Polski
Program nauczania (Stany Zjednoczone)

Matematyka — klasa 2 liceum i technikum

Matematyka dla klasy 10 zgodnie ze standardami Common Core State Standards, zazwyczaj geometria: podobieństwo, trygonometria trójkąta prostokątnego, twierdzenie sinusów i cosinusów, okręgi, geometria analityczna, objętość i pole powierzchni oraz prawdopodobieństwo warunkowe. Do każdego tematu dołączone są karty pracy do druku.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczniowie uczą się na matematyce w 10. klasie?

W klasie 10 uczniowie wykorzystują podobieństwo i trygonometrię trójkąta prostokątnego, stosują twierdzenie sinusów i cosinusów oraz pracują z kątami wpisanymi i środkowymi, stycznymi i cięciwami. W układzie współrzędnych wyznaczają odległości, dzielą odcinki i obliczają pola powierzchni. Obliczają objętość i pole powierzchni walców, stożków i kul, modelują z wykorzystaniem gęstości oraz zliczają zdarzenia, aby obliczać prawdopodobieństwo warunkowe i złożone.

O standardach: standardy Common Core dla szkół ponadpodstawowych są zorganizowane według kategorii pojęciowych (Liczby i wielkości, Algebra, Funkcje, Geometria, Statystyka i prawdopodobieństwo), a nie według klas. Przypisanie tematu do danej klasy jest naszą decyzją, wynikającą z powszechnej sekwencji kursów: Algebra I, Geometria, Algebra II i Precalculus. Standardy oznaczone symbolem (+) wykraczają poza podstawowy zakres przygotowania do studiów i kariery zawodowej.

Stan strony: tematy dla tej klasy są gotowe w postaci prostych ćwiczeń (instrukcja i wzór); zadania z rysunkami oraz zadania tekstowe są dodawane w następnej kolejności.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy HSA-SSE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dostrzeganie struktury w wyrażeniach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  2. Punkt podstawy HSA-SSE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować strukturę wyrażeń

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  3. Punkt podstawy HSA-SSE.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać wyrażenia w postaciach równoważnych, aby rozwiązywać problemy

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  4. Punkt podstawy HSA-SSE.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować wyrażenia reprezentujące wielkość w odniesieniu do jej kontekstu.★ a. Interpretować części wyrażenia, takie jak wyrazy, czynniki i współczynniki. b. Interpretować złożone wyrażenia, traktując jedną lub więcej ich części jako pojedynczą całość. Na przykład interpretować P(1+r)n jako iloczyn P oraz czynnika niezależącego od P.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  5. Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Stosowanie wzorów skróconego mnożenia (u nas w klasie 9-11) · Rozkład wielomianów na czynniki za pomocą grupowania i sześcianów (u nas w klasie 9-11)

  6. Punkt podstawy HSA-APR · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Działania na wielomianach i wyrażeniach wymiernych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  7. Punkt podstawy HSA-APR.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywać działania arytmetyczne na wielomianach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  8. Punkt podstawy HSA-APR.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że wielomiany tworzą układ analogiczny do liczb całkowitych, mianowicie są zamknięte ze względu na działania dodawania, odejmowania i mnożenia; dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  9. Punkt podstawy HSA-CED · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzenie równań★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  10. Punkt podstawy HSA-CED.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania opisujące liczby lub zależności

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  11. Punkt podstawy HSA-CED.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania i nierówności z jedną zmienną i używać ich do rozwiązywania problemów. Uwzględniać równania wynikające z funkcji liniowych i kwadratowych oraz prostych funkcji wymiernych i wykładniczych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  12. Punkt podstawy HSA-CED.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania z dwiema lub więcej zmiennymi, aby przedstawić zależności między wielkościami; sporządzać wykresy równań na osiach współrzędnych z oznaczeniami i skalami.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  13. Punkt podstawy HSA-CED.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać ograniczenia za pomocą równań lub nierówności oraz za pomocą układów równań i/lub nierówności i interpretować rozwiązania jako opcje dopuszczalne lub niedopuszczalne w kontekście modelowania. Na przykład przedstawiać nierówności opisujące ograniczenia żywieniowe i kosztowe dotyczące kombinacji różnych produktów spożywczych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  14. Punkt podstawy HSA-CED.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przekształcać wzory, aby wyznaczyć wskazaną wielkość, stosując to samo rozumowanie, co przy rozwiązywaniu równań. Na przykład przekształcić prawo Ohma V = IR, aby wyznaczyć opór R.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  15. Punkt podstawy HSA-REI · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumowanie z wykorzystaniem równań i nierówności

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  16. Punkt podstawy HSA-REI.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć rozwiązywanie równań jako proces rozumowania i wyjaśniać to rozumowanie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  17. Punkt podstawy HSA-REI.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać układy równań

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  18. Punkt podstawy HSA-REI.D · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać i rozwiązywać równania i nierówności graficznie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  19. Punkt podstawy HSA-REI.C.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Udowodnić, że dla danego układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi zastąpienie jednego równania sumą tego równania i wielokrotności drugiego daje układ o tych samych rozwiązaniach.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  20. Punkt podstawy HSA-REI.D.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnij, dlaczego współrzędne x punktów przecięcia wykresów równań y = f(x) i y = g(x) są rozwiązaniami równania f(x) = g(x); znajdź rozwiązania w przybliżeniu, np. wykorzystując technologię do sporządzania wykresów funkcji, tworzenia tabel wartości lub znajdowania kolejnych przybliżeń. Uwzględnij przypadki, w których f(x) i/lub g(x) są funkcjami liniowymi, wielomianowymi, wymiernymi, z wartością bezwzględną, wykładniczymi i logarytmicznymi.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  21. Punkt podstawy HSF-IF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  22. Punkt podstawy HSF-IF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować funkcje pojawiające się w zastosowaniach w odniesieniu do kontekstu

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  23. Punkt podstawy HSF-IF.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Analizować funkcje za pomocą różnych reprezentacji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  24. Punkt podstawy HSF-IF.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dla funkcji modelującej zależność między dwiema wielkościami interpretować kluczowe własności wykresów i tabel w odniesieniu do tych wielkości oraz szkicować wykresy przedstawiające kluczowe własności na podstawie słownego opisu zależności. Kluczowe własności obejmują: punkty przecięcia z osiami; przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, dodatnia lub ujemna; maksima i minima lokalne; symetrie; zachowanie na krańcach; oraz okresowość.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  25. Punkt podstawy HSF-IF.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Powiązać dziedzinę funkcji z jej wykresem oraz, tam gdzie ma to zastosowanie, z zależnością ilościową, którą opisuje. Na przykład, jeśli funkcja h(n) podaje liczbę roboczogodzin potrzebnych do zmontowania n silników w fabryce, wówczas dodatnie liczby całkowite byłyby odpowiednią dziedziną tej funkcji. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  26. Punkt podstawy HSF-IF.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji (przedstawionej symbolicznie lub w postaci tabeli) w określonym przedziale. Szacować szybkość zmian na podstawie wykresu. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Wyznaczanie średniego tempa zmian (u nas w klasie 9-11)

  27. Punkt podstawy HSF-IF.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Sporządzać wykresy funkcji wyrażonych symbolicznie i przedstawiać kluczowe cechy wykresu, ręcznie w prostych przypadkach oraz z użyciem technologii w przypadkach bardziej złożonych. ★ a. Sporządzać wykresy funkcji liniowych i kwadratowych oraz wskazywać punkty przecięcia z osiami, maksima i minima. b. Sporządzać wykresy funkcji pierwiastka kwadratowego, pierwiastka sześciennego oraz funkcji określonych przedziałami, w tym funkcji schodkowych i funkcji wartości bezwzględnej. c. Sporządzać wykresy funkcji wielomianowych, wyznaczając miejsca zerowe, gdy dostępny jest odpowiedni rozkład na czynniki, oraz wskazując zachowanie na krańcach dziedziny. d. (+) Sporządzać wykresy funkcji wymiernych, wyznaczając miejsca zerowe i asymptoty, gdy dostępny jest odpowiedni rozkład na czynniki, oraz wskazując zachowanie na krańcach dziedziny. e. Sporządzać wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych, wskazując punkty przecięcia z osiami i zachowanie na krańcach dziedziny, oraz funkcji trygonometrycznych, wskazując okres, linię środkową i amplitudę.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  28. Punkt podstawy HSF-IF.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać funkcję określoną za pomocą wyrażenia w różnych, lecz równoważnych postaciach, aby ujawnić i wyjaśnić różne własności funkcji. a. Stosować rozkład na czynniki i dopełnianie do kwadratu w funkcji kwadratowej, aby pokazać miejsca zerowe, wartości ekstremalne oraz symetrię wykresu, i interpretować je w kontekście. b. Stosować własności potęg do interpretacji wyrażeń opisujących funkcje wykładnicze. Na przykład określać procentową stopę zmiany w funkcjach takich jak y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10 i klasyfikować je jako reprezentujące wzrost lub zanik wykładniczy.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Wyznaczanie wierzchołka i korzystanie z postaci kanonicznej (u nas w klasie 9-11)

  29. Punkt podstawy HSF-IF.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Porównaj własności dwóch funkcji, z których każda jest przedstawiona w inny sposób (algebraicznie, graficznie, liczbowo w tabelach lub za pomocą opisów słownych). Na przykład, mając dany wykres jednej funkcji kwadratowej i wyrażenie algebraiczne drugiej, określ, która ma większe maksimum.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  30. Punkt podstawy HSF-BF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Budowanie funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  31. Punkt podstawy HSF-BF.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Budować funkcję, która modeluje zależność między dwiema wielkościami

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  32. Punkt podstawy HSF-BF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć nowe funkcje z istniejących funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  33. Punkt podstawy HSF-BF.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych (u nas w klasie 9-11) · Łączenie funkcji za pomocą składania (u nas w klasie 9-11)

  34. Punkt podstawy HSF-BF.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Identyfikować wpływ na wykres zastąpienia f(x) przez f(x) + k, k f(x), f(kx) oraz f(x + k) dla określonych wartości k (zarówno dodatnich, jak i ujemnych); wyznaczać wartość k na podstawie wykresów. Eksperymentować z przypadkami i ilustrować wyjaśnienie wpływu na wykres z wykorzystaniem technologii. Uwzględniać rozpoznawanie funkcji parzystych i nieparzystych na podstawie ich wykresów oraz opisujących je wyrażeń algebraicznych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Przesunięcia wykresów funkcji (u nas w klasie 9-11)

  35. Punkt podstawy HSF-BF.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyznacz funkcje odwrotne. a. Rozwiąż równanie postaci f(x) = c dla prostej funkcji f, która ma funkcję odwrotną, i zapisz wyrażenie dla funkcji odwrotnej. Na przykład f(x) =2 x3 lub f(x) = (x+1)/(x–1) dla x ≠ 1. b. (+) Sprawdź za pomocą składania, że jedna funkcja jest funkcją odwrotną do drugiej. c. (+) Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z wykresu lub tabeli, przy założeniu, że funkcja ma funkcję odwrotną. d. (+) Utwórz funkcję odwracalną z funkcji nieodwracalnej poprzez ograniczenie dziedziny.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej (u nas w klasie 9-11)

