Lehrplan (Polen)

Mathematik — Klasse 8

Mathematik in der 8. Klasse: Gleichungssysteme, Prismen und Pyramiden, besondere rechtwinklige Dreiecke, Wahrscheinlichkeit bei zweistufigen Zufallsexperimenten – und Wiederholung des gesamten Grundschulstoffs vor der Abschlussprüfung der 8. Klasse. Zu jedem Thema fertige Aufgaben zum Ausdrucken.

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Was lernt ein Schüler in Mathematik in der 8. Klasse?

In der 8. Klasse lösen die Schülerinnen und Schüler lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, berechnen das Volumen und den Oberflächeninhalt von Prismen und Pyramiden, nutzen die Eigenschaften von Dreiecken mit den Winkeln 45°, 30° und 60° und berechnen Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten. Die 8. Klasse schließt die Grundschule ab, daher werden Potenzen, Prozentrechnung, algebraische Terme und der Satz des Pythagoras wiederholt – dies ist der Stoff der Abschlussprüfung der 8. Klasse.

Wichtig zum Lehrplan: Der neue Lehrplan (Dz.U. 2026 Pos. 378) gilt für die 8. Klasse ab dem Schuljahr 2030/2031 – er wird jahrgangsweise eingeführt. Bis dahin lernt die 8. Klasse nach dem Lehrplan von 2017; der Themenumfang auf dieser Seite ist in beiden Lehrplänen ähnlich. Der Lehrplan für die Klassen 7–8 ist blockweise aufgebaut – er legt fest, was man am Ende der Grundschule können muss. Die Zuordnung eines Themas zu einer bestimmten Klassenstufe ist unsere Entscheidung gemäß dem typischen Stoffverteilungsplan; im Abschnitt „Lehrplanbereich“ sehen Sie den gesamten Block 7–8 mit Zitaten aus der Verordnung.

Status der Seite: Fertiggestellt sind Potenzen und Wurzeln, Prozentrechnung in der Praxis, Proportionalität, rationale Zahlen mit Vorzeichen, algebraische Terme, Gleichungen und Gleichungssysteme, der Satz des Pythagoras, der Kreis, Prismen und Pyramiden sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung. Geometrische Konstruktionen und Aufgaben im Format der Abschlussprüfung der 8. Klasse werden schrittweise ergänzt.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Liczby

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt Berechnungen und Überlegungen durch, bei denen er/sie die Prozentschreibweise verwendet, darunter berechnet er/sie:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Prozentrechnung zur Lösung von Problemen in einem praktischen Kontext, darunter im finanziellen, an, wie die Berechnung von: Preisen nach einer Erhöhung oder vor deren Erhöhung oder Senkung, Zinsen für eine einjährige Geldanlage, Kreditkosten, Höhe von Steuern – Wirtschafts- und Finanzmodul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

Berechnung von prozentualen Erhöhungen und Senkungen (bei uns in Klasse 7-8) · Berechnung der Zinsen für eine einjährige Festgeldanlage (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Potenzen rationaler Zahlen mit natürlichen Exponenten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

Berechnung von Potenzen ganzer Zahlen und Brüchen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wandelt Potenzen mit ganzzahligem negativem Exponenten in entsprechende Potenzen mit natürlichen Exponenten um

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4

Potenzen mit negativem Exponenten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Rechengesetze für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

Rechnen mit Potenzen und fehlender Exponent (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

schreibt Zahlen in wissenschaftlicher Notation (Zehnerpotenz-Schreibweise) und vergleicht auf diese Weise dargestellte Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

Schreiben und Vergleichen von Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen, die entsprechend Quadrate oder Kubikzahlen rationaler Zahlen sind, und berechnet Näherungswerte von Wurzeln aus anderen Zahlen mit dem Taschenrechner

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

schätzt den Wert eines einfachen arithmetischen Ausdrucks, der Wurzeln enthält

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8

Schätzen von Wurzelwerten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Rechengesetze für Quadrat- und Kubikwurzeln an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

Faktor vor die Wurzel ziehen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt direkt proportionale Zusammenhänge, wendet sie zur Bestimmung des Wertes einer Größe anhand der anderen an und nutzt die proportionale Aufteilung in zwei oder drei Teile im praktischen Kontext

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

Teilung einer Größe in einem gegebenen Verhältnis (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Multiplikationsregel zum Zählen von Elementpaaren in Situationen an, die eine zweifache Auswahl erfordern

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt den Taschenrechner und Computeranwendungen zur Durchführung von Berechnungen beim Lösen von Problemen in einem praktischen Kontext.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wie viel Prozent einer Zahl die andere Zahl ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

Berechnung, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Potenzen mit gleicher Basis

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

Rechnen mit Potenzen und fehlender Exponent (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Wurzeln aus dem Produkt und dem Quotienten zweier Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

Faktor vor die Wurzel ziehen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

den angegebenen Prozentsatz einer gegebenen Zahl

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podany procent danej liczby

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Potenzen mit gleichen Exponenten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

Rechnen mit Potenzen und fehlender Exponent (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Wurzeln gleichen Grades

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

Faktor vor die Wurzel ziehen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

die Zahl auf der Grundlage ihres gegebenen Prozentsatzes

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): liczbę na podstawie danego jej procentu

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

Bestimmung des Grundwertes anhand des Prozentsatzes (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

potenziert Potenzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podnosi potęgę do potęgi

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

Rechnen mit Potenzen und fehlender Exponent (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zieht teilweise die Wurzel (radiziert teilweise) und bringt einen Faktor unter das Wurzelzeichen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

Faktor vor die Wurzel ziehen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Algebra

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Algebra

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stellt algebraische Terme, auch Terme mit zwei Variablen, auf, die Beziehungen zwischen den in der Aufgabe dargestellten Größen beschreiben, und verwendet sie zum Lösen von Aufgaben, einschließlich solcher in einem praktischen Kontext

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Zahlenwert eines algebraischen Terms, der die Summe von höchstens drei Monomen ist, für gegebene ganzzahlige Werte der Variablen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

Berechnung des Werts eines algebraischen Ausdrucks (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

ordnet Monome und fasst gleichartige Terme in algebraischen Summen zusammen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

Ordnen und Zusammenfassen gleichartiger Terme (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

addiert und subtrahiert algebraische Summen, die aus mehreren Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

Ordnen und Zusammenfassen gleichartiger Terme (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert ein Monom mit einer algebraischen Summe von höchstens drei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

Ausmultiplizieren und Ausklammern (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus, die aus zwei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten besteht

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

Ausmultiplizieren und Ausklammern (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

Multiplikation zweier Binome (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

formt einfache Formeln um, um eine vorgegebene Größe zu bestimmen, darunter in geometrischen und physikalischen Formeln

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

prüft, ob eine gegebene ganze Zahl eine Lösung einer Gleichung (ersten, zweiten oder dritten Grades) mit einer Unbekannten ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

Überprüfen, ob eine Zahl eine Lösung der Gleichung ist (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

prüft, ob eine gegebene rationale Zahl Lösung einer linearen Gleichung (Gleichung ersten Grades) ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

Überprüfen, ob eine Zahl eine Lösung der Gleichung ist (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

Gleichungen in zwei Schritten lösen (ax + b = c) (bei uns in Klasse 7-8) · Lösen von Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Textaufgaben mithilfe von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten oder von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12

Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Figuren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Figury

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt auf einer Zeichnung die Mittelsenkrechte einer Strecke sowie die Winkelhalbierende eines Winkels und zeichnet sie, wendet deren Eigenschaften an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt und zeichnet achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren, gibt deren Symmetrieachsen und Symmetriezentrum an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Größe des Innenwinkels eines regelmäßigen Vielecks

