Prüfung (Polen)

Abschlussprüfung der 8. Klasse in Mathematik — Probeprüfung zum Ausdrucken

Vorbereitung auf die Abschlussprüfung der 8. Klasse in Mathematik: Wie sieht der CKE-Bogen aus, wie lange dauert die Prüfung und wie wird sie bewertet – und vor allem eine Probeprüfung zum Ausdrucken mit einem Klick: 21 Aufgaben im Aufbau des CKE-Bogens, mit Punkteverteilung, Antwortschlüssel und Fehlerdiagnose.

Probeprüfung zusammenstellen

Wie sieht die Prüfung der 8. Klasse in Mathematik aus?

Die Mathematikprüfung dauert 125 Minuten (Schülerinnen und Schüler mit Prüfungsanpassungen können bis zu 40 Minuten mehr erhalten). Der Prüfungsbogen enthält 20–21 Aufgaben, für die man 30 Punkte erzielen kann:

14–15 geschlossene Aufgaben — je 1 Punkt: Einfachauswahl, Wahr–Falsch, Zuordnung; das macht etwa die Hälfte des Gesamtergebnisses aus,
5–6 offene Aufgaben — je 2 oder 3 Punkte; bewertet wird der gesamte Lösungsweg, und auch für unvollständige Lösungen können Teilpunkte vergeben werden.

Im Prüfungsbogen kommen zuerst die geschlossenen, danach die offenen Aufgaben. Man kann bei der Prüfung nicht „durchfallen“ — das Ergebnis wird in Prozent und auf einer Perzentilskala angegeben. Einzelheiten und Beispielprüfungsbögen: Informationsbroschüren der Zentralen Prüfungskommission.

Probeprüfung mit einem Klick

Die Schaltfläche „Probeprüfung zum Drucken erstellen“ stellt einen Prüfungsbogen im CKE-Format zusammen: 15 geschlossene Aufgaben (Auswahl einer von vier Antworten A–D sowie Ja/Nein) und 6 offene Aufgaben, mit der Punktzahl bei jeder Aufgabe, Gesamtsumme und Hinweisen im Kopfbereich. Der Lösungsschlüssel enthält eine Punktespalte.

Jede falsche Antwort in einer geschlossenen Aufgabe ist ein benannter Fehler – unter dem Lösungsschlüssel ist ersichtlich, wer „die Basis mit dem Exponenten multipliziert hat“ und wer „die Katheten addiert hat, anstatt den Satz des Pythagoras anzuwenden“. Die Lehrkraft weiß sofort, was wiederholt werden muss. Jeder Klick generiert per Zufall eine andere Zusammenstellung und andere Zahlen, und jeder Abschnitt des Bogens kann anschließend geändert werden.

Was umfasst die Prüfung?

Die Prüfung überprüft die Anforderungen des Lehrplans der gesamten Grundschule mit Schwerpunkt auf den Klassen 7–8: Potenzen und Wurzeln, Prozentrechnung in der Praxis, Proportionalität, rationale Zahlen, algebraische Terme und Gleichungen, der Satz des Pythagoras, Figuren und Körper, Wahrscheinlichkeit und das Lesen von Daten.

Wichtiges zum Lehrplan: Der neue Lehrplan (Dz.U. 2026, Pos. 378) gilt für die 8. Klasse ab dem Schuljahr 2030/2031 – bis dahin lernen die Achtklässler nach dem Lehrplan von 2017, und der Themenbereich der Prüfung ist in beiden Lehrplänen ähnlich. Den Stoff der Klassen 7 und 8 finden Sie auch auf den Seiten der Klasse 7 und der Klasse 8.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Liczby

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt Berechnungen und Überlegungen durch, bei denen er/sie die Prozentschreibweise verwendet, darunter berechnet er/sie:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): prowadzi obliczenia i rozumowania, w których korzysta z zapisu procentowego, w tym oblicza:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Prozentrechnung zur Lösung von Problemen in einem praktischen Kontext, darunter im finanziellen, an, wie die Berechnung von: Preisen nach einer Erhöhung oder vor deren Erhöhung oder Senkung, Zinsen für eine einjährige Geldanlage, Kreditkosten, Höhe von Steuern – Wirtschafts- und Finanzmodul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym finansowym, takie jak obliczanie: cen po podwyżce lub przed jej podwyżką albo obniżką, odsetek dla rocznej lokaty, kosztów kredytu, wysokości podatków – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 2

Berechnung von Preiserhöhungen und Preissenkungen um einen Prozentsatz (bei uns in Klasse 7-8) · Berechnung der Zinsen für eine einjährige Festgeldanlage (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Potenzen rationaler Zahlen mit natürlichen Exponenten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 3

Berechnung von Potenzen mit natürlichen Exponenten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wandelt Potenzen mit ganzzahligem negativem Exponenten in entsprechende Potenzen mit natürlichen Exponenten um

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Rechengesetze für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności działań na potęgach o podstawach naturalnych i wykładnikach całkowitych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5

Rechnen mit Potenzen und der fehlende Exponent (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

schreibt Zahlen in wissenschaftlicher Notation (Zehnerpotenz-Schreibweise) und vergleicht auf diese Weise dargestellte Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zapisuje liczby w notacji wykładniczej i porównuje liczby zapisane w ten sposób

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 6

Wissenschaftliche Schreibweise und Vergleich von Zahlen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen, die entsprechend Quadrate oder Kubikzahlen rationaler Zahlen sind, und berechnet Näherungswerte von Wurzeln aus anderen Zahlen mit dem Taschenrechner

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych, a przybliżone wartości pierwiastków z innych liczb oblicza za pomocą kalkulatora

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 7

Berechnen von Quadratwurzeln (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

schätzt den Wert eines einfachen arithmetischen Ausdrucks, der Wurzeln enthält

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): szacuje wartość prostego wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Rechengesetze für Quadrat- und Kubikwurzeln an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności działań na pierwiastkach dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9

Teilweises Radizieren (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt direkt proportionale Zusammenhänge, wendet sie zur Bestimmung des Wertes einer Größe anhand der anderen an und nutzt die proportionale Aufteilung in zwei oder drei Teile im praktischen Kontext

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje zależności wprost proporcjonalne, stosuje je do wyznaczania wartości jednej wielkości na podstawie drugiej oraz wykorzystuje podział proporcjonalny na dwie lub trzy części w kontekście praktycznym

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 10

Aufteilung einer Größe in einem gegebenen Verhältnis (bei uns in Klasse 7-8) · Berechnung der fehlenden Größe aus einer Proportion (bei uns in Klasse 5-6)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Multiplikationsregel zum Zählen von Elementpaaren in Situationen an, die eine zweifache Auswahl erfordern

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach wymagających dwukrotnego wyboru

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt den Taschenrechner und Computeranwendungen zur Durchführung von Berechnungen beim Lösen von Problemen in einem praktischen Kontext.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): używa kalkulatora i aplikacji komputerowych do wykonywania obliczeń przy rozwiązywaniu problemów osadzonych w kontekście praktycznym.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wie viel Prozent einer Zahl die andere Zahl ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. a

Berechnen, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Potenzen mit gleicher Basis

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych podstawach

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. a

Rechnen mit Potenzen und der fehlende Exponent (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Wurzeln aus dem Produkt und dem Quotienten zweier Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pierwiastki z iloczynu i ilorazu dwóch liczb

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. a

Teilweises Radizieren (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

den angegebenen Prozentsatz einer gegebenen Zahl

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podany procent danej liczby

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. b

Berechnung des Prozentsatzes einer gegebenen Zahl (bei uns in Klasse 6)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Potenzen mit gleichen Exponenten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli potęgi o takich samych wykładnikach

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. b

Rechnen mit Potenzen und der fehlende Exponent (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert Wurzeln gleichen Grades

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. b

Teilweises Radizieren (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

die Zahl auf der Grundlage ihres gegebenen Prozentsatzes

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): liczbę na podstawie danego jej procentu

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 1 lit. c

Berechnung des Grundwerts aus einem gegebenen Prozentsatz (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

potenziert Potenzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podnosi potęgę do potęgi

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 5 lit. c

Rechnen mit Potenzen und der fehlende Exponent (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zieht teilweise die Wurzel (radiziert teilweise) und bringt einen Faktor unter das Wurzelzeichen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 1 pkt 9 lit. c

Teilweises Radizieren (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Algebra

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Algebra

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stellt algebraische Terme, auch Terme mit zwei Variablen, auf, die Beziehungen zwischen den in der Aufgabe dargestellten Größen beschreiben, und verwendet sie zum Lösen von Aufgaben, einschließlich solcher in einem praktischen Kontext

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): tworzy wyrażenia algebraiczne, także wyrażenia dwóch zmiennych, opisujące związki między wielkościami przedstawionymi w zadaniu oraz używa ich do rozwiązywania zadań, w tym osadzonych w kontekście praktycznym

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Zahlenwert eines algebraischen Terms, der die Summe von höchstens drei Monomen ist, für gegebene ganzzahlige Werte der Variablen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego będącego sumą co najwyżej trzech jednomianów dla podanych całkowitych wartości zmiennych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 2

Berechnung des Werts eines algebraischen Ausdrucks (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

ordnet Monome und fasst gleichartige Terme in algebraischen Summen zusammen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): porządkuje jednomiany i redukuje wyrazy podobne w sumach algebraicznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 3

Zusammenfassen gleichartiger Terme in Ausdrücken (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

addiert und subtrahiert algebraische Summen, die aus mehreren Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dodaje i odejmuje sumy algebraiczne składające się z kilku jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 4

Zusammenfassen gleichartiger Terme in Ausdrücken (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert ein Monom mit einer algebraischen Summe von höchstens drei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży jednomian przez sumę algebraiczną co najwyżej trzech jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 5

Ausmultiplizieren und Ausklammern (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus, die aus zwei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten besteht

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej złożonej z dwóch jednomianów o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 6

Ausmultiplizieren und Ausklammern (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży przez siebie dwa dwumiany o współczynnikach całkowitych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 7

Multiplikation von zwei Binomen (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

formt einfache Formeln um, um eine vorgegebene Größe zu bestimmen, darunter in geometrischen und physikalischen Formeln

