Polski
Program nauczania (Polska)

Matematyka — klasa 1 liceum i technikum

Matematyka w klasie 1 liceum i technikum: potęgi o wykładniku wymiernym, pierwiastki, logarytmy, wzory skróconego mnożenia, wielomiany i wyrażenia wymierne, równania, nierówności i układy równań liniowych, funkcja liniowa. Do każdego tematu gotowe zadania do druku.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczy się uczeń z matematyki w klasie 1 liceum?

W klasie 1 uczeń porządkuje rachunek na liczbach rzeczywistych: potęgi o wykładniku wymiernym, pierwiastki dowolnego stopnia i logarytmy wraz z ich własnościami. Przekształca wyrażenia algebraiczne ze wzorami skróconego mnożenia, rozkłada wielomiany na czynniki i upraszcza wyrażenia wymierne. Rozwiązuje równania i nierówności liniowe, układy równań oraz wyznacza funkcję liniową z dwóch punktów. Liczy też procent składany.

Ważne o podstawie programowej: podstawa dla liceum i technikum jest sformułowana blokowo — opisuje, co uczeń umie na koniec szkoły średniej, osobno w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Przypisanie tematu do klasy to nasza decyzja według typowego rozkładu materiału; w sekcji „Zakres programowy” widzisz punkty podstawy z cytatami.

Stan strony: zadania tej klasy są gotowe w postaci bez fabuły (samo polecenie i wzór); zadania z rysunkiem, dowody i fabuły dochodzą w kolejnych krokach.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy MAT.LO.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Obliczanie pierwiastków stopnia nieparzystego (u nas w klasie 9) · Obliczanie logarytmów z definicji (u nas w klasie 9)

  3. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Obliczanie pierwiastków stopnia nieparzystego (u nas w klasie 9)

  5. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Obliczanie potęg o wykładniku wymiernym (u nas w klasie 9) · Działania na potęgach i szukanie wykładnika (u nas w klasie 9)

  6. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Obliczanie kapitału na lokacie bankowej (u nas w klasie 9)

  10. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Obliczanie logarytmów z definicji (u nas w klasie 9) · Obliczanie sumy i różnicy logarytmów (u nas w klasie 9)

  11. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punkt podstawy MAT.LO.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Stosowanie wzorów skróconego mnożenia (u nas w klasie 9)

  15. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów (u nas w klasie 9)

  16. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Rozkład wielomianu na czynniki (u nas w klasie 9)

  17. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Mnożenie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (u nas w klasie 9)

  18. Punkt podstawy MAT.LO.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.1 · Treści nauczania

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Rozpoznawanie równań sprzecznych i tożsamościowych (u nas w klasie 9)

  20. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Rozpoznawanie równań sprzecznych i tożsamościowych (u nas w klasie 9)

  21. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą (u nas w klasie 9)

  22. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punkt podstawy MAT.LO.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punkt podstawy MAT.LO.4.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Układy równań liniowych i ich liczba rozwiązań (u nas w klasie 9)

  26. Punkt podstawy MAT.LO.4.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punkt podstawy MAT.LO.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Wzór funkcji liniowej z punktów lub prostej równoległej (u nas w klasie 9)

  34. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.12 · Treści nauczania

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.13 · Treści nauczania

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.14 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punkt podstawy MAT.LO.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punkt podstawy MAT.LO.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.2 · Treści nauczania

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.3 · Treści nauczania

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punkt podstawy MAT.LO.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punkt podstawy MAT.LO.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.4 · Treści nauczania

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punkt podstawy MAT.LO.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punkt podstawy MAT.LO.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punkt podstawy MAT.LO.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punkt podstawy MAT.LO.12.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punkt podstawy MAT.LO.12.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punkt podstawy MAT.LO.13 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punkt podstawy MAT.LO.13.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punkt podstawy MAT.LO.WO.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punkt podstawy MAT.LO.WO.1.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Umiejętności krok po kroku

Rozkład wielomianu na czynniki

Uczeń zamienia wielomian na iloczyn prostszych wyrażeń, wyłączając jednomian przed nawias, grupując wyrazy oraz stosując wzory na sumę i różnicę sześcianów.

Punkt podstawy MAT.LO.2.P.3 wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

W pierwszej klasie liceum i technikum uczeń przekształca wielomiany do postaci iloczynu. Opanowuje trzy konkretne techniki rachunkowe: wyłączanie wspólnego jednomianu przed nawias, rozkład metodą grupowania wyrazów oraz stosowanie wzorów skróconego mnożenia na sumę i różnicę sześcianów.

