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Programme scolaire (Pologne)

Mathématiques — 9e année

Mathématiques en 1re année de lycée général et technique : puissances à exposant rationnel, racines, logarithmes, identités remarquables, polynômes et expressions rationnelles, équations, inéquations et systèmes d'équations linéaires, fonction affine. Pour chaque thème, des exercices prêts à imprimer.

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Qu'apprend un élève en mathématiques en première année de lycée ?

En classe de 1re année, l'élève consolide le calcul sur les nombres réels : puissances à exposant rationnel, racines de degré quelconque et logarithmes avec leurs propriétés. Il transforme des expressions algébriques à l'aide des identités remarquables, factorise des polynômes et simplifie des expressions rationnelles. Il résout des équations et inéquations linéaires, des systèmes d'équations et détermine une fonction affine à partir de deux points. Il calcule également des intérêts composés.

Remarque importante sur le programme scolaire : le programme pour le lycée général et technique est formulé par blocs — il décrit ce que l'élève sait à la fin de l'enseignement secondaire, séparément pour le niveau de base et le niveau approfondi. L'attribution d'un thème à une classe donnée relève de notre choix selon une progression pédagogique typique ; dans la section « Programme d'études », vous trouverez les points du programme officiel cités.

État de la page : les exercices de ce niveau sont prêts sous forme directe (uniquement la consigne et la formule) ; les exercices avec figures, les démonstrations et les problèmes contextualisés sont ajoutés au fur et à mesure.

Programme officiel

  1. Point du programme MAT.LO.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Nombres réels

    notre traduction · texte original (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Point du programme MAT.LO.1.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    effectue des opérations (addition, soustraction, multiplication, division, élévation à la puissance, extraction de racine, calcul de logarithme) dans l'ensemble des nombres réels

    notre traduction · texte original (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Calcul des racines de degré impair (chez nous en classe 9) · Calcul de logarithmes à partir de la définition (chez nous en classe 9)

  3. Point du programme MAT.LO.1.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    effectue des démonstrations simples concernant la divisibilité des nombres entiers et les restes de la division, par ex. :

    notre traduction · texte original (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Point du programme MAT.LO.1.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des racines de degré quelconque, y compris des racines de degré impair de nombres négatifs

    notre traduction · texte original (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Calcul des racines de degré impair (chez nous en classe 9)

  5. Point du programme MAT.LO.1.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise le lien entre l'extraction de racine et l'élévation à la puissance ainsi que les règles de calcul sur les puissances et les racines

    notre traduction · texte original (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Calcul des puissances à exposant rationnel (chez nous en classe 9) · Opérations sur les puissances et recherche de l'exposant (chez nous en classe 9)

  6. Point du programme MAT.LO.1.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique la monotonie de l'élévation à la puissance, en particulier les propriétés : si x < y et a > 1, alors ax < ay, tandis que si x < y et 0 < a < 1, alors ax > ay

    notre traduction · texte original (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Point du programme MAT.LO.1.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la notion d'intervalle numérique, représente des intervalles sur la droite numérique

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Point du programme MAT.LO.1.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique l'interprétation géométrique et algébrique de la valeur absolue, résout des équations du type : |x + 4| = 5

    notre traduction · texte original (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Point du programme MAT.LO.1.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des puissances et des racines dans des situations pratiques, notamment pour calculer les intérêts composés, les gains sur les placements et les coûts des crédits

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Calcul du capital sur un dépôt bancaire (chez nous en classe 9)

  10. Point du programme MAT.LO.1.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique la relation entre logarithme et exponentiation, utilise les formules du logarithme d'un produit, du logarithme d'un quotient et du logarithme d'une puissance.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Calcul de logarithmes à partir de la définition (chez nous en classe 9) · Calcul de la somme et de la différence de logarithmes (chez nous en classe 9)

  11. Point du programme MAT.LO.1.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    démonstration de la divisibilité par 24 du produit de quatre entiers naturels consécutifs

    notre traduction · texte original (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Point du programme MAT.LO.1.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    démonstration de la propriété : si un nombre donne un reste de 3 dans la division par 4, alors il n'est pas le carré d'un nombre entier

    notre traduction · texte original (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Point du programme MAT.LO.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expressions algébriques

    notre traduction · texte original (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Point du programme MAT.LO.2.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les identités remarquables pour : (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Utilisation des identités remarquables (chez nous en classe 9)

  15. Point du programme MAT.LO.2.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    additionne, soustrait et multiplie des polynômes à une et plusieurs variables

    notre traduction · texte original (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Addition, soustraction et multiplication de polynômes (chez nous en classe 9)

  16. Point du programme MAT.LO.2.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    met en facteur un monôme dans une somme algébrique

    notre traduction · texte original (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Factorisation d'un polynôme (chez nous en classe 9)

  17. Point du programme MAT.LO.2.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    multiplie et divise des expressions rationnelles.

    notre traduction · texte original (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles (chez nous en classe 9)

  18. Point du programme MAT.LO.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Équations et inéquations

    notre traduction · texte original (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Point du programme MAT.LO.3.P.1 · Contenus d'enseignement

    transforme des équations et des inéquations de manière équivalente, y compris par ex. transforme de manière équivalente une équation rationnelle (exemple dans l'acte)

    notre traduction · texte original (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Reconnaître les équations impossibles et les identités (chez nous en classe 9)

  20. Point du programme MAT.LO.3.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les équations et inéquations linéaires impossibles et indéterminées

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Reconnaître les équations impossibles et les identités (chez nous en classe 9)

  21. Point du programme MAT.LO.3.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des inéquations linéaires à une inconnue

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue (chez nous en classe 9)

  22. Point du programme MAT.LO.3.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des équations et inéquations du second degré

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Point du programme MAT.LO.3.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des équations polynomiales de la forme W(x) = 0 pour des polynômes mis sous forme factorisée.

