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Esame (Polonia)

Esame di ottava classe di matematica — simulazione d'esame da stampare

Preparazione all'esame di ottava classe di matematica: come si presenta il foglio d'esame CKE, quanto dura e come viene valutato — e soprattutto una simulazione d'esame da stampare con un solo clic: 21 quesiti secondo la struttura del foglio CKE, con punteggio, soluzioni e diagnosi degli errori.

Prepara una simulazione d’esame

Come si presenta l'esame di ottava classe di matematica?

L'esame di matematica dura 125 minuti (gli studenti con adattamento delle condizioni possono avere fino a 40 minuti in più). La prova contiene 20–21 quesiti, per i quali si possono ottenere 30 punti:

  • 14–15 quesiti a risposta chiusa — da 1 punto ciascuno: scelta multipla a risposta singola, vero–falso, abbinamento; costituiscono circa la metà del punteggio,
  • 5–6 quesiti a risposta aperta — da 2 o 3 punti ciascuno; viene valutato l'intero procedimento logico e anche per una soluzione incompleta è possibile ottenere punti parziali.

Nella prova compaiono prima i quesiti a risposta chiusa, poi quelli a risposta aperta. L'esame non si può «non superare» — il risultato viene espresso in percentuale e su scala percentile. Dettagli e prove d'esempio: guide informative della Commissione Centrale d'Esame.

Simulazione d'esame con un clic

Il pulsante «Crea simulazione d'esame da stampare» compone la prova secondo il formato CKE: 15 quesiti a risposta chiusa (scelta tra quattro opzioni A–D e sì/no) e 6 a risposta aperta, con il punteggio accanto a ciascun quesito, il totale e le istruzioni nell'intestazione. La griglia delle risposte include una colonna per i punteggi.

Ogni risposta errata nei quesiti a risposta chiusa corrisponde a un errore identificato: sotto la griglia si vede chi ha «moltiplicato la base per l'esponente» e chi ha «sommato i cateti invece di usare il teorema di Pitagora». L'insegnante sa subito cosa ripassare. A ogni clic viene generato un set diverso con numeri differenti, e ciascuna sezione della scheda può essere successivamente modificata.

Cosa comprende l'esame?

L'esame verifica i requisiti del programma didattico dell'intera scuola primaria, con particolare attenzione alle classi 7ª e 8ª: potenze e radici, percentuali nella pratica, proporzionalità, numeri razionali, espressioni algebriche ed equazioni, teorema di Pitagora, figure piane e solidi, probabilità e lettura dei dati.

Nota importante sul programma didattico: il nuovo programma (Gazzetta Ufficiale 2026 voce 378) entrerà in vigore per la classe 8ª a partire dall'anno scolastico 2030/2031; fino ad allora gli studenti dell'ottava classe seguiranno il programma del 2017, e l'ambito degli argomenti d'esame è simile in entrambi i casi. Il materiale didattico per le classi 7ª e 8ª è disponibile anche sulle pagine dedicate alla classe 7 e alla classe 8.

Ambito del programma

  1. Punto del programma MAT.VII-VIII.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Numeri

    nostra traduzione · testo originale (PL): Liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1

  2. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    esegue calcoli e ragionamenti in cui utilizza la notazione percentuale, tra cui calcola:

    nostra traduzione · testo originale (PL): prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1

  3. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

    Calcolo di aumenti e riduzioni percentuali di prezzo (da noi in classe 7-8) · Calcolo degli interessi su un deposito annuale (da noi in classe 7-8)

  4. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola potenze di numeri razionali con esponente naturale

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

    Calcolo delle potenze di numeri con esponente naturale (da noi in classe 7-8)

  5. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    trasforma potenze con esponente intero negativo nelle corrispondenti potenze con esponenti naturali

    nostra traduzione · testo originale (PL): zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4

  6. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le proprietà delle operazioni con le potenze con basi naturali ed esponenti interi, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

    Operazioni con le potenze ed esponente mancante (da noi in classe 7-8)

  7. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    scrive i numeri in notazione scientifica e confronta i numeri scritti in questo modo

    nostra traduzione · testo originale (PL): zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

    Notazione scientifica e confronto di numeri (da noi in classe 7-8)

  8. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola i valori delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente quadrati o cubi di numeri razionali, e calcola i valori approssimati delle radici di altri numeri con la calcolatrice

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

    Calcolo delle radici quadrate (da noi in classe 7-8)

  9. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stima il valore di una semplice espressione aritmetica contenente radici

    nostra traduzione · testo originale (PL): szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8

  10. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le proprietà delle operazioni con le radici per le radici quadrate e cubiche, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

    Portare un fattore fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  11. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce relazioni di proporzionalità diretta, le applica per determinare il valore di una grandezza in base all'altra e utilizza la ripartizione proporzionale in due o tre parti in un contesto pratico

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

    Divisione di una grandezza in un dato rapporto (da noi in classe 7-8) · Calcolo del termine incognito di una proporzione (da noi in classe 5-6)

  12. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica la regola della moltiplicazione per contare coppie di elementi in situazioni che richiedono una doppia scelta

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11

  13. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza la calcolatrice e applicazioni informatiche per eseguire calcoli nella risoluzione di problemi inseriti in un contesto pratico.

    nostra traduzione · testo originale (PL): używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12

  14. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    quale percentuale di un numero è un altro numero

    nostra traduzione · testo originale (PL): jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

    Calcolare quale percentuale di un numero è un altro (da noi in classe 7-8)

  15. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide potenze con la stessa base

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

    Operazioni con le potenze ed esponente mancante (da noi in classe 7-8)

  16. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola le radici del prodotto e del quoziente di due numeri

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

    Portare un fattore fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  17. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    una data percentuale di un dato numero

    nostra traduzione · testo originale (PL): podany procent danej liczby

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b

    Calcolo della percentuale di un dato numero (da noi in classe 6)

  18. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide potenze con lo stesso esponente

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

    Operazioni con le potenze ed esponente mancante (da noi in classe 7-8)

  19. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide radici dello stesso indice

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

    Portare un fattore fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  20. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    il numero sulla base di una sua percentuale data

    nostra traduzione · testo originale (PL): liczbę na podstawie danego jej procentu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

    Calcolo del numero intero a partire da una percentuale data (da noi in classe 7-8)

  21. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    eleva una potenza a potenza

    nostra traduzione · testo originale (PL): podnosi potęgę do potęgi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

    Operazioni con le potenze ed esponente mancante (da noi in classe 7-8)

  22. Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    porta un numero fuori dal segno di radice e porta un numero sotto il segno di radice

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

    Portare un fattore fuori dal segno di radice (da noi in classe 7-8)

  23. Punto del programma MAT.VII-VIII.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Algebra

    nostra traduzione · testo originale (PL): Algebra

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2

  24. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    crea espressioni algebriche, anche espressioni a due variabili, che descrivono le relazioni tra le grandezze presentate nel problema e le usa per risolvere problemi, compresi quelli inseriti in un contesto pratico

    nostra traduzione · testo originale (PL): tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1

  25. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola il valore numerico di un'espressione algebrica che è la somma di al massimo tre monomi per dati valori interi delle variabili

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

    Calcolo del valore di un'espressione algebrica (da noi in classe 7-8)

  26. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    ordina i monomi e riduce i termini simili nelle somme algebriche

    nostra traduzione · testo originale (PL): porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

    Riduzione dei termini simili nelle espressioni (da noi in classe 7-8)

  27. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    addiziona e sottrae somme algebriche formate da più monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

    Riduzione dei termini simili nelle espressioni (da noi in classe 7-8)

  28. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica un monomio per una somma algebrica di al massimo tre monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

    Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune (da noi in classe 7-8)

  29. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica composta da due monomi con coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

    Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune (da noi in classe 7-8)

  30. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica tra loro due binomi a coefficienti interi

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

    Moltiplicazione di due binomi (da noi in classe 7-8)

  31. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    trasforma semplici formule per ricavare una grandezza data, anche in formule geometriche e fisiche

    nostra traduzione · testo originale (PL): przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8

  32. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    verifica se un dato numero intero è soluzione di un'equazione (di primo, secondo o terzo grado) a un'incognita

    nostra traduzione · testo originale (PL): sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

    Verificare se un numero è soluzione di un'equazione (da noi in classe 7-8)

  33. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    verifica se un dato numero razionale è soluzione di un'equazione di primo grado

    nostra traduzione · testo originale (PL): sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

    Verificare se un numero è soluzione di un'equazione (da noi in classe 7-8)

  34. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

    Risolvere equazioni lineari in due passaggi (da noi in classe 7-8) · Risoluzione di equazioni con l'incognita da entrambi i lati (da noi in classe 7-8)

  35. Punto del programma MAT.VII-VIII.2.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve problemi con testo mediante equazioni di primo grado con un'incognita o due equazioni di primo grado con due incognite, che possono essere ricondotte in modo semplice a un'equazione di primo grado.

