Polski
Program nauczania (Polska)

Matematyka — klasa 4 liceum i technikum

Matematyka w klasie 4 liceum i technikum: stereometria i bryły obrotowe, statystyka, prawdopodobieństwo warunkowe i schemat Bernoulliego, a w zakresie rozszerzonym granica funkcji i pochodna — i powtórka przed maturą. Do każdego tematu gotowe zadania do druku.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczy się uczeń z matematyki w klasie 4 liceum?

W klasie 4 uczeń liczy objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów i brył obrotowych, długości odcinków i pola przekrojów w bryłach. W statystyce oblicza średnią, średnią ważoną i medianę, a w rachunku prawdopodobieństwa korzysta z prawdopodobieństwa warunkowego, wzoru na prawdopodobieństwo całkowite i schematu Bernoulliego. W zakresie rozszerzonym poznaje granicę funkcji i pochodną: styczną do wykresu, monotoniczność i ekstrema. Klasa 4 kończy się maturą, więc wraca do całego materiału szkoły średniej.

Ważne o podstawie programowej: podstawa dla liceum i technikum jest sformułowana blokowo — opisuje, co uczeń umie na koniec szkoły średniej, osobno w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Przypisanie tematu do klasy to nasza decyzja według typowego rozkładu materiału; w sekcji „Zakres programowy” widzisz punkty podstawy z cytatami.

Stan strony: zadania tej klasy są gotowe w postaci bez fabuły (samo polecenie i wzór); zadania z rysunkiem, dowody i fabuły dochodzą w kolejnych krokach.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy MAT.LO.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punkt podstawy MAT.LO.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Punkt podstawy MAT.LO.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.1 · Treści nauczania

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punkt podstawy MAT.LO.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punkt podstawy MAT.LO.4.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Punkt podstawy MAT.LO.4.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punkt podstawy MAT.LO.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.12 · Treści nauczania

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.13 · Treści nauczania

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.14 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punkt podstawy MAT.LO.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punkt podstawy MAT.LO.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.2 · Treści nauczania

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.3 · Treści nauczania

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punkt podstawy MAT.LO.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punkt podstawy MAT.LO.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.4 · Treści nauczania

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punkt podstawy MAT.LO.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

    Obliczanie pola powierzchni walca, stożka i kuli (u nas w klasie 12)

  79. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

    Obliczanie pola powierzchni walca, stożka i kuli (u nas w klasie 12) · Obliczanie objętości walca, stożka i kuli (u nas w klasie 12) · Obliczanie przekątnych, krawędzi i tworzących w bryłach (u nas w klasie 12)

  80. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

    Obliczanie objętości brył podobnych (u nas w klasie 12)

  81. Punkt podstawy MAT.LO.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punkt podstawy MAT.LO.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punkt podstawy MAT.LO.12.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punkt podstawy MAT.LO.12.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

    Obliczanie średniej arytmetycznej (u nas w klasie 12) · Obliczanie średniej ważonej (u nas w klasie 12) · Wyznaczanie mediany zestawu danych (u nas w klasie 12)

  89. Punkt podstawy MAT.LO.13 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punkt podstawy MAT.LO.13.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punkt podstawy MAT.LO.WO.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punkt podstawy MAT.LO.WO.1.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Umiejętności krok po kroku

Obliczanie pola powierzchni walca, stożka i kuli

Uczeń oblicza pole powierzchni całkowitej i bocznej walca, stożka oraz kuli, a także wyznacza kąt środkowy siatki powierzchni bocznej stożka.

Punkt podstawy MAT.LO.10.P.4 rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów
Punkt podstawy MAT.LO.10.P.5 oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

W klasie 4 liceum i technikum uczeń sprawnie wyznacza pole powierzchni całkowitej oraz bocznej brył obrotowych: walca, stożka i kuli. Wykorzystuje do tego związki między promieniem podstawy, wysokością bryły a tworzącą stożka. Potrafi również powiązać wymiary bryły z jej siatką geometryczną, w tym ustalić miarę kąta środkowego wycinka koła, który tworzy powierzchnię boczną stożka.

Częstym błędem jest mylenie tworzącej stożka z jego wysokością podczas stosowania wzoru na pole powierzchni bocznej, a także zapominanie o uwzględnieniu dwóch podstaw przy obliczaniu pola powierzchni całkowitej walca. Uczniowie miewają również problem z wyznaczeniem kąta rozwinięcia powierzchni bocznej stożka, myląc promień podstawy z promieniem wycinka kołowego, którym w rzeczywistości jest tworząca.

Zadania ćwiczące tę umiejętność obejmują bezpośrednie obliczanie pola powierzchni kuli, walca lub stożka na podstawie podanych wymiarów (takich jak promień, wysokość czy przekątna przekroju osiowego). W arkuszach pojawiają się również polecenia polegające na obliczeniu kąta rozwinięcia powierzchni bocznej stożka przy znanych wymiarach jego podstawy i tworzącej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Pole powierzchni kuli · Pole powierzchni walca · Kąt rozwinięcia powierzchni bocznej stożka · Pole powierzchni stożka

Obliczanie pochodnej funkcji i jej wartości

Uczeń oblicza pochodne wielomianów, iloczynów oraz funkcji złożonych, a także wyznacza wartość pochodnej w konkretnym punkcie.

W klasie 4 liceum i technikum uczeń opanowuje wyznaczanie pochodnych funkcji w ramach przygotowania do matury w zakresie rozszerzonym. Sprawnie stosuje reguły różniczkowania do wielomianów oraz iloczynów dwóch funkcji. Potrafi także poprawnie różniczkować funkcje złożone oraz obliczać liczbową wartość otrzymanej pochodnej dla wskazanego argumentu.

Typowym błędem przy obliczaniu pochodnej iloczynu jest traktowanie jej jak zwykłego mnożenia oddzielnych pochodnych, bez uwzględnienia odpowiedniego wzoru. Z kolei przy funkcjach złożonych uczniowie najczęściej zapominają o domnożeniu wyniku przez pochodną funkcji wewnętrznej, co całkowicie zniekształca końcowy wzór.

Zadania ćwiczące tę umiejętność obejmują:

  • pochodną wielomianu oraz pochodną iloczynu, gdzie celem jest wyznaczenie nowego wzoru funkcji,
  • pochodną funkcji złożonej, wymagającą rozpoznania funkcji wewnętrznej i zewnętrznej,
  • wartość pochodnej w punkcie, w której po wyznaczeniu wzoru pochodnej uczeń podstawia zadaną liczbę i oblicza ostateczny wynik liczbowy.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Pochodna wielomianu · Wartość pochodnej w punkcie · Pochodna funkcji złożonej · Pochodna iloczynu

Badanie monotoniczności i ekstremów funkcji

Uczeń potrafi wyznaczyć przedziały, w których funkcja rośnie lub maleje, oraz wskazać argumenty i wartości dla jej minimów i maksimów lokalnych.

W klasie 4 liceum i technikum uczeń analizuje przebieg zmienności funkcji. Na podstawie wzoru lub wykresu potrafi precyzyjnie określić, w jakich zbiorach argumentów funkcja rośnie, a w jakich maleje, oraz wskazać punkty, w których osiąga ona swoje lokalne wierzchołki (ekstrema).

Częstym błędem jest mylenie miejsca, w którym funkcja przyjmuje ekstremum (argumentu x), z samą wartością tego ekstremum (wartością y). Uczniowie mają również tendencję do błędnego łączenia przedziałów monotoniczności symbolem sumy mnogościowej zamiast wymieniania ich po przecinku lub spójnikiem „i”, co prowadzi do fałszywych wniosków o zachowaniu funkcji na całym połączonym zbiorze.

W praktyce zadania polegają na analizie konkretnych przypadków i obejmują następujące ćwiczenia:

  • Przedziały wzrostu funkcji oraz Przedział malenia funkcji — wyznaczanie przedziałów, w których funkcja zachowuje stały kierunek zmian;
  • Maksimum lokalne i Minimum lokalne — odnajdywanie punktów przegięcia trendu, w których funkcja zmienia się z rosnącej na malejącą lub odwrotnie.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Maksimum lokalne · Minimum lokalne · Przedział malenia funkcji · Przedziały wzrostu funkcji

Obliczanie średniej arytmetycznej

Uczeń oblicza średnią arytmetyczną zestawu danych liczbowych, odczytuje wartości z diagramów słupkowych oraz stosuje średnią w praktycznych sytuacjach z życia codziennego.

Punkt podstawy MAT.LO.12.P.2 oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

W ramach powtórki ze statystyki uczeń sprawnie wyznacza średnią arytmetyczną. Potrafi zsumować podane wielkości i podzielić wynik przez liczbę danych, a także przetworzyć informacje przedstawione w sposób uporządkowany lub graficzny.

Typowym błędem przy pracy z diagramem słupkowym jest dzielenie sumy wartości przez liczbę słupków (kategorii) zamiast przez rzeczywistą sumę wszystkich zliczonych obserwacji. Uczniowie zapominają również o uwzględnieniu wag wynikających z powtarzających się wyników i dodają same etykiety słupków.

Ćwiczenia sprawdzające tę umiejętność obejmują:

  • standardowe wyznaczanie wyniku dla zbioru danych (Oblicz średnią arytmetyczną),
  • odczytywanie wielkości oraz liczby powtórzeń z wykresu (Średnia z diagramu słupkowego),
  • rozwiązywanie zadań tekstowych opisujących zjawiska losowe, pomiary czy finanse (Średnia w życiu codziennym).
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Oblicz średnią arytmetyczną · Średnia w życiu codziennym · Średnia z diagramu słupkowego

Obliczanie objętości walca, stożka i kuli

Uczeń oblicza objętość brył obrotowych: walca, stożka oraz kuli, stosując właściwe wzory na podstawie podanych wymiarów geometrycznych.

Punkt podstawy MAT.LO.10.P.5 oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

W klasie 4 liceum i technikum uczeń utrwala umiejętność wyznaczania objętości brył obrotowych. Mając dane podstawowe wymiary — promień podstawy i wysokość w przypadku walca i stożka oraz promień w przypadku kuli — dobiera właściwy wzór i wykonuje poprawne rachunki, zapisując wynik dokładnie (z symbolem π) lub przybliżając go.

Częstym problemem bywa mylenie promienia ze średnicą oraz gubienie współczynników liczbowych we wzorach. Uczniowie nierzadko zapominają o ułamku 1/3 przy obliczaniu objętości stożka, a w przypadku kuli mylą potęgi promienia, wstawiając do wzoru promień podniesiony do kwadratu zamiast do sześcianu.

Zadania ćwiczące tę umiejętność obejmują bezpośrednie wyliczanie wielkości na kartach pracy: Objętość walca, Objętość stożka oraz Objętość kuli. Uczeń rozwiązuje zadania z treścią lub na podstawie rysunku, gdzie na bazie podanych wielkości oblicza objętość danej figury przestrzennej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Objętość kuli · Objętość stożka · Objętość walca

Obliczanie przekątnych, krawędzi i tworzących w bryłach

Uczeń wyznacza długości kluczowych odcinków w wielościanach i bryłach obrotowych, takich jak przekątna prostopadłościanu, krawędź ostrosłupa czy tworząca stożka.

Punkt podstawy MAT.LO.10.P.5 oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

W klasie 4 liceum i technikum uczeń porządkuje i utrwala wiedzę ze stereometrii, sprawnie wyznaczając długości kluczowych odcinków w przestrzeni. Na podstawie danych wymiarów bryły potrafi wskazać odpowiedni trójkąt prostokątny wewnątrz figury i obliczyć szukaną wielkość — najczęściej z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.

Typową trudnością na tym etapie jest błędne zlokalizowanie trójkąta prostokątnego w przestrzeni. Uczniowie często mylą przekątną prostopadłościanu z przekątną ściany bocznej, a w stożku utożsamiają tworzącą z jego wysokością. W przypadku ostrosłupów częstym błędem jest łączenie krawędzi bocznej z niewłaściwym odcinkiem podstawy (na przykład z wysokością podstawy zamiast z promieniem okręgu opisanego na niej).

Zadania sprawdzające tę umiejętność opierają się na konkretnych modelach brył:

  • Przekątna prostopadłościanu — obliczenie długości odcinka łączącego dwa przeciwległe wierzchołki bryły na podstawie wymiarów jej krawędzi;
  • Tworząca stożka — wyznaczenie długości tworzącej przy znanej wysokości stożka i promieniu jego podstawy;
  • Krawędź boczna ostrosłupa — obliczenie długości krawędzi bocznej na podstawie wysokości ostrosłupa oraz geometrii jego podstawy.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Przekątna prostopadłościanu · Tworząca stożka · Krawędź boczna ostrosłupa

Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa

Uczeń oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń wieloetapowych oraz prawdopodobieństwo warunkowe przy użyciu wzoru Bayesa, analizując losowanie kul z dwóch różnych urn.

W klasie 4 uczeń rozwiązuje zadania dotyczące doświadczeń dwuetapowych z wykorzystaniem prawdopodobieństwa całkowitego oraz wzoru Bayesa. Rozbija złożone doświadczenie na wzajemnie wykluczające się przypadki (hipotezy) i oblicza szansę zajścia końcowego zdarzenia, a także potrafi wyznaczyć prawdopodobieństwo warunkowe przyczyny, gdy znany jest już uzyskany skutek.

Częstym błędem jest mylenie prawdopodobieństwa warunkowego z prawdopodobieństwem łącznym obu zdarzeń lub pomijanie pierwszego etapu losowania. Uczniowie nierzadko skupiają się wyłącznie na liczbie kul w naczyniu, zapominając pomnożyć wyniku przez prawdopodobieństwo wylosowania samej urny.

W praktyce zadania bazują na schemacie dwóch urn o różnej zawartości kul białych i czarnych. Uczeń najpierw wybiera jedną z urn (np. rzucając monetą), a następnie ciągnie z niej kulę. W zadaniach z prawdopodobieństwa całkowitego wyznacza szansę wyciągnięcia kuli o określonym kolorze, a stosując wzór Bayesa, oblicza na przykład, jak prawdopodobne jest, że biała kula pochodziła z pierwszej urny, jeśli wiadomo, że taki kolor został wylosowany.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Prawdopodobieństwo całkowite — dwie urny · Wzór Bayesa — dwie urny

Schemat Bernoulliego i rozkład dwumianowy

Uczeń oblicza prawdopodobieństwo określonej liczby sukcesów w powtarzanych próbach za pomocą schematu Bernoulliego oraz wyznacza wartość oczekiwaną rozkładu dwumianowego.

W klasie 4 uczeń rozwiązuje zadania oparte na wielokrotnym powtarzaniu tego samego doświadczenia losowego o dwóch możliwych wynikach: sukcesie lub porażce. Stosuje wzór na schemat Bernoulliego do obliczania prawdopodobieństwa uzyskania dokładnie określonej liczby sukcesów w serii prób oraz wyznacza wartość oczekiwaną takiego rozkładu, czyli przewidywaną średnią liczbę udanych wyników.

Typowym błędem na tym etapie jest pomijanie współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona) we wzorze. Uczeń poprawnie mnoży prawdopodobieństwa sukcesów i porażek, ale zapomina, że te same wyniki mogą pojawić się w różnej kolejności. Zdarza się również błędne przypisanie wartości prawdopodobieństwa sukcesu i porażki lub stosowanie schematu Bernoulliego w sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zmienia się z próby na próbę.

Zadania z tego zakresu opierają się na praktycznych kontekstach, takich jak seria rzutów kostką, strzały do celu czy kontrola wadliwości produktów w partii towaru. Materiały do ćwiczeń obejmują dwa główne typy zadań: Schemat Bernoulliego, gdzie celem jest wyliczenie szansy na konkretną liczbę sukcesów, oraz Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego, gdzie uczeń określa spodziewany średni wynik w danej liczbie powtórzeń.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego · Schemat Bernoulliego

Wyznaczanie mediany zestawu danych

Uczeń porządkuje zestaw danych liczbowych i wyznacza jego medianę, wskazując wartość środkową lub obliczając średnią arytmetyczną dwóch liczb środkowych.

Punkt podstawy MAT.LO.12.P.2 oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

Uczeń w klasie 4 liceum i technikum sprawnie wyznacza medianę dla skończonego zestawu danych liczbowych w ramach powtórki ze statystyki. Rozróżnia sytuację, w której liczba danych jest nieparzysta (wskazuje wtedy pojedynczą wartość środkową) od sytuacji z parzystą liczbą danych, gdzie mediana jest średnią arytmetyczną dwóch elementów środkowych.

Typowym błędem na tym etapie jest wybieranie wartości środkowej bezpośrednio z nieuporządkowanego zestawu danych, z pominięciem wstępnego ułożenia liczb od najmniejszej do największej. Zdarza się również, że przy parzystej liczbie elementów uczeń podaje obie środkowe liczby zamiast wyliczyć ich średnią.

Zadania z szablonu Podaj medianę polegają na przeanalizowaniu podanego ciągu liczb, uporządkowaniu go i wyznaczeniu dokładnej wartości mediany.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Prawdopodobieństwo warunkowe na podstawie tabeli

Uczeń oblicza prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia, odczytując odpowiednie liczebności grup i warunki bezpośrednio z tabeli danych.

W klasie 4 uczeń uczy się wyznaczać prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia pod warunkiem, że zaszło inne zdarzenie. Korzystając z zestawień liczbowych w tabelach dwudzielnych, ogranicza przestrzeń wszystkich możliwych wyników wyłącznie do grupy spełniającej podany warunek i na tej podstawie wylicza szukaną szansę w postaci ułamka.

Najczęstszym błędem na tym etapie jest dzielenie liczby elementów sprzyjających przez łączną liczbę wszystkich badanych osób lub obiektów w całej tabeli, zamiast przez sumę elementów tworzących dany warunek. Uczniowie mylą także kierunek zależności, zamieniając zdarzenie wyjściowe z warunkiem (na przykład prawdopodobieństwo bycia w danej grupie pod warunkiem uzyskania określonego wyniku z sytuacją odwrotną).

Zadania z szablonu Prawdopodobieństwo warunkowe z tabeli przedstawiają dane statystyczne dotyczące konkretnej grupy — na przykład podział uczniów ze względu na płeć i wybór języka obcego. Polecenie wymaga odnalezienia właściwych komórek w tabeli oraz obliczenia, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania osoby o określonej cesze, jeśli wiadomo z góry, że spełnia ona wskazany w zadaniu warunek.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie średniej ważonej

Uczeń oblicza średnią ważoną zestawu danych, poprawnie przypisując wagi poszczególnym wartościom i dzieląc sumę iloczynów przez sumę wag.

Punkt podstawy MAT.LO.12.P.2 oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

W klasie 4 liceum i technikum uczeń wyznacza średnią ważoną zestawu danych. Sprawnie mnoży każdą wartość przez odpowiadającą jej wagę, sumuje uzyskane iloczyny, a następnie dzieli otrzymany wynik przez łączną sumę wag.

Najczęstszym błędem jest dzielenie sumy iloczynów przez liczbę podanych liczb zamiast przez sumę ich wag, co wynika z nawyku liczenia zwykłej średniej arytmetycznej. Uczniowie miewają także problem z poprawnym odróżnieniem wartości cechy od jej wagi, szczególnie gdy wagi są wyrażone w procentach lub ułamkach.

W zadaniach z szablonu Średnia ważona uczeń rozwiązuje problemy osadzone w praktycznym kontekście, takim jak wyznaczanie oceny semestralnej na podstawie sprawdzianów o różnym znaczeniu czy obliczanie średniej ceny zakupu towarów z różnych dostaw. Zadanie polega na wyodrębnieniu danych, poprawnym ułożeniu wyrażenia arytmetycznego i obliczeniu wyniku.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie pola przekroju sześcianu

Uczeń wyznacza kształt płaszczyzny przecinającej sześcian przez wybrane przekątne ścian i oblicza pole powierzchni powstałego przekroju.

Uczeń analizuje ułożenie płaszczyzny tnącej w sześcianie i rozpoznaje, jaką figurę geometryczną tworzy dany przekrój. Na tej podstawie wyznacza długości boków wielokąta w oparciu o długość krawędzi bryły oraz twierdzenie Pitagorasa, a następnie oblicza jego pole powierzchni.

Najczęstszą trudnością jest błędne zinterpretowanie kształtu figury na rysunku w rzucie ukośnym — na przykład mylenie prostokąta z kwadratem lub trójkąta równobocznego z dowolnym. Uczniowie często mylą także długość krawędzi sześcianu z długością boku przekroju, zapominając, że bok ten jest przekątną ściany bocznej lub podstawy.

Typowe zadanie polega na obliczeniu pola przekroju sześcianu przechodzącego przez wybrane przekątne jego ścian. Mając daną długość krawędzi bryły, uczeń określa wymiary powstałego wielokąta (np. prostokąta o bokach będących krawędzią i przekątną ściany) i zapisuje końcowy wynik w postaci dokładnej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie objętości brył podobnych

Uczeń oblicza objętość bryły podobnej, wykorzystując zależność, że stosunek objętości dwóch brył jest równy sześcianowi skali ich podobieństwa.

Punkt podstawy MAT.LO.10.P.6 wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

W klasie 4 liceum i technikum uczeń utrwala wiadomości ze stereometrii w ramach przygotowań do egzaminu maturalnego. Na tym etapie sprawnie wyznacza objętość bryły podobnej do danej, posługując się skalą podobieństwa k. Zamiast mozolnie przeliczać wymiary wszystkich krawędzi czy wysokości nowej bryły, korzysta z faktu, że stosunek ich objętości wynosi k do potęgi trzeciej.

Typowym błędem na tym etapie jest mnożenie wyjściowej objętości przez samą skalę k lub przez jej kwadrat. Uczniowie często mechanicznie przenoszą nawyk ze skalowania odcinków lub pól powierzchni, zapominając, że trójwymiarowa przestrzeń wymaga podniesienia współczynnika podobieństwa do sześcianu.

Zadania z szablonu Objętość bryły podobnej stawiają przed uczniem sytuację, w której znana jest objętość pierwszej bryły oraz stosunek odpowiadających sobie krawędzi lub skala powiększenia bryły. Zadaniem ucznia jest obliczenie sześcianu tej skali i wyznaczenie brakującej objętości.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie granicy funkcji w punkcie

Uczeń oblicza granice funkcji w punkcie, badając zachowanie wartości funkcji przy zbliżaniu się argumentów do wybranej liczby.

W klasie 4 liceum i technikum w ramach zakresu rozszerzonego uczeń analizuje zachowanie funkcji w otoczeniu określonej liczby i wyznacza granicę funkcji w punkcie. Rozumie różnicę między samą wartością funkcji w danym punkcie a tym, do jakiej wartości dążą wyniki, gdy argument zbliża się do badanej liczby.

Typowym błędem jest zatrzymanie się na etapie, w którym w mianowniku ułamka pojawia się zero. Uczniowie często błędnie uznają wtedy, że granica nie istnieje lub że działanie jest niedozwolone, zamiast zauważyć wyrażenie nieoznaczone (np. 0/0) i przekształcić wzór funkcji – na przykład skracając wspólny czynnik w liczniku i mianowniku.

Zadania z szablonu Granica funkcji w punkcie polegają na obliczeniu granicy dla podanego wyrażenia algebraicznego (najczęściej funkcji wymiernej). Uczeń sprawdza, czy wystarczy bezpośrednio podstawić wskazaną liczbę, a jeśli prowadzi to do symbolu nieoznaczonego, upraszcza ułamek i dopiero wtedy oblicza ostateczny wynik liczbowy.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Równanie stycznej do wykresu z użyciem pochodnej

Uczeń uczy się wyznaczać równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w podanym punkcie, wykorzystując geometryczną interpretację pochodnej.

W klasie 4 liceum i technikum uczeń łączy pojęcie pochodnej z geometrią analityczną. Potrafi obliczyć pochodną funkcji w wybranym punkcie, która określa współczynnik kierunkowy prostej, a następnie wyznaczyć pełne równanie prostej stycznej do wykresu w punkcie o danych współrzędnych.

Częstym błędem jest mylenie wartości pochodnej w punkcie z wartością samej funkcji lub wstawianie do równania prostej całego ogólnego wzoru pochodnej zamiast konkretnej liczby obliczonej dla zadanego argumentu. Zdarzają się także pomyłki w znakach przy przekształcaniu równania do postaci kierunkowej.

W zadaniach z szablonu Styczna do wykresu funkcji uczeń otrzymuje wzór funkcji oraz odciętą punktu styczności. Jego celem jest wyznaczenie drugiej współrzędnej punktu, obliczenie wartości pochodnej w tym miejscu i zapisanie ostatecznego wzoru stycznej w postaci y = ax + b.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Obliczanie pola powierzchni walca, stożka i kuli

Obliczanie pochodnej funkcji i jej wartości

Badanie monotoniczności i ekstremów funkcji

Obliczanie średniej arytmetycznej

Obliczanie objętości walca, stożka i kuli

Obliczanie przekątnych, krawędzi i tworzących w bryłach

Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa

Schemat Bernoulliego i rozkład dwumianowy

Wyznaczanie mediany zestawu danych

Prawdopodobieństwo warunkowe na podstawie tabeli

Obliczanie średniej ważonej

Obliczanie pola przekroju sześcianu

Obliczanie objętości brył podobnych

Obliczanie granicy funkcji w punkcie

Równanie stycznej do wykresu z użyciem pochodnej

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu