Programma scolastico (Stati Uniti)

Matematica — classe 8ª

Matematica di 8° grado secondo i Common Core State Standards: esponenti, radici quadrate e cubiche, notazione scientifica, equazioni con variabili su entrambi i lati, sistemi di equazioni, funzioni lineari e pendenza, il teorema di Pitagora e il volume di cilindri, coni e sfere. Ogni argomento include schede didattiche stampabili già pronte.

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Cosa impara uno studente in matematica in terza media?

In terza media lo studente lavora con esponenti interi, radici quadrate e cubiche e notazione scientifica. Nelle equazioni le variabili compaiono su entrambi i membri e due equazioni vengono risolte come sistema. Le funzioni diventano il concetto principale: lo studente ricava la pendenza e l'intercetta y di una retta e calcola i valori delle funzioni lineari. In geometria, il teorema di Pitagora serve a trovare i lati mancanti e lo studente calcola il volume di cilindri, coni e sfere.

Stato della pagina: esponenti e radici, notazione scientifica, percentuali, operazioni con numeri relativi, equazioni e sistemi, funzioni lineari, teorema di Pitagora, cerchi e solidi e probabilità sono pronti. Le trasformazioni e i grafici a dispersione sono in fase di aggiunta.

Ambito del programma

Punto del programma 8.NS · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Il sistema di numerazione

nostra traduzione · testo originale (EN): The Number System

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain The Number System (8.NS)
Punto del programma 8.NS.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Sapere che esistono numeri che non sono razionali, e approssimarli mediante numeri razionali.

nostra traduzione · testo originale (EN): Know that there are numbers that are not rational, and approximate them by rational numbers.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, cluster A
Punto del programma 8.NS.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Sapere che i numeri che non sono razionali sono detti irrazionali. Comprendere informalmente che ogni numero ha uno sviluppo decimale; per i numeri razionali mostrare che lo sviluppo decimale alla fine si ripete, e convertire uno sviluppo decimale che alla fine si ripete in un numero razionale.

nostra traduzione · testo originale (EN): Know that numbers that are not rational are called irrational. Understand informally that every number has a decimal expansion; for rational numbers show that the decimal expansion repeats eventually, and convert a decimal expansion which repeats eventually into a rational number.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, standard 8.NS.A.1
Punto del programma 8.NS.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare approssimazioni razionali di numeri irrazionali per confrontare l'ordine di grandezza dei numeri irrazionali, individuarli approssimativamente su una retta numerica e stimare il valore di espressioni (ad es., π 2). Ad esempio, troncando lo sviluppo decimale di √2, mostrare che √2 è compreso tra 1 e 2, poi tra 1,4 e 1,5, e spiegare come proseguire per ottenere approssimazioni migliori.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions (e.g., π 2). For example, by truncating the decimal expansion of √2, show that √2 is between 1 and 2, then between 1.4 and 1.5, and explain how to continue on to get better approximations.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, standard 8.NS.A.2

Stima delle radici quadrate (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.EE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Espressioni ed equazioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Expressions and Equations

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Expressions and Equations (8.EE)
Punto del programma 8.EE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Operare con radicali ed esponenti interi.

nostra traduzione · testo originale (EN): Work with radicals and integer exponents.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster A
Punto del programma 8.EE.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere le connessioni tra relazioni di proporzionalità, rette ed equazioni lineari.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand the connections between proportional relationships, lines, and linear equations.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster B
Punto del programma 8.EE.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Analizzare e risolvere equazioni lineari e sistemi di equazioni lineari simultanee.

nostra traduzione · testo originale (EN): Analyze and solve linear equations and pairs of simultaneous linear equa-tions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster C
Punto del programma 8.EE.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Conoscere e applicare le proprietà degli esponenti interi per generare espressioni numeriche equivalenti. Per esempio, 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27.

nostra traduzione · testo originale (EN): Know and apply the properties of integer exponents to generate equivalent numerical expressions. For example, 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.1

Utilizzo delle regole degli esponenti interi (da noi in classe 8) · Comprendere gli esponenti negativi (da noi in classe 8) · Calcolo delle potenze di numeri interi e frazioni (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.EE.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare i simboli di radice quadrata e radice cubica per rappresentare le soluzioni di equazioni della forma x2 = p e x3 = p, dove p è un numero razionale positivo. Calcolare le radici quadrate di piccoli quadrati perfetti e le radici cubiche di piccoli cubi perfetti. Sapere che √2 è irrazionale.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x2 = p and x3 = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.2

Calcolo di radici quadrate e cubiche (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.EE.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare numeri espressi sotto forma di una singola cifra moltiplicata per una potenza intera di 10 per stimare quantità molto grandi o molto piccole e per esprimere quante volte una sia maggiore dell'altra. Ad esempio, stimare la popolazione degli Stati Uniti come 3 × 10 8 e la popolazione mondiale come 7 × 10 9, e determinare che la popolazione mondiale è più di 20 volte maggiore.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other. For example, estimate the population of the United States as 3 × 10 8 and the population of the world as 7 × 10 9, and determine that the world population is more than 20 times larger.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.3

Lavorare con la notazione scientifica (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.EE.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Eseguire operazioni con numeri espressi in notazione scientifica, compresi problemi in cui vengono utilizzate sia la notazione decimale sia la notazione scientifica. Utilizzare la notazione scientifica e scegliere unità di misura di dimensioni appropriate per misurazioni di quantità molto grandi o molto piccole (ad es., usare millimetri all'anno per l'espansione dei fondali oceanici). Interpretare la notazione scientifica generata dalla tecnologia.

nostra traduzione · testo originale (EN): Perform operations with numbers expressed in scientific notation, including problems where both decimal and scientific notation are used. Use scientific notation and choose units of appropriate size for measurements of very large or very small quantities (e.g., use millimeters per year for seafloor spreading). Interpret scientific notation that has been generated by technology.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.4

Lavorare con la notazione scientifica (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.EE.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Rappresentare graficamente relazioni proporzionali, interpretando il tasso unitario come pendenza del grafico. Confrontare due diverse relazioni proporzionali rappresentate in modi diversi. Ad esempio, confrontare un grafico distanza-tempo con un'equazione distanza-tempo per determinare quale tra due oggetti in movimento ha una velocità maggiore.

nostra traduzione · testo originale (EN): Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways. For example, compare a distance-time graph to a distance-time equation to determine which of two moving objects has greater speed.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.B.5

Trovare la pendenza e l'intercetta y di una retta (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.EE.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare triangoli simili per spiegare perché la pendenza m è la stessa tra due punti distinti qualsiasi su una retta non verticale nel piano cartesiano; ricavare l'equazione y = mx per una retta passante per l'origine e l'equazione y = mx + b per una retta che interseca l'asse verticale in b.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use similar triangles to explain why the slope m is the same between any two distinct points on a non-vertical line in the coordinate plane; derive the equation y = mx for a line through the origin and the equation y = mx + b for a line intercepting the vertical axis at b.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.B.6

Trovare la pendenza e l'intercetta y di una retta (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.EE.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere equazioni lineari in una variabile. a. Fornire esempi di equazioni lineari in una variabile con una soluzione, infinite soluzioni o nessuna soluzione. Mostrare quale di queste possibilità si verifica trasformando successivamente l'equazione data in forme più semplici, fino a ottenere un'equazione equivalente della forma x = a, a = a o a = b (dove a e b sono numeri diversi). b. Risolvere equazioni lineari con coefficienti razionali, comprese equazioni le cui soluzioni richiedono di sviluppare espressioni mediante la proprietà distributiva e ridurre i termini simili.

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve linear equations in one variable. a. Give examples of linear equations in one variable with one solution, infinitely many solutions, or no solutions. Show which of these possibilities is the case by successively transforming the given equation into simpler forms, until an equivalent equation of the form x = a, a = a, or a = b results (where a and b are different numbers). b. Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.C.7

Risolvere equazioni con variabili su entrambi i lati (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.EE.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Analizzare e risolvere coppie di equazioni lineari simultanee. a. Comprendere che le soluzioni di un sistema di due equazioni lineari a due incognite corrispondono ai punti di intersezione dei loro grafici, poiché i punti di intersezione soddisfano entrambe le equazioni contemporaneamente. b. Risolvere sistemi di due equazioni lineari a due incognite per via algebrica e stimare le soluzioni rappresentando graficamente le equazioni. Risolvere casi semplici a vista. Ad esempio, 3x + 2y = 5 e 3x + 2y = 6 non hanno soluzione poiché 3x + 2y non può valere contemporaneamente 5 e 6. c. Risolvere problemi del mondo reale e matematici riconducibili a due equazioni lineari a due incognite. Ad esempio, date le coordinate di due coppie di punti, determinare se la retta passante per la prima coppia di punti interseca la retta passante per la seconda coppia.

nostra traduzione · testo originale (EN): Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. a. Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously. b. Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection. For example, 3x + 2y = 5 and 3x + 2y = 6 have no solution because 3x + 2y cannot simultaneously be 5 and 6. c. Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables. For example, given coordinates for two pairs of points, determine whether the line through the first pair of points intersects the line through the second pair.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.C.8

Risoluzione di sistemi di due equazioni lineari (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.F · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Funzioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Functions

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Functions (8.F)
Punto del programma 8.F.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Definire, valutare e confrontare funzioni.

nostra traduzione · testo originale (EN): Define, evaluate, and compare functions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, cluster A
Punto del programma 8.F.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare funzioni per modellare relazioni tra grandezze.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use functions to model relationships between quantities.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, cluster B
Punto del programma 8.F.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere che una funzione è una regola che assegna a ciascun input esattamente un output. Il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite da un input e dal corrispondente output.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that a function is a rule that assigns to each input exactly one output. The graph of a function is the set of ordered pairs consisting of an input and the corresponding output.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.1

Valutare una funzione lineare (da noi in classe 8) · Verificare se un punto appartiene al grafico di una retta (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.F.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Confrontare le proprietà di due funzioni, ciascuna rappresentata in modo diverso (algebricamente, graficamente, numericamente in tabelle o mediante descrizioni verbali). Per esempio, data una funzione lineare rappresentata da una tabella di valori e una funzione lineare rappresentata da un'espressione algebrica, determinare quale funzione ha il tasso di variazione maggiore.

nostra traduzione · testo originale (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a linear function represented by a table of values and a linear function represented by an algebraic expression, determine which function has the greater rate of change.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.2

Trovare la pendenza e l'intercetta y di una retta (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.F.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Interpretare l'equazione y = mx + b come definizione di una funzione lineare, il cui grafico è una retta; fornire esempi di funzioni che non sono lineari. Per esempio, la funzione A = s2 che fornisce l'area di un quadrato in funzione della lunghezza del suo lato non è lineare perché il suo grafico contiene i punti (1,1), (2,4) e (3,9), che non si trovano su una retta.

nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret the equation y = mx + b as defining a linear function, whose graph is a straight line; give examples of functions that are not linear. For example, the function A = s2 giving the area of a square as a function of its side length is not linear because its graph contains the points (1,1), (2,4) and (3,9), which are not on a straight line.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.3

Valutare una funzione lineare (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.F.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Costruire una funzione per modellare una relazione lineare tra due grandezze. Determinare il tasso di variazione e il valore iniziale della funzione a partire dalla descrizione di una relazione o da due valori ( x, y), compresa la lettura di questi da una tabella o da un grafico. Interpretare il tasso di variazione e il valore iniziale di una funzione lineare in termini della situazione che modella e in termini del suo grafico o di una tabella di valori.

