English
Curriculum (Poland)

Mathematics — Grade 12

Mathematics in grade 4 of high school and technical school: solid geometry and solids of revolution, statistics, conditional probability and Bernoulli trials, and in the extended curriculum, the limit of a function and the derivative — plus revision for the matura exam. Ready-to-print exercises for every topic.

Create a worksheet for this curriculum

What does a student learn in mathematics in the 4th grade of high school?

In grade 4, students calculate the volumes and surface areas of prisms, pyramids, and solids of revolution, as well as segment lengths and cross-sectional areas of solids. In statistics, they calculate the mean, weighted mean, and median, and in probability theory, they use conditional probability, the law of total probability, and Bernoulli trials. In the extended curriculum, they learn function limits and derivatives: tangents to graphs, monotonicity, and extrema. Grade 4 ends with the matura exam, so it revisits the entire high school curriculum.

Important note regarding the core curriculum: the curriculum for high schools and technical secondary schools is formulated in blocks — it describes what a student knows at the end of secondary school, separately for the basic and extended levels. Assigning a topic to a grade is our decision based on a typical curriculum schedule; in the "Curriculum Scope" section, you can see the curriculum requirements with quotes.

Page status: the exercises for this grade are ready in a plain format (prompt and formula only); exercises with diagrams, proofs, and word problems are being added in subsequent steps.

Curriculum scope

  1. Curriculum point MAT.LO.1 · Teaching content · checked against the act

    Real numbers

    our translation · original wording (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Curriculum point MAT.LO.1.P.1 · Teaching content · checked against the act

    performs operations (addition, subtraction, multiplication, division, exponentiation, taking roots, taking logarithms) in the set of real numbers

    our translation · original wording (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Curriculum point MAT.LO.1.P.2 · Teaching content · checked against the act

    carries out simple proofs concerning the divisibility of integers and remainders of division, e.g.:

    our translation · original wording (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Curriculum point MAT.LO.1.P.3 · Teaching content · checked against the act

    applies the properties of roots of any degree, including odd-degree roots of negative numbers

    our translation · original wording (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Curriculum point MAT.LO.1.P.4 · Teaching content · checked against the act

    applies the relationship between root extraction and exponentiation and the laws of operations on powers and roots

    our translation · original wording (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Curriculum point MAT.LO.1.P.5 · Teaching content · checked against the act

    applies the monotonicity of exponentiation, in particular the properties: if x < y and a > 1, then ax < ay, whereas when x < y and 0 < a < 1, then ax > ay

    our translation · original wording (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Curriculum point MAT.LO.1.P.6 · Teaching content · checked against the act

    uses the concept of a numerical interval, marks intervals on the number line

    our translation · original wording (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Curriculum point MAT.LO.1.P.7 · Teaching content · checked against the act

    uses the geometric and algebraic interpretation of absolute value, solves equations of the type: |x + 4| = 5

    our translation · original wording (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Curriculum point MAT.LO.1.P.8 · Teaching content · checked against the act

    uses properties of powers and roots in practical situations, including calculating compound interest, returns on deposits and loan costs

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Curriculum point MAT.LO.1.P.9 · Teaching content · checked against the act

    applies the relationship between logarithms and exponentiation, uses the formulas for the logarithm of a product, the logarithm of a quotient, and the logarithm of a power.

    our translation · original wording (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Curriculum point MAT.LO.1.P.2.a · Teaching content · checked against the act

    proof of the divisibility of the product of four consecutive natural numbers by 24

    our translation · original wording (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Curriculum point MAT.LO.1.P.2.b · Teaching content · checked against the act

    proof of the property: if a number leaves a remainder of 3 when divided by 4, then it is not the square of an integer

    our translation · original wording (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Curriculum point MAT.LO.2 · Teaching content · checked against the act

    Algebraic expressions

    our translation · original wording (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Curriculum point MAT.LO.2.P.1 · Teaching content · checked against the act

    applies short multiplication formulas for: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    our translation · original wording (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Curriculum point MAT.LO.2.P.2 · Teaching content · checked against the act

    adds, subtracts and multiplies polynomials in one and several variables

    our translation · original wording (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Curriculum point MAT.LO.2.P.3 · Teaching content · checked against the act

    factors out a monomial from an algebraic sum

    our translation · original wording (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Curriculum point MAT.LO.2.P.4 · Teaching content · checked against the act

    multiplies and divides rational expressions.

    our translation · original wording (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Curriculum point MAT.LO.3 · Teaching content · checked against the act

    Equations and inequalities

    our translation · original wording (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Curriculum point MAT.LO.3.P.1 · Teaching content

    transforms equations and inequalities in an equivalent manner, including e.g. equivalently transforms a rational equation (example in the act)

    our translation · original wording (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Curriculum point MAT.LO.3.P.2 · Teaching content · checked against the act

    interprets inconsistent and identity linear equations and inequalities

    our translation · original wording (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Curriculum point MAT.LO.3.P.3 · Teaching content · checked against the act

    solves linear inequalities in one unknown

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Curriculum point MAT.LO.3.P.4 · Teaching content · checked against the act

    solves quadratic equations and inequalities

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Curriculum point MAT.LO.3.P.5 · Teaching content · checked against the act

    solves polynomial equations of the form W(x) = 0 for polynomials reduced to factored form.

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Curriculum point MAT.LO.4 · Teaching content · checked against the act

    Systems of equations

    our translation · original wording (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Curriculum point MAT.LO.4.P.1 · Teaching content · checked against the act

    solves systems of linear equations with two unknowns, gives a geometric interpretation of determinate, indeterminate, and inconsistent systems

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Curriculum point MAT.LO.4.P.2 · Teaching content · checked against the act

    uses systems of equations to solve word problems.

    our translation · original wording (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Curriculum point MAT.LO.5 · Teaching content · checked against the act

    Functions

    our translation · original wording (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Curriculum point MAT.LO.5.P.1 · Teaching content · checked against the act

    defines functions as a unique assignment using a verbal description, a table, a graph, a formula (also with different formulas on different intervals)

    our translation · original wording (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Curriculum point MAT.LO.5.P.2 · Teaching content · checked against the act

    calculates the value of a function given by an algebraic formula

    our translation · original wording (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Curriculum point MAT.LO.5.P.3 · Teaching content · checked against the act

    reads and interprets the values of functions defined by means of tables, graphs, formulas, etc., also in situations of multiple use of the same source of information or several sources simultaneously

    our translation · original wording (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Curriculum point MAT.LO.5.P.4 · Teaching content · checked against the act

    reads from the graph of a function: the domain, range, zeros, intervals of monotonicity, intervals in which the function takes values greater (not less) or less (not greater) than a given number, the maximum and minimum values of the function (if they exist) in a given closed interval and the arguments for which the maximum and minimum values are attained by the function

    our translation · original wording (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Curriculum point MAT.LO.5.P.5 · Teaching content · checked against the act

    interprets the coefficients appearing in the formula of a linear function

    our translation · original wording (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Curriculum point MAT.LO.5.P.6 · Teaching content · checked against the act

    determines the formula of a linear function based on information about its graph or about its properties

    our translation · original wording (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Curriculum point MAT.LO.5.P.7 · Teaching content · checked against the act

    sketches the graph of a quadratic function given by a formula

    our translation · original wording (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Curriculum point MAT.LO.5.P.8 · Teaching content · checked against the act

    interprets the coefficients appearing in the formula of a quadratic function in general, vertex, and factored form (if it exists)

    our translation · original wording (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Curriculum point MAT.LO.5.P.9 · Teaching content · checked against the act

    determines the formula of a quadratic function based on information about this function or about its graph

    our translation · original wording (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Curriculum point MAT.LO.5.P.10 · Teaching content · checked against the act

    determines the maximum and minimum value of a quadratic function on a closed interval

    our translation · original wording (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Curriculum point MAT.LO.5.P.11 · Teaching content · checked against the act

    uses the properties of linear and quadratic functions to interpret geometric, physical, etc. problems, also set in a practical context

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Curriculum point MAT.LO.5.P.12 · Teaching content

    based on the graph of the function y = f(x), sketches the graphs of the functions y = f(x − a), y = f(x) + b

    our translation · original wording (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Curriculum point MAT.LO.5.P.13 · Teaching content

    uses the function f(x) = a/x, including its graph, to describe and interpret problems related to inversely proportional quantities, also in practical applications

    our translation · original wording (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Curriculum point MAT.LO.5.P.14 · Teaching content · checked against the act

    uses exponential and logarithmic functions, including their graphs, to describe and interpret issues related to practical applications.

    our translation · original wording (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Curriculum point MAT.LO.6 · Teaching content · checked against the act

    Sequences

    our translation · original wording (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Curriculum point MAT.LO.6.P.1 · Teaching content · checked against the act

    calculates the terms of a sequence defined by a general formula

    our translation · original wording (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Curriculum point MAT.LO.6.P.2 · Teaching content · checked against the act

    calculates the initial terms of sequences defined recursively

    our translation · original wording (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Curriculum point MAT.LO.6.P.3 · Teaching content · checked against the act

    in simple cases examines whether a sequence is increasing or decreasing

    our translation · original wording (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Curriculum point MAT.LO.6.P.4 · Teaching content · checked against the act

    checks whether a given sequence is arithmetic or geometric

    our translation · original wording (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Curriculum point MAT.LO.6.P.5 · Teaching content · checked against the act

    uses the formula for the n-th term and for the sum of the first n terms of an arithmetic sequence

    our translation · original wording (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Curriculum point MAT.LO.6.P.6 · Teaching content · checked against the act

    applies the formula for the n-th term and for the sum of the first n terms of a geometric sequence

    our translation · original wording (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Curriculum point MAT.LO.6.P.7 · Teaching content · checked against the act

    uses the properties of sequences, including arithmetic and geometric, to solve problems, also set in a practical context.

