Lehrplan (Polen)

Mathematik — Klasse 9

Mathematik in der 1. Klasse von Gymnasium und Technikum: Potenzen mit rationalen Exponenten, Wurzeln, Logarithmen, binomische Formeln, Polynome und rationale Ausdrücke, lineare Gleichungen, Ungleichungen und lineare Gleichungssysteme, lineare Funktion. Zu jedem Thema fertige Aufgaben zum Ausdrucken.

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Was lernt ein Schüler im Fach Mathematik in der 1. Klasse des Gymnasiums?

In Klasse 1 festigt der Schüler das Rechnen mit reellen Zahlen: Potenzen mit rationalen Exponenten, Wurzeln beliebigen Grades und Logarithmen samt ihren Eigenschaften. Er formt algebraische Ausdrücke mithilfe binomischer Formeln um, zerlegt Polynome in Faktoren und vereinfacht rationale Ausdrücke. Er löst lineare Gleichungen und Ungleichungen, Gleichungssysteme und bestimmt lineare Funktionen anhand zweier Punkte. Zudem berechnet er den Zinseszins.

Wichtiges zum Lehrplan: Der Lehrplan für Gymnasium und Technikum ist blockweise formuliert – er beschreibt, was der Schüler am Ende der weiterführenden Schule beherrscht, getrennt nach grundlegendem und erweitertem Niveau. Die Zuordnung eines Themas zu einer Klassenstufe ist unsere Entscheidung gemäß dem typischen Stoffverteilungsplan; im Abschnitt „Lehrplanumfang“ sehen Sie die Punkte des Lehrplans mit Zitaten.

Status der Seite: Die Aufgaben für diese Jahrgangsstufe sind in reiner Form ohne Sachkontext fertiggestellt (nur Aufgabenstellung und Formel); Aufgaben mit Abbildungen, Beweise und Textaufgaben folgen in den nächsten Schritten.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt MAT.LO.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Reelle Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Liczby rzeczywiste

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren) in der Menge der reellen Zahlen aus

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

Berechnung von Wurzeln ungeraden Grades (bei uns in Klasse 9) · Berechnung von Logarithmen anhand der Definition (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt einfache Beweise zur Teilbarkeit ganzer Zahlen und zu Resten bei der Division durch, z. B.:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Eigenschaften von Wurzeln beliebigen Grades an, einschließlich Wurzeln ungeraden Grades aus negativen Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

Berechnung von Wurzeln ungeraden Grades (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet den Zusammenhang zwischen dem Wurzelziehen und dem Potenzieren sowie die Rechengesetze für Potenzen und Wurzeln an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

Berechnung von Potenzen mit rationalen Exponenten (bei uns in Klasse 9) · Rechnen mit Potenzen und Bestimmen des Exponenten (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Monotonie des Potenzierens an, insbesondere die Eigenschaften: wenn x < y und a > 1, dann ax < ay, und wenn x < y und 0 < a < 1, dann ax > ay

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet den Begriff des Zahlenintervalls, markiert Intervalle auf der Zahlengeraden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die geometrische und algebraische Interpretation des Betrags an, löst Gleichungen des Typs: |x + 4| = 5

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Eigenschaften des Potenzierens und Radizierens in praktischen Situationen, darunter zur Berechnung von Zinseszinsen, Gewinnen aus Geldanlagen und Kreditkosten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

Berechnung des Kapitals bei einer Bankeinlage (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet den Zusammenhang zwischen Logarithmieren und Potenzieren an, verwendet Formeln für den Logarithmus eines Produkts, den Logarithmus eines Quotienten und den Logarithmus einer Potenz.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

Berechnung von Logarithmen anhand der Definition (bei uns in Klasse 9) · Berechnung der Summe und Differenz von Logarithmen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beweis der Teilbarkeit des Produkts von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch 24

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beweis der Eigenschaft: Wenn eine Zahl bei der Division durch 4 den Rest 3 lässt, ist sie kein Quadrat einer ganzen Zahl

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.LO.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Algebraische Ausdrücke

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wyrażenia algebraiczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die binomischen Formeln für: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2 an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

Anwendung der binomischen Formeln (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

addiert, subtrahiert und multipliziert Polynome in einer und mehreren Variablen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

Faktorisierung von Polynomen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert rationale Terme.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

Multiplikation und Subtraktion rationaler Ausdrücke (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Równania i nierówności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.1 · Lerninhalte

formt Gleichungen und Ungleichungen äquivalent um, darunter z. B. formt eine rationale Gleichung äquivalent um (Beispiel im Rechtsakt)

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

Erkennen von widersprüchlichen und identischen Gleichungen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert widersprüchliche und identische lineare Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

Erkennen von widersprüchlichen und identischen Gleichungen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

Lösen linearer Ungleichungen mit einer Unbekannten (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst quadratische Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Polynomgleichungen der Form W(x) = 0 für in Produktform gebrachte Polynome.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungssysteme

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Układy równań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, gibt die geometrische Interpretation bestimmter, unbestimmter und widersprüchlicher Systeme an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

Lineare Gleichungssysteme und ihre Anzahl an Lösungen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben an.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Funkcje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

beschreibt Funktionen als eindeutige Zuordnung mithilfe einer Wortbeschreibung, einer Tabelle, eines Graphen, einer Formel (auch durch verschiedene Formeln auf verschiedenen Intervallen)

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Funktionswert einer durch eine algebraische Formel gegebenen Funktion

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

liest Werte von Funktionen, die durch Tabellen, Graphen, Formeln usw. gegeben sind, ab und interpretiert sie, auch in Situationen der mehrfachen Nutzung derselben Informationsquelle oder mehrerer Quellen gleichzeitig

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

liest aus dem Funktionsgraphen ab: Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Monotonieintervalle, Intervalle, in denen die Funktion Werte annimmt, die größer (nicht kleiner) oder kleiner (nicht größer) als eine gegebene Zahl sind, die größten und kleinsten Werte der Funktion (sofern sie existieren) in einem gegebenen abgeschlossenen Intervall sowie die Argumente, für welche die größten und kleinsten Werte von der Funktion angenommen werden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert die in der Funktionsgleichung einer linearen Funktion auftretenden Koeffizienten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auf der Grundlage von Informationen über ihren Graphen oder über ihre Eigenschaften

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus Punkten oder einer parallelen Geraden (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

skizziert den Graphen einer durch eine Formel gegebenen quadratischen Funktion

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert die Koeffizienten in der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form, Scheitelpunktform und faktorisierter Form (sofern sie existiert)

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion anhand von Informationen über diese Funktion oder über ihren Graphen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt den größten und kleinsten Wert einer quadratischen Funktion in einem abgeschlossenen Intervall

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Eigenschaften linearer und quadratischer Funktionen zur Interpretation geometrischer, physikalischer usw. Fragestellungen, auch eingebettet in einen praktischen Kontext

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.12 · Lerninhalte

skizziert auf der Grundlage des Graphen der Funktion y = f(x) die Graphen der Funktionen y = f(x − a), y = f(x) + b

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.13 · Lerninhalte

verwendet die Funktion f(x) = a/x, einschließlich ihres Graphen, zur Beschreibung und Interpretation von Sachverhalten im Zusammenhang mit umgekehrt proportionalen Größen, auch in praktischen Anwendungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.14 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet Exponential- und Logarithmusfunktionen, einschließlich ihrer Graphen, zur Beschreibung und Interpretation von Fragestellungen im Zusammenhang mit praktischen Anwendungen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14
Lehrplanpunkt MAT.LO.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Folgen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Ciągi

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Glieder einer durch eine explizite Formel definierten Folge

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die ersten Glieder rekursiv definierter Folgen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

untersucht in einfachen Fällen, ob eine Folge wachsend oder fallend ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

prüft, ob eine gegebene Folge arithmetisch oder geometrisch ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Formel für das n-te Glied und für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Formel für das n-te Glied und für die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Eigenschaften von Folgen, darunter arithmetischer und geometrischer, zum Lösen von Aufgaben, auch eingebettet in einen praktischen Kontext.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Trygonometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet die Definitionen der Funktionen: Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel von 0° bis 180°, bestimmt insbesondere die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel 30°, 45°, 60°

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.2 · Lerninhalte

verwendet die Formeln sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.3 · Lerninhalte

wendet den Kosinussatz sowie die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks P = ½ · a · b · sin γ an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks und die Längen seiner Seiten bei entsprechenden Angaben (löst rechtwinklige Dreiecke, einschließlich unter Verwendung trigonometrischer Funktionen).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Planimetrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Planimetria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt Radien und Durchmesser von Kreisen, Längen von Kreissehnen sowie Tangentenabschnitten, einschließlich unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke bei gegebenen Seitenlängen (wendet u. a. die Umkehrung des Satzes des Pythagoras und den Kosinussatz an); wendet den Satz an: Im Dreieck liegt dem größeren Innenwinkel die längere Seite gegenüber

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt regelmäßige Vielecke und nutzt deren grundlegende Eigenschaften

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Eigenschaften von Winkeln und Diagonalen in Rechtecken, Parallelogrammen, Rauten und Trapezen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Eigenschaften von Umfangswinkeln und Mittelpunktswinkeln an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Formeln für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts und die Länge eines Kreisbogens an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet den Strahlensatz an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje twierdzenie Talesa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Beziehungen zwischen den Umfängen sowie zwischen den Flächeninhalten ähnlicher Figuren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

benennt grundlegende besondere Punkte im Dreieck: Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks, Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks, Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt und nutzt deren Eigenschaften

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt geometrische Beweise durch

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza dowody geometryczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet trigonometrische Funktionen zur Bestimmung von Streckenlängen in ebenen Figuren sowie zur Berechnung von Flächeninhalten von Figuren an.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Analytische Geometrie in der kartesischen Ebene

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt die gegenseitige Lage von Geraden in der Ebene anhand ihrer Gleichungen, darunter findet den gemeinsamen Punkt zweier Geraden, falls ein solcher existiert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet Geradengleichungen in der Ebene in Steigungsform und allgemeiner Form, bestimmt unter anderem die Gleichung einer Geraden mit vorgegebenen Eigenschaften (wie z. B. das Verlaufen durch zwei gegebene Punkte, eine bekannte Steigung, Parallelität zu einer anderen Geraden)