Typowym problemem jest gubienie składnika przy wyłączaniu jednomianu przed nawias — gdy wyłączany czynnik jest taki sam jak jeden ze składników, uczniowie często omyłkowo wpisują zero lub całkowicie go pomijają, zamiast zostawić 1. Dużą trudność sprawia także kontrola znaków plus i minus, szczególnie przy wyciąganiu ujemnego czynnika w metodzie grupowania oraz przy poprawnym zapisie niepełnego kwadratu we wzorach na sumę i różnicę sześcianów.

W praktyce zadania ćwiczące tę umiejętność obejmują:

  • Wyłączanie jednomianu przed nawias — odnalezienie wspólnego dzielnika liczbowego oraz potęgi zmiennej wspólnej dla wszystkich wyrazów,
  • Rozkład przez grupowanie — łączenie wyrazów wielomianu w pary tak, aby po wyłączeniu czynników w nawiasach powstało to samo wyrażenie,
  • Sumę i różnicę sześcianów — rozpoznanie struktury wzoru i rozpisanie dwumianu na iloczyn prostszych czynników.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyłączanie jednomianu przed nawias · Rozkład przez grupowanie · Suma i różnica sześcianów

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Uczeń sprawnie przekształca wyrażenia algebraiczne, stosując wzory na kwadrat sumy, kwadrat różnicy oraz iloczyn sumy i różnicy.

Punkt podstawy MAT.LO.2.P.1 stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

W pierwszej klasie liceum i technikum uczeń opanowuje przekształcanie wyrażeń algebraicznych drugiego stopnia. Uczy się zastępować mnożenie nawiasów gotowymi tożsamościami algebraicznymi, co pozwala szybko rozwijać i upraszczać zapisy zawierające zmienne oraz liczby rzeczywiste.

Najczęstszym błędem jest pomijanie podwojonego iloczynu przy podnoszeniu dwumianu do kwadratu – uczniowie schematycznie podnoszą do potęgi każdy składnik z osobna, zapisując (a + b)² jako a² + b². Częstym problemem jest również gubienie znaków minus, zwłaszcza gdy przed całym wyrażeniem stoi znak odejmowania lub gdy potęgowany składnik ma ujemny współczynnik.

Zadania z tego zakresu opierają się na dwóch rodzajach poleceń:

  • Kwadrat sumy i różnicy – rozwijanie wyrażeń w nawiasach podniesionych do drugiej potęgi do postaci trzech wyrazów,
  • Iloczyn sumy i różnicy – wymnażanie par nawiasów różniących się wyłącznie znakiem i zapisywanie ich w skróconej postaci różnicy kwadratów.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Iloczyn sumy i różnicy · Kwadrat sumy i różnicy

Obliczanie sumy i różnicy logarytmów

Uczeń stosuje wzory na sumę i różnicę logarytmów o jednakowych podstawach, aby upraszczać wyrażenia i sprawnie obliczać ich wartości.

Punkt podstawy MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

W pierwszej klasie uczeń przekształca wyrażenia zawierające logarytmy o takich samych podstawach. Korzysta z reguły mówiącej, że dodawanie logarytmów odpowiada logarytmowi iloczynu, a ich odejmowanie — logarytmowi ilorazu. Pozwala to wyznaczyć dokładną wartość całego wyrażenia nawet wtedy, gdy poszczególnych składników nie da się obliczyć oddzielnie.

Częstym błędem jest mylenie tych reguł i dodawanie samych liczb logarytmowanych zamiast ich mnożenia (na przykład błędne uznawanie, że log a + log b to log(a + b) zamiast log(a · b)). Przy odejmowaniu problemem bywa także mylenie kolejności dzielenia liczb lub próba łączenia logarytmów, które mają różne podstawy.

Zadania z szablonów Suma logarytmów oraz Różnica logarytmów wymagają zwinięcia dwóch składników w jeden logarytm. Przykładowo uczeń łączy dwa logarytmy o tej samej podstawie w iloczyn lub ułamek, który po uproszczeniu daje potęgę podstawy i pozwala zapisać ostateczny wynik w postaci pojedynczej liczby całkowitej lub ułamka.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Różnica logarytmów · Suma logarytmów

Obliczanie logarytmów z definicji

Uczeń oblicza wartości prostych logarytmów dla liczb całkowitych oraz ułamków, korzystając bezpośrednio z definicji i zamiany na potęgowanie.

Punkt podstawy MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Punkt podstawy MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

W klasie 1 liceum i technikum uczeń poznaje pojęcie logarytmu i uczy się wyznaczać jego wartość wprost z definicji. Rozwiązanie polega na odpowiedzi na pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść podstawę logarytmu, aby otrzymać liczbę logarytmowaną. Na tym etapie ćwiczenia obejmują wyznaczanie wartości logarytmów dla liczb całkowitych oraz dla ułamków zwykłych i dziesiętnych.

Najczęstszy błąd wynika z mylenia operacji potęgowania z mnożeniem lub dzieleniem – na przykład uczeń zamiast wartości 3 dla logarytmu o podstawie 2 z 8 podaje 4, dzieląc 8 przez 2. Przy logarytmach ułamków problemem bywa także nieuwzględnienie ujemnego wykładnika potęgi, przez co uczeń gubi znak minus w wyniku końcowym.

W praktyce zadania sprawdzające tę umiejętność przybierają formę prostych poleceń obliczeniowych:

  • Logarytm z definicji – bezpośrednie wyznaczenie wartości, w której wynik jest dodatnią liczbą całkowitą, np. obliczenie wartości logarytmu o podstawie 3 z liczby 27.
  • Logarytm ułamka – przykłady wymagające zastosowania potęg o ujemnym wykładniku lub operowania na ułamkach dziesiętnych, np. obliczenie logarytmu o podstawie 2 z liczby 1/4 czy logarytmu dziesiętnego z 0,1.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Logarytm ułamka · Logarytm z definicji

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

Uczeń wykonuje dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie wielomianów jednej zmiennej, redukując wyrazy podobne i porządkując otrzymany wynik.

Punkt podstawy MAT.LO.2.P.2 dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

W klasie 1 liceum i technikum uczeń wykonuje podstawowe działania na wielomianach: dodaje, odejmuje oraz mnoży wyrażenia algebraiczne, a następnie redukuje wyrazy podobne i zapisuje otrzymany wynik w uporządkowanej postaci (od najwyższej do najniższej potęgi zmiennej).

Najczęstszą pomyłką przy odejmowaniu jest zapominanie o zmianie znaków wszystkich wyrazów znajdujących się w odejmowanym nawiasie. Z kolei przy mnożeniu wielomianów uczniowie gubią poszczególne składniki podczas mnożenia „każdy przez każdy” albo popełniają błędy w działaniach na potęgach, na przykład mnożąc wykładniki zamiast je dodawać.

Zadania z szablonów Dodawanie i odejmowanie wielomianów oraz Mnożenie wielomianów polegają na wykonaniu wskazanych operacji na podanych wzorach wielomianów, otwarciu nawiasów i doprowadzeniu całego wyrażenia do najprostszej możliwej postaci.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Dodawanie i odejmowanie wielomianów · Mnożenie wielomianów

Mnożenie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Uczeń wykonuje odejmowanie oraz mnożenie ułamków algebraicznych, stosując rozkład na czynniki i sprowadzanie do wspólnego mianownika.

Punkt podstawy MAT.LO.2.P.4 mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

W klasie 1 liceum i technikum uczeń wykonuje działania na ułamkach algebraicznych (wyrażeniach wymiernych). Na tym etapie opanowuje przede wszystkim odejmowanie oraz mnożenie takich wyrażeń, wykorzystując wcześniejszą znajomość wzorów skróconego mnożenia oraz rozkładania wielomianów na czynniki.

Typowym problemem przy odejmowaniu jest gubienie znaków – uczeń często zapomina, że minus przed ułamkiem dotyczy całego licznika, a nie tylko jego pierwszego wyrazu. Przy mnożeniu częstym błędem jest niepoprawne skracanie: próba upraszczania pojedynczych składników dodawania zamiast całych czynników w postaci iloczynowej.

W praktyce zadania polegają na doprowadzeniu wyrażenia do najprostszej postaci i występują w dwóch głównych wariantach:

  • Odejmowanie wyrażeń wymiernych — wymaga wyznaczenia wspólnego mianownika, odpowiedniego rozszerzenia liczników i redukcji wyrazów podobnych;
  • Mnożenie wyrażeń wymiernych — polega na rozłożeniu liczników i mianowników na czynniki, skróceniu powtarzających się wyrażeń oraz zapisaniu końcowego iloczynu.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Mnożenie wyrażeń wymiernych · Odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wzór funkcji liniowej z punktów lub prostej równoległej

Uczeń wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie współrzędnych dwóch punktów lub punktu i warunku równoległości do innej prostej.