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Point du programme MAT.LO.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Systèmes d'équations

    notre traduction · texte original (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Point du programme MAT.LO.4.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues, donne une interprétation géométrique des systèmes déterminés, indéterminés et incompatibles

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Systèmes d'équations linéaires et leur nombre de solutions (chez nous en classe 9)

  26. Point du programme MAT.LO.4.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise des systèmes d'équations pour résoudre des problèmes textuels.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Point du programme MAT.LO.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Fonctions

    notre traduction · texte original (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Point du programme MAT.LO.5.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    définit les fonctions comme une correspondance univoque au moyen d'une description verbale, d'un tableau, d'un graphique, d'une formule (également par différentes formules sur différents intervalles)

    notre traduction · texte original (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Point du programme MAT.LO.5.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la valeur d'une fonction donnée par une formule algébrique

    notre traduction · texte original (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Point du programme MAT.LO.5.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    lit et interprète les valeurs de fonctions définies au moyen de tableaux, de graphiques, de formules, etc., également dans des situations d'utilisation répétée de la même source d'information ou de plusieurs sources simultanément

    notre traduction · texte original (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Point du programme MAT.LO.5.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    lit sur la représentation graphique d'une fonction : l'ensemble de définition, l'ensemble des valeurs, les zéros, les intervalles de monotonie, les intervalles sur lesquels la fonction prend des valeurs supérieures (non inférieures) ou inférieures (non supérieures) à un nombre donné, les valeurs maximale et minimale de la fonction (si elles existent) sur un intervalle fermé donné ainsi que les antécédents pour lesquels les valeurs maximale et minimale sont prises par la fonction

    notre traduction · texte original (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Point du programme MAT.LO.5.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les coefficients figurant dans la formule d'une fonction linéaire

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Point du programme MAT.LO.5.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine l'expression d'une fonction linéaire à partir d'informations sur sa représentation graphique ou sur ses propriétés

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Expression d'une fonction affine à partir de points ou d'une droite parallèle (chez nous en classe 9)

  34. Point du programme MAT.LO.5.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    esquisse la courbe représentative d'une fonction quadratique donnée par une formule

    notre traduction · texte original (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Point du programme MAT.LO.5.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les coefficients apparaissant dans l'expression d'une fonction quadratique sous forme générale, canonique et factorisée (si elle existe)

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Point du programme MAT.LO.5.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine l'expression d'une fonction quadratique à partir d'informations sur cette fonction ou sur son graphique

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Point du programme MAT.LO.5.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine la valeur maximale et la valeur minimale d'une fonction quadratique sur un intervalle fermé

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Point du programme MAT.LO.5.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés de la fonction linéaire et de la fonction quadratique pour interpréter des problèmes géométriques, physiques, etc., également ancrés dans un contexte pratique

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Point du programme MAT.LO.5.P.12 · Contenus d'enseignement

    à partir de la représentation graphique de la fonction y = f(x), esquisse les représentations graphiques des fonctions y = f(x − a), y = f(x) + b

    notre traduction · texte original (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Point du programme MAT.LO.5.P.13 · Contenus d'enseignement

    utilise la fonction f(x) = a/x, y compris sa représentation graphique, pour décrire et interpréter des problèmes liés à des grandeurs inversement proportionnelles, également dans des applications pratiques

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Point du programme MAT.LO.5.P.14 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les fonctions exponentielle et logarithmique, y compris leurs représentations graphiques, pour décrire et interpréter des problèmes liés à des applications pratiques.

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Point du programme MAT.LO.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Suites

    notre traduction · texte original (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Point du programme MAT.LO.6.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les termes d'une suite définie par une formule générale

    notre traduction · texte original (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Point du programme MAT.LO.6.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les premiers termes de suites définies par récurrence

    notre traduction · texte original (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Point du programme MAT.LO.6.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dans des cas simples, étudie si une suite est croissante ou décroissante

    notre traduction · texte original (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Point du programme MAT.LO.6.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    vérifie si une suite donnée est arithmétique ou géométrique

    notre traduction · texte original (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Point du programme MAT.LO.6.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la formule du n-ième terme et de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Point du programme MAT.LO.6.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la formule du n-ième terme et de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Point du programme MAT.LO.6.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des suites, notamment arithmétiques et géométriques, pour résoudre des problèmes, également ancrés dans un contexte pratique.

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Point du programme MAT.LO.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Trigonométrie

    notre traduction · texte original (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Point du programme MAT.LO.7.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les définitions des fonctions : sinus, cosinus et tangente pour les angles de 0° à 180°, en particulier détermine les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles de 30°, 45°, 60°

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Point du programme MAT.LO.7.P.2 · Contenus d'enseignement

    utilise les formules sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Point du programme MAT.LO.7.P.3 · Contenus d'enseignement

    applique le théorème des cosinus et la formule de l'aire d'un triangle P = ½ · a · b · sin γ

    notre traduction · texte original (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Point du programme MAT.LO.7.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les angles d'un triangle rectangle et les longueurs de ses côtés à partir de données appropriées (résout des triangles rectangles, y compris en utilisant les fonctions trigonométriques).

    notre traduction · texte original (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Point du programme MAT.LO.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie plane

    notre traduction · texte original (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Point du programme MAT.LO.8.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine les rayons et les diamètres de cercles, les longueurs des cordes de cercles ainsi que des segments tangents, y compris en utilisant le théorème de Pythagore

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Point du programme MAT.LO.8.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît les triangles acutangles, rectangles et obtusangles pour des longueurs de côtés données (applique notamment la réciproque du théorème de Pythagore et le théorème du cosinus) ; applique le théorème : dans un triangle, au plus grand angle intérieur est opposé le côté le plus long

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Point du programme MAT.LO.8.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît les polygones réguliers et utilise leurs propriétés de base

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Point du programme MAT.LO.8.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des angles et des diagonales dans les rectangles, parallélogrammes, losanges et trapèzes

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Point du programme MAT.LO.8.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des angles inscrits et des angles au centre

    notre traduction · texte original (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Point du programme MAT.LO.8.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique les formules de l'aire d'un secteur circulaire et de la longueur d'un arc de cercle

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Point du programme MAT.LO.8.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique le théorème de Thalès

    notre traduction · texte original (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Point du programme MAT.LO.8.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les critères de similitude des triangles

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Point du programme MAT.LO.8.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les relations entre les périmètres et entre les aires de figures semblables

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Point du programme MAT.LO.8.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    identifie les points remarquables fondamentaux dans un triangle : le centre du cercle inscrit dans un triangle, le centre du cercle circonscrit à un triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et utilise leurs propriétés

    notre traduction · texte original (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Point du programme MAT.LO.8.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    mène des démonstrations géométriques

    notre traduction · texte original (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Point du programme MAT.LO.8.P.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les fonctions trigonométriques pour déterminer des longueurs de segments dans des figures planes et calculer des aires de figures.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Point du programme MAT.LO.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie analytique dans le plan cartésien

    notre traduction · texte original (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Point du programme MAT.LO.9.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît la position relative de droites dans le plan à partir de leurs équations, notamment trouve le point commun de deux droites, s'il existe

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Point du programme MAT.LO.9.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les équations de droites dans le plan, sous forme réduite et générale, notamment détermine l'équation d'une droite ayant des propriétés données (telles que, par exemple, le passage par deux points donnés, un coefficient directeur connu, le parallélisme avec une autre droite)

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Point du programme MAT.LO.9.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la distance entre deux points dans un repère

    notre traduction · texte original (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Point du programme MAT.LO.9.P.4 · Contenus d'enseignement

    utilise l'équation d'un cercle (x − a)² + (y − b)² = r²

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Point du programme MAT.LO.9.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine les images de cercles et de polygones par des symétries axiales par rapport aux axes du repère, par une symétrie centrale (de centre l'origine du repère).

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Point du programme MAT.LO.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie dans l'espace

    notre traduction · texte original (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Point du programme MAT.LO.10.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît la position relative de droites dans l'espace, en particulier les droites perpendiculaires non sécantes

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Point du programme MAT.LO.10.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la notion d'angle entre une droite et un plan et la notion d'angle dièdre entre des demi-plans

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Point du programme MAT.LO.10.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît dans les prismes et les pyramides les angles entre des segments (par ex. des arêtes, des arêtes et des diagonales) ainsi que les angles entre des faces, calcule les mesures de ces angles

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Point du programme MAT.LO.10.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît dans les cylindres et dans les cônes l'angle entre des segments ainsi que l'angle entre des segments et des plans (par ex. l'angle au sommet du cône, l'angle entre la génératrice et la base), calcule les mesures de ces angles

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Point du programme MAT.LO.10.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les volumes et les aires des prismes, des pyramides, du cylindre, du cône et de la sphère, également en utilisant la trigonométrie

    notre traduction · texte original (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Point du programme MAT.LO.10.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la relation entre les volumes de solides semblables.

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Point du programme MAT.LO.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Combinatoire

    notre traduction · texte original (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Point du programme MAT.LO.11.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dénombre des objets dans des situations combinatoires simples

    notre traduction · texte original (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Point du programme MAT.LO.11.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dénombre des objets en appliquant les règles de multiplication et d'addition (également conjointement) pour un nombre quelconque d'actions, par ex. :

    notre traduction · texte original (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Point du programme MAT.LO.11.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcul du nombre d'entiers strictement positifs impairs à quatre chiffres tels que, dans leur écriture décimale, figurent exactement un chiffre 1 et exactement un chiffre 2

    notre traduction · texte original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Point du programme MAT.LO.11.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcul du nombre d'entiers strictement positifs pairs à quatre chiffres tels que leur écriture décimale comporte exactement un chiffre 0 et exactement un chiffre 1.

    notre traduction · texte original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Point du programme MAT.LO.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Calcul des probabilités et statistiques

    notre traduction · texte original (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Point du programme MAT.LO.12.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la probabilité dans le modèle classique

    notre traduction · texte original (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Point du programme MAT.LO.12.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la moyenne arithmétique et la moyenne pondérée, trouve la médiane et le mode.

    notre traduction · texte original (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Point du programme MAT.LO.13 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Optimisation et calcul différentiel

    notre traduction · texte original (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Point du programme MAT.LO.13.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des problèmes d'optimisation dans des situations pouvant être décrites par une fonction du second degré.

