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Programme scolaire (Pologne)

Mathématiques — 9e année

Mathématiques en 1re année de lycée général et technique : puissances à exposant rationnel, racines, logarithmes, identités remarquables, polynômes et expressions rationnelles, équations, inéquations et systèmes d'équations linéaires, fonction affine. Pour chaque thème, des exercices prêts à imprimer.

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Qu'apprend un élève en mathématiques en première année de lycée ?

En classe de 1re année, l'élève consolide le calcul sur les nombres réels : puissances à exposant rationnel, racines de degré quelconque et logarithmes avec leurs propriétés. Il transforme des expressions algébriques à l'aide des identités remarquables, factorise des polynômes et simplifie des expressions rationnelles. Il résout des équations et inéquations linéaires, des systèmes d'équations et détermine une fonction affine à partir de deux points. Il calcule également des intérêts composés.

Remarque importante sur le programme scolaire : le programme pour le lycée général et technique est formulé par blocs — il décrit ce que l'élève sait à la fin de l'enseignement secondaire, séparément pour le niveau de base et le niveau approfondi. L'attribution d'un thème à une classe donnée relève de notre choix selon une progression pédagogique typique ; dans la section « Programme d'études », vous trouverez les points du programme officiel cités.

État de la page : les exercices de ce niveau sont prêts sous forme directe (uniquement la consigne et la formule) ; les exercices avec figures, les démonstrations et les problèmes contextualisés sont ajoutés au fur et à mesure.

Programme officiel

  1. Point du programme MAT.LO.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Point du programme MAT.LO.1.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Calcul des racines de degré impair (chez nous en classe 9) · Calcul de logarithmes à partir de la définition (chez nous en classe 9)

  3. Point du programme MAT.LO.1.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Point du programme MAT.LO.1.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Calcul des racines de degré impair (chez nous en classe 9)

  5. Point du programme MAT.LO.1.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Calcul des puissances à exposant rationnel (chez nous en classe 9) · Opérations sur les puissances et recherche de l'exposant (chez nous en classe 9)

  6. Point du programme MAT.LO.1.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Point du programme MAT.LO.1.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Point du programme MAT.LO.1.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Point du programme MAT.LO.1.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Calcul du capital sur un dépôt bancaire (chez nous en classe 9)

  10. Point du programme MAT.LO.1.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Calcul de logarithmes à partir de la définition (chez nous en classe 9) · Calcul de la somme et de la différence de logarithmes (chez nous en classe 9)

  11. Point du programme MAT.LO.1.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Point du programme MAT.LO.1.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Point du programme MAT.LO.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Point du programme MAT.LO.2.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Utilisation des identités remarquables (chez nous en classe 9)

  15. Point du programme MAT.LO.2.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Addition, soustraction et multiplication de polynômes (chez nous en classe 9)

  16. Point du programme MAT.LO.2.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Factorisation d'un polynôme (chez nous en classe 9)

  17. Point du programme MAT.LO.2.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles (chez nous en classe 9)

  18. Point du programme MAT.LO.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Point du programme MAT.LO.3.P.1 · Contenus d'enseignement

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Reconnaître les équations impossibles et les identités (chez nous en classe 9)

  20. Point du programme MAT.LO.3.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Reconnaître les équations impossibles et les identités (chez nous en classe 9)

  21. Point du programme MAT.LO.3.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue (chez nous en classe 9)

  22. Point du programme MAT.LO.3.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Point du programme MAT.LO.3.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Point du programme MAT.LO.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Point du programme MAT.LO.4.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Systèmes d'équations linéaires et leur nombre de solutions (chez nous en classe 9)

  26. Point du programme MAT.LO.4.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Point du programme MAT.LO.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Point du programme MAT.LO.5.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Point du programme MAT.LO.5.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Point du programme MAT.LO.5.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Point du programme MAT.LO.5.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Point du programme MAT.LO.5.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Point du programme MAT.LO.5.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Expression d'une fonction affine à partir de points ou d'une droite parallèle (chez nous en classe 9)

  34. Point du programme MAT.LO.5.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Point du programme MAT.LO.5.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Point du programme MAT.LO.5.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Point du programme MAT.LO.5.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Point du programme MAT.LO.5.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Point du programme MAT.LO.5.P.12 · Contenus d'enseignement

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Point du programme MAT.LO.5.P.13 · Contenus d'enseignement

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Point du programme MAT.LO.5.P.14 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Point du programme MAT.LO.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Point du programme MAT.LO.6.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Point du programme MAT.LO.6.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Point du programme MAT.LO.6.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Point du programme MAT.LO.6.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Point du programme MAT.LO.6.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Point du programme MAT.LO.6.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Point du programme MAT.LO.6.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Point du programme MAT.LO.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Point du programme MAT.LO.7.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Point du programme MAT.LO.7.P.2 · Contenus d'enseignement

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Point du programme MAT.LO.7.P.3 · Contenus d'enseignement

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Point du programme MAT.LO.7.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Point du programme MAT.LO.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Point du programme MAT.LO.8.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Point du programme MAT.LO.8.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Point du programme MAT.LO.8.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Point du programme MAT.LO.8.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Point du programme MAT.LO.8.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Point du programme MAT.LO.8.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Point du programme MAT.LO.8.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Point du programme MAT.LO.8.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Point du programme MAT.LO.8.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Point du programme MAT.LO.8.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Point du programme MAT.LO.8.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Point du programme MAT.LO.8.P.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Point du programme MAT.LO.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Point du programme MAT.LO.9.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Point du programme MAT.LO.9.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Point du programme MAT.LO.9.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Point du programme MAT.LO.9.P.4 · Contenus d'enseignement

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Point du programme MAT.LO.9.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Point du programme MAT.LO.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Point du programme MAT.LO.10.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Point du programme MAT.LO.10.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Point du programme MAT.LO.10.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Point du programme MAT.LO.10.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Point du programme MAT.LO.10.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Point du programme MAT.LO.10.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Point du programme MAT.LO.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Point du programme MAT.LO.11.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Point du programme MAT.LO.11.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Point du programme MAT.LO.11.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Point du programme MAT.LO.11.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Point du programme MAT.LO.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Point du programme MAT.LO.12.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Point du programme MAT.LO.12.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Point du programme MAT.LO.13 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Point du programme MAT.LO.13.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Point du programme MAT.LO.WO.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Point du programme MAT.LO.WO.1.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Point du programme MAT.LO.WO.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Point du programme MAT.LO.WO.2.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Point du programme MAT.LO.WO.2.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Point du programme MAT.LO.WO.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Point du programme MAT.LO.WO.3.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Point du programme MAT.LO.WO.3.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Point du programme MAT.LO.WO.3.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Point du programme MAT.LO.WO.3.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Point du programme MAT.LO.WO.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Point du programme MAT.LO.WO.4.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Point du programme MAT.LO.WO.4.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Point du programme MAT.LO.WO.4.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Point du programme MAT.LO.WO.4.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Compétences étape par étape

Factorisation d'un polynôme

L'élève transforme un polynôme en un produit d'expressions plus simples en mettant un monôme en facteur, en regroupant les termes et en appliquant les formules de la somme et de la différence de cubes.

Point du programme MAT.LO.2.P.3 wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

En première année de lycée général et technologique, l'élève transforme des polynômes sous la forme d'un produit. Il maîtrise trois techniques de calcul spécifiques : la mise en facteur d'un monôme commun, la factorisation par groupement de termes et l'application des identités remarquables de la somme et de la différence de cubes.

Une erreur classique consiste à oublier un terme lors de la mise en facteur d'un monôme : lorsque le facteur commun est identique à l'un des termes, les élèves écrivent souvent par erreur un zéro ou l'omettent complètement, au lieu de laisser 1. La gestion des signes plus et moins pose également de grandes difficultés, en particulier lors de la mise en facteur d'un terme négatif dans la méthode par groupement, ainsi que lors de l'écriture correcte du carré incomplet dans les formules de somme et de différence de cubes.

En pratique, les exercices permettant de travailler cette compétence comprennent :

  • La mise en facteur d'un monôme — trouver un diviseur numérique commun ainsi que la puissance de la variable commune à tous les termes,
  • La factorisation par groupement — associer les termes du polynôme par paires de sorte qu'après factorisation, on obtienne la même expression entre parenthèses,
  • La somme et la différence de cubes — reconnaître la structure de la formule et décomposer le binôme en un produit de facteurs plus simples.
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Types d’exercices: Mise en facteur d'un monôme · Factorisation par regroupement · Somme et différence de cubes

Utilisation des identités remarquables

L'élève transforme avec aisance les expressions algébriques en appliquant les formules du carré d'une somme, du carré d'une différence et du produit d'une somme par une différence.

Point du programme MAT.LO.2.P.1 stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

En première année de lycée, l'élève maîtrise la transformation des expressions algébriques du second degré. Il apprend à remplacer le développement classique de parenthèses par des identités remarquables, ce qui permet de développer et de simplifier rapidement des expressions contenant des variables et des nombres réels.

L'erreur la plus fréquente consiste à oublier le double produit lors de l'élévation d'un binôme au carré : les élèves élèvent souvent machinalement chaque terme au carré séparément, en écrivant (a + b)² sous la forme a² + b². Un autre problème récurrent est l'oubli des signes moins, en particulier lorsqu'un signe de soustraction précède l'ensemble de l'expression ou lorsque le terme élevé à une puissance comporte un coefficient négatif.

Les exercices dans ce domaine reposent sur deux types de consignes :

  • Carré d'une somme et d'une différence – développer des expressions entre parenthèses élevées au carré sous la forme de trois termes,
  • Produit d'une somme et d'une différence – multiplier des paires de parenthèses ne différant que par le signe et les écrire sous la forme réduite d'une différence de carrés.
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Types d’exercices: Carré d'une somme ou d'une différence · Produit d'une somme par une différence

Calcul de la somme et de la différence de logarithmes

L'élève applique les formules de la somme et de la différence de logarithmes de même base pour simplifier des expressions et calculer efficacement leurs valeurs.

Point du programme MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

En première année, l'élève transforme des expressions contenant des logarithmes de même base. Il utilise la règle selon laquelle l'addition de logarithmes correspond au logarithme d'un produit, et leur soustraction au logarithme d'un quotient. Cela permet de déterminer la valeur exacte de l'ensemble de l'expression, même lorsque les différents termes ne peuvent pas être calculés séparément.

Une erreur fréquente consiste à confondre ces règles et à additionner les arguments des logarithmes au lieu de les multiplier (par exemple, considérer à tort que log a + log b vaut log(a + b) au lieu de log(a · b)). Lors de la soustraction, une autre difficulté consiste à inverser l'ordre de la division des nombres ou à tenter de combiner des logarithmes ayant des bases différentes.

Les exercices des modèles Somme de logarithmes et Différence de logarithmes demandent de regrouper deux termes en un seul logarithme. Par exemple, l'élève combine deux logarithmes de même base sous la forme d'un produit ou d'une fraction qui, après simplification, donne une puissance de la base et permet d'écrire le résultat final sous la forme d'un nombre entier ou d'une fraction.

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Types d’exercices: Différence de logarithmes · Somme de logarithmes

Calcul de logarithmes à partir de la définition

L'élève calcule les valeurs de logarithmes simples pour des nombres entiers et des fractions, en utilisant directement la définition et le passage à la puissance.

Point du programme MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Point du programme MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

En première année de lycée, l'élève découvre la notion de logarithme et apprend à déterminer sa valeur directement à partir de la définition. La résolution consiste à répondre à la question : à quelle puissance faut-il élever la base du logarithme pour obtenir l'argument ? À ce stade, les exercices portent sur le calcul des valeurs de logarithmes pour des nombres entiers, ainsi que pour des fractions et des nombres décimaux.

