English
Curriculum (Poland)

Mathematics — Grade 9

Mathematics in grade 1 of high school and technical school: powers with rational exponents, roots, logarithms, algebraic identities, polynomials and rational expressions, linear equations, inequalities and systems of linear equations, linear functions. Ready-to-print exercises for each topic.

Create a worksheet for this curriculum

What does a student learn in mathematics in the 1st grade of high school?

In Grade 1, the student consolidates calculations on real numbers: powers with rational exponents, roots of any degree, and logarithms along with their properties. They transform algebraic expressions using algebraic identities, factor polynomials, and simplify rational expressions. They solve linear equations and inequalities, systems of equations, and determine a linear function from two points. They also calculate compound interest.

Important note on the core curriculum: the curriculum for high schools and technical secondary schools is formulated in blocks — it describes what the student knows at the end of secondary school, separately for the basic and extended levels. Assigning a topic to a grade is our decision based on a typical syllabus breakdown; in the “Curriculum scope” section, you can see the curriculum points with citations.

Page status: the tasks for this grade are ready in a context-free form (instruction and formula only); tasks with diagrams, proofs, and word problems will be added in subsequent steps.

Curriculum scope

  1. Curriculum point MAT.LO.1 · Teaching content · checked against the act

    Real numbers

    our translation · original wording (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Curriculum point MAT.LO.1.P.1 · Teaching content · checked against the act

    performs operations (addition, subtraction, multiplication, division, exponentiation, taking roots, taking logarithms) in the set of real numbers

    our translation · original wording (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Calculating odd-degree roots (we teach in grade 9) · Calculating logarithms from the definition (we teach in grade 9)

  3. Curriculum point MAT.LO.1.P.2 · Teaching content · checked against the act

    carries out simple proofs concerning the divisibility of integers and remainders of division, e.g.:

    our translation · original wording (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Curriculum point MAT.LO.1.P.3 · Teaching content · checked against the act

    applies the properties of roots of any degree, including odd-degree roots of negative numbers

    our translation · original wording (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Calculating odd-degree roots (we teach in grade 9)

  5. Curriculum point MAT.LO.1.P.4 · Teaching content · checked against the act

    applies the relationship between root extraction and exponentiation and the laws of operations on powers and roots

    our translation · original wording (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Calculating powers with rational exponents (we teach in grade 9) · Operations on powers and finding the exponent (we teach in grade 9)

  6. Curriculum point MAT.LO.1.P.5 · Teaching content · checked against the act

    applies the monotonicity of exponentiation, in particular the properties: if x < y and a > 1, then ax < ay, whereas when x < y and 0 < a < 1, then ax > ay

    our translation · original wording (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Curriculum point MAT.LO.1.P.6 · Teaching content · checked against the act

    uses the concept of a numerical interval, marks intervals on the number line

    our translation · original wording (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Curriculum point MAT.LO.1.P.7 · Teaching content · checked against the act

    uses the geometric and algebraic interpretation of absolute value, solves equations of the type: |x + 4| = 5

    our translation · original wording (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Curriculum point MAT.LO.1.P.8 · Teaching content · checked against the act

    uses properties of powers and roots in practical situations, including calculating compound interest, returns on deposits and loan costs

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Calculating capital on a bank deposit (we teach in grade 9)

  10. Curriculum point MAT.LO.1.P.9 · Teaching content · checked against the act

    applies the relationship between logarithms and exponentiation, uses the formulas for the logarithm of a product, the logarithm of a quotient, and the logarithm of a power.

    our translation · original wording (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Calculating logarithms from the definition (we teach in grade 9) · Calculating the sum and difference of logarithms (we teach in grade 9)

  11. Curriculum point MAT.LO.1.P.2.a · Teaching content · checked against the act

    proof of the divisibility of the product of four consecutive natural numbers by 24

    our translation · original wording (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Curriculum point MAT.LO.1.P.2.b · Teaching content · checked against the act

    proof of the property: if a number leaves a remainder of 3 when divided by 4, then it is not the square of an integer

    our translation · original wording (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Curriculum point MAT.LO.2 · Teaching content · checked against the act

    Algebraic expressions

    our translation · original wording (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Curriculum point MAT.LO.2.P.1 · Teaching content · checked against the act

    applies short multiplication formulas for: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    our translation · original wording (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Applying short multiplication formulas (we teach in grade 9)

  15. Curriculum point MAT.LO.2.P.2 · Teaching content · checked against the act

    adds, subtracts and multiplies polynomials in one and several variables

    our translation · original wording (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Addition, subtraction, and multiplication of polynomials (we teach in grade 9)

  16. Curriculum point MAT.LO.2.P.3 · Teaching content · checked against the act

    factors out a monomial from an algebraic sum

    our translation · original wording (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Factoring polynomials (we teach in grade 9)