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen geometrischen Situationen, wendet den Satz des Pythagoras an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

Anwendung des Satzes des Pythagoras (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt die Eigenschaften besonderer rechtwinkliger Dreiecke, das heißt rechtwinkliger Dreiecke mit den spitzen Winkeln 30° und 60° sowie gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5

Rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln 30°, 60° und 45° (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Kongruenzsätze für Dreiecke an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje cechy przystawania trójkątów

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza długość okręgu i pole koła

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

Berechnung des Kreisumfangs und des Flächeninhalts des Kreises (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zerlegt Vielecke in Teile oder erkennt Figuren als Teile einer anderen Figur, um Flächeninhalte zu berechnen, zu vergleichen oder zu schätzen sowie andere Zusammenhänge zu erkennen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

Anwendung des Satzes des Pythagoras (bei uns in Klasse 7-8) · Oberflächeninhalt und Volumen eines geraden Prismas (bei uns in Klasse 8) · Berechnung des Kreisumfangs und des Flächeninhalts des Kreises (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zeichnet im Koordinatensystem Vielecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Flächeninhalte und Umfänge von Dreiecken und Vierecken mit Eckpunkten in Gitterpunkten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt gerade und regelmäßige Prismen sowie regelmäßige Pyramiden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

gibt die Höhe der Seitenflächen und die Höhe der Pyramide an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.14 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Oberflächeninhalte und Volumina gerader Prismen sowie regelmäßiger Pyramiden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14

Oberflächeninhalt und Volumen eines geraden Prismas (bei uns in Klasse 8) · Oberfläche und Volumen einer regelmäßigen Pyramide (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten und Zufallsereignisse

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dane i zdarzenia losowe

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erhebt und wählt Daten aus verschiedenen Quellen aus, ordnet sie und beurteilt ihre Zuverlässigkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wählt eine Art der Datendarstellung aus, die deren Analyse erleichtert, und nutzt dabei geeignete Computeranwendungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert den mithilfe eines Graphen beschriebenen Zusammenhang zwischen zwei Größen, beispielsweise die Veränderung einer bestimmten Größe im Zeitverlauf, darunter: zurückgelegte Strecke, Höhe der Gehälter, Lebenshaltungskosten, Inflation – Wirtschafts- und Finanzmodul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet das arithmetische Mittel und den Median im praktischen Kontext zum Vergleich von Datensätzen, einschließlich Finanzdaten, an – ökonomisch-finanzielles Modul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

Bestimmung des Medians eines Datensatzes (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert Daten, darunter Finanzdaten, kritisch, zieht daraus Schlussfolgerungen und begründet sie unter Bezugnahme auf die Eigenschaften des Datensatzes

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt einfache Zufallsexperimente durch, die beispielsweise im ein- oder zweimaligen Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels sowie im Ziehen einer Kugel aus einer Menge von Kugeln bestehen, analysiert Zufallsexperimente und bestimmt, wie groß die Wahrscheinlichkeit der betrachteten Ereignisse ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

Berechnung der Wahrscheinlichkeit in einfachen Situationen (bei uns in Klasse 7-8) · Wahrscheinlichkeit bei zweistufigen Experimenten (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mathematisches Denken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Myślenie matematyczne

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet allgemeine Methoden zum Lösen mathematischer Probleme an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erklärt seine Denkweise beim Lösen eines mathematischen Problems durch:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt mathematische Überlegungen durch und zeigt dabei die Fähigkeit:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

notiert Beziehungen zwischen den in der Aufgabe vorkommenden Daten auf eine Weise, die die Analyse des Problems erleichtert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Angabe mathematischer Argumente zur Begründung aufeinanderfolgender Gedankenschritte

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Unterscheiden eines Satzes vom Kehrsatz

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

analysiert die eigene Problemlösung und vereinfacht – wenn möglich – die Lösung

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Aufbauen einer Begründung, die sich nur auf notwendige Argumente bezieht

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden unkomplizierter, einschrittiger indirekter Schlussweisen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stellt weiterführende Fragen, die sich aus der erhaltenen Lösung ergeben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Formulieren von Schlussfolgerungen, die sich aus Überlegungen ergeben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verallgemeinern beobachteter Spezialfälle

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.d · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt Ähnlichkeiten zwischen den Methoden zur Lösung verschiedener mathematischer Probleme

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.d · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Begründen, z. B. durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass eine gegebene Eigenschaft nicht gilt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verwenden mathematischer Werkzeuge – Verstehen und Verwenden mathematischer Begriffe und Eigenschaften auch in einer neuen Situation, Erkennen von Beziehungen zwischen Eigenschaften sowie von Unterschieden und Gemeinsamkeiten zwischen mathematischen Objekten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ausführen arithmetischer und algebraischer Berechnungen, Anstreben einer optimalen Rechenweise, Verwenden eines Taschenrechners oder von Rechenanwendungen, wenn dies durch die Komplexität der Rechnung oder das Ziel der Aufgabe begründet ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ziehen von Schlüssen aus Informationen, die mittels Text, Tabellen, Diagrammen, Graphen usw. dargestellt sind, Verwenden mathematischer Begriffe, Werkzeuge und Argumente zur kritischen Interpretation von Daten, einschließlich des Erkennens unberechtigter Schlussfolgerungen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden adäquater mathematischer Werkzeuge zur Beschreibung, Analyse und Lösung von Problemen aus verschiedenen Bereichen, einschließlich des täglichen Lebens.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.5 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Entwickeln mehrschrittiger Strategien zur Lösung eines mathematischen Problems, Erkennen richtiger Lösungen des Problems, Analysieren der Lösung zur Überprüfung ihrer Richtigkeit oder zur Vereinfachung des Gedankengangs.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.6 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Führen von Argumentationen und Begründen ihrer Richtigkeit, Formulieren von Schlussfolgerungen aus Prämissen, Auswählen von Argumenten durch Angabe von Beispielen und Gegenbeispielen, Überprüfen von durch andere vorgebrachten Argumentationen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Kompetenzen Schritt für Schritt

Anwendung des Satzes des Pythagoras

Der Schüler erkennt rechtwinklige Dreiecke, überprüft die Beziehungen zwischen ihren Seiten und berechnet die fehlende Kathete oder Hypotenuse unter Verwendung des Satzes des Pythagoras.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.4 erkennt rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen geometrischen Situationen, wendet den Satz des Pythagoras an (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse nutzt der Schüler die Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, um unbekannte Maße zu bestimmen. Anhand von zwei bekannten Seiten kann er die dritte berechnen und wendet auch den Kehrsatz an, um zu beurteilen, ob ein Dreieck einen rechten Winkel hat.

Ein typischer Fehler ist das mechanische Addieren der Quadrate der angegebenen Zahlen, ohne zu überprüfen, welche Strecke dem rechten Winkel gegenüberliegt. Manchmal addieren Schüler die Quadrate der Seiten auch dann, wenn die Aufgabe die Bestimmung einer Kathete erfordert (anstatt das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse zu subtrahieren), oder sie vergessen, die Wurzel aus der berechneten Summe bzw. Differenz zu ziehen.

In der Praxis umfassen die Übungen auf den Arbeitsblättern drei Aufgabentypen:

Berechne die Hypotenuse – Quadrieren der Längen beider Katheten, Addieren der Werte und Ziehen der Wurzel aus dem Ergebnis,
Berechne die Kathete – Subtrahieren des Quadrats der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse,
Ist das Dreieck rechtwinklig? – Überprüfen, ob die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite ist.

