Mathematik — Klasse 5

In der 4. Klasse (CM2) lernen die Schülerinnen und Schüler, die Fläche ebener Figuren zu bestimmen oder zu vergleichen, indem sie eine Oberfläche mit einer regelmäßigen Parkettierung aus Einheitsquadraten oder Quadratzentimetern ausmessen. Sie üben, den belegten Raum zu quantifizieren, indem sie die Kästchen eines Rechtecks oder einer aus mehreren Rechtecken zusammengesetzten Fläche zählen, aber auch, diese Anzahl mit den Seitenlängen in Beziehung zu setzen, um eine fehlende Länge zu ermitteln.

Eine häufige Verwechslung bei Schülerinnen und Schülern besteht darin, Umfang und Flächeninhalt zu vermischen, indem sie den Rand einer Figur zählen statt der Anzahl der inneren Kästchen. Fehler treten außerdem auf, wenn sich die Bezugseinheit ändert – etwa wenn ein bestimmtes Kästchen zwei Quadrate des Rasters überdeckt – oder wenn eine unvollständige Fläche abgeschätzt werden soll, ohne dieselben Felder doppelt zu zählen.

Schriftlich arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit gerasterten Darstellungen anhand sehr konkreter Aufgabenstellungen:

• zählen, wie viele Kästchen eine Figur bedecken, oder bestimmen, wie viele fehlen, um sie zu vervollständigen;
• zwei Flächen vergleichen, um zu berechnen, um wie viele Kästchen eine Fläche größer ist als eine andere;
• ein Rechteck mit vorgegebenem Flächeninhalt zeichnen oder die Länge einer Seite aus dem Gesamtflächeninhalt berechnen.

In der 5. Klasse festigt die Schülerin bzw. der Schüler das Verständnis der Beziehungen zwischen Addition und Subtraktion, indem sie bzw. er lernt, in einer Gleichung mit Lücke die fehlende Zahl zu finden. Es geht nicht mehr nur darum, ein Ergebnis zu berechnen, das nach dem Gleichheitszeichen „=“ steht, sondern darum, Rechnungen zu bearbeiten, bei denen die Unbekannte, dargestellt durch ein Kästchen, am Anfang, in der Mitte oder innerhalb einer Summe aus drei Zahlen stehen kann.

Der häufigste Fehler besteht darin, die angezeigte Rechenoperation mechanisch anzuwenden, ohne die Struktur der Gleichung zu analysieren. Steht beispielsweise bei einer Subtraktion das Kästchen für die Anfangszahl, zieht die Schülerin bzw. der Schüler das Ergebnis oft von der bekannten Zahl ab, statt beides zu addieren, und verwechselt so die Suche nach dem Ganzen mit der Suche nach einem Teil.

In der Praxis werden die Aufgaben als Gleichungen zum direkten Vervollständigen gestellt, aber auch in visueller Form, etwa als Waage im Gleichgewicht, bei der man die Masse eines verdeckten Blocks ermitteln muss. Die Aktivitäten verlangen außerdem, zu bestimmen, wie viel man hinzufügen muss, um zwei Mengen gleich groß zu machen, herauszufinden, von welcher Zahl ein Summand abgezogen wurde, oder zwei Kästchen nacheinander auszufüllen.

In der 4. Klasse (CM2) beherrscht die Schülerin bzw. der Schüler die gebräuchlichen Zahlenfakten und kennt das Einmaleins bis 100 in beide Richtungen. Sie oder er kann das Ergebnis eines Produkts direkt angeben (zum Beispiel 8 × 7 = 56) oder einen fehlenden Faktor bestimmen, ohne die ganze Reihe neu aufschreiben zu müssen.

Zögern zeigt sich vor allem bei der umgekehrten Suche nach dem fehlenden Faktor (den fehlenden Wert in 6 × ... = 42 finden) oder bei Verwechslungen zwischen ähnlichen Ergebnissen. Bei Sachaufgaben besteht der häufige Fehler darin, einen überflüssigen Zahlenwert aus der Aufgabenstellung zu verwenden, statt die gleich großen Gruppen zu erkennen, die multipliziert werden müssen.

Die vorgeschlagenen Übungen ermöglichen es, diese Rechnungen in verschiedenen Situationen zu automatisieren:

• ein fehlendes Produkt oder einen fehlenden Faktor in einer Gleichung finden;
• eine Multiplikation überprüfen, um einen Fehler zu erkennen und zu korrigieren;
• zwei Rechnungen vergleichen, um festzustellen, welches Produkt größer ist, und den Unterschied berechnen;
• Punkte zählen, die in einer Tabelle angeordnet sind, oder eine Sachaufgabe mit einer unnötigen Angabe lösen.

In der Grundschule (CM2) lernt das Kind, systematisch alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorgangs oder Zufallsexperiments in zwei Schritten abzuzählen. Damit nichts dem Zufall überlassen bleibt, ordnet es die Möglichkeiten in einer geordneten Liste, einer zweifachen Tabelle oder einem Baumdiagramm der Wahlmöglichkeiten. So entdeckt es, wie man zwei oder drei Arten von Objekten kombiniert, indem man jedes Element der ersten Gruppe mit allen Elementen der anderen Gruppen verbindet.

Der häufigste Fehler besteht darin, ungeordnet vorzugehen und die Lösungen einfach so aufzuschreiben, wie sie gerade einfallen. Das Kind vergisst dann leicht einzelne Kombinationen, zählt dasselbe Paar mehrfach oder addiert einfach die Anzahl der Objekte, statt die Möglichkeiten miteinander zu multiplizieren.

In der Praxis bestehen die Aufgaben darin, alle möglichen Kombinationen von Kleidungsstücken oder Menüs aufzuschreiben (mit zwei oder drei Kategorien von Artikeln), die Anzahl der verbleibenden Paare zu berechnen, wenn ein Objekt wegfällt, oder zu bestimmen, aus wie vielen Elementen eine Menge besteht, wenn die Gesamtzahl der Paare bereits bekannt ist.

In der Klasse CM2 lernt die Schülerin bzw. der Schüler, ein Rechenprogramm auszuführen oder zu erstellen, das in Form einer Wertetabelle oder einer Maschine zum Umwandeln von Zahlen dargestellt ist. Indem sie oder er einer genauen Anweisung folgt (etwa einer Multiplikationsregel oder einer systematischen Subtraktion), berechnet sie oder er das Ergebnis für jeden Ausgangswert oder analysiert die ausgefüllten Spalten, um die gemeinsame Regel zu erraten.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn die Ausgangszahl aus dem Endergebnis ermittelt werden soll: Die Schülerin oder der Schüler neigt dazu, die direkte Operation erneut anzuwenden, statt ihre oder seine Umkehroperation zu verwenden (zum Beispiel subtrahieren statt addieren). Ein weiterer verbreiteter Fehler besteht darin, eine Regel zu bestätigen, nachdem nur eine einzige Zeile getestet wurde, ohne zu prüfen, ob sie für die gesamte Tabelle funktioniert.

In der Praxis bieten die Übungsblätter sehr konkrete Situationen:

• die Anweisung anwenden, um die leeren Felder auszufüllen (Choisis ce qui sort de la machine oder Une table qui enlève);
• den Anfangswert finden, indem man den Weg rückwärts geht (Quel nombre est entré dans la machine);
• die verborgene Operation erschließen oder eine Unstimmigkeit in den Ergebnissen erkennen (Table de correspondance : trouve la règle und Corrige l'erreur dans le tableau).

In der Klasse CM2 festigt die Schülerin bzw. der Schüler ihr bzw. sein Wissen über Körper, indem sie bzw. er gerade Prismen und Pyramiden genau beschreibt, ergänzend zu Würfel und Quader. Sie bzw. er verwendet eine präzise geometrische Fachsprache, um jede Figur zu charakterisieren: die Art ihrer Flächen bestimmen (Dreiecke, Rechtecke oder andere Vielecke) und ihre Gesamtzahl an Flächen, Ecken und Kanten ermitteln.

Der häufigste Fehler tritt beim Lesen einer flach dargestellten, perspektivischen Figur auf. Die Kinder neigen dazu, die verdeckten Kanten und Flächen zu vergessen, die gestrichelt dargestellt sind, oder die Grundfläche der Pyramide wegzulassen, indem sie nur die dreieckigen Seitenflächen zählen. Auch die Verwechslung von Ecke (ein Punkt) und Kante (eine Strecke) ist weit verbreitet.

Bei schriftlichen Aufgaben geht es darum, eine abgebildete Figur zu analysieren, um ihre Bestandteile zu zählen oder zu markieren (wie etwa in Kanten eines Körpers in einer Zeichnung oder Ecken eines Körpers in einer Zeichnung). Andere Aktivitäten führen das Kind dazu, ohne direkte visuelle Unterstützung zu argumentieren oder von einem gegebenen Körper auszugehen, indem es gezielte Fragen beantwortet: Wie viele Kanten hat das Prisma? oder Wie viele Flächen hat die Pyramide?

In der Klasse CM2 übt sich das Kind darin, Wahrscheinlichkeiten in vertrauten Zufallssituationen zu vergleichen. Ausgehend von einer endlichen Menge von Objekten betrachtet es die verschiedenen möglichen Ausgänge, um festzustellen, welches Ergebnis am ehesten oder am wenigsten wahrscheinlich eintritt, oder um eine Situation der Gleichwahrscheinlichkeit zu erkennen (wenn zwei Ereignisse gleich wahrscheinlich eintreten können).

Ein häufiger Fehler besteht darin, eine größere Wahrscheinlichkeit mit einer absoluten Sicherheit zu verwechseln, etwa wenn man glaubt, dass die Farbe, die am häufigsten vorkommt, bei der nächsten Ziehung auf jeden Fall gezogen wird. Die Kinder neigen außerdem dazu, Fälle von Gleichheit zu übersehen, weil sie unbedingt einen Gewinner finden wollen, oder ein Ereignis für unmöglich zu halten, nur weil es nur durch ein einziges Element vertreten ist.

