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Programma scolastico (Polonia)

Matematica — classe 7ª

Matematica per la classe 7: potenze e radici, notazione scientifica, percentuali nella pratica, ripartizione proporzionale, espressioni algebriche, equazioni lineari, teorema di Pitagora, cerchio e primi elementi di probabilità. Per ogni argomento, schede di esercizi pronte da stampare.

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Cosa impara uno studente in matematica in classe 7?

In classe 7 lo studente esegue operazioni con potenze e radici, stima le radici e scrive numeri grandi e piccoli in notazione scientifica. Calcola aumenti, sconti e interessi, suddivide grandezze secondo un dato rapporto. Semplifica espressioni algebriche, moltiplica polinomi e risolve equazioni lineari. In geometria apprende il teorema di Pitagora, la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio, e nel calcolo delle probabilità gli eventi in un esperimento semplice.

Nota importante sul programma didattico: il nuovo programma (Dz.U. 2026 voce 378) riguarderà la classe 7 a partire dall'anno scolastico 2029/2030 — entra in vigore per classi d'età. Fino ad allora, la classe 7 studia secondo il programma del 2017; l'ambito dei moduli presenti su questa pagina è simile in entrambi i programmi. Il programma per le classi VII–VIII è a blocco — specifica ciò che lo studente deve sapere al termine della scuola primaria. L'assegnazione di un argomento a una classe è una nostra decisione basata sulla tipica ripartizione del programma; nella sezione „Programma didattico” è possibile consultare l'intero blocco VII–VIII con le citazioni del decreto.

Stato della pagina: sono pronti potenze e radici, percentuali nella pratica, proporzionalità, numeri razionali con segno, espressioni algebriche, equazioni e relativi sistemi, teorema di Pitagora, cerchio, prismi e piramidi, nonché la probabilità. Le costruzioni geometriche e gli esercizi nel formato dell'esame di ottava classe vengono aggiunti progressivamente.

Ambito del programma

  1. Punto del programma MAT.VII-VIII.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Numeri

    nostra traduzione · testo originale (PL): Liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1

  2. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    esegue calcoli e ragionamenti in cui utilizza la notazione percentuale, tra cui calcola:

    nostra traduzione · testo originale (PL): prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1

  3. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

    Calcolo dei prezzi dopo un aumento e una riduzione percentuale (da noi in classe 7-8) · Calcolo degli interessi su un deposito annuale (da noi in classe 7-8)

  4. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola potenze di numeri razionali con esponente naturale

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

    Elevamento a potenza di numeri interi e frazioni (da noi in classe 7-8)

  5. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    trasforma potenze con esponente intero negativo nelle corrispondenti potenze con esponenti naturali

    nostra traduzione · testo originale (PL): zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4

    Potenze con esponente negativo (da noi in classe 7-8)

  6. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le proprietà delle operazioni con le potenze con basi naturali ed esponenti interi, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

    Operazioni con le potenze ed esponenti mancanti (da noi in classe 7-8)

  7. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    scrive i numeri in notazione scientifica e confronta i numeri scritti in questo modo

    nostra traduzione · testo originale (PL): zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

    Scrivere e confrontare i numeri in notazione scientifica (da noi in classe 7-8)

  8. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola i valori delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente quadrati o cubi di numeri razionali, e calcola i valori approssimati delle radici di altri numeri con la calcolatrice

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

    Calcolo delle radici quadrate e cubiche (da noi in classe 7-8)

  9. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stima il valore di una semplice espressione aritmetica contenente radici

    nostra traduzione · testo originale (PL): szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8

    Stima del valore delle radici (da noi in classe 7-8)

  10. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le proprietà delle operazioni con le radici per le radici quadrate e cubiche, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

    Portare fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  11. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce relazioni di proporzionalità diretta, le applica per determinare il valore di una grandezza in base all'altra e utilizza la ripartizione proporzionale in due o tre parti in un contesto pratico

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

    Divisione proporzionale in due o tre parti (da noi in classe 7-8)

  12. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica la regola della moltiplicazione per contare coppie di elementi in situazioni che richiedono una doppia scelta

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11

  13. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza la calcolatrice e applicazioni informatiche per eseguire calcoli nella risoluzione di problemi inseriti in un contesto pratico.

    nostra traduzione · testo originale (PL): używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12

  14. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    quale percentuale di un numero è un altro numero

    nostra traduzione · testo originale (PL): jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

    Calcolare quale percentuale di un numero è un altro (da noi in classe 7-8)

  15. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide potenze con la stessa base

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

    Operazioni con le potenze ed esponenti mancanti (da noi in classe 7-8)

  16. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola le radici del prodotto e del quoziente di due numeri

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

    Portare fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  17. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    una data percentuale di un dato numero

    nostra traduzione · testo originale (PL): podany procent danej liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b

  18. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide potenze con lo stesso esponente

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

    Operazioni con le potenze ed esponenti mancanti (da noi in classe 7-8)

  19. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide radici dello stesso indice

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

    Portare fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  20. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    il numero sulla base di una sua percentuale data

    nostra traduzione · testo originale (PL): liczbę na podstawie danego jej procentu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

    Determinazione di un numero a partire dalla sua percentuale (da noi in classe 7-8)

  21. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    eleva una potenza a potenza

    nostra traduzione · testo originale (PL): podnosi potęgę do potęgi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

    Operazioni con le potenze ed esponenti mancanti (da noi in classe 7-8)

  22. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    porta un numero fuori dal segno di radice e porta un numero sotto il segno di radice

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

    Portare fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  23. Punto del programma MAT.VII-VIII.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Algebra

    nostra traduzione · testo originale (PL): Algebra

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2

  24. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    crea espressioni algebriche, anche espressioni a due variabili, che descrivono le relazioni tra le grandezze presentate nel problema e le usa per risolvere problemi, compresi quelli inseriti in un contesto pratico

    nostra traduzione · testo originale (PL): tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1

  25. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola il valore numerico di un'espressione algebrica che è la somma di al massimo tre monomi per dati valori interi delle variabili

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

    Calcolo del valore delle espressioni algebriche (da noi in classe 7-8)

  26. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    ordina i monomi e riduce i termini simili nelle somme algebriche

    nostra traduzione · testo originale (PL): porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

    Riduzione dei termini simili nelle espressioni (da noi in classe 7-8)

  27. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    addiziona e sottrae somme algebriche formate da più monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

    Riduzione dei termini simili nelle espressioni (da noi in classe 7-8)

  28. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica un monomio per una somma algebrica di al massimo tre monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

    Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune (da noi in classe 7-8)

  29. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica composta da due monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

    Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune (da noi in classe 7-8)

  30. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica tra loro due binomi a coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

    Moltiplicazione di binomi (da noi in classe 7-8)

  31. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    trasforma semplici formule per ricavare una grandezza data, anche in formule geometriche e fisiche

    nostra traduzione · testo originale (PL): przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8

  32. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    verifica se un dato numero intero è soluzione di un'equazione (di primo, secondo o terzo grado) a un'incognita

    nostra traduzione · testo originale (PL): sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

    Verificare se un numero soddisfa un'equazione (da noi in classe 7-8)

  33. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    verifica se un dato numero razionale è soluzione di un'equazione di primo grado

    nostra traduzione · testo originale (PL): sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

    Verificare se un numero soddisfa un'equazione (da noi in classe 7-8)

  34. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

    Risolvere equazioni in due passaggi (ax + b = c) (da noi in classe 7-8) · Risoluzione di equazioni con l'incognita su entrambi i lati (da noi in classe 7-8)

  35. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve problemi con testo mediante equazioni di primo grado con un'incognita o due equazioni di primo grado con due incognite, che possono essere ricondotte in modo semplice a un'equazione di primo grado.

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12

  36. Punto del programma MAT.VII-VIII.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Figure

    nostra traduzione · testo originale (PL): Figury

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3

  37. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce in un disegno e disegna l'asse di un segmento e la bisettrice di un angolo, utilizza le loro proprietà

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1

  38. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce e disegna figure a simmetria assiale e a simmetria centrale, individua i loro assi di simmetria e il centro di simmetria

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2

  39. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la misura dell'angolo interno di un poligono regolare

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3

  40. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce triangoli rettangoli in diverse situazioni geometriche, applica il teorema di Pitagora

    nostra traduzione · testo originale (PL): dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

    Teorema di Pitagora e triangoli rettangoli (da noi in classe 7-8)

  41. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le proprietà dei triangoli rettangoli particolari, cioè dei triangoli rettangoli con angoli acuti di 30° e 60° e dei triangoli rettangoli isosceli

    nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5

  42. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica i criteri di congruenza dei triangoli

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje cechy przystawania trójkątów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6

  43. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza długość okręgu i pole koła

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

    Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio (da noi in classe 7-8)

  44. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    divide poligoni in parti o riconosce figure come parti di un'altra figura al fine di calcolare, confrontare o stimare aree e riconoscere altre relazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8

  45. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

    Teorema di Pitagora e triangoli rettangoli (da noi in classe 7-8) · Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio (da noi in classe 7-8)

  46. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    disegna in un sistema di coordinate poligoni con vertici nei punti del reticolo

    nostra traduzione · testo originale (PL): rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10

  47. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola l'area e il perimetro di triangoli e quadrilateri con i vertici nei punti del reticolo quadratro

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11

  48. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce prismi retti e regolari e piramidi regolari

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12

  49. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.13 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    indica l'altezza delle facce laterali e l'altezza della piramide

    nostra traduzione · testo originale (PL): wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13

  50. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.14 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola l'area della superficie e il volume di prismi retti e piramidi regolari.

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14

  51. Punto del programma MAT.VII-VIII.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dati ed eventi casuali

    nostra traduzione · testo originale (PL): Dane i zdarzenia losowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4

  52. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    acquisisce e seleziona dati da fonti diverse, li ordina e ne valuta l'attendibilità

    nostra traduzione · testo originale (PL): pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1

  53. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    sceglie una modalità di rappresentazione dei dati che ne faciliti l'analisi, utilizzando adeguate applicazioni informatiche

    nostra traduzione · testo originale (PL): dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2

  54. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta la relazione tra due grandezze descritta mediante un grafico, ad esempio la variazione di una certa grandezza nel tempo, tra cui: distanza percorsa, livello delle retribuzioni, costo della vita, inflazione – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3

  55. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza la media aritmetica e la mediana in un contesto pratico per confrontare insiemi di dati, inclusi i dati finanziari – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

    Determinazione della mediana di un insieme di dati (da noi in classe 7-8)

  56. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta criticamente i dati, inclusi i dati finanziari, ne trae conclusioni e le giustifica, facendo riferimento alle proprietà dell'insieme di dati

    nostra traduzione · testo originale (PL): krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5

  57. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    esegue semplici esperimenti aleatori consistenti, ad esempio, nel lancio singolo o doppio di una moneta o di un dado da gioco e nell'estrazione di una pallina da un insieme di palline, analizza gli esperimenti aleatori e determina qual è la probabilità degli eventi considerati.

    nostra traduzione · testo originale (PL): przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

    Calcolo della probabilità in semplici estrazioni (da noi in classe 7-8)

  58. Punto del programma MAT.VII-VIII.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Pensiero matematico

    nostra traduzione · testo originale (PL): Myślenie matematyczne

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5

  59. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica metodi generali di risoluzione di problemi matematici, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1

  60. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    spiega il proprio modo di pensare nella risoluzione di un problema matematico attraverso:

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2

  61. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    conduce ragionamenti matematici, dimostrando al contempo la capacità di:

    nostra traduzione · testo originale (PL): prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3

  62. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    registra le relazioni tra i dati presenti nel problema in modo da facilitare l'analisi del problema

    nostra traduzione · testo originale (PL): zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a

  63. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    fornire argomentazioni matematiche a giustificazione dei successivi passaggi del ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (PL): podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a

  64. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    distinguere un teorema dal suo teorema inverso

    nostra traduzione · testo originale (PL): odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a

  65. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    analizza la propria soluzione del problema e – se possibile – semplifica la soluzione

    nostra traduzione · testo originale (PL): analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b

  66. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    costruire una giustificazione facendo ricorso solo agli argomenti necessari

    nostra traduzione · testo originale (PL): budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b

  67. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    usare ragionamenti per assurdo semplici, a un solo passaggio

