Lehrplan (Polen)

Mathematik — Klasse 12

Mathematik in der 4. Klasse des Lyzeums und Technikums: Stereometrie und Rotationskörper, Statistik, bedingte Wahrscheinlichkeit und Bernoulli-Kette, und auf erweitertem Niveau Grenzwert von Funktionen und Ableitung – sowie Wiederholung vor dem Abitur. Zu jedem Thema fertige Aufgaben zum Ausdrucken.

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Was lernt ein Schüler in Mathematik in der 4. Klasse des Gymnasiums?

In der 4. Klasse berechnet der Schüler Volumina und Oberflächeninhalte von Prismen, Pyramiden und Rotationskörpern sowie Streckenlängen und Schnittflächen in Körpern. In der Statistik berechnet er den Mittelwert, das gewichtete Mittel und den Median, und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nutzt er die bedingte Wahrscheinlichkeit, den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und die Bernoulli-Kette. Auf dem erweiterten Niveau lernt er den Grenzwert von Funktionen und die Ableitung kennen: Tangente an den Funktionsgraphen, Monotonie und Extrema. Die 4. Klasse endet mit dem Abitur, daher wird der gesamte Stoff der Sekundarstufe II wiederholt.

Wichtig zum Lehrplan: Der Lehrplan für das Lyzeum und das Technikum ist blockweise formuliert – er beschreibt, was der Schüler am Ende der Sekundarstufe II kann, jeweils getrennt für das grundlegende und das erweiterte Niveau. Die Zuordnung der Themen zu den Klassenstufen ist unsere Entscheidung nach dem typischen Stoffverteilungsplan; im Abschnitt „Lehrplanumfang“ siehst du die Lehrplanpunkte mit Zitaten.

Status der Seite: Die Aufgaben dieser Klassenstufe sind in reiner Form ohne Textkontext fertiggestellt (nur Aufgabenstellung und Formel); Aufgaben mit Abbildungen, Beweise und Sachaufgaben kommen in den nächsten Schritten hinzu.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt MAT.LO.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Reelle Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Liczby rzeczywiste

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren) in der Menge der reellen Zahlen aus

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt einfache Beweise zur Teilbarkeit ganzer Zahlen und zu Resten bei der Division durch, z. B.:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Eigenschaften von Wurzeln beliebigen Grades an, einschließlich Wurzeln ungeraden Grades aus negativen Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet den Zusammenhang zwischen dem Wurzelziehen und dem Potenzieren sowie die Rechengesetze für Potenzen und Wurzeln an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Monotonie des Potenzierens an, insbesondere die Eigenschaften: wenn x < y und a > 1, dann ax < ay, und wenn x < y und 0 < a < 1, dann ax > ay

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet den Begriff des Zahlenintervalls, markiert Intervalle auf der Zahlengeraden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die geometrische und algebraische Interpretation des Betrags an, löst Gleichungen des Typs: |x + 4| = 5

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Eigenschaften des Potenzierens und Radizierens in praktischen Situationen, darunter zur Berechnung von Zinseszinsen, Gewinnen aus Geldanlagen und Kreditkosten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet den Zusammenhang zwischen Logarithmieren und Potenzieren an, verwendet Formeln für den Logarithmus eines Produkts, den Logarithmus eines Quotienten und den Logarithmus einer Potenz.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beweis der Teilbarkeit des Produkts von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch 24

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beweis der Eigenschaft: Wenn eine Zahl bei der Division durch 4 den Rest 3 lässt, ist sie kein Quadrat einer ganzen Zahl

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.LO.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Algebraische Ausdrücke

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wyrażenia algebraiczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die binomischen Formeln für: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2 an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

addiert, subtrahiert und multipliziert Polynome in einer und mehreren Variablen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

multipliziert und dividiert rationale Terme.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Równania i nierówności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.1 · Lerninhalte

formt Gleichungen und Ungleichungen äquivalent um, darunter z. B. formt eine rationale Gleichung äquivalent um (Beispiel im Rechtsakt)

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert widersprüchliche und identische lineare Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst quadratische Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Polynomgleichungen der Form W(x) = 0 für in Produktform gebrachte Polynome.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungssysteme

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Układy równań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, gibt die geometrische Interpretation bestimmter, unbestimmter und widersprüchlicher Systeme an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben an.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Funkcje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

beschreibt Funktionen als eindeutige Zuordnung mithilfe einer Wortbeschreibung, einer Tabelle, eines Graphen, einer Formel (auch durch verschiedene Formeln auf verschiedenen Intervallen)

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Funktionswert einer durch eine algebraische Formel gegebenen Funktion

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

liest Werte von Funktionen, die durch Tabellen, Graphen, Formeln usw. gegeben sind, ab und interpretiert sie, auch in Situationen der mehrfachen Nutzung derselben Informationsquelle oder mehrerer Quellen gleichzeitig

