Lehrplan (Österreich)

Mathematik — 6. Klasse AHS (Oberstufe)

Mathematik in der 6. Klasse AHS: Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Ungleichungen, reelle Funktionen, Folgen und Reihen, Vektoren im Raum, Statistik und Wahrscheinlichkeit. Zu jedem Thema gibt es Beispielaufgaben für druckbare Arbeitsblätter mit Lösungen.

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Was lernt man in der 6. Klasse AHS in Mathematik?

In der 6. Klasse werden Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten, Wurzeln und Logarithmen samt Rechenregeln eingeführt und Ungleichungen gelöst. Reelle Funktionen — Potenz-, Polynom-, Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen — werden untersucht, verkettet, umgekehrt und verschoben; Änderungsmaße beschreiben ihr Wachstum. Dazu kommen arithmetische und geometrische Folgen und Reihen, Geraden und Ebenen im Raum, Gleichungssysteme mit drei Variablen, Kennzahlen der beschreibenden Statistik, Baumdiagramme, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

Zum Lehrplan: Grundlage ist der Lehrstoff der AHS-Oberstufe (Anlage A der Verordnung BGBl. Nr. 88/1985, Mathematik, 6. Klasse). Der Lehrplan geht von drei Wochenstunden aus; kursiv gesetzte Inhalte sind nur in Schulformen mit mehr Stunden (Realgymnasium) verpflichtend — hier: der Satz von Bayes. Die Lehrstoffpunkte stehen wörtlich im Block unten.

Lehrplanumfang

O6.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sicherung der Nachhaltigkeit

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.1.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.1.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.1.3 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen; Ungleichungen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.2.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Potenzen (mit natürlichen, ganzen, rationalen bzw. reellen Exponenten), Wurzeln und Logarithmen definieren können; entsprechende Rechenregeln kennen und anwenden können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.2.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mit Ungleichungen in einer Variablen arbeiten und diese lösen können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Reelle Funktionen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen folgender Arten definieren und darstellen können; typische Formen ihrer Graphen skizzieren können; charakteristische Eigenschaften angeben und im Kontext deuten können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1.a (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Potenzfunktionen: f(x) = a · x^q (q ∈ ℚ)

eigene Zusammenfassung des Punktes · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.1.b (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Polynomfunktionen: f(x) = Σ_{i=0}^{n} a_i · x^i (n ∈ ℕ)

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O6.3.1.c (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Exponentialfunktionen: f(x) = c · a^x; f(x) = c · e^(k·x)

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O6.3.1.d (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Logarithmusfunktionen: f(x) = log_a(x); f(x) = ln(x)

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O6.3.1.e (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Winkelfunktionen: f(x) = sin(x); f(x) = cos(x); f(x) = tan(x); f(x) = a · sin(b · x)

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O6.3.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Reelle Funktionen untersuchen können (Monotonie, lokale und globale Extremstellen, Symmetrie, Periodizität)

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.3 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verkettungen von Funktionen kennen; Umkehrfunktionen kennen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.4 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Veränderung des Graphen einer Funktion f beschreiben können, wenn man von f(x) zu c ∙ f(x), f(x) + c, f(x + c), bzw. f(c ∙ x) übergeht

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.5 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Änderungen von Größen durch Änderungsmaße beschreiben können (absolute und relative Änderung, mittlere Änderungsrate, Änderungsfaktor)

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.6 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die oben genannten Typen reeller Funktionen, insbesondere Exponentialfunktionen, in außermathematischen Situationen anwenden können; Funktionen als Modelle auffassen, Modelle vergleichen und Grenzen von Modellbildungen reflektieren können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.3.7 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Reelle Funktionen in mehreren Variablen kennen; Funktionen in Formeln erkennen können; den allgemeinen Funktionsbegriff kennen (f: A → B, wobei A und B beliebige Mengen sind)

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O6.4 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Folgen

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O6.4.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Zahlenfolgen als auf ℕ bzw. ℕ* definierte reelle Funktionen kennen (insbesondere arithmetische Folgen als lineare Funktionen und geometrische Folgen als Exponentialfunktionen); sie durch explizite und rekursive Bildungsgesetze darstellen und in außermathematischen Bereichen anwenden können

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O6.4.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eigenschaften von Folgen kennen und untersuchen können (Monotonie, Beschränktheit, Grenzwert)

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O6.5 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sicherung der Nachhaltigkeit

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.5.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.5.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.5.3 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Grundkompetenzen nachhaltig sichern

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.6 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Reihen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.6.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Summen endlicher arithmetischer und geometrischer Reihen berechnen können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.6.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Summen unendlicher Reihen definieren und für konvergente geometrische Reihen berechnen können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.7 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Vektoren und analytische Geometrie in ℝ³; Vektoren in ℝ^n

eigene Zusammenfassung des Punktes · Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.7.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die aus der zweidimensionalen analytischen Geometrie bekannten Begriffe und Methoden auf den dreidimensionalen Fall übertragen können (insbesondere Geraden durch Parameterdarstellungen beschreiben können)

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.7.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Normalvektoren ermitteln können; Ebenen durch Parameterdarstellungen bzw. Gleichungen (Normalvektordarstellungen) beschreiben können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.7.3 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen lösen können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.7.4 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte

Vektoren in ℝ^n und deren Rechenoperationen kennen, in Anwendungskontexten interpretieren und verständig einsetzen können

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O6.8 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beschreibende Statistik; Wahrscheinlichkeit

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.8.1 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Darstellungen und Kennzahlen der beschreibenden Statistik kennen und damit arbeiten können

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.8.2 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Begriffe Zufallsversuch, Ereignis und Wahrscheinlichkeit kennen; Methoden zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten kennen: Bestimmung eines relativen Anteils, Ermittlung einer relativen Häufigkeit durch eine Versuchsserie, Angabe des subjektiven Vertrauens; wissen, dass diese Methoden nur näherungsweise bzw. unsichere Ergebnisse liefern

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.8.3 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Zusammenhang zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten kennen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.8.4 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mit Wahrscheinlichkeiten rechnen können (Baumdiagramme; Additions- und Multiplikationsregel)

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.8.5 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (stochastische) Unabhängigkeit von Ereignissen kennen

Lehrplan AHS, Anlage A, Oberstufe, Mathematik, Lehrstoff, 6. Klasse
O6.8.6 (eigene Nummerierung) · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Satz von Bayes kennen und anwenden können

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Aufgabenvorlagen zum Ausdrucken

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Weitere Aufgabentypen

Den Mittelwert berechnen (1.–2. Kl. MS/AHS)
Der Mittelwert im Alltag (1.–2. Kl. MS/AHS)
Mittelwert aus einem Säulendiagramm (1.–2. Kl. MS/AHS)
Den Median bestimmen (1.–2. Kl. MS/AHS)
Potenz mit negativem Exponenten (3.–4. Kl. MS/AHS)
Prozentuale Erhöhung — wähle die Antwort (3.–4. Kl. MS/AHS)
Um Prozent erhöhen (3.–4. Kl. MS/AHS)
Um Prozent vermindern (3.–4. Kl. MS/AHS)
Fehlender Exponent — Potenzgesetze (3.–4. Kl. MS/AHS)
Teilweise die Wurzel ziehen (4. Kl. MS/AHS)
Wie oft ist das zu erwarten? (3.–4. Kl. MS/AHS)
Wie oft ist eine rote Kugel zu erwarten? (3.–4. Kl. MS/AHS)
Eine Kugel aus der Schachtel ziehen (3.–4. Kl. MS/AHS)
Würfeln (3.–4. Kl. MS/AHS)
Eine Zahlenkarte ziehen (3.–4. Kl. MS/AHS)
Augensumme zweier Würfel (4. Kl. MS/AHS)
Zweimal Ziehen mit Zurücklegen (4. Kl. MS/AHS)
Wahrscheinlichkeit aus einem Experiment schätzen (3.–4. Kl. MS/AHS)
Histogramm: wie viele im Intervall? (2. Kl. MS/AHS)
Punktdiagramm: der häufigste Wert (2. Kl. MS/AHS)
Punktdiagramm: wie viele Messwerte? (2. Kl. MS/AHS)
Boxplot: die Spannweite (2. Kl. MS/AHS)
Histogramm: wie viele kleiner als… (2. Kl. MS/AHS)
Punktdiagramm: die Spannweite (2. Kl. MS/AHS)
Boxplot: der Interquartilsabstand (2. Kl. MS/AHS)
Arithmetische Folge — Summe (7.–8. Kl. AHS)
Arithmetische Folge — n-tes Glied (7.–8. Kl. AHS)
Geometrische Folge — Summe (7.–8. Kl. AHS)
Geometrische Folge — n-tes Glied (7.–8. Kl. AHS)
Summe einer geometrischen Reihe (7.–8. Kl. AHS)
Grenzwert einer gebrochenen Folge (7. Kl. AHS – Kl. 13)
Folgenglied aus der Formel
Glied einer rekursiven Folge
Gewichtetes Mittel (7.–8. Kl. AHS)
Varianz einer Datenreihe (7.–8. Kl. AHS)
Satz von Bayes — zwei Urnen (7.–8. Kl. AHS)
Totale Wahrscheinlichkeit — zwei Urnen (7.–8. Kl. AHS)
Wahrscheinlichkeit von A ∪ B
Bedingte Wahrscheinlichkeit aus der Vierfeldertafel
Fallende Exponentialfunktion
Wert einer Exponentialfunktion
Differenz von Logarithmen
Summe von Logarithmen
Potenz mit rationalem Exponenten
Logarithmus eines Bruchs
Logarithmus nach Definition
Basiswechsel beim Logarithmus
Ungerade Wurzel
Exponentialgleichung
Zinseszins — Geldanlage
Monom ausklammern
Faktorisieren durch Gruppieren
Summe und Differenz von Kuben
Lineare Ungleichung
Quadratische Ungleichung
Quadratische Ungleichung in Produktform
Polynomgleichung in Produktform
Biquadratische Gleichung
Betragsgleichung
Betragsungleichung
Die Funktion f(x) = a/x
Verschiebung eines Graphen
Umkehrfunktion einer linearen Funktion
Mittlere Änderungsrate
Verkettung von Funktionen
Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten (7.–8. Kl. AHS)
Maximum einer Sinuskurve (7.–8. Kl. AHS)
Periode einer Sinuskurve (7.–8. Kl. AHS)
Bogenmaß in Grad (7.–8. Kl. AHS)
Grad ins Bogenmaß (7.–8. Kl. AHS)
Linearkombination von Vektoren
Länge eines Vektors
Abstand zweier Punkte im Raum (7. Kl. AHS – Kl. 13)
Punkt auf einer Geraden im Raum (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Linearkombination von Vektoren im Raum (7. Kl. AHS – Kl. 13)
Länge eines Vektors im Raum (7. Kl. AHS – Kl. 13)
Kollineare Vektoren im Raum (7. Kl. AHS – Kl. 13)
Ebenengleichung aus Punkt und Normalenvektor (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Punkt in einer Ebene (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Abstand eines Punktes von einer Ebene (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Lagebeziehung zweier Ebenen (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Lage einer Geraden zu einer Ebene (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Schnittpunkt von Gerade und Ebene (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Lagebeziehung zweier Geraden im Raum (8. Kl. AHS – Kl. 13)
Monotonie einer Folge (7.–8. Kl. AHS)
Potenzen mit gleicher Basis vergleichen
Stochastische Unabhängigkeit
Funktionswert einer trigonometrischen Funktion am Graphen (7. Kl. AHS)
Asymptote des Graphen einer Tangensfunktion (7.–8. Kl. AHS)
Periode einer Tangensfunktion am Graphen (7.–8. Kl. AHS)
Periode einer trigonometrischen Funktion am Graphen (7. Kl. AHS)
Wertebereich einer Sinuskurve am Graphen (7. Kl. AHS)
Wie viele Nullstellen im Intervall? (7. Kl. AHS)
Funktionswert am Graphen ablesen
Nullstellen am Graphen ablesen
Abschnittsweise definierte Funktion
Definitionsbereich am Graphen ablesen
Fallend — am Graphen ablesen
Steigend — am Graphen ablesen
Vorzeichen am Graphen ablesen
Wertebereich am Graphen ablesen
Nullstellen eines Polynoms am Graphen
Exponentielles Wachstum überholt lineares
Bildpunkt am Graphen: y = −f(x) und y = f(−x)
Term von y = −f(x) oder y = f(−x) aus dem Graphen
Mittelwert aus einer klassierten Häufigkeitstabelle schätzen
Explizite Formel einer arithmetischen Folge
Explizite Formel einer quadratischen Folge
Direkte Proportionalität: y = kxⁿ
Umgekehrte Proportionalität: y = k/xⁿ
Vektorprodukt

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