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Curriculum point MAT.LO.7 · Teaching content · checked against the act

    Trigonometry

    our translation · original wording (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Curriculum point MAT.LO.7.P.1 · Teaching content · checked against the act

    uses the definitions of the functions: sine, cosine and tangent for angles from 0° to 180°, in particular determines the values of trigonometric functions for angles of 30°, 45°, 60°

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Curriculum point MAT.LO.7.P.2 · Teaching content

    uses the formulas sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α / cos α

    our translation · original wording (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Curriculum point MAT.LO.7.P.3 · Teaching content

    applies the law of cosines and the formula for the area of a triangle P = ½ · a · b · sin γ

    our translation · original wording (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Curriculum point MAT.LO.7.P.4 · Teaching content · checked against the act

    calculates the angles of a right-angled triangle and the lengths of its sides given appropriate data (solves right-angled triangles, including using trigonometric functions).

    our translation · original wording (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Curriculum point MAT.LO.8 · Teaching content · checked against the act

    Plane geometry

    our translation · original wording (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Curriculum point MAT.LO.8.P.1 · Teaching content · checked against the act

    determines radii and diameters of circles, lengths of chords of circles and tangent segments, including using the Pythagorean theorem

    our translation · original wording (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Curriculum point MAT.LO.8.P.2 · Teaching content · checked against the act

    recognizes acute, right, and obtuse triangles given the lengths of the sides (among other things, applies the converse of the Pythagorean theorem and the law of cosines); applies the theorem: in a triangle, the longer side lies opposite the greater interior angle

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Curriculum point MAT.LO.8.P.3 · Teaching content · checked against the act

    recognises regular polygons and uses their basic properties

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Curriculum point MAT.LO.8.P.4 · Teaching content · checked against the act

    uses the properties of angles and diagonals in rectangles, parallelograms, rhombuses, and trapezoids

    our translation · original wording (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Curriculum point MAT.LO.8.P.5 · Teaching content · checked against the act

    applies properties of inscribed and central angles

    our translation · original wording (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Curriculum point MAT.LO.8.P.6 · Teaching content · checked against the act

    applies formulas for the area of a sector of a circle and the length of an arc of a circle

    our translation · original wording (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Curriculum point MAT.LO.8.P.7 · Teaching content · checked against the act

    applies Thales' theorem

    our translation · original wording (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Curriculum point MAT.LO.8.P.8 · Teaching content · checked against the act

    uses triangle similarity criteria

    our translation · original wording (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Curriculum point MAT.LO.8.P.9 · Teaching content · checked against the act

    uses relationships between perimeters and between areas of similar figures

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Curriculum point MAT.LO.8.P.10 · Teaching content · checked against the act

    identifies basic special points in a triangle: the center of the inscribed circle of a triangle, the center of the circumscribed circle of a triangle, the orthocenter, the centroid, and uses their properties

    our translation · original wording (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Curriculum point MAT.LO.8.P.11 · Teaching content · checked against the act

    carries out geometric proofs

    our translation · original wording (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Curriculum point MAT.LO.8.P.12 · Teaching content · checked against the act

    applies trigonometric functions to determine the lengths of segments in plane figures and to calculate the areas of figures.

    our translation · original wording (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Curriculum point MAT.LO.9 · Teaching content · checked against the act

    Analytic geometry on the Cartesian plane

    our translation · original wording (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Curriculum point MAT.LO.9.P.1 · Teaching content · checked against the act

    identifies the relative position of lines on a plane based on their equations, including finding the common point of two lines, if it exists

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Curriculum point MAT.LO.9.P.2 · Teaching content · checked against the act

    uses equations of lines in the plane, in slope-intercept and general form, including determining the equation of a line with given properties (such as, e.g., passing through two given points, a known slope, parallelism to another line)

    our translation · original wording (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Curriculum point MAT.LO.9.P.3 · Teaching content · checked against the act

    calculates the distance between two points in a coordinate system

    our translation · original wording (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Curriculum point MAT.LO.9.P.4 · Teaching content

    uses the equation of a circle (x − a)² + (y − b)² = r²

    our translation · original wording (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    our summary of the point · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Curriculum point MAT.LO.9.P.5 · Teaching content · checked against the act

    determines the images of circles and polygons in axial symmetries with respect to the axes of the coordinate system, central symmetry (with the center at the origin of the coordinate system).

    our translation · original wording (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Curriculum point MAT.LO.10 · Teaching content · checked against the act

    Solid geometry

    our translation · original wording (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Curriculum point MAT.LO.10.P.1 · Teaching content · checked against the act

    recognizes the relative positions of lines in space, in particular perpendicular non-intersecting lines

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Curriculum point MAT.LO.10.P.2 · Teaching content · checked against the act

    uses the concept of the angle between a line and a plane and the concept of a dihedral angle between half-planes

    our translation · original wording (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Curriculum point MAT.LO.10.P.3 · Teaching content · checked against the act

    identifies in prisms and pyramids angles between line segments (e.g. edges, edges and diagonals) and angles between faces, calculates the measures of these angles

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Curriculum point MAT.LO.10.P.4 · Teaching content · checked against the act

    identifies in cylinders and cones the angle between line segments and the angle between line segments and planes (e.g. the apex angle of a cone, the angle between the generatrix and the base), calculates the measures of these angles

    our translation · original wording (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

    Calculating the surface area of a cylinder, cone, and sphere (we teach in grade 12)

  79. Curriculum point MAT.LO.10.P.5 · Teaching content · checked against the act

    calculates the volumes and surface areas of prisms, pyramids, a cylinder, a cone, and a sphere, also using trigonometry

    our translation · original wording (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

    Calculating the surface area of a cylinder, cone, and sphere (we teach in grade 12) · Calculating the volume of a cylinder, cone, and sphere (we teach in grade 12) · Calculating diagonals, edges, and slant heights in solids (we teach in grade 12)

  80. Curriculum point MAT.LO.10.P.6 · Teaching content · checked against the act

    uses the relationship between the volumes of similar solids.

    our translation · original wording (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

    Calculating the volume of similar solids (we teach in grade 12)

  81. Curriculum point MAT.LO.11 · Teaching content · checked against the act

    Combinatorics

    our translation · original wording (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Curriculum point MAT.LO.11.P.1 · Teaching content · checked against the act

    counts objects in simple combinatorial situations

    our translation · original wording (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Curriculum point MAT.LO.11.P.2 · Teaching content · checked against the act

    counts objects, using the rules of multiplication and addition (also in combination) for any number of actions, e.g.:

    our translation · original wording (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Curriculum point MAT.LO.11.P.2.a · Teaching content · checked against the act

    calculating how many four-digit odd positive integers there are such that in their decimal representation there is exactly one digit 1 and exactly one digit 2

    our translation · original wording (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Curriculum point MAT.LO.11.P.2.b · Teaching content · checked against the act

    calculating how many four-digit even positive integers there are such that exactly one digit 0 and exactly one digit 1 appear in their decimal representation.

    our translation · original wording (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Curriculum point MAT.LO.12 · Teaching content · checked against the act

    Probability and statistics

    our translation · original wording (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Curriculum point MAT.LO.12.P.1 · Teaching content · checked against the act

    calculates probability in the classical model

    our translation · original wording (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Curriculum point MAT.LO.12.P.2 · Teaching content · checked against the act

    calculates the arithmetic mean and the weighted mean, finds the median and the mode.

    our translation · original wording (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

    Calculating the arithmetic mean (we teach in grade 12) · Calculating the weighted average (we teach in grade 12) · Determining the median of a data set (we teach in grade 12)

  89. Curriculum point MAT.LO.13 · Teaching content · checked against the act

    Optimization and differential calculus

    our translation · original wording (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Curriculum point MAT.LO.13.P.1 · Teaching content · checked against the act

    solves optimization problems in situations that can be described by a quadratic function.

    our translation · original wording (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Curriculum point MAT.LO.WO.1 · General aims · checked against the act

    Computational fluency

    our translation · original wording (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Curriculum point MAT.LO.WO.1.1 · General aims · checked against the act

    Performing calculations on real numbers, also using a calculator, applying the laws of mathematical operations when transforming algebraic expressions, and using these skills when solving problems in real-world and theoretical contexts

    our translation · original wording (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Curriculum point MAT.LO.WO.2 · General aims · checked against the act

    Using and creating information

    our translation · original wording (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Curriculum point MAT.LO.WO.2.1 · General aims · checked against the act

    Interpreting and working with information presented in text, both mathematical and popular science, as well as in the form of graphs, diagrams, tables

    our translation · original wording (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Curriculum point MAT.LO.WO.2.2 · General aims · checked against the act

    Using mathematical language to create mathematical texts, including describing reasoning carried out and justifying conclusions, as well as presenting data

    our translation · original wording (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Curriculum point MAT.LO.WO.3 · General aims · checked against the act

    Using and interpreting representations

    our translation · original wording (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Curriculum point MAT.LO.WO.3.1 · General aims · checked against the act

    Using mathematical objects and operating on them, interpreting mathematical concepts

    our translation · original wording (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Curriculum point MAT.LO.WO.3.2 · General aims · checked against the act

    Selecting and creating mathematical models when solving practical and theoretical problems

    our translation · original wording (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Curriculum point MAT.LO.WO.3.3 · General aims · checked against the act

    Creating auxiliary mathematical objects based on existing ones, in order to carry out argumentation or solve a problem

    our translation · original wording (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Curriculum point MAT.LO.WO.3.4 · General aims · checked against the act

    Indicating the necessity or possibility of modifying a mathematical model in cases requiring special reservations, additional assumptions, consideration of specific conditions

    our translation · original wording (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Curriculum point MAT.LO.WO.4 · General aims · checked against the act

    Reasoning and argumentation

    our translation · original wording (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Curriculum point MAT.LO.WO.4.1 · General aims · checked against the act

    Conducting reasoning, including multi-step reasoning, providing arguments justifying the correctness of reasoning, distinguishing a proof from an example

    our translation · original wording (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Curriculum point MAT.LO.WO.4.2 · General aims · checked against the act

    Recognizing regularities, similarities and analogies, formulating conclusions based on them and justifying their correctness

    our translation · original wording (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Curriculum point MAT.LO.WO.4.3 · General aims · checked against the act

    Selecting arguments to justify the correctness of solving problems, constructing a chain of arguments guaranteeing the correctness of the solution and effectiveness in seeking solutions to a problem

    our translation · original wording (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Curriculum point MAT.LO.WO.4.4 · General aims · checked against the act

    Applying and creating strategies when solving problems, also in non-routine situations

    our translation · original wording (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Skills step by step

Calculating the surface area of a cylinder, cone, and sphere

The student calculates the total and lateral surface areas of a cylinder, a cone, and a sphere, and also determines the central angle of the net of the cone's lateral surface.

Curriculum point MAT.LO.10.P.4 identifies in cylinders and cones the angle between line segments and the angle between line segments and planes (e.g. the apex angle of a cone, the angle between the generatrix and the base), calculates the measures of these angles (our translation)
Curriculum point MAT.LO.10.P.5 calculates the volumes and surface areas of prisms, pyramids, a cylinder, a cone, and a sphere, also using trigonometry (our translation)

In the 4th grade of high school and technical secondary school, the student efficiently determines the total and lateral surface area of solids of revolution: cylinder, cone, and sphere. To do this, they use the relationships between the base radius, the height of the solid, and the slant height of the cone. They can also relate the dimensions of a solid to its net, including determining the measure of the central angle of the circular sector that forms the lateral surface of a cone.

A common mistake is confusing the slant height of a cone with its height when applying the lateral surface area formula, as well as forgetting to include two bases when calculating the total surface area of a cylinder. Students also tend to have difficulty determining the sector angle of the cone's lateral surface development, confusing the base radius with the radius of the circular sector, which is actually the slant height.

Tasks practicing this skill include direct calculations of the surface area of a sphere, cylinder, or cone based on given dimensions (such as radius, height, or the diagonal of an axial cross-section). Exam papers also feature tasks requiring the calculation of the sector angle of the lateral surface of a cone given the dimensions of its base and slant height.

Create a worksheet for this skill

Task types: Surface area of a cylinder · Surface area of a sphere · Central angle of a cone's net · Surface area of a cone

Calculating the derivative of a function and its value

The student calculates the derivatives of polynomials, products, and composite functions, and also determines the value of the derivative at a specific point.

In grade 4 of high school and technical school, students master finding derivatives of functions as part of their preparation for the advanced-level matura exam. They proficiently apply differentiation rules to polynomials and products of two functions. They can also correctly differentiate composite functions and calculate the numerical value of the resulting derivative for a given argument.

A common mistake when calculating the derivative of a product is treating it as simple multiplication of the separate derivatives, without taking into account the proper rule. When dealing with composite functions, on the other hand, students most often forget to multiply by the derivative of the inner function, which completely distorts the final formula.

Tasks practicing this skill include:

  • the derivative of a polynomial and the derivative of a product, where the goal is to determine the new formula of the function,
  • the derivative of a composite function, requiring the identification of the inner and outer functions,
  • the value of a derivative at a point, where after finding the derivative formula, the student substitutes a given number and calculates the final numerical result.
Create a worksheet for this skill

Task types: Derivative of a polynomial · Value of the derivative at a point · Chain rule · Product rule

Investigating the monotonicity and extrema of a function

The student can determine the intervals on which a function is increasing or decreasing, and identify the arguments and values of its local minima and maxima.

In the 4th grade of high school and technical school, students analyze the behavior of functions. Based on a formula or a graph, they are able to precisely determine the sets of arguments on which the function is increasing or decreasing, and identify the points where it reaches its local peaks (extrema).

A common mistake is confusing the point at which a function reaches an extremum (the argument x) with the extreme value itself (the value y). Students also tend to incorrectly combine intervals of monotonicity using the union symbol instead of separating them with a comma or the conjunction "and", which leads to false conclusions about the behavior of the function on the entire combined set.

In practice, problems involve analyzing specific cases and include the following exercises:

  • Intervals of increase and Intervals of decrease — determining intervals in which the function maintains a constant direction of change;
  • Local maximum and Local minimum — finding turning points where the function changes from increasing to decreasing or vice versa.
Create a worksheet for this skill

Task types: Interval of decrease · Intervals of increase · Local maximum · Local minimum

Calculating the arithmetic mean

The student calculates the arithmetic mean of a set of numerical data, reads values from bar charts, and applies the mean in practical everyday situations.

Curriculum point MAT.LO.12.P.2 calculates the arithmetic mean and the weighted mean, finds the median and the mode. (our translation)

As part of reviewing statistics, the student efficiently calculates the arithmetic mean. They can sum given quantities and divide the result by the number of data points, as well as process information presented in an organized or graphical manner.

A common mistake when working with a bar chart is dividing the sum of values by the number of bars (categories) instead of the actual sum of all counted observations. Students also forget to account for the weights resulting from repeated results and simply add the bar labels.

Exercises testing this skill include:

  • standard calculation of the result for a data set (Calculate the arithmetic mean),
  • reading values and frequencies from a chart (Mean from a bar chart),
  • solving word problems describing random phenomena, measurements, or finances (Mean in everyday life).
Create a worksheet for this skill

Task types: Find the mean · Mean from a bar chart · The mean in everyday life

Calculating the volume of a cylinder, cone, and sphere

The student calculates the volume of solids of revolution: a cylinder, a cone, and a sphere, using the appropriate formulas based on the given geometric dimensions.

Curriculum point MAT.LO.10.P.5 calculates the volumes and surface areas of prisms, pyramids, a cylinder, a cone, and a sphere, also using trigonometry (our translation)

In grade 4 of secondary school, students consolidate their ability to determine the volume of solids of revolution. Given the basic dimensions—the base radius and height in the case of a cylinder and a cone, and the radius in the case of a sphere—they select the appropriate formula and carry out accurate calculations, expressing the result in exact form (using the symbol π) or as an approximation.

A common mistake is confusing the radius with the diameter, as well as dropping numerical coefficients in the formulas. Students often forget the fraction 1/3 when calculating the volume of a cone, and in the case of a sphere, they confuse the powers of the radius, squaring the radius in the formula instead of cubing it.

Exercises for practicing this skill include directly calculating values on the worksheets: Volume of a cylinder, Volume of a cone, and Volume of a sphere. Students solve word problems or work from diagrams, calculating the volume of a given three-dimensional solid based on the provided dimensions.

Create a worksheet for this skill

Task types: Volume of a cone · Volume of a cylinder · Volume of a sphere

Calculating diagonals, edges, and slant heights in solids

The student determines the lengths of key segments in polyhedra and solids of revolution, such as the diagonal of a rectangular prism, the edge of a pyramid, or the slant height of a cone.

Curriculum point MAT.LO.10.P.5 calculates the volumes and surface areas of prisms, pyramids, a cylinder, a cone, and a sphere, also using trigonometry (our translation)

In the 4th grade of high school and technical secondary school, students organize and consolidate their knowledge of solid geometry, efficiently determining the lengths of key segments in space. Based on the given dimensions of a solid, they can identify the appropriate right-angled triangle inside the figure and calculate the desired quantity — most often using the Pythagorean theorem.

A typical difficulty at this stage is incorrectly locating the right-angled triangle in space. Students often confuse the space diagonal of a rectangular cuboid with the diagonal of a lateral face, and in a cone, they equate the slant height with its height. In the case of pyramids, a frequent mistake is connecting the lateral edge to the wrong segment of the base (for example, to the height of the base instead of the radius of the circumscribed circle around it).

Problems testing this skill are based on specific models of solids:

  • Space diagonal of a rectangular cuboid — calculating the length of the segment connecting two opposite vertices of the solid based on the dimensions of its edges;
  • Slant height of a cone — determining the length of the slant height given the height of the cone and the radius of its base;
  • Lateral edge of a pyramid — calculating the length of the lateral edge based on the height of the pyramid and the geometry of its base.
Create a worksheet for this skill

Task types: Slant height of a cone · Space diagonal of a cuboid · Lateral edge of a pyramid

Total probability and Bayes' theorem

The student calculates the probability of multi-stage events and conditional probability using Bayes' theorem by analyzing the drawing of balls from two different urns.

In grade 4, students solve problems involving two-stage experiments using the law of total probability and Bayes' theorem. They break down a complex experiment into mutually exclusive cases (hypotheses) and calculate the probability of the final event occurring, and they are also able to determine the conditional probability of a cause when the resulting effect is already known.

A common mistake is confusing conditional probability with the joint probability of both events, or omitting the first stage of the draw. Students often focus solely on the number of balls in the container, forgetting to multiply the result by the probability of selecting the urn itself.

In practice, problems are often based on the setup of two urns with different contents of white and black balls. The student first selects one of the urns (e.g., by flipping a coin) and then draws a ball from it. In total probability problems, they determine the chance of drawing a ball of a specific color, and by applying Bayes' theorem, they calculate, for example, how likely it is that the white ball came from the first urn, given that such a color was drawn.

Create a worksheet for this skill

Task types: Bayes' formula — two urns · Total probability — two urns

Bernoulli trials and binomial distribution

The student calculates the probability of a given number of successes in repeated trials using Bernoulli trials and determines the expected value of the binomial distribution.

In Grade 4, the student solves problems based on repeating the same random experiment with two possible outcomes: success or failure. They apply the formula for Bernoulli trials to calculate the probability of obtaining an exact number of successes in a series of trials and determine the expected value of such a distribution—the anticipated average number of successful outcomes.

A typical mistake at this stage is omitting the binomial coefficient in the formula. The student correctly multiplies the probabilities of successes and failures, but forgets that the same outcomes can occur in different orders. There are also errors in misassigning the probabilities of success and failure, or applying Bernoulli trials to situations where the probability changes from trial to trial.

Problems in this topic are based on practical contexts, such as a series of dice rolls, shots at a target, or quality control of defective items in a batch of products. Practice materials cover two main types of tasks: Bernoulli Trials, where the goal is to calculate the probability of a specific number of successes, and Expected Value of a Binomial Distribution, where the student determines the expected average outcome for a given number of repetitions.

Create a worksheet for this skill

Task types: Mean of a binomial distribution · Bernoulli trials

Determining the median of a data set

The student organizes a set of numerical data and determines its median by identifying the middle value or calculating the arithmetic mean of the two middle numbers.

Curriculum point MAT.LO.12.P.2 calculates the arithmetic mean and the weighted mean, finds the median and the mode. (our translation)

A student in grade 4 of general and technical secondary school efficiently finds the median for a finite set of numerical data as part of a statistics review. They distinguish between a situation where the number of data points is odd (identifying a single middle value) and a situation with an even number of data points, where the median is the arithmetic mean of the two middle elements.

A typical error at this stage is selecting the middle value directly from an unordered dataset, skipping the initial arrangement of the numbers from smallest to largest. It also happens that, with an even number of elements, the student provides both middle numbers instead of calculating their mean.

Tasks from the template Find the median involve analyzing the given sequence of numbers, ordering it, and determining the exact value of the median.

Create a worksheet for this skill

Conditional probability based on a table

The student calculates the conditional probability of an event, reading the relevant group sizes and conditions directly from the data table.

In grade 4, students learn to determine the probability of an event occurring given that another event has occurred. Using numerical data in two-way tables, they restrict the sample space of all possible outcomes exclusively to the group satisfying the given condition and, based on this, calculate the desired probability as a fraction.

The most common mistake at this stage is dividing the number of favorable elements by the total number of all surveyed people or objects in the entire table, rather than by the sum of elements that make up the given condition. Students also confuse the direction of dependence, swapping the target event with the condition (for example, confusing the probability of being in a given group given a specific result with the reverse situation).

Tasks from the template Conditional probability from a table present statistical data concerning a specific group—for example, the breakdown of students by gender and foreign language choice. The prompt requires identifying the correct cells in the table and calculating the probability of randomly selecting a person with a specific characteristic, given in advance that they satisfy the condition specified in the task.

Create a worksheet for this skill

Calculating the weighted average

The student calculates the weighted average of a data set, correctly assigning weights to individual values and dividing the sum of the products by the sum of the weights.

Curriculum point MAT.LO.12.P.2 calculates the arithmetic mean and the weighted mean, finds the median and the mode. (our translation)

In the 4th grade of high school and technical secondary school, the student determines the weighted average of a data set. They efficiently multiply each value by its corresponding weight, sum the resulting products, and then divide the result by the total sum of the weights.

The most common mistake is dividing the sum of the products by the count of the given numbers instead of the sum of their weights, which stems from the habit of calculating a simple arithmetic mean. Students also sometimes struggle to correctly distinguish between the value of a feature and its weight, especially when the weights are expressed as percentages or fractions.

In exercises from the Weighted average template, the student solves problems set in a practical context, such as determining a semester grade based on tests of varying importance or calculating the average purchase price of goods from different deliveries. The task involves extracting the data, correctly setting up the arithmetic expression, and calculating the result.

Create a worksheet for this skill

Calculating the cross-sectional area of a cube

The student determines the shape of the plane intersecting a cube through selected face diagonals and calculates the area of the resulting cross-section.

The student analyzes the position of the cutting plane in a cube and identifies which geometric figure the given cross-section forms. Based on this, they determine the side lengths of the polygon using the edge length of the solid and the Pythagorean theorem, and then calculate its area.

The most common difficulty is misinterpreting the shape of the figure in an oblique projection drawing—for example, confusing a rectangle with a square or an equilateral triangle with an arbitrary triangle. Students also often confuse the edge length of the cube with the side length of the cross-section, forgetting that this side is a diagonal of a lateral face or the base.

A typical problem involves calculating the area of a cross-section of a cube passing through selected face diagonals. Given the edge length of the solid, the student determines the dimensions of the resulting polygon (e.g., a rectangle whose sides are an edge and a face diagonal) and writes the final result in exact form.

Create a worksheet for this skill

Calculating the volume of similar solids

The student calculates the volume of a similar solid, using the relationship that the ratio of the volumes of two solids is equal to the cube of the scale of their similarity.

Curriculum point MAT.LO.10.P.6 uses the relationship between the volumes of similar solids. (our translation)

In the final grade of secondary school, students consolidate their knowledge of solid geometry as part of their preparations for graduation exams. At this stage, they efficiently determine the volume of a solid similar to a given one using the similarity ratio k. Instead of painstakingly recalculating the dimensions of all edges or heights of the new solid, they make use of the fact that the ratio of their volumes is equal to k cubed.

A common mistake at this stage is multiplying the original volume by the scale factor k itself or by its square. Students often mechanically carry over habits from scaling line segments or surface areas, forgetting that three-dimensional space requires raising the similarity ratio to the power of three.

Exercises from the Volume of a similar solid template present students with a situation where the volume of the first solid is known, along with the ratio of corresponding edges or the scale of enlargement of the solid. The student's task is to calculate the cube of this scale and determine the missing volume.

Create a worksheet for this skill

Calculating the limit of a function at a point

The student calculates the limits of a function at a point, examining the behavior of the function's values as the arguments approach a chosen number.

In the 4th grade of high school and technical school as part of the advanced curriculum, students analyze the behavior of a function in the neighborhood of a given number and determine the limit of a function at a point. They understand the difference between the value of the function at a given point itself and the value that the outputs approach as the argument approaches the number being examined.

A typical mistake is stopping at the stage where zero appears in the denominator of a fraction. Students often mistakenly assume that the limit does not exist or that the operation is undefined, instead of recognizing an indeterminate form (e.g., 0/0) and transforming the function's formula—for example, by canceling a common factor in the numerator and denominator.

Tasks from the template Limit of a function at a point involve calculating the limit for a given algebraic expression (most often a rational function). The student checks whether direct substitution of the given number is sufficient, and if this leads to an indeterminate form, simplifies the fraction and only then calculates the final numerical result.

Create a worksheet for this skill

Equation of the tangent line to a graph using the derivative

The student learns to determine the equation of the tangent line to the graph of a function at a given point, using the geometric interpretation of the derivative.

In grade 4 of high school and technical secondary school, students connect the concept of the derivative with analytic geometry. They can calculate the derivative of a function at a chosen point, which determines the slope of the line, and then find the complete equation of the tangent line to the graph at the point with given coordinates.

A common mistake is confusing the value of the derivative at a point with the value of the function itself, or substituting the entire general formula of the derivative into the equation of the line instead of a specific number calculated for the given argument. Sign errors also occur when transforming the equation into slope-intercept form.

In tasks from the template Tangent to the graph of a function, the student is given the formula of a function and the x-coordinate of the point of tangency. Their goal is to determine the second coordinate of the point, calculate the value of the derivative at this point, and write the final equation of the tangent line in the form y = ax + b.

Create a worksheet for this skill

Task templates to print

Every task type, grouped by skill. Clicking one opens the worksheet generator with it already selected.

Calculating the surface area of a cylinder, cone, and sphere

Calculating the derivative of a function and its value

Investigating the monotonicity and extrema of a function

Calculating the arithmetic mean

Calculating the volume of a cylinder, cone, and sphere

Calculating diagonals, edges, and slant heights in solids

Total probability and Bayes' theorem

Bernoulli trials and binomial distribution

Determining the median of a data set

Conditional probability based on a table

Calculating the weighted average

Calculating the cross-sectional area of a cube

Calculating the volume of similar solids

Calculating the limit of a function at a point

Equation of the tangent line to a graph using the derivative

Other task types

Create a worksheet for this curriculum