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Programa escolar (Polonia)

Matemáticas — 9.º curso

Matemáticas para 1.º de bachillerato y formación profesional: potencias de exponente racional, raíces, logaritmos, productos notables, polinomios y expresiones racionales, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales, función lineal. Ejercicios listos para imprimir para cada tema.

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¿Qué aprende un alumno en matemáticas en 1.º de bachillerato?

En 1.er curso, el estudiante consolida el cálculo con números reales: potencias de exponente racional, raíces de cualquier grado y logaritmos junto con sus propiedades. Transforma expresiones algebraicas mediante identidades notables, factoriza polinomios y simplifica expresiones racionales. Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y determina la función lineal a partir de dos puntos. También calcula el interés compuesto.

Nota importante sobre el plan de estudios: el currículo para bachillerato y formación técnica está formulado por bloques: describe lo que el alumno sabe al finalizar la educación secundaria, por separado para el nivel básico y el avanzado. La asignación de cada tema a un curso específico corresponde a nuestro criterio según la distribución habitual de la materia; en la sección «Contenidos curriculares» puedes consultar los puntos del currículo con citas textuales.

Estado de la página: los ejercicios de este curso están disponibles en formato directo (solo el enunciado y la fórmula); los ejercicios con ilustraciones, las demostraciones y los problemas contextualizados se añadirán en las siguientes etapas.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo MAT.LO.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Números reales

    nuestra traducción · texto original (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmación) en el conjunto de los números reales

    nuestra traducción · texto original (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

    Cálculo de raíces de grado impar (en nuestro curso 9) · Cálculo de logaritmos a partir de la definición (en nuestro curso 9)

  3. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza demostraciones sencillas sobre la divisibilidad de números enteros y los restos de la división, p. ej.:

    nuestra traducción · texto original (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punto del currículo MAT.LO.1.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las propiedades de las raíces de cualquier grado, incluidas las raíces de grado impar de números negativos

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

    Cálculo de raíces de grado impar (en nuestro curso 9)

  5. Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la relación entre la radicación y la potenciación y las leyes de las operaciones con potencias y raíces

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

    Cálculo de potencias con exponente racional (en nuestro curso 9) · Operaciones con potencias y búsqueda del exponente (en nuestro curso 9)

  6. Punto del currículo MAT.LO.1.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la monotonía de la potenciación, en particular las propiedades: si x < y y a > 1, entonces ax < ay, mientras que cuando x < y y 0 < a < 1, entonces ax > ay

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punto del currículo MAT.LO.1.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza el concepto de intervalo numérico, representa intervalos en la recta numérica

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punto del currículo MAT.LO.1.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la interpretación geométrica y algebraica del valor absoluto, resuelve ecuaciones del tipo: |x + 4| = 5

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punto del currículo MAT.LO.1.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de la potenciación y la radicación en situaciones prácticas, incluido el cálculo de intereses compuestos, ganancias de depósitos y costes de créditos

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

    Cálculo del capital en un depósito bancario (en nuestro curso 9)

  10. Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la relación entre la logaritmación y la potenciación, utiliza las fórmulas del logaritmo de un producto, el logaritmo de un cociente y el logaritmo de una potencia.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

    Cálculo de logaritmos a partir de la definición (en nuestro curso 9) · Cálculo de la suma y la diferencia de logaritmos (en nuestro curso 9)

  11. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    demostración de la divisibilidad por 24 del producto de cuatro números naturales consecutivos

    nuestra traducción · texto original (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    demostración de la propiedad: si un número al dividirse entre 4 da resto 3, entonces no es el cuadrado de un número entero

    nuestra traducción · texto original (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punto del currículo MAT.LO.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Expresiones algebraicas

    nuestra traducción · texto original (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punto del currículo MAT.LO.2.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las fórmulas de los productos notables para: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

    Aplicación de los productos notables (en nuestro curso 9)

  15. Punto del currículo MAT.LO.2.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    suma, resta y multiplica polinomios de una y varias variables

    nuestra traducción · texto original (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

    Suma, resta y multiplicación de polinomios (en nuestro curso 9)

  16. Punto del currículo MAT.LO.2.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    extrae fuera del paréntesis un monomio de una suma algebraica

    nuestra traducción · texto original (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

    Factorización de un polinomio (en nuestro curso 9)

  17. Punto del currículo MAT.LO.2.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    multiplica y divide expresiones racionales.

    nuestra traducción · texto original (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

    Multiplicación y resta de expresiones racionales (en nuestro curso 9)

  18. Punto del currículo MAT.LO.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ecuaciones e inecuaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punto del currículo MAT.LO.3.P.1 · Contenidos de enseñanza

    transforma ecuaciones e inecuaciones de forma equivalente, entre ellas, p. ej., transforma de forma equivalente una ecuación racional (ejemplo en la norma)

    nuestra traducción · texto original (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Reconocimiento de ecuaciones contradictorias e identidades (en nuestro curso 9)

  20. Punto del currículo MAT.LO.3.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta ecuaciones e inecuaciones lineales incompatibles y de identidad

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

    Reconocimiento de ecuaciones contradictorias e identidades (en nuestro curso 9)

  21. Punto del currículo MAT.LO.3.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve inecuaciones lineales con una incógnita

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

    Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita (en nuestro curso 9)

  22. Punto del currículo MAT.LO.3.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve ecuaciones e inecuaciones cuadráticas

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punto del currículo MAT.LO.3.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve ecuaciones polinómicas de la forma W(x) = 0 para polinomios llevados a la forma factorizada.

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punto del currículo MAT.LO.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punto del currículo MAT.LO.4.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, da la interpretación geométrica de sistemas determinados, indeterminados e incompatibles

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

    Sistemas de ecuaciones lineales y su número de soluciones (en nuestro curso 9)

  26. Punto del currículo MAT.LO.4.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica sistemas de ecuaciones para resolver problemas con enunciado.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punto del currículo MAT.LO.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Funciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punto del currículo MAT.LO.5.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    define las funciones como una asignación unívoca mediante descripción verbal, tabla, gráfica, fórmula (también mediante diferentes fórmulas en diferentes intervalos)

    nuestra traducción · texto original (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punto del currículo MAT.LO.5.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula el valor de una función dada por una fórmula algebraica

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punto del currículo MAT.LO.5.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    lee e interpreta los valores de funciones definidas mediante tablas, gráficas, fórmulas, etc., también en situaciones de uso múltiple de la misma fuente de información o de varias fuentes simultáneamente

    nuestra traducción · texto original (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punto del currículo MAT.LO.5.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    lee a partir de la gráfica de una función: el dominio, el recorrido, los ceros, los intervalos de monotonía, los intervalos en los que la función toma valores mayores (no menores) o menores (no mayores) que un número dado, los valores máximo y mínimo de la función (si existen) en un intervalo cerrado dado y los argumentos para los cuales la función alcanza los valores máximo y mínimo

    nuestra traducción · texto original (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punto del currículo MAT.LO.5.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta los coeficientes que aparecen en la fórmula de la función lineal

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punto del currículo MAT.LO.5.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina la fórmula de una función lineal a partir de información sobre su gráfica o sobre sus propiedades

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

    Fórmula de la función lineal a partir de puntos o de una recta paralela (en nuestro curso 9)

  34. Punto del currículo MAT.LO.5.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    esboza la gráfica de una función cuadrática dada por una fórmula

    nuestra traducción · texto original (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punto del currículo MAT.LO.5.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta los coeficientes que aparecen en la fórmula de la función cuadrática en forma general, canónica y factorizada (si existe)

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punto del currículo MAT.LO.5.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina la fórmula de la función cuadrática a partir de información sobre esta función o sobre su gráfica

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punto del currículo MAT.LO.5.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina el valor máximo y mínimo de una función cuadrática en un intervalo cerrado

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punto del currículo MAT.LO.5.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de la función lineal y cuadrática para interpretar cuestiones geométricas, físicas, etc., también enmarcadas en un contexto práctico

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punto del currículo MAT.LO.5.P.12 · Contenidos de enseñanza

    a partir de la gráfica de la función y = f(x) esboza las gráficas de las funciones y = f(x − a), y = f(x) + b

    nuestra traducción · texto original (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punto del currículo MAT.LO.5.P.13 · Contenidos de enseñanza

    utiliza la función f(x) = a/x, incluida su gráfica, para describir e interpretar cuestiones relacionadas con magnitudes inversamente proporcionales, también en aplicaciones prácticas

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punto del currículo MAT.LO.5.P.14 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las funciones exponencial y logarítmica, incluidas sus gráficas, para describir e interpretar cuestiones relacionadas con aplicaciones prácticas.

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punto del currículo MAT.LO.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Sucesiones

    nuestra traducción · texto original (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punto del currículo MAT.LO.6.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los términos de una sucesión definida por una fórmula general

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punto del currículo MAT.LO.6.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los primeros términos de sucesiones definidas recursivamente

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punto del currículo MAT.LO.6.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    en casos sencillos analiza si una sucesión es creciente o decreciente

    nuestra traducción · texto original (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punto del currículo MAT.LO.6.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    comprueba si una sucesión dada es aritmética o geométrica

    nuestra traducción · texto original (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punto del currículo MAT.LO.6.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la fórmula del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punto del currículo MAT.LO.6.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la fórmula del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punto del currículo MAT.LO.6.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de las sucesiones, incluidas las aritméticas y geométricas, para resolver problemas, también enmarcados en un contexto práctico.

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punto del currículo MAT.LO.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Trigonometría

    nuestra traducción · texto original (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punto del currículo MAT.LO.7.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las definiciones de las funciones: seno, coseno y tangente para ángulos de 0° a 180°, en particular determina los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45°, 60°

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punto del currículo MAT.LO.7.P.2 · Contenidos de enseñanza

    utiliza las fórmulas sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punto del currículo MAT.LO.7.P.3 · Contenidos de enseñanza

    aplica el teorema del coseno y la fórmula del área del triángulo P = ½ · a · b · sin γ

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punto del currículo MAT.LO.7.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los ángulos de un triángulo rectángulo y las longitudes de sus lados con los datos adecuados (resuelve triángulos rectángulos, incluido el uso de funciones trigonométricas).

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punto del currículo MAT.LO.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Planimetría

    nuestra traducción · texto original (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punto del currículo MAT.LO.8.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina radios y diámetros de circunferencias, longitudes de cuerdas de circunferencias y de segmentos tangentes, incluyendo el uso del teorema de Pitágoras

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punto del currículo MAT.LO.8.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos dadas las longitudes de los lados (entre otros, aplica el teorema recíproco de Pitágoras y el teorema del coseno); aplica el teorema: en un triángulo, al ángulo interior mayor se opone el lado más largo

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punto del currículo MAT.LO.8.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce polígonos regulares y utiliza sus propiedades básicas

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punto del currículo MAT.LO.8.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de los ángulos y las diagonales en rectángulos, paralelogramos, rombos y trapecios

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punto del currículo MAT.LO.8.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las propiedades de los ángulos inscritos y centrales

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punto del currículo MAT.LO.8.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las fórmulas del área del sector circular y de la longitud del arco de circunferencia

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punto del currículo MAT.LO.8.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica el teorema de Tales

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punto del currículo MAT.LO.8.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza los criterios de semejanza de triángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punto del currículo MAT.LO.8.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las relaciones entre los perímetros y entre las áreas de figuras semejantes

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punto del currículo MAT.LO.8.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    indica los puntos notables básicos de un triángulo: centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, ortocentro, baricentro y utiliza sus propiedades

    nuestra traducción · texto original (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punto del currículo MAT.LO.8.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza demostraciones geométricas

    nuestra traducción · texto original (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punto del currículo MAT.LO.8.P.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica funciones trigonométricas para determinar longitudes de segmentos en figuras planas y calcular áreas de figuras.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punto del currículo MAT.LO.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Geometría analítica en el plano cartesiano

    nuestra traducción · texto original (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punto del currículo MAT.LO.9.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce la posición relativa de rectas en el plano a partir de sus ecuaciones, incluyendo hallar el punto común de dos rectas, si existe

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punto del currículo MAT.LO.9.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las ecuaciones de rectas en el plano, en forma explícita y general, entre ellas determina la ecuación de una recta con propiedades dadas (tales como, p. ej., pasar por dos puntos dados, pendiente conocida, paralelismo con otra recta)

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punto del currículo MAT.LO.9.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la distancia entre dos puntos en el sistema de coordenadas

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punto del currículo MAT.LO.9.P.4 · Contenidos de enseñanza

    utiliza la ecuación de la circunferencia (x − a)² + (y − b)² = r²

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punto del currículo MAT.LO.9.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina las imágenes de circunferencias y polígonos en simetrías axiales respecto a los ejes del sistema de coordenadas, simetría central (con centro en el origen del sistema de coordenadas).

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punto del currículo MAT.LO.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Estereometría

    nuestra traducción · texto original (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punto del currículo MAT.LO.10.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce la posición relativa de rectas en el espacio, en particular rectas perpendiculares que no se cortan

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punto del currículo MAT.LO.10.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza el concepto de ángulo entre una recta y un plano y el concepto de ángulo diedro entre semiplanos

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punto del currículo MAT.LO.10.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce en prismas y pirámides ángulos entre segmentos (p. ej., aristas, aristas y diagonales) y ángulos entre caras, calcula las medidas de estos ángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punto del currículo MAT.LO.10.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce en cilindros y en conos el ángulo entre segmentos y el ángulo entre segmentos y planos (p. ej., el ángulo de apertura del cono, el ángulo entre la generatriz y la base), calcula las medidas de estos ángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punto del currículo MAT.LO.10.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula volúmenes y áreas de la superficie de prismas, pirámides, cilindro, cono y esfera, también utilizando la trigonometría

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punto del currículo MAT.LO.10.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza la relación entre los volúmenes de sólidos semejantes.

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punto del currículo MAT.LO.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Combinatoria

    nuestra traducción · texto original (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punto del currículo MAT.LO.11.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cuenta objetos en situaciones combinatorias sencillas

    nuestra traducción · texto original (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cuenta objetos, aplicando las reglas de la multiplicación y de la suma (también conjuntamente) para cualquier número de acciones, p. ej.:

    nuestra traducción · texto original (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cálculo de cuántos números enteros positivos impares de cuatro cifras hay tales que en su notación decimal aparece exactamente una cifra 1 y exactamente una cifra 2

    nuestra traducción · texto original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cálculo de cuántos números enteros positivos pares de cuatro cifras hay tales que en su notación decimal aparece exactamente una cifra 0 y exactamente una cifra 1.

    nuestra traducción · texto original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punto del currículo MAT.LO.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Cálculo de probabilidades y estadística

    nuestra traducción · texto original (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punto del currículo MAT.LO.12.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la probabilidad en el modelo clásico

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punto del currículo MAT.LO.12.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la media aritmética y la media ponderada, halla la mediana y la moda.

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punto del currículo MAT.LO.13 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Optimización y cálculo diferencial

    nuestra traducción · texto original (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punto del currículo MAT.LO.13.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve problemas de optimización en situaciones que pueden describirse mediante una función cuadrática.

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punto del currículo MAT.LO.WO.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Destreza de cálculo

    nuestra traducción · texto original (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punto del currículo MAT.LO.WO.1.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Realización de cálculos con números reales, también con el uso de la calculadora, aplicación de las propiedades de las operaciones matemáticas en la transformación de expresiones algebraicas y utilización de estas habilidades en la resolución de problemas en contextos reales y teóricos

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punto del currículo MAT.LO.WO.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso y creación de información

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Interpretación y manejo de la información presentada en un texto, tanto matemático como de divulgación científica, así como en forma de gráficos, diagramas, tablas

    nuestra traducción · texto original (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso del lenguaje matemático para la creación de textos matemáticos, incluida la descripción de los razonamientos realizados y la justificación de las conclusiones, así como para la presentación de datos

    nuestra traducción · texto original (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punto del currículo MAT.LO.WO.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso e interpretación de representaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Utilización de objetos matemáticos y operaciones con ellos, interpretación de conceptos matemáticos

    nuestra traducción · texto original (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Selección y creación de modelos matemáticos en la resolución de problemas prácticos y teóricos

    nuestra traducción · texto original (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Creación de objetos matemáticos auxiliares a partir de los existentes, con el fin de llevar a cabo una argumentación o resolver un problema

    nuestra traducción · texto original (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Indicación de la necesidad o posibilidad de modificar el modelo matemático en casos que requieran salvedades especiales, supuestos adicionales, la consideración de condiciones particulares

    nuestra traducción · texto original (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punto del currículo MAT.LO.WO.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Razonamiento y argumentación

    nuestra traducción · texto original (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Realización de razonamientos, también de varias etapas, aportación de argumentos que justifiquen la corrección del razonamiento, distinción entre demostración y ejemplo

    nuestra traducción · texto original (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Reconocimiento de regularidades, similitudes y analogías, formulación de conclusiones a partir de ellas y justificación de su corrección

    nuestra traducción · texto original (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Selección de argumentos para justificar la corrección de la resolución de problemas, creación de una cadena de argumentos que garanticen la corrección de la solución y la eficacia en la búsqueda de soluciones a la cuestión

    nuestra traducción · texto original (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Aplicación y creación de estrategias en la resolución de problemas, también en situaciones atípicas

    nuestra traducción · texto original (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competencias paso a paso

Factorización de un polinomio

El alumno transforma un polinomio en un producto de expresiones más simples, extrayendo un monomio como factor común, agrupando términos y aplicando las fórmulas para la suma y diferencia de cubos.

Punto del currículo MAT.LO.2.P.3 extrae fuera del paréntesis un monomio de una suma algebraica (nuestra traducción)

En el primer curso de bachillerato y formación técnica, el estudiante transforma polinomios a la forma de producto. Domina tres técnicas de cálculo específicas: sacar factor común monomio, la factorización por agrupación de términos y el uso de las fórmulas de suma y diferencia de cubos.

Un error común es perder un término al sacar factor común: cuando el factor que se extrae es idéntico a uno de los sumandos, los estudiantes a menudo escriben por error cero o lo omiten por completo, en lugar de dejar 1. También supone una gran dificultad el control de los signos más y menos, especialmente al extraer un factor negativo en el método de agrupación y al escribir correctamente el cuadrado incompleto en las fórmulas de suma y diferencia de cubos.

En la práctica, las actividades para ejercitar esta habilidad incluyen:

  • Sacar factor común monomio — encontrar el divisor numérico común y la potencia de la variable común a todos los términos,
  • Factorización por agrupación — agrupar los términos del polinomio por parejas de modo que, tras sacar factor común, quede la misma expresión dentro de los paréntesis,
  • Suma y diferencia de cubos — reconocer la estructura de la fórmula y descomponer el binomio en un producto de factores más simples.
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Tipos de ejercicios: Sacar factor común un monomio · Factorización por agrupación · Suma y diferencia de cubos

Aplicación de los productos notables

El alumno transforma con soltura expresiones algebraicas, aplicando las fórmulas del cuadrado de la suma, del cuadrado de la diferencia y del producto de una suma por su diferencia.

Punto del currículo MAT.LO.2.P.1 aplica las fórmulas de los productos notables para: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2 (nuestra traducción)

En el primer curso de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende a transformar expresiones algebraicas de segundo grado. Aprende a sustituir la multiplicación de paréntesis por identidades algebraicas ya conocidas, lo que permite desarrollar y simplificar rápidamente expresiones que contienen variables y números reales.

El error más común es omitir el doble producto al elevar un binomio al cuadrado: los alumnos elevan esquemáticamente cada término por separado, escribiendo (a + b)² como a² + b². Otro problema frecuente es perder los signos menos, especialmente cuando hay un signo de resta delante de toda la expresión o cuando el término que se eleva tiene un coeficiente negativo.

Los ejercicios de este tema se basan en dos tipos de enunciados:

  • Cuadrado de una suma y de una diferencia – desarrollo de expresiones entre paréntesis elevadas al cuadrado a una forma de tres términos,
  • Producto de una suma por una diferencia – multiplicación de pares de paréntesis que solo se diferencian por el signo y su escritura en la forma abreviada de diferencia de cuadrados.
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Tipos de ejercicios: Cuadrado de una suma o diferencia · Suma por diferencia

Cálculo de la suma y la diferencia de logaritmos

El estudiante aplica las fórmulas de la suma y la resta de logaritmos de igual base para simplificar expresiones y calcular sus valores de manera eficiente.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 aplica la relación entre la logaritmación y la potenciación, utiliza las fórmulas del logaritmo de un producto, el logaritmo de un cociente y el logaritmo de una potencia. (nuestra traducción)

En primer curso, el alumno transforma expresiones que contienen logaritmos con la misma base. Utiliza la regla que establece que la suma de logaritmos corresponde al logaritmo del producto, y su resta, al logaritmo del cociente. Esto permite determinar el valor exacto de toda la expresión incluso cuando los términos individuales no se pueden calcular por separado.

Un error común es confundir estas reglas y sumar los propios argumentos de los logaritmos en lugar de multiplicarlos (por ejemplo, considerar erróneamente que log a + log b es log(a + b) en vez de log(a · b)). En la resta, otro problema suele ser confundir el orden de la división de los números o intentar combinar logaritmos que tienen bases diferentes.

Los ejercicios de las plantillas Suma de logaritmos y Diferencia de logaritmos requieren reducir dos términos a un solo logaritmo. Por ejemplo, el alumno combina dos logaritmos con la misma base en un producto o una fracción que, tras simplificarse, da como resultado una potencia de la base y permite escribir el resultado final en forma de un único número entero o fracción.

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Tipos de ejercicios: Diferencia de logaritmos · Suma de logaritmos

Cálculo de logaritmos a partir de la definición

El estudiante calcula los valores de logaritmos sencillos para números enteros y fracciones, utilizando directamente la definición y la conversión a potenciación.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 realiza operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmación) en el conjunto de los números reales (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 aplica la relación entre la logaritmación y la potenciación, utiliza las fórmulas del logaritmo de un producto, el logaritmo de un cociente y el logaritmo de una potencia. (nuestra traducción)

En 1.º de bachillerato y formación técnica, el estudiante conoce el concepto de logaritmo y aprende a determinar su valor directamente a partir de la definición. La resolución consiste en responder a la pregunta: ¿a qué potencia hay que elevar la base del logaritmo para obtener el número del argumento? En esta etapa, los ejercicios abarcan el cálculo del valor de logaritmos para números enteros, así como para fracciones comunes y decimales.

El error más común se debe a la confusión entre la potenciación y la multiplicación o división; por ejemplo, el alumno, en lugar de dar el valor 3 para el logaritmo en base 2 de 8, indica 4, al dividir 8 entre 2. En el caso de los logaritmos de fracciones, otro problema frecuente es no tener en cuenta el exponente negativo, lo que hace que el estudiante pierda el signo menos en el resultado final.

En la práctica, los ejercicios que evalúan esta habilidad adoptan la forma de instrucciones de cálculo sencillas:

  • Logaritmo a partir de la definición – cálculo directo del valor cuando el resultado es un número entero positivo, p. ej., calcular el valor del logaritmo en base 3 del número 27.
  • Logaritmo de una fracción – ejemplos que requieren aplicar potencias con exponente negativo o trabajar con números decimales, p. ej., calcular el logaritmo en base 2 del número 1/4 o el logaritmo decimal de 0,1.
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Tipos de ejercicios: Logaritmo de una fracción · Logaritmo por definición

Suma, resta y multiplicación de polinomios

El alumno realiza la suma, resta y multiplicación de polinomios de una variable, reduciendo términos semejantes y ordenando el resultado obtenido.

Punto del currículo MAT.LO.2.P.2 suma, resta y multiplica polinomios de una y varias variables (nuestra traducción)

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno realiza operaciones básicas con polinomios: suma, resta y multiplica expresiones algebraicas, y luego reduce los términos semejantes y escribe el resultado obtenido de forma ordenada (de mayor a menor potencia de la variable).

El error más común al restar es olvidar cambiar el signo de todos los términos que se encuentran dentro del paréntesis que se resta. Por su parte, al multiplicar polinomios, los alumnos suelen omitir términos durante la multiplicación «término a término» o cometen errores en las operaciones con potencias, por ejemplo, multiplicando los exponentes en lugar de sumarlos.

Los ejercicios de las plantillas Suma y resta de polinomios y Multiplicación de polinomios consisten en realizar las operaciones indicadas con las fórmulas de polinomios dadas, eliminar los paréntesis y simplificar toda la expresión a su forma más reducida posible.

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Tipos de ejercicios: Multiplicación de polinomios · Suma y resta de polinomios

Multiplicación y resta de expresiones racionales

El estudiante realiza la resta y la multiplicación de fracciones algebraicas, aplicando la factorización y la reducción a común denominador.

Punto del currículo MAT.LO.2.P.4 multiplica y divide expresiones racionales. (nuestra traducción)

En el primer curso de bachillerato y formación técnica, el alumno realiza operaciones con fracciones algebraicas (expresiones racionales). En esta etapa domina, sobre todo, la resta y la multiplicación de dichas expresiones, utilizando los conocimientos previos sobre productos notables y la factorización de polinomios.

Un problema habitual al restar es la pérdida de signos: el estudiante a menudo olvida que el signo menos delante de una fracción afecta a todo el numerador y no solo a su primer término. Al multiplicar, un error frecuente es la simplificación incorrecta: intentar simplificar sumandos individuales en lugar de factores completos en forma de producto.

En la práctica, los ejercicios consisten en reducir la expresión a su forma más simple y se presentan en dos variantes principales:

  • Resta de expresiones racionales — requiere calcular el común denominador, amplificar adecuadamente los numeradores y reducir términos semejantes;
  • Multiplicación de expresiones racionales — consiste en factorizar los numeradores y denominadores, simplificar las expresiones que se repiten y escribir el producto final.
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Tipos de ejercicios: Multiplicación de expresiones racionales · Resta de expresiones racionales

Fórmula de la función lineal a partir de puntos o de una recta paralela

El alumno determina la fórmula de una función lineal a partir de las coordenadas de dos puntos o de un punto y la condición de paralelismo con otra recta.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.6 determina la fórmula de una función lineal a partir de información sobre su gráfica o sobre sus propiedades (nuestra traducción)

En el primer curso de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende a determinar la ecuación de la función lineal de la forma y = ax + b. Es capaz de calcular los coeficientes a partir de datos numéricos: los determina mediante un sistema de ecuaciones planteado para dos puntos dados o utiliza las propiedades de las rectas paralelas, sabiendo que tienen la misma pendiente a.

Un problema común en esta etapa es confundir las coordenadas del punto al sustituirlas en la fórmula: colocar el valor del primer eje en el lugar de y y el del segundo en el lugar de x. Los alumnos también cometen errores de cálculo al operar con los signos menos y confunden la condición de paralelismo con la de perpendicularidad, cambiando innecesariamente el signo de la pendiente.

En la práctica, los ejercicios se basan en dos modelos de tareas:

  • Ecuación de la función lineal a partir de dos puntos – el alumno recibe las coordenadas de dos puntos, por ejemplo (2, 5) y (-1, -1), y obtiene la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos;
  • Recta paralela que pasa por un punto – el alumno dispone de una recta dada (por ejemplo, y = 3x - 2) y un punto exterior a ella, y busca la ecuación de la nueva recta conservando la misma pendiente a y calculando el nuevo término independiente b.
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Tipos de ejercicios: Función lineal por dos puntos · Recta paralela por un punto

Sistemas de ecuaciones lineales y su número de soluciones

El estudiante resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales por el método de reducción y determina si el sistema tiene una solución, infinitas soluciones o es incompatible.

Punto del currículo MAT.LO.4.P.1 resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, da la interpretación geométrica de sistemas determinados, indeterminados e incompatibles (nuestra traducción)

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante el método de reducción. Es capaz de transformar las ecuaciones de modo que, al sumarlas miembro a miembro, se elimine una de las variables y pueda calcularse la otra. También aprende a determinar el número de soluciones del sistema: puede reconocer un sistema con exactamente un par de números, un sistema indeterminado con infinitas soluciones y un sistema incompatible que no tiene ninguna solución.

Un error común en esta etapa es olvidar los signos menos al multiplicar toda la ecuación por un número entero (especialmente negativo) con el fin de obtener coeficientes opuestos. Los alumnos también tienen dificultades para interpretar correctamente los resultados atípicos: confunden una identidad, cuando tras reducir las variables se obtiene la igualdad 0 = 0 (infinitas soluciones), con una contradicción, cuando el resultado es falso, por ejemplo 0 = 5 (sin solución).

En la práctica, el alumno ejercita estas habilidades mediante tareas que consisten en:

  • resolver completamente el sistema en la plantilla Sistema de ecuaciones — método de reducción y proporcionar el par de números que satisface las ecuaciones,
  • analizar las ecuaciones en la plantilla Número de soluciones del sistema, donde el objetivo es determinar si un sistema dado tiene una solución, no tiene ninguna o tiene infinitas soluciones.
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Tipos de ejercicios: Número de soluciones de un sistema · Sistema de ecuaciones — reducción

Operaciones con potencias y búsqueda del exponente

El estudiante aplica las propiedades de las operaciones con potencias de la misma base para determinar correctamente el exponente que falta en las igualdades.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 aplica la relación entre la radicación y la potenciación y las leyes de las operaciones con potencias y raíces (nuestra traducción)

El alumnado de 1.º de bachillerato y formación profesional aplica con soltura las propiedades de las operaciones con potencias de la misma base: multiplicación, división y potencia de una potencia. Utiliza estas reglas para transformar expresiones y determinar los valores desconocidos que aparecen en los exponentes.

Un error común es confundir la suma de exponentes con su multiplicación al calcular el producto de potencias de la misma base (por ejemplo, escribir el resultado de la multiplicación de potencias como el producto de sus exponentes). Los estudiantes también suelen tener dificultades para restar correctamente los exponentes durante la división, especialmente cuando intervienen números negativos, y a menudo confunden las operaciones entre exponentes con operaciones aplicadas a las propias bases.

Las actividades de la plantilla Exponente faltante: operaciones con potencias consisten en rellenar el espacio en blanco de una igualdad. El alumno observa una expresión formada por potencias de la misma base y debe calcular qué número debe colocarse en el lugar del exponente faltante para que el miembro izquierdo sea igual al derecho.

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Cambio de base del logaritmo

El alumno transforma logaritmos de distintas bases en un cociente de logaritmos con una nueva base conveniente, lo que permite simplificar la expresión y calcular su valor exacto.

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende la regla que permite cambiar la base de un logaritmo determinado a otra más conveniente para los cálculos. Expresa un logaritmo individual en forma de fracción, en la que tanto el numerador como el denominador tienen la nueva base elegida, lo que permite reducir expresiones con distintas bases a una base común y hallar su valor.

Un error común al aplicar esta fórmula es invertir el numerador y el denominador. Los estudiantes a menudo escriben de manera mecánica la base anterior del logaritmo en el numerador de la nueva fracción y el argumento en el denominador, en lugar de colocar el argumento arriba y la base antigua abajo.

En los ejercicios del modelo Cambio de base de un logaritmo, el alumno se enfrenta al cálculo del valor numérico de fracciones que contienen logaritmos con bases poco comunes o a la simplificación de productos de tales logaritmos hasta obtener un único número entero o una fracción.

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Cálculo de raíces de grado impar

El estudiante calcula los valores de raíces de grado impar, incluidas las de números negativos, determinando correctamente el signo del resultado.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 realiza operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmación) en el conjunto de los números reales (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.1.P.3 aplica las propiedades de las raíces de cualquier grado, incluidas las raíces de grado impar de números negativos (nuestra traducción)

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende a determinar el valor de raíces de índice impar (por ejemplo, de tercer o quinto grado). Aprende a reconocer la propiedad clave de estas operaciones: dentro de una raíz de índice impar puede haber un número negativo, y el resultado de dicha radicación es siempre un número con el mismo signo.

El error más común consiste en extrapolar la regla de las raíces cuadradas, con las que los alumnos trabajaban en la escuela primaria. Al recordar que no se pueden extraer raíces de índice par de números negativos, consideran erróneamente que una raíz de índice impar de un número negativo es una operación imposible o eliminan el signo menos sin justificación, dando un resultado positivo.

Las tareas consisten en calcular directamente valores numéricos en la plantilla Raíz de índice impar. Un ejemplo típico es indicar el valor de la raíz cúbica de -27 o -125, o de la raíz quinta de 32.

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Cálculo de potencias con exponente racional

El alumno aprende a convertir potencias de exponente fraccionario en raíces, calcular sus valores y aplicar las reglas de las operaciones con potencias para simplificar expresiones.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 aplica la relación entre la radicación y la potenciación y las leyes de las operaciones con potencias y raíces (nuestra traducción)

En 1.º de bachillerato y formación profesional, el alumno aprende la notación de potencias con exponente fraccionario. Aprende a convertir con soltura dicha notación a forma radical —donde el denominador de la fracción determina el índice de la raíz y el numerador el exponente del radicando— y a realizar estas operaciones en sentido inverso, también en el caso de exponentes fraccionarios negativos.

Una dificultad típica es confundir las funciones del numerador y del denominador: los alumnos a menudo tratan el numerador de la fracción como el índice de la raíz y el denominador como la potencia del radicando. Otro error frecuente es no tener en cuenta el signo menos en el exponente, lo que lleva a omitir el cálculo del inverso del número antes de extraer la raíz.

Los ejercicios basados en la plantilla Potencia con exponente racional incluyen principalmente el cálculo del valor de potencias numéricas concretas (p. ej., 8 elevado a 2/3 o 16 elevado a -1/2) y la simplificación de expresiones con radicales escribiéndolas en forma de una única potencia con exponente fraccionario.

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Cálculo del capital en un depósito bancario

El alumno calcula el capital final de un depósito utilizando el mecanismo del interés compuesto para una tasa de interés y un período de ahorro determinados.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.8 utiliza las propiedades de la potenciación y la radicación en situaciones prácticas, incluido el cálculo de intereses compuestos, ganancias de depósitos y costes de créditos (nuestra traducción)

El estudiante de 1.º de bachillerato y formación profesional aprende a determinar el valor final de los ahorros mediante la aplicación del interés compuesto. En esta etapa, utiliza operaciones con potencias para calcular cómo cambia el importe depositado cuando los intereses se añaden al capital y generan ganancias a su vez en los períodos siguientes.

El error más común es confundir el interés compuesto con el interés simple. Los estudiantes a menudo calculan los intereses una sola vez sobre el depósito inicial y los multiplican por el número de años, olvidando que en cada ciclo sucesivo la base sobre la que se calculan las ganancias aumenta.

Los ejercicios de la plantilla Interés compuesto — depósito presentan situaciones bancarias concretas: el estudiante recibe la cantidad inicial, el tipo de interés anual y la duración del ahorro, y a continuación calcula el saldo final de la cuenta teniendo en cuenta la capitalización periódica.

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Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita

El estudiante aprende a resolver inecuaciones lineales con una incógnita y a determinar y escribir correctamente el conjunto de números que las satisfacen.

Punto del currículo MAT.LO.3.P.3 resuelve inecuaciones lineales con una incógnita (nuestra traducción)

En 1.º de bachillerato y formación técnica, el alumno resuelve inecuaciones lineales con una incógnita. Las reduce a una forma más simple mediante la reducción de términos semejantes, así como sumando, restando, multiplicando y dividiendo ambos miembros por números reales para determinar el intervalo numérico buscado.

Un error común es no cambiar el sentido del signo de la desigualdad al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo. Los alumnos a menudo realizan los cálculos correctamente, pero mantienen el signo de la desigualdad original, lo que lleva a una determinación errónea del conjunto de soluciones.

Los ejercicios de la plantilla Inecuación lineal consisten en transformar la inecuación algebraica dada, despejar la incógnita y escribir correctamente el resultado final en forma de desigualdad o intervalo.

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Reconocimiento de ecuaciones contradictorias e identidades

El estudiante transforma ecuaciones lineales y reconoce cuándo no tienen solución y cuándo cualquier número real las satisface.

Punto del currículo MAT.LO.3.P.1 transforma ecuaciones e inecuaciones de forma equivalente, entre ellas, p. ej., transforma de forma equivalente una ecuación racional (ejemplo en la norma) (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.3.P.2 interpreta ecuaciones e inecuaciones lineales incompatibles y de identidad (nuestra traducción)

En el primer curso de educación secundaria, el alumno resuelve ecuaciones lineales con una incógnita en las que, tras simplificar ambos miembros, la incógnita se cancela. Aprende a interpretar correctamente el resultado obtenido: determina que la ecuación es una identidad (la cumple cualquier número real) cuando llega a una igualdad del tipo 0 = 0, o que es incompatible (no tiene solución) cuando obtiene una contradicción, por ejemplo 0 = 5.

Un problema frecuente es que, tras cancelarse la incógnita, el estudiante piense que ha cometido un error de cálculo. En lugar de interpretar el resultado, a menudo añade la incógnita de forma forzada o deduce erróneamente que la expresión 0 = 0 significa simplemente una única solución x = 0, confundiendo una identidad con un valor numérico concreto.

Los ejercicios del modelo Ecuación incompatible o identidad requieren realizar transformaciones algebraicas básicas —como la reducción de términos semejantes o la eliminación de paréntesis— y luego indicar si la ecuación dada tiene infinitas soluciones o no tiene ninguna.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Factorización de un polinomio

Aplicación de los productos notables

Cálculo de la suma y la diferencia de logaritmos

Cálculo de logaritmos a partir de la definición

Suma, resta y multiplicación de polinomios

Multiplicación y resta de expresiones racionales

Fórmula de la función lineal a partir de puntos o de una recta paralela

Sistemas de ecuaciones lineales y su número de soluciones

Operaciones con potencias y búsqueda del exponente

Cambio de base del logaritmo

Cálculo de raíces de grado impar

Cálculo de potencias con exponente racional

Cálculo del capital en un depósito bancario

Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita

Reconocimiento de ecuaciones contradictorias e identidades

Otros tipos de ejercicios

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