Punkt podstawy MAT.LO.5.P.6 wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

W pierwszej klasie liceum i technikum uczeń opanowuje wyznaczanie wzoru funkcji liniowej w postaci y = ax + b. Potrafi obliczyć współczynniki liczbowe na podstawie danych liczbowych: wyznacza je z układu równań utworzonego dla dwóch danych punktów albo korzysta z własności prostych równoległych, wiedząc, że mają one taki sam współczynnik kierunkowy a.

Częstym problemem na tym etapie jest mylenie współrzędnych punktu przy podstawianiu do wzoru – wstawianie wartości pierwszej osi w miejsce y, a drugiej w miejsce x. Uczniowie popełniają także błędy rachunkowe przy redukcji znaków minus oraz mylą warunek równoległości z warunkiem prostopadłości, niepotrzebnie zmieniając znak współczynnika kierunkowego.

W praktyce ćwiczenia opierają się na dwóch szablonach zadań:

  • Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów – uczeń otrzymuje współrzędne dwóch punktów, np. (2, 5) oraz (-1, -1), i wyprowadza równanie prostej przechodzącej przez oba punkty;
  • Prosta równoległa przez punkt – uczeń ma daną prostą (np. y = 3x - 2) oraz punkt spoza niej i szuka równania nowej prostej, zachowując ten sam współczynnik a i obliczając nowy wyraz wolny b.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Prosta równoległa przez punkt · Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów

Układy równań liniowych i ich liczba rozwiązań

Uczeń rozwiązuje układy dwóch równań liniowych metodą przeciwnych współczynników oraz określa, czy układ ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań, czy jest sprzeczny.

Punkt podstawy MAT.LO.4.P.1 rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

W klasie 1 liceum i technikum uczeń rozwiązuje układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi za pomocą metody przeciwnych współczynników. Potrafi przekształcić równania tak, aby po dodaniu ich stronami wyeliminować jedną ze zmiennych, a następnie obliczyć drugą. Uczy się także określać liczbę rozwiązań układu: potrafi rozpoznać układ z dokładnie jedną parą liczb, układ nieoznaczony z nieskończoną liczbą rozwiązań oraz układ sprzeczny, który nie ma żadnego rozwiązania.

Częstym błędem na tym etapie jest gubienie znaków minus podczas mnożenia całego równania przez liczbę całkowitą (zwłaszcza ujemną) w celu uzyskania przeciwnych współczynników. Uczniowie mają również problem z poprawną interpretacją nietypowych wyników: mylą sytuację tożsamościową, gdy po redukcji zmiennych powstaje równość 0 = 0 (nieskończenie wiele rozwiązań), ze sprzecznością, gdy wynikiem jest fałsz, na przykład 0 = 5 (brak rozwiązań).

W praktyce uczeń ćwiczy te umiejętności na zadaniach polegających na:

  • pełnym rozwiązaniu układu w szablonie Układ równań — metoda przeciwnych współczynników i podaniu pary liczb spełniającej równania,
  • analizie równań w szablonie Liczba rozwiązań układu, gdzie celem jest ustalenie, czy dany układ posiada jedno rozwiązanie, nie ma go wcale, czy ma ich nieskończenie wiele.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Liczba rozwiązań układu · Układ równań — metoda przeciwnych współczynników

Działania na potęgach i szukanie wykładnika

Uczeń stosuje prawa działań na potęgach o tych samych podstawach, aby poprawnie wyznaczyć brakujący wykładnik w równościach.

Punkt podstawy MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Uczeń w klasie 1 liceum i technikum sprawnie stosuje prawa działań na potęgach o jednakowych podstawach: mnożenie, dzielenie oraz potęgowanie potęgi. Wykorzystuje te reguły do przekształcania wyrażeń i wyznaczania niewiadomych liczb występujących w wykładnikach.

Częstym błędem jest mylenie dodawania wykładników z ich mnożeniem przy iloczynie potęg o tej samej podstawie (na przykład zapisywanie wyniku mnożenia potęg jako iloczynu ich wykładników). Uczniowie miewają również kłopot z poprawnym odejmowaniem wykładników podczas dzielenia, zwłaszcza gdy pojawiają się liczby ujemne, a także mylą działania na wykładnikach z operacjami na samych podstawach.

Zadania z szablonu Brakujący wykładnik — działania na potęgach polegają na uzupełnieniu luki w zapisie równości. Uczeń widzi wyrażenie złożone z potęg o wspólnej podstawie i musi obliczyć, jaka liczba powinna znaleźć się w miejscu brakującego wykładnika, aby lewa strona była równa prawej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Zamiana podstawy logarytmu

Uczeń przekształca logarytmy o różnych podstawach na iloraz logarytmów o nowej, dogodnej podstawie, co pozwala uprościć wyrażenie i obliczyć jego dokładną wartość.

W klasie 1 liceum i technikum uczeń poznaje zasadę pozwalającą zmienić podstawę danego logarytmu na inną, wygodniejszą w rachunkach. Zapisuje pojedynczy logarytm w postaci ułamka, w którym zarówno licznik, jak i mianownik mają nowo wybraną podstawę, co umożliwia sprowadzenie wyrażeń o różnych podstawach do wspólnej bazy i wyznaczenie ich wartości.

Typowym błędem przy stosowaniu tego wzoru jest odwrócenie licznika z mianownikiem. Uczniowie często mechanicznie wpisują dotychczasową podstawę logarytmu do licznika nowego ułamka, a liczbę logarytmowaną do mianownika, zamiast umieścić liczbę logarytmowaną na górze, a starą podstawę na dole.

W zadaniach z szablonu Zamiana podstawy logarytmu uczeń ma do czynienia z obliczaniem wartości liczbowej ułamków zawierających logarytmy o nietypowych podstawach lub upraszczaniem iloczynów takich logarytmów do pojedynczej liczby całkowitej bądź ułamka.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie pierwiastków stopnia nieparzystego

Uczeń oblicza wartości pierwiastków stopnia nieparzystego, w tym z liczb ujemnych, poprawnie ustalając znak wyniku.

Punkt podstawy MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Punkt podstawy MAT.LO.1.P.3 stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

W klasie 1 liceum i technikum uczeń opanowuje wyznaczanie wartości pierwiastków stopnia nieparzystego (na przykład trzeciego lub piątego stopnia). Uczy się zauważać kluczową własność tych działań: pod pierwiastkiem nieparzystego stopnia może znajdować się liczba ujemna, a wynikiem takiego pierwiastkowania jest zawsze liczba o tym samym znaku.

Najczęstszym błędem jest przenoszenie reguły dotyczącej pierwiastków kwadratowych, z którymi uczniowie pracowali w szkole podstawowej. Pamiętając, że nie można pierwiastkować liczb ujemnych stopniem parzystym, błędnie uznają pierwiastek nieparzysty z liczby ujemnej za działanie niewykonalne lub bez uzasadnienia usuwają znak minusa, podając wynik dodatni.

Zadania polegają na bezpośrednim obliczaniu wartości liczbowych w szablonie Pierwiastek stopnia nieparzystego. Typowy przykład to wskazanie wartości pierwiastka trzeciego stopnia z liczby -27, -125 czy pierwiastka piątego stopnia z liczby 32.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie potęg o wykładniku wymiernym

Uczeń uczy się zamieniać potęgi o wykładniku ułamkowym na pierwiastki, obliczać ich wartości oraz stosować reguły działań na potęgach do upraszczania wyrażeń.

Punkt podstawy MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

W klasie 1 liceum i technikum uczeń poznaje zapis potęgi, w której wykładnikiem jest ułamek. Uczy się sprawnie przekształcać taki zapis na postać pierwiastkową – gdzie mianownik ułamka określa stopień pierwiastka, a licznik wykładnik potęgi liczby podpierwiastkowej – oraz wykonywać te operacje w drugą stronę, także w przypadku ujemnych wykładników ułamkowych.

Typową trudnością jest mylenie ról licznika i mianownika: uczniowie nierzadko traktują licznik ułamka jako stopień pierwiastka, a mianownik jako potęgę liczby pod znakiem pierwiastka. Częstym błędem jest również nieuwzględnienie minusa w wykładniku, co prowadzi do pominięcia odwrócenia liczby przed wyciągnięciem pierwiastka.

Ćwiczenia oparte na szablonie Potęga o wykładniku wymiernym obejmują przede wszystkim wyznaczanie wartości konkretnych potęg liczbowych (np. 8 do potęgi 2/3 lub 16 do potęgi -1/2) oraz upraszczanie wyrażeń zawierających pierwiastki poprzez zapisanie ich w formie jednej potęgi o wykładniku ułamkowym.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie kapitału na lokacie bankowej

Uczeń oblicza końcowy kapitał na lokacie, wykorzystując mechanizm procentu składanego przy zadanym oprocentowaniu i okresie oszczędzania.

Punkt podstawy MAT.LO.1.P.8 wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Uczeń w klasie 1 liceum i technikum uczy się wyznaczać końcową wartość oszczędności przy zastosowaniu procentu składanego. Na tym etapie wykorzystuje działania na potęgach, aby obliczyć, jak zmienia się wpłacona kwota, gdy odsetki są dopisywane do kapitału i same przynoszą zysk w kolejnych okresach.

Najczęstszym błędem jest mylenie procentu składanego z procentem prostym. Uczniowie często liczą odsetki tylko raz od początkowej wpłaty i mnożą je przez liczbę lat, zapominając, że w każdym kolejnym cyklu baza do naliczania zysku rośnie.

Zadania z szablonu Procent składany — lokata przedstawiają konkretne sytuacje bankowe: uczeń otrzymuje kwotę początkową, roczną stopę procentową oraz czas trwania oszczędzania, po czym oblicza ostateczny stan konta po uwzględnieniu regularnej kapitalizacji.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą

Uczeń uczy się rozwiązywać nierówności liniowe z jedną niewiadomą oraz poprawnie wyznaczać i zapisywać zbiór spełniających je liczb.

Punkt podstawy MAT.LO.3.P.3 rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

W klasie 1 liceum i technikum uczeń rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Sprowadza je do prostszej postaci poprzez redukcję wyrazów podobnych oraz dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie obu stron przez liczby rzeczywiste, aby wyznaczyć szukany przedział liczbowy.

Typowym problemem jest brak zmiany zwrotu znaku nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Uczniowie często wykonują poprawne obliczenia rachunkowe, ale pozostawiają pierwotny znak nierówności, co prowadzi do błędnego wyznaczenia zbioru rozwiązań.

Zadania z szablonu Nierówność liniowa polegają na przekształceniu podanej nierówności algebraicznej, wyznaczeniu wartości niewiadomej i poprawnym zapisaniu końcowego wyniku w postaci nierówności lub przedziału.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozpoznawanie równań sprzecznych i tożsamościowych

Uczeń przekształca równania liniowe i rozpoznaje, kiedy nie mają one rozwiązań, a kiedy spełnia je każda liczba rzeczywista.

Punkt podstawy MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)
Punkt podstawy MAT.LO.3.P.2 interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

W klasie 1 liceum i technikum uczeń rozwiązuje równania liniowe z jedną niewiadomą, w których po uporządkowaniu stron redukuje się zmienna. Uczy się poprawnie interpretować otrzymany wynik: stwierdza, że równanie jest tożsamościowe (spełnia je każda liczba rzeczywista), gdy dochodzi do tożsamości typu 0 = 0, lub sprzeczne (brak rozwiązań), gdy otrzymuje sprzeczność, na przykład 0 = 5.

Częstym problemem jest sytuacja, w której po zredukowaniu niewiadomej uczeń uważa, że popełnił błąd rachunkowy. Zamiast zinterpretować wynik, uczniowie nierzadko dopisują niewiadomą na siłę lub błędnie wnioskują, że zapis 0 = 0 oznacza po prostu jedno rozwiązanie x = 0, myląc tożsamość z konkretną wartością liczbową.

Zadania z szablonu Równanie sprzeczne lub tożsamościowe wymagają wykonania podstawowych przekształceń algebraicznych – takich jak redukcja wyrazów podobnych czy opuszczenie nawiasów – a następnie wskazania, czy dane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, czy nie ma ich wcale.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Rozkład wielomianu na czynniki

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Obliczanie sumy i różnicy logarytmów

Obliczanie logarytmów z definicji

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

Mnożenie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wzór funkcji liniowej z punktów lub prostej równoległej

Układy równań liniowych i ich liczba rozwiązań

Działania na potęgach i szukanie wykładnika

Zamiana podstawy logarytmu

Obliczanie pierwiastków stopnia nieparzystego

Obliczanie potęg o wykładniku wymiernym

Obliczanie kapitału na lokacie bankowej

Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą

Rozpoznawanie równań sprzecznych i tożsamościowych

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu