Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 8.º curso

Matemáticas de 8.º grado según los Estándares Estatales del Tronco Común: exponentes, raíces cuadradas y cúbicas, notación científica, ecuaciones con variables en ambos lados, sistemas de ecuaciones, funciones lineales y pendiente, el teorema de Pitágoras y el volumen de cilindros, conos y esferas. Cada tema incluye hojas de trabajo imprimibles listas para usar.

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¿Qué aprende un estudiante en matemáticas de 8.º grado?

En 8.º grado, el estudiante trabaja con exponentes enteros, raíces cuadradas y cúbicas y notación científica. Las ecuaciones tienen variables en ambos lados y se resuelven dos ecuaciones como un sistema. Las funciones se convierten en la idea principal: el estudiante identifica la pendiente y la intersección con el eje y de una recta y evalúa funciones lineales. En geometría, el teorema de Pitágoras permite hallar lados desconocidos, y el estudiante calcula el volumen de cilindros, conos y esferas.

Estado de la página: exponentes y raíces, notación científica, porcentajes, operaciones con números con signo, ecuaciones y sistemas, funciones lineales, el teorema de Pitágoras, círculos y sólidos, y probabilidad están listos. Las transformaciones y los diagramas de dispersión se agregarán a continuación.

Alcance del currículo

Punto del currículo 8.NS · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

El sistema numérico

nuestra traducción · texto original (EN): The Number System

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain The Number System (8.NS)
Punto del currículo 8.NS.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Saber que hay números que no son racionales, y aproximarlos mediante números racionales.

nuestra traducción · texto original (EN): Know that there are numbers that are not rational, and approximate them by rational numbers.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, cluster A
Punto del currículo 8.NS.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Saber que los números que no son racionales se llaman irracionales. Comprender de manera informal que cada número tiene una expansión decimal; para los números racionales, mostrar que la expansión decimal termina por repetirse, y convertir una expansión decimal que termina por repetirse en un número racional.

nuestra traducción · texto original (EN): Know that numbers that are not rational are called irrational. Understand informally that every number has a decimal expansion; for rational numbers show that the decimal expansion repeats eventually, and convert a decimal expansion which repeats eventually into a rational number.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, standard 8.NS.A.1
Punto del currículo 8.NS.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de los números irracionales, ubicarlos de forma aproximada en una recta numérica y estimar el valor de expresiones (por ejemplo, π 2). Por ejemplo, al truncar la expansión decimal de √2, mostrar que √2 está entre 1 y 2, luego entre 1.4 y 1.5, y explicar cómo continuar para obtener mejores aproximaciones.

nuestra traducción · texto original (EN): Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions (e.g., π 2). For example, by truncating the decimal expansion of √2, show that √2 is between 1 and 2, then between 1.4 and 1.5, and explain how to continue on to get better approximations.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, The Number System, standard 8.NS.A.2

Estimación de raíces cuadradas (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.EE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Expresiones y ecuaciones

nuestra traducción · texto original (EN): Expressions and Equations

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Expressions and Equations (8.EE)
Punto del currículo 8.EE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Trabajar con radicales y exponentes enteros.

nuestra traducción · texto original (EN): Work with radicals and integer exponents.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster A
Punto del currículo 8.EE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Comprender las conexiones entre las relaciones proporcionales, las rectas y las ecuaciones lineales.

nuestra traducción · texto original (EN): Understand the connections between proportional relationships, lines, and linear equations.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster B
Punto del currículo 8.EE.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas.

nuestra traducción · texto original (EN): Analyze and solve linear equations and pairs of simultaneous linear equa-tions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, cluster C
Punto del currículo 8.EE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27.

nuestra traducción · texto original (EN): Know and apply the properties of integer exponents to generate equivalent numerical expressions. For example, 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.1

Uso de las reglas de los exponentes enteros (en nuestro curso 8) · Entendiendo los exponentes negativos (en nuestro curso 8) · Evaluación de potencias de números enteros y fracciones (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.EE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar los símbolos de raíz cuadrada y de raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de cuadrados perfectos pequeños y raíces cúbicas de cubos perfectos pequeños. Saber que √2 es irracional.

nuestra traducción · texto original (EN): Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x2 = p and x3 = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.2

Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.EE.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar números expresados en la forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces mayor es una que la otra. Por ejemplo, estimar la población de los Estados Unidos como 3 × 10 8 y la población del mundo como 7 × 10 9, y determinar que la población del mundo es más de 20 veces mayor.

nuestra traducción · texto original (EN): Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other. For example, estimate the population of the United States as 3 × 10 8 and the population of the world as 7 × 10 9, and determine that the world population is more than 20 times larger.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.3

Trabajar con notación científica (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.EE.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluidos problemas donde se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar la notación científica y elegir unidades de tamaño adecuado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la expansión del fondo marino). Interpretar la notación científica que ha sido generada por la tecnología.

nuestra traducción · texto original (EN): Perform operations with numbers expressed in scientific notation, including problems where both decimal and scientific notation are used. Use scientific notation and choose units of appropriate size for measurements of very large or very small quantities (e.g., use millimeters per year for seafloor spreading). Interpret scientific notation that has been generated by technology.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.A.4

Trabajar con notación científica (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.EE.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Representar gráficamente relaciones proporcionales, interpretando la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de maneras distintas. Por ejemplo, comparar una gráfica de distancia-tiempo con una ecuación de distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad.

nuestra traducción · texto original (EN): Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways. For example, compare a distance-time graph to a distance-time equation to determine which of two moving objects has greater speed.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.B.5

Hallar la pendiente y la intersección con el eje y de una recta (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.EE.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar triángulos semejantes para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera en una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que interseca el eje vertical en b.

nuestra traducción · texto original (EN): Use similar triangles to explain why the slope m is the same between any two distinct points on a non-vertical line in the coordinate plane; derive the equation y = mx for a line through the origin and the equation y = mx + b for a line intercepting the vertical axis at b.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.B.6

Hallar la pendiente y la intersección con el eje y de una recta (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.EE.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Resolver ecuaciones lineales de una variable. a. Dar ejemplos de ecuaciones lineales de una variable con una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. Mostrar cuál de estas posibilidades se da transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más simples, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). b. Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren desarrollar expresiones utilizando la propiedad distributiva y agrupar términos semejantes.

nuestra traducción · texto original (EN): Solve linear equations in one variable. a. Give examples of linear equations in one variable with one solution, infinitely many solutions, or no solutions. Show which of these possibilities is the case by successively transforming the given equation into simpler forms, until an equivalent equation of the form x = a, a = a, or a = b results (where a and b are different numbers). b. Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.C.7

Resolución de ecuaciones con variables en ambos lados (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.EE.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. a. Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables corresponden a los puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. b. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables algebraicamente y estimar soluciones graficando las ecuaciones. Resolver casos sencillos mediante inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no puede ser simultáneamente 5 y 6. c. Resolver problemas del mundo real y matemáticos que conduzcan a dos ecuaciones lineales con dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la recta que pasa por el primer par de puntos interseca la recta que pasa por el segundo par.

nuestra traducción · texto original (EN): Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. a. Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously. b. Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection. For example, 3x + 2y = 5 and 3x + 2y = 6 have no solution because 3x + 2y cannot simultaneously be 5 and 6. c. Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables. For example, given coordinates for two pairs of points, determine whether the line through the first pair of points intersects the line through the second pair.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Expressions and Equations, standard 8.EE.C.8

Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.F · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Funciones

nuestra traducción · texto original (EN): Functions

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Functions (8.F)
Punto del currículo 8.F.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Definir, evaluar y comparar funciones.

nuestra traducción · texto original (EN): Define, evaluate, and compare functions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, cluster A
Punto del currículo 8.F.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar funciones para modelar relaciones entre cantidades.

nuestra traducción · texto original (EN): Use functions to model relationships between quantities.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, cluster B
Punto del currículo 8.F.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consiste en una entrada y la salida correspondiente.

nuestra traducción · texto original (EN): Understand that a function is a rule that assigns to each input exactly one output. The graph of a function is the set of ordered pairs consisting of an input and the corresponding output.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.1

Evaluación de una función lineal (en nuestro curso 8) · Comprobar si un punto pertenece a una gráfica lineal (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.F.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor razón de cambio.

nuestra traducción · texto original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a linear function represented by a table of values and a linear function represented by an algebraic expression, determine which function has the greater rate of change.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.2

Hallar la pendiente y la intersección con el eje y de una recta (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.F.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Interpretar la ecuación y = mx + b como la definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1,1), (2,4) y (3,9), los cuales no están en una línea recta.

nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the equation y = mx + b as defining a linear function, whose graph is a straight line; give examples of functions that are not linear. For example, the function A = s2 giving the area of a square as a function of its side length is not linear because its graph contains the points (1,1), (2,4) and (3,9), which are not on a straight line.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.A.3

Evaluación de una función lineal (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.F.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la razón de cambio y el valor inicial de la función a partir de una descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla o de una gráfica. Interpretar la razón de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.

nuestra traducción · texto original (EN): Construct a function to model a linear relationship between two quantities. Determine the rate of change and initial value of the function from a description of a relationship or from two ( x, y) values, including reading these from a table or from a graph. Interpret the rate of change and initial value of a linear function in terms of the situation it models, and in terms of its graph or a table of values.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.B.4

Hallar la pendiente y la intersección con el eje y de una recta (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.F.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, dónde la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Esbozar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que ha sido descrita verbalmente.

nuestra traducción · texto original (EN): Describe qualitatively the functional relationship between two quantities by analyzing a graph (e.g., where the function is increasing or decreasing, linear or nonlinear). Sketch a graph that exhibits the qualitative features of a function that has been described verbally.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Functions, standard 8.F.B.5
Punto del currículo 8.G · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Geometría

nuestra traducción · texto original (EN): Geometry

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Geometry (8.G)
Punto del currículo 8.G.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Comprender la congruencia y la semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o programas informáticos de geometría.

nuestra traducción · texto original (EN): Understand congruence and similarity using physical models, transparen-cies, or geometry software.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster A
Punto del currículo 8.G.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Comprender y aplicar el teorema de Pitágoras.

nuestra traducción · texto original (EN): Understand and apply the Pythagorean Theorem.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster B
Punto del currículo 8.G.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Resolver problemas del mundo real y matemáticos que involucren el volumen de cilindros, conos y esferas.

nuestra traducción · texto original (EN): Solve real-world and mathematical problems involving volume of cylinders, cones, and spheres.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, cluster C
Punto del currículo 8.G.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Verificar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones: a. Las rectas se transforman en rectas, y los segmentos de recta en segmentos de recta de la misma longitud. b. Los ángulos se transforman en ángulos de la misma medida. c. Las rectas paralelas se transforman en rectas paralelas.

nuestra traducción · texto original (EN): Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: a. Lines are taken to lines, and line segments to line segments of the same length. b. Angles are taken to angles of the same measure. c. Parallel lines are taken to parallel lines.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.1
Punto del currículo 8.G.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas.

nuestra traducción · texto original (EN): Understand that a two-dimensional figure is congruent to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations; given two congruent figures, describe a sequence that exhibits the congruence between them.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.2
Punto del currículo 8.G.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Describir el efecto de las dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales utilizando coordenadas.

nuestra traducción · texto original (EN): Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.3
Punto del currículo 8.G.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Comprender que una figura bidimensional es semejante a otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales semejantes, describir una secuencia que demuestre la semejanza entre ellas.

nuestra traducción · texto original (EN): Understand that a two-dimensional figure is similar to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations; given two similar two-dimensional figures, describe a sequence that exhibits the similarity between them.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.4
Punto del currículo 8.G.A.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de los ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando rectas paralelas son cortadas por una transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, acomodar tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dar un argumento en términos de transversales sobre por qué esto es así.

nuestra traducción · texto original (EN): Use informal arguments to establish facts about the angle sum and exterior angle of triangles, about the angles created when parallel lines are cut by a transversal, and the angle-angle criterion for similarity of triangles. For example, arrange three copies of the same triangle so that the sum of the three angles appears to form a line, and give an argument in terms of transversals why this is so.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.A.5

Encontrar ángulos faltantes en triángulos y cuadriláteros (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.G.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Explicar una demostración del teorema de Pitágoras y su recíproco.

nuestra traducción · texto original (EN): Explain a proof of the Pythagorean Theorem and its converse.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.6

Uso del teorema de Pitágoras para encontrar los lados faltantes (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.G.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lados desconocidos en triángulos rectángulos en problemas del mundo real y matemáticos en dos y tres dimensiones.

nuestra traducción · texto original (EN): Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles in real-world and mathematical problems in two and three dimensions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.7

Uso del teorema de Pitágoras para encontrar los lados faltantes (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.G.B.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.

nuestra traducción · texto original (EN): Apply the Pythagorean Theorem to find the distance between two points in a coordinate system.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.B.8

Uso del teorema de Pitágoras para encontrar los lados faltantes (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.G.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas del mundo real y matemáticos.

nuestra traducción · texto original (EN): Know the formulas for the volumes of cones, cylinders, and spheres and use them to solve real-world and mathematical problems.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Geometry, standard 8.G.C.9

Cálculo del volumen de cilindros, conos y esferas (en nuestro curso 8)
Punto del currículo 8.SP · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Estadística y Probabilidad

nuestra traducción · texto original (EN): Statistics and Probability

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, domain Statistics and Probability (8.SP)
Punto del currículo 8.SP.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Investigar patrones de asociación en datos bivariados.

nuestra traducción · texto original (EN): Investigate patterns of association in bivariate data.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, cluster A
Punto del currículo 8.SP.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Construir e interpretar diagramas de dispersión para datos de medición bivariados para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones tales como agrupaciones, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal.

nuestra traducción · texto original (EN): Construct and interpret scatter plots for bivariate measurement data to investigate patterns of association between two quantities. Describe patterns such as clustering, outliers, positive or negative association, linear association, and nonlinear association.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.1
Punto del currículo 8.SP.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Saber que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para diagramas de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajustar informalmente una línea recta y evaluar informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea.

nuestra traducción · texto original (EN): Know that straight lines are widely used to model relationships between two quantitative variables. For scatter plots that suggest a linear association, informally fit a straight line, and informally assess the model fit by judging the closeness of the data points to the line.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.2
Punto del currículo 8.SP.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, interpretando la pendiente y el intercepto. Por ejemplo, en un modelo lineal para un experimento de biología, interpretar una pendiente de 1.5 cm/hr en el sentido de que una hora adicional de luz solar al día se asocia con 1.5 cm adicionales en la altura de la planta madura.

nuestra traducción · texto original (EN): Use the equation of a linear model to solve problems in the context of bivariate measurement data, interpreting the slope and intercept. For example, in a linear model for a biology experiment, interpret a slope of 1.5 cm/hr as meaning that an additional hour of sunlight each day is associated with an additional 1.5 cm in mature plant height.

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.3
Punto del currículo 8.SP.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Comprender que los patrones de asociación también se pueden observar en datos categóricos bivariados al mostrar frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de doble entrada. Construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recopilados de los mismos sujetos. Utilizar frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir una posible asociación entre las dos variables. Por ejemplo, recopilar datos de los estudiantes de su clase sobre si tienen o no una hora límite en noches de escuela y si tienen o no tareas asignadas en casa. ¿Existe evidencia de que quienes tienen una hora límite también tienden a tener tareas asignadas?

nuestra traducción · texto original (EN): Understand that patterns of association can also be seen in bivariate categorical data by displaying frequencies and relative frequencies in a two-way table. Construct and interpret a two-way table summarizing data on two categorical variables collected from the same subjects. Use relative frequencies calculated for rows or columns to describe possible association between the two variables. For example, collect data from students in your class on whether or not they have a curfew on school nights and whether or not they have assigned chores at home. Is there evidence that those who have a curfew also tend to have chores?

CCSS Mathematics (2010), Grade 8, Statistics and Probability, standard 8.SP.A.4

Competencias paso a paso

Uso del teorema de Pitágoras para encontrar los lados faltantes

Los estudiantes aprenden a utilizar el teorema de Pitágoras para calcular los lados desconocidos de triángulos rectángulos y comprobar si un triángulo tiene un ángulo recto.

Punto del currículo 8.G.B.6 Explicar una demostración del teorema de Pitágoras y su recíproco. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.G.B.7 Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lados desconocidos en triángulos rectángulos en problemas del mundo real y matemáticos en dos y tres dimensiones. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.G.B.8 Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas. (nuestra traducción)

En octavo grado, los estudiantes usan la relación pitagórica (a² + b² = c²) para hallar longitudes de lados desconocidas en triángulos rectángulos y para comprobar si un triángulo dado contiene un ángulo recto. Elevan al cuadrado las medidas conocidas, suman o restan esos valores y calculan raíces cuadradas para determinar la longitud desconocida.

Un error frecuente ocurre al calcular un cateto desconocido. Los estudiantes suelen sumar automáticamente los cuadrados de las dos longitudes de los lados dados, olvidando que hallar un cateto requiere restar el cuadrado del cateto conocido del cuadrado de la hipotenusa. Otro descuido común es realizar las operaciones aritméticas correctamente pero olvidar calcular la raíz cuadrada al final, dejando la respuesta como c² en lugar de c.

Las actividades de práctica proporcionan diagramas de triángulos o listas de tres medidas de lados. Los ejercicios suelen adoptar tres formas: Hallar la hipotenusa cuando se proporcionan ambos catetos, Hallar un cateto de un triángulo rectángulo cuando se conocen la hipotenusa y un cateto, y ¿Es un triángulo rectángulo? donde los estudiantes sustituyen las tres longitudes de los lados en la fórmula para verificar si la ecuación se cumple.

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Tipos de ejercicios: Calcula la hipotenusa · Calcula un cateto · Hipotenusa — elige la respuesta · ¿Es rectángulo el triángulo?

Cálculo del volumen de cilindros, conos y esferas

Los estudiantes aprenden a recordar fórmulas y a calcular el volumen de cilindros, conos y esferas para resolver problemas matemáticos y del mundo real.

Punto del currículo 8.G.C.9 Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas del mundo real y matemáticos. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSG-GMD.A.3 Usar fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas. ★ (nuestra traducción)

En octavo grado, los estudiantes aprenden a conocer y aplicar las fórmulas de volumen para tres figuras tridimensionales curvas: cilindros, conos y esferas. Identifican las medidas dadas, como el radio, el diámetro o la altura, aplican exponentes elevando valores al cuadrado o al cubo y utilizan la multiplicación por pi para calcular el volumen total.

Un error común es confundir el radio con el diámetro, lo que lleva a los estudiantes a elevar al cuadrado o al cubo el ancho total de la figura en lugar de la mitad. Otro error frecuente es confundir las potencias y los coeficientes fraccionarios entre las diferentes figuras, como elevar al cuadrado el radio en lugar de elevarlo al cubo en una esfera, u olvidar multiplicar por 1/3 en un cono o por 4/3 en una esfera.

Las actividades de las fichas de trabajo imprimibles se organizan en torno a tres formatos específicos: Volumen de un cilindro, Volumen de un cono y Volumen de una esfera. Los estudiantes trabajan a partir de diagramas geométricos o problemas verbales que muestran medidas para calcular el volumen correcto de cada sólido.

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Tipos de ejercicios: Volumen de la esfera · Volumen del cilindro · Volumen del cono

Hallar la pendiente y la intersección con el eje y de una recta

Los estudiantes aprenden a determinar la pendiente y la intersección con el eje y de una función lineal leyendo gráficas de coordenadas y calculando la tasa de cambio entre dos puntos.

Punto del currículo 8.EE.B.5 Representar gráficamente relaciones proporcionales, interpretando la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de maneras distintas. Por ejemplo, comparar una gráfica de distancia-tiempo con una ecuación de distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.EE.B.6 Usar triángulos semejantes para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera en una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que interseca el eje vertical en b. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.F.A.2 Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor razón de cambio. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.F.B.4 Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la razón de cambio y el valor inicial de la función a partir de una descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla o de una gráfica. Interpretar la razón de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores. (nuestra traducción)

En 8.º grado, los estudiantes relacionan las relaciones lineales con rectas en un plano cartesiano. Identifican la pendiente como la tasa de cambio constante (el cambio vertical dividido por el cambio horizontal) y localizan la intersección con el eje y, que es el valor inicial donde la recta corta el eje vertical, formando la ecuación y = mx + b. Los estudiantes trabajan tanto con rectas que pasan por el origen como con rectas desplazadas a lo largo del eje vertical.

Un error frecuente ocurre cuando los estudiantes invierten la fórmula de la pendiente, dividiendo el cambio en x entre el cambio en y en lugar de la elevación sobre el desplazamiento horizontal. Al calcular la pendiente a partir de dos coordenadas, los estudiantes también tienden a confundir el orden de la resta, restando el segundo valor de x del primero mientras hacen lo contrario con los valores de y. Otro error común es identificar la intersección horizontal en lugar de la intersección vertical con el eje y en una cuadrícula.

Las actividades de práctica se centran directamente en estas habilidades visuales y numéricas mediante tres formatos principales:

Hallar la intersección con el eje y a partir de una gráfica identificando la coordenada donde una recta cruza el eje vertical.
Calcular la pendiente a partir de una gráfica contando la elevación y el desplazamiento horizontal entre las intersecciones de la cuadrícula.
Hallar la pendiente a partir de dos puntos calculando el cambio en y sobre el cambio en x a partir de dos pares de coordenadas (x, y) dados.

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Tipos de ejercicios: Ordenada en el origen a partir de la gráfica · Pendiente a partir de la gráfica · Pendiente de la recta por dos puntos

Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas

Los estudiantes aprenden a evaluar raíces cuadradas de cuadrados perfectos pequeños y raíces cúbicas de cubos perfectos pequeños utilizando símbolos de raíz.

Punto del currículo 8.EE.A.2 Usar los símbolos de raíz cuadrada y de raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de cuadrados perfectos pequeños y raíces cúbicas de cubos perfectos pequeños. Saber que √2 es irracional. (nuestra traducción)

En este curso, los estudiantes trabajan con el símbolo de la raíz cuadrada y el símbolo de la raíz cúbica para resolver ecuaciones y evaluar expresiones numéricas. Se enfocan en hallar los valores exactos de cuadrados perfectos pequeños (como hallar que la raíz cuadrada de 64 es 8) y cubos perfectos pequeños (como hallar que la raíz cúbica de 27 es 3).

Un error común es confundir las raíces con la división. Como los estudiantes ven un 2 implícito en las raíces cuadradas y un 3 en las raíces cúbicas, a menudo dividen el número dado entre 2 o 3 en lugar de encontrar el factor que se multiplica por sí mismo. Por ejemplo, un estudiante podría responder erróneamente que la raíz cuadrada de 16 es 8, o que la raíz cúbica de 27 es 9.

Las actividades de las hojas de trabajo ofrecen a los estudiantes práctica directa con estos símbolos. A partir de indicaciones como Halla la raíz cuadrada y Halla la raíz cúbica, a los estudiantes se les presentan expresiones como √49 o ∛8 y escriben el único número entero que resuelve cada problema.

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Tipos de ejercicios: Calcula la raíz cuadrada · Calcula la raíz cúbica

Encontrar ángulos faltantes en triángulos y cuadriláteros

Los estudiantes encuentran un ángulo desconocido en un triángulo o cuadrilátero restando los ángulos conocidos a 180 o 360 grados.

Punto del currículo 8.G.A.5 Usar argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de los ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando rectas paralelas son cortadas por una transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, acomodar tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dar un argumento en términos de transversales sobre por qué esto es así. (nuestra traducción)

Los estudiantes utilizan las propiedades geométricas fundamentales de que los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados y los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360 grados. Para hallar un ángulo desconocido, suman las medidas de los ángulos dados y restan ese total combinado de 180 o de 360 grados.

Un error frecuente es confundir los dos totales de referencia, como intentar restar tres ángulos de una figura de cuatro lados de 180 grados en lugar de 360 grados. También ocurren errores aritméticos durante la suma de varios pasos al sumar los valores conocidos antes de la resta final.

En la práctica, las tareas provienen de dos plantillas principales: El tercer ángulo de un triángulo, donde se proporcionan dos medidas de ángulos y los estudiantes calculan el restante, y El cuarto ángulo de un cuadrilátero, donde a los estudiantes se les dan tres valores de ángulos y calculan el último ángulo faltante.

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Tipos de ejercicios: El cuarto ángulo del cuadrilátero · El tercer ángulo del triángulo

Evaluación de potencias de números enteros y fracciones

Los estudiantes aprenden a calcular el valor numérico exacto de números enteros y fracciones elevados a exponentes enteros positivos y negativos.

Punto del currículo 8.EE.A.1 Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3 –5 = 3–3 = 1/33 = 1/27. (nuestra traducción)

En esta etapa, los estudiantes calculan los valores numéricos de expresiones donde números enteros o fracciones se elevan a potencias enteras. Aplican las reglas de los exponentes positivos y negativos para convertir expresiones como 3 con exponente -3 en valores fraccionarios como 1/27.

Un error común es tratar un exponente negativo como un signo negativo para el resultado final, lo que lleva a los estudiantes a escribir -27 en lugar de 1/27. Los estudiantes también suelen multiplicar la base por el exponente en lugar de multiplicar la base por sí misma.

En la práctica, los estudiantes trabajan en dos tipos específicos de tareas:

Evaluar la potencia de un número entero, calculando el número entero o la fracción resultante a partir de una base entera.
Evaluar la potencia de una fracción, calculando el resultado cuando una fracción se eleva a un exponente.

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Tipos de ejercicios: Calcula la potencia de un entero · Calcula la potencia de una fracción · Valor de una potencia — elige la respuesta

Entendiendo los exponentes negativos

Los estudiantes aprenden a reescribir expresiones numéricas con exponentes enteros negativos como fracciones y a calcular sus valores.

En octavo grado, los estudiantes aprenden a interpretar exponentes enteros negativos para crear expresiones numéricas equivalentes. Descubren que elevar un número a una potencia negativa produce un recíproco en lugar de un valor negativo, lo que les permite reescribir términos como 3^-3 en 1/3^3 y calcular el resultado como 1/27.

Un error común es tratar el exponente negativo como un signo negativo para la base. Los estudiantes a menudo multiplican la base por el exponente para obtener -9, o calculan la potencia normalmente y colocan un signo negativo delante para obtener -27. Esto ocurre porque los alumnos asocian el símbolo menos estrictamente con cantidades negativas en lugar de con la división repetida.

Las tareas de práctica basadas en la plantilla Exponente negativo presentan a los estudiantes expresiones con potencias enteras negativas y les piden que reescriban cada término utilizando exponentes positivos o que lo calculen como una fracción.

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Uso de las reglas de los exponentes enteros

Los estudiantes aprenden a aplicar las propiedades de los exponentes enteros para simplificar y escribir expresiones numéricas equivalentes, incluidas aquellas con potencias negativas.

Los estudiantes de octavo grado aplican las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Al trabajar con números enteros positivos, el cero y números enteros negativos como exponentes, los estudiantes combinan potencias con la misma base; por ejemplo, simplificando 3 a la 2.ª potencia multiplicado por 3 a la -5.ª potencia en 3 a la -3.ª potencia, o 1/27.

Un obstáculo común es confundir los exponentes negativos con valores negativos. Con frecuencia, los estudiantes calculan por error 3 a la -3.ª potencia como -27 o -9 en lugar de reconocer que el exponente negativo genera una fracción, 1/27. Otro error frecuente es multiplicar las bases entre sí en lugar de mantener la base sin cambios al combinar las potencias.

Los ejercicios de práctica suelen presentarse como tareas de exponentes faltantes. A partir de una ecuación incompleta regida por las reglas de los exponentes, los estudiantes determinan la potencia entera que falta para lograr que ambos lados de la expresión numérica sean iguales.

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Estimación de raíces cuadradas

Los estudiantes aprenden a aproximar el valor de las raíces cuadradas al encontrar los números enteros y decimales consecutivos entre los que se encuentran.

Punto del currículo 8.NS.A.2 Usar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de los números irracionales, ubicarlos de forma aproximada en una recta numérica y estimar el valor de expresiones (por ejemplo, π 2). Por ejemplo, al truncar la expansión decimal de √2, mostrar que √2 está entre 1 y 2, luego entre 1.4 y 1.5, y explicar cómo continuar para obtener mejores aproximaciones. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a encontrar aproximaciones racionales de raíces cuadradas no perfectas ubicándolas entre valores de referencia conocidos. Usando cuadrados perfectos cercanos, determinan que una raíz irracional como √2 se encuentra entre los números enteros 1 y 2 (ya que 1² = 1 y 2² = 4). Luego pueden reducir aún más ese intervalo para mostrar que se sitúa entre 1,4 y 1,5, estableciendo un método paso a paso para obtener aproximaciones cada vez más cercanas.

Un error común ocurre cuando los estudiantes confunden calcular una raíz cuadrada con dividir entre 2. Cuando se les pide estimar un valor no familiar como √20, un estudiante podría responder por error 10 en lugar de reconocer que √20 se encuentra entre 4 y 5 porque 4² es 16 y 5² es 25.

Las hojas de ejercicios que utilizan la tarea Estimar una raíz cuadrada presentan a los estudiantes raíces cuadradas no perfectas y les piden identificar los números enteros consecutivos que delimitan cada raíz, o aproximar en qué punto se ubica el valor en una recta numérica.

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Trabajar con notación científica

Los estudiantes aprenden a escribir, comparar y calcular con números muy grandes y muy pequeños expresados como un número multiplicado por una potencia entera de 10.

Punto del currículo 8.EE.A.3 Usar números expresados en la forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces mayor es una que la otra. Por ejemplo, estimar la población de los Estados Unidos como 3 × 10 8 y la población del mundo como 7 × 10 9, y determinar que la población del mundo es más de 20 veces mayor. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.EE.A.4 Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluidos problemas donde se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar la notación científica y elegir unidades de tamaño adecuado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la expansión del fondo marino). Interpretar la notación científica que ha sido generada por la tecnología. (nuestra traducción)

Los estudiantes trabajan con cantidades escritas en la forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10, como 3 × 10⁸ o 7 × 10⁹, para manejar medidas muy grandes o diminutas. Aprenden a comparar estos números para ver cuántas veces más grande es uno que otro, realizar operaciones básicas con números en notación científica y trabajar entre la forma decimal estándar y potencias de 10.

Un error común ocurre cuando los estudiantes suman o multiplican y olvidan ajustar la expresión final a la forma adecuada. Por ejemplo, después de multiplicar, podrían dejar una respuesta como 15 × 10⁴ en lugar de mover el punto decimal para escribir 1.5 × 10⁵. Los estudiantes también confunden con frecuencia la dirección del punto decimal al trabajar con exponentes negativos, tratando erróneamente las potencias negativas como valores negativos en lugar de fracciones muy pequeñas.

En las tareas de Notación científica, los estudiantes practican la conversión de valores entre la forma decimal y la notación científica, la comparación de cantidades con diferentes potencias de 10 y el cálculo de productos o cocientes que involucran medidas de la ciencia y la tecnología.

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Resolución de ecuaciones con variables en ambos lados

Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones lineales que tienen variables en ambos lados, utilizando la propiedad distributiva, combinando términos semejantes y trabajando con números racionales.

Punto del currículo 8.EE.C.7 Resolver ecuaciones lineales de una variable. a. Dar ejemplos de ecuaciones lineales de una variable con una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. Mostrar cuál de estas posibilidades se da transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más simples, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). b. Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren desarrollar expresiones utilizando la propiedad distributiva y agrupar términos semejantes. (nuestra traducción)

Los estudiantes de octavo grado aprenden a resolver ecuaciones lineales en las que la incógnita aparece en ambos lados del signo igual. Trabajan con coeficientes numéricos racionales —incluidos números enteros, fracciones y decimales— utilizando la propiedad distributiva para desarrollar expresiones y agrupando términos semejantes en cada lado. Al transformar las ecuaciones paso a paso, los estudiantes determinan si una ecuación conduce a una solución única (x = a), a ninguna solución (un enunciado falso como a = b) o a infinitas soluciones (un enunciado verdadero como a = a).

Un error frecuente ocurre al reorganizar términos a ambos lados del signo igual. Los estudiantes a menudo olvidan utilizar operaciones inversas, sumando un término a ambos lados en lugar de restarlo, especialmente cuando hay coeficientes negativos involucrados. Otra dificultad surge cuando la variable se cancela por completo: los estudiantes pueden pensar erróneamente que la respuesta es cero en lugar de interpretar los números resultantes para decidir si la ecuación no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

Las tareas creadas a partir de la plantilla Incógnita en ambos lados presentan ecuaciones lineales como 4(x − 2) = 2x + 10 o expresiones que involucran fracciones. Los estudiantes muestran su procedimiento línea por línea, simplificando cada lado, agrupando los términos con variables en un solo lado e indicando la solución final.

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Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales

Los estudiantes aprenden a resolver pares de ecuaciones lineales algebraicamente, encontrar sus puntos de intersección en una gráfica y reconocer cuándo dos ecuaciones no tienen una solución en común.

Punto del currículo 8.EE.C.8 Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. a. Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables corresponden a los puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. b. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables algebraicamente y estimar soluciones graficando las ecuaciones. Resolver casos sencillos mediante inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no puede ser simultáneamente 5 y 6. c. Resolver problemas del mundo real y matemáticos que conduzcan a dos ecuaciones lineales con dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la recta que pasa por el primer par de puntos interseca la recta que pasa por el segundo par. (nuestra traducción)

En 8.º grado, los estudiantes aprenden a encontrar los valores de dos variables que hacen que dos ecuaciones lineales distintas sean verdaderas al mismo tiempo. Conectan el álgebra con la geometría al comprender que la solución de un sistema corresponde al punto de intersección donde se cruzan sus gráficas. Los estudiantes estiman soluciones graficando rectas, calculan soluciones exactas algebraicamente e inspeccionan casos sencillos directamente, como identificar que rectas como 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no comparten ninguna solución común porque las rectas paralelas nunca se cruzan.

Un error común es quedarse a mitad de camino: los estudiantes a menudo calculan el valor correcto de una variable, como x, y olvidan sustituirlo para encontrar y. Otro tropiezo frecuente es confundir un sistema que no tiene solución con uno donde la respuesta es cero; a los estudiantes les puede costar reconocer que cuando dos ecuaciones se contradicen entre sí, ningún par de coordenadas puede satisfacer ambas.

En una tarea estándar de Sistema de dos ecuaciones, a los estudiantes se les presentan dos ecuaciones lineales escritas con dos variables. Resuelven el sistema calculando las coordenadas donde se intersecan las rectas, estimando el punto de intersección a partir de un plano de coordenadas o identificando si el par tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución en absoluto.

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Evaluación de una función lineal

Los estudiantes sustituyen un valor de entrada en una ecuación lineal de la forma y = mx + b para calcular el valor de salida correspondiente.

Punto del currículo 8.F.A.1 Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consiste en una entrada y la salida correspondiente. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.F.A.3 Interpretar la ecuación y = mx + b como la definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1,1), (2,4) y (3,9), los cuales no están en una línea recta. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-IF.A.2 Usar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios, e interpretar enunciados que usan la notación de funciones en términos de un contexto. (nuestra traducción)

Los estudiantes de octavo grado aprenden que una función lineal escrita en la forma y = mx + b es una regla que vincula cada valor de entrada (x) con exactamente un valor de salida (y). Los estudiantes sustituyen un número de entrada dado en la ecuación y realizan la multiplicación y la suma para calcular el valor de salida, formando un par ordenado (x, y) que se encuentra en la recta.

Un error frecuente ocurre al trabajar con números negativos o al seguir el orden de las operaciones. Al evaluar una expresión como y = -2x + 7 con una entrada negativa, los estudiantes a menudo olvidan que multiplicar dos números negativos da como resultado un número positivo, o pueden sumar accidentalmente antes de multiplicar por la pendiente.

En una ficha de trabajo sobre Evaluar una función lineal, a los estudiantes se les suele presentar una regla como y = 3x - 5 y se les pide que hallen el valor de y a partir de un valor específico de x, como x = 4 o x = -3.

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Tipos de ejercicios: Valor de una función lineal · Valor de la función — elige la respuesta

Comprobar si un punto pertenece a una gráfica lineal

Los estudiantes aprenden a determinar si un par ordenado se encuentra en la gráfica de una función comprobando si el valor de entrada produce el valor de salida correspondiente.

En 8.º grado, los estudiantes aprenden que la gráfica de una función está formada por todos los pares ordenados en los que cada valor de entrada se empareja con su valor de salida. Para comprobar si un punto específico pertenece a la recta, los estudiantes toman el par de coordenadas, sustituyen el valor de entrada en la ecuación de la función y calculan si produce el valor de salida indicado.

Un error frecuente ocurre cuando los estudiantes intercambian las coordenadas, sustituyendo el valor de y en lugar de x. Esta confusión a menudo los lleva a evaluar la expresión aritmética equivocada y a afirmar incorrectamente que un punto que está fuera de la recta se encuentra en la gráfica.

Las actividades de las hojas de trabajo basadas en la plantilla ¿Está el punto en la gráfica? proporcionan una regla lineal junto con un par de coordenadas. Los estudiantes calculan el valor de la regla para la entrada dada y responden con un claro "sí" o "no" en función de si el resultado coincide con la segunda coordenada.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Potencia de exponente negativo

Evaluación de una función lineal

Comprobar si un punto pertenece a una gráfica lineal

¿Está el punto en la gráfica?

Otros tipos de ejercicios

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