Lehrplan (Vereinigte Staaten)

Mathematik — Klasse 8

Mathematik der 8. Klasse nach den Common Core State Standards: Exponenten, Quadrat- und Kubikwurzeln, wissenschaftliche Schreibweise, Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten, Gleichungssysteme, lineare Funktionen und Steigung, der Satz des Pythagoras sowie das Volumen von Zylindern, Kegeln und Kugeln. Zu jedem Thema gibt es fertige Arbeitsblätter zum Ausdrucken.

Arbeitsblatt zu diesem Lehrplan erstellen

Was lernt ein Schüler im Mathematikunterricht der 8. Klasse?

In der 8. Klasse befasst man sich mit ganzzahligen Exponenten, Quadrat- und Kubikwurzeln sowie der wissenschaftlichen Notation. Gleichungen enthalten Variablen auf beiden Seiten, und zwei Gleichungen werden als Gleichungssystem gelöst. Funktionen werden zum zentralen Thema: Man liest Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden ab und berechnet Werte linearer Funktionen. In der Geometrie lassen sich mit dem Satz des Pythagoras fehlende Seiten bestimmen, und man berechnet das Volumen von Zylindern, Kegeln und Kugeln.

Status der Seite: Exponenten und Wurzeln, wissenschaftliche Notation, Prozentrechnung, Rechnen mit Vorzeichen, Gleichungen und Gleichungssysteme, lineare Funktionen, der Satz des Pythagoras, Kreise und Körper sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung sind fertiggestellt. Transformationen und Streudiagramme werden als Nächstes hinzugefügt.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt 8.NS · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das Zahlensystem

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): The Number System

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain The Number System (8.NS)
Lehrplanpunkt 8.NS.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wissen, dass es Zahlen gibt, die nicht rational sind, und sie durch rationale Zahlen annähern.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Know that there are numbers that are not rational, and approximate them by rational numbers.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, cluster A
Lehrplanpunkt 8.NS.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wissen, dass Zahlen, die nicht rational sind, als irrational bezeichnet werden. Informell verstehen, dass jede Zahl eine Dezimaldarstellung hat; für rationale Zahlen zeigen, dass sich die Dezimaldarstellung schließlich wiederholt, und eine Dezimaldarstellung, die sich schließlich wiederholt, in eine rationale Zahl umwandeln.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Know that numbers that are not rational are called irrational. Understand informally that every number has a decimal expansion; for rational numbers show that the decimal expansion repeats eventually, and convert a decimal expansion which repeats eventually into a rational number.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, standard 8.NS.A.1
Lehrplanpunkt 8.NS.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rationale Näherungswerte irrationaler Zahlen verwenden, um die Größe irrationaler Zahlen zu vergleichen, sie näherungsweise auf einem Zahlenstrahl einzuordnen und den Wert von Ausdrücken (z. B. π 2) zu schätzen. Zum Beispiel durch Abbrechen der Dezimalbruchentwicklung von √2 zeigen, dass √2 zwischen 1 und 2, dann zwischen 1,4 und 1,5 liegt, und erklären, wie man weiter vorgeht, um bessere Näherungswerte zu erhalten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions (e.g., π 2). For example, by truncating the decimal expansion of √2, show that √2 is between 1 and 2, then between 1.4 and 1.5, and explain how to continue on to get better approximations.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, standard 8.NS.A.2

Quadratwurzeln schätzen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.EE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Terme und Gleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Expressions and Equations

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Expressions and Equations (8.EE)
Lehrplanpunkt 8.EE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mit Wurzeln und ganzzahligen Exponenten arbeiten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Work with radicals and integer exponents.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster A
Lehrplanpunkt 8.EE.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Zusammenhänge zwischen proportionalen Beziehungen, Geraden und linearen Gleichungen verstehen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand the connections between proportional relationships, lines, and linear equations.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster B
Lehrplanpunkt 8.EE.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen analysieren und lösen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Analyze and solve linear equations and pairs of simultaneous linear equa-tions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster C
Lehrplanpunkt 8.EE.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Rechengesetze für ganzzahlige Exponenten kennen und anwenden, um äquivalente numerische Terme zu erzeugen. Zum Beispiel: 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Know and apply the properties of integer exponents to generate equivalent numerical expressions. For example, 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.1

Anwenden der Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten (bei uns in Klasse 8) · Negative Exponenten verstehen (bei uns in Klasse 8) · Berechnen von Potenzen ganzer Zahlen und Brüchen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.EE.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Quadratwurzel- und Kubikwurzelsymbole verwenden, um Lösungen von Gleichungen der Form x2 = p und x3 = p darzustellen, wobei p eine positive rationale Zahl ist. Quadratwurzeln kleiner Quadratzahlen und Kubikwurzeln kleiner Kubikzahlen berechnen. Wissen, dass √2 irrational ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x2 = p and x3 = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.2

Quadratwurzeln und Kubikwurzeln bestimmen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.EE.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verwenden von Zahlen, die in Form einer einstelligen Zahl multipliziert mit einer ganzzahligen Zehnerpotenz dargestellt sind, um sehr große oder sehr kleine Größen zu schätzen und anzugeben, wie viel Mal größer eine als die andere ist. Zum Beispiel die Bevölkerung der Vereinigten Staaten als 3 × 10 8 und die Weltbevölkerung als 7 × 10 9 schätzen und bestimmen, dass die Weltbevölkerung mehr als 20-mal so groß ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other. For example, estimate the population of the United States as 3 × 10 8 and the population of the world as 7 × 10 9, and determine that the world population is more than 20 times larger.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.3

Arbeiten mit wissenschaftlicher Notation (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.EE.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rechenoperationen mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise durchführen, einschließlich Aufgaben, bei denen sowohl Dezimalschreibweise als auch wissenschaftliche Schreibweise verwendet werden. Die wissenschaftliche Schreibweise verwenden und Einheiten geeigneter Größe für Messungen sehr großer oder sehr kleiner Größen wählen (z. B. Millimeter pro Jahr für die Ozeanbodenspreizung verwenden). Durch Technologie erzeugte wissenschaftliche Schreibweise interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform operations with numbers expressed in scientific notation, including problems where both decimal and scientific notation are used. Use scientific notation and choose units of appropriate size for measurements of very large or very small quantities (e.g., use millimeters per year for seafloor spreading). Interpret scientific notation that has been generated by technology.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.4