nostra traduzione · testo originale (EN): Construct a function to model a linear relationship between two quantities. Determine the rate of change and initial value of the function from a description of a relationship or from two ( x, y) values, including reading these from a table or from a graph. Interpret the rate of change and initial value of a linear function in terms of the situation it models, and in terms of its graph or a table of values.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.B.4

Trovare la pendenza e l'intercetta y di una retta (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.F.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Descrivere qualitativamente la relazione funzionale tra due grandezze analizzando un grafico (ad es., dove la funzione è crescente o decrescente, lineare o non lineare). Tracciare un grafico che mostri le caratteristiche qualitative di una funzione descritta verbalmente.

nostra traduzione · testo originale (EN): Describe qualitatively the functional relationship between two quantities by analyzing a graph (e.g., where the function is increasing or decreasing, linear or nonlinear). Sketch a graph that exhibits the qualitative features of a function that has been described verbally.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.B.5
Punto del programma 8.G · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Geometria

nostra traduzione · testo originale (EN): Geometry

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Geometry (8.G)
Punto del programma 8.G.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere la congruenza e la similitudine utilizzando modelli fisici, lucidi o software di geometria.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand congruence and similarity using physical models, transparen-cies, or geometry software.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster A
Punto del programma 8.G.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere e applicare il teorema di Pitagora.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand and apply the Pythagorean Theorem.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster B
Punto del programma 8.G.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere problemi del mondo reale e matematici relativi al volume di cilindri, coni e sfere.

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve real-world and mathematical problems involving volume of cylinders, cones, and spheres.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster C
Punto del programma 8.G.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Verificare sperimentalmente le proprietà di rotazioni, riflessioni e traslazioni: a. Le rette vengono trasformate in rette e i segmenti in segmenti della stessa lunghezza. b. Gli angoli vengono trasformati in angoli della stessa ampiezza. c. Le rette parallele vengono trasformate in rette parallele.

nostra traduzione · testo originale (EN): Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: a. Lines are taken to lines, and line segments to line segments of the same length. b. Angles are taken to angles of the same measure. c. Parallel lines are taken to parallel lines.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.1
Punto del programma 8.G.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere che una figura bidimensionale è congruente a un'altra se la seconda può essere ottenuta dalla prima mediante una sequenza di rotazioni, riflessioni e traslazioni; date due figure congruenti, descrivere una sequenza che mostri la congruenza tra di esse.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that a two-dimensional figure is congruent to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations; given two congruent figures, describe a sequence that exhibits the congruence between them.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.2
Punto del programma 8.G.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Descrivere l'effetto di dilatazioni, traslazioni, rotazioni e riflessioni su figure bidimensionali utilizzando le coordinate.

nostra traduzione · testo originale (EN): Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.3
Punto del programma 8.G.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere che una figura bidimensionale è simile a un'altra se la seconda può essere ottenuta dalla prima mediante una sequenza di rotazioni, riflessioni, traslazioni e dilatazioni; date due figure bidimensionali simili, descrivere una sequenza che mostri la similitudine tra di esse.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that a two-dimensional figure is similar to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations; given two similar two-dimensional figures, describe a sequence that exhibits the similarity between them.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.4
Punto del programma 8.G.A.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare argomentazioni informali per stabilire fatti relativi alla somma degli angoli e all'angolo esterno dei triangoli, agli angoli creati quando rette parallele sono tagliate da una trasversale e al criterio angolo-angolo per la similitudine dei triangoli. Per esempio, disporre tre copie dello stesso triangolo in modo che la somma dei tre angoli sembri formare una retta, e fornire un'argomentazione in termini di trasversali sul perché sia così.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use informal arguments to establish facts about the angle sum and exterior angle of triangles, about the angles created when parallel lines are cut by a transversal, and the angle-angle criterion for similarity of triangles. For example, arrange three copies of the same triangle so that the sum of the three angles appears to form a line, and give an argument in terms of transversals why this is so.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.5

Trovare gli angoli mancanti nei triangoli e nei quadrilateri (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.G.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Spiegare una dimostrazione del teorema di Pitagora e del suo inverso.

nostra traduzione · testo originale (EN): Explain a proof of the Pythagorean Theorem and its converse.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.6

Usare il teorema di Pitagora per trovare i lati mancanti (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.G.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Applicare il teorema di Pitagora per determinare le lunghezze incognite dei lati in triangoli rettangoli in problemi reali e matematici in due e tre dimensioni.

nostra traduzione · testo originale (EN): Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles in real-world and mathematical problems in two and three dimensions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.7

Usare il teorema di Pitagora per trovare i lati mancanti (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.G.B.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Applicare il teorema di Pitagora per trovare la distanza tra due punti in un sistema di coordinate.

nostra traduzione · testo originale (EN): Apply the Pythagorean Theorem to find the distance between two points in a coordinate system.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.8

Usare il teorema di Pitagora per trovare i lati mancanti (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.G.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Conoscere le formule per i volumi di coni, cilindri e sfere e usarle per risolvere problemi del mondo reale e matematici.

nostra traduzione · testo originale (EN): Know the formulas for the volumes of cones, cylinders, and spheres and use them to solve real-world and mathematical problems.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.C.9

Calcolo del volume di cilindri, coni e sfere (da noi in classe 8)
Punto del programma 8.SP · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Statistica e probabilità

nostra traduzione · testo originale (EN): Statistics and Probability

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Statistics and Probability (8.SP)
Punto del programma 8.SP.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Indagare modelli di associazione in dati bivariati.

nostra traduzione · testo originale (EN): Investigate patterns of association in bivariate data.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, cluster A
Punto del programma 8.SP.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Costruire e interpretare grafici a dispersione per dati di misurazione bivariati per indagare schemi di associazione tra due grandezze. Descrivere schemi quali raggruppamenti, valori anomali, associazione positiva o negativa, associazione lineare e associazione non lineare.