  36. Punkt podstawy HSF-LE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  37. Punkt podstawy HSF-LE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować i porównywać modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze oraz rozwiązywać zadania

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  38. Punkt podstawy HSG-CO · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przystawanie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Congruence

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Congruence (HSG-CO)

  39. Punkt podstawy HSG-CO.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Eksperymentować z przekształceniami na płaszczyźnie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Experiment with transformations in the plane

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster A

  40. Punkt podstawy HSG-CO.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć przystawanie w kategoriach ruchów sztywnych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand congruence in terms of rigid motions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster B

  41. Punkt podstawy HSG-CO.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dowodzić twierdzeń geometrycznych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove geometric theorems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster C

  42. Punkt podstawy HSG-CO.D · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywać konstrukcje geometryczne

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Make geometric constructions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster D

  43. Punkt podstawy HSG-CO.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Znać precyzyjne definicje kąta, okręgu, prostej prostopadłej, prostej równoległej i odcinka, oparte na pojęciach pierwotnych punktu, prostej, odległości wzdłuż prostej oraz odległości wzdłuż łuku okręgu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Know precise definitions of angle, circle, perpendicular line, parallel line, and line segment, based on the undefined notions of point, line, distance along a line, and distance around a circular arc.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.1

  44. Punkt podstawy HSG-CO.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać przekształcenia na płaszczyźnie za pomocą np. folii przezroczystych i oprogramowania geometrycznego; opisywać przekształcenia jako funkcje, które przyjmują punkty na płaszczyźnie jako dane wejściowe i dają inne punkty jako dane wyjściowe. Porównywać przekształcenia zachowujące odległość i kąt z tymi, które ich nie zachowują (np. przesunięcie równoległe a rozciągnięcie w poziomie).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent transformations in the plane using, e.g., transparencies and geometry software; describe transformations as functions that take points in the plane as inputs and give other points as outputs. Compare transformations that preserve distance and angle to those that do not (e.g., translation versus horizontal stretch).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.2

  45. Punkt podstawy HSG-CO.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Mając dany prostokąt, równoległobok, trapez lub wielokąt foremny, opisz obroty i odbicia, które przeprowadzają go na siebie.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Given a rectangle, parallelogram, trapezoid, or regular polygon, describe the rotations and reflections that carry it onto itself.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.3

  46. Punkt podstawy HSG-CO.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Formułować definicje obrotów, symetrii osiowych i przesunięć równoległych za pomocą kątów, okręgów, prostych prostopadłych, prostych równoległych i odcinków.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Develop definitions of rotations, reflections, and translations in terms of angles, circles, perpendicular lines, parallel lines, and line segments.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.4

  47. Punkt podstawy HSG-CO.A.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Mając daną figurę geometryczną oraz obrót, symetrię lub przesunięcie, narysuj przekształconą figurę, korzystając np. z papieru w kratkę, kalki kreślarskiej lub oprogramowania geometrycznego. Określ ciąg przekształceń, który przeprowadzi daną figurę na inną.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Given a geometric figure and a rotation, reflection, or translation, draw the transformed figure using, e.g., graph paper, tracing paper, or geometry software. Specify a sequence of transformations that will carry a given figure onto another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.5

  48. Punkt podstawy HSG-CO.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować geometryczne opisy ruchów sztywnych do przekształcania figur i przewidywania efektu danego ruchu sztywnego na daną figurę; mając dane dwie figury, stosować definicję przystawania opartą na ruchach sztywnych, aby rozstrzygnąć, czy są one przystające.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use geometric descriptions of rigid motions to transform figures and to predict the effect of a given rigid motion on a given figure; given two figures, use the definition of congruence in terms of rigid motions to decide if they are congruent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.6

  49. Punkt podstawy HSG-CO.B.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystać definicję przystawania w kategoriach ruchów sztywnych, aby wykazać, że dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie pary boków i odpowiadające sobie pary kątów są przystające.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the definition of congruence in terms of rigid motions to show that two triangles are congruent if and only if corresponding pairs of sides and corresponding pairs of angles are congruent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.7

  50. Punkt podstawy HSG-CO.B.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnić, jak cechy przystawania trójkątów (kbk, bkb i bbb) wynikają z definicji przystawania za pomocą ruchów sztywnych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain how the criteria for triangle congruence (ASA, SAS, and SSS) follow from the definition of congruence in terms of rigid motions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.8

  51. Punkt podstawy HSG-CO.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dowodzić twierdzeń o prostych i kątach. Twierdzenia obejmują: kąty wierzchołkowe są przystające; gdy prosta poprzeczna przecina proste równoległe, kąty naprzemianległe wewnętrzne są przystające i kąty odpowiadające są przystające; punkty leżące na symetralnej odcinka są dokładnie tymi, które są jednakowo oddalone od końców odcinka.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove theorems about lines and angles. Theorems include: vertical angles are congruent; when a transversal crosses parallel lines, alternate interior angles are congruent and corresponding angles are congruent; points on a perpendicular bisector of a line segment are exactly those equidistant from the segment’s endpoints.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.9

  52. Punkt podstawy HSG-CO.C.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dowodzić twierdzeń o trójkątach. Twierdzenia obejmują: miary kątów wewnętrznych trójkąta sumują się do 180°; kąty przy podstawie trójkątów równoramiennych są przystające; odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma połowę jego długości; środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: measures of interior angles of a triangle sum to 180°; base angles of isosceles triangles are congruent; the segment joining midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half the length; the medians of a triangle meet at a point.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.10

  53. Punkt podstawy HSG-CO.C.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dowodzić twierdzeń o równoległobokach. Twierdzenia obejmują: przeciwległe boki są przystające, przeciwległe kąty są przystające, przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, i odwrotnie, prostokąty są równoległobokami o przystających przekątnych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove theorems about parallelograms. Theorems include: opposite sides are congruent, opposite angles are congruent, the diagonals of a parallelogram bisect each other, and conversely, rectangles are parallelograms with congruent diagonals.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.11

  54. Punkt podstawy HSG-CO.D.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywać formalne konstrukcje geometryczne przy użyciu różnorodnych narzędzi i metod (cyrkiel i liniał, sznurek, przyrządy zwierciadlane, składanie papieru, oprogramowanie do geometrii dynamicznej itp.). Kopiowanie odcinka; kopiowanie kąta; dzielenie odcinka na połowy; dzielenie kąta na połowy; konstruowanie prostych prostopadłych, w tym symetralnej odcinka; oraz konstruowanie prostej równoległej do danej prostej przez punkt nieleżący na prostej.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Make formal geometric constructions with a variety of tools and methods (compass and straightedge, string, reflective devices, paper folding, dynamic geometric software, etc.). Copying a segment; copying an angle; bisecting a segment; bisecting an angle; constructing perpendicular lines, including the perpendicular bisector of a line segment; and constructing a line parallel to a given line through a point not on the line.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.12

  55. Punkt podstawy HSG-CO.D.13 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny wpisane w okrąg.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct an equilateral triangle, a square, and a regular hexagon inscribed in a circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.13

  56. Punkt podstawy HSG-SRT · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podobieństwo, trójkąty prostokątne i trygonometria

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Similarity, Right Triangles, and Trigonometry

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Similarity, Right Triangles, and Trigonometry (HSG-SRT)

  57. Punkt podstawy HSG-SRT.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć podobieństwo w kategoriach przekształceń podobieństwa

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand similarity in terms of similarity transformations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster A

  58. Punkt podstawy HSG-SRT.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dowodzić twierdzeń dotyczących podobieństwa

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove theorems involving similarity

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster B

  59. Punkt podstawy HSG-SRT.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Definiować stosunki trygonometryczne i rozwiązywać zadania dotyczące trójkątów prostokątnych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster C

  60. Punkt podstawy HSG-SRT.D · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować trygonometrię do trójkątów dowolnych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Apply trigonometry to general triangles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster D

  61. Punkt podstawy HSG-SRT.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Sprawdzić doświadczalnie własności jednokładności określonych przez środek i skalę: a. Jednokładność przekształca prostą nieprzechodzącą przez środek jednokładności w prostą równoległą, a prostą przechodzącą przez środek pozostawia bez zmian. b. Obraz odcinka w jednokładności jest dłuższy lub krótszy w stosunku określonym przez skalę.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Verify experimentally the properties of dilations given by a center and a scale factor: a. A dilation takes a line not passing through the center of the dilation to a parallel line, and leaves a line passing through the center unchanged. b. The dilation of a line segment is longer or shorter in the ratio given by the scale factor.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.1

    Obliczanie pola figur podobnych (u nas w klasie 10)

  62. Punkt podstawy HSG-SRT.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Mając dane dwie figury, stosować definicję podobieństwa w kategoriach przekształceń podobieństwa, aby rozstrzygnąć, czy są podobne; wyjaśniać za pomocą przekształceń podobieństwa znaczenie podobieństwa trójkątów jako równość wszystkich odpowiadających sobie par kątów i proporcjonalność wszystkich odpowiadających sobie par boków.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Given two figures, use the definition of similarity in terms of similarity transformations to decide if the y are similar; explain using similarity transformations the meaning of similarity for triangles as the equality of all corresponding pairs of angles and the proportionality of all corresponding pairs of sides.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.2

  63. Punkt podstawy HSG-SRT.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystywać własności przekształceń podobieństwa, aby uzasadnić cechę podobieństwa kąt-kąt (kk) dwóch trójkątów.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the properties of similarity transformations to establish the AA criterion for two triangles to be similar.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.3

  64. Punkt podstawy HSG-SRT.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dowodzić twierdzeń o trójkątach. Twierdzenia obejmują: prosta równoległa do jednego boku trójkąta dzieli dwa pozostałe proporcjonalnie i odwrotnie; twierdzenie Pitagorasa udowodnione z wykorzystaniem podobieństwa trójkątów.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: a line parallel to one side of a triangle divides the other two proportionally, and conversely; the Pythagorean Theorem proved using triangle similarity.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.4

  65. Punkt podstawy HSG-SRT.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować cechy przystawania i podobieństwa trójkątów do rozwiązywania problemów i do dowodzenia zależności w figurach geometrycznych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use congruence and similarity criteria for triangles to solve problems and to prove relationships in geometric figures.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.5

    Wykorzystanie twierdzenia Talesa do wyznaczania długości (u nas w klasie 10)

  66. Punkt podstawy HSG-SRT.C.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że na mocy podobieństwa stosunki boków w trójkątach prostokątnych są własnościami kątów w trójkącie, co prowadzi do definicji stosunków trygonometrycznych dla kątów ostrych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that by similarity, side ratios in right triangles are properties of the angles in the triangle, leading to definitions of trigonometric ratios for acute angles.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.6

  67. Punkt podstawy HSG-SRT.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśniać i stosować związek między sinusem a cosinusem kątów dopełniających.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain and use the relationship between the sine and cosine of complementary angles.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.7