Arbeiten mit wissenschaftlicher Notation (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.EE.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Proportionale Beziehungen grafisch darstellen und dabei die Einheitsrate als Steigung des Graphen interpretieren. Zwei verschiedene proportionale Beziehungen vergleichen, die auf unterschiedliche Weise dargestellt sind. Zum Beispiel einen Weg-Zeit-Graphen mit einer Weg-Zeit-Gleichung vergleichen, um zu bestimmen, welches von zwei sich bewegenden Objekten eine größere Geschwindigkeit hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways. For example, compare a distance-time graph to a distance-time equation to determine which of two moving objects has greater speed.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.B.5

Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden bestimmen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.EE.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ähnliche Dreiecke verwenden, um zu erklären, warum die Steigung m zwischen zwei beliebigen verschiedenen Punkten auf einer nicht-vertikalen Geraden in der Koordinatenebene gleich ist; die Gleichung y = mx für eine Gerade durch den Ursprung und die Gleichung y = mx + b für eine Gerade, die die vertikale Achse bei b schneidet, herleiten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use similar triangles to explain why the slope m is the same between any two distinct points on a non-vertical line in the coordinate plane; derive the equation y = mx for a line through the origin and the equation y = mx + b for a line intercepting the vertical axis at b.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.B.6

Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden bestimmen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.EE.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen. a. Beispiele für lineare Gleichungen mit einer Variablen mit einer Lösung, unendlich vielen Lösungen oder keiner Lösung angeben. Zeigen, welcher dieser Fälle vorliegt, indem die gegebene Gleichung schrittweise in einfachere Formen umgeformt wird, bis sich eine äquivalente Gleichung der Form x = a, a = a oder a = b ergibt (wobei a und b verschiedene Zahlen sind). b. Lineare Gleichungen mit rationalen Koeffizienten lösen, einschließlich Gleichungen, deren Lösung das Ausmultiplizieren von Termen unter Anwendung des Distributivgesetzes und das Zusammenfassen gleichartiger Terme erfordert.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve linear equations in one variable. a. Give examples of linear equations in one variable with one solution, infinitely many solutions, or no solutions. Show which of these possibilities is the case by successively transforming the given equation into simpler forms, until an equivalent equation of the form x = a, a = a, or a = b results (where a and b are different numbers). b. Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.C.7

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.EE.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen analysieren und lösen. a. Verstehen, dass Lösungen eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen den Schnittpunkten ihrer Graphen entsprechen, da Schnittpunkte beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. b. Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen algebraisch lösen und Lösungen durch grafische Darstellung der Gleichungen abschätzen. Einfache Fälle durch Anschauung lösen. Zum Beispiel haben 3x + 2y = 5 und 3x + 2y = 6 keine Lösung, weil 3x + 2y nicht gleichzeitig 5 und 6 sein kann. c. Reale und mathematische Probleme lösen, die zu zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen führen. Zum Beispiel anhand gegebener Koordinaten für zwei Punktepaare bestimmen, ob die Gerade durch das erste Punktepaar die Gerade durch das zweite Paar schneidet.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. a. Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously. b. Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection. For example, 3x + 2y = 5 and 3x + 2y = 6 have no solution because 3x + 2y cannot simultaneously be 5 and 6. c. Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables. For example, given coordinates for two pairs of points, determine whether the line through the first pair of points intersects the line through the second pair.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.C.8

Lösen von Systemen zweier linearer Gleichungen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.F · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Functions

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Functions (8.F)
Lehrplanpunkt 8.F.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen definieren, auswerten und vergleichen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Define, evaluate, and compare functions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, cluster A
Lehrplanpunkt 8.F.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen verwenden, um Beziehungen zwischen Größen zu modellieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use functions to model relationships between quantities.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, cluster B
Lehrplanpunkt 8.F.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass eine Funktion eine Vorschrift ist, die jeder Eingabe genau eine Ausgabe zuordnet. Der Graph einer Funktion ist die Menge der geordneten Paare, die aus einer Eingabe und der zugehörigen Ausgabe bestehen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that a function is a rule that assigns to each input exactly one output. The graph of a function is the set of ordered pairs consisting of an input and the corresponding output.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.1

Auswerten einer linearen Funktion (bei uns in Klasse 8) · Überprüfen, ob ein Punkt auf einem linearen Graphen liegt (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.F.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eigenschaften zweier Funktionen vergleichen, die jeweils auf unterschiedliche Weise dargestellt sind (algebraisch, grafisch, numerisch in Tabellen oder durch verbale Beschreibungen). Zum Beispiel bei einer linearen Funktion, die durch eine Wertetabelle dargestellt ist, und einer linearen Funktion, die durch einen algebraischen Ausdruck dargestellt ist, bestimmen, welche Funktion die größere Änderungsrate hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a linear function represented by a table of values and a linear function represented by an algebraic expression, determine which function has the greater rate of change.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.2

Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden bestimmen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.F.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Gleichung y = mx + b als Definition einer linearen Funktion interpretieren, deren Graph eine Gerade ist; Beispiele für Funktionen angeben, die nicht linear sind. Beispielsweise ist die Funktion A = s2, die den Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge angibt, nicht linear, weil ihr Graph die Punkte (1,1), (2,4) und (3,9) enthält, die nicht auf einer Geraden liegen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret the equation y = mx + b as defining a linear function, whose graph is a straight line; give examples of functions that are not linear. For example, the function A = s2 giving the area of a square as a function of its side length is not linear because its graph contains the points (1,1), (2,4) and (3,9), which are not on a straight line.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.3

Auswerten einer linearen Funktion (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.F.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine Funktion erstellen, um eine lineare Beziehung zwischen zwei Größen zu modellieren. Die Änderungsrate und den Anfangswert der Funktion aus einer Beschreibung einer Beziehung oder aus zwei ( x, y)-Werten bestimmen, einschließlich des Ablesens dieser Werte aus einer Tabelle oder aus einem Graphen. Die Änderungsrate und den Anfangswert einer linearen Funktion im Hinblick auf die Situation, die sie modelliert, und im Hinblick auf ihren Graphen oder eine Wertetabelle interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Construct a function to model a linear relationship between two quantities. Determine the rate of change and initial value of the function from a description of a relationship or from two ( x, y) values, including reading these from a table or from a graph. Interpret the rate of change and initial value of a linear function in terms of the situation it models, and in terms of its graph or a table of values.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.B.4

Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden bestimmen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.F.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den funktionalen Zusammenhang zwischen zwei Größen durch Analyse eines Graphen qualitativ beschreiben (z. B. wo die Funktion steigend oder fallend, linear oder nichtlinear ist). Einen Graphen skizzieren, der die qualitativen Merkmale einer verbal beschriebenen Funktion aufweist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Describe qualitatively the functional relationship between two quantities by analyzing a graph (e.g., where the function is increasing or decreasing, linear or nonlinear). Sketch a graph that exhibits the qualitative features of a function that has been described verbally.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.B.5
Lehrplanpunkt 8.G · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Geometry

