Nederlands
Leerplan (Polen)

Wiskunde — klas 8

Wiskunde in klas 8: stelsels van vergelijkingen, prisma's en piramides, bijzondere rechthoekige driehoeken, kansrekening bij tweetraps experimenten — en herhaling van de hele basisschool vóór het eindexamen van klas 8. Voor elk onderwerp kant-en-klare opgaven om te printen.

Werkblad maken voor dit leerplan

Wat leert een leerling bij wiskunde in klas 8?

In klas 8 lost de leerling stelsels van twee lineaire vergelijkingen op, berekent de inhoud en de oppervlakte van prisma's en piramiden, gebruikt de eigenschappen van driehoeken met hoeken van 45°, 30° en 60° en berekent kansen bij tweetrapsexperimenten. Klas 8 sluit de basisschool af en herhaalt daarom machten, percentages, algebraïsche uitdrukkingen en de stelling van Pythagoras — dit is de stof voor het eindexamen van klas 8.

Belangrijk over het curriculum: het nieuwe curriculum (Dz.U. 2026 poz. 378) geldt voor klas 8 vanaf het schooljaar 2030/2031 — het wordt per leerjaar ingevoerd. Tot die tijd volgt klas 8 het curriculum van 2017; de onderwerpen op deze pagina zijn in beide curricula vergelijkbaar. Het curriculum voor de klassen 7–8 is bloksgewijs — het beschrijft wat de leerling aan het einde van de basisschool kent en kan. De toewijzing van een onderwerp aan een klas is onze eigen keuze op basis van een gangbare planning; in de sectie „Leerplan” ziet u het volledige blok voor klas 7–8 met citaten uit de verordening.

Status van de pagina: gereed zijn machten en wortels, procenten in de praktijk, evenredigheid, rationale getallen met tekens, algebraïsche uitdrukkingen, vergelijkingen en stelsels van vergelijkingen, de stelling van Pythagoras, de cirkel, prisma's en piramiden en kansrekening. Meetkundige constructies en opgaven in het format van het eindexamen van klas 8 worden geleidelijk toegevoegd.

Leerplanbereik

  1. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1

  2. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert berekeningen en redeneringen uit waarin gebruikgemaakt wordt van de procentnotatie, en berekent onder meer:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1

  3. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past procentberekeningen toe bij het oplossen van problemen in een praktische context, waaronder een financiële, zoals het berekenen van: prijzen na een verhoging of vóór de verhoging of verlaging ervan, rente over een eenjarig deposito, kredietkosten, de hoogte van belastingen – economisch-financiële module

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

    Berekenen van procentuele verhogingen en verlagingen (bij ons in groep 7-8) · Rente berekenen over een jaardeposito (bij ons in groep 7-8)

  4. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent machten van rationale getallen met natuurlijke exponenten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

    Berekenen van machten van gehele getallen en breuken (bij ons in groep 7-8)

  5. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    zet machten met een negatieve gehele exponent om in overeenkomstige machten met natuurlijke exponenten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4

    Machten met een negatieve exponent (bij ons in groep 7-8)

  6. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de eigenschappen van bewerkingen met machten met natuurlijke grondtallen en gehele exponenten toe, waaronder:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

    Bewerkingen met machten en ontbrekende exponent (bij ons in groep 7-8)

  7. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    schrijft getallen in de wetenschappelijke notatie en vergelijkt getallen die op deze manier zijn genoteerd

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

    Notatie en vergelijken van getallen in de wetenschappelijke notatie (bij ons in groep 7-8)

  8. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de waarden van vierkantswortels en derdemachtswortels van getallen die respectievelijk kwadraten of derdemachten van rationale getallen zijn, en berekent benaderde waarden van wortels van andere getallen met behulp van een rekenmachine

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

    Berekenen van vierkantswortels en derdemachtswortels (bij ons in groep 7-8)

  9. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    schat de waarde van een eenvoudige rekenkundige uitdrukking die wortels bevat

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8

    De waarde van wortels schatten (bij ons in groep 7-8)

  10. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past eigenschappen van bewerkingen met wortels toe voor vierkantswortels en derdemachtswortels, waaronder:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

    Een factor buiten het wortelteken halen (bij ons in groep 7-8)

  11. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent recht evenredige verbanden, past deze toe om de waarde van de ene grootheid te bepalen op basis van de andere en gebruikt een evenredige verdeling in twee of drie delen in een praktische context

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

    Verdeling van een grootheid in een gegeven verhouding (bij ons in groep 7-8)

  12. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de vermenigvuldigingsregel toe om paren elementen te tellen in situaties die een tweevoudige keuze vereisen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11

  13. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt een rekenmachine en computerapplicaties om berekeningen uit te voeren bij het oplossen van problemen geplaatst in een praktische context.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12

  14. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.1.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    welk percentage het ene getal van het andere getal is

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

    Berekenen welk percentage het ene getal van het andere is (bij ons in groep 7-8)

  15. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.5.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    vermenigvuldigt en deelt machten met gelijke grondtallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

    Bewerkingen met machten en ontbrekende exponent (bij ons in groep 7-8)

  16. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.9.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent wortels van het product en het quotiënt van twee getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

    Een factor buiten het wortelteken halen (bij ons in groep 7-8)

  17. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.1.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    een gegeven percentage van een gegeven getal

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): podany procent danej liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b

  18. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.5.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    vermenigvuldigt en deelt machten met gelijke exponenten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

    Bewerkingen met machten en ontbrekende exponent (bij ons in groep 7-8)

  19. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.9.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    vermenigvuldigt en deelt wortels van dezelfde graad

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

    Een factor buiten het wortelteken halen (bij ons in groep 7-8)

  20. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.1.c · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    het getal op basis van een gegeven percentage ervan

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): liczbę na podstawie danego jej procentu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

    Het bepalen van een getal op basis van het percentage ervan (bij ons in groep 7-8)

  21. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.5.c · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    verheft een macht tot een macht

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): podnosi potęgę do potęgi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

    Bewerkingen met machten en ontbrekende exponent (bij ons in groep 7-8)

  22. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.9.c · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    haalt een getal voor het wortelteken en brengt een getal onder het wortelteken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

    Een factor buiten het wortelteken halen (bij ons in groep 7-8)

  23. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Algebra

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Algebra

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2

  24. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stelt algebraïsche uitdrukkingen op, ook uitdrukkingen met twee variabelen, die verbanden beschrijven tussen grootheden die in de opgave worden weergegeven, en gebruikt deze om opgaven op te lossen, waaronder opgaven in een praktische context

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1

  25. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de getalwaarde van een algebraïsche uitdrukking die de som is van ten hoogste drie eentermen voor gegeven gehele waarden van de variabelen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

    Het berekenen van de waarde van een algebraïsche uitdrukking (bij ons in groep 7-8)

  26. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    ordent eentermen en herleidt gelijksoortige termen in algebraïsche sommen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

    Rangschikken en herleiden van gelijksoortige termen (bij ons in groep 7-8)

  27. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    telt algebraïsche sommen bestaande uit meerdere eentermen met gehele coëfficiënten op en trekt deze af

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

    Rangschikken en herleiden van gelijksoortige termen (bij ons in groep 7-8)

  28. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    vermenigvuldigt een eenterm met een algebraïsche som van ten hoogste drie eentermen met gehele coëfficiënten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

    Haakjes wegwerken en buiten haakjes halen (bij ons in groep 7-8)

  29. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    haalt een eenterm buiten haakjes bij een tweeterm met gehele coëfficiënten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

    Haakjes wegwerken en buiten haakjes halen (bij ons in groep 7-8)

  30. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    vermenigvuldigt twee tweetermen met gehele coëfficiënten met elkaar

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

    Twee tweetermen vermenigvuldigen (bij ons in groep 7-8)

  31. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    vormt eenvoudige formules om om een gegeven grootheid te bepalen, waaronder in meetkundige en natuurkundige formules

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8

  32. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    controleert of een gegeven geheel getal een oplossing is van een vergelijking (van de eerste, tweede of derde graad) met één onbekende