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b

  68. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    pone ulteriori domande derivanti dalla soluzione ottenuta

    nostra traduzione · testo originale (PL): stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c

  69. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    formulazione di conclusioni derivanti dal ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (PL): formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c

  70. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    generalizzazione dei casi particolari osservati

    nostra traduzione · testo originale (PL): uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c

  71. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.d · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    nota le analogie tra i metodi di risoluzione di diversi problemi matematici

    nostra traduzione · testo originale (PL): dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d

  72. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.d · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    giustificare, ad es. fornendo un controesempio, che una data proprietà non sussiste.

    nostra traduzione · testo originale (PL): uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d

  73. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo degli strumenti matematici – comprensione e utilizzo di concetti e proprietà matematiche anche in una nuova situazione, individuazione di relazioni tra proprietà nonché di differenze e somiglianze tra oggetti matematici.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1

  74. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Esecuzione di calcoli aritmetici e algebrici, ricerca di una modalità di calcolo ottimale, utilizzo della calcolatrice o di applicazioni di calcolo quando è giustificato dalla complessità del calcolo o dall'obiettivo del compito.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2

  75. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Trarre conclusioni da informazioni fornite mediante testo, tabelle, diagrammi, grafici ecc., utilizzare concetti, strumenti e argomentazioni matematiche per interpretare criticamente i dati, compreso il riconoscimento di conclusioni ingiustificate.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3

  76. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo di strumenti matematici adeguati per la descrizione, l'analisi e la risoluzione di problemi di diversi ambiti, compresa la vita quotidiana.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4

  77. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.5 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Costruzione di strategie a più fasi per la risoluzione di un problema matematico, individuazione di soluzioni corrette del problema, analisi della soluzione al fine di verificarne la correttezza o di semplificare il modo di ragionare.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5

  78. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.6 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Condurre ragionamenti e giustificarne la correttezza, formulare conclusioni derivanti dalle premesse, selezionare argomentazioni fornendo esempi e controesempi, verificare i ragionamenti proposti da altri.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Competenze passo dopo passo

Teorema di Pitagora e triangoli rettangoli

Lo studente riconosce un triangolo rettangolo e calcola la lunghezza del lato mancante – cateto o ipotenusa – mediante il teorema di Pitagora.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.4 riconosce triangoli rettangoli in diverse situazioni geometriche, applica il teorema di Pitagora (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni (nostra traduzione)

Al settimo anno di scuola, lo studente apprende e applica la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo: eguaglia la somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti al quadrato della lunghezza dell'ipotenusa. Su questa base è in grado di calcolare la lunghezza del lato mancante quando sono noti gli altri due, nonché di verificare se un triangolo con tre lunghezze di lati assegnate sia rettangolo.

Un errore tipico consiste nel sommare meccanicamente i quadrati dei numeri forniti senza determinare quale lato sia l'ipotenusa opposta all'angolo retto. Di conseguenza, gli studenti sommano tra loro i quadrati di un cateto e dell'ipotenusa, invece di eseguire una sottrazione per determinare il cateto mancante. Un altro errore frequente è l'omissione dell'estrazione finale di radice quadrata del risultato ottenuto.

Nella pratica, lo studente risolve problemi basati su tre schemi tipici:

  • Calcola l'ipotenusa – eleva al quadrato le lunghezze dei cateti, le somma ed estrae la radice quadrata del risultato;
  • Calcola un cateto – sottrae il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa per determinare il lato cercato;
  • Il triangolo è rettangolo? – verifica se il quadrato del segmento più lungo è uguale alla somma dei quadrati dei due segmenti più corti.
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Tipi di esercizi: Calcola l'ipotenusa · Calcola un cateto · Il triangolo è rettangolo? · Ipotenusa — scegli la risposta

Calcolo della probabilità in semplici estrazioni

Lo studente impara a determinare la probabilità di eventi casuali e a esprimerla sotto forma di frazione durante semplici esperimenti, come il lancio di un dado o l'estrazione di una pallina.

Punto del programma MAT.VII-VIII.4.6 esegue semplici esperimenti aleatori consistenti, ad esempio, nel lancio singolo o doppio di una moneta o di un dado da gioco e nell'estrazione di una pallina da un insieme di palline, analizza gli esperimenti aleatori e determina qual è la probabilità degli eventi considerati. (nostra traduzione)

In classe 7ª, lo studente muove i primi passi nel calcolo delle probabilità. Analizza semplici situazioni casuali: determina il numero di tutti i possibili esiti e il numero di esiti favorevoli a un determinato evento, ed esprime la probabilità stessa sotto forma di frazione o di numero decimale.

Un errore frequente consiste nel rapportare il numero di esiti favorevoli a quelli sfavorevoli anziché a tutti quelli possibili. Ad esempio, quando in un contenitore ci sono 2 palline bianche e 3 nere, i ragazzi indicano non di rado la probabilità di estrarre una pallina bianca come 2 su 3 e scrivono la frazione 2/3 invece di quella corretta 2/5.

Gli esercizi utilizzano modelli di estrazione chiari:

  • Lancio di un dado – lo studente determina la probabilità di ottenere un determinato punteggio, ad esempio un numero pari o minore di 5;
  • Estrazione di una pallina da una scatola – calcola la probabilità di estrarre una pallina del colore indicato da un insieme chiuso;
  • Estrazione di un biglietto con un numero – determina la probabilità di pescare un biglietto con un numero che soddisfa una determinata condizione (ad es. divisibile per 3 dall'insieme dei numeri da 1 a 15).
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Tipi di esercizi: Estrarre una pallina dalla scatola · Lancio di un dado · Estrarre un cartellino numerato

Calcolo dei prezzi dopo un aumento e una riduzione percentuale

Lo studente impara a calcolare il nuovo prezzo o valore dopo un aumento o una riduzione di una data percentuale in situazioni finanziarie quotidiane.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

In classe 7, lo studente applica il calcolo percentuale in un contesto pratico, determinando il nuovo valore dopo una variazione di prezzo. In questa fase, l'alunno impara a calcolare l'importo dell'aumento o dello sconto a partire dal prezzo iniziale, per poi aggiungerlo al valore di base o sottrarlo da esso al fine di determinare il costo finale dell'acquisto.

