Lehrplan (Polen)

Mathematik — Klasse 7

Mathematik in Klasse 7: Potenzen und Wurzeln, wissenschaftliche Schreibweise, Prozentrechnung in der Praxis, proportionale Teilung, algebraische Ausdrücke, lineare Gleichungen, Satz des Pythagoras, Kreis und erste Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zu jedem Thema fertige Aufgabenvorlagen zum Ausdrucken.

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Was lernt ein Schüler in der 7. Klasse in Mathematik?

In der 7. Klasse führt der Schüler Rechenoperationen mit Potenzen und Wurzeln durch, schätzt Wurzelwerte ab und notiert große sowie kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise. Er berechnet Preiserhöhungen, Preisnachlässe und Zinsen und teilt Größen in einem bestimmten Verhältnis. Er vereinfacht algebraische Ausdrücke (Terme), multipliziert algebraische Summen aus und löst lineare Gleichungen. In der Geometrie lernt er den Satz des Pythagoras, den Kreisumfang und die Kreisfläche kennen und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse bei einfachen Zufallsexperimenten.

Wichtig zum Lehrplan: Der neue Lehrplan (GBl. 2026 Pos. 378) gilt für die 7. Klasse ab dem Schuljahr 2029/2030 – er wird jahrgangsweise eingeführt. Bis dahin lernt die 7. Klasse nach dem Lehrplan von 2017; der Umfang der Themenbereiche auf dieser Seite ist in beiden Lehrplänen ähnlich. Der Lehrplan für die Klassen 7–8 ist blockweise angelegt – er definiert, was der Schüler am Ende der Grundschule können muss. Die Zuordnung der Themen zur jeweiligen Klasse ist unsere Entscheidung anhand des typischen Stoffverteilungsplans; im Abschnitt „Lehrplanumfang“ sehen Sie den gesamten Block 7–8 mit Zitaten aus der Verordnung.

Status der Seite: Fertiggestellt sind Potenzen und Wurzeln, Prozentrechnung in der Praxis, Proportionalität, rationale Zahlen mit Vorzeichen, algebraische Ausdrücke, Gleichungen und Gleichungssysteme, der Satz des Pythagoras, der Kreis, Prismen und Pyramiden sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung. Geometrische Konstruktionen und Aufgaben im Format der Abschlussprüfung der 8. Klasse werden fortlaufend ergänzt.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Liczby

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt Berechnungen und Überlegungen durch, bei denen er/sie die Prozentschreibweise verwendet, darunter berechnet er/sie:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Prozentrechnung zur Lösung von Problemen in einem praktischen Kontext, darunter im finanziellen, an, wie die Berechnung von: Preisen nach einer Erhöhung oder vor deren Erhöhung oder Senkung, Zinsen für eine einjährige Geldanlage, Kreditkosten, Höhe von Steuern – Wirtschafts- und Finanzmodul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

Berechnung von Preisen nach einer prozentualen Erhöhung und Senkung (bei uns in Klasse 7-8) · Berechnung der Zinsen einer Festgeldanlage für ein Jahr (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Potenzen rationaler Zahlen mit natürlichen Exponenten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

Potenzieren ganzer Zahlen und Brüche (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wandelt Potenzen mit ganzzahligem negativem Exponenten in entsprechende Potenzen mit natürlichen Exponenten um

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4

Potenzen mit negativen Exponenten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Rechengesetze für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

Rechnen mit Potenzen und fehlende Exponenten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

schreibt Zahlen in wissenschaftlicher Notation (Zehnerpotenz-Schreibweise) und vergleicht auf diese Weise dargestellte Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

Schreiben und Vergleichen von Zahlen in wissenschaftlicher Notation (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen, die entsprechend Quadrate oder Kubikzahlen rationaler Zahlen sind, und berechnet Näherungswerte von Wurzeln aus anderen Zahlen mit dem Taschenrechner

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

schätzt den Wert eines einfachen arithmetischen Ausdrucks, der Wurzeln enthält

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8

Schätzen von Wurzelwerten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Rechengesetze für Quadrat- und Kubikwurzeln an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

Faktor vor die Wurzel ziehen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt direkt proportionale Zusammenhänge, wendet sie zur Bestimmung des Wertes einer Größe anhand der anderen an und nutzt die proportionale Aufteilung in zwei oder drei Teile im praktischen Kontext

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

Proportionale Aufteilung in zwei oder drei Teile (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Multiplikationsregel zum Zählen von Elementpaaren in Situationen an, die eine zweifache Auswahl erfordern

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt den Taschenrechner und Computeranwendungen zur Durchführung von Berechnungen beim Lösen von Problemen in einem praktischen Kontext.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wie viel Prozent einer Zahl die andere Zahl ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

Berechnen, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Potenzen mit gleicher Basis

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

Rechnen mit Potenzen und fehlende Exponenten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Wurzeln aus dem Produkt und dem Quotienten zweier Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

Faktor vor die Wurzel ziehen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

den angegebenen Prozentsatz einer gegebenen Zahl

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podany procent danej liczby

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Potenzen mit gleichen Exponenten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

Rechnen mit Potenzen und fehlende Exponenten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Wurzeln gleichen Grades

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

Faktor vor die Wurzel ziehen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

die Zahl auf der Grundlage ihres gegebenen Prozentsatzes

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): liczbę na podstawie danego jej procentu

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

Bestimmung einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

potenziert Potenzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podnosi potęgę do potęgi

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

Rechnen mit Potenzen und fehlende Exponenten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zieht teilweise die Wurzel (radiziert teilweise) und bringt einen Faktor unter das Wurzelzeichen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

Faktor vor die Wurzel ziehen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Algebra

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Algebra

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stellt algebraische Terme, auch Terme mit zwei Variablen, auf, die Beziehungen zwischen den in der Aufgabe dargestellten Größen beschreiben, und verwendet sie zum Lösen von Aufgaben, einschließlich solcher in einem praktischen Kontext

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Zahlenwert eines algebraischen Terms, der die Summe von höchstens drei Monomen ist, für gegebene ganzzahlige Werte der Variablen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

Berechnung von Werten algebraischer Ausdrücke (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

ordnet Monome und fasst gleichartige Terme in algebraischen Summen zusammen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

Zusammenfassen gleichartiger Terme in Ausdrücken (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

addiert und subtrahiert algebraische Summen, die aus mehreren Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

Zusammenfassen gleichartiger Terme in Ausdrücken (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert ein Monom mit einer algebraischen Summe von höchstens drei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

Ausmultiplizieren und Ausklammern (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus, die aus zwei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten besteht

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

Ausmultiplizieren und Ausklammern (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

Multiplikation von Binomen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

formt einfache Formeln um, um eine vorgegebene Größe zu bestimmen, darunter in geometrischen und physikalischen Formeln

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

prüft, ob eine gegebene ganze Zahl eine Lösung einer Gleichung (ersten, zweiten oder dritten Grades) mit einer Unbekannten ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

