Programma scolastico (Polonia)

Matematica — classe 9ª

Matematica per il primo anno di liceo e istituto tecnico: potenze con esponente razionale, radicali, logaritmi, prodotti notevoli, polinomi ed espressioni razionali, equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni lineari, funzione lineare. Per ogni argomento, esercizi pronti da stampare.

Crea una scheda di questo programma

Cosa impara uno studente in matematica al primo anno di liceo?

Nel 1° anno lo studente consolida il calcolo con i numeri reali: potenze a esponente razionale, radici di indice qualsiasi e logaritmi con le relative proprietà. Trasforma espressioni algebriche con i prodotti notevoli, scompone polinomi in fattori e semplifica espressioni razionali. Risolve equazioni e disequazioni lineari, sistemi di equazioni e determina la funzione lineare a partire da due punti. Calcola anche l'interesse composto.

Nota importante sul programma ministeriale: le indicazioni per il liceo e l'istituto tecnico sono formulate a blocchi: descrivono ciò che lo studente deve sapere al termine della scuola secondaria di secondo grado, separatamente per il livello base e avanzato. L'assegnazione di un argomento a un determinato anno di corso è una nostra scelta basata sulla tipica scansione didattica; nella sezione «Programma ministeriale» puoi trovare i punti delle indicazioni con le citazioni testuali.

Stato della pagina: gli esercizi di questo anno sono disponibili in forma essenziale (solo consegna e formula); gli esercizi con figure, le dimostrazioni e i problemi contestualizzati verranno integrati nei passaggi successivi.

Ambito del programma

Punto del programma MAT.LO.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Numeri reali

nostra traduzione · testo originale (PL): Liczby rzeczywiste

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1
Punto del programma MAT.LO.1.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

esegue operazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice, logaritmizzazione) nell'insieme dei numeri reali

nostra traduzione · testo originale (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

Calcolo delle radici di indice dispari (da noi in classe 9) · Calcolo dei logaritmi dalla definizione (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.1.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

svolge semplici dimostrazioni riguardanti la divisibilità dei numeri interi e i resti della divisione, ad es.:

nostra traduzione · testo originale (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.1.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica le proprietà delle radici di qualsiasi indice, comprese le radici di indice dispari di numeri negativi

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

Calcolo delle radici di indice dispari (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.1.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica la relazione tra estrazione di radice ed elevamento a potenza e le proprietà delle operazioni con potenze e radici

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

Calcolo delle potenze con esponente razionale (da noi in classe 9) · Operazioni con le potenze e ricerca dell'esponente (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.1.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica la monotonia dell'elevamento a potenza, in particolare le proprietà: se x < y e a > 1, allora ax < ay, mentre se x < y e 0 < a < 1, allora ax > ay

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5
Punto del programma MAT.LO.1.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza il concetto di intervallo numerico, rappresenta gli intervalli sulla retta numerica

nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6
Punto del programma MAT.LO.1.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica l'interpretazione geometrica e algebrica del valore assoluto, risolve equazioni del tipo: |x + 4| = 5

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7
Punto del programma MAT.LO.1.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza le proprietà delle potenze e delle radici in situazioni pratiche, compreso il calcolo dell'interesse composto, dei rendimenti dei depositi e dei costi dei prestiti

nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

Calcolo del capitale su un deposito bancario (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.1.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica la relazione tra logaritmo ed elevamento a potenza, utilizza le formule per il logaritmo del prodotto, il logaritmo del quoziente e il logaritmo della potenza.

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

Calcolo dei logaritmi dalla definizione (da noi in classe 9) · Calcolo della somma e della differenza di logaritmi (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.1.P.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

dimostrazione della divisibilità per 24 del prodotto di quattro numeri naturali consecutivi

nostra traduzione · testo originale (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Punto del programma MAT.LO.1.P.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

dimostrazione della proprietà: se un numero diviso per 4 dà resto 3, allora non è il quadrato di un numero intero

nostra traduzione · testo originale (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Punto del programma MAT.LO.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Espressioni algebriche

nostra traduzione · testo originale (PL): Wyrażenia algebraiczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2
Punto del programma MAT.LO.2.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica le formule dei prodotti notevoli per: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

Applicazione dei prodotti notevoli (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.2.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

somma, sottrae e moltiplica polinomi in una e più variabili

nostra traduzione · testo originale (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

Addizione, sottrazione e moltiplicazione di polinomi (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.2.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica

nostra traduzione · testo originale (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

Scomposizione di un polinomio in fattori (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.2.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

moltiplica e divide espressioni razionali.

nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

Moltiplicazione e sottrazione di espressioni razionali (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Equazioni e disequazioni

nostra traduzione · testo originale (PL): Równania i nierówności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3
Punto del programma MAT.LO.3.P.1 · Contenuti di insegnamento

trasforma equazioni e disequazioni in modo equivalente, tra cui ad es. trasforma in modo equivalente un'equazione razionale (esempio nell'atto)

nostra traduzione · testo originale (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

Riconoscimento di equazioni impossibili e identità (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.3.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

interpreta equazioni e disequazioni lineari impossibili e indeterminate

nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

Riconoscimento di equazioni impossibili e identità (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.3.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

risolve disequazioni lineari con un'incognita

nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

Risoluzione delle disequazioni lineari con un'incognita (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.3.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

risolve equazioni e disequazioni di secondo grado

nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4
Punto del programma MAT.LO.3.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

risolve equazioni polinomiali della forma W(x) = 0 per polinomi ridotti alla forma fattorizzata.

nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5
Punto del programma MAT.LO.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Sistemi di equazioni

nostra traduzione · testo originale (PL): Układy równań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4
Punto del programma MAT.LO.4.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

risolve sistemi di equazioni lineari a due incognite, fornisce l'interpretazione geometrica di sistemi determinati, indeterminati e impossibili

nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

Sistemi di equazioni lineari e il loro numero di soluzioni (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.4.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza i sistemi di equazioni per risolvere problemi testuali.

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Funzioni

nostra traduzione · testo originale (PL): Funkcje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5
Punto del programma MAT.LO.5.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

definisce le funzioni come corrispondenza univoca mediante descrizione verbale, tabella, grafico, formula (anche con formule diverse su intervalli diversi)

nostra traduzione · testo originale (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.5.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcola il valore di una funzione data da una formula algebrica

nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.5.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

legge e interpreta i valori di funzioni definite mediante tabelle, grafici, formule ecc., anche in situazioni di utilizzo ripetuto della stessa fonte di informazione o di più fonti contemporaneamente

nostra traduzione · testo originale (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3
Punto del programma MAT.LO.5.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

legge dal grafico di una funzione: il dominio, l'insieme delle immagini, gli zeri, gli intervalli di monotonia, gli intervalli in cui la funzione assume valori maggiori (non minori) o minori (non maggiori) di un dato numero, i valori massimo e minimo della funzione (se esistono) in un dato intervallo chiuso e gli argomenti per i quali i valori massimo e minimo sono assunti dalla funzione

nostra traduzione · testo originale (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4
Punto del programma MAT.LO.5.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

interpreta i coefficienti presenti nella formula della funzione lineare

nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5
Punto del programma MAT.LO.5.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

determina la formula di una funzione lineare in base alle informazioni sul suo grafico o sulle sue proprietà

nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

Formula della funzione lineare da punti o da una retta parallela (da noi in classe 9)
Punto del programma MAT.LO.5.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

traccia il grafico di una funzione quadratica data da una formula

nostra traduzione · testo originale (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7
Punto del programma MAT.LO.5.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

interpreta i coefficienti presenti nella formula della funzione quadratica in forma generale, canonica e fattorizzata (se esiste)

nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8
Punto del programma MAT.LO.5.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

determina la formula di una funzione quadratica sulla base di informazioni su questa funzione o sul suo grafico

nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9
Punto del programma MAT.LO.5.P.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

determina il valore massimo e il valore minimo di una funzione quadratica in un intervallo chiuso

nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10
Punto del programma MAT.LO.5.P.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza le proprietà della funzione lineare e quadratica per l'interpretazione di problemi geometrici, fisici, ecc., anche inseriti in un contesto pratico

nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11
Punto del programma MAT.LO.5.P.12 · Contenuti di insegnamento

sulla base del grafico della funzione y = f(x) traccia i grafici delle funzioni y = f(x − a), y = f(x) + b

nostra traduzione · testo originale (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12
Punto del programma MAT.LO.5.P.13 · Contenuti di insegnamento

utilizza la funzione f(x) = a/x, compreso il suo grafico, per descrivere e interpretare questioni legate a grandezze inversamente proporzionali, anche in applicazioni pratiche

nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13
Punto del programma MAT.LO.5.P.14 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza le funzioni esponenziale e logaritmica, compresi i loro grafici, per descrivere e interpretare questioni legate ad applicazioni pratiche.

nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14
Punto del programma MAT.LO.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Successioni

nostra traduzione · testo originale (PL): Ciągi

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6
Punto del programma MAT.LO.6.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcola i termini di una successione definita dalla formula generale

nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.6.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcola i primi termini di successioni definite ricorsivamente

nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.6.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

in casi semplici esamina se una successione è crescente o decrescente

nostra traduzione · testo originale (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3
Punto del programma MAT.LO.6.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

verifica se una data successione è aritmetica o geometrica

nostra traduzione · testo originale (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4
Punto del programma MAT.LO.6.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica la formula per l'n-esimo termine e per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5
Punto del programma MAT.LO.6.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica la formula per il termine n-esimo e per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6
Punto del programma MAT.LO.6.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza le proprietà delle successioni, tra cui quelle aritmetiche e geometriche, per risolvere problemi, anche inseriti in un contesto pratico.

nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7
Punto del programma MAT.LO.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Trigonometria

nostra traduzione · testo originale (PL): Trygonometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7
Punto del programma MAT.LO.7.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza le definizioni delle funzioni: seno, coseno e tangente per angoli da 0° a 180°, in particolare determina i valori delle funzioni trigonometriche per gli angoli di 30°, 45°, 60°

nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.7.P.2 · Contenuti di insegnamento

utilizza le formule sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.7.P.3 · Contenuti di insegnamento

applica il teorema del coseno e la formula per l'area del triangolo P = ½ · a · b · sin γ

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3
Punto del programma MAT.LO.7.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcola gli angoli di un triangolo rettangolo e le lunghezze dei suoi lati a partire da dati opportuni (risolve triangoli rettangoli, anche con l'uso delle funzioni trigonometriche).

nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4
Punto del programma MAT.LO.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Geometria piana

nostra traduzione · testo originale (PL): Planimetria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8
Punto del programma MAT.LO.8.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

determina raggi e diametri di circonferenze, lunghezze di corde di circonferenze e di segmenti di tangente, compreso l'utilizzo del teorema di Pitagora

nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.8.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riconosce triangoli acutangoli, rettangoli e ottusangoli date le lunghezze dei lati (tra l'altro applica il teorema inverso del teorema di Pitagora e il teorema del coseno); applica il teorema: in un triangolo all'angolo interno maggiore è opposto il lato più lungo

nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.8.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riconosce i poligoni regolari e utilizza le loro proprietà fondamentali

nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3
Punto del programma MAT.LO.8.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza le proprietà degli angoli e delle diagonali nei rettangoli, parallelogrammi, rombi e trapezi

nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4
Punto del programma MAT.LO.8.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica le proprietà degli angoli alla circonferenza e al centro

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5
Punto del programma MAT.LO.8.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica le formule per l'area del settore circolare e la lunghezza dell'arco di circonferenza

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6
Punto del programma MAT.LO.8.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica il teorema di Talete

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje twierdzenie Talesa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7
Punto del programma MAT.LO.8.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza i criteri di similitudine dei triangoli

nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8
Punto del programma MAT.LO.8.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza le relazioni tra i perimetri e tra le aree di figure simili

nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9
Punto del programma MAT.LO.8.P.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

indica i punti notevoli fondamentali in un triangolo: il centro della circonferenza inscritta in un triangolo, il centro della circonferenza circoscritta a un triangolo, l'ortocentro, il baricentro e utilizza le loro proprietà

nostra traduzione · testo originale (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10
Punto del programma MAT.LO.8.P.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

svolge dimostrazioni geometriche

nostra traduzione · testo originale (PL): przeprowadza dowody geometryczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11
Punto del programma MAT.LO.8.P.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

applica le funzioni trigonometriche per determinare le lunghezze dei segmenti nelle figure piane e per calcolare le aree delle figure.

nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12
Punto del programma MAT.LO.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Geometria analitica nel piano cartesiano

nostra traduzione · testo originale (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9
Punto del programma MAT.LO.9.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riconosce la posizione reciproca delle rette nel piano in base alle loro equazioni, tra cui trova il punto comune di due rette, se esiste

nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.9.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza le equazioni delle rette nel piano, in forma esplicita e generale, tra cui determina l'equazione di una retta con proprietà assegnate (quali, ad es., il passaggio per due punti dati, coefficiente angolare noto, parallelismo con un'altra retta)

nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.9.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcola la distanza tra due punti in un sistema di coordinate

nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3
Punto del programma MAT.LO.9.P.4 · Contenuti di insegnamento

utilizza l'equazione della circonferenza (x − a)² + (y − b)² = r²

nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4
Punto del programma MAT.LO.9.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

determina le immagini di circonferenze e poligoni nelle simmetrie assiali rispetto agli assi del sistema di coordinate, nella simmetria centrale (con centro nell'origine del sistema di coordinate).

nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5
Punto del programma MAT.LO.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Stereometria

nostra traduzione · testo originale (PL): Stereometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10
Punto del programma MAT.LO.10.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riconosce la posizione reciproca delle rette nello spazio, in particolare rette perpendicolari non incidenti

nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.10.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza il concetto di angolo tra una retta e un piano e il concetto di angolo diedro tra semipiani

nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.10.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riconosce nei prismi e nelle piramidi gli angoli tra segmenti (ad es. spigoli, spigoli e diagonali) nonché gli angoli tra facce, calcola le ampiezze di tali angoli

nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3
Punto del programma MAT.LO.10.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

riconosce nei cilindri e nei coni l'angolo tra segmenti e l'angolo tra segmenti e piani (ad es. l'angolo di apertura del cono, l'angolo tra la generatrice e la base), calcola le ampiezze di questi angoli

nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4
Punto del programma MAT.LO.10.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcola i volumi e le aree delle superfici di prismi, piramidi, cilindro, cono e sfera, anche utilizzando la trigonometria

nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5
Punto del programma MAT.LO.10.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

utilizza la relazione tra i volumi di solidi simili.

nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6
Punto del programma MAT.LO.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Combinatoria

nostra traduzione · testo originale (PL): Kombinatoryka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11
Punto del programma MAT.LO.11.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

conta oggetti in semplici situazioni combinatorie

nostra traduzione · testo originale (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.11.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

conta gli oggetti, applicando le regole della moltiplicazione e dell'addizione (anche congiuntamente) per un qualsiasi numero di azioni, ad es.:

nostra traduzione · testo originale (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.11.P.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcolo di quanti siano i numeri interi positivi dispari a quattro cifre tali che nella loro scrittura decimale compaiano esattamente una cifra 1 ed esattamente una cifra 2

nostra traduzione · testo originale (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Punto del programma MAT.LO.11.P.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcolo di quanti siano i numeri interi positivi pari a quattro cifre tali che nella loro scrittura decimale compaia esattamente una cifra 0 ed esattamente una cifra 1.

nostra traduzione · testo originale (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Punto del programma MAT.LO.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Calcolo delle probabilità e statistica

nostra traduzione · testo originale (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12
Punto del programma MAT.LO.12.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcola la probabilità nel modello classico

nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.12.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

calcola la media aritmetica e la media ponderata, trova la mediana e la moda.

nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2
Punto del programma MAT.LO.13 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Ottimizzazione e calcolo differenziale

nostra traduzione · testo originale (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13
Punto del programma MAT.LO.13.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

risolve problemi di ottimizzazione in situazioni che possono essere descritte da una funzione quadratica.

nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1
Punto del programma MAT.LO.WO.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Abilità di calcolo

nostra traduzione · testo originale (PL): Sprawność rachunkowa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I
Punto del programma MAT.LO.WO.1.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Esecuzione di calcoli con i numeri reali, anche con l'uso della calcolatrice, applicazione delle proprietà delle operazioni matematiche nella trasformazione di espressioni algebriche e utilizzo di tali abilità nella risoluzione di problemi in contesti reali e teorici

nostra traduzione · testo originale (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I
Punto del programma MAT.LO.WO.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Utilizzo e creazione di informazioni

nostra traduzione · testo originale (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II
Punto del programma MAT.LO.WO.2.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Interpretare e operare con le informazioni presentate in un testo, sia matematico sia divulgativo, nonché sotto forma di grafici, diagrammi, tabelle

nostra traduzione · testo originale (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1
Punto del programma MAT.LO.WO.2.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Uso del linguaggio matematico per la produzione di testi matematici, compresa la descrizione dei ragionamenti svolti e la giustificazione delle conclusioni, nonché per la presentazione dei dati

nostra traduzione · testo originale (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2
Punto del programma MAT.LO.WO.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Utilizzo e interpretazione delle rappresentazioni

nostra traduzione · testo originale (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III
Punto del programma MAT.LO.WO.3.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Utilizzo di oggetti matematici e operare con essi, interpretazione di concetti matematici

nostra traduzione · testo originale (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1
Punto del programma MAT.LO.WO.3.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Selezione e creazione di modelli matematici nella risoluzione di problemi pratici e teorici

nostra traduzione · testo originale (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2
Punto del programma MAT.LO.WO.3.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Creazione di oggetti matematici ausiliari sulla base di quelli esistenti, al fine di condurre un'argomentazione o risolvere un problema

nostra traduzione · testo originale (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3
Punto del programma MAT.LO.WO.3.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Indicazione della necessità o della possibilità di modifica del modello matematico nei casi che richiedono speciali riserve, ipotesi aggiuntive, la considerazione di particolari condizioni

nostra traduzione · testo originale (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4
Punto del programma MAT.LO.WO.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Ragionamento e argomentazione

nostra traduzione · testo originale (PL): Rozumowanie i argumentacja

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV
Punto del programma MAT.LO.WO.4.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Condurre ragionamenti, anche a più fasi, fornire argomenti che giustificano la correttezza del ragionamento, distinguere una dimostrazione da un esempio

nostra traduzione · testo originale (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1
Punto del programma MAT.LO.WO.4.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Individuazione di regolarità, somiglianze e analogie, formulazione di conclusioni sulla base di esse e giustificazione della loro correttezza

nostra traduzione · testo originale (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2
Punto del programma MAT.LO.WO.4.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Selezione di argomenti per giustificare la correttezza della risoluzione di problemi, creazione di una catena di argomenti che garantiscano la correttezza della soluzione e l'efficacia nella ricerca di soluzioni al problema

nostra traduzione · testo originale (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3
Punto del programma MAT.LO.WO.4.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

Applicazione e creazione di strategie nella risoluzione di problemi, anche in situazioni atipiche

nostra traduzione · testo originale (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competenze passo dopo passo

Scomposizione di un polinomio in fattori

Lo studente scompone un polinomio in un prodotto di espressioni più semplici raccogliendo a fattor comune un monomio, raggruppando i termini e applicando le formule per la somma e la differenza di cubi.

Punto del programma MAT.LO.2.P.3 raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica (nostra traduzione)

Nel primo anno di scuola secondaria di secondo grado (liceo e istituto tecnico), lo studente impara a scomporre i polinomi in fattori. Padroneggia tre tecniche di calcolo specifiche: il raccoglimento a fattor comune totale, la scomposizione mediante raccoglimento parziale e l'applicazione delle formule per la somma e la differenza di cubi.

Un errore tipico consiste nel perdere un termine durante il raccoglimento a fattor comune: quando il termine raccolto coincide con uno degli addendi, gli studenti spesso scrivono erroneamente zero o lo omettono del tutto, invece di lasciare 1. Un'altra notevole difficoltà è legata alla gestione dei segni più e meno, in particolare quando si raccoglie un fattore negativo nel raccoglimento parziale e nella corretta scrittura del falso quadrato nelle formule per la somma e la differenza di cubi.

Nella pratica, gli esercizi mirati a sviluppare questa competenza comprendono:

Raccoglimento a fattor comune totale — individuare il divisore comune numerico e la potenza della variabile comune a tutti i termini,
Scomposizione mediante raccoglimento parziale — raggruppare i termini del polinomio a coppie in modo tale che, dopo aver raccolto i fattori, tra parentesi risulti la stessa espressione,
Somma e differenza di cubi — riconoscere la struttura della formula e scomporre il binomio nel prodotto di fattori più semplici.

Matematica — classe 9ª

Cosa impara uno studente in matematica al primo anno di liceo?

Ambito del programma

Competenze passo dopo passo

Modelli di esercizi da stampare

Altri tipi di esercizi