Die Übungen stützen sich auf sehr anschauliche Materialien, etwa Ziehungen von farbigen Murmeln aus einem Beutel. Die konkreten Aktivitäten fordern das Kind auf:

• Zu bestimmen, was wahrscheinlicher ist, oder zu wählen, welche Chance größer ist, zwischen zwei Murmelfarben.
• Die Überlegung einer Figur zu analysieren, um anzugeben, ob sie die Chancen richtig verglichen hat, oder um ihren Fehler zu korrigieren.
• Den Inhalt eines Beutels zu ergänzen, damit eine Ziehung vorteilhafter, weniger wahrscheinlich oder vollkommen fair wird.

In der Grundschule (4. Klasse) festigen die Schülerinnen und Schüler das Lesen der Analoguhr. Sie lernen, die Uhrzeit genau abzulesen und Zeiger für eine bestimmte Uhrzeit in Stunden, Minuten und Sekunden einzustellen, wobei sie die Rollen des Stundenzeigers, des Minutenzeigers und des Sekundenzeigers klar voneinander unterscheiden.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn sich der Minutenzeiger der nächsten vollen Stunde nähert (zum Beispiel bei 6 Uhr 55): Da der Stundenzeiger bereits fast auf der 7 steht, neigt das Kind dazu, 7 Uhr 55 abzulesen. Ebenso vergessen die Lernenden manchmal, wenn sie die fehlende Zeit bis zur vollen Stunde berechnen sollen, dass eine Stunde 60 Minuten und nicht 100 Minuten hat.

Im Training verlangen die Übungen, die genau auf dem Ziffernblatt angezeigte Uhrzeit anzugeben, eine falsche Ablesung in einer Aufgabe vom Typ richtig oder falsch zu erkennen oder einen gegebenen Fehler zu korrigieren. Andere Aktivitäten fordern die Lernenden auf, mehrere Uhren zu vergleichen, um die früheste Uhrzeit zu bestimmen, oder die Anzahl der Minuten bis zur vollen Stunde zu berechnen.

In der Klasse CM2 lernen die Schülerinnen und Schüler, Zahlenangaben so zu ordnen, dass sie übersichtlich dargestellt werden. Sie können eine Tabelle ausfüllen, Summen pro Zeile oder pro Spalte berechnen, um eine Gesamtsumme zu erhalten, und die umgekehrte Operation ausführen: einen fehlenden Wert finden, wenn die Gesamtsumme bereits angegeben ist. Außerdem arbeiten sie mit visuellen Darstellungen wie Piktogrammen, bei denen ein und dasselbe Bild einer festen Menge entspricht, die größer als eins ist.

Der häufigste Fehler bei Piktogrammen besteht darin, den Maßstab zu vergessen und jede Zeichnung als einfache Einheit zu zählen, etwa indem man 4 statt 40 zählt, wenn das Symbol für 10 steht. Bei Zahlentabellen treten Verwechslungen oft beim Berechnen einer fehlenden Zeile auf: Die Schülerin oder der Schüler addiert die Gesamtsumme zu den anderen Angaben, statt die bekannten Werte abzuziehen.

Die vorgeschlagenen Übungen wenden diese Kompetenzen direkt an:

• die Summe der Elemente einer Erhebung berechnen (Wie viele insgesamt in der Tabelle oder Gesamtsumme der Tabelle: wähle die richtige Antwort);
• ein Ergebnis durch wahr oder falsch überprüfen;
• eine leere Zelle mithilfe einer Subtraktion finden (Die fehlende Zeile, wenn man die Gesamtsumme kennt);
• Mengen anhand einer Legende mit Zahlen zählen (Piktogramm: ein Bild steht für mehrere).

In der Klasse CM2 lernen die Schülerinnen und Schüler, Flächengrößen zu handhaben und umzuwandeln, vor allem mit dem Quadratzentimeter (cm²), dem Quadratdezimeter (dm²) und dem Quadratmeter (m²). Außerdem lernen sie die gebräuchlichen agrarischen Flächenmaße Ar und Hektar kennen und beschäftigen sich zugleich mit den ersten Umrechnungen in eine kleinere Volumeneinheit.

Die klassische Falle besteht darin, Flächen wie einfache Längen zu behandeln. Die Schülerinnen und Schüler vergessen häufig, dass zwischen zwei aufeinanderfolgenden Flächeneinheiten ein Verhältnis von 100 gilt (1 m² = 100 dm²). In einer Umwandlungstabelle reservieren sie oft nur eine einzige Spalte pro Einheit statt zwei, was dazu führt, dass sie mit 10 statt mit 100 multiplizieren oder dividieren.

In schriftlichen Aufgaben verlangen die Übungen gezielte Einheitenwechsel mithilfe präziser Arbeitsanweisungen:

• Rechne in eine größere oder kleinere Flächeneinheit um;
• Rechne die Ar in Quadratmeter um oder die Hektar in Ar;
• Rechne in eine kleinere Volumeneinheit um.

In der CM2 lernt das Kind, den Wert einer unbekannten Zahl zu bestimmen, die durch einen Buchstaben oder ein Symbol bezeichnet wird. Es stützt sich auf den Sinn der Rechenoperationen, um diesen fehlenden Term zu finden, insbesondere um multiplikative Gleichungen mit Lücken zu vervollständigen.

Der häufigste Fehler besteht darin, direkt die sichtbare Rechenoperation auszuführen, statt die Umkehroperation zu verwenden. Bei einer multiplikativen Gleichung kann ein Schüler versucht sein, die beiden vorhandenen Zahlen miteinander zu multiplizieren oder willkürlich zu subtrahieren, statt auf das Teilen oder die Division zurückzugreifen, um den fehlenden Faktor zu finden.

In den Übungsblättern wird das Kind unter der Anweisung Löse die Gleichung mit einer einfachen Gleichung konfrontiert, die eine Unbekannte enthält, und muss die passende Rechenoperation notieren, um das genaue Ergebnis zu finden.

Im CM2 lernen die Schülerinnen und Schüler, Additionen und Subtraktionen mit Brüchen durchzuführen, deren Nenner unterschiedlich sind. Für diese Rechnungen nutzen sie vor allem gemeinsame Vielfache, um die Schreibweisen umzuwandeln und vor dem Rechnen einen identischen Nenner zu erhalten.

Der häufigste Fehler besteht darin, Zähler und Nenner direkt untereinander zu addieren oder zu subtrahieren (zum Beispiel 1/2 + 1/4 = 2/6 zu schreiben). Das Kind wendet dann die Regel für ganze Zahlen an und vergisst, dass man nur Teile gleicher Größe zusammenfassen kann.

Im Training wechseln sich Aufgaben, die als Rechnung gestellt werden, etwa Addiere Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Subtrahiere Brüche mit unterschiedlichen Nennern, mit konkreten Sachkontexten im Problemmodell Wie viel insgesamt? Brüche mit unterschiedlichen Nennern ab.

In der 5. Klasse (CM2) festigen die Schülerinnen und Schüler das schriftliche Addieren und Subtrahieren in Spalten mit Dezimalzahlen. Im Kopfrechnen lernen sie, eine ganze Zahl zu einer Dezimalzahl zu addieren oder von ihr zu subtrahieren (mit oder ohne Übertrag), sowie zwei Dezimalzahlen unter 10 zu addieren, die höchstens eine Stelle nach dem Komma haben.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Zahlen wie bei ganzen Zahlen rechtsbündig untereinanderzuschreiben, statt die Kommas untereinanderzusetzen. Ein Schüler oder eine Schülerin addiert dann Zehntel mit Hundertsteln oder Einern, wodurch der Stellenwert der Ziffern und die Position des Kommas im Ergebnis verfälscht werden.

Beim Üben sollen die Aufgaben dazu anregen, Additionen oder Subtraktionen von Dezimalzahlen schriftlich anzuordnen und zu lösen, aber auch diese Rechenoperationen in Messkontexten anzuwenden, zum Beispiel beim Addieren von Massen, die in Dezimalschreibweise angegeben sind.

In der Grundschule (CM2) festigt die Schülerin bzw. der Schüler das Rechnen mit Dezimalzahlen, indem Dezimalzahlen mit 10, 100 oder 1 000 multipliziert und dividiert werden. Außerdem werden die Multiplikation mit 0,1, 0,01 und 0,001 behandelt und dabei der direkte Zusammenhang zur Division hergestellt. Es geht darum, die Stellenwertverschiebung jeder Ziffer in der Dezimalschreibweise zu verstehen: Beim Multiplizieren mit 100 erhält jede Ziffer einen hundertmal größeren Wert, während das Dividieren durch 10 sie zehnmal kleiner macht.

Der klassische Fehler besteht darin, den von ganzen Zahlen bekannten Reflex zu übertragen, am Ende eine Null anzuhängen, was zu 3,4 × 10 = 3,40 statt 34 führt. Auch Verwechslungen der Richtung sind häufig: Das Komma wird bei einer Division nach rechts statt nach links verschoben, oder es fällt schwer, Nullen zu ergänzen, um leere Stellen zu markieren, wie etwa bei 0,5 ÷ 10 = 0,05.

Auf den Übungsblättern erfolgt diese Arbeit in Form von Reihen zum Kopfrechnen oder schriftlichen Rechnen und umfasst drei Arten von Aktivitäten:

• Multipliziere mit 10, 100, 1000, um das Komma nach rechts zu verschieben (zum Beispiel 7,25 × 100);
• Dividiere durch 10, 100, 1000, um die Größenordnungen zu verkleinern (zum Beispiel 83,4 ÷ 10);
• Multipliziere mit 0,1, 0,01, 0,001, um dasselbe Verfahren wie bei der Division anzuwenden und eine größere Flexibilität beim Rechnen zu erwerben.

In der CM2 (4. Klasse) arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit Längeneinheiten vom Millimeter (mm) bis zum Kilometer (km). Sie nutzen die Beziehungen zwischen diesen Größen (etwa dass ein Meter 100 Zentimeter entspricht oder ein Kilometer 1 000 Meter), um Angaben je nach Anforderung einer Aufgabe von einer Einheit in eine andere umzurechnen.