  17. Curriculum point MAT.LO.2.P.4 · Teaching content · checked against the act

    multiplies and divides rational expressions.

    our translation · original wording (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Multiplication and subtraction of rational expressions (we teach in grade 9)

  18. Curriculum point MAT.LO.3 · Teaching content · checked against the act

    Equations and inequalities

    our translation · original wording (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Curriculum point MAT.LO.3.P.1 · Teaching content

    transforms equations and inequalities in an equivalent manner, including e.g. equivalently transforms a rational equation (example in the act)

    our translation · original wording (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Identifying Inconsistent and Identity Equations (we teach in grade 9)

  20. Curriculum point MAT.LO.3.P.2 · Teaching content · checked against the act

    interprets inconsistent and identity linear equations and inequalities

    our translation · original wording (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Identifying Inconsistent and Identity Equations (we teach in grade 9)

  21. Curriculum point MAT.LO.3.P.3 · Teaching content · checked against the act

    solves linear inequalities in one unknown

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Solving linear inequalities with one unknown (we teach in grade 9)

  22. Curriculum point MAT.LO.3.P.4 · Teaching content · checked against the act

    solves quadratic equations and inequalities

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Curriculum point MAT.LO.3.P.5 · Teaching content · checked against the act

    solves polynomial equations of the form W(x) = 0 for polynomials reduced to factored form.

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Curriculum point MAT.LO.4 · Teaching content · checked against the act

    Systems of equations

    our translation · original wording (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Curriculum point MAT.LO.4.P.1 · Teaching content · checked against the act

    solves systems of linear equations with two unknowns, gives a geometric interpretation of determinate, indeterminate, and inconsistent systems

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Systems of linear equations and their number of solutions (we teach in grade 9)

  26. Curriculum point MAT.LO.4.P.2 · Teaching content · checked against the act

    uses systems of equations to solve word problems.

    our translation · original wording (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Curriculum point MAT.LO.5 · Teaching content · checked against the act

    Functions

    our translation · original wording (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Curriculum point MAT.LO.5.P.1 · Teaching content · checked against the act

    defines functions as a unique assignment using a verbal description, a table, a graph, a formula (also with different formulas on different intervals)

    our translation · original wording (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Curriculum point MAT.LO.5.P.2 · Teaching content · checked against the act

    calculates the value of a function given by an algebraic formula

    our translation · original wording (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Curriculum point MAT.LO.5.P.3 · Teaching content · checked against the act

    reads and interprets the values of functions defined by means of tables, graphs, formulas, etc., also in situations of multiple use of the same source of information or several sources simultaneously

    our translation · original wording (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Curriculum point MAT.LO.5.P.4 · Teaching content · checked against the act

    reads from the graph of a function: the domain, range, zeros, intervals of monotonicity, intervals in which the function takes values greater (not less) or less (not greater) than a given number, the maximum and minimum values of the function (if they exist) in a given closed interval and the arguments for which the maximum and minimum values are attained by the function

    our translation · original wording (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Curriculum point MAT.LO.5.P.5 · Teaching content · checked against the act

    interprets the coefficients appearing in the formula of a linear function

    our translation · original wording (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Curriculum point MAT.LO.5.P.6 · Teaching content · checked against the act

    determines the formula of a linear function based on information about its graph or about its properties

    our translation · original wording (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Formula of a linear function from points or a parallel line (we teach in grade 9)

  34. Curriculum point MAT.LO.5.P.7 · Teaching content · checked against the act

    sketches the graph of a quadratic function given by a formula

    our translation · original wording (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Curriculum point MAT.LO.5.P.8 · Teaching content · checked against the act

    interprets the coefficients appearing in the formula of a quadratic function in general, vertex, and factored form (if it exists)

    our translation · original wording (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Curriculum point MAT.LO.5.P.9 · Teaching content · checked against the act

    determines the formula of a quadratic function based on information about this function or about its graph

    our translation · original wording (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Curriculum point MAT.LO.5.P.10 · Teaching content · checked against the act

    determines the maximum and minimum value of a quadratic function on a closed interval

    our translation · original wording (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Curriculum point MAT.LO.5.P.11 · Teaching content · checked against the act

    uses the properties of linear and quadratic functions to interpret geometric, physical, etc. problems, also set in a practical context

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Curriculum point MAT.LO.5.P.12 · Teaching content

    based on the graph of the function y = f(x), sketches the graphs of the functions y = f(x − a), y = f(x) + b

    our translation · original wording (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Curriculum point MAT.LO.5.P.13 · Teaching content

    uses the function f(x) = a/x, including its graph, to describe and interpret problems related to inversely proportional quantities, also in practical applications

    our translation · original wording (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Curriculum point MAT.LO.5.P.14 · Teaching content · checked against the act

    uses exponential and logarithmic functions, including their graphs, to describe and interpret issues related to practical applications.

    our translation · original wording (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Curriculum point MAT.LO.6 · Teaching content · checked against the act

    Sequences

    our translation · original wording (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Curriculum point MAT.LO.6.P.1 · Teaching content · checked against the act

    calculates the terms of a sequence defined by a general formula

    our translation · original wording (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Curriculum point MAT.LO.6.P.2 · Teaching content · checked against the act

    calculates the initial terms of sequences defined recursively

    our translation · original wording (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Curriculum point MAT.LO.6.P.3 · Teaching content · checked against the act

    in simple cases examines whether a sequence is increasing or decreasing

    our translation · original wording (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Curriculum point MAT.LO.6.P.4 · Teaching content · checked against the act

    checks whether a given sequence is arithmetic or geometric

    our translation · original wording (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Curriculum point MAT.LO.6.P.5 · Teaching content · checked against the act

    uses the formula for the n-th term and for the sum of the first n terms of an arithmetic sequence

    our translation · original wording (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Curriculum point MAT.LO.6.P.6 · Teaching content · checked against the act

    applies the formula for the n-th term and for the sum of the first n terms of a geometric sequence

    our translation · original wording (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Curriculum point MAT.LO.6.P.7 · Teaching content · checked against the act

    uses the properties of sequences, including arithmetic and geometric, to solve problems, also set in a practical context.

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Curriculum point MAT.LO.7 · Teaching content · checked against the act

    Trigonometry

    our translation · original wording (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Curriculum point MAT.LO.7.P.1 · Teaching content · checked against the act

    uses the definitions of the functions: sine, cosine and tangent for angles from 0° to 180°, in particular determines the values of trigonometric functions for angles of 30°, 45°, 60°

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Curriculum point MAT.LO.7.P.2 · Teaching content

    uses the formulas sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α / cos α

    our translation · original wording (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Curriculum point MAT.LO.7.P.3 · Teaching content

    applies the law of cosines and the formula for the area of a triangle P = ½ · a · b · sin γ

    our translation · original wording (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Curriculum point MAT.LO.7.P.4 · Teaching content · checked against the act

    calculates the angles of a right-angled triangle and the lengths of its sides given appropriate data (solves right-angled triangles, including using trigonometric functions).

    our translation · original wording (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Curriculum point MAT.LO.8 · Teaching content · checked against the act

    Plane geometry

    our translation · original wording (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Curriculum point MAT.LO.8.P.1 · Teaching content · checked against the act

    determines radii and diameters of circles, lengths of chords of circles and tangent segments, including using the Pythagorean theorem

    our translation · original wording (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Curriculum point MAT.LO.8.P.2 · Teaching content · checked against the act

    recognizes acute, right, and obtuse triangles given the lengths of the sides (among other things, applies the converse of the Pythagorean theorem and the law of cosines); applies the theorem: in a triangle, the longer side lies opposite the greater interior angle

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Curriculum point MAT.LO.8.P.3 · Teaching content · checked against the act

    recognises regular polygons and uses their basic properties

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Curriculum point MAT.LO.8.P.4 · Teaching content · checked against the act

    uses the properties of angles and diagonals in rectangles, parallelograms, rhombuses, and trapezoids

    our translation · original wording (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Curriculum point MAT.LO.8.P.5 · Teaching content · checked against the act

    applies properties of inscribed and central angles

    our translation · original wording (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Curriculum point MAT.LO.8.P.6 · Teaching content · checked against the act

    applies formulas for the area of a sector of a circle and the length of an arc of a circle

    our translation · original wording (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Curriculum point MAT.LO.8.P.7 · Teaching content · checked against the act

    applies Thales' theorem

    our translation · original wording (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Curriculum point MAT.LO.8.P.8 · Teaching content · checked against the act

    uses triangle similarity criteria

    our translation · original wording (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Curriculum point MAT.LO.8.P.9 · Teaching content · checked against the act

    uses relationships between perimeters and between areas of similar figures

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Curriculum point MAT.LO.8.P.10 · Teaching content · checked against the act

    identifies basic special points in a triangle: the center of the inscribed circle of a triangle, the center of the circumscribed circle of a triangle, the orthocenter, the centroid, and uses their properties

    our translation · original wording (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Curriculum point MAT.LO.8.P.11 · Teaching content · checked against the act

    carries out geometric proofs

    our translation · original wording (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Curriculum point MAT.LO.8.P.12 · Teaching content · checked against the act

    applies trigonometric functions to determine the lengths of segments in plane figures and to calculate the areas of figures.

    our translation · original wording (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Curriculum point MAT.LO.9 · Teaching content · checked against the act

    Analytic geometry on the Cartesian plane

    our translation · original wording (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Curriculum point MAT.LO.9.P.1 · Teaching content · checked against the act

    identifies the relative position of lines on a plane based on their equations, including finding the common point of two lines, if it exists

