Programma scolastico (Stati Uniti)

Matematica — classe 7ª

Matematica di 7° grado secondo i Common Core State Standards: operazioni con numeri positivi e negativi, incremento e decremento percentuale, interesse semplice, equazioni a due passaggi, circonferenza e area del cerchio, prismi e probabilità. Ogni argomento include schede didattiche stampabili già pronte.

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Cosa impara uno studente in matematica in seconda media?

In seconda media uno studente addiziona, sottrae, moltiplica e divide numeri positivi e negativi, inclusi i decimali. Le percentuali descrivono situazioni reali: ricarichi, sconti e interesse semplice. Lo studente risolve equazioni a due passaggi, calcola la circonferenza e l'area di un cerchio, il volume e l'area superficiale dei prismi, e calcola le probabilità di eventi semplici e composti.

Stato della pagina: esponenti e radici, notazione scientifica, percentuali, operazioni con numeri relativi, equazioni e sistemi, funzioni lineari, il teorema di Pitagora, cerchi e solidi, e probabilità sono pronti. Le trasformazioni e i grafici a dispersione saranno aggiunti a breve.

Ambito del programma

Punto del programma 7.RP · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Rapporti e relazioni proporzionali

nostra traduzione · testo originale (EN): Ratios and Proportional Relationships

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, domain Ratios and Proportional Relationships (7.RP)
Punto del programma 7.RP.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Analizzare le relazioni proporzionali e utilizzarle per risolvere problemi del mondo reale e matematici.

nostra traduzione · testo originale (EN): Analyze proportional relationships and use them to solve real-world and mathematical problems.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Ratios and Proportional Relationships, cluster A
Punto del programma 7.RP.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Calcolare tassi unitari associati a rapporti tra frazioni, inclusi rapporti tra lunghezze, aree e altre grandezze misurate nelle stesse unità o in unità diverse. Ad esempio, se una persona cammina per 1/2 miglio ogni 1/4 d'ora, calcolare il tasso unitario come la frazione complessa 1/2/1/4 miglia all'ora, equivalentemente 2 miglia all'ora.

nostra traduzione · testo originale (EN): Compute unit rates associated with ratios of fractions, including ratios of lengths, areas and other quantities measured in like or different units. For example, if a person walks 1/2 mile in each 1/4 hour, c ompute the unit rate as the complex fraction 1/2/1/4 miles per hour, equivalently 2 miles per hour.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Ratios and Proportional Relationships, standard 7.RP.A.1
Punto del programma 7.RP.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Riconoscere e rappresentare relazioni di proporzionalità tra grandezze. a. Stabilire se due grandezze sono in una relazione di proporzionalità, ad es. verificando la presenza di rapporti equivalenti in una tabella o tracciando il grafico su un piano cartesiano e osservando se il grafico è una retta passante per l'origine. b. Individuare la costante di proporzionalità (tasso unitario) in tabelle, grafici, equazioni, diagrammi e descrizioni verbali di relazioni di proporzionalità. c. Rappresentare le relazioni di proporzionalità mediante equazioni. Ad esempio, se il costo totale t è proporzionale al numero n di articoli acquistati a un prezzo costante p, la relazione tra il costo totale e il numero di articoli può essere espressa come t = pn. d. Spiegare il significato di un punto (x, y) sul grafico di una relazione di proporzionalità in riferimento alla situazione, con particolare attenzione ai punti (0, 0) e (1, r), dove r è il tasso unitario.

nostra traduzione · testo originale (EN): Recognize and represent proportional relationships between quantities. a. Decide whether two quantities are in a proportional relationship, e.g., by testing for equivalent ratios in a table or graphing on a coordinate plane and observing whether the graph is a straight line through the origin. b. Identify the constant of proportionality (unit rate) in tables, graphs, equations, diagrams, and verbal descriptions of proportional relationships. c. Represent proportional relationships by equations. For example, if total cost t is proportional to the number n of items purchased at a constant price p, the relationship between the total cost and the number of items can be expressed as t = pn. d. Explain what a point (x, y) on the graph of a proportional relationship means in terms of the situation, with special attention to the points (0, 0) and (1, r) where r is the unit rate.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Ratios and Proportional Relationships, standard 7.RP.A.2
Punto del programma 7.RP.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare relazioni di proporzionalità per risolvere problemi a più passaggi relativi a rapporti e percentuali. Esempi: interesse semplice, imposte, ricarichi e sconti, mance e commissioni, tariffe, aumento e diminuzione percentuale, errore percentuale.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use proportional relationships to solve multistep ratio and percent problems. Examples: simple interest, tax, markups and markdowns, gratuities and commissions, fees, percent increase and decrease, percent error.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Ratios and Proportional Relationships, standard 7.RP.A.3

Calcolo dell'aumento e della diminuzione percentuale (da noi in classe 7) · Calcolo dell'interesse semplice sui risparmi (da noi in classe 7) · Calcolare la percentuale di un numero rispetto a un altro (da noi in classe 7) · Trovare la quantità totale a partire da una percentuale (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.NS · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Il sistema di numerazione

nostra traduzione · testo originale (EN): The Number System

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, domain The Number System (7.NS)
Punto del programma 7.NS.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Applicare ed estendere le conoscenze pregresse sulle operazioni con le frazioni per addizionare, sottrarre, moltiplicare e dividere i numeri razionali.

nostra traduzione · testo originale (EN): Apply and extend previous understandings of operations with fractions to add, subtract, multiply, and divide rational numbers.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, The Number System, cluster A
Punto del programma 7.NS.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Applicare ed estendere le conoscenze pregresse di addizione e sottrazione per addizionare e sottrarre numeri razionali; rappresentare l'addizione e la sottrazione su una retta numerica orizzontale o verticale. a. Descrivere situazioni in cui quantità opposte si combinano per dare 0. Ad esempio, un atomo di idrogeno ha carica 0 perché i suoi due costituenti hanno cariche opposte. b. Comprendere p + q come il numero situato a una distanza |q| da p, in direzione positiva o negativa a seconda che q sia positivo o negativo. Dimostrare che un numero e il suo opposto hanno come somma 0 (sono inversi additivi). Interpretare somme di numeri razionali descrivendo contesti di vita reale. c. Comprendere la sottrazione di numeri razionali come addizione dell'inverso additivo, p – q = p + (–q). Dimostrare che la distanza tra due numeri razionali sulla retta numerica è il valore assoluto della loro differenza, e applicare questo principio a contesti di vita reale. d. Applicare le proprietà delle operazioni come strategie per addizionare e sottrarre numeri razionali.