Schwierigkeiten entstehen häufig beim Übergang zu einer größeren Einheit: Die Lernenden verwechseln manchmal den Umrechnungsschritt und multiplizieren statt zu dividieren. Ein weiterer typischer Fehler besteht darin, bei zusammengesetzten Umrechnungen die Zwischeneinheiten zu vergessen, etwa wenn 2 m 5 cm = 25 cm statt 205 cm geschrieben wird, weil die Null der Dezimeter weggelassen wurde.

Beim Üben beziehen sich die Aufgaben auf direkte Arbeitsanweisungen:

• Rechne in eine kleinere Längeneinheit um (zum Beispiel Meter in Millimeter umwandeln).
• Rechne in eine größere Längeneinheit um (zum Beispiel Meter in Kilometer umwandeln).
• Schreibe die Länge in einer einzigen Einheit (um eine gemischte Messung, etwa Meter und Zentimeter, in eine einzige Zieleinheit zu überführen).

In der Klasse CM2 lernt das Kind, den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, indem es die Länge mit der Breite multipliziert und das Ergebnis in den passenden Einheiten angibt (cm², dm² oder m²). Außerdem macht es einen wichtigen Schritt, indem es die umgekehrte Rechnung ausführt: Wenn man ihm den Gesamtflächeninhalt und das Maß einer Seite gibt, nutzt es die Division, um die fehlende Dimension zu finden.

Die häufigste Schwierigkeit liegt in der Verwechslung von Flächeninhalt und Umfang. Bei einer Figur addieren manche Schüler die Seiten weiterhin, anstatt sie zu multiplizieren, oder sie versuchen, eine fehlende Seite durch eine Subtraktion statt durch eine Division zu finden.

Auf den Übungsblättern zeigt sich diese Kompetenz in verschiedenen Trainingssituationen:

• Direkte Berechnungen mit Flächeninhalt eines Rechtecks, um die Formel zu verinnerlichen und anzuwenden.
• Konkrete Aufgaben mit Der Flächeninhalt eines Rechtecks im Alltag, bei denen die Fläche eines Gegenstands oder eines realen Raums abgeschätzt werden muss.
• Forschungsaufgaben mit Fehlende Seite eines Rechtecks, bei denen der gegebene Flächeninhalt durch die bekannte Länge geteilt werden muss, um die Breite zu finden.

In der Grundschule (CM2) lernt das Kind bei einem einfachen Zufallsexperiment, die Chancen eines Ergebnisses in der Form „a Chancen von b" auszudrücken. In diesem ersten Schritt des Zyklus 3 geht es darum, die günstigen Fälle zu erkennen und sie auf die Gesamtzahl der Möglichkeiten zu beziehen, bevor später in der 6. Klasse die Wahrscheinlichkeit als Zahl zwischen 0 und 1 behandelt wird.

Der häufigste Fehler besteht darin, die günstigen Fälle mit den ungünstigen Fällen zu vergleichen, anstatt mit der Gesamtzahl der Ausgänge. Steht zum Beispiel eine Schachtel mit 2 roten und 3 blauen Kugeln bereit, sagt ein Kind oft spontan „2 Chancen von 3", eine rote Kugel zu ziehen, und vergisst dabei, alle Kugeln zu addieren, um 2 Chancen von 5 zu erhalten.

Im Unterricht stützt sich die Arbeit auf einfache Handlungen:

• Einen Würfel werfen mit sechs Seiten, um die Chancen zu bestimmen, eine bestimmte Zahl oder ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen;
• Eine nummerierte Karte ziehen aus einem Kartenspiel, um die passenden Fälle abzuzählen;
• Eine Kugel aus einer undurchsichtigen Schachtel ziehen, die Elemente verschiedener Farben enthält.

In der Klasse 4 (CM2) festigt die Schülerin bzw. der Schüler das Lösen von Problemen zum multiplikativen Vergleich. Bei zwei Größen kann sie oder er nun die passende Vergleichsart wählen: einen Unterschied durch eine Subtraktion berechnen oder ein Verhältnis bestimmen, indem man einen Multiplikationsfaktor oder einen Quotienten sucht.

Ein häufiger Fehler besteht darin, diese beiden Vorgehensweisen zu verwechseln. Wenn eine Aufgabe einen Vergleich verlangt, greifen viele Kinder automatisch zur Subtraktion. Sie antworten zum Beispiel, ein Gegenstand kostet „15 Euro mehr“, obwohl sie feststellen sollten, dass er „4-mal so teuer“ ist.

Auf den Übungsblättern ist die Arbeit um gezielte Aktivitäten herum organisiert:

• Um wie viel größer?: Die Schülerin bzw. der Schüler berechnet die Differenz zwischen zwei Werten.
• Wie viel Mal größer? und Wie oft mehr?: Sie oder er ermittelt den Faktor, der die beiden Zahlen mithilfe einer Multiplikation oder einer Division verbindet.

In der 5. Klasse (CM2) macht die Schülerin bzw. der Schüler einen weiteren Schritt, indem sie bzw. er die Zeit genau bis auf die Sekunde handhabt. Sie bzw. er lernt, die Zeiger einer Uhr zu erkennen und einzustellen, die verstrichene Zeit zwischen zwei genau bestimmten Zeitpunkten zu messen und Zeitangaben umzurechnen, insbesondere Minuten und Sekunden in ganze Sekunden.

Die klassische Falle liegt im automatischen Rückgriff auf das Dezimalsystem (Basis 10 oder 100). Viele Kinder versuchen, zwei Uhrzeiten einfach zu subtrahieren, und vergessen dabei, dass eine Stunde 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden hat. Um zum Beispiel von 10 h 45 bis 11 h 15 zu kommen, könnten sie versucht sein, 11,15 − 10,45 zu rechnen, und kommen dann auf 70 Minuten statt der tatsächlichen 30 Minuten.

In der Praxis stützt sich die Arbeit auf drei Arten konkreter Übungen:

• Minuten und Sekunden in Sekunden: eine gemischte Zeitdauer umrechnen, indem die Anzahl der Minuten mit 60 multipliziert und anschließend die restlichen Sekunden addiert werden;
• Wie viele Minuten sind vergangen?: den Zeitabstand zwischen zwei Anzeigen auf einem Zeigerzifferblatt bestimmen;
• Wie lange hat das gedauert?: Aufgaben zur Berechnung einer Dauer lösen, bei denen eine volle Stunde überschritten wird, sodass das Ergebnis in Stunden, Minuten und Sekunden angegeben wird.

In der 4. Klasse übt Ihr Kind, eine geordnete Zahlenfolge zu beobachten, um ihre Logik zu verstehen. Es formuliert genau die Rechenregel, mit der man von einem Glied zum nächsten gelangt, vor allem durch wiederholtes Addieren einer gleichbleibenden Schrittweite oder durch eine Multiplikation, um die Folge fortzusetzen und die folgenden Zahlen aufzuschreiben.

Der häufigste Fehler besteht darin, eine Regel nur aus den ersten beiden Zahlen abzuleiten, ohne zu prüfen, ob sie auch auf den Rest der Reihe zutrifft. Bei dem Folgenanfang 2, 4, 8 wendet ein unaufmerksamer Schüler oft die anfängliche Differenz von 2 an und glaubt, es sei eine Addition, statt die Multiplikation mit 2 zu erkennen, die die gesamte Kette bestimmt.

Im Unterricht ist die Arbeit um schrittweise aufgebaute Übungen herum organisiert: Folge: Addiere immer dieselbe Schrittweite, um das wiederholte Addieren zu festigen, Folge: Multipliziere immer mit derselben Zahl, um die multiplikativen Sprünge zu beherrschen, und schließlich Finde die Regel und setze die Folge fort, wobei der Schüler die Unterschiede selbst analysieren muss, bevor er die fehlenden Glieder berechnet.

In der Klasse CM2 lernt die Schülerin bzw. der Schüler, Rechenoperationen mit Brüchen durchzuführen, die denselben Nenner haben. Addition oder Subtraktion werden direkt auf die Zähler angewendet, um die neue Anzahl der Teile zu finden, ohne den Nenner zu verändern, der die Einheit der Teilung festlegt.

Der häufigste Fehler besteht darin, auch die Zahlen im Nenner zu addieren oder zu subtrahieren. Steht beispielsweise die Rechnung 2/5 + 1/5 da, besteht die Gefahr, dass das Kind 3/10 schreibt. Dabei wendet es die Gewohnheit aus dem Rechnen mit ganzen Zahlen sowohl auf den Zähler als auch auf den Nenner an und übersieht, dass der Nenner die feste Größe des Teils angibt.

Schriftlich werden die Übungen als Rechenaufgaben in einer Zeile präsentiert, die direkt zu lösen sind:

• Addiere Brüche mit gleichem Nenner: Die Schülerin bzw. der Schüler berechnet die Summe zweier Brüche, zum Beispiel 3/7 + 2/7.
• Subtrahiere Brüche mit gleichem Nenner: Die Schülerin bzw. der Schüler berechnet die Differenz zweier Brüche mit gleichem Nenner, zum Beispiel 5/9 - 2/9.

In der 5. Klasse lernt die Schülerin bzw. der Schüler, den Zusammenhang zwischen einem Bruch größer als 1 und seiner Zerlegung in eine ganze Zahl mit einem Bruch kleiner als 1 herzustellen. So lernt sie oder er, die ganzen Einheiten zu erkennen, die in einem Bruch enthalten sind, und umgekehrt eine ganze Zahl und einen Bruchteil zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen.

Der häufige Fehler tritt beim Rückgang zu einem einzigen Bruch auf: Das Kind addiert oft direkt die ganze Zahl und den Zähler, ohne die Teile der Einheit zu berücksichtigen (zum Beispiel schreibt es, dass 2 + 1/3 gleich 3/3 ist, statt 7/3). Bei der Zerlegung besteht die andere typische Falle darin, alle möglichen ganzen Einheiten nicht herauszulösen, sodass ein Restbruch übrig bleibt, der immer noch größer als 1 ist.