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość, w tym we wzorach geometrycznych i fizycznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

prüft, ob eine gegebene ganze Zahl eine Lösung einer Gleichung (ersten, zweiten oder dritten Grades) mit einer Unbekannten ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dana liczba całkowita jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 9

Überprüfen, ob eine Zahl eine Lösung einer Gleichung ist (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

prüft, ob eine gegebene rationale Zahl Lösung einer linearen Gleichung (Gleichung ersten Grades) ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania stopnia pierwszego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 10

Überprüfen, ob eine Zahl eine Lösung einer Gleichung ist (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania pierwszego stopnia, a także równania, które dają się w prosty sposób sprowadzić do równania pierwszego stopnia

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 11

Lösen von linearen Gleichungen in zwei Schritten (bei uns in Klasse 7-8) · Lösen von Gleichungen mit der Unbekannten auf beiden Seiten (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Textaufgaben mithilfe von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten oder von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które dają się w prosty sposób sprowadzić do jednego równania pierwszego stopnia.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 2 pkt 12

Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen in Textaufgaben (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Figuren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Figury

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt auf einer Zeichnung die Mittelsenkrechte einer Strecke sowie die Winkelhalbierende eines Winkels und zeichnet sie, wendet deren Eigenschaften an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje na rysunku i rysuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta, posługuje się ich własnościami

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt und zeichnet achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren, gibt deren Symmetrieachsen und Symmetriezentrum an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje i rysuje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne, wskazuje ich osie symetrii i środek symetrii

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Größe des Innenwinkels eines regelmäßigen Vielecks

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen geometrischen Situationen, wendet den Satz des Pythagoras an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dostrzega trójkąty prostokątne w różnych sytuacjach geometrycznych, stosuje twierdzenie Pitagorasa

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 4

Satz des Pythagoras in rechtwinkligen Dreiecken (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt die Eigenschaften besonderer rechtwinkliger Dreiecke, das heißt rechtwinkliger Dreiecke mit den spitzen Winkeln 30° und 60° sowie gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z własności trójkątów prostokątnych szczególnych, to jest trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30° i 60° oraz trójkątów prostokątnych równoramiennych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 5

Rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln 30°, 60° und 45° (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Kongruenzsätze für Dreiecke an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje cechy przystawania trójkątów

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza długość okręgu i pole koła

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 7

Berechnung des Kreisumfangs und der Kreisfläche (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zerlegt Vielecke in Teile oder erkennt Figuren als Teile einer anderen Figur, um Flächeninhalte zu berechnen, zu vergleichen oder zu schätzen sowie andere Zusammenhänge zu erkennen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dzieli wielokąty na części lub dostrzega figury jako części innej figury w celu obliczania, porównywania lub szacowania pól oraz dostrzegania innych zależności

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje problemy dotyczące rzeczywistych obiektów, które dają się przedstawić za pomocą modelu geometrycznego, również w sytuacji wymagającej koniecznych uproszczeń

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 9

Satz des Pythagoras in rechtwinkligen Dreiecken (bei uns in Klasse 7-8) · Oberflächeninhalt und Volumen eines Dreiecksprismas (bei uns in Klasse 8) · Berechnung des Kreisumfangs und der Kreisfläche (bei uns in Klasse 7-8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zeichnet im Koordinatensystem Vielecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rysuje w układzie współrzędnych wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Flächeninhalte und Umfänge von Dreiecken und Vierecken mit Eckpunkten in Gitterpunkten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów o wierzchołkach w punktach kratowych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt gerade und regelmäßige Prismen sowie regelmäßige Pyramiden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje graniastosłupy proste i prawidłowe oraz ostrosłupy prawidłowe

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

gibt die Höhe der Seitenflächen und die Höhe der Pyramide an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wskazuje wysokość ścian bocznych i wysokość ostrosłupa

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 13
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.14 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Oberflächeninhalte und Volumina gerader Prismen sowie regelmäßiger Pyramiden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 3 pkt 14

Oberflächeninhalt und Volumen eines Dreiecksprismas (bei uns in Klasse 8) · Berechnung des Volumens einer regelmäßigen Pyramide (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten und Zufallsereignisse

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dane i zdarzenia losowe

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 4
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erhebt und wählt Daten aus verschiedenen Quellen aus, ordnet sie und beurteilt ihre Zuverlässigkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): pozyskuje i selekcjonuje dane z różnych źródeł, porządkuje je i ocenia ich wiarygodność

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wählt eine Art der Datendarstellung aus, die deren Analyse erleichtert, und nutzt dabei geeignete Computeranwendungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dobiera sposób przedstawienia danych ułatwiający ich analizę, posługując się odpowiednimi aplikacjami komputerowymi

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert den mithilfe eines Graphen beschriebenen Zusammenhang zwischen zwei Größen, beispielsweise die Veränderung einer bestimmten Größe im Zeitverlauf, darunter: zurückgelegte Strecke, Höhe der Gehälter, Lebenshaltungskosten, Inflation – Wirtschafts- und Finanzmodul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje zależność między dwiema wielkościami opisaną za pomocą wykresu, przykładowo zmianę pewnej wielkości w czasie, w tym: przebyta droga, wysokość wynagrodzeń, koszty życia, inflacja – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet das arithmetische Mittel und den Median im praktischen Kontext zum Vergleich von Datensätzen, einschließlich Finanzdaten, an – ökonomisch-finanzielles Modul

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje średnią arytmetyczną i medianę w kontekście praktycznym do porównania zestawów danych, w tym danych finansowych – moduł ekonomiczno-finansowy

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 4

Arithmetisches Mittel in Alltagssituationen (bei uns in Klasse 5-6)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert Daten, darunter Finanzdaten, kritisch, zieht daraus Schlussfolgerungen und begründet sie unter Bezugnahme auf die Eigenschaften des Datensatzes

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): krytycznie interpretuje dane, w tym dane finansowe, wyciąga z nich wnioski i uzasadnia je, odwołując się do własności zestawu danych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt einfache Zufallsexperimente durch, die beispielsweise im ein- oder zweimaligen Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels sowie im Ziehen einer Kugel aus einer Menge von Kugeln bestehen, analysiert Zufallsexperimente und bestimmt, wie groß die Wahrscheinlichkeit der betrachteten Ereignisse ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające przykładowo na jednokrotnym lub dwukrotnym rzucie monetą lub kostką do gry oraz na losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje doświadczenia losowe i określa, jakie jest prawdopodobieństwo rozważanych zdarzeń.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 4 pkt 6

Berechnung der Wahrscheinlichkeit beim Ziehen einer Kugel (bei uns in Klasse 7-8) · Wahrscheinlichkeit bei zwei Würfen oder Ziehungen (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mathematisches Denken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Myślenie matematyczne

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, treści nauczania kl. VII i VIII, dział 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet allgemeine Methoden zum Lösen mathematischer Probleme an, darunter:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje ogólne metody rozwiązywania problemów matematycznych, w tym:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erklärt seine Denkweise beim Lösen eines mathematischen Problems durch:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyjaśnia swój sposób myślenia przy rozwiązywaniu problemu matematycznego przez:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt mathematische Überlegungen durch und zeigt dabei die Fähigkeit:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): prowadzi rozumowania matematyczne, wykazując przy tym umiejętność:

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

notiert Beziehungen zwischen den in der Aufgabe vorkommenden Daten auf eine Weise, die die Analyse des Problems erleichtert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zapisuje związki między danymi występującymi w zadaniu w sposób ułatwiający analizę problemu

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Angabe mathematischer Argumente zur Begründung aufeinanderfolgender Gedankenschritte

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): podawanie argumentów matematycznych uzasadniających kolejne kroki rozumowania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Unterscheiden eines Satzes vom Kehrsatz

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odróżniania twierdzenia od twierdzenia odwrotnego

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

analysiert die eigene Problemlösung und vereinfacht – wenn möglich – die Lösung

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): analizuje swoje rozwiązanie problemu i – jeśli to możliwe – upraszcza rozwiązanie

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Aufbauen einer Begründung, die sich nur auf notwendige Argumente bezieht

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): budowanie uzasadnienia odwołującego się tylko do niezbędnych argumentów

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden unkomplizierter, einschrittiger indirekter Schlussweisen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosowania nieskomplikowanych, jednokrokowych rozumowań nie wprost

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stellt weiterführende Fragen, die sich aus der erhaltenen Lösung ergeben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stawia dodatkowe pytania wynikające z otrzymanego rozwiązania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.2.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Formulieren von Schlussfolgerungen, die sich aus Überlegungen ergeben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): formułowanie wniosków wynikających z rozumowania

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 2 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.c · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verallgemeinern beobachteter Spezialfälle

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): uogólniania zaobserwowanych przypadków szczególnych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. c
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.1.d · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt Ähnlichkeiten zwischen den Methoden zur Lösung verschiedener mathematischer Probleme

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dostrzega podobieństwa między metodami rozwiązywania różnych problemów matematycznych

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 1 lit. d
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.5.3.d · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Begründen, z. B. durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass eine gegebene Eigenschaft nicht gilt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): uzasadniania, np. przez podanie kontrprzykładu, że dana własność nie zachodzi.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, kl. VII i VIII, dział 5 pkt 3 lit. d
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verwenden mathematischer Werkzeuge – Verstehen und Verwenden mathematischer Begriffe und Eigenschaften auch in einer neuen Situation, Erkennen von Beziehungen zwischen Eigenschaften sowie von Unterschieden und Gemeinsamkeiten zwischen mathematischen Objekten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Korzystanie z narzędzi matematycznych – rozumienie i używanie pojęć oraz własności matematycznych także w nowej sytuacji, dostrzeganie związków między własnościami oraz różnic i podobieństw między obiektami matematycznymi.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ausführen arithmetischer und algebraischer Berechnungen, Anstreben einer optimalen Rechenweise, Verwenden eines Taschenrechners oder von Rechenanwendungen, wenn dies durch die Komplexität der Rechnung oder das Ziel der Aufgabe begründet ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykonywanie obliczeń arytmetycznych i algebraicznych, dążenie do optymalnego sposobu rachowania, używanie kalkulatora lub aplikacji obliczeniowych, gdy jest to uzasadnione złożonością rachunku lub celem zadania.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ziehen von Schlüssen aus Informationen, die mittels Text, Tabellen, Diagrammen, Graphen usw. dargestellt sind, Verwenden mathematischer Begriffe, Werkzeuge und Argumente zur kritischen Interpretation von Daten, einschließlich des Erkennens unberechtigter Schlussfolgerungen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wyciąganie wniosków z informacji podanych za pomocą tekstu, tabel, diagramów, wykresów itp., używanie pojęć, narzędzi i argumentów matematycznych do krytycznego interpretowania danych, w tym do rozpoznawania nieuprawnionych wniosków.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden adäquater mathematischer Werkzeuge zur Beschreibung, Analyse und Lösung von Problemen aus verschiedenen Bereichen, einschließlich des täglichen Lebens.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie adekwatnych narzędzi matematycznych do opisu, analizy i rozwiązywania problemów z różnych dziedzin, w tym z życia codziennego.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.5 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Entwickeln mehrschrittiger Strategien zur Lösung eines mathematischen Problems, Erkennen richtiger Lösungen des Problems, Analysieren der Lösung zur Überprüfung ihrer Richtigkeit oder zur Vereinfachung des Gedankengangs.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Budowanie kilkuetapowych strategii rozwiązania problemu matematycznego, dostrzeganie poprawnych rozwiązań problemu, analizowanie rozwiązania w celu sprawdzenia jego poprawności lub uproszczenia sposobu rozumowania.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.WO.6 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Führen von Argumentationen und Begründen ihrer Richtigkeit, Formulieren von Schlussfolgerungen aus Prämissen, Auswählen von Argumenten durch Angabe von Beispielen und Gegenbeispielen, Überprüfen von durch andere vorgebrachten Argumentationen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Prowadzenie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności, formułowanie wniosków wynikających z przesłanek, dobieranie argumentów przez podawanie przykładów i kontrprzykładów, weryfikowanie rozumowań podanych przez innych.

Dz.U. 2026 poz. 378, zal. nr 2, Matematyka, cele kształcenia — wymagania ogólne, kl. VII-VIII, pkt 6

Kompetenzen Schritt für Schritt

Satz des Pythagoras in rechtwinkligen Dreiecken

Ein Achtklässler kann die Länge der Hypotenuse oder einer Kathete berechnen und überprüfen, ob ein Dreieck mit den angegebenen Seiten rechtwinklig ist.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.4 erkennt rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen geometrischen Situationen, wendet den Satz des Pythagoras an (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert (unsere Übersetzung)

Der Achtklässler erkennt rechtwinklige Dreiecke in geometrischen Figuren und wendet die Beziehung zwischen den Quadraten ihrer Seitenlängen korrekt an. Anhand der Angaben aus der Zeichnung oder der Aufgabenstellung stellt der Schüler die entsprechende Gleichung auf, quadriert die Längen und bestimmt die fehlende Seite, indem er am Ende die Wurzel zieht.

Der häufigste Fehler besteht darin, beim Aufstellen der Formel die Katheten mit der Hypotenuse zu verwechseln. Schüler addieren oft mechanisch die Quadrate zweier gegebener Zahlen, selbst wenn eine davon die längste Seite des Dreiecks ist, anstatt das Quadrat einer Kathete vom Quadrat der Hypotenuse zu subtrahieren. Es kommt auch vor, dass das Quadrieren ausgelassen wird und lediglich die Längen der Strecken addiert werden.

In Prüfungsaufgaben führt der Schüler direkte Rechnungen in den Formaten Berechne die Hypotenuse sowie Berechne die Kathete durch. Es begegnen ihm auch geschlossene Fragen (Hypotenuse – wähle die Antwort) sowie Aufgaben zur Überprüfung des Kehrsatzes: Ist das Dreieck rechtwinklig?, bei denen er prüft, ob die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten das Quadrat der längsten Seite ergibt.

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Aufgabentypen: Die Hypotenuse berechnen · Eine Kathete berechnen · Hypotenuse — wähle die Antwort · Ist das Dreieck rechtwinklig?

Berechnung von Preiserhöhungen und Preissenkungen um einen Prozentsatz

Der Schüler kann den neuen Preis einer Ware nach einer Erhöhung oder Senkung um einen bestimmten Prozentsatz in Aufgaben mit praktischem Kontext berechnen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.2 wendet Prozentrechnung zur Lösung von Problemen in einem praktischen Kontext, darunter im finanziellen, an, wie die Berechnung von: Preisen nach einer Erhöhung oder vor deren Erhöhung oder Senkung, Zinsen für eine einjährige Geldanlage, Kreditkosten, Höhe von Steuern – Wirtschafts- und Finanzmodul (unsere Übersetzung)

Im Rahmen der Vorbereitung auf die Abschlussprüfung der 8. Klasse wendet der Schüler Prozentrechnungen in Alltagssituationen an. Auf dieser Stufe ist er in der Lage, einen neuen Wert einer bestimmten Größe oder den Preis einer Ware nach einer Erhöhung oder Senkung um einen bestimmten Prozentsatz zu bestimmen, indem er die Berechnung eines Bruchteils einer gegebenen Zahl geschickt mit Addition oder Subtraktion kombiniert.

Ein typischer Fehler in der Prüfung besteht darin, lediglich den Betrag der Veränderung zu berechnen und diesen als Endergebnis zu betrachten. Häufig verwechseln Schüler auch Addition und Subtraktion oder markieren in der Eile eine Antwort, die nur den Wert der Preiserhöhung anstelle des neuen Preises enthält.

Im Prüfungsbogen erscheint diese Fähigkeit in offenen und geschlossenen Aufgaben. Aufgaben aus den Vorlagen Um einen Prozentsatz erhöhen sowie Um einen Prozentsatz verringern erfordern das selbstständige Berechnen und Eintragen des neuen Betrags, während das Format Preiserhöhung um einen Prozentsatz — Antwort auswählen das sichere Ermitteln des richtigen Endpreises aus den vorgegebenen Optionen A–D überprüft.

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Aufgabentypen: Prozentuale Erhöhung — wähle die Antwort · Um Prozent erhöhen · Um Prozent vermindern

Berechnung von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Ein Achtklässler kann den Wert einer Potenz einer rationalen Zahl, insbesondere einer ganzen Zahl, sicher berechnen, wenn der Exponent eine natürliche Zahl ist.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.3 berechnet Potenzen rationaler Zahlen mit natürlichen Exponenten (unsere Übersetzung)

Auf dieser Stufe potenziert der Schüler rationale Zahlen – einschließlich positiver und negativer ganzer Zahlen – mit natürlichen Exponenten. Er versteht die Potenzschreibweise als mehrfache Multiplikation derselben Zahl mit sich selbst und kann deren genauen numerischen Wert bestimmen.

Ein typischer Fehler in Prüfungen ist die Verwechslung des Potenzierens mit der einfachen Multiplikation von Basis und Exponent (beispielsweise die Annahme, dass 3 hoch 3 gleich 9 statt 27 ist). Schwierigkeiten bereiten auch die Vorzeichen negativer Zahlen: Schüler vergessen oft das Minuszeichen oder übersehen, dass eine Potenz mit geradem Exponenten nur dann ein positives Ergebnis liefert, wenn die negative Zahl in Klammern steht.

In der Probeklausur nimmt die Überprüfung dieser Fähigkeit die Form von offenen Aufgaben an, die die Eingabe des Ergebnisses erfordern, wie etwa Berechne die Potenz einer ganzen Zahl, oder von geschlossenen Aufgaben im Format Wert der Potenz – wähle die Antwort, bei denen der Schüler das richtige Ergebnis aus den vorgegebenen Vorschlägen auswählt.

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Aufgabentypen: Potenz einer ganzen Zahl berechnen · Wert einer Potenz — wähle die Antwort

Rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln 30°, 60° und 45°

Der Schüler berechnet Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken mit den Winkeln 30° und 60° und bestimmt die Diagonale eines Quadrats sowie die Seiten eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.5 nutzt die Eigenschaften besonderer rechtwinkliger Dreiecke, das heißt rechtwinkliger Dreiecke mit den spitzen Winkeln 30° und 60° sowie gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse nutzt der Schüler die Beziehungen zwischen den Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken mit den spitzen Winkeln 30° und 60° sowie in gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken (mit den Winkeln 45°, 45° und 90°). Wenn nur die Länge einer einzigen Seite gegeben ist, kann er die Maße der beiden anderen berechnen, basierend auf den Eigenschaften eines halben gleichseitigen Dreiecks sowie der Formel für die Diagonale eines Quadrats.

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung der Seitenzuordnung im Dreieck mit den Winkeln 30° und 60°. Schüler platzieren die kürzeste Seite nicht selten gegenüber dem 60°-Winkel statt dem 30°-Winkel oder ordnen den Faktor mit der Quadratwurzel aus 3 der Hypotenuse zu. Schwierigkeiten bereitet auch das Bestimmen der Seite eines Quadrats in Situationen, in denen die gegebene Diagonale eine ganze Zahl ist, was das korrekte Beseitigen der Irrationalität aus dem Nenner erfordert.

In den Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung tritt diese Fertigkeit in den Aufgabentypen Dreieck mit den Winkeln 30° und 60° sowie Diagonale des Quadrats auf. In der Praxis begegnet der Schüler Aufgabenstellungen mit einer Zeichnung, bei denen er anhand eines gegebenen Winkels und einer Seite den Flächeninhalt, den Umfang einer Figur oder eine fehlende Strecke in einer zusammengesetzten Figur bestimmen muss.

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Aufgabentypen: Diagonale eines Quadrats · Dreieck mit 30° und 60°

Berechnung des Kreisumfangs und der Kreisfläche

Der Schüler berechnet den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises anhand des angegebenen Radius oder Durchmessers unter Verwendung der Zahl Pi.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.7 berechnet den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse bestimmt der Schüler den Kreisumfang und den Flächeninhalt eines Kreises unter Verwendung der entsprechenden mathematischen Formeln mit der Konstante π. Ausgehend von der angegebenen Länge des Radius oder des Durchmessers berechnet er den Umfang und den Flächeninhalt des Kreises und kann auch den Radius bestimmen, wenn der Kreisumfang oder dessen Flächeninhalt bekannt ist.

