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Programma scolastico (Polonia)

Matematica — classe 8ª

Matematica per la classe 8: sistemi di equazioni, prismi e piramidi, triangoli rettangoli notevoli, probabilità negli esperimenti a due fasi — e ripasso dell'intera scuola primaria prima dell'esame di ottava classe. Per ogni argomento, esercizi pronti da stampare.

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Cosa impara uno studente in matematica nella classe 8?

Nella classe 8 lo studente risolve sistemi di due equazioni lineari, calcola il volume e l'area della superficie di prismi e piramidi, utilizza le proprietà dei triangoli con angoli di 45°, 30° e 60° e calcola la probabilità in esperimenti a due fasi. La classe 8 conclude la scuola primaria, quindi ripassa potenze, percentuali, espressioni algebriche e il teorema di Pitagora — sono argomenti dell'esame di ottava classe.

Nota importante sulle indicazioni nazionali: il nuovo programma (Gazzetta Ufficiale 2026 voce 378) si applicherà alla classe 8 a partire dall'anno scolastico 2030/2031 — viene introdotto anno per anno. Fino ad allora, la classe 8 seguirà il programma del 2017; la suddivisione delle unità tematiche su questa pagina è simile in entrambi i programmi. Il programma per le classi VII–VIII è articolato a blocco — specifica ciò che lo studente deve sapere al termine della scuola primaria. L'attribuzione di un argomento a una determinata classe è una nostra scelta basata sulla tipica scansione didattica; nella sezione «Programma curricolare» è possibile consultare l'intero blocco VII–VIII con le citazioni del decreto.

Stato della pagina: sono pronti potenze e radici, percentuali nella pratica, proporzionalità, numeri razionali con segno, espressioni algebriche, equazioni e relativi sistemi, teorema di Pitagora, cerchio, prismi e piramidi, nonché la probabilità. Le costruzioni geometriche e i quesiti nel formato dell'esame di ottava classe verranno aggiunti progressivamente.

Ambito del programma

  1. Punto del programma MAT.VII-VIII.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Numeri

    nostra traduzione · testo originale (PL): Liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1

  2. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    esegue calcoli e ragionamenti in cui utilizza la notazione percentuale, tra cui calcola:

    nostra traduzione · testo originale (PL): prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1

  3. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

    Calcolo di aumenti e riduzioni percentuali (da noi in classe 7-8) · Calcolo degli interessi su un deposito annuale (da noi in classe 7-8)

  4. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola potenze di numeri razionali con esponente naturale

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

    Calcolo delle potenze di numeri interi e frazioni (da noi in classe 7-8)

  5. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    trasforma potenze con esponente intero negativo nelle corrispondenti potenze con esponenti naturali

    nostra traduzione · testo originale (PL): zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4

    Potenze con esponente negativo (da noi in classe 7-8)

  6. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le proprietà delle operazioni con le potenze con basi naturali ed esponenti interi, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

    Operazioni con le potenze ed esponente mancante (da noi in classe 7-8)

  7. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    scrive i numeri in notazione scientifica e confronta i numeri scritti in questo modo

    nostra traduzione · testo originale (PL): zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

    Scrittura e confronto di numeri in notazione scientifica (da noi in classe 7-8)

  8. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola i valori delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente quadrati o cubi di numeri razionali, e calcola i valori approssimati delle radici di altri numeri con la calcolatrice

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

    Calcolo delle radici quadrate e cubiche (da noi in classe 7-8)

  9. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stima il valore di una semplice espressione aritmetica contenente radici

    nostra traduzione · testo originale (PL): szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8

    Stima del valore delle radici (da noi in classe 7-8)

  10. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le proprietà delle operazioni con le radici per le radici quadrate e cubiche, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

    Portare un fattore fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  11. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce relazioni di proporzionalità diretta, le applica per determinare il valore di una grandezza in base all'altra e utilizza la ripartizione proporzionale in due o tre parti in un contesto pratico

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

    Divisione di una grandezza in un dato rapporto (da noi in classe 7-8)

  12. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica la regola della moltiplicazione per contare coppie di elementi in situazioni che richiedono una doppia scelta

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11

  13. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza la calcolatrice e applicazioni informatiche per eseguire calcoli nella risoluzione di problemi inseriti in un contesto pratico.

    nostra traduzione · testo originale (PL): używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12

  14. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    quale percentuale di un numero è un altro numero

    nostra traduzione · testo originale (PL): jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

    Calcolare che percentuale di un numero è un altro (da noi in classe 7-8)

  15. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide potenze con la stessa base

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

    Operazioni con le potenze ed esponente mancante (da noi in classe 7-8)

  16. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola le radici del prodotto e del quoziente di due numeri

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

    Portare un fattore fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  17. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    una data percentuale di un dato numero

    nostra traduzione · testo originale (PL): podany procent danej liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b

  18. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide potenze con lo stesso esponente

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

    Operazioni con le potenze ed esponente mancante (da noi in classe 7-8)

  19. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide radici dello stesso indice

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

    Portare un fattore fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  20. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    il numero sulla base di una sua percentuale data

    nostra traduzione · testo originale (PL): liczbę na podstawie danego jej procentu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

    Determinazione di un numero in base alla sua percentuale (da noi in classe 7-8)

  21. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    eleva una potenza a potenza

    nostra traduzione · testo originale (PL): podnosi potęgę do potęgi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

    Operazioni con le potenze ed esponente mancante (da noi in classe 7-8)

  22. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    porta un numero fuori dal segno di radice e porta un numero sotto il segno di radice

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

    Portare un fattore fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  23. Punto del programma MAT.VII-VIII.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Algebra

    nostra traduzione · testo originale (PL): Algebra

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2

  24. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    crea espressioni algebriche, anche espressioni a due variabili, che descrivono le relazioni tra le grandezze presentate nel problema e le usa per risolvere problemi, compresi quelli inseriti in un contesto pratico

    nostra traduzione · testo originale (PL): tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1

  25. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola il valore numerico di un'espressione algebrica che è la somma di al massimo tre monomi per dati valori interi delle variabili

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

    Calcolo del valore di un'espressione algebrica (da noi in classe 7-8)

  26. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    ordina i monomi e riduce i termini simili nelle somme algebriche

    nostra traduzione · testo originale (PL): porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

    Ordinamento e riduzione dei termini simili (da noi in classe 7-8)

  27. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    addiziona e sottrae somme algebriche formate da più monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

    Ordinamento e riduzione dei termini simili (da noi in classe 7-8)

  28. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica un monomio per una somma algebrica di al massimo tre monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

    Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune (da noi in classe 7-8)

  29. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica composta da due monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

    Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune (da noi in classe 7-8)

  30. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica tra loro due binomi a coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

    Moltiplicazione di due binomi (da noi in classe 7-8)

  31. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    trasforma semplici formule per ricavare una grandezza data, anche in formule geometriche e fisiche

    nostra traduzione · testo originale (PL): przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8

  32. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    verifica se un dato numero intero è soluzione di un'equazione (di primo, secondo o terzo grado) a un'incognita

    nostra traduzione · testo originale (PL): sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

    Verificare se un numero è una soluzione di un'equazione (da noi in classe 7-8)

  33. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    verifica se un dato numero razionale è soluzione di un'equazione di primo grado

    nostra traduzione · testo originale (PL): sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

    Verificare se un numero è una soluzione di un'equazione (da noi in classe 7-8)

  34. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

    Risoluzione di equazioni in due passaggi (ax + b = c) (da noi in classe 7-8) · Risoluzione di equazioni con l'incognita su entrambi i lati (da noi in classe 7-8)

  35. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve problemi con testo mediante equazioni di primo grado con un'incognita o due equazioni di primo grado con due incognite, che possono essere ricondotte in modo semplice a un'equazione di primo grado.

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12

    Risoluzione di sistemi di due equazioni (da noi in classe 8)

  36. Punto del programma MAT.VII-VIII.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Figure

    nostra traduzione · testo originale (PL): Figury

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3

  37. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce in un disegno e disegna l'asse di un segmento e la bisettrice di un angolo, utilizza le loro proprietà

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1

  38. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce e disegna figure a simmetria assiale e a simmetria centrale, individua i loro assi di simmetria e il centro di simmetria

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2

  39. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la misura dell'angolo interno di un poligono regolare

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3

  40. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce triangoli rettangoli in diverse situazioni geometriche, applica il teorema di Pitagora

    nostra traduzione · testo originale (PL): dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

    Applicazione del teorema di Pitagora (da noi in classe 7-8)

  41. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le proprietà dei triangoli rettangoli particolari, cioè dei triangoli rettangoli con angoli acuti di 30° e 60° e dei triangoli rettangoli isosceli

    nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5

    Triangoli rettangoli con angoli di 30°, 60° e 45° (da noi in classe 8)

  42. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica i criteri di congruenza dei triangoli

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje cechy przystawania trójkątów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6

  43. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza długość okręgu i pole koła

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

    Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio (da noi in classe 7-8)

  44. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    divide poligoni in parti o riconosce figure come parti di un'altra figura al fine di calcolare, confrontare o stimare aree e riconoscere altre relazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8

  45. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

    Applicazione del teorema di Pitagora (da noi in classe 7-8) · Area della superficie e volume di un prisma retto (da noi in classe 8) · Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio (da noi in classe 7-8)

  46. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    disegna in un sistema di coordinate poligoni con vertici nei punti del reticolo

    nostra traduzione · testo originale (PL): rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10

  47. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola l'area e il perimetro di triangoli e quadrilateri con i vertici nei punti del reticolo quadratro

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11

  48. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce prismi retti e regolari e piramidi regolari

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12

  49. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.13 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    indica l'altezza delle facce laterali e l'altezza della piramide

    nostra traduzione · testo originale (PL): wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13

  50. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.14 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola l'area della superficie e il volume di prismi retti e piramidi regolari.

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14

    Area della superficie e volume di un prisma retto (da noi in classe 8) · Area e volume di una piramide retta regolare (da noi in classe 8)

  51. Punto del programma MAT.VII-VIII.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dati ed eventi casuali

    nostra traduzione · testo originale (PL): Dane i zdarzenia losowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4

  52. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    acquisisce e seleziona dati da fonti diverse, li ordina e ne valuta l'attendibilità

    nostra traduzione · testo originale (PL): pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1

  53. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    sceglie una modalità di rappresentazione dei dati che ne faciliti l'analisi, utilizzando adeguate applicazioni informatiche

    nostra traduzione · testo originale (PL): dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2

  54. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta la relazione tra due grandezze descritta mediante un grafico, ad esempio la variazione di una certa grandezza nel tempo, tra cui: distanza percorsa, livello delle retribuzioni, costo della vita, inflazione – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3

  55. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza la media aritmetica e la mediana in un contesto pratico per confrontare insiemi di dati, inclusi i dati finanziari – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

    Determinazione della mediana di un insieme di dati (da noi in classe 7-8)

  56. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta criticamente i dati, inclusi i dati finanziari, ne trae conclusioni e le giustifica, facendo riferimento alle proprietà dell'insieme di dati

    nostra traduzione · testo originale (PL): krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5

  57. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    esegue semplici esperimenti aleatori consistenti, ad esempio, nel lancio singolo o doppio di una moneta o di un dado da gioco e nell'estrazione di una pallina da un insieme di palline, analizza gli esperimenti aleatori e determina qual è la probabilità degli eventi considerati.

    nostra traduzione · testo originale (PL): przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

    Calcolo della probabilità in situazioni semplici (da noi in classe 7-8) · Probabilità in esperimenti a due fasi (da noi in classe 8)

  58. Punto del programma MAT.VII-VIII.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Pensiero matematico

    nostra traduzione · testo originale (PL): Myślenie matematyczne

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5

  59. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica metodi generali di risoluzione di problemi matematici, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1

  60. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    spiega il proprio modo di pensare nella risoluzione di un problema matematico attraverso:

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2

  61. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    conduce ragionamenti matematici, dimostrando al contempo la capacità di:

    nostra traduzione · testo originale (PL): prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3

  62. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    registra le relazioni tra i dati presenti nel problema in modo da facilitare l'analisi del problema

    nostra traduzione · testo originale (PL): zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a

  63. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    fornire argomentazioni matematiche a giustificazione dei successivi passaggi del ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (PL): podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a

  64. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    distinguere un teorema dal suo teorema inverso

    nostra traduzione · testo originale (PL): odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a

  65. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    analizza la propria soluzione del problema e – se possibile – semplifica la soluzione

    nostra traduzione · testo originale (PL): analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b

  66. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    costruire una giustificazione facendo ricorso solo agli argomenti necessari

    nostra traduzione · testo originale (PL): budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b

  67. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    usare ragionamenti per assurdo semplici, a un solo passaggio

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b

  68. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    pone ulteriori domande derivanti dalla soluzione ottenuta

    nostra traduzione · testo originale (PL): stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c

  69. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    formulazione di conclusioni derivanti dal ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (PL): formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c

  70. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    generalizzazione dei casi particolari osservati

    nostra traduzione · testo originale (PL): uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c

  71. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.d · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    nota le analogie tra i metodi di risoluzione di diversi problemi matematici

    nostra traduzione · testo originale (PL): dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d

  72. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.d · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    giustificare, ad es. fornendo un controesempio, che una data proprietà non sussiste.

    nostra traduzione · testo originale (PL): uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d

  73. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo degli strumenti matematici – comprensione e utilizzo di concetti e proprietà matematiche anche in una nuova situazione, individuazione di relazioni tra proprietà nonché di differenze e somiglianze tra oggetti matematici.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1