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Geometry (8.G)
Lehrplanpunkt 8.G.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kongruenz und Ähnlichkeit unter Verwendung von physischen Modellen, Folien oder Geometriesoftware verstehen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand congruence and similarity using physical models, transparen-cies, or geometry software.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster A
Lehrplanpunkt 8.G.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Satz des Pythagoras verstehen und anwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand and apply the Pythagorean Theorem.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster B
Lehrplanpunkt 8.G.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Alltagsbezogene und mathematische Probleme zum Volumen von Zylindern, Kegeln und Kugeln lösen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve real-world and mathematical problems involving volume of cylinders, cones, and spheres.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster C
Lehrplanpunkt 8.G.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Eigenschaften von Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen experimentell überprüfen: a. Geraden werden auf Geraden und Strecken auf Strecken gleicher Länge abgebildet. b. Winkel werden auf Winkel gleicher Größe abgebildet. c. Parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: a. Lines are taken to lines, and line segments to line segments of the same length. b. Angles are taken to angles of the same measure. c. Parallel lines are taken to parallel lines.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.1
Lehrplanpunkt 8.G.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass eine zweidimensionale Figur kongruent zu einer anderen ist, wenn die zweite durch eine Folge von Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen aus der ersten erhalten werden kann; bei zwei gegebenen kongruenten Figuren eine Folge beschreiben, die die Kongruenz zwischen ihnen aufzeigt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that a two-dimensional figure is congruent to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations; given two congruent figures, describe a sequence that exhibits the congruence between them.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.2
Lehrplanpunkt 8.G.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Wirkung von Streckungen, Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen auf zweidimensionale Figuren mithilfe von Koordinaten beschreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.3
Lehrplanpunkt 8.G.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass eine zweidimensionale Figur einer anderen ähnlich ist, wenn die zweite aus der ersten durch eine Folge von Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen und zentrischen Streckungen hervorgehen kann; bei zwei gegebenen ähnlichen zweidimensionalen Figuren eine Folge beschreiben, die die Ähnlichkeit zwischen ihnen aufzeigt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that a two-dimensional figure is similar to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations; given two similar two-dimensional figures, describe a sequence that exhibits the similarity between them.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.4
Lehrplanpunkt 8.G.A.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Informelle Argumente verwenden, um Aussagen über die Winkelsumme und Außenwinkel von Dreiecken, über die Winkel, die entstehen, wenn parallele Geraden von einer Transversale geschnitten werden, sowie über das Winkel-Winkel-Kriterium für die Ähnlichkeit von Dreiecken zu begründen. Zum Beispiel drei Kopien desselben Dreiecks so anordnen, dass die Summe der drei Winkel eine Gerade zu bilden scheint, und mithilfe von Transversalen begründen, warum dies so ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use informal arguments to establish facts about the angle sum and exterior angle of triangles, about the angles created when parallel lines are cut by a transversal, and the angle-angle criterion for similarity of triangles. For example, arrange three copies of the same triangle so that the sum of the three angles appears to form a line, and give an argument in terms of transversals why this is so.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.5

Fehlende Winkel in Dreiecken und Vierecken berechnen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.G.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Einen Beweis des Satzes des Pythagoras und seiner Umkehrung erklären.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain a proof of the Pythagorean Theorem and its converse.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.6

Den Satz des Pythagoras zur Berechnung fehlender Seiten verwenden (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.G.B.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Satz des Pythagoras anwenden, um unbekannte Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken bei realitätsbezogenen und mathematischen Problemen in zwei und drei Dimensionen zu bestimmen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles in real-world and mathematical problems in two and three dimensions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.7

Den Satz des Pythagoras zur Berechnung fehlender Seiten verwenden (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.G.B.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Satz des Pythagoras anwenden, um den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem zu bestimmen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Apply the Pythagorean Theorem to find the distance between two points in a coordinate system.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.8

Den Satz des Pythagoras zur Berechnung fehlender Seiten verwenden (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.G.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Formeln für die Volumina von Kegeln, Zylindern und Kugeln kennen und sie verwenden, um realitätsbezogene und mathematische Probleme zu lösen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Know the formulas for the volumes of cones, cylinders, and spheres and use them to solve real-world and mathematical problems.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.C.9

Berechnung des Volumens von Zylindern, Kegeln und Kugeln (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt 8.SP · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Statistik und Wahrscheinlichkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Statistics and Probability

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Statistics and Probability (8.SP)
Lehrplanpunkt 8.SP.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Muster von Zusammenhängen in bivariaten Daten untersuchen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Investigate patterns of association in bivariate data.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, cluster A
Lehrplanpunkt 8.SP.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Streudiagramme für bivariate Messdaten erstellen und interpretieren, um Muster von Zusammenhängen zwischen zwei Größen zu untersuchen. Muster wie Clusterbildung, Ausreißer, positive oder negative Zusammenhänge, lineare Zusammenhänge und nichtlineare Zusammenhänge beschreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Construct and interpret scatter plots for bivariate measurement data to investigate patterns of association between two quantities. Describe patterns such as clustering, outliers, positive or negative association, linear association, and nonlinear association.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.1
Lehrplanpunkt 8.SP.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wissen, dass Geraden weithin verwendet werden, um Beziehungen zwischen zwei quantitativen Variablen zu modellieren. Für Streudiagramme, die einen linearen Zusammenhang nahelegen, informell eine Gerade anpassen und die Modellpassung informell beurteilen, indem die Nähe der Datenpunkte zur Geraden bewertet wird.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Know that straight lines are widely used to model relationships between two quantitative variables. For scatter plots that suggest a linear association, informally fit a straight line, and informally assess the model fit by judging the closeness of the data points to the line.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.2
Lehrplanpunkt 8.SP.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Gleichung eines linearen Modells verwenden, um Probleme im Kontext bivariater Messdaten zu lösen, und dabei die Steigung und den Achsenabschnitt interpretieren. Zum Beispiel in einem linearen Modell für ein Biologieexperiment eine Steigung von 1.5 cm/h so interpretieren, dass eine zusätzliche Stunde Sonnenlicht pro Tag mit zusätzlichen 1.5 cm Wuchshöhe der ausgewachsenen Pflanze einhergeht.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the equation of a linear model to solve problems in the context of bivariate measurement data, interpreting the slope and intercept. For example, in a linear model for a biology experiment, interpret a slope of 1.5 cm/hr as meaning that an additional hour of sunlight each day is associated with an additional 1.5 cm in mature plant height.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.3
Lehrplanpunkt 8.SP.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass Muster von Zusammenhängen auch in bivariaten kategorialen Daten erkennbar sind, indem Häufigkeiten und relative Häufigkeiten in einer Kontingenztafel dargestellt werden. Eine Kontingenztafel erstellen und interpretieren, die Daten zu zwei kategorialen Variablen zusammenfasst, die an denselben Untersuchungseinheiten erhoben wurden. Für Zeilen oder Spalten berechnete relative Häufigkeiten verwenden, um einen möglichen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen zu beschreiben. Zum Beispiel Daten von Schülerinnen und Schülern der eigenen Klasse dazu erheben, ob sie an Abenden vor Schultagen zu einer bestimmten Zeit zu Hause sein müssen oder nicht und ob sie feste Aufgaben im Haushalt haben oder nicht. Gibt es Hinweise darauf, dass diejenigen, die zu einer bestimmten Zeit zu Hause sein müssen, tendenziell auch Aufgaben im Haushalt haben?