nostra traduzione · testo originale (EN): Apply and extend previous understandings of addition and subtraction to add and subtract rational numbers; represent addition and subtraction on a horizontal or vertical number line diagram. a. Describe situations in which opposite quantities combine to make 0. For example, a hydrogen atom has 0 charge because its two constituents are oppositely charged. b. Understand p + q as the number located a distance |q| from p, in the positive or negative direction depending on whether q is positive or negative. Show that a number and its opposite have a sum of 0 (are additive inverses). Interpret sums of rational numbers by describing real-world contexts. c. Understand subtraction of rational numbers as adding the additive inverse, p – q = p + (–q). Show that the distance between two rational numbers on the number line is the absolute value of their difference, and apply this principle in real-world contexts. d. Apply properties of operations as strategies to add and subtract rational numbers.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, The Number System, standard 7.NS.A.1

Addizione e sottrazione di numeri interi (da noi in classe 7) · Addizione e sottrazione di numeri decimali positivi e negativi (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.NS.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Applicare ed estendere la comprensione pregressa della moltiplicazione e della divisione e delle frazioni per moltiplicare e dividere numeri razionali. a. Comprendere che la moltiplicazione viene estesa dalle frazioni ai numeri razionali richiedendo che le operazioni continuino a soddisfare le proprietà delle operazioni, in particolare la proprietà distributiva, portando a prodotti come (–1)(–1) = 1 e alle regole per moltiplicare numeri con segno. Interpretare i prodotti di numeri razionali descrivendo contesti del mondo reale. b. Comprendere che i numeri interi possono essere divisi, a condizione che il divisore non sia zero, e che ogni quoziente di numeri interi (con divisore diverso da zero) è un numero razionale. Se p e q sono numeri interi, allora –(p/q) = (–p)/q = p/(–q). Interpretare i quozienti di numeri razionali descrivendo contesti del mondo reale.

nostra traduzione · testo originale (EN): Apply and extend previous understandings of multiplication and division and of fractions to multiply and divide rational numbers. a. Understand that multiplication is extended from fractions to rational numbers by requiring that operations continue to satisfy the properties of operations, particularly the distributive property, leading to products such as (–1)(–1) = 1 and the rules for multiplying signed numbers. Interpret products of rational numbers by describing real-world contexts. b. Understand that integers can be divided, provided that the divisor is not zero, and every quotient of integers (with non-zero divisor) is a rational number. If p and q are integers, then –(p/q) = (–p)/q = p/(–q). Interpret quotients of rational numbers by describing real-world contexts.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, The Number System, standard 7.NS.A.2

Moltiplicare e Dividere Numeri Positivi e Negativi (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.NS.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere problemi del mondo reale e matematici che coinvolgono le quattro operazioni con i numeri razionali.

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve real-world and mathematical problems involving the four operations with rational numbers.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, The Number System, standard 7.NS.A.3

Moltiplicare e Dividere Numeri Positivi e Negativi (da noi in classe 7) · Addizione e sottrazione di numeri decimali positivi e negativi (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.EE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Espressioni ed equazioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Expressions and Equations

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, domain Expressions and Equations (7.EE)
Punto del programma 7.EE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare le proprietà delle operazioni per generare espressioni equivalenti.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use properties of operations to generate equivalent expressions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Expressions and Equations, cluster A
Punto del programma 7.EE.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere problemi di vita reale e matematici utilizzando espressioni ed equazioni numeriche e algebriche.

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve real-life and mathematical problems using numerical and algebraic expressions and equations.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Expressions and Equations, cluster B
Punto del programma 7.EE.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Applicare le proprietà delle operazioni come strategie per addizionare, sottrarre, scomporre in fattori ed espandere espressioni lineari con coefficienti razionali.

nostra traduzione · testo originale (EN): Apply properties of operations as strategies to add, subtract, factor, and expand linear expressions with rational coefficients.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Expressions and Equations, standard 7.EE.A.1
Punto del programma 7.EE.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere che riscrivere un'espressione in forme diverse nel contesto di un problema può fare luce sul problema e su come le quantità in esso siano correlate. Per esempio, a + 0.05a = 1.05a significa che “aumentare del 5%” è lo stesso che “moltiplicare per 1.05”.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that rewriting an expression in different forms in a problem context can shed light on the problem and how the quantities in it are related. For example, a + 0.05a = 1.05a means that “increase by 5%” is the same as “multiply by 1.05.”

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Expressions and Equations, standard 7.EE.A.2

Calcolo dell'aumento e della diminuzione percentuale (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.EE.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere problemi a più passaggi, di vita reale e matematici, formulati con numeri razionali positivi e negativi in qualsiasi forma (numeri interi, frazioni e decimali), utilizzando gli strumenti in modo strategico. Applicare le proprietà delle operazioni per calcolare con numeri in qualsiasi forma; convertire da una forma all'altra come opportuno; e valutare la ragionevolezza delle risposte utilizzando il calcolo mentale e strategie di stima. Per esempio: se una donna che guadagna $25 all'ora riceve un aumento del 10%, guadagnerà un ulteriore 1/10 del suo stipendio all'ora, ossia $2.50, per un nuovo stipendio di $27.50. Se si desidera posizionare una barra portasciugamani lunga 9 3/4 pollici al centro di una porta larga 27 1/2 pollici, sarà necessario posizionare la barra a circa 9 pollici da ciascun bordo; questa stima può essere utilizzata come verifica del calcolo esatto.

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve multi-step real-life and mathematical problems posed with positive and negative rational numbers in any form (whole numbers, fractions, and decimals), using tools strategically. Apply properties of operations to calculate with numbers in any form; convert between forms as appropriate; and assess the reasonableness of answers using mental computation and estimation strategies. For example: If a woman making $25 an hour gets a 10% raise, she will make an additional 1/10 of her salary an hour, or $2.50, for a new salary of $27.50. If you want to place a towel bar 9 3/4 inches long in the center of a door that is 27 1/2 inches wide, you will need to place the bar about 9 inches from each edge; this estimate can be used as a check on the exact computation.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Expressions and Equations, standard 7.EE.B.3
Punto del programma 7.EE.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare variabili per rappresentare quantità in un problema reale o matematico e costruire semplici equazioni e disequazioni per risolvere problemi ragionando sulle quantità. a. Risolvere problemi a parole che conducono a equazioni della forma px + q = r e p(x + q) = r, dove p, q e r sono specifici numeri razionali. Risolvere equazioni di queste forme con scioltezza. Confrontare una soluzione algebrica con una soluzione aritmetica, individuando la sequenza delle operazioni usate in ciascun approccio. Per esempio, il perimetro di un rettangolo è 54 cm. La sua lunghezza è 6 cm. Qual è la sua larghezza? b. Risolvere problemi a parole che conducono a disequazioni della forma px + q > r o px + q < r, dove p, q e r sono specifici numeri razionali. Rappresentare graficamente l'insieme delle soluzioni della disequazione e interpretarlo nel contesto del problema. Per esempio: come venditore, vieni pagato $50 a settimana più $3 per ogni vendita. Questa settimana vuoi che la tua paga sia di almeno $100. Scrivi una disequazione per il numero di vendite che devi realizzare e descrivi le soluzioni.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use variables to represent quantities in a real-world or mathematical problem, and construct simple equations and inequalities to solve problems by reasoning about the quantities. a. Solve word problems leading to equations of the form px + q = r and p(x + q) = r, where p, q, and r are specific rational numbers. Solve equations of these forms fluently. Compare an algebraic solution to an arithmetic solution, identifying the sequence of the operations used in each approach. For example, the perimeter of a rectangle is 54 cm. Its length is 6 cm. What is its width? b. Solve word problems leading to inequalities of the form px + q > r or px + q < r, where p, q, and r are specific rational numbers. Graph the solution set of the inequality and interpret it in the context of the problem. For example: As a salesperson, you are paid $50 per week plus $3 per sale. This week you want your pay to be at least $100. Write an inequality for the number of sales you need to make, and describe the solutions.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Expressions and Equations, standard 7.EE.B.4

Risolvere equazioni a due passaggi (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.G · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Geometria

nostra traduzione · testo originale (EN): Geometry

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, domain Geometry (7.G)
Punto del programma 7.G.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Disegnare, costruire e descrivere figure geometriche e descrivere le relazioni tra loro.

nostra traduzione · testo originale (EN): Draw, construct, and describe geometrical figures and describe the relationships between them.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Geometry, cluster A
Punto del programma 7.G.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere problemi di vita reale e matematici che coinvolgono la misura degli angoli, l'area, l'area della superficie e il volume.

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve real-life and mathematical problems involving angle measure, area, surface area, and volume.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Geometry, cluster B
Punto del programma 7.G.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere problemi relativi a disegni in scala di figure geometriche, compresi il calcolo di lunghezze e aree reali a partire da un disegno in scala e la riproduzione di un disegno in scala in una scala diversa.

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve problems involving scale drawings of geometric figures, including computing actual lengths and areas from a scale drawing and reproducing a scale drawing at a different scale.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Geometry, standard 7.G.A.1
Punto del programma 7.G.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Disegnare (a mano libera, con riga e goniometro e con la tecnologia) figure geometriche con condizioni date. Concentrarsi sulla costruzione di triangoli a partire da tre misure di angoli o lati, osservando quando le condizioni determinano un unico triangolo, più di un triangolo o nessun triangolo.

nostra traduzione · testo originale (EN): Draw (freehand, with ruler and protractor, and with technology) geometric shapes with given conditions. Focus on constructing triangles from three measures of angles or sides, noticing when the conditions determine a unique triangle, more than one triangle, or no triangle.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Geometry, standard 7.G.A.2
Punto del programma 7.G.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Descrivere le figure bidimensionali che risultano dal sezionamento di figure tridimensionali, come nelle sezioni piane di prismi retti a base rettangolare e piramidi rette a base rettangolare.

nostra traduzione · testo originale (EN): Describe the two-dimensional figures that result from slicing three-dimensional figures, as in plane sections of right rectangular prisms and right rectangular pyramids.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Geometry, standard 7.G.A.3
Punto del programma 7.G.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Conoscere le formule per l'area e la circonferenza di un cerchio e utilizzarle per risolvere problemi; fornire una derivazione informale della relazione tra la circonferenza e l'area di un cerchio.

nostra traduzione · testo originale (EN): Know the formulas for the area and circumference of a circle and use them to solve problems; give an informal derivation of the relationship between the circumference and area of a circle.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Geometry, standard 7.G.B.4

Calcolo della circonferenza e dell'area del cerchio (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.G.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare le proprietà degli angoli supplementari, complementari, opposti al vertice e adiacenti in un problema a più passaggi per scrivere e risolvere semplici equazioni per un angolo incognito in una figura.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles in a multi-step problem to write and solve simple equations for an unknown angle in a figure.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Geometry, standard 7.G.B.5
Punto del programma 7.G.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere problemi del mondo reale e matematici riguardanti l'area, il volume e l'area della superficie di oggetti bidimensionali e tridimensionali composti da triangoli, quadrilateri, poligoni, cubi e prismi retti.

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve real-world and mathematical problems involving area, volume and surface area of two-and three-dimensional objects composed of triangles, quadrilaterals, polygons, cubes, and right prisms.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Geometry, standard 7.G.B.6

Volume e area della superficie dei prismi triangolari (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.SP · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Statistica e probabilità

nostra traduzione · testo originale (EN): Statistics and Probability

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, domain Statistics and Probability (7.SP)
Punto del programma 7.SP.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare il campionamento casuale per trarre inferenze su una popolazione.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use random sampling to draw inferences about a population.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, cluster A
Punto del programma 7.SP.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Trarre inferenze comparative informali su due popolazioni.

nostra traduzione · testo originale (EN): Draw informal comparative inferences about two populations.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, cluster B
Punto del programma 7.SP.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Indagare processi casuali e sviluppare, utilizzare e valutare modelli probabilistici.

nostra traduzione · testo originale (EN): Investigate chance processes and develop, use, and evaluate probability models.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, cluster C
Punto del programma 7.SP.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere che la statistica può essere utilizzata per ottenere informazioni su una popolazione esaminando un campione della popolazione; le generalizzazioni su una popolazione a partire da un campione sono valide solo se il campione è rappresentativo di tale popolazione. Comprendere che il campionamento casuale tende a produrre campioni rappresentativi e a supportare inferenze valide.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that statistics can be used to gain information about a population by examining a sample of the population; generalizations about a population from a sample are valid only if the sample is representative of that population. Understand that random sampling tends to produce representative samples and support valid inferences.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, standard 7.SP.A.1
Punto del programma 7.SP.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare i dati di un campione casuale per trarre inferenze su una popolazione con una caratteristica di interesse sconosciuta. Generare campioni multipli (o campioni simulati) della stessa dimensione per valutare la variazione nelle stime o nelle previsioni. Ad esempio, stimare la lunghezza media delle parole in un libro campionando casualmente parole dal libro; prevedere il vincitore di un'elezione scolastica sulla base di dati di sondaggio campionati casualmente. Valutare quanto la stima o la previsione possa discostarsi.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use data from a random sample to draw inferences about a population with an unknown characteristic of interest. Generate multiple samples (or simulated samples) of the same size to gauge the variation in estimates or predictions. For example, estimate the mean word length in a book by randomly sampling words from the book; predict the winner of a school election based on randomly sampled survey data. Gauge how far off the estimate or prediction might be.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, standard 7.SP.A.2
Punto del programma 7.SP.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Valutare in modo informale il grado di sovrapposizione visiva di due distribuzioni di dati numerici con variabilità simili, misurando la differenza tra i centri esprimendola come multiplo di una misura di variabilità. Ad esempio, l'altezza media dei giocatori della squadra di pallacanestro è di 10 cm superiore all'altezza media dei giocatori della squadra di calcio, circa il doppio della variabilità (deviazione media assoluta) di ciascuna squadra; su un grafico a punti, la separazione tra le due distribuzioni delle altezze è evidente.

nostra traduzione · testo originale (EN): Informally assess the degree of visual overlap of two numerical data distributions with similar variabilities, measuring the difference between the centers by expressing it as a multiple of a measure of variability. For example, the mean height of players on the basketball team is 10 cm greater than the mean height of players on the soccer team, about twice the variability (mean absolute deviation) on either team; on a dot plot, the separation between the two distributions of heights is noticeable.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, standard 7.SP.B.3
Punto del programma 7.SP.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare misure di tendenza centrale e misure di variabilità per dati numerici provenienti da campioni casuali per trarre inferenze comparative informali su due popolazioni. Per esempio, decidere se le parole in un capitolo di un libro di scienze di classe settima siano generalmente più lunghe delle parole in un capitolo di un libro di scienze di classe quarta.

nostra traduzione · testo originale (EN): Use measures of center and measures of variability for numerical data from random samples to draw informal comparative inferences about two populations. For example, decide whether the words in a chapter of a seventh-grade science book are generally longer than the words in a chapter of a fourth-grade science book.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, standard 7.SP.B.4
Punto del programma 7.SP.C.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Comprendere che la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1 che esprime quanto sia probabile che l'evento si verifichi. Numeri più grandi indicano una maggiore probabilità. Una probabilità vicina a 0 indica un evento poco probabile, una probabilità intorno a 1/2 indica un evento che non è né poco probabile né probabile, e una probabilità vicina a 1 indica un evento probabile.

nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that the probability of a chance event is a number between 0 and 1 that expresses the likelihood of the event occurring. Larger numbers indicate greater likelihood. A probability near 0 indicates an unlikely event, a probability around 1/2 indicates an event that is neither unlikely nor likely, and a probability near 1 indicates a likely event.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, standard 7.SP.C.5

Calcolo delle probabilità di eventi semplici (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.SP.C.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Approssimare la probabilità di un evento casuale raccogliendo dati sul processo casuale che lo produce e osservandone la frequenza relativa a lungo termine, e prevedere la frequenza relativa approssimata data la probabilità. Ad esempio, lanciando un dado numerato 600 volte, prevedere che uscirà un 3 o un 6 circa 200 volte, ma probabilmente non esattamente 200 volte.

nostra traduzione · testo originale (EN): Approximate the probability of a chance event by collecting data on the chance process that produces it and observing its long-run relative frequency, and predict the approximate relative frequency given the probability. For example, when rolling a number cube 600 times, predict that a 3 or 6 would be rolled roughly 200 times, but probably not exactly 200 times.

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, standard 7.SP.C.6

Prevedere quanto spesso si verificherà un evento (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.SP.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Sviluppare un modello di probabilità e utilizzarlo per trovare le probabilità di eventi. Confrontare le probabilità derivanti da un modello con le frequenze osservate; se la concordanza non è buona, spiegare le possibili fonti della discrepanza. a. Sviluppare un modello di probabilità uniforme assegnando uguale probabilità a tutti gli esiti, e utilizzare il modello per determinare le probabilità di eventi. Ad esempio, se uno studente viene selezionato a caso da una classe, trovare la probabilità che venga selezionata Jane e la probabilità che venga selezionata una ragazza. b. Sviluppare un modello di probabilità (che può non essere uniforme) osservando le frequenze nei dati generati da un processo casuale. Ad esempio, trovare la probabilità approssimata che una moneta fatta girare si fermi con testa verso l'alto o che un bicchiere di carta lanciato atterri con l'apertura rivolta verso il basso. Gli esiti per la moneta fatta girare sembrano essere equiprobabili in base alle frequenze osservate?

nostra traduzione · testo originale (EN): Develop a probability model and use it to find probabilities of events. Compare probabilities from a model to observed frequencies; if the agreement is not good, explain possible sources of the discrepancy. a. Develop a uniform probability model by assigning equal probability to all outcomes, and use the model to determine probabilities of events. For example, if a student is selected at random from a class, find the probability that Jane will be selected and the probability that a girl will be selected. b. Develop a probability model (which may not be uniform) by observing frequencies in data generated from a chance process. For example, find the approximate probability that a spinning penny will land heads up or that a tossed paper cup will land open-end down. Do the outcomes for the spinning penny appear to be equally likely based on the observed frequencies?

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, standard 7.SP.C.7

Calcolo delle probabilità di eventi semplici (da noi in classe 7)
Punto del programma 7.SP.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Trovare le probabilità di eventi composti utilizzando elenchi organizzati, tabelle, diagrammi ad albero e simulazioni. a. Comprendere che, proprio come per gli eventi semplici, la probabilità di un evento composto è la frazione di esiti nello spazio campionario per i quali l'evento composto si verifica. b. Rappresentare gli spazi campionari per eventi composti utilizzando metodi quali elenchi organizzati, tabelle e diagrammi ad albero. Per un evento descritto nel linguaggio comune (ad es., “ottenere un doppio sei”), identificare gli esiti nello spazio campionario che compongono l'evento. c. Progettare e utilizzare una simulazione per generare frequenze per eventi composti. Ad esempio, utilizzare cifre casuali come strumento di simulazione per approssimare la risposta alla domanda: se il 40% dei donatori ha sangue di tipo A, qual è la probabilità che siano necessari almeno 4 donatori per trovarne uno con sangue di tipo A?

nostra traduzione · testo originale (EN): Find probabilities of compound events using organized lists, tables, tree diagrams, and simulation. a. Understand that, just as with simple events, the probability of a compound event is the fraction of outcomes in the sample space for which the compound event occurs. b. Represent sample spaces for compound events using methods such as organized lists, tables and tree diagrams. For an event described in everyday language (e.g., “rolling double sixes”), identify the outcomes in the sample space which compose the event. c. Design and use a simulation to generate frequencies for compound events. For example, use random digits as a simulation tool to approximate the answer to the question: If 40% of donors have type A blood, what is the probability that it will take at least 4 donors to find one with type A blood?

CCSS Mathematics (2010), Grade 7, Statistics and Probability, standard 7.SP.C.8

Calcolo delle probabilità di eventi a due stadi (da noi in classe 7)

Competenze passo dopo passo

Calcolo delle probabilità di eventi semplici

Gli studenti imparano a esprimere la probabilità di eventi semplici come numeri da 0 a 1 e a calcolare le probabilità quando tutti gli esiti sono ugualmente probabili.

Punto del programma 7.SP.C.5 Comprendere che la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1 che esprime quanto sia probabile che l'evento si verifichi. Numeri più grandi indicano una maggiore probabilità. Una probabilità vicina a 0 indica un evento poco probabile, una probabilità intorno a 1/2 indica un evento che non è né poco probabile né probabile, e una probabilità vicina a 1 indica un evento probabile. (nostra traduzione)
Punto del programma 7.SP.C.7 Sviluppare un modello di probabilità e utilizzarlo per trovare le probabilità di eventi. Confrontare le probabilità derivanti da un modello con le frequenze osservate; se la concordanza non è buona, spiegare le possibili fonti della discrepanza. a. Sviluppare un modello di probabilità uniforme assegnando uguale probabilità a tutti gli esiti, e utilizzare il modello per determinare le probabilità di eventi. Ad esempio, se uno studente viene selezionato a caso da una classe, trovare la probabilità che venga selezionata Jane e la probabilità che venga selezionata una ragazza. b. Sviluppare un modello di probabilità (che può non essere uniforme) osservando le frequenze nei dati generati da un processo casuale. Ad esempio, trovare la probabilità approssimata che una moneta fatta girare si fermi con testa verso l'alto o che un bicchiere di carta lanciato atterri con l'apertura rivolta verso il basso. Gli esiti per la moneta fatta girare sembrano essere equiprobabili in base alle frequenze osservate? (nostra traduzione)

Gli studenti imparano che la probabilità di un evento casuale è misurata con un numero compreso tra 0 e 1. Una probabilità vicina a 0 rappresenta un evento improbabile, un valore intorno a 1/2 indica un evento che non è né improbabile né probabile e un valore vicino a 1 descrive un evento probabile. In questa fase, gli studenti lavorano con modelli di probabilità uniforme in cui ogni singolo esito è equiprobabile, determinando la probabilità di un evento confrontando il numero di esiti favorevoli con il numero totale di esiti possibili.

Un errore comune si verifica quando gli studenti confrontano gli esiti favorevoli con quelli sfavorevoli anziché con il totale. Ad esempio, nel calcolare la probabilità di ottenere un numero specifico con un dado, uno studente potrebbe scrivere 1/5 invece di 1/6 perché rimangono cinque facce non corrispondenti. Altri hanno difficoltà a interpretare la scala, confondendo una probabilità pari a 0 (che indica che un evento non si verificherà) con probabilità basse ma possibili.

Le attività pratiche presentano semplici esperimenti e chiedono agli studenti di calcolare l'esatta probabilità di un evento o di valutare quanto sia probabile:

Lancio di un dado: trovare la probabilità di ottenere un numero pari o un numero maggiore di 4.
Estrazione di una carta numerata: calcolare la probabilità di estrarre un numero primo da un insieme di carte numerate da 1 a 10.
Estrazione di una pallina da una scatola: determinare la probabilità di pescare una pallina rossa quando la scatola contiene una composizione nota di palline colorate.

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Tipi di esercizi: Estrarre una pallina dalla scatola · Lancio di un dado · Estrarre un cartellino numerato

Calcolo dell'aumento e della diminuzione percentuale

Gli studenti imparano a calcolare un nuovo totale dopo aver aumentato o diminuito una quantità iniziale di una data percentuale.

Punto del programma 7.EE.A.2 Comprendere che riscrivere un'espressione in forme diverse nel contesto di un problema può fare luce sul problema e su come le quantità in esso siano correlate. Per esempio, a + 0.05a = 1.05a significa che “aumentare del 5%” è lo stesso che “moltiplicare per 1.05”. (nostra traduzione)
Punto del programma 7.RP.A.3 Utilizzare relazioni di proporzionalità per risolvere problemi a più passaggi relativi a rapporti e percentuali. Esempi: interesse semplice, imposte, ricarichi e sconti, mance e commissioni, tariffe, aumento e diminuzione percentuale, errore percentuale. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a utilizzare le relazioni proporzionali per risolvere problemi a più passaggi in cui le quantità aumentano o diminuiscono di una percentuale. Determinano la percentuale di un valore iniziale ed eseguono l'operazione richiesta, sommando la variazione per trovare un totale aumentato o sottraendola per trovare un totale ridotto.

Un tipico ostacolo si presenta quando gli studenti si fermano dopo aver calcolato la percentuale stessa, confondendo l'entità della variazione con la risposta finale. Un altro errore comune consiste nel calcolare la percentuale basandosi sull'importo errato anziché sul valore iniziale di partenza.

La pratica su questa competenza si concentra su due formati modello:

Aumento percentuale: Gli studenti calcolano la percentuale di un valore iniziale e la aggiungono per trovare il risultato maggiore, come nel caso del calcolo di un rincaro del prezzo.
Diminuzione percentuale: Gli studenti calcolano la percentuale di un valore iniziale e la sottraggono per trovare il risultato inferiore, come nel caso dell'applicazione di uno sconto.

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Tipi di esercizi: Aumenta di una percentuale · Aumento percentuale — scegli la risposta · Diminuisci di una percentuale

Addizione e sottrazione di numeri interi

Gli studenti imparano ad addizionare e sottrarre numeri interi positivi e negativi utilizzando le rette numeriche e la regola secondo cui sottrarre un numero equivale ad aggiungere il suo opposto.

Punto del programma 7.NS.A.1 Applicare ed estendere le conoscenze pregresse di addizione e sottrazione per addizionare e sottrarre numeri razionali; rappresentare l'addizione e la sottrazione su una retta numerica orizzontale o verticale. a. Descrivere situazioni in cui quantità opposte si combinano per dare 0. Ad esempio, un atomo di idrogeno ha carica 0 perché i suoi due costituenti hanno cariche opposte. b. Comprendere p + q come il numero situato a una distanza |q| da p, in direzione positiva o negativa a seconda che q sia positivo o negativo. Dimostrare che un numero e il suo opposto hanno come somma 0 (sono inversi additivi). Interpretare somme di numeri razionali descrivendo contesti di vita reale. c. Comprendere la sottrazione di numeri razionali come addizione dell'inverso additivo, p – q = p + (–q). Dimostrare che la distanza tra due numeri razionali sulla retta numerica è il valore assoluto della loro differenza, e applicare questo principio a contesti di vita reale. d. Applicare le proprietà delle operazioni come strategie per addizionare e sottrarre numeri razionali. (nostra traduzione)

In seconda media, gli studenti estendono le operazioni aritmetiche per includere i numeri interi negativi. Imparano a individuare i valori sulle rette numeriche orizzontali e verticali, riconoscendo che la somma di un numero e del suo opposto dà 0. Comprendono l'addizione come uno spostamento lungo la retta in base al segno del numero e imparano a trattare la sottrazione come l'addizione dell'opposto, utilizzando la relazione p – q = p + (–q).

Una difficoltà comune si riscontra nella sottrazione dei numeri negativi. Gli studenti spesso vedono il segno meno e si aspettano intuitivamente che il totale diminuisca, dimenticando che togliere un valore negativo aumenta il risultato e corrisponde a uno spostamento verso destra sulla retta numerica. Un altro errore frequente consiste nel confondere i segni durante l'addizione di numeri interi con segno diverso, ad esempio confondendo le regole dell'addizione con quelle della moltiplicazione dei segni.

Le attività pratiche su questa competenza offrono esercizi di calcolo diretto in due formati:

Sommare numeri interi, in cui gli studenti calcolano somme come –4 + 9 o –6 + (–3).
Sottrarre numeri interi, in cui gli studenti calcolano differenze come 5 – (–8) o –7 – 2.

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Tipi di esercizi: Somma numeri interi · Sottrai numeri interi

Addizione e sottrazione di numeri decimali positivi e negativi

Gli studenti imparano a sommare e sottrarre numeri decimali positivi e negativi utilizzando modelli sulla retta numerica e la regola di sommare l'opposto.

In seconda media, gli studenti estendono l'aritmetica di base per includere i numeri decimali positivi e negativi. Imparano a rappresentare queste operazioni su rette numeriche orizzontali o verticali, interpretando l'addizione come uno spostamento lungo la retta e la sottrazione come l'individuazione della distanza tra due valori. Un traguardo fondamentale è la comprensione dell'opposto (inverso additivo): capire che valori opposti si combinano dando come risultato zero e che sottrarre un numero equivale ad aggiungere il suo opposto: p – q = p + (–q).

Un errore comune si verifica quando si sottrae un decimale negativo, come nell'operazione 1,4 – (–3,2). Gli studenti spesso vedono il segno di sottrazione e sottraggono istintivamente il valore assoluto minore da quello maggiore, ottenendo –1,8. Faticano a riconoscere che sottrarre un valore negativo inverte la direzione sulla retta numerica, trasformando l'operazione nell'addizione di una quantità positiva (1,4 + 3,2 = 4,6).

Le schede didattiche su questo argomento si concentrano su calcoli numerici lineari e senza distrazioni. Gli esercizi pratici si dividono in due formati ben definiti:

Addizione di decimali con segno, con problemi come –4,5 + 2,1 o –1,8 + (–3,6).
Sottrazione di decimali con segno, che presenta espressioni come 5,3 – 8,7 o –2,4 – (–6,1) in cui gli studenti devono riscrivere le sottrazioni come addizioni del valore opposto.

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Tipi di esercizi: Somma decimali relativi · Sottrai decimali relativi

Moltiplicare e Dividere Numeri Positivi e Negativi

Gli studenti imparano a moltiplicare e dividere numeri positivi e negativi applicando le regole dei segni corrette per calcolare prodotti e quozienti.

Punto del programma 7.NS.A.2 Applicare ed estendere la comprensione pregressa della moltiplicazione e della divisione e delle frazioni per moltiplicare e dividere numeri razionali. a. Comprendere che la moltiplicazione viene estesa dalle frazioni ai numeri razionali richiedendo che le operazioni continuino a soddisfare le proprietà delle operazioni, in particolare la proprietà distributiva, portando a prodotti come (–1)(–1) = 1 e alle regole per moltiplicare numeri con segno. Interpretare i prodotti di numeri razionali descrivendo contesti del mondo reale. b. Comprendere che i numeri interi possono essere divisi, a condizione che il divisore non sia zero, e che ogni quoziente di numeri interi (con divisore diverso da zero) è un numero razionale. Se p e q sono numeri interi, allora –(p/q) = (–p)/q = p/(–q). Interpretare i quozienti di numeri razionali descrivendo contesti del mondo reale. (nostra traduzione)
Punto del programma 7.NS.A.3 Risolvere problemi del mondo reale e matematici che coinvolgono le quattro operazioni con i numeri razionali. (nostra traduzione)

In seconda media, gli studenti imparano a moltiplicare e dividere i numeri con segno, estendendo la loro comprensione dell'aritmetica ai valori negativi e alle frazioni. Imparano che moltiplicare o dividere due numeri con lo stesso segno dà come risultato un valore positivo—come (-1)(-1) = 1—mentre operare con segni diversi produce un risultato negativo. Nella divisione, gli studenti lavorano con divisori diversi da zero e imparano che un segno negativo può trovarsi davanti a una frazione, al numeratore o al denominatore senza modificarne il valore complessivo.

Un errore comune si verifica quando gli studenti confondono le regole dei segni per la moltiplicazione e la divisione con le regole per l'addizione. Ad esempio, i ragazzi spesso generalizzano eccessivamente la frase "due negativi fanno un positivo" e la applicano erroneamente all'addizione, oppure tralasciano del tutto il segno negativo quando dividono un numero negativo per uno positivo. Un altro frequente ostacolo consiste nell'interpretare dove vada collocato il segno meno in un quoziente, generando confusione quando si riscrivono le frazioni.

Nella pratica, le attività si concentrano su due modelli: Moltiplicare numeri con segno e Dividere numeri con segno. Gli studenti risolvono semplici problemi di calcolo che coinvolgono coppie di numeri interi e frazioni, come calcolare prodotti del tipo (-4) × 6 o dividere valori in cui devono inserire correttamente il segno nel quoziente finale.

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Tipi di esercizi: Dividi numeri relativi · Moltiplica numeri relativi

Calcolo della circonferenza e dell'area del cerchio

Gli studenti imparano a utilizzare formule standard per calcolare la distanza attorno a un cerchio e lo spazio al suo interno conoscendo il raggio o il diametro.

Punto del programma 7.G.B.4 Conoscere le formule per l'area e la circonferenza di un cerchio e utilizzarle per risolvere problemi; fornire una derivazione informale della relazione tra la circonferenza e l'area di un cerchio. (nostra traduzione)

In seconda media, gli studenti imparano a conoscere e a usare le formule per la circonferenza e l'area di un cerchio. Lavorando con le dimensioni di un cerchio, identificano se viene fornito il raggio o il diametro, applicano la formula appropriata e calcolano la distanza totale attorno al contorno o la superficie racchiusa al suo interno.

Un ostacolo frequente è confondere il raggio con il diametro. Quando viene fornito il diametro intero, gli studenti spesso lo inseriscono direttamente nella formula dell'area senza prima dimezzarlo. Un altro errore comune è confondere le operazioni tra le formule, come moltiplicare il raggio per due invece di elevarlo al quadrato durante il calcolo dell'area.

Le attività pratiche sono strutturate attorno a due modelli: Circonferenza di un cerchio e Area di un cerchio. In questi esercizi, gli studenti osservano diagrammi di cerchi o descrizioni testuali con misure specificate e calcolano la circonferenza o l'area mancante.

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Tipi di esercizi: Area del cerchio · Lunghezza della circonferenza

Calcolo delle probabilità di eventi a due stadi

Gli studenti imparano a calcolare la probabilità di eventi a due fasi sotto forma di frazioni, rappresentando tutti i possibili esiti mediante tabelle ed elenchi organizzati.

Punto del programma 7.SP.C.8 Trovare le probabilità di eventi composti utilizzando elenchi organizzati, tabelle, diagrammi ad albero e simulazioni. a. Comprendere che, proprio come per gli eventi semplici, la probabilità di un evento composto è la frazione di esiti nello spazio campionario per i quali l'evento composto si verifica. b. Rappresentare gli spazi campionari per eventi composti utilizzando metodi quali elenchi organizzati, tabelle e diagrammi ad albero. Per un evento descritto nel linguaggio comune (ad es., “ottenere un doppio sei”), identificare gli esiti nello spazio campionario che compongono l'evento. c. Progettare e utilizzare una simulazione per generare frequenze per eventi composti. Ad esempio, utilizzare cifre casuali come strumento di simulazione per approssimare la risposta alla domanda: se il 40% dei donatori ha sangue di tipo A, qual è la probabilità che siano necessari almeno 4 donatori per trovarne uno con sangue di tipo A? (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a trovare la probabilità di un evento composto rappresentando tutti i possibili esiti in un elenco ordinato, in una tabella o in un diagramma ad albero. Comprendono che la probabilità è la frazione che rappresenta gli esiti favorevoli divisi per il numero totale di esiti nello spazio campionario, traducendo espressioni comuni come «ottenere un doppio sei» in coppie concrete di risultati.

Un errore comune si verifica quando gli studenti presumono che ogni risultato combinato abbia la stessa probabilità di accadere senza elencare l'intero spazio campionario. Ad esempio, sommando i valori ottenuti dal lancio di due dadi, uno studente potrebbe supporre che una somma di 2 abbia la stessa probabilità di una somma di 7. Trascurano il fatto che l'ordine ha importanza (un lancio con 3 e 4 è distinto da un lancio con 4 e 3), il che rende alcuni totali molto più probabili di altri.

Le attività pratiche si concentrano su situazioni concrete a due passaggi:

Somma di due dadi: gli studenti utilizzano una tabella 6 per 6 che mostra tutte le 36 possibili coppie di lanci per calcolare la probabilità di ottenere una somma specifica, come ottenere un 8 o un doppio.
Due estrazioni con reinserimento: gli studenti elencano gli esiti dell'estrazione di un oggetto da un insieme, del suo reinserimento e di una seconda estrazione per determinare la frazione di esiti in cui viene scelta una combinazione specifica.

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Tipi di esercizi: Somma di due dadi · Due estrazioni con reinserimento

Prevedere quanto spesso si verificherà un evento

Gli studenti utilizzano probabilità note per stimare approssimativamente quante volte si verificherà un esito specifico nel corso di prove ripetute.

Punto del programma 7.SP.C.6 Approssimare la probabilità di un evento casuale raccogliendo dati sul processo casuale che lo produce e osservandone la frequenza relativa a lungo termine, e prevedere la frequenza relativa approssimata data la probabilità. Ad esempio, lanciando un dado numerato 600 volte, prevedere che uscirà un 3 o un 6 circa 200 volte, ma probabilmente non esattamente 200 volte. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a utilizzare una probabilità nota per stimare la frequenza di un evento su un numero elevato di prove. Ad esempio, lanciando un comune dado a sei facce 600 volte, uno studente può usare la probabilità di un terzo di ottenere un 3 o un 6 per prevedere che il risultato si verificherà circa 200 volte, comprendendo allo stesso tempo che le prove reali produrranno raramente esattamente 200.

Un tipico ostacolo consiste nel considerare la probabilità come una garanzia assoluta anziché come una stima a lungo termine. Gli studenti spesso si aspettano che un esperimento produca esattamente il numero calcolato — presumendo che 600 lanci debbano dare precisamente 200 risultati desiderati — e fanno fatica ad accettare la naturale variabilità insita nel caso.

Le attività pratiche presentano scenari probabilistici concreti. In Quante volte aspettarselo?, gli studenti calcolano i valori attesi per eventi come il lancio di dadi o la rotazione di spinner su centinaia di ripetizioni. In Quante palline rosse aspettarsi?, utilizzano la proporzione di elementi colorati in un contenitore per prevedere quante volte verrà estratta una pallina rossa in un determinato numero di tentativi.

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Tipi di esercizi: Quante palline rosse aspettarsi? · Quante volte ci si aspetta?

Volume e area della superficie dei prismi triangolari

Gli studenti imparano a calcolare il volume e l'area della superficie totale di prismi triangolari retti utilizzando le dimensioni delle loro facce.

Punto del programma 7.G.B.6 Risolvere problemi del mondo reale e matematici riguardanti l'area, il volume e l'area della superficie di oggetti bidimensionali e tridimensionali composti da triangoli, quadrilateri, poligoni, cubi e prismi retti. (nostra traduzione)

In questo anno scolastico, gli studenti risolvono problemi matematici e reali relativi ai prismi retti, concentrandosi in particolare sui prismi triangolari. Determinano il volume calcolando l'area della base triangolare e moltiplicandola per la lunghezza del prisma. Per trovare l'area della superficie totale, calcolano l'area di ciascuna singola faccia esterna—due basi triangolari e tre facce rettangolari—e le sommano tra loro.

Un errore comune si verifica quando gli studenti confondono l'altezza della base triangolare con l'altezza complessiva del prisma. Nei calcoli dell'area della superficie, gli studenti presumono frequentemente anche che tutte e tre le facce rettangolari siano identiche, dimenticando che lati di diversa lunghezza nel triangolo producono rettangoli con aree differenti.

Le attività pratiche presentano figure tridimensionali con misure indicate attraverso due attività principali: Volume di un prisma triangolare, in cui gli studenti combinano l'area di base e l'altezza del prisma, e Area della superficie di un prisma triangolare, in cui tengono conto delle aree di tutte e cinque le facce e le sommano.

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Tipi di esercizi: Volume del prisma triangolare · Area della superficie del prisma triangolare

Trovare la quantità totale a partire da una percentuale

Gli studenti imparano a trovare il totale originario o la quantità intera conoscendo una percentuale e il valore parziale che essa rappresenta.

Punto del programma 7.RP.A.3 Utilizzare relazioni di proporzionalità per risolvere problemi a più passaggi relativi a rapporti e percentuali. Esempi: interesse semplice, imposte, ricarichi e sconti, mance e commissioni, tariffe, aumento e diminuzione percentuale, errore percentuale. (nostra traduzione)

In seconda media, gli studenti sfruttano le relazioni di proporzionalità per procedere a ritroso da una parte nota e ricavare il 100% intero. Utilizzando rapporti, frazioni o numeri decimali, calcolano la quantità base mancante a partire da una percentuale e dal valore specifico corrispondente a tale percentuale.

Un errore frequente si verifica quando gli studenti confondono la parte con il tutto e moltiplicano anziché dividere. Abituato a calcolare la percentuale di un numero, uno studente posto di fronte a un quesito come "12 è il 25% di quale numero?" potrebbe erroneamente calcolare il 25% di 12, ottenendo 3 invece di riconoscere che il numero di partenza deve essere maggiore di 12.

Le schede didattiche dedicate a questa competenza propongono esercizi in cui gli studenti devono trovare l'intero a partire da una percentuale. Un problema tipico presenta uno scenario reale o una semplice equazione, come determinare il prezzo totale di un articolo se uno sconto di 15 $ rappresenta il 20% del costo originale.

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Calcolare la percentuale di un numero rispetto a un altro

Gli studenti imparano a determinare quale percentuale una quantità rappresenta rispetto a un'altra impostando un rapporto e convertendolo in percentuale.

In seconda media, gli studenti imparano a confrontare due valori utilizzando le relazioni di proporzionalità per scoprire quale percentuale rappresenti un numero rispetto a un altro. Scrivono il confronto sotto forma di rapporto parte-tutto o frazione, dividono per trovare un numero decimale e convertono tale decimale in una percentuale su 100.

Un errore frequente si verifica quando gli studenti invertono i due numeri. Quando viene chiesto quale percentuale sia 6 rispetto a 24, uno studente potrebbe dividere 24 per 6 semplicemente perché dividere un numero più grande per uno più piccolo risulta più familiare. Ciò porta a una risposta del 400% invece del corretto 25%.

Le schede didattiche che utilizzano il modello Che percentuale è? presentano quesiti diretti come «14 che percentuale è di 70?» o domande di confronto basate su situazioni reali. Gli studenti calcolano il quoziente e scrivono il risultato finale utilizzando il simbolo di percentuale.

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Risolvere equazioni a due passaggi

Gli studenti imparano a risolvere equazioni a due passaggi con numeri razionali positivi e negativi per trovare il valore di una variabile incognita.

Punto del programma 7.EE.B.4 Utilizzare variabili per rappresentare quantità in un problema reale o matematico e costruire semplici equazioni e disequazioni per risolvere problemi ragionando sulle quantità. a. Risolvere problemi a parole che conducono a equazioni della forma px + q = r e p(x + q) = r, dove p, q e r sono specifici numeri razionali. Risolvere equazioni di queste forme con scioltezza. Confrontare una soluzione algebrica con una soluzione aritmetica, individuando la sequenza delle operazioni usate in ciascun approccio. Per esempio, il perimetro di un rettangolo è 54 cm. La sua lunghezza è 6 cm. Qual è la sua larghezza? b. Risolvere problemi a parole che conducono a disequazioni della forma px + q > r o px + q < r, dove p, q e r sono specifici numeri razionali. Rappresentare graficamente l'insieme delle soluzioni della disequazione e interpretarlo nel contesto del problema. Per esempio: come venditore, vieni pagato $50 a settimana più $3 per ogni vendita. Questa settimana vuoi che la tua paga sia di almeno $100. Scrivi una disequazione per il numero di vendite che devi realizzare e descrivi le soluzioni. (nostra traduzione)

In seconda media, gli studenti imparano a risolvere con scioltezza le equazioni lineari nella forma ax + b = c. Lavorano con i numeri razionali — inclusi numeri interi positivi e negativi, frazioni e numeri decimali — utilizzando una sequenza di operazioni inverse per annullare l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione o la divisione e isolare la variabile.

Un ostacolo comune consiste nello scegliere l'ordine errato delle operazioni da annullare. Gli studenti provano spesso a dividere per il coefficiente a prima di sottrarre o sommare la costante b, il che porta frequentemente a errori di calcolo. Si verificano spesso errori anche nella gestione dei segni, come dimenticare di applicare il segno negativo quando si divide per un coefficiente negativo.

Le attività delle schede didattiche si concentrano direttamente sulla struttura ax + b = c. Un tipico problema presenta un'equazione come 3x + 8 = -13 o -5x - 4 = 16, chiedendo agli studenti di mostrare ogni passaggio mentre bilanciano l'equazione e determinano il valore di x.

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Tipi di esercizi: Equazione ax + b = c · Soluzione di un’equazione — scegli la risposta

Calcolo dell'interesse semplice sui risparmi

Gli studenti imparano a utilizzare le relazioni di proporzionalità e le percentuali per calcolare l'interesse semplice maturato su un deposito di risparmio nel tempo.

In seconda media, gli studenti ampliano la loro comprensione dei rapporti e delle relazioni proporzionali per risolvere problemi percentuali a più passaggi. Quando lavorano con l'interesse semplice, calcolano la quantità di denaro guadagnata su un deposito iniziale (il capitale) nell'arco di un periodo di anni moltiplicando il capitale, il tasso di interesse annuo espresso come decimale o frazione e il tempo in anni.

Un errore frequente si verifica durante la conversione del tasso percentuale in forma decimale. Ad esempio, uno studente potrebbe convertire il 4% in 0,4 invece di 0,04, moltiplicando così l'interesse calcolato per un fattore di dieci. Un'altra svista comune consiste nel rispondere solo con l'interesse maturato quando la domanda richiede il saldo totale del conto, dimenticando di sommare l'interesse al deposito iniziale.

Le attività di questo argomento si concentrano sull'interesse su un deposito di risparmio. Un problema tipico presenta uno scenario reale, come ad esempio depositare 500 $ in un conto di risparmio che matura un interesse semplice annuo del 3%, e chiede agli studenti di determinare l'interesse accumulato dopo 2 anni o di trovare il valore totale del deposito al termine di tale periodo.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Il numero da una sua percentuale

Calcolare la percentuale di un numero rispetto a un altro

Che percentuale è?

Risolvere equazioni a due passaggi

Calcolo dell'interesse semplice sui risparmi

Interessi su un deposito

Altri tipi di esercizi

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