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Point du programme MAT.LO.WO.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Maîtrise du calcul

    notre traduction · texte original (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Point du programme MAT.LO.WO.1.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Effectuer des calculs sur les nombres réels, également à l'aide d'une calculatrice, appliquer les propriétés des opérations mathématiques lors de la transformation d'expressions algébriques et utiliser ces compétences dans la résolution de problèmes dans des contextes réels et théoriques

    notre traduction · texte original (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Point du programme MAT.LO.WO.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et création d'informations

    notre traduction · texte original (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Point du programme MAT.LO.WO.2.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Interprétation et exploitation des informations présentées dans un texte, aussi bien mathématique que de vulgarisation scientifique, ainsi que sous forme de graphiques, de diagrammes, de tableaux

    notre traduction · texte original (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Point du programme MAT.LO.WO.2.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation du langage mathématique pour produire des textes mathématiques, notamment pour décrire les raisonnements menés et justifier les conclusions, ainsi que pour présenter des données

    notre traduction · texte original (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Point du programme MAT.LO.WO.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et interprétation des représentations

    notre traduction · texte original (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Point du programme MAT.LO.WO.3.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation d'objets mathématiques et leur manipulation, interprétation de concepts mathématiques

    notre traduction · texte original (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Point du programme MAT.LO.WO.3.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Choix et création de modèles mathématiques lors de la résolution de problèmes pratiques et théoriques

    notre traduction · texte original (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Point du programme MAT.LO.WO.3.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Création d'objets mathématiques auxiliaires à partir d'objets existants, afin de mener une argumentation ou de résoudre un problème

    notre traduction · texte original (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Point du programme MAT.LO.WO.3.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Indication de la nécessité ou de la possibilité de modifier le modèle mathématique dans les cas nécessitant des réserves particulières, des hypothèses supplémentaires, l'examen de conditions particulières

    notre traduction · texte original (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Point du programme MAT.LO.WO.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Raisonnement et argumentation

    notre traduction · texte original (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Point du programme MAT.LO.WO.4.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Conduite de raisonnements, y compris en plusieurs étapes, présentation d'arguments justifiant la validité du raisonnement, distinction entre une preuve et un exemple

    notre traduction · texte original (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Point du programme MAT.LO.WO.4.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Identification de régularités, de similitudes et d'analogies, formulation de conclusions à partir de celles-ci et justification de leur validité

    notre traduction · texte original (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Point du programme MAT.LO.WO.4.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Choix d'arguments pour justifier la validité de la résolution de problèmes, élaboration d'une chaîne d'arguments garantissant la validité de la solution et l'efficacité dans la recherche de solutions au problème

    notre traduction · texte original (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Point du programme MAT.LO.WO.4.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et élaboration de stratégies lors de la résolution de problèmes, également dans des situations atypiques

    notre traduction · texte original (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Compétences étape par étape

Factorisation d'un polynôme

L'élève transforme un polynôme en un produit d'expressions plus simples en mettant un monôme en facteur, en regroupant les termes et en appliquant les formules de la somme et de la différence de cubes.

Point du programme MAT.LO.2.P.3 met en facteur un monôme dans une somme algébrique (notre traduction)

En première année de lycée général et technologique, l'élève transforme des polynômes sous la forme d'un produit. Il maîtrise trois techniques de calcul spécifiques : la mise en facteur d'un monôme commun, la factorisation par groupement de termes et l'application des identités remarquables de la somme et de la différence de cubes.

Une erreur classique consiste à oublier un terme lors de la mise en facteur d'un monôme : lorsque le facteur commun est identique à l'un des termes, les élèves écrivent souvent par erreur un zéro ou l'omettent complètement, au lieu de laisser 1. La gestion des signes plus et moins pose également de grandes difficultés, en particulier lors de la mise en facteur d'un terme négatif dans la méthode par groupement, ainsi que lors de l'écriture correcte du carré incomplet dans les formules de somme et de différence de cubes.

En pratique, les exercices permettant de travailler cette compétence comprennent :

  • La mise en facteur d'un monôme — trouver un diviseur numérique commun ainsi que la puissance de la variable commune à tous les termes,
  • La factorisation par groupement — associer les termes du polynôme par paires de sorte qu'après factorisation, on obtienne la même expression entre parenthèses,
  • La somme et la différence de cubes — reconnaître la structure de la formule et décomposer le binôme en un produit de facteurs plus simples.
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Types d’exercices: Mise en facteur d'un monôme · Factorisation par regroupement · Somme et différence de cubes

Utilisation des identités remarquables

L'élève transforme avec aisance les expressions algébriques en appliquant les formules du carré d'une somme, du carré d'une différence et du produit d'une somme par une différence.

Point du programme MAT.LO.2.P.1 utilise les identités remarquables pour : (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2 (notre traduction)

En première année de lycée, l'élève maîtrise la transformation des expressions algébriques du second degré. Il apprend à remplacer le développement classique de parenthèses par des identités remarquables, ce qui permet de développer et de simplifier rapidement des expressions contenant des variables et des nombres réels.

L'erreur la plus fréquente consiste à oublier le double produit lors de l'élévation d'un binôme au carré : les élèves élèvent souvent machinalement chaque terme au carré séparément, en écrivant (a + b)² sous la forme a² + b². Un autre problème récurrent est l'oubli des signes moins, en particulier lorsqu'un signe de soustraction précède l'ensemble de l'expression ou lorsque le terme élevé à une puissance comporte un coefficient négatif.

Les exercices dans ce domaine reposent sur deux types de consignes :

  • Carré d'une somme et d'une différence – développer des expressions entre parenthèses élevées au carré sous la forme de trois termes,
  • Produit d'une somme et d'une différence – multiplier des paires de parenthèses ne différant que par le signe et les écrire sous la forme réduite d'une différence de carrés.
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Types d’exercices: Carré d'une somme ou d'une différence · Produit d'une somme par une différence

Calcul de la somme et de la différence de logarithmes

L'élève applique les formules de la somme et de la différence de logarithmes de même base pour simplifier des expressions et calculer efficacement leurs valeurs.

Point du programme MAT.LO.1.P.9 applique la relation entre logarithme et exponentiation, utilise les formules du logarithme d'un produit, du logarithme d'un quotient et du logarithme d'une puissance. (notre traduction)

En première année, l'élève transforme des expressions contenant des logarithmes de même base. Il utilise la règle selon laquelle l'addition de logarithmes correspond au logarithme d'un produit, et leur soustraction au logarithme d'un quotient. Cela permet de déterminer la valeur exacte de l'ensemble de l'expression, même lorsque les différents termes ne peuvent pas être calculés séparément.

Une erreur fréquente consiste à confondre ces règles et à additionner les arguments des logarithmes au lieu de les multiplier (par exemple, considérer à tort que log a + log b vaut log(a + b) au lieu de log(a · b)). Lors de la soustraction, une autre difficulté consiste à inverser l'ordre de la division des nombres ou à tenter de combiner des logarithmes ayant des bases différentes.

Les exercices des modèles Somme de logarithmes et Différence de logarithmes demandent de regrouper deux termes en un seul logarithme. Par exemple, l'élève combine deux logarithmes de même base sous la forme d'un produit ou d'une fraction qui, après simplification, donne une puissance de la base et permet d'écrire le résultat final sous la forme d'un nombre entier ou d'une fraction.

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Types d’exercices: Différence de logarithmes · Somme de logarithmes

Calcul de logarithmes à partir de la définition

L'élève calcule les valeurs de logarithmes simples pour des nombres entiers et des fractions, en utilisant directement la définition et le passage à la puissance.

Point du programme MAT.LO.1.P.1 effectue des opérations (addition, soustraction, multiplication, division, élévation à la puissance, extraction de racine, calcul de logarithme) dans l'ensemble des nombres réels (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.1.P.9 applique la relation entre logarithme et exponentiation, utilise les formules du logarithme d'un produit, du logarithme d'un quotient et du logarithme d'une puissance. (notre traduction)

En première année de lycée, l'élève découvre la notion de logarithme et apprend à déterminer sa valeur directement à partir de la définition. La résolution consiste à répondre à la question : à quelle puissance faut-il élever la base du logarithme pour obtenir l'argument ? À ce stade, les exercices portent sur le calcul des valeurs de logarithmes pour des nombres entiers, ainsi que pour des fractions et des nombres décimaux.

L'erreur la plus courante provient de la confusion entre l'élévation à la puissance et la multiplication ou la division – par exemple, un élève donne 4 au lieu de 3 pour le logarithme en base 2 de 8, en divisant 8 par 2. Dans le cas des logarithmes de fractions, la difficulté réside également dans la prise en compte des exposants négatifs, ce qui conduit souvent à l'oubli du signe moins dans le résultat final.

En pratique, les exercices évaluant cette compétence prennent la forme de consignes de calcul simples :

  • Logarithme par définition – calcul direct d'une valeur dont le résultat est un entier positif, par exemple le calcul du logarithme en base 3 de 27.
  • Logarithme d'une fraction – exemples nécessitant l'utilisation d'exposants négatifs ou le calcul avec des nombres décimaux, par exemple le calcul du logarithme en base 2 de 1/4 ou du logarithme décimal de 0,1.
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Types d’exercices: Logarithme d'une fraction · Logarithme par définition

Addition, soustraction et multiplication de polynômes

L'élève effectue l'addition, la soustraction et la multiplication de polynômes d'une variable, en réduisant les termes semblables et en ordonnant le résultat obtenu.

Point du programme MAT.LO.2.P.2 additionne, soustrait et multiplie des polynômes à une et plusieurs variables (notre traduction)

En première année de lycée et de lycée technique, l'élève effectue des opérations de base sur les polynômes : additionne, soustrait et multiplie des expressions algébriques, puis réduit les termes semblables et écrit le résultat obtenu sous forme ordonnée (de la plus grande à la plus petite puissance de la variable).

L'erreur la plus fréquente lors de la soustraction consiste à oublier de changer les signes de tous les termes situés dans la parenthèse soustraite. De son côté, lors de la multiplication de polynômes, les élèves oublient certains termes lors de la multiplication terme à terme (« chacun par chacun ») ou commettent des erreurs dans les opérations sur les puissances, par exemple en multipliant les exposants au lieu de les additionner.

Les exercices des modèles Addition et soustraction de polynômes et Multiplication de polynômes consistent à effectuer les opérations indiquées sur les formules de polynômes données, à supprimer les parenthèses et à réduire l'expression entière sous la forme la plus simple possible.

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Types d’exercices: Addition et soustraction de polynômes · Multiplication de polynômes

Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles

L'élève effectue la soustraction et la multiplication de fractions algébriques en utilisant la factorisation et la réduction au même dénominateur.

Point du programme MAT.LO.2.P.4 multiplie et divise des expressions rationnelles. (notre traduction)

En première année de lycée, l'élève effectue des opérations sur les fractions algébriques (expressions rationnelles). À ce stade, il maîtrise avant tout la soustraction et la multiplication de telles expressions, en mobilisant ses connaissances préalables sur les identités remarquables et la factorisation des polynômes.

Une difficulté classique lors de la soustraction réside dans les erreurs de signes : l'élève oublie souvent que le signe moins situé devant une fraction s'applique à l'ensemble du numérateur, et non pas uniquement à son premier terme. Lors de la multiplication, une erreur fréquente est la simplification incorrecte : tenter de simplifier des termes d'une somme au lieu de facteurs entiers sous forme de produit.

En pratique, les exercices consistent à simplifier l'expression pour la mettre sous sa forme la plus simple et se présentent sous deux formes principales :

  • Soustraction d'expressions rationnelles — nécessite de déterminer un dénominateur commun, d'adapter les numérateurs et de réduire les termes semblables ;
  • Multiplication d'expressions rationnelles — consiste à factoriser les numérateurs et les dénominateurs, à simplifier les expressions communes et à écrire le produit final.
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Types d’exercices: Multiplication d'expressions rationnelles · Soustraction d'expressions rationnelles

Expression d'une fonction affine à partir de points ou d'une droite parallèle

L'élève détermine l'expression d'une fonction affine à partir des coordonnées de deux points ou d'un point et de la condition de parallélisme avec une autre droite.

Point du programme MAT.LO.5.P.6 détermine l'expression d'une fonction linéaire à partir d'informations sur sa représentation graphique ou sur ses propriétés (notre traduction)

En première année de lycée, l'élève apprend à déterminer l'expression d'une fonction affine sous la forme y = ax + b. Il est capable de calculer les coefficients numériques à partir de données : il les détermine à l'aide d'un système d'équations établi pour deux points donnés ou utilise les propriétés des droites parallèles, sachant qu'elles ont le même coefficient directeur a.

Une difficulté fréquente à ce stade est la confusion des coordonnées d'un point lors de leur substitution dans la formule – remplacer y par la valeur du premier axe et x par celle du second. Les élèves commettent également des erreurs de calcul lors de la gestion des signes négatifs et confondent la condition de parallélisme avec celle de perpendicularité, en modifiant inutilement le signe du coefficient directeur.

En pratique, les entraînements reposent sur deux modèles d'exercices :

  • Expression d'une fonction affine à partir de deux points – l'élève reçoit les coordonnées de deux points, par exemple (2, 5) et (-1, -1), et détermine l'équation de la droite passant par ces deux points ;
  • Droite parallèle passant par un point – l'élève a une droite donnée (par exemple y = 3x - 2) ainsi qu'un point extérieur à celle-ci, et recherche l'équation de la nouvelle droite en conservant le même coefficient a et en calculant la nouvelle ordonnée à l'origine b.
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Types d’exercices: Droite parallèle passant par un point · Fonction affine passant par deux points

Systèmes d'équations linéaires et leur nombre de solutions

L'élève résout des systèmes de deux équations linéaires par la méthode des coefficients opposés et détermine si le système admet une solution unique, une infinité de solutions ou s'il est impossible.

Point du programme MAT.LO.4.P.1 résout des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues, donne une interprétation géométrique des systèmes déterminés, indéterminés et incompatibles (notre traduction)

En première année de lycée et de lycée technique, l'élève résout des systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues à l'aide de la méthode des coefficients opposés. Il est capable de transformer les équations de manière à éliminer l'une des variables en les additionnant membre à membre, puis de calculer la seconde. Il apprend également à déterminer le nombre de solutions d'un système : il sait reconnaître un système admettant exactement un couple solution, un système indéterminé ayant une infinité de solutions et un système incompatible qui n'admet aucune solution.

Une erreur fréquente à ce stade est l'oubli des signes moins lors de la multiplication d'une équation entière par un nombre entier (en particulier négatif) afin d'obtenir des coefficients opposés. Les élèves ont également des difficultés à interpréter correctement les résultats atypiques : ils confondent une égalité toujours vraie, lorsqu'après réduction des variables on obtient 0 = 0 (infinité de solutions), avec une contradiction, lorsque le résultat est faux, par exemple 0 = 5 (aucune solution).

En pratique, l'élève s'exerce sur des tâches consistant à :

  • résoudre entièrement un système dans le modèle Système d'équations — méthode des coefficients opposés et indiquer le couple de nombres vérifiant les équations,
  • analyser les équations dans le modèle Nombre de solutions d'un système, où l'objectif est de déterminer si le système donné admet une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
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Types d’exercices: Nombre de solutions d'un système · Système d'équations — combinaison

Opérations sur les puissances et recherche de l'exposant

L'élève applique les règles des opérations sur les puissances de même base afin de déterminer correctement l'exposant manquant dans des égalités.

Point du programme MAT.LO.1.P.4 utilise le lien entre l'extraction de racine et l'élévation à la puissance ainsi que les règles de calcul sur les puissances et les racines (notre traduction)

L'élève applique avec aisance les règles de calcul sur les puissances de même base : multiplication, division et puissance d'une puissance. Il utilise ces règles pour transformer des expressions et déterminer des nombres inconnus figurant dans les exposants.

Une erreur fréquente consiste à confondre l'addition des exposants avec leur multiplication lors du produit de puissances de même base (par exemple, écrire le résultat de la multiplication de puissances comme le produit de leurs exposants). Les élèves ont également parfois des difficultés à soustraire correctement les exposants lors d'une division, en particulier lorsque des nombres négatifs apparaissent, et ils confondent aussi les opérations sur les exposants avec les opérations sur les bases elles-mêmes.

Les exercices du modèle Exposant manquant — opérations sur les puissances consistent à compléter un blanc dans l'écriture d'une égalité. L'élève voit une expression composée de puissances de même base et doit calculer quel nombre doit se trouver à la place de l'exposant manquant pour que le membre de gauche soit égal au membre de droite.

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Changement de base du logarithme

L'élève transforme des logarithmes de bases différentes en un quotient de logarithmes ayant une nouvelle base appropriée, ce qui permet de simplifier l'expression et de calculer sa valeur exacte.

En première année de lycée général et technologique, l'élève découvre la règle permettant de changer la base d'un logarithme pour une autre, plus pratique pour les calculs. Il écrit un logarithme donné sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur ont tous deux la nouvelle base choisie, ce qui permet de ramener des expressions ayant des bases différentes à une base commune et d'en calculer la valeur.

Une erreur fréquente lors de l'application de cette formule consiste à inverser le numérateur et le dénominateur. Les élèves placent souvent de manière machinale l'ancienne base du logarithme au numérateur de la nouvelle fraction et le nombre dont on prend le logarithme au dénominateur, au lieu de placer ce nombre en haut et l'ancienne base en bas.

Dans les exercices du modèle Changement de base du logarithme, l'élève est amené à calculer la valeur numérique de fractions contenant des logarithmes de bases inhabituelles ou à simplifier des produits de ces logarithmes en un nombre entier ou une fraction.

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Calcul des racines de degré impair

L'élève calcule les valeurs de racines de degré impair, y compris de nombres négatifs, en déterminant correctement le signe du résultat.

Point du programme MAT.LO.1.P.1 effectue des opérations (addition, soustraction, multiplication, division, élévation à la puissance, extraction de racine, calcul de logarithme) dans l'ensemble des nombres réels (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.1.P.3 utilise les propriétés des racines de degré quelconque, y compris des racines de degré impair de nombres négatifs (notre traduction)

En première année de lycée général et technologique, l'élève apprend à déterminer la valeur de racines d'indice impair (par exemple de degré trois ou cinq). Il apprend à remarquer une propriété essentielle de ces opérations : sous une racine d'indice impair, il peut y avoir un nombre négatif, et le résultat d'une telle extraction de racine est toujours un nombre de même signe.

L'erreur la plus fréquente consiste à transposer la règle concernant les racines carrées, avec lesquelles les élèves ont travaillé au collège. Se souvenant qu'il est impossible d'extraire la racine d'indice pair d'un nombre négatif, ils considèrent à tort que la racine d'indice impair d'un nombre négatif est une opération impossible, ou suppriment sans justification le signe moins pour donner un résultat positif.

Les exercices consistent à calculer directement des valeurs numériques dans le modèle Racine d'indice impair. Un exemple typique consiste à déterminer la valeur de la racine troisième du nombre -27, -125 ou de la racine cinquième du nombre 32.

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Calcul des puissances à exposant rationnel

L'élève apprend à convertir les puissances à exposant fractionnaire en racines, à calculer leurs valeurs et à appliquer les règles de calcul sur les puissances pour simplifier des expressions.

Point du programme MAT.LO.1.P.4 utilise le lien entre l'extraction de racine et l'élévation à la puissance ainsi que les règles de calcul sur les puissances et les racines (notre traduction)

En classe de seconde au lycée, l'élève découvre l'écriture des puissances dont l'exposant est une fraction. Il apprend à convertir avec aisance cette notation sous forme de radical — où le dénominateur de la fraction indique l'indice de la racine et le numérateur l'exposant de la puissance sous la racine — ainsi qu'à effectuer l'opération inverse, y compris dans le cas d'exposants fractionnaires négatifs.

Une difficulté classique réside dans la confusion entre les rôles du numérateur et du dénominateur : les élèves prennent fréquemment le numérateur de la fraction pour l'indice de la racine et le dénominateur pour l'exposant du nombre sous le radical. Une autre erreur courante consiste à oublier le signe moins dans l'exposant, ce qui amène à omettre l'inversion du nombre avant d'extraire la racine.

Les exercices basés sur le modèle Puissance à exposant rationnel consistent principalement à calculer la valeur de puissances numériques précises (par exemple 8 à la puissance 2/3 ou 16 à la puissance -1/2) et à simplifier des expressions contenant des racines en les écrivant sous la forme d'une seule puissance à exposant fractionnaire.

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Calcul du capital sur un dépôt bancaire

L'élève calcule le capital final d'un placement en utilisant le mécanisme des intérêts composés pour un taux d'intérêt et une durée d'épargne donnés.

Point du programme MAT.LO.1.P.8 utilise les propriétés des puissances et des racines dans des situations pratiques, notamment pour calculer les intérêts composés, les gains sur les placements et les coûts des crédits (notre traduction)

En première année de lycée, l'élève apprend à déterminer la valeur finale d'une épargne en appliquant les intérêts composés. À ce stade, il utilise les opérations sur les puissances pour calculer l'évolution du montant déposé lorsque les intérêts sont ajoutés au capital et génèrent eux-mêmes des gains lors des périodes suivantes.

L'erreur la plus fréquente consiste à confondre les intérêts composés et les intérêts simples. Les élèves calculent souvent les intérêts une seule fois à partir du capital initial et les multiplient par le nombre d'années, oubliant qu'à chaque cycle suivant, la base de calcul des gains augmente.

Les exercices du modèle Intérêts composés — placement présentent des situations bancaires concrètes : l'élève reçoit un montant initial, un taux d'intérêt annuel et une durée d'épargne, puis calcule le solde final du compte en tenant compte de la capitalisation régulière.

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Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue

L'élève apprend à résoudre des inéquations linéaires à une inconnue et à déterminer et noter correctement l'ensemble des nombres qui les vérifient.

Point du programme MAT.LO.3.P.3 résout des inéquations linéaires à une inconnue (notre traduction)

En première année de lycée d'enseignement général et technique, l'élève résout des inéquations linéaires à une inconnue. Il les ramène à une forme plus simple grâce à la réduction des termes semblables ainsi qu'à l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des deux membres par des nombres réels, afin de déterminer l'intervalle recherché.

Un problème fréquent est l'oubli d'inverser le sens du symbole d'inégalité lors de la multiplication ou de la division des deux membres par un nombre négatif. Les élèves effectuent souvent des calculs corrects, mais conservent le symbole d'inégalité d'origine, ce qui conduit à une détermination erronée de l'ensemble des solutions.

Les exercices du modèle Inéquation linéaire consistent à transformer l'inéquation algébrique donnée, à déterminer l'inconnue et à écrire correctement le résultat final sous la forme d'une inégalité ou d'un intervalle.

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Reconnaître les équations impossibles et les identités

L'élève transforme des équations linéaires et reconnaît lorsqu'elles n'ont pas de solution et lorsqu'elles sont vérifiées par tout nombre réel.

Point du programme MAT.LO.3.P.1 transforme des équations et des inéquations de manière équivalente, y compris par ex. transforme de manière équivalente une équation rationnelle (exemple dans l'acte) (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.3.P.2 interprète les équations et inéquations linéaires impossibles et indéterminées (notre traduction)

En première année de lycée général et technologique, l'élève résout des équations linéaires à une inconnue dans lesquelles, après réduction des deux membres, la variable s'élimine. Il apprend à interpréter correctement le résultat obtenu : il constate que l'équation est une identité (vérifiée par tout nombre réel), lorsqu'il parvient à une égalité du type 0 = 0, ou qu'elle est impossible (aucune solution), lorsqu'il obtient une contradiction, par exemple 0 = 5.

Un problème fréquent survient lorsque, après élimination de l'inconnue, l'élève pense avoir commis une erreur de calcul. Au lieu d'interpréter le résultat, les élèves réintroduisent souvent l'inconnue de force ou concluent à tort que l'écriture 0 = 0 signifie simplement une unique solution x = 0, confondant ainsi une identité avec une valeur numérique précise.

Les exercices du modèle Équation impossible ou identité nécessitent d'effectuer des transformations algébriques de base – telles que la réduction des termes semblables ou la suppression des parenthèses – puis d'indiquer si l'équation donnée admet une infinité de solutions ou n'en admet aucune.

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Modèles d'exercices à imprimer

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Factorisation d'un polynôme

Utilisation des identités remarquables

Calcul de la somme et de la différence de logarithmes

Calcul de logarithmes à partir de la définition

Addition, soustraction et multiplication de polynômes

Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles

Expression d'une fonction affine à partir de points ou d'une droite parallèle

Systèmes d'équations linéaires et leur nombre de solutions

Opérations sur les puissances et recherche de l'exposant

Changement de base du logarithme

Calcul des racines de degré impair

Calcul des puissances à exposant rationnel

Calcul du capital sur un dépôt bancaire

Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue

Reconnaître les équations impossibles et les identités

Autres types d’exercices

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