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that patterns of association can also be seen in bivariate categorical data by displaying frequencies and relative frequencies in a two-way table. Construct and interpret a two-way table summarizing data on two categorical variables collected from the same subjects. Use relative frequencies calculated for rows or columns to describe possible association between the two variables. For example, collect data from students in your class on whether or not they have a curfew on school nights and whether or not they have assigned chores at home. Is there evidence that those who have a curfew also tend to have chores?

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.4

Kompetenzen Schritt für Schritt

Den Satz des Pythagoras zur Berechnung fehlender Seiten verwenden

Die Schüler lernen, den Satz des Pythagoras anzuwenden, um fehlende Seiten rechtwinkliger Dreiecke zu berechnen und zu überprüfen, ob ein Dreieck einen rechten Winkel hat.

Lehrplanpunkt 8.G.B.6 Einen Beweis des Satzes des Pythagoras und seiner Umkehrung erklären. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt 8.G.B.7 Den Satz des Pythagoras anwenden, um unbekannte Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken bei realitätsbezogenen und mathematischen Problemen in zwei und drei Dimensionen zu bestimmen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt 8.G.B.8 Den Satz des Pythagoras anwenden, um den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem zu bestimmen. (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse verwenden Schülerinnen und Schüler den Satz des Pythagoras (a² + b² = c²), um fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen und zu prüfen, ob ein gegebenes Dreieck einen rechten Winkel enthält. Sie quadrieren die bekannten Maße, addieren oder subtrahieren diese Werte und ziehen die Quadratwurzel, um die unbekannte Länge zu ermitteln.

Ein häufiger Fehler tritt bei der Berechnung einer fehlenden Kathete auf. Schülerinnen und Schüler addieren oft automatisch die Quadrate der beiden gegebenen Seitenlängen und vergessen dabei, dass zur Bestimmung einer Kathete das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse subtrahiert werden muss. Ein weiteres häufiges Versehen besteht darin, die Rechenschritte zwar korrekt auszuführen, am Ende jedoch das Ziehen der Wurzel zu vergessen, wodurch das Ergebnis als c² statt als c angegeben wird.

Übungsaufgaben enthalten Abbildungen von Dreiecken oder Angaben zu drei Seitenlängen. Typischerweise gibt es drei Aufgabenarten: Hypotenuse berechnen, wenn beide Katheten vorgegeben sind, Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn die Hypotenuse und eine Kathete bekannt sind, und Ist das Dreieck rechtwinklig?, wobei die Schülerinnen und Schüler drei Seitenlängen in die Formel einsetzen, um zu überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Die Hypotenuse berechnen · Eine Kathete berechnen · Hypotenuse — wähle die Antwort · Ist das Dreieck rechtwinklig?

Berechnung des Volumens von Zylindern, Kegeln und Kugeln

Schülerinnen und Schüler lernen, Formeln abzurufen und das Volumen von Zylindern, Kegeln und Kugeln zu berechnen, um mathematische und alltagsbezogene Probleme zu lösen.

Lehrplanpunkt 8.G.C.9 Die Formeln für die Volumina von Kegeln, Zylindern und Kugeln kennen und sie verwenden, um realitätsbezogene und mathematische Probleme zu lösen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A.3 Volumenformeln für Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln verwenden, um Probleme zu lösen. ★ (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse lernen Schülerinnen und Schüler die Volumenformeln für drei gekrümmte dreidimensionale Körper kennen und anzuwenden: Zylinder, Kegel und Kugeln. Sie bestimmen gegebene Maße wie Radius, Durchmesser oder Höhe, wenden Exponenten durch Quadrieren oder Kubieren von Werten an und nutzen die Multiplikation mit Pi, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln von Radius und Durchmesser, was dazu führt, dass Schülerinnen und Schüler die gesamte Breite des Körpers quadrieren oder kubieren anstatt nur die Hälfte davon. Ein weiterer häufiger Fehler ist das Verwechseln der Potenzen und Bruchkoeffizienten der verschiedenen Körper – wie etwa das Quadrieren des Radius anstelle des Kubierens bei einer Kugel oder das Vergessen der Multiplikation mit 1/3 bei einem Kegel oder 4/3 bei einer Kugel.

Die Aufgaben auf den druckbaren Arbeitsblättern sind in drei thematische Schwerpunkte gegliedert: Volumen eines Zylinders, Volumen eines Kegels und Volumen einer Kugel. Schülerinnen und Schüler nutzen geometrische Skizzen oder Textaufgaben mit Maßangaben, um das korrekte Volumen für jeden Körper zu berechnen.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Volumen einer Kugel · Volumen eines Kegels · Volumen eines Zylinders

Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden bestimmen

Schülerinnen und Schüler lernen, die Steigung und den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion zu bestimmen, indem sie Koordinatengraphen ablesen und die Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnen.