Die Übungsaufgaben gibt es in zwei sich ergänzenden Arbeitsanweisungen:

• Schreibe den Bruch als gemischte Zahl: Die Schülerin bzw. der Schüler bestimmt die Anzahl der ganzen Einheiten und den verbleibenden Bruch kleiner als 1;
• Schreibe die gemischte Zahl als Bruch: Die Schülerin bzw. der Schüler wandelt die ganze Zahl in gleiche Teile um, um daraus einen einzigen Bruch zu bilden.

In der Klasse CM2 festigt der Schüler sein Verständnis des Dezimalstellensystems. Nachdem er gelernt hat, den ganzzahligen Anteil und das Runden auf die ganze Zahl zu bestimmen, übt er, diese Näherung zu verfeinern, indem er den Rundungswert einer Zahl auf die nächste Zehntel- oder Hundertstelstelle ermittelt.

Der häufigste Fehler besteht darin, das Runden mit einem einfachen Abschneiden zu verwechseln: Bei einer Zahl wie 4,28 neigt das Kind oft dazu, die überflüssigen Ziffern wegzulassen und 4,2 zu schreiben. Dabei vergisst es, die nachfolgende Ziffer (hier die 8) zu betrachten, um zu entscheiden, ob die Zehntelstelle beibehalten oder auf die nächsthöhere Zehntelstelle aufgerundet werden muss (4,3).

In der Praxis stützt sich das Training auf zwei gezielte Übungstypen: Runden auf Zehntel und Runden auf Hundertstel. Ausgehend von Dezimalzahlen mit zwei oder drei Nachkommastellen (bis zu Tausendstel) erkennt der Schüler die verlangte Stelle, analysiert die folgende Ziffer und notiert den korrekten Näherungswert.

In der Klasse 5 lernt Ihr Kind, die Vielfachen zweier natürlicher Zahlen, die jeweils kleiner als 15 sind, aufzulisten und zu vergleichen. Mithilfe des Einmaleins schreibt es die ersten Vielfachen jeder Zahl auf, um diejenigen zu finden, die beide gemeinsam haben, und anschließend die kleinste davon zu bestimmen, die nicht null ist.

Der häufigste Fehler besteht darin, die beiden Ausgangszahlen direkt miteinander zu multiplizieren, in der Annahme, so sofort die kleinstmögliche Antwort zu erhalten. Steht ein Schüler zum Beispiel vor 4 und 6, rechnet er oft 4 × 6 = 24, ohne zu bemerken, dass 12 schon früher in beiden Reihen der Vielfachen auftaucht.

Die Aufgaben treten als geführte Rechnung auf (wie im Arbeitsblatt Calcule le PPCM de deux nombres) oder als kleine konkrete Probleme zur Periodizität (wie Quand à nouveau ensemble ?), bei denen man herausfinden soll, zu welchem Zeitpunkt zwei regelmäßige Ereignisse gleichzeitig eintreten.

In der 5. Klasse (CM2) lernt das Kind hauptsächlich, die Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl schriftlich anzusetzen und durchzuführen. Im Kopfrechnen festigt es sichere Routinen: das Doppelte einer einfachen Dezimalzahl bestimmen oder schnell mit 5 und mit 50 multiplizieren. Die Multiplikation zweier Dezimalzahlen miteinander wird in passenden Situationen angesprochen, bevor sie in der 6. Klasse vollständig beherrscht wird.

Der häufigste Fehler betrifft den Umgang mit dem Komma. Aus der Addition gewohnt, versuchen manche Schülerinnen und Schüler, die Kommas schon bei der spaltenweisen Anordnung der Rechnung unnötigerweise untereinander auszurichten. Andere führen die Multiplikation der Ziffern korrekt aus, vergessen aber, die Gesamtzahl der Ziffern nach dem Komma zu zählen, um das Komma im Endergebnis richtig zu setzen.

Im Unterricht nimmt die Arbeit die Form konkreter Messprobleme an, etwa in der Aufgabe Multiplie une longueur par un nombre de morceaux, oder die Form geführter schriftlicher Rechenübungen mit dem Modell Multiplie des nombres décimaux.

In der 5. Klasse lernt Ihr Kind, für eine ganze Zahl kleiner oder gleich 10 (insbesondere 2, 3, 4, 5, 9 und 10) zu bestimmen, ob sie ein Teiler einer gegebenen ganzen Zahl ist. Mithilfe der Teilbarkeitsregeln, die auf der Ziffernschreibweise beruhen, erkennt es, ob eine Zahl ein Vielfaches dieser Bezugszahlen ist, ohne aufwendige schriftliche Rechnung.

Der klassische Fehler besteht darin, die verschiedenen Regeln zu vermischen. Bei 3 oder 9 neigen die Schülerinnen und Schüler oft dazu, nur die letzte Ziffer zu betrachten, so wie sie es bei 2, 5 oder 10 tun. So kann ein Kind fälschlicherweise behaupten, 43 sei durch 3 teilbar, weil die Zahl mit 3 endet, und dabei vergessen, dass man hier alle Ziffern der Zahl addieren muss.

Bei den schriftlichen Aufgaben dreht sich die Arbeit um zwei Aufgabentypen:

• Eine Teilbarkeitsregel anwenden: Zahlen danach sortieren oder ankreuzen, ob sie durch 2, 3, 4, 5, 9 oder 10 teilbar sind;
• Die fehlende Ziffer für die Teilbarkeit finden: eine Zahl mit einer Lücke (zum Beispiel 5_2) mit der passenden Ziffer vervollständigen, damit die verlangte Regel erfüllt ist.

In der 5. Klasse (CM2) lernen die Schüler, alle Teiler zweier natürlicher Zahlen aufzulisten, die kleiner oder gleich 30 sind, um die Teiler zu finden, die sie gemeinsam haben. Anschließend bestimmen sie den größten dieser Teiler, den sogenannten ggT. Ausgehend von den Zahlen 18 und 24 finden sie etwa die gemeinsamen Teiler (1, 2, 3 und 6) und erkennen 6 als größten gemeinsamen Teiler.

Ein klassischer Fehler besteht darin, Teiler mit Vielfachen zu verwechseln oder beim Suchen Teilerpaare zu vergessen (etwa 1 und die Zahl selbst). Die Schüler neigen außerdem oft dazu, beim ersten gemeinsamen Teiler, den sie entdecken, stehen zu bleiben, zum Beispiel bei 2 für zwei gerade Zahlen, ohne zu prüfen, ob es einen größeren gibt.

Bei schriftlichen Aufgaben geht es um zwei Arten von Aufgaben:

• Übungsaufgaben, bei denen direkt der ggT zweier gegebener Zahlen berechnet werden soll;
• konkrete Probleme zum Aufteilen in gleich große Pakete, etwa wenn Murmeln oder Karten gleichmäßig ohne Rest verteilt werden sollen.

In der 5. Klasse (CM2) lernt das Kind, eine unbekannte Größe zu bestimmen, die mit bereits gegebenen Daten einer proportionalen Situation zusammenhängt. Um den gesuchten Wert zu finden, setzt es passende Verfahren ein, etwa die Multiplikation oder die Division durch eine einfache ganze Zahl (zum Beispiel verdoppeln, verdreifachen oder halbieren), sowie die Bestimmung des Wertes für eine einzelne Einheit.

Das klassische Hindernis liegt in der Additionsfalle. Wenn zwei Größen gleichzeitig größer werden, greift das Kind häufig reflexartig zur Addition derselben Differenz auf beide Messwerte, anstatt einen multiplikativen Koeffizienten zu erkennen. Damit wendet es ein additives Schema an, das für Proportionalität ungeeignet ist.

Auf den Übungsblättern stützt sich die Arbeit auf zwei konkrete Aufgabentypen:

• Vervollständige die Proportion, bei der eine Gleichung oder die Glieder eines Zahlenverhältnisses ergänzt werden;
• Von einer bekannten Menge zu einer anderen, bei der die Schülerin bzw. der Schüler einen Ausgangswert (eine Packung, einen Preis oder ein Gewicht) auf eine neu gefragte Menge überträgt.

In der Klasse 5 festigt das Kind den Begriff des Umfangs, indem es die Gesamtlänge der Kontur verschiedener Vielecke bestimmt. Es wendet die Addition aller Seitenlängen an, um das Ergebnis zu erhalten. In Suchsituationen geht es den umgekehrten Weg: Ausgehend vom bekannten Gesamtumfang und den Längen der übrigen Strecken nutzt es die Subtraktion, um das genaue Maß der fehlenden Seite zu bestimmen.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn in Figuren mit vielen Strecken eine Seite übersehen wird. Bei der Suche nach einer fehlenden Größe ziehen manche Schülerinnen und Schüler einfach die erste Maßzahl, die sie sehen, vom Gesamtumfang ab und vergessen, vor der abschließenden Subtraktion zuerst alle übrigen bekannten Seiten zu addieren.

In der Praxis bieten die Arbeitsblätter zwei Arten konkreter Aufgaben, die auf beschrifteten geometrischen Figuren beruhen:

• Mit dem Muster Umfang eines Vielecks liest das Kind die auf jeder Seite der Figur angegebenen Maße ab und berechnet deren Summe.
• Mit dem Muster Fehlende Seite aus dem Umfang wird der Gesamtumfang in der Aufgabenstellung angegeben, und die Schülerin bzw. der Schüler muss das Maß der mit einem Fragezeichen markierten Strecke finden.

In der Klasse CM2 festigt der Schüler sein Verständnis des Kreises als eine Menge von Punkten, die vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben. Er lernt, die grundlegenden Größen dieser Figur miteinander in Beziehung zu setzen: Der Durchmesser misst das Doppelte des Radius, und der Radius entspricht der Hälfte des Durchmessers.