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

    Controleren of een getal een oplossing van een vergelijking is (bij ons in groep 7-8)

  33. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    controleert of een gegeven rationaal getal een oplossing is van een eerstegraadsvergelijking

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

    Controleren of een getal een oplossing van een vergelijking is (bij ons in groep 7-8)

  34. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost eerstegraadsvergelijkingen op, alsook vergelijkingen die op eenvoudige wijze kunnen worden herleid tot een eerstegraadsvergelijking

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

    Vergelijkingen oplossen in twee stappen (ax + b = c) (bij ons in groep 7-8) · Vergelijkingen oplossen met de onbekende aan beide zijden (bij ons in groep 7-8)

  35. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost tekstopgaven op met behulp van eerstegraadsvergelijkingen met één onbekende of twee eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden die op eenvoudige wijze kunnen worden herleid tot één eerstegraadsvergelijking.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12

    Stelsels van twee vergelijkingen oplossen (bij ons in groep 8)

  36. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Figuren

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Figury

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3

  37. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent op een tekening en tekent de middelloodlijn van een lijnstuk en de deellijn (bissectrice) van een hoek, maakt gebruik van hun eigenschappen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1

  38. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent en tekent lijnsymmetrische en puntsymmetrische figuren, wijst hun symmetrieassen en symmetriemiddelpunt aan

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2

  39. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de grootte van een binnenhoek van een regelmatige veelhoek

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3

  40. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent rechthoekige driehoeken in verschillende meetkundige situaties, past de stelling van Pythagoras toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

    Toepassing van de stelling van Pythagoras (bij ons in groep 7-8)

  41. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    maakt gebruik van de eigenschappen van bijzondere rechthoekige driehoeken, dat wil zeggen rechthoekige driehoeken met scherpe hoeken van 30° en 60° en gelijkbenige rechthoekige driehoeken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5

    Rechthoekige driehoeken met hoeken van 30°, 60° en 45° (bij ons in groep 8)

  42. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de congruentiekenmerken van driehoeken toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje cechy przystawania trójkątów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6

  43. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de omtrek van een cirkel en de oppervlakte van een cirkel

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza długość okręgu i pole koła

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

    Berekenen van de omtrek en de oppervlakte van een cirkel (bij ons in groep 7-8)

  44. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    verdeelt veelhoeken in delen of ziet figuren als delen van een andere figuur om oppervlakten te berekenen, te vergelijken of te schatten en andere verbanden te zien

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8

  45. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost problemen op met betrekking tot reële objecten die kunnen worden weergegeven met behulp van een meetkundig model, ook in een situatie die noodzakelijke vereenvoudigingen vereist

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

    Toepassing van de stelling van Pythagoras (bij ons in groep 7-8) · Oppervlakte en inhoud van een recht prisma (bij ons in groep 8) · Berekenen van de omtrek en de oppervlakte van een cirkel (bij ons in groep 7-8)

  46. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    tekent in een assenstelsel veelhoeken met hoekpunten op roosterpunten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10

  47. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de oppervlakte en omtrek van driehoeken en vierhoeken waarvan de hoekpunten op roosterpunten liggen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11

  48. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent rechte en regelmatige prisma's en regelmatige piramides

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12

  49. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.13 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wijst de hoogte van de opstaande zijvlakken en de hoogte van de piramide aan

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13

  50. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.14 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de oppervlakte en inhoud van rechte prisma's en regelmatige piramides.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14

    Oppervlakte en inhoud van een recht prisma (bij ons in groep 8) · Oppervlakte en inhoud van een regelmatige piramide (bij ons in groep 8)

  51. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Gegevens en toevalsgebeurtenissen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Dane i zdarzenia losowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4

  52. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    verzamelt en selecteert gegevens uit verschillende bronnen, ordent ze en beoordeelt hun betrouwbaarheid

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1

  53. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    kiest een manier om gegevens weer te geven die de analyse ervan vergemakkelijkt, gebruikmakend van geschikte computertoepassingen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2

  54. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpreteert het verband tussen twee grootheden beschreven aan de hand van een grafiek, bijvoorbeeld de verandering van een bepaalde grootheid in de tijd, waaronder: afgelegde weg, hoogte van de lonen, kosten van levensonderhoud, inflatie – economisch-financiële module

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3

  55. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past het rekenkundig gemiddelde en de mediaan toe in een praktische context om gegevensverzamelingen te vergelijken, waaronder financiële gegevens – economisch-financiële module

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

    De mediaan van een dataset bepalen (bij ons in groep 7-8)

  56. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpreteert gegevens, waaronder financiële gegevens, kritisch, trekt hieruit conclusies en onderbouwt deze, verwijzend naar de eigenschappen van de gegevensset

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5

  57. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert eenvoudige kansexperimenten uit die bijvoorbeeld bestaan uit het eenmaal of tweemaal werpen met een munt of dobbelsteen en het trekken van een bal uit een verzameling ballen, analyseert kansexperimenten en bepaalt wat de kans is op de beschouwde gebeurtenissen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

    Kansberekening in eenvoudige situaties (bij ons in groep 7-8) · Kansen bij tweetraps experimenten (bij ons in groep 8)

  58. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Wiskundig denken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Myślenie matematyczne

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5

  59. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past algemene methoden voor het oplossen van wiskundige problemen toe, waaronder:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1

  60. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    legt de eigen manier van denken uit bij het oplossen van een wiskundig probleem door:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2

  61. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert wiskundige redeneringen uit en toont daarbij de vaardigheid:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3

  62. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.1.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    noteert verbanden tussen de gegevens die in de opgave voorkomen op een manier die de analyse van het probleem vergemakkelijkt

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a

  63. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    het geven van wiskundige argumenten ter rechtvaardiging van opeenvolgende stappen in de redenering

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a

  64. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.3.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    het onderscheiden van een stelling en haar omgekeerde stelling

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a

  65. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.1.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    analyseert zijn oplossing van het probleem en vereenvoudigt – indien mogelijk – de oplossing

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b

  66. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    het opbouwen van een redenering die uitsluitend een beroep doet op noodzakelijke argumenten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b

  67. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.3.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    het toepassen van ongecompliceerde, eenstaps indirecte redeneringen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b

  68. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.1.c · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stelt aanvullende vragen die voortvloeien uit de verkregen oplossing

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c

  69. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.2.c · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    het formuleren van conclusies die voortvloeien uit een redenering

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c

  70. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.3.c · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    het generaliseren van waargenomen bijzondere gevallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c

  71. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.1.d · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    ziet overeenkomsten tussen de oplossingsmethoden van verschillende wiskundige problemen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d

  72. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.5.3.d · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    beargumenteren, bijv. door het geven van een tegenvoorbeeld, dat een bepaalde eigenschap niet geldt.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d

  73. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.WO.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Gebruik van wiskundige hulpmiddelen – begrijpen en gebruiken van wiskundige begrippen en eigenschappen, ook in een nieuwe situatie, inzien van verbanden tussen eigenschappen alsmede verschillen en overeenkomsten tussen wiskundige objecten.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1

  74. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.WO.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Rekenkundige en algebraïsche berekeningen uitvoeren, streven naar een optimale rekenwijze, een rekenmachine of rekenapplicaties gebruiken wanneer dit gerechtvaardigd is door de complexiteit van de berekening of het doel van de opgave.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2

  75. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.WO.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het trekken van conclusies uit informatie die is weergegeven met behulp van tekst, tabellen, diagrammen, grafieken enz., het gebruiken van wiskundige begrippen, hulpmiddelen en argumenten voor het kritisch interpreteren van gegevens, met inbegrip van het herkennen van ongerechtvaardigde conclusies.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3

  76. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.WO.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het toepassen van passende wiskundige hulpmiddelen voor het beschrijven, analyseren en oplossen van problemen uit verschillende domeinen, waaronder het dagelijks leven.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4

  77. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.WO.5 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het opbouwen van meerstapsstrategieën voor het oplossen van een wiskundig probleem, het herkennen van juiste oplossingen voor het probleem, het analyseren van de oplossing om de juistheid ervan te controleren of de manier van redeneren te vereenvoudigen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5

  78. Leerplanpunt MAT.VII-VIII.WO.6 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het voeren van redeneringen en het onderbouwen van de juistheid ervan, het formuleren van conclusies die voortvloeien uit premissen, het selecteren van argumenten door het geven van voorbeelden en tegenvoorbeelden, het verifiëren van door anderen aangedragen redeneringen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Vaardigheden stap voor stap

Toepassing van de stelling van Pythagoras

De leerling herkent rechthoekige driehoeken, controleert de relaties tussen hun zijden en berekent de ontbrekende rechthoekszijde of schuine zijde met behulp van de stelling van Pythagoras.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.4 herkent rechthoekige driehoeken in verschillende meetkundige situaties, past de stelling van Pythagoras toe (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.9 lost problemen op met betrekking tot reële objecten die kunnen worden weergegeven met behulp van een meetkundig model, ook in een situatie die noodzakelijke vereenvoudigingen vereist (onze vertaling)

In leerjaar 8 gebruikt de leerling het verband tussen de lengten van de zijden van een rechthoekige driehoek om onbekende afmetingen te bepalen. Op basis van twee bekende zijden kan de leerling de derde berekenen en gebruikt hij de omgekeerde stelling om te beoordelen of een driehoek een rechte hoek heeft.

Een veelvoorkomende fout is het mechanisch optellen van de kwadraten van de gegeven getallen zonder te controleren welke zijde tegenover de rechte hoek ligt. Soms tellen leerlingen de kwadraten van de zijden ook op wanneer de opdracht vraagt om het berekenen van een rechthoekszijde (in plaats van het kwadraat van de bekende rechthoekszijde af te trekken van het kwadraat van de schuine zijde), of vergeten ze de wortel te trekken uit de uiteindelijke som of het verschil.

In de praktijk bevatten de oefeningen op de werkbladen drie soorten opdrachten:

  • Bereken de schuine zijde – het kwadrateren van de lengtes van beide rechthoekszijden, deze optellen en de wortel trekken uit de uitkomst,
  • Bereken een rechthoekszijde – het aftrekken van het kwadraat van de bekende rechthoekszijde van het kwadraat van de schuine zijde,
  • Is de driehoek rechthoekig? – controleren of de som van de kwadraten van de twee kortere zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Bereken de schuine zijde · Bereken een rechthoekszijde · Is de driehoek rechthoekig? · Schuine zijde — kies het antwoord

Rechthoekige driehoeken met hoeken van 30°, 60° en 45°

De leerling berekent de lengtes van de zijden in rechthoekige driehoeken met hoeken van 30° en 60° en 45°, gebruikmakend van de verbanden met de diagonaal van een vierkant en de hoogte van een gelijkzijdige driehoek.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.5 maakt gebruik van de eigenschappen van bijzondere rechthoekige driehoeken, dat wil zeggen rechthoekige driehoeken met scherpe hoeken van 30° en 60° en gelijkbenige rechthoekige driehoeken (onze vertaling)

In het achtste leerjaar bepaalt de leerling ontbrekende lengtes van zijden in rechthoekige driehoeken met scherpe hoeken van 30° en 60° en in gelijkbenige rechthoekige driehoeken (met hoeken van 45°). Met slechts één gegeven zijde kan de leerling de overige twee berekenen met behulp van vaste meetkundige verhoudingen en de resultaten noteren met wortels.

De meest voorkomende fout is het verwisselen van de zijden in een driehoek met hoeken van 30° en 60° — leerlingen plaatsen de langere rechthoekszijde niet zelden tegenover de kleinere hoek. Ook komt het voor dat factoren worden verwisseld: het gebruik van de wortel van 2 in plaats van wortel 3 of omgekeerd, wat het gevolg is van het door elkaar halen van de eigenschappen van een half vierkant en een halve gelijkzijdige driehoek.

In de praktijk bestaan de opgaven uit het direct toepassen van deze regels in typische meetkundige situaties:

  • Driehoek met hoeken van 30° en 60° — het berekenen van de lengte van de rechthoekszijden of de schuine zijde (hypotenusa) op basis van één bekende zijde;
  • Hoogte van een gelijkzijdige driehoek — het bepalen van de hoogte vanuit een bekende zijde of het berekenen van de zijde wanneer de hoogte gegeven is;
  • Diagonaal van een vierkant — het koppelen van de zijde van een vierkant aan zijn diagonaal als de schuine zijde van een driehoek met hoeken van 45°.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Diagonaal van een vierkant · Driehoek met hoeken van 30° en 60° · Hoogte van een gelijkzijdige driehoek

Kansberekening in eenvoudige situaties

De leerling analyseert eenvoudige toevalssituaties en berekent de kans op een gebeurtenis door het aantal gunstige uitkomsten te vergelijken met het aantal van alle mogelijke uitkomsten.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.6 voert eenvoudige kansexperimenten uit die bijvoorbeeld bestaan uit het eenmaal of tweemaal werpen met een munt of dobbelsteen en het trekken van een bal uit een verzameling ballen, analyseert kansexperimenten en bepaalt wat de kans is op de beschouwde gebeurtenissen. (onze vertaling)

In leerjaar 8 bepaalt de leerling het aantal mogelijke uitkomsten bij een enkel toevalsexperiment en wijst de uitkomsten aan die aan een gegeven voorwaarde voldoen. Op basis daarvan noteert de leerling de kans op een gebeurtenis als een breuk, waarbij situaties met even waarschijnlijke uitkomsten worden onderzocht.

Een veelvoorkomende fout is het plaatsen van het aantal overige uitkomsten in de noemer in plaats van alle mogelijke uitkomsten. Bijvoorbeeld: met 3 witte en 5 zwarte ballen in een doos bepaalt een leerling de kans op het trekken van een witte bal als 3/5 in plaats van 3/8. Ook komt het voor dat getallen die aan de gestelde criteria voldoen verkeerd worden geteld, bijvoorbeeld door over het hoofd te zien dat het getal 1 geen priemgetal is.

In de praktijk nemen de opdrachten de vorm aan van eenvoudige experimenten:

  • Gooien met een dobbelsteen — het bepalen van de kans op een specifieke uitkomst, zoals een aantal ogen groter dan 4 of deelbaar door 2.
  • Een bal trekken uit een doos — het berekenen van de kans op het trekken van een bal van een bepaalde kleur bij een bekende samenstelling van de inhoud van de doos.
  • Een briefje met een getal trekken — het aanwijzen van de kans op het trekken van een getal dat aan een bepaalde voorwaarde voldoet uit een klaargelegde stapel kaartjes.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Een bal uit een doos trekken · Gooien met een dobbelsteen · Een genummerd kaartje trekken

Berekenen van procentuele verhogingen en verlagingen

De leerling berekent de nieuwe waarde of prijs na verhoging of verlaging van het oorspronkelijke bedrag met een gegeven percentage.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.2 past procentberekeningen toe bij het oplossen van problemen in een praktische context, waaronder een financiële, zoals het berekenen van: prijzen na een verhoging of vóór de verhoging of verlaging ervan, rente over een eenjarig deposito, kredietkosten, de hoogte van belastingen – economisch-financiële module (onze vertaling)

In de achtste klas bepaalt de leerling vlot het nieuwe bedrag na een verandering met een bepaald percentage. In praktische financiële situaties betekent dit dat men in staat is om de omvang van de verhoging of verlaging zelf te berekenen en deze te koppelen aan de beginprijs – door het berekende deel bij het beginbedrag op te tellen of ervan af te trekken.

De meest voorkomende fout is om het percentage als een gewoon getal te behandelen en het rechtstreeks van de prijs af te trekken (bijvoorbeeld het getal 20 aftrekken in plaats van 20% van het gegeven bedrag). Leerlingen hebben soms ook moeite om correct te bepalen van welke beginwaarde het percentage moet worden berekend.

