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Programme scolaire (Pologne)

Mathématiques — 12e année

Mathématiques en 4e année de lycée et de lycée technique : géométrie dans l'espace et solides de révolution, statistiques, probabilités conditionnelles et schéma de Bernoulli, et dans le programme approfondi, limite de fonction et dérivée — ainsi que des révisions pour le baccalauréat. Pour chaque thème, des exercices prêts à imprimer.

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Qu'apprend un élève en mathématiques en 4e année de lycée ?

En 4e année, l'élève calcule les volumes et les aires de prismes, de pyramides et de solides de révolution, des longueurs de segments et des aires de sections dans les solides. En statistiques, il calcule la moyenne, la moyenne pondérée et la médiane, et en probabilités, il utilise la probabilité conditionnelle, la formule des probabilités totales et le schéma de Bernoulli. Dans le programme approfondi, il découvre la limite d'une fonction et la dérivée : tangente à la courbe, monotonie et extremums. La 4e année se terminant par le baccalauréat, elle permet de revoir l'ensemble du programme de l'enseignement secondaire.

Remarque importante sur le programme officiel : le programme pour le lycée général et le lycée technique est formulé par blocs — il décrit ce que l'élève sait faire à la fin de l'enseignement secondaire, séparément pour le tronc commun et le niveau approfondi. L'attribution d'un thème à une année précise relève de notre choix selon une progression pédagogique type ; dans la section « Programme », vous trouverez les points du programme officiel cités textuellement.

État du site : les exercices de cette classe sont disponibles sous forme directe (énoncé et formule uniquement) ; les exercices avec figures, les démonstrations et les problèmes contextualisés seront ajoutés progressivement.

Programme officiel

  1. Point du programme MAT.LO.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Nombres réels

    notre traduction · texte original (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Point du programme MAT.LO.1.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    effectue des opérations (addition, soustraction, multiplication, division, élévation à la puissance, extraction de racine, calcul de logarithme) dans l'ensemble des nombres réels

    notre traduction · texte original (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Point du programme MAT.LO.1.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    effectue des démonstrations simples concernant la divisibilité des nombres entiers et les restes de la division, par ex. :

    notre traduction · texte original (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Point du programme MAT.LO.1.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des racines de degré quelconque, y compris des racines de degré impair de nombres négatifs

    notre traduction · texte original (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Point du programme MAT.LO.1.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise le lien entre l'extraction de racine et l'élévation à la puissance ainsi que les règles de calcul sur les puissances et les racines

    notre traduction · texte original (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Point du programme MAT.LO.1.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique la monotonie de l'élévation à la puissance, en particulier les propriétés : si x < y et a > 1, alors ax < ay, tandis que si x < y et 0 < a < 1, alors ax > ay

    notre traduction · texte original (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Point du programme MAT.LO.1.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la notion d'intervalle numérique, représente des intervalles sur la droite numérique

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Point du programme MAT.LO.1.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique l'interprétation géométrique et algébrique de la valeur absolue, résout des équations du type : |x + 4| = 5

    notre traduction · texte original (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Point du programme MAT.LO.1.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des puissances et des racines dans des situations pratiques, notamment pour calculer les intérêts composés, les gains sur les placements et les coûts des crédits

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Point du programme MAT.LO.1.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique la relation entre logarithme et exponentiation, utilise les formules du logarithme d'un produit, du logarithme d'un quotient et du logarithme d'une puissance.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Point du programme MAT.LO.1.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    démonstration de la divisibilité par 24 du produit de quatre entiers naturels consécutifs

    notre traduction · texte original (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Point du programme MAT.LO.1.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    démonstration de la propriété : si un nombre donne un reste de 3 dans la division par 4, alors il n'est pas le carré d'un nombre entier

    notre traduction · texte original (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Point du programme MAT.LO.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expressions algébriques

    notre traduction · texte original (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Point du programme MAT.LO.2.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les identités remarquables pour : (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Point du programme MAT.LO.2.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    additionne, soustrait et multiplie des polynômes à une et plusieurs variables

    notre traduction · texte original (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Point du programme MAT.LO.2.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    met en facteur un monôme dans une somme algébrique

    notre traduction · texte original (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Point du programme MAT.LO.2.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    multiplie et divise des expressions rationnelles.

    notre traduction · texte original (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Point du programme MAT.LO.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Équations et inéquations

    notre traduction · texte original (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Point du programme MAT.LO.3.P.1 · Contenus d'enseignement

    transforme des équations et des inéquations de manière équivalente, y compris par ex. transforme de manière équivalente une équation rationnelle (exemple dans l'acte)

    notre traduction · texte original (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Point du programme MAT.LO.3.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les équations et inéquations linéaires impossibles et indéterminées

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Point du programme MAT.LO.3.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des inéquations linéaires à une inconnue

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Point du programme MAT.LO.3.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des équations et inéquations du second degré

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Point du programme MAT.LO.3.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des équations polynomiales de la forme W(x) = 0 pour des polynômes mis sous forme factorisée.

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Point du programme MAT.LO.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Systèmes d'équations

    notre traduction · texte original (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Point du programme MAT.LO.4.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues, donne une interprétation géométrique des systèmes déterminés, indéterminés et incompatibles

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Point du programme MAT.LO.4.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise des systèmes d'équations pour résoudre des problèmes textuels.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Point du programme MAT.LO.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Fonctions

    notre traduction · texte original (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Point du programme MAT.LO.5.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    définit les fonctions comme une correspondance univoque au moyen d'une description verbale, d'un tableau, d'un graphique, d'une formule (également par différentes formules sur différents intervalles)

    notre traduction · texte original (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Point du programme MAT.LO.5.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la valeur d'une fonction donnée par une formule algébrique

    notre traduction · texte original (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Point du programme MAT.LO.5.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    lit et interprète les valeurs de fonctions définies au moyen de tableaux, de graphiques, de formules, etc., également dans des situations d'utilisation répétée de la même source d'information ou de plusieurs sources simultanément

    notre traduction · texte original (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Point du programme MAT.LO.5.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    lit sur la représentation graphique d'une fonction : l'ensemble de définition, l'ensemble des valeurs, les zéros, les intervalles de monotonie, les intervalles sur lesquels la fonction prend des valeurs supérieures (non inférieures) ou inférieures (non supérieures) à un nombre donné, les valeurs maximale et minimale de la fonction (si elles existent) sur un intervalle fermé donné ainsi que les antécédents pour lesquels les valeurs maximale et minimale sont prises par la fonction

    notre traduction · texte original (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Point du programme MAT.LO.5.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les coefficients figurant dans la formule d'une fonction linéaire

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Point du programme MAT.LO.5.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine l'expression d'une fonction linéaire à partir d'informations sur sa représentation graphique ou sur ses propriétés

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Point du programme MAT.LO.5.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    esquisse la courbe représentative d'une fonction quadratique donnée par une formule

    notre traduction · texte original (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Point du programme MAT.LO.5.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les coefficients apparaissant dans l'expression d'une fonction quadratique sous forme générale, canonique et factorisée (si elle existe)

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Point du programme MAT.LO.5.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine l'expression d'une fonction quadratique à partir d'informations sur cette fonction ou sur son graphique

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Point du programme MAT.LO.5.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine la valeur maximale et la valeur minimale d'une fonction quadratique sur un intervalle fermé

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Point du programme MAT.LO.5.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés de la fonction linéaire et de la fonction quadratique pour interpréter des problèmes géométriques, physiques, etc., également ancrés dans un contexte pratique

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Point du programme MAT.LO.5.P.12 · Contenus d'enseignement

    à partir de la représentation graphique de la fonction y = f(x), esquisse les représentations graphiques des fonctions y = f(x − a), y = f(x) + b

    notre traduction · texte original (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Point du programme MAT.LO.5.P.13 · Contenus d'enseignement

    utilise la fonction f(x) = a/x, y compris sa représentation graphique, pour décrire et interpréter des problèmes liés à des grandeurs inversement proportionnelles, également dans des applications pratiques

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Point du programme MAT.LO.5.P.14 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les fonctions exponentielle et logarithmique, y compris leurs représentations graphiques, pour décrire et interpréter des problèmes liés à des applications pratiques.

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Point du programme MAT.LO.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Suites

    notre traduction · texte original (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Point du programme MAT.LO.6.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les termes d'une suite définie par une formule générale

    notre traduction · texte original (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Point du programme MAT.LO.6.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les premiers termes de suites définies par récurrence

    notre traduction · texte original (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Point du programme MAT.LO.6.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dans des cas simples, étudie si une suite est croissante ou décroissante

    notre traduction · texte original (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Point du programme MAT.LO.6.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    vérifie si une suite donnée est arithmétique ou géométrique

    notre traduction · texte original (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Point du programme MAT.LO.6.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la formule du n-ième terme et de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Point du programme MAT.LO.6.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la formule du n-ième terme et de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Point du programme MAT.LO.6.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des suites, notamment arithmétiques et géométriques, pour résoudre des problèmes, également ancrés dans un contexte pratique.

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Point du programme MAT.LO.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Trigonométrie

    notre traduction · texte original (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Point du programme MAT.LO.7.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les définitions des fonctions : sinus, cosinus et tangente pour les angles de 0° à 180°, en particulier détermine les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles de 30°, 45°, 60°

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Point du programme MAT.LO.7.P.2 · Contenus d'enseignement

    utilise les formules sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Point du programme MAT.LO.7.P.3 · Contenus d'enseignement

    applique le théorème des cosinus et la formule de l'aire d'un triangle P = ½ · a · b · sin γ

    notre traduction · texte original (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Point du programme MAT.LO.7.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les angles d'un triangle rectangle et les longueurs de ses côtés à partir de données appropriées (résout des triangles rectangles, y compris en utilisant les fonctions trigonométriques).

    notre traduction · texte original (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Point du programme MAT.LO.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie plane

    notre traduction · texte original (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Point du programme MAT.LO.8.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine les rayons et les diamètres de cercles, les longueurs des cordes de cercles ainsi que des segments tangents, y compris en utilisant le théorème de Pythagore

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Point du programme MAT.LO.8.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît les triangles acutangles, rectangles et obtusangles pour des longueurs de côtés données (applique notamment la réciproque du théorème de Pythagore et le théorème du cosinus) ; applique le théorème : dans un triangle, au plus grand angle intérieur est opposé le côté le plus long

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Point du programme MAT.LO.8.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît les polygones réguliers et utilise leurs propriétés de base

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Point du programme MAT.LO.8.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des angles et des diagonales dans les rectangles, parallélogrammes, losanges et trapèzes

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Point du programme MAT.LO.8.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des angles inscrits et des angles au centre

    notre traduction · texte original (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Point du programme MAT.LO.8.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique les formules de l'aire d'un secteur circulaire et de la longueur d'un arc de cercle

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Point du programme MAT.LO.8.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique le théorème de Thalès

    notre traduction · texte original (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Point du programme MAT.LO.8.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les critères de similitude des triangles

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Point du programme MAT.LO.8.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les relations entre les périmètres et entre les aires de figures semblables

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Point du programme MAT.LO.8.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    identifie les points remarquables fondamentaux dans un triangle : le centre du cercle inscrit dans un triangle, le centre du cercle circonscrit à un triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et utilise leurs propriétés

    notre traduction · texte original (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Point du programme MAT.LO.8.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    mène des démonstrations géométriques

    notre traduction · texte original (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Point du programme MAT.LO.8.P.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les fonctions trigonométriques pour déterminer des longueurs de segments dans des figures planes et calculer des aires de figures.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Point du programme MAT.LO.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie analytique dans le plan cartésien

    notre traduction · texte original (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Point du programme MAT.LO.9.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît la position relative de droites dans le plan à partir de leurs équations, notamment trouve le point commun de deux droites, s'il existe

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Point du programme MAT.LO.9.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les équations de droites dans le plan, sous forme réduite et générale, notamment détermine l'équation d'une droite ayant des propriétés données (telles que, par exemple, le passage par deux points donnés, un coefficient directeur connu, le parallélisme avec une autre droite)

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Point du programme MAT.LO.9.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la distance entre deux points dans un repère

    notre traduction · texte original (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Point du programme MAT.LO.9.P.4 · Contenus d'enseignement

    utilise l'équation d'un cercle (x − a)² + (y − b)² = r²

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Point du programme MAT.LO.9.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine les images de cercles et de polygones par des symétries axiales par rapport aux axes du repère, par une symétrie centrale (de centre l'origine du repère).

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Point du programme MAT.LO.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie dans l'espace

    notre traduction · texte original (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Point du programme MAT.LO.10.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît la position relative de droites dans l'espace, en particulier les droites perpendiculaires non sécantes

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Point du programme MAT.LO.10.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la notion d'angle entre une droite et un plan et la notion d'angle dièdre entre des demi-plans

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Point du programme MAT.LO.10.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît dans les prismes et les pyramides les angles entre des segments (par ex. des arêtes, des arêtes et des diagonales) ainsi que les angles entre des faces, calcule les mesures de ces angles

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Point du programme MAT.LO.10.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît dans les cylindres et dans les cônes l'angle entre des segments ainsi que l'angle entre des segments et des plans (par ex. l'angle au sommet du cône, l'angle entre la génératrice et la base), calcule les mesures de ces angles

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

    Calcul de l'aire du cylindre, du cône et de la sphère (chez nous en classe 12)

  79. Point du programme MAT.LO.10.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les volumes et les aires des prismes, des pyramides, du cylindre, du cône et de la sphère, également en utilisant la trigonométrie

    notre traduction · texte original (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

    Calcul de l'aire du cylindre, du cône et de la sphère (chez nous en classe 12) · Calcul du volume du cylindre, du cône et de la sphère (chez nous en classe 12) · Calcul des diagonales, des arêtes et des génératrices dans les solides (chez nous en classe 12)

  80. Point du programme MAT.LO.10.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la relation entre les volumes de solides semblables.

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

    Calcul du volume de solides semblables (chez nous en classe 12)

  81. Point du programme MAT.LO.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Combinatoire

    notre traduction · texte original (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Point du programme MAT.LO.11.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dénombre des objets dans des situations combinatoires simples

    notre traduction · texte original (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Point du programme MAT.LO.11.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dénombre des objets en appliquant les règles de multiplication et d'addition (également conjointement) pour un nombre quelconque d'actions, par ex. :

    notre traduction · texte original (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Point du programme MAT.LO.11.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcul du nombre d'entiers strictement positifs impairs à quatre chiffres tels que, dans leur écriture décimale, figurent exactement un chiffre 1 et exactement un chiffre 2

    notre traduction · texte original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Point du programme MAT.LO.11.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcul du nombre d'entiers strictement positifs pairs à quatre chiffres tels que leur écriture décimale comporte exactement un chiffre 0 et exactement un chiffre 1.

    notre traduction · texte original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Point du programme MAT.LO.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Calcul des probabilités et statistiques

    notre traduction · texte original (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Point du programme MAT.LO.12.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la probabilité dans le modèle classique

    notre traduction · texte original (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Point du programme MAT.LO.12.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la moyenne arithmétique et la moyenne pondérée, trouve la médiane et le mode.

    notre traduction · texte original (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

    Calcul de la moyenne arithmétique (chez nous en classe 12) · Calcul de la moyenne pondérée (chez nous en classe 12) · Détermination de la médiane d'un ensemble de données (chez nous en classe 12)

  89. Point du programme MAT.LO.13 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Optimisation et calcul différentiel

    notre traduction · texte original (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Point du programme MAT.LO.13.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des problèmes d'optimisation dans des situations pouvant être décrites par une fonction du second degré.

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Point du programme MAT.LO.WO.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Maîtrise du calcul

    notre traduction · texte original (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Point du programme MAT.LO.WO.1.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Effectuer des calculs sur les nombres réels, également à l'aide d'une calculatrice, appliquer les propriétés des opérations mathématiques lors de la transformation d'expressions algébriques et utiliser ces compétences dans la résolution de problèmes dans des contextes réels et théoriques

    notre traduction · texte original (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Point du programme MAT.LO.WO.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et création d'informations

    notre traduction · texte original (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Point du programme MAT.LO.WO.2.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Interprétation et exploitation des informations présentées dans un texte, aussi bien mathématique que de vulgarisation scientifique, ainsi que sous forme de graphiques, de diagrammes, de tableaux

    notre traduction · texte original (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Point du programme MAT.LO.WO.2.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation du langage mathématique pour produire des textes mathématiques, notamment pour décrire les raisonnements menés et justifier les conclusions, ainsi que pour présenter des données

    notre traduction · texte original (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Point du programme MAT.LO.WO.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et interprétation des représentations

    notre traduction · texte original (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Point du programme MAT.LO.WO.3.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation d'objets mathématiques et leur manipulation, interprétation de concepts mathématiques

    notre traduction · texte original (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Point du programme MAT.LO.WO.3.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Choix et création de modèles mathématiques lors de la résolution de problèmes pratiques et théoriques

    notre traduction · texte original (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Point du programme MAT.LO.WO.3.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Création d'objets mathématiques auxiliaires à partir d'objets existants, afin de mener une argumentation ou de résoudre un problème

    notre traduction · texte original (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Point du programme MAT.LO.WO.3.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Indication de la nécessité ou de la possibilité de modifier le modèle mathématique dans les cas nécessitant des réserves particulières, des hypothèses supplémentaires, l'examen de conditions particulières

    notre traduction · texte original (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Point du programme MAT.LO.WO.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Raisonnement et argumentation

    notre traduction · texte original (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Point du programme MAT.LO.WO.4.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Conduite de raisonnements, y compris en plusieurs étapes, présentation d'arguments justifiant la validité du raisonnement, distinction entre une preuve et un exemple

    notre traduction · texte original (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Point du programme MAT.LO.WO.4.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Identification de régularités, de similitudes et d'analogies, formulation de conclusions à partir de celles-ci et justification de leur validité

    notre traduction · texte original (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Point du programme MAT.LO.WO.4.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Choix d'arguments pour justifier la validité de la résolution de problèmes, élaboration d'une chaîne d'arguments garantissant la validité de la solution et l'efficacité dans la recherche de solutions au problème

    notre traduction · texte original (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Point du programme MAT.LO.WO.4.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et élaboration de stratégies lors de la résolution de problèmes, également dans des situations atypiques

    notre traduction · texte original (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Compétences étape par étape

Calcul de l'aire du cylindre, du cône et de la sphère

L'élève calcule l'aire totale et latérale d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère, et détermine également l'angle au centre du patron de la surface latérale d'un cône.

Point du programme MAT.LO.10.P.4 reconnaît dans les cylindres et dans les cônes l'angle entre des segments ainsi que l'angle entre des segments et des plans (par ex. l'angle au sommet du cône, l'angle entre la génératrice et la base), calcule les mesures de ces angles (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.10.P.5 calcule les volumes et les aires des prismes, des pyramides, du cylindre, du cône et de la sphère, également en utilisant la trigonométrie (notre traduction)

En 4e année de lycée et de lycée technique, l'élève détermine avec aisance l'aire totale et latérale des solides de révolution : cylindre, cône et sphère. Il utilise pour cela les relations entre le rayon de la base, la hauteur du solide et la génératrice du cône. Il sait également relier les dimensions du solide à son patron, notamment déterminer la mesure de l'angle au centre du secteur circulaire qui forme la surface latérale du cône.

Une erreur fréquente consiste à confondre la génératrice du cône avec sa hauteur lors de l'application de la formule de l'aire latérale, ainsi qu'à oublier de prendre en compte les deux bases lors du calcul de l'aire totale d'un cylindre. Les élèves ont également parfois des difficultés à déterminer l'angle de développement de la surface latérale du cône, en confondant le rayon de la base avec le rayon du secteur circulaire, qui correspond en réalité à la génératrice.

Les exercices permettant de travailler cette compétence comprennent le calcul direct de l'aire d'une sphère, d'un cylindre ou d'un cône à partir de dimensions données (telles que le rayon, la hauteur ou la diagonale d'une section axiale). Les sujets d'examen comportent également des questions demandant de calculer l'angle de développement de la surface latérale d'un cône lorsque les dimensions de sa base et de sa génératrice sont connues.

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Types d’exercices: Aire d'une sphère · Aire totale d'un cylindre · Aire totale d'un cône · Angle du patron d'un cône

Calcul de la dérivée d'une fonction et de sa valeur

L'élève calcule les dérivées de polynômes, de produits et de fonctions composées, et détermine également la valeur de la dérivée en un point donné.

En classe de terminale au lycée et au lycée technique, l'élève maîtrise le calcul des dérivées de fonctions dans le cadre de la préparation au baccalauréat au niveau avancé. Il applique avec aisance les règles de dérivation aux polynômes ainsi qu'aux produits de deux fonctions. Il sait également dériver correctement des fonctions composées et calculer la valeur numérique de la dérivée obtenue pour une valeur donnée.

Une erreur classique lors du calcul de la dérivée d'un produit consiste à la traiter comme une simple multiplication des dérivées de chaque facteur, sans appliquer la formule appropriée. De leur côté, pour les fonctions composées, les élèves oublient le plus souvent de multiplier par la dérivée de la fonction interne, ce qui fausse totalement l'expression finale.

Les exercices permettant de s'entraîner à cette compétence comprennent :

  • la dérivée d'un polynôme ainsi que la dérivée d'un produit, où l'objectif est d'établir la nouvelle expression de la fonction,
  • la dérivée d'une fonction composée, nécessitant d'identifier la fonction interne et la fonction externe,
  • la valeur de la dérivée en un point, où après avoir déterminé l'expression de la dérivée, l'élève remplace la variable par le nombre donné et calcule le résultat numérique final.
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Types d’exercices: Dérivée d'un polynôme · Valeur de la dérivée en un point · Dérivée d'un produit · Dérivée d'une composée

Étude de la monotonie et des extremums d'une fonction

L'élève est capable de déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante ou décroissante, ainsi que d'indiquer les arguments et les valeurs de ses minima et maxima locaux.

En classe de terminale (lycée général et technologique), l'élève étudie les variations d'une fonction. À partir de son expression algébrique ou de sa représentation graphique, il est capable de déterminer avec précision sur quels ensembles d'antécédents la fonction est croissante et sur lesquels elle est décroissante, ainsi que d'indiquer les points où elle atteint ses extrema locaux.

Une erreur fréquente consiste à confondre le point où la fonction atteint un extremum (l'antécédent x) avec la valeur de cet extremum elle-même (l'image y). Les élèves ont également tendance à relier à tort les intervalles de monotonie par le symbole de la réunion plutôt qu'à les énumérer séparés par une virgule ou par la conjonction « et », ce qui conduit à des conclusions erronées sur le comportement de la fonction sur l'ensemble de la réunion.

En pratique, les problèmes reposent sur l'analyse de cas concrets et comprennent les exercices suivants :

  • Intervalles de croissance d'une fonction et Intervalles de décroissance d'une fonction — détermination des intervalles sur lesquels la fonction conserve un sens de variation constant ;
  • Maximum local et Minimum local — identification des points de changement de variation, où la fonction passe de croissante à décroissante ou inversement.
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Types d’exercices: Intervalle de décroissance · Intervalles de croissance · Maximum local · Minimum local

Calcul de la moyenne arithmétique

L'élève calcule la moyenne arithmétique d'un ensemble de données numériques, lit les valeurs sur des diagrammes en barres et applique la moyenne dans des situations pratiques de la vie quotidienne.

Point du programme MAT.LO.12.P.2 calcule la moyenne arithmétique et la moyenne pondérée, trouve la médiane et le mode. (notre traduction)

Dans le cadre des révisions de statistiques, l'élève calcule avec aisance la moyenne arithmétique. Il est capable d'additionner les grandeurs données et de diviser le résultat par le nombre de données, ainsi que de traiter des informations présentées de manière ordonnée ou graphique.

Une erreur fréquente lors de l'utilisation d'un diagramme en barres consiste à diviser la somme des valeurs par le nombre de barres (catégories) au lieu de la diviser par la somme réelle de toutes les observations comptabilisées. Les élèves oublient également de prendre en compte les pondérations liées aux valeurs répétées et additionnent uniquement les étiquettes des barres.

Les exercices évaluant cette compétence comprennent :

  • le calcul standard de la moyenne pour un ensemble de données (Calculer la moyenne arithmétique),
  • la lecture des valeurs et du nombre d'occurrences à partir d'un graphique (Moyenne à partir d'un diagramme en barres),
  • la résolution de problèmes décrivant des phénomènes aléatoires, des mesures ou des finances (La moyenne dans la vie quotidienne).
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Types d’exercices: Calcule la moyenne · La moyenne au quotidien · Moyenne à partir d'un diagramme en barres

Calcul du volume du cylindre, du cône et de la sphère

L'élève calcule le volume de solides de révolution : cylindre, cône et sphère, en appliquant les formules appropriées à partir des dimensions géométriques données.

Point du programme MAT.LO.10.P.5 calcule les volumes et les aires des prismes, des pyramides, du cylindre, du cône et de la sphère, également en utilisant la trigonométrie (notre traduction)

En 4e année de lycée et de lycée technique, l'élève consolide sa capacité à déterminer le volume des solides de révolution. À partir des dimensions de base — le rayon de la base et la hauteur dans le cas du cylindre et du cône, ainsi que le rayon dans le cas de la sphère —, il choisit la formule appropriée et effectue les calculs corrects, en exprimant le résultat sous forme exacte (avec le symbole π) ou approchée.

Une erreur fréquente consiste à confondre le rayon avec le diamètre et à omettre les coefficients numériques dans les formules. Les élèves oublient souvent la fraction 1/3 lors du calcul du volume d'un cône et, dans le cas de la sphère, ils confondent les puissances du rayon en utilisant le rayon au carré au lieu du rayon au cube dans la formule.

Les exercices d'entraînement à cette compétence comprennent le calcul direct de grandeurs sur les fiches d'exercices : Volume d'un cylindre, Volume d'un cône et Volume d'une sphère. L'élève résout des problèmes avec énoncé ou à partir d'une illustration, où il calcule le volume d'un solide donné à partir des dimensions fournies.

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Types d’exercices: Volume d'un cylindre · Volume d'un cône · Volume d'une boule

Calcul des diagonales, des arêtes et des génératrices dans les solides

L'élève détermine les longueurs des segments clés dans les polyèdres et les solides de révolution, tels que la diagonale d'un parallélépipède rectangle, l'arête d'une pyramide ou la génératrice d'un cône.

Point du programme MAT.LO.10.P.5 calcule les volumes et les aires des prismes, des pyramides, du cylindre, du cône et de la sphère, également en utilisant la trigonométrie (notre traduction)

En classe de terminale du lycée et du lycée technique, l'élève organise et consolide ses connaissances en géométrie dans l'espace, en déterminant avec aisance les longueurs des segments clés dans l'espace. À partir des dimensions données d'un solide, il est capable d'identifier le triangle rectangle approprié à l'intérieur de la figure et de calculer la grandeur recherchée — le plus souvent à l'aide du théorème de Pythagore.

Une difficulté typique à ce stade est le mauvais repérage du triangle rectangle dans l'espace. Les élèves confondent souvent la diagonale d'un parallélépipède rectangle avec la diagonale d'une face latérale, et dans un cône, ils assimilent la génératrice à sa hauteur. Dans le cas des pyramides, une erreur fréquente consiste à associer l'arête latérale au mauvais segment de la base (par exemple avec la hauteur de la base au lieu du rayon du cercle circonscrit à celle-ci).

Les exercices évaluant cette compétence reposent sur des modèles concrets de solides :

  • Diagonale d'un parallélépipède rectangle — calcul de la longueur du segment reliant deux sommets opposés du solide à partir des dimensions de ses arêtes ;
  • Génératrice d'un cône — détermination de la longueur de la génératrice connaissant la hauteur du cône et le rayon de sa base ;
  • Arête latérale d'une pyramide — calcul de la longueur de l'arête latérale à partir de la hauteur de la pyramide et de la géométrie de sa base.
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Types d’exercices: Diagonale d'un pavé droit · Génératrice d'un cône · Arête latérale d'une pyramide

Probabilité totale et formule de Bayes

L'élève calcule la probabilité d'événements à plusieurs étapes ainsi que la probabilité conditionnelle à l'aide de la formule de Bayes, en analysant le tirage de boules dans deux urnes différentes.

En 4e année, l'élève résout des problèmes portant sur des expériences à deux étapes à l'aide de la loi des probabilités totales et de la formule de Bayes. Il décompose une expérience complexe en événements mutuellement exclusifs (hypothèses) et calcule la probabilité de réalisation de l'événement final, tout en étant capable de déterminer la probabilité conditionnelle de la cause lorsque l'effet obtenu est déjà connu.

Une erreur fréquente consiste à confondre la probabilité conditionnelle avec la probabilité conjointe des deux événements ou à négliger la première étape du tirage. Les élèves se concentrent souvent uniquement sur le nombre de boules dans le récipient, en oubliant de multiplier le résultat par la probabilité de tirer l'urne elle-même.

En pratique, les exercices reposent sur le schéma de deux urnes contenant différentes quantités de boules blanches et noires. L'élève choisit d'abord l'une des urnes (par exemple à pile ou face), puis en tire une boule. Dans les exercices sur les probabilités totales, il détermine la probabilité de tirer une boule d'une couleur donnée, et en appliquant la formule de Bayes, il calcule par exemple la probabilité que la boule blanche provienne de la première urne, sachant que cette couleur a été tirée.

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Types d’exercices: Formule de Bayes — deux urnes · Probabilités totales — deux urnes

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

L'élève calcule la probabilité d'un nombre déterminé de succès lors d'épreuves répétées à l'aide du schéma de Bernoulli et détermine l'espérance mathématique de la loi binomiale.

En 4e année, l'élève résout des exercices reposant sur la répétition d'une même expérience aléatoire à deux issues possibles : le succès ou l'échec. Il applique la formule du schéma de Bernoulli pour calculer la probabilité d'obtenir un nombre précis de succès dans une série d'épreuves et détermine l'espérance de cette loi, c'est-à-dire le nombre moyen attendu de succès.

Une erreur typique à ce stade consiste à omettre le coefficient binomial dans la formule. L'élève multiplie correctement les probabilités de succès et d'échec, mais oublie que ces mêmes résultats peuvent se produire dans un ordre différent. Il arrive également que les valeurs de probabilité de succès et d'échec soient attribuées de manière erronée ou que le schéma de Bernoulli soit appliqué dans des situations où la probabilité varie d'une épreuve à l'autre.

Les exercices portant sur cette notion s'appuient sur des contextes pratiques, tels qu'une série de lancers de dés, des tirs sur cible ou le contrôle des défauts de fabrication dans un lot de produits. Les activités d'entraînement couvrent deux grands types d'exercices : le Schéma de Bernoulli, où l'objectif est de calculer la probabilité d'obtenir un nombre déterminé de succès, et l'Espérance d'une loi binomiale, où l'élève calcule la moyenne attendue pour un nombre de répétitions donné.

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Types d’exercices: Espérance de la loi binomiale · Schéma de Bernoulli

Détermination de la médiane d'un ensemble de données

L'élève ordonne une série de données numériques et détermine sa médiane, en indiquant la valeur centrale ou en calculant la moyenne arithmétique des deux valeurs centrales.

Point du programme MAT.LO.12.P.2 calcule la moyenne arithmétique et la moyenne pondérée, trouve la médiane et le mode. (notre traduction)

Un élève de terminale (lycée général ou technologique) détermine avec aisance la médiane d'un ensemble fini de données numériques dans le cadre des révisions de statistiques. Il distingue la situation où l'effectif est impair (il identifie alors la valeur centrale unique) de celle où l'effectif est pair, où la médiane est la moyenne arithmétique des deux valeurs centrales.

Une erreur fréquente à ce stade consiste à sélectionner la valeur centrale directement à partir d'un ensemble de données non ordonné, en omettant de ranger préalablement les nombres par ordre croissant. Il arrive également que, pour un nombre pair d'éléments, l'élève donne les deux nombres centraux au lieu de calculer leur moyenne.

Les exercices du modèle Donner la médiane consistent à analyser une suite de nombres donnée, à la ranger dans l'ordre et à déterminer la valeur exacte de la médiane.

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Probabilité conditionnelle à partir d'un tableau

L'élève calcule la probabilité conditionnelle d'un événement en relevant directement dans un tableau de données les effectifs des groupes et les conditions correspondants.

En classe de 4e, l'élève apprend à déterminer la probabilité qu'un événement donné se réalise sachant qu'un autre événement s'est produit. En s'appuyant sur les données numériques de tableaux à double entrée, il restreint l'univers de tous les résultats possibles uniquement au sous-groupe vérifiant la condition donnée et calcule sur cette base la probabilité recherchée sous forme de fraction.

L'erreur la plus fréquente à ce stade consiste à diviser le nombre d'éléments favorables par l'effectif total de toutes les personnes ou objets étudiés dans l'ensemble du tableau, au lieu de le diviser par la somme des éléments satisfaisant la condition. Les élèves confondent également le sens de la relation en inversant l'événement étudié et la condition (par exemple, la probabilité d'appartenir à un groupe donné sachant qu'un résultat précis a été obtenu avec la situation inverse).

Les exercices du modèle Probabilité conditionnelle à partir d'un tableau présentent des données statistiques relatives à un groupe concret — par exemple la répartition des élèves selon le genre et le choix d'une langue vivante. La consigne demande de repérer les bonnes cases du tableau et de calculer la probabilité de tirer au sort une personne présentant une caractéristique précise, sachant à l'avance qu'elle remplit la condition indiquée dans l'énoncé.

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Calcul de la moyenne pondérée

L'élève calcule la moyenne pondérée d'un ensemble de données, en attribuant correctement les poids aux différentes valeurs et en divisant la somme des produits par la somme des poids.

Point du programme MAT.LO.12.P.2 calcule la moyenne arithmétique et la moyenne pondérée, trouve la médiane et le mode. (notre traduction)

En 4e année de lycée et de lycée technique, l'élève détermine la moyenne pondérée d'un ensemble de données. Il multiplie avec aisance chaque valeur par le poids correspondant, additionne les produits obtenus, puis divise le résultat par la somme totale des poids.

L'erreur la plus fréquente consiste à diviser la somme des produits par l'effectif total des valeurs plutôt que par la somme de leurs poids, ce qui découle de l'habitude de calculer une moyenne arithmétique simple. Les élèves ont également parfois des difficultés à distinguer correctement la valeur du caractère de son poids, en particulier lorsque les poids sont exprimés en pourcentages ou en fractions.

Dans les exercices du modèle Moyenne pondérée, l'élève résout des problèmes ancrés dans un contexte pratique, tel que le calcul d'une moyenne semestrielle à partir d'évaluations ayant des coefficients différents ou le calcul du prix moyen d'achat de marchandises issues de livraisons variées. L'exercice consiste à extraire les données, à poser correctement l'expression arithmétique et à calculer le résultat.

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Calcul de l'aire de la section d'un cube

L'élève détermine la forme du plan coupant un cube par des diagonales de faces choisies et calcule l'aire de la section obtenue.

L'élève analyse la disposition du plan de coupe dans un cube et identifie la figure géométrique formée par cette section. Sur cette base, il détermine la longueur des côtés du polygone à partir de la longueur de l'arête du solide et du théorème de Pythagore, puis calcule son aire.

La difficulté la plus fréquente réside dans la mauvaise interprétation de la forme de la figure sur un dessin en perspective cavalière — par exemple, confondre un rectangle avec un carré ou un triangle équilatéral avec un triangle quelconque. Les élèves confondent également souvent la longueur de l'arête du cube avec celle du côté de la section, en oubliant que ce côté est la diagonale d'une face latérale ou d'une base.

Un exercice typique consiste à calculer l'aire de la section d'un cube passant par des diagonales choisies de ses faces. Connaissant la longueur de l'arête du solide, l'élève détermine les dimensions du polygone obtenu (par exemple un rectangle dont les côtés sont une arête et une diagonale d'une face) et donne le résultat final sous forme exacte.

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Calcul du volume de solides semblables

L'élève calcule le volume d'un solide semblable en utilisant la relation selon laquelle le rapport des volumes de deux solides est égal au cube de leur rapport de similitude.

Point du programme MAT.LO.10.P.6 utilise la relation entre les volumes de solides semblables. (notre traduction)

En classe terminale du lycée, l'élève consolide ses connaissances en géométrie dans l'espace dans le cadre de la préparation au baccalauréat. À ce stade, il détermine avec aisance le volume d'un solide semblable à un solide donné, en utilisant le rapport de similitude k. Au lieu de recalculer laborieusement les dimensions de toutes les arêtes ou de la hauteur du nouveau solide, il exploite le fait que le rapport de leurs volumes est égal à k au cube.

Une erreur classique à ce stade consiste à multiplier le volume initial par le simple rapport k ou par son carré. Les élèves transposent souvent machinalement l'habitude acquise lors de la mise à l'échelle de longueurs ou d'aires, en oubliant que l'espace tridimensionnel exige d'élever le coefficient de similitude au cube.

Les exercices du modèle Volume d'un solide semblable placent l'élève dans une situation où sont connus le volume du premier solide ainsi que le rapport des arêtes homologues ou le facteur d'agrandissement du solide. La tâche de l'élève consiste à calculer le cube de ce rapport et à déterminer le volume manquant.

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Calcul de la limite d'une fonction en un point

L'élève calcule les limites d'une fonction en un point en étudiant le comportement des valeurs de la fonction lorsque les arguments se rapprochent d'un nombre donné.

En 4e année de lycée et de lycée technique, dans le cadre du programme approfondi, l'élève analyse le comportement d'une fonction au voisinage d'un nombre donné et détermine la limite d'une fonction en un point. Il comprend la différence entre la valeur même de la fonction en un point donné et la valeur vers laquelle tendent les images lorsque la variable s'approche du nombre étudié.

Une erreur fréquente consiste à s'arrêter dès qu'un zéro apparaît au dénominateur de la fraction. Les élèves en déduisent souvent à tort que la limite n'existe pas ou que l'opération est impossible, au lieu de reconnaître une forme indéterminée (par exemple 0/0) et de transformer l'expression de la fonction, par exemple en simplifiant un facteur commun au numérateur et au dénominateur.

Les exercices du modèle Limite d'une fonction en un point consistent à calculer la limite d'une expression algébrique donnée (le plus souvent une fonction rationnelle). L'élève vérifie s'il suffit de remplacer directement la variable par le nombre indiqué et, si cela conduit à une forme indéterminée, il simplifie la fraction avant de calculer le résultat numérique final.

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Équation de la tangente à la courbe à l'aide de la dérivée

L'élève apprend à déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point donné, en utilisant l'interprétation géométrique de la dérivée.

En classe de terminale (lycée d'enseignement général et technologique), l'élève associe la notion de dérivée à la géométrie analytique. Il est capable de calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point donné, qui détermine le coefficient directeur de la droite, puis d'établir l'équation complète de la droite tangente à la courbe au point de coordonnées données.

Une erreur fréquente consiste à confondre la valeur de la dérivée en un point avec la valeur de la fonction elle-même, ou à insérer dans l'équation de la droite l'expression générale de la dérivée au lieu de la valeur numérique calculée pour l'abscisse donnée. Des erreurs de signe surviennent également lors de la transformation de l'équation sous forme réduite.

Dans les exercices du modèle Tangente à la courbe d'une fonction, l'élève dispose de l'expression de la fonction ainsi que de l'abscisse du point de tangence. Son objectif est de déterminer l'ordonnée de ce point, de calculer la valeur de la dérivée en ce point et d'écrire l'équation finale de la tangente sous la forme y = ax + b.

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Modèles d'exercices à imprimer

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Calcul de l'aire du cylindre, du cône et de la sphère

Calcul de la dérivée d'une fonction et de sa valeur

Étude de la monotonie et des extremums d'une fonction

Calcul de la moyenne arithmétique

Calcul du volume du cylindre, du cône et de la sphère

Calcul des diagonales, des arêtes et des génératrices dans les solides

Probabilité totale et formule de Bayes

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Détermination de la médiane d'un ensemble de données

Probabilité conditionnelle à partir d'un tableau

Calcul de la moyenne pondérée

Calcul de l'aire de la section d'un cube

Calcul du volume de solides semblables

Calcul de la limite d'une fonction en un point

Équation de la tangente à la courbe à l'aide de la dérivée

Autres types d’exercices

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