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Aufgabentypen: Die Hypotenuse berechnen · Eine Kathete berechnen · Hypotenuse — wähle die Antwort · Ist das Dreieck rechtwinklig?

Rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln 30°, 60° und 45°

Der Schüler berechnet die Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken mit Winkeln von 30° und 60° sowie 45° unter Verwendung der Zusammenhänge mit der Diagonale eines Quadrats und der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.5 nutzt die Eigenschaften besonderer rechtwinkliger Dreiecke, das heißt rechtwinkliger Dreiecke mit den spitzen Winkeln 30° und 60° sowie gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse bestimmt die Schülerin oder der Schüler fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken mit den spitzen Winkeln 30° und 60° sowie in gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken (mit 45°-Winkeln). Wenn nur eine Seitenlänge gegeben ist, können die beiden anderen mithilfe fester geometrischer Beziehungen berechnet und die Ergebnisse unter Verwendung von Quadratwurzeln angegeben werden.

Der häufigste Fehler ist das Verwechseln der Seitenzuordnung im 30°-60°-Dreieck – Schüler platzieren nicht selten die längere Kathete gegenüber dem kleineren Winkel. Mitunter werden auch die Faktoren vertauscht: die Verwendung der Wurzel aus 2 anstelle der Wurzel aus 3 oder umgekehrt, was daraus resultiert, dass die Eigenschaften eines halben Quadrats mit denen eines halben gleichseitigen Dreiecks verwechselt werden.

In der Praxis bestehen die Aufgaben in der direkten Anwendung dieser Regeln auf typische geometrische Konfigurationen:

Dreieck mit den Winkeln 30° und 60° — Berechnung der Längen der Katheten oder der Hypotenuse auf der Grundlage einer bekannten Seite;
Höhe eines gleichseitigen Dreiecks — Bestimmung der Höhe anhand der Seitenlänge oder Berechnung der Seite, wenn die Höhe gegeben ist;
Diagonale eines Quadrats — Verknüpfung der Seitenlänge des Quadrats mit seiner Diagonale als Hypotenuse eines 45°-Dreiecks.

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Aufgabentypen: Diagonale eines Quadrats · Dreieck mit 30° und 60° · Höhe im gleichseitigen Dreieck

Berechnung der Wahrscheinlichkeit in einfachen Situationen

Der Schüler analysiert einfache Zufallssituationen und berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem er die Anzahl der günstigen Ergebnisse mit der Anzahl aller möglichen Ereignisse vergleicht.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.6 führt einfache Zufallsexperimente durch, die beispielsweise im ein- oder zweimaligen Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels sowie im Ziehen einer Kugel aus einer Menge von Kugeln bestehen, analysiert Zufallsexperimente und bestimmt, wie groß die Wahrscheinlichkeit der betrachteten Ereignisse ist. (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse bestimmt der Schüler die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines einzelnen Zufallsexperiments und ermittelt diejenigen, die eine gegebene Bedingung erfüllen. Auf dieser Grundlage gibt er die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Bruch an und untersucht Situationen mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen.

Ein typischer Fehler besteht darin, die Anzahl der verbleibenden Ereignisse statt aller möglichen in den Nenner zu setzen. Befinden sich beispielsweise 3 weiße und 5 schwarze Kugeln in einer Schachtel, gibt der Schüler die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, fälschlicherweise als 3/5 statt 3/8 an. Es kommt auch vor, dass Zahlen, die die vorgegebenen Kriterien erfüllen, falsch gezählt werden – beispielsweise wird übersehen, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist.

In der Praxis haben die Aufgaben die Form einfacher Experimente:

Würfelwurf — Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses, z. B. einer Augenzahl größer als 4 oder teilbar durch 2.
Ziehen einer Kugel aus einer Schachtel — Berechnung der Wahrscheinlichkeit, eine Kugel einer bestimmten Farbe bei bekannter Zusammensetzung des Behälterinhalts zu ziehen.
Ziehen eines Kärtchens mit einer Zahl — Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, aus einem vorbereiteten Stapel von Kärtchen eine Zahl zu ziehen, die eine bestimmte Bedingung erfüllt.

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Aufgabentypen: Eine Kugel aus der Schachtel ziehen · Würfeln · Eine Zahlenkarte ziehen

Berechnung von prozentualen Erhöhungen und Senkungen

Der Schüler berechnet den neuen Wert oder Preis nach der Erhöhung oder Verringerung des Anfangsbetrags um einen angegebenen Prozentsatz.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.2 wendet Prozentrechnung zur Lösung von Problemen in einem praktischen Kontext, darunter im finanziellen, an, wie die Berechnung von: Preisen nach einer Erhöhung oder vor deren Erhöhung oder Senkung, Zinsen für eine einjährige Geldanlage, Kreditkosten, Höhe von Steuern – Wirtschafts- und Finanzmodul (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse berechnen Schülerinnen und Schüler sicher den neuen Betrag nach einer prozentualen Veränderung. In praktischen finanziellen Situationen bedeutet dies die Fähigkeit, die Höhe der Erhöhung oder des Abschlags selbst zu berechnen und mit dem Ausgangspreis zu verknüpfen – indem der berechnete Anteil zum Anfangsbetrag addiert oder davon subtrahiert wird.

Der häufigste Fehler besteht darin, Prozentwerte wie eine gewöhnliche Zahl zu behandeln und direkt vom Preis abzuziehen (zum Beispiel die Zahl 20 statt 20 % eines Betrags abzuziehen). Zudem fällt es Lernenden mitunter schwer, den richtigen Ausgangswert zu bestimmen, von dem der Prozentsatz berechnet werden soll.

In der Praxis basieren die Übungen auf Aufgaben aus den Vorlagen Um Prozentsatz erhöhen und Um Prozentsatz verringern. Schülerinnen und Schüler sehen einen konkreten Geldbetrag sowie die Angabe einer prozentualen Veränderung und berechnen das Endergebnis – zum Beispiel den Preis von Schuhen nach einem Rabatt von 15 % oder einen neuen Betrag nach einer Erhöhung um 10 %.

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Aufgabentypen: Prozentuale Erhöhung — wähle die Antwort · Um Prozent erhöhen · Um Prozent vermindern

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Der Schüler multipliziert ein Monom mit einer Summe aus bis zu drei Summanden mit ganzzahligen Koeffizienten und klammert ein gemeinsames Monom aus einer zweigliedrigen Summe aus.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.5 multipliziert ein Monom mit einer algebraischen Summe von höchstens drei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.6 klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus, die aus zwei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten besteht (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse festigen Schülerinnen und Schüler das Umformen algebraischer Ausdrücke mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie führen zwei miteinander verknüpfte Operationen aus: Sie multiplizieren ein Monom mit einer algebraischen Summe aus maximal drei Summanden und führen die Umkehroperation durch, das heißt, sie klammern ein Monom aus einer Summe von genau zwei Monomen aus.

Der häufigste Fehler ist das Verlieren von Vorzeichen beim Multiplizieren mit einem negativen Monom sowie das Übergehen weiterer Summanden – oft wird nur das erste Glied in der Klammer multipliziert und der Rest unüberlegt abgeschrieben. Beim Ausklammern wiederum bereitet jener Fall Schwierigkeiten, bei dem einer der Summanden mit dem auszuklammernden Monom identisch ist; hier wird in der Klammer häufig vergessen, die Zahl 1 einzutragen.

Die Übungen der Vorlage Multiplikation eines Monoms mit einer Summe erfordern es, das gegebene Produkt in Form einer vereinfachten algebraischen Summe darzustellen. Die Aufgaben der Vorlage Ausklammern eines Faktors bestehen darin, den gemeinsamen Zahlenteiler sowie gemeinsame Variablen zweier Glieder zu ermitteln und den Ausdruck in Form eines Produkts zu schreiben.