  68. Punkt podstawy HSG-SRT.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować stosunki trygonometryczne i twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania trójkątów prostokątnych w zadaniach praktycznych. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use trigonometric ratios and the Pythagorean Theorem to solve right triangles in applied problems. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.8

    Znajdowanie brakujących boków trójkątów prostokątnych (u nas w klasie 10)

  69. Punkt podstawy HSG-SRT.D.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Wyprowadzić wzór A = 1/2 ab sin(C) na pole trójkąta, rysując linię pomocniczą z wierzchołka prostopadłą do przeciwległego boku.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Derive the formula A = 1/2 ab sin(C) for the area of a triangle by drawing an auxiliary line from a vertex perpendicular to the opposite side.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.9

  70. Punkt podstawy HSG-SRT.D.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Dowodzić twierdzeń sinusów i cosinusów oraz stosować je do rozwiązywania zadań.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Prove the Laws of Sines and Cosines and use them to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.10

  71. Punkt podstawy HSG-SRT.D.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Rozumieć i stosować twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów do znajdowania nieznanych miar w trójkątach prostokątnych i nieprostokątnych (np. zadania geodezyjne, siły wypadkowe).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Understand and apply the Law of Sines and the Law of Cosines to find unkno wn measurements in right and non-right triangles (e.g., surveying problems, resultant forces).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.11

    Zastosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów (u nas w klasie 10)

  72. Punkt podstawy HSG-C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Koła

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Circles (HSG-C)

  73. Punkt podstawy HSG-C.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć i stosować twierdzenia o okręgach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand and apply theorems about circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster A

  74. Punkt podstawy HSG-C.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obliczać długości łuków i pola wycinków kół

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Find arc lengths and areas of sectors of circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster B

  75. Punkt podstawy HSG-C.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Udowodnić, że wszystkie okręgi są podobne.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove that all circles are similar.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.1

  76. Punkt podstawy HSG-C.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozpoznawać i opisywać zależności między kątami wpisanymi, promieniami i cięciwami. Uwzględniać zależność między kątami środkowymi, wpisanymi i opisanymi; kąty wpisane oparte na średnicy są kątami prostymi; promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie, w którym promień przecina okrąg.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Identify and describe relationships among inscribed angles, radii, and chords. Include the relationship between central, inscribed, and circumscribed angles; inscribed angles on a diameter are right angles; the radius of a circle is perpendicular to the tangent where the radius intersects the circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.2

    Wyznaczanie kątów środkowych i wpisanych w okręgach (u nas w klasie 10) · Wyznaczanie długości cięciw i odcinków stycznych (u nas w klasie 10)

  77. Punkt podstawy HSG-C.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować okrąg wpisany w trójkąt i okrąg opisany na trójkącie oraz dowodzić własności kątów czworokąta wpisanego w okrąg.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct the inscribed and circumscribed circles of a triangle, and prove properties of angles for a quadrilateral inscribed in a circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.3

  78. Punkt podstawy HSG-C.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Konstruować styczną do okręgu z punktu leżącego na zewnątrz danego okręgu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Construct a tangent line from a point outside a given circle to the circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.4

  79. Punkt podstawy HSG-C.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyprowadzić, korzystając z podobieństwa, fakt, że długość łuku wyciętego przez kąt jest proporcjonalna do promienia, i zdefiniować miarę łukową kąta jako współczynnik proporcjonalności; wyprowadzić wzór na pole wycinka koła.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Derive using similarity the fact that the length of the arc intercepted by an angle is proportional to the radius, and define the radian measure of the angle as the constant of proportionality; derive the formula for the area of a sector.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.B.5

  80. Punkt podstawy HSG-GPE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyrażanie własności geometrycznych za pomocą równań

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  81. Punkt podstawy HSG-GPE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przechodzić między opisem geometrycznym a równaniem krzywej stożkowej

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  82. Punkt podstawy HSG-GPE.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystywać współrzędne do algebraicznego dowodzenia prostych twierdzeń geometrycznych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster B

  83. Punkt podstawy HSG-GPE.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyprowadzić równanie okręgu o danym środku i promieniu, stosując twierdzenie Pitagorasa; dopełnić do kwadratu, aby wyznaczyć środek i promień okręgu danego równaniem.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Derive the equation of a circle of given center and radius using the Pythagorean Theorem; complete the square to find the center and radius of a circle given by an equation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.1

  84. Punkt podstawy HSG-GPE.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyprowadzić równanie paraboli o danym ognisku i kierownicy.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Derive the equation of a parabola given a focus and directrix.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.2

  85. Punkt podstawy HSG-GPE.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować współrzędne do algebraicznego dowodzenia prostych twierdzeń geometrycznych. Na przykład udowodnić lub obalić, że figura określona przez cztery dane punkty na płaszczyźnie współrzędnych jest prostokątem; udowodnić lub obalić, że punkt (1, √3) leży na okręgu o środku w początku układu współrzędnych i zawierającym punkt (0, 2).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically. For example, prove or disprove that a figure defined by four given points in the coordinate plane is a rectangle; prove or disprove that the point (1, √3) lies on the circle centered at the origin and containing the point (0, 2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.4

  86. Punkt podstawy HSG-GPE.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Udowodnić kryteria dotyczące współczynnika kierunkowego dla prostych równoległych i prostopadłych oraz stosować je do rozwiązywania problemów geometrycznych (np. znaleźć równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej, przechodzącej przez dany punkt).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove the slope criteria for parallel and perpendicular lines and use them to solve geometric problems (e.g., find the equation of a line parallel or perpendicular to a given line that passes through a given point).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.5

  87. Punkt podstawy HSG-GPE.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyznacz punkt na odcinku skierowanym między dwoma danymi punktami, który dzieli ten odcinek w danym stosunku.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Find the point on a directed line segment between two given points that partitions the segment in a given ratio.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.6

    Podział odcinka w danym stosunku (u nas w klasie 10)

  88. Punkt podstawy HSG-GPE.B.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Używać współrzędnych do obliczania obwodów wielokątów oraz pól trójkątów i prostokątów, np. za pomocą wzoru na odległość. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use coordinates to compute perimeters of polygons and areas of triangles and rectangles, e.g., using the distance formula. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.7

    Obliczanie pola trójkąta za pomocą współrzędnych (u nas w klasie 10) · Obliczanie odległości między dwoma punktami za pomocą twierdzenia Pitagorasa (u nas w klasie 8)

  89. Punkt podstawy HSG-GMD · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Pomiar geometryczny i wymiar

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  90. Punkt podstawy HSG-GMD.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśniać wzory na objętość i stosować je do rozwiązywania zadań

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  91. Punkt podstawy HSG-GMD.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wizualizować związki między figurami dwuwymiarowymi a trójwymiarowymi

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Visualize relationships between two-dimensional and three-dimensional objects

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster B

  92. Punkt podstawy HSG-GMD.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podaj nieformalne uzasadnienie wzorów na obwód koła, pole koła, objętość walca, ostrosłupa i stożka. Wykorzystaj argumenty oparte na rozcinaniu, zasadę Cavalieriego oraz nieformalne argumenty graniczne.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Give an informal argument for the formulas for the circumference of a circle, area of a circle, volume of a cylinder, pyramid, and cone. Use dissection arguments, Cavalieri’s principle, and informal limit arguments.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.1

  93. Punkt podstawy HSG-GMD.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować wzory na objętość walców, ostrosłupów, stożków i kul do rozwiązywania zadań. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use volume formulas for cylinders, pyramids, cones, and spheres to solve problems. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.3

    Obliczanie objętości walców, stożków i kul (u nas w klasie 8) · Pole powierzchni walców, stożków i kul (u nas w klasie 10)

  94. Punkt podstawy HSG-GMD.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozpoznawać kształty dwuwymiarowych przekrojów obiektów trójwymiarowych i rozpoznawać obiekty trójwymiarowe powstałe w wyniku obrotu obiektów dwuwymiarowych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Identify the shapes of two-dimensional cross-sections of three-dimensional objects, and identify three-dimensional objects generated by rotations of two-dimensional objects.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.B.4

  95. Punkt podstawy HSG-MG · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Modelowanie z wykorzystaniem geometrii

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Modeling with Geometry

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Modeling with Geometry (HSG-MG)

  96. Punkt podstawy HSG-MG.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować pojęcia geometryczne w sytuacjach modelowania

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Apply geometric concepts in modeling situations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, cluster A

  97. Punkt podstawy HSG-MG.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Używanie figur geometrycznych, ich miar oraz ich własności do opisywania obiektów (np. modelowanie pnia drzewa lub tułowia człowieka jako walca). ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use geometric shapes, their measures, and their properties to describe objects (e.g., modeling a tree trunk or a human torso as a cylinder). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.1

  98. Punkt podstawy HSG-MG.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować pojęcia gęstości oparte na polu powierzchni i objętości w sytuacjach modelowania (np. osoby na milę kwadratową, BTU na stopę sześcienną). ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Apply concepts of density based on area and volume in modeling situations (e.g., persons per square mile, BTUs per cubic foot). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.2

    Obliczanie masy na podstawie gęstości i objętości (u nas w klasie 10)

  99. Punkt podstawy HSG-MG.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować metody geometryczne do rozwiązywania problemów projektowych (np. projektowanie obiektu lub konstrukcji w celu spełnienia ograniczeń fizycznych lub minimalizacji kosztów; praca z systemami siatek typograficznych opartymi na proporcjach). ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Apply geometric methods to solve design problems (e.g., designing an object or structure to satisfy physical constraints or minimize cost; working with typographic grid systems based on ratios). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.3

  100. Punkt podstawy HSS-ID · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie danych jakościowych i ilościowych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  101. Punkt podstawy HSS-ID.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać, przedstawiać i interpretować dane dotyczące pojedynczej zmiennej zliczeniowej lub pomiarowej

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  102. Punkt podstawy HSS-ID.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać, przedstawiać i interpretować dane dotyczące dwóch zmiennych jakościowych i ilościowych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  103. Punkt podstawy HSS-ID.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać dane jakościowe dla dwóch kategorii w dwudzielczych tabelach liczności. Interpretować częstości względne w kontekście danych (w tym łączne, brzegowe i warunkowe częstości względne). Rozpoznawać możliwe zależności i trendy w danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

    Wyznaczanie prawdopodobieństwa warunkowego na podstawie tabeli (u nas w klasie 9-10)

  104. Punkt podstawy HSS-CP · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Prawdopodobieństwo warunkowe i reguły prawdopodobieństwa

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Conditional Probability and the Rules of Probability

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Conditional Probability and the Rules of Probability (HSS-CP)

  105. Punkt podstawy HSS-CP.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć niezależność i prawdopodobieństwo warunkowe oraz wykorzystywać je do interpretacji danych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand independence and conditional probability and use them to interpret data

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster A

  106. Punkt podstawy HSS-CP.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować reguły prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń złożonych w jednostajnym modelu prawdopodobieństwa

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the rules of probability to compute probabilities of compound events in a uniform probability model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster B