Prüfen, ob eine Zahl eine Gleichung erfüllt (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

prüft, ob eine gegebene rationale Zahl Lösung einer linearen Gleichung (Gleichung ersten Grades) ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

Prüfen, ob eine Zahl eine Gleichung erfüllt (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

Lösen von Gleichungen in zwei Schritten (ax + b = c) (bei uns in Klasse 7-8) · Lösen von Gleichungen mit der Unbekannten auf beiden Seiten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Textaufgaben mithilfe von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten oder von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Figuren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Figury

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt auf einer Zeichnung die Mittelsenkrechte einer Strecke sowie die Winkelhalbierende eines Winkels und zeichnet sie, wendet deren Eigenschaften an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt und zeichnet achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren, gibt deren Symmetrieachsen und Symmetriezentrum an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Größe des Innenwinkels eines regelmäßigen Vielecks

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen geometrischen Situationen, wendet den Satz des Pythagoras an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

Satz des Pythagoras und rechtwinklige Dreiecke (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt die Eigenschaften besonderer rechtwinkliger Dreiecke, das heißt rechtwinkliger Dreiecke mit den spitzen Winkeln 30° und 60° sowie gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Kongruenzsätze für Dreiecke an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje cechy przystawania trójkątów

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza długość okręgu i pole koła

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

Berechnung des Kreisumfangs und des Flächeninhalts des Kreises (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zerlegt Vielecke in Teile oder erkennt Figuren als Teile einer anderen Figur, um Flächeninhalte zu berechnen, zu vergleichen oder zu schätzen sowie andere Zusammenhänge zu erkennen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

Satz des Pythagoras und rechtwinklige Dreiecke (bei uns in Klasse 7-8) · Berechnung des Kreisumfangs und des Flächeninhalts des Kreises (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zeichnet im Koordinatensystem Vielecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Flächeninhalte und Umfänge von Dreiecken und Vierecken mit Eckpunkten in Gitterpunkten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt gerade und regelmäßige Prismen sowie regelmäßige Pyramiden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

gibt die Höhe der Seitenflächen und die Höhe der Pyramide an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.14 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Oberflächeninhalte und Volumina gerader Prismen sowie regelmäßiger Pyramiden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten und Zufallsereignisse

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dane i zdarzenia losowe

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erhebt und wählt Daten aus verschiedenen Quellen aus, ordnet sie und beurteilt ihre Zuverlässigkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wählt eine Art der Datendarstellung aus, die deren Analyse erleichtert, und nutzt dabei geeignete Computeranwendungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert den mithilfe eines Graphen beschriebenen Zusammenhang zwischen zwei Größen, beispielsweise die Veränderung einer bestimmten Größe im Zeitverlauf, darunter: zurückgelegte Strecke, Höhe der Gehälter, Lebenshaltungskosten, Inflation – Wirtschafts- und Finanzmodul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet das arithmetische Mittel und den Median im praktischen Kontext zum Vergleich von Datensätzen, einschließlich Finanzdaten, an – ökonomisch-finanzielles Modul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

Bestimmung des Medians eines Datensatzes (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert Daten, darunter Finanzdaten, kritisch, zieht daraus Schlussfolgerungen und begründet sie unter Bezugnahme auf die Eigenschaften des Datensatzes

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt einfache Zufallsexperimente durch, die beispielsweise im ein- oder zweimaligen Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels sowie im Ziehen einer Kugel aus einer Menge von Kugeln bestehen, analysiert Zufallsexperimente und bestimmt, wie groß die Wahrscheinlichkeit der betrachteten Ereignisse ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einfachen Zufallsexperimenten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mathematisches Denken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Myślenie matematyczne

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet allgemeine Methoden zum Lösen mathematischer Probleme an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erklärt seine Denkweise beim Lösen eines mathematischen Problems durch:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt mathematische Überlegungen durch und zeigt dabei die Fähigkeit:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

notiert Beziehungen zwischen den in der Aufgabe vorkommenden Daten auf eine Weise, die die Analyse des Problems erleichtert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Angabe mathematischer Argumente zur Begründung aufeinanderfolgender Gedankenschritte

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Unterscheiden eines Satzes vom Kehrsatz

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

analysiert die eigene Problemlösung und vereinfacht – wenn möglich – die Lösung

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Aufbauen einer Begründung, die sich nur auf notwendige Argumente bezieht

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden unkomplizierter, einschrittiger indirekter Schlussweisen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stellt weiterführende Fragen, die sich aus der erhaltenen Lösung ergeben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Formulieren von Schlussfolgerungen, die sich aus Überlegungen ergeben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verallgemeinern beobachteter Spezialfälle

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.d · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt Ähnlichkeiten zwischen den Methoden zur Lösung verschiedener mathematischer Probleme

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.d · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Begründen, z. B. durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass eine gegebene Eigenschaft nicht gilt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verwenden mathematischer Werkzeuge – Verstehen und Verwenden mathematischer Begriffe und Eigenschaften auch in einer neuen Situation, Erkennen von Beziehungen zwischen Eigenschaften sowie von Unterschieden und Gemeinsamkeiten zwischen mathematischen Objekten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ausführen arithmetischer und algebraischer Berechnungen, Anstreben einer optimalen Rechenweise, Verwenden eines Taschenrechners oder von Rechenanwendungen, wenn dies durch die Komplexität der Rechnung oder das Ziel der Aufgabe begründet ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ziehen von Schlüssen aus Informationen, die mittels Text, Tabellen, Diagrammen, Graphen usw. dargestellt sind, Verwenden mathematischer Begriffe, Werkzeuge und Argumente zur kritischen Interpretation von Daten, einschließlich des Erkennens unberechtigter Schlussfolgerungen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden adäquater mathematischer Werkzeuge zur Beschreibung, Analyse und Lösung von Problemen aus verschiedenen Bereichen, einschließlich des täglichen Lebens.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.5 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Entwickeln mehrschrittiger Strategien zur Lösung eines mathematischen Problems, Erkennen richtiger Lösungen des Problems, Analysieren der Lösung zur Überprüfung ihrer Richtigkeit oder zur Vereinfachung des Gedankengangs.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.6 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Führen von Argumentationen und Begründen ihrer Richtigkeit, Formulieren von Schlussfolgerungen aus Prämissen, Auswählen von Argumenten durch Angabe von Beispielen und Gegenbeispielen, Überprüfen von durch andere vorgebrachten Argumentationen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Kompetenzen Schritt für Schritt

Satz des Pythagoras und rechtwinklige Dreiecke

Der Schüler erkennt ein rechtwinkliges Dreieck und berechnet mithilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der fehlenden Seite – Kathete oder Hypotenuse.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.4 erkennt rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen geometrischen Situationen, wendet den Satz des Pythagoras an (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernt die Schülerin bzw. der Schüler die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen und wendet sie an: Die Summe der Quadrate der Kathetenlängen wird mit dem Quadrat der Hypotenusenlänge gleichgesetzt. Darauf aufbauend kann die Länge der fehlenden Seite berechnet werden, wenn die beiden anderen bekannt sind, sowie überprüft werden, ob ein Dreieck mit drei gegebenen Seitenlängen rechtwinklig ist.