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Aufgabentypen: Klammern ausmultiplizieren · Ausklammern

Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln

Der Schüler berechnet die exakten Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen, die Quadrate oder Kubikzahlen rationaler Zahlen sind.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.7 berechnet die Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen, die entsprechend Quadrate oder Kubikzahlen rationaler Zahlen sind, und berechnet Näherungswerte von Wurzeln aus anderen Zahlen mit dem Taschenrechner (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse bestimmen Schülerinnen und Schüler sicher die exakten Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen, die jeweils Quadrate oder Kubikzahlen rationaler Zahlen sind. Sie verstehen das Wurzelziehen als Umkehroperation zum Potenzieren – sie wissen, welche Zahl gesucht ist, um nach dem Quadrieren oder Potenzieren mit 3 den Wert unter der Wurzel zu erhalten.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist die Verwechslung von Wurzelziehen mit Division. Schülerinnen und Schüler geben nicht selten das Ergebnis 8 statt 4 für die Quadratwurzel aus 16 an (indem sie durch 2 teilen) oder 9 statt 3 für die Kubikwurzel aus 27 (indem sie durch 3 teilen). Es kommt auch vor, dass der Wurzelexponent übersehen wird, insbesondere wenn Aufgaben das abwechselnde Berechnen von Quadrat- und Kubikwurzeln erfordern.

Die Übungsmaterialien für diese Kompetenz umfassen die Vorlagen Quadratwurzel berechnen sowie Kubikwurzel berechnen. Die Aufgaben bestehen in der direkten Bestimmung des Wurzelwerts in ganzzahliger Form oder als Bruch, was auch eine wichtige Grundlage für die Prüfungsvorbereitung am Ende der 8. Klasse darstellt.

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Aufgabentypen: Kubikwurzel berechnen · Quadratwurzel berechnen

Berechnung von Potenzen ganzer Zahlen und Brüchen

Der Schüler berechnet Potenzen von ganzen Zahlen und Brüchen mit natürlichen Exponenten und bereitet sich auf die Wiederholung vor der Abschlussprüfung der 8. Klasse vor.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.3 berechnet Potenzen rationaler Zahlen mit natürlichen Exponenten (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse bestimmt der Schüler sicher Werte von Potenzen, bei denen die Basis eine ganze Zahl (positiv oder negativ) oder ein gewöhnlicher Bruch bzw. Dezimalbruch und der Exponent eine natürliche Zahl ist. Er versteht, dass diese Schreibweise die mehrfache Multiplikation derselben rationalen Zahl mit sich selbst bedeutet.

Der häufigste Fehler ist das Verwechseln des Potenzierens mit der Multiplikation der Basis mit dem Exponenten (zum Beispiel das Berechnen von 3 hoch 3 als 9 statt 27). Bei Brüchen besteht das Problem oft darin, nur den Zähler zu potenzieren und den Nenner auszulassen, und bei negativen Zahlen im fehlerhaften Bestimmen des Vorzeichens des Ergebnisses, insbesondere bei der Unterscheidung zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

In der Praxis bearbeitet der Schüler Aufgaben aus den Vorlagen Berechne die Potenz einer ganzen Zahl sowie Berechne die Potenz eines Bruchs. Diese bestehen in der direkten Berechnung des Ergebnisses von Rechenoperationen wie dem Quadrieren oder Kubieren einer negativen Zahl sowie dem Bestimmen der Potenz eines in Klammern geschriebenen gewöhnlichen Bruchs.

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Aufgabentypen: Potenz einer ganzen Zahl berechnen · Potenz eines Bruchs berechnen · Wert einer Potenz — wähle die Antwort

Berechnung des Kreisumfangs und des Flächeninhalts des Kreises

Der Schüler berechnet den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises anhand des angegebenen Radius oder Durchmessers unter Verwendung der Zahl Pi.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.7 berechnet den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse berechnet der Schüler den Kreisumfang sowie den Flächeninhalt des Kreises. Er wendet Formeln an, die diese Größen mit dem Radius oder dem Durchmesser der Figur verknüpfen, und gibt die Ergebnisse exakt unter Verwendung der Zahl π an oder führt Berechnungen mit deren Näherungswerten durch.

Ein typisches Problem ist die Verwechslung der Umfangsformel mit der Flächeninhaltsformel – Schüler quadrieren oft den Radius bei der Bestimmung des Kreisumfangs oder multiplizieren den Radius mit zwei, anstatt ihn bei der Flächenberechnung zu quadrieren. Ein häufiger Fehler ist auch das Einsetzen des in der Aufgabenstellung angegebenen Durchmessers in die Formeln, ohne ihn vorher zu halbieren, was insbesondere das Ergebnis für den Flächeninhalt des Kreises verfälscht.

Die Aufgaben aus den Materialien Kreisumfang und Flächeninhalt des Kreises umfassen sowohl die einfache Bestimmung von Umfang und Fläche anhand eines gegebenen Radius oder Durchmessers als auch Umkehraufgaben – das Berechnen der Maße des Kreises, wenn dessen Flächeninhalt oder Kreisumfang bekannt ist.

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Aufgabentypen: Flächeninhalt eines Kreises · Umfang eines Kreises

Wahrscheinlichkeit bei zweistufigen Experimenten

Der Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen bei zweistufigen Zufallsexperimenten, wie etwa dem zweimaligen Werfen eines Würfels oder dem Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen.

In der 8. Klasse analysieren Schülerinnen und Schüler den Ablauf zweistufiger Zufallsexperimente. Sie können die Anzahl aller möglichen Ergebnisse sowie die Anzahl der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Ergebnisse ermitteln, indem sie Zahlenpaare auflisten oder in einer Tabelle anordnen. Auf dieser Grundlage berechnen sie die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ergebnisses.

Ein typisches Problem besteht darin, unterschiedliche Reihenfolgen als dasselbe Ergebnis zu behandeln oder einen Teil der Möglichkeiten zu übersehen. Beispielsweise betrachten Lernende beim Wurf zweier Würfel das Paar (2, 5) und (5, 2) oft als ein und dasselbe Ereignis, wodurch sie die Anzahl der günstigen Ergebnisse falsch bestimmen und die Anzahl aller möglichen Kombinationen unterschätzen (indem sie fälschlicherweise von 21 statt 36 ausgehen).

In der Praxis begegnen den Lernenden vor allem zwei Aufgabentypen:

Augensumme zweier Würfel – besteht darin, die Wahrscheinlichkeit für das Erzielen einer bestimmten Summe (z. B. gleich 7 oder größer als 9) beim Wurf zweier sechsseitiger Würfel zu berechnen;
Zweifaches Ziehen mit Zurücklegen – erfordert das Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, Kugeln mit bestimmten Eigenschaften zu ziehen, wobei die gezogene Kugel vor dem zweiten Ziehen wieder zurückgelegt wird.

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Aufgabentypen: Augensumme zweier Würfel · Zweimal Ziehen mit Zurücklegen

Oberflächeninhalt und Volumen eines geraden Prismas

Ein Achtklässler berechnet die Gesamtoberfläche und das Volumen gerader Prismen, einschließlich Körpern mit dreieckiger Grundfläche.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.14 berechnet Oberflächeninhalte und Volumina gerader Prismen sowie regelmäßiger Pyramiden. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse berechnen die Schülerinnen und Schüler den Oberflächeninhalt sowie das Volumen eines geraden Prismas, wobei der Schwerpunkt in diesem Teil des Stoffs auf Körpern mit dreieckiger Grundfläche liegt. Sie bestimmen eigenständig den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche, addieren die Flächeninhalte der rechteckigen Seitenflächen und multiplizieren die Grundfläche mit der Höhe des gesamten Körpers, um dessen Volumen zu ermitteln.

