Nederlands
Leerplan (Polen)

Wiskunde — klas 9

Wiskunde in klas 1 van het lyceum en technicum: machten met een rationale exponent, wortels, logaritmen, merkwaardige producten, veeltermen en rationale uitdrukkingen, vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels van lineaire vergelijkingen, lineaire functies. Voor elk onderwerp kant-en-klare opgaven om af te drukken.

Werkblad maken voor dit leerplan

Wat leert een leerling bij wiskunde in de 1e klas van het lyceum?

In klas 1 ordent de leerling berekeningen met reële getallen: machten met een rationale exponent, wortels van willekeurige graden en logaritmen met hun eigenschappen. De leerling herleidt algebraïsche uitdrukkingen met behulp van merkwaardige producten, ontbindt veeltermen in factoren en vereenvoudigt rationale uitdrukkingen. De leerling lost lineaire vergelijkingen en ongelijkheden en stelsels van vergelijkingen op, en bepaalt een lineaire functie aan de hand van twee punten. Ook berekent de leerling samengestelde rente.

Belangrijk over het curriculum: het leerplan voor het lyceum en technicum is bloksgewijs geformuleerd — het beschrijft wat de leerling aan het einde van de middelbare school kent en kan, afzonderlijk voor het basisniveau en het verdiepende niveau. De toewijzing van een onderwerp aan een specifiek leerjaar is onze keuze op basis van een gangbare planning van de leerstof; in de sectie „Curriculumoverzicht” ziet u de officiële leerdoelen met citaten.

Status van de pagina: de opgaven voor dit leerjaar zijn gereed in een kale vorm (alleen de instructie en de formule); opgaven met illustraties, bewijzen en contextopgaven worden in volgende stappen toegevoegd.

Leerplanbereik

  1. Leerplanpunt MAT.LO.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Berekenen van oneven machtswortels (bij ons in groep 9) · Logaritmen berekenen met behulp van de definitie (bij ons in groep 9)

  3. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Berekenen van oneven machtswortels (bij ons in groep 9)

  5. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Machten met een rationale exponent berekenen (bij ons in groep 9) · Bewerkingen met machten en de exponent zoeken (bij ons in groep 9)

  6. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Berekening van het kapitaal op een bankdeposito (bij ons in groep 9)

  10. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Logaritmen berekenen met behulp van de definitie (bij ons in groep 9) · Som en verschil van logaritmen berekenen (bij ons in groep 9)

  11. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Leerplanpunt MAT.LO.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Toepassen van merkwaardige producten (bij ons in groep 9)

  15. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van veeltermen (bij ons in groep 9)

  16. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Ontbinden van een veelterm in factoren (bij ons in groep 9)

  17. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Vermenigvuldigen en aftrekken van rationale uitdrukkingen (bij ons in groep 9)

  18. Leerplanpunt MAT.LO.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.1 · Leerinhouden

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Herkennen van strijdige en identieke vergelijkingen (bij ons in groep 9)

  20. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Herkennen van strijdige en identieke vergelijkingen (bij ons in groep 9)

  21. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Oplossen van lineaire ongelijkheden met één onbekende (bij ons in groep 9)

  22. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Leerplanpunt MAT.LO.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Leerplanpunt MAT.LO.4.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Stelsels lineaire vergelijkingen en hun aantal oplossingen (bij ons in groep 9)

  26. Leerplanpunt MAT.LO.4.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Leerplanpunt MAT.LO.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Formule van een lineaire functie uit punten of een evenwijdige lijn (bij ons in groep 9)

  34. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.12 · Leerinhouden

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.13 · Leerinhouden

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.14 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Leerplanpunt MAT.LO.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Leerplanpunt MAT.LO.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.2 · Leerinhouden

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.3 · Leerinhouden

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Leerplanpunt MAT.LO.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Leerplanpunt MAT.LO.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.4 · Leerinhouden

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Leerplanpunt MAT.LO.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Leerplanpunt MAT.LO.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Leerplanpunt MAT.LO.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Leerplanpunt MAT.LO.12.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Leerplanpunt MAT.LO.12.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Leerplanpunt MAT.LO.13 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Leerplanpunt MAT.LO.13.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Leerplanpunt MAT.LO.WO.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Leerplanpunt MAT.LO.WO.1.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Vaardigheden stap voor stap

Ontbinden van een veelterm in factoren

De leerling zet een veelterm om in een product van eenvoudigere uitdrukkingen door een eenterm buiten haakjes te halen, termen te groeperen en formules voor de som en het verschil van derdemachten toe te passen.

Leerplanpunt MAT.LO.2.P.3 wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

In het eerste leerjaar van de bovenbouw leert de leerling veeltermen te ontbinden in factoren. De leerling maakt zich drie specifieke rekentechnieken eigen: het buiten haakjes halen van een gemeenschappelijke eenterm, ontbinden met de groeperingsmethode en het toepassen van merkwaardige producten voor de som en het verschil van derdemachten.

Een veelvoorkomend probleem is het vergeten van een term bij het buiten haakjes halen van een eenterm — wanneer de buiten haakjes gehaalde factor gelijk is aan een van de termen, vullen leerlingen vaak per abuis een nul in of laten deze volledig weg, in plaats van een 1 over te laten. Ook het overzicht houden op de plus- en mintekens vormt een grote uitdaging, vooral bij het buiten haakjes halen van een negatieve factor bij de groeperingsmethode en bij het correct noteren van het onvolledig kwadraat in de formules voor de som en het verschil van derdemachten.

In de praktijk omvatten opgaven om deze vaardigheid te oefenen:

  • Het buiten haakjes halen van een eenterm — het vinden van een gemeenschappelijke numerieke deler en de macht van de variabele die gemeenschappelijk is voor alle termen,
  • Ontbinden door groeperen — het paarsgewijs combineren van termen van de veelterm, zodat er na het buiten haakjes halen van factoren binnen de haakjes dezelfde uitdrukking ontstaat,
  • De som en het verschil van derdemachten — het herkennen van de structuur van de formule en het uitschrijven van de tweeterm als een product van eenvoudigere factoren.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Een eenterm buiten haakjes brengen · Ontbinden door groeperen · Som en verschil van derde machten

Toepassen van merkwaardige producten

De leerling herleidt vlot algebraïsche uitdrukkingen met behulp van de formules voor het kwadraat van een som, het kwadraat van een verschil en het product van som en verschil.

Leerplanpunt MAT.LO.2.P.1 stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

In de eerste klas van de middelbare school leert de leerling algebraïsche uitdrukkingen van de tweede graad te herleiden. Ze leren het uitvermenigvuldigen van haakjes te vervangen door kant-en-klare algebraïsche identiteiten, waardoor uitdrukkingen met variabelen en reële getallen snel kunnen worden uitgewerkt en vereenvoudigd.

De meest voorkomende fout is het weglaten van het dubbele product bij het kwadrateren van een tweeterm – leerlingen kwadrateren vaak schematisch elke term afzonderlijk en schrijven (a + b)² als a² + b². Een ander veelvoorkomend probleem is het verliezen van mintekens, vooral wanneer er een minteken voor de hele uitdrukking staat of wanneer de term die tot de macht wordt verheven een negatieve coëfficiënt heeft.

Opgaven over dit onderwerp zijn gebaseerd op twee soorten opdrachten:

  • Kwadraat van de som en het verschil – het uitwerken van gekwadrateerde uitdrukkingen tussen haakjes tot een drieterm,
  • Product van de som en het verschil – het uitvermenigvuldigen van paren haakjes die alleen in teken verschillen en het noteren daarvan in de verkorte vorm van een verschil van twee kwadraten.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Kwadraat van een som of verschil · Product van som en verschil

Som en verschil van logaritmen berekenen

De leerling past de formules voor de som en het verschil van logaritmen met hetzelfde grondtal toe om uitdrukkingen te vereenvoudigen en de waarden ervan vlot te berekenen.

Leerplanpunt MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

In de eerste klas herleidt de leerling uitdrukkingen die logaritmen met dezelfde grondtallen bevatten. Daarbij gebruikt de leerling de regel dat het optellen van logaritmen overeenkomt met de logaritme van het product, en het aftrekken ervan — met de logaritme van het quotiënt. Hierdoor kan de exacte waarde van de gehele uitdrukking worden bepaald, zelfs wanneer de afzonderlijke termen niet apart kunnen worden berekend.

Een veelgemaakte fout is het verwarren van deze regels en het optellen van de argumenten van de logaritmen in plaats van ze te vermenigvuldigen (bijvoorbeeld door ten onrechte te denken dat log a + log b gelijk is aan log(a + b) in plaats van log(a · b)). Bij het aftrekken is het verwisselen van de volgorde van de deling of het proberen samenvoegen van logaritmen met verschillende grondtallen soms ook een probleem.

Opgaven uit de sjablonen Som van logaritmen en Verschil van logaritmen vereisen het samenvoegen van twee termen tot één logaritme. De leerling combineert bijvoorbeeld twee logaritmen met hetzelfde grondtal tot een product of breuk, die na vereenvoudiging een macht van het grondtal oplevert en het mogelijk maakt om het uiteindelijke antwoord te noteren als een enkel geheel getal of een breuk.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Som van logaritmen · Verschil van logaritmen

Logaritmen berekenen met behulp van de definitie

De leerling berekent waarden van eenvoudige logaritmen voor gehele getallen en breuken door direct gebruik te maken van de definitie en de omzetting naar machtsverheffen.

Leerplanpunt MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Leerplanpunt MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

In de eerste klas van de middelbare school leert de leerling het begrip logaritme kennen en leert deze de waarde ervan direct uit de definitie te bepalen. De oplossing bestaat uit het beantwoorden van de vraag: tot welke macht moet het grondtal van de logaritme worden verheven om het argument te krijgen? In deze fase omvatten de oefeningen het bepalen van de waarde van logaritmen voor gehele getallen en voor gewone en decimale breuken.

De meest voorkomende fout ontstaat door het verwarren van machtsverheffen met vermenigvuldigen of delen – zo geeft een leerling bijvoorbeeld 4 in plaats van 3 als waarde voor de logaritme met grondtal 2 van 8, door 8 te delen door 2. Bij logaritmen van breuken is het soms ook een probleem dat er geen rekening wordt gehouden met een negatieve exponent, waardoor de leerling het minteken in het eindresultaat vergeet.

In de praktijk nemen opgaven die deze vaardigheid toetsen de vorm aan van eenvoudige rekenopdrachten:

  • Logaritme volgens definitie – het direct bepalen van de waarde waarbij de uitkomst een positief geheel getal is, bijv. het berekenen van de waarde van de logaritme met grondtal 3 van het getal 27.
  • Logaritme van een breuk – voorbeelden waarbij machten met een negatieve exponent moeten worden toegepast of gewerkt moet worden met decimale breuken, bijv. het berekenen van de logaritme met grondtal 2 van het getal 1/4 of de tiendelige logaritme van 0,1.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Logaritme van een breuk · Logaritme volgens de definitie

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van veeltermen

De leerling voert optelling, aftrekking en vermenigvuldiging van veeltermen met één variabele uit, herleidt gelijksoortige termen en ordent het verkregen resultaat.

Leerplanpunt MAT.LO.2.P.2 dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

In de eerste klas van het voortgezet onderwijs voert de leerling basisbewerkingen uit met veeltermen: het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van algebraïsche uitdrukkingen, waarna gelijksoortige termen worden herleid en het verkregen resultaat in gerangschikte vorm wordt genoteerd (van de hoogste naar de laagste macht van de variabele).

De meest gemaakte fout bij het aftrekken is het vergeten van het veranderen van de tekens van alle termen binnen de haakjes die worden afgetrokken. Bij het vermenigvuldigen van veeltermen vergeten leerlingen daarentegen vaak afzonderlijke termen bij het uitwerken van de haakjes ('alles met alles vermenigvuldigen') of maken ze fouten bij rekenen met machten, door bijvoorbeeld exponenten te vermenigvuldigen in plaats van op te tellen.

De opgaven uit de sjablonen Veeltermen optellen en aftrekken en Veeltermen vermenigvuldigen bestaan uit het uitvoeren van de aangegeven bewerkingen op gegeven veeltermen, het wegwerken van haakjes en het herleiden van de gehele uitdrukking tot de eenvoudigste vorm.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Veeltermen optellen en aftrekken · Veeltermen vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen en aftrekken van rationale uitdrukkingen

De leerling trekt algebraïsche breuken af en vermenigvuldigt deze, door ontbinding in factoren en het gelijknamig maken toe te passen.

Leerplanpunt MAT.LO.2.P.4 mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

In klas 1 van het lyceum en het technisch secundair onderwijs voert de leerling bewerkingen uit met algebraïsche breuken (rationale uitdrukkingen). In deze fase leert de leerling vooral het aftrekken en vermenigvuldigen van zulke uitdrukkingen, gebruikmakend van eerdere kennis van merkwaardige producten en het ontbinden van veeltermen in factoren.

Een typisch probleem bij het aftrekken is het kwijtraken van tekens – de leerling vergeet vaak dat de min voor de breuk betrekking heeft op de gehele teller, en niet alleen op de eerste term ervan. Bij het vermenigvuldigen is een veelvoorkomende fout het onjuist vereenvoudigen: de poging om afzonderlijke termen van een optelling te vereenvoudigen in plaats van gehele factoren in productvorm.

In de praktijk bestaan de opgaven uit het herleiden van de uitdrukking tot de eenvoudigste vorm en komen ze voor in twee hoofdvarianten:

  • Aftrekken van rationale uitdrukkingen — vereist het bepalen van een gemeenschappelijke noemer, het overeenkomstig uitbreiden van de tellers en het samennemen van gelijksoortige termen;
  • Vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen — bestaat uit het ontbinden van tellers en noemers in factoren, het wegstrepen van gelijke factoren en het noteren van het uiteindelijke product.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Rationale uitdrukkingen vermenigvuldigen · Rationale uitdrukkingen aftrekken

Formule van een lineaire functie uit punten of een evenwijdige lijn

De leerling bepaalt het functievoorschrift van een lineaire functie op basis van de coördinaten van twee punten of van een punt en de voorwaarde van evenwijdigheid aan een andere rechte.

Leerplanpunt MAT.LO.5.P.6 wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

In de eerste klas van de middelbare school leert de leerling het functievoorschrift van een lineaire functie in de vorm y = ax + b opstellen. De leerling kan de coëfficiënten berekenen op basis van numerieke gegevens: door ze te bepalen uit een stelsel van vergelijkingen voor twee gegeven punten, of door gebruik te maken van de eigenschappen van evenwijdige lijnen, wetende dat deze dezelfde richtingscoëfficiënt a hebben.

Een veelvoorkomend probleem in deze fase is het verwisselen van de coördinaten van een punt bij het invullen in de formule – het invullen van de waarde van de eerste as op de plaats van y en die van de tweede op de plaats van x. Leerlingen maken ook rekenfouten bij het wegwerken van mintekens en verwarren de voorwaarde voor evenwijdigheid met die voor loodrechtheid, waardoor ze onnodig het teken van de richtingscoëfficiënt veranderen.

In de praktijk zijn de oefeningen gebaseerd op twee typen opgaven:

  • Functievoorschrift van een lineaire functie door twee punten – de leerling krijgt de coördinaten van twee punten, bijv. (2, 5) en (-1, -1), en leidt de vergelijking af van de lijn die door beide punten gaat;
  • Evenwijdige lijn door een punt – de leerling krijgt een lijn (bijv. y = 3x - 2) en een punt daarbuiten, en zoekt de vergelijking van de nieuwe lijn door dezelfde richtingscoëfficiënt a te behouden en de nieuwe constante term b te berekenen.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Evenwijdige lijn door een punt · Lineaire functie door twee punten

Stelsels lineaire vergelijkingen en hun aantal oplossingen

De leerling lost stelsels van twee lineaire vergelijkingen op met de methode van tegengestelde coëfficiënten en bepaalt of het stelsel één oplossing heeft, oneindig veel oplossingen heeft of strijdig is.

Leerplanpunt MAT.LO.4.P.1 rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

In de eerste klas van de bovenbouw van het voortgezet onderwijs lost de leerling stelsels van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden op met behulp van de eliminatiemethode. De leerling kan vergelijkingen zo omschrijven dat na het lidsgewijs optellen een van de variabelen wegvalt, waarna de andere berekend kan worden. Daarnaast leert de leerling het aantal oplossingen van een stelsel te bepalen: hij kan een stelsel herkennen met precies één oplossing (één getallenpaar), een onbepaald stelsel met oneindig veel oplossingen en een strijdig stelsel dat geen enkele oplossing heeft.

Een veelgemaakte fout in deze fase is het vergeten van mintekens bij het vermenigvuldigen van de gehele vergelijking met een geheel getal (vooral een negatief getal) om tegengestelde coëfficiënten te verkrijgen. Leerlingen hebben ook moeite met het correct interpreteren van bijzondere uitkomsten: ze halen een identiteit, waarbij na het wegvallen van de variabelen de gelijkheid 0 = 0 ontstaat (oneindig veel oplossingen), door elkaar met een tegenspraak, waarbij de uitkomst een onware bewering is, zoals 0 = 5 (geen oplossingen).

In de praktijk oefent de leerling deze vaardigheden met opgaven gericht op:

  • het volledig oplossen van een stelsel in het sjabloon Stelsel van vergelijkingen — eliminatiemethode en het noteren van het getallenpaar dat aan de vergelijkingen voldoet,
  • de analyse van vergelijkingen in het sjabloon Aantal oplossingen van een stelsel, waarbij het doel is te bepalen of een gegeven stelsel precies één oplossing heeft, geen enkele oplossing heeft of oneindig veel oplossingen heeft.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Aantal oplossingen van een stelsel · Stelsel — eliminatie

Bewerkingen met machten en de exponent zoeken

De leerling past de rekenregels voor machten met hetzelfde grondtal toe om de ontbrekende exponent in gelijkheden correct te bepalen.

Leerplanpunt MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Een leerling in de eerste klas van de bovenbouw van het voortgezet onderwijs past vlot de rekenregels toe voor machten met gelijke grondtallen: vermenigvuldigen, delen en het verheffen van een macht tot een macht. Deze regels worden gebruikt om uitdrukkingen te herleiden en onbekende getallen in de exponenten te bepalen.

Een veelgemaakte fout is het verwarren van het optellen van exponenten met het vermenigvuldigen ervan bij een product van machten met hetzelfde grondtal (bijvoorbeeld door het resultaat van het vermenigvuldigen van machten te noteren als het product van hun exponenten). Leerlingen hebben soms ook moeite met het correct aftrekken van exponenten bij een deling, vooral wanneer er negatieve getallen voorkomen, of ze halen bewerkingen met exponenten en bewerkingen met de grondtallen zelf door elkaar.

De opgaven uit het sjabloon Ontbrekende exponent — rekenen met machten bestaan uit het invullen van een open plek in een gelijkheid. De leerling ziet een uitdrukking bestaande uit machten met een gemeenschappelijk grondtal en moet berekenen welk getal op de plaats van de ontbrekende exponent moet staan om de linker- en rechterkant aan elkaar gelijk te maken.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Verandering van grondtal van een logaritme

De leerling zet logaritmen met verschillende grondtallen om in een quotiënt van logaritmen met een nieuw, geschikt grondtal, wat het mogelijk maakt om de uitdrukking te vereenvoudigen en de exacte waarde ervan te berekenen.

In het voortgezet onderwijs leert de leerling de regel waarmee het grondtal van een gegeven logaritme kan worden veranderd naar een ander, voor berekeningen handiger grondtal. De leerling schrijft een enkele logaritme als een breuk waarin zowel de teller als de noemer het nieuw gekozen grondtal hebben, waardoor uitdrukkingen met verschillende grondtallen kunnen worden herleid naar een gemeenschappelijk grondtal en hun waarde kan worden berekend.

Een veelvoorkomende fout bij het toepassen van deze formule is het verwisselen van de teller en de noemer. Leerlingen vullen vaak mechanisch het oorspronkelijke grondtal van de logaritme in de teller van de nieuwe breuk in en het argument in de noemer, in plaats van het argument bovenaan en het oude grondtal onderaan te plaatsen.

In opgaven van het sjabloon Verandering van grondtal van logaritmen berekent de leerling de numerieke waarde van breuken met logaritmen met ongebruikelijke grondtallen of herleidt producten van dergelijke logaritmen tot een enkel geheel getal of een breuk.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Berekenen van oneven machtswortels

De leerling berekent de waarden van wortels van een oneven graad, waaronder van negatieve getallen, en bepaalt het teken van het resultaat correct.

Leerplanpunt MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Leerplanpunt MAT.LO.1.P.3 stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

In het eerste leerjaar van de bovenbouw leert de leerling het bepalen van de waarde van wortels van een oneven graad (bijvoorbeeld de derdemachts- of vijfdemachtswortel). De leerling leert de cruciale eigenschap van deze bewerkingen te herkennen: onder een wortel met een oneven graad kan een negatief getal staan, en het resultaat van zo'n worteltrekking heeft altijd hetzelfde teken.

De meest voorkomende fout is het toepassen van de regel voor vierkantswortels, waarmee leerlingen op de basisschool hebben gewerkt. Omdat ze hebben onthouden dat je uit een negatief getal geen wortel met een even graad kunt trekken, beschouwen ze een oneven wortel van een negatief getal ten onrechte als een onmogelijke bewerking, of laten ze het minteken ongerechtvaardigd weg en geven ze een positief resultaat.

De opdrachten bestaan uit het direct berekenen van getalswaarden in het sjabloon Wortel van een oneven graad. Een typisch voorbeeld is het bepalen van de waarde van de derdemachtswortel van het getal -27 of -125, of de vijfdemachtswortel van het getal 32.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Machten met een rationale exponent berekenen

De leerling leert machten met een gebroken exponent om te zetten in wortels, de waarden ervan te berekenen en rekenregels voor machten toe te passen om uitdrukkingen te vereenvoudigen.

Leerplanpunt MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

In het eerste jaar van de bovenbouw leert de leerling de notatie van een macht met een breuk als exponent. De leerling leert zo'n notatie vlot om te zetten naar een wortelvorm – waarbij de noemer van de breuk de graad van de wortel bepaalt en de teller de exponent van het getal onder het wortelteken – en deze bewerkingen omgekeerd uit te voeren, ook bij negatieve gebroken exponenten.

Een typische moeilijkheid is het verwisselen van de rol van de teller en de noemer: leerlingen zien de teller van de breuk vaak aan voor de graad van de wortel, en de noemer voor de exponent van het getal onder het wortelteken. Een veelvoorkomende fout is ook het over het hoofd zien van het minteken in de exponent, waardoor men vergeet het getal om te keren alvorens de wortel te trekken.

Oefeningen gebaseerd op het sjabloon Machten met een rationale exponent omvatten vooral het berekenen van de waarde van specifieke numerieke machten (bijv. 8 tot de macht 2/3 of 16 tot de macht -1/2) en het vereenvoudigen van uitdrukkingen met wortels door ze te schrijven als één macht met een gebroken exponent.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Berekening van het kapitaal op een bankdeposito

De leerling berekent het eindkapitaal op een deposito met behulp van het mechanisme van samengestelde rente bij een gegeven rentepercentage en spaarperiode.

Leerplanpunt MAT.LO.1.P.8 wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

De leerling leert de eindwaarde van spaargeld te bepalen met behulp van samengestelde rente. In deze fase gebruikt de leerling bewerkingen met machten om te berekenen hoe het ingelegde bedrag verandert wanneer de rente aan het kapitaal wordt toegevoegd en in volgende perioden zelf ook weer rente oplevert.

De meest voorkomende fout is het verwarren van samengestelde rente met enkelvoudige rente. Leerlingen berekenen de rente vaak slechts één keer over de initiële inleg en vermenigvuldigen deze met het aantal jaren, waarbij ze vergeten dat het basisbedrag voor de renteberekening in elke volgende periode toeneemt.

Opgaven uit het sjabloon Samengestelde rente — deposito presenteren concrete banksituaties: de leerling krijgt een beginbedrag, een jaarlijks rentepercentage en de looptijd van het sparen, en berekent vervolgens het uiteindelijke saldo na toepassing van regelmatige rentebijschrijving.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Oplossen van lineaire ongelijkheden met één onbekende

De leerling leert lineaire ongelijkheden met één onbekende op te lossen en de verzameling getallen die daaraan voldoen correct te bepalen en te noteren.

Leerplanpunt MAT.LO.3.P.3 rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

In de eerste klas van de middelbare school lost de leerling lineaire ongelijkheden met één onbekende op. De leerling herleidt deze tot een eenvoudigere vorm door het samennemen van gelijksoortige termen en door beide zijden op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen door reële getallen, om het gezochte getalleninterval te bepalen.

Een veelvoorkomend probleem is het vergeten om te keren van het ongelijkheidsteken bij het vermenigvuldigen of delen van beide zijden door een negatief getal. Leerlingen voeren de berekeningen vaak correct uit, maar laten het oorspronkelijke ongelijkheidsteken staan, wat leidt tot een onjuiste bepaling van de oplossingsverzameling.

De opgaven uit het sjabloon Lineaire ongelijkheid bestaan uit het herleiden van de gegeven algebraïsche ongelijkheid, het bepalen van de onbekende en het correct noteren van het eindresultaat in de vorm van een ongelijkheid of een interval.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Herkennen van strijdige en identieke vergelijkingen

De leerling herleidt lineaire vergelijkingen en herkent wanneer deze geen oplossingen hebben en wanneer elk reëel getal eraan voldoet.

Leerplanpunt MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)
Leerplanpunt MAT.LO.3.P.2 interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

In klas 1 van het voortgezet onderwijs lost de leerling lineaire vergelijkingen met één onbekende op, waarin na het herleiden van beide leden de variabele wegvalt. De leerling leert het verkregen resultaat correct te interpreteren: hij stelt vast dat de vergelijking een identiteit is (elke reële waarde voldoet), wanneer er een gelijkheid van de vorm 0 = 0 ontstaat, of strijdig is (geen oplossingen), wanneer er een tegenstrijdigheid ontstaat, zoals 0 = 5.

Een veelvoorkomend probleem is dat een leerling, nadat de onbekende is weggevallen, denkt een rekenfout te hebben gemaakt. In plaats van het resultaat te interpreteren, voegen leerlingen de onbekende vaak geforceerd weer toe of concluderen ze ten onrechte dat 0 = 0 simpelweg één oplossing x = 0 betekent, waarbij ze een identiteit verwarren met een specifieke getalswaarde.

Opgaven uit het sjabloon Strijdige of identieke vergelijking vereisen het uitvoeren van algebraïsche basisbewerkingen – zoals het herleiden van gelijksoortige termen of het wegwerken van haakjes – om vervolgens aan te geven of de gegeven vergelijking oneindig veel oplossingen heeft, dan wel helemaal geen oplossingen heeft.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Opgavensjablonen om af te drukken

Alle soorten opgaven, gegroepeerd per vaardigheid. Een klik opent de generator met het type al gekozen.

Ontbinden van een veelterm in factoren

Toepassen van merkwaardige producten

Som en verschil van logaritmen berekenen

Logaritmen berekenen met behulp van de definitie

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van veeltermen

Vermenigvuldigen en aftrekken van rationale uitdrukkingen

Formule van een lineaire functie uit punten of een evenwijdige lijn

Stelsels lineaire vergelijkingen en hun aantal oplossingen

Bewerkingen met machten en de exponent zoeken

Verandering van grondtal van een logaritme

Berekenen van oneven machtswortels

Machten met een rationale exponent berekenen

Berekening van het kapitaal op een bankdeposito

Oplossen van lineaire ongelijkheden met één onbekende

Herkennen van strijdige en identieke vergelijkingen

Andere soorten opgaven

Werkblad maken voor dit leerplan