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.4 · Lerninhalte

verwendet die Kreisgleichung (x − a)² + (y − b)² = r²

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt Bilder von Kreisen und Vielecken bei Achsenspiegelungen an den Achsen des Koordinatensystems, bei Punktspiegelung (mit dem Zentrum im Ursprung des Koordinatensystems).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Stereometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stereometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt die gegenseitige Lage von Geraden im Raum, insbesondere zueinander senkrechte, sich nicht schneidende Geraden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet den Begriff des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene sowie den Begriff des Diederwinkels zwischen Halbebenen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt in Prismen und Pyramiden Winkel zwischen Strecken (z. B. Kanten, Kanten und Diagonalen) sowie Winkel zwischen Flächen, berechnet die Maße dieser Winkel

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt in Zylindern und in Kegeln den Winkel zwischen Strecken sowie den Winkel zwischen Strecken und Ebenen (z. B. Öffnungswinkel des Kegels, Winkel zwischen Mantellinie und Grundfläche), berechnet die Maße dieser Winkel

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Volumina und Oberflächeninhalte von Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugel, auch unter Verwendung der Trigonometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt den Zusammenhang zwischen den Volumina ähnlicher Körper.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kombinatorik

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Kombinatoryka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zählt Objekte in einfachen kombinatorischen Situationen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zählt Objekte unter Anwendung der Multiplikations- und Additionsregeln (auch kombiniert) für eine beliebige Anzahl von Vorgängen, z. B.:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Berechnen, wie viele vierstellige ungerade positive ganze Zahlen es gibt, in deren Dezimalschreibweise genau eine Ziffer 1 und genau eine Ziffer 2 vorkommt

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Berechnen, wie viele vierstellige gerade positive ganze Zahlen es gibt, in deren Dezimalschreibweise genau eine Ziffer 0 und genau eine Ziffer 1 vorkommt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.LO.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Wahrscheinlichkeit im klassischen Modell

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet das arithmetische Mittel und das gewichtete Mittel, findet den Median und den Modalwert.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Optimierung und Differentialrechnung

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13
Lehrplanpunkt MAT.LO.13.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Optimierungsaufgaben in Situationen, die sich durch eine quadratische Funktion beschreiben lassen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rechenfertigkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Sprawność rachunkowa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Durchführen von Berechnungen mit reellen Zahlen, auch unter Verwendung eines Taschenrechners, Anwenden von Rechengesetzen beim Umformen algebraischer Ausdrücke sowie Nutzen dieser Fähigkeiten beim Lösen von Problemen in realen und theoretischen Kontexten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Nutzung und Erstellung von Informationen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Interpretieren und Verarbeiten von Informationen, die in Texten, sowohl mathematischen als auch populärwissenschaftlichen, sowie in Form von Graphen, Diagrammen, Tabellen dargestellt sind

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verwendung der mathematischen Sprache zur Erstellung mathematischer Texte, einschließlich zur Beschreibung durchgeführter Überlegungen und zur Begründung von Schlussfolgerungen sowie zur Darstellung von Daten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verwendung und Interpretation von Darstellungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden mathematischer Objekte und Operieren mit ihnen, Interpretieren mathematischer Begriffe

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Auswählen und Erstellen mathematischer Modelle beim Lösen praktischer und theoretischer Probleme

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erstellen mathematischer Hilfsobjekte auf der Grundlage bestehender zur Durchführung einer Argumentation oder zur Lösung eines Problems

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Aufzeigen der Notwendigkeit oder Möglichkeit einer Modifikation des mathematischen Modells in Fällen, die besondere Vorbehalte, zusätzliche Annahmen, die Berücksichtigung besonderer Bedingungen erfordern

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Schlussfolgern und Argumentieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Rozumowanie i argumentacja

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Durchführen von Schlussfolgerungen, auch mehrschrittigen, Angeben von Argumenten zur Begründung der Richtigkeit der Schlussfolgerung, Unterscheiden eines Beweises von einem Beispiel

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erkennen von Regelmäßigkeiten, Ähnlichkeiten sowie Analogien, Formulieren von Schlussfolgerungen auf deren Grundlage und Begründen ihrer Richtigkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Auswählen von Argumenten zur Begründung der Richtigkeit von Problemlösungen, Bilden einer Argumentationskette, die die Richtigkeit der Lösung garantiert, und Effizienz bei der Suche nach Lösungen der Problemstellung

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden und Entwickeln von Strategien beim Lösen von Aufgaben, auch in atypischen Situationen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Kompetenzen Schritt für Schritt

Faktorisierung von Polynomen

Der Schüler wandelt ein Polynom in ein Produkt einfacherer Ausdrücke um, indem er ein Monom ausklammert, Terme gruppiert sowie die Formeln für die Summe und Differenz von Kuben anwendet.

Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.3 klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus (unsere Übersetzung)

In der ersten Klasse von Gymnasium und Fachoberschule wandelt der Schüler Polynome in eine Produktform um. Er erlernt drei konkrete Rechentechniken: das Ausklammern eines gemeinsamen Monoms vor die Klammer, die Faktorisierung durch Gruppierung von Gliedern sowie die Anwendung von Formeln für die Summe und Differenz von Kuben.