Ein typisches Problem ist die Verwechslung beider Formeln – zum Beispiel das Verdoppeln des Radius anstelle des Quadrierens bei der Berechnung des Flächeninhalts des Kreises. Schüler machen auch häufig den Fehler, den gesamten Durchmesser statt des Radius in die Formeln einzusetzen, was zu falschen Ergebnissen führt.

Die Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung basieren auf den Vorlagen Kreisumfang sowie Kreisfläche. Sie erscheinen im Prüfungssatz als geschlossene oder offene Aufgaben, bei denen der Schüler das Ergebnis in exakter Form (mit dem Symbol π) angibt oder einfache rechnerische Umformungen durchführt.

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Aufgabentypen: Flächeninhalt eines Kreises · Umfang eines Kreises

Wahrscheinlichkeit bei zwei Würfen oder Ziehungen

Der Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen beim zweimaligen Würfeln sowie bei einer zweistufigen Ziehung mit Zurücklegen, indem er die Anzahl aller möglichen und der günstigen Ergebnisse bestimmt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.6 führt einfache Zufallsexperimente durch, die beispielsweise im ein- oder zweimaligen Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels sowie im Ziehen einer Kugel aus einer Menge von Kugeln bestehen, analysiert Zufallsexperimente und bestimmt, wie groß die Wahrscheinlichkeit der betrachteten Ereignisse ist. (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse analysiert der Schüler einfache zweistufige Zufallsexperimente. Er kann die Anzahl aller möglichen Ergebnisse korrekt bestimmen (zum Beispiel 36 gleich wahrscheinliche Paare bei zwei Würfen mit einem Standard-Sechserwürfel), die Anzahl der günstigen Ergebnisse ermitteln und die gesuchte Wahrscheinlichkeit als Bruch angeben.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Reihenfolge der Ergebnisse in den aufeinanderfolgenden Stufen zu vernachlässigen. Schüler behandeln oft ein Ergebnispaar wie (2, 5) und (5, 2) als ein und dasselbe Ereignis, was zu einer zu geringen Anzahl günstiger Ergebnisse führt. Ein typischer Irrtum ist auch das Addieren der Seitenanzahlen der Würfel (6 + 6 = 12) anstelle deren Multiplikation (6 · 6 = 36) bei der Bestimmung aller Möglichkeiten.

In Prüfungsaufgaben nehmen die Aufgaben zur Überprüfung dieser Fähigkeit die Form von Aufgabenstellungen an, bei denen der Schüler Folgendes untersucht:

die Augensumme zweier Würfel — zum Beispiel berechnet er die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von 8 oder eine Summe größer als 10 zu würfeln,
zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen — wobei das gezogene Element vor dem zweiten Zug wieder zurückgelegt wird, sodass die Bedingungen und die Anzahl der Kugeln in beiden Stufen identisch bleiben.

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Aufgabentypen: Augensumme zweier Würfel · Zweimal Ziehen mit Zurücklegen

Oberflächeninhalt und Volumen eines Dreiecksprismas

Der Schüler berechnet den Oberflächeninhalt und das Volumen eines geraden Prismas mit dreieckiger Grundfläche anhand der gegebenen Maße.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.14 berechnet Oberflächeninhalte und Volumina gerader Prismen sowie regelmäßiger Pyramiden. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.9 löst Probleme bezüglich realer Objekte, die sich mithilfe eines geometrischen Modells darstellen lassen, auch in einer Situation, die notwendige Vereinfachungen erfordert (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse kann der Schüler den Oberflächeninhalt und das Volumen eines geraden Prismas bestimmen, einschließlich eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche. Er wählt die Formeln korrekt aus: Er berechnet das Volumen als Produkt aus Grundfläche und Höhe des Körpers sowie den Oberflächeninhalt als Summe der Flächeninhalte der beiden dreieckigen Grundflächen und der drei rechteckigen Seitenflächen.

Ein typischer Fehler in der Prüfung besteht darin, die Höhe des Dreiecks in der Grundfläche mit der Höhe des gesamten Körpers zu verwechseln. Schüler vergessen auch oft, dass der Körper zwei Grundflächen hat, und berücksichtigen bei der Berechnung des gesamten Oberflächeninhalts nur ein Dreieck. Ein weiteres häufiges Versehen besteht in der Annahme, dass alle Seitenflächen identisch sind, obwohl sie sich in ihren Abmessungen unterscheiden, wenn die Grundfläche kein gleichseitiges Dreieck ist.

Die Aufgaben zur Vorbereitung auf die Prüfungsarbeit umfassen zwei spezifische Übungstypen: Oberflächeninhalt eines Dreiecksprismas sowie Volumen eines Dreiecksprismas. Der Schüler löst Aufgaben anhand von Netz- oder Körperzeichnungen sowie Textaufgaben, bei denen er zunächst die Fläche der dreieckigen Grundfläche selbstständig berechnet und anschließend das gesamte Volumen oder den Oberflächeninhalt bestimmt.

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Aufgabentypen: Volumen eines dreiseitigen Prismas · Oberflächeninhalt eines dreiseitigen Prismas

Lösen von linearen Gleichungen in zwei Schritten

Der Schüler löst lineare Gleichungen der Form ax + b = c, indem er nacheinander das absolute Glied auf die andere Seite bringt und durch den Koeffizienten vor der Unbekannten dividiert.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse löst der Schüler lineare Gleichungen mit einer Unbekannten der Form ax + b = c sicher. Die Aufgabe erfordert zwei aufeinanderfolgende Schritte: Zuerst wird das absolute Glied auf beiden Seiten addiert oder subtrahiert, und anschließend wird die Gleichung auf beiden Seiten durch den Koeffizienten vor der Unbekannten geteilt, um das einzelne x zu bestimmen.

Das häufigste Problem ist das Vertauschen der richtigen Reihenfolge der Schritte oder Fehler beim Umgang mit positiven und negativen Vorzeichen. Schüler neigen manchmal dazu, durch den Koeffizienten a zu teilen, bevor sie das Glied b subtrahieren, was die Bruchrechnung unnötig verkompliziert, oder sie vergessen, beim Umstellen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens das Vorzeichen der Zahl zu ändern.

Im Übungsbogen basiert das Trainieren dieser Fertigkeit auf Aufgaben, bei denen die Zahl bestimmt werden muss, die den Ausdruck Gleichung ax + b = c erfüllt, oder auf geschlossenen Aufgaben (Vorlage Lösung der Gleichung — Antwort auswählen), bei denen der Schüler das richtige Ergebnis aus den Optionen A, B, C, D auswählt.

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Aufgabentypen: Die Gleichung ax + b = c lösen · Lösung einer Gleichung — wähle die Antwort

Berechnung des Grundwerts aus einem gegebenen Prozentsatz

Der Schüler kann die ursprüngliche Größe oder Zahl bestimmen, wenn er weiß, welchen Teil davon ein angegebener Prozentwert ausmacht.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.c die Zahl auf der Grundlage ihres gegebenen Prozentsatzes (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse kann der Schüler das Ganze (also 100 %) bestimmen, wenn ein bestimmter Teil davon in Prozent angegeben ist. Er wandelt Prozentsätze sicher in einen gewöhnlichen Bruch oder Dezimalbruch um und führt die entsprechende Division durch oder stellt eine einfache Gleichung mit einer Unbekannten für den gesuchten Wert auf und löst diese.

Ein typischer Fehler in der Prüfung ist das Verwechseln der Rechenrichtung: Anstatt den bekannten Wert durch den Prozentsatz zu teilen, multipliziert der Schüler die gegebene Zahl unüberlegt mit diesem Prozentsatz. Infolgedessen berechnet er den Prozentsatz von der gegebenen Zahl, anstatt das ursprüngliche Ganze wiederherzustellen (er berechnet beispielsweise fälschlicherweise 20 % von 40, anstatt den Betrag zu suchen, von dem 20 % gleich 40 zł sind).

Im Prüfungsbogen haben Aufgaben im Rahmen des Aufgabentyps Grundwert berechnen (Zahl aus gegebenem Prozentsatz) meist die Form von Textaufgaben, die in alltägliche Situationen eingebettet sind. Der Schüler muss beispielsweise den ursprünglichen Preis eines Produkts vor einem Rabatt, die Gesamtlänge einer Ausflugsroute oder die Gesamtzahl der Umfrageteilnehmer anhand von Daten über einen ihrer Teilbereiche berechnen.

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Division von gewöhnlichen Brüchen

Der Schüler dividiert gemeine Brüche mit ein- und zweistelligen Nennern, indem er die Division sicher in eine Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs umwandelt.

Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.1.27 addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert gemeine Brüche mit ein- und zweistelligen Nennern (unsere Übersetzung)

Im Rahmen der Wiederholung für die Abschlussprüfung der achten Klasse führt der Schüler die Division von gemeinen Brüchen mit ein- und zweistelligen Nennern durch. Er formt die Rechenoperation sicher um, indem er den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert, und kürzt die Brüche vor der Berechnung des Endergebnisses.

Der häufigste Fehler besteht darin, die falsche Zahl umzukehren – den ersten Bruch anstelle des zweiten – oder zu versuchen, direkt Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner zu teilen. Es kommt auch vor, dass der Schüler zwar den Divisor umkehrt, aber vergisst, das Divisionszeichen in ein Multiplikationszeichen zu ändern.

Eine Aufgabe vom Typ Teile einen Bruch durch einen Bruch überprüft diese Fähigkeit direkt: Der Schüler erhält den Quotienten zweier gemeiner Brüche, den er berechnen und auf die einfachste Form, das heißt einen nicht weiter kürzbaren Bruch, bringen muss.