Die häufigste Schwierigkeit besteht darin, die Höhe des Dreiecks in der Grundfläche mit der Höhe des Prismas selbst zu verwechseln. Schülerinnen und Schüler neigen auch dazu, bei der Berechnung des gesamten Oberflächeninhalts zu vergessen, zwei Grundflächen zu berücksichtigen, und addieren den Flächeninhalt des Dreiecks nur einmal.

In der Praxis bestehen die Aufgaben aus den Vorlagen Oberflächeninhalt eines Dreiecksprismas sowie Volumen eines Dreiecksprismas darin, die Maße aus der Zeichnung des Körpers oder einer Textbeschreibung abzulesen, den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen, das die Grundfläche bildet, und anschließend den Flächeninhalt der Seitenflächen bzw. das Volumen des gesamten Körpers korrekt zu bestimmen.

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Aufgabentypen: Volumen eines dreiseitigen Prismas · Oberflächeninhalt eines dreiseitigen Prismas

Multiplikation zweier Binome

Der Schüler lernt, zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander zu multiplizieren, den erhaltenen Ausdruck zu ordnen und gleichartige Terme zusammenzufassen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.7 multipliziert zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse multiplizieren die Schülerinnen und Schüler zwei Binome miteinander, die ausschließlich ganzzahlige Koeffizienten enthalten. Die Aufgabe besteht darin, jedes Glied der ersten Klammer korrekt mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren und anschließend gleichartige Terme zusammenzufassen.

Der häufigste Fehler ist das Missachten der Vorzeichenregeln bei negativen Zahlen – insbesondere wenn in einer Klammer eine Subtraktion vorkommt und vergessen wird, dass das Minuszeichen zum jeweiligen Term gehört. Es kommt auch vor, dass nur das erste Glied mit dem ersten und das zweite mit dem zweiten multipliziert wird, wodurch die mittleren Terme verloren gehen.

In der Praxis basieren die Übungen auf Arbeitsblättern aus den Vorlagen Multiplikation von Binomen (x + a)(x + b), bei denen die Variable den Koeffizienten 1 hat, sowie Multiplikation von Binomen, bei denen ganzzahlige Koeffizienten auch direkt vor den Variablen stehen können.

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Aufgabentypen: (x + a)(x + b) ausmultiplizieren · Zwei Klammern ausmultiplizieren

Oberfläche und Volumen einer regelmäßigen Pyramide

Der Achtklässler berechnet die Gesamtoberfläche sowie das Volumen regelmäßiger Pyramiden unter Verwendung der Eigenschaften ihrer Grund- und Seitenflächen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.14 berechnet Oberflächeninhalte und Volumina gerader Prismen sowie regelmäßiger Pyramiden. (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse berechnet der Schüler die Gesamtoberfläche sowie das Volumen regelmäßiger Pyramiden. Er erkennt die Elemente des Körpers – Grundfläche, Mantelfläche sowie die Höhe des gesamten Körpers – und setzt sie in die entsprechenden geometrischen Formeln ein.

Die häufigste Schwierigkeit besteht darin, die Höhe der Pyramide mit der Höhe ihrer Seitenfläche zu verwechseln. Schüler vergessen zudem nicht selten den Bruch ein Drittel in der Volumenformel und berechnen dieses wie bei einem Prisma, oder sie übersehen die Grundfläche bei der Bestimmung der Gesamtoberfläche.

In der Praxis stützen sich die Übungen auf die Vorlagen Oberfläche einer Pyramide sowie Volumen einer Pyramide. Die Aufgaben erfordern die Bestimmung der Flächeninhalte der einzelnen Dreiecksflächen und der vieleckigen Grundfläche oder das direkte Einsetzen der gegebenen Maße in die Volumenformel des Körpers.

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Aufgabentypen: Oberflächeninhalt einer quadratischen Pyramide · Volumen einer quadratischen Pyramide

Ordnen und Zusammenfassen gleichartiger Terme

Der Schüler ordnet Monome sowie addiert und subtrahiert gleichartige Terme mit ganzzahligen Koeffizienten und vereinfacht Terme mit einer oder zwei Variablen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.3 ordnet Monome und fasst gleichartige Terme in algebraischen Summen zusammen (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.4 addiert und subtrahiert algebraische Summen, die aus mehreren Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse ordnet der Schüler algebraische Summen sicher und fasst gleichartige Terme zusammen. Er addiert und subtrahiert Monome mit ganzzahligen Koeffizienten und bringt den Term in die kürzeste Form. Die Rechenoperationen führt er an Termen mit einer Variablen oder zwei verschiedenen Variablen durch.

Die häufigste Schwierigkeit besteht darin, beim Umstellen der Summanden das Minuszeichen zu übersehen, das direkt vor dem zusammenzufassenden Glied steht. Es kommt auch vor, dass nicht gleichartige Terme fälschlicherweise zusammengefasst werden – zum Beispiel der Versuch, Monome mit unterschiedlichen Variablen (wie 3x und 2y) zu addieren oder eine bloße Zahl zum Koeffizienten einer Variablen hinzuzurechnen.

In der Praxis basieren die Übungen auf den Vorlagen Zusammenfassen gleichartiger Terme und Zusammenfassen gleichartiger Terme mit zwei Variablen. Die Aufgabe besteht darin, im gegebenen Ausdruck die Summanden mit denselben Variablen zu bestimmen, ihre Zahlenkoeffizienten zu addieren und das Ergebnis in geordneter Form aufzuschreiben.

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Aufgabentypen: Gleichartige Terme mit zwei Variablen zusammenfassen · Gleichartige Terme zusammenfassen

Bestimmung des Grundwertes anhand des Prozentsatzes

Ein Achtklässler kann die gesamte gesuchte Größe sicher berechnen, wenn er den Wert kennt, der einem bestimmten Prozentsatz davon entspricht.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.c die Zahl auf der Grundlage ihres gegebenen Prozentsatzes (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse können Schülerinnen und Schüler die Gesamtgröße (also 100 %) ermitteln, wenn nur ein Teil davon sowie der entsprechende Prozentsatz bekannt sind. Um die gesuchte Zahl zu bestimmen, wandeln sie den Prozentsatz in einen gemeinen Bruch oder Dezimalbruch um und führen eine Division durch, stellen eine einfache Verhältnisgleichung auf oder berechnen zunächst den Wert von 1 % der gegebenen Größe.

Der häufigste Fehler auf dieser Stufe ist die Verwechslung dieser Aufgabenart mit der Berechnung des Prozentwerts. Anstatt den gegebenen Wert durch den Bruch zu dividieren, multiplizieren Schülerinnen und Schüler reflexartig beide Zahlen miteinander. Infolgedessen erhalten sie statt des größeren, ursprünglichen Ganzen ein Ergebnis, das deutlich kleiner ist als der angegebene Teil, ohne die Unstimmigkeit des Resultats zu bemerken.

Aufgaben aus der Vorlage Zahl aus einem gegebenen Prozentsatz erfordern das Finden der Unbekannten in Situationen wie: „Bestimme die Zahl, von der 15 % gleich 45 sind“ oder in einfachen Textaufgaben, bei denen beispielsweise der ursprüngliche Preis einer Ware nach einer Preiserhöhung oder die Gesamtlänge einer Strecke anhand eines bereits zurückgelegten Abschnitts ermittelt werden soll.

