English
Curriculum (Poland)

Mathematics — Grade 9

Mathematics in grade 1 of high school and technical school: powers with rational exponents, roots, logarithms, algebraic identities, polynomials and rational expressions, linear equations, inequalities and systems of linear equations, linear functions. Ready-to-print exercises for each topic.

Create a worksheet for this curriculum

What does a student learn in mathematics in the 1st grade of high school?

In Grade 1, the student consolidates calculations on real numbers: powers with rational exponents, roots of any degree, and logarithms along with their properties. They transform algebraic expressions using algebraic identities, factor polynomials, and simplify rational expressions. They solve linear equations and inequalities, systems of equations, and determine a linear function from two points. They also calculate compound interest.

Important note on the core curriculum: the curriculum for high schools and technical secondary schools is formulated in blocks — it describes what the student knows at the end of secondary school, separately for the basic and extended levels. Assigning a topic to a grade is our decision based on a typical syllabus breakdown; in the “Curriculum scope” section, you can see the curriculum points with citations.

Page status: the tasks for this grade are ready in a context-free form (instruction and formula only); tasks with diagrams, proofs, and word problems will be added in subsequent steps.

Curriculum scope

  1. Curriculum point MAT.LO.1 · Teaching content · checked against the act

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Curriculum point MAT.LO.1.P.1 · Teaching content · checked against the act

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Calculating odd-degree roots (we teach in grade 9) · Calculating logarithms from the definition (we teach in grade 9)

  3. Curriculum point MAT.LO.1.P.2 · Teaching content · checked against the act

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Curriculum point MAT.LO.1.P.3 · Teaching content · checked against the act

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Calculating odd-degree roots (we teach in grade 9)

  5. Curriculum point MAT.LO.1.P.4 · Teaching content · checked against the act

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Calculating powers with rational exponents (we teach in grade 9) · Operations on powers and finding the exponent (we teach in grade 9)

  6. Curriculum point MAT.LO.1.P.5 · Teaching content · checked against the act

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Curriculum point MAT.LO.1.P.6 · Teaching content · checked against the act

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Curriculum point MAT.LO.1.P.7 · Teaching content · checked against the act

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Curriculum point MAT.LO.1.P.8 · Teaching content · checked against the act

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Calculating capital on a bank deposit (we teach in grade 9)

  10. Curriculum point MAT.LO.1.P.9 · Teaching content · checked against the act

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Calculating logarithms from the definition (we teach in grade 9) · The student applies the formulas for the sum and difference of logarithms with the same base to simplify expressions and efficiently calculate their values. (we teach in grade 9)

  11. Curriculum point MAT.LO.1.P.2.a · Teaching content · checked against the act

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Curriculum point MAT.LO.1.P.2.b · Teaching content · checked against the act

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Curriculum point MAT.LO.2 · Teaching content · checked against the act

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Curriculum point MAT.LO.2.P.1 · Teaching content · checked against the act

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Applying short multiplication formulas (we teach in grade 9)

  15. Curriculum point MAT.LO.2.P.2 · Teaching content · checked against the act

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Addition, subtraction, and multiplication of polynomials (we teach in grade 9)

  16. Curriculum point MAT.LO.2.P.3 · Teaching content · checked against the act

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Factoring polynomials (we teach in grade 9)

  17. Curriculum point MAT.LO.2.P.4 · Teaching content · checked against the act

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Multiplication and subtraction of rational expressions (we teach in grade 9)

  18. Curriculum point MAT.LO.3 · Teaching content · checked against the act

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Curriculum point MAT.LO.3.P.1 · Teaching content

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Identifying Inconsistent and Identity Equations (we teach in grade 9)

  20. Curriculum point MAT.LO.3.P.2 · Teaching content · checked against the act

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Identifying Inconsistent and Identity Equations (we teach in grade 9)

  21. Curriculum point MAT.LO.3.P.3 · Teaching content · checked against the act

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Solving linear inequalities with one unknown (we teach in grade 9)

  22. Curriculum point MAT.LO.3.P.4 · Teaching content · checked against the act

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Curriculum point MAT.LO.3.P.5 · Teaching content · checked against the act

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Curriculum point MAT.LO.4 · Teaching content · checked against the act

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Curriculum point MAT.LO.4.P.1 · Teaching content · checked against the act

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Systems of linear equations and their number of solutions (we teach in grade 9)

  26. Curriculum point MAT.LO.4.P.2 · Teaching content · checked against the act

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Curriculum point MAT.LO.5 · Teaching content · checked against the act

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Curriculum point MAT.LO.5.P.1 · Teaching content · checked against the act

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Curriculum point MAT.LO.5.P.2 · Teaching content · checked against the act

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Curriculum point MAT.LO.5.P.3 · Teaching content · checked against the act

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Curriculum point MAT.LO.5.P.4 · Teaching content · checked against the act

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Curriculum point MAT.LO.5.P.5 · Teaching content · checked against the act

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Curriculum point MAT.LO.5.P.6 · Teaching content · checked against the act

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Formula of a linear function from points or a parallel line (we teach in grade 9)

  34. Curriculum point MAT.LO.5.P.7 · Teaching content · checked against the act

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Curriculum point MAT.LO.5.P.8 · Teaching content · checked against the act

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Curriculum point MAT.LO.5.P.9 · Teaching content · checked against the act

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Curriculum point MAT.LO.5.P.10 · Teaching content · checked against the act

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Curriculum point MAT.LO.5.P.11 · Teaching content · checked against the act

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Curriculum point MAT.LO.5.P.12 · Teaching content

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Curriculum point MAT.LO.5.P.13 · Teaching content

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Curriculum point MAT.LO.5.P.14 · Teaching content · checked against the act

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Curriculum point MAT.LO.6 · Teaching content · checked against the act

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Curriculum point MAT.LO.6.P.1 · Teaching content · checked against the act

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Curriculum point MAT.LO.6.P.2 · Teaching content · checked against the act

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Curriculum point MAT.LO.6.P.3 · Teaching content · checked against the act

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Curriculum point MAT.LO.6.P.4 · Teaching content · checked against the act

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Curriculum point MAT.LO.6.P.5 · Teaching content · checked against the act

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Curriculum point MAT.LO.6.P.6 · Teaching content · checked against the act

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Curriculum point MAT.LO.6.P.7 · Teaching content · checked against the act

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Curriculum point MAT.LO.7 · Teaching content · checked against the act

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Curriculum point MAT.LO.7.P.1 · Teaching content · checked against the act

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Curriculum point MAT.LO.7.P.2 · Teaching content

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Curriculum point MAT.LO.7.P.3 · Teaching content

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Curriculum point MAT.LO.7.P.4 · Teaching content · checked against the act

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Curriculum point MAT.LO.8 · Teaching content · checked against the act

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Curriculum point MAT.LO.8.P.1 · Teaching content · checked against the act

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Curriculum point MAT.LO.8.P.2 · Teaching content · checked against the act

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Curriculum point MAT.LO.8.P.3 · Teaching content · checked against the act

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Curriculum point MAT.LO.8.P.4 · Teaching content · checked against the act

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Curriculum point MAT.LO.8.P.5 · Teaching content · checked against the act

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Curriculum point MAT.LO.8.P.6 · Teaching content · checked against the act

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Curriculum point MAT.LO.8.P.7 · Teaching content · checked against the act

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Curriculum point MAT.LO.8.P.8 · Teaching content · checked against the act

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Curriculum point MAT.LO.8.P.9 · Teaching content · checked against the act

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Curriculum point MAT.LO.8.P.10 · Teaching content · checked against the act

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Curriculum point MAT.LO.8.P.11 · Teaching content · checked against the act

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Curriculum point MAT.LO.8.P.12 · Teaching content · checked against the act

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Curriculum point MAT.LO.9 · Teaching content · checked against the act

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Curriculum point MAT.LO.9.P.1 · Teaching content · checked against the act

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Curriculum point MAT.LO.9.P.2 · Teaching content · checked against the act

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Curriculum point MAT.LO.9.P.3 · Teaching content · checked against the act

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Curriculum point MAT.LO.9.P.4 · Teaching content

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Curriculum point MAT.LO.9.P.5 · Teaching content · checked against the act

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Curriculum point MAT.LO.10 · Teaching content · checked against the act

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Curriculum point MAT.LO.10.P.1 · Teaching content · checked against the act

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Curriculum point MAT.LO.10.P.2 · Teaching content · checked against the act

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Curriculum point MAT.LO.10.P.3 · Teaching content · checked against the act

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Curriculum point MAT.LO.10.P.4 · Teaching content · checked against the act

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Curriculum point MAT.LO.10.P.5 · Teaching content · checked against the act

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Curriculum point MAT.LO.10.P.6 · Teaching content · checked against the act

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Curriculum point MAT.LO.11 · Teaching content · checked against the act

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Curriculum point MAT.LO.11.P.1 · Teaching content · checked against the act

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Curriculum point MAT.LO.11.P.2 · Teaching content · checked against the act

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Curriculum point MAT.LO.11.P.2.a · Teaching content · checked against the act

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Curriculum point MAT.LO.11.P.2.b · Teaching content · checked against the act

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Curriculum point MAT.LO.12 · Teaching content · checked against the act

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Curriculum point MAT.LO.12.P.1 · Teaching content · checked against the act

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Curriculum point MAT.LO.12.P.2 · Teaching content · checked against the act

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Curriculum point MAT.LO.13 · Teaching content · checked against the act

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Curriculum point MAT.LO.13.P.1 · Teaching content · checked against the act

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Curriculum point MAT.LO.WO.1 · General aims · checked against the act

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Curriculum point MAT.LO.WO.1.1 · General aims · checked against the act

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Curriculum point MAT.LO.WO.2 · General aims · checked against the act

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Curriculum point MAT.LO.WO.2.1 · General aims · checked against the act

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Curriculum point MAT.LO.WO.2.2 · General aims · checked against the act

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Curriculum point MAT.LO.WO.3 · General aims · checked against the act

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Curriculum point MAT.LO.WO.3.1 · General aims · checked against the act

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Curriculum point MAT.LO.WO.3.2 · General aims · checked against the act

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Curriculum point MAT.LO.WO.3.3 · General aims · checked against the act

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Curriculum point MAT.LO.WO.3.4 · General aims · checked against the act

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Curriculum point MAT.LO.WO.4 · General aims · checked against the act

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Curriculum point MAT.LO.WO.4.1 · General aims · checked against the act

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Curriculum point MAT.LO.WO.4.2 · General aims · checked against the act

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Curriculum point MAT.LO.WO.4.3 · General aims · checked against the act

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Curriculum point MAT.LO.WO.4.4 · General aims · checked against the act

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Skills step by step

Factoring polynomials

The student factors a polynomial into a product of simpler expressions by factoring out a monomial, grouping terms, and applying the formulas for the sum and difference of cubes.

Curriculum point MAT.LO.2.P.3 wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

In the first year of high school and technical secondary school, students transform polynomials into factored form. They master three specific calculation techniques: factoring out a common monomial, factoring by grouping terms, and applying formulas for the sum and difference of cubes.

A common mistake is losing a term when factoring out a monomial—when the factor being factored out is the same as one of the terms, students often mistakenly write zero or omit it completely instead of leaving 1. Managing plus and minus signs also poses a significant challenge, especially when factoring out a negative factor in the grouping method and when correctly writing the incomplete square in the formulas for the sum and difference of cubes.

In practice, exercises practicing this skill include:

  • Factoring out a common monomial — finding a common numerical divisor and the power of the variable common to all terms,
  • Factoring by grouping — pairing the terms of the polynomial so that factoring out terms leaves the same expression inside the parentheses,
  • Sum and difference of cubes — recognizing the structure of the formula and factoring the binomial into a product of simpler factors.
Create a worksheet for this skill

Task types: Factoring out a monomial · Factoring by grouping · Sum and difference of cubes

Applying short multiplication formulas

The student proficiently transforms algebraic expressions using the formulas for the square of a sum, the square of a difference, and the product of a sum and a difference.

Curriculum point MAT.LO.2.P.1 stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

In the first year of high school and technical school, students master the transformation of second-degree algebraic expressions. They learn to replace multiplying brackets with ready-made algebraic identities, which allows them to quickly expand and simplify expressions containing variables and real numbers.

The most common mistake is omitting the double product when squaring a binomial—students mechanically square each term separately, writing (a + b)² as a² + b². Another frequent problem is losing minus signs, especially when a subtraction sign precedes the entire expression or when the term being squared has a negative coefficient.

Exercises in this area are based on two types of tasks:

  • Square of a sum and difference – expanding bracketed expressions raised to the second power into three terms,
  • Product of a sum and difference – multiplying pairs of brackets that differ only by a sign and writing them in the concise form of a difference of squares.
Create a worksheet for this skill

Task types: Product of a sum and a difference · Square of a sum or difference

The student applies the formulas for the sum and difference of logarithms with the same base to simplify expressions and efficiently calculate their values.

Curriculum point MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

In the first grade, students transform expressions containing logarithms with the same base. They use the rule stating that adding logarithms corresponds to the logarithm of a product, and subtracting them corresponds to the logarithm of a quotient. This allows finding the exact value of the entire expression even when individual terms cannot be calculated separately.

A common mistake is confusing these rules and adding the arguments of the logarithms instead of multiplying them (for example, incorrectly assuming that log a + log b is log(a + b) instead of log(a · b)). When subtracting, another frequent issue is reversing the order of division or attempting to combine logarithms that have different bases.

Tasks from the templates Sum of logarithms and Difference of logarithms require condensing two terms into a single logarithm. For example, the student combines two logarithms with the same base into a product or a fraction which, when simplified, yields a power of the base and allows writing the final answer as a single integer or fraction.

Create a worksheet for this skill

Task types: Difference of logarithms · Sum of logarithms

Calculating logarithms from the definition

The student calculates the values of simple logarithms for integers and fractions, using the definition directly and converting to exponentiation.

Curriculum point MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Curriculum point MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

In the first grade of high school and technical secondary school, students learn the concept of a logarithm and how to evaluate it directly from the definition. Finding the solution involves answering the question: to what power must the base of the logarithm be raised to obtain the argument? At this stage, exercises include evaluating logarithms for integers as well as for common fractions and decimals.

The most common mistake stems from confusing exponentiation with multiplication or division—for example, instead of the value 3 for the base-2 logarithm of 8, a student gives 4 by dividing 8 by 2. With logarithms of fractions, another frequent issue is failing to take into account a negative exponent, which causes the student to drop the minus sign in the final result.

In practice, tasks testing this skill take the form of simple calculation problems:

  • Logarithm from the definition – direct evaluation where the result is a positive integer, e.g., evaluating the base-3 logarithm of 27.
  • Logarithm of a fraction – examples requiring the use of negative exponents or working with decimals, e.g., calculating the base-2 logarithm of 1/4 or the common logarithm of 0.1.
Create a worksheet for this skill

Task types: Logarithm from the definition · Logarithm of a fraction

Addition, subtraction, and multiplication of polynomials

The student performs addition, subtraction, and multiplication of single-variable polynomials, combining like terms and ordering the obtained result.

Curriculum point MAT.LO.2.P.2 dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

In grade 1 of secondary school, students perform basic operations on polynomials: they add, subtract, and multiply algebraic expressions, then combine like terms and write the resulting expression in standard form (from the highest to the lowest power of the variable).

The most common mistake when subtracting is forgetting to change the signs of all terms inside the subtracted parentheses. When multiplying polynomials, on the other hand, students often miss individual terms when multiplying term by term or make errors in exponent operations, such as multiplying exponents instead of adding them.

Tasks from the templates Adding and Subtracting Polynomials and Multiplying Polynomials involve performing the indicated operations on the given polynomial formulas, expanding the parentheses, and simplifying the entire expression to its simplest possible form.

Create a worksheet for this skill

Task types: Adding and subtracting polynomials · Multiplying polynomials

Multiplication and subtraction of rational expressions

The student performs subtraction and multiplication of algebraic fractions, using factoring and finding a common denominator.

Curriculum point MAT.LO.2.P.4 mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

In grade 1 of high school and technical school, students perform operations on algebraic fractions (rational expressions). At this stage, they primarily master the subtraction and multiplication of such expressions, using their prior knowledge of algebraic identities and polynomial factoring.

A typical problem when subtracting is losing track of signs – students often forget that a minus sign in front of a fraction applies to the entire numerator, not just its first term. When multiplying, a common mistake is incorrect cancellation: attempting to simplify individual terms of an addition instead of entire factors in factored form.

In practice, exercises involve reducing expressions to their simplest form and appear in two main variants:

  • Subtraction of rational expressions — requires finding a common denominator, expanding the numerators accordingly, and combining like terms;
  • Multiplication of rational expressions — involves factoring numerators and denominators, canceling common expressions, and writing down the final product.
Create a worksheet for this skill

Task types: Multiplying rational expressions · Subtracting rational expressions

Formula of a linear function from points or a parallel line

The student determines the formula of a linear function based on the coordinates of two points or a point and the condition of parallelism to another line.

Curriculum point MAT.LO.5.P.6 wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

In the first year of high school and technical secondary school, students master determining the formula of a linear function in the form y = ax + b. They can calculate numerical coefficients based on numerical data: they determine them from a system of equations formed for two given points or use the properties of parallel lines, knowing that they have the same slope a.

A common problem at this stage is confusing the coordinates of a point when substituting them into the formula – inserting the value of the first axis in place of y, and the second in place of x. Students also make arithmetic errors when reducing minus signs and confuse the condition for parallelism with the condition for perpendicularity, unnecessarily changing the sign of the slope.

In practice, exercises are based on two problem templates:

  • Linear function formula from two points – the student is given the coordinates of two points, e.g., (2, 5) and (-1, -1), and derives the equation of the line passing through both points;
  • Parallel line through a point – the student is given a line (e.g., y = 3x - 2) and a point not on it, and finds the equation of a new line, keeping the same slope a and calculating the new y-intercept b.
Create a worksheet for this skill

Task types: Linear function through two points · Parallel line through a point

Systems of linear equations and their number of solutions

The student solves systems of two linear equations using the elimination method and determines whether the system has one solution, infinitely many solutions, or is inconsistent.

Curriculum point MAT.LO.4.P.1 rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

In the first grade of high school and technical school, students solve systems of two linear equations with two unknowns using the elimination method. They are able to transform equations so that adding them together eliminates one of the variables, and then solve for the other. They also learn to determine the number of solutions of a system: they can recognize a system with exactly one pair of numbers, a dependent system with infinitely many solutions, and an inconsistent system that has no solution.

A common mistake at this stage is dropping minus signs when multiplying an entire equation by an integer (especially a negative one) to obtain opposite coefficients. Students also struggle to correctly interpret non-standard outcomes: they confuse an identity, where reducing the variables yields the equality 0 = 0 (infinitely many solutions), with an inconsistency, where the result is a contradiction, such as 0 = 5 (no solution).

In practice, students practice these skills through exercises that involve:

  • fully solving a system in the template System of equations — elimination method and providing the pair of numbers that satisfies the equations,
  • analyzing equations in the template Number of solutions of a system, where the goal is to determine whether a given system has one solution, no solution at all, or infinitely many solutions.
Create a worksheet for this skill

Task types: Number of solutions of a system · System of equations — elimination

Operations on powers and finding the exponent

The student applies the laws of exponents with the same base to correctly determine the missing exponent in equations.

Curriculum point MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

A student in grade 1 of high school and technical school proficiently applies the rules of powers with the same base: multiplication, division, and raising a power to a power. They use these rules to transform expressions and find unknown numbers in exponents.

A common mistake is confusing adding exponents with multiplying them when taking the product of powers with the same base (for example, writing the result of multiplying powers as the product of their exponents). Students also sometimes struggle to correctly subtract exponents during division, especially when negative numbers are involved, and they also confuse operations on exponents with operations on the bases themselves.

Exercises from the Missing Exponent — Operations on Powers template involve filling in the blank in an equation. The student sees an expression composed of powers with a common base and must calculate what number should replace the missing exponent so that the left side equals the right side.

Create a worksheet for this skill

Change of base of a logarithm

The student converts logarithms with different bases into a quotient of logarithms with a new, convenient base, which allows simplifying the expression and calculating its exact value.

In Grade 1 of secondary school, students learn the rule that allows them to change the base of a given logarithm to another, more convenient one for calculations. They write a single logarithm as a fraction in which both the numerator and the denominator have the newly chosen base, which makes it possible to convert expressions with different bases to a common base and find their values.

A common mistake when applying this formula is inverting the numerator and the denominator. Students often mechanically write the original base of the logarithm in the numerator of the new fraction and the argument into the denominator, instead of placing the argument on top and the old base on the bottom.

In problems from the template Change of base of a logarithm, students work on calculating the numerical values of fractions containing logarithms with non-standard bases or simplifying products of such logarithms into a single integer or fraction.

Create a worksheet for this skill

Calculating odd-degree roots

The student calculates the values of odd-degree roots, including those of negative numbers, correctly determining the sign of the result.

Curriculum point MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Curriculum point MAT.LO.1.P.3 stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

In Grade 1 of high school and technical school, students master evaluating odd-degree roots (for example, third or fifth degree). They learn to recognize a key property of these operations: a negative number can be under an odd-degree root, and the result of such root extraction always has the same sign.

The most common mistake is transferring the rule regarding square roots, which students worked with in primary school. Remembering that you cannot take an even root of negative numbers, they mistakenly consider an odd root of a negative number to be an impossible operation or remove the minus sign without justification, giving a positive result.

The tasks involve directly calculating numerical values in the template Odd-degree root. A typical example is finding the value of the cube root of -27, -125, or the fifth root of 32.

Create a worksheet for this skill

Calculating powers with rational exponents

The student learns to convert powers with fractional exponents into roots, calculate their values, and apply exponent rules to simplify expressions.

Curriculum point MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

In grade 1 of high school and technical secondary school, students are introduced to powers with fractional exponents. They learn to proficiently convert such expressions into radical form—where the denominator of the fraction determines the index of the root and the numerator is the exponent of the radicand—and to perform these operations in reverse, also in the case of negative fractional exponents.

A typical difficulty is confusing the roles of the numerator and denominator: students often treat the numerator of the fraction as the index of the root and the denominator as the power of the radicand. Another common mistake is failing to take into account the minus sign in the exponent, leading to omitting the reciprocal of the number before taking the root.

Exercises based on the Power with a rational exponent template primarily include evaluating specific numerical powers (e.g., 8 to the power of 2/3 or 16 to the power of -1/2) and simplifying expressions containing radicals by writing them as a single power with a fractional exponent.

Create a worksheet for this skill

Calculating capital on a bank deposit

The student calculates the final capital on a deposit, using the compound interest mechanism at a given interest rate and savings period.

Curriculum point MAT.LO.1.P.8 wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Students in the 1st grade of high school and technical school learn to determine the final value of savings using compound interest. At this stage, they use operations on powers to calculate how the deposited amount changes when interest is added to the principal and generates earnings itself in subsequent periods.

The most common mistake is confusing compound interest with simple interest. Students often calculate interest only once from the initial deposit and multiply it by the number of years, forgetting that in each subsequent cycle the base for calculating profit grows.

Tasks from the template Compound interest — term deposit present specific banking situations: the student is given an initial amount, an annual interest rate, and the duration of savings, and then calculates the final account balance taking regular compounding into account.

Create a worksheet for this skill

Solving linear inequalities with one unknown

The student learns to solve linear inequalities in one variable and to correctly determine and write down the set of numbers that satisfy them.

Curriculum point MAT.LO.3.P.3 rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

In grade 1 of high school and technical secondary school, students solve linear inequalities with one unknown. They reduce them to a simpler form by combining like terms as well as adding, subtracting, multiplying, and dividing both sides by real numbers to determine the required interval.

A typical problem is failing to flip the inequality sign when multiplying or dividing both sides by a negative number. Students often perform the calculations correctly, but leave the original inequality sign unchanged, which leads to an incorrect solution set.

Exercises from the Linear inequality template involve transforming a given algebraic inequality, finding the values of the unknown, and correctly writing the final result in the form of an inequality or an interval.

Create a worksheet for this skill

Identifying Inconsistent and Identity Equations

The student transforms linear equations and recognizes when they have no solutions, and when every real number satisfies them.

Curriculum point MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)
Curriculum point MAT.LO.3.P.2 interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

In grade 1 of high school and technical secondary school, students solve linear equations in one variable where, after rearranging both sides, the variable cancels out. They learn to correctly interpret the result obtained: determining that an equation is an identity (satisfied by every real number) when arriving at an identity such as 0 = 0, or inconsistent (no solutions) when arriving at a contradiction, for example 0 = 5.

A common problem occurs when, after the variable cancels out, the student assumes they made a calculation error. Instead of interpreting the result, students often force the variable back in or incorrectly conclude that 0 = 0 simply means a single solution x = 0, confusing an identity with a specific numerical value.

Exercises from the template Inconsistent or identity equation require performing basic algebraic transformations—such as combining like terms or removing parentheses—and then indicating whether the given equation has infinitely many solutions or no solutions at all.

Create a worksheet for this skill

Task templates to print

Every task type, grouped by skill. Clicking one opens the worksheet generator with it already selected.

Factoring polynomials

Applying short multiplication formulas

None

Calculating logarithms from the definition

Addition, subtraction, and multiplication of polynomials

Multiplication and subtraction of rational expressions

Formula of a linear function from points or a parallel line

Systems of linear equations and their number of solutions

Operations on powers and finding the exponent

Change of base of a logarithm

Calculating odd-degree roots

Calculating powers with rational exponents

Calculating capital on a bank deposit

Solving linear inequalities with one unknown

Identifying Inconsistent and Identity Equations

Other task types

Create a worksheet for this curriculum