In de praktijk zijn de oefeningen gebaseerd op opgaven uit de sjablonen Verhoog met een percentage en Verlaag met een percentage. De leerling krijgt te maken met een specifiek bedrag en informatie over de procentuele verandering en berekent het uiteindelijke resultaat – bijvoorbeeld de prijs van schoenen na een korting van 15% of een nieuw tarief na een verhoging van 10%.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Procentuele stijging — kies het antwoord · Verhoog met een percentage · Verlaag met een percentage

Haakjes wegwerken en buiten haakjes halen

De leerling vermenigvuldigt een eenterm met een som van maximaal drie termen met gehele coëfficiënten en haalt een gemeenschappelijke eenterm buiten haakjes bij een som bestaande uit twee termen.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.5 vermenigvuldigt een eenterm met een algebraïsche som van ten hoogste drie eentermen met gehele coëfficiënten (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.6 haalt een eenterm buiten haakjes bij een tweeterm met gehele coëfficiënten (onze vertaling)

In klas 8 oefent de leerling het herleiden van algebraïsche uitdrukkingen met gehele coëfficiënten. De leerling voert twee aan elkaar gerelateerde bewerkingen uit: het vermenigvuldigen van een eenterm met een algebraïsche som van maximaal drie termen, en de omgekeerde bewerking, namelijk het buiten haakjes halen van een eenterm bij een som van precies twee eentermen.

De meest voorkomende fout is het verliezen van tekens bij het vermenigvuldigen met een negatieve eenterm en het overslaan van de overige termen van de som — de leerling vermenigvuldigt alleen de eerste term binnen de haakjes en neemt de rest gedachteloos over. Bij het buiten haakjes halen van een factor levert de situatie waarin een van de termen van de som identiek is aan de eenterm die buiten haakjes wordt gehaald problemen op; leerlingen vergeten dan vaak het getal 1 tussen de haakjes te noteren.

Oefeningen uit het sjabloon Een eenterm vermenigvuldigen met een som vereisen dat het gegeven product wordt geschreven als een vereenvoudigde algebraïsche som. Opgaven uit het sjabloon Buiten haakjes halen van een factor bestaan uit het vinden van de gemeenschappelijke numerieke deler en de gemeenschappelijke variabelen voor twee termen en het schrijven van de uitdrukking als een product.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Haakjes wegwerken · Buiten haakjes brengen

Berekenen van vierkantswortels en derdemachtswortels

De leerling berekent exacte waarden van vierkantswortels en derdemachtswortels van getallen die kwadraten of derdemachten van rationale getallen zijn.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.7 berekent de waarden van vierkantswortels en derdemachtswortels van getallen die respectievelijk kwadraten of derdemachten van rationale getallen zijn, en berekent benaderde waarden van wortels van andere getallen met behulp van een rekenmachine (onze vertaling)

In klas 8 kan de leerling vlot de exacte waarden bepalen van vierkantswortels en derdemachtswortels van getallen die respectievelijk kwadraten of derdemachten van rationale getallen zijn. De leerling begrijpt worteltrekken als de omgekeerde bewerking van machtsverheffen — hij weet welk getal gezocht moet worden dat, verheven tot de tweede of derde macht, de waarde onder het wortelteken oplevert.

Een veelvoorkomende fout in deze fase is het verwarren van worteltrekken met delen. Leerlingen geven niet zelden als antwoord 8 in plaats van 4 voor de vierkantswortel van 16 (door te delen door 2) of 9 in plaats van 3 voor de derdemachtswortel van 27 (door te delen door 3). Het komt ook voor dat de wortelorde over het hoofd wordt gezien, vooral wanneer opgaven afwisselend vierkantswortels en derdemachtswortels bevatten.

Het oefenmateriaal voor deze vaardigheid omvat de sjablonen Bereken de vierkantswortel en Bereken de derdemachtswortel. De opgaven bestaan uit het direct berekenen van de wortel in de vorm van een geheel getal of een breuk, wat tevens een goede basis vormt voor de herhaling voor het eindexamen van klas 8.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Bereken de derdemachtswortel · Bereken de vierkantswortel

Berekenen van machten van gehele getallen en breuken

De leerling berekent machten van gehele getallen en breuken met natuurlijke exponenten, ter voorbereiding op de herhaling voor het examen van het achtste leerjaar.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.3 berekent machten van rationale getallen met natuurlijke exponenten (onze vertaling)

In de achtste klas berekent de leerling vlot de waarden van machten waarvan het grondtal een geheel getal (positief of negatief) of een gewone of decimale breuk is, en de exponent een natuurlijk getal. De leerling begrijpt dat deze notatie het herhaald vermenigvuldigen van hetzelfde rationale getal met zichzelf betekent.

De meest voorkomende fout is het verwarren van machtsverheffen met het vermenigvuldigen van het grondtal met de exponent (bijvoorbeeld 3 tot de macht 3 berekenen als 9 in plaats van 27). Bij breuken is het probleem soms dat alleen de teller tot de macht wordt verheven en de noemer wordt overgeslagen, en bij negatieve getallen het onjuist bepalen van het teken van de uitkomst, vooral bij het onderscheid tussen even en oneven exponenten.

In de praktijk krijgt de leerling te maken met opgaven uit de sjablonen Bereken de macht van een geheel getal en Bereken de macht van een breuk. Deze bestaan uit het direct berekenen van de uitkomst van bewerkingen, zoals het kwadrateren of tot de derde macht verheffen van een negatief getal, evenals het bepalen van de macht van een gewone breuk tussen haakjes.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Bereken de macht van een breuk · Bereken de macht van een geheel getal · Waarde van een macht — kies het antwoord

Berekenen van de omtrek en de oppervlakte van een cirkel

De leerling berekent de omtrek en de oppervlakte van een cirkel op basis van de gegeven straal of diameter met behulp van het getal pi.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.7 berekent de omtrek van een cirkel en de oppervlakte van een cirkel (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.9 lost problemen op met betrekking tot reële objecten die kunnen worden weergegeven met behulp van een meetkundig model, ook in een situatie die noodzakelijke vereenvoudigingen vereist (onze vertaling)

In klas 8 berekent de leerling de omtrek en de oppervlakte van een cirkel. De leerling past formules toe die deze grootheden koppelen aan de straal of diameter van de figuur, waarbij de uitkomsten exact worden genoteerd met behulp van het getal π of benaderende berekeningen worden gemaakt.

Een typisch probleem is het verwarren van de formule voor de omtrek met de formule voor de oppervlakte — leerlingen kwadrateren de straal vaak bij het bepalen van de omtrek van de cirkel of vermenigvuldigen de straal met twee in plaats van deze te kwadrateren bij het berekenen van de oppervlakte. Een veelvoorkomende fout is ook het invullen van de in de opgave gegeven diameter in de formules zonder deze eerst door twee te delen, wat met name de uitkomst voor de oppervlakte van de cirkel sterk beïnvloedt.

De opgaven uit het lesmateriaal Omtrek van een cirkel en Oppervlakte van een cirkel omvatten zowel het eenvoudig bepalen van de omtrek en de oppervlakte op basis van een gegeven straal of diameter, als omgekeerde bewerkingen — het berekenen van de afmetingen van een cirkel wanneer de oppervlakte of de omtrek bekend is.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Omtrek van een cirkel · Oppervlakte van een cirkel

Kansen bij tweetraps experimenten

De leerling berekent de kans op gebeurtenissen bij tweetrapsexperimenten, zoals tweemaal werpen met een dobbelsteen of het trekken van ballen met teruglegging.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.6 voert eenvoudige kansexperimenten uit die bijvoorbeeld bestaan uit het eenmaal of tweemaal werpen met een munt of dobbelsteen en het trekken van een bal uit een verzameling ballen, analyseert kansexperimenten en bepaalt wat de kans is op de beschouwde gebeurtenissen. (onze vertaling)

In klas 8 analyseert de leerling het verloop van toevalsexperimenten die uit twee stappen bestaan. De leerling kan het aantal van alle mogelijke uitkomsten en het aantal gunstige uitkomsten voor een bepaalde gebeurtenis bepalen door getallenparen op te schrijven of deze in een tabel te ordenen. Op basis hiervan berekent de leerling de kans op de gezochte uitkomst.

