Nederlands
Leerplan (Polen)

Wiskunde — klas 12

Wiskunde in klas 4 van het lyceum en technicum: ruimtemeetkunde en omwentelingslichamen, statistiek, voorwaardelijke kans en het Bernoulli-schema, en op gevorderd niveau de limiet van een functie en de afgeleide — en herhaling voor het eindexamen. Bij elk onderwerp kant-en-klare opgaven om af te drukken.

Werkblad maken voor dit leerplan

Wat leert een leerling bij wiskunde in klas 4 van het lyceum?

In klas 4 berekent de leerling de inhoud en oppervlakte van prisma's, piramides en omwentelingslichamen, lengtes van lijnstukken en oppervlakten van doorsneden in ruimtelichamen. Bij statistiek berekent de leerling het gemiddelde, het gewogen gemiddelde en de mediaan, en bij kansrekening maakt men gebruik van voorwaardelijke kans, de formule voor de totale kans en het Bernoulli-experiment. Op het gevorderde niveau leert men over limieten van functies en de afgeleide: de raaklijn aan de grafiek, monotoniciteit en extremen. Klas 4 wordt afgesloten met het eindexamen, dus er wordt teruggegrepen op de volledige stof van de middelbare school.

Belangrijk over het leerplan: het curriculum voor het lyceum en het technicum is bloksgewijs geformuleerd — het beschrijft wat de leerling aan het einde van de middelbare school kan, afzonderlijk voor het basis- en het gevorderde niveau. De toewijzing van een onderwerp aan een klas is onze keuze op basis van een gebruikelijke verdeling van de leerstof; in het gedeelte „Curriculumoverzicht” ziet u de doelen uit het leerplan met citaten.

Status van de pagina: de opgaven voor dit leerjaar zijn gereed in een vorm zonder context (alleen de opdracht en de formule); opgaven met figuren, bewijzen en contextuele verhaallijnen worden in volgende stappen toegevoegd.

Leerplanbereik

  1. Leerplanpunt MAT.LO.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Reële getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen, worteltrekken, logaritmeren) uit in de verzameling van de reële getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert eenvoudige bewijzen uit over de deelbaarheid van gehele getallen en resten bij deling, bijv.:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past eigenschappen van wortels van een willekeurige graad toe, waaronder wortels van een oneven graad uit negatieve getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past het verband tussen worteltrekken en machtsverheffen en de rekenregels voor machten en wortels toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de monotoniciteit van machtsverheffen toe, in het bijzonder de eigenschappen: als x < y en a > 1, dan ax < ay, en wanneer x < y en 0 < a < 1, dan ax > ay

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt het begrip getalleninterval, geeft intervallen aan op de getallenlijn

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de meetkundige en algebraïsche interpretatie van de absolute waarde toe, lost vergelijkingen op van het type: |x + 4| = 5

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt eigenschappen van machtsverheffen en worteltrekken in praktische situaties, waaronder voor het berekenen van samengestelde rente, winst uit deposito's en kosten van kredieten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past het verband tussen logaritmeren en machtsverheffen toe, gebruikt de formules voor de logaritme van een product, de logaritme van een quotiënt en de logaritme van een macht.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bewijs van de deelbaarheid door 24 van het product van vier opeenvolgende natuurlijke getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bewijs van de eigenschap: als een getal bij deling door 4 een rest van 3 geeft, dan is het geen kwadraat van een geheel getal

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Leerplanpunt MAT.LO.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Algebraïsche uitdrukkingen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past merkwaardige producten toe voor: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    telt veeltermen in één en meerdere variabelen op, trekt ze af en vermenigvuldigt ze

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    haalt een eenterm uit een algebraïsche som buiten haakjes

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    vermenigvuldigt en deelt rationale uitdrukkingen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Leerplanpunt MAT.LO.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Vergelijkingen en ongelijkheden

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.1 · Leerinhouden

    vormt vergelijkingen en ongelijkheden op equivalente wijze om, waaronder bijv. een rationale vergelijking equivalent omvormt (voorbeeld in de wettekst)

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpreteert strijdige en identieke lineaire vergelijkingen en ongelijkheden

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost lineaire ongelijkheden met één onbekende op

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden op

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost veeltermvergelijkingen van de vorm W(x) = 0 op voor veeltermen herleid tot de ontbonden vorm.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Leerplanpunt MAT.LO.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Stelsels van vergelijkingen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Leerplanpunt MAT.LO.4.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost stelsels van lineaire vergelijkingen met twee onbekenden op, geeft de meetkundige interpretatie van bepaalde, onbepaalde en strijdige stelsels

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Leerplanpunt MAT.LO.4.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past stelsels van vergelijkingen toe bij het oplossen van tekstopgaven.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Leerplanpunt MAT.LO.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Functies

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    definieert functies als een eenduidige toekenning met behulp van een woordelijke beschrijving, tabel, grafiek, formule (ook met verschillende formules op verschillende intervallen)

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de waarde van een functie gegeven door een algebraïsche formule

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    leest en interpreteert waarden van functies die zijn gedefinieerd met behulp van tabellen, grafieken, formules e.d., ook in situaties van meervoudig gebruik van dezelfde informatiebron of meerdere bronnen tegelijkertijd

