Español
Programa escolar (Polonia)

Matemáticas — 8.º curso

Matemáticas de 8.º curso: sistemas de ecuaciones, prismas y pirámides, triángulos rectángulos especiales, probabilidad en experimentos de dos etapas — y repaso de toda la escuela primaria antes del examen de 8.º curso. Ejercicios listos para imprimir para cada tema.

Crear una hoja de este programa

¿Qué aprende un alumno en matemáticas en 8.º curso?

En 8.º curso, el alumno resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales, calcula el volumen y el área superficial de prismas y pirámides, utiliza las propiedades de los triángulos con ángulos de 45°, 30° y 60° y calcula probabilidades en experimentos de dos etapas. El 8.º curso concluye la escuela primaria, por lo que retoma las potencias, los porcentajes, las expresiones algebraicas y el teorema de Pitágoras: estos contenidos forman parte del examen de fin de primaria.

Información importante sobre el currículo: el nuevo currículo (Dz.U. 2026, pos. 378) abarcará el 8.º curso a partir del año escolar 2030/2031, ya que se introduce progresivamente por cohortes. Hasta entonces, el 8.º curso sigue el currículo de 2017; el alcance de los temas en esta página es similar en ambos programas. El currículo para los cursos VII–VIII es por bloques: establece lo que el alumno debe saber al término de la escuela primaria. La asignación de cada tema a un curso determinado es una decisión nuestra basada en la distribución habitual de la materia; en la sección «Alcance curricular» puede consultarse el bloque completo VII–VIII con citas de la ordenanza ministerial.

Estado de la página: ya están disponibles las potencias y raíces, los porcentajes en la práctica, la proporcionalidad, los números racionales con signo, las expresiones algebraicas, las ecuaciones y sus sistemas, el teorema de Pitágoras, el círculo, los prismas y pirámides, así como la probabilidad. Las construcciones geométricas y los ejercicios con formato de examen de fin de primaria se irán incorporando progresivamente.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Números

    nuestra traducción · texto original (PL): Liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1

  2. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza cálculos y razonamientos en los que utiliza la notación porcentual, entre ellos calcula:

    nuestra traducción · texto original (PL): prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1

  3. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica cálculos porcentuales para resolver problemas en un contexto práctico, incluido el financiero, tales como el cálculo de: precios después de un aumento o antes de su aumento o rebaja, intereses de un depósito anual, costes de un crédito, importe de los impuestos – módulo económico-financiero

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

    Cálculo de aumentos y descuentos porcentuales (en nuestro curso 7-8) · Cálculo de los intereses de un depósito a plazo fijo anual (en nuestro curso 7-8)

  4. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula potencias de números racionales con exponentes naturales

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

    Cálculo de potencias de números enteros y fracciones (en nuestro curso 7-8)

  5. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    convierte potencias de exponente entero negativo en las correspondientes potencias de exponentes naturales

    nuestra traducción · texto original (PL): zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4

    Potencias con exponente negativo (en nuestro curso 7-8)

  6. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las propiedades de las operaciones con potencias de bases naturales y exponentes enteros, incluyendo:

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

    Operaciones con potencias y el exponente faltante (en nuestro curso 7-8)

  7. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    escribe números en notación científica y compara números escritos de esta forma

    nuestra traducción · texto original (PL): zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

    Escritura y comparación de números en notación científica (en nuestro curso 7-8)

  8. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los valores de las raíces cuadradas y cúbicas de números que son, respectivamente, cuadrados o cubos de números racionales, y calcula los valores aproximados de las raíces de otros números mediante calculadora

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

    Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas (en nuestro curso 7-8)

  9. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    estima el valor de una expresión aritmética simple que contiene raíces

    nuestra traducción · texto original (PL): szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8

    Estimación del valor de las raíces (en nuestro curso 7-8)

  10. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las propiedades de las operaciones con radicales para raíces cuadradas y cúbicas, incluyendo:

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

    Extracción de factores fuera de un radical (en nuestro curso 7-8)

  11. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce relaciones directamente proporcionales, las aplica para determinar el valor de una magnitud a partir de otra y utiliza el reparto proporcional en dos o tres partes en un contexto práctico

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

    División de una cantidad en una razón dada (en nuestro curso 7-8)

  12. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la regla de la multiplicación para contar pares de elementos en situaciones que requieren una doble elección

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11

  13. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza la calculadora y aplicaciones informáticas para realizar cálculos al resolver problemas situados en un contexto práctico.

    nuestra traducción · texto original (PL): używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12

  14. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.1.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    qué porcentaje de un número es otro número

    nuestra traducción · texto original (PL): jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

    Cálculo de qué porcentaje de un número representa otro (en nuestro curso 7-8)

  15. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.5.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    multiplica y divide potencias de la misma base

    nuestra traducción · texto original (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

    Operaciones con potencias y el exponente faltante (en nuestro curso 7-8)

  16. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.9.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula raíces del producto y del cociente de dos números

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

    Extracción de factores fuera de un radical (en nuestro curso 7-8)

  17. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.1.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    el porcentaje dado de un número dado

    nuestra traducción · texto original (PL): podany procent danej liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b

  18. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.5.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    multiplica y divide potencias con el mismo exponente

    nuestra traducción · texto original (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

    Operaciones con potencias y el exponente faltante (en nuestro curso 7-8)

  19. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.9.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    multiplica y divide raíces del mismo índice

    nuestra traducción · texto original (PL): mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

    Extracción de factores fuera de un radical (en nuestro curso 7-8)

  20. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.1.c · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    un número a partir de un porcentaje dado del mismo

    nuestra traducción · texto original (PL): liczbę na podstawie danego jej procentu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

    Cálculo de un número a partir de su porcentaje (en nuestro curso 7-8)

  21. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.5.c · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    eleva una potencia a una potencia

    nuestra traducción · texto original (PL): podnosi potęgę do potęgi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

    Operaciones con potencias y el exponente faltante (en nuestro curso 7-8)

  22. Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.9.c · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    extrae un número fuera del signo radical e introduce un número bajo el signo radical

    nuestra traducción · texto original (PL): wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

    Extracción de factores fuera de un radical (en nuestro curso 7-8)

  23. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Álgebra

    nuestra traducción · texto original (PL): Algebra

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2

  24. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    crea expresiones algebraicas, también expresiones de dos variables, que describen las relaciones entre las magnitudes presentadas en el problema y las utiliza para resolver problemas, incluidos los situados en un contexto práctico

    nuestra traducción · texto original (PL): tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1

  25. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula el valor numérico de una expresión algebraica que es suma de como máximo tres monomios para valores enteros dados de las variables

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

    Cálculo del valor de una expresión algebraica (en nuestro curso 7-8)

  26. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    ordena monomios y reduce términos semejantes en sumas algebraicas

    nuestra traducción · texto original (PL): porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

    Ordenación y reducción de términos semejantes (en nuestro curso 7-8)

  27. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    suma y resta sumas algebraicas compuestas por varios monomios con coeficientes enteros

    nuestra traducción · texto original (PL): dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