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Curriculum point MAT.LO.9.P.2 · Teaching content · checked against the act

    uses equations of lines in the plane, in slope-intercept and general form, including determining the equation of a line with given properties (such as, e.g., passing through two given points, a known slope, parallelism to another line)

    our translation · original wording (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Curriculum point MAT.LO.9.P.3 · Teaching content · checked against the act

    calculates the distance between two points in a coordinate system

    our translation · original wording (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Curriculum point MAT.LO.9.P.4 · Teaching content

    uses the equation of a circle (x − a)² + (y − b)² = r²

    our translation · original wording (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Curriculum point MAT.LO.9.P.5 · Teaching content · checked against the act

    determines the images of circles and polygons in axial symmetries with respect to the axes of the coordinate system, central symmetry (with the center at the origin of the coordinate system).

    our translation · original wording (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Curriculum point MAT.LO.10 · Teaching content · checked against the act

    Solid geometry

    our translation · original wording (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Curriculum point MAT.LO.10.P.1 · Teaching content · checked against the act

    recognizes the relative positions of lines in space, in particular perpendicular non-intersecting lines

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Curriculum point MAT.LO.10.P.2 · Teaching content · checked against the act

    uses the concept of the angle between a line and a plane and the concept of a dihedral angle between half-planes

    our translation · original wording (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Curriculum point MAT.LO.10.P.3 · Teaching content · checked against the act

    identifies in prisms and pyramids angles between line segments (e.g. edges, edges and diagonals) and angles between faces, calculates the measures of these angles

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Curriculum point MAT.LO.10.P.4 · Teaching content · checked against the act

    identifies in cylinders and cones the angle between line segments and the angle between line segments and planes (e.g. the apex angle of a cone, the angle between the generatrix and the base), calculates the measures of these angles

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Curriculum point MAT.LO.10.P.5 · Teaching content · checked against the act

    calculates the volumes and surface areas of prisms, pyramids, a cylinder, a cone, and a sphere, also using trigonometry

    our translation · original wording (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Curriculum point MAT.LO.10.P.6 · Teaching content · checked against the act

    uses the relationship between the volumes of similar solids.

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Curriculum point MAT.LO.11 · Teaching content · checked against the act

    Combinatorics

    our translation · original wording (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Curriculum point MAT.LO.11.P.1 · Teaching content · checked against the act

    counts objects in simple combinatorial situations

    our translation · original wording (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Curriculum point MAT.LO.11.P.2 · Teaching content · checked against the act

    counts objects, using the rules of multiplication and addition (also in combination) for any number of actions, e.g.:

    our translation · original wording (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Curriculum point MAT.LO.11.P.2.a · Teaching content · checked against the act

    calculating how many four-digit odd positive integers there are such that in their decimal representation there is exactly one digit 1 and exactly one digit 2

    our translation · original wording (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Curriculum point MAT.LO.11.P.2.b · Teaching content · checked against the act

    calculating how many four-digit even positive integers there are such that exactly one digit 0 and exactly one digit 1 appear in their decimal representation.

    our translation · original wording (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Curriculum point MAT.LO.12 · Teaching content · checked against the act

    Probability and statistics

    our translation · original wording (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Curriculum point MAT.LO.12.P.1 · Teaching content · checked against the act

    calculates probability in the classical model

    our translation · original wording (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Curriculum point MAT.LO.12.P.2 · Teaching content · checked against the act

    calculates the arithmetic mean and the weighted mean, finds the median and the mode.

    our translation · original wording (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Curriculum point MAT.LO.13 · Teaching content · checked against the act

    Optimization and differential calculus

    our translation · original wording (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Curriculum point MAT.LO.13.P.1 · Teaching content · checked against the act

    solves optimization problems in situations that can be described by a quadratic function.

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Curriculum point MAT.LO.WO.1 · General aims · checked against the act

    Computational fluency

    our translation · original wording (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Curriculum point MAT.LO.WO.1.1 · General aims · checked against the act

    Performing calculations on real numbers, also using a calculator, applying the laws of mathematical operations when transforming algebraic expressions, and using these skills when solving problems in real-world and theoretical contexts

    our translation · original wording (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Curriculum point MAT.LO.WO.2 · General aims · checked against the act

    Using and creating information

    our translation · original wording (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Curriculum point MAT.LO.WO.2.1 · General aims · checked against the act

    Interpreting and working with information presented in text, both mathematical and popular science, as well as in the form of graphs, diagrams, tables

    our translation · original wording (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Curriculum point MAT.LO.WO.2.2 · General aims · checked against the act

    Using mathematical language to create mathematical texts, including describing reasoning carried out and justifying conclusions, as well as presenting data

    our translation · original wording (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Curriculum point MAT.LO.WO.3 · General aims · checked against the act

    Using and interpreting representations

    our translation · original wording (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Curriculum point MAT.LO.WO.3.1 · General aims · checked against the act

    Using mathematical objects and operating on them, interpreting mathematical concepts

    our translation · original wording (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Curriculum point MAT.LO.WO.3.2 · General aims · checked against the act

    Selecting and creating mathematical models when solving practical and theoretical problems

    our translation · original wording (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Curriculum point MAT.LO.WO.3.3 · General aims · checked against the act

    Creating auxiliary mathematical objects based on existing ones, in order to carry out argumentation or solve a problem

    our translation · original wording (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Curriculum point MAT.LO.WO.3.4 · General aims · checked against the act

    Indicating the necessity or possibility of modifying a mathematical model in cases requiring special reservations, additional assumptions, consideration of specific conditions

    our translation · original wording (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Curriculum point MAT.LO.WO.4 · General aims · checked against the act

    Reasoning and argumentation

    our translation · original wording (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Curriculum point MAT.LO.WO.4.1 · General aims · checked against the act

    Conducting reasoning, including multi-step reasoning, providing arguments justifying the correctness of reasoning, distinguishing a proof from an example

    our translation · original wording (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Curriculum point MAT.LO.WO.4.2 · General aims · checked against the act

    Recognizing regularities, similarities and analogies, formulating conclusions based on them and justifying their correctness

    our translation · original wording (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Curriculum point MAT.LO.WO.4.3 · General aims · checked against the act

    Selecting arguments to justify the correctness of solving problems, constructing a chain of arguments guaranteeing the correctness of the solution and effectiveness in seeking solutions to a problem

    our translation · original wording (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Curriculum point MAT.LO.WO.4.4 · General aims · checked against the act

    Applying and creating strategies when solving problems, also in non-routine situations

    our translation · original wording (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Skills step by step

Factoring polynomials

The student factors a polynomial into a product of simpler expressions by factoring out a monomial, grouping terms, and applying the formulas for the sum and difference of cubes.

Curriculum point MAT.LO.2.P.3 factors out a monomial from an algebraic sum (our translation)

In the first year of high school and technical secondary school, students transform polynomials into factored form. They master three specific calculation techniques: factoring out a common monomial, factoring by grouping terms, and applying formulas for the sum and difference of cubes.

A common mistake is losing a term when factoring out a monomial—when the factor being factored out is the same as one of the terms, students often mistakenly write zero or omit it completely instead of leaving 1. Managing plus and minus signs also poses a significant challenge, especially when factoring out a negative factor in the grouping method and when correctly writing the incomplete square in the formulas for the sum and difference of cubes.

In practice, exercises practicing this skill include:

  • Factoring out a common monomial — finding a common numerical divisor and the power of the variable common to all terms,
  • Factoring by grouping — pairing the terms of the polynomial so that factoring out terms leaves the same expression inside the parentheses,
  • Sum and difference of cubes — recognizing the structure of the formula and factoring the binomial into a product of simpler factors.
Create a worksheet for this skill

Task types: Factoring out a monomial · Factoring by grouping · Sum and difference of cubes

Applying short multiplication formulas

The student proficiently transforms algebraic expressions using the formulas for the square of a sum, the square of a difference, and the product of a sum and a difference.

Curriculum point MAT.LO.2.P.1 applies short multiplication formulas for: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2 (our translation)

In the first year of high school and technical school, students master the transformation of second-degree algebraic expressions. They learn to replace multiplying brackets with ready-made algebraic identities, which allows them to quickly expand and simplify expressions containing variables and real numbers.

The most common mistake is omitting the double product when squaring a binomial—students mechanically square each term separately, writing (a + b)² as a² + b². Another frequent problem is losing minus signs, especially when a subtraction sign precedes the entire expression or when the term being squared has a negative coefficient.

Exercises in this area are based on two types of tasks:

  • Square of a sum and difference – expanding bracketed expressions raised to the second power into three terms,
  • Product of a sum and difference – multiplying pairs of brackets that differ only by a sign and writing them in the concise form of a difference of squares.
Create a worksheet for this skill

Task types: Product of a sum and a difference · Square of a sum or difference

Calculating the sum and difference of logarithms

The student applies the formulas for the sum and difference of logarithms with the same base to simplify expressions and efficiently calculate their values.

Curriculum point MAT.LO.1.P.9 applies the relationship between logarithms and exponentiation, uses the formulas for the logarithm of a product, the logarithm of a quotient, and the logarithm of a power. (our translation)

In the first grade, students transform expressions containing logarithms with the same base. They use the rule stating that adding logarithms corresponds to the logarithm of a product, and subtracting them corresponds to the logarithm of a quotient. This allows finding the exact value of the entire expression even when individual terms cannot be calculated separately.