Een veelvoorkomend probleem is dat verschillende volgordes als dezelfde uitkomst worden gezien of dat een deel van de mogelijkheden wordt overgeslagen. Bij het gooien van twee dobbelstenen beschouwen leerlingen bijvoorbeeld het paar (2, 5) en (5, 2) vaak als een en dezelfde gebeurtenis, waardoor ze het aantal gunstige uitkomsten verkeerd bepalen en het totale aantal mogelijke combinaties te laag inschatten (door te denken dat er 21 zijn in plaats van 36).

In de praktijk krijgt de leerling te maken met twee soorten opgaven:

  • De som van het aantal ogen op twee dobbelstenen – bestaat uit het berekenen van de kans op een bepaalde som (bijvoorbeeld gelijk aan 7 of groter dan 9) bij het werpen van twee zeszijdige dobbelstenen;
  • Twee trekkingen met teruglegging – vereist het bepalen van de kans op het trekken van knikkers met bepaalde eigenschappen, waarbij de getrokken knikker vóór de tweede trekking weer wordt teruggelegd.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Som van twee dobbelstenen · Twee keer trekken met teruglegging

Oppervlakte en inhoud van een recht prisma

De leerling uit het achtste leerjaar berekent de totale oppervlakte en het volume van rechte prisma's, met inbegrip van lichamen met een driehoekig grondvlak.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.14 berekent de oppervlakte en inhoud van rechte prisma's en regelmatige piramides. (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.9 lost problemen op met betrekking tot reële objecten die kunnen worden weergegeven met behulp van een meetkundig model, ook in een situatie die noodzakelijke vereenvoudigingen vereist (onze vertaling)

In klas 8 berekent de leerling de oppervlakte en de inhoud van een recht prisma, waarbij de nadruk in dit deel van de stof ligt op ruimtelijke figuren met een driehoekig grondvlak. De leerling bepaalt zelfstandig de oppervlakte van het driehoekige grondvlak, telt de oppervlakten van de rechthoekige zijvlakken bij elkaar op en vermenigvuldigt de oppervlakte van het grondvlak met de hoogte van het gehele lichaam om de inhoud te berekenen.

Het meest voorkomende struikelblok is het verwarren van de hoogte van de driehoek in het grondvlak met de hoogte van het prisma zelf. Leerlingen hebben ook de neiging te vergeten rekening te houden met de twee grondvlakken bij het berekenen van de totale oppervlakte en tellen de oppervlakte van de driehoek slechts één keer mee.

In de praktijk bestaan de opgaven uit de sjablonen Oppervlakte van een driehoekig prisma en Inhoud van een driehoekig prisma uit het aflezen van de afmetingen van een tekening van de figuur of uit een tekstuele beschrijving, het berekenen van de oppervlakte van het driehoekige grondvlak en vervolgens het correct bepalen van de oppervlakte van de zijvlakken of de inhoud van het gehele figuur.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Inhoud van een driehoekig prisma · Oppervlakte van een driehoekig prisma

Twee tweetermen vermenigvuldigen

De leerling leert twee tweetermen met gehele coëfficiënten met elkaar te vermenigvuldigen, de verkregen uitdrukking te ordenen en gelijksoortige termen samen te nemen.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.7 vermenigvuldigt twee tweetermen met gehele coëfficiënten met elkaar (onze vertaling)

In klas 8 vermenigvuldigt de leerling twee tweetermen met elkaar waarin uitsluitend gehele coëfficiënten voorkomen. De opdracht bestaat uit het correct vermenigvuldigen van elke term uit de eerste haakjes met elke term uit de tweede haakjes en het uiteindelijk herleiden van gelijksoortige termen.

De meest gemaakte fout is het negeren van de tekenregels bij negatieve getallen — vooral wanneer er binnen de haakjes een aftrekking staat en de leerling vergeet dat het minteken bij de betreffende term hoort. Het komt ook voor dat alleen de eerste term met de eerste en de tweede met de tweede wordt vermenigvuldigd, waardoor de middelste termen verloren gaan.

In de praktijk zijn de oefeningen gebaseerd op werkbladen uit de sjablonen Tweetermen vermenigvuldigen (x + a)(x + b), waarbij de variabele de coëfficiënt 1 heeft, en Tweetermen vermenigvuldigen, waarbij gehele coëfficiënten ook direct voor de onbekenden kunnen staan.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: (x + a)(x + b) uitwerken · Twee tweetermen vermenigvuldigen

Oppervlakte en inhoud van een regelmatige piramide

De leerling van het achtste leerjaar berekent de totale oppervlakte en de inhoud van regelmatige piramiden aan de hand van de eigenschappen van hun grondvlakken en opstaande zijvlakken.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.3.14 berekent de oppervlakte en inhoud van rechte prisma's en regelmatige piramides. (onze vertaling)

In klas 8 berekent de leerling de totale oppervlakte en de inhoud van regelmatige piramides. De leerling herkent de onderdelen van het ruimtelichaam — de oppervlakte van het grondvlak, de oppervlakte van de zijvlakken en de hoogte van het gehele ruimtelichaam — en combineert deze in de juiste meetkundige formules.

De meest voorkomende moeilijkheid is het verwarren van de hoogte van de piramide met de hoogte van een zijvlak. Leerlingen vergeten ook vaak de breuk een derde in de formule voor de inhoud, waardoor ze deze berekenen zoals bij een prisma, of ze vergeten de oppervlakte van het grondvlak bij het bepalen van de totale oppervlakte.

In de praktijk zijn de oefeningen gebaseerd op de sjablonen Oppervlakte van een piramide en Inhoud van een piramide. De opgaven vereisen het bepalen van de oppervlaktes van de afzonderlijke driehoekige zijvlakken en het veelhoekige grondvlak, of het direct invullen van de gegeven afmetingen in de formule voor de inhoud van het ruimtelichaam.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Inhoud van een piramide · Oppervlakte van een piramide

Rangschikken en herleiden van gelijksoortige termen

De leerling ordent eentermen en telt gelijksoortige termen met gehele coëfficiënten op en trekt deze af, waarbij uitdrukkingen met één of twee variabelen worden vereenvoudigd.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.3 ordent eentermen en herleidt gelijksoortige termen in algebraïsche sommen (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.4 telt algebraïsche sommen bestaande uit meerdere eentermen met gehele coëfficiënten op en trekt deze af (onze vertaling)

In klas 8 ordent de leerling vlot algebraïsche sommen en neemt gelijksoortige termen samen. De leerling telt eentermen met gehele coëfficiënten bij elkaar op en trekt deze af, waardoor de uitdrukking tot de eenvoudigste vorm wordt herleid. Deze bewerkingen worden uitgevoerd op uitdrukkingen met één variabele of twee verschillende variabelen.

De meest voorkomende moeilijkheid is het kwijtraken van het minteken dat direct voor de te herleiden term staat bij het veranderen van de volgorde van de termen. Ook komt het voor dat termen die niet gelijksoortig zijn verkeerd worden samengenomen — bijvoorbeeld een poging om eentermen met verschillende letters bij elkaar op te tellen (zoals 3x en 2y) of het optellen van een los getal bij de coëfficiënt van een variabele.

In de praktijk zijn de oefeningen gebaseerd op de sjablonen Gelijksoortige termen herleiden en Gelijksoortige termen met twee variabelen herleiden. De opgave bestaat uit het aanwijzen van de termen met dezelfde variabelen in de gegeven uitdrukking, het optellen van hun numerieke coëfficiënten en het noteren van het resultaat in een geordende vorm.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Gelijksoortige termen met twee variabelen · Gelijksoortige termen samennemen

Het bepalen van een getal op basis van het percentage ervan

Een leerling uit de achtste klas kan vlot de gehele gezochte grootheid berekenen wanneer de waarde bekend is die overeenkomt met een bepaald percentage daarvan.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.1.c het getal op basis van een gegeven percentage ervan (onze vertaling)

In klas 8 kan een leerling het geheel (oftewel 100%) bepalen wanneer alleen een deel ervan en het bijbehorende percentage bekend zijn. Om het gezochte getal te vinden, zet de leerling het percentage om in een gewone breuk of een decimaal getal en voert een deling uit, stelt een eenvoudige verhouding op of berekent eerst de waarde van 1% van de gegeven grootheid.

De meest voorkomende fout in deze fase is het verwarren van dit type opgaven met het berekenen van een percentage van een getal. In plaats van de gegeven waarde door de breuk te delen, vermenigvuldigen leerlingen automatisch beide getallen met elkaar. Als gevolg daarvan krijgen ze in plaats van het grotere, oorspronkelijke geheel een uitkomst die aanzienlijk kleiner is dan het gegeven deel, zonder de onlogica van dat resultaat op te merken.

Opgaven uit het sjabloon Het getal bij een gegeven percentage vereisen het vinden van de onbekende in situaties zoals: „Vind het getal waarvan 15% gelijk is aan 45” of in eenvoudige verhaaltjessommen, waarin bijvoorbeeld de oorspronkelijke prijs van een product na een prijsverhoging moet worden bepaald of de totale lengte van een route op basis van een reeds afgelegde etappe.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Berekenen welk percentage het ene getal van het andere is

De leerling berekent welk deel van het geheel een bepaalde waarde vormt en noteert dit resultaat als een percentage.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.1.a welk percentage het ene getal van het andere getal is (onze vertaling)

In klas 8 kan een leerling twee getallen met elkaar vergelijken en bepalen welk percentage het ene getal van het andere is. De leerling noteert de verhouding tussen deze waarden als een gewone of decimale breuk en zet deze vervolgens om in een percentage door te vermenigvuldigen met 100%.

De meest gemaakte fout is het verwisselen van de basiswaarde (het geheel, dat in de noemer moet staan) met het vergeleken getal. Leerlingen delen uit gewoonte het grotere getal door het kleinere, in plaats van in de opgave te controleren naar welke waarde de vraag verwijst.

In opgaven uit het sjabloon Welk percentage is het getal? komt de leerling opdrachten tegen die deze vaardigheid direct toetsen (bijvoorbeeld welk percentage van het getal 50 het getal 15 is) en in een eenvoudige praktische context, zoals het berekenen van het percentage aanwezige leerlingen of het afgelegde deel van een route.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

De mediaan van een dataset bepalen

De leerling ordent de gegeven reeks getallen en bepaalt de mediaan ervan, oftewel de middelste waarde of het gemiddelde van de twee middelste getallen.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.4.4 past het rekenkundig gemiddelde en de mediaan toe in een praktische context om gegevensverzamelingen te vergelijken, waaronder financiële gegevens – economisch-financiële module (onze vertaling)

In klas 8 bepaalt de leerling vlot de mediaan van een gegeven set numerieke gegevens. De eerste stap is altijd het rangschikken van alle waarden in oplopende volgorde. Als de set een oneven aantal elementen bevat, wijst de leerling de waarde aan die precies in het midden staat. Wanneer er een even aantal gegevens is, berekent de leerling het rekenkundig gemiddelde van de twee middelste getallen.

De meest voorkomende fout is het aanwijzen van het middelste getal direct vanuit de opgave, zonder de getallen eerst van klein naar groot te sorteren. Leerlingen halen ook de regel voor het bepalen van de mediaan bij een even aantal gegevens door elkaar en kiezen willekeurig een van de twee middelste waarden in plaats van het gemiddelde daarvan te berekenen.

Opgaven uit het sjabloon Geef de mediaan hebben de vorm van een eenvoudige lijst met getallen (bijvoorbeeld meetresultaten, cijfers of bedragen), waarvoor de leerling correct de middelste waarde moet bepalen en invoeren.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Machten met een negatieve exponent

Een leerling uit de achtste klas leert machten met negatieve gehele exponenten om te zetten in overeenkomstige machten met natuurlijke exponenten.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.4 zet machten met een negatieve gehele exponent om in overeenkomstige machten met natuurlijke exponenten (onze vertaling)

In de achtste klas leert de leerling de rekenregel voor machten met een negatieve exponent. Volgens het curriculum zet de leerling machten met een negatieve gehele exponent om in overeenkomstige machten met een natuurlijke exponent. Dit houdt in dat het omgekeerde wordt gebruikt: de leerling vervangt het grondtal van de macht door het omgekeerde getal en zet de negatieve exponent om in het bijbehorende natuurlijke getal.

Een veelvoorkomende fout is het verwarren van de negatieve exponent met het teken van de gehele macht. Leerlingen plaatsen vaak een minteken voor het getal of vermenigvuldigen het grondtal met de exponent (door bijvoorbeeld te denken dat 3 tot de macht -2 gelijk is aan -6 of -9). Dit komt voort uit de gewoonte om een minteken te associëren met aftrekken of negatieve getallen, in plaats van met het nemen van het omgekeerde van een getal.

In de opgaven van het sjabloon Macht met een negatieve exponent komt de leerling opdrachten tegen waarin machten van gehele getallen en breuken direct moeten worden omgevormd (bijvoorbeeld het schrijven van de uitdrukking als een macht met een positieve exponent en het geven van het uiteindelijke resultaat als een gewone breuk of een decimaal getal).

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Bewerkingen met machten en ontbrekende exponent

De leerling past de regels voor het vermenigvuldigen en delen van machten met natuurlijke grondtallen en gehele exponenten toe om de ontbrekende exponent in een vergelijking te bepalen.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.5 past de eigenschappen van bewerkingen met machten met natuurlijke grondtallen en gehele exponenten toe, waaronder: (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.5.a vermenigvuldigt en deelt machten met gelijke grondtallen (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.5.b vermenigvuldigt en deelt machten met gelijke exponenten (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.5.c verheft een macht tot een macht (onze vertaling)

In klas 8 past de leerling vlot de rekenregels voor machten toe met natuurlijke grondtallen en gehele exponenten (inclusief negatieve exponenten en nul). De leerling gebruikt de regels voor het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van exponenten bij het vermenigvuldigen en delen van machten met gelijke grondtallen, evenals bij het machtsverheffen van een macht.

De meest voorkomende fout is het mechanisch verwarren van bewerkingen — het vermenigvuldigen van exponenten in plaats van ze op te tellen bij een product van machten met gelijke grondtallen. Negatieve exponenten vormen een extra moeilijkheid: bij het delen van machten vergeten leerlingen vaak de regel voor het aftrekken van een negatief getal, wat leidt tot een verkeerd teken in het resultaat.

In de opgaven van het sjabloon Ontbrekende exponent — bewerkingen met machten analyseert de leerling een vergelijking waarin op de plaats van een van de exponenten een leeg vakje staat. Het doel is om de uitdrukking te herleiden en het juiste gehele getal in te vullen dat aan de gegeven gelijkheid voldoet.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Verdeling van een grootheid in een gegeven verhouding

De leerling verdeelt een gegeven grootheid in twee of drie delen in een bepaalde verhouding en past deze vaardigheid toe in praktische tekstopgaven.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.10 herkent recht evenredige verbanden, past deze toe om de waarde van de ene grootheid te bepalen op basis van de andere en gebruikt een evenredige verdeling in twee of drie delen in een praktische context (onze vertaling)

In klas 8 lost de leerling opgaven op waarin een bepaalde grootheid — zoals een geldbedrag, lengte of massa — moet worden verdeeld in twee of drie delen volgens een gegeven verhouding. De leerling bepaalt de waarde van één deel van de verdeling en berekent vervolgens de grootheden voor de afzonderlijke delen.

Een veelvoorkomende fout is om de getallen uit de verhouding te beschouwen als breuken van de totale grootheid, in plaats van als de samenstellende delen ervan. Leerlingen delen het oorspronkelijke getal niet zelden direct door de afzonderlijke getallen van de verhouding, in plaats van eerst de som van alle delen te berekenen en de oorspronkelijke grootheid daardoor te delen.