    Ordenación y reducción de términos semejantes (en nuestro curso 7-8)

  28. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    multiplica un monomio por una suma algebraica de como máximo tres monomios con coeficientes enteros

    nuestra traducción · texto original (PL): mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

    Multiplicación por un paréntesis y sacar factor común (en nuestro curso 7-8)

  29. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    extrae como factor común un monomio de una suma algebraica compuesta por dos monomios con coeficientes enteros

    nuestra traducción · texto original (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

    Multiplicación por un paréntesis y sacar factor común (en nuestro curso 7-8)

  30. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    multiplica entre sí dos binomios con coeficientes enteros

    nuestra traducción · texto original (PL): mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

    Multiplicación de dos binomios (en nuestro curso 7-8)

  31. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    transforma fórmulas sencillas para despejar una magnitud dada, incluidas fórmulas geométricas y físicas

    nuestra traducción · texto original (PL): przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8

  32. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    comprueba si un número entero dado es solución de una ecuación (de primer, segundo o tercer grado) con una incógnita

    nuestra traducción · texto original (PL): sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

    Comprobar si un número es solución de una ecuación (en nuestro curso 7-8)

  33. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    comprueba si un número racional dado es solución de una ecuación de primer grado

    nuestra traducción · texto original (PL): sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

    Comprobar si un número es solución de una ecuación (en nuestro curso 7-8)

  34. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve ecuaciones de primer grado, así como ecuaciones que se pueden reducir de manera sencilla a una ecuación de primer grado

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

    Resolución de ecuaciones en dos pasos (ax + b = c) (en nuestro curso 7-8) · Resolución de ecuaciones con la incógnita en ambos lados (en nuestro curso 7-8)

  35. Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve problemas verbales mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita o dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, que se pueden reducir de forma sencilla a una ecuación de primer grado.

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12

    Resolución de sistemas de dos ecuaciones (en nuestro curso 8)

  36. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Figuras

    nuestra traducción · texto original (PL): Figury

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3

  37. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce en un dibujo y dibuja la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, utiliza sus propiedades

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1

  38. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce y dibuja figuras con simetría axial y con simetría central, indica sus ejes de simetría y su centro de simetría

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2

  39. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la medida del ángulo interior de un polígono regular

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3

  40. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce triángulos rectángulos en diferentes situaciones geométricas, aplica el teorema de Pitágoras

    nuestra traducción · texto original (PL): dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

    Aplicación del teorema de Pitágoras (en nuestro curso 7-8)

  41. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de los triángulos rectángulos especiales, es decir, de los triángulos rectángulos con ángulos agudos de 30° y 60° y de los triángulos rectángulos isósceles

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5

    Triángulos rectángulos con ángulos de 30°, 60° y 45° (en nuestro curso 8)

  42. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica los criterios de congruencia de triángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje cechy przystawania trójkątów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6

  43. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza długość okręgu i pole koła

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

    Cálculo de la longitud de la circunferencia y del área del círculo (en nuestro curso 7-8)

  44. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    divide polígonos en partes o reconoce figuras como partes de otra figura con el fin de calcular, comparar o estimar áreas y reconocer otras relaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8

  45. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve problemas relativos a objetos reales que pueden representarse mediante un modelo geométrico, también en una situación que requiere simplificaciones necesarias

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

    Aplicación del teorema de Pitágoras (en nuestro curso 7-8) · Área y volumen de un prisma recto (en nuestro curso 8) · Cálculo de la longitud de la circunferencia y del área del círculo (en nuestro curso 7-8)

  46. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    dibuja en el sistema de coordenadas polígonos con vértices en puntos de la cuadrícula

    nuestra traducción · texto original (PL): rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10

  47. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros con vértices en puntos de una cuadrícula

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11

  48. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce prismas rectos y regulares y pirámides regulares

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12

  49. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.13 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    indica la altura de las caras laterales y la altura de la pirámide

    nuestra traducción · texto original (PL): wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13

  50. Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.14 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula áreas de la superficie y volúmenes de prismas rectos y pirámides regulares.

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14

    Área y volumen de un prisma recto (en nuestro curso 8) · Área y volumen de una pirámide regular (en nuestro curso 8)

  51. Punto del currículo MAT.VII-VIII.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Datos y sucesos aleatorios

    nuestra traducción · texto original (PL): Dane i zdarzenia losowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4

  52. Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    obtiene y selecciona datos de diferentes fuentes, los organiza y evalúa su fiabilidad

    nuestra traducción · texto original (PL): pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1

  53. Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    selecciona una forma de representación de datos que facilite su análisis, utilizando las aplicaciones informáticas adecuadas

    nuestra traducción · texto original (PL): dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2

  54. Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta la relación entre dos magnitudes descrita mediante una gráfica, por ejemplo, la variación de una determinada magnitud en el tiempo, incluidos: distancia recorrida, nivel de los salarios, coste de la vida, inflación – módulo económico-financiero

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3

  55. Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la media aritmética y la mediana en un contexto práctico para comparar conjuntos de datos, incluidos datos financieros – módulo económico-financiero

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

    Determinación de la mediana de un conjunto de datos (en nuestro curso 7-8)

  56. Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta críticamente datos, incluidos datos financieros, extrae conclusiones de ellos y las justifica, haciendo referencia a las propiedades del conjunto de datos

    nuestra traducción · texto original (PL): krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5

  57. Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza experimentos aleatorios simples consistentes, por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda o un dado una o dos veces y en la extracción de una bola de un conjunto de bolas, analiza experimentos aleatorios y determina cuál es la probabilidad de los sucesos considerados.

    nuestra traducción · texto original (PL): przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

    Cálculo de probabilidad en situaciones sencillas (en nuestro curso 7-8) · Probabilidad en experimentos de dos etapas (en nuestro curso 8)

  58. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Pensamiento matemático

    nuestra traducción · texto original (PL): Myślenie matematyczne

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5

  59. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica métodos generales de resolución de problemas matemáticos, entre ellos:

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1

  60. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    explica su forma de pensar al resolver un problema matemático mediante:

    nuestra traducción · texto original (PL): wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2

  61. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza razonamientos matemáticos, demostrando al mismo tiempo la habilidad:

    nuestra traducción · texto original (PL): prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3

  62. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.1.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    registra las relaciones entre los datos que aparecen en el problema de manera que facilite el análisis del problema

    nuestra traducción · texto original (PL): zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a

  63. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    presentar argumentos matemáticos que justifiquen los pasos sucesivos del razonamiento

    nuestra traducción · texto original (PL): podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a

  64. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.3.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    distinguir un teorema de un teorema recíproco

    nuestra traducción · texto original (PL): odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a

  65. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.1.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    analiza su solución del problema y, si es posible, simplifica la solución

    nuestra traducción · texto original (PL): analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b

  66. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    construcción de una justificación que recurre solo a los argumentos necesarios

    nuestra traducción · texto original (PL): budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b

  67. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.3.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplicación de razonamientos indirectos sencillos, de un solo paso

    nuestra traducción · texto original (PL): stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b

  68. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.1.c · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    plantea preguntas adicionales derivadas de la solución obtenida

    nuestra traducción · texto original (PL): stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c

  69. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.2.c · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    formulación de conclusiones derivadas del razonamiento

    nuestra traducción · texto original (PL): formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c

  70. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.3.c · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    generalización de casos particulares observados

    nuestra traducción · texto original (PL): uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c

  71. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.1.d · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    percibe similitudes entre los métodos de resolución de diferentes problemas matemáticos

    nuestra traducción · texto original (PL): dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d

  72. Punto del currículo MAT.VII-VIII.5.3.d · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    justificar, p. ej., dando un contraejemplo, que una propiedad dada no se cumple.

    nuestra traducción · texto original (PL): uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d

  73. Punto del currículo MAT.VII-VIII.WO.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso de herramientas matemáticas – comprensión y uso de conceptos y propiedades matemáticas también en una situación nueva, reconocimiento de relaciones entre propiedades, así como de diferencias y semejanzas entre objetos matemáticos.

    nuestra traducción · texto original (PL): Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1

  74. Punto del currículo MAT.VII-VIII.WO.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Realización de cálculos aritméticos y algebraicos, búsqueda de una forma óptima de cálculo, uso de la calculadora o de aplicaciones de cálculo cuando esté justificado por la complejidad del cálculo o el objetivo de la tarea.

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2

  75. Punto del currículo MAT.VII-VIII.WO.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Extracción de conclusiones a partir de la información proporcionada mediante texto, tablas, diagramas, gráficos, etc., uso de conceptos, herramientas y argumentos matemáticos para interpretar críticamente los datos, incluido el reconocimiento de conclusiones no justificadas.

    nuestra traducción · texto original (PL): Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3

  76. Punto del currículo MAT.VII-VIII.WO.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso de herramientas matemáticas adecuadas para la descripción, el análisis y la resolución de problemas de diversos ámbitos, incluida la vida cotidiana.

    nuestra traducción · texto original (PL): Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4

  77. Punto del currículo MAT.VII-VIII.WO.5 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Construcción de estrategias de varias etapas para la resolución de un problema matemático, identificación de soluciones correctas del problema, análisis de la solución con el fin de comprobar su corrección o simplificar la forma de razonamiento.

    nuestra traducción · texto original (PL): Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5

  78. Punto del currículo MAT.VII-VIII.WO.6 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Desarrollo de razonamientos y justificación de su corrección, formulación de conclusiones derivadas de las premisas, selección de argumentos mediante la presentación de ejemplos y contraejemplos, verificación de razonamientos presentados por otros.

    nuestra traducción · texto original (PL): Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Competencias paso a paso

Aplicación del teorema de Pitágoras

El estudiante reconoce triángulos rectángulos, comprueba las relaciones entre sus lados y calcula el cateto o la hipotenusa faltante utilizando el teorema de Pitágoras.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.4 reconoce triángulos rectángulos en diferentes situaciones geométricas, aplica el teorema de Pitágoras (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.9 resuelve problemas relativos a objetos reales que pueden representarse mediante un modelo geométrico, también en una situación que requiere simplificaciones necesarias (nuestra traducción)

En 8.º curso, el estudiante utiliza la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo para determinar medidas desconocidas. A partir de dos lados conocidos, es capaz de calcular el tercero, y también emplea el teorema recíproco para determinar si un triángulo dado tiene un ángulo recto.

Un error común es sumar mecánicamente los cuadrados de los números dados sin verificar qué segmento se encuentra opuesto al ángulo recto. A veces, los estudiantes también suman los cuadrados de los lados cuando la tarea requiere hallar un cateto (en lugar de restar el cuadrado del cateto conocido del cuadrado de la hipotenusa), o se olvidan de calcular la raíz cuadrada de la suma o resta final.

En la práctica, los ejercicios de las fichas de trabajo incluyen tres tipos de tareas:

  • Calcular la hipotenusa – elevar al cuadrado las longitudes de ambos catetos, sumarlas y calcular la raíz cuadrada del resultado,
  • Calcular un cateto – restar el cuadrado del cateto conocido del cuadrado de la hipotenusa,
  • ¿El triángulo es rectángulo? – comprobar si la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos es igual al cuadrado del lado más largo.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Calcula la hipotenusa · Calcula un cateto · Hipotenusa — elige la respuesta · ¿Es rectángulo el triángulo?

Triángulos rectángulos con ángulos de 30°, 60° y 45°

El alumno calcula las longitudes de los lados en triángulos rectángulos con ángulos de 30° y 60°, así como de 45°, utilizando las relaciones con la diagonal de un cuadrado y la altura de un triángulo equilátero.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.5 utiliza las propiedades de los triángulos rectángulos especiales, es decir, de los triángulos rectángulos con ángulos agudos de 30° y 60° y de los triángulos rectángulos isósceles (nuestra traducción)

En octavo curso, el alumno determina las longitudes de los lados desconocidos en triángulos rectángulos con ángulos agudos de 30° y 60°, así como en triángulos rectángulos isósceles (con ángulos de 45°). A partir de la medida de un solo lado, es capaz de calcular los otros dos utilizando relaciones geométricas constantes y expresando los resultados mediante raíces cuadradas.

El error más común es confundir la correspondencia de los lados en el triángulo con ángulos de 30° y 60°: los alumnos a menudo sitúan el cateto mayor opuesto al ángulo menor. También suele ocurrir el intercambio de coeficientes: usar la raíz de 2 en lugar de la de 3 o viceversa, lo que se debe a la confusión entre las propiedades de la mitad de un cuadrado y las de la mitad de un triángulo equilátero.

En la práctica, los ejercicios consisten en la aplicación directa de estas reglas en configuraciones geométricas típicas:

  • Triángulo con ángulos de 30° y 60° — cálculo de la longitud de los catetos o de la hipotenusa a partir de un lado conocido;
  • Altura de un triángulo equilátero — determinación de la altura conociendo el lado o cálculo del lado cuando se da la altura;
  • Diagonal de un cuadrado — relación entre el lado de un cuadrado y su diagonal como hipotenusa de un triángulo con ángulos de 45°.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Altura del triángulo equilátero · Diagonal del cuadrado · Triángulo de 30° y 60°

Cálculo de probabilidad en situaciones sencillas

El estudiante analiza situaciones aleatorias sencillas y calcula la probabilidad de un suceso, comparando el número de resultados favorables con el número de todos los sucesos posibles.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.6 realiza experimentos aleatorios simples consistentes, por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda o un dado una o dos veces y en la extracción de una bola de un conjunto de bolas, analiza experimentos aleatorios y determina cuál es la probabilidad de los sucesos considerados. (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno determina el número de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio simple e identifica aquellos que cumplen una condición dada. A partir de esto, escribe la probabilidad de un suceso en forma de fracción, analizando situaciones con resultados equiprobables.

Un error común es colocar en el denominador el número de los sucesos restantes en lugar de todos los posibles. Por ejemplo, al tener en una caja 3 bolas blancas y 5 negras, el alumno determina la probabilidad de sacar una bola blanca como 3/5 en lugar de 3/8. También ocurre que se cuentan de forma errónea los números que cumplen los criterios dados, por ejemplo, pasando por alto el hecho de que el número 1 no es un número primo.

En la práctica, los ejercicios adoptan la forma de experimentos sencillos:

  • Lanzamiento de un dado — determinar la probabilidad de obtener un resultado concreto, p. ej., un número de puntos mayor que 4 o divisible por 2.
  • Extracción de una bola de una caja — calcular la probabilidad de sacar una bola de un color determinado conociendo la composición del contenido del recipiente.
  • Extracción de una tarjeta con un número — indicar la probabilidad de sacar un número que cumpla una condición determinada a partir de un grupo de tarjetas preparadas.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Lanzar un dado · Sacar una bola de una caja · Sacar una tarjeta numerada

Cálculo de aumentos y descuentos porcentuales

El estudiante calcula el nuevo valor o precio tras aumentar o disminuir la cantidad inicial en un porcentaje determinado.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.2 aplica cálculos porcentuales para resolver problemas en un contexto práctico, incluido el financiero, tales como el cálculo de: precios después de un aumento o antes de su aumento o rebaja, intereses de un depósito anual, costes de un crédito, importe de los impuestos – módulo económico-financiero (nuestra traducción)

En octavo curso, el alumno determina con soltura el nuevo importe tras una variación porcentual determinada. En situaciones financieras prácticas, esto implica la capacidad de calcular la cuantía del aumento o descuento en sí y relacionarla con el precio inicial, ya sea sumando la cantidad calculada al importe inicial o restándola de este.

El error más común es tratar el porcentaje como un número cualquiera y restarlo directamente del precio (por ejemplo, restar el número 20 en lugar del 20 % de dicha cantidad). Los alumnos también suelen tener dificultades para determinar correctamente sobre qué valor inicial se debe calcular dicho porcentaje.

En la práctica, los ejercicios se basan en actividades de las plantillas Aumentar en un porcentaje y Disminuir en un porcentaje. El alumno se encuentra con una cantidad concreta y la información sobre la variación porcentual, y calcula el resultado final; por ejemplo, el precio de unos zapatos tras una rebaja del 15 % o una nueva tarifa tras un aumento del 10 %.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Aumenta en un porcentaje · Aumento porcentual — elige la respuesta · Disminuye en un porcentaje

Multiplicación por un paréntesis y sacar factor común

El alumno multiplica un monomio por una suma de hasta tres términos con coeficientes enteros y extrae un factor común monomio de una suma de dos términos.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.5 multiplica un monomio por una suma algebraica de como máximo tres monomios con coeficientes enteros (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.6 extrae como factor común un monomio de una suma algebraica compuesta por dos monomios con coeficientes enteros (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno afianza la transformación de expresiones algebraicas con coeficientes enteros. Realiza dos operaciones relacionadas entre sí: multiplica un monomio por una suma algebraica compuesta por un máximo de tres términos y lleva a cabo la operación inversa, es decir, saca un monomio como factor común de una suma compuesta por exactamente dos monomios.

El error más habitual es perder signos al multiplicar por un monomio negativo y omitir los siguientes términos de la suma: el alumno multiplica solo el primer término dentro del paréntesis y se limita a copiar el resto sin reflexionar. Por su parte, al sacar factor común fuera del paréntesis, la principal dificultad aparece cuando uno de los términos de la suma es idéntico al monomio que se extrae; en estos casos, los alumnos suelen olvidar escribir el número 1 dentro del paréntesis.

Los ejercicios de la plantilla Multiplicación de un monomio por una suma requieren expresar el producto dado en forma de suma algebraica simplificada. Las actividades de la plantilla Sacar factor común consisten en hallar un divisor numérico común y las variables comunes a dos términos, y escribir la expresión en forma de producto.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Multiplicar por un paréntesis · Sacar factor común

Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas

El alumno calcula los valores exactos de las raíces cuadradas y cúbicas de números que son cuadrados o cubos de números racionales.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.7 calcula los valores de las raíces cuadradas y cúbicas de números que son, respectivamente, cuadrados o cubos de números racionales, y calcula los valores aproximados de las raíces de otros números mediante calculadora (nuestra traducción)

En 8.º curso, el estudiante calcula con soltura los valores exactos de raíces cuadradas y cúbicas de números que son, respectivamente, cuadrados o cubos de números racionales. Entiende la radicación como la operación inversa a la potenciación: sabe qué número busca para que, al elevarlo a la segunda o tercera potencia, se obtenga el valor indicado bajo el radical.

Un error típico en esta etapa es confundir la radicación con la división. Con frecuencia, los estudiantes dan como resultado 8 en lugar de 4 para la raíz cuadrada de 16 (dividiendo entre 2) o 9 en lugar de 3 para la raíz cúbica de 27 (dividiendo entre 3). También ocurre que pasan por alto el índice de la raíz, especialmente cuando las actividades requieren calcular raíces cuadradas y cúbicas de forma alternada.

Los materiales de práctica para esta habilidad incluyen las plantillas Calcula la raíz cuadrada y Calcula la raíz cúbica. Los ejercicios consisten en determinar directamente el resultado en forma de número entero o fraccionario, lo que sirve además como base de repaso para el examen de 8.º curso.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Calcula la raíz cuadrada · Calcula la raíz cúbica

Cálculo de potencias de números enteros y fracciones

El alumno calcula potencias de números enteros y fracciones con exponentes naturales, preparándose para el repaso previo al examen de octavo grado.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.3 calcula potencias de números racionales con exponentes naturales (nuestra traducción)

En octavo curso, el alumno calcula con soltura el valor de potencias cuya base es un número entero (positivo o negativo) o una fracción común o un número decimal, y cuyo exponente es un número natural. Comprende que esta notación representa la multiplicación reiterada del mismo número racional por sí mismo.

El error más común consiste en confundir la potenciación con la multiplicación de la base por el exponente (por ejemplo, calcular 3 elevado a 3 como 9 en lugar de 27). Con las fracciones, suele ser un problema elevar únicamente el numerador omitiendo el denominador, y en el caso de los números negativos, determinar incorrectamente el signo del resultado, especialmente al distinguir entre exponentes pares e impares.

En la práctica, el alumno se enfrenta a ejercicios de las plantillas Calcula la potencia de un número entero y Calcula la potencia de una fracción. Estos consisten en calcular directamente el resultado de operaciones como elevar un número negativo al cuadrado o al cubo, así como hallar la potencia de una fracción común escrita entre paréntesis.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Calcula la potencia de un entero · Calcula la potencia de una fracción · Valor de una potencia — elige la respuesta

Cálculo de la longitud de la circunferencia y del área del círculo

El estudiante calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo a partir del radio o diámetro dados, utilizando el número pi.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.7 calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.9 resuelve problemas relativos a objetos reales que pueden representarse mediante un modelo geométrico, también en una situación que requiere simplificaciones necesarias (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Aplica las fórmulas que relacionan estas magnitudes con el radio o el diámetro de la figura, expresando los resultados de forma exacta mediante el número π o realizando cálculos a partir de sus aproximaciones.

Un problema habitual es confundir la fórmula del perímetro con la del área: los alumnos a menudo elevan el radio al cuadrado al determinar la longitud de la circunferencia o multiplican el radio por dos en lugar de elevarlo al cuadrado al calcular el área. Otro error frecuente es sustituir en las fórmulas el diámetro indicado en el enunciado sin dividirlo previamente entre dos, lo que distorsiona especialmente el resultado del área del círculo.

Los ejercicios de los materiales Longitud de la circunferencia y Área del círculo incluyen tanto el cálculo directo del perímetro y la superficie a partir del radio o diámetro dados, como operaciones inversas: calcular las dimensiones del círculo cuando se conoce su área o la longitud de su circunferencia.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Longitud de la circunferencia · Área del círculo

Probabilidad en experimentos de dos etapas

El alumno calcula la probabilidad de sucesos en experimentos de dos etapas, tales como lanzar dos veces un dado o extraer bolas con reposición.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.6 realiza experimentos aleatorios simples consistentes, por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda o un dado una o dos veces y en la extracción de una bola de un conjunto de bolas, analiza experimentos aleatorios y determina cuál es la probabilidad de los sucesos considerados. (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno analiza el desarrollo de experimentos aleatorios compuestos por dos etapas. Es capaz de determinar el número de todos los resultados posibles y el número de casos favorables a un suceso determinado, escribiendo pares de números u organizándolos en una tabla. A partir de esto, calcula la probabilidad del resultado que le interesa.

Un problema común es considerar diferentes órdenes como un mismo resultado u omitir parte de las posibilidades. Por ejemplo, al lanzar dos dados, los estudiantes suelen considerar el par (2, 5) y el (5, 2) como el mismo suceso, por lo que determinan erróneamente el número de casos favorables y subestiman el número de combinaciones posibles en total (asumiendo que son 21 en lugar de 36).

En la práctica, el alumno se enfrenta a dos tipos de problemas:

  • Suma de las puntuaciones de dos dados – consiste en calcular la probabilidad de obtener una suma determinada (por ejemplo, igual a 7 o mayor que 9) al lanzar dos dados cúbicos;
  • Dos extracciones con reposición – requiere calcular la probabilidad de extraer bolas con determinadas características, teniendo en cuenta que la bola extraída se devuelve al conjunto antes de la segunda extracción.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Suma de dos dados · Dos extracciones con devolución

Área y volumen de un prisma recto

El estudiante de octavo curso calcula el área de la superficie total y el volumen de prismas rectos, incluidos los cuerpos con base triangular.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.14 calcula áreas de la superficie y volúmenes de prismas rectos y pirámides regulares. (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.9 resuelve problemas relativos a objetos reales que pueden representarse mediante un modelo geométrico, también en una situación que requiere simplificaciones necesarias (nuestra traducción)

En 8.º curso, el estudiante calcula el área de la superficie y el volumen de un prisma recto, centrándose en esta parte del temario en cuerpos geométricos con base triangular. Determina de manera autónoma el área de la base triangular, suma las áreas de las caras laterales rectangulares y multiplica el área de la base por la altura de todo el prisma para obtener su volumen.

La dificultad más común es confundir la altura del triángulo de la base con la altura del propio prisma. Los estudiantes también suelen olvidar tener en cuenta las dos bases al calcular el área de la superficie total y suman el área del triángulo solo una vez.

En la práctica, las actividades de las plantillas Área de la superficie de un prisma triangular y Volumen de un prisma triangular consisten en leer las dimensiones a partir del dibujo de la figura o de una descripción verbal, calcular el área del triángulo que forma la base y, a continuación, determinar correctamente el área de las caras laterales o el volumen de toda la figura.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Volumen de un prisma triangular · Área total de un prisma triangular

Multiplicación de dos binomios

El estudiante aprende a multiplicar dos binomios con coeficientes enteros, ordenando la expresión obtenida y reduciendo términos semejantes.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.7 multiplica entre sí dos binomios con coeficientes enteros (nuestra traducción)

En 8.º curso, el estudiante multiplica entre sí dos binomios que contienen únicamente coeficientes enteros. La tarea consiste en multiplicar correctamente cada término del primer paréntesis por cada término del segundo paréntesis, así como en la reducción final de términos semejantes.

El error más común es pasar por alto las reglas de los signos con los números negativos, especialmente cuando dentro del paréntesis hay una resta y el estudiante olvida que el signo menos pertenece a dicho término. También ocurre a veces que solo se multiplica el primer término por el primero y el segundo por el segundo, lo que lleva a perder los términos intermedios.

En la práctica, los ejercicios se basan en fichas de trabajo de las plantillas Multiplicación de binomios (x + a)(x + b), donde la variable tiene coeficiente 1, y Multiplicación de binomios, donde los coeficientes enteros también pueden encontrarse directamente junto a las incógnitas.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Producto (x + a)(x + b) · Producto de dos binomios

Área y volumen de una pirámide regular

El alumno de octavo grado calcula el área de la superficie total y el volumen de pirámides regulares, utilizando las propiedades de sus bases y caras laterales.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.3.14 calcula áreas de la superficie y volúmenes de prismas rectos y pirámides regulares. (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno calcula el área total y el volumen de pirámides regulares. Reconoce los elementos del cuerpo geométrico —el área de la base, el área lateral y la altura de toda la figura— y los relaciona en las fórmulas geométricas correspondientes.

La dificultad más común es confundir la altura de la pirámide con la altura de su cara lateral. Los alumnos también suelen olvidar la fracción un tercio en la fórmula del volumen, calculándolo como si fuera un prisma, o se olvidan del área de la base al calcular el área total.

En la práctica, los ejercicios se basan en las plantillas Área de la pirámide y Volumen de la pirámide. Las actividades requieren calcular las áreas de cada una de las caras triangulares y de la base poligonal, o sustituir las dimensiones dadas directamente en la fórmula del volumen del cuerpo geométrico.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Volumen de una pirámide · Área total de una pirámide

Ordenación y reducción de términos semejantes

El alumno ordena monomios y suma y resta términos semejantes con coeficientes enteros, simplificando expresiones con una o dos variables.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.3 ordena monomios y reduce términos semejantes en sumas algebraicas (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.4 suma y resta sumas algebraicas compuestas por varios monomios con coeficientes enteros (nuestra traducción)

En 8.º grado, el estudiante ordena sumas algebraicas con soltura y combina términos semejantes. Suma y resta monomios con coeficientes enteros, reduciendo la expresión a su forma más simple. Realiza operaciones con expresiones que contienen una variable o dos variables distintas.

La dificultad más frecuente consiste en olvidar el signo menos situado directamente delante del término que se reduce al cambiar el orden de los sumandos. También ocurre que se combinan incorrectamente términos que no son semejantes; por ejemplo, intentar sumar monomios con variables distintas (como 3x y 2y) o sumar una constante sola al coeficiente de una variable.

En la práctica, los ejercicios se basan en las plantillas Reducción de términos semejantes y Reducción de términos semejantes con dos variables. La tarea consiste en identificar en la expresión dada los términos con las mismas variables, sumar sus coeficientes numéricos y escribir el resultado de forma ordenada.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Reducción de términos semejantes · Términos semejantes con dos variables

Cálculo de un número a partir de su porcentaje

El estudiante de octavo grado es capaz de calcular eficazmente la cantidad total buscada cuando conoce el valor correspondiente a un porcentaje determinado de la misma.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.1.c un número a partir de un porcentaje dado del mismo (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno es capaz de reconstruir la cantidad total (es decir, el 100 %) conociendo únicamente una parte y el porcentaje correspondiente. Para hallar el número buscado, convierte el porcentaje en una fracción o en un número decimal y realiza una división, plantea una proporción simple o calcula primero el valor del 1 % de dicha cantidad.

El error más común en esta etapa es confundir este tipo de ejercicios con el cálculo del porcentaje de un número. En lugar de dividir el valor dado entre la fracción, los alumnos multiplican ambos números por reflejo. En consecuencia, en vez de obtener una cantidad total inicial mayor, obtienen un resultado mucho menor que la parte indicada, sin percatarse de la incoherencia del resultado.

Los ejercicios de la plantilla Número a partir de un porcentaje requieren hallar la incógnita en situaciones como: «Encuentra el número cuyo 15 % es 45» o en problemas verbales sencillos, donde se debe determinar, por ejemplo, el precio original de un producto tras un aumento o la longitud total de un trayecto a partir del tramo recorrido.

Crear una hoja de esta habilidad

Cálculo de qué porcentaje de un número representa otro

El alumno calcula qué parte del total representa un valor dado y escribe este resultado en forma de porcentaje.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.1.a qué porcentaje de un número es otro número (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno sabe comparar dos números entre sí y determinar qué porcentaje representa uno respecto al otro. Escribe la razón de estos valores en forma de fracción común o decimal y, a continuación, la convierte en porcentaje multiplicándola por el 100%.

El error más común es confundir la cantidad base (el total, que debe situarse en el denominador) con el número comparado. Por costumbre, los alumnos suelen dividir el número mayor entre el menor, en lugar de comprobar en el enunciado a qué valor se refiere la pregunta.

En los ejercicios de la plantilla ¿Qué porcentaje representa un número?, el alumno de 8.º curso encuentra enunciados que evalúan esta habilidad de forma directa (por ejemplo, qué porcentaje de 50 es 15) y en contextos prácticos sencillos, como calcular el porcentaje de alumnos presentes o la parte recorrida de un trayecto.

Crear una hoja de esta habilidad

Determinación de la mediana de un conjunto de datos

El estudiante ordena el conjunto de números dado y determina su mediana, es decir, el valor central o la media de los dos números centrales.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.4.4 aplica la media aritmética y la mediana en un contexto práctico para comparar conjuntos de datos, incluidos datos financieros – módulo económico-financiero (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno determina con soltura la mediana de un conjunto dado de datos numéricos. El primer paso siempre es ordenar todos los valores de menor a mayor. Si el conjunto contiene un número impar de elementos, el alumno identifica el valor que se encuentra exactamente en el centro. Cuando hay un número par de datos, calcula la media aritmética de los dos números centrales.

El error más común es señalar el número central directamente a partir del enunciado del ejercicio, sin ordenar previamente los números de menor a mayor. Los alumnos también confunden la regla para determinar la mediana cuando hay un número par de datos y, en lugar de calcular la media de los dos valores centrales, eligen uno de ellos al azar.

Los ejercicios de la plantilla Indica la mediana tienen la forma de una lista simple de números (por ejemplo, resultados de mediciones, calificaciones o cantidades de dinero), para los cuales el alumno debe determinar e introducir correctamente el valor central.

Crear una hoja de esta habilidad

Potencias con exponente negativo

El estudiante de octavo grado aprende a convertir potencias con exponentes enteros negativos en las correspondientes potencias con exponentes naturales.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.4 convierte potencias de exponente entero negativo en las correspondientes potencias de exponentes naturales (nuestra traducción)

En octavo grado, el estudiante domina la regla de la potenciación con exponente negativo. De acuerdo con el plan de estudios, convierte potencias con exponentes enteros negativos en las potencias correspondientes con exponentes naturales. Esto implica el uso del inverso multiplicativo: el estudiante cambia la base de la potencia por su número inverso y transforma el exponente negativo en su correspondiente número natural.

Un error típico consiste en confundir el exponente negativo con el signo de toda la potencia. Los estudiantes a menudo añaden un signo menos delante del número o multiplican la base por el exponente (por ejemplo, asumiendo que 3 elevado a -2 es -6 o -9). Esto se debe al hábito de asociar el signo menos con la resta o con los números negativos, y no con la obtención del inverso de un número.

En los ejercicios del modelo Potencia con exponente negativo, el estudiante se encuentra con consignas que requieren la transformación directa de potencias de números enteros y fracciones (por ejemplo, escribir la expresión en forma de potencia con exponente positivo y dar el resultado final en forma de fracción común o número decimal).

Crear una hoja de esta habilidad

Operaciones con potencias y el exponente faltante

El estudiante aplica las reglas de la multiplicación y división de potencias con bases naturales y exponentes enteros para determinar el exponente que falta en la ecuación.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.5 aplica las propiedades de las operaciones con potencias de bases naturales y exponentes enteros, incluyendo: (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.5.a multiplica y divide potencias de la misma base (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.5.b multiplica y divide potencias con el mismo exponente (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.5.c eleva una potencia a una potencia (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno utiliza con soltura las propiedades de las operaciones con potencias de bases naturales y exponentes enteros (incluidos negativos e iguales a cero). Aplica las reglas de suma, resta y multiplicación de exponentes al multiplicar y dividir potencias de la misma base, así como al calcular la potencia de una potencia.

El error más común es confundir mecánicamente las operaciones: multiplicar los exponentes en lugar de sumarlos en el producto de potencias de igual base. Una dificultad adicional la representan los exponentes negativos: al dividir potencias, los estudiantes suelen olvidar la regla de restar un número negativo, lo que conduce a un signo incorrecto en el resultado.

En las tareas de la plantilla Exponente faltante: operaciones con potencias, el alumno analiza una ecuación en la que hay una casilla vacía en el lugar de uno de los exponentes. Su objetivo es transformar la expresión y escribir el número entero correcto que satisface la igualdad dada.

Crear una hoja de esta habilidad

División de una cantidad en una razón dada

El estudiante divide una cantidad dada en dos o tres partes en una razón determinada y aplica esta habilidad en problemas prácticos.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.10 reconoce relaciones directamente proporcionales, las aplica para determinar el valor de una magnitud a partir de otra y utiliza el reparto proporcional en dos o tres partes en un contexto práctico (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno resuelve problemas que requieren dividir una cantidad determinada —por ejemplo, una suma de dinero, una longitud o una masa— en dos o tres partes según una razón numérica dada. Determina el valor de una parte de la división y, a continuación, calcula las cantidades correspondientes a cada una de las partes.

Un error común es tratar los números de la razón como fracciones de la cantidad total, y no como sus partes componentes. Con frecuencia, los alumnos dividen el número inicial directamente entre los términos de la razón, en lugar de calcular primero la suma de todas las partes y dividir la cantidad inicial entre ella.

En los ejercicios del tipo División en una razón dada, el alumno se encuentra con problemas situados en un contexto práctico, tales como el reparto de beneficios en una razón de 2 : 3 o la preparación de un mortero con proporciones de ingredientes de 1 : 2 : 4. La tarea requiere plantear la ecuación adecuada o sumar las partes y determinar las cantidades concretas para cada elemento de la división.

Crear una hoja de esta habilidad

Extracción de factores fuera de un radical

El estudiante aprende a simplificar raíces cuadradas y cúbicas mediante la descomposición del radicando y la extracción del factor correspondiente fuera del radical.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.9 aplica las propiedades de las operaciones con radicales para raíces cuadradas y cúbicas, incluyendo: (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.9.a calcula raíces del producto y del cociente de dos números (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.9.b multiplica y divide raíces del mismo índice (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.9.c extrae un número fuera del signo radical e introduce un número bajo el signo radical (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno domina la simplificación de raíces cuadradas y cúbicas. Utiliza las propiedades de las operaciones para expresar el radicando en forma de producto y extraer fuera del radical el factor del que se puede calcular la raíz de dicho índice.

Un error típico es quedarse en una simplificación incompleta; por ejemplo, transformar la raíz cuadrada de 72 en una expresión con el número 18 bajo el radical en lugar de llevarla a su forma más simple. Otro problema frecuente con las raíces cúbicas es buscar mecánicamente cuadrados de números en lugar de sus cubos.

Los ejercicios para practicar esta habilidad se presentan con la instrucción Extrae factores fuera del radical. El alumno recibe una única expresión con una raíz de segundo o tercer grado y la transforma en el producto de un número entero por una raíz con un radicando menor.

Crear una hoja de esta habilidad

Estimación del valor de las raíces

El estudiante aprende a determinar el valor aproximado de una raíz, indicando los números enteros consecutivos entre los cuales se encuentra dicho número.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.8 estima el valor de una expresión aritmética simple que contiene raíces (nuestra traducción)

En 8.º curso, el estudiante es capaz de estimar el valor de una raíz y de una expresión aritmética sencilla con raíces sin utilizar calculadora. Para ello, utiliza el conocimiento de los cuadrados y cubos de números naturales, determinando entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra el valor analizado.

Un error típico en esta etapa es confundir la radicación con la división; por ejemplo, asumir que la raíz de 10 es 5, en lugar de notar que se encuentra entre 3 y 4 (ya que 3² = 9 y 4² = 16). A veces, los estudiantes también intentan adivinar los decimales en lugar de apoyarse en las potencias conocidas más cercanas.

En la práctica, en las tareas de la serie Estima la raíz, el estudiante introduce los números enteros que faltan para acotar la raíz dada en una desigualdad o evalúa qué número entero se encuentra más cerca del valor dado.

Crear una hoja de esta habilidad

Escritura y comparación de números en notación científica

El alumno escribe números en notación científica y compara cantidades presentadas en esta forma.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.6 escribe números en notación científica y compara números escritos de esta forma (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno convierte con soltura números de la notación decimal a la notación científica y viceversa. Escribe los números en forma de producto en el que el primer factor se encuentra en el intervalo del 1 al 10 (sin incluir el 10) y el segundo es una potencia de 10. A partir del exponente de la potencia y del valor del primer factor, también puede comparar rápidamente dos números entre sí.

Un error frecuente es dejar el primer factor en una forma incorrecta, por ejemplo, escribir 45 · 10³ en lugar del valor correcto 4,5 · 10⁴. Los estudiantes también tienden a contar mecánicamente los ceros del número en lugar de comprobar cuántas posiciones se ha desplazado realmente la coma decimal.

Los ejercicios del conjunto Notación científica consisten en convertir los números dados a notación científica, interpretar valores expresados mediante potencias de diez y ordenar un conjunto de números de menor a mayor.

Crear una hoja de esta habilidad

Resolución de ecuaciones con la incógnita en ambos lados

El estudiante ordena y resuelve ecuaciones de primer grado en las que la letra que representa la incógnita aparece a la izquierda y a la derecha del signo igual.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.11 resuelve ecuaciones de primer grado, así como ecuaciones que se pueden reducir de manera sencilla a una ecuación de primer grado (nuestra traducción)

En 8.º curso, el estudiante resuelve ecuaciones de primer grado con una incógnita que aparece a ambos lados del signo igual. El alumno simplifica la expresión: agrupa los términos que contienen la incógnita en un lado (por lo general, el izquierdo) y los términos constantes en el otro, para luego reducir los términos semejantes y calcular el valor buscado.

Una dificultad habitual en esta etapa es el cambio de signo al pasar números o expresiones algebraicas al otro lado de la ecuación. Los estudiantes a menudo copian mecánicamente el signo más o menos en lugar de cambiarlo por el opuesto. También surgen errores en el último paso, cuando es necesario dividir ambos lados entre el número negativo que acompaña a la incógnita.

En la práctica, dentro de la plantilla Ecuación con la incógnita en ambos lados, la tarea se presenta como una ecuación lineal dada (p. ej., 5x - 3 = 2x + 9). El estudiante desarrolla los pasos sucesivos de la transformación realizando operaciones en ambos lados hasta obtener el resultado final.

Crear una hoja de esta habilidad

Comprobar si un número es solución de una ecuación

El estudiante es capaz de comprobar si un número entero o racional dado satisface una ecuación con una incógnita, sustituyéndolo en el lugar de la letra y calculando los valores de ambos miembros.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.10 comprueba si un número racional dado es solución de una ecuación de primer grado (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.9 comprueba si un número entero dado es solución de una ecuación (de primer, segundo o tercer grado) con una incógnita (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno es capaz de evaluar si un número determinado satisface una ecuación con una incógnita. En el caso de ecuaciones de primer grado, comprueba cualquier número racional, incluidas fracciones comunes y decimales. Para ecuaciones de segundo y tercer grado, examina números enteros. Esta habilidad consiste en sustituir el valor indicado en el lugar de la incógnita y calcular por separado el valor del miembro izquierdo y del derecho de la ecuación para comprobar si son iguales.

Los errores más comunes se producen en las operaciones con números negativos y en la potenciación. Los alumnos confunden la notación (-2)² con -2² o pierden los signos negativos al multiplicar. Otra dificultad frecuente es el intento innecesario de transformar algebraicamente y resolver toda la ecuación (especialmente de segundo o tercer grado), en lugar de comprobar de manera directa el número dado mediante un cálculo aritmético.

En la práctica, en los ejercicios del tipo ¿Es el número una solución de la ecuación?, el alumno recibe una ecuación y un número concreto para comprobar. Tras sustituirlo en el lugar de la variable y realizar las operaciones, el alumno compara el resultado del miembro izquierdo y del derecho, y luego indica de manera inequívoca la respuesta: sí o no.

Crear una hoja de esta habilidad

Resolución de ecuaciones en dos pasos (ax + b = c)

El estudiante resuelve ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c, aplicando sucesivamente la transposición del término independiente y la división por el coeficiente de la incógnita.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.11 resuelve ecuaciones de primer grado, así como ecuaciones que se pueden reducir de manera sencilla a una ecuación de primer grado (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno resuelve con soltura ecuaciones de primer grado escritas en la forma ax + b = c. Realiza la tarea en dos pasos ordenados: primero aísla la expresión con la incógnita, sumando o restando en ambos miembros el número b, y luego divide ambos lados por el coeficiente a para hallar el valor del número buscado.

El error más común es omitir o confundir los signos al pasar el término independiente al otro lado de la ecuación (por ejemplo, sumar el número en lugar de restarlo). Los alumnos también suelen tener dificultades con el orden de las operaciones: intentan dividir por el número que acompaña a la incógnita antes de haber reducido el término independiente, lo que complica innecesariamente los cálculos.

Los ejercicios de la plantilla Ecuación ax + b = c requieren determinar el valor de la incógnita en expresiones algebraicas sencillas, tales como 3x + 5 = 26 o con presencia de números negativos, p. ej., -2x + 7 = -5. El alumno escribe los pasos sucesivos de las transformaciones hasta llegar al resultado final.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Ecuación ax + b = c · Solución de una ecuación — elige la respuesta

Cálculo del valor de una expresión algebraica

El alumno sustituye números enteros en lugar de letras en una expresión algebraica corta (de hasta tres monomios) y calcula su resultado final.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.2 calcula el valor numérico de una expresión algebraica que es suma de como máximo tres monomios para valores enteros dados de las variables (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno calcula con soltura el valor numérico de una expresión algebraica compuesta por un máximo de tres monomios. En el lugar de las letras presentes, sustituye los números enteros dados —tanto positivos como negativos o cero— y luego realiza correctamente las operaciones aritméticas siguiendo la jerarquía de las operaciones.

Los errores más frecuentes se deben a descuidos al trabajar con números negativos. Los alumnos olvidan los paréntesis al elevar a una potencia un número negativo sustituido en la variable o pierden el signo menos al restar un monomio con valor negativo. También ocurre que no respetan la jerarquía de las operaciones, por ejemplo, sumando números antes de realizar la multiplicación indicada en el monomio.

En las actividades de la ficha «Valor de una expresión algebraica», el alumno recibe una expresión corta y los valores de las variables; por ejemplo: calcula el valor de la expresión 3a - 2b + 4 para a = -2 y b = 5. La tarea consiste en sustituir correctamente los símbolos por los números y completar los cálculos hasta obtener un único resultado numérico.

Crear una hoja de esta habilidad

Resolución de sistemas de dos ecuaciones

El estudiante resuelve problemas verbales describiendo la situación mediante dos ecuaciones con dos incógnitas y reduciéndolas a una ecuación de primer grado.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.2.12 resuelve problemas verbales mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita o dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, que se pueden reducir de forma sencilla a una ecuación de primer grado. (nuestra traducción)

En octavo curso, el alumno resuelve problemas verbales mediante dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. De acuerdo con el currículo escolar, domina los sistemas que pueden reducirse fácilmente a una sola ecuación con una incógnita; por ejemplo, despejando una variable y sustituyéndola en la otra ecuación.

Un error típico aparece en la etapa de sustitución de la expresión despejada. Cuando delante de la variable hay un signo menos o un coeficiente numérico, los alumnos suelen olvidar poner entre paréntesis el binomio que sustituyen, lo que provoca un signo incorrecto en los términos siguientes y falsea todo el resultado.

En la práctica, al utilizar la plantilla Sistema de dos ecuaciones, el alumno se enfrenta a problemas descriptivos (por ejemplo, sobre el precio de billetes reducidos y estándar o la cantidad de monedas de diferentes valores). Su tarea consiste en definir ambas incógnitas, plantear dos ecuaciones relacionadas entre sí y calcular los valores numéricos correctos.

Crear una hoja de esta habilidad

Cálculo de los intereses de un depósito a plazo fijo anual

El alumno calcula la ganancia de un depósito bancario anual y el importe total del capital incrementado con los intereses a un tipo de interés determinado.

Punto del currículo MAT.VII-VIII.1.2 aplica cálculos porcentuales para resolver problemas en un contexto práctico, incluido el financiero, tales como el cálculo de: precios después de un aumento o antes de su aumento o rebaja, intereses de un depósito anual, costes de un crédito, importe de los impuestos – módulo económico-financiero (nuestra traducción)

En 8.º curso, el alumno utiliza cálculos de porcentajes en un contexto financiero práctico. A partir del capital depositado y del tipo de interés anual dado, es capaz de calcular el importe de los intereses generados al cabo de un año, así como determinar el saldo final de los ahorros tras sumar las ganancias a la cantidad ingresada.

Un error habitual es confundir el importe de los intereses con la cantidad total que se retira del banco al terminar el periodo de ahorro. En ocasiones, los alumnos consideran la ganancia calculada como la totalidad de los fondos de la cuenta o intentan sumar el valor porcentual directamente a la cantidad de dinero (por ejemplo, sumando 5 zł en lugar del 5% del capital).

Las actividades de la plantilla Intereses de un depósito presentan situaciones financieras realistas. Un enunciado típico requiere calcular cuántos intereses generará el depósito de una determinada cantidad (por ejemplo, 3000 zł) con un tipo de interés anual (por ejemplo, del 6%) y qué cantidad total recibirá el cliente transcurrido un año de duración del depósito.

Crear una hoja de esta habilidad

Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Aplicación del teorema de Pitágoras

Triángulos rectángulos con ángulos de 30°, 60° y 45°

Cálculo de probabilidad en situaciones sencillas

Cálculo de aumentos y descuentos porcentuales

Multiplicación por un paréntesis y sacar factor común

Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas

Cálculo de potencias de números enteros y fracciones

Cálculo de la longitud de la circunferencia y del área del círculo

Probabilidad en experimentos de dos etapas

Área y volumen de un prisma recto

Multiplicación de dos binomios

Área y volumen de una pirámide regular

Ordenación y reducción de términos semejantes

Cálculo de un número a partir de su porcentaje

Cálculo de qué porcentaje de un número representa otro

Determinación de la mediana de un conjunto de datos

Potencias con exponente negativo

Operaciones con potencias y el exponente faltante

División de una cantidad en una razón dada

Extracción de factores fuera de un radical

Estimación del valor de las raíces

Escritura y comparación de números en notación científica

Resolución de ecuaciones con la incógnita en ambos lados

Comprobar si un número es solución de una ecuación

Resolución de ecuaciones en dos pasos (ax + b = c)

Cálculo del valor de una expresión algebraica

Resolución de sistemas de dos ecuaciones

Cálculo de los intereses de un depósito a plazo fijo anual

Otros tipos de ejercicios

Crear una hoja de este programa