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    leest uit de grafiek van een functie af: het domein, het bereik, de nulpunten, de intervallen van monotoniciteit, de intervallen waarin de functie waarden aanneemt die groter (niet kleiner) of kleiner (niet groter) zijn dan een gegeven getal, de grootste en kleinste waarden van de functie (voor zover deze bestaan) op een gegeven gesloten interval en de argumenten waarvoor de grootste en kleinste waarden door de functie worden aangenomen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpreteert de coëfficiënten die voorkomen in de formule van een lineaire functie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt de formule van een lineaire functie op basis van informatie over haar grafiek of over haar eigenschappen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    schetst de grafiek van een kwadratische functie gegeven door een formule

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpreteert de coëfficiënten die voorkomen in de formule van een kwadratische functie in de algemene vorm, topvorm en productvorm (indien deze bestaat)

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt de formule van een kwadratische functie op basis van informatie over deze functie of over de grafiek ervan

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt de grootste en kleinste waarde van een kwadratische functie op een gesloten interval

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt eigenschappen van lineaire en kwadratische functies voor de interpretatie van meetkundige, natuurkundige vraagstukken e.d., ook geplaatst in een praktische context

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.12 · Leerinhouden

    schetst op basis van de grafiek van de functie y = f(x) de grafieken van de functies y = f(x − a), y = f(x) + b

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.13 · Leerinhouden

    gebruikt de functie f(x) = a/x, inclusief de grafiek ervan, voor de beschrijving en interpretatie van vraagstukken die verband houden met omgekeerd evenredige grootheden, ook in praktische toepassingen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.14 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt exponentiële en logaritmische functies, waaronder hun grafieken, om vraagstukken die verband houden met praktische toepassingen te beschrijven en te interpreteren.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Leerplanpunt MAT.LO.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Rijen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent termen van een rij gegeven door een algemene formule

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de eerste termen van recursief gedefinieerde rijen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    onderzoekt in eenvoudige gevallen of een rij stijgend of dalend is

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    controleert of een gegeven rij rekenkundig of meetkundig is

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de formule voor de n-de term en voor de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de formule voor de n-de term en voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt eigenschappen van rijen, waaronder rekenkundige en meetkundige, voor het oplossen van opgaven, ook geplaatst in een praktische context.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Leerplanpunt MAT.LO.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Goniometrie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt de definities van de functies sinus, cosinus en tangens voor hoeken van 0° tot 180°, en bepaalt in het bijzonder de waarden van goniometrische functies voor de hoeken 30°, 45°, 60°

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.2 · Leerinhouden

    gebruikt de formules sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.3 · Leerinhouden

    past de cosinusregel en de formule voor de oppervlakte van een driehoek P = ½ · a · b · sin γ toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de hoeken van een rechthoekige driehoek en de lengten van zijn zijden bij passende gegevens (lost rechthoekige driehoeken op, waaronder met behulp van goniometrische functies).

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Leerplanpunt MAT.LO.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Planimetrie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt stralen en middellijnen van cirkels, lengtes van koorden van cirkels en van raaklijnstukken, waaronder met behulp van de stelling van Pythagoras

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent scherphoekige, rechthoekige en stomphoekige driehoeken bij gegeven lengtes van de zijden (past o.a. de omgekeerde stelling van Pythagoras en de cosinusregel toe); past de stelling toe: in een driehoek ligt tegenover de grotere binnenhoek de langere zijde

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent regelmatige veelhoeken en maakt gebruik van hun basiseigenschappen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt de eigenschappen van hoeken en diagonalen in rechthoeken, parallellogrammen, ruiten en trapezia

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de eigenschappen van omtrekshoeken en middelpuntshoeken toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past formules toe voor de oppervlakte van een cirkelsector en de lengte van een cirkelboog

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de stelling van Thales toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    maakt gebruik van de gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt de verbanden tussen de omtrekken en tussen de oppervlakten van gelijkvormige figuren

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wijst de elementaire bijzondere punten in een driehoek aan: het middelpunt van de ingeschreven cirkel in een driehoek, het middelpunt van de omgeschreven cirkel om een driehoek, het hoogtepunt, het zwaartepunt en maakt gebruik van hun eigenschappen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert meetkundige bewijzen uit

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past goniometrische functies toe om lengten van lijnstukken in vlakke figuren te bepalen en oppervlakten van figuren te berekenen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Leerplanpunt MAT.LO.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Analytische meetkunde in het cartesisch vlak

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent de onderlinge ligging van rechte lijnen in het vlak op basis van hun vergelijkingen, waaronder het vinden van het gemeenschappelijke punt van twee rechte lijnen, als dat bestaat

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    maakt gebruik van vergelijkingen van lijnen in het vlak, in richtingsvorm en algemene vorm, en bepaalt onder meer de vergelijking van een lijn met gegeven eigenschappen (zoals bijv. het gaan door twee gegeven punten, een bekende richtingscoëfficiënt, evenwijdigheid aan een andere lijn)

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de afstand tussen twee punten in een coördinatenstelsel

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.4 · Leerinhouden

    gebruikt de vergelijking van een cirkel (x − a)² + (y − b)² = r²

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt beelden van cirkels en veelhoeken bij lijnsymmetrie ten opzichte van de assen van het coördinatenstelsel, puntsymmetrie (met het middelpunt in de oorsprong van het coördinatenstelsel).

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Leerplanpunt MAT.LO.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Ruimtemeetkunde

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent de onderlinge ligging van rechten in de ruimte, in het bijzonder loodrechte, elkaar niet snijdende rechten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt het begrip hoek tussen een lijn en een vlak en het begrip tweevlakshoek tussen halfvlakken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent in prisma's en piramides hoeken tussen lijnstukken (bijv. ribben, ribben en diagonalen) en hoeken tussen zijvlakken, berekent de grootte van deze hoeken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent in cilinders en kegels de hoek tussen lijnstukken en de hoek tussen lijnstukken en vlakken (bijv. de tophoek van een kegel, de hoek tussen de beschrijvende en het grondvlak), berekent de grootte van deze hoeken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

    Berekenen van de oppervlakte van een cilinder, kegel en bol (bij ons in groep 12)

  79. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent inhouden en oppervlakten van prisma's, piramiden, cilinder, kegel en bol, ook met behulp van goniometrie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

    Berekenen van de oppervlakte van een cilinder, kegel en bol (bij ons in groep 12) · Volume berekenen van een cilinder, kegel en bol (bij ons in groep 12) · Berekenen van diagonalen, ribben en beschrijvende lijnen in ruimtelijke figuren (bij ons in groep 12)

  80. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt het verband tussen de inhouden van gelijkvormige lichamen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

    Volume van gelijkvormige lichamen berekenen (bij ons in groep 12)

  81. Leerplanpunt MAT.LO.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Combinatoriek

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    telt objecten in eenvoudige combinatorische situaties

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    telt objecten met behulp van de vermenigvuldigings- en optelregel (ook gecombineerd) voor een willekeurig aantal handelingen, bijv.:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekenen hoeveel viercijferige oneven positieve gehele getallen er zijn zodanig dat in hun decimale notatie precies één cijfer 1 en precies één cijfer 2 voorkomt

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekenen hoeveel viercijferige even positieve gehele getallen er zijn zodanig dat in hun decimale notatie precies één cijfer 0 en precies één cijfer 1 voorkomt.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Leerplanpunt MAT.LO.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Kansrekening en statistiek

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Leerplanpunt MAT.LO.12.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de kans in het klassieke model

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Leerplanpunt MAT.LO.12.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent het rekenkundig gemiddelde en het gewogen gemiddelde, vindt de mediaan en de modus.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

    Het rekenkundig gemiddelde berekenen (bij ons in groep 12) · Gewogen gemiddelde berekenen (bij ons in groep 12) · De mediaan van een gegevensverzameling bepalen (bij ons in groep 12)

  89. Leerplanpunt MAT.LO.13 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Optimalisatie en differentiaalrekening

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Leerplanpunt MAT.LO.13.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost optimalisatieproblemen op in situaties die kunnen worden beschreven met een kwadratische functie.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Leerplanpunt MAT.LO.WO.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Rekenvaardigheid

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Leerplanpunt MAT.LO.WO.1.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het uitvoeren van berekeningen met reële getallen, ook met behulp van een rekenmachine, het toepassen van rekenregels bij het herleiden van algebraïsche uitdrukkingen en het benutten van deze vaardigheden bij het oplossen van problemen in reële en theoretische contexten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Gebruik en creatie van informatie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Interpreteren en hanteren van informatie weergegeven in tekst, zowel wiskundig als populairwetenschappelijk, alsook in de vorm van grafieken, diagrammen, tabellen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het gebruik van wiskundige taal voor het opstellen van wiskundige teksten, waaronder voor het beschrijven van gevolgde redeneringen en het onderbouwen van conclusies, alsook voor het weergeven van gegevens

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Gebruik en interpretatie van representaties

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Toepassen van en opereren met wiskundige objecten, interpreteren van wiskundige begrippen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Selecteren en opstellen van wiskundige modellen bij het oplossen van praktische en theoretische problemen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het creëren van wiskundige hulpobjecten op basis van bestaande, om een argumentatie te voeren of een probleem op te lossen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het aangeven van de noodzaak of mogelijkheid tot aanpassing van het wiskundig model in gevallen die speciale voorbehouden, aanvullende aannames, het in overweging nemen van bijzondere omstandigheden vereisen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Redeneren en argumenteren

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het uitvoeren van redeneringen, ook in meerdere stappen, het aandragen van argumenten die de juistheid van de redenering onderbouwen, het onderscheiden van een bewijs en een voorbeeld

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het herkennen van regelmatigheden, overeenkomsten en analogieën, het formuleren van conclusies op basis daarvan en het onderbouwen van de juistheid ervan

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het selecteren van argumenten ter onderbouwing van de juistheid van het oplossen van problemen, het vormen van een reeks argumenten die de juistheid van de oplossing en de effectiviteit bij het zoeken naar oplossingen voor het vraagstuk garanderen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Toepassen en creëren van strategieën bij het oplossen van opgaven, ook in niet-standaardsituaties

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Vaardigheden stap voor stap

Berekenen van de oppervlakte van een cilinder, kegel en bol

De leerling berekent de totale oppervlakte en de manteloppervlakte van een cilinder, kegel en bol, en bepaalt ook de middelpuntshoek van de uitslag van de mantel van een kegel.