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12

    Sistemi di due equazioni nei problemi con testo (da noi in classe 8)

  36. Punto del programma MAT.VII-VIII.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Figure

    nostra traduzione · testo originale (PL): Figury

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3

  37. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce in un disegno e disegna l'asse di un segmento e la bisettrice di un angolo, utilizza le loro proprietà

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1

  38. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce e disegna figure a simmetria assiale e a simmetria centrale, individua i loro assi di simmetria e il centro di simmetria

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2

  39. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la misura dell'angolo interno di un poligono regolare

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3

  40. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce triangoli rettangoli in diverse situazioni geometriche, applica il teorema di Pitagora

    nostra traduzione · testo originale (PL): dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

    Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli (da noi in classe 7-8)

  41. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le proprietà dei triangoli rettangoli particolari, cioè dei triangoli rettangoli con angoli acuti di 30° e 60° e dei triangoli rettangoli isosceli

    nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5

    Triangoli rettangoli con angoli di 30°, 60° e 45° (da noi in classe 8)

  42. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica i criteri di congruenza dei triangoli

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje cechy przystawania trójkątów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6

  43. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza długość okręgu i pole koła

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

    Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio (da noi in classe 7-8)

  44. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    divide poligoni in parti o riconosce figure come parti di un'altra figura al fine di calcolare, confrontare o stimare aree e riconoscere altre relazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8

  45. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

    Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli (da noi in classe 7-8) · Area e volume del prisma triangolare (da noi in classe 8) · Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio (da noi in classe 7-8)

  46. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    disegna in un sistema di coordinate poligoni con vertici nei punti del reticolo

    nostra traduzione · testo originale (PL): rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10

  47. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola l'area e il perimetro di triangoli e quadrilateri con i vertici nei punti del reticolo quadratro

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11

  48. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce prismi retti e regolari e piramidi regolari

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12

  49. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.13 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    indica l'altezza delle facce laterali e l'altezza della piramide

    nostra traduzione · testo originale (PL): wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13

  50. Punto del programma MAT.VII-VIII.3.14 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola l'area della superficie e il volume di prismi retti e piramidi regolari.

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14

    Area e volume del prisma triangolare (da noi in classe 8) · Calcolo del volume di una piramide regolare (da noi in classe 8)

  51. Punto del programma MAT.VII-VIII.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dati ed eventi casuali

    nostra traduzione · testo originale (PL): Dane i zdarzenia losowe

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4

  52. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    acquisisce e seleziona dati da fonti diverse, li ordina e ne valuta l'attendibilità

    nostra traduzione · testo originale (PL): pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1

  53. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    sceglie una modalità di rappresentazione dei dati che ne faciliti l'analisi, utilizzando adeguate applicazioni informatiche

    nostra traduzione · testo originale (PL): dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2

  54. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta la relazione tra due grandezze descritta mediante un grafico, ad esempio la variazione di una certa grandezza nel tempo, tra cui: distanza percorsa, livello delle retribuzioni, costo della vita, inflazione – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3

  55. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza la media aritmetica e la mediana in un contesto pratico per confrontare insiemi di dati, inclusi i dati finanziari – modulo economico-finanziario

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

    Media aritmetica nelle situazioni quotidiane (da noi in classe 5-6)

  56. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta criticamente i dati, inclusi i dati finanziari, ne trae conclusioni e le giustifica, facendo riferimento alle proprietà dell'insieme di dati

    nostra traduzione · testo originale (PL): krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5

  57. Punto del programma MAT.VII-VIII.4.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    esegue semplici esperimenti aleatori consistenti, ad esempio, nel lancio singolo o doppio di una moneta o di un dado da gioco e nell'estrazione di una pallina da un insieme di palline, analizza gli esperimenti aleatori e determina qual è la probabilità degli eventi considerati.

    nostra traduzione · testo originale (PL): przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

    Calcolo della probabilità nell'estrazione di una pallina (da noi in classe 7-8) · Probabilità in due lanci o estrazioni (da noi in classe 8)

  58. Punto del programma MAT.VII-VIII.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Pensiero matematico

    nostra traduzione · testo originale (PL): Myślenie matematyczne

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5

  59. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica metodi generali di risoluzione di problemi matematici, tra cui:

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1

  60. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    spiega il proprio modo di pensare nella risoluzione di un problema matematico attraverso:

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2

  61. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    conduce ragionamenti matematici, dimostrando al contempo la capacità di:

    nostra traduzione · testo originale (PL): prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3

  62. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    registra le relazioni tra i dati presenti nel problema in modo da facilitare l'analisi del problema

    nostra traduzione · testo originale (PL): zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a

  63. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    fornire argomentazioni matematiche a giustificazione dei successivi passaggi del ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (PL): podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a

  64. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    distinguere un teorema dal suo teorema inverso

    nostra traduzione · testo originale (PL): odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a

  65. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    analizza la propria soluzione del problema e – se possibile – semplifica la soluzione

    nostra traduzione · testo originale (PL): analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b

  66. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    costruire una giustificazione facendo ricorso solo agli argomenti necessari

    nostra traduzione · testo originale (PL): budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b

  67. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    usare ragionamenti per assurdo semplici, a un solo passaggio

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b

  68. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    pone ulteriori domande derivanti dalla soluzione ottenuta

    nostra traduzione · testo originale (PL): stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c

  69. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.2.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    formulazione di conclusioni derivanti dal ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (PL): formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c

  70. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.c · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    generalizzazione dei casi particolari osservati

    nostra traduzione · testo originale (PL): uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c

  71. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.1.d · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    nota le analogie tra i metodi di risoluzione di diversi problemi matematici

    nostra traduzione · testo originale (PL): dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d

  72. Punto del programma MAT.VII-VIII.5.3.d · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    giustificare, ad es. fornendo un controesempio, che una data proprietà non sussiste.

    nostra traduzione · testo originale (PL): uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d

  73. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo degli strumenti matematici – comprensione e utilizzo di concetti e proprietà matematiche anche in una nuova situazione, individuazione di relazioni tra proprietà nonché di differenze e somiglianze tra oggetti matematici.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1

  74. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Esecuzione di calcoli aritmetici e algebrici, ricerca di una modalità di calcolo ottimale, utilizzo della calcolatrice o di applicazioni di calcolo quando è giustificato dalla complessità del calcolo o dall'obiettivo del compito.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2

  75. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Trarre conclusioni da informazioni fornite mediante testo, tabelle, diagrammi, grafici ecc., utilizzare concetti, strumenti e argomentazioni matematiche per interpretare criticamente i dati, compreso il riconoscimento di conclusioni ingiustificate.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3

  76. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo di strumenti matematici adeguati per la descrizione, l'analisi e la risoluzione di problemi di diversi ambiti, compresa la vita quotidiana.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4

  77. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.5 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Costruzione di strategie a più fasi per la risoluzione di un problema matematico, individuazione di soluzioni corrette del problema, analisi della soluzione al fine di verificarne la correttezza o di semplificare il modo di ragionare.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5

  78. Punto del programma MAT.VII-VIII.WO.6 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Condurre ragionamenti e giustificarne la correttezza, formulare conclusioni derivanti dalle premesse, selezionare argomentazioni fornendo esempi e controesempi, verificare i ragionamenti proposti da altri.

    nostra traduzione · testo originale (PL): Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

    Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Competenze passo dopo passo

Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli

Uno studente di terza media sa calcolare la lunghezza dell'ipotenusa o di un cateto e verificare se un triangolo con i lati dati è rettangolo.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.4 riconosce triangoli rettangoli in diverse situazioni geometriche, applica il teorema di Pitagora (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni (nostra traduzione)

Lo studente di terza media individua i triangoli rettangoli nelle figure geometriche e applica correttamente la relazione tra i quadrati delle lunghezze dei loro lati. Sulla base dei dati forniti dalla figura o dal testo del problema, l'alunno imposta l'equazione appropriata, eleva le lunghezze al quadrato e ricava il lato mancante, eseguendo infine l'estrazione di radice.

