Italiano
Programma scolastico (Polonia)

Matematica — classe 9ª

Matematica per il primo anno di liceo e istituto tecnico: potenze con esponente razionale, radicali, logaritmi, prodotti notevoli, polinomi ed espressioni razionali, equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni lineari, funzione lineare. Per ogni argomento, esercizi pronti da stampare.

Crea una scheda di questo programma

Cosa impara uno studente in matematica al primo anno di liceo?

Nel 1° anno lo studente consolida il calcolo con i numeri reali: potenze a esponente razionale, radici di indice qualsiasi e logaritmi con le relative proprietà. Trasforma espressioni algebriche con i prodotti notevoli, scompone polinomi in fattori e semplifica espressioni razionali. Risolve equazioni e disequazioni lineari, sistemi di equazioni e determina la funzione lineare a partire da due punti. Calcola anche l'interesse composto.

Nota importante sul programma ministeriale: le indicazioni per il liceo e l'istituto tecnico sono formulate a blocchi: descrivono ciò che lo studente deve sapere al termine della scuola secondaria di secondo grado, separatamente per il livello base e avanzato. L'assegnazione di un argomento a un determinato anno di corso è una nostra scelta basata sulla tipica scansione didattica; nella sezione «Programma ministeriale» puoi trovare i punti delle indicazioni con le citazioni testuali.

Stato della pagina: gli esercizi di questo anno sono disponibili in forma essenziale (solo consegna e formula); gli esercizi con figure, le dimostrazioni e i problemi contestualizzati verranno integrati nei passaggi successivi.

Ambito del programma

  1. Punto del programma MAT.LO.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punto del programma MAT.LO.1.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Calcolo delle radici di indice dispari (da noi in classe 9) · Calcolo dei logaritmi dalla definizione (da noi in classe 9)

  3. Punto del programma MAT.LO.1.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punto del programma MAT.LO.1.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Calcolo delle radici di indice dispari (da noi in classe 9)

  5. Punto del programma MAT.LO.1.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Calcolo delle potenze con esponente razionale (da noi in classe 9) · Operazioni con le potenze e ricerca dell'esponente (da noi in classe 9)

  6. Punto del programma MAT.LO.1.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punto del programma MAT.LO.1.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punto del programma MAT.LO.1.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punto del programma MAT.LO.1.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Calcolo del capitale su un deposito bancario (da noi in classe 9)

  10. Punto del programma MAT.LO.1.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Calcolo dei logaritmi dalla definizione (da noi in classe 9) · Calcolo della somma e della differenza di logaritmi (da noi in classe 9)

  11. Punto del programma MAT.LO.1.P.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punto del programma MAT.LO.1.P.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punto del programma MAT.LO.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punto del programma MAT.LO.2.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Applicazione dei prodotti notevoli (da noi in classe 9)

  15. Punto del programma MAT.LO.2.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Addizione, sottrazione e moltiplicazione di polinomi (da noi in classe 9)

  16. Punto del programma MAT.LO.2.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Scomposizione di un polinomio in fattori (da noi in classe 9)

  17. Punto del programma MAT.LO.2.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Moltiplicazione e sottrazione di espressioni razionali (da noi in classe 9)

  18. Punto del programma MAT.LO.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punto del programma MAT.LO.3.P.1 · Contenuti di insegnamento

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Riconoscimento di equazioni impossibili e identità (da noi in classe 9)

  20. Punto del programma MAT.LO.3.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Riconoscimento di equazioni impossibili e identità (da noi in classe 9)

  21. Punto del programma MAT.LO.3.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Risoluzione delle disequazioni lineari con un'incognita (da noi in classe 9)

  22. Punto del programma MAT.LO.3.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punto del programma MAT.LO.3.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punto del programma MAT.LO.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punto del programma MAT.LO.4.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Sistemi di equazioni lineari e il loro numero di soluzioni (da noi in classe 9)

  26. Punto del programma MAT.LO.4.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punto del programma MAT.LO.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punto del programma MAT.LO.5.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punto del programma MAT.LO.5.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punto del programma MAT.LO.5.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punto del programma MAT.LO.5.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punto del programma MAT.LO.5.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punto del programma MAT.LO.5.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Formula della funzione lineare da punti o da una retta parallela (da noi in classe 9)

  34. Punto del programma MAT.LO.5.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punto del programma MAT.LO.5.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punto del programma MAT.LO.5.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punto del programma MAT.LO.5.P.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punto del programma MAT.LO.5.P.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punto del programma MAT.LO.5.P.12 · Contenuti di insegnamento

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punto del programma MAT.LO.5.P.13 · Contenuti di insegnamento

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punto del programma MAT.LO.5.P.14 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punto del programma MAT.LO.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punto del programma MAT.LO.6.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punto del programma MAT.LO.6.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punto del programma MAT.LO.6.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punto del programma MAT.LO.6.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punto del programma MAT.LO.6.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punto del programma MAT.LO.6.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punto del programma MAT.LO.6.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punto del programma MAT.LO.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punto del programma MAT.LO.7.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punto del programma MAT.LO.7.P.2 · Contenuti di insegnamento

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punto del programma MAT.LO.7.P.3 · Contenuti di insegnamento

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punto del programma MAT.LO.7.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punto del programma MAT.LO.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punto del programma MAT.LO.8.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punto del programma MAT.LO.8.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punto del programma MAT.LO.8.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punto del programma MAT.LO.8.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punto del programma MAT.LO.8.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punto del programma MAT.LO.8.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punto del programma MAT.LO.8.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punto del programma MAT.LO.8.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punto del programma MAT.LO.8.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punto del programma MAT.LO.8.P.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punto del programma MAT.LO.8.P.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punto del programma MAT.LO.8.P.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punto del programma MAT.LO.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punto del programma MAT.LO.9.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punto del programma MAT.LO.9.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punto del programma MAT.LO.9.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punto del programma MAT.LO.9.P.4 · Contenuti di insegnamento

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punto del programma MAT.LO.9.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punto del programma MAT.LO.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punto del programma MAT.LO.10.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punto del programma MAT.LO.10.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punto del programma MAT.LO.10.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punto del programma MAT.LO.10.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punto del programma MAT.LO.10.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punto del programma MAT.LO.10.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punto del programma MAT.LO.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punto del programma MAT.LO.11.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punto del programma MAT.LO.11.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punto del programma MAT.LO.11.P.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punto del programma MAT.LO.11.P.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punto del programma MAT.LO.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punto del programma MAT.LO.12.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punto del programma MAT.LO.12.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punto del programma MAT.LO.13 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punto del programma MAT.LO.13.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punto del programma MAT.LO.WO.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punto del programma MAT.LO.WO.1.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punto del programma MAT.LO.WO.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punto del programma MAT.LO.WO.2.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punto del programma MAT.LO.WO.2.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punto del programma MAT.LO.WO.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punto del programma MAT.LO.WO.3.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punto del programma MAT.LO.WO.3.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punto del programma MAT.LO.WO.3.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punto del programma MAT.LO.WO.3.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punto del programma MAT.LO.WO.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punto del programma MAT.LO.WO.4.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punto del programma MAT.LO.WO.4.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punto del programma MAT.LO.WO.4.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punto del programma MAT.LO.WO.4.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competenze passo dopo passo

Scomposizione di un polinomio in fattori

Lo studente scompone un polinomio in un prodotto di espressioni più semplici raccogliendo a fattor comune un monomio, raggruppando i termini e applicando le formule per la somma e la differenza di cubi.

Punto del programma MAT.LO.2.P.3 wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

Nel primo anno di scuola secondaria di secondo grado (liceo e istituto tecnico), lo studente impara a scomporre i polinomi in fattori. Padroneggia tre tecniche di calcolo specifiche: il raccoglimento a fattor comune totale, la scomposizione mediante raccoglimento parziale e l'applicazione delle formule per la somma e la differenza di cubi.

Un errore tipico consiste nel perdere un termine durante il raccoglimento a fattor comune: quando il termine raccolto coincide con uno degli addendi, gli studenti spesso scrivono erroneamente zero o lo omettono del tutto, invece di lasciare 1. Un'altra notevole difficoltà è legata alla gestione dei segni più e meno, in particolare quando si raccoglie un fattore negativo nel raccoglimento parziale e nella corretta scrittura del falso quadrato nelle formule per la somma e la differenza di cubi.

Nella pratica, gli esercizi mirati a sviluppare questa competenza comprendono:

  • Raccoglimento a fattor comune totale — individuare il divisore comune numerico e la potenza della variabile comune a tutti i termini,
  • Scomposizione mediante raccoglimento parziale — raggruppare i termini del polinomio a coppie in modo tale che, dopo aver raccolto i fattori, tra parentesi risulti la stessa espressione,
  • Somma e differenza di cubi — riconoscere la struttura della formula e scomporre il binomio nel prodotto di fattori più semplici.
Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Raccoglimento di un monomio · Scomposizione per raggruppamento · Somma e differenza di cubi

Applicazione dei prodotti notevoli

Lo studente trasforma agevolmente le espressioni algebriche, applicando le formule del quadrato della somma, del quadrato della differenza e del prodotto della somma per la differenza.

Punto del programma MAT.LO.2.P.1 stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

Nel primo anno di scuola superiore, lo studente impara a trasformare le espressioni algebriche di secondo grado. Impara a sostituire la moltiplicazione tra parentesi con prodotti notevoli, permettendo di sviluppare e semplificare rapidamente espressioni contenenti variabili e numeri reali.

L'errore più comune è l'omissione del doppio prodotto nell'elevamento a quadrato di un binomio: gli studenti tendono a elevare meccanicamente ciascun termine separatamente, scrivendo (a + b)² come a² + b². Un problema frequente è anche la perdita dei segni meno, in particolare quando l'intera espressione è preceduta da un segno di sottrazione o quando il termine da elevare a potenza ha un coefficiente negativo.

Gli esercizi su questo argomento si basano su due tipi di richieste:

  • Quadrato di una somma e di una differenza – sviluppo di espressioni tra parentesi elevate alla seconda potenza nella forma di tre termini,
  • Prodotto di una somma per una differenza – moltiplicazione di coppie di parentesi che differiscono solo per il segno e scrittura nella forma sintetica di differenza di quadrati.
Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Prodotto di una somma per una differenza · Quadrato di una somma o differenza

Calcolo della somma e della differenza di logaritmi

Lo studente applica le formule per la somma e la differenza di logaritmi con la stessa base per semplificare le espressioni e calcolarne agevolmente i valori.

Punto del programma MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Nel primo anno, lo studente trasforma espressioni contenenti logaritmi con la stessa base. Utilizza la regola secondo cui la somma di logaritmi corrisponde al logaritmo del prodotto e la loro sottrazione al logaritmo del quoziente. Ciò consente di determinare il valore esatto dell'intera espressione anche quando i singoli termini non possono essere calcolati separatamente.

Un errore comune è confondere queste regole e sommare gli argomenti dei logaritmi invece di moltiplicarli (ad esempio ritenendo erroneamente che log a + log b sia log(a + b) invece di log(a · b)). Nella sottrazione, un problema frequente è anche invertire l'ordine della divisione o tentare di combinare logaritmi con basi diverse.

Gli esercizi dei modelli Somma di logaritmi e Differenza di logaritmi richiedono di raggruppare due termini in un unico logaritmo. Ad esempio, lo studente combina due logaritmi con la stessa base in un prodotto o in una frazione che, una volta semplificata, fornisce una potenza della base e consente di scrivere il risultato finale sotto forma di un singolo numero intero o di una frazione.

Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Differenza di logaritmi · Somma di logaritmi

Calcolo dei logaritmi dalla definizione

Lo studente calcola i valori di semplici logaritmi per numeri interi e frazioni, utilizzando direttamente la definizione e la conversione in elevamento a potenza.

Punto del programma MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Punto del programma MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Al primo anno delle scuole superiori, lo studente apprende il concetto di logaritmo e impara a calcolarne il valore direttamente dalla definizione. La soluzione consiste nel rispondere alla domanda: a quale potenza bisogna elevare la base del logaritmo per ottenere l'argomento. In questa fase, gli esercizi comprendono il calcolo del valore dei logaritmi per numeri interi, frazioni e numeri decimali.

L'errore più comune deriva dal confondere l'operazione di elevamento a potenza con la moltiplicazione o la divisione: ad esempio, lo studente, invece del valore 3 per il logaritmo in base 2 di 8, fornisce 4, dividendo 8 per 2. Nel caso dei logaritmi di frazioni, un problema frequente è anche il mancato utilizzo di un esponente negativo, che porta lo studente a perdere il segno meno nel risultato finale.

In pratica, gli esercizi che verificano questa competenza si presentano sotto forma di semplici comandi di calcolo:

  • Logaritmo dalla definizione – calcolo diretto del valore in cui il risultato è un numero intero positivo, ad esempio il calcolo del logaritmo in base 3 del numero 27.
  • Logaritmo di una frazione – esempi che richiedono l'applicazione di potenze con esponente negativo o l'uso di numeri decimali, ad esempio il calcolo del logaritmo in base 2 del numero 1/4 o del logaritmo decimale di 0,1.
Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Logaritmo dalla definizione · Logaritmo di una frazione

Addizione, sottrazione e moltiplicazione di polinomi

Lo studente esegue l'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione di polinomi in una variabile, riducendo i termini simili e ordinando il risultato ottenuto.

Punto del programma MAT.LO.2.P.2 dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

Nel primo anno di scuola secondaria di secondo grado lo studente esegue le operazioni di base sui polinomi: somma, sottrae e moltiplica espressioni algebriche, per poi ridurre i termini simili e scrivere il risultato ottenuto in forma ordinata (dalla potenza più alta a quella più bassa della variabile).

L'errore più comune nella sottrazione consiste nel dimenticare di cambiare i segni di tutti i termini all'interno delle parentesi precedute dal segno meno. Nella moltiplicazione di polinomi, invece, gli studenti spesso tralasciano singoli termini durante il prodotto «termine a termine» oppure commettono errori con le proprietà delle potenze, ad esempio moltiplicando gli esponenti anziché sommarli.

Gli esercizi delle schede Addizione e sottrazione di polinomi e Moltiplicazione di polinomi consistono nell'eseguire le operazioni indicate sui polinomi assegnati, eliminare le parentesi e ridurre l'intera espressione alla forma più semplice possibile.

Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Addizione e sottrazione di polinomi · Moltiplicazione di polinomi

Moltiplicazione e sottrazione di espressioni razionali

Lo studente esegue la sottrazione e la moltiplicazione di frazioni algebriche, applicando la scomposizione in fattori e la riduzione a un denominatore comune.

Punto del programma MAT.LO.2.P.4 mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

Nel primo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente esegue operazioni con le frazioni algebriche (espressioni razionali). In questa fase impara soprattutto a sottrarre e moltiplicare tali espressioni, applicando le conoscenze già acquisite sui prodotti notevoli e sulla scomposizione dei polinomi in fattori.

Un problema tipico nella sottrazione è la perdita dei segni: lo studente spesso dimentica che il segno meno davanti a una frazione si riferisce all'intero numeratore e non solo al suo primo termine. Nella moltiplicazione, un errore frequente è la semplificazione errata: il tentativo di semplificare singoli addendi anziché interi fattori in forma di prodotto.

Nella pratica, gli esercizi consistono nel ridurre l'espressione alla forma più semplice e si presentano in due varianti principali:

  • Sottrazione di espressioni razionali — richiede la determinazione del denominatore comune, l'opportuno ampliamento dei numeratori e la riduzione dei termini simili;
  • Moltiplicazione di espressioni razionali — consiste nello scomporre numeratori e denominatori in fattori, semplificare le espressioni comuni e scrivere il prodotto finale.
Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Moltiplicazione di espressioni razionali · Sottrazione di espressioni razionali

Formula della funzione lineare da punti o da una retta parallela

Lo studente determina l'equazione di una funzione lineare sulla base delle coordinate di due punti o di un punto e della condizione di parallelismo con un'altra retta.

Punto del programma MAT.LO.5.P.6 wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

Nel primo anno della scuola secondaria di secondo grado (liceo e istituto tecnico), lo studente impara a determinare l'equazione di una funzione lineare nella forma y = ax + b. È in grado di calcolare i coefficienti numerici a partire da dati numerici: li ricava da un sistema di equazioni impostato per due punti dati oppure sfrutta le proprietà delle rette parallele, sapendo che hanno lo stesso coefficiente angolare a.

Un problema frequente in questa fase è confondere le coordinate di un punto durante la sostituzione nella formula, inserendo il valore del primo asse al posto di y e quello del secondo al posto di x. Gli studenti commettono anche errori di calcolo nella gestione dei segni meno e confondono la condizione di parallelismo con quella di perpendicolarità, cambiando inutilmente il segno del coefficiente angolare.

In pratica, gli esercizi si basano su due modelli tipici:

  • Equazione della funzione lineare da due punti – lo studente riceve le coordinate di due punti, ad es. (2, 5) e (-1, -1), e ricava l'equazione della retta passante per entrambi i punti;
  • Retta parallela passante per un punto – lo studente ha una retta data (ad es. y = 3x - 2) e un punto esterno a essa, e cerca l'equazione della nuova retta, mantenendo lo stesso coefficiente a e calcolando il nuovo termine noto b.
Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Funzione lineare per due punti · Retta parallela per un punto

Sistemi di equazioni lineari e il loro numero di soluzioni

Lo studente risolve sistemi di due equazioni lineari con il metodo di riduzione e determina se il sistema ha una sola soluzione, infinite soluzioni o è impossibile.

Punto del programma MAT.LO.4.P.1 rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

Nel primo anno di liceo e istituto tecnico, lo studente risolve sistemi di due equazioni lineari a due incognite mediante il metodo di riduzione. È in grado di trasformare le equazioni in modo tale da eliminare una delle variabili sommandole membro a membro, per poi calcolare l'altra. Impara anche a determinare il numero di soluzioni del sistema: sa riconoscere un sistema con esattamente una coppia di numeri, un sistema indeterminato con infinite soluzioni e un sistema impossibile, che non ha alcuna soluzione.

Un errore frequente in questa fase è la perdita dei segni meno durante la moltiplicazione dell'intera equazione per un numero intero (soprattutto se negativo) al fine di ottenere coefficienti opposti. Gli studenti incontrano difficoltà anche nella corretta interpretazione di risultati atipici: confondono una situazione di identità, in cui dopo la riduzione delle incognite si ottiene l'uguaglianza 0 = 0 (infinite soluzioni), con una contraddizione, in cui il risultato è un'uguaglianza falsa, ad esempio 0 = 5 (nessuna soluzione).

Nella pratica, lo studente esercita queste abilità su compiti che consistono nel:

  • risolvere completamente un sistema nel modello Sistema di equazioni — metodo di riduzione e indicare la coppia di numeri che soddisfa le equazioni,
  • analizzare le equazioni nel modello Numero di soluzioni del sistema, dove l'obiettivo è stabilire se un dato sistema ha una sola soluzione, non ne ha nessuna o ne ha infinite.
Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Numero di soluzioni di un sistema · Sistema di equazioni — riduzione

Operazioni con le potenze e ricerca dell'esponente

Lo studente applica le proprietà delle potenze con la stessa base per determinare correttamente l'esponente mancante nelle uguaglianze.

Punto del programma MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Lo studente del primo anno della scuola secondaria di secondo grado applica con disinvoltura le proprietà delle potenze con la stessa base: moltiplicazione, divisione e potenza di potenza. Utilizza queste regole per trasformare le espressioni e determinare i valori incogniti presenti negli esponenti.

Un errore comune consiste nel confondere l'addizione degli esponenti con la loro moltiplicazione nel prodotto di potenze con la stessa base (ad esempio, scrivendo il risultato della moltiplicazione di potenze come prodotto dei loro esponenti). Gli studenti possono avere difficoltà anche nella corretta sottrazione degli esponenti durante la divisione, soprattutto quando compaiono numeri negativi, oppure confondono le operazioni sugli esponenti con le operazioni sulle basi stesse.

Gli esercizi del modello Esponente mancante — operazioni con le potenze consistono nel riempire lo spazio vuoto all'interno di un'uguaglianza. Lo studente vede un'espressione composta da potenze con la stessa base e deve calcolare quale numero debba trovarsi al posto dell'esponente mancante affinché il membro di sinistra sia uguale a quello di destra.

Crea una scheda di questa abilità

Cambiamento di base del logaritmo

Lo studente trasforma i logaritmi con basi diverse in un quoziente di logaritmi con una nuova base opportuna, consentendo di semplificare l'espressione e calcolarne il valore esatto.

Nel primo anno delle scuole superiori, lo studente impara la regola che permette di cambiare la base di un logaritmo con un'altra, più comoda per i calcoli. Scrive un singolo logaritmo sotto forma di frazione, in cui sia il numeratore che il denominatore hanno la nuova base scelta, permettendo così di ricondurre espressioni con basi diverse a una base comune e calcolarne il valore.

Un errore comune nell'applicazione di questa formula è invertire il numeratore con il denominatore. Gli studenti inseriscono spesso meccanicamente la base originaria del logaritmo al numeratore della nuova frazione e l'argomento del logaritmo al denominatore, anziché posizionare l'argomento sopra e la vecchia base sotto.

Negli esercizi del modello Cambiamento di base del logaritmo lo studente si esercita a calcolare il valore numerico di frazioni contenenti logaritmi con basi insolite o a semplificare prodotti di tali logaritmi riducendoli a un singolo numero intero o a una frazione.

Crea una scheda di questa abilità

Calcolo delle radici di indice dispari

Lo studente calcola i valori delle radici di indice dispari, comprese quelle di numeri negativi, determinando correttamente il segno del risultato.

Punto del programma MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Punto del programma MAT.LO.1.P.3 stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

Nel primo anno delle scuole superiori (liceo e istituto tecnico), lo studente impara a calcolare il valore delle radici con indice dispari (ad esempio di terzo o di quinto grado). Impara a riconoscere una proprietà fondamentale di queste operazioni: sotto una radice con indice dispari può trovarsi un numero negativo e il risultato di tale estrazione di radice ha sempre lo stesso segno del radicando.

L'errore più comune consiste nell'applicare la regola riguardante le radici quadrate, con cui gli studenti hanno lavorato nella scuola secondaria di primo grado. Ricordando che non è possibile estrarre radici con indice pari da numeri negativi, ritengono erroneamente che una radice con indice dispari di un numero negativo sia un'operazione impossibile, oppure eliminano ingiustificatamente il segno meno, fornendo un risultato positivo.

Gli esercizi consistono nel calcolare direttamente i valori numerici nel modello Radice con indice dispari. Un tipico esempio è determinare il valore della radice cubica del numero -27 o -125, oppure della radice quinta del numero 32.

Crea una scheda di questa abilità

Calcolo delle potenze con esponente razionale

Lo studente impara a trasformare le potenze con esponente frazionario in radicali, a calcolarne il valore e ad applicare le proprietà delle potenze per semplificare le espressioni.

Punto del programma MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Nel primo anno di scuola secondaria di secondo grado lo studente impara la notazione delle potenze con esponente frazionario. Impara a convertire agevolmente tale notazione sotto forma di radicale – in cui il denominatore della frazione indica l'indice della radice e il numeratore l'esponente del radicando – e a eseguire queste operazioni anche in senso inverso, compreso il caso di esponenti frazionari negativi.

Una difficoltà tipica è confondere i ruoli di numeratore e denominatore: gli studenti spesso considerano il numeratore della frazione come indice della radice e il denominatore come esponente del radicando. Un errore frequente è anche il non tenere conto del segno meno nell'esponente, il che porta a dimenticare di calcolare il reciproco della base prima di estrarre la radice.

Gli esercizi basati sul modello Potenza con esponente razionale comprendono soprattutto il calcolo del valore di specifiche potenze numeriche (ad es. 8 elevato a 2/3 o 16 elevato a -1/2) e la semplificazione di espressioni contenenti radicali riscrivendole sotto forma di una singola potenza con esponente frazionario.

Crea una scheda di questa abilità

Calcolo del capitale su un deposito bancario

Lo studente calcola il capitale finale di un deposito, utilizzando il meccanismo dell'interesse composto a un dato tasso di interesse e per un dato periodo di risparmio.

Punto del programma MAT.LO.1.P.8 wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Uno studente del primo anno di scuola secondaria di secondo grado impara a determinare il valore finale dei risparmi applicando l'interesse composto. In questa fase, utilizza le operazioni con le potenze per calcolare come cambia l'importo depositato quando gli interessi vengono aggiunti al capitale e fruttano a loro volta nei periodi successivi.

L'errore più comune è confondere l'interesse composto con l'interesse semplice. Gli studenti spesso calcolano gli interessi una sola volta a partire dal deposito iniziale e li moltiplicano per il numero di anni, dimenticando che in ogni ciclo successivo la base per il calcolo del rendimento aumenta.

Gli esercizi del modello Interesse composto — deposito presentano situazioni bancarie concrete: lo studente riceve l'importo iniziale, il tasso di interesse annuo e la durata del risparmio, per poi calcolare il saldo finale del conto tenendo conto della capitalizzazione periodica.

Crea una scheda di questa abilità

Risoluzione delle disequazioni lineari con un'incognita

Lo studente impara a risolvere le disequazioni lineari a un'incognita e a determinare e scrivere correttamente l'insieme dei numeri che le soddisfano.

Punto del programma MAT.LO.3.P.3 rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Nel primo anno del liceo e dell'istituto tecnico, lo studente risolve disequazioni lineari a un'incognita. Le riconduce a una forma più semplice riducendo i termini simili e sommando, sottraendo, moltiplicando e dividendo entrambi i membri per numeri reali, al fine di determinare l'intervallo numerico cercato.

Un errore tipico consiste nel non invertire il verso della disequazione quando si moltiplicano o si dividono entrambi i membri per un numero negativo. Gli studenti eseguono spesso calcoli corretti, ma lasciano il verso originario della disequazione, il che porta a determinare in modo errato l'insieme delle soluzioni.

Gli esercizi del modello Disequazione lineare consistono nel trasformare la disequazione algebrica data, determinare i valori dell'incognita e scrivere correttamente il risultato finale sotto forma di disequazione o di intervallo.

Crea una scheda di questa abilità

Riconoscimento di equazioni impossibili e identità

Lo studente trasforma le equazioni lineari e riconosce quando non hanno soluzioni e quando sono soddisfatte da ogni numero reale.

Punto del programma MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)
Punto del programma MAT.LO.3.P.2 interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

Nel primo anno delle scuole superiori, lo studente risolve equazioni lineari a un'incognita in cui, dopo aver riordinato i membri, l'incognita si annulla. Impara a interpretare correttamente il risultato ottenuto: stabilisce che l'equazione è un'identità (soddisfatta da qualsiasi numero reale), quando giunge a un'uguaglianza del tipo 0 = 0, oppure impossibile (nessuna soluzione), quando ottiene una contraddizione, per esempio 0 = 5.

Un problema frequente si presenta quando, dopo aver eliminato l'incognita, lo studente pensa di aver commesso un errore di calcolo. Invece di interpretare il risultato, gli studenti non di rado riscrivono l'incognita a forza o deducono erroneamente che la scrittura 0 = 0 significhi semplicemente un'unica soluzione x = 0, confondendo un'identità con uno specifico valore numerico.

Gli esercizi del modello Equazione impossibile o identità richiedono di eseguire passaggi algebrici fondamentali – come la riduzione dei termini simili o lo scioglimento delle parentesi – per poi indicare se l'equazione data ha infinite soluzioni oppure non ne ha alcuna.

Crea una scheda di questa abilità

Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Scomposizione di un polinomio in fattori

Applicazione dei prodotti notevoli

Calcolo della somma e della differenza di logaritmi

Calcolo dei logaritmi dalla definizione

Addizione, sottrazione e moltiplicazione di polinomi

Moltiplicazione e sottrazione di espressioni razionali

Formula della funzione lineare da punti o da una retta parallela

Sistemi di equazioni lineari e il loro numero di soluzioni

Operazioni con le potenze e ricerca dell'esponente

Cambiamento di base del logaritmo

Calcolo delle radici di indice dispari

Calcolo delle potenze con esponente razionale

Calcolo del capitale su un deposito bancario

Risoluzione delle disequazioni lineari con un'incognita

Riconoscimento di equazioni impossibili e identità

Altri tipi di esercizi

Crea una scheda di questo programma