Programma scolastico (Austria)

Matematica — 6ª classe AHS (Oberstufe)

Matematica in 6ª classe AHS: potenze, radici e logaritmi, disequazioni, funzioni reali, successioni e serie, vettori nello spazio, statistica e probabilità. Per ogni argomento sono disponibili esercizi di esempio per schede stampabili, con soluzioni.

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Per una verifica: stampa in due gruppi, A e B — stessa struttura, numeri diversi, soluzioni separate per ogni gruppo.

Cosa si impara in matematica in 6ª classe AHS (Austria)?

In la 6a classe (6. Klasse) vengono introdotte le potenze con esponenti razionali e reali, le radici e i logaritmi con le relative regole di calcolo, e si risolvono le disequazioni. Le funzioni reali (di potenza, polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche) vengono studiate, composte, invertite e traslate; le misure di variazione descrivono la loro crescita. Si aggiungono le successioni e le serie aritmetiche e geometriche, le rette e i piani nello spazio, i sistemi di equazioni con tre variabili, gli indici della statistica descrittiva, i diagrammi ad albero, la probabilità condizionata e l'indipendenza.

Sul programma: la base è il programma di studio della AHS-Oberstufe (Allegato A del decreto BGBl. Nr. 88/1985, Matematica, 6a classe). Il programma prevede tre ore settimanali; i contenuti in corsivo sono obbligatori solo nei tipi di scuola con più ore (Realgymnasium), qui: il teorema di Bayes. I punti del programma sono riportati alla lettera nel blocco sottostante.

Ambito del programma

O6.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Sicherung der Nachhaltigkeit

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.1.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.1.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.1.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen; Ungleichungen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.2.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Potenzen (mit natürlichen, ganzen, rationalen bzw. reellen Exponenten), Wurzeln und Logarithmen definieren können; entsprechende Rechenregeln kennen und anwenden können

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O6.2.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Mit Ungleichungen in einer Variablen arbeiten und diese lösen können

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O6.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Reelle Funktionen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Funktionen folgender Arten definieren und darstellen können; typische Formen ihrer Graphen skizzieren können; charakteristische Eigenschaften angeben und im Kontext deuten können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1.a (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Potenzfunktionen: f(x) = a · x^q (q ∈ ℚ)

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1.b (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Polynomfunktionen: f(x) = Σ_{i=0}^{n} a_i · x^i (n ∈ ℕ)

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1.c (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Exponentialfunktionen: f(x) = c · a^x; f(x) = c · e^(k·x)

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1.d (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Logarithmusfunktionen: f(x) = log_a(x); f(x) = ln(x)

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1.e (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Winkelfunktionen: f(x) = sin(x); f(x) = cos(x); f(x) = tan(x); f(x) = a · sin(b · x)

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Reelle Funktionen untersuchen können (Monotonie, lokale und globale Extremstellen, Symmetrie, Periodizität)

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O6.3.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Verkettungen von Funktionen kennen; Umkehrfunktionen kennen

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O6.3.4 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Die Veränderung des Graphen einer Funktion f beschreiben können, wenn man von f(x) zu c ∙ f(x), f(x) + c, f(x + c), bzw. f(c ∙ x) übergeht

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O6.3.5 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Änderungen von Größen durch Änderungsmaße beschreiben können (absolute und relative Änderung, mittlere Änderungsrate, Änderungsfaktor)

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O6.3.6 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Die oben genannten Typen reeller Funktionen, insbesondere Exponentialfunktionen, in außermathematischen Situationen anwenden können; Funktionen als Modelle auffassen, Modelle vergleichen und Grenzen von Modellbildungen reflektieren können

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O6.3.7 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Reelle Funktionen in mehreren Variablen kennen; Funktionen in Formeln erkennen können; den allgemeinen Funktionsbegriff kennen (f: A → B, wobei A und B beliebige Mengen sind)

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.4 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Folgen

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O6.4.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Zahlenfolgen als auf ℕ bzw. ℕ* definierte reelle Funktionen kennen (insbesondere arithmetische Folgen als lineare Funktionen und geometrische Folgen als Exponentialfunktionen); sie durch explizite und rekursive Bildungsgesetze darstellen und in außermathematischen Bereichen anwenden können

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.4.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Eigenschaften von Folgen kennen und untersuchen können (Monotonie, Beschränktheit, Grenzwert)

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O6.5 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Sicherung der Nachhaltigkeit

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O6.5.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.5.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

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O6.5.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

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O6.6 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Reihen

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O6.6.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Summen endlicher arithmetischer und geometrischer Reihen berechnen können

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O6.6.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Summen unendlicher Reihen definieren und für konvergente geometrische Reihen berechnen können

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O6.7 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Vektoren und analytische Geometrie in ℝ³; Vektoren in ℝ^n

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.7.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Die aus der zweidimensionalen analytischen Geometrie bekannten Begriffe und Methoden auf den dreidimensionalen Fall übertragen können (insbesondere Geraden durch Parameterdarstellungen beschreiben können)

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O6.7.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Normalvektoren ermitteln können; Ebenen durch Parameterdarstellungen bzw. Gleichungen (Normalvektordarstellungen) beschreiben können

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O6.7.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen lösen können

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O6.7.4 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento

Vektoren in ℝ^n und deren Rechenoperationen kennen, in Anwendungskontexten interpretieren und verständig einsetzen können

nostra sintesi del punto · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.8 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Beschreibende Statistik; Wahrscheinlichkeit

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O6.8.1 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Darstellungen und Kennzahlen der beschreibenden Statistik kennen und damit arbeiten können

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O6.8.2 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Die Begriffe Zufallsversuch, Ereignis und Wahrscheinlichkeit kennen; Methoden zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten kennen: Bestimmung eines relativen Anteils, Ermittlung einer relativen Häufigkeit durch eine Versuchsserie, Angabe des subjektiven Vertrauens; wissen, dass diese Methoden nur näherungsweise bzw. unsichere Ergebnisse liefern

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O6.8.3 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Den Zusammenhang zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten kennen

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O6.8.4 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Mit Wahrscheinlichkeiten rechnen können (Baumdiagramme; Additions- und Multiplikationsregel)

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O6.8.5 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (stochastische) Unabhängigkeit von Ereignissen kennen

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O6.8.6 (numerazione interna) · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Den Satz von Bayes kennen und anwenden können

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Altri tipi di esercizi

Calcola la media aritmetica (classe 5–6)
La media nella vita di tutti i giorni (classe 5–6)
Media da un diagramma a barre (classe 5–6)
Trova la mediana (classe 5–6)
Potenza con esponente negativo (classe 7–8)
Aumenta di una percentuale (classe 7–8)
Aumento percentuale — scegli la risposta (classe 7–8)
Diminuisci di una percentuale (classe 7–8)
Esponente mancante — proprietà delle potenze (classe 7–8)
Porta fuori un fattore dalla radice (classe 8)
Quante palline rosse aspettarsi? (classe 7–8)
Quante volte ci si aspetta? (classe 7–8)
Estrarre una pallina dalla scatola (classe 7–8)
Lancio di un dado (classe 7–8)
Estrarre un cartellino numerato (classe 7–8)
Somma di due dadi (classe 8)
Due estrazioni con reinserimento (classe 8)
Stima una probabilità da un esperimento (classe 7–8)
Diagramma a punti: il valore più frequente (classe 6)
Diagramma a punti: quante misure? (classe 6)
Istogramma: quante nell'intervallo? (classe 6)
Box plot: il campo di variazione (classe 6)
Diagramma a punti: il campo di variazione (classe 6)
Istogramma: quante minori di… (classe 6)
Box plot: lo scarto interquartile (classe 6)
Progressione aritmetica — somma (classe 11–12)
Progressione aritmetica — termine n-esimo (classe 11–12)
Progressione geometrica — somma (classe 11–12)
Progressione geometrica — termine n-esimo (classe 11–12)
Somma di una serie geometrica (classe 11–12)
Limite di una successione razionale (classe 11–13)
Termine di una successione dalla formula
Termine di una successione ricorsiva
Media ponderata (classe 11–12)
Varianza di un insieme di dati (classe 11–12)
Formula di Bayes — due urne (classe 11–12)
Probabilità totale — due urne (classe 11–12)
Probabilità dell'unione di eventi
Probabilità condizionata da una tabella
Funzione esponenziale decrescente
Valore di una funzione esponenziale
Differenza di logaritmi
Somma di logaritmi
Potenza con esponente razionale
Logaritmo dalla definizione
Logaritmo di una frazione
Cambio di base
Radice di indice dispari
Equazione esponenziale
Interesse composto — deposito
Raccoglimento di un monomio
Scomposizione per raggruppamento
Somma e differenza di cubi
Disequazione lineare
Disequazione di secondo grado
Disequazione di secondo grado in forma fattorizzata
Equazione polinomiale fattorizzata
Equazione biquadratica
Equazione con valore assoluto
Disequazione con valore assoluto
La funzione f(x) = a/x
Traslazione di un grafico
Inversa di una funzione lineare
Tasso di variazione medio
Composizione di funzioni
Sistema di tre equazioni (classe 11–12)
Massimo di una sinusoide (classe 11–12)
Periodo di una sinusoide (classe 11–12)
Gradi in radianti (classe 11–12)
Radianti in gradi (classe 11–12)
Combinazione di vettori
Modulo di un vettore
Distanza tra punti nello spazio (classe 11–13)
Punto di una retta nello spazio (classe 12–13)
Distanza di un punto da una retta nello spazio (classe 12–13)
Combinazione di vettori nello spazio (classe 11–13)
Modulo di un vettore nello spazio (classe 11–13)
Vettori collineari nello spazio (classe 11–13)
Equazione di un piano da un punto e un vettore normale (classe 12–13)
Punto che appartiene a un piano (classe 12–13)
Distanza di un punto da un piano (classe 12–13)
Posizione reciproca di due piani (classe 12–13)
Posizione di una retta rispetto a un piano (classe 12–13)
Intersezione di una retta con un piano (classe 12–13)
Posizione reciproca di due rette nello spazio (classe 12–13)
Monotonia di una successione (classe 11–12)
Confronto di potenze con la stessa base
Eventi indipendenti
Valore di una funzione goniometrica dal grafico (classe 11)
Asintoto del grafico di una funzione tangente (classe 11–12)
Insieme immagine di una sinusoide dal grafico (classe 11)
Periodo di una funzione goniometrica dal grafico (classe 11)
Periodo di una funzione tangente dal grafico (classe 11–12)
Quanti zeri nell'intervallo? (classe 11)
Valore della funzione dal grafico
Zeri dal grafico
Dominio dal grafico
Dove la funzione cresce (dal grafico)
Dove la funzione decresce (dal grafico)
Funzione definita a tratti
Insieme immagine dal grafico
Segno della funzione dal grafico
Radici di un polinomio dal grafico
La crescita esponenziale supera quella lineare
Immagine di un punto del grafico: y = −f(x), y = f(−x)
Formula di y = −f(x) o y = f(−x) dal grafico
Stima la media da una tabella di frequenze per classi
Termine generale di una successione lineare
Termine generale di una successione quadratica
Proporzionalità diretta: y = kxⁿ
Proporzionalità inversa: y = k/xⁿ
Prodotto vettoriale

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