Un errore tipico a questo livello consiste nel trattare la percentuale come una semplice somma e sottrarla direttamente dal prezzo (ad esempio, scrivendo l'operazione 80 zł − 15% come 80 − 15 = 65 zł). La difficoltà sta nel ricordare che la percentuale si riferisce sempre a un valore specifico e che occorre prima calcolare la frazione del numero dato.

Le attività per esercitare questa abilità si basano sui modelli Aumenta di una percentuale e Riduci di una percentuale. Lo studente risolve semplici problemi di calcolo in cui riceve il prezzo iniziale e le informazioni sulla variazione (ad es. un prodotto che costa 120 zł viene scontato del 20%) e determina il nuovo prezzo finale dopo lo sconto o l'aggiunta del ricarico.

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Tipi di esercizi: Aumenta di una percentuale · Aumento percentuale — scegli la risposta · Diminuisci di una percentuale

Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune

Lo studente impara a moltiplicare un monomio per una somma tra parentesi e a raccogliere a fattor comune nelle espressioni con coefficienti interi.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.5 moltiplica un monomio per una somma algebrica di al massimo tre monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.6 raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica composta da due monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente esegue trasformazioni algebriche di base con i numeri interi. Padroneggia la moltiplicazione di un monomio per una somma composta al massimo da tre monomi e l'operazione inversa: il raccoglimento a fattor comune di un monomio da una somma composta da due monomi.

L'errore più comune nella moltiplicazione per una parentesi consiste nel moltiplicare solo il primo termine lasciando invariati gli altri, oppure nello sbagliare i segni durante la moltiplicazione per un numero negativo. Durante il raccoglimento a fattor comune, invece, la difficoltà si presenta quando uno dei termini è identico al fattore raccolto: gli studenti spesso lo omettono o scrivono zero al posto del numero 1.

Per l'esercitazione regolare sono disponibili le schede Moltiplicazione di un monomio per una somma e Raccoglimento a fattor comune. Gli esercizi consistono nello sviluppare il prodotto e semplificare le espressioni letterali, oppure nell'individuare il massimo comune divisore dei numeri e la parte letterale comune, riscrivendo l'espressione sotto forma di prodotto.

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Tipi di esercizi: Moltiplicare un monomio per un polinomio · Raccoglimento a fattore comune

Calcolo delle radici quadrate e cubiche

Lo studente calcola i valori esatti delle radici quadrate e cubiche di numeri razionali e ne determina le approssimazioni mediante la calcolatrice.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.7 calcola i valori delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente quadrati o cubi di numeri razionali, e calcola i valori approssimati delle radici di altri numeri con la calcolatrice (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente impara a determinare i valori esatti delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente quadrati o cubi di numeri razionali. Ciò significa saper operare con sicurezza con numeri interi, frazioni e numeri decimali. Nel caso di numeri da cui non è possibile estrarre una radice razionale esatta, lo studente usa la calcolatrice per fornirne il valore approssimato.

Un errore tipico in questa fase consiste nel confondere l'estrazione di radice con la divisione per l'indice della radice — ad esempio, trattare la radice quadrata come una divisione per 2 (ritenendo erroneamente che la radice di 16 sia 8 anziché 4) o la radice cubica come una divisione per 3. Gli studenti possono anche avere difficoltà a determinare correttamente il segno del risultato con le radici cubiche di numeri negativi.

In pratica, gli esercizi si basano sui modelli Calcola la radice quadrata e Calcola la radice cubica. I compiti consistono nel determinare direttamente il numero che, elevato rispettivamente alla seconda o alla terza potenza, dà il valore scritto sotto il segno di radice.

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Tipi di esercizi: Calcola la radice cubica · Calcola la radice quadrata

Elevamento a potenza di numeri interi e frazioni

Lo studente calcola i valori delle potenze con esponente naturale di numeri interi, frazioni ordinarie e decimali.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.3 calcola potenze di numeri razionali con esponente naturale (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente impara a elevare i numeri razionali — compresi i numeri interi positivi e negativi e le frazioni — a potenze con esponente naturale (come la seconda, la terza o la quarta potenza). Comprende l'elevamento a potenza come moltiplicazione ripetuta dello stesso numero per se stesso e determina con sicurezza il segno del risultato a seconda che l'esponente sia pari o dispari.

Un errore comune in questa fase è confondere l'elevamento a potenza con la semplice moltiplicazione della base per l'esponente (ad esempio calcolando 3² = 6 invece di 9). Nell'elevamento a potenza delle frazioni ordinarie, gli studenti spesso elevano a potenza solo il numeratore, lasciando invariato il denominatore, il che porta a un risultato errato.

In pratica, lo studente incontra esercizi basati su due modelli:

  • Calcola la potenza di un numero intero — che consistono nel determinare il valore delle potenze di numeri positivi e negativi,
  • Calcola la potenza di una frazione — che richiedono di elevare correttamente a potenza una frazione ordinaria o un numero decimale.
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Tipi di esercizi: Calcola la potenza di un intero · Calcola la potenza di una frazione · Valore di una potenza — scegli la risposta

Addizione e sottrazione di numeri decimali relativi

Lo studente addiziona e sottrae con disinvoltura numeri decimali positivi e negativi, determinando correttamente il segno del risultato.

Punto del programma MAT.IV-VI.1.32 esegue calcoli non complessi in cui compaiono numeri razionali (nostra traduzione)

Nella classe 7 lo studente esegue semplici calcoli con i numeri razionali, concentrandosi sull'addizione e sottrazione di numeri decimali con segno – sia numeri positivi che negativi.

Un errore tipico in questa fase consiste nel confondere le regole per determinare il segno del risultato. Gli studenti spesso si confondono quando sottraggono un numero negativo (dove due segni meno si trasformano in un'addizione) o presumono erroneamente che la somma di due numeri negativi dia un risultato positivo. Risulta difficile anche gestire contemporaneamente il segno e calcolare con precisione le parti decimali.

Gli esercizi pratici utilizzano modelli di compiti: Addizione di numeri decimali con segno e Sottrazione di numeri decimali con segno. Le attività consistono nel calcolare direttamente il valore di singole espressioni aritmetiche, come ad esempio –2,4 + 1,1 oppure 0,5 – (–1,3).

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Tipi di esercizi: Somma decimali relativi · Sottrai decimali relativi

Moltiplicazione e divisione di numeri negativi

Lo studente esegue semplici calcoli con i numeri razionali, applicando correttamente la regola dei segni nella moltiplicazione e nella divisione dei numeri negativi.

Punto del programma MAT.IV-VI.1.32 esegue calcoli non complessi in cui compaiono numeri razionali (nostra traduzione)

In questa fase, lo studente esegue semplici calcoli con i numeri razionali, concentrandosi sull'apprendimento delle regole per determinare il segno del risultato. Moltiplica e divide con disinvoltura numeri positivi e negativi, separando la decisione sul segno finale dal calcolo effettivo dei valori numerici.

L'errore più comune consiste nell'applicare le regole della moltiplicazione all'addizione. Gli studenti ricordano la formula secondo cui «due meno fanno più» e la applicano erroneamente alla somma di numeri negativi. Capita anche di dimenticare il segno meno quando si moltiplicano o si dividono un numero negativo e uno positivo.

Gli esercizi per allenare questa abilità si basano sui modelli Moltiplicazione di numeri negativi e Divisione di numeri negativi. Hanno la forma di operazioni aritmetiche dirette, in cui lo studente calcola prodotti e quozienti di coppie di numeri con lo stesso segno o con segni opposti.

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Tipi di esercizi: Dividi numeri relativi · Moltiplica numeri relativi

Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio

Lo studente calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio a partire dal raggio o dal diametro fornito, applicando correttamente il pi greco.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.7 calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente impara a determinare la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio. A tale scopo utilizza le formule che mettono in relazione queste grandezze con il raggio o il diametro della figura e con il numero π. Il risultato viene scritto in forma esatta (con il simbolo del numero π) oppure ne viene calcolato il valore approssimato, sostituendo a π, ad esempio, 3,14.

La difficoltà più frequente consiste nel confondere le formule: non di rado gli studenti raddoppiano il raggio invece di elevarlo al quadrato durante il calcolo dell'area. Un errore tipico è anche quello di inserire direttamente nella formula il diametro fornito nel testo al posto del raggio del cerchio.

Gli esercizi nei modelli Lunghezza della circonferenza e Area del cerchio consistono nel semplice calcolo della circonferenza o dell'area a partire dalla misura del raggio o del diametro, nonché nelle operazioni inverse: determinare il raggio della figura quando ne sono già note la lunghezza o l'area.

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Tipi di esercizi: Area del cerchio · Lunghezza della circonferenza

Moltiplicazione di binomi

Lo studente impara a moltiplicare tra loro due binomi con coefficienti interi e a scrivere il risultato in forma ordinata.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.7 moltiplica tra loro due binomi a coefficienti interi (nostra traduzione)

In classe 7, lo studente esegue la moltiplicazione di due binomi in cui compaiono esclusivamente coefficienti interi (sia positivi che negativi). Apprende la regola per moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda parentesi, partendo da forme più semplici del tipo (x + a)(x + b).

Un errore tipico è l'omissione dei termini intermedi: gli studenti spesso moltiplicano solo i primi elementi tra loro e i secondi tra loro, fornendo un risultato errato (ad esempio scrivendo (x + 2)(x + 3) come x² + 6 invece di considerare tutti e quattro i prodotti). Un altro problema frequente è la perdita dei segni, soprattutto quando nel binomio compare una sottrazione e occorre moltiplicare tra loro due numeri negativi.

In pratica, gli esercizi si basano sui modelli Moltiplicazione di binomi (x + a)(x + b) e Moltiplicazione di binomi. Lo studente riceve il prodotto di due espressioni tra parentesi, lo sviluppa come somma di singoli prodotti, fa attenzione ai corretti segni più e meno e infine riduce i termini simili.

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Tipi di esercizi: Prodotto (x + a)(x + b) · Prodotto di due binomi

Riduzione dei termini simili nelle espressioni

Lo studente impara a ordinare i monomi e a sommare e sottrarre i termini simili con coefficienti interi in espressioni con una o due variabili.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.3 ordina i monomi e riduce i termini simili nelle somme algebriche (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.4 addiziona e sottrae somme algebriche formate da più monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)

In classe 7ª lo studente impara a semplificare le somme algebriche, riconoscendo con precisione i monomi con le stesse lettere. Lo studente ordina i monomi scritti e addiziona e sottrae i termini simili con coefficienti interi, lavorando su espressioni a una sola variabile o con due variabili diverse.

L'errore più comune è dimenticare il segno meno davanti a un monomio e raggruppare termini che differiscono per le variabili o per i loro esponenti. Gli studenti possono avere difficoltà anche con i monomi senza un numero visibile davanti, dimenticando che la scrittura x indica un coefficiente pari a 1 e che -x corrisponde al numero -1.

In pratica, lo studente esercita questa abilità attraverso le schede Riduzione dei termini simili e Riduzione dei termini simili con due variabili. Gli esercizi consistono nel trasformare un'espressione complessa nella forma più sintetica possibile, sommando i coefficienti delle lettere identiche e sommando a parte i termini noti.

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Tipi di esercizi: Riduzione dei termini simili · Termini simili con due variabili

Determinazione di un numero a partire dalla sua percentuale

Lo studente impara a risalire alla quantità intera, conoscendo solo il valore di una sua parte e la percentuale corrispondente.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.c il numero sulla base di una sua percentuale data (nostra traduzione)

Al 7° anno, lo studente è in grado di determinare l'intero valore iniziale (100%), conoscendo una sua parte e la percentuale corrispondente. Per risolvere il problema, applica la conversione della percentuale in frazione ed esegue una divisione, usa il metodo delle proporzioni oppure un passaggio intermedio: prima stabilisce a quanto corrisponde l'1% della grandezza data e poi moltiplica il risultato ottenuto per 100.

Un errore tipico consiste nel confondere questa operazione con il calcolo della percentuale di un numero dato. Invece di dividere il valore per la percentuale, lo studente moltiplica meccanicamente le grandezze fornite — ad esempio, alla domanda su quale sia il numero il cui 20% è 40, risponde 8 (calcolando il 20% di 40) invece del corretto 200. Una difficoltà frequente è anche quella di omettere la conversione della percentuale in frazione prima di eseguire la divisione.