nostra traduzione · testo originale (EN): Construct and interpret scatter plots for bivariate measurement data to investigate patterns of association between two quantities. Describe patterns such as clustering, outliers, positive or negative association, linear association, and nonlinear association.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.1
Punto del programma 8.SP.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Sapere che le rette sono ampiamente utilizzate per modellare le relazioni tra due variabili quantitative. Per i grafici a dispersione che suggeriscono un'associazione lineare, adattare informalmente una retta e valutare informalmente l'adattamento del modello giudicando la vicinanza dei punti dati alla retta.

nostra traduzione · testo originale (EN): Know that straight lines are widely used to model relationships between two quantitative variables. For scatter plots that suggest a linear association, informally fit a straight line, and informally assess the model fit by judging the closeness of the data points to the line.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.2
Punto del programma 8.SP.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare l'equazione di un modello lineare per risolvere problemi nel contesto di dati di misurazione bivariati, interpretando la pendenza e l'intercetta. Per esempio, in un modello lineare per un esperimento di biologia, interpretare una pendenza di 1.5 cm/hr nel senso che un'ora aggiuntiva di luce solare ogni giorno è associata a 1.5 cm aggiuntivi nell'altezza della pianta matura.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use the equation of a linear model to solve problems in the context of bivariate measurement data, interpreting the slope and intercept. For example, in a linear model for a biology experiment, interpret a slope of 1.5 cm/hr as meaning that an additional hour of sunlight each day is associated with an additional 1.5 cm in mature plant height.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.3
Punto del programma 8.SP.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere che i modelli di associazione possono essere osservati anche in dati categoriali bivariati rappresentando frequenze e frequenze relative in una tabella a doppia entrata. Costruire e interpretare una tabella a doppia entrata che riassume dati relativi a due variabili categoriali raccolti dagli stessi soggetti. Utilizzare le frequenze relative calcolate per righe o per colonne per descrivere una possibile associazione tra le due variabili. Ad esempio, raccogliere dati dagli studenti della propria classe sul fatto che abbiano o meno un orario di rientro nelle sere dei giorni di scuola e che abbiano o meno faccende assegnate a casa. Ci sono prove che coloro che hanno un orario di rientro tendano anche ad avere faccende assegnate?

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that patterns of association can also be seen in bivariate categorical data by displaying frequencies and relative frequencies in a two-way table. Construct and interpret a two-way table summarizing data on two categorical variables collected from the same subjects. Use relative frequencies calculated for rows or columns to describe possible association between the two variables. For example, collect data from students in your class on whether or not they have a curfew on school nights and whether or not they have assigned chores at home. Is there evidence that those who have a curfew also tend to have chores?

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.4

Competenze passo dopo passo

Usare il teorema di Pitagora per trovare i lati mancanti

Gli studenti imparano a usare il teorema di Pitagora per calcolare i lati mancanti dei triangoli rettangoli e verificare se un triangolo ha un angolo retto.

Punto del programma 8.G.B.6 Spiegare una dimostrazione del teorema di Pitagora e del suo inverso. (nostra traduzione)
Punto del programma 8.G.B.7 Applicare il teorema di Pitagora per determinare le lunghezze incognite dei lati in triangoli rettangoli in problemi reali e matematici in due e tre dimensioni. (nostra traduzione)
Punto del programma 8.G.B.8 Applicare il teorema di Pitagora per trovare la distanza tra due punti in un sistema di coordinate. (nostra traduzione)

In terza media, gli studenti utilizzano la relazione pitagorica (a² + b² = c²) per trovare le lunghezze dei lati mancanti nei triangoli rettangoli e per verificare se un dato triangolo contiene un angolo retto. Elevano al quadrato le misure note, sommano o sottraggono questi valori ed estraggono la radice quadrata per determinare la lunghezza incognita.

Un errore frequente si verifica quando si calcola un cateto mancante. Spesso gli studenti sommano automaticamente i quadrati delle due lunghezze dei lati fornite, dimenticando che per trovare un cateto è necessario sottrarre il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa. Un'altra svista comune consiste nell'eseguire correttamente i calcoli, ma dimenticare di estrarre la radice quadrata alla fine, lasciando la risposta come c² invece di c.

Gli esercizi pratici forniscono diagrammi di triangoli o elenchi di tre misure dei lati. Gli esercizi assumono tipicamente tre forme: Trova l'ipotenusa quando sono forniti entrambi i cateti, Trova un cateto di un triangolo rettangolo quando sono noti l'ipotenusa e un cateto, e Il triangolo è rettangolo? in cui gli studenti sostituiscono le tre lunghezze dei lati nella formula per verificare se l'uguaglianza è verificata.

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Tipi di esercizi: Calcola l'ipotenusa · Calcola un cateto · Il triangolo è rettangolo? · Ipotenusa — scegli la risposta

Calcolo del volume di cilindri, coni e sfere

Gli studenti imparano a ricordare le formule e a calcolare il volume di cilindri, coni e sfere per risolvere problemi matematici e del mondo reale.

Punto del programma 8.G.C.9 Conoscere le formule per i volumi di coni, cilindri e sfere e usarle per risolvere problemi del mondo reale e matematici. (nostra traduzione)
Punto del programma HSG-GMD.A.3 Utilizzare le formule del volume per cilindri, piramidi, coni e sfere per risolvere problemi. ★ (nostra traduzione)

In terza media, gli studenti imparano a conoscere e ad applicare le formule del volume per tre solidi a superficie curva: cilindri, coni e sfere. Identificano le misure fornite, come raggio, diametro o altezza, applicano gli esponenti elevando al quadrato o al cubo i valori e usano la moltiplicazione per pi greco per calcolare il volume totale.

