Polski
Program nauczania (Polska)

Matematyka — klasa 7 szkoły podstawowej

Matematyka w klasie 7: potęgi i pierwiastki, notacja wykładnicza, procenty w praktyce, podział proporcjonalny, wyrażenia algebraiczne, równania liniowe, twierdzenie Pitagorasa, koło i pierwsze prawdopodobieństwo. Do każdego tematu gotowe szablony zadań do wydruku.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczy się uczeń z matematyki w klasie 7?

W klasie 7 uczeń wykonuje działania na potęgach i pierwiastkach, szacuje pierwiastki i zapisuje duże oraz małe liczby w notacji wykładniczej. Oblicza podwyżki, obniżki i odsetki, dzieli wielkości w danym stosunku. Upraszcza wyrażenia algebraiczne, mnoży sumy algebraiczne i rozwiązuje równania liniowe. W geometrii poznaje twierdzenie Pitagorasa, długość okręgu i pole koła, a z rachunku prawdopodobieństwa — zdarzenia w prostym doświadczeniu.

Ważne o podstawie programowej: nowa podstawa (Dz.U. 2026 poz. 378) obejmie klasę 7 od roku szkolnego 2029/2030 — wchodzi rocznikowo. Do tego czasu klasa 7 uczy się według podstawy z 2017 r.; zakres działów na tej stronie jest w obu podstawach zbliżony. Podstawa dla klas VII–VIII jest blokowa — mówi, co uczeń umie na koniec szkoły podstawowej. Przypisanie tematu do klasy to nasza decyzja według typowego rozkładu materiału; w sekcji „Zakres programowy” widzisz cały blok VII–VIII z cytatami rozporządzenia.

Stan strony: gotowe są potęgi i pierwiastki, procenty w praktyce, proporcjonalność, liczby wymierne ze znakami, wyrażenia algebraiczne, równania i ich układy, twierdzenie Pitagorasa, koło, graniastosłupy i ostrosłupy oraz prawdopodobieństwo. Konstrukcje i zadania w formacie egzaminu ósmoklasisty dochodzą kolejno.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1

  2. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1

  3. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

    Obliczanie cen po podwyżce i obniżce o procent (u nas w klasie 7-8) · Obliczanie odsetek od lokaty rocznej (u nas w klasie 7-8)

  4. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

    Potęgowanie liczb całkowitych i ułamków (u nas w klasie 7-8)

  5. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4

    Potęgi o wykładnikach ujemnych (u nas w klasie 7-8)

  6. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

    Działania na potęgach i brakujące wykładniki (u nas w klasie 7-8)

  7. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

    Zapisywanie i porównywanie liczb w notacji wykładniczej (u nas w klasie 7-8)

  8. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

    Obliczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych (u nas w klasie 7-8)

  9. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8

    Szacowanie wartości pierwiastków (u nas w klasie 7-8)

  10. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

    Wyłączanie czynnika przed pierwiastek (u nas w klasie 7-8)

  11. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

    Podział proporcjonalny na dwie lub trzy części (u nas w klasie 7-8)

  12. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11

  13. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12

  14. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.1.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

    Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga (u nas w klasie 7-8)

  15. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.5.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

  16. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.9.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

  17. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.1.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    podany procent danej liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b

  18. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.5.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

  19. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.9.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

  20. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.1.c · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    liczbę na podstawie danego jej procentu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

    Wyznaczanie liczby na podstawie jej procentu (u nas w klasie 7-8)

  21. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.5.c · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    podnosi potęgę do potęgi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

  22. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.9.c · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

  23. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Algebra

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2

  24. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1

  25. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

    Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych (u nas w klasie 7-8)

  26. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

    Redukcja wyrazów podobnych w wyrażeniach (u nas w klasie 7-8)

  27. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

    Redukcja wyrazów podobnych w wyrażeniach (u nas w klasie 7-8)

  28. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

    Mnożenie przez nawias i wyłączanie przed nawias (u nas w klasie 7-8)

  29. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

    Mnożenie przez nawias i wyłączanie przed nawias (u nas w klasie 7-8)

  30. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

    Mnożenie dwumianów (u nas w klasie 7-8)

  31. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8

  32. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

    Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie (u nas w klasie 7-8)

  33. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

    Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie (u nas w klasie 7-8)

  34. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

    Rozwiązywanie równań w dwóch krokach (ax + b = c) (u nas w klasie 7-8) · Rozwiązywanie równań z niewiadomą po obu stronach (u nas w klasie 7-8)

  35. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12

  36. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Figury

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3

  37. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1

  38. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2

  39. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3

  40. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

    Twierdzenie Pitagorasa i trójkąty prostokątne (u nas w klasie 7-8)

  41. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5

  42. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje cechy przystawania trójkątów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6

  43. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza długość okręgu i pole koła

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

    Obliczanie długości okręgu i pola koła (u nas w klasie 7-8)

  44. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8

  45. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

  46. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10

  47. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11

  48. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12

  49. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.13 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13

  50. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.14 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14

  51. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dane i zdarzenia losowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4

  52. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1

  53. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2

  54. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3

  55. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

    Wyznaczanie mediany zestawu danych (u nas w klasie 7-8)