L'errore più comune è confondere i cateti con l'ipotenusa durante la scrittura della formula. Gli studenti spesso sommano meccanicamente i quadrati dei due numeri forniti, anche se uno di essi è il lato più lungo del triangolo, invece di sottrarre il quadrato del cateto dal quadrato dell'ipotenusa. Capita anche di omettere l'elevamento a potenza e sommare semplicemente le lunghezze dei segmenti.

Nelle prove d'esame, l'alunno esegue calcoli aritmetici diretti nei formati Calcola l'ipotenusa e Calcola il cateto. Trova anche domande a risposta multipla (Ipotenusa — scegli la risposta) ed esercizi che verificano l'inverso del teorema: Il triangolo è rettangolo?, dove verifica se la somma dei quadrati dei due lati più corti è uguale al quadrato del lato più lungo.

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Tipi di esercizi: Calcola l'ipotenusa · Calcola un cateto · Il triangolo è rettangolo? · Ipotenusa — scegli la risposta

Calcolo di aumenti e riduzioni percentuali di prezzo

Lo studente è in grado di calcolare il nuovo prezzo di una merce dopo un aumento o una riduzione di una determinata percentuale in problemi con contesto pratico.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

Nell'ambito della preparazione all'esame di terza media, lo studente applica i calcoli percentuali a situazioni di vita quotidiana. In questa fase è in grado di determinare il nuovo valore di una data grandezza o il prezzo di una merce dopo un aumento o una diminuzione di una determinata percentuale, combinando agevolmente il calcolo della frazione di un dato numero con l'addizione o la sottrazione.

Un errore tipico durante l'esame consiste nel limitarsi a calcolare solo l'importo della variazione, considerandolo come risultato finale. Non di rado gli studenti confondono anche l'operazione di addizione con quella di sottrazione, oppure per la fretta scelgono una risposta che contiene solo il valore dell'aumento anziché il nuovo prezzo.

Nella prova d'esame, questa competenza compare sia in quesiti aperti che a risposta chiusa. Gli esercizi basati sui modelli Aumenta di una percentuale e Diminuisci di una percentuale richiedono di calcolare e inserire autonomamente il nuovo importo, mentre il formato Aumento percentuale — scegli la risposta verifica la capacità di individuare rapidamente il prezzo finale corretto tra le opzioni proposte A–D.

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Tipi di esercizi: Aumenta di una percentuale · Aumento percentuale — scegli la risposta · Diminuisci di una percentuale

Calcolo delle potenze di numeri con esponente naturale

Lo studente dell'ottavo anno è in grado di calcolare agevolmente il valore della potenza di un numero razionale, in particolare di un numero intero, quando l'esponente è un numero naturale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.3 calcola potenze di numeri razionali con esponente naturale (nostra traduzione)

In questa fase lo studente eleva numeri razionali — inclusi numeri interi positivi e negativi — a potenze con esponente naturale. Comprende la notazione di potenza come moltiplicazione ripetuta dello stesso numero per se stesso ed è in grado di determinarne il risultato numerico esatto.

Un errore tipico durante l'esame consiste nel confondere l'elevamento a potenza con la semplice moltiplicazione della base per l'esponente (ad esempio, assumere che 3 alla terza faccia 9 invece di 27). Anche i segni dei numeri negativi creano difficoltà: gli studenti spesso perdono il meno o dimenticano che una potenza con esponente pari dà un risultato positivo solo se il numero negativo si trova tra parentesi.

Nella prova d'esame simulata, la verifica di questa competenza assume la forma di quesiti a risposta aperta che richiedono l'inserimento del risultato, come calcola la potenza di un numero intero, oppure di quesiti a risposta multipla del tipo valore della potenza — scegli la risposta corretta, in cui lo studente individua il risultato corretto tra le opzioni proposte.

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Tipi di esercizi: Calcola la potenza di un intero · Valore di una potenza — scegli la risposta

Triangoli rettangoli con angoli di 30°, 60° e 45°

Lo studente calcola le lunghezze dei lati nei triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60° e determina la diagonale di un quadrato e i lati di un triangolo rettangolo isoscele.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.5 utilizza le proprietà dei triangoli rettangoli particolari, cioè dei triangoli rettangoli con angoli acuti di 30° e 60° e dei triangoli rettangoli isosceli (nostra traduzione)

In classe 8 lo studente utilizza le relazioni tra le lunghezze dei lati nei triangoli rettangoli con angoli acuti di 30° e 60° e nei triangoli rettangoli isosceli (con angoli di 45°, 45° e 90°). Conoscendo la lunghezza di un solo lato, è in grado di calcolare le misure degli altri due, basandosi sulle proprietà di metà triangolo equilatero e sulla formula per la diagonale del quadrato.

L'errore più comune consiste nel confondere l'attribuzione dei lati nel triangolo con angoli di 30° e 60°. Gli studenti spesso posizionano il lato più corto di fronte all'angolo di 60° invece che a quello di 30°, oppure associano il fattore con la radice di 3 all'ipotenusa. Crea difficoltà anche determinare il lato di un quadrato quando la diagonale indicata è un numero intero, il che richiede la corretta razionalizzazione del denominatore.

Negli esercizi di preparazione all'esame, questa competenza compare nei modelli Triangolo con angoli di 30° e 60° e Diagonale del quadrato. Nella pratica, lo studente incontra quesiti con figure in cui, partendo dall'angolo indicato e da un solo lato, deve determinare l'area, il perimetro della figura o la lunghezza mancante di un segmento in una figura composta.

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Tipi di esercizi: Diagonale del quadrato · Triangolo con angoli di 30° e 60°

Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio

Lo studente calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio sulla base del raggio o del diametro fornito utilizzando il pi greco.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.7 calcola la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni (nostra traduzione)

In terza media lo studente determina la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio, applicando le formule matematiche appropriate con la costante π. In base alla lunghezza del raggio o del diametro fornita, calcola il perimetro e l'area del cerchio, ed è inoltre in grado di determinare il raggio quando sono note la circonferenza o la sua area.

Un problema tipico consiste nel confondere le due formule, ad esempio raddoppiando il raggio anziché elevarlo al quadrato durante il calcolo dell'area del cerchio. Gli studenti commettono spesso anche l'errore di inserire nelle formule l'intera lunghezza del diametro anziché quella del raggio, portando a risultati errati.

I problemi di preparazione all'esame si basano sui modelli Lunghezza della circonferenza e Area del cerchio. Compaiono nella prova come quesiti a risposta multipla o a risposta aperta, nei quali lo studente scrive il risultato in forma esatta (con il simbolo π) oppure esegue semplici passaggi di calcolo.

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Tipi di esercizi: Area del cerchio · Lunghezza della circonferenza

Probabilità in due lanci o estrazioni

Lo studente calcola la probabilità degli eventi nel lancio di un dado per due volte e nell'estrazione in due fasi con reinserimento, determinando il numero di tutti gli esiti possibili e di quelli favorevoli.

Punto del programma MAT.VII-VIII.4.6 esegue semplici esperimenti aleatori consistenti, ad esempio, nel lancio singolo o doppio di una moneta o di un dado da gioco e nell'estrazione di una pallina da un insieme di palline, analizza gli esperimenti aleatori e determina qual è la probabilità degli eventi considerati. (nostra traduzione)

In terza media lo studente analizza semplici esperimenti a due fasi. È in grado di determinare correttamente il numero di tutti i possibili esiti (ad esempio 36 coppie equiprobabili con due lanci di un classico dado a sei facce), nonché di individuare il numero di esiti favorevoli e di esprimere la probabilità cercata sotto forma di frazione.

L'errore più comune consiste nel trascurare l'ordine degli esiti nelle fasi successive. Gli studenti spesso considerano una coppia di esiti, ad esempio (2, 5) e (5, 2), come uno stesso identico evento, il che porta a sottostimare il numero di eventi favorevoli. Un tipico errore è anche quello di sommare il numero delle facce dei dadi (6 + 6 = 12) invece di moltiplicarle (6 · 6 = 36) per determinare tutte le possibilità.