  74. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Esecuzione di calcoli aritmetici e algebrici, ricerca di una modalità di calcolo ottimale, utilizzo della calcolatrice o di applicazioni di calcolo quando è giustificato dalla complessità del calcolo o dall'obiettivo del compito.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2

  75. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Trarre conclusioni da informazioni fornite mediante testo, tabelle, diagrammi, grafici ecc., utilizzare concetti, strumenti e argomentazioni matematiche per interpretare criticamente i dati, compreso il riconoscimento di conclusioni ingiustificate.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3

  76. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo di strumenti matematici adeguati per la descrizione, l'analisi e la risoluzione di problemi di diversi ambiti, compresa la vita quotidiana.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4

  77. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.5 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Costruzione di strategie a più fasi per la risoluzione di un problema matematico, individuazione di soluzioni corrette del problema, analisi della soluzione al fine di verificarne la correttezza o di semplificare il modo di ragionare.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5

  78. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.6 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Condurre ragionamenti e giustificarne la correttezza, formulare conclusioni derivanti dalle premesse, selezionare argomentazioni fornendo esempi e controesempi, verificare i ragionamenti proposti da altri.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Competenze passo dopo passo

Applicazione del teorema di Pitagora

Lo studente riconosce i triangoli rettangoli, verifica le relazioni tra i loro lati e calcola il cateto o l'ipotenusa mancante utilizzando il teorema di Pitagora.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.4 riconosce triangoli rettangoli in diverse situazioni geometriche, applica il teorema di Pitagora (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni (nostra traduzione)

In terza media lo studente utilizza la relazione tra le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo per determinare le misure incognite. A partire da due lati noti è in grado di calcolare il terzo e applica inoltre il teorema inverso per stabilire se un dato triangolo ha un angolo retto.

Un errore comune consiste nel sommare meccanicamente i quadrati dei numeri forniti senza verificare quale segmento si trovi opposto all'angolo retto. Capita che gli studenti sommino i quadrati dei lati anche quando l'esercizio richiede di determinare un cateto (invece di sottrarre il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa), oppure dimentichino di estrarre la radice quadrata dalla somma o dalla differenza finale.

Nella pratica, gli esercizi delle schede didattiche comprendono tre tipi di compiti:

  • Calcola l'ipotenusa – elevare al quadrato le lunghezze di entrambi i cateti, sommarle ed estrarre la radice quadrata del risultato,
  • Calcola il cateto – sottrarre il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa,
  • Il triangolo è rettangolo? – verificare se la somma dei quadrati dei due lati più corti è uguale al quadrato del lato più lungo.
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Tipi di esercizi: Calcola l'ipotenusa · Calcola un cateto · Il triangolo è rettangolo? · Ipotenusa — scegli la risposta

Triangoli rettangoli con angoli di 30°, 60° e 45°

Lo studente calcola le lunghezze dei lati nei triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60° e di 45°, utilizzando le relazioni con la diagonale del quadrato e l'altezza del triangolo equilatero.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.5 utilizza le proprietà dei triangoli rettangoli particolari, cioè dei triangoli rettangoli con angoli acuti di 30° e 60° e dei triangoli rettangoli isosceli (nostra traduzione)

In terza media lo studente determina le lunghezze mancanti dei lati nei triangoli rettangoli con angoli acuti di 30° e 60° e nei triangoli rettangoli isosceli (con angoli di 45°). Conoscendo la misura di un solo lato, è in grado di calcolare gli altri due, sfruttando le relazioni geometriche costanti ed esprimendo i risultati con l'uso delle radici quadrate.

L'errore più comune consiste nel confondere l'attribuzione dei lati nel triangolo con angoli di 30° e 60°: non di rado gli studenti posizionano il cateto maggiore opposto all'angolo minore. Capita anche di scambiare i coefficienti: utilizzare la radice di 2 al posto di quella di 3 o viceversa, a causa della confusione tra le proprietà di metà quadrato e quelle di metà triangolo equilatero.

Nella pratica, gli esercizi consistono nell'applicazione diretta di queste regole in configurazioni geometriche tipiche:

  • Triangolo con angoli di 30° e 60° — calcolo delle lunghezze dei cateti o dell'ipotenusa a partire da un solo lato noto;
  • Altezza del triangolo equilatero — determinazione dell'altezza a partire dal lato o calcolo del lato quando è nota l'altezza;
  • Diagonale del quadrato — relazione tra il lato del quadrato e la sua diagonale intesa come ipotenusa del triangolo con angoli di 45°.
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Tipi di esercizi: Altezza del triangolo equilatero · Diagonale del quadrato · Triangolo con angoli di 30° e 60°

Calcolo della probabilità in situazioni semplici

Lo studente analizza semplici situazioni casuali e calcola la probabilità di un evento, confrontando il numero di esiti favorevoli con il numero di tutti i possibili eventi.

Punto del programma MAT.VII-VIII.4.6 esegue semplici esperimenti aleatori consistenti, ad esempio, nel lancio singolo o doppio di una moneta o di un dado da gioco e nell'estrazione di una pallina da un insieme di palline, analizza gli esperimenti aleatori e determina qual è la probabilità degli eventi considerati. (nostra traduzione)

In terza media lo studente determina il numero di tutti i possibili esiti in un singolo esperimento casuale e individua quelli che soddisfano una data condizione. Su questa base, esprime la probabilità di un evento sotto forma di frazione, analizzando situazioni con esiti equiprobabili.

Un errore comune consiste nell'inserire al denominatore il numero degli esiti rimanenti invece di tutti quelli possibili. Ad esempio, avendo in una scatola 3 palline bianche e 5 nere, lo studente calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca come 3/5 invece di 3/8. Capita anche di contare in modo errato i numeri che soddisfano i criteri indicati, ad esempio trascurando il fatto che il numero 1 non è un numero primo.

In pratica, i problemi assumono la forma di semplici esperimenti:

  • Lancio di un dado — determinare la probabilità di ottenere un determinato risultato, ad esempio un punteggio maggiore di 4 o divisibile per 2.
  • Estrazione di una pallina da una scatola — calcolare la probabilità di pescare una pallina di un determinato colore conoscendo il contenuto del contenitore.
  • Estrazione di un biglietto con un numero — indicare la probabilità di estrarre un numero che soddisfa una determinata condizione da un insieme di cartoncini predisposti.
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Tipi di esercizi: Estrarre una pallina dalla scatola · Lancio di un dado · Estrarre un cartellino numerato

Calcolo di aumenti e riduzioni percentuali

Lo studente calcola il nuovo valore o prezzo dopo l'aumento o la diminuzione dell'importo iniziale di una determinata percentuale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

In terza media, lo studente determina con sicurezza il nuovo importo dopo una variazione percentuale. Nelle situazioni finanziarie pratiche, ciò significa saper calcolare l'entità dell'aumento o dello sconto e collegarla al prezzo iniziale – aggiungendo la parte calcolata all'importo di partenza o sottraendola da esso.

