total.

Los problemas de práctica suelen presentar situaciones como extraer bolas de colores de una urna o bolsa sin reemplazo. Por ejemplo, dado un número determinado de bolas rojas y azules, se le podría pedir a un estudiante que calcule la probabilidad de extraer exactamente dos bolas rojas y una bola azul en una muestra de tres, utilizando combinaciones para evaluar tanto los subconjuntos favorables como el espacio muestral total.

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Traslación de gráficas de funciones

Los estudiantes aprenden cómo sumar o restar números desplaza una gráfica hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, y cómo identificar estos movimientos entre ecuaciones y gráficas.

Punto del currículo HSF-BF.B.3 Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a conectar los cambios algebraicos en una función con los desplazamientos físicos de su gráfica en el plano de coordenadas. En concreto, examinan cómo sustituir f(x) por f(x) + k o f(x + k) desplaza la curva vertical u horizontalmente utilizando valores tanto positivos como negativos de k. A partir de una gráfica original y su imagen desplazada, también hallan el valor específico de k que causó la traslación.

Un obstáculo frecuente es la dirección de los desplazamientos horizontales. Debido a que la suma se asocia con el sentido positivo en una recta numérica, los estudiantes a menudo asumen que f(x + 4) desplaza la gráfica cuatro unidades hacia la derecha. En la práctica, sumar dentro del argumento desplaza la gráfica hacia la izquierda, mientras que restar la desplaza hacia la derecha. Los estudiantes también suelen confundir estos ajustes horizontales dentro de los paréntesis con desplazamientos verticales sumados fuera de la función.

Las actividades de las fichas basadas en Traslación de una gráfica presentan a los estudiantes una curva representada y les piden graficar el resultado de una transformación o bien identificar el desplazamiento a partir de una imagen. Los estudiantes pueden tomar una función dada, aplicar una regla como f(x) − 3 o f(x + 2) y representar los puntos trasladados, o determinar el valor numérico de k midiendo la distancia entre características clave en dos gráficas mostradas.

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Hallar la tasa de cambio promedio

Los estudiantes aprenden a calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función en un intervalo utilizando fórmulas, tablas y gráficas.

Punto del currículo HSF-IF.B.6 Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★ (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a medir cuánto cambia la salida de una función en relación con su entrada a lo largo de un intervalo dado. Calculan esta tasa utilizando funciones presentadas como ecuaciones algebraicas o tablas de valores, y estiman la tasa leyendo coordenadas a partir de una gráfica. Más allá de calcular el valor numérico, los estudiantes aprenden a interpretar qué significa esa tasa en situaciones del mundo real.

Un error común es invertir el cálculo colocando el cambio en la entrada sobre el cambio en la salida, confundiendo las variables independientes y dependientes. Los estudiantes también suelen restar valores en direcciones opuestas —como restar la primera entrada de la segunda, pero restar la segunda salida de la primera—, lo que conduce a un signo incorrecto.

En las tareas de práctica de Tasa de cambio promedio, los estudiantes suelen recibir la regla de una función, una tabla de datos o una curva graficada junto con un intervalo determinado. Ubican o calculan los valores de la función en ambos extremos del intervalo, plantean la razón del cambio vertical respecto al cambio horizontal y calculan o estiman la tasa promedio a lo largo de ese tramo.

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Combinación de funciones mediante composición

Los estudiantes aprenden a evaluar y escribir funciones compuestas utilizando la salida de una función como la entrada de otra.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a componer funciones tomando la salida de una función interna y usándola directamente como la entrada de una función externa. En este nivel, los estudiantes escriben reglas de funciones compuestas como f(g(x)) y las aplican a contextos donde las cantidades están vinculadas a través de diferentes pasos, como hallar la temperatura atmosférica en un momento dado cuando la temperatura depende de la altitud y la altitud depende del tiempo.

Un obstáculo frecuente es confundir la composición con la multiplicación. En lugar de sustituir la variable de la función externa por toda la expresión interna, los estudiantes a menudo multiplican ambas fórmulas entre sí. Otro error común es invertir el orden de las operaciones, aplicando la función externa primero en lugar de trabajar de adentro hacia afuera.

La práctica con la plantilla Composición de funciones presenta dos definiciones de funciones distintas y pide a los estudiantes que escriban una regla simplificada para la función compuesta o que calculen el valor numérico final para una entrada específica.

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Hallar la inversa de una función lineal

Los estudiantes aprenden a escribir la regla inversa de una función lineal invirtiendo sus operaciones algebraicas y despejando la nueva salida.