Leerplanpunt MAT.LO.10.P.4 herkent in cilinders en kegels de hoek tussen lijnstukken en de hoek tussen lijnstukken en vlakken (bijv. de tophoek van een kegel, de hoek tussen de beschrijvende en het grondvlak), berekent de grootte van deze hoeken (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.10.P.5 berekent inhouden en oppervlakten van prisma's, piramiden, cilinder, kegel en bol, ook met behulp van goniometrie (onze vertaling)

In klas 4 van de middelbare school bepaalt de leerling vlot de totale oppervlakte en de manteloppervlakte van omwentelingslichamen: cilinder, kegel en bol. Daarbij maakt de leerling gebruik van de verbanden tussen de straal van het grondvlak, de hoogte van het lichaam en de beschrijvende van de kegel. De leerling kan tevens de afmetingen van het lichaam koppelen aan de geometrische uitslag ervan, waaronder het bepalen van de grootte van de middelpuntshoek van de cirkelsector die de mantel van de kegel vormt.

Een veelvoorkomende fout is het verwarren van de beschrijvende van de kegel met zijn hoogte bij het toepassen van de formule voor de manteloppervlakte, evenals het vergeten mee te rekenen van de twee grondvlakken bij het berekenen van de totale oppervlakte van een cilinder. Leerlingen hebben soms ook moeite met het bepalen van de middelpuntshoek van de uitslag van de mantel van de kegel, waarbij ze de straal van het grondvlak verwarren met de straal van de cirkelsector, wat in werkelijkheid de beschrijvende is.

Opgaven die deze vaardigheid oefenen, omvatten het direct berekenen van de oppervlakte van een bol, cilinder of kegel op basis van gegeven afmetingen (zoals de straal, hoogte of de diagonaal van de axiale doorsnede). Op toetsen komen ook opdrachten voor waarbij de middelpuntshoek van de uitslag van de mantel van de kegel moet worden berekend op basis van bekende afmetingen van het grondvlak en de beschrijvende.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Oppervlakte van een bol · Oppervlakte van een cilinder · Middelpuntshoek van de kegeluitslag · Oppervlakte van een kegel

Berekenen van de afgeleide van een functie en de waarde ervan

De leerling berekent afgeleiden van veeltermen, producten en samengestelde functies, en bepaalt ook de waarde van de afgeleide in een specifiek punt.

In klas 4 van de bovenbouw beheerst de leerling het bepalen van afgeleiden van functies ter voorbereiding op het eindexamen op gevorderd niveau. De leerling past differentieerregels vlot toe op veeltermen en producten van twee functies. Daarnaast kan de leerling samengestelde functies correct differentiëren en de numerieke waarde van de verkregen afgeleide voor een gegeven argument berekenen.

Een veelvoorkomende fout bij het berekenen van de afgeleide van een product is om deze te behandelen als een gewone vermenigvuldiging van afzonderlijke afgeleiden, zonder de juiste formule toe te passen. Bij samengestelde functies vergeten leerlingen daarentegen meestal om te vermenigvuldigen met de afgeleide van de binnenste functie, waardoor de uiteindelijke formule volledig foutief wordt.

Opgaven om deze vaardigheid te oefenen omvatten:

  • de afgeleide van een veelterm en de afgeleide van een product, waarbij het doel is om het nieuwe functievoorschrift te bepalen,
  • de afgeleide van een samengestelde functie, wat het herkennen van de binnenste en buitenste functie vereist,
  • de waarde van de afgeleide in een punt, waarbij de leerling na het bepalen van het voorschrift van de afgeleide het gegeven getal invult en de uiteindelijke numerieke uitkomst berekent.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Afgeleide van een veelterm · Waarde van de afgeleide in een punt · Kettingregel · Productregel

Onderzoek naar de monotoniciteit en extrema van een functie

De leerling kan de intervallen bepalen waarin een functie stijgt of daalt, en de argumenten en waarden voor de lokale minima en maxima ervan aangeven.

In klas 4 van het voortgezet onderwijs analyseert de leerling het verloop van functies. Aan de hand van een formule of grafiek kan de leerling nauwkeurig bepalen op welke intervallen de functie stijgt en op welke deze daalt, en de punten aanwijzen waar de functie haar lokale toppen (extrema) bereikt.

Een veelgemaakte fout is het verwarren van de plaats waar de functie een extremum aanneemt (het argument x) met de waarde van dat extremum zelf (de y-waarde). Leerlingen hebben ook de neiging om stijg- en daalintervallen ten onrechte te verbinden met het verenigingssymbool in plaats van ze te scheiden met een komma of het woord „en”, wat leidt tot onjuiste conclusies over het gedrag van de functie op de gehele samengevoegde verzameling.

In de praktijk bestaan de opgaven uit het analyseren van specifieke gevallen en omvatten ze de volgende oefeningen:

  • Intervallen van stijgen en Intervallen van dalen — het bepalen van de intervallen waarin de functie een constante veranderingsrichting behoudt;
  • Lokaal maximum en Lokaal minimum — het vinden van omslagpunten in het verloop, waarin de functie overgaat van stijgend naar dalend of omgekeerd.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Dalingsinterval · Lokaal maximum · Lokaal minimum · Stijgingsintervallen

Het rekenkundig gemiddelde berekenen

De leerling berekent het rekenkundig gemiddelde van een reeks numerieke gegevens, leest waarden af uit staafdiagrammen en past het gemiddelde toe in praktische situaties uit het dagelijks leven.

Leerplanpunt MAT.LO.12.P.2 berekent het rekenkundig gemiddelde en het gewogen gemiddelde, vindt de mediaan en de modus. (onze vertaling)

In het kader van de herhaling van statistiek bepaalt de leerling vlot het rekenkundig gemiddelde. Hij of zij kan de gegeven waarden optellen en het resultaat delen door het aantal gegevens, en tevens informatie verwerken die geordend of grafisch wordt weergegeven.

Een veelvoorkomende fout bij het werken met een staafdiagram is het delen van de som van de waarden door het aantal staven (categorieën) in plaats van door de werkelijke som van alle getelde waarnemingen. Leerlingen vergeten ook rekening te houden met de wegingen die voortvloeien uit herhaalde uitkomsten en tellen enkel de labels van de staven bij elkaar op.

Oefeningen die deze vaardigheid toetsen, omvatten:

  • het standaard bepalen van de uitkomst voor een gegevensset (Bereken het rekenkundig gemiddelde),
  • het aflezen van waarden en frequenties uit een diagram (Gemiddelde uit een staafdiagram),
  • het oplossen van contextopgaven over toevalsverschijnselen, metingen of financiën (Het gemiddelde in het dagelijks leven).
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Bereken het gemiddelde · Gemiddelde uit een staafdiagram · Het gemiddelde in het dagelijks leven

Volume berekenen van een cilinder, kegel en bol

De leerling berekent de inhoud van omwentelingslichamen: cilinder, kegel en bol, met toepassing van de juiste formules op basis van de gegeven geometrische afmetingen.

Leerplanpunt MAT.LO.10.P.5 berekent inhouden en oppervlakten van prisma's, piramiden, cilinder, kegel en bol, ook met behulp van goniometrie (onze vertaling)

In klas 4 van de middelbare school consolideert de leerling de vaardigheid om de inhoud van omwentelingslichamen te bepalen. Aan de hand van de basisafmetingen — de straal van het grondvlak en de hoogte bij een cilinder en kegel, en de straal bij een bol — kiest de leerling de juiste formule en voert correcte berekeningen uit, waarbij de uitkomst exact (met het symbool π) of als benadering wordt genoteerd.

Een veelvoorkomend probleem is het verwarren van de straal met de diameter en het vergeten van numerieke coëfficiënten in de formules. Leerlingen vergeten niet zelden de breuk 1/3 bij het berekenen van de inhoud van een kegel, en bij een bol halen ze de machten van de straal door elkaar door de straal in het kwadraat in plaats van tot de derde macht in te vullen.

Opgaven om deze vaardigheid te oefenen omvatten het direct berekenen van grootheden op de werkbladen: Inhoud van een cilinder, Inhoud van een kegel en Inhoud van een bol. De leerling lost contextopgaven of opgaven aan de hand van een figuur op, waarbij op basis van de gegeven afmetingen de inhoud van het betreffende ruimtelijke lichaam wordt berekend.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Inhoud van een bol · Inhoud van een cilinder · Inhoud van een kegel

Berekenen van diagonalen, ribben en beschrijvende lijnen in ruimtelijke figuren

De leerling bepaalt de lengtes van belangrijke lijnstukken in veelvlakken en omwentelingslichamen, zoals de lichaamsdiagonaal van een balk, de ribbe van een piramide of de mantellijn van een kegel.

Leerplanpunt MAT.LO.10.P.5 berekent inhouden en oppervlakten van prisma's, piramiden, cilinder, kegel en bol, ook met behulp van goniometrie (onze vertaling)

In klas 4 van het lyceum en technicum ordent en consolideert de leerling de kennis van ruimtemeetkunde, waarbij deze vlot de lengtes van cruciale lijnstukken in de ruimte bepaalt. Op basis van de gegeven afmetingen van het ruimtelichaam kan de leerling de juiste rechthoekige driehoek binnen het figuur aanwijzen en de gezochte grootheid berekenen — meestal met behulp van de stelling van Pythagoras.

Een typisch struikelblok in deze fase is het verkeerd lokaliseren van de rechthoekige driehoek in de ruimte. Leerlingen verwarren vaak de ruimtediagonaal van een balk met de diagonaal van een zijvlak, en bij een kegel stellen ze de beschrijvende gelijk aan de hoogte ervan. Bij piramiden is een veelgemaakte fout het verbinden van een opstaande ribbe met het verkeerde lijnstuk van het grondvlak (bijvoorbeeld met de hoogte van het grondvlak in plaats van met de straal van de omgeschreven cirkel ervan).

Opgaven die deze vaardigheid toetsen, zijn gebaseerd op specifieke modellen van ruimtelichamen:

  • Ruimtediagonaal van een balk — het berekenen van de lengte van het lijnstuk dat twee tegenover elkaar liggende hoekpunten van het lichaam verbindt, op basis van de afmetingen van de ribben;
  • Beschrijvende van een kegel — het bepalen van de lengte van de beschrijvende bij een bekende hoogte van de kegel en straal van het grondvlak;
  • Opstaande ribbe van een piramide — het berekenen van de lengte van de opstaande ribbe op basis van de hoogte van de piramide en de geometrie van het grondvlak.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Beschrijvende van een kegel · Lichaamsdiagonaal van een balk · Opstaande ribbe van een piramide

Totale kans en formule van Bayes

De leerling berekent de kans op meertrapsgebeurtenissen en de voorwaardelijke kans met behulp van de formule van Bayes, door het trekken van ballen uit twee verschillende urnen te analyseren.

In klas 4 lost de leerling vraagstukken op over experimenten in twee stappen met behulp van de totale kans en de formule van Bayes. De leerling splitst een samengesteld experiment op in elkaar uitsluitende gevallen (hypothesen) en berekent de kans op het plaatsvinden van de uiteindelijke gebeurtenis, en kan tevens de voorwaardelijke kans op de oorzaak bepalen wanneer het waargenomen gevolg al bekend is.

Een veelvoorkomende fout is het verwarren van de voorwaardelijke kans met de gezamenlijke kans van beide gebeurtenissen, of het over het hoofd zien van de eerste trekking. Leerlingen richten zich niet zelden uitsluitend op het aantal ballen in de urn en vergeten daarbij het resultaat te vermenigvuldigen met de kans op het kiezen van de urn zelf.

In de praktijk zijn de opgaven gebaseerd op het model van twee urnen met verschillende aantallen witte en zwarte ballen. De leerling kiest eerst een van de urnen (bijvoorbeeld door een munt op te gooien) en trekt daar vervolgens een bal uit. Bij opgaven over de totale kans bepaalt de leerling de kans op het trekken van een bal van een bepaalde kleur, en met behulp van de formule van Bayes berekent deze bijvoorbeeld hoe groot de kans is dat de witte bal afkomstig was uit de eerste urn, als al bekend is dat deze kleur werd getrokken.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Regel van Bayes — twee vazen · Totale kans — twee vazen

Bernoulli-schema en binomiale verdeling

De leerling berekent de kans op een bepaald aantal successen in herhaalde proeven met behulp van het Bernoulli-schema en bepaalt de verwachtingswaarde van de binomiale verdeling.

In klas 4 lost de leerling opgaven op die gebaseerd zijn op het herhaaldelijk uitvoeren van hetzelfde toevalsexperiment met twee mogelijke uitkomsten: succes of mislukking. De leerling past de formule voor het Bernoulli-schema toe om de kans te berekenen op precies een bepaald aantal successen in een reeks pogingen en bepaalt de verwachtingswaarde van een dergelijke verdeling, oftewel het verwachte gemiddelde aantal succesvolle uitkomsten.

Een veelvoorkomende fout in deze fase is het weglaten van de binomiaalcoëfficiënt in de formule. De leerling vermenigvuldigt de kansen op succes en mislukking correct, maar vergeet dat dezelfde uitkomsten in verschillende volgordes kunnen voorkomen. Het komt ook voor dat de waarden voor de kans op succes en mislukking verkeerd worden toegekend, of dat het Bernoulli-schema wordt toegepast in situaties waarin de kans van poging tot poging verandert.

Opgaven binnen dit onderwerp zijn gebaseerd op praktische contexten, zoals een reeks dobbelsteenworpen, schoten op een doel of de kwaliteitscontrole van producten in een partij goederen. Het oefenmateriaal omvat twee hoofdtypen opgaven: Bernoulli-schema, waarbij het doel is om de kans op een specifiek aantal successen te berekenen, en Verwachtingswaarde van de binomiale verdeling, waarbij de leerling het verwachte gemiddelde resultaat bij een gegeven aantal herhalingen bepaalt.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Verwachtingswaarde van de binomiale verdeling · Bernoulli-experiment

De mediaan van een gegevensverzameling bepalen

De leerling ordent een reeks numerieke gegevens en bepaalt de mediaan ervan door de middelste waarde aan te wijzen of het rekenkundig gemiddelde van de twee middelste getallen te berekenen.

Leerplanpunt MAT.LO.12.P.2 berekent het rekenkundig gemiddelde en het gewogen gemiddelde, vindt de mediaan en de modus. (onze vertaling)

Een leerling in klas 4 van de middelbare school bepaalt vlot de mediaan voor een eindige set numerieke gegevens als onderdeel van een herhaling van statistiek. De leerling maakt onderscheid tussen de situatie waarin het aantal gegevens oneven is (waarbij de enkele middelste waarde wordt aangewezen) en de situatie met een even aantal gegevens, waarin de mediaan het rekenkundig gemiddelde is van de twee middelste elementen.

Een veelvoorkomende fout in deze fase is het rechtstreeks kiezen van de middelste waarde uit een niet-geordende set gegevens, zonder de getallen eerst van klein naar groot te rangschikken. Het komt ook voor dat een leerling bij een even aantal elementen beide middelste getallen noemt in plaats van het gemiddelde daarvan te berekenen.

Opgaven uit het sjabloon Geef de mediaan bestaan uit het analyseren van een gegeven getallenreeks, het ordenen ervan en het bepalen van de exacte waarde van de mediaan.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Voorwaardelijke kans op basis van een tabel

De leerling berekent de voorwaardelijke kans van een gebeurtenis door de bijbehorende groepsaantallen en voorwaarden rechtstreeks uit de gegevenstabel af te lezen.

In klas 4 leert de leerling de kans te bepalen dat een bepaalde gebeurtenis plaatsvindt onder de voorwaarde dat er al een andere gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Met behulp van numerieke overzichten in kruistabellen beperkt de leerling de uitkomstenruimte uitsluitend tot de groep die aan de gestelde voorwaarde voldoet, en berekent op basis daarvan de gevraagde kans in de vorm van een breuk.

De meest voorkomende fout in deze fase is het delen van het aantal gunstige uitkomsten door het totale aantal onderzochte personen of objecten in de gehele tabel, in plaats van door het totaal van de groep die aan de voorwaarde voldoet. Leerlingen halen ook vaak de richting van het verband door elkaar, door de uitgangsgebeurtenis en de voorwaarde te verwisselen (bijvoorbeeld de kans om tot een bepaalde groep te behoren op voorwaarde van een bepaalde score, met de omgekeerde situatie).

Opdrachten uit het sjabloon Voorwaardelijke kans uit een tabel bevatten statistische gegevens over een specifieke groep — bijvoorbeeld de verdeling van leerlingen op basis van geslacht en de keuze van een vreemde taal. De opdracht vereist het vinden van de juiste cellen in de tabel en het berekenen van de kans dat een willekeurig gekozen persoon een bepaald kenmerk heeft, als vooraf bekend is dat deze voldoet aan de in de opgave genoemde voorwaarde.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Gewogen gemiddelde berekenen

De leerling berekent het gewogen gemiddelde van een gegevensset door correct gewichten toe te kennen aan de afzonderlijke waarden en de som van de producten te delen door de som van de gewichten.

Leerplanpunt MAT.LO.12.P.2 berekent het rekenkundig gemiddelde en het gewogen gemiddelde, vindt de mediaan en de modus. (onze vertaling)

In klas 4 van het middelbaar onderwijs berekent de leerling het gewogen gemiddelde van een gegevensset. De leerling vermenigvuldigt elke waarde vlot met het bijbehorende gewicht, telt de verkregen producten bij elkaar op en deelt de uitkomst vervolgens door de totale som van de gewichten.

De meest gemaakte fout is het delen van de som van de producten door het aantal getallen in plaats van door de som van de gewichten, wat voortkomt uit de gewoonte om het gewone rekenkundig gemiddelde te berekenen. Leerlingen hebben soms ook moeite om de waarde correct te onderscheiden van het gewicht ervan, vooral wanneer de gewichten worden uitgedrukt in percentages of breuken.

Bij opgaven uit het sjabloon Gewogen gemiddelde lost de leerling problemen op in een praktische context, zoals het bepalen van een semestercijfer op basis van toetsen met een verschillende weging of het berekenen van de gemiddelde inkoopprijs van goederen uit verschillende leveringen. De opgave bestaat uit het selecteren van de gegevens, het correct opstellen van de rekenkundige uitdrukking en het berekenen van het resultaat.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

De oppervlakte van een doorsnede van een kubus berekenen

De leerling bepaalt de vorm van het vlak dat een kubus doorsnijdt door gekozen zijvlaksdiagonalen en berekent de oppervlakte van de ontstane doorsnede.

De leerling analyseert de positie van het snijvlak in een kubus en herkent welke meetkundige figuur de doorsnede vormt. Op basis hiervan bepaalt de leerling de lengtes van de zijden van de veelhoek aan de hand van de ribbelengte van het ruimtelichaam en de stelling van Pythagoras, en berekent vervolgens de oppervlakte ervan.

Het meest voorkomende struikelblok is een verkeerde interpretatie van de vorm van de figuur op een schuine projectietekening — bijvoorbeeld het verwarren van een rechthoek met een vierkant of een gelijkzijdige driehoek met een willekeurige driehoek. Leerlingen verwarren ook vaak de lengte van de ribbe van de kubus met de zijdelengte van de doorsnede, waarbij ze vergeten dat deze zijde een diagonaal van een zijvlak of grondvlak is.

Een typische opgave bestaat uit het berekenen van de oppervlakte van een doorsnede van een kubus die door bepaalde diagonalen van de zijvlakken loopt. Uitgaande van de ribbelengte van het ruimtelichaam bepaalt de leerling de afmetingen van de ontstane veelhoek (bijv. een rechthoek waarvan de zijden gevormd worden door een ribbe en een zijvlakdiagonaal) en noteert het eindresultaat in exacte vorm.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Volume van gelijkvormige lichamen berekenen

De leerling berekent de inhoud van een gelijkvormig ruimtelichaam, gebruikmakend van het verband dat de verhouding van de inhouden van twee ruimtelichamen gelijk is aan de derde macht van hun gelijkvormigheidsfactor.

Leerplanpunt MAT.LO.10.P.6 gebruikt het verband tussen de inhouden van gelijkvormige lichamen. (onze vertaling)

In het vierde leerjaar van het lyceum en technicum herhaalt de leerling de kennis over ruimtemeetkunde ter voorbereiding op het eindexamen. In deze fase kan de leerling vlot de inhoud bepalen van een lichaam dat gelijkvormig is aan een gegeven lichaam, gebruikmakend van de gelijkvormigheidsfactor k. In plaats van moeizaam de afmetingen van alle ribben of de hoogte van het nieuwe lichaam opnieuw te berekenen, gebruikt de leerling het feit dat de verhouding van hun inhouden gelijk is aan k tot de derde macht.

Een typische fout in deze fase is het vermenigvuldigen van de oorspronkelijke inhoud met alleen de factor k of met het kwadraat ervan. Leerlingen passen vaak gedachteloos de gewoonte toe van het schalen van lijnstukken of oppervlakten, waarbij ze vergeten dat een driedimensionale ruimte vereist dat de vergrotingsfactor tot de derde macht wordt verheven.

Opgaven uit het sjabloon Inhoud van een gelijkvormig lichaam confronteren de leerling met een situatie waarin de inhoud van het eerste lichaam bekend is, evenals de verhouding van overeenkomstige ribben of de vergrotingsfactor van het lichaam. De taak van de leerling is om de derde macht van deze factor te berekenen en de ontbrekende inhoud te bepalen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Berekenen van de limiet van een functie in een punt

De leerling berekent limieten van functies in een punt door het gedrag van de functiewaarden te onderzoeken wanneer de argumenten een gekozen getal naderen.

In klas 4 van de middelbare school analyseert de leerling binnen het gevorderde programma het gedrag van functies in de omgeving van een bepaald getal en bepaalt de limiet van een functie in een punt. De leerling begrijpt het verschil tussen de functiewaarde in een bepaald punt zelf en de waarde waarnaar de uitkomsten naderen wanneer het argument het onderzochte getal nadert.

Een veelvoorkomende fout is om te stoppen bij de stap waarin er een nul in de noemer van de breuk verschijnt. Leerlingen nemen dan vaak ten onrechte aan dat de limiet niet bestaat of dat de bewerking niet is toegestaan, in plaats van een onbepaalde vorm te herkennen (bijv. 0/0) en het functievoorschrift te herschrijven – bijvoorbeeld door een gemeenschappelijke factor in de teller en noemer weg te strepen.

De opgaven uit het sjabloon Limiet van een functie in een punt bestaan uit het berekenen van de limiet voor een gegeven algebraïsche uitdrukking (meestal een rationale functie). De leerling controleert of het volstaat om het gegeven getal direct in te vullen, en als dit leidt tot een onbepaalde vorm, vereenvoudigt de leerling de breuk en berekent pas daarna de uiteindelijke numerieke uitkomst.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Vergelijking van de raaklijn aan de grafiek met behulp van de afgeleide

De leerling leert de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie in een gegeven punt te bepalen met behulp van de meetkundige interpretatie van de afgeleide.

In klas 4 van de middelbare school en het technisch onderwijs combineert de leerling het begrip afgeleide met analytische meetkunde. De leerling kan de afgeleide van een functie in een gekozen punt berekenen, die de richtingscoëfficiënt van de rechte lijn bepaalt, en vervolgens de volledige vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek in het punt met de gegeven coördinaten.

Een veelvoorkomende fout is het verwarren van de waarde van de afgeleide in een punt met de functiewaarde zelf, of het invullen van de algemene afgeleide functie in de lijnvergelijking in plaats van het specifieke getal dat voor de gegeven invoerwaarde is berekend. Er worden ook vaak tekenfouten gemaakt bij het herleiden van de vergelijking naar de richtingsvorm.

In opgaven van het sjabloon Raaklijn aan de grafiek van een functie krijgt de leerling het functievoorschrift en de x-coördinaat van het raakpunt. Het doel is om de tweede coördinaat van het punt te bepalen, de waarde van de afgeleide op die plek te berekenen en de uiteindelijke vergelijking van de raaklijn te noteren in de vorm y = ax + b.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Opgavensjablonen om af te drukken

Alle soorten opgaven, gegroepeerd per vaardigheid. Een klik opent de generator met het type al gekozen.

Berekenen van de oppervlakte van een cilinder, kegel en bol

Berekenen van de afgeleide van een functie en de waarde ervan

Onderzoek naar de monotoniciteit en extrema van een functie

Het rekenkundig gemiddelde berekenen

Volume berekenen van een cilinder, kegel en bol

Berekenen van diagonalen, ribben en beschrijvende lijnen in ruimtelijke figuren

Totale kans en formule van Bayes

Bernoulli-schema en binomiale verdeling

De mediaan van een gegevensverzameling bepalen

Voorwaardelijke kans op basis van een tabel

Gewogen gemiddelde berekenen

De oppervlakte van een doorsnede van een kubus berekenen

Volume van gelijkvormige lichamen berekenen

Berekenen van de limiet van een functie in een punt

Vergelijking van de raaklijn aan de grafiek met behulp van de afgeleide

Andere soorten opgaven

Werkblad maken voor dit leerplan