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Ausmultiplizieren und Ausklammern

Der Schüler multipliziert ein Monom mit einer algebraischen Summe mit ganzzahligen Koeffizienten und klammert einen gemeinsamen Faktor aus.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.5 multipliziert ein Monom mit einer algebraischen Summe von höchstens drei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.6 klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus, die aus zwei Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten besteht (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse führt der Schüler algebraische Umformungen sicher durch: Er multipliziert ein Monom mit einer Summe aus höchstens drei Monomen und klammert ein Monom aus einer Summe von zwei Summanden aus. Diese Rechenoperationen führt er an Termen mit ganzzahligen Koeffizienten durch.

Ein typischer Fehler besteht darin, nur das erste Glied in der Klammer mit dem Monom zu multiplizieren und den Rest unverändert zu übernehmen (zum Beispiel das Aufschreiben von 2(x + 4) = 2x + 4 anstelle von 2x + 8). Schüler übersehen auch häufig das Minuszeichen, wenn eine negative Zahl vor der Klammer steht, oder vergessen, beim Multiplizieren gleicher Variablen die Exponenten zu addieren.

In der Prüfungsarbeit tritt diese Fertigkeit in Aufgaben der Vorlage Multiplikation eines Monoms mit einer Summe auf, bei denen Klammern korrekt aufgelöst und gleichartige Glieder zusammengefasst werden müssen, um den gesamten Term in seine einfachste Form zu bringen.

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Berechnen, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist

Der Schüler kann bestimmen, wie viel Prozent eine Größe von einer anderen ausmacht, indem er den entsprechenden Bruch aufschreibt und ihn in Prozent umrechnet.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.a wie viel Prozent einer Zahl die andere Zahl ist (unsere Übersetzung)

Ein Achtklässler kann bestimmen, wie viel Prozent einer gegebenen Zahl eine andere Größe ist. In der Praxis bedeutet dies den Vergleich zweier Zahlen durch Bildung eines Quotienten in Form eines Bruchs und dessen anschließende Umwandlung in einen Prozentsatz — beispielsweise durch Erweitern des Bruchs auf den Nenner 100 oder durch Multiplikation mit 100%.

Der häufigste Fehler in Prüfungen ist das Vertauschen von Zähler und Nenner, was auf ein falsches Verständnis des Bezugswerts zurückzuführen ist. Der Schüler vertauscht die Zahl, die das Ganze darstellt, mit der Zahl, die den Teil darstellt, und erhält dadurch den Kehrwert des gesuchten Verhältnisses.

Bei Aufgaben des Typs Wie viel Prozent ist die Zahl? sind die Fragestellungen meist in praktische Situationen eingebettet. Der Schüler begegnet ihnen beispielsweise bei der Berechnung, wie viel Prozent aller Schüler einer Klasse Jungen sind oder welchen Teil der Gesamtstrecke ein Radfahrer zurückgelegt hat.

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Berechnen von Quadratwurzeln

Der Schüler berechnet die genauen Werte von Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen, die Quadrate anderer Zahlen sind.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.7 berechnet die Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln aus Zahlen, die entsprechend Quadrate oder Kubikzahlen rationaler Zahlen sind, und berechnet Näherungswerte von Wurzeln aus anderen Zahlen mit dem Taschenrechner (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse bestimmt der Schüler sicher die Werte von Quadratwurzeln aus Zahlen, die Quadrate rationaler Zahlen sind. Dies bedeutet das geübte Finden einer nicht-negativen Zahl, die quadriert den Radikanden ergibt – bezogen auf ganze Zahlen sowie auf gemeine Brüche und Dezimalbrüche.

Ein häufiger Fehler auf dieser Stufe ist die Verwechslung des Wurzelziehens mit dem Teilen durch zwei (zum Beispiel die Annahme, dass die Wurzel aus 16 gleich 8 ist). Schüler haben auch Schwierigkeiten bei der korrekten Bestimmung der Anzahl der Nachkommastellen beim Wurzelziehen aus Dezimalbrüchen, was zu fehlerhaften Ergebnissen führt, wie etwa der Zahl 0,4 eine Wurzel von 0,2 zuzuordnen.

Die Aufgaben aus der Vorlage Berechne die Quadratwurzel bestehen darin, den numerischen Wert der Wurzel direkt zu bestimmen. In der Probeprüfung tritt diese Fähigkeit eigenständig in Rechenaufgaben auf oder dient als vorbereitender Schritt für weitere Berechnungen, beispielsweise bei der Bestimmung von Seitenlängen ebener Figuren anhand ihres Flächeninhalts.

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Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes

Der Schüler kann den Flächeninhalt eines Trapezes anhand der Längen seiner Grundseiten und seiner Höhe korrekt berechnen, indem er die geometrische Formel sicher anwendet.

Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.4.14 berechnet den Flächeninhalt von Dreieck, Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez sowie die Flächeninhalte von Figuren, die sich daraus zusammensetzen lassen (unsere Übersetzung)

Ein Achtklässler, der sich auf die Prüfung vorbereitet, kann den Flächeninhalt eines Trapezes bestimmen, indem er in der Figur das Paar paralleler Grundseiten sowie die dazu senkrechte Höhe korrekt identifiziert. Diese Fähigkeit, die in den Klassen 4–6 gefestigt wurde, erfordert das sichere Rechnen mit Zahlen sowie die Anwendung der Flächeninhaltsformel oder das Zerlegen des Vielecks in einfachere Figuren — Rechteck und Dreiecke.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Höhe des Trapezes mit der Länge seines schrägen Schenkels zu verwechseln, insbesondere wenn es sich nicht um ein rechtwinkliges Trapez handelt. Schülerinnen und Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten mit der korrekten Reihenfolge der Rechenoperationen: Sie vergessen, die Summe der Grundseiten vor dem Multiplizieren mit der Höhe in Klammern zu setzen, oder das Endergebnis durch zwei zu teilen.

Im Prüfungsbogen haben Aufgaben aus der Aufgabenvorlage Flächeninhalt des Trapezes die Form von geometrischen Zeichnungen mit angegebenen Maßen oder von Figuren auf einem Quadratgitter, aus dem der Schüler die Streckenlängen selbst abliest. Die Aufgabe kann auch erfordern, eine fehlende Grundseite oder Höhe zu berechnen, wenn der Flächeninhalt der Figur bereits vorgegeben ist.

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Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks

Der Schüler berechnet den Flächeninhalt eines Dreiecks anhand der Länge der Grundseite und der auf sie gefällten Höhe unter Verwendung der entsprechenden geometrischen Formel.

Im Rahmen der Vorbereitung auf die Abschlussprüfung der 8. Klasse bestimmt der Schüler den Flächeninhalt eines Dreiecks unter Verwendung der Beziehung zwischen der Seitenlänge und der auf diese Seite oder deren Verlängerung gefällten Höhe. Diese Fertigkeit wird in den Klassen 4–6 eingeführt und dient im Prüfungsbogen zum Lösen von Aufgaben der ebenen Geometrie – sowohl von eigenständigen Aufgaben als auch von solchen, die die Berechnung von Flächeninhalten zusammengesetzter Figuren erfordern.

Ein typischer Fehler von Achtklässlern ist das Auslassen der Division durch 2, was dazu führt, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms statt des Dreiecks angegeben wird. Die Schüler haben auch Schwierigkeiten damit, die Seite richtig mit der zugehörigen Höhe zu verknüpfen: Sie multiplizieren Strecken miteinander, die nicht senkrecht aufeinander stehen, oder verwechseln die Schenkellänge des Dreiecks mit seiner Höhe (insbesondere bei stumpfwinkligen Dreiecken, bei denen die Höhe außerhalb der Figur liegt).

In den Aufgaben der Vorlage Flächeninhalt eines Dreiecks auf dem Probebogen arbeitet der Schüler mit einer Hilfszeichnung, auf der Maße angegeben sind, oder liest die Daten aus einem Gitternetz ab. Die Aufgabenstellung erfordert das Bestimmen der richtigen Strecken, deren Einsetzen in die Formel sowie das korrekte Durchführen der Multiplikation und Division.

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Arithmetisches Mittel in Alltagssituationen

Der Schüler berechnet das arithmetische Mittel numerischer Daten aus dem Alltag, beispielsweise von Ausgaben, und zieht daraus praktische Schlussfolgerungen.

Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.5.3 berechnet das arithmetische Mittel bei der Beschreibung von Phänomenen aus dem Alltag (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.5.4 interpretiert Daten zu Ausgaben, berechnet deren Durchschnittswert und formuliert Schlussfolgerungen zur Wirtschaftlichkeit verschiedener Lösungen – Wirtschafts- und Finanzmodul. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.4.4 wendet das arithmetische Mittel und den Median im praktischen Kontext zum Vergleich von Datensätzen, einschließlich Finanzdaten, an – ökonomisch-finanzielles Modul (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse kann der Schüler die erfassten Größen summieren und das erhaltene Ergebnis durch die Anzahl der Daten teilen, um deren arithmetisches Mittel zu bestimmen. Er nutzt dieses Werkzeug zur Beschreibung von Phänomenen aus dem Alltag sowie zur Analyse von Ausgaben und Finanzen, was ihm ermöglicht, verschiedene Datensätze miteinander zu vergleichen und die Wirtschaftlichkeit von Lösungen zu beurteilen.

Ein typischer Fehler bei den Berechnungen ist das Teilen der Summe durch die falsche Anzahl von Summanden — zum Beispiel das Nichtberücksichtigen von Werten gleich Null im Nenner, obwohl sie ein vollwertiges Element des Datensatzes darstellen. Schüler vergessen bei der Notation in einem einzigen Term auch oft die Reihenfolge der Rechenoperationen, was dazu führt, dass nur der letzte addierte Summand anstelle der gesamten Summe durch die Anzahl der Elemente geteilt wird.

Im Prüfungsbogen arbeitet der Schüler bei Aufgaben, die auf der Vorlage Mittelwert im Alltag basieren, mit Daten, die in einem kurzen Text oder einer einfachen Tabelle dargestellt sind. Die Aufgabe besteht meist darin, durchschnittliche Kosten oder eine durchschnittliche Punktzahl zu berechnen oder zwei Datengruppen zu vergleichen und eine prägnante Schlussfolgerung zu formulieren.

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Berechnung der fehlenden Größe aus einer Proportion

Die Schülerin oder der Schüler kann eine direkt proportionale Zuordnung erkennen und den fehlenden Wert berechnen, zum Beispiel die Kosten oder das Gewicht für eine andere Stückzahl einer Ware.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.10 erkennt direkt proportionale Zusammenhänge, wendet sie zur Bestimmung des Wertes einer Größe anhand der anderen an und nutzt die proportionale Aufteilung in zwei oder drei Teile im praktischen Kontext (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.6.3.d nutzt proportionales Schließen, auch als Methode zur Erleichterung der Multiplikation und Division. (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse nutzt der Schüler die Eigenschaften direkt proportionaler Größen, um einen unbekannten Wert auf der Grundlage zusammenhängender Daten zu ermitteln. Mithilfe von Multiplikation und Division kann er Größen auf eine gemeinsame Einheit zurückführen (zum Beispiel durch die Berechnung des Stückpreises) oder die Gleichheit der Produkte (den Dreisatz) anwenden, um die gesuchte Zahl zu bestimmen.

Ein häufiger Fehler ist die Anwendung additiven statt proportionalen Denkens. Anstatt zu multiplizieren und zu dividieren, versuchen Schüler, die Differenz zwischen den bekannten Werten zu addieren oder zu subtrahieren – sie nehmen beispielsweise an, dass, wenn die Stückzahl um 2 steigt, auch die Gesamtkosten um 2 Euro steigen, anstatt um den Preis von zwei Stück.

In der Prüfungsarbeit taucht diese Fertigkeit in Aufgaben des Typs Wie viel wird es bei einer anderen Stückzahl sein? auf. Die Schüler erhalten darin Informationen über den Preis, das Gewicht oder das Volumen eines Produktpakets und müssen bestimmen, wie hoch derselbe Wert nach einer Änderung der Anzahl der gekauften Stücke sein wird.

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Berechnung von Weg, Geschwindigkeit und Zeit

Der Schüler berechnet die von einem Objekt zurückgelegte Strecke bei bekannter Geschwindigkeit und Zeit unter korrekter Anwendung und Abstimmung der Einheiten km/h sowie m/s.

Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.2.12 berechnet im praktischen Kontext: den Weg bei gegebener Geschwindigkeit und Zeit, die Geschwindigkeit bei gegebenem Weg und gegebener Zeit, die Zeit bei gegebenem Weg und gegebener Geschwindigkeit und verwendet die Geschwindigkeitseinheiten km/h sowie m/s (unsere Übersetzung)

Der Schüler löst Aufgaben aus dem praktischen Kontext, indem er die zurückgelegte Strecke anhand der angegebenen Geschwindigkeit und der Bewegungszeit bestimmt. Er verwendet sicher die grundlegenden Einheiten der Geschwindigkeit wie km/h sowie m/s und achtet vor der Multiplikation auf die Übereinstimmung der Einheiten.

Der häufigste Fehler auf dieser Stufe ist die direkte Multiplikation von Größen ohne vorherige Vereinheitlichung der Einheiten – beispielsweise die Multiplikation einer Geschwindigkeit in km/h mit einer in Minuten angegebenen Zeit. Der Schüler vergisst dabei, Minuten in einen Bruchteil einer Stunde umzurechnen, was zu einem falschen und unrealistischen Ergebnis führt.

In Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung wie „Welche Strecke wird zurückgelegt?“ analysiert der Schüler einen kurzen Text, der die Bewegung eines Fußgängers, Radfahrers oder Autos beschreibt. Die Aufgabe besteht darin, die Angaben zu Geschwindigkeit und Zeit richtig abzulesen, gegebenenfalls die Einheiten umzurechnen und die endgültige Distanz zu berechnen.

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Rechnen mit Potenzen und der fehlende Exponent

Der Schüler wendet die Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, um Terme zu vereinfachen und unbekannte Exponenten zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5 wendet die Rechengesetze für Potenzen mit natürlichen Basen und ganzzahligen Exponenten an, darunter: (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.a multipliziert und dividiert Potenzen mit gleicher Basis (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.b multipliziert und dividiert Potenzen mit gleichen Exponenten (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.5.c potenziert Potenzen (unsere Übersetzung)

Ein Achtklässler kann Terme umformen, die Potenzen mit natürlichen Zahlen als Basis und ganzen Zahlen als Exponenten (positiv, negativ oder gleich null) enthalten. Dabei wendet er die Rechengesetze für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis sowie das Potenzieren von Potenzen an und bringt komplexe Ausdrücke in die einfachste Form.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Regeln zu verwechseln und beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten zu multiplizieren anstatt sie zu addieren. Schwierigkeiten bereitet auch das Subtrahieren negativer Exponenten bei der Division, da es hierbei leicht zu Vorzeichenfehlern kommt.

In der Probeprüfung besteht die Aufgabe zu diesem Themenbereich darin, den fehlenden Exponenten in einer Gleichung zu ergänzen. Der Schüler muss mehrere Potenzen mit gleicher Basis durch entsprechende Rechenoperationen zusammenfassen, um zu bestimmen, welche Zahl im Exponenten des Ergebnisses stehen muss.

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Aufteilung einer Größe in einem gegebenen Verhältnis

Der Schüler teilt eine gegebene Größe in einem vorgegebenen Verhältnis in zwei oder drei Teile und berechnet deren Werte in praktischen Situationen.

Ein Achtklässler kann eine gegebene Größe nach einem vorgegebenen Zahlenverhältnis in zwei oder drei Teile teilen. Er versteht, dass das Verhältnis die Proportionen zwischen den Teilen des Ganzen bestimmt, weshalb er zuerst den Wert eines einzelnen Basisteils ermittelt und anschließend die Größen der einzelnen Anteile im praktischen Kontext berechnet.

Ein typischer Fehler besteht darin, die Gesamtgröße durch die Anzahl der Beteiligten der Aufteilung zu teilen (zum Beispiel durch 2 oder 3) anstatt durch die Summe der Zahlen, die das Verhältnis bilden (z. B. durch 5 bei einer Aufteilung im Verhältnis 2 : 3). Schülerinnen und Schüler haben manchmal auch Schwierigkeiten, die Reihenfolge der Angaben beizubehalten, wodurch sie der Person oder Größe, der weniger Einheiten zustanden, den größeren Teil zuweisen.

Bei Aufgaben des Typs Aufteilung im gegebenen Verhältnis bewältigt der Schüler praktische Probleme wie die Aufteilung des Gewinns aus gemeinsamer Arbeit, das Verhältnis von Zutaten in Kochrezepten oder das Zerschneiden einer Strecke in Abschnitte im vorgegebenen Verhältnis (z. B. 1 : 4 oder 2 : 3 : 5). Der Test verlangt von ihm, die Anteile zu addieren und den konkreten Wert eines Teils oder aller Teile zu berechnen.

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Teilweises Radizieren

Der Schüler formt Quadrat- und Kubikwurzeln um und zieht korrekt eine Zahl vor das Wurzelzeichen.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9 wendet die Rechengesetze für Quadrat- und Kubikwurzeln an, darunter: (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.a berechnet Wurzeln aus dem Produkt und dem Quotienten zweier Zahlen (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.b multipliziert und dividiert Wurzeln gleichen Grades (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.9.c zieht teilweise die Wurzel (radiziert teilweise) und bringt einen Faktor unter das Wurzelzeichen (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse vereinfacht ein Schüler bei der Vorbereitung auf die Prüfung Quadrat- und Kubikwurzeln sicher. Er zerlegt die Zahl unter dem Wurzelzeichen in ein Produkt solcher Faktoren, von denen mindestens einer eine Quadrat- oder Kubikzahl ist, zieht daraus die Wurzel und schreibt das Ergebnis vor das Wurzelzeichen.

Ein häufiges Problem ist das unvollständige Vorziehen eines Faktors, also die Wahl eines zu kleinen Teilers (zum Beispiel das Notieren von 2√12 statt 4√3). Schüler verwechseln auch die Regeln für verschiedene Wurzelexponenten: Bei Kubikwurzeln neigen sie dazu, nach Paaren gleicher Faktoren statt nach Dreiergruppen zu suchen, oder sie teilen die Zahl unter dem Wurzelzeichen durch den Wurzelexponenten, anstatt die Wurzel korrekt zu berechnen.

Im Prüfungsbogen überprüft die Aufgabe die Anweisung Ziehe den Faktor vor die Wurzel. Vom Achtklässler wird verlangt, eine einzelne Quadrat- oder Kubikwurzel in die Form eines Produkts aus einer ganzen Zahl und einer Wurzel umzuwandeln, was auch ein wesentlicher Schritt beim anschließenden Vergleichen von Zahlen und Addieren von Wurzeltermen ist.

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Wissenschaftliche Schreibweise und Vergleich von Zahlen

Der Schüler schreibt Zahlen in wissenschaftlicher Notation und vergleicht in dieser Form dargestellte Werte.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.6 schreibt Zahlen in wissenschaftlicher Notation (Zehnerpotenz-Schreibweise) und vergleicht auf diese Weise dargestellte Zahlen (unsere Übersetzung)

Ein Achtklässler, der sich auf die Prüfung vorbereitet, kann Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise darstellen und Größen vergleichen, die in dieser Form angegeben sind. Er wandelt Zahlen sicher aus der Dezimalschreibweise in das Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 (ausschließlich 10) und einer entsprechenden Zehnerpotenz um und bestimmt die Größenverhältnisse zwischen ihnen.

Ein typischer Fehler entsteht durch das Nichtbeachten der Bedingung für den ersten Faktor – Lernende akzeptieren häufig Darstellungen, bei denen die erste Zahl kleiner als 1 oder größer bzw. gleich 10 ist (sie schreiben beispielsweise 25 multipliziert mit einer Zehnerpotenz statt 2,5). Beim Vergleichen orientieren sie sich zudem oft ausschließlich am Exponenten der Zehnerpotenz, ohne den Wert des vorderen Faktors zu berücksichtigen.

Im Prüfungsbogen bestehen Aufgaben des Aufgabentyps Wissenschaftliche Schreibweise meist darin, eine große oder kleine Größe in die korrekte wissenschaftliche Notation umzuwandeln oder mehrere angegebene Zahlen von der kleinsten zur größten zu ordnen.

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Multiplikation negativer Zahlen und Vorzeichenregeln

Der Schüler bestimmt das Vorzeichen des Ergebnisses korrekt und führt einfache Multiplikationen negativer Zahlen in Prüfungsaufgaben durch.

Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.1.32 führt unkomplizierte Rechnungen durch, in denen rationale Zahlen vorkommen (unsere Übersetzung)

Ein Achtklässler führt unkomplizierte Rechnungen mit rationalen Zahlen durch und wendet dabei die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation negativer Zahlen sicher an. Er kennt die Regel, dass das Produkt von Zahlen mit gleichen Vorzeichen positiv und mit unterschiedlichen Vorzeichen negativ ist, und kann das Vorzeichen des Ergebnisses vor der eigentlichen Multiplikation ohne Zögern bestimmen.

Das häufigste Problem ist die mechanische Anwendung der Regel „Minus mal Minus ergibt Plus“ an unpassenden Stellen, beispielsweise bei der Addition negativer Zahlen (der Ausdruck -3 - 5 wird manchmal fälschlicherweise als eine Operation angesehen, die ein positives Ergebnis liefert). Schülerinnen und Schüler haben zudem mitunter Schwierigkeiten, die Minuszeichen bei der Multiplikation von drei oder mehr Faktoren korrekt zu zählen, und vergessen dabei, dass eine ungerade Anzahl negativer Vorzeichen immer ein negatives Ergebnis ergibt.

Im Prüfungsbogen überprüfen Aufgaben, die auf der Vorlage Multiplikation negativer Zahlen basieren, die Rechenfertigkeit bei einfachen arithmetischen Operationen. Sie erfordern die direkte Berechnung des Ergebnisses einer Multiplikation oder die Angabe des richtigen Wertes im Rahmen von geschlossenen Aufgaben, bei denen die korrekte Handhabung des Vorzeichens über die Wahl der richtigen Antwort entscheidet.

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Multiplikation von zwei Binomen

Der Schüler multipliziert zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander und schreibt das Ergebnis in Form einer vereinfachten algebraischen Summe auf.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.7 multipliziert zwei Binome mit ganzzahligen Koeffizienten miteinander (unsere Übersetzung)

In der 8. Klasse kann der Schüler zwei Binome miteinander multiplizieren, in denen ausschließlich ganze Zahlen (sowohl positive als auch negative) vorkommen. Die Aufgabe besteht darin, jedes Glied der ersten Klammer systematisch mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren und anschließend die gleichartigen Terme zu ordnen und zusammenzufassen.

Die häufigsten Schwierigkeiten entstehen durch das Verwechseln von Vorzeichen beim Multiplizieren negativer Zahlen (zum Beispiel das Übersehen, dass das Produkt zweier negativer Zahlen ein positives Ergebnis liefert). Ein typischer Fehler ist auch das ausschließliche Multiplizieren der jeweils ersten Glieder miteinander und der letzten Glieder miteinander, unter Auslassung der Multiplikation der Glieder „über Kreuz“.

Im Prüfungsbogen bestehen Aufgaben aus der Vorlage Multiplikation von Binomen darin, einen Ausdruck in Form eines Produkts zweier Klammern – zum Beispiel (2x - 3)(x + 4) – zu vereinfachen und in die einfachste Form einer algebraischen Summe zu bringen oder die richtige Antwort aus den vorgegebenen Optionen auszuwählen.

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Berechnung der Wahrscheinlichkeit beim Ziehen einer Kugel

Der Schüler kann die Wahrscheinlichkeit bestimmen, eine Kugel einer bestimmten Farbe aus einer Menge von Kugeln in einer Schachtel zu ziehen, und das Ergebnis als Bruch angeben.

Ein Achtklässler kann ein einfaches Zufallsexperiment analysieren und die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses berechnen. In der Praxis bedeutet dies, die Anzahl aller möglichen Ergebnisse (die Gesamtzahl der Kugeln im Behälter) sowie die Anzahl der günstigen Ereignisse (Kugeln, die die gegebene Bedingung erfüllen, z. B. eine bestimmte Farbe haben) zu bestimmen und dieses Verhältnis anschließend als Bruch darzustellen.

Ein typischer Fehler besteht darin, in den Nenner des Bruchs die Anzahl der restlichen Objekte anstelle ihrer Gesamtsumme einzutragen – zum Beispiel die Anzahl der weißen Kugeln durch die Anzahl der schwarzen Kugeln zu teilen, anstatt durch alle Kugeln in der Schachtel. Schülerinnen und Schüler machen auch dann Fehler, wenn die Aufgabenstellung das Hinzufügen oder Herausnehmen einer Kugel erfordert, und sie vergessen, die Gesamtzahl aller Elemente zu aktualisieren.

Im Prüfungsbogen wird diese Fertigkeit in Aufgaben der Vorlage Ziehen einer Kugel aus einer Schachtel überprüft. Die Aufgabe beschreibt einen Behälter mit verschiedenfarbigen Kugeln und verlangt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit einer bestimmten Eigenschaft zu ziehen, oder die Bestimmung, wie viele Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden müssen, um die gewünschte Wahrscheinlichkeit zu erreichen.

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Berechnung des Volumens einer regelmäßigen Pyramide

Der Schüler berechnet das Volumen einer regelmäßigen Pyramide unter Verwendung der Grundfläche und der Höhe des Körpers gemäß der Formel.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.3.14 berechnet Oberflächeninhalte und Volumina gerader Prismen sowie regelmäßiger Pyramiden. (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse kann ein Schüler, der sich auf die Prüfung vorbereitet, das Volumen einer regelmäßigen Pyramide berechnen. Die Aufgabe erfordert die sichere Bestimmung des Flächeninhalts des Basispolygons sowie dessen Verknüpfung mit der Körperhöhe unter Verwendung der entsprechenden Formel.

Der häufigste Fehler ist das Weglassen des Bruchs ein Drittel in der Formel für das Pyramidenvolumen, wodurch das berechnete Ergebnis dreimal zu groß ist – es entspricht dem Volumen eines Prismas mit denselben Abmessungen. Schüler sind manchmal auch beim Ablesen der Angaben unaufmerksam und verwechseln die Höhe des gesamten Körpers mit der Höhe einer Seitenfläche.

Eine Aufgabe vom Typ Volumen einer Pyramide im Prüfungsbogen basiert auf einer Hilfszeichnung oder einer verbalen Beschreibung des Körpers. Der Achtklässler muss anhand der angegebenen Kanten oder Höhen den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen, die Werte in die Formel einsetzen und die arithmetischen Operationen korrekt durchführen.

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Lösen von Gleichungen mit der Unbekannten auf beiden Seiten

Der Schüler löst Gleichungen ersten Grades, bei denen die Unbekannte auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht, indem er die Terme sicher ordnet und das Ergebnis bestimmt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.11 löst Gleichungen ersten Grades sowie Gleichungen, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse formt der Schüler lineare Gleichungen, bei denen die Unbekannte auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht, sicher um und löst sie. Er kann die Gleichung in eine einfachere Form bringen, indem er Terme mit der Unbekannten auf die eine Seite und die bekannten Zahlen auf die andere Seite bringt, indem er auf beiden Seiten addiert oder subtrahiert.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist das Nichtändern des Vorzeichens in das entgegengesetzte beim Übertragen eines Summanden auf die andere Seite der Gleichung. Schüler verlieren auch oft Minuszeichen beim Zusammenfassen gleichartiger Terme oder teilen beide Seiten durch die falsche Zahl (z. B. subtrahieren sie den Koeffizienten, anstatt durch ihn zu dividieren).

Im Prüfungsbogen erfordert eine Aufgabe aus der Vorlage Gleichung mit der Unbekannten auf beiden Seiten die Bestimmung der Zahl, die eine gegebene algebraische Bedingung erfüllt. Die Aufgabe kann in geschlossener Form vorliegen – bei der der Schüler den richtigen Wert aus den vorgegebenen Optionen auswählt – oder in offener Form, bei der die vollständige Abfolge der Umformungen aufgeschrieben werden muss, die zur Lösung führt.

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Überprüfen, ob eine Zahl eine Lösung einer Gleichung ist

Der Schüler überprüft, ob eine gegebene ganze oder rationale Zahl eine gegebene Gleichung erfüllt, indem er sie anstelle der Unbekannten einsetzt und die Werte beider Seiten berechnet.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.10 prüft, ob eine gegebene rationale Zahl Lösung einer linearen Gleichung (Gleichung ersten Grades) ist (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.9 prüft, ob eine gegebene ganze Zahl eine Lösung einer Gleichung (ersten, zweiten oder dritten Grades) mit einer Unbekannten ist (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse kann der Schüler die Richtigkeit einer Lösung überprüfen, ohne die gesamte Gleichung umformen zu müssen. Er prüft, ob eine gegebene ganze Zahl eine Gleichung mit einer Unbekannten ersten, zweiten oder dritten Grades erfüllt, und verifiziert bei beliebigen rationalen Zahlen (z. B. Brüchen) Gleichungen ersten Grades. Es reicht aus, den angegebenen Wert anstelle der Variablen einzusetzen und den Wert der linken sowie der rechten Seite getrennt zu berechnen.

Der häufigste Fehler besteht darin, beim Einsetzen negativer Zahlen Vorzeichen zu übersehen – insbesondere beim Potenzieren oder Subtrahieren – sowie in einer falschen Reihenfolge der Rechenoperationen. Häufig versuchen Schüler auch unnötigerweise, die gesamte Gleichung von Grund auf zu lösen (was bei Gleichungen zweiten oder dritten Grades schwierig ist), anstatt einfach die Berechnungen mit den angegebenen Zahlen durchzuführen.

In der Probeprüfung hat eine Aufgabe aus der Vorlage Ist die Zahl eine Lösung der Gleichung? meist die Form einer geschlossenen Frage, in der eine Gleichung sowie eine konkrete Zahl angegeben sind. Die Aufgabe des Schülers besteht darin, beide Seiten zu berechnen und eindeutig zu beurteilen, ob die erhaltenen Ergebnisse übereinstimmen.

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Berechnung des Werts eines algebraischen Ausdrucks

Der Schüler berechnet den Zahlenwert eines algebraischen Ausdrucks, der aus maximal drei Monomen besteht, indem er die angegebenen ganzen Zahlen für die Variablen einsetzt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.2 berechnet den Zahlenwert eines algebraischen Terms, der die Summe von höchstens drei Monomen ist, für gegebene ganzzahlige Werte der Variablen (unsere Übersetzung)

Im Rahmen der Vorbereitung auf die Abschlussprüfung der 8. Klasse kann der Schüler angegebene ganze Zahlen für die Variablen einsetzen und das Endergebnis berechnen. Die Rechnungen führt er an algebraischen Ausdrücken durch, die eine Summe von höchstens drei Monomen darstellen, wie zum Beispiel 2a − 3b + 5 oder x² − 4x.

Die häufigste Fehlerquelle ist das Nichtberücksichtigen von Klammern beim Einsetzen negativer Zahlen. Schüler verwechseln oft die Schreibweise (−2)² mit −2² oder verlieren das Minuszeichen beim Subtrahieren eines negativen Wertes (indem sie beispielsweise 5 − 3 statt 5 − (−3) notieren). Gelegentlich wird auch die Reihenfolge der Rechenoperationen verletzt, insbesondere durch Multiplizieren vor dem Potenzieren.

Bei Aufgaben des Typs Wert eines algebraischen Ausdrucks erhält der Schüler einen konkreten Ausdruck sowie im Aufgabentext angegebene ganzzahlige Werte für die Variablen. Seine Aufgabe ist es, die Rechenschritte Schritt für Schritt korrekt auszuführen und in einer geschlossenen Aufgabe die richtige Antwort anzugeben oder das Ergebnis aufzuschreiben.

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Zusammenfassen gleichartiger Terme in Ausdrücken

Der Schüler ordnet Monome sowie addiert und subtrahiert gleichartige Terme mit ganzzahligen Koeffizienten und bringt algebraische Summen in die einfachste Form.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.3 ordnet Monome und fasst gleichartige Terme in algebraischen Summen zusammen (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.4 addiert und subtrahiert algebraische Summen, die aus mehreren Monomen mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse ordnet der Schüler Monome sicher und addiert sowie subtrahiert algebraische Summen, die aus mehreren Termen mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen. Er kann Monome mit identischem Variablenteil erkennen und sie zu einem einzigen Summanden zusammenfassen, indem er Rechenoperationen mit ihren numerischen Koeffizienten durchführt.

Der häufigste Fehler ist das Verlieren des Minuszeichens vor einem bestimmten Term beim Ordnen der Summe. Schüler fassen auch nicht selten Terme zusammen, die nicht gleichartig sind – zum Beispiel addieren sie Monome mit unterschiedlichen Variablen, verwechseln Variablen mit verschiedenen Potenzen oder vergessen, dass ein einzelnes Minus vor einer Variablen einen Koeffizienten von -1 bedeutet.

Die Aufgaben aus der Vorlage Zusammenfassen gleichartiger Terme bestehen darin, den angegebenen algebraischen Ausdruck zu vereinfachen und in möglichst kurzer Form aufzuschreiben. Im Übungsbogen begegnet der Schüler diesem Thema in Form von geschlossenen Aufgaben mit Mehrfachauswahl oder als notwendiger Bestandteil beim Lösen von Gleichungen sowie offenen Aufgaben aus der Geometrie oder Textaufgaben.

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Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen in Textaufgaben

Der Schüler löst Textaufgaben, indem er die Beziehungen zwischen zwei Unbekannten als einfaches Gleichungssystem aufschreibt und dieses auf eine Gleichung mit einer Unbekannten zurückführt.

Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.2.12 löst Textaufgaben mithilfe von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten oder von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung ersten Grades zurückführen lassen. (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse löst der Schüler Textaufgaben mithilfe von Systemen aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Auf dieser Stufe werden Gleichungssysteme verlangt, die sich auf einfache Weise auf eine Gleichung mit einer Unbekannten zurückführen lassen – meist durch das direkte Bestimmen einer Größe und deren Einsetzen in die zweite Gleichung.

Ein typisches Problem bei der Prüfung ist das Übersehen von Vorzeichen (insbesondere des Minuszeichens) beim Umformen von Klammerausdrücken sowie das Nichtberücksichtigen aller Aufgabenbedingungen beim Aufstellen der zweiten Gleichung. Schüler begnügen sich zudem oft damit, nur eine der Unbekannten zu bestimmen, und vergessen, die Berechnung für die zweite gesuchte Größe abzuschließen.

Eine Aufgabe aus der Vorlage System zweier Gleichungen hat in der Regel die Form einer offenen Aufgabe mit praktischem Sachkontext, beispielsweise bezogen auf Ticketpreise, die Anzahl von Münzen oder das Alter zweier Personen. Der Achtklässler muss die Unbekannten korrekt definieren, das Gleichungssystem aufstellen, einen nachvollziehbaren Rechenweg notieren und die endgültige Antwort angeben.

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Berechnung der Zinsen für eine einjährige Festgeldanlage

Der Schüler berechnet den Gewinn aus einer einjährigen Bankanlage sowie den Endbetrag auf dem Konto bei einem angegebenen jährlichen Zinssatz.

Ein Achtklässler kann den Zinsertrag aus einem Kapital berechnen, das für die Dauer eines Jahres bei einer Bank angelegt wird. In der Praxis bedeutet dies die sichere Anwendung der Prozentrechnung: Der Schüler wandelt den angegebenen Jahreszinssatz in einen Bruch um und multipliziert ihn mit dem Anfangsbetrag der Geldanlage, um den fälligen Zinsbetrag zu ermitteln.

Der häufigste Fehler bei Aufgaben dieser Art ist die Verwechslung des reinen Zinsbetrags mit dem Gesamtbetrag, der nach Ablauf der Geldanlage ausgezahlt wird. Schüler geben als Ergebnis oft nur den aufgelaufenen Zinsertrag an und vergessen, das eingezahlte Kapital hinzuzurechnen, oder umgekehrt – sie geben den gesamten Kontostand an, obwohl in der Aufgabenstellung ausschließlich nach dem Wert der gutgeschriebenen Zinsen gefragt war.

Die Aufgaben aus der Vorlage Zinsen aus einer Geldanlage beschreiben eine realistische Sparsituation: Dem Schüler sind der Anfangsbetrag (Kapital) sowie die Höhe des Jahreszinssatzes vorgegeben. Seine Aufgabe ist es, den Jahresertrag korrekt zu berechnen oder zu ermitteln, über welchen Gesamtbetrag der Kunde nach Ablauf eines Jahres verfügen wird.

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Berechnung des Prozentsatzes einer gegebenen Zahl

Ein Achtklässler kann einen angegebenen Prozentsatz einer Zahl berechnen und das richtige Ergebnis in einer Prüfungsaufgabe angeben.

Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.1.33 interpretiert 100 % einer gegebenen Größe als Ganzes, 50 % – als Hälfte, 25 % – als ein Viertel, 10 % – als ein Zehntel, 1 % – als ein Hundertstel dieser Größe (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.IV-VI.1.34 berechnet den Prozentwert einer gegebenen Größe in Fällen, die in einen praktischen Kontext eingebettet sind (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.VII-VIII.1.1.b den angegebenen Prozentsatz einer gegebenen Zahl (unsere Übersetzung)

In der achten Klasse bestimmt der Schüler sicher den angegebenen Prozentsatz einer Zahl. Die Aufgabe besteht darin, den Prozentsatz in einen gemeinen Bruch oder Dezimalbruch umzuwandeln und diesen mit dem angegebenen Zahlenwert zu multiplizieren, wodurch sich die gesuchte Größe schnell ermitteln lässt.

Ein typischer Fehler resultiert aus der falschen Schreibweise des Prozentsatzes als Bruch. Schüler verwechseln häufig einstellige Werte mit Zehnern — sie schreiben zum Beispiel 4 % als 0,4 statt als 0,04, was zu einem zehnmal zu hohen Endergebnis führt.

In der Probe-Prüfungsarbeit wird diese Fertigkeit in einer Aufgabe des Typs Prozentsatz einer Zahl — Antwort auswählen überprüft. Der Schüler führt die erforderlichen Rechnungen auf dem Konzeptpapier durch und markiert anschließend die eine richtige Option unter den vorgegebenen Varianten A, B, C oder D.

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Aufgabenvorlagen zum Ausdrucken

Alle Aufgabentypen, nach Kompetenzen geordnet. Ein Klick öffnet den Generator mit dem gewählten Typ.

Satz des Pythagoras in rechtwinkligen Dreiecken

Berechnung von Preiserhöhungen und Preissenkungen um einen Prozentsatz

Berechnung von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln 30°, 60° und 45°

Berechnung des Kreisumfangs und der Kreisfläche

Wahrscheinlichkeit bei zwei Würfen oder Ziehungen

Oberflächeninhalt und Volumen eines Dreiecksprismas

Lösen von linearen Gleichungen in zwei Schritten

Häufige Fragen

Wie lange dauert die Achtklässlerprüfung in Mathematik?

125 Minuten. Schüler, denen eine Anpassung der Bedingungen gewährt wurde, können bis zu 40 Minuten länger schreiben.

Wie viele Punkte kann man erreichen und wie viele Aufgaben gibt es im Prüfungsbogen?

30 Punkte für 20–21 Aufgaben: 14–15 geschlossene zu je 1 Punkt und 5–6 offene zu je 2 oder 3 Punkten.

Kann man bei der Achtklässlerprüfung durchfallen?

Nein. Die Prüfung hat keine Bestehensgrenze — das Ergebnis wird in Prozent und auf einer Perzentilskala angegeben, und weiterführende Schulen berücksichtigen es bei der Aufnahme.

Wie druckt man eine Probeprüfung aus?

Klicke auf „Probeprüfung zum Drucken zusammenstellen“. Der Generator stellt den Prüfungsbogen automatisch im CKE-Layout zusammen – du kannst die PDF-Datei mit Aufgaben, Lösungsschlüssel und Lösungen direkt herunterladen oder ausgewählte Abschnitte ändern.