Ein typischer Fehler ist das mechanische Addieren der Quadrate der gegebenen Zahlen, ohne festzustellen, welche Seite die dem rechten Winkel gegenüberliegende Hypotenuse ist. Infolgedessen addieren Lernende die Quadrate einer Kathete und der Hypotenuse, anstatt beim Bestimmen der fehlenden Kathete eine Subtraktion durchzuführen. Ein häufiges Versehen ist auch das Auslassen des abschließenden Wurzelziehens aus dem erhaltenen Ergebnis.

In der Praxis werden Aufgaben gelöst, die auf drei Mustern basieren:

Berechne die Hypotenuse – die Kathetenlängen werden quadriert, addiert und aus dem Ergebnis wird die Wurzel gezogen;
Berechne die Kathete – das Quadrat der bekannten Kathete wird vom Quadrat der Hypotenuse subtrahiert, um die gesuchte Seite zu bestimmen;
Ist das Dreieck rechtwinklig? – es wird geprüft, ob das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten ist.

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Aufgabentypen: Die Hypotenuse berechnen · Eine Kathete berechnen · Hypotenuse — wähle die Antwort · Ist das Dreieck rechtwinklig?

Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einfachen Zufallsexperimenten

Der Schüler lernt, bei einfachen Experimenten wie dem Würfeln oder dem Ziehen einer Kugel die Chancen von Zufallsereignissen zu bestimmen und die Wahrscheinlichkeit in Form eines Bruchs anzugeben.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.6 führt einfache Zufallsexperimente durch, die beispielsweise im ein- oder zweimaligen Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels sowie im Ziehen einer Kugel aus einer Menge von Kugeln bestehen, analysiert Zufallsexperimente und bestimmt, wie groß die Wahrscheinlichkeit der betrachteten Ereignisse ist. (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse macht der Schüler die ersten Schritte in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er analysiert einfache Zufallssituationen: Er bestimmt die Anzahl aller möglichen Ergebnisse sowie die Anzahl der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Ergebnisse und gibt die Wahrscheinlichkeit selbst als gewöhnlichen Bruch oder Dezimalbruch an.

Ein häufiger Fehler besteht darin, die Anzahl der günstigen Ergebnisse ins Verhältnis zu den ungünstigen anstatt zu allen möglichen Ergebnissen zu setzen. Wenn sich beispielsweise 2 weiße und 3 schwarze Kugeln in einem Behälter befinden, geben Kinder die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen, nicht selten mit 2 zu 3 an und schreiben den Bruch 2/3 anstelle des richtigen 2/5.

Die Übungsaufgaben nutzen anschauliche Zufallsmodelle:

Würfelwurf – der Schüler bestimmt die Chance, eine bestimmte Augenzahl zu würfeln, beispielsweise eine gerade Zahl oder eine Zahl kleiner als 5;
Ziehen einer Kugel aus einer Schachtel – er berechnet die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit einer bestimmten Farbe aus einer vorgegebenen Auswahl zu ziehen;
Ziehen eines Zettels mit einer Zahl – er bestimmt die Chance, einen Zettel mit einer Zahl zu ziehen, die eine vorgegebene Bedingung erfüllt (z. B. teilbar durch 3 aus der Menge der Zahlen von 1 bis 15).

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Aufgabentypen: Eine Kugel aus der Schachtel ziehen · Würfeln · Eine Zahlenkarte ziehen

Berechnung von Preisen nach einer prozentualen Erhöhung und Senkung

Der Schüler lernt, den neuen Preis oder Wert nach einer Erhöhung oder Senkung um einen bestimmten Prozentsatz in alltäglichen finanziellen Situationen zu berechnen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.2 wendet Prozentrechnung zur Lösung von Problemen in einem praktischen Kontext, darunter im finanziellen, an, wie die Berechnung von: Preisen nach einer Erhöhung oder vor deren Erhöhung oder Senkung, Zinsen für eine einjährige Geldanlage, Kreditkosten, Höhe von Steuern – Wirtschafts- und Finanzmodul (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse wenden Schülerinnen und Schüler die Prozentrechnung in einem praktischen Kontext an, indem sie den neuen Wert nach einer Preisänderung bestimmen. Auf dieser Stufe lernen die Kinder, den Betrag einer Preiserhöhung oder Preissenkung anhand des Ausgangspreises zu berechnen und diesen anschließend zum Basiswert zu addieren oder davon zu subtrahieren, um den endgültigen Kaufpreis zu ermitteln.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe besteht darin, den Prozentsatz wie einen gewöhnlichen Geldbetrag zu behandeln und ihn direkt vom Preis abzuziehen (zum Beispiel indem die Rechnung 80 zł − 15% als 80 − 15 = 65 zł notiert wird). Es bereitet oft Schwierigkeiten, daran zu denken, dass sich ein Prozentsatz immer auf einen konkreten Wert bezieht und man zuerst den Anteil von der gegebenen Zahl berechnen muss.

Aufgaben zur Festigung dieser Fertigkeit basieren auf den Aufgabentypen Um Prozent erhöhen und Um Prozent verringern. Die Lernenden lösen einfache Rechenprobleme, bei denen sie einen Ausgangspreis sowie Angaben zur Preisänderung erhalten (z. B. eine Ware im Wert von 120 zł wurde um 20% reduziert) und den neuen, endgültigen Preis nach Abzug des Rabatts oder Hinzurechnung der Marge ermitteln.

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Aufgabentypen: Prozentuale Erhöhung — wähle die Antwort · Um Prozent erhöhen · Um Prozent vermindern

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Der Schüler lernt, ein Monom mit einer Summe in Klammern zu multiplizieren und bei Termen mit ganzzahligen Koeffizienten einen gemeinsamen Faktor auszuklammern.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.5 multipliziert ein Monom mit einer algebraischen Summe von höchstens drei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.6 klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus, die aus zwei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten besteht (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse führen Schüler grundlegende algebraische Umformungen mit ganzen Zahlen durch. Sie beherrschen die Multiplikation eines Monoms mit einer Summe aus höchstens drei Monomen sowie die umgekehrte Operation: das Ausklammern eines gemeinsamen Monoms aus einer Summe von zwei Monomen.

Der häufigste Fehler beim Ausmultiplizieren von Klammern ist das Multiplizieren nur des ersten Terms und das unveränderte Stehenlassen des Rests oder ein Vorzeichenfehler beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl. Beim Ausklammern wiederum bereitet der Fall Schwierigkeiten, bei dem einer der Summanden mit dem auszuklammernden Faktor identisch ist – Schüler lassen diesen oft weg oder schreiben eine Null statt der Zahl 1.

Für regelmäßiges Üben dienen die Vorlagen Multiplikation eines Monoms mit einer Summe und Ausklammern eines Faktors. Die Aufgaben bestehen darin, das Produkt auszumultiplizieren und Terme mit Variablen zu vereinfachen, oder den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen sowie den gemeinsamen Variablenteil zu finden und den Ausdruck als Produkt zu schreiben.