  56. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5

  57. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

    Obliczanie prawdopodobieństwa w prostych losowaniach (u nas w klasie 7-8)

  58. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Myślenie matematyczne

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5

  59. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1

  60. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2

  61. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3

  62. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.1.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a

  63. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a

  64. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.3.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a

  65. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.1.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b

  66. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b

  67. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.3.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b

  68. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.1.c · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c

  69. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.2.c · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c

  70. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.3.c · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c

  71. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.1.d · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d

  72. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.5.3.d · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d

  73. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.WO.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1

  74. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.WO.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2

  75. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.WO.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3

  76. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.WO.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4

  77. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.WO.5 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5

  78. Punkt podstawy MAT.VII-VIII.WO.6 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Umiejętności krok po kroku

Twierdzenie Pitagorasa i trójkąty prostokątne

Uczeń rozpoznaje trójkąt prostokątny oraz oblicza długość brakującego boku – przyprostokątnej lub przeciwprostokątnej – za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.4 dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

W klasie 7 uczeń poznaje i stosuje zależność między bokami trójkąta prostokątnego: sumę kwadratów długości przyprostokątnych przyrównuje do kwadratu długości przeciwprostokątnej. Na tej podstawie potrafi obliczyć długość brakującego boku, gdy znane są dwa pozostałe, oraz zweryfikować, czy trójkąt o trzech podanych długościach boków jest prostokątny.

Typowym błędem jest mechaniczne dodawanie kwadratów podanych liczb bez ustalenia, który bok jest przeciwprostokątną leżącą naprzeciw kąta prostego. W efekcie uczniowie dodają do siebie kwadraty przyprostokątnej i przeciwprostokątnej, zamiast wykonać odejmowanie przy wyznaczaniu brakującej przyprostokątnej. Częstą pomyłką bywa również pominięcie końcowego pierwiastkowania otrzymanego wyniku.

W praktyce uczeń rozwiązuje zadania oparte na trzech szablonach:

  • Oblicz przeciwprostokątną – podnosi długości przyprostokątnych do kwadratu, sumuje je i wyciąga pierwiastek z wyniku;
  • Oblicz przyprostokątną – odejmuje kwadrat znanej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej, aby wyznaczyć szukany bok;
  • Czy trójkąt jest prostokątny? – sprawdza, czy kwadrat najdłuższego odcinka jest równy sumie kwadratów dwóch krótszych.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Czy trójkąt jest prostokątny? · Oblicz przeciwprostokątną · Oblicz przyprostokątną

Obliczanie prawdopodobieństwa w prostych losowaniach

Uczeń uczy się określać szanse zdarzeń losowych i zapisywać prawdopodobieństwo w postaci ułamka podczas prostych doświadczeń, takich jak rzut kostką czy losowanie kuli.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4.6 przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

W klasie 7 uczeń stawia pierwsze kroki w rachunku prawdopodobieństwa. Analizuje proste sytuacje losowe: ustala liczbę wszystkich możliwych wyników oraz liczbę wyników sprzyjających danemu zdarzeniu, a samo prawdopodobieństwo zapisuje za pomocą ułamka zwykłego lub dziesiętnego.

Częstym błędem jest odnoszenie liczby zdarzeń sprzyjających do zdarzeń niesprzyjających zamiast do wszystkich możliwych. Przykładowo, gdy w pojemniku znajdują się 2 kule białe i 3 czarne, dzieci nierzadko określają szansę wylosowania kuli białej jako 2 do 3 i zapisują ułamek 2/3 zamiast poprawnego 2/5.

Zadania ćwiczeniowe wykorzystują czytelne modele losowania:

  • Rzut kostką – uczeń określa szansę wyrzucenia określonej liczby oczek, na przykład liczby parzystej lub mniejszej od 5;
  • Losowanie kuli z pudełka – oblicza prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli o wskazanym kolorze z zamkniętego zestawu;
  • Losowanie kartki z liczbą – ustala szansę wyciągnięcia kartki z liczbą spełniającą podany warunek (np. podzielną przez 3 ze zbioru liczb od 1 do 15).
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Losowanie kuli z pudełka · Rzut kostką · Losowanie kartki z liczbą

Obliczanie cen po podwyżce i obniżce o procent

Uczeń uczy się obliczać nową cenę lub wartość po podwyżce albo obniżce o dany procent w codziennych sytuacjach finansowych.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.2 stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

W klasie 7 uczeń stosuje obliczenia procentowe w praktycznym kontekście, wyznaczając nową wartość po zmianie ceny. Na tym etapie dziecko uczy się obliczać kwotę podwyżki lub obniżki na podstawie ceny początkowej, a następnie dodawać ją do wartości bazowej bądź odejmować od niej, aby ustalić końcowy koszt zakupu.

Typowym błędem na tym poziomie jest traktowanie procentu jak zwykłej kwoty i odejmowanie go bezpośrednio od ceny (na przykład zapisywanie działania 80 zł − 15% jako 80 − 15 = 65 zł). Trudność sprawia pamiętanie, że procent zawsze odnosi się do konkretnej wartości i najpierw należy wyliczyć ułamek z danej liczby.

Zadania ćwiczące tę umiejętność bazują na szablonach Zwiększ o procent oraz Zmniejsz o procent. Uczeń rozwiązuje proste problemy rachunkowe, w których otrzymuje cenę wyjściową oraz informację o zmianie (np. towar kosztujący 120 zł przeceniono o 20%) i wyznacza nową, ostateczną cenę po rabacie lub doliczeniu marży.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Zmniejsz o procent · Zwiększ o procent

Mnożenie przez nawias i wyłączanie przed nawias

Uczeń uczy się mnożyć jednomian przez sumę w nawiasie oraz wyłączać wspólny czynnik przed nawias w wyrażeniach o współczynnikach całkowitych.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.5 mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych
Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.6 wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

W klasie 7 uczeń wykonuje podstawowe przekształcenia algebraiczne na liczbach całkowitych. Opanowuje mnożenie jednomianu przez sumę składającą się z co najwyżej trzech jednomianów oraz operację odwrotną: wyłączanie wspólnego jednomianu przed nawias z sumy złożonej z dwóch jednomianów.

Najczęstszym błędem przy mnożeniu przez nawias jest pomnożenie tylko pierwszego wyrazu i pozostawienie reszty bez zmian lub pomyłka w znakach przy mnożeniu przez liczbę ujemną. Z kolei podczas wyłączania przed nawias trudność sprawia sytuacja, w której jeden ze składników jest identyczny z wyłączanym czynnikiem — uczniowie często pomijają go lub wpisują zero zamiast liczby 1.

Do regularnych ćwiczeń służą szablony Mnożenie jednomianu przez sumę oraz Wyłączanie czynnika przed nawias. Zadania polegają na rozpisaniu iloczynu i uproszczeniu zapisów z literami lub na odnalezieniu największego wspólnego dzielnika liczb oraz wspólnej części literowej i zapisaniu wyrażenia w postaci iloczynu.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Mnożenie jednomianu przez sumę · Wyłączanie czynnika przed nawias

Obliczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych

Uczeń oblicza dokładne wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb wymiernych oraz wyznacza ich przybliżenia za pomocą kalkulatora.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.7 oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

W klasie 7 uczeń uczy się wyznaczać dokładne wartości pierwiastków kwadratowych oraz sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych. Oznacza to sprawne operowanie na liczbach całkowitych, ułamkach zwykłych oraz dziesiętnych. W przypadku liczb, z których nie da się wyciągnąć dokładnego pierwiastka wymiernego, uczeń korzysta z kalkulatora, aby podać ich wartość przybliżoną.

Typowym błędem na tym etapie jest mylenie pierwiastkowania z dzieleniem przez stopień pierwiastka — na przykład traktowanie pierwiastka kwadratowego jako dzielenia przez 2 (błędne uznanie, że pierwiastek z 16 to 8 zamiast 4) lub pierwiastka sześciennego jako dzielenia przez 3. Uczniowie miewają również kłopot z prawidłowym określaniem znaku wyniku przy pierwiastkach trzeciego stopnia z liczb ujemnych.

W praktyce ćwiczenia opierają się na szablonach Oblicz pierwiastek kwadratowy oraz Oblicz pierwiastek sześcienny. Zadania polegają na bezpośrednim wyznaczeniu liczby, która podniesiona odpowiednio do drugiej lub trzeciej potęgi daje wartość zapisaną pod symbolem pierwiastka.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Oblicz pierwiastek kwadratowy · Oblicz pierwiastek sześcienny

Potęgowanie liczb całkowitych i ułamków

Uczeń oblicza wartości potęg o wykładnikach naturalnych dla liczb całkowitych oraz ułamków zwykłych i dziesiętnych.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.3 oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

W klasie 7 uczeń uczy się podnosić liczby wymierne — w tym liczby całkowite dodatnie i ujemne oraz ułamki — do potęg o wykładnikach naturalnych (takich jak druga, trzecia czy czwarta potęga). Rozumie potęgowanie jako wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie i sprawnie ustala znak wyniku w zależności od tego, czy wykładnik jest parzysty, czy nieparzysty.

Częstym błędem na tym etapie jest mylenie potęgowania ze zwykłym mnożeniem podstawy przez wykładnik (na przykład liczenie 3² = 6 zamiast 9). Przy potęgowaniu ułamków zwykłych uczniowie nierzadko podnoszą do potęgi jedynie licznik, pozostawiając mianownik bez zmian, co prowadzi do błędnego wyniku.

W praktyce uczeń spotyka się z zadaniami opartymi na dwóch szablonach:

  • Oblicz potęgę liczby całkowitej — polegającymi na wyznaczeniu wartości potęg liczb dodatnich i ujemnych,
  • Oblicz potęgę ułamka — wymagającymi poprawnego podniesienia do potęgi ułamka zwykłego lub dziesiętnego.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Oblicz potęgę liczby całkowitej · Oblicz potęgę ułamka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych ze znakiem

Uczeń sprawnie dodaje i odejmuje dodatnie oraz ujemne ułamki dziesiętne, prawidłowo ustalając znak wyniku.

Punkt podstawy MAT.IV-VI.1.32 wykonuje nieskomplikowane rachunki, w których występują liczby wymierne

W klasie 7 uczeń wykonuje nieskomplikowane rachunki na liczbach wymiernych, skupiając się na dodawaniu i odejmowaniu ułamków dziesiętnych ze znakiem – zarówno liczb dodatnich, jak i ujemnych.

Typowym błędem na tym etapie jest mylenie reguł ustalania znaku wyniku. Uczniowie często gubią się przy odejmowaniu liczby ujemnej (gdzie dwa minusy zamieniają się w dodawanie) lub błędnie zakładają, że suma dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni. Trudność sprawia również jednoczesne kontrolowanie znaku i precyzyjne przeliczanie części dziesiętnych.

Praktyczne ćwiczenia wykorzystują szablony zadań: Dodawanie ułamków dziesiętnych ze znakiem oraz Odejmowanie ułamków dziesiętnych ze znakiem. Zadania polegają na bezpośrednim obliczeniu wartości pojedynczych wyrażeń arytmetycznych, takich jak na przykład –2,4 + 1,1 czy 0,5 – (–1,3).

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Dodawanie ułamków dziesiętnych ze znakiem · Odejmowanie ułamków dziesiętnych ze znakiem

Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych

Uczeń wykonuje nieskomplikowane rachunki na liczbach wymiernych, poprawnie stosując reguły znaków przy mnożeniu i dzieleniu liczb ujemnych.

Punkt podstawy MAT.IV-VI.1.32 wykonuje nieskomplikowane rachunki, w których występują liczby wymierne

Na tym etapie uczeń wykonuje proste rachunki na liczbach wymiernych, skupiając się na opanowaniu reguł ustalania znaku wyniku. Sprawnie mnoży oraz dzieli liczby dodatnie i ujemne, oddzielając decyzję o znaku końcowym od samego rachunku na wartościach liczbowych.

Najczęstszym błędem jest przenoszenie reguł mnożenia na dodawanie. Uczniowie pamiętają hasło, że „dwa minusy dają plus”, i błędnie stosują je przy sumowaniu liczb ujemnych. Zdarza się również gubienie znaku minus w sytuacji, gdy mnożona lub dzielona jest jedna liczba ujemna i jedna dodatnia.

Zadania ćwiczące tę umiejętność bazują na szablonach Mnożenie liczb ujemnych oraz Dzielenie liczb ujemnych. Mają one formę bezpośrednich działań arytmetycznych, w których uczeń wylicza iloczyny i ilorazy par liczb o takich samych lub przeciwnych znakach.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Dzielenie liczb ujemnych · Mnożenie liczb ujemnych

Obliczanie długości okręgu i pola koła

Uczeń oblicza długość okręgu oraz pole koła na podstawie podanego promienia lub średnicy, poprawnie stosując liczbę pi.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.3.7 oblicza długość okręgu i pole koła

W klasie 7 uczeń poznaje sposoby wyznaczania obwodu okręgu oraz powierzchni koła. Wykorzystuje do tego wzory wiążące te wielkości z promieniem lub średnicą figury oraz liczbą π. Wynik zapisuje w postaci dokładnej (z symbolem liczby π) lub oblicza wartość przybliżoną, podstawiając za π na przykład 3,14.

Najczęstszą trudnością jest mylenie wzorów: uczniowie nierzadko podwajają promień zamiast podnosić go do kwadratu przy obliczaniu pola. Typowym potknięciem bywa również bezpośrednie wstawianie do wzoru podanej w treści średnicy zamiast promienia koła.

Zadania w szablonach Długość okręgu oraz Pole koła polegają na prostym obliczeniu obwodu lub pola na podstawie długości promienia bądź średnicy, a także na działaniach odwrotnych – wyznaczaniu promienia figury, gdy znana jest już jej długość albo pole powierzchni.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Długość okręgu · Pole koła

Mnożenie dwumianów

Uczeń uczy się mnożyć przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych i zapisywać wynik w uporządkowanej postaci.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.7 mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

W klasie 7 uczeń wykonuje mnożenie dwóch dwumianów, w których występują wyłącznie współczynniki całkowite (zarówno dodatnie, jak i ujemne). Opanowuje regułę mnożenia każdego wyrazu z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu, zaczynając od prostszych postaci typu (x + a)(x + b).

Typowym błędem jest pomijanie wyrazów pośrednich – uczniowie nierzadko mnożą wyłącznie pierwsze elementy ze sobą i drugie ze sobą, podając błędny wynik (na przykład zapisując (x + 2)(x + 3) jako x² + 6 zamiast uwzględnić wszystkie cztery iloczyny). Częstym problemem jest też gubienie znaków, zwłaszcza gdy w dwumianie pojawia się odejmowanie i trzeba pomnożyć przez siebie dwie liczby ujemne.

W praktyce zadania bazują na szablonach Mnożenie dwumianów (x + a)(x + b) oraz Mnożenie dwumianów. Uczeń otrzymuje iloczyn dwóch wyrażeń w nawiasach, rozpisuje go na sumę pojedynczych iloczynów, dba o właściwe znaki plus i minus, a na koniec redukuje wyrazy podobne.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Mnożenie dwumianów (x + a)(x + b) · Mnożenie dwumianów

Redukcja wyrazów podobnych w wyrażeniach

Uczeń uczy się porządkować jednomiany oraz dodawać i odejmować wyrazy podobne o współczynnikach całkowitych w wyrażeniach z jedną lub dwiema zmiennymi.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.3 porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych
Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.4 dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

W klasie 7 uczeń uczy się upraszczać sumy algebraiczne, sprawnie rozpoznając w nich jednomiany o takich samych literach. Dziecko porządkuje zapisane jednomiany oraz dodaje i odejmuje wyrazy podobne o współczynnikach całkowitych, pracując na zapisach z jedną zmienną lub z dwiema różnymi zmiennymi.

Najczęstszym błędem jest gubienie znaku minus stojącego przed danym jednomianem oraz łączenie wyrazów, które różnią się zmiennymi lub ich potęgami. Dzieci miewają też trudność z jednomianami bez widocznej cyfry z przodu, zapominając, że zapis x oznacza współczynnik 1, a -x odpowiada liczbie -1.

W praktyce uczeń ćwiczy tę umiejętność na szablonach Redukcja wyrazów podobnych oraz Redukcja wyrazów podobnych z dwiema zmiennymi. Zadania polegają na przekształceniu rozbudowanego wyrażenia do możliwie najkrótszej postaci poprzez zsumowanie współczynników przy identycznych literach i osobne dodanie wyrazów wolnych.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Redukcja wyrazów podobnych · Redukcja wyrazów podobnych z dwiema zmiennymi

Wyznaczanie liczby na podstawie jej procentu

Uczeń uczy się odtwarzać całą wielkość, znając jedynie wartość jej fragmentu oraz odpowiadający mu procent.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.1.c liczbę na podstawie danego jej procentu

W klasie 7 uczeń potrafi wyznaczyć całą początkową wartość (100%), mając informację o jej części i odpowiadającym jej procencie. Do rozwiązania problemu stosuje zamianę procentu na ułamek i wykonanie dzielenia, metodę proporcji lub etap pośredni: najpierw ustala, ile wynosi 1% danej wielkości, a następnie mnoży otrzymany wynik przez 100.

Typowy błąd polega na pomyleniu tego działania z obliczaniem procentu z danej liczby. Zamiast dzielić wartość przez procent, uczeń mechanicznie mnoży podane wielkości — na przykład na pytanie o liczbę, której 20% wynosi 40, odpowiada 8 (obliczając 20% z 40) zamiast poprawnego 200. Częstą trudnością jest także pomijanie zamiany procentu na ułamek przed wykonaniem dzielenia.

W zadaniach z szablonu Liczba z danego procentu uczeń mierzy się z poleceniami typu „Znajdź liczbę, której 15% to 45” lub z prostymi zadaniami z kontekstem praktycznym, w których należy odtworzyć początkową pensję, trasę wycieczki czy łączną pojemność zbiornika na podstawie informacji o ich zrealizowanej części.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga

Uczeń uczy się porównywać dwie wielkości i zapisywać ich wzajemny stosunek w postaci procentu, sprawdzając, jaką część całości stanowi dana liczba.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.1.a jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

W klasie 7 uczeń uczy się porównywać dwie wartości i wyrażać ich relację w procentach. Rozwiązanie polega na ułożeniu ilorazu dwóch liczb w postaci ułamka (gdzie badana część trafia do licznika, a wielkość stanowiąca punkt odniesienia do mianownika), a następnie zamianie tego ułamka na procent — poprzez rozszerzenie do mianownika 100 lub pomnożenie przez 100%.

Najczęstszym błędem na tym etapie jest zamiana licznika z mianownikiem. Uczniowie mają tendencję do automatycznego dzielenia większej liczby przez mniejszą, aby uniknąć ułamka mniejszego od 1. Przykładowo, odpowiadając na pytanie, jakim procentem liczby 40 jest 8, potrafią podzielić 40 przez 8, zamiast poprawnie wyznaczyć ułamek 8/40 i przekształcić go na 20%.

W zadaniach przygotowanych na podstawie szablonu Jakim procentem jest liczba? uczeń spotyka się z poleceniami wymagającymi bezpośredniego obliczenia relacji między dwiema liczbami (np. ustalenie, jaki procent całości stanowi podana część) oraz z prostymi sytuacjami praktycznymi, takimi jak obliczanie procentu obecnych osób w grupie czy zdobytych punktów na teście.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie mediany zestawu danych

Uczeń porządkuje zestaw danych liczbowych i wyznacza jego medianę, także w kontekście prostych danych finansowych.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.4.4 stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

W klasie 7 uczeń uczy się wyznaczać medianę podanego zestawu danych liczbowych, także w kontekstach praktycznych i finansowych (np. dotyczących cen czy oszczędności). Aby wskazać tę wartość środkową, dziecko porządkuje liczby niemalejąco: przy nieparzystej liczbie elementów wskazuje liczbę znajdującą się dokładnie pośrodku, a przy parzystej – oblicza średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyników.

Typowym błędem na tym etapie jest szukanie środkowej liczby bezpośrednio w nieposortowanym zapisie, bez wcześniejszego ułożenia liczb od najmniejszej do największej. Uczniowie miewają również kłopot w sytuacji, gdy zestaw ma parzystą liczbę danych – zamiast obliczyć średnią z pary środkowych liczb, podają obie naraz lub wybierają jedną z nich.

Zadania z szablonu Podaj medianę polegają na odczytaniu zestawu liczb, uporządkowaniu go i poprawnym wyznaczeniu wartości środkowej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Potęgi o wykładnikach ujemnych

Uczeń uczy się zamieniać potęgi o ujemnym wykładniku całkowitym na odpowiednie potęgi z wykładnikiem naturalnym, korzystając z odwrotności liczby potęgowanej.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.4 zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

W klasie 7 uczeń opanowuje przekształcanie potęg, w których wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną. Zadanie polega na zamianie takiego zapisu na potęgę o wykładniku naturalnym – poprzez wyznaczenie liczby odwrotnej do podstawy i opuszczenie znaku minus w wykładniku.

Częstym błędem na tym etapie jest traktowanie minusa w wykładniku jako znaku ujemnego dla całego wyniku lub mylenie potęgowania z mnożeniem. Uczniowie nierzadko przypisują wynikowi wartość ujemną zamiast zamienić liczbę potęgowaną na jej odwrotność.

Zadania oparte na szablonie Potęga o wykładniku ujemnym wymagają od ucznia przekształcenia podanego wyrażenia liczbowego w postać z wykładnikiem naturalnym, a następnie obliczenia jego ostatecznej wartości.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Działania na potęgach i brakujące wykładniki

Uczeń stosuje reguły mnożenia i dzielenia potęg o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, aby wyznaczyć brakujące liczby w równościach.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.5 stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

W klasie 7 dziecko uczy się sprawnie korzystać z praw działań na potęgach o podstawach naturalnych oraz wykładnikach całkowitych. Na tym etapie uczeń łączy reguły dotyczące mnożenia i dzielenia potęg o takich samych podstawach z wiedzą o liczbach ujemnych, przekształcając zapisy bez konieczności mozolnego wymnażania dużych wartości.

Najczęstszym problemem bywa mylenie dodawania wykładników z ich mnożeniem podczas mnożenia potęg o jednakowych podstawach. Dodatkową trudność sprawiają wykładniki ujemne – przy dzieleniu potęg uczniowie nierzadko zapominają, że odjęcie liczby ujemnej daje w efekcie dodawanie, co prowadzi do błędnego znaku w ostatecznym wyniku.

W praktyce, korzystając z kart pracy Brakujący wykładnik — działania na potęgach, uczeń rozwiązuje równości z pojedynczym pustym miejscem. Zadanie polega na przeanalizowaniu działania (np. iloczynu lub ilorazu potęg) i wpisaniu takiej liczby całkowitej w wykładniku, aby lewa strona równania była równa prawej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Podział proporcjonalny na dwie lub trzy części

Uczeń uczy się dzielić daną wielkość na dwie lub trzy części zgodnie z podanym stosunkiem, rozwiązując praktyczne zadania z życia codziennego.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.10 rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

W klasie 7 uczeń uczy się rozdzielać określoną wielkość na dwie lub trzy części w zadanym stosunku liczbowym (na przykład 2 : 3 lub 1 : 2 : 4). Stosuje tę umiejętność w kontekście praktycznym, wyznaczając konkretne wartości dla każdej z części na podstawie ich wzajemnej relacji.

Częstym błędem jest dzielenie wyjściowej liczby przez poszczególne wyrazy stosunku zamiast przez ich sumę. Uczeń próbuje na przykład podzielić kwotę w stosunku 2 : 3, dzieląc ją bezpośrednio przez 2 lub 3, zamiast ustalić najpierw, że całość składa się z 5 równych części i obliczyć wartość jednego takiego udziału.

W praktyce, korzystając z szablonu Podział w danym stosunku, uczeń mierzy się z zadaniami tekstowymi, w których dzieli m.in. sumy pieniędzy, masy składników czy długości odcinków, obliczając dokładną wielkość każdej z wydzielonych części.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Uczeń uczy się upraszczać pierwiastki kwadratowe i sześcienne poprzez rozkład liczby podpierwiastkowej i wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.9 stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

W klasie 7 uczeń uczy się upraszczać zapis pierwiastków kwadratowych oraz sześciennych. Korzystając z własności działań na pierwiastkach, rozkłada liczbę pod znakiem pierwiastka na iloczyn takich czynników, z których jeden jest pełnym kwadratem (np. 4, 9, 16, 25) lub sześcianem (np. 8, 27), a następnie oblicza z niego pierwiastek i zapisuje wynik przed symbolem pierwiastkowania.

Częstym błędem jest przepisywanie znalezionego czynnika przed znak pierwiastka bez wyciągnięcia z niego pierwiastka — na przykład zapisanie, że √12 to 4√3 zamiast 2√3. Zdarza się również mylenie stopnia pierwiastka, czyli szukanie kwadratów liczb w pierwiastkach sześciennych.

Zadania z szablonu Wyłącz czynnik przed pierwiastek polegają na doprowadzeniu podanego pierwiastka do najprostszej postaci, na przykład zamianie √50 na 5√2 czy ∛24 na 2∛3.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szacowanie wartości pierwiastków

Uczeń uczy się określać przybliżoną wartość pierwiastka i wskazywać, między jakimi dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi się on znajduje.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.8 szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

W klasie 7 uczeń rozwija umiejętność szacowania wartości pierwiastków, które nie dają w wyniku liczby całkowitej. Dziecko nie musi wyliczać dokładnego rozwinięcia dziesiętnego – uczy się ograniczać dany pierwiastek z dołu i z góry za pomocą znanych kwadratów liczb naturalnych, na przykład określając, że wartość √20 mieści się między 4 a 5.

Typowym błędem na tym etapie jest mylenie pierwiastkowania z dzieleniem przez dwa. Uczniowie próbują wówczas szacować wartość √50 jako zbliżoną do 25, zamiast odwołać się do najbliższych pełnych kwadratów (49 i 64) i zauważyć, że wynik wynosi niewiele ponad 7.

W praktyce, korzystając z kart pracy z szablonu Oszacuj pierwiastek, uczeń mierzy się z zadaniami, w których wpisuje dwie sąsiednie liczby całkowite otaczające dany pierwiastek lub wskazuje, do której z nich badanej liczbie jest bliżej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Zapisywanie i porównywanie liczb w notacji wykładniczej

Uczeń uczy się zapisywać liczby w notacji wykładniczej oraz porównywać wielkości przedstawione w tej postaci.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.6 zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

W klasie 7 uczeń opanowuje zapis liczb w notacji wykładniczej, czyli w postaci iloczynu liczby mieszczącej się w przedziale od 1 do 10 (z wyłączeniem 10) oraz potęgi liczby 10. Na tym etapie dziecko uczy się przekształcać liczby do tej postaci, odczytywać je oraz poprawnie porównywać pary lub ciągi wielkości zapisanych w ten sposób.

Częstym problemem jest pomijanie warunku dotyczącego pierwszego czynnika. Uczniowie tworzą zapisy typu 45 · 10³ zamiast 4,5 · 10⁴, błędnie uznając każdy iloczyn z potęgą dziesiątki za notację wykładniczą. Drugim typowym błędem przy porównywaniu jest sugerowanie się wyłącznie pierwszą liczbą zamiast wykładnikiem potęgi – uczeń potrafi ocenić 7,2 · 10³ jako wartość większą niż 1,5 · 10⁵, patrząc jedynie na to, że 7,2 jest większe od 1,5.

Zadania z szablonu Notacja wykładnicza obejmują zamianę liczb zapisanych tradycyjnie na notację wykładniczą i odwrotnie. Uczeń trenuje również porównywanie wielkości: wskazuje liczbę większą, wstawia odpowiedni znak relacji między dwoma zapisami lub porządkuje zestaw kilku liczb od najmniejszej do największej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie równań z niewiadomą po obu stronach

Uczeń uczy się rozwiązywać równania pierwszego stopnia, w których litera oznaczająca niewiadomą występuje zarówno po lewej, jak i po prawej stronie znaku równości.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.11 rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

W klasie 7 uczeń opanowuje rozwiązywanie równań pierwszego stopnia, w których ta sama niewiadoma występuje po obu stronach. Dziecko uczy się sprowadzać taki zapis do prostszej postaci za pomocą obustronnego dodawania lub odejmowania wyrazów z niewiadomą oraz samych liczb, tak aby ostatecznie uporządkować niewiadome po jednej stronie, a wartości liczbowe po drugiej.

Typowym problemem na tym etapie są błędy w znakach (plus i minus) podczas wykonywania działań na obu stronach równania. Uczniowie często zapominają o zmianie znaku przy przenoszeniu wyrażenia lub mylą kolejność działań, a także podejmują próby dodawania liczb do wyrazów z niewiadomą (np. traktując zapis 3x + 5 jako 8x).

W praktyce, korzystając z szablonu Równanie z niewiadomą po obu stronach, uczeń otrzymuje zapisane równanie liniowe (np. 5x + 3 = 2x + 12). Zadanie polega na wykonaniu przekształceń krok po kroku, wyznaczeniu wartości niewiadomej i podaniu ostatecznego wyniku liczbowego.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie

Uczeń sprawdza, czy podana liczba całkowita lub wymierna spełnia równanie, podstawiając ją w miejsce niewiadomej i porównując wartości obu stron.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.10 sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego
Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.9 sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

W klasie 7 uczeń uczy się weryfikować poprawność rozwiązania bez konieczności przekształcania całego równania. Sprawdza, czy wskazana liczba całkowita spełnia równanie z jedną niewiadomą (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego), a także czy dana liczba wymierna — w tym ułamek zwykły lub dziesiętny — jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego.

Typowy błąd wynika z nieuwagi przy kolejności wykonywania działań oraz operacjach na znakach, zwłaszcza podczas podstawiania liczb ujemnych. Uczniowie często zapominają o nawiasach przy potęgowaniu liczby ujemnej (myląc np. (-3)² z -3²) lub mylą znaki przy mnożeniu przez minus. Często zdarza się też, że uczeń wykonuje rachunki tylko dla jednej strony równania, zamiast obliczyć osobną wartość lewej i prawej strony, by sprawdzić, czy zachodzi równość L = P.

Zadania oparte na szablonie Czy liczba jest rozwiązaniem równania? polegają na podstawieniu podanej liczby do zapisanego wzoru i wykonaniu rachunków. Uczeń zapisuje obliczenia dla lewej oraz prawej strony i na tej podstawie formułuje jednoznaczną odpowiedź, czy testowana liczba rzeczywiście spełnia podany warunek.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie równań w dwóch krokach (ax + b = c)

Uczeń rozwiązuje równania pierwszego stopnia w postaci ax + b = c, wykonując kolejno odejmowanie lub dodawanie, a następnie dzielenie przez współczynnik przy niewiadomej.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.11 rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

W klasie 7 uczeń uczy się wyznaczać niewiadomą z równania pierwszego stopnia o postaci ax + b = c. Opanowuje schemat dwóch kolejnych kroków: najpierw obustronnie dodaje lub odejmuje wyraz wolny, a w drugim kroku dzieli obie strony równania przez liczbę stojącą przy niewiadomej.

Typowym błędem na tym etapie jest odwrócenie kolejności wykonywanych przekształceń – próba dzielenia przez współczynnik a przed pozbyciem się liczby b, co często skutkuje błędnym pominięciem dzielenia wyrazu wolnego. Uczniowie miewają również trudności ze znakami, myląc działanie przeciwne (np. dodawanie zamiast odejmowania) przy redukowaniu liczb z lewej strony równania.

Zadania z szablonu Równanie ax + b = c zawierają konkretne równanie liczbowe, na przykład 3x + 5 = 26 lub 4x - 7 = 13. Zadaniem ucznia jest wykonanie i zapisanie przekształceń krok po kroku oraz podanie ostatecznej wartości niewiadomej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Uczeń wstawia podane liczby całkowite w miejsce liter w wyrażeniu złożonym z co najwyżej trzech jednomianów i oblicza jego końcowy wynik.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.2.2 oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

Na tym etapie nauki uczeń zastępuje litery w wyrażeniu konkretnymi liczbami całkowitymi — dodatnimi, ujemnymi lub zerem. Zgodnie z wymaganiami dla klas 7–8 stopień skomplikowania takich zapisów jest ograniczony do sumy co najwyżej trzech jednomianów, co oznacza wykonywanie podstawień w formułach o prostej strukturze (na przykład z jedną lub dwiema zmiennymi).

Typowy błąd pojawia się w momencie wstawiania liczb ujemnych. Uczniowie często zapominają o ujęciu podstawianej liczby ujemnej w nawias, przez co mylą zapisy takie jak (-3)² z -3², albo gubią minusy przy odejmowaniu liczby ujemnej czy mnożeniu jej przez ujemny współczynnik jednomianu.

W zadaniach opartych na szablonie „Wartość wyrażenia algebraicznego” dziecko otrzymuje gotowe wyrażenie oraz zestaw liczb przypisanych do poszczególnych liter. Praca polega na poprawnym zastąpieniu symboli liczbami całkowitymi, wykonaniu potęgowania, mnożenia i dodawania w odpowiedniej kolejności oraz zapisaniu końcowego wyniku.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie odsetek od lokaty rocznej

Uczeń uczy się obliczać kwotę odsetek dopisywanych po roku oszczędzania oraz łączną sumę pieniędzy na koncie przy zadanym oprocentowaniu lokaty.

Punkt podstawy MAT.VII-VIII.1.2 stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

W klasie 7 uczeń wykorzystuje obliczenia procentowe w praktycznym kontekście finansowym, wyliczając zysk z rocznej lokaty bankowej. Dziecko oblicza procent z wpłaconej kwoty (kapitału początkowego), aby ustalić wysokość należnych odsetek oraz końcowy stan oszczędności po upływie pełnego roku.

Najczęstszym błędem jest mylenie kwoty samych odsetek z całkowitą kwotą na koncie — uczeń poproszony o stan oszczędności po roku podaje jedynie wyliczony zysk, zapominając o dodaniu wpłaconego kapitału. Często pojawia się też pomyłka przy zamianie stopy procentowej na ułamek dziesiętny, na przykład potraktowanie 4% jako 0,4 zamiast 0,04.

W zadaniach z szablonu Odsetki od lokaty uczeń analizuje konkretne sytuacje finansowe: mając podaną kwotę wpłaconą do banku oraz roczne oprocentowanie, oblicza, jaką kwotę bank dopisze do kapitału po dwunastu miesiącach.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Twierdzenie Pitagorasa i trójkąty prostokątne

Obliczanie prawdopodobieństwa w prostych losowaniach

Obliczanie cen po podwyżce i obniżce o procent

Mnożenie przez nawias i wyłączanie przed nawias

Obliczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych

Potęgowanie liczb całkowitych i ułamków

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych ze znakiem

Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych

Obliczanie długości okręgu i pola koła

Mnożenie dwumianów

Redukcja wyrazów podobnych w wyrażeniach

Wyznaczanie liczby na podstawie jej procentu

Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga

Wyznaczanie mediany zestawu danych

Potęgi o wykładnikach ujemnych

Działania na potęgach i brakujące wykładniki

Podział proporcjonalny na dwie lub trzy części

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Szacowanie wartości pierwiastków

Zapisywanie i porównywanie liczb w notacji wykładniczej

Rozwiązywanie równań z niewiadomą po obu stronach

Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie

Rozwiązywanie równań w dwóch krokach (ax + b = c)

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Obliczanie odsetek od lokaty rocznej

Wygeneruj arkusz z tego zakresu