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Berechnung, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist

Der Schüler berechnet, welchen Anteil des Ganzen ein gegebener Wert ausmacht, und gibt dieses Ergebnis als Prozentsatz an.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.a wie viel Prozent einer Zahl die andere Zahl ist (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse kann ein Schüler zwei Zahlen miteinander vergleichen und bestimmen, wie viel Prozent eine Zahl von der anderen ausmacht. Er stellt das Verhältnis dieser Werte als gemeinen Bruch oder Dezimalbruch dar und wandelt ihn anschließend durch Multiplikation mit 100 % in einen Prozentsatz um.

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung des Grundwerts (des Ganzen, das im Nenner stehen sollte) mit der verglichenen Zahl. Schüler teilen aus Gewohnheit oft die größere Zahl durch die kleinere, anstatt in der Aufgabenstellung zu überprüfen, auf welchen Wert sich die Frage bezieht.

In den Aufgaben der Vorlage Wie viel Prozent ist eine Zahl? begegnen Achtklässlern Aufgabenstellungen, die diese Fertigkeit direkt abfragen (zum Beispiel: Wie viel Prozent der Zahl 50 ist die Zahl 15?) sowie in einem einfachen praktischen Kontext, wie etwa bei der Berechnung des Anteils anwesender Schüler oder des zurückgelegten Teils einer Strecke.

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Bestimmung des Medians eines Datensatzes

Der Schüler ordnet die angegebene Zahlenmenge und bestimmt deren Median, also den mittleren Wert oder den Durchschnitt der beiden mittleren Zahlen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.4 wendet das arithmetische Mittel und den Median im praktischen Kontext zum Vergleich von Datensätzen, einschließlich Finanzdaten, an – ökonomisch-finanzielles Modul (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse bestimmt der Schüler sicher den Median eines vorgegebenen numerischen Datensatzes. Der erste Schritt besteht immer darin, alle Werte aufsteigend zu ordnen. Wenn der Datensatz eine ungerade Anzahl von Elementen enthält, gibt der Schüler den Wert an, der genau in der Mitte steht. Bei einer geraden Anzahl von Daten berechnet er das arithmetische Mittel der beiden mittleren Zahlen.

Der häufigste Fehler besteht darin, die mittlere Zahl direkt aus der Aufgabenstellung abzulesen, ohne die Zahlen vorher von der kleinsten zur größten zu sortieren. Schüler verwechseln auch die Regel zur Bestimmung des Medians bei einer geraden Anzahl von Daten und wählen, anstatt den Durchschnitt der beiden mittleren Werte zu berechnen, zufällig einen von ihnen aus.

Aufgaben aus der Vorlage Gib den Median an haben die Form einer einfachen Liste von Zahlen (beispielsweise Messergebnisse, Noten oder Geldbeträge), für die der Schüler den mittleren Wert korrekt ermitteln und eintragen soll.

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Potenzen mit negativem Exponenten

Ein Achtklässler lernt, Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten in entsprechende Potenzen mit natürlichen Exponenten umzuwandeln.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.4 wandelt Potenzen mit ganzzahligem negativem Exponenten in entsprechende Potenzen mit natürlichen Exponenten um (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse erlernt der Schüler die Potenzregel mit negativem Exponenten. Gemäß dem Lehrplan wandelt er Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten in entsprechende Potenzen mit natürlichen Exponenten um. Dies bedeutet die Anwendung der Kehrwertbildung: Der Schüler ersetzt die Basis der Potenz durch deren Kehrwert und wandelt den negativen Exponenten in die entsprechende natürliche Zahl um.

Ein typischer Fehler besteht darin, den negativen Exponenten mit dem Vorzeichen des gesamten Potenzwerts zu verwechseln. Schüler setzen oft ein Minuszeichen vor die Zahl oder multiplizieren die Basis mit dem Exponenten (indem sie beispielsweise annehmen, dass 3 hoch -2 gleich -6 oder -9 ist). Dies resultiert aus der Gewohnheit, das Minuszeichen mit Subtraktion oder negativen Zahlen zu assoziieren und nicht mit der Kehrwertbildung einer Zahl.

Bei den Aufgaben aus der Vorlage Potenz mit negativem Exponenten begegnet der Schüler Aufgabenstellungen, die eine direkte Umformung von Potenzen ganzer Zahlen sowie von Brüchen erfordern (zum Beispiel das Umschreiben des Ausdrucks in Form einer Potenz mit positivem Exponenten und die Angabe des Endergebnisses als gewöhnlicher Bruch oder Dezimalbruch).

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Rechnen mit Potenzen und fehlender Exponent

Der Schüler wendet die Regeln für die Multiplikation und Division von Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, um den fehlenden Exponenten in einer Gleichung zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5 wendet die Rechengesetze für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, darunter: (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.a multipliziert und dividiert Potenzen mit gleicher Basis (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.b multipliziert und dividiert Potenzen mit gleichen Exponenten (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.c potenziert Potenzen (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse wendet der Schüler die Rechengesetze für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten (einschließlich negativer Exponenten und der Null) sicher an. Er nutzt die Regeln zur Addition, Subtraktion und Multiplikation von Exponenten beim Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis sowie beim Potenzieren von Potenzen.

Der häufigste Fehler ist das mechanische Verwechseln von Rechenoperationen – das Multiplizieren von Exponenten anstelle ihrer Addition beim Produkt von Potenzen mit gleicher Basis. Eine zusätzliche Schwierigkeit stellen negative Exponenten dar: Beim Dividieren von Potenzen vergessen Schüler häufig die Regel zur Subtraktion einer negativen Zahl, was zu einem falschen Vorzeichen im Ergebnis führt.

In den Aufgaben der Vorlage Fehlender Exponent – Rechnen mit Potenzen analysiert der Schüler eine Gleichung, in der sich anstelle eines der Exponenten ein leeres Feld befindet. Sein Ziel ist es, den Term umzuformen und die passende ganze Zahl einzutragen, die die gegebene Gleichung erfüllt.

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Teilung einer Größe in einem gegebenen Verhältnis

Der Schüler teilt eine gegebene Größe in zwei oder drei Teile in einem bestimmten Verhältnis und wendet diese Fertigkeit bei praktischen Textaufgaben an.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.10 erkennt direkt proportionale Zusammenhänge, wendet sie zur Bestimmung des Wertes einer Größe anhand der anderen an und nutzt die proportionale Aufteilung in zwei oder drei Teile im praktischen Kontext (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse löst der Schüler Aufgaben, die die Aufteilung einer gegebenen Größe – zum Beispiel eines Geldbetrags, einer Länge oder einer Masse – in zwei oder drei Teile nach einem vorgegebenen Zahlenverhältnis erfordern. Er bestimmt den Wert eines Teils der Aufteilung und berechnet anschließend die auf die einzelnen Anteile entfallenden Größen.

Ein typischer Fehler besteht darin, die Zahlen aus dem Verhältnis als Bruchteile der Gesamtgröße und nicht als deren Bestandteile zu betrachten. Schüler teilen die Ausgangszahl nicht selten direkt durch die Glieder des Verhältnisses, anstatt zuerst die Summe aller Einheiten zu berechnen und die Ausgangsgröße durch diese zu teilen.

In Aufgaben des Typs Teilung in einem gegebenen Verhältnis begegnet der Schüler Problemen in einem praktischen Kontext, wie der Aufteilung eines Gewinns im Verhältnis 2 : 3 oder der Zubereitung von Mörtel mit einem Mischungsverhältnis von 1 : 2 : 4. Die Aufgabe erfordert das Aufstellen einer entsprechenden Gleichung oder das Addieren der Teile sowie die Angabe konkreter Größen für jedes Element der Aufteilung.

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Faktor vor die Wurzel ziehen

Der Schüler lernt, Quadrat- und Kubikwurzeln durch Zerlegen des Radikanden und Herausziehen des entsprechenden Faktors vor die Wurzel zu vereinfachen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9 wendet die Rechengesetze für Quadrat- und Kubikwurzeln an, darunter: (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.a berechnet Wurzeln aus dem Produkt und dem Quotienten zweier Zahlen (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.b multipliziert und dividiert Wurzeln gleichen Grades (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.c zieht teilweise die Wurzel (radiziert teilweise) und bringt einen Faktor unter das Wurzelzeichen (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse lernen die Schülerinnen und Schüler das Vereinfachen von Quadrat- und Kubikwurzeln. Sie nutzen Recheneigenschaften, um die Zahl unter der Wurzel als Produkt darzustellen und den Faktor vor die Wurzel zu ziehen, aus dem sich die Wurzel des entsprechenden Grades ziehen lässt.

Ein typischer Fehler ist ein unvollständiges Vereinfachen – beispielsweise das Umwandeln der Quadratwurzel aus 72 in eine Form mit der Zahl 18 unter der Wurzel, anstatt den Term vollständig zu vereinfachen. Ein häufiges Problem bei Kubikwurzeln ist zudem das mechanische Suchen nach Quadratzahlen anstelle von Kubikzahlen.

Aufgaben zur Festigung dieser Fertigkeit erscheinen meist mit der Anweisung Ziehe den Faktor vor die Wurzel. Die Lernenden erhalten einen einzelnen Term mit einer Quadrat- oder Kubikwurzel und formen ihn in ein Produkt aus einer ganzen Zahl und einer Wurzel mit einem kleineren Radikanden um.

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Schätzen von Wurzelwerten

Der Schüler lernt, den Näherungswert einer Wurzel zu bestimmen, indem er die benachbarten ganzen Zahlen angibt, zwischen denen die gegebene Zahl liegt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.8 schätzt den Wert eines einfachen arithmetischen Ausdrucks, der Wurzeln enthält (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse kann der Schüler den Wert einer Wurzel sowie eines einfachen arithmetischen Ausdrucks mit Wurzeln ohne Verwendung eines Taschenrechners schätzen. Dabei nutzt er seine Kenntnisse über die Quadrat- und Kubikzahlen natürlicher Zahlen, um zu bestimmen, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen der gesuchte Wert liegt.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist das Verwechseln des Wurzelziehens mit dem Teilen – zum Beispiel anzunehmen, dass die Wurzel aus 10 gleich 5 ist, anstatt zu erkennen, dass sie zwischen 3 und 4 liegt (da 3² = 9 und 4² = 16). Schüler versuchen manchmal auch, Nachkommastellen zu erraten, anstatt sich auf die nächstgelegenen bekannten Potenzen zu stützen.

In der Praxis trägt der Schüler bei Aufgaben aus der Reihe Wurzeln schätzen die fehlenden ganzen Zahlen ein, die die gegebene Wurzel in einer Ungleichung eingrenzen, oder beurteilt, welche der ganzen Zahlen dem angegebenen Wert am nächsten liegt.

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Schreiben und Vergleichen von Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise

Der Schüler schreibt Zahlen in wissenschaftlicher Notation und vergleicht in dieser Form dargestellte Größen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.6 schreibt Zahlen in wissenschaftlicher Notation (Zehnerpotenz-Schreibweise) und vergleicht auf diese Weise dargestellte Zahlen (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse wandelt der Schüler Zahlen sicher von der Dezimalschreibweise in die wissenschaftliche Schreibweise und umgekehrt um. Er schreibt Zahlen als Produkt, bei dem der erste Faktor im Bereich von 1 bis 10 liegt (ausschließlich 10) und der zweite eine Zehnerpotenz ist. Anhand des Exponenten der Potenz sowie des Wertes des ersten Faktors kann er auch schnell zwei Zahlen miteinander vergleichen.

Ein häufiger Fehler besteht darin, den ersten Faktor in einer ungeeigneten Form zu belassen – zum Beispiel die Schreibweise 45 · 10³ anstelle der korrekten 4,5 · 10⁴. Schülerinnen und Schüler neigen auch dazu, Nullen in einer Zahl mechanisch zu zählen, anstatt zu überprüfen, um wie viele Stellen das Komma tatsächlich verschoben wurde.

Die Aufgaben in der Aufgabensammlung Wissenschaftliche Schreibweise bestehen darin, gegebene Zahlen in die wissenschaftliche Schreibweise umzuwandeln, mithilfe von Zehnerpotenzen dargestellte Werte abzulesen und eine Reihe von Zahlen von der kleinsten zur größten zu ordnen.

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Lösen von Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten

Der Schüler ordnet und löst Gleichungen ersten Grades, bei denen der Buchstabe, der die Unbekannte bezeichnet, auf der linken und rechten Seite des Gleichheitszeichens steht.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse löst der Schüler lineare Gleichungen mit einer Unbekannten, die auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht. Das Kind bringt die Gleichung in eine einfachere Form: Es fasst Terme mit der Unbekannten auf der einen Seite (meistens der linken) und konstante Zahlen auf der anderen Seite zusammen, fasst anschließend gleichartige Terme zusammen und bestimmt den gesuchten Wert.

Eine typische Schwierigkeit auf dieser Stufe ist der Vorzeichenwechsel beim Übertragen von Zahlen oder algebraischen Ausdrücken auf die andere Seite der Gleichung. Schüler übernehmen oft mechanisch das Plus- oder Minuszeichen, anstatt es in das entgegengesetzte Vorzeichen zu ändern. Fehler treten auch im letzten Schritt auf, wenn beide Seiten durch eine negative Zahl vor der Unbekannten geteilt werden müssen.

In der Praxis hat die Aufgabe im Rahmen der Vorlage Gleichung mit der Unbekannten auf beiden Seiten die Form einer vorgegebenen linearen Gleichung (z. B. 5x - 3 = 2x + 9). Der Schüler notiert die einzelnen Umformungsschritte und führt auf beiden Seiten Operationen durch, bis das Endergebnis erreicht ist.

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Überprüfen, ob eine Zahl eine Lösung der Gleichung ist

Der Schüler kann überprüfen, ob eine gegebene ganze oder rationale Zahl eine Gleichung mit einer Unbekannten erfüllt, indem er sie anstelle des Buchstabens einsetzt und die Werte beider Seiten berechnet.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.10 prüft, ob eine gegebene rationale Zahl Lösung einer linearen Gleichung (Gleichung ersten Grades) ist (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.9 prüft, ob eine gegebene ganze Zahl eine Lösung einer Gleichung (ersten, zweiten oder dritten Grades) mit einer Unbekannten ist (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse kann der Schüler beurteilen, ob eine gegebene Zahl eine Gleichung mit einer Unbekannten erfüllt. Bei Gleichungen ersten Grades überprüft er beliebige rationale Zahlen, einschließlich gemeiner Brüche und Dezimalbrüche. Bei Gleichungen zweiten und dritten Grades untersucht er ganze Zahlen. Diese Fähigkeit besteht darin, den angegebenen Wert anstelle der Unbekannten einzusetzen sowie den Wert der linken und der rechten Seite der Gleichung getrennt zu berechnen, um zu prüfen, ob sie gleich sind.

Die häufigsten Fehler treten bei Rechnungen mit negativen Zahlen sowie beim Potenzieren auf. Schüler verwechseln die Schreibweise (-2)² mit -2² oder verlieren Minuszeichen bei der Multiplikation. Eine häufige Schwierigkeit ist auch der unnötige Versuch, die gesamte Gleichung algebraisch umzuformen und zu lösen (insbesondere bei Gleichungen zweiten oder dritten Grades), anstatt die angegebene Zahl einfach durch eine arithmetische Rechnung zu überprüfen.