L'erreur la plus courante provient de la confusion entre l'élévation à la puissance et la multiplication ou la division – par exemple, un élève donne 4 au lieu de 3 pour le logarithme en base 2 de 8, en divisant 8 par 2. Dans le cas des logarithmes de fractions, la difficulté réside également dans la prise en compte des exposants négatifs, ce qui conduit souvent à l'oubli du signe moins dans le résultat final.

En pratique, les exercices évaluant cette compétence prennent la forme de consignes de calcul simples :

  • Logarithme par définition – calcul direct d'une valeur dont le résultat est un entier positif, par exemple le calcul du logarithme en base 3 de 27.
  • Logarithme d'une fraction – exemples nécessitant l'utilisation d'exposants négatifs ou le calcul avec des nombres décimaux, par exemple le calcul du logarithme en base 2 de 1/4 ou du logarithme décimal de 0,1.
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Types d’exercices: Logarithme d'une fraction · Logarithme par définition

Addition, soustraction et multiplication de polynômes

L'élève effectue l'addition, la soustraction et la multiplication de polynômes d'une variable, en réduisant les termes semblables et en ordonnant le résultat obtenu.

Point du programme MAT.LO.2.P.2 dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

En première année de lycée et de lycée technique, l'élève effectue des opérations de base sur les polynômes : additionne, soustrait et multiplie des expressions algébriques, puis réduit les termes semblables et écrit le résultat obtenu sous forme ordonnée (de la plus grande à la plus petite puissance de la variable).

L'erreur la plus fréquente lors de la soustraction consiste à oublier de changer les signes de tous les termes situés dans la parenthèse soustraite. De son côté, lors de la multiplication de polynômes, les élèves oublient certains termes lors de la multiplication terme à terme (« chacun par chacun ») ou commettent des erreurs dans les opérations sur les puissances, par exemple en multipliant les exposants au lieu de les additionner.

Les exercices des modèles Addition et soustraction de polynômes et Multiplication de polynômes consistent à effectuer les opérations indiquées sur les formules de polynômes données, à supprimer les parenthèses et à réduire l'expression entière sous la forme la plus simple possible.

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Types d’exercices: Addition et soustraction de polynômes · Multiplication de polynômes

Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles

L'élève effectue la soustraction et la multiplication de fractions algébriques en utilisant la factorisation et la réduction au même dénominateur.

Point du programme MAT.LO.2.P.4 mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

En première année de lycée, l'élève effectue des opérations sur les fractions algébriques (expressions rationnelles). À ce stade, il maîtrise avant tout la soustraction et la multiplication de telles expressions, en mobilisant ses connaissances préalables sur les identités remarquables et la factorisation des polynômes.

Une difficulté classique lors de la soustraction réside dans les erreurs de signes : l'élève oublie souvent que le signe moins situé devant une fraction s'applique à l'ensemble du numérateur, et non pas uniquement à son premier terme. Lors de la multiplication, une erreur fréquente est la simplification incorrecte : tenter de simplifier des termes d'une somme au lieu de facteurs entiers sous forme de produit.

En pratique, les exercices consistent à simplifier l'expression pour la mettre sous sa forme la plus simple et se présentent sous deux formes principales :

  • Soustraction d'expressions rationnelles — nécessite de déterminer un dénominateur commun, d'adapter les numérateurs et de réduire les termes semblables ;
  • Multiplication d'expressions rationnelles — consiste à factoriser les numérateurs et les dénominateurs, à simplifier les expressions communes et à écrire le produit final.
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Types d’exercices: Multiplication d'expressions rationnelles · Soustraction d'expressions rationnelles

Expression d'une fonction affine à partir de points ou d'une droite parallèle

L'élève détermine l'expression d'une fonction affine à partir des coordonnées de deux points ou d'un point et de la condition de parallélisme avec une autre droite.

Point du programme MAT.LO.5.P.6 wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

En première année de lycée, l'élève apprend à déterminer l'expression d'une fonction affine sous la forme y = ax + b. Il est capable de calculer les coefficients numériques à partir de données : il les détermine à l'aide d'un système d'équations établi pour deux points donnés ou utilise les propriétés des droites parallèles, sachant qu'elles ont le même coefficient directeur a.

Une difficulté fréquente à ce stade est la confusion des coordonnées d'un point lors de leur substitution dans la formule – remplacer y par la valeur du premier axe et x par celle du second. Les élèves commettent également des erreurs de calcul lors de la gestion des signes négatifs et confondent la condition de parallélisme avec celle de perpendicularité, en modifiant inutilement le signe du coefficient directeur.

En pratique, les entraînements reposent sur deux modèles d'exercices :

  • Expression d'une fonction affine à partir de deux points – l'élève reçoit les coordonnées de deux points, par exemple (2, 5) et (-1, -1), et détermine l'équation de la droite passant par ces deux points ;
  • Droite parallèle passant par un point – l'élève a une droite donnée (par exemple y = 3x - 2) ainsi qu'un point extérieur à celle-ci, et recherche l'équation de la nouvelle droite en conservant le même coefficient a et en calculant la nouvelle ordonnée à l'origine b.
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Types d’exercices: Droite parallèle passant par un point · Fonction affine passant par deux points

Systèmes d'équations linéaires et leur nombre de solutions

L'élève résout des systèmes de deux équations linéaires par la méthode des coefficients opposés et détermine si le système admet une solution unique, une infinité de solutions ou s'il est impossible.

Point du programme MAT.LO.4.P.1 rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

En première année de lycée et de lycée technique, l'élève résout des systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues à l'aide de la méthode des coefficients opposés. Il est capable de transformer les équations de manière à éliminer l'une des variables en les additionnant membre à membre, puis de calculer la seconde. Il apprend également à déterminer le nombre de solutions d'un système : il sait reconnaître un système admettant exactement un couple solution, un système indéterminé ayant une infinité de solutions et un système incompatible qui n'admet aucune solution.

Une erreur fréquente à ce stade est l'oubli des signes moins lors de la multiplication d'une équation entière par un nombre entier (en particulier négatif) afin d'obtenir des coefficients opposés. Les élèves ont également des difficultés à interpréter correctement les résultats atypiques : ils confondent une égalité toujours vraie, lorsqu'après réduction des variables on obtient 0 = 0 (infinité de solutions), avec une contradiction, lorsque le résultat est faux, par exemple 0 = 5 (aucune solution).

En pratique, l'élève s'exerce sur des tâches consistant à :

  • résoudre entièrement un système dans le modèle Système d'équations — méthode des coefficients opposés et indiquer le couple de nombres vérifiant les équations,
  • analyser les équations dans le modèle Nombre de solutions d'un système, où l'objectif est de déterminer si le système donné admet une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
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Types d’exercices: Nombre de solutions d'un système · Système d'équations — combinaison

Opérations sur les puissances et recherche de l'exposant

L'élève applique les règles des opérations sur les puissances de même base afin de déterminer correctement l'exposant manquant dans des égalités.

Point du programme MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

L'élève applique avec aisance les règles de calcul sur les puissances de même base : multiplication, division et puissance d'une puissance. Il utilise ces règles pour transformer des expressions et déterminer des nombres inconnus figurant dans les exposants.

Une erreur fréquente consiste à confondre l'addition des exposants avec leur multiplication lors du produit de puissances de même base (par exemple, écrire le résultat de la multiplication de puissances comme le produit de leurs exposants). Les élèves ont également parfois des difficultés à soustraire correctement les exposants lors d'une division, en particulier lorsque des nombres négatifs apparaissent, et ils confondent aussi les opérations sur les exposants avec les opérations sur les bases elles-mêmes.

Les exercices du modèle Exposant manquant — opérations sur les puissances consistent à compléter un blanc dans l'écriture d'une égalité. L'élève voit une expression composée de puissances de même base et doit calculer quel nombre doit se trouver à la place de l'exposant manquant pour que le membre de gauche soit égal au membre de droite.

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Changement de base du logarithme

L'élève transforme des logarithmes de bases différentes en un quotient de logarithmes ayant une nouvelle base appropriée, ce qui permet de simplifier l'expression et de calculer sa valeur exacte.

En première année de lycée général et technologique, l'élève découvre la règle permettant de changer la base d'un logarithme pour une autre, plus pratique pour les calculs. Il écrit un logarithme donné sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur ont tous deux la nouvelle base choisie, ce qui permet de ramener des expressions ayant des bases différentes à une base commune et d'en calculer la valeur.

Une erreur fréquente lors de l'application de cette formule consiste à inverser le numérateur et le dénominateur. Les élèves placent souvent de manière machinale l'ancienne base du logarithme au numérateur de la nouvelle fraction et le nombre dont on prend le logarithme au dénominateur, au lieu de placer ce nombre en haut et l'ancienne base en bas.

Dans les exercices du modèle Changement de base du logarithme, l'élève est amené à calculer la valeur numérique de fractions contenant des logarithmes de bases inhabituelles ou à simplifier des produits de ces logarithmes en un nombre entier ou une fraction.

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Calcul des racines de degré impair

L'élève calcule les valeurs de racines de degré impair, y compris de nombres négatifs, en déterminant correctement le signe du résultat.

Point du programme MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Point du programme MAT.LO.1.P.3 stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

En première année de lycée général et technologique, l'élève apprend à déterminer la valeur de racines d'indice impair (par exemple de degré trois ou cinq). Il apprend à remarquer une propriété essentielle de ces opérations : sous une racine d'indice impair, il peut y avoir un nombre négatif, et le résultat d'une telle extraction de racine est toujours un nombre de même signe.

L'erreur la plus fréquente consiste à transposer la règle concernant les racines carrées, avec lesquelles les élèves ont travaillé au collège. Se souvenant qu'il est impossible d'extraire la racine d'indice pair d'un nombre négatif, ils considèrent à tort que la racine d'indice impair d'un nombre négatif est une opération impossible, ou suppriment sans justification le signe moins pour donner un résultat positif.

Les exercices consistent à calculer directement des valeurs numériques dans le modèle Racine d'indice impair. Un exemple typique consiste à déterminer la valeur de la racine troisième du nombre -27, -125 ou de la racine cinquième du nombre 32.

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Calcul des puissances à exposant rationnel

L'élève apprend à convertir les puissances à exposant fractionnaire en racines, à calculer leurs valeurs et à appliquer les règles de calcul sur les puissances pour simplifier des expressions.

Point du programme MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

En classe de seconde au lycée, l'élève découvre l'écriture des puissances dont l'exposant est une fraction. Il apprend à convertir avec aisance cette notation sous forme de radical — où le dénominateur de la fraction indique l'indice de la racine et le numérateur l'exposant de la puissance sous la racine — ainsi qu'à effectuer l'opération inverse, y compris dans le cas d'exposants fractionnaires négatifs.

Une difficulté classique réside dans la confusion entre les rôles du numérateur et du dénominateur : les élèves prennent fréquemment le numérateur de la fraction pour l'indice de la racine et le dénominateur pour l'exposant du nombre sous le radical. Une autre erreur courante consiste à oublier le signe moins dans l'exposant, ce qui amène à omettre l'inversion du nombre avant d'extraire la racine.

Les exercices basés sur le modèle Puissance à exposant rationnel consistent principalement à calculer la valeur de puissances numériques précises (par exemple 8 à la puissance 2/3 ou 16 à la puissance -1/2) et à simplifier des expressions contenant des racines en les écrivant sous la forme d'une seule puissance à exposant fractionnaire.

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Calcul du capital sur un dépôt bancaire

L'élève calcule le capital final d'un placement en utilisant le mécanisme des intérêts composés pour un taux d'intérêt et une durée d'épargne donnés.

Point du programme MAT.LO.1.P.8 wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

En première année de lycée, l'élève apprend à déterminer la valeur finale d'une épargne en appliquant les intérêts composés. À ce stade, il utilise les opérations sur les puissances pour calculer l'évolution du montant déposé lorsque les intérêts sont ajoutés au capital et génèrent eux-mêmes des gains lors des périodes suivantes.

L'erreur la plus fréquente consiste à confondre les intérêts composés et les intérêts simples. Les élèves calculent souvent les intérêts une seule fois à partir du capital initial et les multiplient par le nombre d'années, oubliant qu'à chaque cycle suivant, la base de calcul des gains augmente.

Les exercices du modèle Intérêts composés — placement présentent des situations bancaires concrètes : l'élève reçoit un montant initial, un taux d'intérêt annuel et une durée d'épargne, puis calcule le solde final du compte en tenant compte de la capitalisation régulière.

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Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue

L'élève apprend à résoudre des inéquations linéaires à une inconnue et à déterminer et noter correctement l'ensemble des nombres qui les vérifient.

Point du programme MAT.LO.3.P.3 rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

En première année de lycée d'enseignement général et technique, l'élève résout des inéquations linéaires à une inconnue. Il les ramène à une forme plus simple grâce à la réduction des termes semblables ainsi qu'à l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des deux membres par des nombres réels, afin de déterminer l'intervalle recherché.

Un problème fréquent est l'oubli d'inverser le sens du symbole d'inégalité lors de la multiplication ou de la division des deux membres par un nombre négatif. Les élèves effectuent souvent des calculs corrects, mais conservent le symbole d'inégalité d'origine, ce qui conduit à une détermination erronée de l'ensemble des solutions.

Les exercices du modèle Inéquation linéaire consistent à transformer l'inéquation algébrique donnée, à déterminer l'inconnue et à écrire correctement le résultat final sous la forme d'une inégalité ou d'un intervalle.

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Reconnaître les équations impossibles et les identités

L'élève transforme des équations linéaires et reconnaît lorsqu'elles n'ont pas de solution et lorsqu'elles sont vérifiées par tout nombre réel.

Point du programme MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)
Point du programme MAT.LO.3.P.2 interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

En première année de lycée général et technologique, l'élève résout des équations linéaires à une inconnue dans lesquelles, après réduction des deux membres, la variable s'élimine. Il apprend à interpréter correctement le résultat obtenu : il constate que l'équation est une identité (vérifiée par tout nombre réel), lorsqu'il parvient à une égalité du type 0 = 0, ou qu'elle est impossible (aucune solution), lorsqu'il obtient une contradiction, par exemple 0 = 5.

Un problème fréquent survient lorsque, après élimination de l'inconnue, l'élève pense avoir commis une erreur de calcul. Au lieu d'interpréter le résultat, les élèves réintroduisent souvent l'inconnue de force ou concluent à tort que l'écriture 0 = 0 signifie simplement une unique solution x = 0, confondant ainsi une identité avec une valeur numérique précise.

Les exercices du modèle Équation impossible ou identité nécessitent d'effectuer des transformations algébriques de base – telles que la réduction des termes semblables ou la suppression des parenthèses – puis d'indiquer si l'équation donnée admet une infinité de solutions ou n'en admet aucune.

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Modèles d'exercices à imprimer

Tous les types d’exercices, regroupés par compétence. Un clic ouvre le générateur avec le type déjà choisi.

Factorisation d'un polynôme

Utilisation des identités remarquables

Calcul de la somme et de la différence de logarithmes

Calcul de logarithmes à partir de la définition

Addition, soustraction et multiplication de polynômes

Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles

Expression d'une fonction affine à partir de points ou d'une droite parallèle

Systèmes d'équations linéaires et leur nombre de solutions

Opérations sur les puissances et recherche de l'exposant

Changement de base du logarithme

Calcul des racines de degré impair

Calcul des puissances à exposant rationnel

Calcul du capital sur un dépôt bancaire

Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue

Reconnaître les équations impossibles et les identités

Autres types d’exercices

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