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Aufgabentypen: Klammern ausmultiplizieren · Ausklammern

Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln

Der Schüler berechnet exakte Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus rationalen Zahlen und bestimmt deren Näherungswerte mithilfe eines Taschenrechners.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.7 berechnet die Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen, die entsprechend Quadrate oder Kubikzahlen rationaler Zahlen sind, und berechnet Näherungswerte von Wurzeln aus anderen Zahlen mit dem Taschenrechner (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, exakte Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen zu bestimmen, die Quadrate bzw. Kubikzahlen rationaler Zahlen sind. Dies bedeutet einen sicheren Umgang mit ganzen Zahlen, gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen. Bei Zahlen, aus denen sich keine exakte rationale Wurzel ziehen lässt, nutzen die Lernenden den Taschenrechner, um deren Näherungswert anzugeben.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist die Verwechslung des Wurzelziehens mit der Division durch den Wurzelexponenten – beispielsweise das Behandeln der Quadratwurzel als Division durch 2 (die fehlerhafte Annahme, dass die Wurzel aus 16 gleich 8 statt 4 ist) oder der Kubikwurzel als Division durch 3. Schülerinnen und Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten, das richtige Vorzeichen des Ergebnisses bei Kubikwurzeln aus negativen Zahlen zu bestimmen.

In der Praxis basieren die Übungen auf den Aufgabentypen Quadratwurzel berechnen und Kubikwurzel berechnen. Die Aufgaben bestehen darin, direkt die Zahl zu bestimmen, die – entsprechend zur zweiten oder dritten Potenz erhoben – den Wert unter dem Wurzelzeichen ergibt.

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Aufgabentypen: Kubikwurzel berechnen · Quadratwurzel berechnen

Potenzieren ganzer Zahlen und Brüche

Der Schüler berechnet die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten für ganze Zahlen sowie gemeine Brüche und Dezimalbrüche.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.3 berechnet Potenzen rationaler Zahlen mit natürlichen Exponenten (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernt der Schüler, rationale Zahlen — einschließlich positiver und negativer ganzer Zahlen sowie Brüche — mit natürlichen Exponenten zu potenzieren (wie der zweiten, dritten oder vierten Potenz). Er versteht das Potenzieren als mehrfache Multiplikation derselben Zahl mit sich selbst und bestimmt sicher das Vorzeichen des Ergebnisses, je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist.

Ein häufiger Fehler auf dieser Stufe ist die Verwechslung des Potenzierens mit der einfachen Multiplikation der Basis mit dem Exponenten (zum Beispiel das Berechnen von 3² = 6 anstelle von 9). Beim Potenzieren gewöhnlicher Brüche potenzieren Schüler nicht selten nur den Zähler und lassen den Nenner unverändert, was zu einem falschen Ergebnis führt.

In der Praxis begegnet der Schüler Aufgaben, die auf zwei Mustern basieren:

Berechne die Potenz einer ganzen Zahl — bei denen der Wert von Potenzen positiver und negativer Zahlen bestimmt werden muss,
Berechne die Potenz eines Bruchs — die das korrekte Potenzieren eines gewöhnlichen Bruchs oder Dezimalbruchs erfordern.

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Aufgabentypen: Potenz einer ganzen Zahl berechnen · Potenz eines Bruchs berechnen · Wert einer Potenz — wähle die Antwort

Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen mit Vorzeichen

Der Schüler addiert und subtrahiert sicher positive und negative Dezimalbrüche und bestimmt das Vorzeichen des Ergebnisses korrekt.

Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.1.32 führt unkomplizierte Rechnungen durch, in denen rationale Zahlen vorkommen (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse führen Schülerinnen und Schüler einfache Rechnungen mit rationalen Zahlen durch und konzentrieren sich dabei auf die Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen mit Vorzeichen – sowohl positiver als auch negativer Zahlen.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist die Verwechslung der Vorzeichenregeln für das Ergebnis. Schülerinnen und Schüler geraten oft durcheinander, wenn sie eine negative Zahl subtrahieren (wobei zwei Minuszeichen zu einem Plus werden), oder nehmen fälschlicherweise an, dass die Summe zweier negativer Zahlen ein positives Ergebnis liefert. Schwierigkeiten bereitet auch, gleichzeitig auf das Vorzeichen zu achten und die Nachkommastellen präzise zu berechnen.

Die praktischen Übungen nutzen die Aufgabenvorlagen: Addition von Dezimalzahlen mit Vorzeichen sowie Subtraktion von Dezimalzahlen mit Vorzeichen. Die Aufgaben bestehen darin, den Wert einzelner arithmetischer Ausdrücke direkt zu berechnen, wie beispielsweise –2,4 + 1,1 oder 0,5 – (–1,3).

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Aufgabentypen: Dezimalzahlen mit Vorzeichen addieren · Dezimalzahlen mit Vorzeichen subtrahieren

Multiplikation und Division negativer Zahlen

Der Schüler führt einfache Rechnungen mit rationalen Zahlen durch und wendet dabei die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division negativer Zahlen korrekt an.

Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.1.32 führt unkomplizierte Rechnungen durch, in denen rationale Zahlen vorkommen (unsere Übersetzung)

Auf dieser Stufe führt der Schüler einfache Rechnungen mit rationalen Zahlen durch und konzentriert sich dabei auf das Beherrschen der Regeln zur Bestimmung des Vorzeichens des Ergebnisses. Er multipliziert und dividiert positive und negative Zahlen sicher, indem er die Festlegung des Vorzeichens von der eigentlichen Rechnung mit den Zahlenwerten trennt.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Multiplikationsregeln auf die Addition zu übertragen. Die Schüler erinnern sich an den Merksatz, dass „zwei Minus ein Plus ergeben“, und wenden ihn fälschlicherweise bei der Addition negativer Zahlen an. Es kommt auch vor, dass das Minuszeichen vergessen wird, wenn eine negative und eine positive Zahl miteinander multipliziert oder durcheinander dividiert werden.

Die Aufgaben zur Vertiefung dieser Fertigkeit basieren auf den Vorlagen Multiplikation negativer Zahlen sowie Division negativer Zahlen. Sie liegen in Form direkter Rechenoperationen vor, bei denen der Schüler Produkte und Quotienten von Zahlenpaaren mit gleichen oder unterschiedlichen Vorzeichen berechnet.

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Aufgabentypen: Ganze Zahlen dividieren · Ganze Zahlen multiplizieren

Berechnung des Kreisumfangs und des Flächeninhalts des Kreises

Der Schüler berechnet den Kreisumfang sowie den Flächeninhalt eines Kreises auf der Grundlage des angegebenen Radius oder Durchmessers unter korrekter Anwendung der Zahl Pi.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.7 berechnet den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen die Schülerinnen und Schüler Methoden zur Bestimmung des Kreisumfangs sowie des Flächeninhalts eines Kreises kennen. Dazu nutzen sie Formeln, die diese Größen mit dem Radius oder dem Durchmesser der Figur und der Zahl π verknüpfen. Das Ergebnis wird in exakter Form (mit dem Symbol der Zahl π) angegeben oder als Näherungswert berechnet, indem für π beispielsweise 3,14 eingesetzt wird.