Der häufigste Fehler entsteht durch eine Verwechslung der beiden Begriffe. Das Kind multipliziert den Wert manchmal mit zwei, obwohl ihm bereits der Durchmesser gegeben ist und es den Radius sucht, oder es dividiert durch zwei, anstatt zu multiplizieren. Außerdem kommt es vor, dass es den Durchmesser mit einer einfachen Linie verwechselt, die im Kreis gezogen wird, ohne durch den Mittelpunkt zu verlaufen.

Die Übungsaufgaben zielen direkt auf diese Umrechnung mit Zahlen ab und folgen zwei Aufgabenmustern:

• Durchmesser aus dem Radius: Der Schüler berechnet die Länge des Durchmessers, indem er den gegebenen Radius mit 2 multipliziert (zum Beispiel ergibt ein Radius von 6 cm einen Durchmesser von 12 cm).
• Radius aus dem Durchmesser: Der Schüler ermittelt den Abstand vom Mittelpunkt zum Rand, indem er den Durchmesser durch 2 dividiert (zum Beispiel findet er heraus, dass ein Durchmesser von 15 cm einem Radius von 7,5 cm entspricht).

An diesem Punkt kann die Schülerin bzw. der Schüler Additionen und Subtraktionen mit Eurobeträgen schriftlich ansetzen und ausrechnen. Diese Rechenoperationen werden genutzt, um den Gesamtwert mehrerer Ausgaben zu bestimmen oder die Differenz zwischen einem gegebenen Betrag und einem Preis zu berechnen.

Die größte Schwierigkeit liegt oft im Ausrichten der Ziffern beim schriftlichen Rechnen in Spalten, besonders wenn ganze Euro und Cent miteinander verbunden werden. Sind die Währungseinheiten und die Kommas nicht genau senkrecht untereinander ausgerichtet, verschieben sich die Überträge und das Endergebnis wird falsch.

In der Praxis fordern die Aufgaben dazu auf, solche Rechnungen aufzustellen und zu lösen, um den Betrag eines Sammeleinkaufs zu ermitteln oder das genaue Wechselgeld bei einer Zahlung zu berechnen.

Im CM2 festigen die Schülerinnen und Schüler ihr Verständnis des Zahlensystems für ganze Zahlen bis 999 999 999. Sie lernen, große Zahlen zu lesen und zu schreiben, zwischen der Ziffernschreibweise, der Wortschreibweise und der zerlegten Schreibweise zu wechseln sowie Zahlen zu ordnen oder zu vergleichen, wobei sie die Zeichen =, < und > richtig verwenden.

Eine häufige Schwierigkeit tritt beim Vergleichen zweier Zahlen mit unterschiedlich vielen Stellen auf: Manche Lernenden achten nur auf die erste Ziffer links, ohne zuerst die Gesamtzahl der Ziffern zu zählen. Eine weitere klassische Verwechslung betrifft den Stellenwert, etwa wenn der Wert einer Ziffer (die Zehntausenderstelle) mit der Gesamtzahl der Einheiten verwechselt wird, die sie darstellt.

In konkreten Aktivitäten üben die Kinder zwei Arten von Aufgaben:

• Große Zahlen vergleichen: Sie setzen das passende Vergleichszeichen zwischen zwei ganze Zahlen mit mehreren Millionen oder ordnen diese in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge.
• Wie viel mal so groß? Stellenwert: Sie nutzen die Beziehungen zwischen den Stellenwerteinheiten, um den Wert einer Ziffer je nach Stelle zu bestimmen, und verstehen, dass eine Hunderttausender-Einheit zehnmal so groß ist wie eine Zehntausender-Einheit.

In der 4. Klasse (CM2) lernt das Kind, für das Kopfrechnen den schnellsten Weg zu wählen, ohne die Rechnung schriftlich zu notieren. Es weiß insbesondere, wie man Zahlen, die nahe an einer Zehnerzahl liegen, etwa 8, 9, 19 oder bis zu 98 und 99, schnell addiert oder subtrahiert. Außerdem wendet es das Distributivgesetz in einfachen Situationen an und lernt, ganze Zahlen unter 10 mit Zehnern, Hundertern oder Tausendern miteinander zu multiplizieren.

Der häufigste Fehler tritt beim Anpassen des Ergebnisses auf. Um 19 oder 29 zu addieren, denkt das Kind zwar daran, 20 bzw. 30 zu addieren, vergisst aber oft, am Ende 1 abzuziehen, oder es addiert die 1 aus Verwechslung. Ebenso besteht der klassische Fehler beim Zerlegen einer Multiplikation darin, nur die Zehner zu multiplizieren und dabei die Einer zu vergessen.

Die Übungen unter den Rubriken Additionne astucieusement und Multiplie astucieusement trainieren das Kind, solche Zahlenabkürzungen zu erkennen. Es übt, einen Summanden so zu zerlegen, dass es sich auf runde Zahlen stützen kann, oder ein Produkt so zu verteilen, dass es das genaue Ergebnis mühelos findet.

Im CM2 lernt das Kind, einfache algebraische Probleme zu lösen. Bei einem Textaufgabe lernt es, zu erkennen, was gesucht wird, und die Schritte der Geschichte in ein Schema oder eine Gleichung mit Platzhalter zu übersetzen, um den fehlenden Wert zu berechnen.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Operationen aus dem Text direkt auf das Endergebnis anzuwenden, statt den Weg umzukehren. Wenn die Aufgabe zum Beispiel sagt, dass 15 Gegenstände hinzugefügt wurden, um eine Gesamtmenge zu erreichen, hat das Kind oft den Reflex, erneut 15 zur Endzahl zu addieren, anstatt zu subtrahieren, um zur Ausgangssituation zurückzukehren.

Auf den Übungsblättern zeigt sich diese Arbeit in konkreten Situationen, die aus zwei Modellen stammen:

• Welche Zahl war es? Das Kind muss eine Ausgangszahl nach einer Folge aufeinanderfolgender Rechnungen wiederfinden.
• Wie viele waren es am Anfang? Das Kind verfolgt den Ablauf einer Geschichte mit Zu- und Abgängen zurück, um die genaue Menge zu Beginn zu ermitteln.

In der Klasse CM2 begnügt sich der Schüler nicht mehr damit, eine Figur allein an ihrem optischen Erscheinungsbild zu erkennen. Er identifiziert die verschiedenen Vierecke genau und benennt sie (Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez und rechtwinkliges Trapez), wobei er seine Wahl mit ihren geometrischen Definitionen begründet: der Parallelität der gegenüberliegenden Seiten, dem Vorhandensein rechter Winkel oder der Gleichheit der Seitenlängen.

Eine klassische Schwierigkeit tritt auf, sobald eine Figur ihre Ausrichtung ändert: Ein auf der Spitze stehendes Quadrat wird häufig für eine einfache Raute gehalten, oder eine Raute wird nicht erkannt, wenn sie nicht in ihrer gewohnten Lage liegt. Außerdem fällt es den Schülern manchmal schwer, die Verschachtelung der Definitionen zu verstehen; sie vergessen zum Beispiel, dass ein Quadrat vier rechte Winkel besitzt und daher die Definition eines Rechtecks vollkommen erfüllt.

In den Übungsaufgaben beantwortet der Schüler konkrete Fragen wie „Wie heißt dieses Viereck?“ anhand einer gekennzeichneten Zeichnung oder löst logische Fragen wie „Ist ein Quadrat auch ein Rechteck?“, indem er die gemeinsamen geometrischen Eigenschaften erläutert.

In der 4. Klasse stützen sich die Schülerinnen und Schüler auf geometrische Definitionen, um Figuren präzise zu erkennen und zu benennen: das rechtwinklige Dreieck (das einen rechten Winkel besitzt), das gleichschenklige Dreieck (das zwei gleich lange Seiten und zwei gleich große Winkel hat) und das gleichseitige Dreieck (dessen drei Seiten und drei Winkel gleich sind).

Der häufigste Fehler besteht darin, die Figur nach ihrer Lage oder ihrer allgemeinen Form zu beurteilen statt nach ihren tatsächlichen Eigenschaften. So kann ein Kind ein gleichschenkliges und ein gleichseitiges Dreieck verwechseln, sobald das Dreieck schräg liegt, oder einen rechten Winkel übersehen, wenn dieser nicht auf einer waagerechten Grundlinie liegt.

In den Übungsblättern gliedert sich die Arbeit um zwei konkrete Zugänge: Dreieckstyp nach den Winkeln und Dreieckstyp nach den Seiten. Die Schülerinnen und Schüler betrachten Figuren mit Maßangaben oder geometrischen Markierungen und wenden anschließend die passende Definition an, um jedes Dreieck der richtigen Kategorie zuzuordnen.

Au CM2, l'élève franchit une nouvelle étape en apprenant à réaliser des calculs comportant une ou deux paires de parenthèses. Il sait que les parenthèses indiquent les calculs prioritaires et qu'il doit obligatoirement les résoudre en premier avant d'enchaîner avec les autres opérations.

L'erreur la plus courante consiste à lire et calculer l'expression de gauche à droite de manière linéaire, en ignorant l'ordre imposé par les parenthèses. Lorsqu'une ligne de calcul contient deux paires distinctes, l'enfant a également tendance à oublier de réduire l'un des deux blocs avant d'effectuer l'opération finale qui les relie.

Dans les fiches d'entraînement basées sur l'exercice Calcule l'expression avec parenthèses, l'élève est confronté à des égalités à compléter. Il s'exerce à repérer les blocs prioritaires, à poser les étapes intermédiaires d'écriture et à déterminer le résultat final.

In der 5. Klasse (CM2) lernt das Kind, das Ergebnis einer Rechnung zu schätzen, indem es sich auf Größenordnungen stützt. Bei einer Addition geht es darum, im Kopf jeden Summanden durch eine nahe liegende, einfachere Zahl zu ersetzen (auf die nächste Zehn, Hundert oder Tausend gerundet), um schnell einen Näherungswert der Summe zu erhalten.

Die klassische Schwierigkeit besteht darin, die genaue Summe berechnen zu wollen, bevor man einen Rundungswert angibt. Dadurch verliert die Methode ihren Nutzen. Die Lernenden können außerdem Stellenfehler bei großen Zahlen machen, etwa indem sie beim Schätzen eine Null vergessen. Dann ist die Größenordnung zehnmal zu klein oder zu groß.

In Übungen wie Estime une somme übt das Kind, die Summanden einer Addition durch Näherungswerte zu ersetzen, um eine passende Schätzung auszuwählen oder zu formulieren. So entwickelt es die Gewohnheit, seine späteren schriftlichen Rechnungen selbst zu überprüfen.

Im CM2 kann der Schüler mehrere aufeinanderfolgende Rechenschritte verknüpfen, indem er verschiedene Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division) kombiniert. Er löst außerdem Such- und Optimierungssituationen, indem er Zahlenangaben nutzt, um ein Endergebnis zu finden oder eine größtmögliche Menge zu bestimmen.

Die größte Schwierigkeit liegt oft in der Planung des Vorgehens. Bei einer langen Aufgabenstellung neigt das Kind dazu, sofort mit den ersten Zahlen zu rechnen, die es liest, ohne eine Zwischenfrage festzulegen. Bei Situationen der Ressourcenverwaltung vergisst es häufig, die einschränkendste Bedingung zu erkennen, was dazu führt, dass es das Endergebnis überschätzt.

Die vorgeschlagenen Übungen veranschaulichen diese Kompetenzen anhand von zwei Situationstypen:

• Die mehrschrittige Aufgabe (zusammenzählen), bei der der Schüler zuerst Zwischensummen berechnen muss (zum Beispiel die Einnahmen oder Ausgaben verschiedener Personen), bevor er die Gesamtsumme oder einen Restbetrag bestimmen kann.
• Die Übung wie viele Objekte höchstens mit dem Vorrat, bei der es darum geht, eine Produktion oder einen Zusammenbau mit begrenzten Vorräten verschiedener Teile anzupassen, wobei herausgefunden werden muss, welches Teil zuerst fehlt.

In der Klasse CM2 macht der Schüler einen wichtigen Schritt, wenn er lernt, Brüche zu vergleichen, die weder denselben Zähler noch denselben Nenner haben. Es geht nicht mehr nur darum, die Anzahl der genommenen Teile in einer gleichen Aufteilung zu erkennen, sondern den tatsächlichen Wert jeder Bruchschreibweise einzuschätzen, um den größeren zu bestimmen oder Gleichwertigkeiten zu erkennen.

Der häufigste Fehler besteht darin, Zähler und Nenner als zwei voneinander unabhängige ganze Zahlen zu behandeln. Der Schüler könnte dann meinen, dass 3/8 größer als 1/2 ist, weil 3 größer als 1 und 8 größer als 2 ist, ohne zu erkennen, welches Verhältnis jede Größe insgesamt darstellt.

Durch die Übungen des Arbeitsblatts Vergleiche Brüche mit unterschiedlichen Nennern übt das Kind konkret, die Zeichen <, > oder = zwischen zwei Brüche zu setzen, etwa indem es die Schreibweise eines Bruchs verändert oder sich auf einfache Orientierungspunkte wie die Einheit stützt.

In der Grundschule (CM2) stützen sich die Schülerinnen und Schüler auf die Beziehungen zwischen gebräuchlichen Brüchen (Halbe, Drittel, Viertel, Fünftel oder Zehntel). Sie lernen, einen Bruch so umzuformen, dass man einen anderen Bruch erhält, der genau dieselbe Menge darstellt, aber in eine größere Anzahl von Teilen zerlegt ist, indem man Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert.

Der typischste Fehler besteht darin, nur den Nenner des Bruchs zu multiplizieren und den Zähler zu vergessen, oder statt zu multiplizieren eine Zahl zu addieren (zum Beispiel zu glauben, dass 1/2 zu 2/3 wird, indem man 1 zum Zähler und zum Nenner addiert). Das Kind verliert dann die Gleichwertigkeit mit dem Ausgangswert.

Bei Aktivitäten wie der Übung Finde den gleichen Bruch werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, Gleichungen mit Lücken zu vervollständigen (etwa den fehlenden Zähler in 3/4 = .../12 zu finden) oder unter mehreren vorgeschlagenen Brüchen den richtigen zu erkennen.

In der 5. Klasse (CM2 in Frankreich) lernt das Kind, Gleichheiten zwischen Brüchen herzustellen, indem es sich auf gemeinsame Teiler und auf sein Wissen über gängige Brüche stützt (etwa die Hälften, Drittel oder Viertel). Es entdeckt, dass man einen Bruch in einer einfacheren Form schreiben kann, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe ganze Zahl teilt, ohne den dargestellten Wert zu verändern.

Der häufigste Fehler besteht darin, nur eines der beiden Glieder (Zähler oder Nenner) zu teilen oder statt zu teilen dieselbe Zahl abzuziehen. Die Schüler bleiben außerdem oft bei einem ersten Schritt stehen, ohne zu erkennen, dass ein weiterer gemeinsamer Teiler den Bruch noch weiter kürzen würde.

In der Übung Vereinfache den Bruch wird ein Ausgangsbruch vorgegeben. Die Schülerin bzw. der Schüler muss einen gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen suchen, um den gleichwertigen Bruch so weit wie möglich zu kürzen, zum Beispiel 4/8 zu 1/2 oder 6/9 zu 2/3.

In der Grundschule (CM2) lernt das Kind, das Produkt aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zu berechnen. Diese Fähigkeit hilft ihm, die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl zu verstehen (zum Beispiel 3 × 2/5) und den Bruchteil einer Menge konkret zu berechnen.

Der häufigste Fehler besteht darin, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der ganzen Zahl zu multiplizieren (also zum Beispiel 3 × 2/5 = 6/15 zu rechnen). Das Kind muss verstehen, dass die ganze Zahl nur den Zähler multipliziert: Die Anzahl der Teile ändert sich, aber die Größe jedes einzelnen Teils bleibt gleich.

In Übungen vom Typ Multipliziere einen Bruch mit einer ganzen Zahl übt die Schülerin bzw. der Schüler, diese Rechnungen direkt auszuführen, um das Ergebnis als Bruch oder als ganze Zahl zu erhalten.

In der 5. Klasse (CM2) stützen sich die Schüler auf den grundlegenden Bezugswert des rechten Winkels, der 90° misst, um Öffnungen zu vergleichen und einzuordnen. Sie festigen dabei den zugehörigen geometrischen Wortschatz: Sie erkennen so einen spitzen Winkel (enger geöffnet als der rechte Winkel) und einen stumpfen Winkel (weiter geöffnet als der rechte Winkel).

Der häufigste Fehler besteht darin, die Länge der gezeichneten Schenkel mit der Größe des Winkels zu verwechseln. Ein spitzer Winkel, der mit sehr langen Strecken gezeichnet ist, wirkt in den Augen der Schüler oft „größer“ als ein stumpfer Winkel, der mit kurzen Strecken gezeichnet ist. Auch eine schräge Lage kann die optische Einschätzung der Öffnung verfälschen.

Durch Aktivitäten wie die Übung Erkenne die Art des Winkels betrachtet die Schülerin bzw. der Schüler Winkel, die in verschiedenen Lagen dargestellt sind, und muss die passende Kategorie benennen. Dabei kann sie bzw. er bei Bedarf eine Schablone oder das Geodreieck zu Hilfe nehmen, um den Vergleich mit 90° zu überprüfen.

In der Klasse CM2 lernt das Kind, einen Bruchteil einer Menge oder einer ganzen Zahl zu bestimmen. Es versteht, wie man die Gesamtmenge anhand des Nenners in gleich große Teile aufteilt und dann das erhaltene Ergebnis mit dem Zähler multipliziert, um den gesuchten Wert zu finden.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Rollen der Zahlen zu vertauschen: Das Kind teilt durch den Zähler statt durch den Nenner, oder es hört nach der ersten Division auf und vergisst, mit der Anzahl der verbleibenden Teile zu multiplizieren.

Mit der Übung Calcule la fraction d’un nombre nimmt das Training die Form einfacher direkter Anwendungen an, etwa die Berechnung von zwei Dritteln von 18 oder von drei Fünfteln von 40.

In der 5. Klasse müssen die Schüler, um einfache Brüche zu vergleichen, zu addieren oder zu subtrahieren, lernen, sie mit einer gemeinsamen Einteilung darzustellen. Das Kind stützt sich dabei auf die Suche nach gemeinsamen Vielfachen, um einen der Brüche (oder beide) in einen gleichwertigen Bruch umzuwandeln, ohne seinen Wert zu verändern.

Der häufigste Fehler besteht darin, nur den Nenner zu multiplizieren und vergessen, den Zähler mit derselben Zahl zu multiplizieren. Eine weitere typische Falle bei einer Rechnung ist, die Nenner direkt miteinander zu addieren, anstatt zuerst einen gemeinsamen Nenner zu suchen.

Mit der Übung Finde den gemeinsamen Nenner übt der Schüler, für zwei gegebene Brüche die passende Zahl zu erkennen (zum Beispiel Drittel in Sechstel umzuwandeln, um sie mit Sechsteln zu verbinden). Er schreibt die Brüche auf dieser gemeinsamen Grundlage neu, was ein unverzichtbarer Schritt vor dem Ansetzen einer Addition oder Subtraktion ist.

In der Klasse CM2 festigt die Schülerin bzw. der Schüler den Zusammenhang zwischen Dezimalschreibweise und Dezimalbrüchen. Sie bzw. er lernt, Dezimalzahlen mit Zehntel-, Hundertstel- und nun auch Tausendstelstellen in Brüche umzuwandeln. Zum Beispiel weiß sie bzw. er, dass 0,3 für 3/10 steht, dass 2,35 zu 235/100 wird und dass 0,007 als 7/1 000 geschrieben wird.

Der häufigste Fehler besteht darin, einen falschen Nenner zu wählen, weil die Anzahl der Stellen nach dem Komma ignoriert wird. Viele Schülerinnen und Schüler neigen dazu, alles auf 10 zu setzen (sie schreiben zum Beispiel 25/10 für 0,25). Auch die Nullen nach dem Komma sind eine häufige Falle: Ein Kind kann versucht sein, 0,05 als 5/10 zu schreiben, weil es die Null der Zehntelstelle übersieht.

In den Aufgaben unter der Überschrift „Schreibe die Dezimalzahl als Bruch“ erhält die Schülerin bzw. der Schüler eine Zahl mit Komma und soll direkt die gleichwertige Bruchschreibweise angeben (mit einem Nenner gleich 10, 100 oder 1 000).

In der Klasse CM2 lernt das Kind, einen Dezimalbruch (in Zehnteln, Hundertsteln oder Tausendsteln) sowie gebräuchliche Brüche (etwa 1/2 oder 1/4) in Form einer Dezimalzahl zu schreiben. Es stellt dabei den direkten Zusammenhang zwischen der Bruchschreibweise und dem Stellenwert jeder Ziffer her, indem es zum Beispiel feststellt, dass 25/100 als 0,25 geschrieben wird oder dass 1/2 dem Wert 0,5 entspricht.

Der häufigste Fehler besteht darin, den Zähler direkt hinter das Komma zu setzen: Ein Schüler schreibt zum Beispiel 0,3 für 3/100 statt 0,03 und vergisst dabei die Null an der Zehntelstelle, oder er schreibt 1,2 für 1/2, statt den Dezimalwert der Teilung zu bestimmen.

Schriftlich wird mit eindeutigen Arbeitsanweisungen gearbeitet, etwa: „Schreibe den Bruch als Dezimalzahl“. Das Kind übt dabei, jeden gegebenen Bruch seiner exakten Dezimalschreibweise zuzuordnen.

In der Klasse CM2 kann die Schülerin oder der Schüler zwei Dezimalzahlen vergleichen, die in Kommaschreibweise bis zu den Tausendsteln angegeben sind, und dabei die Symbole =, < und > verwenden. Sie oder er lernt, zuerst den ganzzahligen Teil zu analysieren und dann, wenn diese gleich sind, nacheinander die Zehntel-, Hundertstel- und Tausendstelziffer zu vergleichen.

Der häufigste Fehler besteht darin, den Dezimalteil wie eine eigenständige ganze Zahl zu behandeln: Das Kind behauptet zum Beispiel, dass 3,18 größer sei als 3,4, weil 18 größer ist als 4. Es verlässt sich auf die Länge der Schreibweise, statt den Stellenwert jeder Ziffer nach dem Komma zu berücksichtigen.

Anhand der Übungsblätter, die aus der Vorlage Vergleiche Dezimalzahlen entstehen, wird die Schülerin oder der Schüler aufgefordert, direkte Vergleiche zu vervollständigen, indem sie oder er das passende Symbol zwischen zwei Zahlen einträgt, etwa um 12,35 und 12,4 zu unterscheiden.

In der 5. Klasse lernt das Kind, schriftliche Divisionen mit Dezimalzahlen anzusetzen und durchzuführen, wenn der Divisor nur eine einzige Ziffer hat. Der Dividend kann eine ganze Zahl sein, die über die Einer hinaus geteilt wird, oder direkt eine Dezimalzahl. Parallel dazu festigt es das Kopfrechnen, indem es insbesondere lernt, die Hälfte ungerader Zahlen bis 15 und einfacher Dezimalzahlen zu bestimmen.

Der häufigste Fehler betrifft das Vergessen des Kommas im Quotienten. Viele Kinder führen die aufeinanderfolgenden Subtraktionen ohne Schwierigkeiten durch, vergessen aber, das Komma im Ergebnis zu setzen, genau in dem Moment, in dem sie die Zehntelziffer herunterholen. Sie erhalten dann einen Quotienten, der zehn- oder hundertmal zu groß ist, ohne die tatsächliche Größenordnung des Ergebnisses zu bemerken.

In der Übung Divise des nombres décimaux, wird das Kind aufgefordert, die Operation in Spalten anzusetzen. Es teilt zuerst den ganzzahligen Teil durch den einstelligen Divisor, setzt das Komma im Ergebnis, sobald es das Komma des Dividenden überschreitet, und führt dann die weiteren Teilschritte aus, um den Dezimalwert zu berechnen.

In der Klasse CM2 festigt Ihr Kind den Gebrauch des Einmaleins, um Beziehungen zwischen Zahlen zu untersuchen. Es kann bestimmen, ob eine ganze Zahl kleiner oder gleich 10 ein Teiler einer gegebenen Zahl ist (oder ob diese Zahl ein Vielfaches davon ist). Es übt, Teiler für ganze Zahlen bis 100 zu finden, und lernt, für ganze Zahlen kleiner oder gleich 30 alle Teiler zu bestimmen.

Der häufigste Fehler besteht darin, unterwegs Teiler zu vergessen: Die Schülerinnen und Schüler lassen oft 1 und die Zahl selbst weg oder überspringen ein Zwischenpaar (zum Beispiel vergessen sie 3 und 8 bei der Zahl 24). Auch die Verwechslung der Begriffe Vielfaches und Teiler ist weit verbreitet; manche behaupten etwa, 6 sei ein Vielfaches von 18.

Im Training zeigt sich das in Aufgaben unter der Überschrift „Schreibe alle Teiler einer Zahl auf“. Bei einer Zahl wie 18, 20 oder 24 sucht die Schülerin bzw. der Schüler alle möglichen Zerlegungen in Produkte, um die vollständige, geordnete Liste der Teiler anzugeben (zum Beispiel 1, 2, 4, 5, 10 und 20 für die Zahl 20).

In der Klasse CM2 festigt die Schülerin bzw. der Schüler das Kopfrechnen, indem eine ganze Zahl unter 10 mit einer ganzen Zahl von Zehnern (20, 30, 40 usw.) multipliziert wird. Um das Ergebnis zu finden, zerlegt das Kind die Rechnung und stützt sich dabei auf das Einmaleins: Zum Beispiel berechnet es für 6 × 40 zuerst 6 × 4 Zehner, also 24 Zehner, was 240 ergibt.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn das Produkt der ersten beiden Ziffern bereits mit einer Null endet, wie bei 5 × 40. Das Kind schreibt dann oft 20, weil es meint, die Null am Ende von 40 sei schon berücksichtigt, statt 20 Zehner, also 200, zu erhalten. Eine weitere verbreitete Verwechslung besteht darin, die Null zu addieren, anstatt mit zehn zu multiplizieren.

Beim Üben erscheinen die Aufgaben des Musters Mit einem Vielfachen von zehn multiplizieren als direkte Rechnungen in einer Zeile, etwa 8 × 50 = … oder 30 × 7 = …, die ohne schriftliche Rechnung gelöst werden sollen, um das Denken zu automatisieren.

Au CM2, l'élève consolide l'usage des termes Zähler und Nenner pour lire, écrire et interpréter des Brüche de la forme a/b. À ce niveau, la fraction n'est plus seulement un découpage géométrique : elle sert aussi à désigner une quantité précise prélevée sur un nombre entier ou sur un groupe d'objets.

Une difficulté fréquente consiste à confondre le rôle de chaque terme de la fraction. Face à une quantité à partager, certains élèves divisent par le numérateur au lieu de partager selon le dénominateur, ou oublient de multiplier la part obtenue par le nombre de parts demandées.

À l'entraînement, les exercices portent sur la fraction d'une collection : a/b du tout. Par exemple, confronté à un ensemble de 24 objets dont il doit déterminer les 3/4, l'élève divise d'abord le tout en 4 parts égales (obtenant 6 objets par part), puis prend 3 de ces parts pour trouver le résultat final de 18 objets.

In der Klasse CM2 lernt Ihr Kind, Zahlen einzuordnen und auf einer nummerierten Halbgeraden genaue Punkte zu bestimmen. Es festigt das Verständnis für die gleichmäßige Abfolge der Markierungen, indem es lernt, in gleichbleibenden Schritten voranzugehen oder zurückzugehen, etwa Zehn für Zehn entlang der Linie.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Teilstriche einzeln zu zählen, ohne den tatsächlichen Wert des Abstands zu erkennen. Das Kind verwechselt dann leicht die Nummer der Markierung mit dem Wert der Zahl oder zählt die Striche, statt die Abstände zwischen ihnen zu messen.

Durch Übungen zum Springen in Zehnerschritten auf dem Zahlenstrahl trainiert das Kind konkret, in Sprüngen von 10 vorzugehen, um die genaue Position eines Wertes zu finden oder die Zahl zu benennen, die zu einem bestimmten Punkt der Linie gehört.

In der 5. Klasse lernen die Schülerinnen und Schüler bei der Lösung eines Proportionalitätsproblems, das Verfahren der Rückführung auf die Einheit anzuwenden. Ausgehend von einer Gesamtgröße (einem Preis, einer Masse, einer Dauer), die zu mehreren gleichen Gegenständen gehört, nutzen sie die Division, um den genauen Wert eines einzelnen Elements zu bestimmen, sei es eine ganze Zahl oder eine Dezimalzahl.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Terme der Division zu vertauschen, zum Beispiel indem die Anzahl der Artikel durch den Gesamtpreis geteilt wird, statt den Preis durch die Anzahl der Artikel zu teilen. Manche Schülerinnen und Schüler tappen außerdem in die Falle des additiven Denkens und versuchen, eine Differenz zu subtrahieren, anstatt zu dividieren, um den Stückanteil zu finden.

In den Arbeitsblättern, die auf dem Modell Wie viel kostet eines? beruhen, lesen die Schülerinnen und Schüler einen Text aus dem Alltag (zum Beispiel die Kosten von 4 gleichen Heften oder die Masse von 5 Saftpackungen) und müssen die Rechnung aufstellen, mit der sich der Wert einer Einheit isolieren lässt, bevor sie gegebenenfalls weitere Größen berechnen können.

In der Klasse CM2 festigt das Kind das Beherrschen der schriftlichen Division mit dem Divisionswinkel. Es übt sich darin, eine ganze Zahl durch einen einstelligen Divisor zu teilen, indem es jede Ziffer des Quotienten Schritt für Schritt berechnet und dabei den Rest bei jedem Schritt beibehält und verkleinert.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn nach dem Herunterholen einer Ziffer die entstandene Zahl kleiner als der Divisor ist. Das Kind greift oft instinktiv dazu, direkt die nächste Ziffer herunterzuholen, und vergisst, eine 0 im Quotienten zu notieren, was den Wert des Ergebnisses völlig verfälscht. Eine weitere typische Schwierigkeit besteht darin, mit einem Zwischenrest weiterzurechnen, der größer oder gleich dem Divisor ist.

Beim Üben bieten die Aktivitäten des Modells Division posée par un chiffre vorbereitete Divisionswinkel an, in denen das Kind die aufeinanderfolgenden Subtraktionen notiert und den erhaltenen Quotienten sowie den abschließenden Rest deutlich festhält.

In der 4. Klasse lernen die Kinder, Daten zu lesen und zu interpretieren, die als Balkendiagramme dargestellt sind. Ihr Kind betrachtet die einzelnen Spalten, erkennt die dargestellten Größen und vergleicht die Werte direkt, um kleine Probleme mit ein oder zwei Schritten zu lösen.

Der häufigste Fehler betrifft das Ablesen der Skalenstriche auf der senkrechten Achse. Die Schülerinnen und Schüler zählen oft die Kästchen einzeln ab, ohne die Skalierung zu überprüfen, obwohl ein Skalenstrich um 2, 5, 10 oder 100 Einheiten fortschreiten kann. Eine weitere verbreitete Schwierigkeit besteht darin, den Namen der Kategorie (auf der waagerechten Achse) mit der gemessenen Größe zu verwechseln.

Durch die Aktivität Vergleiche die Balken des Diagramms übt das Kind konkret, ein Diagramm genau zu betrachten, um schnell den größten oder kleinsten Wert zu erkennen, Kategorien zu ordnen oder den Unterschied zwischen zwei Balken zu berechnen.

In der Klasse CM2 festigt die Schülerin bzw. der Schüler die Beherrschung der Dezimalschreibweise in direktem Zusammenhang mit den Dezimalbrüchen. Sie bzw. er lernt, die verschiedenen Stellen zu unterscheiden und zu benennen, aus denen sich die Zahl zusammensetzt: den ganzzahligen Teil (Einer, Zehner, Hunderter), vor allem aber den Dezimalteil mit den Zehnteln, den Hundertsteln und den Tausendsteln.

Eine klassische Schwierigkeit liegt in der Verwechslung der Stellen, insbesondere zwischen Zehnteln und Hundertsteln, oder in einer lautlichen Ähnlichkeit zwischen Zehnern und Zehnteln. Viele Schülerinnen und Schüler neigen außerdem dazu, den Teil nach dem Komma als eigenständige ganze Zahl zu lesen, und vergessen dabei, dass die Position der Null (wie bei 4,05 im Vergleich zu 4,5) den Wert der Hundertstel vollständig verändert.

Anhand konkreter Übungen wie Finde die Ziffer der Hundertstel trainiert die Schülerin bzw. der Schüler, eine gegebene Dezimalzahl zu analysieren, um darin ohne Zögern die Ziffer an der geforderten Stelle zu erkennen.

In der CM2 festigt die Schülerin bzw. der Schüler das Verständnis von Zahlen, indem sie bzw. er lernt, einen durch eine Dezimalzahl mit Komma bezeichneten Punkt auf einer beschrifteten Zahlengeraden abzulesen. Dabei stützt sie bzw. er sich auf die regelmäßige Unterteilung der Einheit in Zehntel oder Hundertstel, um die Lage eines Wertes zwischen zwei ganzen Zahlen oder zwei Dezimalzahlen genau zu bestimmen.

Der häufigste Fehler besteht darin, die kleinen Striche einfach zu zählen, ohne vorab den Wert jedes Abschnitts zu bestimmen. Ein Kind könnte zum Beispiel 3,4 ablesen, weil es die vierte Markierung nach der 3 zählt, ohne zu bemerken, dass jeder Schritt in Wirklichkeit ein Hundertstel darstellt (was 3,04 entspräche), oder es zählt die Markierungen so, als handele es sich immer um ganze Einheiten.

Mit der Übung Lies die Dezimalzahl auf der Zahlengeraden ab wird eine Zahlengerade mit einigen beschrifteten Referenzpunkten und einer Markierung für eine bestimmte Stelle gezeigt. Die Schülerin bzw. der Schüler betrachtet den Abstand zwischen den gegebenen Referenzpunkten, um den Wert einer Unterteilung zu berechnen, und erfasst anschließend die genaue Dezimalzahl, die zu der angezeigten Stelle gehört.

Im CM2 festigt der Schüler die Verwendung der graduierten Halbgeraden, um mit Zahlen zu arbeiten. Er lernt, die Lage eines Punktes genau zu bestimmen und sie entweder durch einen Bruch oder durch die Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch kleiner als eins zu benennen (zum Beispiel, um eine Teilung zu kennzeichnen, die jenseits von 1 oder 2 liegt).

Die klassische Schwierigkeit besteht darin, den Nenner richtig zu erkennen. Sehr oft zählt das Kind die senkrechten Striche statt die Abstände, oder es zählt alle sichtbaren Teilstriche auf der Linie, anstatt nur auf die Unterteilung einer einzigen Einheit zu achten (den Abstand zwischen 0 und 1).

In der Praxis wird in Aufgaben vom Typ „Lies den Bruch auf der graduierten Geraden ab“ eine regelmäßige graduierte Gerade mit ganzzahligen Markierungen und einem Pfeil oder einem Zielpunkt dargestellt. Der Schüler muss zunächst bestimmen, in wie viele gleiche Teile jede Einheit unterteilt ist, um den Nenner zu finden, und dann die Anzahl der Teile vom Ursprung oder von der vorangehenden ganzen Zahl aus zählen, um den gesuchten Bruch zu schreiben.

In der 4. Klasse (CM2) vertieft das Kind das Verständnis geometrischer Beziehungen, indem es Parallelität und Senkrechtstellung konkret erkennt und anwendet. Anhand der Linien eines Karomusters prüft es, ob sich zwei Strecken unter einem rechten Winkel schneiden oder ob sie einen gleichbleibenden Abstand haben und sich dabei nie kreuzen.

Ein häufiger Fehler besteht darin, die Lage der Zeichnungen allein mit dem bloßen Auge zu beurteilen, besonders dann, wenn sich die Strecken nicht berühren oder schräg zu den Linien des Gitters verlaufen. Das Kind neigt dann dazu, Strecken, die sich lediglich schneiden, als senkrecht zu bezeichnen, statt die Anzahl der Kästchen zu zählen, um den Winkel oder den Abstand zu überprüfen.

Bei der Übung Parallel oder senkrecht? betrachtet das Kind verschiedene Geraden oder Strecken, die auf einem Karomuster eingezeichnet sind. Es untersucht die angegebenen Paare und entscheidet für jedes, ob die Strecken parallel oder senkrecht zueinander sind oder ob keine dieser beiden Eigenschaften zutrifft.

In der 4. Klasse (CM2), nachdem die Schüler in den Vorjahren Achsen identifiziert und einfache Figuren auf kariertem Papier ergänzt haben, üben sie, den Spiegelpunkt eines Punktes an einer Geraden zu konstruieren. Sie lernen, dass der Spiegelpunkt auf der anderen Seite der Geraden liegt, im gleichen Abstand zu ihr und auf einer Senkrechten zur Achse.

Der typische Fehler besteht darin, den Punkt einfach geradlinig zu verschieben, ohne die Achse zu berücksichtigen, wie bei einem bloßen Verrutschen, oder den Abstand schräg statt senkrecht zur Bezugsgeraden zu messen.

Die Übungsblätter zum Spiegelpunkt eines Punktes an einer Geraden zeigen eine eingezeichnete Gerade und einen oder mehrere einzelne Punkte. Die Schüler müssen dort die genaue Lage des zugehörigen Spiegelpunktes erkennen oder markieren.

In der 4. Klasse (CM2) festigt die Schülerin bzw. der Schüler das Wissen über die Körper im Raum. Sie bzw. er kann die im Lehrplan vorgesehenen Formen eindeutig erkennen und benennen: den Würfel, den Quader, das gerade Prisma, die Pyramide, den Zylinder, den Kegel und die Kugel.

Der häufigste Fehler besteht darin, runde Körper und vieleckige Körper zu verwechseln, die eine ähnliche Silhouette haben, etwa einen Kegel für eine Pyramide oder einen Zylinder für ein gerades Prisma zu halten. Die Lernenden greifen außerdem manchmal intuitiv auf den Wortschatz der ebenen Figuren zurück und nennen beispielsweise eine auf ein Blatt gezeichnete Kugel „Kreis“ oder „Scheibe“.

Bei der Übung „Welcher Körper ist das?“ betrachten die Lernenden die perspektivische Darstellung eines Volumens und ordnen ihm einfach den richtigen geometrischen Namen aus den behandelten Begriffen zu.

In der 4. Klasse festigt Ihr Kind das Studium der Körper, indem es lernt, ein Würfelnetz zu erkennen. Es muss bestimmen, ob eine flache geometrische Anordnung aus sechs quadratischen Flächen beim Falten den Körper vollständig schließt, ohne Lücken und ohne Überlappungen.

Der häufigste Fehler besteht darin, einfach sechs Quadrate zu zählen. Das Kind schließt dann zu schnell, dass die Figur einen Würfel bildet, ohne durch gedankliches Falten zu prüfen, dass sich zwei Flächen überlagern könnten und eine Fläche leer bleibt.

In der Übung Ist das ein Würfelnetz? wird eine ebene Anordnung von Quadraten vorgegeben, die über ihre Seiten miteinander verbunden sind. Die Schülerin bzw. der Schüler muss die Anordnung analysieren und angeben, ob sie tatsächlich dem vollständigen Abwickeln des Würfels entspricht.