Español
Programa escolar (Polonia)

Matemáticas — 9.º curso

Matemáticas para 1.º de bachillerato y formación profesional: potencias de exponente racional, raíces, logaritmos, productos notables, polinomios y expresiones racionales, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales, función lineal. Ejercicios listos para imprimir para cada tema.

Crear una hoja de este programa

¿Qué aprende un alumno en matemáticas en 1.º de bachillerato?

En 1.er curso, el estudiante consolida el cálculo con números reales: potencias de exponente racional, raíces de cualquier grado y logaritmos junto con sus propiedades. Transforma expresiones algebraicas mediante identidades notables, factoriza polinomios y simplifica expresiones racionales. Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y determina la función lineal a partir de dos puntos. También calcula el interés compuesto.

Nota importante sobre el plan de estudios: el currículo para bachillerato y formación técnica está formulado por bloques: describe lo que el alumno sabe al finalizar la educación secundaria, por separado para el nivel básico y el avanzado. La asignación de cada tema a un curso específico corresponde a nuestro criterio según la distribución habitual de la materia; en la sección «Contenidos curriculares» puedes consultar los puntos del currículo con citas textuales.

Estado de la página: los ejercicios de este curso están disponibles en formato directo (solo el enunciado y la fórmula); los ejercicios con ilustraciones, las demostraciones y los problemas contextualizados se añadirán en las siguientes etapas.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo MAT.LO.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Cálculo de raíces de grado impar (en nuestro curso 9) · Cálculo de logaritmos a partir de la definición (en nuestro curso 9)

  3. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punto del currículo MAT.LO.1.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Cálculo de raíces de grado impar (en nuestro curso 9)

  5. Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Cálculo de potencias con exponente racional (en nuestro curso 9) · Operaciones con potencias y búsqueda del exponente (en nuestro curso 9)

  6. Punto del currículo MAT.LO.1.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punto del currículo MAT.LO.1.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punto del currículo MAT.LO.1.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punto del currículo MAT.LO.1.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Cálculo del capital en un depósito bancario (en nuestro curso 9)

  10. Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Cálculo de logaritmos a partir de la definición (en nuestro curso 9) · Cálculo de la suma y la diferencia de logaritmos (en nuestro curso 9)

  11. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punto del currículo MAT.LO.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punto del currículo MAT.LO.2.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Aplicación de los productos notables (en nuestro curso 9)

  15. Punto del currículo MAT.LO.2.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Suma, resta y multiplicación de polinomios (en nuestro curso 9)

  16. Punto del currículo MAT.LO.2.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Factorización de un polinomio (en nuestro curso 9)

  17. Punto del currículo MAT.LO.2.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Multiplicación y resta de expresiones racionales (en nuestro curso 9)

  18. Punto del currículo MAT.LO.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punto del currículo MAT.LO.3.P.1 · Contenidos de enseñanza

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Reconocimiento de ecuaciones contradictorias e identidades (en nuestro curso 9)

  20. Punto del currículo MAT.LO.3.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Reconocimiento de ecuaciones contradictorias e identidades (en nuestro curso 9)

  21. Punto del currículo MAT.LO.3.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita (en nuestro curso 9)

  22. Punto del currículo MAT.LO.3.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punto del currículo MAT.LO.3.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punto del currículo MAT.LO.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punto del currículo MAT.LO.4.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Sistemas de ecuaciones lineales y su número de soluciones (en nuestro curso 9)

  26. Punto del currículo MAT.LO.4.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punto del currículo MAT.LO.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punto del currículo MAT.LO.5.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punto del currículo MAT.LO.5.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punto del currículo MAT.LO.5.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punto del currículo MAT.LO.5.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punto del currículo MAT.LO.5.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punto del currículo MAT.LO.5.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Fórmula de la función lineal a partir de puntos o de una recta paralela (en nuestro curso 9)

  34. Punto del currículo MAT.LO.5.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punto del currículo MAT.LO.5.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punto del currículo MAT.LO.5.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punto del currículo MAT.LO.5.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punto del currículo MAT.LO.5.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punto del currículo MAT.LO.5.P.12 · Contenidos de enseñanza

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punto del currículo MAT.LO.5.P.13 · Contenidos de enseñanza

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punto del currículo MAT.LO.5.P.14 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punto del currículo MAT.LO.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punto del currículo MAT.LO.6.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punto del currículo MAT.LO.6.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punto del currículo MAT.LO.6.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punto del currículo MAT.LO.6.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punto del currículo MAT.LO.6.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punto del currículo MAT.LO.6.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punto del currículo MAT.LO.6.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punto del currículo MAT.LO.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punto del currículo MAT.LO.7.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punto del currículo MAT.LO.7.P.2 · Contenidos de enseñanza

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punto del currículo MAT.LO.7.P.3 · Contenidos de enseñanza

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punto del currículo MAT.LO.7.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punto del currículo MAT.LO.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punto del currículo MAT.LO.8.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punto del currículo MAT.LO.8.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punto del currículo MAT.LO.8.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punto del currículo MAT.LO.8.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punto del currículo MAT.LO.8.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punto del currículo MAT.LO.8.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punto del currículo MAT.LO.8.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punto del currículo MAT.LO.8.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punto del currículo MAT.LO.8.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punto del currículo MAT.LO.8.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punto del currículo MAT.LO.8.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punto del currículo MAT.LO.8.P.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punto del currículo MAT.LO.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punto del currículo MAT.LO.9.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punto del currículo MAT.LO.9.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punto del currículo MAT.LO.9.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punto del currículo MAT.LO.9.P.4 · Contenidos de enseñanza

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punto del currículo MAT.LO.9.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punto del currículo MAT.LO.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punto del currículo MAT.LO.10.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punto del currículo MAT.LO.10.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punto del currículo MAT.LO.10.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punto del currículo MAT.LO.10.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punto del currículo MAT.LO.10.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punto del currículo MAT.LO.10.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punto del currículo MAT.LO.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punto del currículo MAT.LO.11.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punto del currículo MAT.LO.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punto del currículo MAT.LO.12.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punto del currículo MAT.LO.12.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punto del currículo MAT.LO.13 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punto del currículo MAT.LO.13.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punto del currículo MAT.LO.WO.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punto del currículo MAT.LO.WO.1.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punto del currículo MAT.LO.WO.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punto del currículo MAT.LO.WO.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punto del currículo MAT.LO.WO.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competencias paso a paso

Factorización de un polinomio

El alumno transforma un polinomio en un producto de expresiones más simples, extrayendo un monomio como factor común, agrupando términos y aplicando las fórmulas para la suma y diferencia de cubos.

Punto del currículo MAT.LO.2.P.3 wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

En el primer curso de bachillerato y formación técnica, el estudiante transforma polinomios a la forma de producto. Domina tres técnicas de cálculo específicas: sacar factor común monomio, la factorización por agrupación de términos y el uso de las fórmulas de suma y diferencia de cubos.

Un error común es perder un término al sacar factor común: cuando el factor que se extrae es idéntico a uno de los sumandos, los estudiantes a menudo escriben por error cero o lo omiten por completo, en lugar de dejar 1. También supone una gran dificultad el control de los signos más y menos, especialmente al extraer un factor negativo en el método de agrupación y al escribir correctamente el cuadrado incompleto en las fórmulas de suma y diferencia de cubos.

En la práctica, las actividades para ejercitar esta habilidad incluyen:

  • Sacar factor común monomio — encontrar el divisor numérico común y la potencia de la variable común a todos los términos,
  • Factorización por agrupación — agrupar los términos del polinomio por parejas de modo que, tras sacar factor común, quede la misma expresión dentro de los paréntesis,
  • Suma y diferencia de cubos — reconocer la estructura de la fórmula y descomponer el binomio en un producto de factores más simples.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Sacar factor común un monomio · Factorización por agrupación · Suma y diferencia de cubos

Aplicación de los productos notables

El alumno transforma con soltura expresiones algebraicas, aplicando las fórmulas del cuadrado de la suma, del cuadrado de la diferencia y del producto de una suma por su diferencia.

Punto del currículo MAT.LO.2.P.1 stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

En el primer curso de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende a transformar expresiones algebraicas de segundo grado. Aprende a sustituir la multiplicación de paréntesis por identidades algebraicas ya conocidas, lo que permite desarrollar y simplificar rápidamente expresiones que contienen variables y números reales.

El error más común es omitir el doble producto al elevar un binomio al cuadrado: los alumnos elevan esquemáticamente cada término por separado, escribiendo (a + b)² como a² + b². Otro problema frecuente es perder los signos menos, especialmente cuando hay un signo de resta delante de toda la expresión o cuando el término que se eleva tiene un coeficiente negativo.

Los ejercicios de este tema se basan en dos tipos de enunciados:

  • Cuadrado de una suma y de una diferencia – desarrollo de expresiones entre paréntesis elevadas al cuadrado a una forma de tres términos,
  • Producto de una suma por una diferencia – multiplicación de pares de paréntesis que solo se diferencian por el signo y su escritura en la forma abreviada de diferencia de cuadrados.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Cuadrado de una suma o diferencia · Suma por diferencia

Cálculo de la suma y la diferencia de logaritmos

El estudiante aplica las fórmulas de la suma y la resta de logaritmos de igual base para simplificar expresiones y calcular sus valores de manera eficiente.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

En primer curso, el alumno transforma expresiones que contienen logaritmos con la misma base. Utiliza la regla que establece que la suma de logaritmos corresponde al logaritmo del producto, y su resta, al logaritmo del cociente. Esto permite determinar el valor exacto de toda la expresión incluso cuando los términos individuales no se pueden calcular por separado.

Un error común es confundir estas reglas y sumar los propios argumentos de los logaritmos en lugar de multiplicarlos (por ejemplo, considerar erróneamente que log a + log b es log(a + b) en vez de log(a · b)). En la resta, otro problema suele ser confundir el orden de la división de los números o intentar combinar logaritmos que tienen bases diferentes.

Los ejercicios de las plantillas Suma de logaritmos y Diferencia de logaritmos requieren reducir dos términos a un solo logaritmo. Por ejemplo, el alumno combina dos logaritmos con la misma base en un producto o una fracción que, tras simplificarse, da como resultado una potencia de la base y permite escribir el resultado final en forma de un único número entero o fracción.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Diferencia de logaritmos · Suma de logaritmos

Cálculo de logaritmos a partir de la definición

El estudiante calcula los valores de logaritmos sencillos para números enteros y fracciones, utilizando directamente la definición y la conversión a potenciación.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

En 1.º de bachillerato y formación técnica, el estudiante conoce el concepto de logaritmo y aprende a determinar su valor directamente a partir de la definición. La resolución consiste en responder a la pregunta: ¿a qué potencia hay que elevar la base del logaritmo para obtener el número del argumento? En esta etapa, los ejercicios abarcan el cálculo del valor de logaritmos para números enteros, así como para fracciones comunes y decimales.

El error más común se debe a la confusión entre la potenciación y la multiplicación o división; por ejemplo, el alumno, en lugar de dar el valor 3 para el logaritmo en base 2 de 8, indica 4, al dividir 8 entre 2. En el caso de los logaritmos de fracciones, otro problema frecuente es no tener en cuenta el exponente negativo, lo que hace que el estudiante pierda el signo menos en el resultado final.

En la práctica, los ejercicios que evalúan esta habilidad adoptan la forma de instrucciones de cálculo sencillas:

  • Logaritmo a partir de la definición – cálculo directo del valor cuando el resultado es un número entero positivo, p. ej., calcular el valor del logaritmo en base 3 del número 27.
  • Logaritmo de una fracción – ejemplos que requieren aplicar potencias con exponente negativo o trabajar con números decimales, p. ej., calcular el logaritmo en base 2 del número 1/4 o el logaritmo decimal de 0,1.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Logaritmo de una fracción · Logaritmo por definición

Suma, resta y multiplicación de polinomios

El alumno realiza la suma, resta y multiplicación de polinomios de una variable, reduciendo términos semejantes y ordenando el resultado obtenido.

Punto del currículo MAT.LO.2.P.2 dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno realiza operaciones básicas con polinomios: suma, resta y multiplica expresiones algebraicas, y luego reduce los términos semejantes y escribe el resultado obtenido de forma ordenada (de mayor a menor potencia de la variable).

El error más común al restar es olvidar cambiar el signo de todos los términos que se encuentran dentro del paréntesis que se resta. Por su parte, al multiplicar polinomios, los alumnos suelen omitir términos durante la multiplicación «término a término» o cometen errores en las operaciones con potencias, por ejemplo, multiplicando los exponentes en lugar de sumarlos.

Los ejercicios de las plantillas Suma y resta de polinomios y Multiplicación de polinomios consisten en realizar las operaciones indicadas con las fórmulas de polinomios dadas, eliminar los paréntesis y simplificar toda la expresión a su forma más reducida posible.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Multiplicación de polinomios · Suma y resta de polinomios

Multiplicación y resta de expresiones racionales

El estudiante realiza la resta y la multiplicación de fracciones algebraicas, aplicando la factorización y la reducción a común denominador.

Punto del currículo MAT.LO.2.P.4 mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

En el primer curso de bachillerato y formación técnica, el alumno realiza operaciones con fracciones algebraicas (expresiones racionales). En esta etapa domina, sobre todo, la resta y la multiplicación de dichas expresiones, utilizando los conocimientos previos sobre productos notables y la factorización de polinomios.

Un problema habitual al restar es la pérdida de signos: el estudiante a menudo olvida que el signo menos delante de una fracción afecta a todo el numerador y no solo a su primer término. Al multiplicar, un error frecuente es la simplificación incorrecta: intentar simplificar sumandos individuales en lugar de factores completos en forma de producto.

En la práctica, los ejercicios consisten en reducir la expresión a su forma más simple y se presentan en dos variantes principales:

  • Resta de expresiones racionales — requiere calcular el común denominador, amplificar adecuadamente los numeradores y reducir términos semejantes;
  • Multiplicación de expresiones racionales — consiste en factorizar los numeradores y denominadores, simplificar las expresiones que se repiten y escribir el producto final.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Multiplicación de expresiones racionales · Resta de expresiones racionales

Fórmula de la función lineal a partir de puntos o de una recta paralela

El alumno determina la fórmula de una función lineal a partir de las coordenadas de dos puntos o de un punto y la condición de paralelismo con otra recta.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.6 wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

En el primer curso de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende a determinar la ecuación de la función lineal de la forma y = ax + b. Es capaz de calcular los coeficientes a partir de datos numéricos: los determina mediante un sistema de ecuaciones planteado para dos puntos dados o utiliza las propiedades de las rectas paralelas, sabiendo que tienen la misma pendiente a.

Un problema común en esta etapa es confundir las coordenadas del punto al sustituirlas en la fórmula: colocar el valor del primer eje en el lugar de y y el del segundo en el lugar de x. Los alumnos también cometen errores de cálculo al operar con los signos menos y confunden la condición de paralelismo con la de perpendicularidad, cambiando innecesariamente el signo de la pendiente.

En la práctica, los ejercicios se basan en dos modelos de tareas:

  • Ecuación de la función lineal a partir de dos puntos – el alumno recibe las coordenadas de dos puntos, por ejemplo (2, 5) y (-1, -1), y obtiene la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos;
  • Recta paralela que pasa por un punto – el alumno dispone de una recta dada (por ejemplo, y = 3x - 2) y un punto exterior a ella, y busca la ecuación de la nueva recta conservando la misma pendiente a y calculando el nuevo término independiente b.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Función lineal por dos puntos · Recta paralela por un punto

Sistemas de ecuaciones lineales y su número de soluciones

El estudiante resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales por el método de reducción y determina si el sistema tiene una solución, infinitas soluciones o es incompatible.

Punto del currículo MAT.LO.4.P.1 rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante el método de reducción. Es capaz de transformar las ecuaciones de modo que, al sumarlas miembro a miembro, se elimine una de las variables y pueda calcularse la otra. También aprende a determinar el número de soluciones del sistema: puede reconocer un sistema con exactamente un par de números, un sistema indeterminado con infinitas soluciones y un sistema incompatible que no tiene ninguna solución.

Un error común en esta etapa es olvidar los signos menos al multiplicar toda la ecuación por un número entero (especialmente negativo) con el fin de obtener coeficientes opuestos. Los alumnos también tienen dificultades para interpretar correctamente los resultados atípicos: confunden una identidad, cuando tras reducir las variables se obtiene la igualdad 0 = 0 (infinitas soluciones), con una contradicción, cuando el resultado es falso, por ejemplo 0 = 5 (sin solución).

En la práctica, el alumno ejercita estas habilidades mediante tareas que consisten en:

  • resolver completamente el sistema en la plantilla Sistema de ecuaciones — método de reducción y proporcionar el par de números que satisface las ecuaciones,
  • analizar las ecuaciones en la plantilla Número de soluciones del sistema, donde el objetivo es determinar si un sistema dado tiene una solución, no tiene ninguna o tiene infinitas soluciones.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Número de soluciones de un sistema · Sistema de ecuaciones — reducción

Operaciones con potencias y búsqueda del exponente

El estudiante aplica las propiedades de las operaciones con potencias de la misma base para determinar correctamente el exponente que falta en las igualdades.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

El alumnado de 1.º de bachillerato y formación profesional aplica con soltura las propiedades de las operaciones con potencias de la misma base: multiplicación, división y potencia de una potencia. Utiliza estas reglas para transformar expresiones y determinar los valores desconocidos que aparecen en los exponentes.

Un error común es confundir la suma de exponentes con su multiplicación al calcular el producto de potencias de la misma base (por ejemplo, escribir el resultado de la multiplicación de potencias como el producto de sus exponentes). Los estudiantes también suelen tener dificultades para restar correctamente los exponentes durante la división, especialmente cuando intervienen números negativos, y a menudo confunden las operaciones entre exponentes con operaciones aplicadas a las propias bases.

Las actividades de la plantilla Exponente faltante: operaciones con potencias consisten en rellenar el espacio en blanco de una igualdad. El alumno observa una expresión formada por potencias de la misma base y debe calcular qué número debe colocarse en el lugar del exponente faltante para que el miembro izquierdo sea igual al derecho.

Crear una hoja de esta habilidad

Cambio de base del logaritmo

El alumno transforma logaritmos de distintas bases en un cociente de logaritmos con una nueva base conveniente, lo que permite simplificar la expresión y calcular su valor exacto.

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende la regla que permite cambiar la base de un logaritmo determinado a otra más conveniente para los cálculos. Expresa un logaritmo individual en forma de fracción, en la que tanto el numerador como el denominador tienen la nueva base elegida, lo que permite reducir expresiones con distintas bases a una base común y hallar su valor.

Un error común al aplicar esta fórmula es invertir el numerador y el denominador. Los estudiantes a menudo escriben de manera mecánica la base anterior del logaritmo en el numerador de la nueva fracción y el argumento en el denominador, en lugar de colocar el argumento arriba y la base antigua abajo.

En los ejercicios del modelo Cambio de base de un logaritmo, el alumno se enfrenta al cálculo del valor numérico de fracciones que contienen logaritmos con bases poco comunes o a la simplificación de productos de tales logaritmos hasta obtener un único número entero o una fracción.

Crear una hoja de esta habilidad

Cálculo de raíces de grado impar

El estudiante calcula los valores de raíces de grado impar, incluidas las de números negativos, determinando correctamente el signo del resultado.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Punto del currículo MAT.LO.1.P.3 stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende a determinar el valor de raíces de índice impar (por ejemplo, de tercer o quinto grado). Aprende a reconocer la propiedad clave de estas operaciones: dentro de una raíz de índice impar puede haber un número negativo, y el resultado de dicha radicación es siempre un número con el mismo signo.

El error más común consiste en extrapolar la regla de las raíces cuadradas, con las que los alumnos trabajaban en la escuela primaria. Al recordar que no se pueden extraer raíces de índice par de números negativos, consideran erróneamente que una raíz de índice impar de un número negativo es una operación imposible o eliminan el signo menos sin justificación, dando un resultado positivo.

Las tareas consisten en calcular directamente valores numéricos en la plantilla Raíz de índice impar. Un ejemplo típico es indicar el valor de la raíz cúbica de -27 o -125, o de la raíz quinta de 32.

Crear una hoja de esta habilidad

Cálculo de potencias con exponente racional

El alumno aprende a convertir potencias de exponente fraccionario en raíces, calcular sus valores y aplicar las reglas de las operaciones con potencias para simplificar expresiones.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende la notación de potencias con exponente fraccionario. Aprende a convertir con soltura dicha notación a forma radical —donde el denominador de la fracción determina el índice de la raíz y el numerador el exponente del radicando— y a realizar estas operaciones en sentido inverso, también en el caso de exponentes fraccionarios negativos.

Una dificultad típica es confundir las funciones del numerador y del denominador: los alumnos a menudo tratan el numerador de la fracción como el índice de la raíz y el denominador como la potencia del radicando. Otro error frecuente es no tener en cuenta el signo menos en el exponente, lo que lleva a omitir el cálculo del inverso del número antes de extraer la raíz.

Los ejercicios basados en la plantilla Potencia con exponente racional incluyen principalmente el cálculo del valor de potencias numéricas concretas (p. ej., 8 elevado a 2/3 o 16 elevado a -1/2) y la simplificación de expresiones con radicales escribiéndolas en forma de una única potencia con exponente fraccionario.

Crear una hoja de esta habilidad

Cálculo del capital en un depósito bancario

El alumno calcula el capital final de un depósito utilizando el mecanismo del interés compuesto para una tasa de interés y un período de ahorro determinados.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.8 wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

El estudiante de 1.º de bachillerato y formación profesional aprende a determinar el valor final de los ahorros mediante la aplicación del interés compuesto. En esta etapa, utiliza operaciones con potencias para calcular cómo cambia el importe depositado cuando los intereses se añaden al capital y generan ganancias a su vez en los períodos siguientes.

El error más común es confundir el interés compuesto con el interés simple. Los estudiantes a menudo calculan los intereses una sola vez sobre el depósito inicial y los multiplican por el número de años, olvidando que en cada ciclo sucesivo la base sobre la que se calculan las ganancias aumenta.

Los ejercicios de la plantilla Interés compuesto — depósito presentan situaciones bancarias concretas: el estudiante recibe la cantidad inicial, el tipo de interés anual y la duración del ahorro, y a continuación calcula el saldo final de la cuenta teniendo en cuenta la capitalización periódica.

Crear una hoja de esta habilidad

Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita

El estudiante aprende a resolver inecuaciones lineales con una incógnita y a determinar y escribir correctamente el conjunto de números que las satisfacen.

Punto del currículo MAT.LO.3.P.3 rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

En 1.º de bachillerato y formación técnica, el alumno resuelve inecuaciones lineales con una incógnita. Las reduce a una forma más simple mediante la reducción de términos semejantes, así como sumando, restando, multiplicando y dividiendo ambos miembros por números reales para determinar el intervalo numérico buscado.

Un error común es no cambiar el sentido del signo de la desigualdad al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo. Los alumnos a menudo realizan los cálculos correctamente, pero mantienen el signo de la desigualdad original, lo que lleva a una determinación errónea del conjunto de soluciones.

Los ejercicios de la plantilla Inecuación lineal consisten en transformar la inecuación algebraica dada, despejar la incógnita y escribir correctamente el resultado final en forma de desigualdad o intervalo.

Crear una hoja de esta habilidad

Reconocimiento de ecuaciones contradictorias e identidades

El estudiante transforma ecuaciones lineales y reconoce cuándo no tienen solución y cuándo cualquier número real las satisface.

Punto del currículo MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)
Punto del currículo MAT.LO.3.P.2 interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

En el primer curso de educación secundaria, el alumno resuelve ecuaciones lineales con una incógnita en las que, tras simplificar ambos miembros, la incógnita se cancela. Aprende a interpretar correctamente el resultado obtenido: determina que la ecuación es una identidad (la cumple cualquier número real) cuando llega a una igualdad del tipo 0 = 0, o que es incompatible (no tiene solución) cuando obtiene una contradicción, por ejemplo 0 = 5.

Un problema frecuente es que, tras cancelarse la incógnita, el estudiante piense que ha cometido un error de cálculo. En lugar de interpretar el resultado, a menudo añade la incógnita de forma forzada o deduce erróneamente que la expresión 0 = 0 significa simplemente una única solución x = 0, confundiendo una identidad con un valor numérico concreto.

Los ejercicios del modelo Ecuación incompatible o identidad requieren realizar transformaciones algebraicas básicas —como la reducción de términos semejantes o la eliminación de paréntesis— y luego indicar si la ecuación dada tiene infinitas soluciones o no tiene ninguna.

Crear una hoja de esta habilidad

Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Factorización de un polinomio

Aplicación de los productos notables

Cálculo de la suma y la diferencia de logaritmos

Cálculo de logaritmos a partir de la definición

Suma, resta y multiplicación de polinomios

Multiplicación y resta de expresiones racionales

Fórmula de la función lineal a partir de puntos o de una recta paralela

Sistemas de ecuaciones lineales y su número de soluciones

Operaciones con potencias y búsqueda del exponente

Cambio de base del logaritmo

Cálculo de raíces de grado impar

Cálculo de potencias con exponente racional

Cálculo del capital en un depósito bancario

Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita

Reconocimiento de ecuaciones contradictorias e identidades

Otros tipos de ejercicios

Crear una hoja de este programa