Die häufigste Schwierigkeit ist das Verwechseln der Formeln: Bei der Berechnung des Flächeninhalts verdoppeln Lernende nicht selten den Radius, anstatt ihn zu quadrieren. Ein typischer Fehler ist auch das direkte Einsetzen des in der Aufgabe angegebenen Durchmessers anstelle des Radius in die Formel.

Die Aufgaben in den Vorlagen Kreisumfang und Kreisfläche bestehen in der einfachen Berechnung des Umfangs oder des Flächeninhalts anhand des Radius oder Durchmessers sowie in den umgekehrten Operationen – der Bestimmung des Radius der Figur, wenn deren Umfang oder Flächeninhalt bereits bekannt ist.

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Aufgabentypen: Flächeninhalt eines Kreises · Umfang eines Kreises

Multiplikation von Binomen

Der Schüler lernt, zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander zu multiplizieren und das Ergebnis in geordneter Form aufzuschreiben.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.7 multipliziert zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse multipliziert der Schüler zwei Binome, in denen ausschließlich ganzzahlige Koeffizienten (sowohl positive als auch negative) vorkommen. Er erlernt die Regel, jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer zu multiplizieren, beginnend mit einfacheren Formen wie (x + a)(x + b).

Ein typischer Fehler ist das Auslassen der mittleren Terme – Schüler multiplizieren nicht selten nur die ersten Glieder miteinander und die zweiten miteinander, was zu einem falschen Ergebnis führt (indem sie beispielsweise (x + 2)(x + 3) als x² + 6 schreiben, anstatt alle vier Produkte zu berücksichtigen). Ein häufiges Problem ist auch das Verlieren von Vorzeichen, insbesondere wenn in einem Binom eine Subtraktion vorkommt und zwei negative Zahlen miteinander multipliziert werden müssen.

In der Praxis basieren die Aufgaben auf den Vorlagen Multiplikation von Binomen (x + a)(x + b) und Multiplikation von Binomen. Der Schüler erhält das Produkt zweier Klammerausdrücke, schreibt es als Summe einzelner Produkte aus, achtet auf die korrekten Plus- und Minuszeichen und fasst am Ende gleichartige Terme zusammen.

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Aufgabentypen: (x + a)(x + b) ausmultiplizieren · Zwei Klammern ausmultiplizieren

Zusammenfassen gleichartiger Terme in Ausdrücken

Der Schüler lernt, Monome zu ordnen sowie gleichartige Terme mit ganzzahligen Koeffizienten in Termen mit einer oder zwei Variablen zu addieren und zu subtrahieren.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.3 ordnet Monome und fasst gleichartige Terme in algebraischen Summen zusammen (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.4 addiert und subtrahiert algebraische Summen, die aus mehreren Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, algebraische Summen zu vereinfachen, indem sie Monome mit denselben Variablen sicher erkennen. Das Kind ordnet die notierten Monome und addiert sowie subtrahiert gleichartige Terme mit ganzzahligen Koeffizienten, wobei es mit Ausdrücken mit einer Variablen oder mit zwei verschiedenen Variablen arbeitet.

Der häufigste Fehler ist das Übersehen des Minuszeichens vor einem Monom sowie das Zusammenfassen von Termen, die sich in ihren Variablen oder deren Potenzen unterscheiden. Kinder haben oft auch Schwierigkeiten mit Monomen ohne sichtbare Zahl davor und vergessen dabei, dass die Schreibweise x den Koeffizienten 1 bedeutet und -x der Zahl -1 entspricht.

In der Praxis üben die Schülerinnen und Schüler diese Fähigkeit mit den Vorlagen Gleichartige Terme zusammenfassen sowie Gleichartige Terme mit zwei Variablen zusammenfassen. Die Aufgaben bestehen darin, einen umfangreichen Ausdruck in die kürzestmögliche Form umzuformen, indem die Koeffizienten bei identischen Variablen addiert und die konstanten Glieder separat zusammengefasst werden.

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Aufgabentypen: Gleichartige Terme mit zwei Variablen zusammenfassen · Gleichartige Terme zusammenfassen

Bestimmung einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes

Der Schüler lernt, die Gesamtgröße zu ermitteln, wenn nur der Wert eines Teils und der entsprechende Prozentsatz bekannt sind.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.c die Zahl auf der Grundlage ihres gegebenen Prozentsatzes (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse kann der Schüler den gesamten Anfangswert (100 %) bestimmen, wenn Informationen über einen Teil davon und den entsprechenden Prozentsatz vorliegen. Zur Lösung der Aufgabe wendet er die Umwandlung des Prozentsatzes in einen Bruch und die Durchführung einer Division an, nutzt den Dreisatz oder einen Zwischenschritt: Zuerst ermittelt er, wie viel 1 % der gegebenen Größe beträgt, und multipliziert das erhaltene Ergebnis anschließend mit 100.

Ein typischer Fehler besteht darin, diese Rechnung mit der Berechnung des Prozentwerts einer gegebenen Zahl zu verwechseln. Anstatt den Wert durch den Prozentsatz zu teilen, multipliziert der Schüler die angegebenen Größen mechanisch – beispielsweise antwortet er auf die Frage nach einer Zahl, von der 20 % gleich 40 sind, mit 8 (indem er 20 % von 40 berechnet) anstelle des korrekten Werts 200. Eine häufige Schwierigkeit ist auch das Vergessen der Umwandlung des Prozentsatzes in einen Bruch vor der Durchführung der Division.

In Aufgaben der Vorlage Zahl aus einem gegebenen Prozentsatz bearbeitet der Schüler Aufgabenstellungen wie „Bestimme die Zahl, von der 15 % gleich 45 sind“ oder einfache Sachaufgaben mit Praxisbezug, bei denen anhand von Angaben über einen Teil das ursprüngliche Gehalt, die Gesamtlänge einer Reiseroute oder das Gesamtfassungsvermögen eines Behälters ermittelt werden soll.

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Berechnen, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist

Der Schüler lernt, zwei Größen zu vergleichen und ihr gegenseitiges Verhältnis als Prozentsatz anzugeben, indem er prüft, welchen Teil des Ganzen eine gegebene Zahl ausmacht.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.a wie viel Prozent einer Zahl die andere Zahl ist (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, zwei Werte miteinander zu vergleichen und ihr Verhältnis in Prozent auszudrücken. Der Lösungsweg besteht darin, den Quotienten zweier Zahlen als Bruch darzustellen (wobei der betrachtete Teil in den Zähler und die Bezugsgröße in den Nenner gelangt) und diesen Bruch anschließend in Prozent umzuwandeln – entweder durch Erweitern auf den Nenner 100 oder durch Multiplikation mit 100 %.

Der häufigste Fehler auf dieser Stufe ist das Vertauschen von Zähler und Nenner. Lernende neigen dazu, automatisch die größere Zahl durch die kleinere zu teilen, um einen Bruch kleiner als 1 zu vermeiden. Beispielsweise teilen sie bei der Beantwortung der Frage, wie viel Prozent von 40 die Zahl 8 ist, mitunter 40 durch 8, anstatt korrekt den Bruch 8/40 aufzustellen und diesen in 20 % umzurechnen.

In den Aufgaben, die auf der Vorlage Wie viel Prozent ist die Zahl? basieren, begegnen den Lernenden Aufgabenstellungen, die eine direkte Berechnung des Verhältnisses zwischen zwei Zahlen verlangen (z. B. das Ermitteln, wie viel Prozent des Ganzen ein bestimmter Teil ausmacht), sowie einfache praxisnahe Situationen wie das Berechnen des Prozentsatzes anwesender Personen in einer Gruppe oder der bei einem Test erzielten Punkte.

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Bestimmung des Medians eines Datensatzes

Der Schüler ordnet eine Menge numerischer Daten und bestimmt deren Median, auch im Kontext einfacher Finanzdaten.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.4 wendet das arithmetische Mittel und den Median im praktischen Kontext zum Vergleich von Datensätzen, einschließlich Finanzdaten, an – ökonomisch-finanzielles Modul (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, den Median eines gegebenen numerischen Datensatzes zu bestimmen, auch in praktischen und finanziellen Kontexten (z. B. bezüglich Preisen oder Ersparnissen). Um diesen Zentralwert zu ermitteln, ordnet das Kind die Zahlen aufsteigend: Bei einer ungeraden Anzahl von Elementen bestimmt es die Zahl, die sich genau in der Mitte befindet, und bei einer geraden – berechnet es das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe besteht darin, die mittlere Zahl direkt in der ungeordneten Reihe zu suchen, ohne die Zahlen vorher von der kleinsten zur größten zu sortieren. Schülerinnen und Schüler haben oft auch Schwierigkeiten, wenn der Datensatz eine gerade Anzahl von Werten enthält – anstatt den Mittelwert des mittleren Zahlenpaares zu berechnen, geben sie beide gleichzeitig an oder wählen eine von ihnen aus.

Die Aufgaben der Vorlage Gib den Median an bestehen darin, eine Zahlenreihe abzulesen, sie zu ordnen und den Zentralwert korrekt zu bestimmen.

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Potenzen mit negativen Exponenten

Der Schüler lernt, Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten mithilfe des Kehrwerts der Basis in entsprechende Potenzen mit natürlichem Exponenten umzuwandeln.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.4 wandelt Potenzen mit ganzzahligem negativem Exponenten in entsprechende Potenzen mit natürlichen Exponenten um (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen die Schülerinnen und Schüler das Umformen von Potenzen mit negativen ganzen Exponenten. Die Aufgabe besteht darin, eine solche Schreibweise in eine Potenz mit einem natürlichen Exponenten umzuwandeln – indem der Kehrwert der Basis gebildet und das Minuszeichen im Exponenten weggelassen wird.

Ein häufiger Fehler auf dieser Stufe ist es, das Minus im Exponenten als negatives Vorzeichen für das Gesamtergebnis zu interpretieren oder das Potenzieren mit dem Multiplizieren zu verwechseln. Schülerinnen und Schüler weisen dem Ergebnis nicht selten einen negativen Wert zu, anstatt die Basis durch ihren Kehrwert zu ersetzen.

Aufgaben, die auf der Vorlage Potenz mit negativem Exponenten basieren, erfordern von den Schülerinnen und Schülern, den gegebenen numerischen Ausdruck in eine Form mit natürlichem Exponenten umzuformen und anschließend seinen endgültigen Wert zu berechnen.

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Rechnen mit Potenzen und fehlende Exponenten

Der Schüler wendet die Regeln für die Multiplikation und Division von Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, um fehlende Zahlen in Gleichungen zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5 wendet die Rechengesetze für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, darunter: (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.a multipliziert und dividiert Potenzen mit gleicher Basis (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.b multipliziert und dividiert Potenzen mit gleichen Exponenten (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.c potenziert Potenzen (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernt das Kind, die Potenzgesetze für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten sicher anzuwenden. Auf dieser Stufe verknüpft der Schüler die Regeln zur Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis mit dem Wissen über negative Zahlen und formt Ausdrücke um, ohne große Werte mühsam ausmultiplizieren zu müssen.

Das häufigste Problem besteht darin, beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis das Addieren der Exponenten mit deren Multiplikation zu verwechseln. Eine zusätzliche Schwierigkeit stellen negative Exponenten dar – beim Dividieren von Potenzen vergessen Schüler nicht selten, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl zu einer Addition führt, was zu einem falschen Vorzeichen im Endergebnis führt.

In der Praxis löst der Schüler mithilfe der Arbeitsblätter Fehlender Exponent – Potenzrechnung Gleichungen mit einer einzelnen Leerstelle. Die Aufgabe besteht darin, die Rechenoperation (z. B. Produkt oder Quotient von Potenzen) zu analysieren und eine solche ganze Zahl im Exponenten einzutragen, dass die linke Seite der Gleichung gleich der rechten ist.

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Proportionale Aufteilung in zwei oder drei Teile

Der Schüler lernt, eine gegebene Größe nach einem vorgegebenen Verhältnis in zwei oder drei Teile zu teilen, indem er praktische Aufgaben aus dem Alltag löst.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.10 erkennt direkt proportionale Zusammenhänge, wendet sie zur Bestimmung des Wertes einer Größe anhand der anderen an und nutzt die proportionale Aufteilung in zwei oder drei Teile im praktischen Kontext (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernt der Schüler, eine bestimmte Größe in einem vorgegebenen Zahlenverhältnis (zum Beispiel 2 : 3 oder 1 : 2 : 4) in zwei oder drei Teile aufzuteilen. Er wendet diese Fähigkeit in praktischen Kontexten an, indem er anhand ihres Verhältnisses zueinander konkrete Werte für jeden der Teile bestimmt.

Ein häufiger Fehler ist das Teilen der Ausgangszahl durch die einzelnen Glieder des Verhältnisses anstatt durch deren Summe. Der Schüler versucht zum Beispiel, einen Geldbetrag im Verhältnis 2 : 3 aufzuteilen, indem er ihn direkt durch 2 oder 3 dividiert, anstatt zunächst festzustellen, dass das Ganze aus 5 gleichen Teilen besteht, und den Wert eines solchen Anteils zu berechnen.

In der Praxis löst der Schüler mithilfe der Vorlage Aufteilung in einem gegebenen Verhältnis Textaufgaben, bei denen er unter anderem Geldbeträge, Massen von Zutaten oder Streckenlängen aufteilt und die genaue Größe jedes einzelnen Teils berechnet.

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Faktor vor die Wurzel ziehen

Der Schüler lernt, Quadrat- und Kubikwurzeln durch die Zerlegung des Radikanden und das teilweise Wurzelziehen zu vereinfachen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9 wendet die Rechengesetze für Quadrat- und Kubikwurzeln an, darunter: (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.a berechnet Wurzeln aus dem Produkt und dem Quotienten zweier Zahlen (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.b multipliziert und dividiert Wurzeln gleichen Grades (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.c zieht teilweise die Wurzel (radiziert teilweise) und bringt einen Faktor unter das Wurzelzeichen (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen die Schüler, Quadrat- und Kubikwurzeln zu vereinfachen. Anhand der Rechenregeln für Wurzeln zerlegen sie die Zahl unter dem Wurzelzeichen in ein Produkt aus Faktoren, von denen einer eine Quadratzahl (z. B. 4, 9, 16, 25) oder eine Kubikzahl (z. B. 8, 27) ist, ziehen daraus die Wurzel und schreiben das Ergebnis vor das Wurzelzeichen.

Ein häufiger Fehler besteht darin, den gefundenen Faktor vor das Wurzelzeichen zu schreiben, ohne die Wurzel daraus zu ziehen – zum Beispiel zu schreiben, dass √12 gleich 4√3 statt 2√3 ist. Manchmal wird auch der Wurzelexponent verwechselt, indem bei Kubikwurzeln nach Quadratzahlen gesucht wird.

Die Aufgaben aus der Vorlage Faktor vor die Wurzel ziehen bestehen darin, die angegebene Wurzel in die einfachste Form zu bringen, zum Beispiel √50 in 5√2 oder ∛24 in 2∛3 umzuwandeln.

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Schätzen von Wurzelwerten

Der Schüler lernt, den Näherungswert einer Wurzel zu bestimmen und anzugeben, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen sie liegt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.8 schätzt den Wert eines einfachen arithmetischen Ausdrucks, der Wurzeln enthält (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse entwickelt der Schüler die Fähigkeit, Werte von Wurzeln abzuschätzen, die keine ganze Zahl ergeben. Das Kind muss nicht die genaue Dezimaldarstellung berechnen – es lernt, die gegebene Wurzel nach unten und oben durch bekannte Quadratzahlen natürlicher Zahlen einzugrenzen, indem es beispielsweise bestimmt, dass der Wert von √20 zwischen 4 und 5 liegt.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist die Verwechslung des Wurzelziehens mit dem Teilen durch zwei. Schüler versuchen dann, den Wert von √50 als nahe bei 25 zu schätzen, anstatt sich auf die nächstgelegenen Quadratzahlen (49 und 64) zu beziehen und zu bemerken, dass das Ergebnis knapp über 7 liegt.

In der Praxis bewältigt der Schüler mithilfe von Arbeitsblättern aus der Vorlage Wurzel schätzen Aufgaben, bei denen er zwei benachbarte ganze Zahlen einträgt, die die gegebene Wurzel eingrenzen, oder angibt, welcher von ihnen die gesuchte Zahl näher liegt.

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Schreiben und Vergleichen von Zahlen in wissenschaftlicher Notation

Der Schüler lernt, Zahlen in Exponentialschreibweise zu schreiben und in dieser Form dargestellte Größen zu vergleichen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.6 schreibt Zahlen in wissenschaftlicher Notation (Zehnerpotenz-Schreibweise) und vergleicht auf diese Weise dargestellte Zahlen (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse erlernen die Schüler die Darstellung von Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise, das heißt als Produkt aus einer Zahl im Bereich von 1 bis 10 (ausschließlich 10) und einer Zehnerpotenz. Auf dieser Stufe lernt das Kind, Zahlen in diese Form umzuwandeln, sie abzulesen und auf diese Weise dargestellte Größenpaare oder -folgen korrekt zu vergleichen.

Ein häufiges Problem ist das Nichtbeachten der Bedingung für den ersten Faktor. Schüler verwenden Schreibweisen wie 45 · 10³ anstelle von 4,5 · 10⁴, indem sie fälschlicherweise jedes Produkt mit einer Zehnerpotenz als wissenschaftliche Schreibweise ansehen. Ein zweiter typischer Fehler beim Vergleichen ist es, sich ausschließlich an der ersten Zahl statt am Exponenten der Potenz zu orientieren – ein Schüler kann 7,2 · 10³ als größeren Wert als 1,5 · 10⁵ einstufen, nur weil 7,2 größer als 1,5 ist.

Die Aufgaben aus der Vorlage Wissenschaftliche Schreibweise umfassen die Umwandlung herkömmlich dargestellter Zahlen in die wissenschaftliche Schreibweise und umgekehrt. Der Schüler übt auch das Vergleichen von Größen: Er bestimmt die größere Zahl, setzt das passende Relationszeichen zwischen zwei Schreibweisen ein oder ordnet eine Reihe mehrerer Zahlen von der kleinsten zur größten.

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Lösen von Gleichungen mit der Unbekannten auf beiden Seiten

Der Schüler lernt, Gleichungen ersten Grades zu lösen, bei denen der Buchstabe, der für die Unbekannte steht, sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens vorkommt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler das Lösen linearer Gleichungen, bei denen dieselbe Unbekannte auf beiden Seiten vorkommt. Das Kind lernt, eine solche Gleichung durch beidseitiges Addieren oder Subtrahieren von Termen mit der Unbekannten sowie reinen Zahlen auf eine einfachere Form zu bringen, sodass am Ende die Unbekannten auf der einen Seite und die Zahlenwerte auf der anderen Seite stehen.

Ein typisches Problem auf dieser Stufe sind Vorzeichenfehler (Plus und Minus) bei Rechenoperationen auf beiden Seiten der Gleichung. Schülerinnen und Schüler vergessen häufig, beim Umstellen eines Terms das Vorzeichen zu ändern, oder bringen die Reihenfolge der Rechenschritte durcheinander. Zudem versuchen sie mitunter, reine Zahlen zu Termen mit Variablen zu addieren (indem sie z. B. den Ausdruck 3x + 5 als 8x behandeln).

In der Praxis erhält die Schülerin oder der Schüler bei Verwendung der Vorlage Gleichung mit der Unbekannten auf beiden Seiten eine vorgegebene lineare Gleichung (z. B. 5x + 3 = 2x + 12). Die Aufgabe besteht darin, Umformungen Schritt für Schritt durchzuführen, den Wert der Unbekannten zu bestimmen und das endgültige numerische Ergebnis anzugeben.

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Prüfen, ob eine Zahl eine Gleichung erfüllt

Der Schüler überprüft, ob die angegebene ganze oder rationale Zahl die Gleichung erfüllt, indem er sie für die Unbekannte einsetzt und die Werte beider Seiten vergleicht.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.10 prüft, ob eine gegebene rationale Zahl Lösung einer linearen Gleichung (Gleichung ersten Grades) ist (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.9 prüft, ob eine gegebene ganze Zahl eine Lösung einer Gleichung (ersten, zweiten oder dritten Grades) mit einer Unbekannten ist (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, die Richtigkeit einer Lösung zu überprüfen, ohne die gesamte Gleichung umformen zu müssen. Sie prüfen, ob eine angegebene ganze Zahl eine Gleichung mit einer Unbekannten (ersten, zweiten oder dritten Grades) erfüllt, sowie ob eine gegebene rationale Zahl – einschließlich gewöhnlicher Brüche oder Dezimalbrüche – die Lösung einer Gleichung ersten Grades ist.

Ein typischer Fehler entsteht durch Unachtsamkeit bei der Reihenfolge der Rechenoperationen sowie bei den Vorzeichenregeln, insbesondere beim Einsetzen negativer Zahlen. Schülerinnen und Schüler vergessen beim Potenzieren einer negativen Zahl oft die Klammern (und verwechseln z. B. (-3)² mit -3²) oder machen Vorzeichenfehler bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl. Häufig kommt es auch vor, dass die Rechnung nur für eine Seite der Gleichung durchgeführt wird, anstatt den Wert der linken und der rechten Seite separat zu berechnen, um zu prüfen, ob die Gleichheit L = R gilt.

Aufgaben, die auf der Vorlage Ist die Zahl eine Lösung der Gleichung? basieren, bestehen darin, die gegebene Zahl in die Gleichung einzusetzen und die Berechnungen durchzuführen. Es werden die Rechnungen für die linke sowie die rechte Seite notiert und auf dieser Grundlage eine eindeutige Antwort formuliert, ob die geprüfte Zahl die gegebene Bedingung tatsächlich erfüllt.

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Lösen von Gleichungen in zwei Schritten (ax + b = c)

Der Schüler löst lineare Gleichungen der Form ax + b = c, indem er nacheinander eine Subtraktion oder Addition und anschließend eine Division durch den Koeffizienten bei der Unbekannten durchführt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen (unsere Übersetzung)

In der 7. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, die Unbekannte aus einer linearen Gleichung der Form ax + b = c zu bestimmen. Sie erlernen das Schema aus zwei Schritten: Zuerst addieren oder subtrahieren sie auf beiden Seiten das absolute Glied, und im zweiten Schritt dividieren sie beide Seiten der Gleichung durch die Zahl vor der Unbekannten.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist die Umkehrung der Reihenfolge der Umformungsschritte – der Versuch, durch den Koeffizienten a zu teilen, bevor die Zahl b eliminiert wurde, was oft dazu führt, dass das absolute Glied fälschlicherweise nicht geteilt wird. Schülerinnen und Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten mit den Vorzeichen, indem sie die Gegenoperation verwechseln (z. B. Addition statt Subtraktion), wenn sie Zahlen auf der linken Seite der Gleichung auflösen.

Die Aufgaben der Vorlage Gleichung ax + b = c enthalten eine konkrete numerische Gleichung, beispielsweise 3x + 5 = 26 oder 4x - 7 = 13. Die Aufgabe besteht darin, die Umformungen Schritt für Schritt durchzuführen und aufzuschreiben sowie den endgültigen Wert der Unbekannten anzugeben.

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Aufgabentypen: Die Gleichung ax + b = c lösen · Lösung einer Gleichung — wähle die Antwort

Berechnung von Werten algebraischer Ausdrücke

Der Schüler setzt die angegebenen ganzen Zahlen anstelle der Buchstaben in einen Term aus höchstens drei Monomen ein und berechnet dessen Endergebnis.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.2 berechnet den Zahlenwert eines algebraischen Terms, der die Summe von höchstens drei Monomen ist, für gegebene ganzzahlige Werte der Variablen (unsere Übersetzung)

Auf dieser Lernstufe ersetzen Schülerinnen und Schüler Buchstaben in einem Term durch konkrete ganze Zahlen – positive, negative oder null. Gemäß den Anforderungen für die Klassen 7–8 ist der Schwierigkeitsgrad solcher Ausdrücke auf die Summe von höchstens drei Monomen beschränkt, was bedeutet, dass Einsetzungen in Formeln mit einfacher Struktur (zum Beispiel mit einer oder zwei Variablen) durchgeführt werden.

Ein typischer Fehler tritt beim Einsetzen negativer Zahlen auf. Schülerinnen und Schüler vergessen häufig, die eingesetzte negative Zahl in Klammern zu setzen, wodurch sie Schreibweisen wie (-3)² mit -3² verwechseln oder Minuszeichen beim Subtrahieren einer negativen Zahl bzw. beim Multiplizieren mit einem negativen Koeffizienten des Monoms verlieren.

In Aufgaben, die auf der Vorlage „Wert eines algebraischen Terms“ basieren, erhalten die Lernenden einen vorgegebenen Term sowie Zahlenwerte, die den einzelnen Buchstaben zugeordnet sind. Die Aufgabe besteht darin, die Symbole korrekt durch ganze Zahlen zu ersetzen, das Potenzieren, Multiplizieren und Addieren in der richtigen Reihenfolge auszuführen und das Endergebnis zu notieren.

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Berechnung der Zinsen einer Festgeldanlage für ein Jahr

Der Schüler lernt, den Betrag der nach einem Sparjahr gutgeschriebenen Zinsen sowie das Gesamtguthaben auf dem Konto bei einem vorgegebenen Zinssatz der Geldanlage zu berechnen.

In der 7. Klasse wendet der Schüler Prozentrechnungen in einem praktischen finanziellen Kontext an, indem er den Ertrag einer einjährigen Festgeldanlage berechnet. Das Kind berechnet den Prozentsatz des eingezahlten Betrags (des Anfangskapitals), um die Höhe der fälligen Zinsen sowie das Endguthaben nach Ablauf eines vollen Jahres zu ermitteln.

Der häufigste Fehler besteht darin, den reinen Zinsbetrag mit dem Gesamtguthaben auf dem Konto zu verwechseln – wenn der Schüler nach dem Ersparnisstand nach einem Jahr gefragt wird, gibt er nur den berechneten Ertrag an und vergisst, das eingezahlte Kapital hinzuzurechnen. Häufig tritt auch ein Fehler bei der Umwandlung des Zinssatzes in einen Dezimalbruch auf, beispielsweise wenn 4% als 0,4 statt als 0,04 behandelt werden.

In den Aufgaben der Vorlage Zinsen aus einer Festgeldanlage analysiert der Schüler konkrete finanzielle Situationen: Anhand des eingezahlten Betrags und des jährlichen Zinssatzes berechnet er, welchen Betrag die Bank dem Kapital nach zwölf Monaten gutschreiben wird.

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Aufgabenvorlagen zum Ausdrucken

Alle Aufgabentypen, nach Kompetenzen geordnet. Ein Klick öffnet den Generator mit dem gewählten Typ.

Grundwert aus dem Prozentwert

Lösen von Gleichungen in zwei Schritten (ax + b = c)

Berechnung von Werten algebraischer Ausdrücke

Den Wert eines Terms berechnen

Berechnung der Zinsen einer Festgeldanlage für ein Jahr

Zinsen für ein Sparguthaben

Weitere Aufgabentypen

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