Ein typisches Problem ist das Verlieren eines Summanden beim Ausklammern eines Monoms – wenn der ausgeklammerte Faktor mit einem der Summanden identisch ist, setzen Schüler oft irrtümlich eine Null ein oder lassen ihn ganz weg, anstatt eine 1 stehenzulassen. Große Schwierigkeiten bereitet auch die Kontrolle der Vorzeichen Plus und Minus, insbesondere beim Ausklammern eines negativen Faktors bei der Gruppierungsmethode sowie bei der korrekten Schreibweise des unvollständigen Quadrats in den Formeln für die Summe und Differenz von Kuben.

In der Praxis umfassen Aufgaben zur Einübung dieser Fertigkeit:

Ausklammern eines Monoms — das Bestimmen eines gemeinsamen numerischen Teilers sowie einer allen Gliedern gemeinsamen Potenz der Variablen,
Faktorisierung durch Gruppierung — das paarweise Zusammenfassen der Glieder des Polynoms, sodass nach dem Ausklammern von Faktoren in den Klammern derselbe Ausdruck entsteht,
Summe und Differenz von Kuben — das Erkennen der Formelstruktur und das Zerlegen des Binoms in ein Produkt einfacherer Faktoren.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Monom ausklammern · Faktorisieren durch Gruppieren · Summe und Differenz von Kuben

Anwendung der binomischen Formeln

Der Schüler formt algebraische Ausdrücke sicher um, indem er die Formeln für das Quadrat einer Summe, das Quadrat einer Differenz sowie das Produkt aus einer Summe und einer Differenz anwendet.

Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.1 wendet die binomischen Formeln für: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2 an (unsere Übersetzung)

In der ersten Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule erlernen Schüler das Umformen algebraischer Ausdrücke zweiten Grades. Sie lernen, das Ausmultiplizieren von Klammern durch fertige algebraische Identitäten zu ersetzen, was ein schnelles Auflösen und Vereinfachen von Termen mit Variablen und reellen Zahlen ermöglicht.

Der häufigste Fehler ist das Weglassen des doppelten Produkts beim Quadrieren eines Binoms – Schüler quadrieren oft schematisch jedes Glied einzeln und schreiben (a + b)² als a² + b². Ein häufiges Problem ist auch das Übersehen von Minuszeichen, insbesondere wenn vor dem gesamten Ausdruck ein Minuszeichen steht oder wenn das zu quadrierende Glied einen negativen Koeffizienten hat.

Aufgaben aus diesem Bereich basieren auf zwei Arten von Aufgabenstellungen:

Quadrat einer Summe und Differenz – das Ausmultiplizieren quadrierter Klammerausdrücke in eine dreigliedrige Form,
Produkt aus Summe und Differenz – das Ausmultiplizieren von Klammerpaaren, die sich nur durch das Rechenzeichen unterscheiden, und deren Darstellung in der vereinfachten Form als Differenz von Quadraten.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Produkt aus Summe und Differenz · Quadrat einer Summe oder Differenz

Berechnung der Summe und Differenz von Logarithmen

Der Schüler wendet die Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis an, um Terme zu vereinfachen und deren Werte effizient zu berechnen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 wendet den Zusammenhang zwischen Logarithmieren und Potenzieren an, verwendet Formeln für den Logarithmus eines Produkts, den Logarithmus eines Quotienten und den Logarithmus einer Potenz. (unsere Übersetzung)

In der ersten Klasse formt der Schüler Ausdrücke um, die Logarithmen mit denselben Basen enthalten. Er nutzt die Regel, dass die Addition von Logarithmen dem Logarithmus des Produkts und deren Subtraktion dem Logarithmus des Quotienten entspricht. Dies ermöglicht es, den genauen Wert des gesamten Ausdrucks zu bestimmen, selbst wenn sich die einzelnen Summanden nicht separat berechnen lassen.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln dieser Regeln und das Addieren der Numeri anstelle ihrer Multiplikation (beispielsweise die fehlerhafte Annahme, dass log a + log b gleich log(a + b) anstelle von log(a · b) ist). Bei der Subtraktion tritt zudem oft das Problem auf, dass die Reihenfolge der Division verwechselt wird oder versucht wird, Logarithmen mit unterschiedlichen Basen zusammenzufassen.

Die Aufgaben aus den Vorlagen Summe von Logarithmen sowie Differenz von Logarithmen erfordern das Zusammenfassen zweier Summanden zu einem einzigen Logarithmus. Beispielsweise verbindet der Schüler zwei Logarithmen mit derselben Basis zu einem Produkt oder Bruch, der nach dem Vereinfachen eine Potenz der Basis ergibt und es ermöglicht, das Endergebnis in Form einer einzelnen ganzen Zahl oder eines Bruchs anzugeben.

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Aufgabentypen: Differenz von Logarithmen · Summe von Logarithmen

Berechnung von Logarithmen anhand der Definition

Der Schüler berechnet die Werte einfacher Logarithmen für ganze Zahlen und Brüche unter direkter Verwendung der Definition und der Umwandlung in Potenzen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 führt Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren) in der Menge der reellen Zahlen aus (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 wendet den Zusammenhang zwischen Logarithmieren und Potenzieren an, verwendet Formeln für den Logarithmus eines Produkts, den Logarithmus eines Quotienten und den Logarithmus einer Potenz. (unsere Übersetzung)

In der 1. Klasse der Sekundarstufe II lernen Schülerinnen und Schüler den Begriff des Logarithmus kennen und lernen, seinen Wert direkt aus der Definition zu bestimmen. Die Lösung besteht in der Beantwortung der Frage: Mit welcher Potenz muss die Basis des Logarithmus potenziert werden, um den Numerus zu erhalten? Auf dieser Stufe umfassen die Übungen das Bestimmen von Logarithmenwerten für ganze Zahlen sowie für gemeine Brüche und Dezimalbrüche.

Der häufigste Fehler entsteht durch das Verwechseln des Potenzierens mit der Multiplikation oder Division – zum Beispiel gibt ein Schüler anstelle des Werts 3 für den Logarithmus von 8 zur Basis 2 das Ergebnis 4 an, indem er 8 durch 2 teilt. Bei Logarithmen von Brüchen bereitet es oft auch Schwierigkeiten, negative Exponenten zu berücksichtigen, wodurch das Minuszeichen im Endergebnis verloren geht.

In der Praxis treten Aufgaben zur Überprüfung dieser Fähigkeit in Form einfacher Rechenanweisungen auf:

Logarithmus aus der Definition – direkte Bestimmung des Werts, bei der das Ergebnis eine positive ganze Zahl ist, z. B. die Berechnung des Werts des Logarithmus der Zahl 27 zur Basis 3.
Logarithmus eines Bruchs – Beispiele, die die Anwendung von Potenzen mit negativem Exponenten oder das Rechnen mit Dezimalbrüchen erfordern, z. B. die Berechnung des Logarithmus der Zahl 1/4 zur Basis 2 oder des Zehnerlogarithmus von 0,1.

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Aufgabentypen: Logarithmus eines Bruchs · Logarithmus nach Definition

Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen

Der Schüler führt die Addition, Subtraktion sowie Multiplikation von Polynomen einer Variablen durch, fasst gleichartige Terme zusammen und ordnet das erhaltene Ergebnis.

Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.2 addiert, subtrahiert und multipliziert Polynome in einer und mehreren Variablen (unsere Übersetzung)

In der 1. Klasse der Oberstufe führen Schülerinnen und Schüler grundlegende Operationen mit Polynomen durch: Sie addieren, subtrahieren und multiplizieren algebraische Ausdrücke, fassen anschließend gleichartige Terme zusammen und schreiben das Ergebnis in geordneter Form auf (von der höchsten zur niedrigsten Potenz der Variablen).

Der häufigste Fehler bei der Subtraktion ist das Vergessen, die Vorzeichen aller Terme in der abzuziehenden Klammer umzukehren. Bei der Multiplikation von Polynomen wiederum übersehen Schülerinnen und Schüler oft einzelne Summanden beim Ausmultiplizieren („jeder mit jedem“) oder machen Fehler bei den Potenzgesetzen, indem sie beispielsweise Exponenten multiplizieren anstatt sie zu addieren.

Die Aufgaben aus den Vorlagen Addition und Subtraktion von Polynomen sowie Multiplikation von Polynomen bestehen darin, die angegebenen Operationen an den vorgegebenen Polynomen durchzuführen, Klammern aufzulösen und den gesamten Ausdruck in die einfachstmögliche Form zu bringen.

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Aufgabentypen: Polynome addieren und subtrahieren · Polynome multiplizieren

Multiplikation und Subtraktion rationaler Ausdrücke

Der Schüler führt die Subtraktion und Multiplikation algebraischer Brüche durch, indem er die Faktorisierung und das Bringen auf einen gemeinsamen Nenner anwendet.

Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.4 multipliziert und dividiert rationale Terme. (unsere Übersetzung)

In der 1. Klasse der gymnasialen Oberstufe und des Technikums führen Schülerinnen und Schüler Operationen mit algebraischen Brüchen (Bruchtermen) durch. Auf dieser Stufe erlernen sie vor allem die Subtraktion sowie die Multiplikation solcher Ausdrücke und nutzen dabei ihr Vorwissen über binomische Formeln und die Faktorisierung von Polynomen.

Ein typisches Problem bei der Subtraktion ist das Übersehen von Vorzeichen – Lernende vergessen oft, dass sich das Minuszeichen vor dem Bruch auf den gesamten Zähler bezieht und nicht nur auf dessen erstes Glied. Bei der Multiplikation ist ein häufiger Fehler das falsche Kürzen: der Versuch, einzelne Summanden anstelle von ganzen Faktoren in der Produktform zu kürzen.

In der Praxis bestehen die Aufgaben darin, den Term so weit wie möglich zu vereinfachen, und treten in zwei Hauptvarianten auf:

Subtraktion von Bruchtermen — erfordert das Bestimmen eines gemeinsamen Nenners, das entsprechende Erweitern der Zähler und das Zusammenfassen gleichartiger Glieder;
Multiplikation von Bruchtermen — besteht darin, Zähler und Nenner in Faktoren zu zerlegen, übereinstimmende Terme zu kürzen und das Endergebnis als Produkt darzustellen.

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Aufgabentypen: Bruchterme multiplizieren · Bruchterme subtrahieren

Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus Punkten oder einer parallelen Geraden

Der Schüler bestimmt die Funktionsgleichung einer linearen Funktion anhand der Koordinaten zweier Punkte oder eines Punktes und der Bedingung der Parallelität zu einer anderen Geraden.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.6 bestimmt die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auf der Grundlage von Informationen über ihren Graphen oder über ihre Eigenschaften (unsere Übersetzung)

In der ersten Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule erlernt der Schüler das Bestimmen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion in der Form y = ax + b. Er kann die Koeffizienten anhand numerischer Angaben berechnen: Er bestimmt sie aus einem Gleichungssystem, das für zwei gegebene Punkte aufgestellt wird, oder nutzt die Eigenschaft paralleler Geraden, da er weiß, dass sie dieselbe Steigung a haben.

Ein häufiges Problem auf dieser Stufe ist das Verwechseln der Punktkoordinaten beim Einsetzen in die Formel – das Einsetzen des Wertes der ersten Achse anstelle von y und der zweiten anstelle von x. Schüler machen zudem Rechenfehler beim Auflösen von Minuszeichen und verwechseln die Bedingung für Parallelität mit der für Orthogonalität, indem sie unnötigerweise das Vorzeichen der Steigung ändern.

In der Praxis basieren die Übungen auf zwei Aufgabentypen:

Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus zwei Punkten – der Schüler erhält die Koordinaten zweier Punkte, z. B. (2, 5) und (-1, -1), und leitet die Gleichung der Geraden her, die durch beide Punkte verläuft;
Parallele Gerade durch einen Punkt – der Schüler hat eine Gerade (z. B. y = 3x - 2) sowie einen Punkt außerhalb dieser Geraden gegeben und sucht die Gleichung einer neuen Geraden, indem er dieselbe Steigung a beibehält und den neuen y-Achsenabschnitt b berechnet.

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Aufgabentypen: Lineare Funktion durch zwei Punkte · Parallele Gerade durch einen Punkt

Lineare Gleichungssysteme und ihre Anzahl an Lösungen

Der Schüler löst Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit dem Additionsverfahren und bestimmt, ob das System eine Lösung, unendlich viele Lösungen hat oder unlösbar ist.

Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.1 löst lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, gibt die geometrische Interpretation bestimmter, unbestimmter und widersprüchlicher Systeme an (unsere Übersetzung)

In der 1. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule löst der Schüler lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen mithilfe des Additionsverfahrens. Er lernt, die Gleichungen so umzuformen, dass durch deren seitenweise Addition eine der Variablen eliminiert wird, um anschließend die andere zu berechnen. Zudem lernt er, die Anzahl der Lösungen des Systems zu bestimmen: Er kann ein System mit genau einem Zahlenpaar als Lösung, ein unbestimmtes System mit unendlich vielen Lösungen sowie ein widersprüchliches System ohne Lösung erkennen.

Ein häufiger Fehler auf dieser Stufe ist das Übersehen von Minuszeichen bei der Multiplikation der gesamten Gleichung mit einer ganzen Zahl (insbesondere einer negativen), um entgegengesetzte Koeffizienten zu erhalten. Schüler haben auch Schwierigkeiten bei der korrekten Interpretation ungewöhnlicher Ergebnisse: Sie verwechseln eine allgemeingültige Aussage, wenn nach dem Wegfallen der Variablen die Gleichheit 0 = 0 entsteht (unendlich viele Lösungen), mit einem Widerspruch, wenn das Ergebnis eine falsche Aussage ist, wie zum Beispiel 0 = 5 (keine Lösung).

In der Praxis übt der Schüler diese Fähigkeiten anhand von Aufgaben, die Folgendes umfassen:

das vollständige Lösen des Gleichungssystems in der Vorlage Lineare Gleichungssysteme – Additionsverfahren und die Angabe des Zahlenpaars, das die Gleichungen erfüllt,
die Analyse von Gleichungen in der Vorlage Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems, bei der bestimmt werden soll, ob ein bestimmtes System genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzt.

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Aufgabentypen: Anzahl der Lösungen eines Systems · Gleichungssystem — Additionsverfahren

Rechnen mit Potenzen und Bestimmen des Exponenten

Der Schüler wendet die Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis an, um den fehlenden Exponenten in Gleichungen korrekt zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 wendet den Zusammenhang zwischen dem Wurzelziehen und dem Potenzieren sowie die Rechengesetze für Potenzen und Wurzeln an (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler der 1. Klasse der Sekundarstufe II wenden die Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis sicher an: Multiplikation, Division sowie das Potenzieren von Potenzen. Sie nutzen diese Regeln, um Terme umzuformen und unbekannte Zahlen in den Exponenten zu bestimmen.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln der Addition von Exponenten mit deren Multiplikation beim Produkt von Potenzen mit gleicher Basis (zum Beispiel das Notieren des Ergebnisses der Multiplikation von Potenzen als Produkt ihrer Exponenten). Schülerinnen und Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten beim korrekten Subtrahieren von Exponenten bei der Division, insbesondere wenn negative Zahlen auftreten, und verwechseln zudem Rechenoperationen mit Exponenten mit Operationen an den Basen selbst.

Die Aufgaben aus der Vorlage Fehlender Exponent – Rechnen mit Potenzen bestehen darin, eine Lücke in einer Gleichung auszufüllen. Die Schülerinnen und Schüler sehen einen Term aus Potenzen mit gleicher Basis und müssen berechnen, welche Zahl an der Stelle des fehlenden Exponenten stehen muss, damit die linke Seite gleich der rechten Seite ist.

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Basiswechsel des Logarithmus

Der Schüler wandelt Logarithmen mit unterschiedlichen Basen in einen Quotienten von Logarithmen mit einer neuen, geeigneten Basis um, was es ermöglicht, den Ausdruck zu vereinfachen und seinen exakten Wert zu berechnen.

In der 1. Klasse der gymnasialen Oberstufe und des Technikums lernen die Schülerinnen und Schüler die Regel kennen, mit der sich die Basis eines gegebenen Logarithmus in eine andere, rechnerisch bequemere Basis ändern lässt. Dabei wird ein einzelner Logarithmus in Form eines Bruchs dargestellt, bei dem sowohl der Zähler als auch der Nenner die neu gewählte Basis besitzen, was es ermöglicht, Ausdrücke mit unterschiedlichen Basen auf eine gemeinsame Basis zu bringen und ihren Wert zu bestimmen.

Ein typischer Fehler bei der Anwendung dieser Formel ist das Vertauschen von Zähler und Nenner. Schülerinnen und Schüler setzen oft mechanisch die bisherige Basis des Logarithmus in den Zähler des neuen Bruchs und den Numerus in den Nenner, anstatt den Numerus oben und die alte Basis unten einzutragen.

In den Aufgaben aus der Vorlage Basiswechsel bei Logarithmen geht es um das Berechnen des Zahlenwerts von Brüchen, die Logarithmen mit unüblichen Basen enthalten, oder um das Vereinfachen von Produkten solcher Logarithmen zu einer einzelnen ganzen Zahl oder einem Bruch.

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Berechnung von Wurzeln ungeraden Grades

Der Schüler berechnet Werte von Wurzeln ungeraden Grades, auch aus negativen Zahlen, und bestimmt das Vorzeichen des Ergebnisses korrekt.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 führt Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren) in der Menge der reellen Zahlen aus (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.3 wendet Eigenschaften von Wurzeln beliebigen Grades an, einschließlich Wurzeln ungeraden Grades aus negativen Zahlen (unsere Übersetzung)

In der 1. Klasse der weiterführenden Schule (Gymnasium und Fachoberschule) erlernen Schülerinnen und Schüler das Bestimmen von Werten von Wurzeln ungeraden Grades (zum Beispiel der dritten oder fünften Wurzel). Sie lernen, eine grundlegende Eigenschaft dieser Rechenoperationen zu erkennen: Unter einer Wurzel ungeraden Grades darf eine negative Zahl stehen, und das Ergebnis eines solchen Radizierens ist immer eine Zahl mit demselben Vorzeichen.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Regel für Quadratwurzeln zu übertragen, mit denen die Lernenden zuvor gearbeitet haben. Da sie im Gedächtnis haben, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzeln geraden Grades ziehen kann, halten sie eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl fälschlicherweise für eine nicht durchführbare Operation oder lassen das Minuszeichen unbegründet weg und geben ein positives Ergebnis an.

Die Aufgaben bestehen in der direkten Berechnung von Zahlenwerten in der Vorlage Wurzel ungeraden Grades. Ein typisches Beispiel ist das Bestimmen des Werts der dritten Wurzel aus der Zahl -27, -125 oder der fünften Wurzel aus der Zahl 32.

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Berechnung von Potenzen mit rationalen Exponenten

Der Schüler lernt, Potenzen mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln umzuwandeln, deren Werte zu berechnen und die Potenzgesetze zur Vereinfachung von Ausdrücken anzuwenden.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 wendet den Zusammenhang zwischen dem Wurzelziehen und dem Potenzieren sowie die Rechengesetze für Potenzen und Wurzeln an (unsere Übersetzung)

In der 1. Klasse der weiterführenden Schule (Gymnasium und Fachoberschule) lernen die Schülerinnen und Schüler die Schreibweise von Potenzen kennen, deren Exponent ein Bruch ist. Sie lernen, eine solche Schreibweise sicher in die Wurzelschreibweise umzuwandeln – wobei der Nenner des Bruchs den Wurzelexponenten und der Zähler den Exponenten des Radikanden bestimmt – sowie diese Operationen in die umgekehrte Richtung durchzuführen, auch im Fall von negativen gebrochenen Exponenten.

Eine typische Schwierigkeit besteht im Verwechseln der Rollen von Zähler und Nenner: Schülerinnen und Schüler betrachten den Zähler des Bruchs nicht selten als Wurzelexponenten und den Nenner als Potenz der Zahl unter dem Wurzelzeichen. Ein häufiger Fehler ist auch das Nichtberücksichtigen des Minuszeichens im Exponenten, was dazu führt, dass die Bildung des Kehrwerts vor dem Wurzelziehen ausgelassen wird.

Die Übungen auf Basis der Vorlage Potenz mit rationalem Exponenten umfassen vor allem das Bestimmen der Werte konkreter Zahlenpotenzen (z. B. 8 hoch 2/3 oder 16 hoch -1/2) sowie das Vereinfachen von Termen mit Wurzeln, indem man sie als eine einzige Potenz mit gebrochenem Exponenten darstellt.

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Berechnung des Kapitals bei einer Bankeinlage

Der Schüler berechnet das Endkapital einer Geldanlage unter Nutzung des Zinseszinsmechanismus bei vorgegebenem Zinssatz und Sparzeitraum.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.8 nutzt Eigenschaften des Potenzierens und Radizierens in praktischen Situationen, darunter zur Berechnung von Zinseszinsen, Gewinnen aus Geldanlagen und Kreditkosten (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler lernen in der 1. Klasse des Gymnasiums und der Fachschule, den Endwert von Ersparnissen unter Anwendung des Zinseszinses zu bestimmen. In dieser Phase nutzen sie Potenzen, um zu berechnen, wie sich der eingezahlte Betrag verändert, wenn Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden und in den folgenden Perioden selbst Erträge einbringen.

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Zinseszins mit einfachen Zinsen. Schülerinnen und Schüler berechnen die Zinsen oft nur einmalig auf der Grundlage des Anfangsbetrags und multiplizieren sie mit der Anzahl der Jahre, wobei sie vergessen, dass die Basis für die Zinsberechnung in jeder weiteren Periode wächst.

Die Aufgaben aus der Vorlage Zinseszins — Festgeld stellen konkrete Banksituationen dar: Die Schülerinnen und Schüler erhalten ein Anfangskapital, einen jährlichen Zinssatz sowie die Anlagedauer und berechnen anschließend den endgültigen Kontostand unter Berücksichtigung der regelmäßigen Zinskapitalisierung.

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Lösen linearer Ungleichungen mit einer Unbekannten

Der Schüler lernt, lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten zu lösen sowie die Menge der sie erfüllenden Zahlen korrekt zu bestimmen und anzugeben.

Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.3 löst lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten (unsere Übersetzung)

In der 1. Klasse der weiterführenden Schule lösen die Lernenden lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten. Sie bringen sie durch Zusammenfassen gleichartiger Terme sowie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division beider Seiten durch reelle Zahlen in eine einfachere Form, um das gesuchte Zahlenintervall zu bestimmen.

Ein typisches Problem ist das Vergessen der Umkehrung des Ungleichheitszeichens bei der Multiplikation oder Division beider Seiten durch eine negative Zahl. Die Lernenden führen oft korrekte Rechenschritte durch, behalten jedoch das ursprüngliche Ungleichheitszeichen bei, was zu einer fehlerhaften Bestimmung der Lösungsmenge führt.

Die Aufgaben aus der Vorlage Lineare Ungleichung bestehen darin, die gegebene algebraische Ungleichung umzuformen, den Wert der Unbekannten zu bestimmen und das Endergebnis korrekt in Form einer Ungleichung oder eines Intervalls anzugeben.

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Erkennen von widersprüchlichen und identischen Gleichungen

Der Schüler formt lineare Gleichungen um und erkennt, wann sie keine Lösung haben und wann jede reelle Zahl sie erfüllt.

Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.1 formt Gleichungen und Ungleichungen äquivalent um, darunter z. B. formt eine rationale Gleichung äquivalent um (Beispiel im Rechtsakt) (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.2 interpretiert widersprüchliche und identische lineare Gleichungen und Ungleichungen (unsere Übersetzung)

In der 1. Klasse von Gymnasium und Technikum lösen Schülerinnen und Schüler lineare Gleichungen mit einer Unbekannten, bei denen sich die Variable nach dem Ordnen beider Seiten aufhebt. Sie lernen, das erhaltene Ergebnis richtig zu interpretieren: Sie stellen fest, dass die Gleichung allgemeingültig ist (jede reelle Zahl erfüllt sie), wenn sie zu einer Identität der Form 0 = 0 führt, oder unlösbar (keine Lösungen), wenn sich ein Widerspruch wie zum Beispiel 0 = 5 ergibt.

Ein häufiges Problem besteht darin, dass Lernende glauben, einen Rechenfehler gemacht zu haben, sobald die Unbekannte wegfällt. Anstatt das Ergebnis zu interpretieren, fügen sie die Unbekannte oft krampfhaft wieder ein oder schließen fälschlicherweise, dass der Ausdruck 0 = 0 einfach nur eine einzige Lösung x = 0 bedeutet, womit sie eine allgemeingültige Aussage mit einem konkreten Zahlenwert verwechseln.

Die Aufgaben der Vorlage Unlösbare oder allgemeingültige Gleichung erfordern die Durchführung grundlegender algebraischer Umformungen – wie das Zusammenfassen gleichartiger Terme oder das Auflösen von Klammern – und die anschließende Angabe, ob die gegebene Gleichung unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung besitzt.

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Fehlender Exponent — Potenzgesetze

Mathematik — Klasse 9

Was lernt ein Schüler im Fach Mathematik in der 1. Klasse des Gymnasiums?

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