L'errore più comune consiste nel trattare la percentuale come un numero ordinario e sottrarla direttamente dal prezzo (ad esempio sottraendo il numero 20 invece del 20% di un determinato importo). Gli studenti hanno a volte difficoltà anche a stabilire correttamente da quale valore iniziale debba essere calcolata la percentuale.

Nella pratica, gli esercizi si basano su attività dei modelli Aumenta di una percentuale e Riduci di una percentuale. Lo studente si confronta con un importo concreto e con l'informazione relativa alla variazione percentuale, calcolando il risultato finale – ad esempio il prezzo delle scarpe dopo uno sconto del 15% o la nuova tariffa dopo un aumento del 10%.

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Tipi di esercizi: Aumenta di una percentuale · Aumento percentuale — scegli la risposta · Diminuisci di una percentuale

Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune

Lo studente moltiplica un monomio per una somma fino a tre termini con coefficienti interi e raccoglie a fattor comune un monomio da una somma composta da due termini.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.5 moltiplica un monomio per una somma algebrica di al massimo tre monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.6 raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica composta da due monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)

In classe 8 lo studente consolida la manipolazione di espressioni algebriche a coefficienti interi. Esegue due operazioni correlate: moltiplica un monomio per una somma algebrica composta da un massimo di tre termini ed esegue l'operazione inversa, ovvero raccoglie a fattor comune un monomio da una somma composta esattamente da due monomi.

L'errore più comune consiste nello sbagliare i segni nella moltiplicazione per un monomio negativo e nel tralasciare i termini successivi della somma: lo studente moltiplica solo il primo termine tra parentesi e ricopia il resto senza riflettere. Quando invece si raccoglie a fattor comune, la difficoltà sorge quando uno dei termini della somma è identico al monomio raccolto; in questo caso, gli studenti spesso dimenticano di scrivere il numero 1 tra parentesi.

Gli esercizi del modello Moltiplicazione di un monomio per una somma richiedono di scrivere il prodotto dato sotto forma di somma algebrica semplificata. I compiti del modello Raccoglimento a fattor comune consistono nell'individuare un divisore numerico comune e le variabili comuni a due termini, per poi scrivere l'espressione sotto forma di prodotto.

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Tipi di esercizi: Moltiplicare un monomio per un polinomio · Raccoglimento a fattore comune

Calcolo delle radici quadrate e cubiche

Lo studente calcola i valori esatti delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono quadrati o cubi di numeri razionali.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.7 calcola i valori delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente quadrati o cubi di numeri razionali, e calcola i valori approssimati delle radici di altri numeri con la calcolatrice (nostra traduzione)

In classe 8 lo studente determina con sicurezza i valori esatti delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente quadrati o cubi di numeri razionali. Comprende l'estrazione di radice come operazione inversa dell'elevamento a potenza: sa quale numero cercare affinché, elevato alla seconda o alla terza potenza, dia come risultato il valore sotto radice.

Un errore tipico in questa fase è confondere l'estrazione di radice con la divisione. Non è raro che gli studenti indichino 8 anziché 4 come radice quadrata di 16 (dividendo per 2) oppure 9 anziché 3 come radice cubica di 27 (dividendo per 3). Capita anche di trascurare l'indice della radice, soprattutto quando gli esercizi richiedono di calcolare alternativamente radici quadrate e cubiche.

I materiali di esercitazione per questa competenza comprendono i modelli Calcola la radice quadrata e Calcola la radice cubica. Gli esercizi consistono nel determinare direttamente il valore del numero sotto radice in forma intera o frazionaria, costituendo anche una base fondamentale per il ripasso prima dell'esame di terza media.

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Tipi di esercizi: Calcola la radice cubica · Calcola la radice quadrata

Calcolo delle potenze di numeri interi e frazioni

Lo studente calcola le potenze di numeri interi e di frazioni con esponenti naturali, preparandosi per il ripasso prima dell'esame dell'ottava classe.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.3 calcola potenze di numeri razionali con esponente naturale (nostra traduzione)

In terza media, lo studente calcola con sicurezza il valore delle potenze la cui base è un numero intero (positivo o negativo) oppure una frazione o un numero decimale, e l'esponente è un numero naturale. Comprende che questa scrittura indica la moltiplicazione ripetuta dello stesso numero razionale per se stesso.

L'errore più comune è confondere l'elevamento a potenza con la moltiplicazione della base per l'esponente (ad esempio calcolare 3 alla terza come 9 invece di 27). Nel caso delle frazioni, un problema frequente è l'elevamento a potenza del solo numeratore tralasciando il denominatore, mentre per i numeri negativi l'errore riguarda la determinazione del segno del risultato, in particolare nel distinguere tra esponenti pari e dispari.

In pratica, lo studente affronta esercizi basati sui modelli Calcola la potenza di un numero intero e Calcola la potenza di una frazione. Questi consistono nel calcolare direttamente il risultato di operazioni come l'elevamento di un numero negativo al quadrato o al cubo, nonché nel determinare la potenza di una frazione scritta tra parentesi.

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Tipi di esercizi: Calcola la potenza di un intero · Calcola la potenza di una frazione · Valore di una potenza — scegli la risposta

Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio

Lo studente calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio a partire dal raggio o dal diametro fornito, utilizzando il pi greco.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.7 calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni (nostra traduzione)

Nella classe 8 lo studente calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio. Applica le formule che collegano queste grandezze al raggio o al diametro della figura, scrivendo i risultati in modo esatto con l'uso del numero π oppure eseguendo calcoli con le sue approssimazioni.

Un problema tipico è confondere la formula del perimetro con quella dell'area: gli studenti spesso elevano il raggio al quadrato quando determinano la lunghezza della circonferenza o moltiplicano il raggio per due invece di elevarlo a potenza quando calcolano l'area. Un errore frequente è anche sostituire nelle formule il diametro fornito nel testo senza prima dividerlo a metà, il che distorce particolarmente il risultato dell'area del cerchio.

Gli esercizi dei materiali Lunghezza della circonferenza e Area del cerchio comprendono sia il semplice calcolo del perimetro e della superficie a partire dal raggio o diametro dato, sia le operazioni inverse: il calcolo delle dimensioni del cerchio quando ne sono note l'area o la lunghezza della circonferenza.

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Tipi di esercizi: Area del cerchio · Lunghezza della circonferenza

Probabilità in esperimenti a due fasi

Lo studente calcola la probabilità di eventi in esperimenti a due fasi, come il doppio lancio di un dado da gioco o l'estrazione di palline con reimbussolamento.

Punto del programma MAT.VII-VIII.4.6 esegue semplici esperimenti aleatori consistenti, ad esempio, nel lancio singolo o doppio di una moneta o di un dado da gioco e nell'estrazione di una pallina da un insieme di palline, analizza gli esperimenti aleatori e determina qual è la probabilità degli eventi considerati. (nostra traduzione)

In classe 8, lo studente analizza lo svolgimento di esperimenti aleatori a due fasi. È in grado di determinare il numero di tutti i possibili esiti e il numero di esiti favorevoli a un dato evento, elencando coppie di numeri o organizzandoli in una tabella. Su questa base calcola la probabilità del risultato cercato.

Un errore tipico consiste nel considerare ordini diversi come lo stesso esito o nel tralasciare alcune possibilità. Ad esempio, nel lancio di due dadi, i ragazzi spesso considerano la coppia (2, 5) e (5, 2) come lo stesso evento, determinando così in modo errato il numero di esiti favorevoli e sottostimando il numero di tutte le combinazioni possibili (ritenendo che siano 21 invece di 36).

Nella pratica, lo studente affronta due tipi di problemi:

  • Somma dei punti su due dadi – consiste nel calcolare la probabilità di ottenere una determinata somma (ad es. pari a 7 o maggiore di 9) nel lancio di due dadi a sei facce;
  • Due estrazioni con reimmissione – richiede di determinare la probabilità di estrarre palline con determinate caratteristiche, tenendo presente che la pallina estratta viene reinserita prima della seconda estrazione.
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Tipi di esercizi: Somma di due dadi · Due estrazioni con reinserimento

Area della superficie e volume di un prisma retto

Lo studente dell'ottavo anno calcola l'area della superficie totale e il volume dei prismi retti, compresi i solidi a base triangolare.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.14 calcola l'area della superficie e il volume di prismi retti e piramidi regolari. (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni (nostra traduzione)

In terza media lo studente calcola l'area della superficie e il volume di un prisma retto, concentrandosi in questa parte del programma sui solidi a base triangolare. Determina autonomamente l'area della base triangolare, somma le aree delle facce laterali rettangolari e moltiplica l'area di base per l'altezza del solido per ottenerne il volume.

La difficoltà più comune consiste nel confondere l'altezza del triangolo di base con l'altezza del prisma stesso. Gli studenti tendono inoltre a dimenticare di considerare due basi durante il calcolo dell'area della superficie totale, aggiungendo l'area del triangolo una sola volta.

In pratica, gli esercizi dei modelli Area della superficie del prisma a base triangolare e Volume del prisma a base triangolare consistono nel ricavare le dimensioni dal disegno del solido o dalla descrizione del testo, calcolare l'area del triangolo che costituisce la base e determinare poi correttamente l'area delle facce laterali o il volume dell'intera figura.

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Tipi di esercizi: Volume del prisma triangolare · Area della superficie del prisma triangolare

Moltiplicazione di due binomi

Lo studente impara a moltiplicare tra loro due binomi a coefficienti interi, ordinando l'espressione ottenuta e riducendo i termini simili.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.7 moltiplica tra loro due binomi a coefficienti interi (nostra traduzione)

In classe 8 lo studente moltiplica tra loro due binomi in cui compaiono esclusivamente coefficienti interi. Il compito consiste nel moltiplicare correttamente ciascun termine della prima parentesi per ciascun termine della seconda parentesi e nella riduzione finale dei termini simili.

L'errore più comune consiste nel trascurare le regole dei segni con i numeri negativi, soprattutto quando nella parentesi è presente una sottrazione e lo studente dimentica che il segno meno appartiene a quel dato termine. Capita anche che si moltiplichino solo il primo termine per il primo e il secondo per il secondo, con la conseguente perdita dei termini intermedi.

In pratica, gli esercizi si basano su schede didattiche generate dai modelli Moltiplicazione di binomi (x + a)(x + b), in cui la variabile ha coefficiente 1, e Moltiplicazione di binomi, in cui i coefficienti interi possono trovarsi anche direttamente davanti alle incognite.

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Tipi di esercizi: Prodotto (x + a)(x + b) · Prodotto di due binomi

Area e volume di una piramide retta regolare

Lo studente calcola l'area della superficie totale e il volume delle piramidi regolari, utilizzando le proprietà delle loro basi e delle facce laterali.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.14 calcola l'area della superficie e il volume di prismi retti e piramidi regolari. (nostra traduzione)

In terza media lo studente calcola l'area della superficie totale e il volume delle piramidi regolari. Riconosce gli elementi del solido — area di base, area della superficie laterale e altezza dell'intero solido — e li combina nelle formule geometriche appropriate.

La difficoltà più comune consiste nel confondere l'altezza della piramide con l'altezza della sua faccia laterale. Gli studenti spesso dimenticano anche la frazione un terzo nella formula del volume, calcolandolo come se fosse un prisma, oppure tralasciano l'area di base nel determinare l'area della superficie totale.

In pratica, gli esercizi si basano sui modelli Area della superficie della piramide e Volume della piramide. I problemi richiedono di determinare le aree delle singole facce triangolari e della base poligonale oppure di sostituire le dimensioni fornite direttamente nella formula del volume del solido.

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Tipi di esercizi: Area della superficie della piramide · Volume della piramide

Ordinamento e riduzione dei termini simili

Lo studente ordina i monomi e somma e sottrae termini simili con coefficienti interi, semplificando espressioni con una o due variabili.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.3 ordina i monomi e riduce i termini simili nelle somme algebriche (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.4 addiziona e sottrae somme algebriche formate da più monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)

In classe 8, lo studente ordina con facilità le somme algebriche e riduce i termini simili. Addiziona e sottrae monomi con coefficienti interi, portando la scrittura alla forma più semplice. Esegue le operazioni su espressioni contenenti una sola variabile o due variabili diverse.

La difficoltà più frequente consiste nel perdere il segno meno posto direttamente prima del termine da ridurre quando si cambia l'ordine degli addendi. Capita anche di combinare in modo errato termini non simili, ad esempio tentando di sommare monomi con lettere diverse (come 3x e 2y) oppure aggiungendo un semplice numero al coefficiente di una variabile.

In pratica, gli esercizi si basano sui modelli Riduzione dei termini simili e Riduzione dei termini simili con due variabili. Il compito consiste nell'individuare nell'espressione data i termini con le stesse variabili, sommare i loro coefficienti numerici e scrivere il risultato in forma ordinata.

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Tipi di esercizi: Riduzione dei termini simili · Termini simili con due variabili

Determinazione di un numero in base alla sua percentuale

Lo studente di terza media è in grado di calcolare agevolmente l'intera grandezza cercata quando conosce il valore corrispondente a una sua determinata percentuale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.c il numero sulla base di una sua percentuale data (nostra traduzione)

In terza media lo studente è in grado di determinare l'intera grandezza (ossia il 100%) conoscendo solo una sua parte e la percentuale corrispondente. Per trovare il numero cercato, converte la percentuale in una frazione ordinaria o decimale ed esegue una divisione, imposta una semplice proporzione oppure calcola prima il valore dell'1% della grandezza data.