Lehrplanpunkt 8.EE.B.5 Proportionale Beziehungen grafisch darstellen und dabei die Einheitsrate als Steigung des Graphen interpretieren. Zwei verschiedene proportionale Beziehungen vergleichen, die auf unterschiedliche Weise dargestellt sind. Zum Beispiel einen Weg-Zeit-Graphen mit einer Weg-Zeit-Gleichung vergleichen, um zu bestimmen, welches von zwei sich bewegenden Objekten eine größere Geschwindigkeit hat. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt 8.EE.B.6 Ähnliche Dreiecke verwenden, um zu erklären, warum die Steigung m zwischen zwei beliebigen verschiedenen Punkten auf einer nicht-vertikalen Geraden in der Koordinatenebene gleich ist; die Gleichung y = mx für eine Gerade durch den Ursprung und die Gleichung y = mx + b für eine Gerade, die die vertikale Achse bei b schneidet, herleiten. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt 8.F.A.2 Eigenschaften zweier Funktionen vergleichen, die jeweils auf unterschiedliche Weise dargestellt sind (algebraisch, grafisch, numerisch in Tabellen oder durch verbale Beschreibungen). Zum Beispiel bei einer linearen Funktion, die durch eine Wertetabelle dargestellt ist, und einer linearen Funktion, die durch einen algebraischen Ausdruck dargestellt ist, bestimmen, welche Funktion die größere Änderungsrate hat. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt 8.F.B.4 Eine Funktion erstellen, um eine lineare Beziehung zwischen zwei Größen zu modellieren. Die Änderungsrate und den Anfangswert der Funktion aus einer Beschreibung einer Beziehung oder aus zwei ( x, y)-Werten bestimmen, einschließlich des Ablesens dieser Werte aus einer Tabelle oder aus einem Graphen. Die Änderungsrate und den Anfangswert einer linearen Funktion im Hinblick auf die Situation, die sie modelliert, und im Hinblick auf ihren Graphen oder eine Wertetabelle interpretieren. (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse verknüpfen Schülerinnen und Schüler lineare Beziehungen mit Geraden in einem Koordinatensystem. Sie bestimmen die Steigung als konstante Änderungsrate (vertikale Änderung geteilt durch horizontale Änderung) und ermitteln den y-Achsenabschnitt, also den Anfangswert, an dem die Gerade die vertikale Achse schneidet, woraus sich die Gleichung y = mx + b ergibt. Die Lernenden arbeiten sowohl mit Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, als auch mit Geraden, die entlang der vertikalen Achse verschoben sind.

Ein häufiger Fehler tritt auf, wenn Schülerinnen und Schüler die Steigungsformel umkehren und die Änderung in x durch die Änderung in y teilen, anstatt die vertikale durch die horizontale Änderung. Bei der Berechnung der Steigung aus zwei Koordinaten neigen Lernende auch dazu, die Reihenfolge der Subtraktion zu verwechseln, indem sie den zweiten x-Wert vom ersten subtrahieren, während sie bei den y-Werten genau umgekehrt vorgehen. Ein weiterer typischer Fehler besteht darin, im Koordinatengitter den horizontalen Achsenabschnitt statt des vertikalen y-Achsenabschnitts abzulesen.

Übungsaufgaben konzentrieren sich anhand von drei Hauptformaten direkt auf diese visuellen und rechnerischen Fähigkeiten:

Bestimmen des y-Achsenabschnitts aus einem Graphen durch Ablesen der Koordinate, an der eine Gerade die vertikale Achse schneidet.
Berechnen der Steigung aus einem Graphen durch Abzählen der vertikalen und horizontalen Einheiten zwischen den Schnittpunkten des Gitters.
Bestimmen der Steigung durch zwei Punkte durch Berechnen der Änderung in y über der Änderung in x anhand von zwei gegebenen (x, y)-Koordinatenpaaren.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: y-Achsenabschnitt am Graphen ablesen · Steigung am Graphen ablesen · Steigung einer Geraden durch zwei Punkte

Quadratwurzeln und Kubikwurzeln bestimmen

Die Schülerinnen und Schüler lernen, Quadratwurzeln kleiner perfekter Quadratzahlen und Kubikwurzeln kleiner perfekter Kubikzahlen mithilfe von Wurzelzeichen zu berechnen.

Lehrplanpunkt 8.EE.A.2 Quadratwurzel- und Kubikwurzelsymbole verwenden, um Lösungen von Gleichungen der Form x2 = p und x3 = p darzustellen, wobei p eine positive rationale Zahl ist. Quadratwurzeln kleiner Quadratzahlen und Kubikwurzeln kleiner Kubikzahlen berechnen. Wissen, dass √2 irrational ist. (unsere Übersetzung)

In dieser Klassenstufe arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit dem Quadratwurzel- und dem Kubikwurzelzeichen, um Gleichungen zu lösen und numerische Ausdrücke zu berechnen. Sie konzentrieren sich darauf, die exakten Werte kleiner Quadratzahlen (wie z. B. zu bestimmen, dass die Quadratwurzel aus 64 gleich 8 ist) und kleiner Kubikzahlen (wie z. B. zu bestimmen, dass die Kubikwurzel aus 27 gleich 3 ist) zu ermitteln.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln von Wurzeln mit Division. Da die Schülerinnen und Schüler bei Quadratwurzeln eine implizite 2 und bei Kubikwurzeln eine 3 sehen, teilen sie die gegebene Zahl oft durch 2 oder 3, anstatt den Faktor zu finden, der mit sich selbst multipliziert wird. Beispielsweise antwortet ein Kind fälschlicherweise, dass die Quadratwurzel aus 16 gleich 8 ist oder dass die Kubikwurzel aus 27 gleich 9 ist.

Aufgabenblätter bieten den Schülerinnen und Schülern gezielte Übung im Umgang mit diesen Symbolen. Anhand von Aufgabenstellungen wie Bestimme die Quadratwurzel und Bestimme die Kubikwurzel werden ihnen Ausdrücke wie √49 oder ∛8 vorgelegt, und sie notieren die einzelne ganze Zahl, die die jeweilige Aufgabe löst.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Kubikwurzel berechnen · Quadratwurzel berechnen

Fehlende Winkel in Dreiecken und Vierecken berechnen

Schülerinnen und Schüler bestimmen einen unbekannten Winkel in einem Dreieck oder Viereck, indem sie bekannte Winkel von 180 oder 360 Grad subtrahieren.

Lehrplanpunkt 8.G.A.5 Informelle Argumente verwenden, um Aussagen über die Winkelsumme und Außenwinkel von Dreiecken, über die Winkel, die entstehen, wenn parallele Geraden von einer Transversale geschnitten werden, sowie über das Winkel-Winkel-Kriterium für die Ähnlichkeit von Dreiecken zu begründen. Zum Beispiel drei Kopien desselben Dreiecks so anordnen, dass die Summe der drei Winkel eine Gerade zu bilden scheint, und mithilfe von Transversalen begründen, warum dies so ist. (unsere Übersetzung)

Lernende nutzen die grundlegenden geometrischen Fakten, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grad und die der Innenwinkel eines Vierecks 360 Grad beträgt. Um einen unbekannten Winkel zu berechnen, addieren sie die gegebenen Winkelmaße und subtrahieren diese Gesamtsumme von entweder 180 oder 360 Grad.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln der beiden Zielsummen, wie etwa der Versuch, drei Winkel eines Vierecks von 180 Grad statt von 360 Grad zu subtrahieren. Auch Rechenfehler bei der mehrschrittigen Addition treten auf, wenn die bekannten Werte vor der abschließenden Subtraktion zusammengezählt werden.

In der Praxis stammen die Aufgaben aus zwei Kernvorlagen: Der dritte Winkel eines Dreiecks, bei dem zwei Winkelmaße vorgegeben sind und die Lernenden den verbleibenden Winkel bestimmen, und Der vierte Winkel eines Vierecks, bei dem drei Winkelwerte vorgegeben sind und der letzte fehlende Winkel berechnet wird.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Der dritte Winkel im Dreieck · Der vierte Winkel im Viereck

Berechnen von Potenzen ganzer Zahlen und Brüchen

Schülerinnen und Schüler lernen, den exakten numerischen Wert von ganzen Zahlen und Brüchen mit positiven und negativen ganzzahligen Exponenten zu berechnen.

Lehrplanpunkt 8.EE.A.1 Die Rechengesetze für ganzzahlige Exponenten kennen und anwenden, um äquivalente numerische Terme zu erzeugen. Zum Beispiel: 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27. (unsere Übersetzung)

Auf dieser Stufe berechnen die Lernenden die numerischen Werte von Ausdrücken, bei denen ganze Zahlen oder Brüche mit ganzzahligen Exponenten potenziert werden. Sie wenden Regeln für positive und negative Exponenten an, um Ausdrücke wie 3 mit dem Exponenten -3 in Brüche wie 1/27 umzuwandeln.

Ein häufiger Fehler besteht darin, einen negativen Exponenten als negatives Vorzeichen für das Endergebnis zu behandeln, sodass -27 statt 1/27 geschrieben wird. Zudem multiplizieren Lernende häufig die Basis mit dem Exponenten, anstatt die Basis mit sich selbst zu multiplizieren.

In der Praxis bearbeiten die Lernenden zwei spezifische Aufgabentypen:

Potenz einer ganzen Zahl berechnen, wobei die resultierende ganze Zahl oder der resultierende Bruch aus einer ganzzahligen Basis berechnet wird.
Potenz eines Bruchs berechnen, wobei das Ergebnis berechnet wird, wenn ein Bruch potenziert wird.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Potenz einer ganzen Zahl berechnen · Potenz eines Bruchs berechnen · Wert einer Potenz — wähle die Antwort

Negative Exponenten verstehen

Schülerinnen und Schüler lernen, numerische Ausdrücke mit negativen ganzzahligen Exponenten als Brüche umzuschreiben und deren Werte zu berechnen.

In der achten Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, negative ganzzahlige Exponenten zu interpretieren, um äquivalente numerische Ausdrücke zu bilden. Sie entdecken, dass das Erheben einer Zahl zu einer negativen Potenz einen Kehrwert statt eines negativen Werts ergibt, was es ihnen ermöglicht, Terme wie 3^-3 in 1/3^3 umzuschreiben und das Ergebnis als 1/27 zu berechnen.

Ein häufiger Fehler besteht darin, den negativen Exponenten als negatives Vorzeichen für die Basis zu behandeln. Schülerinnen und Schüler multiplizieren oft die Basis mit dem Exponenten, um -9 zu erhalten, oder berechnen die Potenz ganz normal und setzen ein Minuszeichen davor, um -27 zu erhalten. Dies geschieht, weil Lernende das Minuszeichen ausschließlich mit negativen Größen anstatt mit wiederholter Division assoziieren.

Übungsaufgaben, die auf der Vorlage Negativer Exponent basieren, stellen Ausdrücke mit negativen ganzzahligen Potenzen bereit und fordern die Schülerinnen und Schüler auf, jeden Term mit positiven Exponenten umzuschreiben oder als Bruch zu berechnen.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Anwenden der Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten

Schülerinnen und Schüler lernen, die Eigenschaften ganzzahliger Exponenten anzuwenden, um numerische Ausdrücke zu vereinfachen und äquivalente Ausdrücke zu schreiben, einschließlich solcher mit negativen Potenzen.

Schülerinnen und Schüler der achten Klasse wenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten an, um äquivalente numerische Ausdrücke zu erzeugen. Beim Arbeiten mit positiven ganzen Zahlen, der Null und negativen ganzen Zahlen als Exponenten fassen sie Potenzen mit gleicher Basis zusammen – zum Beispiel das Vereinfachen von 3 hoch 2 multipliziert mit 3 hoch -5 zu 3 hoch -3 oder 1/27.

Eine häufige Hürde besteht darin, negative Exponenten mit negativen Zahlenwerten zu verwechseln. Schülerinnen und Schüler berechnen 3 hoch -3 oft fälschlicherweise als -27 oder -9, anstatt zu erkennen, dass der negative Exponent einen Bruch ergibt, nämlich 1/27. Ein weiterer häufiger Fehler ist das Multiplizieren der Basen miteinander, anstatt die Basis beim Zusammenfassen der Potenzen unverändert zu lassen.

Übungsaufgaben erscheinen häufig in Form von Aufgaben mit fehlenden Exponenten. Anhand einer unvollständigen Gleichung, die den Potenzgesetzen unterliegt, bestimmen die Lernenden den fehlenden ganzzahligen Exponenten, damit beide Seiten des numerischen Ausdrucks denselben Wert haben.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Quadratwurzeln schätzen

Schülerinnen und Schüler lernen, den Wert von Quadratwurzeln näherungsweise zu bestimmen, indem sie die aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen und Dezimalzahlen ermitteln, zwischen denen diese liegen.

Lehrplanpunkt 8.NS.A.2 Rationale Näherungswerte irrationaler Zahlen verwenden, um die Größe irrationaler Zahlen zu vergleichen, sie näherungsweise auf einem Zahlenstrahl einzuordnen und den Wert von Ausdrücken (z. B. π 2) zu schätzen. Zum Beispiel durch Abbrechen der Dezimalbruchentwicklung von √2 zeigen, dass √2 zwischen 1 und 2, dann zwischen 1,4 und 1,5 liegt, und erklären, wie man weiter vorgeht, um bessere Näherungswerte zu erhalten. (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler lernen, rationale Näherungswerte für Quadratwurzeln aus Nicht-Quadratzahlen zu ermitteln, indem sie diese zwischen bekannten Referenzwerten einordnen. Anhand benachbarter Quadratzahlen bestimmen sie, dass eine irrationale Wurzel wie √2 zwischen den ganzen Zahlen 1 und 2 liegt (da 1² = 1 und 2² = 4 ist). Dieses Intervall können sie anschließend weiter eingrenzen, um zu zeigen, dass der Wert zwischen 1,4 und 1,5 liegt, und so schrittweise immer genauere Annäherungen finden.