In opgaven van het type Verdelen in een gegeven verhouding komt de leerling problemen tegen in een praktische context, zoals de verdeling van winst in een verhouding van 2 : 3 of het bereiden van specie met een verhouding van ingrediënten van 1 : 2 : 4. De opgave vereist het opstellen van een passende vergelijking of het optellen van de delen en het bepalen van de concrete grootheden voor elk element van de verdeling.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Een factor buiten het wortelteken halen

De leerling leert vierkantswortels en derdemachtswortels te vereenvoudigen door het getal onder het wortelteken te ontbinden en de juiste factor buiten het wortelteken te brengen.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.9 past eigenschappen van bewerkingen met wortels toe voor vierkantswortels en derdemachtswortels, waaronder: (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.9.a berekent wortels van het product en het quotiënt van twee getallen (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.9.b vermenigvuldigt en deelt wortels van dezelfde graad (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.9.c haalt een getal voor het wortelteken en brengt een getal onder het wortelteken (onze vertaling)

In klas 8 leert de leerling vierkantswortels en derdemachtswortels vereenvoudigen. Hierbij gebruikt de leerling de eigenschappen van bewerkingen om het getal onder het wortelteken als een product te schrijven en een factor waarvan de wortel kan worden getrokken voor het wortelteken te halen.

Een veelvoorkomende fout is om te stoppen bij een onvolledige vereenvoudiging — bijvoorbeeld door de vierkantswortel van 72 om te schrijven naar een vorm met het getal 18 onder het wortelteken in plaats van deze naar de eenvoudigste vorm te herleiden. Een frequent probleem bij derdemachtswortels is bovendien het mechanisch zoeken naar kwadraten van getallen in plaats van naar hun derdemachten.

Opgaven waarmee deze vaardigheid wordt geoefend, hebben vaak de instructie Haal een factor voor het wortelteken. De leerling krijgt een enkele uitdrukking met een wortel van de tweede of derde graad en herschrijft deze naar een product van een geheel getal en een wortel met een kleiner getal onder het wortelteken.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

De waarde van wortels schatten

De leerling leert de benaderde waarde van een wortel te bepalen door de aangrenzende gehele getallen aan te geven waartussen het gegeven getal ligt.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.8 schat de waarde van een eenvoudige rekenkundige uitdrukking die wortels bevat (onze vertaling)

In klas 8 kan een leerling de waarde van een wortel en van een eenvoudige rekenkundige uitdrukking met wortels schatten zonder rekenmachine. Hiervoor gebruikt de leerling de kennis van kwadraten en derdemachten van natuurlijke getallen om te bepalen tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen de gezochte waarde ligt.

Een veelvoorkomende fout in deze fase is het verwarren van worteltrekken met delen – bijvoorbeeld aannemen dat de wortel van 10 gelijk is aan 5, in plaats van op te merken dat deze tussen 3 en 4 ligt (aangezien 3² = 9 en 4² = 16). Leerlingen proberen soms ook decimalen te raden, in plaats van uit te gaan van de dichtstbijzijnde bekende machten.

In de praktijk vult de leerling bij opgaven uit de reeks Schat de wortel de ontbrekende gehele getallen in die de wortel in een ongelijkheid begrenzen, of beoordeelt welk geheel getal het dichtst bij de gegeven waarde ligt.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Notatie en vergelijken van getallen in de wetenschappelijke notatie

De leerling noteert getallen in wetenschappelijke notatie en vergelijkt grootheden die in deze vorm zijn weergegeven.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.6 schrijft getallen in de wetenschappelijke notatie en vergelijkt getallen die op deze manier zijn genoteerd (onze vertaling)

In klas 8 zet de leerling getallen vlot om van de decimale notatie naar de wetenschappelijke notatie en omgekeerd. De leerling schrijft getallen als een product waarin de eerste factor tussen 1 en 10 ligt (exclusief 10) en de tweede factor een macht van 10 is. Op basis van de exponent en de waarde van de eerste factor kan de leerling ook snel twee getallen met elkaar vergelijken.

Een veelvoorkomende fout is het laten staan van de eerste factor in de verkeerde vorm — bijvoorbeeld de notatie 45 · 10³ in plaats van het juiste 4,5 · 10⁴. Leerlingen hebben ook de neiging om mechanisch het aantal nullen in een getal te tellen in plaats van te controleren hoeveel plaatsen de komma werkelijk is opgeschoven.

De opgaven in de set Wetenschappelijke notatie bestaan uit het omzetten van gegeven getallen naar de wetenschappelijke notatie, het aflezen van waarden geschreven met machten van tien en het rangschikken van een reeks getallen van klein naar groot.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Vergelijkingen oplossen met de onbekende aan beide zijden

De leerling ordent en lost eerstegraadsvergelijkingen op waarin de letter die de onbekende voorstelt zowel aan de linker- als aan de rechterkant van het gelijkheidsteken voorkomt.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.11 lost eerstegraadsvergelijkingen op, alsook vergelijkingen die op eenvoudige wijze kunnen worden herleid tot een eerstegraadsvergelijking (onze vertaling)

In leerjaar 8 lost de leerling eerstegraadsvergelijkingen op met één onbekende die aan beide kanten van het gelijkheidsteken staat. De leerling brengt de notatie terug naar een eenvoudigere vorm: groepeert termen met de onbekende aan de ene kant (meestal links) en constante getallen aan de andere kant, herleidt vervolgens de gelijksoortige termen en bepaalt de gezochte waarde.

Een typische moeilijkheid in deze fase is het veranderen van tekens bij het verplaatsen van getallen of algebraïsche uitdrukkingen naar de andere kant van de vergelijking. Leerlingen nemen vaak mechanisch het plus- of minteken over in plaats van dit te veranderen in het tegengestelde teken. Fouten ontstaan ook in de laatste stap, wanneer beide kanten moeten worden gedeeld door een negatief getal dat bij de onbekende staat.

In de praktijk heeft de opgave binnen het sjabloon Vergelijking met een onbekende aan beide kanten de vorm van een kant-en-klare lineaire vergelijking (bijv. 5x - 3 = 2x + 9). De leerling schrijft de opeenvolgende stappen van de herleidingen uit en voert aan beide zijden bewerkingen uit tot het uiteindelijke resultaat is bereikt.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Controleren of een getal een oplossing van een vergelijking is

De leerling kan controleren of een gegeven geheel of rationaal getal voldoet aan een vergelijking met één onbekende, door het in te vullen op de plaats van de letter en de waarden van beide zijden te berekenen.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.10 controleert of een gegeven rationaal getal een oplossing is van een eerstegraadsvergelijking (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.9 controleert of een gegeven geheel getal een oplossing is van een vergelijking (van de eerste, tweede of derde graad) met één onbekende (onze vertaling)

In klas 8 kan de leerling beoordelen of een gegeven getal voldoet aan een vergelijking met één onbekende. Bij eerstegraadsvergelijkingen controleert de leerling willekeurige rationale getallen, waaronder gewone breuken en decimale getallen. Voor tweede- en derdegraadsvergelijkingen onderzoekt de leerling gehele getallen. Deze vaardigheid bestaat uit het invullen van de aangegeven waarde op de plaats van de onbekende en het afzonderlijk berekenen van de waarde van het linker- en rechterlid van de vergelijking om te controleren of deze aan elkaar gelijk zijn.

De meest voorkomende fouten ontstaan bij berekeningen met negatieve getallen en machtsverheffen. Leerlingen verwarren de notatie (-2)² met -2² of verliezen mintekens bij het vermenigvuldigen. Een veelvoorkomende moeilijkheid is ook de onnodige poging om de hele vergelijking algebraïsch te herleiden en op te lossen (vooral van de tweede of derde graad), in plaats van het gegeven getal vlot te controleren met een rekenkundige berekening.

In de praktijk krijgt de leerling bij opgaven van het type Is het getal een oplossing van de vergelijking? een kant-en-klare vergelijking en een specifiek getal om te controleren. Na het invullen van het getal op de plaats van de variabele en het uitvoeren van de bewerkingen vergelijkt de leerling de uitkomst van de linker- en rechterkant en geeft vervolgens een eenduidig antwoord: ja of nee.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Vergelijkingen oplossen in twee stappen (ax + b = c)

De leerling lost eerstegraadsvergelijkingen van de vorm ax + b = c op door achtereenvolgens de constante term over te brengen en te delen door de coëfficiënt van de onbekende.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.11 lost eerstegraadsvergelijkingen op, alsook vergelijkingen die op eenvoudige wijze kunnen worden herleid tot een eerstegraadsvergelijking (onze vertaling)

In klas 8 lost de leerling vlot eerstegraadsvergelijkingen op in de vorm ax + b = c. Deze taak wordt in twee overzichtelijke stappen uitgevoerd: eerst wordt de term met de onbekende geïsoleerd door aan beide kanten het getal b op te tellen of af te trekken, waarna beide kanten worden gedeeld door de coëfficiënt a om de waarde van het gezochte getal te bepalen.

De meest gemaakte fout is het vergeten of verwisselen van tekens bij het overbrengen van de constante term naar de andere kant van de vergelijking (bijvoorbeeld het optellen van een getal in plaats van het af te trekken). Leerlingen hebben soms ook moeite met de volgorde van de bewerkingen – ze proberen te delen door het getal vóór de onbekende voordat de constante term is weggewerkt, wat de berekeningen onnodig ingewikkeld maakt.

Opgaven uit het sjabloon Vergelijking ax + b = c vereisen het bepalen van de onbekende in eenvoudige algebraïsche uitdrukkingen, zoals 3x + 5 = 26 of met negatieve getallen, bijv. -2x + 7 = -5. De leerling noteert de opeenvolgende tussenstappen om tot het uiteindelijke antwoord te komen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Oplossing van een vergelijking — kies het antwoord · Vergelijking ax + b = c

Het berekenen van de waarde van een algebraïsche uitdrukking

De leerling vult gehele getallen in voor letters in een korte algebraïsche uitdrukking (tot drie eentermen) en berekent de uiteindelijke uitkomst.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.2 berekent de getalwaarde van een algebraïsche uitdrukking die de som is van ten hoogste drie eentermen voor gegeven gehele waarden van de variabelen (onze vertaling)

In klas 8 berekent de leerling vlot de getalswaarde van een algebraïsche uitdrukking die uit maximaal drie eentermen bestaat. In plaats van de voorkomende letters vult de leerling de gegeven gehele getallen in — zowel positieve als negatieve of nul — en voert vervolgens de rekenkundige bewerkingen correct uit volgens de volgorde van bewerkingen.

De meest voorkomende fouten ontstaan door onoplettendheid bij het werken met negatieve getallen. Leerlingen vergeten haakjes bij het machtsverheffen van een negatief getal dat voor een variabele wordt ingevuld, of verliezen het minteken bij het aftrekken van een eenterm met een negatieve waarde. Het komt ook voor dat de volgorde van bewerkingen niet wordt aangehouden, bijvoorbeeld door getallen op te tellen voordat de vermenigvuldiging in de eenterm is uitgevoerd.

In de opdrachten van de werkkaart „Waarde van een algebraïsche uitdrukking” krijgt de leerling een korte uitdrukking en de waarden van de variabelen, bijvoorbeeld: bereken de waarde van de uitdrukking 3a - 2b + 4 voor a = -2 en b = 5. De opdracht bestaat uit het foutloos invullen van de getallen in plaats van de symbolen en het uitwerken van de berekening tot één getalsmatige uitkomst.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Stelsels van twee vergelijkingen oplossen

De leerling lost vraagstukken op door de situatie te beschrijven met behulp van twee vergelijkingen met twee onbekenden en deze te herleiden tot één eerstegraadsvergelijking.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.2.12 lost tekstopgaven op met behulp van eerstegraadsvergelijkingen met één onbekende of twee eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden die op eenvoudige wijze kunnen worden herleid tot één eerstegraadsvergelijking. (onze vertaling)

In het achtste leerjaar lost de leerling tekstopgaven op met behulp van twee eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden. Volgens het leerplan leert de leerling stelsels beheersen die eenvoudig kunnen worden herleid tot één vergelijking met één onbekende — bijvoorbeeld door één variabele vrij te maken en deze in de tweede vergelijking te substitueren.

Een veelvoorkomende fout treedt op bij het substitueren van de verkregen uitdrukking. Wanneer er een minteken of een numerieke coëfficiënt voor de variabele staat, vergeten leerlingen vaak haakjes rond de gesubstitueerde tweeterm te plaatsen, wat leidt tot een verkeerd teken bij de volgende termen en een onjuist eindresultaat.

In de praktijk komt de leerling bij het gebruik van het sjabloon Stelsel van twee vergelijkingen in aanraking met contextopgaven (bijvoorbeeld over de prijzen van kaartjes met korting en normale kaartjes of het aantal munten van verschillende waarden). De taak van de leerling is om beide onbekenden te definiëren, twee met elkaar verbonden vergelijkingen op te stellen en de juiste numerieke waarden te bepalen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Rente berekenen over een jaardeposito

De leerling berekent de winst van een eenjarig bankdeposito en het totale kapitaal vermeerderd met rente bij een gegeven rentepercentage.

Leerplanpunt MAT.VII-VIII.1.2 past procentberekeningen toe bij het oplossen van problemen in een praktische context, waaronder een financiële, zoals het berekenen van: prijzen na een verhoging of vóór de verhoging of verlaging ervan, rente over een eenjarig deposito, kredietkosten, de hoogte van belastingen – economisch-financiële module (onze vertaling)

In klas 8 gebruikt de leerling procentberekeningen in een praktische financiële context. Op basis van het ingelegde kapitaal en het gegeven jaarlijkse rentepercentage kan de leerling het bedrag aan opgebouwde rente na afloop van een jaar berekenen, evenals het uiteindelijke spaarsaldo bepalen nadat de winst bij het ingelegde bedrag is opgeteld.

Een veelgemaakte fout is het verwarren van het rentebedrag met het uiteindelijke bedrag dat na afloop van de spaarperiode door de bank wordt uitgekeerd. Leerlingen zien het berekende rendement soms als het totale saldo op de rekening, of ze proberen het percentage direct bij het geldbedrag op te tellen (bijvoorbeeld door 5 zł op te tellen in plaats van 5% van het kapitaal).

Opgaven uit het sjabloon Rente op een spaardeposito schetsen realistische financiële situaties. Een typische opdracht vraagt om te berekenen hoeveel rente de inleg van een bepaald bedrag (bijv. 3000 zł) oplevert bij een jaarlijks rentepercentage (bijv. 6%) en welk totaalbedrag de klant na een jaar looptijd van het deposito ontvangt.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Opgavensjablonen om af te drukken

Alle soorten opgaven, gegroepeerd per vaardigheid. Een klik opent de generator met het type al gekozen.

Toepassing van de stelling van Pythagoras

Rechthoekige driehoeken met hoeken van 30°, 60° en 45°

Kansberekening in eenvoudige situaties

Berekenen van procentuele verhogingen en verlagingen

Haakjes wegwerken en buiten haakjes halen

Berekenen van vierkantswortels en derdemachtswortels

Berekenen van machten van gehele getallen en breuken

Berekenen van de omtrek en de oppervlakte van een cirkel

Kansen bij tweetraps experimenten

Oppervlakte en inhoud van een recht prisma

Twee tweetermen vermenigvuldigen

Oppervlakte en inhoud van een regelmatige piramide

Rangschikken en herleiden van gelijksoortige termen

Het bepalen van een getal op basis van het percentage ervan

Berekenen welk percentage het ene getal van het andere is

De mediaan van een dataset bepalen

Machten met een negatieve exponent

Bewerkingen met machten en ontbrekende exponent

Verdeling van een grootheid in een gegeven verhouding

Een factor buiten het wortelteken halen

De waarde van wortels schatten

Notatie en vergelijken van getallen in de wetenschappelijke notatie

Vergelijkingen oplossen met de onbekende aan beide zijden

Controleren of een getal een oplossing van een vergelijking is

Vergelijkingen oplossen in twee stappen (ax + b = c)

Het berekenen van de waarde van een algebraïsche uitdrukking

Stelsels van twee vergelijkingen oplossen

Rente berekenen over een jaardeposito

Andere soorten opgaven

Werkblad maken voor dit leerplan