Negli esercizi del modello Numero da una percentuale data, lo studente affronta consegne del tipo «Trova il numero il cui 15% è 45» o semplici problemi applicati alla vita quotidiana, in cui occorre ricostruire lo stipendio iniziale, l'itinerario di una gita o la capacità totale di un serbatoio sulla base delle informazioni relative a una parte completata.

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Calcolare quale percentuale di un numero è un altro

Lo studente impara a confrontare due grandezze e a esprimere il loro rapporto reciproco sotto forma di percentuale, verificando quale parte del totale rappresenti un dato numero.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.a quale percentuale di un numero è un altro numero (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente impara a confrontare due valori e a esprimere la loro relazione in percentuale. La soluzione consiste nell'impostare il quoziente di due numeri sotto forma di frazione (in cui la parte considerata va al numeratore e la grandezza presa come riferimento al denominatore), per poi trasformare questa frazione in percentuale — portando il denominatore a 100 o moltiplicando per il 100%.

L'errore più comune in questa fase è scambiare il numeratore con il denominatore. Gli studenti tendono a dividere automaticamente il numero maggiore per quello minore, in modo da evitare una frazione inferiore a 1. Ad esempio, rispondendo alla domanda su quale percentuale del numero 40 sia 8, possono dividere 40 per 8, invece di impostare correttamente la frazione 8/40 e convertirla nel 20%.

Negli esercizi basati sul modello Che percentuale rappresenta un numero? lo studente affronta consegne che richiedono il calcolo diretto della relazione tra due numeri (ad es. determinare quale percentuale del totale costituisce una data parte) e semplici situazioni pratiche, come il calcolo della percentuale di persone presenti in un gruppo o dei punti ottenuti in un test.

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Determinazione della mediana di un insieme di dati

Lo studente ordina un insieme di dati numerici e ne determina la mediana, anche nel contesto di semplici dati finanziari.

Punto del programma MAT.VII-VIII.4.4 utilizza la media aritmetica e la mediana in un contesto pratico per confrontare insiemi di dati, inclusi i dati finanziari – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

In seconda media lo studente impara a determinare la mediana di un insieme di dati numerici fornito, anche in contesti pratici e finanziari (ad es. relativi a prezzi o risparmi). Per individuare questo valore centrale, l'alunno ordina i numeri in modo non decrescente: con un numero dispari di elementi individua il numero che si trova esattamente al centro, mentre con un numero pari calcola la media aritmetica dei due valori centrali.

Un errore tipico in questa fase consiste nel cercare il numero centrale direttamente nella sequenza non ordinata, senza prima disporre i numeri dal più piccolo al più grande. Gli studenti possono avere difficoltà anche quando l'insieme contiene un numero pari di dati: invece di calcolare la media della coppia di numeri centrali, li indicano entrambi oppure ne scelgono uno solo.

Gli esercizi del modello Indica la mediana consistono nel leggere un insieme di numeri, ordinarlo e determinare correttamente il valore centrale.

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Potenze con esponente negativo

Lo studente impara a trasformare potenze con esponente intero negativo nelle corrispondenti potenze con esponente naturale, utilizzando il reciproco della base.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.4 trasforma potenze con esponente intero negativo nelle corrispondenti potenze con esponenti naturali (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente impara a trasformare le potenze in cui l'esponente è un numero intero negativo. Il compito consiste nel convertire tale scrittura in una potenza con esponente naturale, calcolando il reciproco della base ed eliminando il segno meno all'esponente.

Un errore comune in questa fase è considerare il segno meno all'esponente come un segno negativo per l'intero risultato, oppure confondere l'elevamento a potenza con la moltiplicazione. Gli studenti attribuiscono spesso un valore negativo al risultato invece di sostituire la base con il suo reciproco.

Gli esercizi basati sul modello Potenza con esponente negativo richiedono allo studente di trasformare l'espressione numerica data in una forma con esponente naturale, per poi calcolarne il valore finale.

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Operazioni con le potenze ed esponenti mancanti

Lo studente applica le regole di moltiplicazione e divisione delle potenze con basi naturali ed esponenti interi per determinare i numeri mancanti nelle uguaglianze.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5 applica le proprietà delle operazioni con le potenze con basi naturali ed esponenti interi, tra cui: (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.a moltiplica e divide potenze con la stessa base (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.b moltiplica e divide potenze con lo stesso esponente (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.c eleva una potenza a potenza (nostra traduzione)

In classe 7, lo studente impara a utilizzare con sicurezza le proprietà delle potenze con basi naturali ed esponenti interi. In questa fase, combina le regole relative alla moltiplicazione e alla divisione di potenze con la stessa base con la conoscenza dei numeri negativi, trasformando le espressioni senza la necessità di calcolare faticosamente valori elevati.

L'errore più comune consiste nel confondere l'addizione degli esponenti con la loro moltiplicazione durante il prodotto di potenze con la stessa base. Un'ulteriore difficoltà è rappresentata dagli esponenti negativi: nella divisione di potenze, gli studenti dimenticano spesso che sottrarre un numero negativo equivale a un'addizione, il che porta a un segno errato nel risultato finale.

In pratica, utilizzando le schede didattiche Esponente mancante — operazioni con le potenze, lo studente risolve uguaglianze con un unico spazio vuoto. Il compito consiste nell'analizzare l'operazione (ad esempio il prodotto o il quoziente di potenze) e nell'inserire all'esponente un numero intero tale che il membro sinistro dell'equazione sia uguale a quello destro.

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Divisione proporzionale in due o tre parti

Lo studente impara a dividere una data quantità in due o tre parti secondo un dato rapporto, risolvendo problemi pratici della vita quotidiana.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.10 riconosce relazioni di proporzionalità diretta, le applica per determinare il valore di una grandezza in base all'altra e utilizza la ripartizione proporzionale in due o tre parti in un contesto pratico (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente impara a dividere una determinata grandezza in due o tre parti secondo un dato rapporto numerico (ad esempio 2 : 3 o 1 : 2 : 4). Applica questa abilità in contesti pratici, determinando valori concreti per ciascuna delle parti sulla base della loro relazione reciproca.

Un errore comune consiste nel dividere il numero iniziale per i singoli termini del rapporto anziché per la loro somma. Ad esempio, lo studente cerca di dividere un importo nel rapporto 2 : 3 dividendolo direttamente per 2 o per 3, invece di determinare prima che il totale è composto da 5 parti uguali e calcolare il valore di una singola parte.

In pratica, utilizzando il modello Divisione in un dato rapporto, lo studente affronta problemi con testo in cui suddivide, tra l'altro, somme di denaro, masse di ingredienti o lunghezze di segmenti, calcolando la misura esatta di ciascuna parte ottenuta.

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Portare fuori dal segno di radice

Lo studente impara a semplificare le radici quadrate e cubiche mediante la scomposizione del radicando e il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9 applica le proprietà delle operazioni con le radici per le radici quadrate e cubiche, tra cui: (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.a calcola le radici del prodotto e del quoziente di due numeri (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.b moltiplica e divide radici dello stesso indice (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.c porta un numero fuori dal segno di radice e porta un numero sotto il segno di radice (nostra traduzione)

In seconda media lo studente impara a semplificare la scrittura delle radici quadrate e cubiche. Utilizzando le proprietà delle operazioni con i radicali, scompone il numero sotto radice nel prodotto di fattori, di cui uno è un quadrato perfetto (es. 4, 9, 16, 25) o un cubo perfetto (es. 8, 27), quindi ne calcola la radice e scrive il risultato davanti al simbolo di radice.

Un errore comune è trascrivere il fattore trovato davanti al segno di radice senza estrarne la radice — ad esempio scrivendo che √12 è 4√3 invece di 2√3. Capita anche di confondere l'indice della radice, ossia cercare quadrati di numeri all'interno di radici cubiche.

Gli esercizi del modello Porta un fattore fuori dalla radice consistono nel portare la radice data nella sua forma più semplice, ad esempio trasformando √50 in 5√2 o ∛24 in 2∛3.

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Stima del valore delle radici

Lo studente impara a determinare il valore approssimato di una radice e a indicare tra quali due numeri interi consecutivi essa si trova.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.8 stima il valore di una semplice espressione aritmetica contenente radici (nostra traduzione)

In seconda media l'alunno sviluppa l'abilità di stimare il valore delle radici che non danno come risultato un numero intero. Non deve calcolare l'esatta espansione decimale: impara a delimitare la radice dal basso e dall'alto tramite i quadrati noti dei numeri naturali, determinando ad esempio che il valore di √20 è compreso tra 4 e 5.

Un errore tipico in questa fase consiste nel confondere l'estrazione di radice con la divisione per due. Gli studenti provano quindi a stimare il valore di √50 come vicino a 25, anziché fare riferimento ai quadrati perfetti più vicini (49 e 64) e notare che il risultato è di poco superiore a 7.

Nella pratica, utilizzando le schede didattiche del modello Stima la radice, l'alunno affronta esercizi in cui inserisce i due numeri interi consecutivi che racchiudono la radice data oppure indica a quale di essi il numero esaminato è più vicino.

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Scrivere e confrontare i numeri in notazione scientifica

Lo studente impara a scrivere i numeri in notazione scientifica e a confrontare grandezze espresse in questa forma.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.6 scrive i numeri in notazione scientifica e confronta i numeri scritti in questo modo (nostra traduzione)

Nel 7° anno di scuola, lo studente padroneggia la scrittura dei numeri in notazione scientifica, ossia sotto forma di prodotto tra un numero compreso nell'intervallo da 1 a 10 (escluso il 10) e una potenza di 10. In questa fase, l'alunno impara a convertire i numeri in questa forma, a leggerli e a confrontare correttamente coppie o sequenze di grandezze espresse in questo modo.

Un errore frequente consiste nel trascurare la condizione relativa al primo fattore. Gli studenti producono scritture del tipo 45 · 10³ invece di 4,5 · 10⁴, considerando erroneamente qualsiasi prodotto con una potenza di dieci come notazione scientifica. Un secondo errore tipico nel confronto consiste nel basarsi unicamente sul primo numero anziché sull'esponente della potenza: lo studente può considerare 7,2 · 10³ come un valore maggiore di 1,5 · 10⁵, guardando soltanto il fatto che 7,2 è maggiore di 1,5.

Gli esercizi del modello Notazione scientifica comprendono la conversione di numeri scritti in forma standard in notazione scientifica e viceversa. Lo studente si esercita inoltre nel confronto di grandezze: individua il numero maggiore, inserisce il corretto simbolo di relazione tra due scritture o ordina una serie di numeri dal più piccolo al più grande.

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Risoluzione di equazioni con l'incognita su entrambi i lati

Lo studente impara a risolvere equazioni di primo grado in cui la lettera che rappresenta l'incognita compare sia a sinistra sia a destra del segno di uguale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado (nostra traduzione)

Al 7° anno lo studente impara a risolvere le equazioni di primo grado in cui la stessa incognita compare su entrambi i membri. Lo studente impara a ricondurre tale espressione a una forma più semplice sommando o sottraendo a entrambi i membri i termini con l'incognita e i numeri, in modo da raggruppare infine le incognite da una parte e i valori numerici dall'altra.

Un problema tipico in questa fase riguarda gli errori di segno (più e meno) durante l'esecuzione delle operazioni su entrambi i membri dell'equazione. Gli studenti dimenticano spesso di cambiare segno quando spostano un termine o confondono l'ordine delle operazioni, oltre a tentare di sommare numeri ai termini con l'incognita (ad esempio trattando l'espressione 3x + 5 come 8x).

In pratica, utilizzando il modello Equazione con incognita su entrambi i lati, lo studente riceve un'equazione lineare (ad es. 5x + 3 = 2x + 12). Il compito consiste nell'eseguire i passaggi passo dopo passo, determinare il valore dell'incognita e fornire il risultato numerico finale.

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Verificare se un numero soddisfa un'equazione

Lo studente verifica se un dato numero intero o razionale soddisfa l'equazione, sostituendolo al posto dell'incognita e confrontando i valori di entrambi i membri.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.10 verifica se un dato numero razionale è soluzione di un'equazione di primo grado (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.9 verifica se un dato numero intero è soluzione di un'equazione (di primo, secondo o terzo grado) a un'incognita (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente impara a verificare la correttezza di una soluzione senza dover trasformare l'intera equazione. Verifica se un determinato numero intero soddisfa un'equazione a un'incognita (di primo, secondo o terzo grado) e se un dato numero razionale — compresa una frazione ordinaria o un numero decimale — è la soluzione di un'equazione di primo grado.

Un tipico errore deriva dalla disattenzione nell'ordine delle operazioni e nella regola dei segni, in particolare durante la sostituzione di numeri negativi. Gli studenti spesso dimenticano le parentesi nell'elevamento a potenza di un numero negativo (confondendo ad es. (-3)² con -3²) o sbagliano i segni quando moltiplicano per un valore negativo. Accade spesso anche che lo studente esegua i calcoli solo per un lato dell'equazione, invece di calcolare separatamente il valore del membro sinistro e di quello destro per verificare se sussiste l'uguaglianza L = P.

Gli esercizi basati sul modello Il numero è la soluzione dell'equazione? consistono nel sostituire il numero assegnato nell'espressione data ed eseguire i calcoli. Lo studente imposta i calcoli per il membro sinistro e per quello destro e, su questa base, formula una risposta univoca indicando se il numero verificato soddisfa effettivamente la condizione richiesta.

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Risolvere equazioni in due passaggi (ax + b = c)

Lo studente risolve equazioni di primo grado nella forma ax + b = c, eseguendo in sequenza la sottrazione o l'addizione e successivamente la divisione per il coefficiente dell'incognita.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado (nostra traduzione)

In seconda media lo studente impara a ricavare l'incognita da un'equazione di primo grado nella forma ax + b = c. Padroneggia lo schema in due passaggi successivi: prima aggiunge o sottrae il termine noto a entrambi i membri, poi divide entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente che moltiplica l'incognita.

Un errore tipico in questa fase è l'inversione dell'ordine dei passaggi: tentare di dividere per il coefficiente a prima di eliminare il termine b, il che porta spesso a omettere per sbaglio la divisione del termine noto. Gli studenti possono anche avere difficoltà con i segni, confondendo l'operazione inversa (ad es. l'addizione al posto della sottrazione) quando semplificano i termini al primo membro dell'equazione.

Gli esercizi del modello Equazione ax + b = c presentano un'equazione numerica specifica, ad esempio 3x + 5 = 26 oppure 4x - 7 = 13. Il compito dello studente è eseguire e registrare i passaggi passo dopo passo, indicando infine il valore dell'incognita.

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Tipi di esercizi: Equazione ax + b = c · Soluzione di un’equazione — scegli la risposta

Calcolo del valore delle espressioni algebriche

Lo studente sostituisce i numeri interi forniti al posto delle lettere in un'espressione composta da al massimo tre monomi e ne calcola il risultato finale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.2 calcola il valore numerico di un'espressione algebrica che è la somma di al massimo tre monomi per dati valori interi delle variabili (nostra traduzione)

In questa fase dell'apprendimento, lo studente sostituisce le lettere in un'espressione con numeri interi specifici — positivi, negativi o zero. In conformità con i requisiti per le classi 7–8, il grado di complessità di tali formule è limitato alla somma di al massimo tre monomi, il che comporta l'esecuzione di sostituzioni in espressioni dalla struttura semplice (ad esempio con una o due variabili).

Un errore tipico si verifica nel momento in cui si inseriscono numeri negativi. Gli studenti spesso dimenticano di racchiudere tra parentesi il numero negativo inserito, confondendo scritture come (-3)² con -3², oppure perdono i segni meno quando sottraggono un numero negativo o lo moltiplicano per il coefficiente negativo di un monomio.

Negli esercizi basati sul modello «Valore di un'espressione algebrica», lo studente riceve un'espressione già pronta e un insieme di numeri assegnati alle singole lettere. Il compito consiste nel sostituire correttamente i simboli con i numeri interi, eseguire l'elevamento a potenza, la moltiplicazione e l'addizione nell'ordine corretto e scrivere il risultato finale.

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Calcolo degli interessi su un deposito annuale

Lo studente impara a calcolare l'importo degli interessi maturati dopo un anno di risparmio e la somma totale presente sul conto a un determinato tasso di interesse del deposito.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

In classe 7 lo studente utilizza il calcolo percentuale in un contesto finanziario pratico, calcolando il rendimento di un deposito bancario annuale. Lo studente calcola la percentuale della somma depositata (capitale iniziale) per determinare l'ammontare degli interessi maturati e il saldo finale dei risparmi al termine di un anno intero.

L'errore più comune consiste nel confondere l'ammontare dei soli interessi con la somma totale presente sul conto: quando viene richiesto il saldo dei risparmi dopo un anno, lo studente indica solo il guadagno calcolato, dimenticando di aggiungere il capitale versato. Spesso si verifica anche un errore nella conversione del tasso di interesse in numero decimale, ad esempio considerando il 4% come 0,4 invece di 0,04.

Negli esercizi del modello Interessi sul deposito lo studente analizza situazioni finanziarie concrete: conoscendo la somma depositata in banca e il tasso di interesse annuo, calcola quale importo la banca accrediterà sul capitale dopo dodici mesi.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Teorema di Pitagora e triangoli rettangoli

Calcolo della probabilità in semplici estrazioni

Calcolo dei prezzi dopo un aumento e una riduzione percentuale

Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune

Calcolo delle radici quadrate e cubiche

Elevamento a potenza di numeri interi e frazioni

Addizione e sottrazione di numeri decimali relativi

Moltiplicazione e divisione di numeri negativi

Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio

Moltiplicazione di binomi

Riduzione dei termini simili nelle espressioni

Determinazione di un numero a partire dalla sua percentuale

Calcolare quale percentuale di un numero è un altro

Determinazione della mediana di un insieme di dati

Potenze con esponente negativo

Operazioni con le potenze ed esponenti mancanti

Divisione proporzionale in due o tre parti

Portare fuori dal segno di radice

Stima del valore delle radici

Scrivere e confrontare i numeri in notazione scientifica

Risoluzione di equazioni con l'incognita su entrambi i lati

Verificare se un numero soddisfa un'equazione

Risolvere equazioni in due passaggi (ax + b = c)

Calcolo del valore delle espressioni algebriche

Calcolo degli interessi su un deposito annuale

Altri tipi di esercizi

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