Nella prova d'esame, i quesiti che verificano questa competenza assumono la forma di consegne in cui lo studente esamina:

  • la somma dei punti su due dadi — ad esempio calcolando la probabilità di ottenere una somma pari a 8 o una somma maggiore di 10,
  • due estrazioni con reimbussolamento — in cui l'elemento estratto viene rimesso nel gruppo prima della seconda estrazione, facendo sì che le condizioni e il numero di biglie rimangano identici in entrambe le fasi.
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Tipi di esercizi: Somma di due dadi · Due estrazioni con reinserimento

Area e volume del prisma triangolare

Lo studente calcola l'area della superficie totale e il volume di un prisma retto a base triangolare sulla base delle dimensioni fornite.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.14 calcola l'area della superficie e il volume di prismi retti e piramidi regolari. (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.3.9 risolve problemi riguardanti oggetti reali che possono essere rappresentati mediante un modello geometrico, anche in una situazione che richiede necessarie semplificazioni (nostra traduzione)

In terza media lo studente è in grado di determinare l'area della superficie totale e il volume di un prisma retto, compreso il prisma a base triangolare. Applica correttamente le formule: calcola il volume come prodotto dell'area di base per l'altezza del solido, e l'area della superficie come somma delle aree delle due basi triangolari e delle tre facce laterali rettangolari.

Un errore tipico durante l'esame è confondere l'altezza del triangolo di base con l'altezza dell'intero solido. Gli studenti spesso dimenticano anche che il solido ha due basi e, nel calcolo dell'area della superficie totale, considerano un solo triangolo. Un altro errore comune consiste nel presumere che tutte le facce laterali siano identiche, mentre invece hanno dimensioni diverse se la base non è un triangolo equilatero.

I problemi di preparazione alla prova d'esame comprendono due tipologie specifiche di esercizi: l'area della superficie del prisma a base triangolare e il volume del prisma a base triangolare. Lo studente risolve problemi con il disegno dello sviluppo sul piano o del solido, nonché problemi con testo in cui calcola prima autonomamente l'area della base triangolare e poi l'intero volume o l'area della superficie.

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Tipi di esercizi: Volume del prisma triangolare · Area della superficie del prisma triangolare

Risolvere equazioni lineari in due passaggi

Lo studente risolve equazioni di primo grado nella forma ax + b = c, eseguendo in successione il trasporto del termine noto e la divisione per il coefficiente dell'incognita.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado (nostra traduzione)

In terza media lo studente risolve con disinvoltura le equazioni di primo grado a un'incognita della forma ax + b = c. Il compito richiede l'esecuzione di due operazioni ordinate: prima l'aggiunta o la sottrazione a entrambi i membri del termine noto, e successivamente la divisione di entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente dell'incognita, così da determinare il valore della singola x.

Il problema più frequente consiste nell'invertire il corretto ordine dei passaggi o nel commettere errori nella gestione dei segni positivi e negativi. Gli studenti tendono talvolta a dividere per il coefficiente a prima di aver sottratto il termine b, il che complica inutilmente i calcoli con le frazioni, oppure dimenticano di cambiare il segno del numero quando lo spostano dall'altra parte dell'uguale.

Nella prova di simulazione, l'esercizio di questa competenza si basa su quesiti in cui è necessario determinare il numero che soddisfa l'espressione Equazione ax + b = c, oppure su quesiti a risposta chiusa (modello Risoluzione dell'equazione — scegli la risposta), in cui lo studente individua il risultato corretto tra le opzioni A, B, C, D.

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Tipi di esercizi: Equazione ax + b = c · Soluzione di un’equazione — scegli la risposta

Calcolo del numero intero a partire da una percentuale data

Lo studente è in grado di determinare la grandezza o il numero iniziale quando sa quale parte di esso rappresenta il valore percentuale dato.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.c il numero sulla base di una sua percentuale data (nostra traduzione)

In terza media lo studente è in grado di determinare l'intero (ovvero il 100%) conoscendo una sua parte specifica espressa in percentuale. Converte agevolmente la percentuale in frazione o numero decimale ed esegue la divisione corrispondente, oppure imposta e risolve una semplice equazione con un'incognita che rappresenta il valore cercato.

Un errore tipico durante l'esame consiste nel confondere la direzione del calcolo: invece di dividere il valore noto per la percentuale, lo studente moltiplica meccanicamente il numero dato per tale percentuale. Di conseguenza calcola la percentuale di un dato numero, invece di risalire all'intero iniziale (ad esempio, invece di cercare la somma il cui 20% è pari a 40 zł, calcola erroneamente il 20% del numero 40).

Nella prova d'esame, i quesiti relativi alla tipologia Numero a partire da una data percentuale assumono per lo più la forma di problemi formulati a parole basati su situazioni quotidiane. Lo studente deve, ad esempio, calcolare il prezzo iniziale di un prodotto prima di uno sconto, la lunghezza totale dell'itinerario di una gita o il numero complessivo di partecipanti a un sondaggio sulla base dei dati relativi a una sua parte.

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Divisione di frazioni ordinarie

L'alunno divide frazioni proprie e improprie con denominatori a una e due cifre, trasformando correttamente la divisione in una moltiplicazione per il reciproco della seconda frazione.

Punto del programma MAT.IV-VI.1.27 addiziona, sottrae, moltiplica e divide frazioni ordinarie con denominatori a una e a due cifre (nostra traduzione)

Come ripasso per l'esame di terza media, lo studente esegue la divisione di frazioni con denominatori a una e due cifre. Trasforma agevolmente l'operazione moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda, semplificando inoltre le frazioni prima di calcolare il risultato finale.

L'errore più comune consiste nell'invertire il numero sbagliato — la prima frazione invece della seconda — oppure nel tentare di dividere direttamente il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore. Capita anche che lo studente inverta il divisore, ma dimentichi di cambiare il segno di divisione con quello di moltiplicazione.

Un esercizio del tipo Dividi una frazione per una frazione verifica direttamente questa abilità: allo studente viene proposto il quoziente di due frazioni ordinarie da calcolare e ridurre ai minimi termini, ossia a una frazione irriducibile.

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Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune

Lo studente moltiplica un monomio per una somma algebrica con coefficienti interi e raccoglie a fattor comune.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.5 moltiplica un monomio per una somma algebrica di al massimo tre monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.6 raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica composta da due monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)

In terza media lo studente esegue con sicurezza le trasformazioni algebriche: moltiplica un monomio per una somma composta al massimo da tre monomi e raccoglie a fattor comune un monomio da una somma di due termini. Queste operazioni vengono svolte su espressioni a coefficienti interi.

Un errore tipico consiste nel moltiplicare per il monomio solo il primo termine tra parentesi e ricopiare il resto senza modifiche (ad esempio scrivendo 2(x + 4) = 2x + 4 invece di 2x + 8). Spesso gli studenti perdono anche il segno meno quando davanti alla parentesi c'è un numero negativo, oppure dimenticano di sommare gli esponenti delle potenze quando moltiplicano la stessa variabile.

Nel foglio d'esame questa competenza compare nei quesiti del modello Moltiplicazione di un monomio per una somma, in cui è necessario sviluppare correttamente le parentesi e ridurre i termini simili per portare l'intera espressione alla sua forma più semplice.

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Calcolare quale percentuale di un numero è un altro

Lo studente è in grado di determinare quale percentuale di una quantità sia rappresentata da un'altra, scrivendo la frazione corrispondente e convertendola in percentuale.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.a quale percentuale di un numero è un altro numero (nostra traduzione)

Uno studente di terza media sa determinare quale percentuale di un dato numero sia un'altra grandezza. In pratica, ciò significa confrontare due numeri impostando un quoziente sotto forma di frazione e convertendolo poi in percentuale — ad esempio portando la frazione al denominatore 100 o moltiplicandola per il 100%.

L'errore più comune durante l'esame consiste nel confondere il numeratore con il denominatore, a causa di un'errata individuazione della base di riferimento. Lo studente inverte il numero che rappresenta il totale con quello che ne costituisce una parte, ottenendo così l'inverso del rapporto cercato.

Nei problemi del tipo Quale percentuale rappresenta un numero? le consegne sono per lo più contestualizzate in situazioni pratiche. Lo studente si trova ad affrontare questo calcolo, ad esempio, per determinare quale percentuale degli alunni di una classe sia costituita da ragazzi o quale parte dell'intero percorso sia stata coperta da un ciclista.