Ein häufiger Fehler entsteht, wenn Schülerinnen und Schüler das Ziehen einer Quadratwurzel mit dem Teilen durch 2 verwechseln. Wenn sie aufgefordert werden, einen unbekannten Wert wie √20 zu schätzen, tippen Lernende fälschlicherweise mitunter auf 10, anstatt zu erkennen, dass √20 zwischen 4 und 5 liegt, da 4² gleich 16 und 5² gleich 25 ist.

Arbeitsblätter mit der Übung Quadratwurzel schätzen präsentieren den Lernenden Quadratwurzeln aus Nicht-Quadratzahlen und fordern sie dazu auf, die aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen zu bestimmen, die den jeweiligen Wurzelwert eingrenzen, oder näherungsweise zu bestimmen, wo der Wert auf einem Zahlenstrahl liegt.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Arbeiten mit wissenschaftlicher Notation

Schülerinnen und Schüler lernen, sehr große und sehr kleine Zahlen zu schreiben, zu vergleichen und mit ihnen zu rechnen, die als eine Zahl multipliziert mit einer ganzzahligen Zehnerpotenz dargestellt werden.

Lehrplanpunkt 8.EE.A.3 Verwenden von Zahlen, die in Form einer einstelligen Zahl multipliziert mit einer ganzzahligen Zehnerpotenz dargestellt sind, um sehr große oder sehr kleine Größen zu schätzen und anzugeben, wie viel Mal größer eine als die andere ist. Zum Beispiel die Bevölkerung der Vereinigten Staaten als 3 × 10 8 und die Weltbevölkerung als 7 × 10 9 schätzen und bestimmen, dass die Weltbevölkerung mehr als 20-mal so groß ist. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt 8.EE.A.4 Rechenoperationen mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise durchführen, einschließlich Aufgaben, bei denen sowohl Dezimalschreibweise als auch wissenschaftliche Schreibweise verwendet werden. Die wissenschaftliche Schreibweise verwenden und Einheiten geeigneter Größe für Messungen sehr großer oder sehr kleiner Größen wählen (z. B. Millimeter pro Jahr für die Ozeanbodenspreizung verwenden). Durch Technologie erzeugte wissenschaftliche Schreibweise interpretieren. (unsere Übersetzung)

Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit Größen, die in der Form einer einzelnen Ziffer mal einer ganzzahligen Zehnerpotenz geschrieben werden, wie etwa 3 × 10⁸ oder 7 × 10⁹, um sehr große oder winzige Messwerte darzustellen. Sie lernen, diese Zahlen miteinander zu vergleichen, um festzustellen, wie viel Mal größer eine Zahl als eine andere ist, grundlegende Rechenoperationen mit Zahlen in wissenschaftlicher Notation durchzuführen und zwischen der standardmäßigen Dezimalschreibweise und Zehnerpotenzen zu wechseln.

Ein häufiger Fehler tritt auf, wenn Schülerinnen und Schüler addieren oder multiplizieren und vergessen, das Endergebnis wieder in die korrekte Form anzupassen. Beispielsweise belassen sie ein Ergebnis nach der Multiplikation als 15 × 10⁴, anstatt das Komma zu verschieben und 1,5 × 10⁵ zu schreiben. Zudem verwechseln Lernende bei negativen Exponenten häufig die Richtung der Kommaverschiebung und behandeln negative Potenzen fälschlicherweise als negative Werte statt als sehr kleine Brüche.

In den Aufgaben zur wissenschaftlichen Schreibweise üben die Schülerinnen und Schüler das Umwandeln von Werten zwischen der Dezimalform und der wissenschaftlichen Notation, das Vergleichen von Größen mit unterschiedlichen Zehnerpotenzen sowie das Berechnen von Produkten oder Quotienten mit Messwerten aus Naturwissenschaft und Technik.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Schülerinnen und Schüler lernen, lineare Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten zu lösen, indem sie das Distributivgesetz anwenden, gleichartige Terme zusammenfassen und mit rationalen Zahlen arbeiten.

Lehrplanpunkt 8.EE.C.7 Lineare Gleichungen mit einer Variablen lösen. a. Beispiele für lineare Gleichungen mit einer Variablen mit einer Lösung, unendlich vielen Lösungen oder keiner Lösung angeben. Zeigen, welcher dieser Fälle vorliegt, indem die gegebene Gleichung schrittweise in einfachere Formen umgeformt wird, bis sich eine äquivalente Gleichung der Form x = a, a = a oder a = b ergibt (wobei a und b verschiedene Zahlen sind). b. Lineare Gleichungen mit rationalen Koeffizienten lösen, einschließlich Gleichungen, deren Lösung das Ausmultiplizieren von Termen unter Anwendung des Distributivgesetzes und das Zusammenfassen gleichartiger Terme erfordert. (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler der achten Klasse lernen, lineare Gleichungen zu lösen, bei denen die Unbekannte auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens vorkommt. Sie arbeiten mit rationalen Koeffizienten – einschließlich ganzer Zahlen, Brüchen und Dezimalzahlen –, indem sie das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren von Termen anwenden und gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen. Durch schrittweises Umformen von Gleichungen stellen die Lernenden fest, ob eine Gleichung zu genau einer Lösung (x = a), keiner Lösung (eine falsche Aussage wie a = b) oder unendlich vielen Lösungen führt (eine wahre Aussage wie a = a).

Ein häufiger Fehler tritt beim Umstellen von Termen über das Gleichheitszeichen hinweg auf. Lernende vergessen oft, Umkehroperationen anzuwenden, und addieren beispielsweise einen Term auf beiden Seiten, anstatt ihn zu subtrahieren – insbesondere wenn negative Koeffizienten beteiligt sind. Eine weitere Schwierigkeit entsteht, wenn sich die Variable vollständig aufhebt: Lernende nehmen dann mitunter fälschlicherweise an, das Ergebnis sei null, anstatt die verbleibenden Zahlenwerte zu interpretieren, um zu entscheiden, ob die Gleichung keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzt.

Aufgaben, die auf der Vorlage Unbekannte auf beiden Seiten basieren, stellen lineare Gleichungen wie 4(x − 2) = 2x + 10 oder Ausdrücke mit Brüchen dar. Die Lernenden zeigen ihren Rechenweg Zeile für Zeile, indem sie jede Seite vereinfachen, die Variablenterme auf einer Seite zusammenfassen und die endgültige Lösung angeben.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Lösen von Systemen zweier linearer Gleichungen

Schülerinnen und Schüler lernen, Paare linearer Gleichungen algebraisch zu lösen, ihre Schnittpunkte in einem Graphen zu bestimmen und zu erkennen, wann zwei Gleichungen keine gemeinsame Lösung haben.

Lehrplanpunkt 8.EE.C.8 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen analysieren und lösen. a. Verstehen, dass Lösungen eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen den Schnittpunkten ihrer Graphen entsprechen, da Schnittpunkte beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. b. Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen algebraisch lösen und Lösungen durch grafische Darstellung der Gleichungen abschätzen. Einfache Fälle durch Anschauung lösen. Zum Beispiel haben 3x + 2y = 5 und 3x + 2y = 6 keine Lösung, weil 3x + 2y nicht gleichzeitig 5 und 6 sein kann. c. Reale und mathematische Probleme lösen, die zu zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen führen. Zum Beispiel anhand gegebener Koordinaten für zwei Punktepaare bestimmen, ob die Gerade durch das erste Punktepaar die Gerade durch das zweite Paar schneidet. (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, die Werte für zwei Variablen zu bestimmen, die zwei separate lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Sie verknüpfen Algebra mit Geometrie, indem sie verstehen, dass die Lösung eines Systems dem Schnittpunkt entspricht, an dem sich die Graphen treffen. Sie schätzen Lösungen durch das Zeichnen von Geraden ab, berechnen exakte Lösungen algebraisch und untersuchen einfache Fälle direkt – wie etwa die Feststellung, dass Geraden wie 3x + 2y = 5 und 3x + 2y = 6 keine gemeinsame Lösung haben, weil parallele Geraden sich niemals schneiden.

Ein häufiger Fehler besteht darin, auf halbem Weg aufzuhören: Schülerinnen und Schüler berechnen oft den richtigen Wert für eine Variable wie x und vergessen dann, diesen wieder einzusetzen, um y zu ermitteln. Ein weiterer häufiger Stolperstein ist die Verwechslung eines Systems ohne Lösung mit einem, bei dem das Ergebnis null ist; Lernende tun sich bisweilen schwer zu erkennen, dass kein Koordinatenpaar beide Gleichungen erfüllen kann, wenn zwei Gleichungen einander widersprechen.

In einer standardmäßigen Aufgabe zu einem System aus zwei Gleichungen werden den Schülerinnen und Schülern zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen vorgelegt. Sie lösen das System, indem sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden berechnen, den Schnittpunkt in einem Koordinatensystem ablesen oder bestimmen, ob das Gleichungspaar genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung hat.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Auswerten einer linearen Funktion

Schülerinnen und Schüler setzen einen Eingabewert in eine lineare Gleichung der Form y = mx + b ein, um den entsprechenden Ausgabewert zu berechnen.

Lehrplanpunkt 8.F.A.1 Verstehen, dass eine Funktion eine Vorschrift ist, die jeder Eingabe genau eine Ausgabe zuordnet. Der Graph einer Funktion ist die Menge der geordneten Paare, die aus einer Eingabe und der zugehörigen Ausgabe bestehen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt 8.F.A.3 Die Gleichung y = mx + b als Definition einer linearen Funktion interpretieren, deren Graph eine Gerade ist; Beispiele für Funktionen angeben, die nicht linear sind. Beispielsweise ist die Funktion A = s2, die den Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge angibt, nicht linear, weil ihr Graph die Punkte (1,1), (2,4) und (3,9) enthält, die nicht auf einer Geraden liegen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSF-IF.A.2 Funktionsschreibweise verwenden, Funktionen für Eingabewerte in ihren Definitionsbereichen auswerten und Aussagen, die die Funktionsschreibweise verwenden, im Kontext interpretieren. (unsere Übersetzung)

Achtklässler lernen, dass eine lineare Funktion in der Form y = mx + b eine Vorschrift ist, die jedem Eingangswert (x) genau einen Ausgangswert (y) zuordnet. Die Schüler setzen eine gegebene Eingangszahl in die Gleichung ein und führen die Multiplikation sowie die Addition aus, um den Ausgangswert zu berechnen, wodurch ein geordnetes Paar (x, y) entsteht, das auf der Geraden liegt.

Ein häufiger Fehler tritt beim Rechnen mit negativen Zahlen oder bei der Beachtung der Rechenreihenfolge auf. Bei der Berechnung eines Ausdrucks wie y = -2x + 7 mit einem negativen Eingangswert vergessen Schüler oft, dass die Multiplikation zweier negativer Zahlen ein positives Ergebnis ergibt, oder sie addieren versehentlich vor der Multiplikation mit der Steigung.

Auf einem Arbeitsblatt zum Thema Eine lineare Funktion auswerten erhalten Schüler typischerweise eine Funktionsgleichung wie y = 3x - 5 und werden aufgefordert, den Wert von y für einen bestimmten Wert von x zu bestimmen, wie zum Beispiel x = 4 oder x = -3.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Funktionswert einer linearen Funktion · Funktionswert — wähle die Antwort

Überprüfen, ob ein Punkt auf einem linearen Graphen liegt

Schülerinnen und Schüler lernen zu bestimmen, ob ein geordnetes Paar auf dem Graphen einer Funktion liegt, indem sie prüfen, ob der Eingabewert den entsprechenden Ausgabewert liefert.

In der 8. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, dass der Graph einer Funktion aus allen geordneten Paaren besteht, bei denen jeder Eingabewert seinem Ausgabewert zugeordnet ist. Um zu prüfen, ob ein bestimmter Punkt auf der Geraden liegt, nehmen die Schülerinnen und Schüler das Koordinatenpaar, setzen den Eingabewert in die Funktionsgleichung ein und berechnen, ob sich der angegebene Ausgabewert ergibt.

Ein häufiger Fehler tritt auf, wenn Schülerinnen und Schüler die Koordinaten vertauschen und den y-Wert anstelle von x einsetzen. Diese Verwechslung führt oft dazu, dass sie den falschen arithmetischen Ausdruck berechnen und fälschlicherweise behaupten, ein Punkt außerhalb der Geraden liege auf dem Graphen.

Aufgaben auf Arbeitsblättern, die auf der Vorlage Liegt der Punkt auf dem Graphen? basieren, stellen eine lineare Funktionsvorschrift zusammen mit einem Koordinatenpaar bereit. Die Schülerinnen und Schüler berechnen den Wert der Funktionsvorschrift für den gegebenen Eingabewert und antworten mit einem klaren „Ja“ oder „Nein“, je nachdem, ob das Ergebnis mit der zweiten Koordinate übereinstimmt.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabenvorlagen zum Ausdrucken

Alle Aufgabentypen, nach Kompetenzen geordnet. Ein Klick öffnet den Generator mit dem gewählten Typ.

Potenz mit negativem Exponenten

Auswerten einer linearen Funktion

Überprüfen, ob ein Punkt auf einem linearen Graphen liegt

Liegt der Punkt auf dem Graphen?

Weitere Aufgabentypen

Arbeitsblatt zu diesem Lehrplan erstellen