A common mistake is confusing these rules and adding the arguments of the logarithms instead of multiplying them (for example, incorrectly assuming that log a + log b is log(a + b) instead of log(a · b)). When subtracting, another frequent issue is reversing the order of division or attempting to combine logarithms that have different bases.

Tasks from the templates Sum of logarithms and Difference of logarithms require condensing two terms into a single logarithm. For example, the student combines two logarithms with the same base into a product or a fraction which, when simplified, yields a power of the base and allows writing the final answer as a single integer or fraction.

Create a worksheet for this skill

Task types: Difference of logarithms · Sum of logarithms

Calculating logarithms from the definition

The student calculates the values of simple logarithms for integers and fractions, using the definition directly and converting to exponentiation.

Curriculum point MAT.LO.1.P.1 performs operations (addition, subtraction, multiplication, division, exponentiation, taking roots, taking logarithms) in the set of real numbers (our translation)
Curriculum point MAT.LO.1.P.9 applies the relationship between logarithms and exponentiation, uses the formulas for the logarithm of a product, the logarithm of a quotient, and the logarithm of a power. (our translation)

In the first grade of high school and technical secondary school, students learn the concept of a logarithm and how to evaluate it directly from the definition. Finding the solution involves answering the question: to what power must the base of the logarithm be raised to obtain the argument? At this stage, exercises include evaluating logarithms for integers as well as for common fractions and decimals.

The most common mistake stems from confusing exponentiation with multiplication or division—for example, instead of the value 3 for the base-2 logarithm of 8, a student gives 4 by dividing 8 by 2. With logarithms of fractions, another frequent issue is failing to take into account a negative exponent, which causes the student to drop the minus sign in the final result.

In practice, tasks testing this skill take the form of simple calculation problems:

  • Logarithm from the definition – direct evaluation where the result is a positive integer, e.g., evaluating the base-3 logarithm of 27.
  • Logarithm of a fraction – examples requiring the use of negative exponents or working with decimals, e.g., calculating the base-2 logarithm of 1/4 or the common logarithm of 0.1.
Create a worksheet for this skill

Task types: Logarithm from the definition · Logarithm of a fraction

Addition, subtraction, and multiplication of polynomials

The student performs addition, subtraction, and multiplication of single-variable polynomials, combining like terms and ordering the obtained result.

Curriculum point MAT.LO.2.P.2 adds, subtracts and multiplies polynomials in one and several variables (our translation)

In grade 1 of secondary school, students perform basic operations on polynomials: they add, subtract, and multiply algebraic expressions, then combine like terms and write the resulting expression in standard form (from the highest to the lowest power of the variable).

The most common mistake when subtracting is forgetting to change the signs of all terms inside the subtracted parentheses. When multiplying polynomials, on the other hand, students often miss individual terms when multiplying term by term or make errors in exponent operations, such as multiplying exponents instead of adding them.

Tasks from the templates Adding and Subtracting Polynomials and Multiplying Polynomials involve performing the indicated operations on the given polynomial formulas, expanding the parentheses, and simplifying the entire expression to its simplest possible form.

Create a worksheet for this skill

Task types: Adding and subtracting polynomials · Multiplying polynomials

Multiplication and subtraction of rational expressions

The student performs subtraction and multiplication of algebraic fractions, using factoring and finding a common denominator.

Curriculum point MAT.LO.2.P.4 multiplies and divides rational expressions. (our translation)

In grade 1 of high school and technical school, students perform operations on algebraic fractions (rational expressions). At this stage, they primarily master the subtraction and multiplication of such expressions, using their prior knowledge of algebraic identities and polynomial factoring.

A typical problem when subtracting is losing track of signs – students often forget that a minus sign in front of a fraction applies to the entire numerator, not just its first term. When multiplying, a common mistake is incorrect cancellation: attempting to simplify individual terms of an addition instead of entire factors in factored form.

In practice, exercises involve reducing expressions to their simplest form and appear in two main variants:

  • Subtraction of rational expressions — requires finding a common denominator, expanding the numerators accordingly, and combining like terms;
  • Multiplication of rational expressions — involves factoring numerators and denominators, canceling common expressions, and writing down the final product.
Create a worksheet for this skill

Task types: Multiplying rational expressions · Subtracting rational expressions

Formula of a linear function from points or a parallel line

The student determines the formula of a linear function based on the coordinates of two points or a point and the condition of parallelism to another line.

Curriculum point MAT.LO.5.P.6 determines the formula of a linear function based on information about its graph or about its properties (our translation)

In the first year of high school and technical secondary school, students master determining the formula of a linear function in the form y = ax + b. They can calculate numerical coefficients based on numerical data: they determine them from a system of equations formed for two given points or use the properties of parallel lines, knowing that they have the same slope a.

A common problem at this stage is confusing the coordinates of a point when substituting them into the formula – inserting the value of the first axis in place of y, and the second in place of x. Students also make arithmetic errors when reducing minus signs and confuse the condition for parallelism with the condition for perpendicularity, unnecessarily changing the sign of the slope.

In practice, exercises are based on two problem templates:

  • Linear function formula from two points – the student is given the coordinates of two points, e.g., (2, 5) and (-1, -1), and derives the equation of the line passing through both points;
  • Parallel line through a point – the student is given a line (e.g., y = 3x - 2) and a point not on it, and finds the equation of a new line, keeping the same slope a and calculating the new y-intercept b.
Create a worksheet for this skill

Task types: Linear function through two points · Parallel line through a point

Systems of linear equations and their number of solutions

The student solves systems of two linear equations using the elimination method and determines whether the system has one solution, infinitely many solutions, or is inconsistent.

Curriculum point MAT.LO.4.P.1 solves systems of linear equations with two unknowns, gives a geometric interpretation of determinate, indeterminate, and inconsistent systems (our translation)

In the first grade of high school and technical school, students solve systems of two linear equations with two unknowns using the elimination method. They are able to transform equations so that adding them together eliminates one of the variables, and then solve for the other. They also learn to determine the number of solutions of a system: they can recognize a system with exactly one pair of numbers, a dependent system with infinitely many solutions, and an inconsistent system that has no solution.

A common mistake at this stage is dropping minus signs when multiplying an entire equation by an integer (especially a negative one) to obtain opposite coefficients. Students also struggle to correctly interpret non-standard outcomes: they confuse an identity, where reducing the variables yields the equality 0 = 0 (infinitely many solutions), with an inconsistency, where the result is a contradiction, such as 0 = 5 (no solution).

In practice, students practice these skills through exercises that involve:

  • fully solving a system in the template System of equations — elimination method and providing the pair of numbers that satisfies the equations,
  • analyzing equations in the template Number of solutions of a system, where the goal is to determine whether a given system has one solution, no solution at all, or infinitely many solutions.
Create a worksheet for this skill

Task types: Number of solutions of a system · System of equations — elimination

Operations on powers and finding the exponent

The student applies the laws of exponents with the same base to correctly determine the missing exponent in equations.

Curriculum point MAT.LO.1.P.4 applies the relationship between root extraction and exponentiation and the laws of operations on powers and roots (our translation)

A student in grade 1 of high school and technical school proficiently applies the rules of powers with the same base: multiplication, division, and raising a power to a power. They use these rules to transform expressions and find unknown numbers in exponents.

A common mistake is confusing adding exponents with multiplying them when taking the product of powers with the same base (for example, writing the result of multiplying powers as the product of their exponents). Students also sometimes struggle to correctly subtract exponents during division, especially when negative numbers are involved, and they also confuse operations on exponents with operations on the bases themselves.

Exercises from the Missing Exponent — Operations on Powers template involve filling in the blank in an equation. The student sees an expression composed of powers with a common base and must calculate what number should replace the missing exponent so that the left side equals the right side.

Create a worksheet for this skill

Change of base of a logarithm

The student converts logarithms with different bases into a quotient of logarithms with a new, convenient base, which allows simplifying the expression and calculating its exact value.

In Grade 1 of secondary school, students learn the rule that allows them to change the base of a given logarithm to another, more convenient one for calculations. They write a single logarithm as a fraction in which both the numerator and the denominator have the newly chosen base, which makes it possible to convert expressions with different bases to a common base and find their values.

A common mistake when applying this formula is inverting the numerator and the denominator. Students often mechanically write the original base of the logarithm in the numerator of the new fraction and the argument into the denominator, instead of placing the argument on top and the old base on the bottom.

In problems from the template Change of base of a logarithm, students work on calculating the numerical values of fractions containing logarithms with non-standard bases or simplifying products of such logarithms into a single integer or fraction.

Create a worksheet for this skill

Calculating odd-degree roots

The student calculates the values of odd-degree roots, including those of negative numbers, correctly determining the sign of the result.

Curriculum point MAT.LO.1.P.1 performs operations (addition, subtraction, multiplication, division, exponentiation, taking roots, taking logarithms) in the set of real numbers (our translation)
Curriculum point MAT.LO.1.P.3 applies the properties of roots of any degree, including odd-degree roots of negative numbers (our translation)

In Grade 1 of high school and technical school, students master evaluating odd-degree roots (for example, third or fifth degree). They learn to recognize a key property of these operations: a negative number can be under an odd-degree root, and the result of such root extraction always has the same sign.

The most common mistake is transferring the rule regarding square roots, which students worked with in primary school. Remembering that you cannot take an even root of negative numbers, they mistakenly consider an odd root of a negative number to be an impossible operation or remove the minus sign without justification, giving a positive result.

The tasks involve directly calculating numerical values in the template Odd-degree root. A typical example is finding the value of the cube root of -27, -125, or the fifth root of 32.

Create a worksheet for this skill

Calculating powers with rational exponents

The student learns to convert powers with fractional exponents into roots, calculate their values, and apply exponent rules to simplify expressions.

Curriculum point MAT.LO.1.P.4 applies the relationship between root extraction and exponentiation and the laws of operations on powers and roots (our translation)

In grade 1 of high school and technical secondary school, students are introduced to powers with fractional exponents. They learn to proficiently convert such expressions into radical form—where the denominator of the fraction determines the index of the root and the numerator is the exponent of the radicand—and to perform these operations in reverse, also in the case of negative fractional exponents.

A typical difficulty is confusing the roles of the numerator and denominator: students often treat the numerator of the fraction as the index of the root and the denominator as the power of the radicand. Another common mistake is failing to take into account the minus sign in the exponent, leading to omitting the reciprocal of the number before taking the root.

Exercises based on the Power with a rational exponent template primarily include evaluating specific numerical powers (e.g., 8 to the power of 2/3 or 16 to the power of -1/2) and simplifying expressions containing radicals by writing them as a single power with a fractional exponent.

Create a worksheet for this skill

Calculating capital on a bank deposit

The student calculates the final capital on a deposit, using the compound interest mechanism at a given interest rate and savings period.

Curriculum point MAT.LO.1.P.8 uses properties of powers and roots in practical situations, including calculating compound interest, returns on deposits and loan costs (our translation)

Students in the 1st grade of high school and technical school learn to determine the final value of savings using compound interest. At this stage, they use operations on powers to calculate how the deposited amount changes when interest is added to the principal and generates earnings itself in subsequent periods.

The most common mistake is confusing compound interest with simple interest. Students often calculate interest only once from the initial deposit and multiply it by the number of years, forgetting that in each subsequent cycle the base for calculating profit grows.

Tasks from the template Compound interest — term deposit present specific banking situations: the student is given an initial amount, an annual interest rate, and the duration of savings, and then calculates the final account balance taking regular compounding into account.

Create a worksheet for this skill

Solving linear inequalities with one unknown

The student learns to solve linear inequalities in one variable and to correctly determine and write down the set of numbers that satisfy them.

Curriculum point MAT.LO.3.P.3 solves linear inequalities in one unknown (our translation)

In grade 1 of high school and technical secondary school, students solve linear inequalities with one unknown. They reduce them to a simpler form by combining like terms as well as adding, subtracting, multiplying, and dividing both sides by real numbers to determine the required interval.

A typical problem is failing to flip the inequality sign when multiplying or dividing both sides by a negative number. Students often perform the calculations correctly, but leave the original inequality sign unchanged, which leads to an incorrect solution set.

Exercises from the Linear inequality template involve transforming a given algebraic inequality, finding the values of the unknown, and correctly writing the final result in the form of an inequality or an interval.

Create a worksheet for this skill

Identifying Inconsistent and Identity Equations

The student transforms linear equations and recognizes when they have no solutions, and when every real number satisfies them.

Curriculum point MAT.LO.3.P.1 transforms equations and inequalities in an equivalent manner, including e.g. equivalently transforms a rational equation (example in the act) (our translation)
Curriculum point MAT.LO.3.P.2 interprets inconsistent and identity linear equations and inequalities (our translation)

In grade 1 of high school and technical secondary school, students solve linear equations in one variable where, after rearranging both sides, the variable cancels out. They learn to correctly interpret the result obtained: determining that an equation is an identity (satisfied by every real number) when arriving at an identity such as 0 = 0, or inconsistent (no solutions) when arriving at a contradiction, for example 0 = 5.

A common problem occurs when, after the variable cancels out, the student assumes they made a calculation error. Instead of interpreting the result, students often force the variable back in or incorrectly conclude that 0 = 0 simply means a single solution x = 0, confusing an identity with a specific numerical value.

Exercises from the template Inconsistent or identity equation require performing basic algebraic transformations—such as combining like terms or removing parentheses—and then indicating whether the given equation has infinitely many solutions or no solutions at all.

Create a worksheet for this skill

Task templates to print

Every task type, grouped by skill. Clicking one opens the worksheet generator with it already selected.

Factoring polynomials

Applying short multiplication formulas

Calculating the sum and difference of logarithms

Calculating logarithms from the definition

Addition, subtraction, and multiplication of polynomials

Multiplication and subtraction of rational expressions

Formula of a linear function from points or a parallel line

Systems of linear equations and their number of solutions

Operations on powers and finding the exponent

Change of base of a logarithm

Calculating odd-degree roots

Calculating powers with rational exponents

Calculating capital on a bank deposit

Solving linear inequalities with one unknown

Identifying Inconsistent and Identity Equations

Other task types

Create a worksheet for this curriculum