Un errore comune è confondere il raggio con il diametro, portando gli studenti a elevare al quadrato o al cubo l'intera larghezza della figura invece della sua metà. Un altro errore frequente è confondere le potenze e i coefficienti frazionari tra le diverse figure, come elevare al quadrato il raggio invece di elevarlo al cubo per una sfera, oppure dimenticare di moltiplicare per 1/3 per un cono o per 4/3 per una sfera.

Le attività delle schede didattiche stampabili sono organizzate attorno a tre formati mirati: Volume di un cilindro, Volume di un cono e Volume di una sfera. Gli studenti lavorano a partire da figure geometriche o problemi testuali che riportano le misure per calcolare il volume corretto di ciascun solido.

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Tipi di esercizi: Volume del cilindro · Volume del cono · Volume della sfera

Trovare la pendenza e l'intercetta y di una retta

Gli studenti imparano a determinare la pendenza e l'intercetta con l'asse y di una funzione lineare leggendo grafici cartesiani e calcolando il tasso di variazione tra due punti.

Punto del programma 8.EE.B.5 Rappresentare graficamente relazioni proporzionali, interpretando il tasso unitario come pendenza del grafico. Confrontare due diverse relazioni proporzionali rappresentate in modi diversi. Ad esempio, confrontare un grafico distanza-tempo con un'equazione distanza-tempo per determinare quale tra due oggetti in movimento ha una velocità maggiore. (nostra traduzione)
Punto del programma 8.EE.B.6 Utilizzare triangoli simili per spiegare perché la pendenza m è la stessa tra due punti distinti qualsiasi su una retta non verticale nel piano cartesiano; ricavare l'equazione y = mx per una retta passante per l'origine e l'equazione y = mx + b per una retta che interseca l'asse verticale in b. (nostra traduzione)
Punto del programma 8.F.A.2 Confrontare le proprietà di due funzioni, ciascuna rappresentata in modo diverso (algebricamente, graficamente, numericamente in tabelle o mediante descrizioni verbali). Per esempio, data una funzione lineare rappresentata da una tabella di valori e una funzione lineare rappresentata da un'espressione algebrica, determinare quale funzione ha il tasso di variazione maggiore. (nostra traduzione)
Punto del programma 8.F.B.4 Costruire una funzione per modellare una relazione lineare tra due grandezze. Determinare il tasso di variazione e il valore iniziale della funzione a partire dalla descrizione di una relazione o da due valori ( x, y), compresa la lettura di questi da una tabella o da un grafico. Interpretare il tasso di variazione e il valore iniziale di una funzione lineare in termini della situazione che modella e in termini del suo grafico o di una tabella di valori. (nostra traduzione)

In terza media, gli studenti collegano le relazioni lineari alle rette su un piano cartesiano. Identificano la pendenza come il tasso di variazione costante (variazione verticale divisa per la variazione orizzontale) e individuano l'intercetta y, ovvero il valore iniziale nel punto in cui la retta interseca l'asse verticale, formando l'equazione y = mx + b. Gli studenti lavorano sia con rette passanti per l'origine sia con rette traslate lungo l'asse verticale.

Un errore frequente si verifica quando gli studenti invertono la formula della pendenza, dividendo la variazione di x per la variazione di y anziché la variazione verticale per quella orizzontale. Nel calcolo della pendenza a partire da due coordinate, gli studenti tendono anche a confondere l'ordine della sottrazione, sottraendo il secondo valore di x dal primo e facendo l'opposto per i valori di y. Un altro errore comune è individuare l'intercetta orizzontale anziché l'intercetta verticale y sulla griglia.

Le attività pratiche si concentrano direttamente su queste competenze visive e numeriche attraverso tre formati principali:

Trovare l'intercetta y da un grafico individuando la coordinata in cui una retta interseca l'asse verticale.
Calcolare la pendenza da un grafico contando lo spostamento verticale e orizzontale tra i punti di intersezione della griglia.
Trovare la pendenza passante per due punti calcolando il rapporto tra la variazione di y e la variazione di x a partire da due coppie di coordinate (x, y) date.

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Tipi di esercizi: Termine noto dal grafico · Pendenza dal grafico · Pendenza della retta per due punti

Calcolo di radici quadrate e cubiche

Gli studenti imparano a calcolare le radici quadrate di piccoli quadrati perfetti e le radici cubiche di piccoli cubi perfetti utilizzando i simboli di radice.

Punto del programma 8.EE.A.2 Utilizzare i simboli di radice quadrata e radice cubica per rappresentare le soluzioni di equazioni della forma x2 = p e x3 = p, dove p è un numero razionale positivo. Calcolare le radici quadrate di piccoli quadrati perfetti e le radici cubiche di piccoli cubi perfetti. Sapere che √2 è irrazionale. (nostra traduzione)

In questo anno scolastico, gli studenti lavorano con il simbolo di radice quadrata e con quello di radice cubica per risolvere equazioni e calcolare espressioni numeriche. Si concentrano sulla determinazione dei valori esatti di piccoli quadrati perfetti (come calcolare che la radice quadrata di 64 è 8) e piccoli cubi perfetti (come calcolare che la radice cubica di 27 è 3).

Un errore comune consiste nel confondere le radici con la divisione. Poiché gli studenti vedono un 2 sottinteso nelle radici quadrate e un 3 nelle radici cubiche, spesso dividono il numero dato per 2 o per 3 invece di trovare il fattore che viene moltiplicato per se stesso. Ad esempio, uno studente potrebbe erroneamente rispondere che la radice quadrata di 16 è 8, o che la radice cubica di 27 è 9.

Le schede didattiche offrono agli studenti una pratica diretta con questi simboli. Guidati da consegne come Trova la radice quadrata e Trova la radice cubica, agli studenti vengono presentate espressioni come √49 o ∛8 e viene chiesto di scrivere il singolo numero intero che risolve ciascun problema.

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Tipi di esercizi: Calcola la radice cubica · Calcola la radice quadrata

Trovare gli angoli mancanti nei triangoli e nei quadrilateri

Gli studenti calcolano un angolo incognito in un triangolo o in un quadrilatero sottraendo gli angoli noti da 180 o 360 gradi.