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Calcolo delle radici quadrate

Lo studente calcola i valori esatti delle radici quadrate di numeri razionali che sono quadrati di altri numeri.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.7 calcola i valori delle radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente quadrati o cubi di numeri razionali, e calcola i valori approssimati delle radici di altri numeri con la calcolatrice (nostra traduzione)

In terza media lo studente calcola con sicurezza i valori delle radici quadrate di numeri che sono quadrati di numeri razionali. Ciò significa saper individuare con precisione il numero non negativo che, elevato al quadrato, dà il radicando — con riferimento a numeri interi, frazioni e numeri decimali.

Un errore comune in questa fase è confondere l'estrazione di radice con la divisione per due (ad esempio, ritenere che la radice di 16 sia 8). Gli studenti hanno inoltre difficoltà a determinare correttamente il numero di cifre decimali durante l'estrazione di radice dai numeri decimali, il che porta a risultati errati, come attribuire a 0,4 una radice pari a 0,2.

I quesiti del modello Calcola la radice quadrata consistono nella determinazione diretta del valore numerico della radice. Nelle prove d'esame simulate questa competenza compare da sola negli esercizi di calcolo oppure costituisce un passaggio preliminare per calcoli successivi, ad esempio per determinare la lunghezza dei lati di figure piane a partire dalle loro aree.

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Calcolo dell'area del trapezio

Lo studente è in grado di calcolare correttamente l'area del trapezio in base alla lunghezza delle sue basi e dell'altezza, applicando con disinvoltura la formula geometrica.

Punto del programma MAT.IV-VI.4.14 calcola l'area del triangolo, del quadrato, del rettangolo, del rombo, del parallelogramma, del trapezio e le aree di figure che si possono costruire con essi (nostra traduzione)

Uno studente dell'ultimo anno della scuola secondaria di primo grado che si prepara all'esame sa determinare l'area di un trapezio, identificando correttamente nella figura la coppia di basi parallele e l'altezza a esse perpendicolare. Questa abilità, consolidata negli anni precedenti, richiede una buona padronanza delle operazioni con i numeri e l'applicazione della formula dell'area o la scomposizione del poligono in figure più semplici: un rettangolo e dei triangoli.

L'errore più comune consiste nel confondere l'altezza del trapezio con la lunghezza del suo lato obliquo, soprattutto quando la figura non è un trapezio rettangolo. Gli studenti incontrano a volte difficoltà anche con il corretto ordine delle operazioni: dimenticano di racchiudere tra parentesi la somma delle basi prima di moltiplicarla per l'altezza o di dividere infine il risultato per due.

Nella prova d'esame, i quesiti della tipologia Area del trapezio si presentano sotto forma di disegni geometrici con le dimensioni indicate oppure di figure tracciate su una griglia quadrettata, dalla quale lo studente deve ricavare autonomamente la lunghezza dei segmenti. Il quesito può anche richiedere di calcolare una base mancante o l'altezza, conoscendo già l'area della figura.

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Calcolo dell'area del triangolo

Lo studente calcola l'area di un triangolo in base alla lunghezza della base e dell'altezza a essa relativa, applicando l'apposita formula geometrica.

Punto del programma MAT.IV-VI.4.14 calcola l'area del triangolo, del quadrato, del rettangolo, del rombo, del parallelogramma, del trapezio e le aree di figure che si possono costruire con essi (nostra traduzione)

Come parte della preparazione all'esame di terza media, lo studente determina l'area di un triangolo utilizzando la relazione tra la lunghezza di un lato e l'altezza relativa a tale lato o al suo prolungamento. Si tratta di una competenza introdotta nella scuola primaria che, nella prova d'esame, serve a risolvere problemi di geometria piana — sia autonomi, sia che richiedano il calcolo dell'area di figure composte.

Un errore tipico commesso dagli studenti è l'omissione della divisione per 2, che porta a indicare l'area di un parallelogramma anziché quella del triangolo. Gli alunni hanno anche difficoltà ad associare correttamente il lato alla propria altezza: moltiplicano tra loro segmenti che non sono perpendicolari, oppure confondono la lunghezza di un lato del triangolo con la sua altezza (specialmente nei triangoli ottusangoli, dove l'altezza si trova all'esterno della figura).

Negli esercizi del modello Area del triangolo della prova d'esame simulata, lo studente lavora con una figura di supporto su cui sono indicate le dimensioni, oppure ricava i dati da una griglia quadrettata. La consegna richiede di individuare i segmenti corretti, sostituirli nella formula ed eseguire correttamente la moltiplicazione e la divisione.

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Media aritmetica nelle situazioni quotidiane

Lo studente calcola la media aritmetica di dati numerici tratti dalla vita quotidiana, ad esempio le spese, e trae conclusioni pratiche sulla base di essa.

Punto del programma MAT.IV-VI.5.3 calcola la media aritmetica nella descrizione di fenomeni della vita quotidiana (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.IV-VI.5.4 interpreta i dati relativi alle spese, calcola il loro valore medio e formula conclusioni relative alla convenienza di diverse soluzioni – modulo economico-finanziario. (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.4.4 utilizza la media aritmetica e la mediana in un contesto pratico per confrontare insiemi di dati, inclusi i dati finanziari – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

In terza media lo studente è in grado di sommare le quantità raccolte e dividere il risultato ottenuto per il numero dei dati, al fine di calcolarne la media aritmetica. Utilizza questo strumento per descrivere fenomeni della vita quotidiana e analizzare spese e finanze, il che gli permette di confrontare tra loro diversi insiemi di informazioni e valutare la convenienza delle soluzioni.

Un errore tipico nei calcoli consiste nel dividere la somma per un numero errato di elementi — ad esempio non considerando al denominatore i valori pari a zero, nonostante costituiscano a tutti gli effetti un elemento del set di dati. Gli studenti spesso dimenticano anche l'ordine delle operazioni quando scrivono il calcolo in un'unica espressione, arrivando a dividere per il numero di elementi solo l'ultimo addendo anziché l'intera somma.

Nella prova d'esame, nei quesiti basati sul modello La media nella vita quotidiana, lo studente lavora su dati presentati all'interno di un breve testo o di una semplice tabella. Il compito consiste solitamente nel calcolare un costo medio, un punteggio medio o nel confrontare due gruppi di dati formulando una conclusione concisa.

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Calcolo del termine incognito di una proporzione

Lo studente è in grado di riconoscere una relazione direttamente proporzionale e calcolare il valore mancante, ad esempio il costo o il peso per un diverso numero di pezzi di merce.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.10 riconosce relazioni di proporzionalità diretta, le applica per determinare il valore di una grandezza in base all'altra e utilizza la ripartizione proporzionale in due o tre parti in un contesto pratico (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.IV-VI.6.3.d utilizza il ragionamento proporzionale, anche come metodo per facilitare la moltiplicazione e la divisione. (nostra traduzione)

In classe 8, lo studente usa le proprietà delle grandezze direttamente proporzionali per trovare un valore incognito sulla base di dati correlati. Tramite la moltiplicazione e la divisione, è in grado di ricondurre le grandezze a un'unità comune (ad esempio calcolando il prezzo di un singolo pezzo) oppure di applicare l'uguaglianza dei prodotti per determinare il numero cercato.

Un errore comune consiste nell'applicare un ragionamento additivo anziché proporzionale. Gli studenti, invece di moltiplicare e dividere, provano a sommare o sottrarre la differenza tra i valori noti – ad esempio supponendo che, se il numero di pezzi aumenta di 2, anche il costo totale aumenterà di 2 złoty, anziché del prezzo di due pezzi.

Nella prova d'esame, questa abilità compare in quesiti del tipo Quanto sarà per un numero diverso di pezzi?. Lo studente riceve informazioni sul prezzo, sul peso o sul volume di una confezione di prodotti e deve determinare a quanto ammonterà tale grandezza dopo la variazione del numero di pezzi acquistati.

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Calcolo di spazio, velocità e tempo

L'alunno calcola la distanza percorsa da un oggetto conoscendo la velocità e il tempo, applicando e convertendo correttamente le unità di misura km/h e m/s.

Punto del programma MAT.IV-VI.2.12 in un contesto pratico calcola: lo spazio conoscendo la velocità e il tempo, la velocità conoscendo lo spazio e il tempo, il tempo conoscendo lo spazio e la velocità e utilizza le unità di misura della velocità km/h e m/s (nostra traduzione)

Lo studente risolve problemi ambientati in un contesto pratico, determinando la distanza percorsa in base alla velocità e al tempo di movimento indicati. Utilizza con disinvoltura le unità di misura fondamentali della velocità, come km/h e m/s, prestando attenzione alla coerenza delle unità di misura prima di procedere con la moltiplicazione.

L'errore più comune in questa fase è la moltiplicazione diretta delle grandezze senza aver prima uniformato le unità di misura — ad esempio, moltiplicare la velocità in km/h per il tempo espresso in minuti. Lo studente dimentica quindi di convertire i minuti in una frazione di ora, il che porta a un risultato errato e non realistico.

Nelle attività di preparazione all'esame, come «Quale distanza percorrerà?», lo studente analizza un testo conciso che descrive il movimento di un pedone, di un ciclista o di un'automobile. Il compito consiste nel leggere correttamente i dati relativi a velocità e tempo, nell'eseguire l'eventuale conversione delle unità di misura e nel calcolare la distanza finale.

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Operazioni con le potenze ed esponente mancante

Lo studente applica le proprietà delle potenze con basi naturali ed esponenti interi per semplificare espressioni e determinare un esponente incognito.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5 applica le proprietà delle operazioni con le potenze con basi naturali ed esponenti interi, tra cui: (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.a moltiplica e divide potenze con la stessa base (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.b moltiplica e divide potenze con lo stesso esponente (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.5.c eleva una potenza a potenza (nostra traduzione)

Lo studente sa trasformare espressioni contenenti potenze con basi costituite da numeri naturali ed esponenti interi (positivi, negativi o nulli). A tale scopo utilizza le regole della moltiplicazione e della divisione di potenze con la stessa base e della potenza di potenza, riducendo scritture complesse alla forma più semplice.

L'errore più comune consiste nel confondere le regole e moltiplicare gli esponenti anziché sommarli durante la moltiplicazione di potenze con la stessa base. Creano difficoltà anche le sottrazioni con esponenti negativi nella divisione, dove è facile sbagliare i segni.

Nella simulazione della prova, il quesito su questo argomento consiste nell'inserire l'esponente mancante in un'uguaglianza. Lo studente deve combinare diverse potenze con la stessa base eseguendo le operazioni appropriate per determinare quale numero debba trovarsi all'esponente del risultato.

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Divisione di una grandezza in un dato rapporto

Lo studente divide una data grandezza in due o tre parti secondo un rapporto assegnato e ne calcola i valori in situazioni pratiche.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.10 riconosce relazioni di proporzionalità diretta, le applica per determinare il valore di una grandezza in base all'altra e utilizza la ripartizione proporzionale in due o tre parti in un contesto pratico (nostra traduzione)

Uno studente di terza media sa dividere una determinata quantità in due o tre parti secondo un rapporto numerico dato. Comprende che il rapporto definisce le proporzioni tra le parti dell'intero, pertanto determina prima il valore di una singola parte base e poi calcola le grandezze delle singole quote in un contesto pratico.

Un errore tipico consiste nel dividere l'intera quantità per il numero di soggetti coinvolti nella ripartizione (ad esempio per 2 o per 3) invece che per la somma dei termini che compongono il rapporto (ad esempio per 5 in caso di divisione nel rapporto 2 : 3). Gli studenti a volte hanno anche difficoltà a rispettare l'ordine dei dati, finendo per assegnare la parte maggiore alla persona o all'entità a cui spettava il numero minore di unità.

Negli esercizi del tipo Ripartizione in un dato rapporto lo studente affronta problemi pratici, come la divisione del guadagno di un lavoro svolto insieme, le proporzioni degli ingredienti nelle ricette di cucina o la divisione di un segmento in parti secondo un rapporto stabilito (ad es. 1 : 4 oppure 2 : 3 : 5). La prova richiede di sommare le parti e calcolare il valore effettivo di una o di tutte le quote.

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Portare un fattore fuori dal segno di radice

Lo studente trasforma i radicali quadratici e cubici, portando correttamente un fattore fuori dal segno di radice.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9 applica le proprietà delle operazioni con le radici per le radici quadrate e cubiche, tra cui: (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.a calcola le radici del prodotto e del quoziente di due numeri (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.b moltiplica e divide radici dello stesso indice (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.9.c porta un numero fuori dal segno di radice e porta un numero sotto il segno di radice (nostra traduzione)

In terza media, lo studente che si prepara all'esame semplifica con disinvoltura i radicali quadratici e cubici. Scompone il radicando nel prodotto di fattori, di cui almeno uno sia un quadrato o un cubo perfetto, calcolandone poi il valore ed estraendolo davanti alla radice.

Un problema frequente è il trasporto parziale o incompleto del fattore fuori dal segno di radice, ovvero la scelta di un divisore troppo piccolo (ad esempio scrivere 2√12 invece di 4√3). Gli studenti confondono anche le regole per i diversi indici di radice: con le radici cubiche tendono a cercare coppie di fattori uguali anziché terne, oppure dividono il radicando per l'indice della radice invece di calcolarne correttamente la radice.

Nella prova d'esame, l'esercizio verifica la consegna Porta fuori dal segno di radice. Si richiede allo studente di terza media di trasformare una singola radice quadrata o cubica nella forma del prodotto tra un numero intero e una radice, passaggio fondamentale anche per il successivo confronto di numeri e per l'addizione di espressioni contenenti radicali.

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Notazione scientifica e confronto di numeri

Lo studente scrive i numeri in notazione scientifica e confronta i valori rappresentati in questa forma.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.6 scrive i numeri in notazione scientifica e confronta i numeri scritti in questo modo (nostra traduzione)

Uno studente di terza media che si prepara per l'esame è in grado di scrivere i numeri in notazione scientifica e di confrontare grandezze espresse in questa forma. Trasforma con facilità i numeri dalla scrittura decimale al prodotto di un numero compreso nell'intervallo da 1 a 10 (10 escluso) per un'opportuna potenza di 10, e stabilisce inoltre relazioni di maggioranza e minoranza tra di essi.

Un errore tipico deriva dal non considerare la condizione per il primo fattore: gli studenti accettano spesso forme in cui il primo numero è minore di 1 oppure maggiore o uguale a 10 (ad esempio scrivono 25 moltiplicato per una potenza di dieci invece di 2,5). Nei confronti è inoltre frequente farsi guidare esclusivamente dall'esponente della potenza di dieci, senza prestare attenzione al valore del fattore iniziale.

Nella prova d'esame, i quesiti del modello Notazione scientifica consistono più spesso nel trasformare una grandezza grande o piccola nella corretta notazione scientifica, oppure nell'ordinare diversi numeri dati dal più piccolo al più grande.

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Moltiplicazione di numeri negativi e regole dei segni

Lo studente determina correttamente il segno del risultato ed esegue moltiplicazioni semplici con numeri negativi nelle prove d'esame.

Punto del programma MAT.IV-VI.1.32 esegue calcoli non complessi in cui compaiono numeri razionali (nostra traduzione)

Lo studente di terza media esegue calcoli semplici con i numeri razionali, applicando correttamente le regole dei segni nella moltiplicazione dei numeri negativi. Conosce la regola secondo cui il prodotto di numeri con lo stesso segno è positivo e con segni diversi è negativo, ed è in grado di determinare senza esitazione il segno del risultato prima di eseguire la moltiplicazione vera e propria.

L'errore più comune è l'applicazione meccanica della regola "meno per meno fa più" in contesti errati, ad esempio nell'addizione di numeri negativi (l'operazione -3 - 5 viene talvolta erroneamente considerata come un'operazione che porta a un risultato positivo). Gli studenti possono anche avere difficoltà nel contare correttamente i segni meno quando si moltiplicano tre o più fattori, dimenticando che un numero dispari di segni negativi dà sempre un risultato negativo.

Nella prova, gli esercizi basati sul modello Moltiplicazione di numeri negativi verificano la padronanza del calcolo in semplici operazioni aritmetiche. Essi richiedono di calcolare direttamente il risultato della moltiplicazione o di indicare il valore corretto all'interno di quesiti a risposta multipla, in cui la corretta gestione del segno è decisiva per la scelta della risposta esatta.

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Moltiplicazione di due binomi

Lo studente moltiplica tra loro due binomi a coefficienti interi e scrive il risultato sotto forma di somma algebrica ridotta.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.7 moltiplica tra loro due binomi a coefficienti interi (nostra traduzione)

In terza media lo studente è in grado di moltiplicare tra loro due binomi in cui compaiono esclusivamente numeri interi (sia positivi sia negativi). Il compito consiste nel moltiplicare sistematicamente ciascun termine della prima parentesi per ciascun termine della seconda parentesi e nel successivo riordino e riduzione dei termini simili.

Le difficoltà più frequenti derivano dalla confusione dei segni durante la moltiplicazione dei numeri negativi (ad esempio, dimenticare che il prodotto di due numeri negativi dà un risultato positivo). Un errore tipico consiste anche nel moltiplicare solo i primi termini tra loro e gli ultimi tra loro, omettendo la moltiplicazione dei termini incrociati.

Nella prova d'esame, i quesiti del modello Moltiplicazione di binomi consistono nel semplificare un'espressione sotto forma di prodotto di due parentesi – ad esempio (2x - 3)(x + 4) – e portarla alla forma più semplice di somma algebrica, oppure nello scegliere la risposta corretta tra le opzioni fornite.

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Calcolo della probabilità nell'estrazione di una pallina

L'alunno è in grado di determinare la probabilità di estrarre una pallina di un determinato colore da un insieme di palline in una scatola e di scrivere il risultato sotto forma di frazione.

Punto del programma MAT.VII-VIII.4.6 esegue semplici esperimenti aleatori consistenti, ad esempio, nel lancio singolo o doppio di una moneta o di un dado da gioco e nell'estrazione di una pallina da un insieme di palline, analizza gli esperimenti aleatori e determina qual è la probabilità degli eventi considerati. (nostra traduzione)

Uno studente di terza media sa analizzare un semplice esperimento casuale e calcolare la probabilità di un evento specificato. In pratica, ciò significa determinare il numero di tutti i possibili esiti (il numero totale di biglie nel contenitore) e il numero di eventi favorevoli (biglie che soddisfano la condizione data, ad esempio di un colore specifico), per poi esprimere questa relazione sotto forma di frazione.

Un errore tipico consiste nell'inserire al denominatore della frazione il numero degli oggetti rimanenti invece della loro somma totale — ad esempio dividendo il numero di biglie bianche per il numero di biglie nere, invece che per tutte le biglie presenti nella scatola. Gli studenti sbagliano anche quando il testo del quesito richiede di tenere conto dell'aggiunta o della rimozione di una biglia, dimenticando di aggiornare il numero totale di tutti gli elementi.

Nella prova d'esame, questa competenza viene verificata in quesiti del tipo Estrazione di una biglia da una scatola. Il quesito descrive un contenitore con biglie di diversi colori e richiede di calcolare la probabilità di estrarre una biglia con una determinata caratteristica, oppure di determinare quante biglie occorre aggiungere o togliere per ottenere la probabilità desiderata.

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Calcolo del volume di una piramide regolare

Lo studente calcola il volume di una piramide regolare, utilizzando l'area di base e l'altezza del solido in base alla formula.

Punto del programma MAT.VII-VIII.3.14 calcola l'area della superficie e il volume di prismi retti e piramidi regolari. (nostra traduzione)

In terza media, lo studente che si prepara all'esame è in grado di calcolare il volume di una piramide regolare. Il problema richiede di determinare con sicurezza l'area del poligono di base e di metterla in relazione con l'altezza del solido utilizzando la formula appropriata.

L'errore più comune consiste nell'omettere la frazione un terzo nella formula del volume della piramide, ottenendo così un risultato tre volte superiore al dovuto, equivalente al volume di un prisma con le stesse dimensioni. Gli studenti possono anche essere disattenti nella lettura dei dati e confondere l'altezza dell'intero solido con l'altezza di una sua faccia laterale.

Un quesito del tipo Volume della piramide nella prova d'esame si basa su una figura di supporto o su una descrizione testuale del solido. Lo studente deve, a partire dagli spigoli o dalle altezze assegnate, calcolare l'area di base, sostituire i dati nella formula ed eseguire correttamente i calcoli aritmetici.

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Risoluzione di equazioni con l'incognita da entrambi i lati

Lo studente risolve equazioni di primo grado in cui la lettera che indica l'incognita compare su entrambi i lati del segno di uguaglianza, riordinando agevolmente i termini e determinando il risultato.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.11 risolve equazioni di primo grado, nonché equazioni che si possono ricondurre in modo semplice a un'equazione di primo grado (nostra traduzione)

In terza media lo studente trasforma e risolve con sicurezza equazioni di primo grado in cui l'incognita compare da entrambi i lati del segno di uguaglianza. È in grado di ricondurre l'equazione a una forma più semplice, spostando i termini con l'incognita da un lato e i termini noti dall'altro mediante l'addizione o la sottrazione a entrambi i membri.

Un errore tipico in questa fase è non cambiare il segno quando si sposta un termine dall'altra parte dell'equazione. Spesso gli studenti perdono anche i segni meno durante la riduzione dei termini simili o dividono entrambi i membri per un numero errato (ad es. sottraggono il coefficiente invece di dividere per esso).

Nella prova d'esame, l'esercizio del modello Equazione con incognita da entrambi i lati richiede di determinare il numero che soddisfa una determinata condizione algebrica. Il quesito può essere a risposta chiusa — in cui lo studente sceglie il valore corretto tra le opzioni proposte — oppure a risposta aperta, in cui è necessario scrivere l'intera sequenza di passaggi che porta alla soluzione.

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Verificare se un numero è soluzione di un'equazione

Lo studente verifica se il numero intero o razionale dato soddisfa l'equazione data, sostituendolo al posto dell'incognita e calcolando i valori di entrambi i membri.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.10 verifica se un dato numero razionale è soluzione di un'equazione di primo grado (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.9 verifica se un dato numero intero è soluzione di un'equazione (di primo, secondo o terzo grado) a un'incognita (nostra traduzione)

In terza media, lo studente è in grado di verificare la correttezza di una soluzione senza dover trasformare l'intera equazione. Verifica se un dato numero intero soddisfa un'equazione a un'incognita di primo, secondo o terzo grado e, nel caso di numeri razionali qualsiasi (ad es. frazioni), verifica equazioni di primo grado. È sufficiente sostituire il valore indicato al posto della lettera e calcolare separatamente il valore del membro sinistro e di quello destro.

L'errore più comune consiste nel perdere i segni durante la sostituzione di numeri negativi — in particolare nell'elevamento a potenza o nella sottrazione — e nell'errato ordine delle operazioni. Spesso gli studenti cercano anche inutilmente di risolvere l'intera equazione dall'inizio (cosa complessa nel caso del secondo o terzo grado), invece di eseguire semplicemente i calcoli con i numeri dati.

Nella scheda di simulazione, l'esercizio del tipo Il numero è la soluzione dell'equazione? si presenta per lo più sotto forma di domanda a risposta chiusa, in cui vengono forniti un'equazione e un numero specifico. Il compito dello studente è calcolare i due membri e valutare in modo univoco se i risultati ottenuti sono uguali.

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Calcolo del valore di un'espressione algebrica

Lo studente calcola il valore numerico di un'espressione algebrica composta da un massimo di tre monomi, sostituendo alle lettere i numeri interi forniti.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.2 calcola il valore numerico di un'espressione algebrica che è la somma di al massimo tre monomi per dati valori interi delle variabili (nostra traduzione)

Come parte della preparazione per l'esame di terza media, lo studente è in grado di sostituire i numeri interi indicati al posto delle variabili e calcolare il risultato finale. Esegue le operazioni su espressioni algebriche che sono la somma di al massimo tre monomi, come ad esempio 2a − 3b + 5 o x² − 4x.

La fonte di errore più comune è la mancata inclusione delle parentesi quando si sostituiscono numeri negativi. Gli studenti spesso confondono la scrittura (−2)² con −2² oppure tralasciano il segno meno quando sottraggono un valore negativo (ad esempio scrivendo 5 − 3 invece di 5 − (−3)). Capita anche di non rispettare l'ordine delle operazioni, in particolare moltiplicando prima di aver eseguito l'elevamento a potenza.

Negli esercizi del tipo Valore di un'espressione algebrica, lo studente riceve un'espressione specifica e i valori interi delle variabili indicati nel testo. Il suo compito è eseguire correttamente i calcoli passo dopo passo e indicare la risposta corretta in un quesito a risposta chiusa o scriverne il risultato.