In der Praxis erhält der Achtklässler bei Aufgaben aus der Vorlage Ist die Zahl eine Lösung der Gleichung? eine fertige Gleichung sowie eine konkrete Zahl zum Überprüfen. Nach dem Einsetzen anstelle der Variablen und dem Ausführen der Rechenoperationen vergleicht der Schüler das Ergebnis der linken und rechten Seite und gibt anschließend eindeutig die Antwort an: Ja oder Nein.

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Gleichungen in zwei Schritten lösen (ax + b = c)

Der Schüler löst Gleichungen ersten Grades der Form ax + b = c, indem er nacheinander den konstanten Term überträgt und durch den Koeffizienten der Unbekannten dividiert.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse löst der Schüler sicher lineare Gleichungen der Form ax + b = c. Die Aufgabe wird in zwei geordneten Schritten ausgeführt: Zuerst wird der Term mit der Unbekannten isoliert, indem auf beiden Seiten die Zahl b addiert oder subtrahiert wird, und anschließend werden beide Seiten durch den Koeffizienten a dividiert, um den Wert der gesuchten Zahl zu bestimmen.

Der häufigste Fehler besteht darin, Vorzeichen beim Übertragen des konstanten Terms auf die andere Seite der Gleichung zu vergessen oder zu verwechseln (beispielsweise das Addieren einer Zahl statt ihrer Subtraktion). Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten mit der Reihenfolge der Rechenschritte – sie versuchen, durch die Zahl vor der Unbekannten zu dividieren, bevor der konstante Term aufgelöst wurde, was die Rechnung unnötig verkompliziert.

Aufgaben aus der Vorlage Gleichung ax + b = c erfordern das Bestimmen des Werts der Unbekannten in einfachen algebraischen Ausdrücken wie 3x + 5 = 26 oder unter Beteiligung negativer Zahlen, z. B. -2x + 7 = -5. Der Schüler notiert die aufeinanderfolgenden Umformungsschritte und führt die Gleichung so zum Endergebnis.

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Aufgabentypen: Die Gleichung ax + b = c lösen · Lösung einer Gleichung — wähle die Antwort

Berechnung des Werts eines algebraischen Ausdrucks

Der Schüler setzt ganze Zahlen anstelle der Buchstaben in einen kurzen algebraischen Ausdruck (bis zu drei Monome) ein und berechnet dessen Endergebnis.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.2 berechnet den Zahlenwert eines algebraischen Terms, der die Summe von höchstens drei Monomen ist, für gegebene ganzzahlige Werte der Variablen (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse berechnet der Schüler sicher den Zahlenwert eines algebraischen Terms, der aus höchstens drei Monomen besteht. Für die vorkommenden Variablen setzt er die angegebenen ganzen Zahlen ein — sowohl positive als auch negative oder null — und führt anschließend die Rechenoperationen unter Beachtung der richtigen Reihenfolge korrekt aus.

Die häufigsten Fehler entstehen durch Unachtsamkeit beim Umgang mit negativen Zahlen. Schülerinnen und Schüler vergessen die Klammern beim Potenzieren einer negativen Zahl, die für eine Variable eingesetzt wird, oder übersehen das Minuszeichen beim Subtrahieren eines Monoms mit negativem Wert. Es kommt auch vor, dass die Reihenfolge der Rechenoperationen missachtet wird, beispielsweise durch das Addieren von Zahlen vor dem Ausführen der Multiplikation in einem Monom.

In den Aufgaben des Arbeitsblatts „Wert eines algebraischen Terms“ erhält der Schüler einen kurzen Term sowie die Werte der Variablen, zum Beispiel: Berechne den Wert des Terms 3a - 2b + 4 für a = -2 und b = 5. Die Aufgabe besteht darin, die Zahlen fehlerfrei für die Variablen einzusetzen und die Rechnung bis zu einem einzelnen numerischen Ergebnis durchzuführen.

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Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen

Der Schüler löst Textaufgaben, indem er die Situation mithilfe von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten beschreibt und sie auf eine Gleichung ersten Grades zurückführt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.12 löst Textaufgaben mithilfe von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten oder von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen. (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse löst der Schüler Textaufgaben mithilfe von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Gemäß dem Lehrplan erlernt er Gleichungssysteme, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung mit einer Unbekannten zurückführen lassen – beispielsweise durch das Umstellen nach einer Variablen und deren Einsetzen in die andere Gleichung.

Ein typischer Fehler tritt beim Einsetzen des aufgelösten Ausdrucks auf. Steht vor der Variablen ein Minuszeichen oder ein numerischer Koeffizient, vergessen Schüler häufig, den eingesetzten Term in Klammern zu setzen, was zu falschen Vorzeichen bei den weiteren Gliedern und zu einem fehlerhaften Gesamtergebnis führt.

In der Praxis begegnet der Schüler bei der Verwendung der Vorlage System zweier Gleichungen Sachaufgaben (z. B. zu Preisen von ermäßigten und regulären Tickets oder zur Anzahl von Münzen unterschiedlicher Nennwerte). Seine Aufgabe besteht darin, beide Unbekannten zu definieren, zwei miteinander verknüpfte Gleichungen aufzustellen und die korrekten Zahlenwerte zu ermitteln.

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Berechnung der Zinsen für eine einjährige Festgeldanlage

Der Schüler berechnet den Ertrag einer einjährigen Bankanlage sowie das um die Zinsen erhöhte Gesamtkapital bei einem gegebenen Zinssatz.

In der 8. Klasse wenden Schülerinnen und Schüler die Prozentrechnung in einem praktischen finanziellen Kontext an. Auf Grundlage des eingezahlten Kapitals und des angegebenen Jahreszinssatzes können sie den Betrag der nach Ablauf eines Jahres erwirtschafteten Zinsen berechnen sowie das Endguthaben nach Hinzurechnung des Zinsgewinns zum eingezahlten Betrag bestimmen.

Ein typischer Fehler besteht darin, den reinen Zinsbetrag mit dem endgültigen Betrag zu verwechseln, der nach Ablauf des Anlagezeitraums von der Bank ausgezahlt wird. Lernende betrachten den berechneten Gewinn manchmal als das gesamte Kontoguthaben oder versuchen, die Prozentangabe direkt zum Geldbetrag zu addieren (z. B. indem sie 5 zł anstelle von 5 % des Kapitals hinzurechnen).

Aufgaben aus der Vorlage Zinsen auf eine Geldanlage stellen realistische finanzielle Situationen dar. Eine typische Aufgabenstellung erfordert die Berechnung, wie viele Zinsen die Einzahlung eines bestimmten Betrags (z. B. 3000 zł) bei einem jährlichen Zinssatz (z. B. 6 %) einbringt und welchen Gesamtbetrag der Kunde nach einem Jahr Laufzeit der Geldanlage erhält.

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Aufgabenvorlagen zum Ausdrucken

Alle Aufgabentypen, nach Kompetenzen geordnet. Ein Klick öffnet den Generator mit dem gewählten Typ.

Grundwert aus dem Prozentwert

Gleichungen in zwei Schritten lösen (ax + b = c)

Berechnung des Werts eines algebraischen Ausdrucks

Den Wert eines Terms berechnen

Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen

Lineares Gleichungssystem

Berechnung der Zinsen für eine einjährige Festgeldanlage

Zinsen für ein Sparguthaben

Weitere Aufgabentypen

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