Punto del programma 8.G.A.5 Utilizzare argomentazioni informali per stabilire fatti relativi alla somma degli angoli e all'angolo esterno dei triangoli, agli angoli creati quando rette parallele sono tagliate da una trasversale e al criterio angolo-angolo per la similitudine dei triangoli. Per esempio, disporre tre copie dello stesso triangolo in modo che la somma dei tre angoli sembri formare una retta, e fornire un'argomentazione in termini di trasversali sul perché sia così. (nostra traduzione)

Gli studenti utilizzano le nozioni geometriche fondamentali secondo cui la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180 gradi e la somma degli angoli interni di un quadrilatero è pari a 360 gradi. Per trovare un angolo sconosciuto, sommano le ampiezze degli angoli noti e sottraggono la somma totale ottenuta da 180 o da 360 gradi.

Un errore frequente consiste nel confondere le due somme totali di riferimento, come tentare di sottrarre tre angoli di una figura a quattro lati da 180 gradi invece che da 360 gradi. Si verificano anche sviste aritmetiche durante l'addizione a più passaggi quando si sommano i valori noti prima della sottrazione finale.

Nella pratica, gli esercizi si basano su due modelli principali: Il terzo angolo di un triangolo, in cui vengono fornite le ampiezze di due angoli e gli studenti determinano quello rimanente, e Il quarto angolo di un quadrilatero, in cui vengono forniti i valori di tre angoli e si calcola l'ultimo angolo mancante.

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Tipi di esercizi: Il quarto angolo del quadrilatero · Il terzo angolo del triangolo

Calcolo delle potenze di numeri interi e frazioni

Gli studenti imparano a calcolare il valore numerico esatto di numeri interi e frazioni elevati a esponenti interi positivi e negativi.

Punto del programma 8.EE.A.1 Conoscere e applicare le proprietà degli esponenti interi per generare espressioni numeriche equivalenti. Per esempio, 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27. (nostra traduzione)

In questa fase, gli studenti calcolano i valori numerici di espressioni in cui numeri interi o frazioni sono elevati a esponenti interi. Applicano le regole per gli esponenti positivi e negativi per trasformare espressioni come 3 con esponente -3 in valori frazionari come 1/27.

Un errore comune consiste nel considerare un esponente negativo come un segno meno per la risposta finale, portando gli studenti a scrivere -27 invece di 1/27. Inoltre, gli studenti moltiplicano frequentemente la base per l'esponente anziché moltiplicare la base per se stessa.

In pratica, gli studenti lavorano su due tipologie specifiche di esercizi:

Calcolare la potenza di un numero intero, calcolando il numero intero o la frazione risultante a partire da una base intera.
Calcolare la potenza di una frazione, calcolando il risultato quando una frazione viene elevata a un esponente.

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Tipi di esercizi: Calcola la potenza di un intero · Calcola la potenza di una frazione · Valore di una potenza — scegli la risposta

Comprendere gli esponenti negativi

Gli studenti imparano a riscrivere le espressioni numeriche con esponenti interi negativi sotto forma di frazioni e a calcolarne i valori.

In terza media, gli studenti imparano a interpretare gli esponenti interi negativi per creare espressioni numeriche equivalenti. Scoprono che elevare un numero a una potenza negativa produce un reciproco anziché un valore negativo, permettendo loro di riscrivere termini come 3^-3 in 1/3^3 e calcolare il risultato come 1/27.

Un errore comune consiste nel trattare l'esponente negativo come un segno meno per la base. Spesso gli studenti moltiplicano la base per l'esponente ottenendo -9, oppure calcolano la potenza normalmente e antepongono un segno meno ottenendo -27. Ciò accade perché chi impara associa il simbolo meno strettamente a quantità negative anziché a una divisione ripetuta.

Gli esercizi pratici basati sul modello Esponente negativo propongono agli studenti espressioni con potenze intere negative e chiedono di riscrivere ciascun termine usando esponenti positivi o di calcolarne il valore sotto forma di frazione.

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Utilizzo delle regole degli esponenti interi

Gli studenti imparano ad applicare le proprietà degli esponenti interi per semplificare e scrivere espressioni numeriche equivalenti, comprese quelle con potenze negative.

Gli studenti di terza media applicano le proprietà degli esponenti interi per generare espressioni numeriche equivalenti. Lavorando con esponenti interi positivi, lo zero e interi negativi, gli studenti combinano potenze con la stessa base, ad esempio semplificando 3 alla seconda moltiplicato per 3 alla -5ª potenza in 3 alla -3ª potenza, ovvero 1/27.

Un ostacolo comune consiste nel confondere gli esponenti negativi con valori negativi. Gli studenti spesso calcolano erroneamente 3 alla -3ª potenza come -27 o -9, invece di riconoscere che l'esponente negativo genera una frazione, 1/27. Un altro errore frequente è moltiplicare tra loro le basi invece di mantenere la base invariata mentre si combinano le potenze.

Gli esercizi pratici si presentano spesso sotto forma di problemi con esponente mancante. Data un'equazione incompleta regolata dalle proprietà delle potenze, gli studenti determinano l'esponente intero mancante necessario per rendere equivalenti entrambi i membri dell'espressione numerica.

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Stima delle radici quadrate

Gli studenti imparano ad approssimare il valore delle radici quadrate individuando i numeri interi e i decimali consecutivi tra cui sono comprese.

Punto del programma 8.NS.A.2 Utilizzare approssimazioni razionali di numeri irrazionali per confrontare l'ordine di grandezza dei numeri irrazionali, individuarli approssimativamente su una retta numerica e stimare il valore di espressioni (ad es., π 2). Ad esempio, troncando lo sviluppo decimale di √2, mostrare che √2 è compreso tra 1 e 2, poi tra 1,4 e 1,5, e spiegare come proseguire per ottenere approssimazioni migliori. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a trovare approssimazioni razionali per le radici quadrate non perfette collocandole tra valori di riferimento noti. Utilizzando i quadrati perfetti più vicini, determinano che una radice irrazionale come √2 si trova tra i numeri interi 1 e 2 (poiché 1² = 1 e 2² = 4). Possono quindi restringere ulteriormente tale intervallo per mostrare che si trova tra 1,4 e 1,5, stabilendo un metodo graduale per ottenere approssimazioni sempre più precise.

Un errore comune si verifica quando gli studenti confondono il calcolo di una radice quadrata con la divisione per 2. Quando viene chiesto di stimare un valore non familiare come √20, uno studente potrebbe erroneamente ipotizzare 10 invece di riconoscere che √20 si trova tra 4 e 5 poiché 4² è 16 e 5² è 25.

Le schede didattiche che utilizzano l'attività Stima una radice quadrata presentano agli studenti radici quadrate non perfette e chiedono loro di identificare i numeri interi consecutivi che racchiudono ciascuna radice, oppure di approssimare la posizione del valore su una retta numerica.

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Lavorare con la notazione scientifica

Gli studenti imparano a scrivere, confrontare e calcolare con numeri molto grandi e molto piccoli espressi come un numero moltiplicato per una potenza intera di 10.

Punto del programma 8.EE.A.3 Utilizzare numeri espressi sotto forma di una singola cifra moltiplicata per una potenza intera di 10 per stimare quantità molto grandi o molto piccole e per esprimere quante volte una sia maggiore dell'altra. Ad esempio, stimare la popolazione degli Stati Uniti come 3 × 10 8 e la popolazione mondiale come 7 × 10 9, e determinare che la popolazione mondiale è più di 20 volte maggiore. (nostra traduzione)
Punto del programma 8.EE.A.4 Eseguire operazioni con numeri espressi in notazione scientifica, compresi problemi in cui vengono utilizzate sia la notazione decimale sia la notazione scientifica. Utilizzare la notazione scientifica e scegliere unità di misura di dimensioni appropriate per misurazioni di quantità molto grandi o molto piccole (ad es., usare millimetri all'anno per l'espansione dei fondali oceanici). Interpretare la notazione scientifica generata dalla tecnologia. (nostra traduzione)

Gli studenti lavorano con quantità scritte sotto forma di una singola cifra moltiplicata per una potenza intera di 10, come 3 × 10⁸ o 7 × 10⁹, per gestire misure molto grandi o piccolissime. Imparano a confrontare questi numeri per determinare quante volte l'uno sia più grande dell'altro, a eseguire operazioni di base con numeri in notazione scientifica e a passare dalla forma decimale standard alle potenze di 10 e viceversa.

Un errore comune si verifica quando gli studenti sommano o moltiplicano e dimenticano di ricondurre l'espressione finale alla forma corretta. Ad esempio, dopo una moltiplicazione, potrebbero lasciare un risultato come 15 × 10⁴ anziché spostare la virgola per scrivere 1,5 × 10⁵. Inoltre, gli studenti confondono spesso la direzione in cui spostare la virgola decimale quando si confrontano con esponenti negativi, trattando erroneamente le potenze negative come numeri negativi anziché come frazioni piccolissime.

Nelle attività sulla Notazione scientifica, gli studenti si esercitano a convertire i valori tra la forma decimale e la notazione scientifica, a confrontare quantità con diverse potenze di 10 e a calcolare prodotti o quozienti relativi a misurazioni provenienti dal campo della scienza e della tecnologia.

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Risolvere equazioni con variabili su entrambi i lati

Gli studenti imparano a risolvere equazioni lineari che presentano variabili su entrambi i lati, utilizzando la proprietà distributiva, combinando i termini simili e lavorando con i numeri razionali.

Punto del programma 8.EE.C.7 Risolvere equazioni lineari in una variabile. a. Fornire esempi di equazioni lineari in una variabile con una soluzione, infinite soluzioni o nessuna soluzione. Mostrare quale di queste possibilità si verifica trasformando successivamente l'equazione data in forme più semplici, fino a ottenere un'equazione equivalente della forma x = a, a = a o a = b (dove a e b sono numeri diversi). b. Risolvere equazioni lineari con coefficienti razionali, comprese equazioni le cui soluzioni richiedono di sviluppare espressioni mediante la proprietà distributiva e ridurre i termini simili. (nostra traduzione)

Gli studenti di terza media imparano a risolvere equazioni lineari in cui l'incognita compare su entrambi i lati del segno di uguale. Lavorano con coefficienti razionali — inclusi numeri interi, frazioni e decimali — applicando la proprietà distributiva per sviluppare le espressioni e raggruppando i termini simili su ciascun membro. Trasformando le equazioni passaggio dopo passaggio, gli studenti determinano se un'equazione ammette un'unica soluzione (x = a), nessuna soluzione (un'uguaglianza falsa come a = b) o infinite soluzioni (un'uguaglianza vera come a = a).

Un errore frequente si verifica nello spostare i termini da una parte all'altra dell'uguale. Gli studenti spesso dimenticano di usare le operazioni inverse, sommando un termine a entrambi i membri invece di sottrarlo, soprattutto in presenza di coefficienti negativi. Un'altra difficoltà sorge quando l'incognita si annulla completamente: gli studenti potrebbero erroneamente pensare che la risposta sia zero anziché interpretare i numeri ottenuti per stabilire se l'equazione non ha soluzioni o ha infinite soluzioni.

Le attività create a partire dal modello Incognita su entrambi i lati presentano equazioni lineari come 4(x − 2) = 2x + 10 o espressioni contenenti frazioni. Gli studenti mostrano i passaggi riga per riga, semplificando ciascun membro, raggruppando i termini con l'incognita da un lato e indicando la soluzione finale.

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Risoluzione di sistemi di due equazioni lineari

Gli studenti imparano a risolvere algebricamente coppie di equazioni lineari, a individuare i loro punti di intersezione su un grafico e a riconoscere quando due equazioni non hanno soluzioni in comune.

Punto del programma 8.EE.C.8 Analizzare e risolvere coppie di equazioni lineari simultanee. a. Comprendere che le soluzioni di un sistema di due equazioni lineari a due incognite corrispondono ai punti di intersezione dei loro grafici, poiché i punti di intersezione soddisfano entrambe le equazioni contemporaneamente. b. Risolvere sistemi di due equazioni lineari a due incognite per via algebrica e stimare le soluzioni rappresentando graficamente le equazioni. Risolvere casi semplici a vista. Ad esempio, 3x + 2y = 5 e 3x + 2y = 6 non hanno soluzione poiché 3x + 2y non può valere contemporaneamente 5 e 6. c. Risolvere problemi del mondo reale e matematici riconducibili a due equazioni lineari a due incognite. Ad esempio, date le coordinate di due coppie di punti, determinare se la retta passante per la prima coppia di punti interseca la retta passante per la seconda coppia. (nostra traduzione)

In terza media, gli studenti imparano a trovare i valori di due variabili che rendono vere contemporaneamente due equazioni lineari distinte. Collegano l'algebra alla geometria comprendendo che la soluzione di un sistema corrisponde al punto di intersezione in cui i relativi grafici si incontrano. Gli studenti stimano le soluzioni tracciando i grafici delle rette, calcolano soluzioni esatte per via algebrica ed esaminano direttamente i casi più semplici, come riconoscere che rette come 3x + 2y = 5 e 3x + 2y = 6 non condividono alcuna soluzione comune poiché due rette parallele non si intersecano mai.

Un errore comune è fermarsi a metà strada: spesso gli studenti calcolano il valore corretto di una variabile, come x, e dimenticano di sostituirlo per ricavare y. Un altro frequente ostacolo consiste nel confondere un sistema privo di soluzioni con uno in cui il risultato è zero; gli studenti possono avere difficoltà a comprendere che, quando due equazioni si contraddicono a vicenda, nessuna coppia di coordinate può soddisfarle entrambe.

In un tipico esercizio su un Sistema di due equazioni, agli studenti vengono presentate due equazioni lineari a due variabili. Risolvono il sistema calcolando le coordinate in cui le rette si intersecano, stimando il punto di intersezione su un piano cartesiano o determinando se la coppia ammette un'unica soluzione, infinite soluzioni o nessuna soluzione.

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Valutare una funzione lineare

Gli studenti sostituiscono un valore di input in un'equazione lineare nella forma y = mx + b per calcolare il valore di output corrispondente.

Punto del programma 8.F.A.1 Comprendere che una funzione è una regola che assegna a ciascun input esattamente un output. Il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite da un input e dal corrispondente output. (nostra traduzione)
Punto del programma 8.F.A.3 Interpretare l'equazione y = mx + b come definizione di una funzione lineare, il cui grafico è una retta; fornire esempi di funzioni che non sono lineari. Per esempio, la funzione A = s2 che fornisce l'area di un quadrato in funzione della lunghezza del suo lato non è lineare perché il suo grafico contiene i punti (1,1), (2,4) e (3,9), che non si trovano su una retta. (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-IF.A.2 Utilizzare la notazione funzionale, valutare funzioni per valori nei loro domini e interpretare affermazioni che utilizzano la notazione funzionale in termini di un contesto. (nostra traduzione)

Gli studenti di terza media imparano che una funzione lineare scritta nella forma y = mx + b è una regola che collega ciascun valore di input (x) a esattamente un valore di output (y). Gli studenti inseriscono un determinato valore di input nell'equazione ed eseguono la moltiplicazione e l'addizione per calcolare l'output, formando una coppia ordinata (x, y) che appartiene alla retta.

Un errore frequente si verifica quando si lavora con i numeri negativi o nel seguire l'ordine delle operazioni. Quando calcolano il valore di un'espressione come y = -2x + 7 con un input negativo, gli studenti spesso dimenticano che moltiplicare due numeri negativi produce un risultato positivo, oppure possono accidentalmente sommare prima di moltiplicare per la pendenza.

In una scheda didattica su Valutare una funzione lineare, agli studenti viene generalmente presentata una regola come y = 3x - 5 e viene chiesto di trovare il valore di y dato un valore specifico di x, come x = 4 o x = -3.

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Tipi di esercizi: Valore di una funzione lineare · Valore della funzione — scegli la risposta

Verificare se un punto appartiene al grafico di una retta

Gli studenti imparano a determinare se una coppia ordinata appartiene al grafico di una funzione verificando se il valore di input produce il valore di output corrispondente.

In terza media, gli studenti imparano che il grafico di una funzione è formato da tutte le coppie ordinate in cui a ogni input è associato il relativo output. Per verificare se un punto specifico appartiene alla retta, gli studenti prendono la coppia di coordinate, sostituiscono il valore di input nell'equazione della funzione e calcolano se essa produce il valore di output indicato.

Un errore frequente si verifica quando gli studenti invertono le coordinate, inserendo il valore di y al posto di x. Questo scambio li porta spesso a calcolare l'espressione aritmetica sbagliata e ad affermare erroneamente che un punto non appartenente alla retta si trovi sul grafico.

Le attività delle schede didattiche basate sul modello Il punto appartiene al grafico? forniscono una legge lineare insieme a una coppia di coordinate. Gli studenti calcolano il valore della funzione per l'input fornito e rispondono con un chiaro "sì" o "no" a seconda che il risultato coincida o meno con la seconda coordinata.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Potenza con esponente negativo

Valutare una funzione lineare

Verificare se un punto appartiene al grafico di una retta

Il punto sta sul grafico?

Altri tipi di esercizi

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