L'errore più comune in questa fase consiste nel confondere questo tipo di esercizi con il calcolo della percentuale di un numero. Gli studenti, invece di dividere il valore dato per la frazione, moltiplicano istintivamente i due numeri tra loro. Di conseguenza, invece dell'intero valore iniziale più grande, ottengono un risultato nettamente inferiore alla parte fornita, senza rendersi conto dell'illogicità del risultato.

I problemi del modello Numero data la percentuale richiedono di trovare l'incognita in situazioni quali: „Trova il numero il cui 15% è 45” o in semplici problemi con testo, in cui occorre determinare, ad esempio, il prezzo iniziale di un articolo dopo un aumento o la lunghezza totale di un percorso in base alla tappa già percorsa.

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Calcolare che percentuale di un numero è un altro

Lo studente calcola quale parte del totale costituisce un dato valore e scrive questo risultato sotto forma di percentuale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.a quale percentuale di un numero è un altro numero (nostra traduzione)

In terza media, lo studente sa confrontare due numeri e determinare quale percentuale di uno rappresenti l'altro. Scrive il rapporto tra questi valori sotto forma di frazione o numero decimale, per poi convertirlo in percentuale moltiplicando per il 100%.

L'errore più comune consiste nel confondere il valore di base (l'intero, che dovrebbe trovarsi al denominatore) con il numero confrontato. Gli studenti, per abitudine, tendono a dividere il numero più grande per quello più piccolo, invece di verificare nel testo del problema a quale valore si riferisca la domanda.

Negli esercizi della categoria Che percentuale è un numero? lo studente di terza media incontra consegne che verificano questa competenza in modo diretto (ad esempio, che percentuale del numero 50 rappresenta il numero 15) e in un semplice contesto pratico, come il calcolo della percentuale di alunni presenti o della frazione di percorso completata.

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Determinazione della mediana di un insieme di dati

Lo studente ordina l'insieme di numeri dato e ne determina la mediana, cioè il valore centrale o la media dei due numeri centrali.

Punto del programma MAT.VII-VIII.4.4 utilizza la media aritmetica e la mediana in un contesto pratico per confrontare insiemi di dati, inclusi i dati finanziari – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

In classe 8 lo studente determina con sicurezza la mediana di un dato insieme di dati numerici. Il primo passo consiste sempre nell'ordinare tutti i valori in ordine crescente. Se l'insieme contiene un numero dispari di elementi, lo studente individua il valore che si trova esattamente al centro. Quando il numero di dati è pari, calcola la media aritmetica dei due numeri centrali.

L'errore più comune consiste nell'individuare il numero centrale direttamente dal testo dell'esercizio, senza prima ordinare i numeri dal più piccolo al più grande. Gli studenti confondono anche la regola per determinare la mediana nel caso di un numero pari di dati e, invece di calcolare la media dei due valori centrali, ne scelgono uno a caso.

Gli esercizi del modello Indica la mediana hanno la forma di un semplice elenco di numeri (ad esempio risultati di misurazioni, voti o importi), per i quali lo studente deve determinare e inserire correttamente il valore centrale.

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Potenze con esponente negativo

Lo studente dell'ottavo anno impara a trasformare le potenze con esponente intero negativo nelle corrispondenti potenze con esponente naturale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.4 trasforma potenze con esponente intero negativo nelle corrispondenti potenze con esponenti naturali (nostra traduzione)

In terza media lo studente padroneggia la regola dell'elevamento a potenza con esponente negativo. In accordo con le indicazioni nazionali, trasforma le potenze con esponente intero negativo nelle corrispondenti potenze con esponente naturale. Ciò comporta l'uso dell'operazione di reciproco: lo studente sostituisce la base della potenza con il suo reciproco e trasforma l'esponente negativo nel corrispondente numero naturale.

Un errore comune consiste nel confondere l'esponente negativo con il segno dell'intera potenza. Gli studenti spesso aggiungono un segno meno davanti al numero o moltiplicano la base per l'esponente (ad esempio ritenendo che 3 elevato a -2 faccia -6 oppure -9). Ciò deriva dall'abitudine di associare il meno alla sottrazione o ai numeri negativi, anziché al calcolo del reciproco di un numero.

Negli esercizi del modello Potenza con esponente negativo lo studente affronta consegne che richiedono la trasformazione diretta di potenze di numeri interi e frazioni (ad esempio scrivendo l'espressione sotto forma di potenza con esponente positivo e fornendo il risultato finale sotto forma di frazione o numero decimale).

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Operazioni con le potenze ed esponente mancante

Lo studente applica le regole di moltiplicazione e divisione di potenze con basi naturali ed esponenti interi per determinare l'esponente mancante in un'equazione.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5 applica le proprietà delle operazioni con le potenze con basi naturali ed esponenti interi, tra cui: (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.a moltiplica e divide potenze con la stessa base (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.b moltiplica e divide potenze con lo stesso esponente (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.c eleva una potenza a potenza (nostra traduzione)

In classe 8 l'alunno padroneggia le proprietà delle operazioni con le potenze a base naturale ed esponente intero (inclusi quelli negativi e pari a zero). Applica le regole di addizione, sottrazione e moltiplicazione degli esponenti durante la moltiplicazione e la divisione di potenze con la stessa base, nonché nel calcolo della potenza di una potenza.

L'errore più comune consiste nel confondere meccanicamente le operazioni — moltiplicando gli esponenti invece di sommarli nel prodotto di potenze con la stessa base. Un'ulteriore difficoltà è rappresentata dagli esponenti negativi: nella divisione di potenze gli studenti dimenticano spesso la regola della sottrazione di un numero negativo, portando a un segno errato nel risultato.

Negli esercizi del modello Esponente mancante — operazioni con le potenze l'alunno analizza un'equazione in cui, al posto di uno degli esponenti, compare una casella vuota. Il suo obiettivo è trasformare l'espressione e inserire il numero intero corretto che soddisfa l'uguaglianza data.

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Divisione di una grandezza in un dato rapporto

Lo studente divide una data grandezza in due o tre parti in un determinato rapporto e applica questa abilità in problemi pratici con testo.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.10 riconosce relazioni di proporzionalità diretta, le applica per determinare il valore di una grandezza in base all'altra e utilizza la ripartizione proporzionale in due o tre parti in un contesto pratico (nostra traduzione)

In terza media lo studente risolve problemi che richiedono la divisione di una determinata grandezza — ad esempio una somma di denaro, una lunghezza o una massa — in due o tre parti secondo un dato rapporto numerico. Determina il valore di una singola parte della suddivisione e calcola poi le quantità corrispondenti alle singole quote.

Un errore tipico consiste nel trattare i numeri del rapporto come frazioni dell'intera grandezza, anziché delle sue parti componenti. Gli studenti spesso dividono il numero iniziale direttamente per i termini del rapporto, invece di calcolare prima la somma di tutte le unità e dividere la grandezza iniziale per tale somma.

Negli esercizi del tipo Divisione in un dato rapporto lo studente affronta problemi ambientati in un contesto pratico, come la ripartizione di un profitto nel rapporto 2 : 3 o la preparazione di una malta con proporzioni tra gli ingredienti di 1 : 2 : 4. Il compito richiede di impostare un'equazione appropriata o di sommare le parti e indicare le quantità concrete per ciascun elemento della suddivisione.

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Portare un fattore fuori dal segno di radice

Lo studente impara a semplificare le radici quadrate e cubiche attraverso la scomposizione del radicando e il trasporto fuori dal segno di radice del fattore opportuno.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9 applica le proprietà delle operazioni con le radici per le radici quadrate e cubiche, tra cui: (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.a calcola le radici del prodotto e del quoziente di due numeri (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.b moltiplica e divide radici dello stesso indice (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.c porta un numero fuori dal segno di radice e porta un numero sotto il segno di radice (nostra traduzione)

In classe 8, lo studente impara a semplificare le radici quadrate e cubiche. Utilizza le proprietà delle operazioni per scrivere il numero sotto il segno di radice sotto forma di prodotto e portare fuori dalla radice il fattore da cui è possibile estrarre la radice dell'indice dato.

Un errore tipico è fermarsi a una semplificazione incompleta — ad esempio trasformare la radice quadrata di 72 in una forma con il numero 18 sotto radice, anziché ridurla alla forma più semplice. Un problema frequente con le radici cubiche è anche la ricerca meccanica dei quadrati dei numeri anziché dei loro cubi.

Gli esercizi che sviluppano questa abilità si presentano nella forma della consegna Porta fuori dal segno di radice. Lo studente riceve una singola espressione con una radice di secondo o terzo grado e la trasforma nel prodotto di un numero intero e di una radice con un radicando minore.

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Stima del valore delle radici

Lo studente impara a determinare il valore approssimato di una radice, indicando i numeri interi consecutivi tra i quali si trova il numero dato.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.8 stima il valore di una semplice espressione aritmetica contenente radici (nostra traduzione)

In terza media lo studente è in grado di stimare il valore di una radice e di una semplice espressione aritmetica con radici senza l'uso della calcolatrice. A tale scopo sfrutta la conoscenza dei quadrati e dei cubi dei numeri naturali, determinando tra quali due numeri interi consecutivi si trova il valore considerato.

Un errore tipico in questa fase è confondere l'estrazione di radice con la divisione – ad esempio assumendo che la radice di 10 sia 5, invece di notare che si trova tra 3 e 4 (poiché 3² = 9 e 4² = 16). A volte gli studenti cercano anche di indovinare le cifre decimali, invece di basarsi sulle potenze note più vicine.

In pratica, negli esercizi della serie Stima la radice, lo studente inserisce i numeri interi mancanti che delimitano una data radice in una disuguaglianza oppure valuta quale numero intero sia più vicino al valore indicato.

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Scrittura e confronto di numeri in notazione scientifica

Lo studente scrive i numeri in notazione scientifica e confronta grandezze espresse in questa forma.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.6 scrive i numeri in notazione scientifica e confronta i numeri scritti in questo modo (nostra traduzione)

In classe 8 lo studente converte con disinvoltura i numeri dalla scrittura decimale alla notazione scientifica e viceversa. Scrive i numeri sotto forma di prodotto in cui il primo fattore è compreso nell'intervallo da 1 a 10 (con 10 escluso) e il secondo è una potenza di 10. Sulla base dell'esponente della potenza e del valore del primo fattore è anche in grado di confrontare rapidamente due numeri tra loro.

Un errore comune consiste nel lasciare il primo fattore in una forma non corretta — ad esempio la scrittura 45 · 10³ invece di quella corretta 4,5 · 10⁴. Gli studenti tendono inoltre a contare meccanicamente gli zeri presenti nel numero invece di verificare di quante posizioni si sia effettivamente spostata la virgola.

Gli esercizi del set Notazione scientifica consistono nel convertire i numeri indicati in notazione scientifica, leggere i valori scritti mediante potenze di dieci e ordinare una serie di numeri dal più piccolo al più grande.

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Risoluzione di equazioni con l'incognita su entrambi i lati

Lo studente riordina e risolve equazioni di primo grado in cui la lettera che indica l'incognita compare a sinistra e a destra del segno di uguaglianza.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado (nostra traduzione)

In terza media, lo studente risolve equazioni di primo grado con un'incognita che si trova da entrambi i lati del segno di uguaglianza. L'alunno riconduce l'espressione a una forma più semplice: raggruppa i termini contenenti l'incognita da un lato (più spesso a sinistra) e i termini noti dall'altro, poi riduce i termini simili e determina il valore cercato.

Una tipica difficoltà in questa fase è il cambio di segno quando si spostano numeri o espressioni algebriche all'altro membro dell'equazione. Gli studenti spesso ricopiano meccanicamente il segno più o meno invece di trasformarlo in quello opposto. Gli errori si verificano anche nell'ultimo passaggio, quando occorre dividere entrambi i membri per il numero negativo che precede l'incognita.

In pratica, all'interno del modello Equazione con l'incognita su entrambi i lati, l'esercizio si presenta sotto forma di un'equazione lineare già impostata (es. 5x - 3 = 2x + 9). Lo studente sviluppa i passaggi successivi dei passaggi, eseguendo operazioni su entrambi i membri fino a ottenere il risultato finale.

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Verificare se un numero è una soluzione di un'equazione

Lo studente è in grado di verificare se un dato numero intero o razionale soddisfa un'equazione a un'incognita, sostituendolo al posto della lettera e calcolando i valori di entrambi i membri.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.10 verifica se un dato numero razionale è soluzione di un'equazione di primo grado (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.9 verifica se un dato numero intero è soluzione di un'equazione (di primo, secondo o terzo grado) a un'incognita (nostra traduzione)

In terza media, lo studente sa valutare se un dato numero soddisfa un'equazione a un'incognita. Nel caso delle equazioni di primo grado, verifica qualsiasi numero razionale, comprese le frazioni ordinarie e i numeri decimali. Per le equazioni di secondo e terzo grado, esamina numeri interi. Questa abilità consiste nel sostituire il valore indicato al posto dell'incognita e nel calcolare separatamente il valore del membro sinistro e del membro destro dell'equazione, per verificare se sono uguali tra loro.

Gli errori più comuni si verificano nei calcoli con i numeri negativi e con l'elevamento a potenza. Gli studenti confondono la scrittura (-2)² con -2² oppure tralasciano i segni meno durante la moltiplicazione. Una difficoltà frequente è anche il tentativo superfluo di manipolare algebricamente e risolvere l'intera equazione (specialmente di secondo o terzo grado), invece di verificare rapidamente il numero indicato tramite un semplice calcolo aritmetico.

In pratica, negli esercizi del tipo Il numero è una soluzione dell'equazione?, lo studente riceve un'equazione e un numero specifico da verificare. Dopo averlo sostituito al posto della variabile ed eseguito i calcoli, confronta il risultato del membro sinistro e del membro destro, per poi indicare in modo univoco la risposta: sì o no.

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Risoluzione di equazioni in due passaggi (ax + b = c)

Lo studente risolve equazioni di primo grado nella forma ax + b = c, applicando in successione il trasporto del termine noto e la divisione per il coefficiente dell'incognita.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado (nostra traduzione)

In terza media lo studente risolve con sicurezza equazioni di primo grado scritte nella forma ax + b = c. Esegue il compito in due passaggi ordinati: prima isola il termine con l'incognita, sommando o sottraendo a entrambi i membri il numero b, e poi divide entrambi i membri per il coefficiente a per determinare il valore del numero cercato.

L'errore più comune consiste nel perdere o confondere i segni quando si sposta il termine noto all'altro membro dell'equazione (ad esempio aggiungendo un numero invece di sottrarlo). Gli studenti hanno talvolta difficoltà anche con l'ordine delle operazioni: provano a dividere per il coefficiente dell'incognita prima di aver ridotto il termine noto, complicando inutilmente i calcoli.

Gli esercizi del modello Equazione ax + b = c richiedono di determinare il valore dell'incognita in semplici espressioni algebriche, come 3x + 5 = 26 oppure con la presenza di numeri negativi, ad esempio -2x + 7 = -5. Lo studente scrive i passaggi successivi delle trasformazioni, giungendo al risultato finale.

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Tipi di esercizi: Equazione ax + b = c · Soluzione di un’equazione — scegli la risposta

Calcolo del valore di un'espressione algebrica

Lo studente sostituisce numeri interi al posto delle lettere in una breve espressione algebrica (fino a tre monomi) e ne calcola il risultato finale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.2 calcola il valore numerico di un'espressione algebrica che è la somma di al massimo tre monomi per dati valori interi delle variabili (nostra traduzione)

In classe 8 lo studente calcola con disinvoltura il valore numerico di un'espressione algebrica composta al massimo da tre monomi. Sostituisce alle lettere presenti i numeri interi forniti — sia positivi che negativi o lo zero — e poi esegue correttamente le operazioni aritmetiche secondo l'ordine di precedenza.

Gli errori più frequenti derivano da disattenzioni quando si opera con i numeri negativi. Gli studenti dimenticano le parentesi quando elevano a potenza un numero negativo sostituito a una variabile oppure perdono il segno meno quando sottraggono un monomio con valore negativo. Capita anche di non rispettare l'ordine delle operazioni, ad esempio sommando i numeri prima di eseguire la moltiplicazione presente nel monomio.

Negli esercizi della scheda «Valore di un'espressione algebrica», lo studente riceve una breve espressione e i valori delle variabili, ad esempio: calcola il valore dell'espressione 3a - 2b + 4 per a = -2 e b = 5. L'esercizio consiste nell'inserire correttamente i numeri al posto dei simboli e nello svolgere i calcoli fino a ottenere un unico risultato numerico.

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Risoluzione di sistemi di due equazioni

Lo studente risolve problemi a parole, descrivendo la situazione mediante due equazioni in due incognite e riconducendole a un'unica equazione di primo grado.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.12 risolve problemi con testo mediante equazioni di primo grado con un'incognita o due equazioni di primo grado con due incognite, che possono essere ricondotte in modo semplice a un'equazione di primo grado. (nostra traduzione)

In terza media lo studente risolve problemi con testo applicando sistemi di due equazioni di primo grado a due incognite. In base alle indicazioni ministeriali, impara a gestire sistemi che possono essere facilmente ricondotti a un'equazione in una sola incognita — ad esempio isolando una variabile e sostituendola nella seconda equazione.

Un errore tipico compare nella fase di sostituzione dell'espressione ricavata. Quando la variabile è preceduta da un segno meno o da un coefficiente numerico, gli studenti dimenticano spesso di racchiudere tra parentesi il binomio da sostituire, il che porta a un segno errato nei termini successivi e altera l'intero risultato.

Nella pratica, utilizzando la scheda Sistema di due equazioni, lo studente affronta problemi descrittivi (ad es. relativi al costo di biglietti ridotti e interi o al numero di monete di diverso valore). Il suo compito consiste nel definire entrambe le incognite, impostare due equazioni collegate tra loro e calcolare i corretti valori numerici.

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Calcolo degli interessi su un deposito annuale

Lo studente calcola il rendimento di un deposito bancario annuale e l'importo totale del capitale maggiorato degli interessi a un dato tasso di interesse.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

In classe 8 lo studente applica il calcolo percentuale a un contesto finanziario pratico. In base all'importo del capitale depositato e al tasso di interesse annuo specificato, è in grado di calcolare l'ammontare degli interessi maturati dopo un anno, nonché di determinare il saldo finale dei risparmi dopo aver aggiunto il guadagno alla somma versata.

Un errore tipico consiste nel confondere l'importo degli interessi con la cifra finale liquidata dalla banca al termine del periodo di risparmio. Gli studenti a volte considerano il guadagno calcolato come l'intero importo presente sul conto oppure tentano di sommare il valore percentuale direttamente alla somma di denaro (ad esempio aggiungendo 5 zł invece del 5% del capitale).

Gli esercizi del modello Interessi sul deposito presentano situazioni finanziarie realistiche. La consegna tipica richiede di calcolare quanti interessi frutterà il versamento di una determinata somma (ad es. 3000 zł) a un determinato tasso annuo (ad es. 6%) e quale somma totale riceverà il cliente dopo un anno di durata del deposito.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Applicazione del teorema di Pitagora

Triangoli rettangoli con angoli di 30°, 60° e 45°

Calcolo della probabilità in situazioni semplici

Calcolo di aumenti e riduzioni percentuali

Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune

Calcolo delle radici quadrate e cubiche

Calcolo delle potenze di numeri interi e frazioni

Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio

Probabilità in esperimenti a due fasi

Area della superficie e volume di un prisma retto

Moltiplicazione di due binomi

Area e volume di una piramide retta regolare

Ordinamento e riduzione dei termini simili

Determinazione di un numero in base alla sua percentuale

Calcolare che percentuale di un numero è un altro

Determinazione della mediana di un insieme di dati

Potenze con esponente negativo

Operazioni con le potenze ed esponente mancante

Divisione di una grandezza in un dato rapporto

Portare un fattore fuori dal segno di radice

Stima del valore delle radici

Scrittura e confronto di numeri in notazione scientifica

Risoluzione di equazioni con l'incognita su entrambi i lati

Verificare se un numero è una soluzione di un'equazione

Risoluzione di equazioni in due passaggi (ax + b = c)

Calcolo del valore di un'espressione algebrica

Risoluzione di sistemi di due equazioni

Calcolo degli interessi su un deposito annuale

Altri tipi di esercizi

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