Punto del currículo HSF-BF.B.4 Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio. (nuestra traducción)

En este nivel, los estudiantes trabajan con ecuaciones lineales para determinar sus funciones inversas. Dada una regla lineal como f(x) = ax + b, los estudiantes resuelven la ecuación para la variable de entrada deshaciendo sistemáticamente cada operación, obteniendo una nueva fórmula que asigna las salidas nuevamente a sus entradas originales.

Un error común es confundir la notación de la función inversa f-1(x) con un exponente negativo. Con frecuencia, los estudiantes escriben erróneamente el recíproco 1/f(x) en lugar de hallar la función inversa. Otro problema frecuente es invertir el orden de las operaciones de manera incorrecta, como dividir entre la pendiente antes de restar el término constante.

Las tareas de práctica basadas en la plantilla Inversa de una función lineal presentan a los estudiantes una única ecuación lineal —a menudo con números enteros o fracciones simples— y les piden que escriban la expresión algebraica de su inversa.

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Hallar el área de figuras semejantes

Los estudiantes aprenden cómo los factores de escala de la longitud de los lados afectan el espacio bidimensional y calculan el área desconocida de una figura semejante.

Punto del currículo HSG-SRT.A.1 Verificar experimentalmente las propiedades de las homotecias dadas por un centro y un factor de escala: a. Una homotecia transforma una recta que no pasa por el centro de la homotecia en una recta paralela, y deja invariable una recta que pasa por el centro. b. La homotecia de un segmento de recta es más larga o más corta en la razón dada por el factor de escala. (nuestra traducción)

Los estudiantes usan las propiedades de las dilataciones para determinar cómo el cambio de tamaño de una figura modifica sus medidas. Cuando una figura se amplía o se reduce mediante un factor de escala, las longitudes de los segmentos cambian de forma proporcional, y los estudiantes aplican esta relación para calcular el área desconocida de una figura semejante.

Un error común es tratar el área como el perímetro o la longitud de un lado. Cuando dos figuras tienen un factor de escala como 3, los estudiantes a menudo multiplican el área original directamente por 3. Olvidan que el área es bidimensional y cambia según el cuadrado del factor de escala, lo que significa que el área en realidad aumenta por un factor de 9.

En la práctica, actividades como Área de una figura semejante presentan dos polígonos semejantes con un par de longitudes de lados correspondientes y el área de una de las figuras. Los estudiantes identifican la razón entre los lados correspondientes, elevan esa razón al cuadrado y la usan para hallar el área faltante.

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Uso del teorema de Tales para hallar longitudes

Los estudiantes aprenden a utilizar el teorema de Tales y la semejanza de triángulos para plantear proporciones y calcular longitudes de lados desconocidos en figuras geométricas.

Punto del currículo HSG-SRT.B.5 Utilizar criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas y para demostrar relaciones en figuras geométricas. (nuestra traducción)

En la geometría de décimo grado, los estudiantes aplican los criterios de semejanza a triángulos cortados por rectas paralelas. Mediante el teorema de Tales, identifican que las rectas paralelas cortan a las rectas transversales en segmentos proporcionales. Los estudiantes plantean razones comparando las longitudes de los lados correspondientes y resuelven proporciones algebraicas mediante multiplicaciones y divisiones para determinar longitudes de segmentos desconocidas.

Un error común ocurre cuando los estudiantes comparan los segmentos transversales paralelos con los segmentos laterales. En lugar de plantear una razón entre el lado del triángulo pequeño y el lado completo del triángulo más grande, a menudo emparejan una base paralela únicamente con el segmento inferior de un lado. Esto sucede porque tratan cada segmento visualmente separado como un lado independiente de triángulos semejantes, en vez de tener en cuenta la longitud total del lado.

Las actividades de las fichas de ejercicios de la plantilla Teorema de Tales presentan figuras geométricas, como un triángulo intersecado por una recta paralela a su base. A partir de las longitudes de tres segmentos dadas como números enteros o decimales, los estudiantes escriben una proporción que relaciona las partes correspondientes y calculan el valor desconocido representado por una variable.

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Dividir un segmento de recta en una razón dada

Los estudiantes aprenden a encontrar las coordenadas de un punto en un segmento de recta dirigido que divide el segmento en una razón dada.

Punto del currículo HSG-GPE.B.6 Hallar el punto en un segmento de recta dirigido entre dos puntos dados que divide el segmento en una razón dada. (nuestra traducción)

En geometría analítica de 10.º grado, los estudiantes aprenden a ubicar un punto específico a lo largo de un segmento de recta dirigido entre dos extremos conocidos. A partir de las coordenadas de los extremos en el plano cartesiano, determinan las coordenadas exactas x e y que dividen el segmento según una razón determinada.

Un error común ocurre cuando los estudiantes confunden una razón de parte a parte con una fracción de parte a todo. Por ejemplo, cuando se les pide dividir un segmento en una razón de 1:3, los estudiantes suelen calcular un tercio de las distancias horizontal y vertical en lugar de un cuarto. Otro error frecuente consiste en realizar el cálculo en la dirección incorrecta, midiendo desde el segundo extremo en lugar del punto de inicio designado del segmento dirigido.

Las actividades prácticas basadas en la plantilla Dividir un segmento en una razón presentan dos puntos de coordenadas y una razón objetivo, como dividir el segmento dirigido AB desde el punto A hasta el punto B en una razón de 2:1. Los estudiantes calculan la distancia horizontal y vertical recorrida, aplican el paso fraccionario correspondiente y determinan el punto de coordenadas resultante.

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Hallar el área de un triángulo usando coordenadas

Los estudiantes aprenden a hallar el área de un triángulo en el plano cartesiano utilizando las coordenadas de los vértices para determinar las longitudes de los lados y las alturas.

Punto del currículo HSG-GPE.B.7 Usar coordenadas para calcular perímetros de polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, p. ej., usando la fórmula de la distancia. ★ (nuestra traducción)

Los estudiantes utilizan las coordenadas de los tres vértices de un triángulo en un plano de coordenadas para calcular su área. En décimo grado, aplican la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de bases y alturas perpendiculares, o encierran la figura inclinada dentro de un rectángulo delimitador y restan el área de los triángulos rectángulos circundantes.

Un error común ocurre cuando un triángulo no tiene lados horizontales ni verticales. Los estudiantes a menudo consideran un lado arbitrario como la altura sin verificar que forme un ángulo recto con la base elegida. Los errores de signo también son frecuentes al restar valores de coordenadas negativos durante los cálculos de distancia.

Las actividades de las hojas de trabajo basadas en la plantilla Área de un triángulo a partir de coordenadas presentan tres vértices, ya sea representados en una cuadrícula o escritos como pares de coordenadas. Los estudiantes identifican o construyen las medidas requeridas y calculan el área total en unidades cuadradas.

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Cómo hallar la masa a partir de la densidad y el volumen

Los estudiantes aprenden a hallar la masa de un bloque sólido calculando su volumen y multiplicándolo por su densidad dada.

Punto del currículo HSG-MG.A.2 Aplicar conceptos de densidad basados en el área y el volumen en situaciones de modelado (por ejemplo, personas por milla cuadrada, BTU por pie cúbico). ★ (nuestra traducción)

En la geometría de 10.º grado, los estudiantes conectan la medición geométrica tridimensional con objetos del mundo real. En este nivel, los estudiantes calculan el volumen de un bloque rectangular sólido a partir de sus dimensiones dadas y multiplican ese volumen por una densidad determinada para hallar la masa total del bloque.

Un error común es confundir la relación algebraica entre masa, volumen y densidad. Debido a que la densidad se define mediante una división (masa dividida entre volumen), los estudiantes a menudo dividen por error el volumen entre la densidad —o la densidad entre el volumen— en lugar de multiplicar el volumen por la densidad para despejar la masa.

En la práctica, actividades como masa de un bloque a partir de la densidad proporcionan la longitud, el ancho y la altura de un bloque, junto con la densidad del material. Los estudiantes calculan el volumen del bloque y luego multiplican ese volumen por la densidad para encontrar la masa final.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Hallar permutaciones y contar ordenaciones

Área superficial de cilindros, conos y esferas

Factorización de polinomios por agrupación y cubos

Uso de las leyes de los senos y cosenos

Cálculo de términos y sumas de sucesiones geométricas

Uso de la probabilidad total y la fórmula de Bayes

Uso de fórmulas de productos notables

Escribir ecuaciones de rectas y rectas paralelas

Hallar el vértice y usar la forma de vértice

Hallar los lados faltantes de triángulos rectángulos

Cálculo de ángulos centrales e inscritos en circunferencias

Cálculo de longitudes de cuerdas y segmentos tangentes

Cálculo de la probabilidad condicional a partir de una tabla

Hallar la probabilidad de la unión de eventos

Cálculo de probabilidades usando combinaciones

Traslación de gráficas de funciones

Hallar la tasa de cambio promedio

Combinación de funciones mediante composición

Hallar la inversa de una función lineal

Hallar el área de figuras semejantes

Uso del teorema de Tales para hallar longitudes

Dividir un segmento de recta en una razón dada

Hallar el área de un triángulo usando coordenadas

Cómo hallar la masa a partir de la densidad y el volumen

Otros tipos de ejercicios

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