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

liest aus dem Funktionsgraphen ab: Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Monotonieintervalle, Intervalle, in denen die Funktion Werte annimmt, die größer (nicht kleiner) oder kleiner (nicht größer) als eine gegebene Zahl sind, die größten und kleinsten Werte der Funktion (sofern sie existieren) in einem gegebenen abgeschlossenen Intervall sowie die Argumente, für welche die größten und kleinsten Werte von der Funktion angenommen werden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert die in der Funktionsgleichung einer linearen Funktion auftretenden Koeffizienten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auf der Grundlage von Informationen über ihren Graphen oder über ihre Eigenschaften

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

skizziert den Graphen einer durch eine Formel gegebenen quadratischen Funktion

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretiert die Koeffizienten in der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form, Scheitelpunktform und faktorisierter Form (sofern sie existiert)

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion anhand von Informationen über diese Funktion oder über ihren Graphen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt den größten und kleinsten Wert einer quadratischen Funktion in einem abgeschlossenen Intervall

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Eigenschaften linearer und quadratischer Funktionen zur Interpretation geometrischer, physikalischer usw. Fragestellungen, auch eingebettet in einen praktischen Kontext

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.12 · Lerninhalte

skizziert auf der Grundlage des Graphen der Funktion y = f(x) die Graphen der Funktionen y = f(x − a), y = f(x) + b

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.13 · Lerninhalte

verwendet die Funktion f(x) = a/x, einschließlich ihres Graphen, zur Beschreibung und Interpretation von Sachverhalten im Zusammenhang mit umgekehrt proportionalen Größen, auch in praktischen Anwendungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.14 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet Exponential- und Logarithmusfunktionen, einschließlich ihrer Graphen, zur Beschreibung und Interpretation von Fragestellungen im Zusammenhang mit praktischen Anwendungen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14
Lehrplanpunkt MAT.LO.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Folgen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Ciągi

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Glieder einer durch eine explizite Formel definierten Folge

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die ersten Glieder rekursiv definierter Folgen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

untersucht in einfachen Fällen, ob eine Folge wachsend oder fallend ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

prüft, ob eine gegebene Folge arithmetisch oder geometrisch ist

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Formel für das n-te Glied und für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet die Formel für das n-te Glied und für die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Eigenschaften von Folgen, darunter arithmetischer und geometrischer, zum Lösen von Aufgaben, auch eingebettet in einen praktischen Kontext.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Trygonometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet die Definitionen der Funktionen: Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel von 0° bis 180°, bestimmt insbesondere die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel 30°, 45°, 60°

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.2 · Lerninhalte

verwendet die Formeln sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.3 · Lerninhalte

wendet den Kosinussatz sowie die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks P = ½ · a · b · sin γ an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks und die Längen seiner Seiten bei entsprechenden Angaben (löst rechtwinklige Dreiecke, einschließlich unter Verwendung trigonometrischer Funktionen).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Planimetrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Planimetria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt Radien und Durchmesser von Kreisen, Längen von Kreissehnen sowie Tangentenabschnitten, einschließlich unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke bei gegebenen Seitenlängen (wendet u. a. die Umkehrung des Satzes des Pythagoras und den Kosinussatz an); wendet den Satz an: Im Dreieck liegt dem größeren Innenwinkel die längere Seite gegenüber

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt regelmäßige Vielecke und nutzt deren grundlegende Eigenschaften

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Eigenschaften von Winkeln und Diagonalen in Rechtecken, Parallelogrammen, Rauten und Trapezen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Eigenschaften von Umfangswinkeln und Mittelpunktswinkeln an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet Formeln für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts und die Länge eines Kreisbogens an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet den Strahlensatz an

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje twierdzenie Talesa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt Beziehungen zwischen den Umfängen sowie zwischen den Flächeninhalten ähnlicher Figuren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

benennt grundlegende besondere Punkte im Dreieck: Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks, Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks, Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt und nutzt deren Eigenschaften

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

führt geometrische Beweise durch

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza dowody geometryczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wendet trigonometrische Funktionen zur Bestimmung von Streckenlängen in ebenen Figuren sowie zur Berechnung von Flächeninhalten von Figuren an.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Analytische Geometrie in der kartesischen Ebene

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt die gegenseitige Lage von Geraden in der Ebene anhand ihrer Gleichungen, darunter findet den gemeinsamen Punkt zweier Geraden, falls ein solcher existiert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet Geradengleichungen in der Ebene in Steigungsform und allgemeiner Form, bestimmt unter anderem die Gleichung einer Geraden mit vorgegebenen Eigenschaften (wie z. B. das Verlaufen durch zwei gegebene Punkte, eine bekannte Steigung, Parallelität zu einer anderen Geraden)

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.4 · Lerninhalte

verwendet die Kreisgleichung (x − a)² + (y − b)² = r²

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

bestimmt Bilder von Kreisen und Vielecken bei Achsenspiegelungen an den Achsen des Koordinatensystems, bei Punktspiegelung (mit dem Zentrum im Ursprung des Koordinatensystems).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Stereometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stereometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt die gegenseitige Lage von Geraden im Raum, insbesondere zueinander senkrechte, sich nicht schneidende Geraden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

verwendet den Begriff des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene sowie den Begriff des Diederwinkels zwischen Halbebenen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt in Prismen und Pyramiden Winkel zwischen Strecken (z. B. Kanten, Kanten und Diagonalen) sowie Winkel zwischen Flächen, berechnet die Maße dieser Winkel

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

erkennt in Zylindern und in Kegeln den Winkel zwischen Strecken sowie den Winkel zwischen Strecken und Ebenen (z. B. Öffnungswinkel des Kegels, Winkel zwischen Mantellinie und Grundfläche), berechnet die Maße dieser Winkel

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

Berechnung der Oberfläche von Zylinder, Kegel und Kugel (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet Volumina und Oberflächeninhalte von Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugel, auch unter Verwendung der Trigonometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

Berechnung der Oberfläche von Zylinder, Kegel und Kugel (bei uns in Klasse 12) · Berechnung des Volumens von Zylinder, Kegel und Kugel (bei uns in Klasse 12) · Berechnung von Diagonalen, Kanten und Mantellinien in Körpern (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

nutzt den Zusammenhang zwischen den Volumina ähnlicher Körper.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

Berechnung des Volumens ähnlicher Körper (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt MAT.LO.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kombinatorik

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Kombinatoryka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zählt Objekte in einfachen kombinatorischen Situationen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zählt Objekte unter Anwendung der Multiplikations- und Additionsregeln (auch kombiniert) für eine beliebige Anzahl von Vorgängen, z. B.:

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Berechnen, wie viele vierstellige ungerade positive ganze Zahlen es gibt, in deren Dezimalschreibweise genau eine Ziffer 1 und genau eine Ziffer 2 vorkommt

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Berechnen, wie viele vierstellige gerade positive ganze Zahlen es gibt, in deren Dezimalschreibweise genau eine Ziffer 0 und genau eine Ziffer 1 vorkommt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.LO.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet die Wahrscheinlichkeit im klassischen Modell

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

berechnet das arithmetische Mittel und das gewichtete Mittel, findet den Median und den Modalwert.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

Berechnung des arithmetischen Mittels (bei uns in Klasse 12) · Berechnung des gewichteten Mittelwerts (bei uns in Klasse 12) · Bestimmung des Medians eines Datensatzes (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt MAT.LO.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Optimierung und Differentialrechnung

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13
Lehrplanpunkt MAT.LO.13.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

löst Optimierungsaufgaben in Situationen, die sich durch eine quadratische Funktion beschreiben lassen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rechenfertigkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Sprawność rachunkowa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Durchführen von Berechnungen mit reellen Zahlen, auch unter Verwendung eines Taschenrechners, Anwenden von Rechengesetzen beim Umformen algebraischer Ausdrücke sowie Nutzen dieser Fähigkeiten beim Lösen von Problemen in realen und theoretischen Kontexten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Nutzung und Erstellung von Informationen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Interpretieren und Verarbeiten von Informationen, die in Texten, sowohl mathematischen als auch populärwissenschaftlichen, sowie in Form von Graphen, Diagrammen, Tabellen dargestellt sind

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verwendung der mathematischen Sprache zur Erstellung mathematischer Texte, einschließlich zur Beschreibung durchgeführter Überlegungen und zur Begründung von Schlussfolgerungen sowie zur Darstellung von Daten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verwendung und Interpretation von Darstellungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden mathematischer Objekte und Operieren mit ihnen, Interpretieren mathematischer Begriffe

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Auswählen und Erstellen mathematischer Modelle beim Lösen praktischer und theoretischer Probleme

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erstellen mathematischer Hilfsobjekte auf der Grundlage bestehender zur Durchführung einer Argumentation oder zur Lösung eines Problems

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Aufzeigen der Notwendigkeit oder Möglichkeit einer Modifikation des mathematischen Modells in Fällen, die besondere Vorbehalte, zusätzliche Annahmen, die Berücksichtigung besonderer Bedingungen erfordern

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Schlussfolgern und Argumentieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Rozumowanie i argumentacja

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Durchführen von Schlussfolgerungen, auch mehrschrittigen, Angeben von Argumenten zur Begründung der Richtigkeit der Schlussfolgerung, Unterscheiden eines Beweises von einem Beispiel

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erkennen von Regelmäßigkeiten, Ähnlichkeiten sowie Analogien, Formulieren von Schlussfolgerungen auf deren Grundlage und Begründen ihrer Richtigkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Auswählen von Argumenten zur Begründung der Richtigkeit von Problemlösungen, Bilden einer Argumentationskette, die die Richtigkeit der Lösung garantiert, und Effizienz bei der Suche nach Lösungen der Problemstellung

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anwenden und Entwickeln von Strategien beim Lösen von Aufgaben, auch in atypischen Situationen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Kompetenzen Schritt für Schritt

Berechnung der Oberfläche von Zylinder, Kegel und Kugel

Der Schüler berechnet den Oberflächeninhalt und den Mantelflächeninhalt von Zylinder, Kegel und Kugel und bestimmt auch den Mittelpunktswinkel des Netzes der Mantelfläche des Kegels.

Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.4 erkennt in Zylindern und in Kegeln den Winkel zwischen Strecken sowie den Winkel zwischen Strecken und Ebenen (z. B. Öffnungswinkel des Kegels, Winkel zwischen Mantellinie und Grundfläche), berechnet die Maße dieser Winkel (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.5 berechnet Volumina und Oberflächeninhalte von Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugel, auch unter Verwendung der Trigonometrie (unsere Übersetzung)

In der 4. Klasse des Lyzeums und Technikums berechnet der Schüler sicher den gesamten Oberflächen- sowie den Mantelflächeninhalt von Rotationskörpern: Zylinder, Kegel und Kugel. Er nutzt dazu die Beziehungen zwischen dem Grundflächenradius, der Höhe des Körpers und der Mantellinie des Kegels. Zudem kann er die Maße des Körpers mit dessen geometrischem Netz verknüpfen und unter anderem die Weite des Mittelpunktswinkels jenes Kreissektors ermitteln, der die Mantelfläche des Kegels bildet.

Ein häufiger Fehler besteht darin, bei der Formel für die Mantelfläche die Mantellinie des Kegels mit seiner Höhe zu verwechseln oder bei der Berechnung der Gesamtoberfläche des Zylinders die Berücksichtigung von beiden Grundflächen zu vergessen. Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten bei der Bestimmung des Abwicklungswinkels der Mantelfläche des Kegels, da sie den Grundflächenradius mit dem Radius des Kreissektors verwechseln, welcher in Wirklichkeit die Mantellinie darstellt.

Zu den Aufgaben zur Festigung dieser Fertigkeit gehört die direkte Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kugel, eines Zylinders oder eines Kegels auf der Grundlage gegebener Maße (wie Radius, Höhe oder Diagonale des Achsenschnitts). In Prüfungsbögen tauchen auch Aufgaben auf, bei denen der Abwicklungswinkel der Mantelfläche des Kegels anhand der bekannten Maße der Grundfläche und der Mantellinie berechnet werden soll.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Oberfläche einer Kugel · Oberfläche eines Zylinders · Mittelpunktswinkel der Kegelabwicklung · Oberfläche eines Kegels

Berechnung der Ableitung einer Funktion und ihres Wertes

Der Schüler berechnet Ableitungen von Polynomen, Produkten sowie verketteten Funktionen und bestimmt den Wert der Ableitung an einem konkreten Punkt.

In der 4. Klasse des Lyzeums und Technikums beherrscht der Schüler das Bestimmen von Ableitungsfunktionen im Rahmen der Vorbereitung auf das Abitur auf erweitertem Niveau. Er wendet die Ableitungsregeln sicher auf Polynome sowie Produkte zweier Funktionen an. Zudem kann er verkettete Funktionen korrekt ableiten und den numerischen Wert der erhaltenen Ableitung für ein vorgegebenes Argument berechnen.

Ein typischer Fehler bei der Berechnung der Produktableitung besteht darin, sie als einfache Multiplikation der einzelnen Ableitungen zu behandeln, ohne die entsprechende Produktregel anzuwenden. Bei verketteten Funktionen wiederum vergessen die Schüler meist, mit der inneren Ableitung zu multiplizieren, was den endgültigen Funktionsterm völlig verfälscht.

Die Übungsaufgaben zu dieser Fertigkeit umfassen:

die Ableitung eines Polynoms sowie die Ableitung eines Produkts, bei denen das Ziel die Bestimmung eines neuen Funktionsterms ist,
die Ableitung einer verketteten Funktion, die das Erkennen der inneren und äußeren Funktion erfordert,
den Wert der Ableitung an einer Stelle, bei dem nach der Bestimmung der Ableitungsfunktion die gegebene Zahl eingesetzt und das endgültige numerische Ergebnis berechnet wird.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Ableitung eines Polynoms · Ableitungswert an einer Stelle · Kettenregel · Produktregel

Untersuchung der Monotonie und Extrema von Funktionen

Der Schüler kann die Intervalle bestimmen, in denen eine Funktion steigt oder fällt, sowie die Argumente und Werte für ihre lokalen Minima und Maxima angeben.

In der 4. Klasse von Gymnasium und Technikum untersuchen die Lernenden den Verlauf von Funktionen. Anhand der Funktionsgleichung oder des Graphen können sie präzise bestimmen, in welchen Definitionsmengen die Funktion steigt und in welchen sie fällt, sowie die Punkte angeben, an denen sie ihre lokalen Extremstellen (Extrema) erreicht.

Ein häufiger Fehler besteht darin, die Stelle, an der die Funktion ein Extremum annimmt (den x-Wert), mit dem Extremwert selbst (dem y-Wert) zu verwechseln. Lernende neigen außerdem dazu, Monotonieintervalle fälschlicherweise mit dem Mengensymbol der Vereinigung zu verbinden, anstatt sie durch ein Komma oder das Bindewort „und“ aufzuzählen, was zu falschen Rückschlüssen auf das Verhalten der Funktion auf der gesamten vereinigten Menge führt.

In der Praxis bestehen die Aufgaben in der Analyse konkreter Fälle und umfassen folgende Übungen:

Intervalle, in denen die Funktion steigt sowie Intervall, in dem die Funktion fällt — Bestimmung von Intervallen, in denen die Funktion eine konstante Änderungsrichtung beibehält;
Lokales Maximum und Lokales Minimum — Finden von Trendumkehrpunkten, an denen die Funktion von steigend zu fallend wechselt oder umgekehrt.

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Aufgabentypen: Lokales Maximum · Lokales Minimum · Monotonie: fallend · Monotonie: steigend

Berechnung des arithmetischen Mittels

Der Schüler berechnet das arithmetische Mittel eines numerischen Datensatzes, liest Werte aus Säulendiagrammen ab und wendet den Mittelwert in praktischen Alltagssituationen an.

Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.2 berechnet das arithmetische Mittel und das gewichtete Mittel, findet den Median und den Modalwert. (unsere Übersetzung)

Im Rahmen der Wiederholung zur Statistik bestimmt der Schüler sicher das arithmetische Mittel. Er kann die angegebenen Werte addieren und das Ergebnis durch die Anzahl der Daten teilen sowie geordnete oder grafisch dargestellte Informationen verarbeiten.

Ein typischer Fehler bei der Arbeit mit einem Säulendiagramm ist das Teilen der Summe der Werte durch die Anzahl der Säulen (Kategorien) anstatt durch die tatsächliche Summe aller erfassten Beobachtungen. Schüler vergessen häufig auch, die Gewichtung sich wiederholender Ergebnisse zu berücksichtigen, und addieren lediglich die Beschriftungen der Säulen.

Die Übungen zur Überprüfung dieser Fähigkeit umfassen:

die Standardberechnung des Ergebnisses für einen Datensatz (Berechne das arithmetische Mittel),
das Ablesen von Werten und Häufigkeiten aus einem Diagramm (Mittelwert aus einem Säulendiagramm),
das Lösen von Sachaufgaben zu Zufallsphänomenen, Messungen oder Finanzen (Mittelwert im Alltag).

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Aufgabentypen: Den Mittelwert berechnen · Der Mittelwert im Alltag · Mittelwert aus einem Säulendiagramm

Berechnung des Volumens von Zylinder, Kegel und Kugel

Der Schüler berechnet das Volumen von Rotationskörpern: Zylinder, Kegel sowie Kugel unter Anwendung der entsprechenden Formeln auf der Grundlage der angegebenen geometrischen Maße.

Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.5 berechnet Volumina und Oberflächeninhalte von Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugel, auch unter Verwendung der Trigonometrie (unsere Übersetzung)

In der 4. Klasse des Lyzeums und Technikums festigt der Schüler die Fähigkeit, das Volumen von Rotationskörpern zu bestimmen. Anhand der grundlegenden Maße – Grundflächenradius und Höhe bei Zylinder und Kegel sowie Radius bei der Kugel – wählt er die passende Formel, führt korrekte Berechnungen durch und gibt das Ergebnis exakt (mit dem Symbol π) oder gerundet an.

Ein häufiges Problem ist das Verwechseln von Radius und Durchmesser sowie das Weglassen von Zahlenkoeffizienten in den Formeln. Schüler vergessen nicht selten den Bruch 1/3 bei der Berechnung des Kegelvolumens, und bei der Kugel verwechseln sie die Potenzen des Radius, indem sie den Radius quadriert statt kubiert in die Formel einsetzen.

Die Aufgaben zur Festigung dieser Fertigkeit umfassen das direkte Berechnen von Größen auf den Arbeitsblättern: Volumen des Zylinders, Volumen des Kegels und Volumen der Kugel. Der Schüler löst Textaufgaben oder Aufgaben anhand von Zeichnungen, bei denen er auf der Grundlage der angegebenen Werte das Volumen des jeweiligen Raumkörpers berechnet.

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Aufgabentypen: Volumen einer Kugel · Volumen eines Kegels · Volumen eines Zylinders

Berechnung von Diagonalen, Kanten und Mantellinien in Körpern

Der Schüler bestimmt die Längen wichtiger Strecken in Polyedern und Rotationskörpern, wie etwa die Raumdiagonale eines Quaders, die Kante einer Pyramide oder die Mantellinie eines Kegels.

Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.5 berechnet Volumina und Oberflächeninhalte von Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugel, auch unter Verwendung der Trigonometrie (unsere Übersetzung)

In der 4. Klasse des Lyzeums und Technikums strukturiert und vertieft der Schüler sein Wissen in der Stereometrie, indem er sicher die Längen wichtiger Strecken im Raum bestimmt. Anhand der gegebenen Maße des Körpers kann er das passende rechtwinklige Dreieck im Inneren der Figur identifizieren und die gesuchte Größe berechnen – meist unter Anwendung des Satzes des Pythagoras.

Eine typische Schwierigkeit auf dieser Stufe besteht darin, das rechtwinklige Dreieck im Raum falsch zu lokalisieren. Schüler verwechseln häufig die Raumdiagonale eines Quaders mit der Flächendiagonale einer Seitenfläche, und beim Kegel setzen sie die Mantellinie mit dessen Höhe gleich. Bei Pyramiden ist es ein häufiger Fehler, die Seitenkante mit der falschen Strecke der Grundfläche zu verknüpfen (zum Beispiel mit der Höhe der Grundfläche statt mit dem Umkreisradius).

Aufgaben, die diese Fähigkeit überprüfen, basieren auf konkreten Körpermodellen:

Raumdiagonale des Quaders — Berechnung der Länge der Strecke, die zwei gegenüberliegende Eckpunkte des Körpers verbindet, anhand seiner Kantenlängen;
Mantellinie des Kegels — Bestimmung der Länge der Mantellinie bei bekannter Höhe des Kegels und dem Radius seiner Grundfläche;
Seitenkante der Pyramide — Berechnung der Länge der Seitenkante anhand der Höhe der Pyramide sowie der Geometrie ihrer Grundfläche.

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Aufgabentypen: Mantellinie eines Kegels · Raumdiagonale eines Quaders · Seitenkante einer Pyramide

Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

Der Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit mehrstufiger Ereignisse sowie die bedingte Wahrscheinlichkeit unter Verwendung der Bayes-Formel, indem er das Ziehen von Kugeln aus zwei verschiedenen Urnen analysiert.

In der 4. Klasse löst der Schüler Aufgaben zu zweistufigen Zufallsexperimenten unter Verwendung der totalen Wahrscheinlichkeit sowie der Formel von Bayes. Er zerlegt ein zusammengesetztes Experiment in sich gegenseitig ausschließende Fälle (Hypothesen) und berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Endereignisses; zudem kann er die bedingte Wahrscheinlichkeit einer Ursache bestimmen, wenn das eingetretene Ergebnis bereits bekannt ist.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln der bedingten Wahrscheinlichkeit mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse oder das Übergehen der ersten Stufe der Ziehung. Schüler konzentrieren sich oft ausschließlich auf die Anzahl der Kugeln im Gefäß und vergessen, das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit für die Auswahl der Urne selbst zu multiplizieren.

In der Praxis basieren die Aufgaben auf dem Modell zweier Urnen mit unterschiedlicher Zusammensetzung aus weißen und schwarzen Kugeln. Der Schüler wählt zunächst eine der Urnen aus (z. B. durch das Werfen einer Münze) und zieht anschließend eine Kugel daraus. In Aufgaben zur totalen Wahrscheinlichkeit bestimmt er die Chance, eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen, und unter Anwendung der Formel von Bayes berechnet er beispielsweise, wie wahrscheinlich es ist, dass eine weiße Kugel aus der ersten Urne stammte, wenn bekannt ist, dass diese Farbe gezogen wurde.

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Aufgabentypen: Satz von Bayes — zwei Urnen · Totale Wahrscheinlichkeit — zwei Urnen

Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Der Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen bei wiederholten Versuchen mithilfe des Bernoulli-Schemas und bestimmt den Erwartungswert der Binomialverteilung.

In Klasse 4 löst der Schüler Aufgaben, die auf der mehrfachen Wiederholung desselben Zufallsexperiments mit zwei möglichen Ergebnissen basieren: Erfolg oder Misserfolg. Er wendet die Formel für das Bernoulli-Schema an, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, genau eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Reihe von Versuchen zu erzielen, und bestimmt den Erwartungswert einer solchen Verteilung, also die vorhergesagte durchschnittliche Anzahl erfolgreicher Ergebnisse.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist das Weglassen des Binomialkoeffizienten in der Formel. Der Schüler multipliziert zwar die Wahrscheinlichkeiten für Erfolge und Misserfolge korrekt, vergisst jedoch, dass dieselben Ergebnisse in unterschiedlicher Reihenfolge auftreten können. Es kommt auch vor, dass die Wahrscheinlichkeitswerte für Erfolg und Misserfolg falsch zugeordnet werden oder das Bernoulli-Schema in Situationen angewendet wird, in denen sich die Wahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch ändert.

Aufgaben aus diesem Bereich basieren auf praktischen Kontexten wie einer Serie von Würfelwürfen, Schüssen auf ein Ziel oder der Qualitätskontrolle von Produkten in einer Warencharge. Das Übungsmaterial umfasst zwei Hauptaufgabentypen: Bernoulli-Schema, bei dem das Ziel darin besteht, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen zu berechnen, und Erwartungswert der Binomialverteilung, bei dem der Schüler das erwartete durchschnittliche Ergebnis bei einer gegebenen Anzahl von Wiederholungen bestimmt.

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Aufgabentypen: Erwartungswert der Binomialverteilung · Bernoulli-Kette

Bestimmung des Medians eines Datensatzes

Der Schüler ordnet einen numerischen Datensatz und bestimmt dessen Median, indem er den mittleren Wert angibt oder das arithmetische Mittel der beiden mittleren Zahlen berechnet.

Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.2 berechnet das arithmetische Mittel und das gewichtete Mittel, findet den Median und den Modalwert. (unsere Übersetzung)

Ein Schüler der 4. Klasse des Lyzeums und Technikums bestimmt im Rahmen der Wiederholung zur Statistik sicher den Median für einen endlichen numerischen Datensatz. Er unterscheidet dabei zwischen einer ungeraden Anzahl von Datenwerten (wobei der einzelne mittlere Wert angegeben wird) und einer geraden Anzahl von Datenwerten, bei der der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Elemente ist.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe besteht darin, den mittleren Wert direkt aus einem ungeordneten Datensatz auszuwählen, ohne die Zahlen vorher von der kleinsten zur größten zu sortieren. Es kommt auch vor, dass bei einer geraden Anzahl von Elementen beide mittleren Zahlen angegeben werden, anstatt deren Mittelwert zu berechnen.

Die Aufgaben aus der Vorlage Gib den Median an bestehen darin, die angegebene Zahlenreihe zu analysieren, sie zu ordnen und den genauen Wert des Medians zu bestimmen.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit anhand einer Tabelle

Der Schüler berechnet die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem er die entsprechenden Gruppengrößen und Bedingungen direkt aus der Datentabelle abliest.

In Klasse 4 lernt der Schüler, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses unter der Bedingung zu bestimmen, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist. Anhand von Zahlenübersichten in Kontingenztafeln schränkt er den Raum aller möglichen Ergebnisse ausschließlich auf die Gruppe ein, die die angegebene Bedingung erfüllt, und berechnet auf dieser Grundlage die gesuchte Wahrscheinlichkeit in Form eines Bruchs.

Der häufigste Fehler auf dieser Stufe besteht darin, die Anzahl der günstigen Fälle durch die Gesamtzahl aller untersuchten Personen oder Objekte in der gesamten Tabelle zu teilen, anstatt durch die Summe der Elemente, die die jeweilige Bedingung erfüllen. Schülerinnen und Schüler verwechseln zudem häufig die Richtung der Abhängigkeit, indem sie das Ausgangsereignis mit der Bedingung vertauschen (zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, zu einer bestimmten Gruppe zu gehören unter der Bedingung, ein bestimmtes Ergebnis erzielt zu haben, mit der umgekehrten Situation).

Aufgaben aus der Vorlage Bedingte Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle stellen statistische Daten zu einer konkreten Gruppe dar – beispielsweise die Aufteilung von Schülern nach Geschlecht und Wahl der Fremdsprache. Die Aufgabenstellung erfordert das Auffinden der richtigen Zellen in der Tabelle sowie die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, eine Person mit einem bestimmten Merkmal auszuwählen, wenn vorab bekannt ist, dass sie die in der Aufgabe genannte Bedingung erfüllt.

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Berechnung des gewichteten Mittelwerts

Der Schüler berechnet den gewichteten Mittelwert eines Datensatzes, indem er den einzelnen Werten korrekt Gewichte zuordnet und die Summe der Produkte durch die Summe der Gewichte dividiert.

Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.2 berechnet das arithmetische Mittel und das gewichtete Mittel, findet den Median und den Modalwert. (unsere Übersetzung)

In der 4. Klasse des Lyzeums und Technikums berechnet der Schüler das gewichtete Mittel eines Datensatzes. Er multipliziert jeden Wert sicher mit der dazugehörigen Gewichtung, addiert die erhaltenen Produkte und dividiert das Ergebnis anschließend durch die Gesamtsumme der Gewichte.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Summe der Produkte durch die Anzahl der Werte statt durch die Summe ihrer Gewichte zu dividieren, was aus der Gewohnheit herrührt, das einfache arithmetische Mittel zu berechnen. Schülerinnen und Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten, den Merkmalswert korrekt von seiner Gewichtung zu unterscheiden, insbesondere wenn die Gewichte in Prozent oder Brüchen ausgedrückt sind.

In den Aufgaben aus der Vorlage Gewichtetes Mittel löst der Schüler Probleme aus einem praktischen Kontext, wie etwa das Bestimmen einer Halbjahresnote auf der Grundlage von Leistungsnachweisen mit unterschiedlicher Gewichtung oder das Berechnen des durchschnittlichen Einkaufspreises von Waren aus verschiedenen Lieferungen. Die Aufgabe besteht darin, die Daten herauszuarbeiten, den Rechenausdruck korrekt aufzustellen und das Ergebnis zu berechnen.

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Berechnung der Schnittfläche eines Würfels

Der Schüler bestimmt die Form der Schnittebene, die den Würfel durch ausgewählte Flächendiagonalen schneidet, und berechnet den Flächeninhalt der entstandenen Schnittfläche.

Der Schüler analysiert die Lage der Schnittebene in einem Würfel und erkennt, welche geometrische Figur die Schnittfläche bildet. Darauf aufbauend bestimmt er die Seitenlängen des Polygons anhand der Kantenlänge des Körpers und des Satzes des Pythagoras und berechnet anschließend dessen Flächeninhalt.

Die häufigste Schwierigkeit besteht in einer Fehlinterpretation der Form der Figur im Schrägbild – beispielsweise dem Verwechseln eines Rechtecks mit einem Quadrat oder eines gleichseitigen Dreiecks mit einem beliebigen Dreieck. Schüler verwechseln auch häufig die Kantenlänge des Würfels mit der Seitenlänge der Schnittfläche und vergessen dabei, dass diese Seite eine Diagonale einer Seitenfläche oder der Grundfläche ist.

Eine typische Aufgabe besteht darin, den Flächeninhalt einer Schnittfläche des Würfels zu berechnen, die durch ausgewählte Flächendiagonalen verläuft. Ausgehend von der Kantenlänge des Körpers bestimmt der Schüler die Maße des entstandenen Polygons (z. B. eines Rechtecks mit den Seiten Kantenlänge und Flächendiagonale) und gibt das Endergebnis in exakter Form an.

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Berechnung des Volumens ähnlicher Körper

Der Schüler berechnet das Volumen eines ähnlichen Körpers unter Verwendung des Zusammenhangs, dass das Verhältnis der Volumina zweier Körper gleich der dritten Potenz ihres Ähnlichkeitsfaktors ist.

Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.6 nutzt den Zusammenhang zwischen den Volumina ähnlicher Körper. (unsere Übersetzung)

In der 4. Klasse der weiterführenden Schule festigen die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen in der Stereometrie im Rahmen der Abiturvorbereitung. Auf dieser Stufe bestimmen sie routiniert das Volumen eines zu einem gegebenen Körper ähnlichen Körpers unter Verwendung des Ähnlichkeitsfaktors k. Anstatt mühsam die Maße aller Kanten oder Höhen des neuen Körpers umzurechnen, nutzen sie die Tatsache, dass das Verhältnis ihrer Volumina k zur dritten Potenz beträgt.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe besteht darin, das Ausgangsvolumen nur mit dem Ähnlichkeitsfaktor k selbst oder mit dessen Quadrat zu multiplizieren. Schülerinnen und Schüler übertragen oft mechanisch die Gewohnheit aus der Skalierung von Strecken oder Flächeninhalten und vergessen dabei, dass der dreidimensionale Raum das Erheben des Ähnlichkeitsfaktors in die dritte Potenz erfordert.

Aufgaben aus der Vorlage Volumen ähnlicher Körper konfrontieren die Lernenden mit einer Situation, in der das Volumen des ersten Körpers sowie das Verhältnis einander entsprechender Kanten oder der Vergrößerungsfaktor des Körpers bekannt sind. Die Aufgabe besteht darin, die dritte Potenz dieses Faktors zu berechnen und das fehlende Volumen zu ermitteln.

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Berechnung des Grenzwerts einer Funktion an einer Stelle

Der Schüler berechnet Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle, indem er das Verhalten der Funktionswerte bei der Annäherung der Argumente an eine ausgewählte Zahl untersucht.

In der 4. Klasse des Gymnasiums und Technikums analysieren die Schülerinnen und Schüler im Rahmen des erweiterten Lehrplans das Verhalten einer Funktion in der Umgebung einer bestimmten Zahl und bestimmen den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle. Sie verstehen den Unterschied zwischen dem eigentlichen Funktionswert an einer bestimmten Stelle und dem Wert, dem die Ergebnisse zustreben, wenn sich das Argument der untersuchten Zahl nähert.

Ein typischer Fehler besteht darin, an dem Schritt stehenzubleiben, an dem im Nenner des Bruchs eine Null auftritt. Schülerinnen und Schüler nehmen dann oft fälschlicherweise an, dass der Grenzwert nicht existiert oder die Rechenoperation unzulässig ist, anstatt einen unbestimmten Ausdruck (z. B. 0/0) zu erkennen und den Funktionsterm umzuformen – beispielsweise durch das Kürzen eines gemeinsamen Faktors in Zähler und Nenner.

Die Aufgaben aus der Vorlage Grenzwert einer Funktion an einer Stelle bestehen darin, den Grenzwert für einen vorgegebenen algebraischen Ausdruck (meist eine rationale Funktion) zu berechnen. Die Schülerinnen und Schüler prüfen, ob es genügt, die angegebene Zahl direkt einzusetzen, und falls dies zu einem unbestimmten Ausdruck führt, vereinfachen sie den Bruch und berechnen erst dann das endgültige numerische Ergebnis.

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Gleichung der Tangente an den Graphen mithilfe der Ableitung

Der Schüler lernt, die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion in einem gegebenen Punkt unter Verwendung der geometrischen Interpretation der Ableitung zu bestimmen.

In der 4. Klasse des Lyzeums und Technikums verknüpft der Schüler den Begriff der Ableitung mit der analytischen Geometrie. Er kann die Ableitung einer Funktion an einem gewählten Punkt berechnen, die die Steigung der Geraden bestimmt, und anschließend die vollständige Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt mit den gegebenen Koordinaten aufstellen.

Ein häufiger Fehler besteht darin, den Wert der Ableitung an einer Stelle mit dem Funktionswert selbst zu verwechseln oder den gesamten allgemeinen Term der Ableitung in die Geradengleichung einzusetzen, anstatt der konkreten Zahl, die für das gegebene Argument berechnet wurde. Zudem kommen Vorzeichenfehler beim Umformen der Gleichung in die Steigungsform vor.

In Aufgaben der Vorlage Tangente an den Funktionsgraphen erhält der Schüler die Funktionsgleichung sowie die Abszisse des Berührpunkts. Sein Ziel ist es, die zweite Koordinate des Punkts zu ermitteln, den Wert der Ableitung an dieser Stelle zu berechnen und die endgültige Tangentengleichung in der Form y = ax + b aufzuschreiben.

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Den Median bestimmen

Mathematik — Klasse 12

Was lernt ein Schüler in Mathematik in der 4. Klasse des Gymnasiums?

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