  107. Punkt podstawy HSS-CP.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Opisywać zdarzenia jako podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych (zbioru wyników) za pomocą cech (lub kategorii) wyników albo jako sumy, iloczyny lub dopełnienia innych zdarzeń („lub”, „i”, „nie”).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Describe events as subsets of a sample space (the set of outcomes) using characteristics (or categories) of the outcomes, or as unions, intersections, or complements of other events (“or,” “and,” “not”).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.1

    Obliczanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń (u nas w klasie 10)

  108. Punkt podstawy HSS-CP.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że dwa zdarzenia A i B są niezależne, jeśli prawdopodobieństwo jednoczesnego zajścia A i B jest iloczynem ich prawdopodobieństw, oraz wykorzystywać tę charakteryzację do ustalenia, czy są one niezależne.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that two events A and B are independent if the probability of A and B occurring together is the product of their probabilities, and use this characterization to determine if they are independent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.2

  109. Punkt podstawy HSS-CP.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć prawdopodobieństwo warunkowe A pod warunkiem B jako P(A i B)/P(B) oraz interpretować niezależność A i B jako stwierdzenie, że prawdopodobieństwo warunkowe A pod warunkiem B jest takie samo jak prawdopodobieństwo A, a prawdopodobieństwo warunkowe B pod warunkiem A jest takie samo jak prawdopodobieństwo B.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand the conditional probability of A given B as P(A and B)/P(B), and interpret independence of A and B as saying that the conditional probability of A given B is the same as the probability of A, and the conditional probability of B given A is the same as the probability of B.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.3

  110. Punkt podstawy HSS-CP.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować i interpretować dwudzielne tabele liczebności danych, gdy z każdym klasyfikowanym obiektem powiązane są dwie kategorie. Używać tabeli dwudzielnej jako przestrzeni zdarzeń elementarnych do rozstrzygania, czy zdarzenia są niezależne, oraz do przybliżania prawdopodobieństw warunkowych. Na przykład zbierać dane z losowej próby uczniów w swojej szkole na temat ich ulubionego przedmiotu spośród matematyki, nauk przyrodniczych i języka angielskiego. Szacować prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń ze swojej szkoły będzie preferował nauki przyrodnicze pod warunkiem, że uczeń ten jest w dziesiątej klasie. Zrobić to samo dla innych przedmiotów i porównać wyniki.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct and interpret two-way frequency tables of data when two categories are associated with each object being classified. Use the two-way table as a sample space to decide if events are independent and to approximate conditional probabilities. For example, collect data from a random sample of students in your school on their favorite subject among math, science, and English. Estimate the probability that a randomly selected student from your school will favor science given that the student is in tenth grade. Do the same for other subjects and compare the results.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.4

    Wyznaczanie prawdopodobieństwa warunkowego na podstawie tabeli (u nas w klasie 9-10)

  111. Punkt podstawy HSS-CP.A.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozpoznawać i wyjaśniać pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego i niezależności w języku codziennym i w codziennych sytuacjach. Na przykład porównywać szansę zachorowania na raka płuc, jeśli jest się palaczem, z szansą bycia palaczem, jeśli ma się raka płuc.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Recognize and explain the concepts of conditional probability and independence in everyday language and everyday situations. For example, compare the chance of having lung cancer if you are a smoker with the chance of being a smoker if you have lung cancer.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.5

  112. Punkt podstawy HSS-CP.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyznacz prawdopodobieństwo warunkowe A pod warunkiem B jako ułamek wyników B, które należą również do A, i zinterpretuj odpowiedź w kontekście modelu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Find the conditional probability of A given B as the fraction of B’s outcomes that also belong to A, and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.6

    Wyznaczanie prawdopodobieństwa warunkowego na podstawie tabeli (u nas w klasie 9-10)

  113. Punkt podstawy HSS-CP.B.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować regułę dodawania, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), i interpretować wynik w kontekście modelu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Apply the Addition Rule, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.7

    Obliczanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń (u nas w klasie 10)

  114. Punkt podstawy HSS-CP.B.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Stosuje ogólną regułę mnożenia w jednostajnym modelu prawdopodobieństwa, P(A i B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), i interpretuje wynik w odniesieniu do modelu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Apply the general Multiplication Rule in a uniform probability model, P(A and B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.8

    Zastosowanie prawdopodobieństwa całkowitego i wzoru Bayesa (u nas w klasie 10)

  115. Punkt podstawy HSS-CP.B.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Stosować permutacje i kombinacje do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń złożonych i rozwiązywania problemów.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.9

    Wyznaczanie permutacji i zliczanie układów (u nas w klasie 10) · Obliczanie prawdopodobieństwa z wykorzystaniem kombinacji (u nas w klasie 10)

  116. Punkt podstawy HSS-MD · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie prawdopodobieństwa do podejmowania decyzji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  117. Punkt podstawy HSS-MD.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystywać prawdopodobieństwo do oceny skutków decyzji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  118. Punkt podstawy HSS-MD.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Stosować prawdopodobieństwo do podejmowania sprawiedliwych decyzji (np. losowanie, korzystanie z generatora liczb losowych).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  119. Punkt podstawy HSS-MD.B.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Analizować decyzje i strategie z wykorzystaniem pojęć rachunku prawdopodobieństwa (np. testowanie produktów, testy medyczne, wycofanie bramkarza pod koniec meczu hokejowego).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Umiejętności krok po kroku

Wyznaczanie permutacji i zliczanie układów

Uczniowie uczą się stosować regułę mnożenia i permutacje do obliczania liczby możliwych uporządkowanych układów oraz wyników w codziennych sytuacjach.

Punkt podstawy HSS-CP.B.9 (+) Stosować permutacje i kombinacje do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń złożonych i rozwiązywania problemów. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się wyznaczać całkowitą liczbę uporządkowanych układów dla zbioru elementów lub osób, korzystając z reguły mnożenia i permutacji. W tej klasie uczniowie obliczają, na ile sposobów można obsadzić poszczególne pozycje, gdy kolejność ma znaczenie, a każdy wybór zmniejsza liczbę opcji dostępnych przy kolejnym wyborze.

Częstym błędem jest mylenie sytuacji, w których należy dodawać, z sytuacjami, w których należy mnożyć możliwości w kolejnych krokach. Uczniowie często zapominają także o uwzględnieniu ograniczeń w pierwszej kolejności; na przykład podczas tworzenia liczb parzystych lub nieparzystych o niepowtarzających się cyfrach mogą wybierać cyfry początkowe przed ustaleniem wymaganej cyfry końcowej, co prowadzi do błędnych obliczeń.

Zadania ćwiczeniowe dotyczące tej umiejętności wymagają od uczniów rozwiązywania konkretnych problemów związanych z porządkowaniem, takich jak:

  • Obliczanie, na ile sposobów grupa uczniów może ustawić się w kolejce jeden za drugim.
  • Wyznaczanie liczby możliwych wyników przy przyznawaniu nagród za pierwsze, drugie i trzecie miejsce w grupie uczestników.
  • Określanie, ile unikalnych parzystych lub nieparzystych liczb wielocyfrowych można utworzyć z danego zbioru cyfr bez powtórzeń.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Permutacje — ustawienie w kolejce · Wariacje — rozdanie nagród · Liczby nieparzyste z cyfrą występującą raz · Liczby parzyste z cyfrą występującą raz

Pole powierzchni walców, stożków i kul

Uczniowie uczą się obliczać pole powierzchni całkowitej brył obrotowych — walców, stożków i kul — oraz analizować płaskie siatki służące do ich budowy.

Punkt podstawy HSG-GMD.A.3 Stosować wzory na objętość walców, ostrosłupów, stożków i kul do rozwiązywania zadań. ★ (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się obliczać pole powierzchni całkowitej trójwymiarowych brył obrotowych, w tym walców, stożków i kul. Stosują wzory geometryczne łączące kołowe podstawy z zakrzywionymi powierzchniami bocznymi oraz analizują dwuwymiarowe siatki, aby zrozumieć, jak płaskie figury składają się w trójwymiarowe stożki.

Częstym błędem jest mylenie wysokości stożka z jego tworzącą, co prowadzi do błędnych obliczeń pola powierzchni bocznej. Uczniowie często zapominają również o dodaniu kołowych podstaw do pola powierzchni bocznej, na przykład pomijając górną i dolną podstawę walca lub mając trudności z powiązaniem obwodu podstawy stożka z długością łuku rozwiniętej powierzchni bocznej.

Zadania na kartach pracy zawierają rysunki brył z oznaczonymi wymiarami, takimi jak promienie, wysokości czy tworzące. Typowe ćwiczenia wymagają od uczniów wyznaczenia pola powierzchni walca, pola powierzchni stożka lub pola powierzchni kuli, a także obliczenia kąta środkowego siatki stożka na podstawie jego wymiarów.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Pole powierzchni kuli · Pole powierzchni walca · Kąt rozwinięcia powierzchni bocznej stożka · Pole powierzchni stożka

Obliczanie objętości walców, stożków i kul

Uczniowie uczą się stosować wzory do obliczania objętości walców, stożków i kul w zadaniach geometrycznych oraz problemach z życia codziennego.

Punkt podstawy 8.G.C.9 Znać wzory na objętości stożków, walców i kul oraz stosować je do rozwiązywania problemów z życia codziennego i matematycznych. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSG-GMD.A.3 Stosować wzory na objętość walców, ostrosłupów, stożków i kul do rozwiązywania zadań. ★ (nasze tłumaczenie)

W geometrii w 10. klasie uczniowie stosują określone wzory geometryczne do obliczania objętości trójwymiarowych brył obrotowych: walców, stożków i kul. Na podstawie schematów lub opisów identyfikują kluczowe wymiary — takie jak promień, średnica i wysokość — a następnie podstawiają je do wzorów, aby wyznaczyć całkowitą objętość.

Częstym błędem jest mylenie promienia ze średnicą. Uczniowie często podstawiają podaną średnicę bezpośrednio do wzoru, zapominając o uprzednim podzieleniu jej przez dwa. Innym powszechnym błędem jest zastosowanie niewłaściwego wykładnika potęgi lub pominięcie współczynników ułamkowych, na przykład podnoszenie promienia do kwadratu zamiast do sześcianu przy obliczeniach dla kuli czy zapomnienie o pomnożeniu przez 1/3 w przypadku stożka.

Zadania na kartach pracy skupiają się bezpośrednio na trzech zagadnieniach: Objętość walca, Objętość stożka oraz Objętość kuli. Typowe zadanie przedstawia bryłę o podanych wymiarach, na przykład walec o promieniu 4 jednostek i wysokości 10 jednostek, i wymaga od uczniów obliczenia objętości w postaci wyrażenia z liczbą pi lub po zaokrągleniu do określonego miejsca po przecinku.

Rozkład wielomianów na czynniki za pomocą grupowania i sześcianów

Uczniowie uczą się przekształcać wyrażenia wielomianowe poprzez wyłączanie wspólnego jednomianu przed nawias, grupowanie wyrazów oraz stosowanie wzorów na sumę i różnicę sześcianów.

Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2). (nasze tłumaczenie)

W 10. klasie uczniowie wykorzystują strukturę wyrażeń wielomianowych do znajdowania sposobów na przekształcenie ich do postaci iloczynowej. Pracując z wyrażeniami wielowyrazowymi i wyższymi potęgami, uczniowie rozpoznają, kiedy wyrazy mają wspólny czynnik algebraiczny, kiedy wyrażenie czterowyrazowe można podzielić na pary oraz jak zauważyć specyficzną strukturę sumy lub różnicy sześcianów.

Częstą trudnością jest poprawne operowanie znakami ujemnymi. Podczas rozkładu na czynniki metodą grupowania uczniowie często zapominają o zmianie znaków przy wyłączaniu ujemnego czynnika z drugiej pary wyrazów, co prowadzi do niedopasowanych dwumianów. W przypadku sumy i różnicy sześcianów uczniowie często mylą znaki wewnątrz czynnika liniowego i kwadratowego, zwłaszcza znak środkowego wyrazu w powstałym trójmianie.

Zadania na kartach pracy skupiają się na trzech różnych strukturach:

  • Wyłączanie jednomianu przed nawias: identyfikowanie i wyłączanie największego wspólnego czynnika liczbowego i zmiennego z każdego wyrazu w wyrażeniu.
  • Rozkład na czynniki przez grupowanie: dzielenie wielomianu czterowyrazowego na dwie pary w celu wyłączenia wspólnych czynników i wyłonienia wspólnego czynnika dwumianowego.
  • Suma i różnica sześcianów: rozpoznawanie wyrażeń zbudowanych z dwóch sześcianów i przekształcanie ich do postaci odpowiednich czynników liniowych i kwadratowych.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyłączanie jednomianu przed nawias · Rozkład przez grupowanie · Suma i różnica sześcianów

Zastosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów

Uczniowie znajdują brakujące boki, kąty i pola w trójkątach nieprostokątnych, korzystając z twierdzenia sinusów, twierdzenia cosinusów oraz wzorów na pole z użyciem sinusa.

Punkt podstawy HSG-SRT.D.11 (+) Rozumieć i stosować twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów do znajdowania nieznanych miar w trójkątach prostokątnych i nieprostokątnych (np. zadania geodezyjne, siły wypadkowe). (nasze tłumaczenie)

Na tym etapie uczniowie rozszerzają trygonometrię trójkątów poza trójkąty prostokątne na dowolne trójkąty. Stosują twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów do obliczania nieznanych długości boków i miar kątów, a także wykorzystują funkcję sinus do obliczania pola powierzchni trójkąta przy danych dwóch bokach i kącie między nimi.

Częstą trudnością jest wybór niewłaściwego twierdzenia w odniesieniu do podanych informacji. Na przykład uczniowie często próbują zastosować twierdzenie sinusów w trójkącie, w którym znane są tylko długości trzech boków lub dwa boki i kąt między nimi, co nie zapewnia pełnej pary bok–kąt. Inny powszechny błąd pojawia się podczas przekształceń algebraicznych w twierdzeniu cosinusów, gdy uczniowie omyłkowo odejmują wyrazy przed pomnożeniem przez cosinus kąta.

Zadania ćwiczeniowe dzielą się na trzy główne typy: zadania na Twierdzenie sinusów, w których uczniowie wyznaczają brakującą wielkość na podstawie par kąt–bok, zadania na Twierdzenie cosinusów, skupione na układach bok–kąt–bok lub bok–bok–bok, oraz zadania na Pole trójkąta z sinusem, gdzie uczniowie obliczają pole przy użyciu długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Pole trójkąta z sinusem · Twierdzenie cosinusów · Twierdzenie sinusów

Obliczanie odległości między dwoma punktami za pomocą twierdzenia Pitagorasa

Uczniowie uczą się wyznaczać odległość w linii prostej między dwoma punktami w układzie współrzędnych, traktując odcinek jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.

Punkt podstawy 8.G.B.8 Stosować twierdzenie Pitagorasa do znalezienia odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSG-GPE.B.7 Używać współrzędnych do obliczania obwodów wielokątów oraz pól trójkątów i prostokątów, np. za pomocą wzoru na odległość. ★ (nasze tłumaczenie)

Uczniowie używają współrzędnych w układzie współrzędnych, aby obliczyć odległość w linii prostej między dwoma punktami. Wyznaczając poziomą różnicę między współrzędnymi x oraz pionową różnicę między współrzędnymi y, określają długości dwóch przyprostokątnych trójkąta prostokątnego. Następnie stosują twierdzenie Pitagorasa – podnoszą obie długości do kwadratu, dodają je do siebie i wyciągają pierwiastek kwadratowy – aby znaleźć szukaną odległość.

Częstym błędem jest odejmowanie ujemnych współrzędnych podczas obliczania długości przyprostokątnych. Na przykład uczeń wyznaczający odległość poziomą między -3 a 4 może obliczyć 4 - 3 = 1 zamiast 4 - (-3) = 7. Innym częstym potknięciem jest obliczenie sumy kwadratów przyprostokątnych, ale zapomnienie o końcowym kroku, jakim jest wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego, co pozostawia odpowiedź jako c2 zamiast c.

Zadania ćwiczeniowe pojawiają się zazwyczaj w dwóch formatach:

  • Odległość między punktami z twierdzeniem Pitagorasa: Uczniowie patrzą na dwa zaznaczone punkty w układzie współrzędnych, rysują lub wyobrażają sobie poziomą i pionową przyprostokątną trójkąta prostokątnego i stosują twierdzenie, aby wyznaczyć długość łączącego je odcinka.
  • Odległość między dwoma punktami: Uczniowie otrzymują dwie pary współrzędnych w postaci liczb bez narysowanego trójkąta, co wymaga od nich algebraicznego obliczenia długości przyprostokątnych i wyznaczenia odległości.

Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów geometrycznych

Uczniowie uczą się wyznaczać iloraz ciągu geometrycznego, znajdować dowolny wyraz za pomocą wzoru oraz obliczać sumę danej liczby wyrazów.

Punkt podstawy HSA-SSE.B.4 Wyprowadzać wzór na sumę skończonego szeregu geometrycznego (gdy iloraz nie jest równy 1) i stosować ten wzór do rozwiązywania problemów. Na przykład obliczać raty kredytu hipotecznego.★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-BF.A.2 Zapisywać ciągi arytmetyczne i geometryczne zarówno rekurencyjnie, jak i za pomocą wzoru jawnego, wykorzystywać je do modelowania sytuacji oraz przechodzić między tymi dwiema postaciami. ★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-LE.A.2 Konstruować funkcje liniowe i wykładnicze, w tym ciągi arytmetyczne i geometryczne, na podstawie wykresu, opisu zależności lub dwóch par wartości wejściowych i wyjściowych (w tym odczytywanie ich z tabeli). (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się analizować ciągi, w których każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stały iloraz (gdzie iloraz jest różny od 1). Zapisują wzory ogólne, aby znaleźć dowolny n-ty wyraz bez konieczności obliczania wszystkich wartości pośrednich. Ponadto stosują wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego, aby obliczyć sumę określonej liczby wyrazów.

Częsty błąd wiąże się z kolejnością wykonywania działań podczas obliczania n-tego wyrazu. Uczniowie często mnożą pierwszy wyraz przez iloraz przed wykonaniem potęgowania, zamiast najpierw obliczyć potęgę. Nieporozumienia pojawiają się także przy wykładnikach we wzorze, na przykład przy stosowaniu wykładnika n zamiast n − 1, lub przy nieuwzględnianiu znaków podczas odejmowania ujemnego ilorazu w mianowniku wzoru na sumę.

Zadania praktyczne dzielą się zazwyczaj na dwa typy:

  • Ciąg geometryczny — n-ty wyraz: Mając danych kilka pierwszych wyrazów ciągu lub sytuację z życia codziennego, uczniowie wyznaczają pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu, zapisują wzór i obliczają konkretny wyraz, na przykład 8. lub 12.
  • Ciąg geometryczny — suma wyrazów: Uczniowie wyznaczają sumę wskazanej liczby wyrazów, podstawiając pierwszy wyraz, iloraz oraz liczbę wyrazów bezpośrednio do wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Ciąg geometryczny — n-ty wyraz · Ciąg geometryczny — suma wyrazów

Zastosowanie prawdopodobieństwa całkowitego i wzoru Bayesa

Uczniowie uczą się obliczać całkowite prawdopodobieństwo zdarzeń na wielu etapach oraz wyznaczać odwrócone prawdopodobieństwa warunkowe za pomocą modeli z dwiema urnami.

Punkt podstawy HSS-CP.B.8 (+) Stosuje ogólną regułę mnożenia w jednostajnym modelu prawdopodobieństwa, P(A i B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), i interpretuje wynik w odniesieniu do modelu. (nasze tłumaczenie)

Na tym poziomie uczniowie stosują ogólną regułę mnożenia do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń złożonych. Pracując z doświadczeniami wieloetapowymi, obliczają prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia, które może zajść różnymi drogami, oraz stosują wzór Bayesa do wyznaczania prawdopodobieństw warunkowych w odwrotnej kolejności – ustalając, która ścieżka początkowa została wybrana po zaobserwowaniu ostatecznego wyniku.

Częstym błędem jest mylenie warunku z wynikiem i traktowanie prawdopodobieństwa wylosowania określonego przedmiotu z urny, P(kula | urna), jako tożsamego z prawdopodobieństwem wyboru określonej urny, P(urna | kula). Uczniowie często zapominają również o pomnożeniu przez prawdopodobieństwo wyboru samego pojemnika, skupiając się wyłącznie na stosunku kolorowych kul w jego wnętrzu.

Zadania praktyczne koncentrują się na doświadczeniach z dwiema urnami. Na przykład uczeń ma do dyspozycji dwie urny zawierające różne zestawy kolorowych kulek, na przykład czerwonych i zielonych. W zadaniu dotyczącym prawdopodobieństwa całkowitego określa ogólne prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kulki po wcześniejszym losowym wybraniu urny. W zadaniu na wzór Bayesa podana jest informacja, że wylosowano czerwoną kulkę, a zadaniem ucznia jest obliczenie prawdopodobieństwa, że pochodziła ona z pierwszej urny.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Prawdopodobieństwo całkowite — dwie urny · Wzór Bayesa — dwie urny

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Uczniowie uczą się stosować wzory skróconego mnożenia do rozwijania kwadratu dwumianu oraz iloczynu sumy i różnicy bez mnożenia wyraz po wyrazie.

Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2). (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się rozpoznawać wewnętrzną strukturę wyrażeń algebraicznych, aby szybko je przekształcać i rozpisywać. Zamiast wymnażać poszczególne wyrazy jeden po drugim, stosują standardowe wzory skróconego mnożenia do obliczania iloczynów dwumianów obejmujących dodawanie i odejmowanie.

Częsty błąd pojawia się podczas rozpisywania kwadratu sumy lub różnicy. Uczniowie często zapisują (x + 4)^2 jako x^2 + 16, błędnie przypisując wykładnik do każdego z wyrazów i pomijając środkowy składnik, który wynika z pomnożenia obu wyrazów przez siebie i podwojenia wyniku.

Zadania ćwiczeniowe skupiają się bezpośrednio na dwóch standardowych postaciach:

  • Iloczyn sumy i różnicy: rozpoznawanie takich samych wyrazów o przeciwnych znakach, takich jak (x + 4)(x - 4), i przekształcanie ich bezpośrednio w różnicę kwadratów.
  • Kwadrat sumy lub różnicy: rozpisywanie wyrażeń takich jak (x + 3)^2 lub (x - 5)^2 w pełne wyrażenia trójmianowe.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Iloczyn sumy i różnicy · Kwadrat sumy i różnicy

Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych

Uczniowie uczą się wyznaczać równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty lub przechodzącej przez określony punkt i równoległej do innej prostej.

Punkt podstawy HSF-BF.A.1 Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się zapisywać równanie liniowe w postaci kierunkowej opisujące zależność między współrzędnymi. Na tym etapie wyznaczają współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny, aby wyznaczyć prostą, wykorzystując albo dwa dane punkty, albo pojedynczy punkt wraz z prostą do niej równoległą.

Częsty błąd pojawia się przy pracy z prostymi równoległymi: uczniowie czasami mylą warunek równoległości z warunkiem prostopadłości, błędnie odwracając lub zmieniając znak współczynnika kierunkowego, zamiast zachować go bez zmian. Innym powszechnym błędem jest odwracanie kolejności współrzędnych podczas obliczania współczynnika kierunkowego — omyłkowe dzielenie przyrostu zmiennej x przez przyrost zmiennej y lub mylenie znaków podczas odejmowania.

Zadania na kartach pracy mają zazwyczaj jedną z dwóch form:

  • Funkcja liniowa przechodząca przez dwa punkty: Uczniowie otrzymują współrzędne dwóch punktów i muszą wyznaczyć współczynnik kierunkowy oraz wyprowadzić równanie prostej.
  • Prosta równoległa przechodząca przez punkt: Uczniowie odczytują współczynnik kierunkowy z równania danej prostej i wykorzystują go wraz ze współrzędnymi nowego punktu do zapisania równania prostej równoległej.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Prosta równoległa przez punkt · Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów

Wyznaczanie wierzchołka i korzystanie z postaci kanonicznej

Uczniowie uczą się przekształcać równania kwadratowe do postaci kanonicznej, aby wyznaczyć wierzchołek, oś symetrii oraz wartość maksymalną lub minimalną paraboli.

Punkt podstawy HSF-IF.C.8 Zapisywać funkcję określoną za pomocą wyrażenia w różnych, lecz równoważnych postaciach, aby ujawnić i wyjaśnić różne własności funkcji. a. Stosować rozkład na czynniki i dopełnianie do kwadratu w funkcji kwadratowej, aby pokazać miejsca zerowe, wartości ekstremalne oraz symetrię wykresu, i interpretować je w kontekście. b. Stosować własności potęg do interpretacji wyrażeń opisujących funkcje wykładnicze. Na przykład określać procentową stopę zmiany w funkcjach takich jak y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10 i klasyfikować je jako reprezentujące wzrost lub zanik wykładniczy. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie pracują z równaniami kwadratowymi, aby odkryć kluczowe cechy geometryczne parabol. Dopełniając do kwadratu, przekształcają wyrażenia kwadratowe w postaci ogólnej do postaci kanonicznej, aby określić oś symetrii wykresu oraz jego wartości skrajne — w szczególności to, czy parabola osiąga w swoim wierzchołku punkt maksymalny, czy minimalny.

Częstym błędem jest mylenie znaków podczas odczytywania współrzędnej poziomej z postaci kanonicznej, y = a(x - h)^2 + k. Uczniowie często sugerują się bezpośrednio znakiem wewnątrz nawiasu, błędnie podając jako wierzchołek funkcji y = (x + 4)^2 + 1 punkt (4, 1) zamiast (-4, 1), ponieważ zapominają, że wzór ogólny wykorzystuje odejmowanie przy przesunięciu poziomym.

W praktyce uczniowie wykonują zadania powiązane z tematami Postać kanoniczna funkcji kwadratowej oraz Wierzchołek paraboli. Ćwiczenia te wymagają od nich przekształcania wyrażeń kwadratowych z postaci ogólnej do postaci kanonicznej za pomocą operacji algebraicznych, odczytywania współrzędnych wierzchołka bezpośrednio z przekształconego równania oraz określania, czy punkt ten stanowi wartość największą, czy najmniejszą.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wierzchołek paraboli · Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Znajdowanie brakujących boków trójkątów prostokątnych

Uczniowie uczą się wykorzystywać stosunki trygonometryczne do obliczania nieznanej długości przyprostokątnej przeciwległej lub przyległej do danego kąta w trójkącie prostokątnym.

Punkt podstawy HSG-SRT.C.8 Stosować stosunki trygonometryczne i twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania trójkątów prostokątnych w zadaniach praktycznych. ★ (nasze tłumaczenie)

Na tym etapie uczniowie wykorzystują podstawowe funkcje trygonometryczne do obliczenia nieznanej długości boku w trójkącie prostokątnym. Mając daną miarę jednego kąta ostrego i długość jednego boku, dobierają odpowiednią funkcję trygonometryczną — sinus, cosinus lub tangens — aby obliczyć długość nieznanej przyprostokątnej.

Częstą trudnością jest mylenie boków względem danego kąta. Uczniowie często mylą przyprostokątną przeciwległą (bok leżący naprzeciwko kąta) z przyprostokątną przyległą (bok leżący przy kącie, między nim a kątem prostym). Prowadzi to do ułożenia odwrotnego stosunku lub wyboru całkowicie niewłaściwej funkcji trygonometrycznej.

Zadania na kartach pracy zawierają podpisany rysunek trójkąta prostokątnego i skupiają się na dwóch konkretnych typach problemów:

  • Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta: wykorzystanie danego kąta i innego boku do obliczenia długości boku leżącego bezpośrednio naprzeciw tego kąta.
  • Przyprostokątna przyległa do kąta: wykorzystanie danego kąta i innego boku do wyznaczenia długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Przyprostokątna naprzeciw kąta · Przyprostokątna przy kącie

Wyznaczanie kątów środkowych i wpisanych w okręgach

Uczniowie uczą się wyznaczać brakujące miary kątów w okręgach, korzystając z zasady, że kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Punkt podstawy HSG-C.A.2 Rozpoznawać i opisywać zależności między kątami wpisanymi, promieniami i cięciwami. Uwzględniać zależność między kątami środkowymi, wpisanymi i opisanymi; kąty wpisane oparte na średnicy są kątami prostymi; promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie, w którym promień przecina okrąg. (nasze tłumaczenie)

Na lekcjach geometrii w 10. klasie uczniowie badają zależność między kątami w okręgu opartymi na tym samym łuku. Dowiadują się, że kąt środkowy, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, jest zawsze dwa razy większy od kąta wpisanego, którego wierzchołek leży na okręgu. Korzystając z tej zależności, uczniowie obliczają nieznane kąty poprzez proste podwajanie i dzielenie przez dwa.

Częstym błędem jest mylenie tego, który kąt jest większy. Ponieważ oba kąty dzielą dokładnie te same punkty końcowe na okręgu, uczniowie często zakładają, że kąty są równe, lub przez pomyłkę podwajają kąt środkowy, zamiast podzielić go przez dwa. Wizualizacja faktu, że kąt wpisany jest cofnięty bardziej ku brzegowi okręgu, pomaga im zapamiętać, że musi to być kąt o mniejszej mierze.

Zadania ćwiczeniowe zawierają podpisane schematy okręgów oparte na dwóch schematach: wyznaczanie kąta środkowego na podstawie kąta wpisanego (na przykład pomnożenie kąta wpisanego o mierze 35 stopni przez 2, aby uzyskać 70 stopni) oraz wyznaczanie kąta wpisanego na podstawie kąta środkowego (takie jak podzielenie kąta środkowego o mierze 110 stopni przez 2, aby otrzymać 55 stopni).

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Kąt wpisany z kąta środkowego · Kąt środkowy z kąta wpisanego

Wyznaczanie długości cięciw i odcinków stycznych

Uczniowie uczą się obliczać długości cięciw i odcinków stycznych w okręgach, korzystając z własności promieni, stycznych oraz trójkątów prostokątnych.

Punkt podstawy HSG-C.A.2 Rozpoznawać i opisywać zależności między kątami wpisanymi, promieniami i cięciwami. Uwzględniać zależność między kątami środkowymi, wpisanymi i opisanymi; kąty wpisane oparte na średnicy są kątami prostymi; promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie, w którym promień przecina okrąg. (nasze tłumaczenie)

W geometrii w dziesiątej klasie uczniowie wykorzystują własności okręgów do wyznaczania nieznanych długości odcinków. Stosują regułę mówiącą, że promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności, a także zależności geometryczne łączące promienie z cięciwami. Łącząc te twierdzenia geometryczne ze związkami w trójkącie prostokątnym, uczniowie obliczają brakujące długości bezpośrednio na podstawie rysunków geometrycznych.

Częstym błędem jest błędne zidentyfikowanie kąta prostego w zadaniach ze stycznymi. Uczniowie często zakładają, że kąt prosty znajduje się w punkcie zewnętrznym, a nie w miejscu, w którym promień łączy się ze styczną, co prowadzi do niewłaściwego wskazania przeciwprostokątnej. Podczas rozwiązywania zadań z cięciwami uczniowie nierzadko zapominają również, że odcinek prostopadły poprowadzony ze środka okręgu dzieli cięciwę na dwie równe części, przez co podają jako odpowiedź długość połowy odcinka zamiast pełnej cięciwy.

Zadania ćwiczeniowe skupiają się na dwóch głównych typach:

  • Długość odcinka stycznej: Uczniowie analizują okrąg z promieniem i zewnętrzną styczną, wykorzystując podany promień oraz odległość od środka okręgu do wyznaczenia długości odcinka stycznej.
  • Długość cięciwy: Uczniowie pracują z rysunkiem przedstawiającym okrąg z cięciwą, wykorzystując promień oraz odległość prostopadłą od środka okręgu do wyznaczenia całkowitej długości cięciwy.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Długość cięciwy · Odcinek stycznej

Wyznaczanie prawdopodobieństwa warunkowego na podstawie tabeli

Uczniowie uczą się wyznaczać prawdopodobieństwo zdarzenia pod określonym warunkiem na podstawie danych z tabeli, zapisywać odpowiedź w postaci ułamka oraz wyjaśniać jej znaczenie.

Punkt podstawy HSS-CP.A.4 Konstruować i interpretować dwudzielne tabele liczebności danych, gdy z każdym klasyfikowanym obiektem powiązane są dwie kategorie. Używać tabeli dwudzielnej jako przestrzeni zdarzeń elementarnych do rozstrzygania, czy zdarzenia są niezależne, oraz do przybliżania prawdopodobieństw warunkowych. Na przykład zbierać dane z losowej próby uczniów w swojej szkole na temat ich ulubionego przedmiotu spośród matematyki, nauk przyrodniczych i języka angielskiego. Szacować prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń ze swojej szkoły będzie preferował nauki przyrodnicze pod warunkiem, że uczeń ten jest w dziesiątej klasie. Zrobić to samo dla innych przedmiotów i porównać wyniki. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSS-CP.B.6 Wyznacz prawdopodobieństwo warunkowe A pod warunkiem B jako ułamek wyników B, które należą również do A, i zinterpretuj odpowiedź w kontekście modelu. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSS-ID.B.5 Podsumowywać dane jakościowe dla dwóch kategorii w dwudzielczych tabelach liczności. Interpretować częstości względne w kontekście danych (w tym łączne, brzegowe i warunkowe częstości względne). Rozpoznawać możliwe zależności i trendy w danych. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się obliczać prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło inne zdarzenie B. Wykorzystują dane do określenia podzbioru wyników spełniających warunek B, przyjmują ich liczbę jako mianownik i wyznaczają ułamek tych konkretnych wyników, które należą również do A. Następnie uczniowie interpretują, co ten ułamek oznacza w kontekście danego zadania.

Częstym błędem jest dzielenie przez liczebność całej populacji zamiast przez liczbę ograniczoną danym warunkiem. Gdy pytanie dotyczy prawdopodobieństwa zdarzenia A pod warunkiem B, uczniowie często biorą sumę ogólną z całego zbioru danych, zamiast ograniczyć się do wiersza lub kolumny reprezentującej wyłącznie warunek B.

Zadania na kartach pracy zawierają tabele dwudzielcze klasyfikujące wyniki ankiet lub dane eksperymentalne. Uczniowie odczytują dane z tabeli, aby zlokalizować dany warunek, wyznaczają część wspólną kategorii i zapisują uzyskane prawdopodobieństwo warunkowe w postaci ułamka nieskracalnego.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń

Uczniowie uczą się stosować regułę dodawania, aby obliczyć prawdopodobieństwo zajścia co najmniej jednego z dwóch zdarzeń, uwzględniając wszelkie wspólne dla nich wyniki.

Punkt podstawy HSS-CP.A.1 Opisywać zdarzenia jako podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych (zbioru wyników) za pomocą cech (lub kategorii) wyników albo jako sumy, iloczyny lub dopełnienia innych zdarzeń („lub”, „i”, „nie”). (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSS-CP.B.7 Stosować regułę dodawania, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), i interpretować wynik w kontekście modelu. (nasze tłumaczenie)

Na tym poziomie uczniowie obliczają prawdopodobieństwo, że w przestrzeni zdarzeń elementarnych zajdzie zdarzenie A, zdarzenie B lub oba te zdarzenia. Stosują regułę dodawania prawdopodobieństw, zapisaną jako P(A lub B) = P(A) + P(B) – P(A i B), interpretując wyniki opisywane za pomocą spójników „lub”, „i” oraz „nie”. Uczniowie pracują z prawdopodobieństwami wyrażonymi w postaci ułamków zwykłych, dziesiętnych lub wartości procentowych, aby modelować sytuacje z życia codziennego.

Najczęstszym błędem jest zapominanie o odjęciu części wspólnej zdarzeń, P(A i B). Gdy dwa zdarzenia mogą zajść jednocześnie, zwykłe dodanie ich pojedynczych prawdopodobieństw powoduje podwójne policzenie wspólnych wyników, co często prowadzi do błędnej odpowiedzi lub prawdopodobieństwa większego niż 1.

Zadania oparte na szablonie Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń zazwyczaj przedstawiają uczniom pewien scenariusz — taki jak wylosowanie karty o określonych cechach lub wybranie osoby z określonych kategorii w ankiecie. Uczniowie określają prawdopodobieństwo każdego pojedynczego zdarzenia, wyznaczają prawdopodobieństwo części wspólnej, w której spełnione są oba warunki, oraz stosują wzór w celu obliczenia łącznego prawdopodobieństwa.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie prawdopodobieństwa z wykorzystaniem kombinacji

Uczniowie uczą się wykorzystywać permutacje i kombinacje do obliczania dokładnego prawdopodobieństwa zdarzeń złożonych, takich jak wybieranie elementów z grupy bez zwracania.

Punkt podstawy HSS-CP.B.9 (+) Stosować permutacje i kombinacje do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń złożonych i rozwiązywania problemów. (nasze tłumaczenie)

W 10. klasie uczniowie uczą się wykorzystywać permutacje i kombinacje do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń złożonych. Zamiast wypisywać ręcznie każdy możliwy wynik, stosują kombinatoryczne metody zliczania, aby wyznaczyć zarówno łączną liczbę zdarzeń sprzyjających, jak i wszystkich możliwych wyników podczas wybierania grup elementów.

Częstą trudnością jest rozstrzygnięcie, czy kolejność wyboru ma znaczenie. Wybierając grupę, w której kolejność nie gra roli, uczniowie często błędnie stosują permutacje zamiast kombinacji. Innym częstym błędem w wyborach wieloetapowych jest zapominanie, że każdy kolejny wybór zmienia pulę elementów, przez co losowania są traktowane jako zdarzenia niezależne, zamiast uwzględniać elementy usunięte ze zbioru.

Zadania ćwiczeniowe zazwyczaj opisują sytuacje takie jak losowanie kolorowych kul z urny lub worka bez zwracania. Na przykład przy określonej liczbie kul czerwonych i niebieskich zadanie może polegać na obliczeniu prawdopodobieństwa wylosowania dokładnie dwóch kul czerwonych i jednej niebieskiej w próbie liczącej trzy kule, przy użyciu kombinacji do wyznaczenia zarówno liczby podzbiorów sprzyjających, jak i całej przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Przesunięcia wykresów funkcji

Uczniowie uczą się, jak dodawanie lub odejmowanie liczb przesuwa wykres w górę, w dół, w lewo lub w prawo oraz jak rozpoznawać te przesunięcia między równaniami a wykresami.

Punkt podstawy HSF-BF.B.3 Identyfikować wpływ na wykres zastąpienia f(x) przez f(x) + k, k f(x), f(kx) oraz f(x + k) dla określonych wartości k (zarówno dodatnich, jak i ujemnych); wyznaczać wartość k na podstawie wykresów. Eksperymentować z przypadkami i ilustrować wyjaśnienie wpływu na wykres z wykorzystaniem technologii. Uwzględniać rozpoznawanie funkcji parzystych i nieparzystych na podstawie ich wykresów oraz opisujących je wyrażeń algebraicznych. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się łączyć zmiany algebraiczne w funkcji z przesunięciami jej wykresu w układzie współrzędnych. W szczególności badają, jak zastąpienie f(x) przez f(x) + k lub f(x + k) przesuwa krzywą w pionie lub w poziomie, przy użyciu zarówno dodatnich, jak i ujemnych wartości k. Mając dany wykres początkowy i jego przesunięty obraz, wyznaczają również konkretną wartość k, która spowodowała to przesunięcie.

Częstą trudnością jest kierunek przesunięć poziomych. Ponieważ dodawanie kojarzy się z dodatnim kierunkiem na osi liczbowej, uczniowie często zakładają, że f(x + 4) przesuwa wykres o cztery jednostki w prawo. W praktyce dodawanie wewnątrz argumentu przesuwa wykres w lewo, natomiast odejmowanie przesuwa go w prawo. Uczniowie często mylą także te modyfikacje poziome wewnątrz nawiasów z przesunięciami pionowymi dodawanymi na zewnątrz funkcji.

Zadania na kartach pracy oparte na Przesunięciu wykresu przedstawiają narysowaną krzywą i wymagają od uczniów narysowania wyniku przekształcenia lub zidentyfikowania przesunięcia na podstawie rysunku. Uczniowie mogą wziąć daną funkcję, zastosować regułę, taką jak f(x) − 3 lub f(x + 2), i zaznaczyć przesunięte punkty albo wyznaczyć wartość liczbową k, mierząc odległość między kluczowymi punktami na dwóch przedstawionych wykresach.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie średniego tempa zmian

Uczniowie uczą się obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji w przedziale za pomocą wzorów, tabel i wykresów.

Punkt podstawy HSF-IF.B.6 Obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji (przedstawionej symbolicznie lub w postaci tabeli) w określonym przedziale. Szacować szybkość zmian na podstawie wykresu. ★ (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się mierzyć, jak bardzo zmienia się wartość funkcji w stosunku do jej argumentu w danym przedziale. Obliczają to tempo zmian, korzystając z funkcji przedstawionych w postaci równań algebraicznych lub tabel wartości, a także szacują je, odczytując współrzędne z wykresu. Oprócz obliczania wartości liczbowej uczniowie uczą się interpretować, co to tempo zmian oznacza w rzeczywistych sytuacjach.

Częstym błędem jest odwracanie obliczeń poprzez dzielenie zmiany argumentu przez zmianę wartości funkcji, co prowadzi do pomylenia zmiennej niezależnej ze zmienną zależną. Uczniowie często odejmują także wartości w niespójnych kierunkach — na przykład odejmując pierwszy argument od drugiego, ale drugą wartość funkcji od pierwszej — co skutkuje niepoprawnym znakiem wyniku.

W zadaniach ćwiczeniowych z działu Średnie tempo zmian uczniowie zazwyczaj otrzymują wzór funkcji, tabelę danych lub wykres krzywej wraz z określonym przedziałem. Odczytują lub obliczają wartości funkcji na obu krańcach przedziału, zapisują stosunek zmiany pionowej do zmiany poziomej, a następnie obliczają lub szacują średnie tempo zmian w tym przedziale.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Łączenie funkcji za pomocą składania

Uczniowie uczą się obliczać wartości i zapisywać funkcje złożone, wykorzystując wynik jednej funkcji jako wartość wejściową dla drugiej.

Punkt podstawy HSF-BF.A.1 Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się składać funkcje, przekazując wartość funkcji wewnętrznej bezpośrednio jako argument funkcji zewnętrznej. Na tym poziomie uczniowie zapisują wzory funkcji złożonych, takie jak f(g(x)), i stosują je w sytuacjach, w których wielkości są ze sobą powiązane wieloetapowo, na przykład wyznaczając temperaturę atmosferyczną w określonym czasie, gdy temperatura zależy od wysokości, a wysokość zależy od czasu.

Częstą trudnością jest mylenie składania funkcji z mnożeniem. Zamiast zastąpić zmienną w funkcji zewnętrznej całym wyrażeniem wewnętrznym, uczniowie często mnożą oba wzory przez siebie. Innym częstym błędem jest odwrócenie kolejności działań i zastosowanie najpierw funkcji zewnętrznej zamiast działania od wewnątrz do zewnątrz.

Ćwiczenia z szablonem Składanie funkcji przedstawiają definicje dwóch różnych funkcji i wymagają od uczniów zapisania uproszczonego wzoru funkcji złożonej lub obliczenia ostatecznej wartości liczbowej dla określonego argumentu.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej

Uczniowie uczą się wyznaczać wzór funkcji odwrotnej do funkcji liniowej poprzez odwrócenie jej operacji algebraicznych i wyznaczenie nowej wartości wyjściowej.

Punkt podstawy HSF-BF.B.4 Wyznacz funkcje odwrotne. a. Rozwiąż równanie postaci f(x) = c dla prostej funkcji f, która ma funkcję odwrotną, i zapisz wyrażenie dla funkcji odwrotnej. Na przykład f(x) =2 x3 lub f(x) = (x+1)/(x–1) dla x ≠ 1. b. (+) Sprawdź za pomocą składania, że jedna funkcja jest funkcją odwrotną do drugiej. c. (+) Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z wykresu lub tabeli, przy założeniu, że funkcja ma funkcję odwrotną. d. (+) Utwórz funkcję odwracalną z funkcji nieodwracalnej poprzez ograniczenie dziedziny. (nasze tłumaczenie)

Na tym poziomie uczniowie pracują z równaniami liniowymi, aby wyznaczyć ich funkcje odwrotne. Mając dany wzór funkcji liniowej, taki jak f(x) = ax + b, uczniowie rozwiązują równanie względem zmiennej wejściowej, systematycznie odwracając każdą operację i uzyskując nowy wzór, który przyporządkowuje wartości wyjściowe z powrotem ich pierwotnym wartościom wejściowym.

Częstym błędem jest mylenie oznaczenia funkcji odwrotnej f-1(x) z ujemnym wykładnikiem potęgi. Uczniowie często omyłkowo zapisują odwrotność 1/f(x) zamiast wyznaczyć funkcję odwrotną. Innym powszechnym problemem jest nieprawidłowe odwracanie kolejności działań, na przykład dzielenie przez współczynnik kierunkowy przed odjęciem wyrazu wolnego.

Zadania ćwiczeniowe oparte na szablonie Funkcja odwrotna do funkcji liniowej przedstawiają uczniom pojedyncze równanie liniowe — często zawierające liczby całkowite lub proste ułamki — i wymagają zapisania wyrażenia algebraicznego opisującego funkcję odwrotną.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie pola figur podobnych

Uczniowie dowiadują się, jak skala długości boków wpływa na przestrzeń dwuwymiarową, i obliczają nieznane pole figury podobnej.

Punkt podstawy HSG-SRT.A.1 Sprawdzić doświadczalnie własności jednokładności określonych przez środek i skalę: a. Jednokładność przekształca prostą nieprzechodzącą przez środek jednokładności w prostą równoległą, a prostą przechodzącą przez środek pozostawia bez zmian. b. Obraz odcinka w jednokładności jest dłuższy lub krótszy w stosunku określonym przez skalę. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie wykorzystują właściwości jednokładności, aby określić, jak zmiana rozmiaru figury wpływa na jej wymiary. Gdy figura zostaje powiększona lub pomniejszona w danej skali, długości odcinków zmieniają się proporcjonalnie, a uczniowie stosują tę zależność do obliczenia nieznanego pola figury podobnej.

Częstym błędem jest traktowanie pola tak samo jak obwodu lub długości boku. Gdy dwie figury mają skalę podobieństwa równą np. 3, uczniowie często bezpośrednio mnożą początkowe pole przez 3. Zapominają, że pole jest wielkością dwuwymiarową i zmienia się wraz z kwadratem skali podobieństwa, co oznacza, że w rzeczywistości wzrasta ono 9-krotnie.

W praktyce zadania takie jak Pole figury podobnej przedstawiają dwa wielokąty podobne wraz z parą odpowiadających sobie boków oraz polem jednej z figur. Uczniowie wyznaczają stosunek odpowiadających sobie boków, podnoszą go do kwadratu i wykorzystują do obliczenia brakującego pola.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wykorzystanie twierdzenia Talesa do wyznaczania długości

Uczniowie uczą się stosować twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów do układania proporcji oraz obliczania brakujących długości boków w figurach geometrycznych.

Punkt podstawy HSG-SRT.B.5 Stosować cechy przystawania i podobieństwa trójkątów do rozwiązywania problemów i do dowodzenia zależności w figurach geometrycznych. (nasze tłumaczenie)

W geometrii w dziesiątej klasie uczniowie stosują kryteria podobieństwa do trójkątów przeciętych prostymi równoległymi. Korzystając z twierdzenia Talesa, zauważają, że proste równoległe dzielą proste przecinające na odcinki proporcjonalne. Uczniowie układają stosunki porównujące odpowiadające sobie długości boków i rozwiązują proporcje algebraiczne za pomocą mnożenia i dzielenia, aby wyznaczyć nieznane długości odcinków.

Częstym błędem jest porównywanie równoległych odcinków poprzecznych z odcinkami boków. Zamiast ułożyć stosunek między bokiem mniejszego trójkąta a całym bokiem większego trójkąta, uczniowie często zestawiają równoległą podstawę jedynie z dolnym odcinkiem boku. Dzieje się tak, ponieważ traktują każdy wyodrębniony wizualnie odcinek jako niezależny bok trójkątów podobnych, zamiast uwzględniać pełną długość boku.

Zadania z kart pracy z szablonu Twierdzenie Talesa przedstawiają figury geometryczne, takie jak trójkąt przecięty prostą równoległą do jego podstawy. Mając podane długości trzech odcinków w postaci liczb całkowitych lub ułamków dziesiętnych, uczniowie zapisują proporcję łączącą odpowiadające sobie elementy i wyznaczają brakującą wartość oznaczoną zmienną.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Podział odcinka w danym stosunku

Uczniowie uczą się wyznaczać współrzędne punktu na odcinku skierowanym, który dzieli ten odcinek w danym stosunku.

Punkt podstawy HSG-GPE.B.6 Wyznacz punkt na odcinku skierowanym między dwoma danymi punktami, który dzieli ten odcinek w danym stosunku. (nasze tłumaczenie)

W geometrii analitycznej w klasie 10 uczniowie uczą się wyznaczać określony punkt na odcinku skierowanym między dwoma znanymi punktami końcowymi. Mając dane współrzędne punktów końcowych na płaszczyźnie współrzędnych, określają dokładne współrzędne x i y, które dzielą odcinek w zadanym stosunku.

Częstym błędem jest mylenie stosunku części do części z ułamkiem określającym stosunek części do całości. Na przykład, gdy zadaniem jest podział odcinka w stosunku 1:3, uczniowie często obliczają jedną trzecią odległości poziomej i pionowej zamiast jednej czwartej. Innym powszechnym błędem jest wykonywanie obliczeń w złym kierunku — odmierzanie od drugiego punktu końcowego zamiast od wyznaczonego punktu początkowego odcinka skierowanego.

Zadania ćwiczeniowe oparte na szablonie Podział odcinka w danym stosunku przedstawiają dwa punkty o danych współrzędnych oraz docelowy stosunek, na przykład podział odcinka skierowanego AB od punktu A do punktu B w stosunku 2:1. Uczniowie obliczają odległość w poziomie i w pionie, stosują odpowiedni krok ułamkowy i podają współrzędne powstałego punktu.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie pola trójkąta za pomocą współrzędnych

Uczniowie uczą się obliczać pole trójkąta w układzie współrzędnych, wykorzystując współrzędne wierzchołków do wyznaczenia długości boków i wysokości.

Punkt podstawy HSG-GPE.B.7 Używać współrzędnych do obliczania obwodów wielokątów oraz pól trójkątów i prostokątów, np. za pomocą wzoru na odległość. ★ (nasze tłumaczenie)

Uczniowie wykorzystują współrzędne trzech wierzchołków trójkąta w układzie współrzędnych do obliczenia jego pola. W dziesiątej klasie stosują wzór na odległość między punktami, aby wyznaczyć długości podstaw i prostopadłych do nich wysokości, lub wpisują nachyloną figurę w prostokąt opisany i odejmują pola otaczających ją trójkątów prostokątnych.

Częsty błąd pojawia się w sytuacji, gdy trójkąt nie ma poziomych ani pionowych boków. Uczniowie często traktują dowolny bok jako wysokość, nie sprawdzając, czy tworzy on z wybraną podstawą kąt prosty. Częste są również błędy w znakach podczas odejmowania ujemnych wartości współrzędnych w trakcie obliczania odległości.

Zadania na kartach pracy oparte na szablonie Pole trójkąta ze współrzędnych przedstawiają trzy wierzchołki, naniesione na siatkę lub zapisane w postaci par współrzędnych. Uczniowie odczytują lub wyznaczają wymagane wymiary i obliczają pole całkowite w jednostkach kwadratowych.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie masy na podstawie gęstości i objętości

Uczniowie uczą się obliczać masę jednolitego bloku poprzez obliczenie jego objętości i pomnożenie jej przez podaną gęstość.

Punkt podstawy HSG-MG.A.2 Stosować pojęcia gęstości oparte na polu powierzchni i objętości w sytuacjach modelowania (np. osoby na milę kwadratową, BTU na stopę sześcienną). ★ (nasze tłumaczenie)

W geometrii na poziomie 10. klasy uczniowie łączą trójwymiarowe pomiary geometryczne z rzeczywistymi obiektami. Na tym etapie uczniowie obliczają objętość jednolitego bloku prostopadłościennego na podstawie podanych wymiarów i mnożą tę objętość przez podaną gęstość, aby wyznaczyć całkowitą masę bloku.

Częstym błędem jest mylenie zależności algebraicznej między masą, objętością a gęstością. Ponieważ gęstość jest definiowana za pomocą dzielenia (masa podzielona przez objętość), uczniowie często błędnie dzielą objętość przez gęstość — lub gęstość przez objętość — zamiast pomnożyć objętość przez gęstość, aby wyznaczyć masę.

W praktyce zadania takie jak masa bloku na podstawie gęstości podają długość, szerokość i wysokość bloku wraz z gęstością materiału. Uczniowie obliczają objętość bloku, a następnie mnożą tę objętość przez gęstość, aby wyznaczyć końcową masę.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Wyznaczanie permutacji i zliczanie układów

Pole powierzchni walców, stożków i kul

Rozkład wielomianów na czynniki za pomocą grupowania i sześcianów

Zastosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów

Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów geometrycznych

Zastosowanie prawdopodobieństwa całkowitego i wzoru Bayesa

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych

Wyznaczanie wierzchołka i korzystanie z postaci kanonicznej

Znajdowanie brakujących boków trójkątów prostokątnych

Wyznaczanie kątów środkowych i wpisanych w okręgach

Wyznaczanie długości cięciw i odcinków stycznych

Wyznaczanie prawdopodobieństwa warunkowego na podstawie tabeli

Obliczanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń

Obliczanie prawdopodobieństwa z wykorzystaniem kombinacji

Przesunięcia wykresów funkcji

Wyznaczanie średniego tempa zmian

Łączenie funkcji za pomocą składania

Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej

Obliczanie pola figur podobnych

Wykorzystanie twierdzenia Talesa do wyznaczania długości

Podział odcinka w danym stosunku

Obliczanie pola trójkąta za pomocą współrzędnych

Obliczanie masy na podstawie gęstości i objętości

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu