Lehrplan (Polen)

Mathematik — Klasse 9

Mathematik in der 1. Klasse von Gymnasium und Technikum: Potenzen mit rationalen Exponenten, Wurzeln, Logarithmen, binomische Formeln, Polynome und rationale Ausdrücke, lineare Gleichungen, Ungleichungen und lineare Gleichungssysteme, lineare Funktion. Zu jedem Thema fertige Aufgaben zum Ausdrucken.

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Was lernt ein Schüler im Fach Mathematik in der 1. Klasse des Gymnasiums?

In Klasse 1 festigt der Schüler das Rechnen mit reellen Zahlen: Potenzen mit rationalen Exponenten, Wurzeln beliebigen Grades und Logarithmen samt ihren Eigenschaften. Er formt algebraische Ausdrücke mithilfe binomischer Formeln um, zerlegt Polynome in Faktoren und vereinfacht rationale Ausdrücke. Er löst lineare Gleichungen und Ungleichungen, Gleichungssysteme und bestimmt lineare Funktionen anhand zweier Punkte. Zudem berechnet er den Zinseszins.

Wichtiges zum Lehrplan: Der Lehrplan für Gymnasium und Technikum ist blockweise formuliert – er beschreibt, was der Schüler am Ende der weiterführenden Schule beherrscht, getrennt nach grundlegendem und erweitertem Niveau. Die Zuordnung eines Themas zu einer Klassenstufe ist unsere Entscheidung gemäß dem typischen Stoffverteilungsplan; im Abschnitt „Lehrplanumfang“ sehen Sie die Punkte des Lehrplans mit Zitaten.

Status der Seite: Die Aufgaben für diese Jahrgangsstufe sind in reiner Form ohne Sachkontext fertiggestellt (nur Aufgabenstellung und Formel); Aufgaben mit Abbildungen, Beweise und Textaufgaben folgen in den nächsten Schritten.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt MAT.LO.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Liczby rzeczywiste

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

Berechnung von Wurzeln ungeraden Grades (bei uns in Klasse 9) · Berechnung von Logarithmen anhand der Definition (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

Berechnung von Wurzeln ungeraden Grades (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

Berechnung von Potenzen mit rationalen Exponenten (bei uns in Klasse 9) · Rechnen mit Potenzen und Bestimmen des Exponenten (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

Berechnung des Kapitals bei einer Bankeinlage (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

Berechnung von Logarithmen anhand der Definition (bei uns in Klasse 9) · Berechnung der Summe und Differenz von Logarithmen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.LO.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wyrażenia algebraiczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

Anwendung der binomischen Formeln (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

Faktorisierung von Polynomen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

Multiplikation und Subtraktion rationaler Ausdrücke (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Równania i nierówności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.1 · Lerninhalte

przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

Erkennen von widersprüchlichen und identischen Gleichungen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

Erkennen von widersprüchlichen und identischen Gleichungen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

Lösen linearer Ungleichungen mit einer Unbekannten (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Układy równań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

Lineare Gleichungssysteme und ihre Anzahl an Lösungen (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funkcje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus Punkten oder einer parallelen Geraden (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.12 · Lerninhalte

na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.13 · Lerninhalte

posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.14 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14
Lehrplanpunkt MAT.LO.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ciągi

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trygonometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.2 · Lerninhalte

korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.3 · Lerninhalte

stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Planimetria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje twierdzenie Talesa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

korzysta z cech podobieństwa trójkątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

przeprowadza dowody geometryczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.4 · Lerninhalte

posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Stereometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kombinatoryka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.LO.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13
Lehrplanpunkt MAT.LO.13.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sprawność rachunkowa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wykorzystanie i tworzenie informacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rozumowanie i argumentacja

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Kompetenzen Schritt für Schritt

Faktorisierung von Polynomen

Der Schüler wandelt ein Polynom in ein Produkt einfacherer Ausdrücke um, indem er ein Monom ausklammert, Terme gruppiert sowie die Formeln für die Summe und Differenz von Kuben anwendet.

Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.3 wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

In der ersten Klasse von Gymnasium und Fachoberschule wandelt der Schüler Polynome in eine Produktform um. Er erlernt drei konkrete Rechentechniken: das Ausklammern eines gemeinsamen Monoms vor die Klammer, die Faktorisierung durch Gruppierung von Gliedern sowie die Anwendung von Formeln für die Summe und Differenz von Kuben.

Ein typisches Problem ist das Verlieren eines Summanden beim Ausklammern eines Monoms – wenn der ausgeklammerte Faktor mit einem der Summanden identisch ist, setzen Schüler oft irrtümlich eine Null ein oder lassen ihn ganz weg, anstatt eine 1 stehenzulassen. Große Schwierigkeiten bereitet auch die Kontrolle der Vorzeichen Plus und Minus, insbesondere beim Ausklammern eines negativen Faktors bei der Gruppierungsmethode sowie bei der korrekten Schreibweise des unvollständigen Quadrats in den Formeln für die Summe und Differenz von Kuben.

In der Praxis umfassen Aufgaben zur Einübung dieser Fertigkeit:

Ausklammern eines Monoms — das Bestimmen eines gemeinsamen numerischen Teilers sowie einer allen Gliedern gemeinsamen Potenz der Variablen,
Faktorisierung durch Gruppierung — das paarweise Zusammenfassen der Glieder des Polynoms, sodass nach dem Ausklammern von Faktoren in den Klammern derselbe Ausdruck entsteht,
Summe und Differenz von Kuben — das Erkennen der Formelstruktur und das Zerlegen des Binoms in ein Produkt einfacherer Faktoren.

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Aufgabentypen: Monom ausklammern · Faktorisieren durch Gruppieren · Summe und Differenz von Kuben

Anwendung der binomischen Formeln

Der Schüler formt algebraische Ausdrücke sicher um, indem er die Formeln für das Quadrat einer Summe, das Quadrat einer Differenz sowie das Produkt aus einer Summe und einer Differenz anwendet.

Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.1 stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

In der ersten Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule erlernen Schüler das Umformen algebraischer Ausdrücke zweiten Grades. Sie lernen, das Ausmultiplizieren von Klammern durch fertige algebraische Identitäten zu ersetzen, was ein schnelles Auflösen und Vereinfachen von Termen mit Variablen und reellen Zahlen ermöglicht.

Der häufigste Fehler ist das Weglassen des doppelten Produkts beim Quadrieren eines Binoms – Schüler quadrieren oft schematisch jedes Glied einzeln und schreiben (a + b)² als a² + b². Ein häufiges Problem ist auch das Übersehen von Minuszeichen, insbesondere wenn vor dem gesamten Ausdruck ein Minuszeichen steht oder wenn das zu quadrierende Glied einen negativen Koeffizienten hat.

Aufgaben aus diesem Bereich basieren auf zwei Arten von Aufgabenstellungen:

Quadrat einer Summe und Differenz – das Ausmultiplizieren quadrierter Klammerausdrücke in eine dreigliedrige Form,
Produkt aus Summe und Differenz – das Ausmultiplizieren von Klammerpaaren, die sich nur durch das Rechenzeichen unterscheiden, und deren Darstellung in der vereinfachten Form als Differenz von Quadraten.

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Aufgabentypen: Produkt aus Summe und Differenz · Quadrat einer Summe oder Differenz

Berechnung der Summe und Differenz von Logarithmen

Der Schüler wendet die Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis an, um Terme zu vereinfachen und deren Werte effizient zu berechnen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

In der ersten Klasse formt der Schüler Ausdrücke um, die Logarithmen mit denselben Basen enthalten. Er nutzt die Regel, dass die Addition von Logarithmen dem Logarithmus des Produkts und deren Subtraktion dem Logarithmus des Quotienten entspricht. Dies ermöglicht es, den genauen Wert des gesamten Ausdrucks zu bestimmen, selbst wenn sich die einzelnen Summanden nicht separat berechnen lassen.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln dieser Regeln und das Addieren der Numeri anstelle ihrer Multiplikation (beispielsweise die fehlerhafte Annahme, dass log a + log b gleich log(a + b) anstelle von log(a · b) ist). Bei der Subtraktion tritt zudem oft das Problem auf, dass die Reihenfolge der Division verwechselt wird oder versucht wird, Logarithmen mit unterschiedlichen Basen zusammenzufassen.

Die Aufgaben aus den Vorlagen Summe von Logarithmen sowie Differenz von Logarithmen erfordern das Zusammenfassen zweier Summanden zu einem einzigen Logarithmus. Beispielsweise verbindet der Schüler zwei Logarithmen mit derselben Basis zu einem Produkt oder Bruch, der nach dem Vereinfachen eine Potenz der Basis ergibt und es ermöglicht, das Endergebnis in Form einer einzelnen ganzen Zahl oder eines Bruchs anzugeben.

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Aufgabentypen: Differenz von Logarithmen · Summe von Logarithmen

Berechnung von Logarithmen anhand der Definition

Der Schüler berechnet die Werte einfacher Logarithmen für ganze Zahlen und Brüche unter direkter Verwendung der Definition und der Umwandlung in Potenzen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

In der 1. Klasse der Sekundarstufe II lernen Schülerinnen und Schüler den Begriff des Logarithmus kennen und lernen, seinen Wert direkt aus der Definition zu bestimmen. Die Lösung besteht in der Beantwortung der Frage: Mit welcher Potenz muss die Basis des Logarithmus potenziert werden, um den Numerus zu erhalten? Auf dieser Stufe umfassen die Übungen das Bestimmen von Logarithmenwerten für ganze Zahlen sowie für gemeine Brüche und Dezimalbrüche.

Der häufigste Fehler entsteht durch das Verwechseln des Potenzierens mit der Multiplikation oder Division – zum Beispiel gibt ein Schüler anstelle des Werts 3 für den Logarithmus von 8 zur Basis 2 das Ergebnis 4 an, indem er 8 durch 2 teilt. Bei Logarithmen von Brüchen bereitet es oft auch Schwierigkeiten, negative Exponenten zu berücksichtigen, wodurch das Minuszeichen im Endergebnis verloren geht.

In der Praxis treten Aufgaben zur Überprüfung dieser Fähigkeit in Form einfacher Rechenanweisungen auf:

Logarithmus aus der Definition – direkte Bestimmung des Werts, bei der das Ergebnis eine positive ganze Zahl ist, z. B. die Berechnung des Werts des Logarithmus der Zahl 27 zur Basis 3.
Logarithmus eines Bruchs – Beispiele, die die Anwendung von Potenzen mit negativem Exponenten oder das Rechnen mit Dezimalbrüchen erfordern, z. B. die Berechnung des Logarithmus der Zahl 1/4 zur Basis 2 oder des Zehnerlogarithmus von 0,1.

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Aufgabentypen: Logarithmus eines Bruchs · Logarithmus nach Definition

Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen

Der Schüler führt die Addition, Subtraktion sowie Multiplikation von Polynomen einer Variablen durch, fasst gleichartige Terme zusammen und ordnet das erhaltene Ergebnis.

Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.2 dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

In der 1. Klasse der Oberstufe führen Schülerinnen und Schüler grundlegende Operationen mit Polynomen durch: Sie addieren, subtrahieren und multiplizieren algebraische Ausdrücke, fassen anschließend gleichartige Terme zusammen und schreiben das Ergebnis in geordneter Form auf (von der höchsten zur niedrigsten Potenz der Variablen).

Der häufigste Fehler bei der Subtraktion ist das Vergessen, die Vorzeichen aller Terme in der abzuziehenden Klammer umzukehren. Bei der Multiplikation von Polynomen wiederum übersehen Schülerinnen und Schüler oft einzelne Summanden beim Ausmultiplizieren („jeder mit jedem“) oder machen Fehler bei den Potenzgesetzen, indem sie beispielsweise Exponenten multiplizieren anstatt sie zu addieren.

Die Aufgaben aus den Vorlagen Addition und Subtraktion von Polynomen sowie Multiplikation von Polynomen bestehen darin, die angegebenen Operationen an den vorgegebenen Polynomen durchzuführen, Klammern aufzulösen und den gesamten Ausdruck in die einfachstmögliche Form zu bringen.

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Aufgabentypen: Polynome addieren und subtrahieren · Polynome multiplizieren

Multiplikation und Subtraktion rationaler Ausdrücke

Der Schüler führt die Subtraktion und Multiplikation algebraischer Brüche durch, indem er die Faktorisierung und das Bringen auf einen gemeinsamen Nenner anwendet.

Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.4 mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

In der 1. Klasse der gymnasialen Oberstufe und des Technikums führen Schülerinnen und Schüler Operationen mit algebraischen Brüchen (Bruchtermen) durch. Auf dieser Stufe erlernen sie vor allem die Subtraktion sowie die Multiplikation solcher Ausdrücke und nutzen dabei ihr Vorwissen über binomische Formeln und die Faktorisierung von Polynomen.

Ein typisches Problem bei der Subtraktion ist das Übersehen von Vorzeichen – Lernende vergessen oft, dass sich das Minuszeichen vor dem Bruch auf den gesamten Zähler bezieht und nicht nur auf dessen erstes Glied. Bei der Multiplikation ist ein häufiger Fehler das falsche Kürzen: der Versuch, einzelne Summanden anstelle von ganzen Faktoren in der Produktform zu kürzen.

In der Praxis bestehen die Aufgaben darin, den Term so weit wie möglich zu vereinfachen, und treten in zwei Hauptvarianten auf:

Subtraktion von Bruchtermen — erfordert das Bestimmen eines gemeinsamen Nenners, das entsprechende Erweitern der Zähler und das Zusammenfassen gleichartiger Glieder;
Multiplikation von Bruchtermen — besteht darin, Zähler und Nenner in Faktoren zu zerlegen, übereinstimmende Terme zu kürzen und das Endergebnis als Produkt darzustellen.

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Aufgabentypen: Bruchterme multiplizieren · Bruchterme subtrahieren

Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus Punkten oder einer parallelen Geraden

Der Schüler bestimmt die Funktionsgleichung einer linearen Funktion anhand der Koordinaten zweier Punkte oder eines Punktes und der Bedingung der Parallelität zu einer anderen Geraden.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.6 wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

In der ersten Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule erlernt der Schüler das Bestimmen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion in der Form y = ax + b. Er kann die Koeffizienten anhand numerischer Angaben berechnen: Er bestimmt sie aus einem Gleichungssystem, das für zwei gegebene Punkte aufgestellt wird, oder nutzt die Eigenschaft paralleler Geraden, da er weiß, dass sie dieselbe Steigung a haben.

Ein häufiges Problem auf dieser Stufe ist das Verwechseln der Punktkoordinaten beim Einsetzen in die Formel – das Einsetzen des Wertes der ersten Achse anstelle von y und der zweiten anstelle von x. Schüler machen zudem Rechenfehler beim Auflösen von Minuszeichen und verwechseln die Bedingung für Parallelität mit der für Orthogonalität, indem sie unnötigerweise das Vorzeichen der Steigung ändern.

In der Praxis basieren die Übungen auf zwei Aufgabentypen:

Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus zwei Punkten – der Schüler erhält die Koordinaten zweier Punkte, z. B. (2, 5) und (-1, -1), und leitet die Gleichung der Geraden her, die durch beide Punkte verläuft;
Parallele Gerade durch einen Punkt – der Schüler hat eine Gerade (z. B. y = 3x - 2) sowie einen Punkt außerhalb dieser Geraden gegeben und sucht die Gleichung einer neuen Geraden, indem er dieselbe Steigung a beibehält und den neuen y-Achsenabschnitt b berechnet.

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Aufgabentypen: Lineare Funktion durch zwei Punkte · Parallele Gerade durch einen Punkt

Lineare Gleichungssysteme und ihre Anzahl an Lösungen

Der Schüler löst Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit dem Additionsverfahren und bestimmt, ob das System eine Lösung, unendlich viele Lösungen hat oder unlösbar ist.

Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.1 rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

In der 1. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule löst der Schüler lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen mithilfe des Additionsverfahrens. Er lernt, die Gleichungen so umzuformen, dass durch deren seitenweise Addition eine der Variablen eliminiert wird, um anschließend die andere zu berechnen. Zudem lernt er, die Anzahl der Lösungen des Systems zu bestimmen: Er kann ein System mit genau einem Zahlenpaar als Lösung, ein unbestimmtes System mit unendlich vielen Lösungen sowie ein widersprüchliches System ohne Lösung erkennen.

Ein häufiger Fehler auf dieser Stufe ist das Übersehen von Minuszeichen bei der Multiplikation der gesamten Gleichung mit einer ganzen Zahl (insbesondere einer negativen), um entgegengesetzte Koeffizienten zu erhalten. Schüler haben auch Schwierigkeiten bei der korrekten Interpretation ungewöhnlicher Ergebnisse: Sie verwechseln eine allgemeingültige Aussage, wenn nach dem Wegfallen der Variablen die Gleichheit 0 = 0 entsteht (unendlich viele Lösungen), mit einem Widerspruch, wenn das Ergebnis eine falsche Aussage ist, wie zum Beispiel 0 = 5 (keine Lösung).

In der Praxis übt der Schüler diese Fähigkeiten anhand von Aufgaben, die Folgendes umfassen:

das vollständige Lösen des Gleichungssystems in der Vorlage Lineare Gleichungssysteme – Additionsverfahren und die Angabe des Zahlenpaars, das die Gleichungen erfüllt,
die Analyse von Gleichungen in der Vorlage Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems, bei der bestimmt werden soll, ob ein bestimmtes System genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzt.

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Aufgabentypen: Anzahl der Lösungen eines Systems · Gleichungssystem — Additionsverfahren

Rechnen mit Potenzen und Bestimmen des Exponenten

Der Schüler wendet die Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis an, um den fehlenden Exponenten in Gleichungen korrekt zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Schülerinnen und Schüler der 1. Klasse der Sekundarstufe II wenden die Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis sicher an: Multiplikation, Division sowie das Potenzieren von Potenzen. Sie nutzen diese Regeln, um Terme umzuformen und unbekannte Zahlen in den Exponenten zu bestimmen.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln der Addition von Exponenten mit deren Multiplikation beim Produkt von Potenzen mit gleicher Basis (zum Beispiel das Notieren des Ergebnisses der Multiplikation von Potenzen als Produkt ihrer Exponenten). Schülerinnen und Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten beim korrekten Subtrahieren von Exponenten bei der Division, insbesondere wenn negative Zahlen auftreten, und verwechseln zudem Rechenoperationen mit Exponenten mit Operationen an den Basen selbst.

Die Aufgaben aus der Vorlage Fehlender Exponent – Rechnen mit Potenzen bestehen darin, eine Lücke in einer Gleichung auszufüllen. Die Schülerinnen und Schüler sehen einen Term aus Potenzen mit gleicher Basis und müssen berechnen, welche Zahl an der Stelle des fehlenden Exponenten stehen muss, damit die linke Seite gleich der rechten Seite ist.

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Basiswechsel des Logarithmus

Der Schüler wandelt Logarithmen mit unterschiedlichen Basen in einen Quotienten von Logarithmen mit einer neuen, geeigneten Basis um, was es ermöglicht, den Ausdruck zu vereinfachen und seinen exakten Wert zu berechnen.

In der 1. Klasse der gymnasialen Oberstufe und des Technikums lernen die Schülerinnen und Schüler die Regel kennen, mit der sich die Basis eines gegebenen Logarithmus in eine andere, rechnerisch bequemere Basis ändern lässt. Dabei wird ein einzelner Logarithmus in Form eines Bruchs dargestellt, bei dem sowohl der Zähler als auch der Nenner die neu gewählte Basis besitzen, was es ermöglicht, Ausdrücke mit unterschiedlichen Basen auf eine gemeinsame Basis zu bringen und ihren Wert zu bestimmen.

Ein typischer Fehler bei der Anwendung dieser Formel ist das Vertauschen von Zähler und Nenner. Schülerinnen und Schüler setzen oft mechanisch die bisherige Basis des Logarithmus in den Zähler des neuen Bruchs und den Numerus in den Nenner, anstatt den Numerus oben und die alte Basis unten einzutragen.

In den Aufgaben aus der Vorlage Basiswechsel bei Logarithmen geht es um das Berechnen des Zahlenwerts von Brüchen, die Logarithmen mit unüblichen Basen enthalten, oder um das Vereinfachen von Produkten solcher Logarithmen zu einer einzelnen ganzen Zahl oder einem Bruch.

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Berechnung von Wurzeln ungeraden Grades

Der Schüler berechnet Werte von Wurzeln ungeraden Grades, auch aus negativen Zahlen, und bestimmt das Vorzeichen des Ergebnisses korrekt.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.3 stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

In der 1. Klasse der weiterführenden Schule (Gymnasium und Fachoberschule) erlernen Schülerinnen und Schüler das Bestimmen von Werten von Wurzeln ungeraden Grades (zum Beispiel der dritten oder fünften Wurzel). Sie lernen, eine grundlegende Eigenschaft dieser Rechenoperationen zu erkennen: Unter einer Wurzel ungeraden Grades darf eine negative Zahl stehen, und das Ergebnis eines solchen Radizierens ist immer eine Zahl mit demselben Vorzeichen.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Regel für Quadratwurzeln zu übertragen, mit denen die Lernenden zuvor gearbeitet haben. Da sie im Gedächtnis haben, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzeln geraden Grades ziehen kann, halten sie eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl fälschlicherweise für eine nicht durchführbare Operation oder lassen das Minuszeichen unbegründet weg und geben ein positives Ergebnis an.

Die Aufgaben bestehen in der direkten Berechnung von Zahlenwerten in der Vorlage Wurzel ungeraden Grades. Ein typisches Beispiel ist das Bestimmen des Werts der dritten Wurzel aus der Zahl -27, -125 oder der fünften Wurzel aus der Zahl 32.

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Berechnung von Potenzen mit rationalen Exponenten

Der Schüler lernt, Potenzen mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln umzuwandeln, deren Werte zu berechnen und die Potenzgesetze zur Vereinfachung von Ausdrücken anzuwenden.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

In der 1. Klasse der weiterführenden Schule (Gymnasium und Fachoberschule) lernen die Schülerinnen und Schüler die Schreibweise von Potenzen kennen, deren Exponent ein Bruch ist. Sie lernen, eine solche Schreibweise sicher in die Wurzelschreibweise umzuwandeln – wobei der Nenner des Bruchs den Wurzelexponenten und der Zähler den Exponenten des Radikanden bestimmt – sowie diese Operationen in die umgekehrte Richtung durchzuführen, auch im Fall von negativen gebrochenen Exponenten.

Eine typische Schwierigkeit besteht im Verwechseln der Rollen von Zähler und Nenner: Schülerinnen und Schüler betrachten den Zähler des Bruchs nicht selten als Wurzelexponenten und den Nenner als Potenz der Zahl unter dem Wurzelzeichen. Ein häufiger Fehler ist auch das Nichtberücksichtigen des Minuszeichens im Exponenten, was dazu führt, dass die Bildung des Kehrwerts vor dem Wurzelziehen ausgelassen wird.

Die Übungen auf Basis der Vorlage Potenz mit rationalem Exponenten umfassen vor allem das Bestimmen der Werte konkreter Zahlenpotenzen (z. B. 8 hoch 2/3 oder 16 hoch -1/2) sowie das Vereinfachen von Termen mit Wurzeln, indem man sie als eine einzige Potenz mit gebrochenem Exponenten darstellt.

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Berechnung des Kapitals bei einer Bankeinlage

Der Schüler berechnet das Endkapital einer Geldanlage unter Nutzung des Zinseszinsmechanismus bei vorgegebenem Zinssatz und Sparzeitraum.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.8 wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Schülerinnen und Schüler lernen in der 1. Klasse des Gymnasiums und der Fachschule, den Endwert von Ersparnissen unter Anwendung des Zinseszinses zu bestimmen. In dieser Phase nutzen sie Potenzen, um zu berechnen, wie sich der eingezahlte Betrag verändert, wenn Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden und in den folgenden Perioden selbst Erträge einbringen.

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Zinseszins mit einfachen Zinsen. Schülerinnen und Schüler berechnen die Zinsen oft nur einmalig auf der Grundlage des Anfangsbetrags und multiplizieren sie mit der Anzahl der Jahre, wobei sie vergessen, dass die Basis für die Zinsberechnung in jeder weiteren Periode wächst.

Die Aufgaben aus der Vorlage Zinseszins — Festgeld stellen konkrete Banksituationen dar: Die Schülerinnen und Schüler erhalten ein Anfangskapital, einen jährlichen Zinssatz sowie die Anlagedauer und berechnen anschließend den endgültigen Kontostand unter Berücksichtigung der regelmäßigen Zinskapitalisierung.

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Lösen linearer Ungleichungen mit einer Unbekannten

Der Schüler lernt, lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten zu lösen sowie die Menge der sie erfüllenden Zahlen korrekt zu bestimmen und anzugeben.

Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.3 rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

In der 1. Klasse der weiterführenden Schule lösen die Lernenden lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten. Sie bringen sie durch Zusammenfassen gleichartiger Terme sowie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division beider Seiten durch reelle Zahlen in eine einfachere Form, um das gesuchte Zahlenintervall zu bestimmen.

Ein typisches Problem ist das Vergessen der Umkehrung des Ungleichheitszeichens bei der Multiplikation oder Division beider Seiten durch eine negative Zahl. Die Lernenden führen oft korrekte Rechenschritte durch, behalten jedoch das ursprüngliche Ungleichheitszeichen bei, was zu einer fehlerhaften Bestimmung der Lösungsmenge führt.

Die Aufgaben aus der Vorlage Lineare Ungleichung bestehen darin, die gegebene algebraische Ungleichung umzuformen, den Wert der Unbekannten zu bestimmen und das Endergebnis korrekt in Form einer Ungleichung oder eines Intervalls anzugeben.

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Erkennen von widersprüchlichen und identischen Gleichungen

Der Schüler formt lineare Gleichungen um und erkennt, wann sie keine Lösung haben und wann jede reelle Zahl sie erfüllt.

Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.2 interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

In der 1. Klasse von Gymnasium und Technikum lösen Schülerinnen und Schüler lineare Gleichungen mit einer Unbekannten, bei denen sich die Variable nach dem Ordnen beider Seiten aufhebt. Sie lernen, das erhaltene Ergebnis richtig zu interpretieren: Sie stellen fest, dass die Gleichung allgemeingültig ist (jede reelle Zahl erfüllt sie), wenn sie zu einer Identität der Form 0 = 0 führt, oder unlösbar (keine Lösungen), wenn sich ein Widerspruch wie zum Beispiel 0 = 5 ergibt.

Ein häufiges Problem besteht darin, dass Lernende glauben, einen Rechenfehler gemacht zu haben, sobald die Unbekannte wegfällt. Anstatt das Ergebnis zu interpretieren, fügen sie die Unbekannte oft krampfhaft wieder ein oder schließen fälschlicherweise, dass der Ausdruck 0 = 0 einfach nur eine einzige Lösung x = 0 bedeutet, womit sie eine allgemeingültige Aussage mit einem konkreten Zahlenwert verwechseln.

Die Aufgaben der Vorlage Unlösbare oder allgemeingültige Gleichung erfordern die Durchführung grundlegender algebraischer Umformungen – wie das Zusammenfassen gleichartiger Terme oder das Auflösen von Klammern – und die anschließende Angabe, ob die gegebene Gleichung unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung besitzt.

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Fehlender Exponent — Potenzgesetze

Mathematik — Klasse 9

Was lernt ein Schüler im Fach Mathematik in der 1. Klasse des Gymnasiums?

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