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Riduzione dei termini simili nelle espressioni

Lo studente ordina i monomi, addiziona e sottrae i termini simili con coefficienti interi, riducendo le somme algebriche alla loro forma più semplice.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.3 ordina i monomi e riduce i termini simili nelle somme algebriche (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.2.4 addiziona e sottrae somme algebriche formate da più monomi con coefficienti interi (nostra traduzione)

In terza media lo studente ordina con disinvoltura i monomi, oltre a sommare e sottrarre polinomi composti da più termini con coefficienti interi. È in grado di riconoscere i monomi che hanno la stessa parte letterale e di ridurli a un unico termine, eseguendo le operazioni sui loro coefficienti numerici.

L'errore più comune consiste nel perdere il segno meno posto davanti a un determinato termine durante il riordino dell'espressione. Spesso gli studenti combinano anche termini che non sono simili: ad esempio sommano tra loro monomi contenenti lettere diverse, confondono variabili con esponenti diversi oppure dimenticano che il semplice segno meno davanti a una lettera rappresenta un coefficiente pari a -1.

Gli esercizi del modello Riduzione dei termini simili consistono nel semplificare l'espressione algebrica data e nello scriverla nella forma più sintetica possibile. Nella prova d'esame simulata lo studente affronta questo argomento sotto forma di quesiti a risposta multipla con scelta della risposta corretta oppure come passaggio fondamentale per la risoluzione di equazioni e problemi aperti di geometria o con dati testuali.

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Sistemi di due equazioni nei problemi con testo

L'alunno risolve problemi formulati a parole, scrivendo le relazioni tra due incognite sotto forma di un semplice sistema di equazioni e riconducendolo a un'unica equazione con un'incognita.

Punto del programma MAT.VII-VIII.2.12 risolve problemi con testo mediante equazioni di primo grado con un'incognita o due equazioni di primo grado con due incognite, che possono essere ricondotte in modo semplice a un'equazione di primo grado. (nostra traduzione)

In terza media lo studente risolve problemi testuali utilizzando sistemi di due equazioni di primo grado a due incognite. In questa fase sono richiesti sistemi che possono essere facilmente ricondotti a una sola equazione a un'incognita, il più delle volte attraverso l'esplicitazione immediata di una quantità e la sua sostituzione nella seconda relazione.

Un problema tipico durante l'esame è la perdita dei segni (in particolare del segno meno) durante la trasformazione delle espressioni tra parentesi e la mancata considerazione di tutte le condizioni del problema nella formulazione della seconda equazione. Gli studenti spesso si limitano inoltre a determinare solo una delle incognite, dimenticando di completare i calcoli per la seconda quantità cercata.

L'esercizio del modello Sistema di due equazioni assume solitamente la forma di una domanda aperta con un contesto pratico, ad esempio riguardante il costo dei biglietti, il numero di monete o l'età di due persone. Lo studente di terza media deve indicare correttamente le incognite, impostare il sistema di relazioni, annotare un procedimento di calcolo chiaro e fornire la risposta finale.

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Calcolo degli interessi su un deposito annuale

Lo studente calcola il rendimento di un deposito bancario annuale e l'importo finale sul conto a partire da un tasso di interesse annuo specificato.

Punto del programma MAT.VII-VIII.1.2 utilizza i calcoli percentuali per risolvere problemi in un contesto pratico, compreso quello finanziario, come il calcolo di: prezzi dopo un aumento o prima del relativo aumento o riduzione, interessi per un deposito annuale, costi del credito, ammontare delle imposte – modulo economico-finanziario (nostra traduzione)

Lo studente è in grado di calcolare il rendimento di un capitale depositato in banca per la durata di un anno. In pratica, ciò significa applicare con sicurezza il calcolo percentuale: lo studente trasforma il tasso di interesse annuo indicato in una frazione e lo moltiplica per la somma iniziale del deposito, determinando l'importo degli interessi maturati.

L'errore più comune in questo tipo di problemi consiste nel confondere l'importo dei soli interessi con la somma totale liquidata al termine del deposito. Gli studenti spesso forniscono come risultato unicamente il guadagno maturato, dimenticando di aggiungere il capitale versato, oppure viceversa: indicano il saldo complessivo del conto, anche se la consegna richiedeva esclusivamente il valore degli interessi accreditati.

Gli esercizi del modello Interessi sul deposito descrivono una situazione di risparmio realistica: allo studente vengono forniti l'importo iniziale (capitale) e la misura del tasso di interesse annuo. Il suo compito consiste nel calcolare correttamente il guadagno annuo o nello stabilire di quale somma complessiva il cliente disporrà dopo un anno.

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Calcolo della percentuale di un dato numero

Lo studente dell'ottavo anno è in grado di calcolare la percentuale data di un numero e di indicare il risultato corretto in un quesito d'esame.

Punto del programma MAT.IV-VI.1.33 interpreta il 100 % di una data grandezza come l'intero, il 50 % – come la metà, il 25 % – come un quarto, il 10 % – come un decimo, l'1 % – come la centesima parte di questa grandezza (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.IV-VI.1.34 calcola la percentuale di una data grandezza in casi inseriti in un contesto pratico (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.VII-VIII.1.1.b una data percentuale di un dato numero (nostra traduzione)

In terza media lo studente determina con sicurezza una determinata percentuale di un dato numero. Il compito consiste nel convertire la percentuale in una frazione o in un numero decimale e nel moltiplicarla per il valore numerico dato, il che consente di trovare rapidamente la quantità cercata.

Un errore tipico deriva dalla trascrizione errata della percentuale sotto forma di frazione o decimale. Gli studenti confondono spesso i valori a una sola cifra con le decine — ad esempio scrivono 4% come 0,4 invece di 0,04, portando a un risultato finale dieci volte superiore a quello corretto.

Nella simulazione d'esame, questa competenza viene verificata in un esercizio del tipo Percentuale di un numero — seleziona la risposta. Lo studente esegue i calcoli necessari sulla brutta copia e poi seleziona l'unica opzione corretta tra le varianti proposte A, B, C o D.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli

Calcolo di aumenti e riduzioni percentuali di prezzo

Calcolo delle potenze di numeri con esponente naturale

Triangoli rettangoli con angoli di 30°, 60° e 45°

Calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio

Probabilità in due lanci o estrazioni

Area e volume del prisma triangolare

Risolvere equazioni lineari in due passaggi

Calcolo del numero intero a partire da una percentuale data

Divisione di frazioni ordinarie

Moltiplicazione per una parentesi e raccoglimento a fattor comune

Calcolare quale percentuale di un numero è un altro

Calcolo delle radici quadrate

Calcolo dell'area del trapezio

Calcolo dell'area del triangolo

Media aritmetica nelle situazioni quotidiane

Calcolo del termine incognito di una proporzione

Calcolo di spazio, velocità e tempo

Operazioni con le potenze ed esponente mancante

Divisione di una grandezza in un dato rapporto

Portare un fattore fuori dal segno di radice

Notazione scientifica e confronto di numeri

Moltiplicazione di numeri negativi e regole dei segni

Moltiplicazione di due binomi

Calcolo della probabilità nell'estrazione di una pallina

Calcolo del volume di una piramide regolare

Risoluzione di equazioni con l'incognita da entrambi i lati

Verificare se un numero è soluzione di un'equazione

Calcolo del valore di un'espressione algebrica

Riduzione dei termini simili nelle espressioni

Sistemi di due equazioni nei problemi con testo

Calcolo degli interessi su un deposito annuale

Calcolo della percentuale di un dato numero

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Domande frequenti

Quanto dura l'esame di ottava classe di matematica?

125 minuti. Gli studenti a cui è stato concesso l'adattamento delle condizioni possono scrivere fino a 40 minuti in più.

Quanti punti si possono ottenere e quanti quesiti ci sono nella prova?

30 punti per 20–21 quesiti: 14–15 a risposta chiusa da 1 punto e 5–6 a risposta aperta da 2 o 3 punti.

È possibile non superare l'esame di ottava classe?

No. L'esame non ha una soglia di superamento — il risultato viene espresso in percentuale e su scala percentile, e le scuole superiori ne tengono conto per l'ammissione.

Come stampare una simulazione d'esame?

Clicca su «Crea esame di prova da stampare». Il generatore comporrà automaticamente la prova nel formato CKE — puoi scaricare subito il PDF con i quesiti, la chiave di risposta e le soluzioni oppure modificare le sezioni selezionate.